PROGRAMA DE NIVELAMENTO – ITEC/PROEX - UFPA

EQUIPE FÍSICA ELEMENTAR

DISCIPLINA: FÍSICA ELEMENTAR

CONTEÚDO: CÁLCULO APLICADO A CINEMÁTICA

O que é cinemática?

Posição e Deslocamento

Velocidade Média vs Velocidade Escalar Média.

Velocidade Instantânea.

Noções de Cálculo Diferencial.

Inclinação e coeficiente angular de uma reta.

Noção conceitual de derivada.

Conhecer e aplicar algumas propriedades da derivada na

Cinemática.

Aplicação de Derivada nas Engenharias.

Noções de Cálculo Integral e a sua Aplicação na Cinemática.

TÓPICOS A SEREM ABORDADOS

O que é Cinemática?Estudo do movimento dos corpos sem se

preocupar com as causas (Forças).

CONCEITOS IMPORTANTESO QUE É REFERENCIAL?

O QUE É POSIÇÃO?

∆𝒙=𝒙 - 𝒙𝒐Deslocamento

DISTÂNCIA PERCORRIDA VS

DESLOCAMENTO

Distância Percorrida: Caminho real percorrido

VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA

VS

VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA

Qual a diferença entre essas velocidades?

VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA

Onde: 𝒙 é a posição final no instante 𝒕 final e 𝒙𝒐é a posição inicial no instante 𝒕𝒐 inicial.

No SI velocidade é dada em m/s

VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA

IMPORTANTE!

O vetor velocidade média é um vetor que aponta

na mesma direção e no mesmo sentido que o

deslocamento, pois a constante ∆𝑡 é sempre

positiva.

VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA

𝒗𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓= 𝑬𝒔𝒑𝒂ç𝒐 𝑷𝒆𝒓𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐

𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝑮𝒂𝒔𝒕𝒐=

𝑆

∆𝑡

Obs.: Unidade no SI: metros por segundo (m/s).

NOÇÃO DE VELOCIDADE

INSTANTÂNEAExemplo

Em uma competição de Moto Cross, um engenheiro, por

meio de equipamentos de medição, conseguiu descrever a

função posição de uma das motos como apresentado a

seguir:

𝒙(𝒕) = 𝟓𝒕𝟐

Calcule a velocidade média nos instantes: t = 1s e t = 2s, t =

1,5s e t = 2s, t = 1,9 e t = 2s. Como poderíamos estimar a

velocidade em t = 2s?

O coeficiente angular de uma reta secante é

dada por:

Através da fórmula acima, podemos afirmar

que velocidade média é a inclinação de uma

reta secante como podemos ver na figura abaixo:

h

xfhxf

xhx

xfhxf

x

ym

)()(

)()(

)()(

NOÇÕES DE CÁLCULO

DIFERENCIAL

NOÇÕES DE CÁLCULO

DIFERENCIAL

Substituindo temos:

𝒗𝒎𝒙 =𝒙𝟐 − 𝒙𝟏𝒕𝟐 − 𝒕𝟏

=∆𝒙

∆𝒕

Figura – gráfico de posição em função do tempo.

DEFINIÇÃO DE DERIVADA

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

Velocidade instantânea.

NOÇÕES DE CÁLCULO

DIFERENCIAL

𝐯𝒊𝒏𝒔𝒕 = 𝐥𝐢𝐦∆𝒕→𝟎

=

VELOCIDADES INSTANTÂNEA X VELOCIDADE

MÉDIA – ANÁLISE GRÁFICA

NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL

NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIALAceleração Vetorial Média X Aceleração Escalar Média

• Aceleração média (am): grandeza vetorial

• Aceleração escalar média: é a intensidade ou magnitude

dessa grandeza vetorial.

𝐚𝐦 =𝐯𝟐 − 𝐯𝟏𝐭𝟐 − 𝐭𝟏

=∆𝐯

∆𝐭

Obs.: A unidade no SI de aceleração é metros por segundo

ao quadrado (m/s²)

Define-se aceleração média como:

NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIALAceleração Instantânea (Aceleração)

Obs.: A unidade no SI de aceleração é metros por segundo ao

quadrado (m/s²)

Definição:

𝐚𝒊𝒏𝒔𝒕= 𝐥𝐢𝐦∆𝐭→𝟎

=

Como podemos ver que a velocidade instantânea é dada por:

Temos que a aceleração também pode ser escrita como:

=𝒅²

𝒅𝒕²

NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL PROPRIEDADES DA DERIVADA

DERIVADA DE UMA CONSTANTE k

𝒌′= 𝟎

Figura - Reta horizontal de uma função constante

NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL ANÁLISE DA DERIVADA

f’(xo)>0: A função f é crescente em x=xo;

f’(xo)<0: A função f é decrescente em x=xo;

f’(xo)=0: x=xo é um ponto crítico de f(ponto de

máximo, mínimo ou de inflexão).

Uma partícula move-se ao longo do eixo x de acordo com

a expressão x =at2-bt3. Sendo x dado em metros e t em

segundos, (a) Que dimensões e unidades a e b devem

ter? Suponha que seus valores numéricos sejam

respectivamente 3,0 e 1,0 (válidos também para o

restante da questão). (b) Para que instante a partícula

atinge a posição máxima? (c) Calcule o deslocamento

atingido pela partícula nos primeiros 4 segundos. (e)

Calcule a velocidade média entre os instantes t=0s e

t=4s. (f) Qual a velocidade da partícula em t=4s? (g) Em

que instante a partícula não está sob a ação de força

externa?

QUESTÃO REVISÃO SOBRE

DERIVADA

NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL A Integral é um recurso matemático inverso ao da derivada.

Ao invés de achar derivada𝒅𝒚

𝒅𝒙de uma função f(x), calcula-

se a função f(x) a partir da derivada da função𝒅𝒚

𝒅𝒙.

A integral também é definida como a área sobre a curva de

uma função.

Como determinar a Área (A) da figura acima?

Aproximação cada vez melhor conforme as bases dos

retângulos vão se tornando mais “finas”:

NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL

A = integral de f = soma das áreas dos retângulos

NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL

NOTAÇÃO

A integral de uma função f(x) é denotada por

𝒇 𝒙 𝒅𝒙. Tal qual fizemos em relação à derivada,

vamos colocar algumas propriedades da integral.

INTEGRAL - PROPRIEDADES

Integral de uma constante

Integral de uma função potência

ckxkdx

cn

xdxx

nn

1

1

NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL

INTEGRAL - PROPRIEDADES

NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL

Soma ou subtração de integrais

Constante multiplicando uma função

dxxvdxxudxxf

xvxuxf

)()()(

)()()(

dxxfkdxxkf )()(

APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA

NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL

A integral pode ser considerada como o

processo inverso da derivada. Assim:

dtvs inst

dtav instinst

)(' tsvinst

)(' tvainst

ESQUEMA DE DERIVADA E INTEGRAL

APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA

NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL

A área de um gráfico v x t é a variação da posição

(∆S):

APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA

NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL

A área de um gráfico a x t é a variação da

velocidade escalar instantânea (∆v):

QUESTÃO SOBRE INTEGRALO gráfico da velocidade em função do tempo para uma

partícula que parte da origem e se move ao longo do eixo 𝑂𝑥 e

está representado na figura abaixo.

a) Trace os gráficos da aceleração a(t) e da posição x(t) para

0 ≤ t ≤ 16 s.

b) Quantos metros a partícula terá percorrido ao todo (para

frente e para trás) no fim de 12 s?

c) Qual o valor de x nesse instante?