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3 ADERNCIA ENTRE O CONCRETO E A ARMADURA.

FISSURAO

3.1 Introduo

Na compresso e na trao antes da fissurao, a armadura e o

concreto vizinho possuem iguais deformaes. To logo haja fissurao do concreto,

essas deformaes, nas proximidades da fissura, passam a ser diferentes: a

armadura alonga-se mais do que o concreto. A diferena de alongamentos entre

ambos os materiais implica na existncia de deslizamento da armadura em relao

ao concreto. A quantidade de deslizamento, proveniente de cada lado da e medida

na fissura, igual prpria abertura da fissura. No primeiro caso, em que h

igualdade de deformaes, tem-se a chamada aderncia rgida, pois no h

deslizamento; no segundo caso em que os alongamentos diferem entre si, estaaderncia chamada deslizante ou mvel.

O estudo da aderncia deslizante entre as barras da armadura e o

concreto que as envolve est, portanto, intimamente relacionado com a fissurao.

Sobre este tema h na literatura especfica muitos trabalhos, com diferenas de

abordagem do problema. Pode-se distinguir duas formas de tratamento do problema.

Na primeira, devida a pesquisadores canadenses e norte-americanos ( Collins e

Mitchell (1986), Hsu e Belarbi (1994), entre outros), no se faz uma consideraodireta da lei tenso de aderncia em funo do deslizamento, mas antes

estabelecem-se leis constitutivas do ao e do concreto em termos de deformaes

mdias. Na deformao mdia do concreto, igual da armadura, incluem-se o seu

efetivo alongamento mdio entre fissuras e as aberturas destas, transformadas em

deformao, dividindo-as pela distncia entre fissuras, as quais so, assim,

espalhadas ao longo da pea fissurada. Novamente, transforma-se o descontnuo

num contnuo equivalente. Na segunda forma, devida a pesquisadores europeus, oproblema tratado por meio da definio de uma lei tenso de aderncia em funo

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do deslizamento. Desta decorre, como simplificao, uma lei tenso da armadura na

fissura associada sua deformao mdia. Em qualquer uma dessas formas de

tratamento do problema, fica considerado o chamado efeito de enrijecimento dasbarras da armadura na trao (tension stiffening), em contraposio barra nua.

Este fenmeno precisa ser considerado na determinao das deformaes dos

elementos estruturais, no s antes, mas tambm aps o escoamento do ao.

Procura-se, a seguir, mostrar alguns aspectos da segunda forma de

tratamento atravs da lei tenso de aderncia-deslizamento, ou da lei tenso da

armadura na fissura associada sua deformao mdia, ambas dadas no MC-90, e

derivadas do trabalho de Eligehausen, Popov e Bertero. Alm desta, menciona-setambm o modelo de Sigrist (1995). No primeiro caso, tem-se uma lei

aparentemente bastante complexa, a qual procura abarcar o maior nmero de

influncias possvel; ao passo que no segundo tem-se uma lei tenso de aderncia-

deslizamento bem mais simples, do tipo rgido-plstica, com dois nveis de tenso

(mdia) de aderncia: o maior ocorre para deformaes na armadura inferiores de

escoamento, o menor em caso contrrio. O argumento destes dois modelos , como

no pode deixar de ser, a concordncia com os respectivos resultados experimentais

considerados. Entretanto, como se afirma nos diferentes trabalhos, nenhum deles

pode ser considerado como totalmente definitivo. Apesar disso, estas diferenas

tendem a diminuir quando se considera o elemento estrutural propriamente,

subordinado a condies de equilbrio, compatibilidade e demais leis constitutivas.

3.2 Lei Tenso de Aderncia-Deslizamento do MC-90

Seja o tirante armado da Fig. 3.1 sujeito ao de uma carga F,

monotnica e crescente. No tirante seja tambm a seo B onde j existe uma

fissura. Nela o concreto ter deslocado cu e a armadura su , em cada lado desta

seo. No caso de uma nica fissura os respectivos deslocamentos de cada

material, esquerda e direita de B, so iguais. No que segue admite-se que a

seo permanea plana aps deformar-se.

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Fig. 3.1: Tirante com uma fissura, deslizamento entre a armadura e o concreto, deformaes nos doismateriais, equilbrio da barra da armadura.

O deslizamento entre os dois materiais numa determinada seo

prxima de B igual a:

)()()( xuxuxs cs = (3.1)

e sua variao ao longo da barra dada por:

)()( xxdx

du

dx

du

dx

dscs

cs == (3.2)

Esta variao ocorre no chamado comprimento de transmissotl ,

onde h deslizamento. Nele a fora da armadura na fissura, a mesma aplicada no

tirante, transmitida, por aderncia ao concreto e pela prpria armadura, seo

F F

A B

FF

b

dx

sF (x) + (x)sF- FFs(x) = F c(x) d

(x)

s

x

c=

s s(x)

(x)c

lt

use

ceu

es sd

ucd

usd

PDN

s

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composta, quando ento as deformaes nos dois materiais so iguais (aderncia

rgida).

Na seo B tem-se uma fissura cuja abertura w resulta da soma dosdeslizamentos es e ds , respectivamente esquerda e direita desta seo, i. e.:

decdsdcese ssuuuuw +=+= )()( (3.3)

fora )(xFs da armadura ao longo do comprimento de transmisso

correspondem as deformaes no ao e no concreto, )(xs e )(xc . Por equilbrio no

elemento de comprimento dx , Fig. 3.1, tem-se, indicando-se por s o dimetro da

barra e por b a tenso de aderncia atuante na superfcie lateral da barra:

)(xdx

dF

dx

dFbs

cs == (3.4)

ou:

)()()(

4

2

xdx

xdA

dx

xdbs

c

c

ss

==

donde resulta, pondo-secss A4

2 = , onde

cA a rea da seo de concreto:

)(4)(1)( xdx

xddx

xdb

s

c

s

s

== (3.5)

Observe-se que a variao da tenso no concreto , em mdulo e a menos de uma

constante, igual do ao.

Dadas as leis constitutivas dos materiais, as derivadas das tenses

em (3.5) podem ser postas em funo das deformaes do ao e do concreto.

Considerando-se que o ao pode estar plastificado, define-se stE como o mdulo de

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deformao tangente do ao, admitido simplificadamente como constante e no

nulo. Logo:

)(4)()(

xdx

xdE

dx

xdE b

s

c

s

cs

st

== (3.6)

Derivando-se (3.2) e considerando-se (3.6), resulta a equao diferencial que une o

deslizamento e a tenso de aderncia:

)1()(4)(2

2

sst

st

b

s Ex

dxxsd

+= (3.7)

ondecstst EE= .

No h maior interesse aqui em considerar o mdulo de deformao

tangente do ao como varivel, pois aps a plastificao da armadura esta equao

tem, em geral, de ser resolvida por integrao numrica. Antes do escoamento este

mdulo o prprio mdulo de elasticidade do ao sE . Observe-se que a expressodo parnteses de (3.7) igual a 1, se o alongamento do concreto for desprezado em

face do alongamento do ao. Adiante mostra-se uma soluo desta equao para a

fase elsticada armadura. A soluo da equao diferencial que une o deslizamento

e a tenso de aderncia pressupe o conhecimento da lei constitutiva )(sb , bem

como das condies de contorno de cada problema. Esta lei, representada na Fig.

3.2, assume a seguinte forma, cf. o MC-90, item 3.1.1:

)(1

maxs

sbb

= 10 ss (3.8a)

maxbb = 21 sss (3.8b)

))((23

2maxmax

ss

ssbfbbb

= 32 sss (3.8c)

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bfb = 3ss (3.8d)

Fig. 3.2: Lei tenso de aderncia-deslizamento, cf. o MC-90.

Os seis parmetros destas quatro equaes esto resumidos na

Tabela 3.1. Nesta tabela tem-seckf em MPa e o expoente constante. Os

parmetros a indicados so valores mdios e pressupem barras nervuradas, cuja

rea relativaRf aproximadamente igual ao seu valor mnimo. As grandezas

referentes ao deslizamento, 1s , 2s e 3s , e as referentes resistncia, maxb e bf ,

devem ainda ser multiplicadas pelo fator:

12,0 =s

x

d

d

(3.9)

ondexd a distncia ( s5 ) medida a partir da fissura at o ponto considerado,

onde se calculam as grandezas que interferem no problema (Fig. 3.3).

Conforme mencionado no item 3.1 do MC-90, o ramo ascendente da

curva )(sb refere-se ao estgio em que as nervuras penetram na matriz da

argamassa, caracterizado por esmagamento local e microfissurao do concreto

envolvente. O ramo horizontal s ocorre para concreto confinado, e deve-se a

esmagamento em fase avanada e a corte do concreto entre as nervuras. O ramo

linear descendente deve-se reduo da resistncia de aderncia por fissura de

separao ao longo da barra da armadura, e o ramo horizontal subseqente

s

bmax

bf

s1 2s 3s

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representa a capacidade residual de aderncia, mantida pela existncia de uma

armadura transversal mnima. Para maiores detalhes, ver o MC-90, item 3.1.1.

Tabela 3.1: Parmetros para a definio da lei tenso de aderncia-deslizamento, cf. o MC-90.

1 2 3 4Concreto no-confinado, ruptura por

fissurao longitudinal barraConcreto confinado, ruptura por corte

do concreto entre nervurasZonas de boa

adernciaTodas as demais

zonasZonas de boa

adernciaTodas as demais

zonas

1s (mm)0,6 0,6 1 1

2s (mm)0,6 0,6 3 3

3s (mm)1 2,5 Espaamento

entre nervurasIdem

0,4 0,4 0,4 0,4

maxb ckf2 ckf ckf5,2 ckf25,1

bf max15,0 b max15,0 b max4,0 b max4,0 b

Considere-se agora o ramo ascendente dado pela Equao (3.8a).

Embora exista um trecho inicial prximo fissura no qual a aderncia destruda,

considera-se vlido este ramo ascendente tambm para distncias prximas da

fissura. Ver a Fig. 3.3, onde se indica porss 20 o trecho sem aderncia prximo

fissura. Para considerar este fato, o valor mdio da tenso de aderncia, no trecho

onde h deslizamento, reduzido no MC-90 em 10%. Observe-se tambm que a

tenso de aderncia mxima onde o deslizamento o for, quando na realidadeaquela deve ser nula na fissura. Esta correo realizada pelo coeficiente

d ,

Equao (3.9). Nas solues que seguem estes dois fatos no esto considerados.

Com estas consideraes, possvel integrar analiticamente a

Equao (3.7), para estgios do carregamento anteriores ou prximos do

escoamento da armadura. Pondo-se nesta equaosst EE = e css EE= , resulta

para a fase elstica:

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Fig. 3.3: Distribuio das deformaes e tenso de aderncia no comprimento de transmisso.

)1()(4)(

2

2

ss

s

b

s E

x

dx

xsd

+= (3.10)

De (3.8a) obtm-se )(xs em funo de )(xb :

1

max

1 ])(

[)(b

b xsxs = (3.11)

Para integrar a equao diferencial (3.10) pe-se:

p

ckbb xfKx3/2)( = (3.12)

onde bK e p so constantes a serem determinadas identificando-se, na seo

genrica distante x do ponto de deslizamento nulo (PDN), os deslizamentos )(xs

obtidos das equaes (3.10) e (3.11), nelas j se inserindo a (3.12). Assim, resultam:

=

c

c x

s

(x)

s (x)

F

tl

PDNs

s2

x

5 s

bmb(x)

fissura

(II)(I)

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70

p

ss

s

ckb

s

xE

fK

dx

xsd)1(

4)(3/2

2

2

+= (3.13)

1

13/2

)1()1(

4)(C

p

x

E

fK

dx

xds p

ss

s

ckb

s

++

+=+

(3.14)

1

max

3/2

121

23/2

][)2)(1(

)1(4

)(b

p

ckb

p

ss

s

ckb

s

xfKsCxC

pp

x

E

fKxs ++

+++=

+

(3.15)

A constante de integrao 2C sempre nula, uma vez que no PDN

tem-se 0)0( =s , mas a constante 1C no necessariamente sempre nula, pois ela

igual diferena de deformaes do ao e do concreto no PDN, cf. Equao (3.2).

Por esta razo, a presente integrao limitada aos casos em que

0)0()0( == dxdss , com o que ambas constantes so nulas. Isso ocorre no problema

da Fig. 3.3. De (3.15) resultam:

=1

2p (3.16)

++

= 12

13/2

1

1

max ])1(

)1()1(2[

)(

ss

ss

ck

b

bEsf

K (3.17)

A tenso de aderncia ao longo da abscissa x dada por:

= 12

3/2)( xfKx ckbb (3.18)

O deslizamento correspondente resulta igual a:

= 12

)( xKxs s (3.19)

onde

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71

1

max

3/2

1][

b

ckb

s

fKsK = (3.20)

As tenses na armadura e no concreto decorrem de (3.5):

+

+== 11

)0()( xKxxsss

(3.21a)

+

=

1

14 3/2ckb

s

fKKs

(3.21b)

e

+

== 11

)0()( xKxxccc

(3.22)

com

scKK s = (3.23)

Considere-se como uma primeira aplicao destas equaes o

ensaio de arrancamento de uma barra de armadura (Fig. 3.4), atravs do qual

obtm-se o comprimento de ancoragem retabl , e, neste comprimento, a tenso

mdia de adernciabm

e a relao entre as deformaes do ao mdia e na borda

do corpo onde se aplica a fora F . Na borda oposta so nulas as tenses no ao e

no concreto, a tenso de aderncia e o deslizamento.

De (3.21a) resulta o comprimento de ancoragem:

+

= 11

)(

sK

fl

y

b (3.24)

Neste comprimento a tenso mdia de aderncia igual a:

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72

b

ys

bml

f

4

= (3.25)

Fig. 3.4: Ensaio de arrancamento.

A deformao mdia na armadura resulta de sua tenso mdia

dividida pelo mdulo de elasticidade do ao. A integral de (3.21a) dividida por bl e

porsE :

+

= 11

)(2

1b

s

sm lE

Ks (3.26)

Considerando-se as condies da Tabela 3.1, coluna 1, zona de boaaderncia, concreto no-confinado, e os dados adicionais seguintes:

GPaEs 200= , MPafy 500= e 0sss , obtm-se a Fig. 3.5, onde esto indicadas

as relaesctmbm f e sbl em funo do dimetro da barra, para trs valores de

ckf , sendo3/23,0

ckctm ff = , em MPa. Na Fig. 3.5a observa-se que a tenso mdia de

aderncia cresce com o dimetro da barra e est no intervalo (1a 75,1 ) ctmf . Na Fig.

3.5b v-se que o quocientesbl decresce com a mesma varivel. A relao entre

as deformaes mdia e de escoamento, sysm , constante e igual a 3,0 . Se for

bm

s=

l

F s

4

2

fy

b

x

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considerada zona de m aderncia, este ltimo quociente o mesmo, sbl cerca

de 64,1 vezes maior, e a tenso mdia de aderncia 62,0 )64,11(= vezes menor.

O deslizamento mximo que se d na extremidade carregada igual ao produto da

deformao mdia do ao pelo comprimento de ancoragem, desprezando-se a

deformao do concreto:

bsmb llxss === )(max (3.27)

e varia de mm32,0 a mm61,0 para MPafck 20= .

(a) Tenso mdia de aderncia (b) Comprimento de ancoragem

Fig. 3.5: Ensaio de arrancamento, boa aderncia, concreto no-confinado.

Sigrist (1995) utiliza a equao tenso de aderncia-deslizamento

proposta por Noakowski (1985), a saber:

N

cbb sfK3/2= (3.28)

onde as unidades so mm e MPa , as constantes valem 8,0=bK e 15,0=N , e cf

a resistncia compresso do concreto (20 a 40 MPa) observada no ensaio. Com

estes dados o valor da tenso mdia de aderncia varia de3/2

49,0 cbm f= a3/257,0

cbm f= , para dimetros respectivamente iguais a 10 e 30 mm. De outra forma

0

0,5

1

1,5

2

0 10 20 30

Dimetro da barra (mm)

Tau-bm/fctm fck=20 MPa

fck=35 MPa

fck=50 MPa

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30

Dimetro da barra (mm)

lb/ds

fck=20 MPa

fck=35 MPa

fck=50 MPa

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tem-se 63,1)3,0( 3/2 =cbm f a 90,1 , valores que se aproximam dos obtidos na Fig.

3.5a para MPafck 20= e dimetros grandes.

Fig. 3.6: Fissura isolada.

A segunda aplicao das equaes (3.17) a (3.21) refere-se

determinao do comprimento de transmissotl , da tenso mdia de aderncia

relativa resistncia mdia trao do concreto, do quociente entre as deformaes

do ao, a mdia ao longo deste comprimento e a na fissura, bem como da abertura

da fissura, no tirante da Fig. 3.6. Este tirante est sujeito fora F que produz no

concreto, no Estdio I, a tensoctmf . Esta aplicao refere-se ao estado de

formao de fissuras, a ser mais bem detalhado adiante. A fora aplicada no tirante

igual a:

2)( ssctmssctmc AfAfAF =+= (3.29)

Desta equao de equilbrio obtm-se a tenso da armadura na fissura:

)1(2 sss

ctm

s

f

+= (3.30)

onde css EE= , css AA= . De (3.21a) resulta:

F F

w

s ctffct

l t l t

x

PDN

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3/7

2)( tctmssts lKflx s +=== (3.31)

Logo:

73)(

sK

fl

s

ctm

t

= (3.32)

ondes

K decorre de (3.21b) usando-se a (3.17).

Conhecido o comprimento de transmisso de (3.32), os valores

mdios das tenses de aderncia e da armadura, e a correspondente deformao

mdia nesse comprimento so respectivamente iguais a:

s

ctm

t

s

bm

f

l

4

1= (3.33)

3/73,0 tctmssmssm lKfE s +== (3.34)

O deslizamento mximo decorre de (3.19), comsK de (3.20):

3/10

max tslKs = (3.35)

A abertura w da fissura o dobro deste valor. Estas equaes so

aplicadas com os seguintes dados: Concreto: MPafck 35= , MPafctm 21,3= ,

MPafE ckc 35030)8(10314 =+= , Ao: MPafy 500= ; 71,5=s . A tenso da

armadura na fissura varia de 100 a MPa500 , e para cada valor desta tenso fica

definida uma taxa geomtrica da armadura atravs de (3.30), de modo a manter-se a

tenso no concreto constante e igual actmf . Tambm fica determinada a frao dada

pela Equao (3.37), a ser usada adiante.

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(a) (b)

(c) (d)

Fig. 3.7: Fase de formao de fissuras para diferentes dimetros, MPafck 35= , boa aderncia. (a)

Tenso mdia de aderncia; (b) Comprimento de transmisso; (c) Abertura da f issura; (d) Quociente

entre as deformaes do ao mdia e na fissura, 2ssm .

Na Fig. 3.7 esto representadas as solues do problema descrito,

para a fase de formao de fissura (fissuras isoladas, sem interferncia mtua), em

funo da tenso da armadura na fissura, 2s . Na Fig. 3.7a v-se que a tenso

mdia de aderncia ativada no segmento de comprimento tl cresce com a tenso

2s , de 5,0( a )5,1 ctmf , e tanto maior quanto maior for o dimetro da barra. O

quociente stl , Fig. 3.7b, entre o comprimento de transmisso e o dimetro da

barra tambm cresce com a mesma varivel, mas a influncia do dimetro inversa

0

0,5

1

1,5

2

0 200 400 600

Tenso na armadura nafissura (MPa)

Tau-bm/

fc

tm

ds=25 mmds=16 mm

ds=10 mm

0

10

20

30

40

0 200 400 600

Tenso na armadura nafissura (MPa)

lt/ds ds=10 mm

ds=16 mm

ds=25 mm

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 200 400 600

Tenso na armadura na

fissura (MPa)

Aberturadafissura

(mm) ds=25 mm

ds=16 mm

ds=10 mm

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 200 400 600

Tenso na armadura na fissura

(MPa)

Def.mdiado

ao/def.doao

na

fissura

qualquerdimetro

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77

do caso anterior. Na Fig. 3.7c tem-se a abertura da fissura w , a qual varia de 13,0 a

46,0 mm , para tenses na faixa 200a 300 MPa (em servio), conforme o dimetro

da barra, e maior para dimetros maiores, em igualdade de tenses 2s . Na Fig.

3.7d est representada a frao entre as deformaes do ao, a mdia e a na

fissura, 2ssm . Excluindo-se tenses muito baixas (

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esta relao independe de ctf , no importa o quantil desta resistncia.

Considerando-se a determinao de para a fase de formao de fissuras

( 22 srs = ), obtm-se dos resultados anteriores o valor de constante e igual a 7,0 .

Note-se, na Fig. 3.9, que este fator seria igual a 5,0 se s variasse linearmente. No

MC-90 este valor igual a 6,0 . A diferena deve-se, possivelmente,

desconsiderao do coeficiente dado pela Equao (3.9) e ao fato de no estar

sendo considerada a fissurao estabilizada.

No captulo 5 d-se a soluo numrica da Equao (3.7) para o

caso especfico do banzo tracionado de peas fletidas, com o que fica considerado o

enrijecimento da armadura na trao, para um quadro de fissurao estabilizada,

includa a eventual plastificao da armadura.

3.3 Fissurao do Concreto e Espaamento Mdio das Fissuras

A fissurao do concreto origina-se de deformaes impostas e/ou

impedidas e das cargas aplicadas na estrutura. No que segue d-se precedncia

fissurao originada por cargas, pois tem-se em vista estudar os estgios avanados

do carregamento, em que a armadura est prxima do escoamento ou encontra-se

j plastificada. Nestes estgios a influncia de deformaes impostas ou impedidas

relativamente pequena. No estudo da fissurao usual definir duas fases

distintas:

(1) Formao de fissuras: a fase em que se iniciam e se formam novas

fissuras naquelas sees de menor quociente Resistncia/Solicitao, e

geralmente no h interferncia mtua entre as fissuras;

(2) Estabilizao das fissuras: a fase em que j se formaram praticamente

todas as fissuras, e para aumento subseqente da carga s h aumento

das aberturas das fissuras.

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Fig. 3.8: Aes do estribo na induo da fissurao do concreto.

Outra causa de induo de fissuras so os estribos (Fig. 3.8), pois,

de um lado, reduzem a rea da seo transversal de concreto (Fig. 3.8a), e, de

outro, a sua trao induz no concreto, junto ao canto do estribo, tenses de

fendilhamento, atravs de alongamentos longitudinais que se somam queles

originados pela carga (Figs. 3.8b e c). freqente encontrar na literatura especfica

o espaamento mdio das fissuras identificado com o espaamento dos estribos.

Entretanto, estes espaamentos no so necessariamente iguais. Adiante mostra-se

a determinao do espaamento mdio das fissuras considerando-se a influncia do

estribo, cf. Kreller (1989).

Para melhor entendimento, a descrio que segue pressupe um

tirante de concreto armado, como o da Fig. 3.9. Uma grandeza que desempenha um

papel importante no espaamento das fissuras, na fase de formao de fissuras, o

comprimento de transmisso,tl , calculado simplificadamente no item anterior.

L Nrea

tracionadareduzida pela

presenado estribo

DETALHE A DETALHE A

A

A

VISTA A

b

cl

(a) Reduo da rea tracionada de

concreto

(b) Concentrao de tenses nos cantos do

estribo

(c) Alongamento longitudinal no concreto

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80

Fig. 3.9

Considerando-se a disperso da resistncia trao do concreto,

para os quantis de %95 e %5 , tem-se uma variao de %30 em relao resistncia mdia

ctmf . A variao correspondente em tl , conforme Equao (3.32),

bem menor e aproximadamente igual a %15 . Isso quer dizer que se erra pouco

na determinao do espaamento mdio das fissuras, se for admitida para o clculo

do comprimento de transmisso a resistncia mdia trao do concreto.

No que segue usa-se o valor mdio da tenso de adernciabm

.

(Este deve ser substitudo pelo valor caracterstico, bk , na determinao da abertura

mxima da fissura em servio). Na fase de formao de fissuras, como se indica na

Fig. 3.9, o tirante tem trechos no Estdio I, onde so iguais as deformaes no ao e

no concreto, e trechos onde h deslizamento entre o concreto e a armadura. A

deformao mdia do ao, onde h deslizamento, dada por:

)( 1222 srsrssrssm == (3.38)

onde:

PDN

x

tltl

ctf

fct

s

w

FF

=

cm x sr1

s

c

srsr

smc =

sr1

A B

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81

6,0= o j mencionado fator de integrao da deformao do ao entre a

fissura e o PDN.

2s a deformao da armadura na fissura, inferior ou igual de

escoamento.

2sr a deformao da armadura na fissura para a fora F tal que a tenso

no concreto seja igual a ctmf . Seu valor decorre da correspondente tenso

da armadura na fissura, Equao (3.30), dividida porsE .

1sr a deformao da armadura no PDN, e igual do concreto, para a

mesma fora F, i. e., sctmscctmsr EfEf ==1 .

12 srsrsr = o aumento da deformao da armadura entre o PDN e a

fissura.

O comprimento de transmissotl obtido igualando-se a fora de

adernciabF , transmitida ao concreto ao longo deste comprimento, com a diferena

de foras da armadura na fissura e no PDN:

srs

s

ss

s

tbmsb ElF

===4

)(4

2

12

2

(3.39)

Mas 1s a tenso da armadura resultante da aplicao da fora 422

ss na

seo de rea ideal )1( sscA + , onde cA a rea da seo de concreto e

css A42

= a taxa geomtrica da armadura. Logo:

211

s

ss

ss

s

+= (3.40)

e

ss

s

ss

+

=1

212 (3.41)

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82

Fig. 3.10

Portanto:

)1(4

2

ssbm

ss

tl

+= (3.42)

Observe-se que, cf. a Fig. 3.9:

(1) para a dada fora F que causou a fissura na seo B de menor

resistncia,

(2) se na seo A, distantetl de B, existir a mesma resistncia da seo B,

ter-se-ia, somente a, no antes, formado tambm outra fissura, simultaneamente

com a primeira. Disso decorre que o menor espaamento das fissuras igual ao

prprio comprimento de transmisso tl . Por outro lado, para aumento subseqente

da fora F, a fissura mais prxima de B no poder distar desta seo mais do que o

dobro deste comprimento, pois do contrrio seria possvel transmitir ao concreto, por

tenses de aderncia, uma fora maior do que a de fissurao. Com mais rigor

pode-se dizer que a menor distncia das fissuras igual ao comprimento de

rmS rmS lt4

3=

tml tml

s

c

t32

l=

s2 sm

s1

sr2323sr

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83

transmisso calculado com %5,ctf , e a maior distncia igual ao dobro do

comprimento de transmisso calculado com %95,ctf .

Considerando-se concluda a formao de fissuras, existiro no

tirante fissuras com espaamentos variando aleatoriamente entretl e tl2 ,

desaparecem todos os trechos no Estdio I, e h diferena de deformaes dos dois

materiais em toda parte. O trmino da formao de fissuras pode ser admitido

quando a fora F for tal que corresponda tenso no concreto igual a %95,ctf , um

valor, portanto, 33,13,04,0%95, ==ctmct ff vezes maior que a fora )1( ssctmcfA + .

A teoria clssica da fissurao assume como espaamento mdiodas fissuras,

rms , a mdia aritmtica das distncias extremas entre fissuras, tl e tl2 ,

supondo a resistncia trao do concreto como uma grandeza determinstica. Este

valor do espaamento mdio s seria verdadeiro se o tirante fosse muito longo, pois

neste caso seriam iguais os nmeros de espaamentosrmrm ss e rmrm ss + dentro

daquele intervalo. De fato, comprova-se terica e experimentalmente que a distncia

mdia das fissuras %33 maior que o comprimento de transmisso tl . A disperso

da resistncia trao do concreto foi considerada por Kreller (1989) na

determinao do espaamento mdio das fissuras. Este espaamento, cf. Equao

(3.60), igual a tl31,1 , sendo o comprimento de transmisso tl (varivel com o

quantil tomado para a resistncia do concreto) calculado com o valor mdio da

resistncia trao do concreto,ctmf . Assim, pode-se pr:

)2(3

2

3

4ttrm lls == (3.43)

Mantido o valor mdio da tenso de aderncia, a fora de aderncia

reduz-se em 31 , conforme a reduo no comprimento de transmisso, agora igual a

322 trm ls = . Ver a Fig. 3.10. Logo, de acordo com a Equao (3.39), resulta:

srssbbm AEFF == 32

3

2

(3.44)

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84

Nesta equao sr , como j definido, o salto na deformao da armadura na

formao de fissuras isoladas, calculado comctmc f= , donde:

])1([112

12 ctmsss

s

ctm

ss

srsr

srsrsr ff

EE

+=

==

ou

ss

ctm

sr E

f

= (3.45)

Usando-se as equaes (3.41), (3.42) e (3.45) obtm-se:

bm

ctm

s

s

t

fl

4=

De (3.43) resulta a expresso do espaamento mdio das fissuras, aps a conclusoda fase de formao de fissuras:

bm

ctm

s

s

rm

fs

3

1= (3.46)

Pondoctmbm f25,2= ( %10 menor que o valor usual, ctmf5,2 , para considerar a

mencionada destruio da aderncia junto fissura), o espaamento mdio dasfissuras igual a:

s

s

rms

15,0= (3.47)

e esta expresso coincide com a deduzida por Kupfer et al. (1983). Entretanto, o

MC-90 utiliza no clculo da abertura caracterstica da fissura o quantil inferior daresistncia mdia de aderncia,

bk , 20% menor do que o valor de

bm e igual a

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85

ctmf8,1 para fissurao estabilizada. Disto resulta para o clculo da abertura mxima

da fissura:

s

s

rms

185,0= (3.48)

Todas estas equaes relacionadas com o tirante da Fig. 3.9 podem

ser usadas para outras peas, trocando-se a taxa geomtricas

pela taxa

geomtrica efetiva, sef , definida adiante.

O EC-2 d a seguinte equao semi-emprica do espaamento

mdio das fissuras:

sef

s

rms

10,050 += (3.49)

comrms e s em mm . Esta equao tem a vantagem de impor no clculo numrico

um limite inferior para este espaamento.

(a) (b)

Fig. 3.11: Comparao dos espaamentos mdios das fissuras, cf. o MC-90 e o EC-2.

0

50100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5 6 7

Taxa geomtri ca efeti va (%)

Epaamentomdiodasfissuras

(mm)

Equao (3.47), ds = 6,3 mm Equao (3.49), ds = 6,3 mm

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 1 2 3 4 5 6 7

Taxa geomtrica efetiva (%)

Esp

aamentomdiodas

fissuras(mm)

Equao (3.47), ds = 25 mm Equao (3.49), ds = 25 mm

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86

Mostra-se na Fig. 3.11 a comparao entre as equaes (3.49) e

(3.47), para dois valores extremos do dimetro: 3,6=s

e mm25 . visvel nestas

figuras que as diferenas entre os valores de rms destas duas equaes diminuem

com o aumento do dimetro da armadura, e so razoavelmente concordantes para

taxas sef mdias e altas, no caso de dimetros no muito baixos. Nos dois

exemplos dados adiante (Figs. 3.14 e 3.15) supe-se vlida a Equao (3.43) para o

espaamento mdio do EC-2.

Na fissurao estabilizada, a reduo da deformao no ao entre a

fissura e o ponto mdio entre fissuras , cf. Equao (3.44), igual a:

srsm =3

2 (3.50)

Com isto a deformao mdia do ao, igual deformao mdia do tirante, cf. a Fig.

3.10, passa a ser, com 6,0= :

)()(3

21221222 srsrtssrsrssmssm === (3.51)

onde 40,03

2==

t para cargas instantneas. Para cargas de longa durao ou

repetidas este valor alterado para 25,0=t

. Note-se que a relao 62,040,025,0 =

a mesma obtida no item anterior, comparando-se grandezas em zonas de boa e de

m aderncia.Na fissurao estabilizada, a fora mdia de aderncia transmitida

ao concreto entre a fissura e o ponto de deslizamento nulo tambm igual a:

2/rmbmsbm sF =

Considerando as equaes (3.44), (3.50), (3.51) e 6,0= resulta:

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s

rm

s

bm

sms

s

E

2,12 = (3.52)

com a tenso mdia de aderncia, em MPa, igual a:

32675,025,2ckctmbm ff == (3.53)

O fator 2,1 em (3.52) pode possivelmente ser explicado pelo fato de

a resistncia mdia trao do concreto estar em funo da resistncia

caracterstica ckf , ao invs do valor mdio cmf . Para efeito de comparao, no

mencionado modelo de Sigrist no aparece o fator 2,1 de (3.52), e tem-se, antes do

escoamento da armadura, a tenso mdia de aderncia dada em funo da

resistncia trao:

326,02cctbm ff == (3.54)

onde cf a resistncia do concreto na compresso uniaxial, observada no ensaio.

Nesse mesmo modelo a tenso de aderncia reduzida metade, i. e.,ctf , no

segmento da barra em escoamento.

Na determinao da mxima abertura da fissura em servio o MC-

90, item 7.4.3.1.1, trunca as duas fases mencionadas atravs da condio seguinte.

Se ocorrer

)1(2 sefsctmssef f +> (3.55)

tem-se fissurao estabilizada, do contrrio tem-se a fase de formao de fissuras.

Nesta desigualdade:

cef

s

sef

A

A= a taxa geomtrica efetiva do banzo tracionado.

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cefA a rea efetiva do banzo tracionado (Fig. 3.12).

Fig. 3.12: rea efetiva do banzo tracionado nas vigas e nas lajes.

A comprovao terica da Equao (3.43), onde se l que o

espaamento mdio das fissuras %33 maior que o comprimento de transmisso,

est dada no trabalho de Kreller, a partir do trabalho de Meier. Nela so necessrias

consideraes probabilsticas, como se mostra a seguir.

Sejam dois estados iniciais a partir dos quais determinada a

distncia mdia entre fissuras (Fig. 3.13):

(1) A distncia inicialrs entre fissuras est no intervalo )3,2( tt ll .

(2) A distncia inicialrs entre fissuras est no intervalo )4,3( tt ll .

Outros intervalos subseqentes reduzem-se a estes dois casos, cf. Kreller.

No primeiro caso, entre as duas fissuras j existentes s possvel

formar-se uma nica nova fissura, de modo que a distncia mdia entre elas :

tttrm llls 25,1)5,11(2

11, =+= (3.56)

No segundo caso, pode-se igualar a distncia entre as duas fissuras j existentes a

tlk )2( + , onde k uma varivel no intervalo )2,1( . Nos dois trechos extremos, de

L N

(a) Viga

h

x

d

hef = 2,5(h-d) h-x/3h

s

x

sc+ 0,5 efh h-x/3= 2,5(c + 0,5 )s

(b) Laje

L N

c = cobrimento

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89

Fig. 3.13: Determinao do espaamento mdio das fissuras, cf. Meier, apud Kreller (1989).

comprimento tl e adjacentes s duas fissuras j existentes, no possvel a

formao de novas fissuras. Se ocorrer uma nova fissura no trecho central (I), ento

no possvel formar outra fissura. Mas se uma fissura ocorrer num dos trechos (II),

possvel a ocorrncia de outra fissura. A distncia mdia entre fissuras deste

segundo caso decorre das probabilidades de ocorrncia de uma fissura nos trechos

(I) e (II), e esta distncia uma funo de k:

IIrmIIIrmIrm PsPss +=2, (3.57)

onde:

2)2(trmI lks += : distncia mdia das fissuras, se a nova fissura ocorrer na

zona (I).

kkPI )2( = : probabilidade de ocorrer uma nova fissura s na zona (I).

3)2( trmII lks += : distncia mdia das fissuras, para duas novas fissuras

ocorrendo nas zonas (II).

F F

(I)(II) (II)

tl tltl

tl

k lt

(k+2)lt

(k-1)l t t(k-1)l

t(2-k)lc

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90

kkPII )1(2 = : probabilidade de ocorrncia de duas novas fissuras nas

zonas (II).

Logo, a Equao (3.57) passa a ser:

k

kklks t

rm

)44(

6)(

2

2,

++= (3.58)

Variando-se kentre 1 e 2 obtm-se a distncia mdia atravs da seguinte integral:

dkk

kl

s t

rm )1

4(6

)12(

2

1

2, ++=

ou

trm ls 38,12, = (3.59)

Admitindo-se igual probabilidade de ocorrncia em ambos os casos, a distncia

mdia final ser:

tt

rmrm

rm llss

s 31,12

38,125,1

2

2,1, =+

=+

= (3.60)

sendo tr ls =min e tr ls 2max= .Esta a deduo de Meier, descrita no trabalho de Kreller. Seu

resultado praticamente coincide com o dado no item 3.2.2 do MC-90,trm ls 33,1= , que

por sua vez decorre de resultados experimentais. Nesta demonstrao no foi

considerada a disperso da resistncia trao do concreto. Kreller considera isto,

atravs do conceito de grau de formao de fissuras, associado resistncia

trao qctf , correspondente ao quantil q , com %95%5 q , e mostra que a

Equao (3.60) vlida no fim da fase de formao de fissuras, com o comprimento

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91

de transmisso tl calculado com a resistncia ctmf , i. e., %50=q . E isto o que foi

considerado antes, na deduo de (3.46) e nos dois exemplos do item 3.2.

Com esta deduo pode-se levar em conta a influncia dos estribos

no espaamento mdio das fissuras. Para isto, Kreller faz as seguintes hipteses:

(1) O estribo considerado como uma coao na formao de fissuras, e

no se leva em considerao a reduo da rea de concreto decorrente

da presena do estribo na seo transversal.

(2) Num trecho do elemento estrutural de igual probabilidade para a posio

das primeiras fissuras, estas ocorrem sempre em um estribo.

(3) Toma-se como base o comprimento de transmisso correspondente

resistncia ctmf , e isto quer dizer fissurao estabilizada.

Os seguintes casos podem ocorrer (indica-se porestrs o

espaamento dos estribos, e por estrrms , o espaamento mdio das fissuras

considerada a influncia dos estribos):

Caso I: O espaamento dos estribos inferior ao comprimento de

transmisso, i. e., testr ls < .

Na concluso da formao de fissuras, a distncia mdia entre

fissuras :

]1)([, +=estr

t

estrestrrms

lINTss (3.61)

onde )(estrt slINT a parte inteira da frao estrt sl . Seu valor mnimo igual a 1, e

tem-se, ento, uma fissura a cada dois estribos. Se este inteiro for igual a 2 tem-se

uma fissura a cada trs estribos, e assim por diante.

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Caso II: O espaamento dos estribos inferior ao dobro do

comprimento de transmisso, i. e.,testrt lsl 2

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93

t

t

estr

estr

estrrm

ll

s

ss

)2(6

2

,

= (3.65)

Os intervalos subseqentes, na afirmao de Kreller, no tm

significado prtico. Como uma tentativa de obter estrrms , por outro caminho, altera-se

a Equao (3.65) com base no seguinte:

(1) Na fase de fissurao estabilizada, com a distncia dos estribos superior

a trs vezes o comprimento de transmisso, existem j duas fissuras,uma em cada estribo, como nos segundo e terceiro casos.

(2) O nmero de espaamentos das fissuras que se formam entre as duas

coincidentes com os estribos , evidentemente, inteiro. Este fato no

est considerado pela Equao (3.65).

(3) O espaamento entre as fissuras no intervalo de dois estribos tanto pode

se aproximar detl quanto de tl2 , mas o mais provvel que este

espaamento esteja prximo do espaamento mdio rms que nocontm a influncia dos estribos. Supe-se, no que segue, que o nmero

de fissuras entre dois estribos quaisquer e sucessivos repita-se nos

demais intervalos entre estribos sucessivos.

Com base nestas consideraes prope-se, nos casos em que

testr ls 3 , escolher o espaamento mdio das fissuras como um submltiplo da

distncia entre estribos, de modo que seja mnimo o afastamento entre este

espaamento e o obtido sem a considerao da influncia dos estribos, i. e., comrms

de uma das Equaes (3.47) e (3.49). A Equao (3.65) tem como alternativa as

duas seguintes:

1)(,

+=

rm

estr

estr

estrrm

s

sINT

ss ou

)(,

rm

estr

estr

estrrm

s

sINT

ss = (3.66a) ou (3.66b)

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valendo o resultado mais prximo de rms . Na segunda equao, se estrs for um

mltiplo derms tem-se a igualdade rmestrrm ss =, . Do contrrio, a primeira equao leva

a valores de estrrms , abaixo de rms , e a segunda a valores de estrrms , acima de rms .

Deve-se lembrar que estrrms , no pode ser inferior a tl , nem superior a tl2 .

Mostra-se a seguir a comparao entre os resultados tericos aqui

descritos e os experimentais de Rizkalla, Hwang e El Shahawi, relatados no livro de

Collins e Mitchell (1987). Ver a Fig. 3.14. Estes experimentos evidenciam, em parte,

a influncia da armadura transversal sobre o espaamento das fissuras. Com os

dados da Fig. 3.14 tem-se:

Cobrimento: mmc 19=

Dimetro nominal das barras: mms 3,11=

rea da armadura longitudinal: 2800mmAs =

rea de concreto: 253490800305178 mmAc ==

Taxa geomtrica da armadura: %5,153490800 ==s

rea efetiva de concreto: 237591305)]23,1119(5,2[2 mmAcef =+=

Taxa geomtrica efetiva da armadura: %13,237591800 ==sef

Comparam-se, neste exemplo, somente os espaamentos mdios

terico e experimental das fissuras. No primeiro caso no h armadura transversal, e

de (3.49) e (3.43) obtm-se mmsrm 103= e mmlt 3,7710375,0 == . O espaamento

mdio observado experimentalmente igual a mm104 , %1 maior.No segundo caso a armadura transversal tem espaamento

mmsestr 216= , e sendo:

mmlmmsmml testrt 23232166,1542 =

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95

Fig. 3.14: Influncia da armadura transversal sobre o espaamento das fissuras, cf. Rizkalla, Hwang e

El Shahawi, apud Collins e Mitchell (1987).

No terceiro caso tem-se mmsestr 102= , e portanto:

mmlmmsmml testrt 6,15421023,77 =

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96

Fig. 3.15

Tabela 3.2: Espaamento mdio das fissuras com influncia dos estribos.

)(, mms estrrm

Espaamento mdio das fissuras cominfluncia dos estribos

(%)/ sefs )(mmlt

Equao(3.43)

)(mmsrmEquao

(3.49)mmsestr 100= mm200 mm300

10 / 1,77 80 106,5 100Eq. (3.62)

100Eq. (3.63)

100Eq. (3.66a)

10 / 3,2860,4 80,5

100Eq. (3.62)

66,7Eq. (3.66a)

75Eq. (3.66a)

16 / 2,3389 119

100Eq. (3.62)

100Eq. (3.63)

100Eq. (3.66a)

16 / 2,9278,6 105,8

100Eq. (3.62)

100Eq. (3.63)

100Eq. (3.66a)

Nesta tabela observa-se que os espaamentos mdios das fissuras

incluindo-se a influncia dos estribos, estrrms , , diferem pouco do espaamento mdio

das fissuras, rms , sem esta influncia, e h um nmero inteiro de espaamentos

entre os estribos. Se fosse aplicada a Equao (3.65) para 16=s

, %33,2=sef e

mmsestr 300= , resultaria mms estrrm 123, = , que no submltiplo de mm300 .

Concluda a determinao do espaamento mdio das fissuras,

pode-se definir o subelemento estrutural cujo comprimento exatamente igual a este

(a) (b) (c) (d)

45,3mm 34,3mm 48,8mm 54,8mm

= 510 = 400 mm2As 216 = 400 mm2 1010 = 800 mm2 416 = 800 mm2

Acef = 22650 mm2 17150 mm2 24400 mm2 27400 mm2

sef =1,77% 2,33% 3,28% 2,92%

c+ = 26,3mmte= 25mmv

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97

espaamento, e que servir de base para as anlises subseqentes, na fase de

fissurao estabilizada, com ou sem plastificao da armadura.

3.4 Lei Tenso da Armadura na Fissura Associada Sua

Deformao Mdia

No item anterior mostrou-se que, na fissurao estabilizada e

armadura com tenso na fissura inferior de escoamento, a diferena entre asdeformaes da armadura na fissura e mdia igual a uma constante, Equaes

(3.51) e (3.52). Conforme o MC-90, item 3.2.3, a deformabilidade global do banzo

tracionado pode ser descrita pelo valor mdio da deformao na armadura, com o

que fica considerado o seu enrijecimento na trao, proveniente da aderncia com o

concreto circundante. No que segue, descreve-se resumidamente a lei tenso da

armadura na fissura em funo da sua deformao mdia, )( sms , incluindo-se a

fase ps-escoamento do ao. Esta lei ser usada nos captulos seguintes, nadeterminao da rigidez flexo (captulo 4) e no clculo simplificado da capacidade

de rotao plstica (captulo 5).

Supe-se que a barra nua tenha uma lei constitutiva, )(ss

, bilinear

com encruamento. No Estdio I a deformao mdia do ao coincide com a sua

deformao na seo no fissurada. O fim desta fase anterior fissurao

estabelecido no MC-90 conforme a finalidade da anlise, decorrendo da diferentes

valores da resistncia trao do concreto, conforme o quantil considerado. Na

determinao de deslocamentos so sugeridos os valores mdio e caracterstico

inferior desta resistncia. No que segue usa-se (principalmente) o valor mdio ctmf ,

Equao (2.24). Definida a tenso no concreto com a qual se inicia a fissurao,

obtm-se a tenso correspondente no ao na (primeira) fissura, 1sr . A concluso da

fase de formao de fissuras d-se para um valor da tenso na armadura %33

superior a 1sr (no MC-90, 13,1 sr ), conforme mostrado antes. A fase de fissurao

estabilizada ocorre para tenses da armadura na fissura acima deste valor, e

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98

caracterizada por uma reta )( sms paralela do ao nu, pois o recuo na

deformao, igual diferena entre a deformao do ao na fissura e a

correspondente deformao mdia, ou seja, srtsms = , constante. O

coeficientet

igual a 4,0 para cargas de curta durao e 25,0 para cargas

repetidas ou de longa durao, como se viu. E o salto na deformao do ao, sr ,

na passagem do Estdio I para o II decorre de (3.45), usando-se para peas fletidas

sef no lugar de s .

A fase ps-escoamento representada pela seguinte equao,

decorrente do trabalho de Kreller (1989):

))(1( 21

sys

yk

sr

smysmf

+= se sussy 2 (3.67)

onde:

shykssys Ef )( 22 += a deformao da armadura na fissura. Ver a Fig.

2.25b.

smy a deformao mdia da armadura no incio do escoamento na fissura.

uma constante e decorre de (3.51) ou (3.52) com sys =2 .

8,0= um coeficiente vlido para aos de ductilidade tipo A do MC-90 e

MPafyk 500= . Admite-se, como aproximao, que este coeficiente seja o

mesmo para os aos nacionais CA-50 e CA-60.

1sr a tenso da armadura na fissura ao formar-se a primeira fissura. Esta

tenso funo do momento de fissurao e da fora normal atuante,

),(1 NMcrsr . Considera-se, neste texto, a fora normal aplicada primeiro e o

momento fletor crescente at atingir a fissurao do banzo tracionado.

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99

Observe-se nesta equao que a qualidade da aderncia,

representada pelo fatort

, s aparece em smy , e est, portanto, excluda na

diferena smysm . Isto ter influncia no clculo da rotao plstica (captulo 5).

O momento de fissurao que serve de base para a determinao

do salto na deformao entre os Estdios I e II tem aqui uma definio um pouco

diferente da usual, mas coerente com o modelo de tirante adotado para o banzo

tracionado. Este momento, considerada a fora normal j atuante, definido como

aquele necessrio para causar a deformao cictmctm Ef= na camada mais

alongada da armadura (primeira camada). Esta definio tem em vista evitar os

casos de flexo-compresso em que h fissurao(i. e., a borda tracionada atinge o

alongamento de ruptura do concreto), mas a armadura ainda est comprimida.

Deve-se, claro, aplic-la somente aos casos usuais de disposio da armadura

prxima borda da seo. Tenha-se em mente que:

(1) de um lado, no est considerado o aumento da resistncia trao na

flexo pela ao da fissura coesiva, e que no projeto estima-se a

resistncia mdia do concreto trao atravs da Equao (2.24), onde

se tem 3/2ckf , e no atravs da Equao (2.60), onde se tem

3/2

cmf ,

(2) e, de outro lado, o momento de fissurao, assim definido, ligeiramente

maior do que o convencional, e com isto tambm maior a tenso 1sr .

Assim, aps o escoamento o efeito do enrijecimento da armadura

ligeiramente maior, pois a deformao mdia da armadura decai.

No captulo 5, quando da determinao simplificada da capacidade

de rotao plstica em vigas, retoma-se a definio usual do momento de fissurao

(e ainda com %5,ctf , cf. o MC-90), para efeito de comparao com uma soluo mais

rigorosa e independente do momento de fissurao. Mas evidente que um

enrijecimento maior corresponde a uma melhor qualidade da aderncia, com o que

se tem menor deformabilidade (i. e., menor capacidade de rotao plstica, a favor

da segurana no projeto).

Resume-se na Fig. 3.16 a lei simplificada tenso da armadura na

fissura associada sua deformao mdia, tirada do MC-90, item 3.2.3, conforme

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explicado neste item. Deve-se notar que nesta figura s a tenso da armadura na

fissura, aqui indicada por 2s , e que srn a tenso da armadura na fissura no fim

da fase de formao de fissuras, igual a 133,1 sr .

Fig. 3.16: Lei tenso-deformao mdia da armadura do banzo tracionado (Indica-se tambm a leitenso-deformao da barra nua), cf. o MC-90, i tem 3.2.3.

A linha cheia entre 1sr e srn pode ser substituda pela linha

tracejada, quando se calculam os efeitos das deformaes impostas, conforme dito

no mesmo item do MC-90. Como estas esto sempre presentes, este segmento ser

substitudo, nos captulos seguintes, pela linha tracejada.

1

sy

Es

sm

fyk

s

1 Esh

tkf

susr

srt

s,

ssm

sr1srn

= F / A s s s= F / As