A3_FichaFormativa_MedidasLocalizaçãoCentral_10TT_2010_2011
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Pólo Paderne / Albufeira
MATEMÁTICA
A3 Estatística10º T.T. Prof. João P. Silva
MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO CENTRAL
Quando queremos investigar, o primeiro objectivo é descrever o fenómeno. Por isso, a primeira fase de tratamento dos
dados é a análise univariada, através da verificação das frequências e o cálculo das medidas de localização central e
de dispersão para cada variável isoladamente.
Geralmente, não se calculam mais que as seguintes medidas:
• as frequências absolutas (números absolutos de cada valor) e as frequências relativas (as proporções em
percentagens)
• a média e desvio-padrão
• a mediana, Quartis e desvio-quartil
• a moda.
MÉDIA
Exemplo: foram tomadas 8 medidas de um determinado comprimento com os resultados abaixo.
x (mm) 45,07 45,01 44,95 44,99 45,02 44,87 45,11 45,03
O cálculo da média é dado por .458
03,4511,4587,4402,4599,4401,4507,45~≈
++++++=x
Obs:
A média é, de longe, o parâmetro mais significativo e mais usado.
Se os dados estiverem agrupados em tabelas de frequência em que o dado xi tem a frequência absoluta fi , aplica-se a
fórmula
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Exemplo:
A tabela abaixo indica os tempos de duração de um lote de 150 ferramentas usadas por uma máquina. Estão divididas
em grupos de acordo com a duração média. Exemplo: 5 ferramentas duraram em média 55 horas, 7 ferramentas
duraram em média 65 horas e assim sucessivamente
x (h) 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 155
a 5 7 10 21 33 32 22 13 2 3 2f ri 0,03 0,05 0,07 0,14 0,22 0,21 0,15 0,09 0,01 0,02 0,01
Qual a duração, em média, do total de ferramentas?
3,99
1
1401,013509,012515,011521,010522,09514,08507,07505,06503,055~
≈
+×+×+×+×+×+×+×+×+×=x
A média pode ser calculada através das frequências absolutas ou das frequências relativas
Calcule a média através da frequência absoluta.
Exercicio:
Calcule a média para o número de vezes
que, durante o mês de Abril, a Adriana
ligou o computador.
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Exemplo:
O pai da Adriana irrita-se com ela pois diz que não pára de fazer “zapping ” enquanto está a ver televisão.Para mostrar ao pai que não é verdade, a Adriana registou o número de vezes que fez “zapping ” durante 31 dias do
mês passado e calculou a média.
<=> <=>
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MEDIANA (dados agrupados em classes)
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana.
Para tal, temos que começar por determinar a classe na qual se acha a mediana – classe mediana. Tal classe será,
evidentemente, aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a2
n.
Feito isto, um problema de interpolação (inserção de uma determinada quantidade de valores entre dois números
dados) resolve a questão, admitindo-se, agora, que os valores se distribuam uniformemente em todo o intervalo de
classe.
Assim, considerando a distribuição da Tabela, acrescida das frequências acumuladas
TABELA
iESTATURAS
(cm)f i F i
12345
6
150 ι 154154 ι 158158 ι 162162 ι 166166 ι 170
170 ι 174
491185
3
41324 ← classe mediana3237
40 n = 40
Temos: 202
40
2==
n
Como há 24 valores incluídos nas três primeiras classes da distribuição e como pretendemos determinar o valor que
ocupa o 20º lugar, a partir do início da série, vemos que este deve estar localizado na terceira classe (i =3), supondo
que as sequências dessas classes estejam uniformemente distribuídas.
Como há 11 elementos nessa classe e o intervalo de classe é igual a 4, devemos tomar, a partir do limite inferior, a
distância: 411
)1320(×
−
Então a mediana é dada por:Md=158+28/11≈160,5 cm.
Fases para o cálculo da média pelo processo breve:
1) Determinamos as frequências acumuladas.
2) Calculamos2
n.
3) Marcamos a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente superior à2
n− classe mediana − e, em
seguida, empregamos a fórmula:
Md = Limite inferior + [[n/2 - F(ant)] h*] / f*Na qual:
l* é o limite inferior da classe mediana;F* (ant) é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
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A3 Estatística10º T.T. Prof. João P. Silva f* é a frequência simples da classe mediana;
h* é a amplitude do intervalo da classe mediana.
Dado um histograma é fácil obter a posição da mediana, pois esta está na posição em que passando uma linha vertical
por esse ponto o histograma fica dividido em duas partes com áreas iguais.
Como medida de localização, a mediana é mais resistente do que a média, pois não é tão sensível aos dados.
Exercício.
Calcule a mediana para o seguinte conjunto de dados.
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MODA (para dados simples e agrupados)
Para um conjunto de dados, pode existir mais do que uma moda ou até nem existir.
• Se o conjunto de dados tiver uma única moda, esse conjunto diz-se unimodal.
• Se o conjunto de dados tiver duas modas, diz-se bimodal; no caso de ter mais do que duas modas, diz-se
multimodal.
• Se o conjunto de dados não tiver moda, diz-se amodal.
Na representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou aclasse modal
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