ACP_2014_15

M A D A L E N A R A M O S , H E L E N A C A R V A L H O , P A T R C I A V I L A I S C T E - I U L , 2 0 1 4 - 1 5

ANLISE EM COMPONENTES PRINCIPAIS(ACP)

Anlise de Dados em Cincias Sociais: Multivariada

A Anlise em Componentes Principais (ACP) um mtodomultivariado de anlise fatorial que permite identificarsubconjuntos de variveis que esto muito correlacionadasentre si e pouco associadas a variveis de outros subconjuntos.

Desta forma possibilita a partio das variveis de input emsubgrupos temticos distintos e permite:

A compreenso da estrutura das relaes entre as variveise a identificao das dimenses latentes;

A reduo da informao, atravs da constituio denovas variveis (desejavelmente em nmero bastanteinferior aos das variveis de input), correspondentes sdimenses temticas identificadas.

OBJETIVOS

2

REQUISITOS PARA A REALIZAO DA ACP

As variveis devem ser mtricas (ou admitir serem tratadascomo tal);

Dimenso da amostra adequada. Podemos encontrardiversas recomendaes na literatura que remetem para aexistncia de um nmero mnimo de observaes porreferncia ao nmero de variveis. Algumas referem quedevem existir pelo menos cinco vezes mais casos do que onmero de variveis;

Existncia de multicolinearidade (correlaes) entre asvariveis de input. A avaliao deste requisito pode ser feitaatravs da anlise da matriz de correlaes, da estatsticade Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) e do teste de Bartlett.

33

ESTATSTICA KMO (KAISER-MEYER-OLKIN)

A estatstica de KMO uma estatstica que nos d aadequabilidade da matriz de input. Alguns autores propem aseguinte grelha para a leitura do seu resultado:

KMO ACP

0,9 1 Muito boa

0,8 0,9 Boa

0,7 0,8 Mdia

0,6 0,7 Razovel

0,5 0,6 M

< 0,5 Inaceitvel

Quanto mais elevado o KMO mais correlao existe entre as

variveis de input, pelo que as componentes so maisconsistentes. Logo, tanto mais adequada a realizao da ACP.

Elizabeth Reis, Estatstica Multivariada Aplicada

44

TESTE DE ESFERICIDADE DE BARTLETT

Permite testar a hiptese da matriz de correlaes entre asvariveis ser uma matriz identidade (matriz que tem adiagonal principal igual unidade e os restantes elementosnulos), ou seja, no existir correlao entre nenhum par devariveis. Interessa rejeitar a hiptese nula.

H0: A matriz de correlaes uma matriz identidade

Ha: a matriz de correlaes no uma matriz identidade

Regra de deciso: p < 0,05, rejeita-se H0 e aceita-se Ha.

55

UMA APLICAO

Num estudo sobre o turismo algarvio pediu-se a uma amostra de turistas,

provenientes de diversos pases, que avaliassem as suas expectativas

relativamente a um conjunto de aspetos, utilizando para o efeito uma escala

de 5 pontos em que 1= Mau e 5 = Excelente.

6

P1. O que que espera do Algarve em termos de: Mau

Exc

ele

nte

1. Condies para descanso e relaxe 1 2 3 4 5

2. Clima 1 2 3 4 5

3. Paisagem Natural 1 2 3 4 5

4. Actividades Culturais (museus, galerias) 1 2 3 4 5

5. Atraces histricas 1 2 3 4 5

6. Tipicidade (lugares e pessoas) 1 2 3 4 5

7. Festivais e eventos especiais 1 2 3 4 5

8. Aprender novas coisas/enriquecimento pessoal 1 2 3 4 5

9. Ar puro 1 2 3 4 5

10. Entretenimento e animao nocturna 1 2 3 4 5

11. Recreao 1 2 3 4 5

12. Golfe 1 2 3 4 5

13. Outros desportos 1 2 3 4 5

14. Praias 1 2 3 4 5

15. Gastronomia 1 2 3 4 5

6

Pretende-se analisar a interdependncia entre esteconjunto de indicadores, de forma a identificar asdimenses que estruturam as expectativas dos turistas

relativamente ao Algarve e, posteriormente, reduzir ainformao atravs da construo de novas variveis

compsitas (em menor nmero que as iniciais).

Anlise em Componente Principais

JUSTIFICAO PARA A REALIZAO DA ACP

7

Vejam-se alguns resultados descritivos prvios:

Expectativas face ao turismo algarvio

8


9


10


1111

Matriz de correlaes input para a ACP

RESULTADOS DA ACP- SPSS

12

13

Nota: este nico quadro onde possvel apurar qual o nmero de observaes em

anlise. O SPSS tem selecionada partida a opo listwise para tratar as categoriasidentificadas como no respostas. Ou seja, exclui da anlise os casos que no

tiverem resposta em todas as variveis envolvidas na anlise.

Vejamos a adequabilidade dos dados para a realizao da ACP:

KMO = 0,863 , ou seja, uma boa adequabilidade.

Teste de Bartlett:

Como p < 0,001, rejeita-se H0 e aceita-se que a matriz de correlaes

no uma matriz identidade.

0,000.3508,378,2(105) p

14 14

Cada componente uma composio (ou combinao)linear de todas as variveis iniciais.

So calculadas tantas componentes quantas as variveisiniciais.

As componentes principais so calculadas por ordemdecrescente de importncia relativamente suacontribuio para a explicao da varincia total dosdados. Isto , a primeira componente a combinao linearque mais explica da varincia total dos dados originais, asegunda componente a que explica mais do que ficou porexplicar com a primeira e assim sucessivamente. A ltimacomponente a que menos contribui para a explicao davarincia total.

15

O QUE SO AS COMPONENTES PRINCIPAIS?

15

Quando aplicamos a ACP matriz de correlaes, ascomponentes principais vo ser calculadas a partir devariveis estandardizadas com mdia zero e varinciaunitria.

Assim, a varincia total dos dados vai ser igual ao nmerode variveis envolvidas na anlise multiplicado por um.

Varincia unitria

N de variveis

No nosso exemplo: VT = 15 1 = 15

VT = 15 1

16

VARINCIA TOTAL

16

Quadro com os valores prprios (eigenvalues) de cada uma das

componentes, percentagem da varincia total explicada por cada uma

delas e percentagem de varincia acumulada

17

TABELA DA VARINCIA TOTAL EXPLICADA

= 15

17

No caso em anlise, temos 15 combinaes lineares dasvariveis originais que explicam na totalidade a varincia dosdados, por ordem decrescente de importncia quanto aoseu contributo.

Sendo um dos objetivos da anlise sumariar a informao,pretende-se trabalhar no com as 15 componentes, mascom um nmero relativamente reduzido.

Assim, na fase da extrao so retidas apenas algumascomponentes, de acordo com o(s) critrio(s) escolhido(s)pelo investigador e que se consideram em nmero suficientee adequado para representar os dados iniciais.

EXTRAO DAS COMPONENTES

18

Quantas componentes extrair?

18

CRITRIOS DE EXTRAO DAS COMPONENTES

1. Critrio de Kaiser: extrao (ou seleo) das componentescom valor prprio superior unidade;

Valor Prprio (Eigenvalue): cada valor prprio quantifica aparte da varincia total que explicada por cada uma

das componentes. uma medida da importncia de cadauma das componentes.

2. Critrio da percentagem de varincia explicada: algunsautores falam em reter (ou extrair) as componentesnecessrias para explicar mais de 70% da varincia total,no entanto vulgar considerar-se satisfatria uma soluoque explique 60% da varincia total;

3. Critrio a priori: o investigador sabe partida quantascomponentes extrair.

19 19

4. Critrio do Scree Test (sugerido por Cattel): decisotomada a partir da representao grfica dos valoresprprios (Scree plot). Dever-se-o considerar ascomponentes at ao ponto em que a linha (curva) dogrfico tende a ficar paralela ao eixo horizontal;

20 20

= 15

= 7,973 = 7,973

=

Qual ser a melhor soluo?

21

Nota: A percentagem da varincia total explicada por cada componente (% Variance) obtm-se

dividindo o valor prprio da componente pela varincia total e multiplicando por 100. Veja-se para a

componente 1:4,940

15 100 = 32,93

Comunalidade inicial varincia de cada varivel original explicadapor todas as componentes principais.

Comunalidade extrada - varincia de cada varivel original

explicada pelas componentes principais que integram a soluo em

anlise.

As comunalidades baixas

indicam que as variveis esto

mal representadas na soluo

em anlise, isto , so mal

explicadas pelas componentes

extradas.

Consideram-se comunalidades

baixas valores inferiores a 0,5.

Quando as comunalidades so

muito baixas (prximas de zero)

pode-se considerar retirar as

variveis nessa situao.

22

= 7,973

Para a tomada de deciso, dever-se- tambm considerar o valor

das comunalidades.

= 15

22

Matriz das componentes (ou matriz dos loadings)

Loadings: pesos das variveis iniciais (estandardizadas) em cada componente, ou peso de

cada componente para cada varivel, ou correlao entre a varivel e acomponente. Alguns autores admitem como valor mnimo I0,3I ou I0,4I (Maroco,

2010; Field, 2009), todavia, muito frequente considerarem-se como mais

representativas as variveis que em cada componente apresentarem valoresiguais ou superiores a I0,5I. comum serem essas variveis as que so escolhidas

para definir e interpretar cada componente.

Matriz utilizada

para interpretar

as componentes

extradas

23

INTERPRETAO DAS COMPONENTES

23

Rotao das componentes

A fase da rotao (opcional) tem como objectivo facilitar ainterpretao das componentes principais.

Tem por objectivo maximizar a contribuio de uma varivelnuma nica componente e, por consequncia, minimizar

essa contribuio nas restantes.

Pode ser de dois tipos:

Ortogonal garante que as componentes principaisrodadas permanecem independentes entre si,ou seja, no correlacionadas.

Oblqua as componentes passam a estar correlacionadasentre si.

24 24

Rotao das componentes

CP2 CP2 aps a rotao

CP1

CP1 aps a rotao

Rotao ortogonal

Rotao oblqua

25 25

EXTRAO E ROTAO DAS COMPONENTES

Trs fases

= 15

= 7,973 = 7,973 = 7,973

=

26 26

MATRIZ DAS COMPONENTES COM ROTAO ORTOGONAL

Com a rotao obtm-se

uma estrutura mais simplificada, uma vez

que cada varivel tende

a ter um loading elevado numa nica

componente.

Atendendo ao contedo

temtico das variveis mais representativas em

cada componente,

pode ensaiar-se uma designao para as

componentes.

Por vezes ocorrem

situaes em que no possvel interpretar uma

dada componente,

podendo optar-se pela designao indefinida.

27

MATRIZ DAS COMPONENTES COM ROTAO OBLQUA

Quando se escolhe um mtodo de rotao oblquo, obtm-se

duas matrizes: a Pattern Matrix e a Structure Matrix.

28

28

Pattern Matrix Os loadings desta matriz representam a contribuionica de cada varivel para cada componente. a matriz que

interpretamos para definir as componentes.

Structure Matrix Os loadings representam a correlao simples entreas variveis e as componentes. Contm tambm as correlaes

entre as componentes. Por esse motivo a sua interpretao no

muito simples.

ainda apresentada

uma matriz com as

correlaes entre as

componentes aps

a rotao.

29 29

CLCULO DA COMUNALIDADE GASTRONOMIA

0,405(-0,095)(0,286)(0,561) 222

(antes da rotao)

30

CLCULO DA COMUNALIDADE GASTRONOMIA

0,405(0,230)(0,548)(0,228) 222

Nota: a rotao no altera as comunalidades.

(aps a rotao)

31 31

CLCULO DO VALOR PRPRIO COMPONENTE 1

4,940(0,548)(0,390)(0,473)(0,419)(0,470)(0,495)(0,498)

(0,536)(0,561)(0,626)(0,643)(0,671)(0,673)(0,717)(0,742)

2222222

22222222

(antes da rotao)

32

CLCULO DO VALOR PRPRIO COMPONENTE 1

Nota: a rotao altera os valores prprios.

33

(aps a rotao)

3,287(0,365)(0,378)(-0,001)(0,134)(0,228)(0,385)(0,079)

(0,171)(0,129)(0,008)(0,596)(0,625)(0,780)(0,819)(0,845)

2222222

22222222

33

(Nota: Nesta tabela omitiu-se a

informao relativa fase da extrao).

Matriz dos coeficientes para os scores fatoriais

CONSTITUIO DAS NOVAS VARIVEIS

A. Via clculo dos scores fatoriais

Aps a extrao das

componentes possvel calcular para cada

indivduo os seus scores

fatoriais, isto , os seus valores em cada

componente. Para isso

so necessrias as suas respostas s variveis

originais (estandardiza-

das) e os coeficientesque ponderam cada

uma dessas variveis.

34

-0,100*Z1+(,050)*Z2+0,079*Z3+0,302*Z4+0,312*Z5+0,201*Z6+0,292*Z7+

0,172*Z8+(-0,049)*Z9+ 0,078*Z10+0,044*Z11+(-0,128)*Z12+(-0,091)*Z13+

(-0,147)*Z14 +(-032)*Z15


A. Via clculo dos scores fatoriais

Para calcular o score fatorial

de um indivduo na

componente 1, por exemplo,

ter-se- de efetuar o seguinte

clculo:

35

Veja-se na base de dados o caso assinalado:

Substituindo na expresso anterior os valores de resposta aps estandardizao, o score fatorial

deste indivduo na componente 1 ser:

-0,100*0,860+(-0,050)*0,792+0,079*(-1,266)+0,302*(-2,256)+0,312*(-2,315)+0,201(-0,979)+0,292*(-2,000)+

+0,172*(-2,628)+(-0,049)*(-0,332)+0,078*0,311+0,044*(-0,747)+(-0,128)*0,099+(-0,091)*0,357+

+(-0,147)*(-0,644)+(-0,032)*(-0,237 = -2,79087

H analistas que optam por, em vez de guardar os scores factoriais,

criar novas variveis (summated scales) atravs do clculo da mdia

das variveis que mais pesam em cada uma das componentes

(aquelas que tm os loadings mais elevados). Ao fazer isto, para as

novas variveis contribuem apenas as variveis que mais se destacam

nas componentes, ao invs do que acontece quando se trabalha

com os scores fatoriais, onde as novas variveis tm o contributo de

todas as iniciais. conveniente calcular uma medida de consistncia

interna (alpha de Cronbach).

Tendencialmente, as concluses so iguais, dado que o clculo das

novas variveis atravs da mdia feito com as variveis mais

importantes em cada componente. Logo, as que ficam de fora so

aquelas que se correlacionam de forma menos importante com a

componente e que menos contribuem para a sua definio.

B. Via Summated Scales (ndices)

37 37


38

Para o exemplo em anlise, as componentes seriam, ento,

construdas atravs da mdia das respostas dadas s variveis

assinaladas:

38

ALPHAS DE CRONBACH

Componente 1:

Componente 2:

Componente 3:

39

Dados os valores dos alfas poder-se-

considerar a hiptese de construir asnovas variveis compsitas

(representativas das componentes)

atravs da mdia das respostas dadasnas variveis mais importantes em

cada componente.

39

Componente 1:

40

Comparao: scores fatoriais e ndices

40

Componente 2:

41


41

Componente 3:

42


42

43


43

APRESENTAO DE RESULTADOS

A apresentao dos resultados da ACP deve incluir:

Apresentao e anlise descritiva das variveis originais (o que foimedido, como foi medido, como foram as respostas obtidas);

Referncia adequabilidade da ACP (KMO ou teste de Bartlett)(Pode ser feito em nota de rodap);

Quadro sntese onde constam as componentes retidas (com arespetiva designao), a percentagem de varincia explicadapor cada uma delas e as contribuies de cada varivel paracada componente (loadings) (ver slide seguinte);

A interpretao de cada componente retida;

Sugere-se ainda a comparao das componentes, tentandoperceber a sua importncia relativa para os indivduos (porexemplo atravs das mdias, quando tal for possvel) bem como

a realizao de cruzamentos com outras variveis que pareampertinentes (sexo, habilitaes, idade,), no sentido de apurar aexistncia de eventuais diferenas de posicionamento.

4444

Componentes das expectativas acerca do turismo algarvio

(Via Anlise de Componentes Principais, com rotao Varimax)

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Aspectos

Componentes

Histrico-Cultural

Natureza Desporto e Entretenimento

Atraces histricas 0,845 0,182 0,083

Actividades Culturais (museus, galerias) 0,819 0,122 ,0143

Festivais e eventos especiais 0,780 0,063 ,0181

Tipicidade (lugares e pessoas) 0,625 0,290 ,0084

Aprender novas coisas/enriquecimento pessoal 0,596 0,252 ,0245

Praias 0,008 0,677 ,0231

Clima 0,129 0,646 -0,053

Ar puro 0,171 0,636 0,070

Condies para descanso e relaxe 0,079 0,603 0,199

Paisagem Natural 0,385 0,556 -0,093

Gastronomia 0,228 0,548 0,230

Outros desportos 0,134 0,185 0,802

Golfe -0,001 0,077 0,795

Recreao 0,378 0,155 0,616

Entretenimento e animao nocturna 0,365 0,049 0,469

Percentagem varincia explicada 21,9% 16,8% 14,4%

45

ANLISE DE RESULTADOS: ALGUNS EXEMPLOS

Expectativas acerca do turismo algarvio

Qual a componente relativamente qual as expectativas so mais

elevadas?

46 46

Tero os turistas masculinos e femininos diferentes expectativas

face ao turismo algarvio?

Para responder a esta questo podero ser feitos testes t para a

igualdade de mdias. Veja-se o output:

47 47


A anlise do resultado dos testes permite concluir que as turistas tm

expectativas significativamente mais elevadas do que os homens

relativamente componente Histrico-Cultural (t(1101)=-2,113, p=0,035) e da

Natureza (t(1408)=-1,254, p=0,000).

48 48


Expectativas acerca do turismo algarvio segundo o pas de residncia

49

Tero os turistas de diferentes pases expectativas distintas face ao

turismo algarvio?

49


Anlise de Varincia

50


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Anlise de Varincia (post-hoc)


Veja-se o exemplo com a extrao de 4 componentes

52

55

Interpretao:

ACP_2014_15

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