Adm. Mat. Financeira

Matemtica Matemtica Financeira Comercial

1. O montante de uma aplicao diretamente proporcional ao capital investido. Trs investidores aplicaram, respectivamente, capitais de R$2.000,00, R$3.000,00 e R$4.000,00. Se o montante total recebido pelos trs foi de R$10.800,00, quanto desse montante cabe a cada um deles?

Valria Lanna

(31) 9149 1462 2400, 3.600 e 48002

2. Os juros de uma aplicao devem ser diretamente proporcionais ao capital investido e taxa de juros da aplicao. Trs investidores aplicaram, durante o mesmo perodo, seus capitais de R$200,00, R$300,00 e R$500,00 a taxas de juros mensais de 4%, 3% e 2%, respectivamente. Sabendo que o total dos juros das trs aplicaes foi de R$270,00, determinar que parte desse total cabe a cada investidor.Valria Lanna (31) 9149 1462

80, 90 e 100.

3

03. Dois scios, A e B, abriram uma empresa com os capitais de R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00, respectivamente. Quando a sociedade completou o seu quinto ms de existncia, A investiu mais R$ 1.000,00 na empresa. Dois meses depois desta data, B aumentou a sua participao para R$ 6.000,00. Ao fim de um ano de atividades, verificou-se um lucro de R$ 2.400,00. Que parte deste lucro coube ao scio A?Valria Lanna (31) 9149 1462

R. 1100

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JUROS SIMPLES

Valria Lanna

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DEFINIO Juro: a remunerao recebida ou ganha em uma aplicao financeira; Capital: qualquer valor expresso em unidade monetria e disponvel para uma aplicao financeira; Prazo: o tempo da operao financeira da aplicao; Taxa de juro: o coeficiente que representa o juro utilizado. JUROS SIMPLES

J Cit

Observaes: - a taxa (i) e o tempo (t) devem estar na mesma unidade; - a taxa (i) deve ser expressa em forma unitriaValria Lanna (31) 9149 1462 6

Exemplo: Calcular o juro simples gerado por um capital de R$27.000,00, aplicado por 8 meses taxa de 6% a.m. SOLUO:

J ? C 27 .000 i 6% a.m. 6 100 0,06 a.m.

t 8m J Cit J 27000 0,06 8 12 .960,00Resposta: R$12.960,00Valria Lanna (31) 9149 1462 7

CASOS PARTICULARES: CAPITAL, TAXAS E PRAZO MDIOS

Em alguns casos podemos ter situaes em que diversos capitas so aplicados, em pocas diferentes, a uma mesma taxa de juros, desejando-se determinar os rendimentos produzidos ao fim de um certo perodo. Em outras situaes, podemos ter o mesmo capital aplicado a diferentes taxas de juros, ou ainda, diversos capitais aplicados a diversas taxas por perodos distintos de tempo.Capital Mdio. Capital mdio o mesmo valor de diversos capitais aplicados a taxas diferentes por prazos diferentes que produzem a mesma quantia de juros.

C1i1 n1+ C 2 i 2 n 2 +...+C n i n n n C m= i1 n1+ i1 n1+...+i n n n

Valria Lanna

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Ex.: Pedro efetuou diversas aplicaes financeiras: R$ 5.000,00 taxa de 4% a.m. durante 8 meses, R$ 3000,00 taxa de 5% a.b. durante 6 meses e R$ 10.000,00 taxa de 5% a.m. durante 7 meses. Miguel pretende fazer as mesmas aplicaes, porm o valor do capital aplicado deve ser o mesmo nas 3 transaes. Qual deve ser o capital aplicado por Miguel para obter o mesmo rendimento que Pedro? Soluo: C1 = 5,000 C2 = 3,000 C3 = 10,000

I1 = 4% a.m. ni = 8 meses

i2 = 5% a.b. = 2,5% a.m. n2 = 6 meses

i3 = 5% a.m. n3 = 7 meses

Cm

5.000 . 0,04 . 8 3.000 . 0,025 . 6 10 .000 . 0,05 . 7 0,04 . 8 0,025 . 6 0,05 . 7

1.600 450 3.500 Cm= 0,32 0,15 035

5.550 0,82

6.768,29

Miguel deve aplicar aproximadamente R$ 6.768,00 em cada uma aplicaes.

Valria Lanna

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Taxa Mdia. A taxa mdia a taxa qual a soma de diversos capitais deve ser aplicada, durante um certo perodo de tempo, para produzir juros iguais soma dos juros que seriam produzidos por diversos capitais. No caso dos capitais serem aplicados a diferentes taxas anuais , mas pelo mesmo perodo de tempo, o clculo da taxa mdia obtido pela mdia ponderada (os capitais como peso), ou seja:

C1i1 C 2i 2 ... Cnin Taxa mdia = C1 C 2 ... Cn

Valria Lanna

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Exemplo: Uma empresa fez duas aplicaes: R$ 20.000,00 a 10% a.a. e outra R$15.000,00 20% a.a. ambas durante o mesmo perodo de 1 ano. Determine a taxa mdia de juros anual que teremos destas aplicaes. Soluo:

im

20.000 .0,10 15.000 .0,20 20.000 15.000

2.000 3.000 35.000

0,14

A taxa mdia de aproximadamente 14% a.a. OBS: No caso de prazos diferentes basta incluir o perodo no clculo:

im

C1i1n1 C 2i 2n 2 C1n1 C 2n 2Valria Lanna

... Cninnn ... Cnnn11

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Prazo Mdio. Prazo mdio o perodo de tempo em que a soma de diversos capitais deve ser aplicada, a uma certa taxa de juros, para produzir juros iguais aos que seriam obtidos pelos diversos capitais. Usando o mesmo critrio usado para taxa mdia, teremos:

Prazo mdio

C1n1 C2n2 ... Cnnn C1 C2 ... Cn

Exemplo: Joo Paulo deseja aplicar uma mesma taxa de 10%, nas seguintes condies: R$ 2.000,00 por 45 dias, R$ 1.800,00 por 60 dias e R$ 1.200,00 por 30 dias. Em quanto tempo tais aplicaes devem ser retiradas de uma s vez, sem perdas. OBS.: Se as taxas forem diferentes s inclu-las:Valria Lanna (31) 9149 1462 12

Prazo Mdio PM PM

2.000 . 45 1.800 . 60 1.200 . 30 Prazomdio 2.000 1.800 1.200 2.000x108.000x60 1.200x302.000 1.800 1.200 90.000 108.000 36.000 5.000 234.000 46,8 dias 5.000

Prazo mdio

C1i1n1 C 2 i 2 n 2 ... C n in n n C1i1 C 2 i 2 ... C n in

Valria Lanna

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13

04.(AFRF 2003 )Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$ 4.000,00 e R$ 3.000,00 so aplicados a juros simples durante o mesmo prazo s taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa mdia mensal de aplicao destes capitais.

a) 2,9% b) 3% c) 3,138% d) 3,25% e) 3,5%

Resp.:eValria Lanna (31) 9149 1462 14

05. Durante quanto tempo se deve emprestar certa quantia, a juros simples, para que a 12% a.a. ela triplique? a) 15 anos b) 17 anos c) 16 anos d) 16 anos e 8 meses e) 18 anos

DValria Lanna (31) 9149 1462 15

06. Calcule o capital que se deve emprestar taxa de 6% a.m., a juros simples, para se obter R$6.000,00 de juros em 4 meses. a) R$10.000,00 b) R$25.000,00 c) R$100.000,00 d) R$180.000,00 e) R$250.000,00

BValria Lanna (31) 9149 1462 16

07. Joo pagou 40% da dvida que tinha junto a um banco. Mais tarde, quitou o saldo pagando sobre o seu valor 15% de juros simples. Sabendo-se que o valor dos juros foi de R$27,00, o valor da dvida original era de R$? a) 520,00 b) 480,00 c) 400,00 d) 350,00 e) 300,00

EValria Lanna (31) 9149 1462 17

08. Um capital de R$100.000,00, aplicado taxa de juros simples de 20% ao trimestre, ao longo de 15 meses, rende um total de juros de: a) R$30.000,00 b) R$80.000,00 c) R$100.000,00 d) R$150.000,00 e) R$180.000,00

CValria Lanna (31) 9149 1462 18

09. Joo aplicou certa importncia a uma taxa de 24% a.a. por 10 meses. Findo o prazo, reaplicou o montante por mais 5 meses, taxa de 30% a.a. Sabendo-se que ambas as aplicaes renderam juros no total de R$3.710,00 e que o regime de capitalizao o de juros simples comerciais, o capital inicial da aplicao original era de R$? a) R$10.000,00 b) R$10.600,00 c) R$10.700,00 d) R$10.800,00 e) R$11.000,00

BValria Lanna (31) 9149 1462 19

10.(Fiscal- MS/2000) Um banco oferece a seus clientes um tipo de aplicao financeira com as seguintes caractersticas: Prazo: 4 meses; Remunerao: juros simples a taxa de 1,5% ao ms; Imposto de renda: 20% do juro, pago no final da aplicao. Um cliente pagou R$ 36,00 de imposto de renda. Seu montante liquido (montante menos o imposto de renda) foi: a) R$ 3.168,00 b) R$ 3.156,00 c) R$ 3.144,00 d) R$ 3.132,00

Valria Lanna

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C

20

11. (AFRF/2002) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 so aplicados a taxa de 4% ao ms, juros simples, durante dois, trs, quatro e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo mdio de aplicao destes capitais. a) quatro meses. b) quatro meses e cinco dias. c) trs meses e vinte e dois dias. d) dois meses e vinte dias. e) oito meses.

AValria Lanna (31) 9149 1462 21

12.(AFRF/2000) Os capitais de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxa de juros simples de 6% ao ms. 4% ao ms e 3,25% ao ms, respectivamente. Calcule a taxa media de aplicao desses capitais. a)4,83% ao ms b) 3,206% ao ms c) 4,4167% ao ms d) 4% ao ms

e) 4,859% ao msDValria Lanna (31) 9149 1462 22

13. (AFRF/2002-2sem.) Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 so aplicados, respectivamente, as taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao ms, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa media proporcional anual de aplicao destes capitais. a)4% b)b) 8% c)c) 12% d)d) 24% e)e) 48%EValria Lanna (31) 9149 1462 23

14. (AFRF/2002-2 sem.) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 dever ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O no pagamento no vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo ms, considerando que no ha. nenhum feriado bancrio no perodo. a) R$ 2.080,00 d) R$ 2.096,00 b) R$ 2.084,00 e) R$ 2.100,00 c) R$ 2.088,00AValria Lanna (31) 9149 1462 24

15. (Audit. Fisc. Tribut. Jr.) Certa pessoa aplicou seu capital a juros simples. Ao final de 5 meses, sacou seu capital e juros no montante de R$ 6.075,00 (seis mil e setenta e cinco reais). Calcular o capital aplicado, sabendo-se que a taxa foi de 3% (trs por cento) ao ano. a) R$ 6.000,00 d) R$ 5.000,00 b) R$ 6.050,00 e) R$ 5.800,00 c) R$ 5.500,00

AValria Lanna (31) 9149 1462 25

16. (ESAF)Uma duplicata de R$570,00 vencida em 04/03, somente foi paga em 20/06.Admitindo-se que o banco cobre juros simples de 24%a.a., o montante desembolsado pelo devedor foi de R$: a) 591,06 b) 595,95 c) 601,82 d) 607,57 e) 611,04Valria Lanna (31) 9149 1462

E26

17. (ESAF)Aplicar um capital taxa de juros simples de 5% ao ms, por 10 meses, equivalente a investir o mesmo capital, por 15 meses, taxa de:a)7,5% ao ms b) 3,33% ao ms c) 3,0% ao ms d) 12% ao ano

BValria Lanna (31) 9149 1462 27

Taxas proporcionais. Quando a taxa for anual, capitalizada em perodos menores, o clculo de ( 1 + i ) feito com a taxa proporcional: 20% a.a., capitalizados trimestralmente, a taxa proporcional 5% a.t. 24% a.a. capitalizados mensalmente, a taxa proporcional 2% a.m.Valria Lanna (31) 9149 1462 29

Exemplo: O montante do capital equivalente a R$1.000,00 no fim de 2 anos, com juros de 16% a.a., capitalizados trimestralmente : P = 1.000 n = 2 anos = 8 trimestres i = 16% a.a. = 4% a.t. = 0,04 a.t. S = P ( 1 + i )n S = 1.000 ( 1 + 0,04 )8 (ver tabela de 4%) S = 1.000 . 1,36857 S= 1368,57.Valria Lanna (31) 9149 1462 30

Valria Lanna

(31) 9149 1462

31

Taxa Equivalentes Duas taxas so equivalentes quando, referindo-se a perodo de tempos diferentes, fazem com que o capital produza o mesmo montante, num mesmo intervalo de tempo. Dada uma taxa i menor, obter a taxa maior ie: ie = ( 1 + i )n - 1Valria Lanna (31) 9149 1462 32

01) Qual a taxa anual equivalente a 10% a.m.? ie = (1+ 0,01)12 -1 ie = 3,138428 - 1 ie = 2,138428 ou 213,8428% a.a. 02) Qual a taxa mensal equivalente a 426% a.a ?12 e

i

(1 0,426) 1 (podemosresolver usandologaritmo)

ie = 1,03 -1 ie = 0,03 3% a.m.Valria Lanna (31) 9149 1462 33

Taxa Nominal e Efetiva A taxa nominal a taxa constante de contrato de uma operao financeira. Geralmente ela no coincide com o perodo de capitalizao. Exemplo: 24% a.a., capitalizados semestralmente.

Valria Lanna

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34

A taxa efetiva a taxa realmente praticada na operao financeira em questo, ou seja, a taxa de juros que coincide com o perodo de capitalizao. Exemplo: 24% a.a., capitalizados semestralmente, os juros efetivos da capitalizao sero outros, pois a cada 6 meses o juro produzido ser incorporado ao principal.Valria Lanna (31) 9149 1462 35

i = taxa nominal if = taxa efetiva k = nmero de capitalizaes para um perodo da taxa nominal ik = a taxa no perodo de capitalizao ( ik = i/k ) como if equivalente a ik, teremos:

i

i

f

Valria Lanna

i k (1 ) k(31) 9149 1462

36

EXEMPLO: Sob taxa nominal de 15% a.a. capitalizada semestralmente, calcule a taxa efetiva. i = 15% a.a. ik = = 0,075 1 + if = ( 1 + 0,075)2 if = 1,155625 -1 if = 0,155625 if = 15,56% a.a. de taxa efetiva.Valria Lanna (31) 9149 1462 37

Taxa Real Num contexto inflacionrio, devemos considerar os efeitos da inflao sobre as operaes financeiras, desta forma a taxa nominal ser composta de uma parte de juros reais e outra devida a inflao. Considerando taxa eletiva igual taxa nominal: ( 1 + i ) = ( 1 + r )( 1 + j ), onde: i a taxa nominal, j a taxa de inflao e 38 r a taxa real. Valria Lanna (31) 9149 1462

Taxa Aparente a taxa que se obtm numa operao financeira sem se considerar os efeitos da inflao. (1 + iA) = ( 1 + j ) ( 1 + r )Exemplo: Calcular a taxa aparente anual que deve cobrar uma financeira para que ganhe 8%a.a. de juros reais numa inflao de 5%a.a. 1 + iA = ( 1 + 0,08 ) ( 1 + 0,05 ) iA = 1,134 - 1 Valria Lanna (31) 39 iA = 1,134 ou 13,4% a.a. 9149 1462

TAXA OVER Algumas operaes no mercado financeiro pagam juros somente para os dias teis do perodo da operao. Denominamos taxa over a taxa nominal igual a 30 vezes a taxa efetiva diria de uma operao financeira cuja remunerao ocorra somente para os dias teis do perodo da operao, sendo comum indic-la somente como um percentual. Assim diramos taxa over de 5% e no taxa over de 5% a.m.Valria Lanna (31) 9149 1462 40

EXEMPLOS: 1. Calcular a taxa efetiva diria correspondente taxa over de 6%. Soluo: Como a taxa over igual a trinta vezes a taxa diria efetiva, temos: 30 x i = 6% i = 6% 30 i = 0,2% Assim a taxa efetiva de 0,2% a cada dia til.Valria Lanna (31) 9149 1462 41

2. Uma operao financeira com prazo de 31 dias corridos tem uma taxa over de 15%. Qual a taxa efetiva desta operao se, neste perodo, houver apenas 22 dias teis? Soluo: A taxa efetiva diria : 15% 30 = 0,5%

Valria Lanna

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42

A taxa efetiva correspondente taxa over considera apenas os dias teis. Desta forma, a taxa efetiva da operao ser a taxa de 22 dias equivalente taxa diria encontrada. Chamando de i a taxa efetiva da operao temos: (1 + i ) = (1 + 0,005)22 (1 + i ) = 1,11597 i = 0,11597 = 11,597% Ou seja, a taxa efetiva da operao de 11,597%.Valria Lanna (31) 9149 1462 43

Valria Lanna

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44

TAXA REAL E APARENTETaxa real: a taxa efetiva depois de eliminados os efeitos de inflao

Taxa aparente: a taxa em que no foram eliminados os efeitos da inflao.Valria Lanna (31) 9149 1462 45

Podemos represent-las assim:TAXA APARENTE

TAXA REAL

TAXA de INFLAO

Valria Lanna

(31) 9149 1462

46

Ou seja:

1 i

1 j 1 r

Onde i = taxa aparente r = taxa real j = taxa de inflaoValria Lanna (31) 9149 1462 47

Exemplo: ao aplicarmos um capital com uma taxa de 7% a.m. e sabendo-se que a inflao foi de 4%, no mesmo perodo, qual ser o ganho real (taxa)?

Valria Lanna

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48

SOLUO:1 i 1 j 1 r 1 0,07 1 0,04 1 r 1,07 1,04 1 r 1,07 1 r 1,0288 1,04 r 1,0288 1 r 0,0288 2,88 %(31) 9149 1462 49

Valria Lanna

HORA DE EXERCCIOS 18.(Cespe TCDF/95) A renda nacional de um pas aumentou 110% em um ano, em termos nominais. Neste mesmo perodo, a taxa de inflao foi de 100%. O crescimento da renda real foi ento de: a) 5% b) 10% c) 15% d) 105% e) 110% Letra AValria Lanna (31) 9149 1462 50

HORA DE EXERCCIOS 19.(Cespe INSS) Dois investimentos, I e II, de mesmo valor, so feitos em bancos distintos, pelo prazo de dois meses, com capitalizao mensal. A taxa nominal de I 36% a.a., e a taxa efetiva de II 6% ao bimestre. A taxa de inflao no primeiro ms foi 2% e, no segundo, 3%. Com base nessas informaes, julgue os seguintes itens:Valria Lanna (31) 9149 1462 51

HORA DE EXERCCIOS( ). A taxa de inflao no perodo considerado foi de 5%. ( ). A taxa aparente investimento 1, ao final perodo, de 6%. do do

E

EValria Lanna (31) 9149 1462 52

HORA DE EXERCCIOS

( ). No perodo considerado, a taxa real auferida no investimento II menor que 1%.

CValria Lanna (31) 9149 1462 53

HORA DE EXERCCIOS

( ). No perodo considerado, a taxa real auferida no investimento I maior que a taxa real auferida no investimento II.

CValria Lanna (31) 9149 1462 54

HORA DE EXERCCIOS

( ). A taxa mensal equivalente taxa efetiva do investimento II, em porcentagem, igual a

100Valria Lanna (31) 9149 1462

1,06 1C55

HORA DE EXERCCIOS20. (Cespe BB/99) O valor de um aluguel era de R$400,00, no dia 1 de julho de 1999 e foi reajustado para R$410,00 no dia 1 de agosto de 1999. Considerando que a inflao registrada no ms de julho foi de 1%,Valria Lanna (31) 9149 1462 56

HORA DE EXERCCIOS correto afirmar que a taxa real de juros utilizada no reajuste do valor desse aluguel foi de: a) inferior a 1,5% b) igual a 1,5% c) superior a 1,5% e inferior a 2% d) igual a 2% e) superior a 2% AValria Lanna (31) 9149 1462 57

HORA DE EXERCCIOS 21. (AFTN/96) Voc possui uma duplicata cujo valor de face $ 150,00. Essa duplicata vence em 3 meses. O banco com o qual voc normalmente opera,Valria Lanna (31) 9149 1462 58

HORA DE EXERCCIOSalm da taxa de desconto mensal (simples por fora), tambm far uma reteno de 15% do valor face da duplicata a ttulo de saldo mdio, Permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data do desconto at a data do vencimento da duplicata. Caso voc desconte a duplicata no banco voc receber lquidos, hoje, $ 105,00.Valria Lanna (31) 9149 1462 59

HORA DE EXERCCIOSA taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco a) 5,0% b) 5,2% c) 4,6% d) 4,8% e) 5,4% AValria Lanna (31) 9149 1462 60

HORA DE EXERCCIOS 22. (CVM) Determinado ttulo descontado 6 meses antes do seu vencimento taxa de desconto comercial simples de 6% ao ms. A taxa efetiva semestral correspondente a esta operao de :a)24% d) 42,50% b) 32%Valria Lanna

c) 36% E61

e) 56,25%

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Dois capitais so equivalentes em uma determinada data quando tm o mesmo valor se comparados nessa data.

Valria Lanna

(31) 9149 1462

62

23.(AFRF) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital R$ 4.000,00 que venceu h vinte dias,

Valria Lanna

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63

taxa de juros simples de 0,1% ao dia. a) R$ 10.940,00 b) R$ 11.080,00 c) R$ 12.080,00 d) R$ 12.640,00 e) R$ 12.820,00

CValria Lanna (31) 9149 1462 64

24.(AFC-ESAF) Determinar a taxa mensal para que sejam equivalentes hoje os capitais de $ 1.000,00 vencvel em dois meses e $ 1.500,00 vencvel em trs meses, considerando-se o desconto simples comercial. a) 15% b) 20% c) 25% d) 30% B Valria Lanna (31) 9149 1462 65 e) 33,33%

25.(AFTN/96) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, de $ 1.400,00. As condies contratuais prevem que o pagamento, deste financiamento, ser efetuado em duas parcelas.Valria Lanna (31) 9149 1462 66

A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, ser paga ao final do quarto ms, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, ser paga ao final do dcimo primeiro ms.

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O valor que mais se aproxima do valor financiado a) $ 816,55 b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 995,00BValria Lanna (31) 9149 1462 68

Soluo: 70% de 1400 = 980 ( 4 ms) 30% de 1400 = 420 (11 ms)

980 : 1,4 = 700 MAIS 420 : 2,1 = 200 TOTAL = 900

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26.(AFTN/96) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado, h 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao ms. A instituio financiadora no cobra custos nem taxas para fazer estas alteraes. A taxa de juros no sofrer alteraes.Valria Lanna (31) 9149 1462 70

Condies pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestaes iguais e sucessivas de $ 11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias. Condies desejadas: pagamento em trs prestaes iguais: a primeira ao final do 10 ms; a segunda ao final do 30 ms; a terceira ao final do 70 ms.Valria Lanna (31) 9149 1462 71

Caso sejam aprovadas as alteraes, o valor que mais se aproxima do valor unitrio de cada uma das novas prestaes a) $ 8.200,00 b) $ 9.333,33 c) $ 10.752,31 d) $ 11.200,00 e) $ 12.933,60 DValria Lanna (31) 9149 1462 72

Soluo:11024 em 60 dias atual de 11024 : 1,04 = 11600 11024 em 90 dias atual de 11024 : 1,06 = 10400 Atual total de 21000 Novo parcelamento: 10 10 x 2 = 20% 1,2 30 30 x 2 = 60% 1,6 70 70 x 2 = 140% 2,4

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x x x 21000 1,2 1,6 2,4 4 x 3x 2 x 4,8 21000 4,8 4,8 21000 x 11200 9Valria Lanna (31) 9149 1462 74

JUROS COMPOSTOSDEFINIO So aqueles que em cada perodo financeiro, o montante se torna o capital para o perodo seguinte, isto , ocorre incidncia de juros sobre juros.

MOnde:

C (1 i)n

C

capital inicial

i taxa unitria n nmero de capitaliza es 1 in

fator de capitaliza oValria Lanna (31) 9149 1462 75

M = C(1+i)n J=M-C

M o montante Ci

o capital inicial (principal) a taxa unitria (% : 100) o nmero de perodos da capitalizaoValria Lanna (31) 9149 1462 76

n

A taxa percentual e o tempo devero estar na mesma unidade do perodo de capitalizao. Por se tratar de juros compostos e para evitar confuso com as frmulas de juros simples, vamos chamar o capital inicial de P (principal) e o montante de S (soma dos montantes de cada perodo de capitalizao), obtendo-se a seguinte expresso: nS = P (1 + i)(31) 9149 1462 Valria Lanna 77

OBS.: Valor atual P1 onde o fator 1 in

S

1 (1 i)n

denominado de fator de valor atual de um pagamento simples e tambm estabelece a equivalncia entre P e S.

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27.(ESAF/Auditor/AFRE/2006) Metade de umcapital foi aplicada a juros compostos taxa de 3% ao ms por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada taxa de 3,5% ao ms, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais prximo deste capital, dado que as duas aplicaes juntas renderam um juro de R$ 21 144,02 ao fim do prazo. a) R$ 25 000,00. b) R$ 39 000,00. c) R$ 31 000,00. d) R$ 48 000,00.Valria Lanna (31) 9149 1462 80 E e) R$ 50 000,00.

C metade do capital aplicado O capital foi dividido em duas aplicaes: Aplicao 1: Capital: C Taxa : 0,03 a.m. de juros compostos Prazo: 12 meses Aplicao 2: Capital: C Taxa: 0,035 a.m. de juros simples Prazo: 12 mesesValria Lanna (31) 9149 1462 81

J = C1[(1 + i1)n 1] + C2.i2.n2 = 21.144,02 C.[(1 + 0,03)12 1] + C.0,035.12 C.[(1,03)12 1] + C.0,42 (1,03)12 na tabela de fator de acumulao de capital encontramos 1,425761 J = C[1,4258 1] + C.0,42 = = 0,4258.C + 0,42.C J = 0,8458.C 21 144 02 : 0,8458 = 24.998,84 x 2 = 49.997,68 que aproximadamente 50000Valria Lanna (31) 9149 1462 82

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PERODOS NO INTEIROS Quando ocorre este caso, o princpio considerado no corresponde a um mltiplo do perodo de capitalizao, neste caso adotam-se duas convenes: a linear e a exponencialConveno Linear

M

C1 i

n

P 1 i q

Conveno Exponencial -

M

C1 i(31) 9149 1462

n

1 i

P q

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28.(ESAF/Auditor/AFTN/1998) O capital de R$ 1.000,00 aplicado do dia 10 de junho ao dia 25 do ms seguinte, a uma taxa de juros compostos de 21% ao ms. Usando a conveno linear, calcule os juros obtidos, aproximando o resultado em real. a) R$ 331,00 b) R$ 343,00 d) R$ 342,00 c) R$ 337,00 e) R$ 340,00 cValria Lanna (31) 9149 1462 85

29.(ESAF/AFRF/2000) Um capital aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao ms. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a conveno linear? a) 46,11% b) 48,00% d) 44,69% c) 41,85% e) 50,36% DValria Lanna (31) 9149 1462 86

30.(ESAF/AFRF/2002-1) Um capital aplicado a juros compostos taxa de 20 % ao perodo durante quatro perodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a conveno linear para clculo do montante. Considere ainda que: 1,204 =2,0736 ; 1,204,5 =2,271515 e 1,205 =2,48832. a) 107,36 % b) 127,1515 % c) 128,096 % c d) 130 % Valria Lanna (31) 9149 1462 87 e) 148,832 %

31.(ESAF/AFRF/2003) Um capital aplicado a juros compostos taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais prximo da perda percentual do montante considerando o seu clculo pela conveno exponencial em relao ao seu clculo pela conveno linear, dado que 1,401,5 = 1,656502. a) 0,5 % b) 1 % d) 1,7 % c) 1,4 % e) 2,0 %

cValria Lanna (31) 9149 1462 88

Rendas e Amortizao

Denominamos renda sucesso de valores R1, R2, R3. ... usados para constituir-se um capital ou para pagamento parcelado de uma dvida. Cada um dos valores R chama-se termo ou parcela. As rendas podem ser classificadas sob diversos aspectos: 1. Quanto ao nmero de termos: renda temporria - o nmero de termos finito. renda perptua - o nmero de termos infinito.Valria Lanna (31) 9149 1462 90

2. Quanto ao valor de cada termo: renda constante - os valores dos termos so todos iguais.

renda varivel - os valores dos termos no so todos iguais. 3. Quanto periodicidade dos seus termos:renda peridica - quando os pagamentos ocorrem a intervalos de tempo iguais. renda no-peridica - quando os pagamentos no ocorrem a intervalos de tempo iguais. Valria Lanna (31) 9149 1462

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RENDA IMEDIATA Consideremos o seguinte problema: Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada ms, durante 5 meses, a quantia de R$100. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao ms, capitalizados mensalmente.

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32.Depsito em uma instituio financeira, no fim de cada ms, a importncia de R$800, a 0,5% ao ms. Quanto terei no fim de 1 ano? T = 800 n = 1 ano = 12 m i = 0,5% a.m. = 0,005 a.m. S 12 0,005 = 800 . s12 0,005Usando a tabela financeira: s 12 0,005 = 12,33556 Logo, teremos: S 12 0,005 = 800 . 12,33556 = 9.868,448 Isto , o montante de R$9.868,45

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33.Qual a importncia constante a ser depositada em um Banco, ao final de cada ano, taxa de 6% ao ano, capitalizados anualmente, de tal modo que , ao fazer o dcimo depsito, forme o capital de R$400.000? Resoluo:n 10a i 6%a.a. 0,06a.a. S10 0,06 400.000

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Resumindo: JurosSimples Compostos

JM

C i nC j

M

C (1 i )

n

n o nmero de perodos de capitalizao e deve estar na mesma unidade da taxa i.

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Rendas - Clculo do Valor Futuro Para calcularmos o Montante que teremos daqui a n perodos aps depositarmos n prestaes P, teremos um somatrio S:

S n ,i

(1 i ) P. iValria Lanna (31) 9149 1462

n

1

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Rendas - Clculo do Valor Presente Para calcularmos o Valor atual de uma dvida, que dever ser paga em n perodos aps quitarmos n prestaes P, teremos um valor lquido A:

An ,i

(1 i ) 1 P. n i .(1 i )Valria Lanna (31) 9149 1462 117

n

SISTEMAS DE AMORTIZAO

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Principais sistemas de amortizao so:1. Sistema de Pagamento nico: Um nico pagamento no final.

2. Sistema de Pagamentos variveis: Vrios pagamentos diferenciados.3. Sistema Americano: Pagamento no final com juros calculados perodo a perodo. 4. Sistema de Amortizao Constante (SAC): A amortizao da dvida constante e igual em cada perodo.

5. Sistema Price ou Francs (PRICE): Os pagamentos (prestaes) so iguais. 6. Sistema de Amortizao Misto (SAM): Os pagamentos so as mdias dos sistemas SAC e Price.Valria Lanna (31) 9149 1462 119

Em todos os sistemas de amortizao, temos: Amortizao corresponde s parcelas de devoluo do principal. Pagamento = Amortizao + juros.

Os juros sero calculados sempre sobre o saldo devedor. Carncia o intervalo de tempo que no se amortiza.

Prestao a soma de amortizao acrescida de juros pagos em um dado perodo. Saldo devedor o estado da dvida em determinado instante de tempo.

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Sistema Francs ou Price O sistema francs, s vezes denominado Sistema Price, apresenta as seguintes caractersticas: O valor da prestao R constante e peridico, podendo ser obtido pela frmula abaixo, onde P o valor financiado (principal). (para pagamentospostecipados) O juro pago em uma dada prestao sempre calculado sobre o saldo devedor do perodo imediatamente anterior, sendo menor a cada nova prestao. A cota de amortizao, em uma dada prestao, sempre igual diferena entre o valor da prestao e o juro pago na mesma, sendo maior a cada nova prestao. Valria Lanna (31) 9149 1462 121

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O valor da expresso que calcula R em funo de P pode ser encontrado pronto, para cada taxa i e cada quantidade n de perodos, na chamada tabela Price (ver tabela), sendo freqentemente indicado pela expresso:

Os valores da tabela Price admitem sempre que as prestaes so postecipadas (pagas ao fim de cada perodo).

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Sistema de Amortizao Constante (SAC) No sistema de amortizao constante, a cota de amortizao constante em todas as prestaes e o juro pago em cada uma das prestaes corresponde ao total do juro sobre o saldo devedor do perodo anterior. Como o saldo devedor decresce a cada perodo, o valor do juro vai ficando menor a cada prestao que, assim, apresentar valores decrescentes.Admitiremos em nosso estudo somente o caso de prestaes postecipadas, ou seja, com pagamentos ao final de cada perodo a partir do primeiro.

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Clculo da Cota de Amortizao Como a cota de amortizao constante, podemos obtla dividindo o valor financiado P pelo nmero de prestaes do financiamento n:Cota de AmortizaoValria Lanna (31) 9149 1462 125

Clculo do Saldo Devedor Ao pagarmos k prestaes pelo SAC, teremos amortizado k cotas de amortizao, restando ento n-k cotas de saldo. Desta forma, o saldo devedor imediatamente aps o pagamento da prestao de nmero k ser:

Obs.: n k o nmero de prestaes em aberto.

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Clculos de Juro Como j afirmamos anteriormente, a componente de juro em cada uma das prestaes corresponde ao total do juro calculado sobre o saldo devedor do perodo anterior. Assim, o valor JK do juro pago na prestao de nmero k ser calculado sobre o saldo devedor imediatamente aps o pagamento da prestao de nmero k 1. Sendo i a taxa de juro ao perodo, teremos:

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1. Um emprstimo de R$ 5.000,00 dever ser pago em 10 prestaes mensais e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias aps a liberao do dinheiro. Considerando que o financiamento seja feito pelo Sistema de Amortizao Constante a uma taxa mensal de 5%, pede-se: O valor da cota de amortizao; O valor do juro pago na primeira prestao; O valor da primeira parcela. Soluo:

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b) Juro pago na 1 prestao como no h qualquer parcela paga, e saldo devedor igual ao valor do emprstimo que de R$ 5.000,00. Portanto, o juro pago na primeira parcela ser: SD = 5000 e i = 0,05 JI = 0,05 x 5000 = 250,00 c)Valor da primeira parcela Uma vez que as parcelas so formadas por uma cota de amortizao mais juro, teremos:

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Sistema de Amortizao Misto (SAM) Neste sistema, cada uma das prestaes a mdia aritmtica das prestaes correspondentes calculadas pelo Sistema Francs e pelo SAC.O juro pago em cada prestao corresponde ao total do juro sobre o saldo devedor do perodo anterior. Em conseqncia, tanto a componente do juro quanto a da cota de amortizao de uma dada parcela sero tambm as mdias aritmticas dos valores correspondentes pelos sistemas Francs e SAC.

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1. Um emprstimo de R$ 5.000,00 dever ser pago em 10 prestaes pelo SAM, com juros de 5% a.m. Qual ser o valor da 7 prestao?

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3) Clculo da 7 prestao pelo SAM a mdia aritmtica entre as prestaes correspondentes pelos sistemas Francs e SAC.

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Anlise comparativa dos sistemas de Amortizao Vamos agora analisar as diferenas entre os trs sistemas de amortizao:Price, SAC e SAM: Valor do emprstimo: R$ 120.000,00 Nmero de prestaes mensais: 120 Taxa de juros: 2% ao ms. Os valores correspondentes aos trs planos esto representados na tabela 1, que por motivos prticos evidenciei apenas os valores necessrios para a anlise em questo.

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34.

1625,48 6732,791641,74

100,00

1725,48

1725,481725,48 1725,48

1708.52

1691,48 1707,91

34,00 17.09

1725,481725,48

Resduo de R$ 0.61Valria Lanna (31) 9149 1462 139

Na tabela acima, que apresenta algumas clulas sem valores numricos, os dados referem-se a um emprstimo bancrio de R$ 10.000,00, entregues no ato e sem prazo de carncia taxa de juros de 12% ao ano, para pagamento em 6 meses pela tabela Price. Com relao a essa situao, julgue os itens a seguir:

I ( ) O valor da quinta prestao ser superior a R$1.700,00. 1725,48II ( ) Imediatamente aps ser paga a segunda prestao, o saldo devedor ser inferior a R$ 7.000,00. III ( ) O valor correspondente aos juros pagos na sexta prestao ser inferior a R$20,00.Valria Lanna (31) 9149 1462 140

Dicas de Matemtica Financeira

35.PORCENTAGEM ( Banco Central ) Um investimento rendeu 68% em um ms no qual a inflao foi de 40%. O ganho real nesse ms foi de: a ) 20% b) 22% c ) 24% d ) 26% e ) 28% Soluo: fator de ganho real = ( fator de ganho aparente ) ( fator de inflao ) taxa de ganho aparente = 68% fator de ganho aparente = 1,68 taxa de inflao = 40% fator de inflao = 1,40 fator de ganho real = 1,40/1,68 f=1+i i=f1 i =1,20 1 i = 0,20 ( taxa unitria ) = 0,20 x 100 = 20% ( taxa percentual ) Resposta: letra: ( a )Valria Lanna (31) 9149 1462 142

36.JUROS SIMPLES ( Banco do Brasil ) Uma geladeira vendida vista por R$ 1 000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda dois meses aps, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? a ) 6% b ) 5% c ) 4% d ) 3% e ) 2%

Soluo: No se paga juros sobre dinheiro vista. A entrada de 200 abatida do valor vista 1000. 1 000 200 = 800 ( valor devido sobre o qual incidir o juro ) Deve 800 e dois meses aps paga 880. O juro cobrado foi de 880 800 = 80 ( J ) sobre 800 ( C ) O tempo de 2 meses ( t ) logo: 80/800 = 0,1 = 10% em dois meses , assim, a taxa mensal ser de 5% a.m. Valria Lanna (31) 9149 Resposta: letra ( b )143 1462

37.TAXA MDIA Os capitais de R$ 3 000,00, R$ 5 000,00 e R$ 8 000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao ms, 4% ao ms e 3,25% ao ms, respectivamente. Calcule a taxa mdia de aplicao desses capitais. a ) 4,38% ao ms b ) 3,206% ao ms c ) 4,4167% ao ms d ) 4% ao ms e ) 4,859% ao ms

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38.JUROS COMPOSTOS ( Banco do Brasil ) Um investidor dispunha de R$ 300 000,00 para aplicar. Dividiu esta aplicao em duas partes. Uma parte foi aplicada no banco Alfa, taxa de 8% ao ms, e a outra parte no banco Beta, taxa de 6% ao ms, ambas em juros compostos. O prazo de ambas as aplicaes foi de 1 ms. Se, aps este prazo, os valores resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicao, em reais, em cada banco foram, respectivamente: a ) 148 598,13 e 151 401,87 b ) 149 598,13 e 150 401,87 c ) 150 598,13 e 149 401,87 d ) 151 598,13 e 148 401,87 e ) 152 598,13 e 147 401,87Valria Lanna (31) 9149 1462 146

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EstatsticaValria Lanna Badar

Populao um conjunto de pessoas, de coisas, de objetos, de itens que tm uma caracterstica prpria: todos os alunos de uma escola; todos os funcionrios com mais de cinco anos de experincia; todas as garrafas de vinho; todos os carros produzidos por uma fbrica, e assim por diante.

[email protected] 9149 1462

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Experimento Aleatrio

Os experimentos aleatrios so aqueles cujos resultados no so sempre os mesmos, apesar de se repetirem, vrias vezes, em condies semelhantes.


(31)

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Atributo

O atributo o nome que se d a uma varivel. O atributo tudo aquilo que se diz ou prprio de um ser, podendo ser qualitativo ou quantitativo.


(31)

151

Dados qualitativosRepresentam a informao que identifica alguma qualidade, categoria ou caracterstica, no susceptvel de medida, mas de classificao, assumindo vrias modalidades. Exemplo: O estado civil de um indivduo um dado qualitativo, assumindo as categorias: Solteiro, casado, vivo e [email protected] 9149 1462 (31) 152

Dados quantitativos

Representam a informao resultante de caractersticas susceptveis de serem medidas, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta (descontnua) dados discretos, ou contnua - dados contnuos.


(31)

153

Exemplo: Consideremos uma amostra constituda pelo n de irmos de 10 alunos de uma determinada turma : 3, 4, 1, 1, 3, 1, 0, 2, 1, 2 Estes dados so de natureza discreta. Se para os mesmos alunos considerarmos as alturas (cm):153, 157, 161, 160, 158, 155, 162, 156, 152, 159obteremos dados do tipo contnuo.


(31)

154

Recenseamento

O termo recenseamento est, em regra geral, associado contagem oficial e peridica dos indivduos de um Pas, ou parte de um Pas. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de situaes. Assim, pode definir-se recenseamento do seguinte modo:[email protected] 9149 1462 (31) 155

Estudo cientfico de um universo de pessoas, instituies ou objetos fsicos com o propsito de adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juzos quantitativos acerca de caractersticas importantes desse universo.


(31)

156

Dados Discretos Os dados so organizados na forma de uma tabela de freqncias, anloga construda para o caso dos dados qualitativos. No entanto, em vez das categorias apresentam-se os valores distintos da amostra, os quais vo constituir as classes.


(31)

157

Exemplo:Consideremos a amostra constituda pelo n de irmos dos 20 alunos de uma determinada turma:1, 1, 2, 1, 0, 3, 4, 2, 3, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 3, 2Classes 0 1 2 3 4 Total Freq.abs. Freq.rel. 4 0,20 8 0,40 4 0,20 3 0,15 1 0,05 20 1,00 [email protected] (31)9149 1462

158

Exemplos . Cor dos olhos das alunas: qualitativa . ndice de liquidez nas indstrias capixabas:quantitativa contnua . Produo de caf no Brasil: quantitativa contnua . Nmero de defeitos em aparelhos de TV: quantitativa discreta . Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa: quantitativa contnua [email protected] . O ponto obtido em 1462 (31)jogada de 159 cada 9149

SRIES ESTATSTICASTABELA um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemtica.


(31)

160

De acordo com a Resoluo 886 do IBGE, nas casas ou clulas da tabela devemos colocar : 1)um trao horizontal ( - ) quando o valor zero; 2) trs pontos ( ... ) quando no temos os dados; 3) zero ( 0 ) quando o valor muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada;


(31)

161

4) um ponto de interrogao ( ? ) quando temos dvida quanto exatido de determinado valor. Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto..


(31)

162

SRIE ESTATSTICA qualquer tabela que apresenta a distribuio de um conjunto de dados estatsticos em funo da poca, do local ou da espcie. SRIES HOMGRADAS So aquelas em que a varivel descrita apresenta variao discreta ou descontnua. Podem ser do tipo temporal, geogrfica ou [email protected] 9149 1462 (31) 163

a)Srie Temporal Identifica-se pelo carter varivel do fator cronolgico. O local e a espcie (fenmeno) so elementos fixos. Esta srie tambm chamada de histrica ou evolutiva.


(31)

164

ABC VECULOS LTDA. Vendas no 1 bimestre de 1996

PERODO

UNIDADES VENDIDAS 20000 10000 30000(31) 165

JAN/96 FEV/96 [email protected] 9149 1462

b) Srie Geogrfica

Apresenta como elemento varivel o fator geogrfico. A poca e o fato (espcie) so elementos fixos. Tambm chamada de espacial, territorial ou de localizao.


(31)

166

ABC VECULOS LTDA. Vendas no 1 bimestre de 1996

FILIAISSo Paulo Rio de Janeiro TOTAL

UNIDADES VENDIDAS 13000

[email protected] 9149 1462 (31) 167

c) Srie Especfica O carter varivel apenas o fato ou espcie. Tambm chamada de srie categrica.


(31)

168

ABC VECULOS LTDA. Vendas no 1 bimestre de 1996MARCA UNIDADES VENDIDAS * FIAT GM TOTAL 18000 12000 30000


(31)

169

SRIES CONJUGADASTambm chamadas de tabelas de dupla entrada. So apropriadas apresentao de duas ou mais sries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificao: uma horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo de uma srie [email protected] 9149 1462 (31) 170

ABC VECULOS LTDA. Vendas no 1 bimestre de 1996FILIAIS So Paulo Rio de Janeiro TOTAL Janeiro/96 1000012000

Fevereiro/96 30005000

[email protected] 9149 1462 (31)

8000171

Normas para Apresentao Tabular dos Dados Elementos essenciais em uma tabela:

1 . Ttulo2 . Corpo 3 . Cabealho

4 . Coluna [email protected] 9149 1462 (31) 172

Ttulo a indicao contida na parte superior da tabela, onde deve estar definido o fato observado, com a especificao de local e poca referentes ao fato.


(31)

173

Corpo constitudo por linhas e colunas, que fornecem o contedo das informaes prestadas.

Cabealho a parte da tabela que apresenta a natureza do que contm cada coluna( contedo das colunas)[email protected] 9149 1462 (31) 174

Coluna Indicadora

Nela indicada o que contm as linhas( contedos das linhas).

Ttulocabealho

Corpo

[email protected] (31) Coluna Indicadora 9149 1462

175

Elementos que completam a tabela1)Fonte

Designao da Entidade que forneceu os dados estatsticos 2)Notas Esclarecimentos de natureza em geral 3)Chamadas Esclarecimentos de uma [email protected] (31) especfica 9149 1462 natureza176

2) (AFC) a tabela abaixo apresenta a distribuio de um grupo de 200 estudantes segundo o curso que fazem ( Estatstica ou Matemtica) e o sexo( homem ou mulher).HomemEstatstica Matemtica 40 80(31)

Mulher20 60177


A nica afirmao incorreta : a)40% dos matemtica. homens estudam

b) 755 das mulheres fazem o curso de matemtica. c) Dois em cada trs estudantes de estatstica so homens.

d) Um de cada trs homens faz o curso de estatstica. e) 60% dos estudantes so homens. A178 [email protected] (31)9149 1462

GRFICOS ESTATSTICOS

So representaes visuais dos dados estatsticos que devem corresponder, mas nunca substituir as tabelas estatsticas.Caractersticas Uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade, clareza e [email protected] 9149 1462 (31) 179

Grficos de informaoSo grficos destinados principalmente ao pblico em geral, objetivando proporcionar uma visualizao rpida e clara. So grficos tipicamente expositivos, dispensando comentrios explicativos adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informaes desejadas estejam 180 presentes. [email protected] (31) 9149 1462

Grficos de anliseSo grficos que prestam-se melhor ao trabalho estatstico, fornecendo elementos teis fase de anlise dos dados, sem deixar de ser tambm informativos. Os grficos de anlise freqentemente vm acompanhados de uma tabela estatstica. Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo, chamando a ateno do leitor para os pontos principais revelados pelo [email protected] (31) 181 grfico. 9149 1462

Classificao dos grficos Diagramas Estereogramas Pictogramas Cartogramas


(31)

182

1 - DIAGRAMAS:So grficos geomtricos dispostos em duas dimenses. So os mais usados na representao de sries estatsticas

1.1 - Grficos em barras horizontais.


(31)

183

1.2- Grficos em barras verticais ( colunas ) Quando as legendas no so breves usa-se de preferncia os grficos em barras horizontais. Nesses grficos os retngulos tm a mesma base e as alturas so proporcionais aos respectivos dados. A ordem a ser observada a cronolgica, se a srie for histrica, e a decrescente, se for geogrfica ou categrica. [email protected] (31) 184 9149 barras compostas. 1.3 - Grficos em 1462


(31)

185

O Grfico de barras muito til para introduzir na comparao um parmetro no-quantitativo, como diferentes pases (a relao alunos/professor em cada um deles, por exemplo), faixas de renda ou pesquisas realizadas anteriormente.


(31)

186


(31)

187

1.4Grficos em colunas superpostas. Eles diferem dos grficos em barras ou colunas convencionais apenas pelo fato de apresentar cada barra ou coluna segmentada em partes componentes. Servem para representar comparativamente dois ou mais atributos.


(31)

188


(31)

189


(31)

190

1.5Grficos em linhas ou lineares. So freqentemente usados para representao de sries cronolgicas com um grande nmero de perodos de tempo. As linhas so mais eficientes do que as colunas, quando existem intensas flutuaes nas sries ou quando h necessidade de se representarem vrias sries em um mesmo [email protected] 9149 1462 (31)

191

Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a variao de dois fenmenos, a parte interna da figura formada pelos grficos desses fenmenos denominada de rea de [email protected] 9149 1462 (31) 192


(31)

193

Grfico de linha o mais indicado para representar a correlao entre duas variveis, por exemplo, entre a inflao e o dficit pblico, ou entre o consumo de protenas e o quociente de inteligncia (QI). O mais comum tomar o prprio tempo (horas, dias, meses, anos etc.) como uma varivel, para dar uma imagem da evoluo de outra varivel -por exemplo, o consumo de energia eltrica. Observe que quando o tempo uma das 194 variveis, ele [email protected] (31) expresso no deve1462ser 9149


(31)

195


(31)

196

1.5- Grficos em setores. Este grfico construdo com base em um crculo, e empregado sempre que desejamos ressaltar a participao do dado no total. O total representado pelo crculo, que fica dividido em tantos setores quantas so as partes. Os setores so tais que suas reas so respectivamente proporcionais aos dados da srie. O grfico em setores s deve ser empregado quando h, no mximo, sete [email protected] 9149 1462 (31) 197


(31)

198


(31)

199

2 - ESTEREOGRAMAS:So grficos geomtricos dispostos em trs dimenses, pois representam volume. So usados nas representaes grficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de grfico fica difcil de ser interpretado dada a pequena preciso que [email protected] 9149 1462 (31) 200


(31)

201


(31)

202

3 - PICTOGRAMAS:

So construdos a partir de figuras representativas da intensidade do fenmeno. Este tipo de grfico tem a vantagem de despertar a ateno do pblico leigo, pois sua forma atraente e sugestiva. Os smbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas que apenas mostram uma viso geral do fenmeno, e no de detalhes [email protected] (31) 203 9149 1462 minuciosos.


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4- CARTOGRAMAS:

So ilustraes relativas a cartas geogrficas (mapas). O objetivo desse grfico o de figurar os dados estatsticos diretamente relacionados com reas geogrficas ou polticas.


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210


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211

Como organizar os dados? Enquanto que no caso de dados discretos, a construo da tabela de frequncias no apresenta qualquer dificuldade, no caso das variveis contnuas o processo um pouco mais elaborado, distinguindo-se certas etapas principais, que se descrevem nas pginas seguintes...


(31)

212

Distribuies caractersticas Alguns histogramas apresentam formas que, pela frequncia com que surgem, merecem referncia especial. Assim, as distribuies mais comuns apresentadas pelos dados so:Distribuies simtricas A distribuio das freqncias faz-se de forma aproximadamente simtrica, relativamente a uma classe mdia:


(31)

213

Distribuies enviesadas A distribuio das freqncias faz-se de forma acentuadamente assimtrica, apresentando valores substancialmente mais pequenos num dos lados, relativamente ao outro:


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214

Distribuies com "caudas" longas

A distribuio das freqncias faz-se de tal forma que existe um grande nmero de classes nos extremos, cujas freqncias so pequenas, relativamente s classes centrais:


(31)

215

Distribuies com vrios "picos" ou modas

A distribuio das freqncias apresenta 2 ou mais "picos" a que chamamos modas, sugerindo que os dados so constitudos por vrios grupos distintos:


(31)

216

Com base nos dados do grfico, pode-se afirmar que: a) o nmero de meninas com, no mximo, 16 anos maior que o nmero de meninos nesse mesmo intervalo de idade. b) o nmero total de alunos 19. c) a mdia de idade das Resposta meninas 15 anos. letra D [email protected] (31) d) o nmero de meninos 2179149 1462

NCE/CEPEL/2005


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218


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NCE/CEPEL/2005


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220


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221

(Cespe BB/99) IPCA e INPC tm nova frmula A partir de agosto deste ano, a apurao do ndice de Preos ao Consumidor Amplo (IPCA) e do ndice Nacional de Preos ao Consumidor (INPC) tem novas estruturas e ponderao. Com base na Pesquisa de Oramento Familiar (POF) de 1996, a equipe do departamento de ndices do IBGE repassou os hbitos de consumo e estabeleceu nova relao entre a quantidade, o preo e a participao de cada um dos produtos que compem a lista de itens pesquisados no oramento das famlias brasileiras. Veja, nos grficos abaixo, a evoluo da participao percentual de cada item na apurao do IPCAProfessora Valria Lanna [email protected] tel.: 9149 1462 [email protected] (31)9149 1462

222

Professora Valria Lanna [email protected] tel.: 9149 1462 [email protected] (31)9149 1462

223

14) Com base nas informaes acima, julgue os itens que se seguem, relativos ao clculo do IPCA. 1. A partir de agosto, o item Sade e cuidados pessoais passou a ter maior participao do que C tinha at julho de 1999. 2. A partir de agosto, o item Vesturio passou a ter menos da metade da participao que tinha at C julho de 1999. 3. At julho, a participao atribuda ao conjunto dos itens Transporte, Alimentao e bebidas, Comunicao e Educao era maior que a participao atribuda a esse mesmo conjunto a C partir de agosto de 1999. 4. A partir de agosto, a participao do item Comunicao aumentou mais de 90% com relao que tinha at julho de 1999. CProfessora Valria Lanna [email protected] tel.: 9149 1462 9149 [email protected] (31) 224

DISTRIBUIO DE FREQNCIA um tipo de tabela que condensa uma coleo de dados conforme as freqncias (repeties de seus valores).Dados brutos: uma tabela ou relao de elementos que no foram numericamente organizados. difcil formarmos uma idia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados no ordenados. Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, [email protected] 9149 1462 (31) 225

ROL

a tabela obtida aps a ordenao dos dados (crescente ou decrescente). Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60


(31)

226

Distribuio de freqnciasEM INTERVALOS DE CLASSE a simples condensao dos dados conforme as repeties de seu valores. Para um ROL de tamanho razovel esta distribuio de freqncia inconveniente, j que exige muito espao.


(31)

227

Dados 41

Freqncia 3

42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60

2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2

Classes

Freqncias

41 |------- 4545 |------- 49

73

49 |------- 53 53 |------- 5757 |------- 61

4 15

[email protected] 9149 1462 (31)

20228

CLASSE So os intervalos de variao da varivel e simbolizada por i e o nmero total de classes simbolizada por k. Ex: na tabela anterior k = 5 e 49 |------ 53 a 3 classe, onde i = 3.


(31)

229

LIMITES DE CLASSE

So os extremos de cada classe. O menor nmero o limite inferior de classe ( li ) e o maior nmero, limite superior de classe ( Li ). Ex: em 49 |------- 53,... l3 = 49 e L3 = 53. O smbolo |------- representa um intervalo fechado esquerda e aberto direita. O dado 53 do ROL no pertence a classe 3 e sim a classe 4 representada (31) 53 |-----por [email protected] 230 9149 1462 - 57.

AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE obtida atravs da diferena entre o limite superior e inferior da classe e simbolizada por hi = Li - li. Ex: na tabela anterior hi = 53 - 49 = 4. Obs: Na distribuio de freqncia c/ classe o hi ser igual em todas as classes.


(31)

231

AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIO a diferena entre o limite superior da ltima classe e o limite inferior da primeira classe. AT = L(max) - l(min).Ex: na tabela anterior AT = 61 41= [email protected] 9149 1462 (31) 232

AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL) a diferena entre o valor mximo e o valor mnimo da amostra (ROL). Onde AA = Xmax - Xmin. Em nosso exemplo AA = 60 - 41 = 19. Obs: AT sempre ser maior que AA.


(31)

233

PONTO MDIO DE CLASSE o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. .......

Ex: em 49 |------- 53 o ponto mdio x3 = (53+49)/2 = 51, ou seja x3=( l3 + L3 )/2.


(31)

234

OBSERVAO: Vejamos um caso em que temos uma distribuio de freqncias por intervalos, como na tabela abaixo:

Nmeros de Pontos

Freqncia10 30 30 20 10 100

0 | 20 20 | 40 40 | 60 60 | 80 80 | 100 TOTAL [email protected] 1462

(31)

235

Para determinarmos as medidas de disperso, acharemos os pontos mdios dos intervalos: Nmero de Ponto Mdio Pontos 0 20 10 20 40 30 40 60 50 60 80 70 80 100 90 [email protected] TOTAL 9149 1462 (31) Freqncia10 30 30 20 10 100

236

MDIA ARITMTICA A Mdia a primeira e mais importante das Medidas de Posio.

Designada por

x

.

. Clculo da Mdia para o RolXi n(31) 237

X


Clculo da Tabulados:X

MdiaXi fi n

para

Dados

Clculo da Mdia para Distribuio de Freqncias:X PM . fi n(31) 238


Propriedades da Mdia Aritmtica: Da Soma e Subtrao) Se a cada elemento de um conjunto numrico qualquer somarmos ou subtrairmos uma constante, a mdia ficar acrescida ou subtrada desta constante. Do Produto e Diviso) Se cada elemento de um conjunto numrico qualquer for multiplicado ou dividido por uma constante, a mdia ficar multiplicada ou dividida por esta [email protected] 9149 1462 (31) 239

Dica de Ouro da Mdia Aritmtica: i) Se a distribuio de freqncias simtrica, e tem um nmero mpar de classes, a Mdia ser o Ponto Mdio da classe intermediria. ii) Se a distribuio de freqncias simtrica, e tem um nmero par de classes, a Mdia ser o limite superior da primeira classe intermediria, que igual ao limite inferior da segunda classe [email protected] 240 intermediria. 9149 1462 (31)


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TESTES

Resposta letra [email protected] 9149 1462 (31) 255






NCE/INCRA/2005


(31)

261

Moda Para um conjunto de dados, define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequncia se os dados so discretos, ou, o intervalo de classe com maior frequncia se os dados so contnuos.Assim, da representao grfica dos dados, obtm-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal

Esta medida especialmente til para reduzir a informao de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais no se pode calcular a mdia e por vezes a mediana (se no forem susceptveis de ordenao).


(31)

262

Mediana A mediana, m, uma medida de localizao do centro da distribuio dos dados, definida do seguinte modo:Ordenados os elementos da amostra, a mediana o valor (pertencente ou no amostra) que a divide ao meio, isto , 50% dos elementos da amostra so menores ou iguais mediana e os outros 50% so maiores ou iguais mediana Para a sua determinao utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: Se n mpar, a mediana o elemento mdio. Se n par, a mediana a semi-soma dos dois elementos [email protected] 9149 1462 (31) 263

Varincia Define-se a varincia, e representa-se por s2, como sendo a medida que se obtm somando os quadrados dos desvios das observaes da amostra, relativamente sua mdia, e dividindo pelo nmero de observaes da amostra menos um:


(31)

264

Desvio Padro Uma vez que a varincia envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime no a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou disperso com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da varincia e obtemos o desvio padro: O desvio padro uma medida que s pode assumir valores no negativos e quanto maior for, maior ser a disperso dos dados. Algumas propriedades do desvio padro, que resultam imediatamente da definio, so: [email protected] (31) 2659149 1462

o desvio padro sempre no negativo e ser tanto maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados. se s = 0, ento no existe variabilidade, isto , os dados so todos iguais. [email protected] (31)9149 1462

266

AmplitudeUma medida de disperso que se utiliza por vezes, a amplitude amostral r, definida como sendo a diferena entre a maior e a menor das observaes: Amplitude Inter-Quartil A medida anterior tem a grande desvantagem de ser muito sensvel existncia, na amostra, de uma observao muito grande ou muito [email protected] 9149 1462 (31) 267

Assim, define-se uma outra medida, a amplitude inter-quartil, que , em certa medida, uma soluo de compromisso, pois no afetada, de um modo geral, pela existncia de um nmero pequeno de observaes demasiado grandes ou demasiado pequenas. Esta medida definida como sendo a diferena entre os 1 e 3 quartis * Amplitude inter-quartil = Q3/4 - Q1/4 *[email protected] 9149 1462 (31) 268

Do modo como se define a amplitude inter-quartil, conclumos que 50% dos elementos do meio da amostra, esto contidos num intervalo com aquela amplitude.Esta medida no negativa e ser tanto maior quanto maior for a variabilidade nos dados. Ateno: Mas, ao contrrio do que acontece com o desvio padro, uma amplitude inter-quartil nula, no significa necessariamente, que os dados no apresentem [email protected] 9149 1462 (31) 269

Exemplo : Considere a amostra de elementos escolhidos aleatoriamente: 2,5,5,5,9,10,13,14,17 e 20. Calcule:a) A mdia b) A moda c) A mediana

d) O desvio mdio e) A varinciaf) O desvio padro g) Faa um esboo da mdia, do desvio mdio e do desvio padro, para uma comparao e ver 270

Respostas a) m = 10

b) moda = 5 c) mediana = 9,5 d) desvio mdio = 4,8 e) varincia = 31,4 f) desvio padro 31,4 =5,4271

[email protected] (31) 9149 1462

Adm. Mat. Financeira

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