www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos Raciocnio Lgico 1 Conjuntos CONJUNTOS 1. TEORIA DOS CONJUNTOS 1) Relaes de Pertinncia Relacionamelementocomconjunto.Eaindicaodequeoelementopertenceouno pertence a um conjunto feita pelos smbolos: (pertence) e (no pertence). Exemplo 1:a) 2 {0, 1, 2} b) 4 {0, 1, 2} 2) Relaes de InclusoRelacionam um conjunto com outro conjunto. Temos a seguinte simbologia de incluso: (est contido), (no est contido), (contm)e (no contm). Exemplo 2: a) {2, 5} {0, 1, 2, 5} b) {2, 7} {0, 1, 2, 5} c) {0, 1, 2, 5} {2, 5} d) {0, 1, 2, 5} {2, 7} 3) Subconjunto Diz-se que A subconjunto de B se todo elemento de A tambm elemento de B. Exemplo 3:a) {2} subconjunto de {1, 2, 3}b) {1, 3} subconjunto de {1, 3, 5} 4) Conjunto das Partes de um Conjunto O conjunto das partes de um conjunto A, simbolizado por P(A), o conjunto cujos elementos so todos partes (subconjuntos) de A. O nmero de partes (subconjuntos) de um conjunto A dado por2n, em que n onmero de elementos de A. Exemplo 4: Dado o conjunto A={1, 2, 3}, encontrar o conjunto das partes de A. Soluo: Como A tem 3 elementos, P(A) ter 8 elementos (=23).OconjuntoP(A){{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},}.Ondeosmbolo representa o conjunto vazio. Este sempre subconjunto de qualquer conjunto. 5) Operaes com Conjuntos ConsiderandoosconjuntosA,Beoconjunto-universoU,daremosadefiniodecada operao com conjuntos: www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos Raciocnio Lgico 2 Conjuntos a) Unio () A unio entre dois conjuntos, AB, o conjunto formado pela reunio dos elementos de A e de B. Simbolicamente: AB = {x | xA ou xB}. Exemplo 5: {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {1, 2, 3, 5, 8} (Resposta!) A representao grfica da unio entre dois conjuntos dada pelo seguinte desenho: b) Interseo () Aintersecoentredoisconjuntos,AB,oconjuntoformadopeloselementosqueso comuns aos dois conjuntos. Simbolicamente: AB = {x | xA e xB}. Exemplo 6: {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {2} (Resposta!) Representao grfica da interseco entre dois conjuntos: c) Diferena () A diferena entre dois conjuntos, BA, o conjunto formado pelos elementos de B que no pertencem a A. Simbolicamente: BA = {x | xB e xA}. Exemplo 7: {1, 2, 3} {2, 5, 8} = {1, 3} (Resposta!) Arepresentaogrficadadiferenaentredoisconjuntos(B-A)dadapeloseguinte desenho: d) Complementar (') O complementar do conjunto A, simbolizado por A', o conjunto formado pelos elementos do conjunto universo (U) que no pertencem a A. Simbolicamente: A'={xU|xA}. A representao grfica do complementar do conjunto A dada pelo seguinte desenho: AB U A U www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos Raciocnio Lgico 3 Conjuntos e) Diferena simtrica entre dois conjuntos (D) A diferena simtrica entre dois conjuntos definida por: ADB = (AB)(AB). Exemplo 8: Considerando os conjuntos A={1, 2, 3} e B={2, 5, 8}, encontre ADB. Soluo: (AB) = {1, 2, 3}{2, 5, 8} = {1, 2, 3, 5, 8} (AB) = {1, 2, 3}{2, 5, 8} = {2}ADB = (AB)(AB) = {1, 2, 3, 5, 8}{2} = {1, 3, 5, 8} (Resposta!) Arepresentaogrficadadiferenasimtricaentredoisconjuntos(ADB)dadapelo seguinte desenho: f) Frmula da UnioExisteumafrmulaquerelacionaonmerodeelementosdaunio,daintersecoedos conjuntos individuais. A frmula dada por: n(AB) = n(A) + n(B) n(AB) Se forem trs conjuntos a frmula ser: n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)n(AB)n(AC)n(BC)+n(ABC) Exemplo9:CalculeonmerodeelementosdauniodosconjuntosAeBapartirdos seguintes dados: n(A)=10, n(B)=7, n(AB)=5. Soluo: Substituiremos os dados na frmula da unio. Teremos: n(AB) = n(A)+n(B)n(AB) = 10+7-5 n(AB) = 12 (Resposta!) Estanoanicamaneiradesechegarresposta.Fazendoodesenhodoscrculose escrevendo nestes os dados fornecidos, facilmente chegaremos mesma resposta! www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos Raciocnio Lgico 4 Conjuntos Exemplo 10: Considere o diagrama abaixo onde o retngulo representa o conjunto-universo U e os crculos representam os conjuntos A e B. Com base no desenho, determine: a) O conjunto A Sol.:A = {1, 2, 3, 4, 5} e n(A)=5 b) O conjunto B Sol.:B = {4, 5, 6, 7, 8,9} e n(B)=6 c) O nmero de subconjuntos de A Sol.:2n = 25 = 32subconjuntosd) O nmero de subconjuntos de B Sol.:2n = 26 = 64subconjuntose) A unio de A e B Sol.:A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} f) A interseco entre A e B Sol.:A B = {4, 5} g) A diferena AB Sol.:A-B = {1, 2, 3} h) A diferena BA Sol.:B - A = {6, 7, 8, 9} i) O complementar de A Sol.:A' = U - A = {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} j) O complementar de B Sol.:B' = U - B = {1, 2, 3, 10, 11, 12, 13} l) Diferena simtrica entre A e B Sol.:ADB = (AB)(AB) = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9} B 6 7 8 9 4 5 12 13 11 10 U 1 2 3 A www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos Raciocnio Lgico 5 Conjuntos CONJUNTOS 01.(PETROBRAS2007CESPE)Oitemabaixoapresentadadoshipotticosarespeitodeuma pesquisa, tambm hipottica, seguidos de uma assertiva a ser julgada. 1. Uma pesquisa foi feita entre estudantes, para identificar quem fala ingls ou espanhol. Entre os pesquisados,100alunosresponderamquefalamingls;70responderamquefalamespanhol; 30 responderam que falam ingls e espanhol e 45 responderam que no falam nenhuma dessas duas lnguas. Nessa situao, correto afirmar que o nmero totalde estudantes pesquisados foi de 185. 02.(TRT 1 Regio Anal Jud 2008 CESPE) Em uma universidade, setorizada por cursos, os alunos decadacursopodemcursardisciplinasdeoutroscursosparaintegralizaodeseus currculos.Porsolicitaodadiretoria,osecretriodocursodeMatemticainformouque, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Fsica; 90, do curso de Biologia; 55,docursodeQumica;32,doscursosdeBiologiaeFsica;23,doscursosdeQumicae Fsica;16,doscursosdeBiologiaeQumica;e8cursamdisciplinasdessestrscursos.O secretrioinformou,ainda,queessadistribuioincluitodososalunosdocursode Matemtica.Com relao a essa situao, julgue os itens seguintes. 1. Se as informaes do secretrio acerca dos alunos do curso de Matemtica estiverem corretas, ento,dosalunosquecursamdisciplinasdeapenasumdosoutroscursos,amaior concentrao de alunos estar no curso de Fsica.2. Considerando corretas as informaes do secretrio acerca dos alunos do curso de Matemtica, mais de 50 desses alunos cursam disciplinas de apenas dois dos outros cursos mencionados. 03.(SEFAZ-ES2010CESPE)Em2009,oProgramadeEducaoFiscaldaSEFAZrealizou48 eventos, entre reunies, seminrios, palestras, capacitaes de professores e treinamento de servidores. A atuao abrangeu 27 municpios capixabas. Suponhaquetodososeventosmencionadosnotextoacimaatrarampblicoeque,entreos participantes,2milpessoascompareceramspalestras,1.500pessoas,aosseminriose500 pessoas,aosdemaiseventos.Consideretambmque500pessoasparticiparamdepalestrase seminrios,800pessoasparticiparamapenasdeseminrios,200pessoasnoparticiparamde palestras ou seminrios e 25 pessoas participaram de todos os tipos de eventos. De acordo com essa situao hipottica e com o texto acima, julgue os itens a seguir. 1. Menos de 1.400 pessoas participaram apenas de palestras. 2. Mais de 750 pessoas participaram de dois ou mais tipos de eventos. 04.(STFTcJud2008CESPE)Umapesquisaenvolvendo85juzesdediversostribunaisrevelou que 40 possuam o ttulo de doutor, 50 possuam o ttulo de mestre, 20 possuamsomente o ttulodemestreenoeramprofessoresuniversitrios,10possuamosttulosdedoutore mestreeeramprofessoresuniversitrios,15possuamsomenteottulodedoutoreno eramprofessoresuniversitriose10possuamosttulosdemestreedoutorenoeram professores universitrios. www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos Raciocnio Lgico 6 Conjuntos Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes. 1.Menosde50dessesjuzespossuemottulodedoutoroudemestremasnosoprofessores universitrios. 2. Mais de 3 desses juzes possuem somente o ttulo de doutor e so professores universitrios. 3. Menos de 35 desses juzes so professores universitrios. 4.Maisde10dessesjuzessoprofessoresuniversitriosmasnotmttulodedoutornemde mestre. 05.(MEC2011CESPE)Uminstitutodeensinooferecetrscursosprofissionalizantes:de contabilidade,deinformticaedeadministrao.Asmatrculasdosalunosdesseinstituto estoassimdistribudas:100emcontabilidade,70eminformtica,55emadministrao,30 em contabilidade e informtica e 25 em informtica e administrao. Com base nessas informaes e sabendo que nenhum aluno est matriculado, ao mesmo tempo, nos cursos de contabilidade e administrao, julgue os itens que se seguem. 1. A quantidade de alunos matriculados apenas no curso de administrao igual ao dobro da de alunos matriculados apenas em informtica.2. O instituto possui mais de 200 alunos matriculados nos trs cursos.3.Se15alunosmatriculadosapenasemcontabilidadetrocaremdecursoesematricularem apenasemadministraoese10alunosmatriculadosapenasemcontabilidadesematricularem tambmeminformtica,entoinformticaserocursocomomaiornmerodealunos matriculados. 06.(Agente de Policia Civil do ES 2009 CESPE) Considere que em um canil estejam abrigados 48 ces, dos quais: - 24 so pretos; - 12 tm rabos curtos; - 30 tm plos longos; - 4 so pretos, tm rabos curtos e no tm plos longos; - 4 tm rabos curtos e plos longos e no so pretos; - 2 so pretos, tm rabos curtos e plos longos. Ento,nessecanil,onmerodecesabrigadosquesopretos,tmploslongosmasnotm rabos curtos superior a 3 e inferior a 8. 07.(Polcia Civil/ES 2010 CESPE) Julgue o item seguinte: 1. Considere que os conjuntos A, B e C tenham o mesmo nmero de elementos, que A e B sejam disjuntos,queauniodostrspossua150elementosequeainterseoentreBeCpossuao dobro de elementos da interseo entre A e C. Nesse caso, se a interseo entre B e C possui 20 elementos, ento B tem menos de 60 elementos. www.cursoagoraeupasso.com.br Prof. Weber Campos Raciocnio Lgico 7 Conjuntos 08.(TRT5 Regio Tec Jud 2008 CESPE) No cursodelnguas Esperanto, os 180 alunos estudam ingls,espanholougrego.Sabe-seque60alunosestudamespanholeque40estudam somente ingls e espanhol. Com base nessa situao, julgue os itens que se seguem.1. Se 40 alunos estudam somente grego, ento mais de 90 alunos estudam somente ingls.2.Seosalunosqueestudamgregoestudamtambmespanholenenhumaoutralnguamais, ento h mais alunos estudando ingls do que espanhol.3.Seos60alunosqueestudamgregoestudamtambminglsenenhumaoutralnguamais, ento h mais alunos estudando somente ingls do que espanhol. 09.(DETRAN-DF2009CESPE)Sabendo-sequedos110empregadosdeumaempresa,80so casados,70possuemcasaprpriae30sosolteirosepossuemcasaprpria,julgueositens seguintes. 1. Mais da metade dos empregados casados possui casa prpria. 2. Dos empregados que possuem casa prpria h mais solteiros que casados. 10.(Polcia Civil/ES 2010 CESPE) No ano de2002,o estado do Esprito Santo registrou um total de953vtimasdeacidentesdetrnsito,sendoque177eramdosexofemininoe331eram jovensde15a29anosdeidade.Entreosjovensde15a29anosdeidade,onmerode vtimasdosexomasculinototalizava283pessoas.Internet:(com adaptaes). De acordo com as informaes do texto acima, julgue os itens que se seguem. 1. O nmero de vtimas do sexo feminino que tem menos de 15 anos ou mais de 29 anos de idade maior que 125. 2. O nmero de vtimas do sexo feminino ou de jovens de 15 a 29 anos de idade inferior a 500. 3. O nmero de vtimas jovens de 15 a 29 anos de idade do sexo masculino maior que seis vezes o nmero de vtimas do sexo feminino da mesma faixa etria. Gabarito: 1. C 2. EC 3. EC 4. CCXX 5. CEE 6. C 7. E 8. ECE 9. EE 10. CCE