AJUSTE DE CONTROLADORES PI E PID PARA PLANTAS ESTAVEIS EINSTAVEIS

Joao C. Basilio, Victor N. Nogueira

Universidade Federal do Rio de JaneiroCOPPE - Programa de Engenharia Eletrica

Cidade Universitaria - Ilha do Fundao21.945-970 - Rio de Janeiro - R. J.

E-mails: basilio@dee.ufrj.br, vicnn@uol.com.br

Resumo— Uma maneira sistematica de se obter a regiao de estabilidade para os controladores P, PI e PID parauma dada planta modelada por uma funcao de transferencia racional, isto e, um conjunto de pontos kp, (kp, ki)e (kp, ki, kd) que tornam o sistema realimentado estavel foi recentemente apresentada. Contudo, nos trabalhosque se seguiram nao foi feito uso dessa regiao para se projetar controladores PI e PID que atendam outrosobjetivos de projeto, tais como melhoria dos regimes transitorios da resposta a sinais de referencias e da rejeicaode perturbacao de sinais do tipo degrau. Neste artigo sera proposto um metodo de ajuste dos controladores PID,supondo conhecida a funcao de transferencia da planta. Sera utilizado um criterio de otimizacao quadratico emque fazem parte desta funcao a norma quadratica do sinal do erro e da componente do sinal de perturbacaono sinal de saıda. Para minimizar este custo, que e funcao dos parametros do controlador PID, sera utilizadoalgoritmo Genetico, onde o espaco da busca sera a regiao na qual o sistema em malha fechada e estavel. Umavez que a varredura sera feita sobre a regiao de estabilidade, os controladores PI e PID obtidos garantem aestabilidade do sistema realimentado para plantas estaveis ou instaveis.

Abstract— A systematic way to obtain the stability region for PI and PID controllers for a plant modeled bya rational transfer function, i.e., the set of points kp, (kp, ki) and (kp, ki, kd) that make the closed-loop systemstable has been recently presented. However, in the works that followed this result, use has not been made ofthis parametrization to design PI and PID controllers that address other design objectives, such as, transientperformance with respect to reference step signal and disturbance rejection to step signal, as well. In this paper,a new method for tuning PI and PID controllers is proposed, assuming that the plant transfer function is known.A quadratic optimization criterion formed by the l2-norms of the error signal and of the output component ofthe disturbance signal will be used. In order to search for the controller parameter which minimizes this costfunction, genetic algorithm is used, where the feasibility region is given by the PI and PID stability region. Sincethe search is carried out over the stability region, the PI and PID controllers obtained ensure closed-loop stabilityfor both stable and unstable plants.

Key Words— PID controller design, optimal control, genetic algorithm.

1 Introducao

Os controladores PID tem sido muito utilizadosem sistemas de controles industriais ha decadas,mais precisamente, desde que, Ziegler e Nicholspropuseram o primeiro metodo de ajuste de con-troladores PID (Ziegler e Nichols, 1942), tendo acapacidade de estabilizar e controlar cerca de 90%dos processos industriais existentes Oviedo et al.(2006). Com o objetivo de comparar as diversastecnicas de projeto, Cominos e Munro (2002) de-senvolveram um trabalho, resumindo alguns dosmetodos recentes de projetos de controladoresPID, tais como: o metodo de Ziegler-Nichols, dere-alocacao de polos, projetos baseados em especi-ficacoes em ganhos de fase e de margem, tecnicasde polinomios de intervalos, projetos baseados noteorema da estabilidade de Nyquist, AlgoritmoGeneticos para ajustes de PID, ajustes de PID uti-lizando a teoria da interacao adaptativa, metodosbaseados em cancelamento, metodos de integracaode magnitude multipla otima, entre outras, vi-sando apresentar vantagens e desvantagens destesmetodos.

Mais recentemente, outros metodos de ajuste

de parametros de controladores PID foram desen-volvidos visando melhorar o desempenho de sis-temas realimentados com este controlador. Geet al. (2001) propuseram um metodo de pro-jeto de controladores PID robustos em que uti-lizam tecnicas padroes como reguladores linearesquadraticos (LQR) e H∞ e solucionam o problemaproposto utilizando LMI. Em Ho et al. (2001)e apresentada uma generalizacao do teorema deHermite-Biehler, com o objetivo de se ter uma ca-racterizacao para todos os controladores PID queestabilizem uma dada planta. Astrom e Hagglund(2004) revisaram o metodo de resposta ao degraude Ziegler-Nichols, utilizando uma forma de malharobusta. Em Toscano (2004), tem-se um trabalhode projeto de controlador PID robusto, utilizandoa curva de Nyquist da funcao de transferencia demalha aberta. Oviedo et al. (2006) utiliza umaidentificacao do sistema e, posteriormente umaotimizacao de um criterio do erro, como a integraldo erro absoluto (IAE), a energia do erro e a inte-gral da multiplicacao do erro pelo tempo (ITAE).Um primeiro trabalho que considera o ajuste decontroladores PID para plantas instaveis foi apre-sentado por (Shafiei e Shenton, 1994), sem con-

tudo caracterizar as condicoes necessarias para aestabilizacao das plantas instaveis pelos controla-dores PID.

O problema da estabilizacao de plantasestaveis e instaveis utilizando controladores P, PIe PID foi considerado em Datta et al. (2000) eSilva et al. (2004); esse ultimo para sistemas comatraso. Nesses trabalhos, diferentemente da abor-dagem apresentada por (Shafiei e Shenton, 1994),foi apresentada uma caracterizacao dos controla-dores PI e PID estabilizantes, isto e, conjuntosde pontos kp, (kp, ki) e (kp, ki, kd) cujos contro-ladores PI e PID tornam o sistema realimentadoestavel. Contudo, uso nao foi feito dessa regiaopara considerar outros objetivos de projeto, taiscomo resposta transitoria e rejeicao de sinais ex-ternos de perturbacao.

Nesse artigo sera proposto um metodo deajuste dos controladores PID, supondo conhecidaa funcao de transferencia da planta. Sera utili-zado um criterio de otimizacao quadratico em quefazem parte desta funcao a norma quadratica dosinal do erro e da componente do sinal de per-turbacao no sinal de saıda. Para minimizar estecusto, que e funcao dos parametros do contro-lador PID, sera utilizado o Algoritmo Genetico,onde o espaco da busca sera a regiao na qual osistema de malha fechada e estavel, ou seja, ospontos (kp, ki, kd) que tornam o sistema compen-sado estavel. Uma vez que a varredura e feitasobre a regiao de estabilidade, os controladores PIe PID obtidos garantem a estabilidade do sistemarealimentado para plantas estaveis ou instaveis.

Esse artigo esta estruturado da seguinteforma. A Secao 2 apresenta uma breve revisao doproblema da estabilizacao de sistemas realimenta-dos utilizando controladores P, PI e PID resolvidoem Datta et al. (2000). Na Secao 3 e proposto umfuncional de custo quadratico para o ajuste dosparametros de controladores PI e PID que leveem conta os objetivos de rastreamento do sinalde referencia, a rejeicao de sinais externos de per-turbacao e a saturacao do sinal de controle. Autilizacao de algoritmos geneticos na solucao doproblema de otimizacao proposto e consideradana Secao 4. Na Secao 5 e apresentado um exem-plo ilustrativo e sao feitas algumas consideracoessobre a existencia de solucoes. Finalmente, as con-clusoes sao apresentadas na Secao 6.

2 Estabilizacao de sistemas realimentadosutilizando controladores P, PI e PID

Considere o diagrama de blocos da figura 1 em queG(s) e K(s) denotam, respectivamente, a plantaa ser controlada e o controlador a ser projetado,u(t) e o sinal de controle, e(t) e o sinal do erro,que e a diferenca entre o sinal de referencia r(t) eo sinal de saıda medido y(t), d(t) representa umsinal externo de perturbacao, N(s) e o ruido de

����-���� - - ---

6

?����

����

���� ���� ��� ���

��

� �?

���

Figura 1. Diagrama de blocos de um sistema realimentadocom controlador.

medicao e x(t) e o sinal de saıda. O controladora ser considerado neste trabalho e o do tipo PIDcuja forma geral e:

u(t) = kpe(t) + ki

∫ t

0

e(λ)dλ + kdd

dte(t) (1)

sendo kp, ki e kd, respectivamente, os ganhos pro-porcional, integral derivativo. Suponha que G(s)seja descrita por uma funcao de transferencia ra-cional, isto e,

G(s) =B(s)A(s)

(2)

sendo B(s) e A(s) coprimos e gr[B(s)] = m egr[A(s)] = n (m ≤ n), com gr(.) denotando ograu de um polinomio e considere as seguintes fa-toracoes de B(s) e A(s):

B(s) = Be(s2) + sBo(s

2) e A(s) = Ae(s2) + sAo(s

2).(3)

2.1 Caracterizacao de todos os controladoresproporcionais estabilizantes

Seja, inicialmente, K(s) = kp. E facil verificarque o polinomio caracterıstico de malha fechadaδ(s, k) e dado por:

δ(s, k) = A(s) + kB(s). (4)

Usando as Eqs. (3) e (4) e substituindo-se s = jω,pode-se escrever:

δ(jω, k)B∗(jω) = p(ω, k) + jq(ω) (5)

sendo B∗(s) = B(−s) e

p(ω, k) = p1(ω) + kp2(ω),

p1(ω) = [Ae(−ω2)Be(−ω2)

+ω2Ao(−ω2)Bo(−ω2)], (6)

p2(ω) = [Be(−ω2)Be(−ω2)

+ω2Bo(−ω2)Bo(−ω2)],

q(ω)=ω[Be(−ω2)Ao(−ω2)

−Ae(−ω2)Bo(−ω2).

Defina

pf (ω, k) =p(ω, k)

(1 + ω2)m+n

2

e qf (ω) =q(ω)

(1 + ω2)m+n

2

.

(7)

e suponha que 0 = ω0 < ω1 < ω2 < . . . < ωl−1

denote os zeros reais, nao-negativos, distintos

e finitos de qf (ω) com multiplicidade ımpara.Forme um conjunto A de todas as possıveissequencias de numeros i0, i1, i2, ..., il que podemser geradas satisfazendo as seguintes condicoes:(i) Se B∗(jωt) = 0 para algum t = 1, 2, . . . , l − 1,entao define-se it = 0; caso contrario it ∈ {−1, 1};(ii) Se B∗(jωt) tem um zero de multiplicidade p

na origem, entao define-se i0 = sgn[p(p)1f

(0)]; casocontrario i0 ∈ {−1, 1}, sendo

p1f(ω) :=

p1(ω)

(1 + ω2)(m+n)

2

e

sgn(x) ={

1, x ≥ 00, x < 0 .

(iii) il = 0 se m + n e ımpar; il ∈ {−1, 1}se m + n e par. Para cada um dos elementosI = {i0, i1, . . . , il} do conjunto A obtido acima,calcule a sua assinatura imaginaria γ(I) da se-guinte forma: suponha que 0 = ω0 < ω1 < ω2 <. . . < ωl−1 denotem os zeros reais, nao-negativos,distintos e finitos de qf (ω) com multiplicidadeımpar e defina ωl = ∞. Entao:

γ(I) :=

8>><>>:

{i0 − 2i1 + 2i2 + . . . + (−1)l−12il−1+

(−1)lil}(−1)l−1sgn[q(∞)], m + n par

{i0 − 2i1 + 2i2 + · · ·+ (−1)l−12il−1}(−1)l−1sgn[q(∞)], m + n ımpar

(8)

Forme agora o conjunto F ∗ com os elementosdo conjunto A cujas assinaturas sao iguais a n −{l[B(s)]− r[B(s)], isto e:

F ∗ = {I ∈ A : γ(I) = n− {l[B(s)]− r[B(s)]},sendo l(.) e r(.) os numeros de raızes de B(s) nossemi-planos esquerdo e direito do plano s, respec-tivamente. A estabilizacao de sistemas realimen-tados com controladores proporcionais e regidapelo seguinte teorema.Teorema 1 (Datta et al., 2000) O problema daestabilizacao de sistemas realimentados compensa-dos com controladores proporcionais realimentadotem solucao para uma dada planta com funcao detransferencia G(s) se e somente se as seguintescondicoes sao asseguradas:(i) F ∗ e nao vazio e(ii) Existe uma sequencia I = {i0, i1, . . . , il} ∈ F ∗

tal que

maxit∈I,it>0

[− 1

G(jωt)

]< min

it∈I,it<0

[− 1

G(jωt)

].

Alem disso, se a condicao acima e satisfeita pe-las sequencias viaveis I1, I2, . . . , Is ∈ F ∗, entaoo conjunto de todos os ganhos que estabilizam osistema e dado por K = ∪s

r=1Kr, sendo

Kr = ( maxit∈I,it>0

[− 1

G(jωt)], min

it∈I,it<0[− 1

G(jωt)]),

r = 1, 2, . . . , s. (9)

¤aNote que estes zeros sao independentes de kp.

2.2 Caracterizacao de todos os controladores PIestabilizantes

Sendo, agora, o controlador do tipo PI, K(s), teraa seguinte funcao de transferencia:

K(s) = kp +ki

s=

ki + kps

s.

Consequentemente o polinomio caracterıstico demalha fechada sera

δ(s, kp, ki) = sA(s) + (ki + kps)B(s). (10)

Fatorando B(s) e A(s) de acordo com a Eq. (3),calculando δ(s, kp, ki)B∗(s) e, substituindo s =jω, obtem-se: Substituindo s = jω, obtem-se:

δ(jω, kp, ki)B∗(jω) = p(ω, ki) + jq(ω, kp) (11)

sendo

p(ω, ki) = p1(ω) + kip2(ω)q(ω, kp) = q1(ω) + kpq2(ω)

p1(ω) = −ω2(Be(−ω2)Ao(−ω2)−Ae(−ω2)Bo(−ω2))

p2(ω) = Be(−ω2)Be(−ω2)+ω2Bo(−ω2)Bo(−ω2))

q1(ω) = ω(Ae(−ω2)Be(−ω2)+ω2Ao(−ω2)Bo(−ω2))

q2(ω) = ω(Be(−ω2)Be(−ω2)+ω2Bo(−ω2)Bo(−ω2))

(12)

De forma analoga a Secao 2.1, definindo

pf (ω, ki) =p(ω, ki)

(1 + ω2)m+n

2

, qf (ω, kp) =q(ω, kp)

(1 + ω2)m+n

2

,

(13)

tem-se que ki e kp aparecem somente em pf (ω, ki)e qf (ω, kp), respectivamente. Alem disso, paratodo kp fixo, os zeros de q(ω, kp) nao dependemde ki e, portanto, os resultados apresentados naSecao 2.1 podem ser aplicados para encontrar (seexistir) os intervalos de ki que tornam o sistemarealimentado estavel para um dado valor de kp.Assim variando-se o valor de kp e resolvendo-se oproblema de estabilizacao para o controlador pro-porcional, expresso agora para ki, encontra-se osintervalos desejados para ki. Deve ser ressaltadoque o intervalo da “varredura” de kp nao precisaser (−∞,∞). Em muitos casos pode-se reduzireste intervalo fazendo-se uso de conceitos utili-zados na construcao do lugar das raızes. Paratanto, escreva q(ω, kp) = ω[U(ω)+kpV (ω)], comoU(ω) = Ae(−ω2)Be(−ω2)+ω2Ao(−ω2)Bo(−ω2) eV (ω) = Be(−ω2)Be(−ω2) + ω2Bo(−ω2)Bo(−ω2).E facil verificar que q(ω, kp) tem pelo menos umaraız real, nao-negativa na origem e, assim, parase determinar os zeros reais 0 = ω0 < ω1 <ω2 < . . . < ωl−1 nao-negativos, distintos e fini-tos de qf (ω) com multiplicidade ımpar para dife-rentes intervalos de kp basta achar os valores dekp correspondentes aos pontos de partida/chegadano eixo real. Definindo-se kp0 = −∞ e kpz+1 =∞, entao ωi, i = 1, 2, . . . , z sao as raızes reais

multiplas de U(ω) + kpV (ω) = 0 que correspon-dem aos valores de kpi

,i = 1, 2, . . . , z + 1. Noteainda que para kp ∈ (kpi , kpi+1), as raızes reais deU(ω) + kpV (ω) = 0 sao simples e o numero deraızes reais de U(ω) + kpV (ω) = 0 e invariante.

2.3 Caracterizacao dos controladores PID esta-bilizantes

Nesse caso o controlador tera a seguinte funcao detransferencia:

K(s) = kp +ki

s+ ks =

ki + kps + kds2

s. (14)

Nessa Secao, sera mostrado como o resultado daSecao 2.2, pode ser estendido para resolver o pro-blema de se determinar os ganhos kp, ki, e kd,para que o sistema realimentado da figura 1 sejaestavel. Procedendo-se como nas secoes 2.1 e 2.2,obtem-se inicialmente as decomposicoes de B(s)e A(s) em suas partes par e ımpar. Em seguida,multiplicando-se o polinomio caracterıstico de ma-lha fechada δ(s, kp, ki, kd) por B∗(s) e, finalmente,fazendo a substituicao s = jω, obtem-se:

δ(jω, kp, ki, kd)B∗(jω) = p(ω, ki, kd) + jq(ω, kp),

sendo

p(ω, ki, kd) = p1(ω) + (ki − kdω2)p2(ω);

q(ω, kp) = q1(ω) + kpq2(ω);

p1(ω) = −ω2(Be(−ω2)Ao(−ω2)

−Ae(−ω2)Bo(−ω2));

p2(ω) = Be(−ω2)Be(−ω2) (15)

+ω2Bo(−ω2)Bo(−ω2));

q1(ω) = ω(Ae(−ω2)Be(−ω2)

+ω2Ao(−ω2)Bo(−ω2));

q2(ω) = ω(Be(−ω2)Be(−ω2)

+ω2Bo(−ω2)Bo(−ω2)).

Definindo

pf (ω, ki, kd) =p(ω, ki)

(1 + ω2)m+n

2

,

qf (ω, kp) =q(ω, kp)

(1 + ω2)m+n

2

,(16)

ve-se, mais uma vez, que ki e kd aparecem so-mente em p(ω, ki, kd) e que kp aparece somenteem q(ω, kp). Assim para todo kp fixo, os zeros deq(ω, kp) nao dependem de ki ou de kd e, entao,pode-se usar o resultado encontrado na Secao 2.1para determinar os valores de ki e kd que tornamo sistema realimentado estavel. Contudo, comopara cada valor de kp, duas variaveis devem serdeterminadas, utiliza-se programacao linear paraencontrar os intervalos de ki e kd associados a cadakp.

Seja gr[δ(s, kp, ki, kd)] = nδ e considere afuncao qf (w) definida pela Eq. (16). Suponhaque 0 = ω0 < ω1 < ω2 < . . . < ωl−1 denotem

os zeros reais, nao-negativos, distintos e finitos deqf (ω) com multiplicidade ımpar. Crie sequenciasde numeros i0, i1, i2, . . . , il da seguinte forma:(i) Se B∗(jωt) = 0 para algum t = 1, 2, . . . , l − 1,entao it = 0 e caso contrario it ∈ {−1, 1}(ii) Se B∗(jωt) tem uma zero de multiplicidade kn

na origem, faca i0 = sgn[pkn1f

(0)] e caso contrarioi0 ∈ {−1, 1},sendo

p1f(ω) :=

p1(ω)

(1 + ω2)(m+n)

2

;

(iii) Para todos os outros t = 0, 1, 2, . . . , l, seit ∈ {−1, 1}. Alem disso, e nδ + m e par,il ∈ {−1, 1} e se nδ + m e ımpar, il = 0. Formeo seguinte conjunto Akp = {I = {i0, i1, . . . , il} :Isatisfaca as condicoes (i) e (iii)}. Para cada I ∈Akp

, calcule a sua assinatura imaginaria:

γ(I) :=

8>><>>:

{i0 − 2i1 + 2i2 + . . . + (−1)l−12il−1 + (−1)lil}(−1)l−1sgn[q(∞, kp)] para m + nδ par

{i0 − 2i1 + 2i2 + . . . + (−1)l−12il−1}(−1)l−1sgn[q(∞, kp)] para m + nδ ımpar

,

e forme o conjunto

F ∗kp= {I ∈ Akp : γ(I) = n− [l(B(s))− r(B(s))].}

A estabilizacao de sistemas realimentados utilizandocontroladores PID e regida pelo seguinte teorema.

Teorema 2 (Datta et al., 2000) O problema da es-tabilizacao de controladores PID, com um kp fixo, eresolvido para uma dada planta com funcao de trans-ferencia G(s) se e somente se as seguintes condicoessao satisfeitas:(i) F ∗kp

nao e vazio e,(ii) Existe uma sequencia I = {i0, i1, . . . il} ∈ F ∗kp

evalores de ki e kd tais que ∀t = 0, 1, 2, . . . , l para osquais, B∗(jωt) 6= 0,

p(ωt, ki, kd)it > 0, (17)

sendo p(ωt, ki, kd)it definido de acordo com a Eq.(15). Alem disso, se existirem valores de ki e kd

que satisfacam a condicao acima para as sequenciasviaveis I1, I2, . . . , Is ∈ F ∗kp

, entao o conjunto devalores de (ki, kd) que levam a controladores PIDque estabilizam o sistema realimentado, correspon-dente a um kp fixo, e a uniao dos valores de (ki, kd)que satisfazem a desigualdade (17) para I1, I2, . . . , Is.

¤

3 Funcionais de custo quadraticos paraajuste dos parametros de controladores PI

e PID

Uma maneira de se considerar o objetivo de desempe-nho transitorio no projeto de controladores e atravesda formulacao de um problema de otimizacao definidoem termos de uma funcao de custo quadratica J , de-finida da seguinte forma:

J =

Z ∞

0

e2(t)dt + α

Z ∞

0

y2d(t)dt = ‖e‖22 + α‖yd‖22,

(18)

sendo e(t) o sinal do erro, yd(t) a componente do sinalde perturbacao no sinal de saıda y(t) e α ∈ R∗ e uti-lizado para estabelecer uma ponderacao entre os ob-jetivos de rastreamento e de rejeicao de perturbacao.Utilizando o teorema de Parseval (Lathi, 1968), tem-se que a Eq. (18) e equivalente a:

J = ‖E‖22 + α‖Yd‖22, (19)

send E(s) e Yd(s), respectivamente, as transformadasde Laplace dos sinais e(t) e yd(t). O funcional de custo(19) pode ser modificado com o objetivo de limitar osinal de controle (Basilio, 1989), da seguinte forma:

J = ‖Ew‖22 + α‖Yd‖22, (20)

sendoEw(s) = W (s)E(s), (21)

com W (s) descrito pela seguinte funcao racional

W (s) =s + γ

s + β, (22)

em que γ, β ∈ R+. Note que o termo W (s) funcionacomo uma funcao de ponderacao, que produz o efeitode bloquear sinais de alta ou de baixa frequencia, de-pendendo dos valores de γ e β; quando γ e maior queβ os sinais de baixa frequencia presentes em e(t) saoatenuados e quando o contrario ocorre (isto e γ < β),os sinais de alta frequencia presentes em e(t) sao ate-nuados. Dessa forma, os parametros γ e β represen-tam novos parametros de projeto a serem arbitradospelo projetista. Sendo G(s) descrita pela Eq. (2),R(s) = R/s, D(s) = D/s (R, D ∈ R e notando queK(s) pode ser escrito como

K(s) =C(s)

s,

em que C(s) = kps+ki para controladores PI e C(s) =kds2 + kps + ki para controladores PID, nao e difıcilverificar que Ew(s) e Yd(s) podem ser escritos como:

Ew(s) =(s + γ)A(s)R

(s + β)(sA(s) + B(s)C(s)),

Yd(s) =B(s)D

sA(s) + B(s)C(s).

Observacao 1 O uso de normas quadraticas, alemde permitir considerar os objetivos de projetos aquiperseguidos, possui ainda a vantagem adicional de queseu computo pode ser feito diretamente de uma repre-sentacao em espaco de estados associada a funcao ra-cional e do calculo do gramiano de controlabilidade.Isso representa uma vantagem significativa, uma vezque as variaveis a serem determinadas aparecem noscoeficientes dos polinomios das funcoes racionais cu-jas normas devem ser calculadas. Assim, o problemade otimizacao definido para o custo definido pela Eq.(20) nao possui solucao fechada, exigindo entao umabusca no espaco de parametros (kp, ki, kd). ¤

4 Uso de algoritmos geneticos no ajuste dosparametros de controladores PI e PID

otimos quadraticos

Os algoritmos geneticos (AG) sao uma famılia de mo-delos computacionais, que e inspirada na teoria daevolucao de Charles Darwin (sobrevivencia do mais

apto). Sao metodos de busca estocasticos baseadosno mecanismo de selecao natural e genetica natural(Dasgupta e Michalewicz, 2001) e tentam “imitar ” ateoria de a adaptacao do indivıduo que e mais forte nomeio onde ele se encontra, por isso tem mais chancede sobrevivencia. Assim o algoritmo gera populacoesde indivıduos que serao mais ou menos aptos a de-terminados meios (funcao que se quer otimizar). Apartir daı, os melhores indivıduos vao gerar novos (emelhores)indivıduos ate que se chegue a solucao doproblema. A popularidade dos AGs se deve, principal-mente, a dois fatos: sao robustos e aplicaveis a umagrande variedade de problemas e sao eficazes e efici-entes, ja que acham solucoes boas e, inclusive, otimaspara o problema, em um tempo razoavel. A estruturabasica do AG pode ser descrita pelo seguinte algo-ritmo.

Algoritmo 1Passo 1: Iniciar o numero da geracao, i=1.Passo 2: Gerar uma populacao aleatoria de cromos-somos Pi.Passo 3: Calcular a Funcao Objetivo de cada cromos-somo e a sua probabilidade de sobrevivencia.Passo 4: Se for alcancado o numero maximo degeracoes, terminar o processo.Passo 5: Baseado na probabilidade de sobrevivencia,realizar a selecao e reproducao dos melhores in-divıduos gerando a populacao Pi1.Passo 6: Aplicar o operador de Cruzamento a po-pulacao Pi1, gerando a populacao Pi2.Passo 7: Aplicar o operador de Mutacao a populacaoPi2 gerando a populacao Pi+1.Passo 8: Incrementar i e voltar ao passo 3. ¤

De acordo com o algoritmo 1, para a obtencaodo controlador PID otimo utilizando o algoritmogenetico, o primeiro passo e a geracao da populacaoinicial. Nesse artigo, foi utilizada uma populacao com50 indivıduos (N=50). A partir desta populacao, efeita a avaliacao da probabilidade de sobrevivenciada mesma. Nesta etapa deve-se calcular os valoresda funcao custo descrita pela Eq. (20) para cada in-divıduo da populacao inicial, sendo importante veri-ficar se o indivıduo (ponto) esta dentro da regiao deestabilidade, uma vez que se o sistema nao for estavel,nao e possıvel calcular o gramiano de controlabilidadeutilizando-se a equacao de Lyapunov. Uma maneirade se contornar esse problema e utilizar, para os in-divıduos fora da regiao de estabilidade, uma outrafuncao uma funcao constante com um valor relativa-mente alto, para que o valor mınimo esteja sempredentro da regiao de estabilidade. Calculada a pro-babilidade de sobrevivencia de cada indivıduo da po-pulacao inicial, faz-se entao a selecao dos indivıduosque tem as melhores probabilidades de adaptacao.Para esta etapa, foi utilizado o metodo de selecao“Stochastic Universal Sampling” (Baker, 1987). Apartir dos indivıduos selecionados, faz-se entao o cru-zamento destes. Neste artigo utilizou-se a probabili-dade de cruzamento Px = 0, 7. Apos esta etapa, tem-se que utilizar o operador mutacao nestes indivıduos.Neste caso a probabilidade de mutacao utilizada foiPm = 0, 01. Com os indivıduos criados depois deutilizados estes operadores, o proximo passo e a re-insercao destes na populacao inicial e, a partir daı,recomecar o processo com esta nova populacao, ate

−10 −5 0 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

kp

ki

(a)

0

5

10−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

kd

ki

kp

(b)

Figura 2. Conjunto de pontos (kp, ki) (a) e (kp, ki, kd) (b)que estabilizam a planta do exemplo 1.

que o numero maximo de geracoes seja alcancado. Onumero maximo de geracoes aqui adotado e 60. Aposalcancar este numero de geracoes, o melhor indivıduoda ultima geracao e o resultado final do processo deotimizacao.

5 Exemplos

Sera agora apresentado um exemplo numerico parailustrar a metodologia proposta nesse artigo. Para aobtencao dos controladores PI e PID otimos, foi utili-zada a biblioteca de funcoes Matlab desenvolvida porChipperfield et al. (1994). Em todos os exemplos foifeito α = 1, isto e, mesma enfase foi dada a rejeicao daperturbacao e ao rastreamento do sinal de referencia,R(s) = 1/s e D(s) = 1/s.

Considere uma planta com a seguinte funcao detransferencia (Datta et al., 2000):

G(s) =s3 − 4s2 + s + 2

s5 + 8s4 + 32s3 + 46s2 + 46s + 17. (23)

A dificuldade dessa planta reside no fato de serinstavel, fase nao-mınima e ter grau relativo igual a2. As regioes de estabilidade para controladores PIe PID estao mostradas nas Figs. 2(a) e (b). Deveser salientando que no tracado dessas regioes, o maisimportante e encontrar os pontos extremos, uma vezque esses definirao uma caixa onde serao geradas aspopulacoes.

Utilizando algoritmo genetico, tem que, apos al-gumas iteracoes, chega-se aos valores de γ = 0, 6 eβ = 2 e, conforme descrito na Secao 4, obtem-se osseguintes controladores:

KPI(s) = 1, 1721 +1, 6715

s,

KPID(s) = 1, 5642 +2, 4249

s+ 1, 8878s.

(24)

Os desempenhos dos sistemas compensados com oscontroladores acima estao mostrados nas Figs. 3(a) e(b) (azul/verde para a resposta do sistema realimen-tado ao controlador PI/PID); a Fig. 3(a) mostra asrespostas ao degrau e a Fig. 3(b) mostra os correspon-dentes sinais de controle. Note que a introducao daacao derivativa melhorou a resposta transitoria ao si-nal de referencia, porem houve uma leve degeneracaoda rejeicao do sinal de perturbacao. Os ındices dedesempenho dos sistemas compensados com os con-troladores PI e PID acima estao mostrados na Tab.1. Na Tab. 1, tr, ts, tp e tspert denotam, respec-tivamente, os tempos de subida, acomodacao, pico eo intervalo de tempo decorrido desde a aplicacao dosinal de perturbacao ate o instante a partir do quala resposta permanece em um intervalo de ±2% dovalor de regime permanente, yinf denota o valor deregime permanente da resposta, PO(%) e E(%) de-notam, respectivamente, os percentuais de ultrapassa-gem das respostas ao degrau e ao sinal de perturbacao,respectivamente.

Observacao 21. Deve ser destacado que a implementacao do contro-lador PID foi feita modificando-se o termo derivativode forma a atuar sobre o sinal de saıda e introduzindo-se um polo em N/kd. Assim, o sinal de saıda do con-trolador UK(s) sera, para efeitos de implementacao,escrito como:

UD(s) = (kp +ki

s)E(s)− kds

τds + 1Y (s),

sendo τd = kp/N no lugar da transformada de Laplaceda equacao (1).2. Embora tenham sido obtidos controladores PI ePID para a planta descrita pela funcao de trans-ferencia (23), nem sempre e possıvel estabilizar plan-tas instaveis com controladores PI ou PID. Por exem-plo, para a planta com funcao de transferencia

G(s) =s2 + 8, 5s + 17, 5

s4 − 15s2 + 10s + 24,

a regiao de estabilidade para controladores PI e PIDe vazia. Nesse caso, o metodo proposto neste artigonao podera ser usado. Isso nao representa uma de-ficiencia do metodo e, sim, da estrutura do controla-dor adotada; nem toda planta instavel pode ser esta-bilizada utilizando-se controladores PI ou PID (Dattaet al., 2000). ¤

6 Conclusao

Uma maneira sistematica de se utilizar a regiao de es-tabilidade para controladores PI e PID proposta porDatta et al. (2000) no projeto de controladores PI ePID otimo para plantas instaveis e tambem estaveisfoi proposta nesse artigo. O algoritmo e de facil im-plementacao, o que da a ele um grande potencial deuso na industria.

Tabela 1. Indices de desempenho relativos ao sistema rea-limentado do exemplo 1

Metodo/ Controlador Controladorındices PI PID

tr 7,7141 4,6856ts 16,9232 6,4027

yinf 1,0000 1,0000tp – 5,4400

PO(%) 0,0000 4,8159umax 9,6087 9,7471tspert 12,2182 5,9297E(%) 18,7717 19,6717

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tempo − t

Res

post

a −

y(t

)

(a)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo − t

Sin

al d

e co

ntro

le −

u(t

)

(b)

Figura 3. Resposta ao degrau e ao sinal de perturbacao(a) e sinal de controle (b) para o sistema compensado comos controladores PI (linha azul) e PID (linha verde) dadosna Eq. (24).

Agradecimentos

Os autores gostariam de agradecer ao CNPq peloapoio financeiro, a Profa. Vilma Alves de Oliveira,pelas discussoes extremamente construtivas e ao Prof.Bhattacharyya pelo encorajamento para submissaodesse artigo para publicacao.

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