(Alexandre Trofino - UFSC) - Sistemas Lineares

Si-tcma- Lincarc-Prof. AlexandreTronoLcpartamcnto dc Automacao c Si-tcma-Ccntro Tccno o.iconivcr-idadc Icdcra dc Santa Catarinaccp SS0!0-900 . Iorianopoi--SCcmai tronocmiut-crlntcrnct httpwwwda-ut-crtronoEstaapostilabemcomoasexperienciasdelaboratorionositewww.das.ufsc.br/labsilsaoderesponsabilidadedoprofessorAlexandreTrono. Estematerialpodeserlivrementeutilizadoparansdidaticos,respeitando-seosdireitosautorais. Ficaproibidoousoparanscomerciais. Todososresultadosdecalculosesimulac oesforamobtidoscomopacotescilabque edistribudogratuitamentenositehttp://www-rocq.inria.fr/scilab.www.das.ufsc.br/labsil 2Conte udo1 IntroducaoGeral 151.1 Termosusuaisemcontrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 SistemasdeMalhaAberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 SistemasdeMalhaFechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 SinaisdeTempoContnuoeDiscreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Denic aodeSistemasLineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 TransformadadeLaplace 192.1 Introduc aoeNoc oesdeFunc oesComplexas . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Denic aoeRegiaodeConvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.1 OperacaoLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Fun caoTransladadaemAtraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.3 Fun coesPorta-deslocadaeImpulso . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.4 Multiplicac aodef(t)poret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.5 MudancanaEscaladeTempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.6 TeoremadaDiferenciacaoReal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.7 TeoremadoValorFinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.8 TeoremadoValorInicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.9 TeoremadaIntegrac aoReal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.10 TeoremadaDiferenciac aoComplexa . . . . . . . . . . . . . . . . 31Conte udo www.das.ufsc.br/labsil 42.3.11 IntegraldeConvoluc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 TransformadaInversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.1 Fra coesparciaisparapolosdistintos. . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.2 Fra coesParciaisparapolosrepetidos . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.3 Fra coesParciaisparacasosespeciais . . . . . . . . . . . . . . . . 392.5 Sinaiscomenergialimitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6 Resoluc aodeEquac oesDiferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7 RespostasdeEstadoZeroeEntradaZero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8 Func aodeTransferenciaeEstabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.9 DiagramadeBlocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.10 SistemasRealimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.10.1 EstabilidadedeConexoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.10.2 SistemasRealimentadosempresencadedist urbios . . . . . . . . . 532.11 Problemascomplementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 RespostaaoDegrau 553.1 Introduc ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 AnalisedeSistemasdePrimeiraOrdem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3 AnalisedeSistemasdeSegundaOrdem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3.1 Casosemamortecimento(= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.2 CasoSubamortecido(0 < < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3.3 CasoSuperamortecido( 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3.4 Casoinstavel(< 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4Indicesdedesempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.5 Servomecanismoparacontroledeposic ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.6 Problemascomplementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734 Respostaemfrequencia 77Conte udo www.das.ufsc.br/labsil 54.1 RespostaSenoidalemRegimePermanente . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 GracosLogartmicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3 Construc aodoDiagramadeBode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.4 SistemasdeFaseMnimaeNao-Mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5 GracosdeNyquist(oupolares). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.6 ProblemasComplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995 SinaiseaTransformadadeFourier 1015.1 ConexoesentreFouriereLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.2 Energiadesinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.3 Calculodealgumastransformadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.1 SinalExponencialUnilateral(t 0) . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.2 SinalPorta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.3 SinalImpulso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.3.4 Fun coesConstante,SinaleDegrau . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.3.5 SinaisSenoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3.6 ExponencialEternaej0t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3.7 Fun coesPeri odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.4 Propriedadesdatransformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.4.2 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.4.3 Escalonamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.4.4 DeslocamentoemFrequenciaeModulac ao . . . . . . . . . . . . . 1135.4.5 DeslocamentonoTempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.4.6 Diferenciac aoeIntegrac aonoTempo . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.4.7 Diferenciac aoemFrequencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.4.8 Convoluc ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Conte udo www.das.ufsc.br/labsil 65.4.9 Amostragem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.5 Problemascomplementares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236 SistemasDiscretoseAmostrados 1256.1 Introduc ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.1.1 Convers aoA/D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.1.2 Convers aoD/AeSample-and-Hold . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.2 SinaiseSistemasdeTempoDiscreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.3 TransformadaZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.3.1 Denic aoeexemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.3.2 Relac aocomatransformadadeLaplace . . . . . . . . . . . . . . 1376.4 PropriedadesdaTransformadaZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.4.2 TeoremadoValorInicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.4.3 TeoremadoValorFinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.4.4 Obtenc aodeF(z)apartirdeF(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.4.5 Convoluc aoDiscreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.5 TransformadaZ Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.5.1 Metododadivisaopolinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466.5.2 MetododasfracoesparciaisdeX(z)/z . . . . . . . . . . . . . . . 1476.6 Soluc aodeEquac oesrecursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.7 Func aodeTransferenciaDiscretaeEstabilidade . . . . . . . . . . . . . . 1516.7.1 RespostasdeEstadoZeroeEntradaZero . . . . . . . . . . . . . 1516.7.2 RespostaaoPulsoeEstabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.8 SistemasAmostrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.9 SistemasRealimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.10 EscolhadoPerododeAmostragem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Conte udo www.das.ufsc.br/labsil 76.11 RespostaemFrequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.12 ProblemasComplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Conte udo www.das.ufsc.br/labsil 8ListadeFiguras1.1 Sistemademalhaaberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Sistemadecontroledemalhafechada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Sistemarealimentadodecontroleporcomputador . . . . . . . . . . . . . 161.4 Servomotorparaposicionamentodeumaantena . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Variaveldetempocontnuo(sinalanalogico) . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Variaveldetempodiscreto(sequencia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1 CircuitoRLCserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 TransformadadiretaeinversadeLaplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Representa caogracadeumafunc aocomplexa . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Relac aoentref(t)esuatransformadadeLaplace . . . . . . . . . . . . . 222.5 Func aodeslocadaematraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Func aoPortadeareaunitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7 Derivadadefunc oesdescontnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8 Func aodentedeserraesuaderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.9 Func aoondaquadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.10 Relac aoentref(t)esuatransformadaF(s) . . . . . . . . . . . . . . . . 352.11 Diagramadesimulac aoanalogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.12 Respostasx(t)dodiagramadesimulac aoanalogica . . . . . . . . . . . . 432.13 RespostasdeEstadoZeroeEntradaZero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.14 CircuitoRLCserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45ListadeFiguras www.das.ufsc.br/labsil 102.15 Diagramaentrada/sadadeumcircuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.16 Diagramadeblocossimplicado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.17 Diagramadeblocosdetalhado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.18 Sistemarealimentado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.19 Sistemarealimentadosimplicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.20 DiagramadeblocosdeumcircuitoRLC-serie . . . . . . . . . . . . . . . 512.21 Conexaodedoissistemasemparalelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.22 Conexaodedoissistemasemrealimentacao . . . . . . . . . . . . . . . . 522.23 Sistemarealimentadoperturbado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.24 Diagramaparareferencianula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.25 Diagramaparadist urbionulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.26 Sistemaparacontroledeposic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1 Curvastpicasdarespostaaodegrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2 Diagramadeblocoentrada/sada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 CircuitoRC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4 Sistemadeprimeiraordempadrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5 Respostaaodegraudeumsistemadeprimeiraordempadrao . . . . . . . 583.6 Sistemadesegundaordempadrao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.7Indicesdedesempenhopararespostaaodegrau . . . . . . . . . . . . . . 623.8 Respostaaodegraudosistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.9 Diagramafuncionaldosistemadeposicionamento . . . . . . . . . . . . . 653.10 Diagramadeblocosdocomparadorepotenciometro. . . . . . . . . . . . 663.11 Diagramadeblocoscomadic aodoamplicador . . . . . . . . . . . . . . 663.12 MotorDCcontroladopelaarmadura(rotor) . . . . . . . . . . . . . . . . 673.13 Diagramadeblocoscomadic aodomotorDC . . . . . . . . . . . . . . . 673.14 Diagramadeblocoscomadic aodaengrenagem . . . . . . . . . . . . . . 68ListadeFiguras www.das.ufsc.br/labsil 113.15 Sistemamecanicodaplataformaeantena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.16 Diagramacompletodosistemadeposicionamento . . . . . . . . . . . . . 683.17 Diagramasimplicadodeposicionamentodaantena. . . . . . . . . . . . 693.18 Diagramadeposicionamentonaformapadrao . . . . . . . . . . . . . . . 703.19 Respostaaodegraudosistemadecontrole . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.20 Diagramafuncionalpararealimentac aodevelocidade . . . . . . . . . . . 723.21 Sistemadecontrolecomrealimentacaodevelocidade . . . . . . . . . . . 723.22 Respostaaodegraudosistemadecontrole . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.23 Sistemacomrealimentac aodevelocidadeeposic ao . . . . . . . . . . . . 743.24 Sistemadecontroledevelocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.25 Respostaaodegrauunitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1 Respostatemporalparasen( t)com= {0, 2; 2; 20; 100}rd/s . . . . . 784.2 Respostaderegimeaoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3 Respostaderegimeaocosseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.4 CircuitoRC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5 Respostaemfrequencia(Bode)docircuitoRC. . . . . . . . . . . . . . . 824.6 CircuitoRLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.7 Respostaemfrequencia(Bode)docircuitoRLC. . . . . . . . . . . . . . 834.8 Respostaemfrequencia(Nyquist)docircuitoRLC . . . . . . . . . . . . 854.9 Respostaemfrequencia(Black)docircuitoRLC. . . . . . . . . . . . . . 854.10 RespostaemfrequenciacomG(s)instavel . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.11 DiagramadeBodedostermos2e1s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.12 DiagramadeBodedotermo14s+1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.13 DiagramadeBodedeG(s) =2s(4s+1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.14 DiagramadeBodedostermosse1s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.15 DiagramadeBodedotermo1Ts+1eassntotas . . . . . . . . . . . . . . . 91ListadeFiguras www.das.ufsc.br/labsil 124.16 DiagramadeBodedotermo2ns2+2ns+2neassntotas . . . . . . . . . . . . 924.17 DiagramadeBodedotermoG1(s) =0.01(0.1s+1)seassntotas . . . . . . . 944.18 DiagramadeBodedotermoG2(s) = G1(s)1s+1eassntotas . . . . . . . . 944.19 DiagramadeBodedotermoG(s) = G2(s)1104s2+102s+1eassntotas . . . 954.20 Circuitodefasenaomnima(r2> r1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.21 Caso(a): Sistemadefasenaomnima(r2> r1) . . . . . . . . . . . . . . 964.22 Caso(b): Sistemadefasemnima(r2< r1). . . . . . . . . . . . . . . . . 974.23 DiagramadeNyquistdeG1(2f), G2(2f), G3(2f), G4(2f) . . . . . 984.24 DiagramadeNyquistdeH1(2f), H2(2f), H3(2f), H4(2f) . . . . 994.25 DiagramadeBodedeumsistemalinearinvariante . . . . . . . . . . . . . 1004.26 Respostaemfrequenciadeumsistemalinearinvariante . . . . . . . . . . 1005.1 OperadorTransformadadeFouriereseuinverso. . . . . . . . . . . . . . 1015.2 SinalPortadelargura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3 Func aoSa(x) =sen(x)x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.4 Func aoSinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.5 Func aoondaquadradadeperodo2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.6 Aproxima caodesinaispelaserietrigonometricadeFourier. . . . . . . . . 1115.7 Tremdeimpulsosesuatransformada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.8 TransformadadeFourierdosinalportadelarguraunitariaG1(t). . . . . 1135.9 TransformadadeFourierdosinalcos(100t)G1(t). . . . . . . . . . . . . . 1145.10 Demodulacaodeumsinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.11 Sinallinearportrechos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.12 Derivadadosinallinearportrechos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.13 Derivadasegundadosinallinearportrechos . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.14 FiltrodeprimeiraordemcomF(s) =1s+1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.15 Transmiss aoerecuperac aodesinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119ListadeFiguras www.das.ufsc.br/labsil 135.16 Espectrodosinalanteseaposamostragem: Casoa> 2 . . . . . . . . 1205.17 Filtroidealpararecuperacaodosinal: Casoa> 2 . . . . . . . . . . . 1205.18 Espectrodosinalanteseaposamostragem: Casoa< 2 . . . . . . . . 1215.19 Espectrodosinalf(t) = cos(100t) + sen(10t). . . . . . . . . . . . . . . 1225.20 Sistemadeamostragemerecuperac aodesinais . . . . . . . . . . . . . . 1235.21 Espectrodossinaisx(t), r(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.22 Espectrodosinalamostrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.23 Sistemacommodulac aoediscretizac ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.1 Representa caodeumsinal detensaoanalogiconaonegativoemcodigobinariode4bits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.2 Esquemasimplicadodeumcircuitosample-and-holdeseudiagramadeblocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.3 (a)DiagramadeblocosdeumconversorA/Dcomsample-and-holde(b)funcionamentodosistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.4 (a)ConversorD/AcomS/He(b)Sinaisdeentradaesada . . . . . . . 1296.5 Amostradorideal: produtoporumtremdeimpulsos . . . . . . . . . . . 1296.6 Seguradordeordemzero: asada econstanteportrechos . . . . . . . . . 1306.7 Sample-and-Holdvistocomoumamostrador ideal emcascatacomumseguradordeordemzero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.8 CircuitoRC:respostalivre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.9 Valordacorrentenocapacitornosinstantest = kT . . . . . . . . . . . . 1316.10 CircuitoRCcomentradaconstanteportrechos . . . . . . . . . . . . . . 1326.11 Representac aodeumsistemadiscreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.12 Sistemacontroladoporcomputador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.13 Regiaodeconvergenciadastransformadasdodegrauunitario . . . . . . . 1366.14 Relac aobiunvocaentreasequenciax(kT)esuatransformadaZ. . . . . 1366.15 Relac aoentrelocalizac aopoloseevoluc aotemporal . . . . . . . . . . . . 1396.16 Relac aoentrelocalizac aopoloseevoluc aotemporal . . . . . . . . . . . . 140ListadeFiguras www.das.ufsc.br/labsil 146.17 Relac aoentrelocalizac aopoloseevoluc aotemporal . . . . . . . . . . . . 1416.18 Obtenc aodeF(z)apartirdeF(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.19 Sequenciasconvergentesealocalizac aodospolosnoplanoz . . . . . . . 1496.20 Sistemadiscretogenerico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.21 Sistemaamostradoeseudiscretoequivalente. . . . . . . . . . . . . . . . 1556.22 ResumodosresultadosdeconversaodeLaplaceparaZ . . . . . . . . . . 1576.23 SistemaamostradocomconversorD/AeS/H . . . . . . . . . . . . . . . 1586.24 Circuitocomentradaconstanteportrechos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.25 (a)Doissistemasamostradosemcascata;(b)Doissistemascontnuosemcascata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.26 Sistemadecontroledigitaleseumodelodiscreto. . . . . . . . . . . . . . 1636.27 Sistemadecontroledigitalcommedidoranalogico(a)edigital(b). . . . 1646.28 ControledigitaldeposicaoangularatravesdeummotorDC. . . . . . . 1656.29 Sistemadiscretoestavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.30 Respostafrequencialdeumsistemadiscreto . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.31 CircuitoRLCcomentradaconstanteportrechos . . . . . . . . . . . . . . 1696.32 Sistemadecontroledevelocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.33 Caracterizac aoentrada/sadadossistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.34 Entrada: tensaox(t);sada: tensaov(t);R=1,C=1F . . . . . . . . 1706.35 Sistemadecontrole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Captulo1IntroducaoGeral1.1 TermosusuaisemcontrolePlantaEquipamento(oupartedele)destinadoàrealizarumadadaoperacao. (Objetofsicoasercontrolado: caldeira,motor,reatorqumico,...).ProcessoFen omenos (naturais ou criados articialmente) que evoluem progressivamentesegundodinamicasquelhesaoproprias. (Fenomenoasercontrolado: processosqumicos,economicos,biologicos,...).SistemaEquipamentooufenomenofsico.Dist urbioSinalindesejado(internoouexterno).ControleRealimentadoOperac ao que visa corrigir (automaticamente ou manualmente)certasvariaveis(grandezasfsicas)deumsistema. Diminui oefeitodefenomenosindesejaveis.ServomecanismoEumsistemadecontrolerealimentadoparacontroleautomaticodeposicao,velocidadeouacelerac ao. Muitofrequentenaind ustria.SistemasReguladoresAutomaticos Sistemade controle cujoprincipal objetivoemanter constante algumas variaveis do mesmo. (Controle de nvel constante, posic aoconstante,velocidade,acelerac ao,...). Exemplos: robos,elevadores,estufas,...1.2 SistemasdeMalhaAbertaSistemas ondeavariavel aser controlada(sada) naointerferenaac aodecontrole(variaveldeentrada)saoconhecidoscomoSistemasdemalhaaberta.Asadaesensvel àfenomenosindesejaveissobreoprocesso(perturbac oes, variac oesnosparametros,...). Possuipoucaperformancenapraticaquandoexistemperturbacoes.Noentantopossuicustomenoremgeral.1.3.SistemasdeMalhaFechada www.das.ufsc.br/labsil 16SISTEMAEntradaPerturba c oesSadaFigura1.1: Sistemademalhaaberta1.3 SistemasdeMalhaFechadaSistemasondeavari aveldecontrole(Entrada)depende(Diretaouindiretamente)davariavel asercontrolada(Sada)recebemonomedesistemasdemalhafechada. Nessecaso possveis distorcoes na vari avel controlada provocadas por dist urbios no sistema saoautomaticamente(online)corrigidas.Ref.ObservadaComparador Controlador Atuador SISTEMAMedidorrudodemedic aosinaldemedicaoperturbac aoVari avelFigura1.2: SistemadecontroledemalhafechadaRef.Comparador SISTEMAAtuadorComputadorMedidorD/A A/DControladorSadaFigura1.3: SistemarealimentadodecontroleporcomputadorExemplo1.1Considereoservomecanismoparacontroledeposicaodaantenaindicadona Figura 1.4. Comparando com o diagrama da gura 1.2 podemos identicar os seguinteselementos:Sistema: Antena+plataforma+engrenagensPerturbacoes: Grandezas externas queatuamdeformaindesejadanosistema. Porexemplo,ventosqueprovocamtorquesdeperturbacaonaposicaodaantena.Variavelobservada: Posicaoangulardaantena1.4.SinaisdeTempoContnuoeDiscreto www.das.ufsc.br/labsil 17Ea(t)e(t)Vc(t)potenciometroerroposic aodaantenac(t)engrenagemmotorDCcomparadorVr(t)referenciapotenciometroamplicadordepotenciar(t)Figura1.4: ServomotorparaposicionamentodeumaantenaVariavelmedida: Sinal de medicaogeradopelopotenciometro. Note que avariavelmedidapodeserdiferentedavariavelobservadaquandoexistemrudosdemedicao.Medidor: PotenciometroReferencia: ValordesejadodagrandezaobservadaComparador: somadordetensoesControlador: Nesseexemploocontrolador eumelementounitarioentreocomparadoreoamplicador. Emgeral,ocontroladoreumltroquemanipulaosinal deerroantesdoamplicadordepotencia. Emsistemasmaiscomplexosocontroladorpodeserumalgortimoimplementadonumcomputador.Atuador: AmplicadordePotencia+motor1.4 SinaisdeTempoContnuoeDiscretoTEMPOCONTINUO: teumavari avel contnua. Nessecasoumsinal f(t)seraumsinalanalogico,isto e,umsinaldetempocontnuo.0 tRef.f(t)Figura1.5: Variaveldetempocontnuo(sinalanalogico)TEMPO DISCRETO: t e uma variavel discreta que assume valores apenas em instantesdiscretosdotempo. Porexemplo, t=kTondekeumavariavel k=0, 1, 2, . . . eTeuma constante. Nesse caso um sinal f(kT) sera uma sequencia, isto e, um sinal de tempodiscreto.1.5.DenicaodeSistemasLineares www.das.ufsc.br/labsil 180Ref.t=kTf(kT)Figura1.6: Variaveldetempodiscreto(sequencia)1.5 DenicaodeSistemasLinearesSISTEMAS LINEARES: Sao fenomenos ou dispositivos cujo comportamento dinamicopodeserdescritoporequacoesdiferenciais(ourecursivas)lineares.SISTEMASLINEARESINVARIANTESNOTEMPO:Saosistemaslinearesdescritosporequacoesdiferenciais(ourecursivas)comcoecientesconstantes.Captulo2TransformadadeLaplace2.1 IntroducaoeNocoesdeFunc oesComplexasOcomportamentodamaioriados sistemas fsicos podeser representadoatraves deequacoesdiferenciais. Nestecursovamosnosrestringiràsistemasquepodemserrep-resentados por equacoes diferenciais ordinarias, lineares, àparametros invariantes notempo.+-+-V(t)Vc(t)RLCFigura2.1: CircuitoRLCserieExemplo2.1Condidereocircuitodagura2.1. Arelacaodecausa-efeitodatensaov(t) (Entrada) sobre atensaovC(t) (Sada) nocapacitor e umsistemadescritopelaequacaodiferencial seguinte:v(t) = RC vC(t) + LC vC(t) + vC(t),dv(t)dt= v(t)Equacaodiferencial ordinarialinearParametrosinvariantesnotempoSistemasmaiscomplicadossaomuitasvezesmodeladosporequac oesdiferenciaisnaolineares e muitofrequentemente os parametros variamcomotempo. Noentanto, ocomportamentodessessistemaspodeseraproximadoporequacoesdiferenciaislinearesinvariantes notempo, nas vizinhancas deumpontodeoperacao. As tecnicas paraa2.1.IntroducaoeNoc oesdeFunc oesComplexas www.das.ufsc.br/labsil 20obtencaodessesmodeloslinearesinvariantesnotempoconsistememexpandirostermosnaolinearespelaSeriedeTayloreaproxim a-lospelapartelineardaserie. Porexemplo,paraafunc aoy(t) =sen(t) obteramos umaaproxima caolinear nas vizinhancas daorigemqueedadapor ylin(t) =t eefacil devericar queafunc aoy(t) =sen(t) secomportaaproximadamentecomoylin(t) = tparapequenosvaloresdavari avelt.ATransformadadeLaplace eumatecnicaextremamente utilnasoluc aodeequacoesdiferenciaislinearesinvariantesnotempo.EatravesdaTransformadadeLaplace queseobtemanoc aodeFun caodeTransferenciadeumsistema.ATransformadadeLaplace transformaumfunc aodavariaveltempo, digamosf(t),numa outra funcao F(s) onde s =+je uma vari avel complexa. Emdetermi-nadascondicoes, asfuncoesf(t)esuatransformadaF(s)estaorelacionadasdeformabi-unvoca:f(t)LAPLACEF(s)Transf. DiretaTransf. InversaFigura2.2: TransformadadiretaeinversadeLaplacePROPRIEDADESDEFUNC OESCOMPLEXAS:Neste curso vamos nos restringir, com poucas excessoes, à func oes complexas racionais.Denicao2.1(FuncaoRacional) Uma funcao G(s) da variavel complexa s = +j eracional se G(s) pode ser expressa como a divisao de dois polinomios da variavel complexas.AguraabaixoilustraumafuncaocomplexaG(s) emtermos desuas coordenadasretangularepolar. onde |G(s)| =

G2x +G2ye G(s) = tan1Gy/Gx.Re[G(s)]Im[G(s)]GyGxG(s) = Gx + jGy= |G(s)|ejG(s)Figura2.3: Representac aogracadeumafunc aocomplexa Complexo conjugado: A conjugacao complexa e uma operac ao que consiste em trocarosinaldaparteimaginaria, seon umeroestiverrepresentadonascoordenadasretangu-lares, oudeformaequivalente, trocarosinal dafase, seon umeroestiverrepresentado2.1.IntroducaoeNoc oesdeFunc oesComplexas www.das.ufsc.br/labsil 21nascoordenadaspolares. Representaremosocomplexoconjugadodon umerocomplexoG(s),indicadonagura2.3,porG(s) = GxjGy= |G(s)|ejG(s).Duas propriedades importantes daconjugac aocomplexasaoindicadas aseguir. SeA, Bsaodoisn umeroscomplexosent aoAB= ABeA + B= A + B.Denicao2.2(PoloseZeros) Seja G(s) =N(s)D(s)onde N(s) e D(s) sao dois polinomioscomcoecientesreais. Dene-sepolosezerosdeG(s)comosendoosvaloresdestaisque:- ZerosdeG(s): stal queN(s) = 0- PolosdeG(s): stal queD(s) = 0Exemplo2.2AtransformadadeLaplacedafuncaog(t)= 0, 5 + 1, 5e2t, t 0eafuncaocomplexaG(s) =s+1s(s2)quepossuiosseguintespolosezeros:- ZerosdeG(s): s = 1- PolosdeG(s): s = 0, s = 2NotequecadapolodafuncaoG(s)estaassociadoàumaexponencial dafuncaog(t).Narealidadeospolossaoosexpoentesdasexponenciais.On umerocomplexo:ej= cos + jsenpossuimodulounitarioefase,comoindicadoaseguir.|ej| =cos2 + sen2 = 1ej= tan1sencos= Denicao2.3(FuncaoAnaltica) UmafuncaoG(s)eanalticanumaregiaoseG(s)etodasassuasderivadasexistemnessaregiao.Exemplo2.3AfuncaoG(s) =1s+1eanalticaforadopontos = 1(PolodeG(s)).Asoperac oesdederivadaeintegralenvolvendofunc oescomplexasanalticassefazemde maneira habitual, isto e, as regras usuais de derivada e integral se aplicam diretamente.2.2.DenicaoeRegiaodeConvergencia www.das.ufsc.br/labsil 222.2 DenicaoeRegiaodeConvergenciaParaumafunc aof(t) comt 0, dene-seTransformadadeLaplacedef(t) comosendoafuncaocomplexaF(s)obtidaatravesdaintegral:F(s) = L[f(t)] =

0f(t)estdt (2.1)ondes=+ jeavari avel complexaintroduzidapelatransformada. Sobcertascondicoes(queveremosaseguir)podemostambemdeniraTransformadaInversadeLaplacedaseguinteforma:f(t) = L1[F(s)] =12j

c+jcjF(s)estds (2.2)onde t 0 e c e um n umero real associado à regiao do plano s = +jonde a funcaoF(s)estadenida. EstaregiaoechamadaregiaodeconvergenciadaTransformadadeLaplace . Dentro dessa regiao as funcoes f(t) para t 0 e F(s) estao ligadas de maneirabiunvoca,comoilustraaguraaseguir.Trans. DiretaTranf. Inversat 0Re[s] > cf(t)F(s)Figura2.4: Relac aoentref(t)esuatransformadadeLaplaceExemplo2.4Sejaf(t) = e2t,parat 0.F(s) = L[f(t)] =

0e2testdt =1s 2e(s2)t|0=1s 2[ limte(s2)tlimt0e(s2)t] =1s 2 1s 2limte(s2)tNoteques = +je|ejt| = |cost + jsent| = 1.Assim,limte(s2)t=

paraRe[s] = < 2indenido paraRe[s] = = 20 paraRe[s] = > 2.2.2.DenicaoeRegiaodeConvergencia www.das.ufsc.br/labsil 23Logo, aTransformadadeLaplace dafuncaoe2t, t 0soestadenidanaregiaodoplanocomplexodenidaporRe[s] > 2enessaregiaoobtemos:F(s) = L[e2t] =1s 2AregiaodoplanocomplexoondeaIntegral deLaplaceestadenidaeenitare-cebeonomederegiaodeconvergenciadaTransformadadeLaplace. Mostra-sequeaoescolhermosumcontornoparaaintegral:12j

c+jcjF(s)estdsdetalformaquec > 2(contornodentrodaregiaodeconvergencia)ent aooresultadodaintegralacima ee2tparat 0.Existem func oes, como por exemplo et2, t 0, para as quais a Transformada de Laplacenaoexiste,isto e,naoexisteregiaodeconvergenciadaIntegraldeLaplace. Noentanto,todosossinaisdeinteressepraticosaotransformaveisporLaplace.AregiaodeconvergenciadaTransformadadeLaplace eumformalismomatematicoque normalmente e omitido no calculo da transformada. No entanto e importante lembrarquequalquerquesejaaregiaodeconvergencia, asfunc oesf(t)parat 0eF(s)paraRe[s] > cestaorelacionadosdemaneirabiunvoca. Oscasosemquef(t) = 0parat < 0sao de interesse marginal no calculo da Transformada de Laplace e nao serao consideradosnesse curso. Uma vez obtida a transformada de Laplace F(s) podemos deduzir sua regiaode convergencia. Ela e dada pela regiao do plano complexo à direita do polo mais à direitadafunc aoF(s).Exemplo2.5(Exponencialreal) f(t) = eat,t 0F(s) = L[eat] =

0eatestdt =1s ae(sa)t|0=1s aExemplo2.6(DegrauUnitario) FuncaoDegrauUnitariou(t) =

0, t < 01, t 0L[u(t)] =

01estdt = 1sest|0=1s.(RegiaodeConvergenciaRe[s] > 0)Exemplo2.7(Rampa) FuncaoRampaf(t) =

0, t < 0At, t 0, AconstanteL[f(t)] = A

0testdt = Atests |0

0Aestsdt =As

0estdt =As2.(

udv= uv

vdu)2.3.Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 24Exemplo2.8(Senoide) FuncaoSenoidal f(t) =

0, t < 0sen(0t), t 0, 0cteL[f(t)] =

0sen(0t)estdt =

0ej0tej0t2jestdt=12j1s j01s + j0

=0s2+ 20RESUMOu(t) 1s: Polosimplesnaorigem. Fun caoConstantenotempo.tu(t) 1s2: Poloduplonaorigem. Funcaocrescelinearmentenotempo.etu(t) 1s+: Polo em s = . Cresce exponencialmente no tempo se polo for positivo(0). Valorconstantenotemposeopolofornaorigem.sen(0t)u(t) 0s2+20: Poloscomplexosconjugadossobreoeixoimaginario(s = j0).Fun caooscilanotemposemamortecimento.2.3 PropriedadesATransformadadeLaplacepossui variaspropriedadesque, emgeral, simplicamocalculodatransformadasecomparadocomaaplicac aodiretadadenic ao(2.1). To-dasaspropriedadesapresentadasnessasecaoestaoprovadasem[1]. Porconvenienciarepetiremosalgumasdasprovasattulodeexerccio.2.3.1 OperacaoLinearSejamf1(t)ef2(t)duasfuncoese1e2duasconstantes. Ent ao:L[1f1(t) + 2f2(t)] = 1L[f1(t)] + 2L[f2(t)]Prova:Utilizandoadenicao(2.1)temos:L[1f1(t) + 2f2(t)] =

0(1f1(t) + 2f2(t))estdt= 1

0f1(t)estdt +2

0f2(t)estdt= 1L[f1(t)] + 2L[f2(t)] 22.3.Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 252.3.2 FuncaoTransladadaemAtrasoSejaf(t)umafuncao,u(t)odegrauunitarioeumaconstante. Ent ao:L[f(t )u(t )] = esL[f(t)]t0t0 f(t) f(t )u(t )Figura2.5: Func aodeslocadaematrasoProva:Aplicandoadenicaotemos:L[f(t )u(t )] =

0f(t )u(t )estdtDenindo= t podemosrescreveraintegralacimacomoL[f(t )u(t )] =

f()u()es(+)d= es

f()u()esdcomof()u() = 0 para < 0temos:= es

0f()u()esd= es

0f()esd= esL[f(t)] 22.3.3 Func oesPorta-deslocadaeImpulsoAsfunc oesPorta-deslocadaeImpulsopossuempropriedadesimportantesnocontextodaTransformadadeLaplace.Funcao Porta-deslocada: Usaremos a notac ao fp(t) para representar a funcao porta-deslocadadeareaunitaria.fp(t) =

1t0, 0 < t < t00, 0 > t > t0sendotOumaconstante2.3.Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 260t0fp(t)t1t0Figura2.6: FuncaoPortadeareaunitariaNotequefp(t) =1t0u(t) 1t0u(t t0).UtilizandoaspropriedadesdeLinearidadeeTranslacaoobtemos:L[fp(t)] = L1t0u(t) 1t0u(t t0)

=1t0L[u(t)] 1t0L[u(t t0)]=1t01s 1t0et0ss=1t0s(1 et0s) 2FuncaoImpulso: AFuncaoImpulsoUnitarioqueocorrenoinstantet = t0erepre-sentadapor(t t0)esatisfazasseguintescondicoes:(t t0) =

0, t = t0, t = t0e

(t t0)dt = 1AFunc ao Impulsoe uma abstrac ao matematica e nao existe na pratica. Porem,variac oesbruscasdeenergiapodemseraproximadaspelafuncaoimpulso. Alemdisso,oconceitodafuncaoimpulsoebastante util nadiferenciac aodefuncoesdescontnuas,comoveremosnasequencia.Para calcular a transformada da func ao impulso devemos notar que o impulso na origemeocasolimitedafuncaoportaquandot0 0,isto e:(t) =limt001t0[u(t) u(t t0)]2.3.Propriedades www.das.ufsc.br/labsil 27Assimtemos:L[(t)] = Llimt001t0(u(t) u(t t0))

= limt00L1t0(u(t) u(t t0))

= limt001t0s(1 et0s)=ddt0(1 et0s)ddt0(t0s)= 1 2ATransformadadoImpulsoeumafunc aoconstantenumericamenteigual aareadoimpulso(EnergiaInstant anea). Oexemploaseguir mostracomopodemos utilizar afuncaoimpulsopararepresentaraderivadadefunc oesdescontnuas.Exemplo2.9Sejaafuncaof(t) =Apara0 monde zi, (i=1, 2, . . . , m), saooszerose pi, (i=1, 2, . . . , n)saoospolosdafunc aoF(s). Arestricaon>mpodeserfeitasemperdadegeneralidadecomoveremosnumexemploaseguir.Quandotodosospolossaodistintostemos:F(s) =a1s + p1+a2s +p2+ +ans + pn(2.5)ondeaisaoconstantes conhecidas comoresduos dos polos pi, respectivamente, esaocalculadosdaseguinteforma:ai= (s +pi)F(s)|s=pi(2.6)Istopodeserfacilmentevericado. Vejanocasodoresduodopolos= p1. Multipli-cando(2.5)pors + p1temos:(s + p1)F(s) = a1 +a2s +p2(s + p1) + +ans + pn(s + p1)2.4.TransformadaInversa www.das.ufsc.br/labsil 36Logoparas= p1encontramos(2.6)comi =1. Oprocedimentoeidenticoparaosdemaispolos.Ointeressedaexpansaoporfracoesparciais equecadatermodaexpansao(2.5)podeser facilmente transformado para o domnio do tempo com a relac ao L[aiepitu(t)] =ais+pi,logo:f(t) = L1[F(s)] = L1a1s + p1

+L1a2s + p2

+ +L1ans + pn

= a1ep1t+a2ep2t+ +anepnt, t 0.Note que a expansao por fracoes parciais (2.5) e valida para polos reais e complexos naorepetidos. Parapolosreaisosresduos(2.6)saoreaiseparapoloscomplexososresduossaocomplexos.Exemplo2.19(PolosReais) CalculeafuncaonotempocujatransformadaeF(s) =s + 3(s + 1)(s + 2)Solucao: Com(2.5)e(2.6)seobtem:F(s) =a1s + 1+a2s + 2a1= F(s)(s + 1)|s=1= 2a2= F(s)(s + 2)|s=2= 1Assim,f(t) = L1[F(s)] = 2ete2t, t 0Exemplo2.20(NaoCausal) CalculeatransformadainversadafuncaoG(s) =s3+ 5s2+ 9s + 7(s + 1)(s + 2)Solucao: Comoograudonumeradoremaiorqueograudodenominadordevemosdividirumpelooutroatequeorestodadivisaosejaumafuncaocomgraudonumeradormenorqueograudodenominador,comoindicadoaseguir.G(s) = s + 2 +s + 3(s + 1)(s + 2)= s + 2 +2s + 1 1s + 22.4.TransformadaInversa www.das.ufsc.br/labsil 37Logo:g(t) = L1[G(s)] = L1[s] +L1[2] +L12s + 1

+L11s + 2

=ddt(t) + 2(t) + 2ete2t, t 0Exemplo2.21(PolosComplexos) CalculeatransformadainversadafuncaoF(s) =2s + 12s2+ 2s + 5Solucao: Notequeospolossaocomplexospoiss2+ 2s + 5 = (s + 1 + j2)(s + 1 j2).Nessescasosafuncaotemporalsempreenvolveoprodutodeumaexponencialeumsenooucossenocomoindicadoaseguir:L[etsen0t] =0(s )2+ 20L[etcos0t] =s (s )2+ 20Nastransformadasacimaeaparterealdospolose0eaparteimaginariadospolos.Veriquequeospolossao j0. Paraoexemploemquestaotemoss2+ 2s + 5=(s + 1)2+ 22ecomalgumasmanipulacoesalgebricasobtem-se:F(s) =2s + 12(s + 1)2+ 22= A0(s )2+20+ Bs (s )2+ 20Logo 2s+12 = A0+B(s). Como 0= 2 e = 1 temos por igualdade polinomialB= 2eA = 5oqueresulta:L1[F(s)] = 5L12(s + 1)2+ 22

+ 2L1s + 1(s + 1)2+ 22

= 5etsen2t + 2etcos2t, t 0.Problema2.5Refacaoexemplo2.21utilizandoometododeexpansaoporfracoespar-ciaisindicadoem(2.5). Obtenhaamesmaexpressaoparaf(t).2.4.2 Frac oesParciaisparapolosrepetidosOs metodos da sec ao anterior sao validos para polos distintos. Nesta sec ao estudaremosocasodepolosrepetidosbaseadonumexemploquepodeserfacilmentegeneralizado.2.4.TransformadaInversa www.das.ufsc.br/labsil 38Exemplo2.22CalculeatransformadainversadafuncaoF(s) =s2+ 2s + 3(s + 1)3Solucao: Comoopolotemmultiplicidadetresaexpansaoporfracoesparciaisenvolvetrestermos:F(s) =b3(s + 1)3+b2(s + 1)2+b1(s + 1)ondeoscoecientesbi,(i = 1, 2, 3),saoosresduosaseremdeterminados.Paradetermina-losmultipliqueosdoisladospor(s + 1)3paraobter:(s + 1)3F(s) = b3 + b2(s + 1) + b1(s + 1)2Comaigualdadepolinomial acimautilizeumdosdoismetodosabaixo:Metodo1Derivadassucessivasde(s + 1)3F(s)b3= (s + 1)3F(s)|s=1dds[(s + 1)3F(s)] = b2 + 2b1(s + 1)b2=dds[(s + 1)3F(s)]s=1d2ds2[(s + 1)3F(s)] = 2b112!d2ds2[(s + 1)3F(s)]s=1Metodo2Atribuindo-sevaloresparasnaigualdades = 0 3 = b3 +b2 +b1s = 1 2 = b3s = 1 6 = b3 + 2b2 + 4b1Osdoismetodosacimalevamaosmesmosvaloresdosresduos: b3= 2,b2= 0,b1= 1eportanto:L1[F(s)] = L12(s + 1)3

+L10(s + 1)2

+L11s + 1

= t2et+ 0 + et, t 0.2.5.Sinaiscomenergialimitada www.das.ufsc.br/labsil 392.4.3 Frac oesParciaisparacasosespeciaisQuandoatransformadaenvolvepolosdistintoserepetidosoupolosreaisecomplexospodemos combinar os resultados das sec oes anteriores como ilustram os exemplos a seguir.Exemplo2.23(Polosdistintoserepetidos) Calcule a transformada inversa da funcaoF(s) =s2+ 2s + 3(s + 1)2(s + 2)Solucao: Afuncaopossui umpolos= 2commultiplicidadeumeumpolos= 1commultiplicidadedois. Nessecasoaexpansaosefazcomonassecoesanteriores, istoe,opolocommultiplicidadedoisteradoisresduoseopolocommultiplicidadeumteraumresduo.F(s) =b2(s + 1)2+b1(s + 1)+b0(s + 2)ondeoscoecientesbi,(i = 0, 1, 2),saoosresduosaseremdeterminadospelosmetodosdasecaoanterior.Exemplo2.24(Polosreaisecomplexos) CalculeatransformadainversadafuncaoF(s) =2s + 12(s2+ 2s + 5)(s + 1)Solucao: Afuncaopossui doispoloscomplexoseumreal. Parautilizarmososresul-tados das secoes anteriores devemos primeirosepararos polos complexos dos reais daseguinteforma:F(s) =b1s + b0(s2+ 2s + 5)+b2(s + 1)onde b2e determinado com(2.6) e b0, b1sao determinados por igualdade polinomialatribuindo-sevaloresparas. Comosvaloresdeb0, b1, b2podemosutilizarosexemplos2.21e2.19paraencontrarafuncaonodomniodotempo.2.5 SinaiscomenergialimitadaVamosdenirenergiadeumsinalf(t)comosendo:E=

f(t)2dt (2.7)Estadenic aodeenergiaeumageneralizacaodoconceitodeenergiadissipadaemre-sistores. Porexemplo, sef(t)representaatensaooucorrentenumresistorunitario, aenergiadissipadanoresistoredadapelaintegralacima. Ossinaisquepossuemenergialimitada(E< )saoportantodegrandeinteressepratico.2.6.ResolucaodeEquac oesDiferenciais www.das.ufsc.br/labsil 40Veremosaseguirqueumsinal cujatransformadadeLaplaceeumafuncaoracionalquepossui todosospolosnosemi-planoesquerdoestrito, istoe, poloscomparterealestritamentenegativa, eumsinaldeenergialimitada. Paraessessinaisaintegralacimaexistee enita. Sejaoseguintesinal:x(t) = 1 + 2e2t+ 3et+ k1etsen0t + k2etcos0t, t 0Atransformadadex(t) e:X(s) = L[x(t)] =1s+2s + 2+3s + 1+k10(s + 1)2+20+k2(s + 1)(s + 1)2+ 20Note que todos os polos possuem parte real negativa, exceto o polo na origem. Assim, ospolos reais de X(s) tornam-se expoentes de func oes exponenciais decrescentes no tempo.Os polos complexos estaoassociados àsinais que causamoscilac oes amortecidas. Oamortecimentodessasoscilac oes edenidopelaparterealdospolos(Re[polos] = 1nocaso)eafrequenciadeoscilac aoedenidapelaparteimaginariadopolo(Im[polo] =0). Oefeitotemporal dospoloscompartereal negativadiminui exponencialmenteedesaparececompletamenteemregimepermanente,isto e,quandot .Umsinal x(t)cujatransformadasejaanalticanosemi-planodireito1mastenhaumpolo simples na origem vai ter um nvel DC igual ao resduo desse polo (1 no caso acima).O valor do sinal x(t) acima em regime permanente (t ) e constante e igual à . Notequenessecasoosinal naotemenergialimitadapoisaintegral acimavai divergirdadoqueosinalnaoconvergeparazeroemregime.Assim, umsinal qualquerx(t)vai terumvalorzeroemregime(convergeparazeroquandot ) apenas quandotodos os polos datransformadapossuemparte realnegativa. Se atransformadapossui umpolonaorigem( e os demais nosemi-planoesquerdoestrito) osinal seraconstante comumnvel DCnaonuloemregime. Emqualqueroutrasituac aoosinaledivergente, istoe, naoteraumvalorderegimenito.A energia do sinal sera limitada apenas no primeiro caso,isto e, quando o sinal convergeparazeroquandot .2.6 ResolucaodeEquacoesDiferenciaisAtravesdasleisdafsicapodemosobterummodelodecomportamentoparatodosossistemas. Parasistemasdinamicosessemodelo eumaequacaodiferencial. Este eocasoporexemplodemotores, circuitos, turbinasetodososoutrosdispositivosestudadosnaengenharia. Saber como o sistema se comporta para dadas condicoes iniciais e uma dadaexcitacao eequivalenteasaberresolveraequacaodiferencial.ATransformadade Laplace pode ser utilizadapararesolver equacoes diferenciaislineares invariantes notempo. Paraissobastatransformar por Laplacecadaumdos1Lembre-se que uma funcao e analtica numa dada regiao quando ela nao possui polos nessa regiao2.6.ResolucaodeEquac oesDiferenciais www.das.ufsc.br/labsil 41termosdaequac aodif. obtendoassimatransformadadafunc aoqueresolveaequacao.Emseguinda, utiliza-seatransformadainversaparaencontrarasolucaonodomniodotempo.Exemplo2.25Resolva a seguinte equacao diferencial x+2 x+5x = g(t), onde x(0) = a, x(0) = bsaoconstantesdadaseg(t)=0.Solucao: NotequeL[x] = X(s)L[ x] = sX(s) x(0)L[ x] = s2X(s) sx(0) x(0)Tomando-seatransformadadosdoisladosdaequacaoseobtem:[s2X(s) sx(0) x(0)] + 2[sX(s) x(o)] + 5X(s) = 0X(s) =s + 2s2+ 2s + 5x(0) +1s2+ 2s + 5 x(o)Deformasimilaraoexemplo2.21temos:X(s) =s + 1s2+ 2s + 5x(0) +1s2+ 2s + 5x(0) +1s2+ 2s + 5 x(o)econsequentementex(t) = L1[X(s)] = [etcos(2t) + 0.5etsen(2t)]x(0) + 0.5etsen(2t) x(0)queeasoluc aodaeq. diferencial.Exemplo2.26Umdeterminadosistemaeregidopelaseguinteequacaodiferencial x +2 x+5x = g(t),onde as condicoes iniciais sao nulas,isto e,x(0) = 0, x(0) = 0. Encontrearespostadessesistemaquandoomesmoeexcitadoporumdegraudeamplitude3,istoe,g(t) = 3u(t).Solucao: NotequeL[3u(t)] =3sL[x] = X(s)L[ x] = sX(s) x(0) = sX(s)L[ x] = s2X(s) sx(0) x(0) = s2X(s)Logo:s2X(s) + 2sX(s) + 5X(s) =3sX(s) =3s(s2+ 2s + 5)=35s 35s + 2s2+ 2s + 52.7.RespostasdeEstadoZeroeEntradaZero www.das.ufsc.br/labsil 42Note que s2+2s+5 = (s)2+2onde , sao as partes real e imaginaria dos polos(razesdes2+ 2s + 5). Paraocasoemquestaotemos= 1, = 2eportanto:X(s) =35s 351(s + 1)2+ 22 35s + 1(s + 1)2+ 22Logo:L1[X(s)] = x(t) = L135s

L1351(s + 1)2+ 22

L135s + 1(s + 1)2+ 22

=35 310etsen2t 35etcos2t, t 0.A gura 2.11 ilustra o diagrama de simulac ao analogica da equacao diferencial x+2 x+5x=g(t). Agura2.12mostraarespostax(t)daequac aoparaquatrosituacoes: (a)g(t) = 0, x(0) = 1, x(0) = 0 ; (b) g(t) = 0, x(0) = 0, x(0) = 1 ; (c) g(t) = 3u(t), x(0) =0, x(0) = 0;(d)g(t) = 3u(t), x(0) = 1, x(0) = 1--+g(t) x52 x x x(0) x(0)1s1sFigura2.11: Diagramadesimulac aoanalogica2.7 RespostasdeEstadoZeroeEntradaZeroArespostadetodosistemalinearinvariantenotempopodeserdecompostaemduasparcelas: umaquedependedosistemaedosinal deentradaeoutraquedependedosistemaedascondicoesiniciais. AprimeiraparcelachamaremosdeRespostadeEstadoZerojaqueestaparcelaindicacomoumsistema, inicialmenteemrepouso(condic oesiniciaisnulas),respondeaumdadosinaldeentrada. AsegundaparcelachamaremosdeResposta de Entrada Zero pois ela indica como um sistema se comporta quando e deixadopararesponderlivrementeàssuascondic oesinicias(semexcitac aoexterna). .AsrespostasdeEstadoZeroeEntradaZerodeumsistemadescritopor(2.11)podemserdeterminadasatravesdaTransformadadeLaplace.Exemplo2.27EncontreasrespostasdeEstadoZeroeEntradaZerodocircuitoRLCseriedagura2.14.2.7.RespostasdeEstadoZeroeEntradaZero www.das.ufsc.br/labsil 430.0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0-0.5-0.3-0.10.10.30.50.70.91.11.31.5+0.0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0-0.5-0.3-0.10.10.30.50.70.91.11.31.5+0.0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0-0.5-0.3-0.10.10.30.50.70.91.11.31.5+0.0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 5.6 6.3 7.0-0.5-0.3-0.10.10.30.50.70.91.11.31.5+(a)(b)(c)(d)x(t)x(t)x(t)x(t)Figura2.12: Respostasx(t)dodiagramadesimulac aoanalogica2.7.RespostasdeEstadoZeroeEntradaZero www.das.ufsc.br/labsil 44Solucao: Doexemplo2.28temos que ocomportamentodinamicoentrada/sadadocircuitoedadopor(2.12). Tomandoatransformadadosdoisladosdaequacaotemos:L[a2 y + a1 y +a0y] = L[b0x] (2.8)Pelalinearidadetemos:a2L[ y] + a1L[ y] + a0L[y] = b0L[x]SendoY (s) = L[y]eX(s) = L[x],pelapropriedadedederivacaonotempo:a2[s2Y (s) sy(0) y(0)] + a1[sY (s) y(0)] + a0Y (s) = b0X(s)(a2s2+ a1s + a0)Y (s) = b0X(s) + (a2s +a1)y(0) + a2 y(0)Portanto:Y (s) =b0a2s2+a1s + a0X(s) +a2s + a1a2s2+ a1s + a0y(0) +a2a2s2+ a1s + a0 y(0)Y (s) = F(s)X(s) + F0(s)y(0) + F1(s) y(0) (2.9)ondeF(s) =b0a2s2+a1s +a0, F0(s) =a2s + a1a2s2+ a1s +a0, F1(s) =a2a2s2+ a1s + a0Considerandof(t)= L1[F(s)], f0(t)= L1[F0(s)] ef1(t)= L1[F1(s)] podemosentaoreescreveraexpressaoacimacomoauxliodaanti-transformadanaforma:y(t) = L1[Y (s)] = L1[F(s)X(s)] + y(0)L1[F0(s)] + y(0)L1[F1(s)]= f(t) x(t) + y(0)f0(t) + y(0)f1(t) (2.10)F(s)x(t)y(0) y(0)y(t)y(t)F(s)F0(s)F1(s)x(t)y(0) y(0)Figura2.13: RespostasdeEstadoZeroeEntradaZeroNote que f(t), f0(t) e f1(t) dependemapenas dos parametros fsicos e daestruturaentrada/sadadosistema. Naodependemnemdaentradax(t)nemdasaday(t)nemdascondi coesiniciaisdosistema.ArespotadeEstadoZerodocircuitoeaparcelade(2.10)quedependedaentrada:Yesz(s) = F(s)X(s) no domnio da frequencia ou de forma equivalente yesz(t) = f(t)x(t)nodomniodotempo.2.7.RespostasdeEstadoZeroeEntradaZero www.das.ufsc.br/labsil 45ArespostadeEntradaZeroeaparcelade(2.10) quedependedas condicoes inici-ais: Yenz(s)=F0(s)y(0) + F1(s) y(0)nodomniodafrequenciaoudeformaequivalentey(0)f0(t) + y(0)f1(t)nodomniodotempo.Podemos agorageneralizar os resultados acimaparasistemas deordemmais elevada.Considereumsistemadescritopelaseguinteequac aodiferencial:anny(t) + + a1y(t) + a0y(t) = bmmx(t) + + b1x(t) + b0x(t)ny(t)|t=0= cn, . . . , y(t)|t=0= c1, y(t)|t=0= c0(2.11)ondedef=ddteooperadorderivadatemporal, ai(i=0, . . . , n)ebi(i=0, . . . , m)saocoecientes constantes que dependem dos parametros fsicos do sistema, ci(i = 0, . . . , n)saoconstantesquedenemascondic oesiniciaisdosistema, x(t)eosinal deentradaey(t) eosinaldesada.+-+-V(t)Vc(t)RLCFigura2.14: CircuitoRLCserieExemplo2.28ConsidereocircuitoRLCseriedescritonagura2.14. AentradadosistemaeatensaoV (t)easadaeatensaonocapacitorVc(t). Emtermosdanotacaoacimatemosx(t)=V (t)ey(t)=Vc(t)eocomportamentodinamicoentrada/sadaeregidopelaseguinteequacaodiferencial:a2 y + a1 y +a0y= b0x (2.12)com a0= 1,a1= RC,a2= LCe b0= 1. As condicoes iniciais sao a tensao no capacitornoinstanteinicialx(0) = Vc(0)eaderivadadatensaonoinstanteinicial x(0) =Vc(0).Se ao inves do sistema de segunda ordem do exemplo acima, considerarmos um sistemadeordemgenericacomoem(2.11)obteramos:y(t) = f(t) x(t) +n1i=0fi(t)ci(2.13)ondeci=diy(t)dti|t=0saoascondicoesiniciais.Daexpressaoacimapodemosextrairinformacoesmuitoimportantes:1. Asadade umsistemadepende dos seus parametros fsicos e dasuaestruturaentrada/sada. Isto erepresentadoem(2.13)pelasfuncoesf(t), f0(t), . . . , fn1(t).2.8.FuncaodeTransferenciaeEstabilidade www.das.ufsc.br/labsil 462. A sada de um sistema depende da entrada x(t) que lhe e aplicada. Esta dependenciae dada pela convolu cao f(t) x(t) que recebe o nome de respostadeestadozero dosistema. Esta earespostadosistemaquandoascondic oesiniciaissaonulas.yesz(t) = f(t) x(t) , Yesz(s) = F(s)X(s) (2.14)3. A sada de um sistema depende das condicoes iniciais do mesmo. Este fato pode servericadoem(2.13)pelapresencadasconstantesciquesaoascondic oesiniciais.Estaparceladarespostarecebeonomederespostadeentradazerodosistema.Esta earespostadosistemaquandoaentrada enula.yenz(t) =n1i=0fi(t)ci, Yenz(s) =n1i=0Fi(s)ci(2.15)4. ArespostadeEntradaZero elinearemrelac aoaoconjuntodecondic oesiniciaisearespostadeestadozero elinearemrelac aoàentrada.Problema2.6ConsidereocircuitoRLCseriedagura2.14. CalculeasrespostasdeEntradaZeroedeEstadoZerosupondoR=1, L=1H, C=1F, condicoesiniciaisVc(0) = 1V,Vc(0) = 1V/segesinal deentradadegrauunitario.Problema2.7Arespostadeumsistemalinearinvarianteaodegrauunitarioedadascondicoesiniciais ey1(t) = 2 2e2t+e3t, t 0. Paraumdegraudeamplitude3eodobrodascondic oesiniciaisanterioresarespostaey2(t) = 6 10e2t+ 6e3t. Pede-se:a)ArespostadeEstadoZeroparaumdegrauunitario.b)ArespostadeEstadoZeroaoimpulso.c)ArespostadeEntradaZeroassociadaày1(t).d)Ascondicoesiniciaisassociadasàrespostay1(t).2.8 FuncaodeTransferenciaeEstabilidadeVeremosaseguirquearespostadeEstadoZerodeumsistemaestaassociadaàduasnocoesmuitoimportantes: funcaodetransferenciaeestabilidade.Denicao2.4(FuncaodeTransferencia) Funcao de transferencia e uma funcao com-plexaquerepresentaarelacaosada/entradadosistemaparacondicoesiniciaisnulas.Peladenic aoacimanota-sequeanoc aodefuncaodetransferenciaestarelacionadacomarespostadeEstadoZerodosistema. Arelac aocomplexasada/entradadeumsistemacomcondic oesiniciaisnulaspodeserobtidadiretamentedarespostadeEstado2.8.FuncaodeTransferenciaeEstabilidade www.das.ufsc.br/labsil 47Zero(2.14): Y (s)/X(s)=F(s). Assim, umsistemaquepossuaarespostadeEstadoZero(2.14) teraF(s) comofunc aodetransferencia. QuandoseconheceafuncaodetransferenciaF(s)deumsistemaeatransformadadosinaldeentradaX(s)seconhecetambemarespostade EstadoZerodomesmoquee dadapor (2.14).Eimportantenotarqueafunc aodetransferenciadependeapenasdosparametrosfsicosdosistemaedaestruturaentrada/sadadomesmo. Vejaoexemplo2.27. Aentradaeascondic oesiniciasnaoafetamafuncaodetransferencia.Quandoascondic oesiniciaissaonulasrespostatotal dosistemaeapropriarespostadeEstadoZerodomesmo,comopodeservistonasequac oes(2.9)e(2.10).DomniodoTempo: y(t) = yesz(t) = f(t) x(t)DomniodaFrequencia: Y (s) = Yesz(s) = F(s)X(s)Afuncaof(t)= L1[F(s)] recebeonomedeRespostaImpulsional poisf(t)eare-spostadosistemaquandoascondic oesiniciaissaonulaseaentradax(t)eumimpulsonoinstantet = 0(X(s) = 1).Denicao2.5(SistemasCausaisouNao-Antecipativos) UmsistemadinamicoeditoserCausalouNao-AntecipativosesuaRespostaImpulsionalenulaparat < 0.Pela denic ao acima nota-se que a resposta y(t) de um sistema causal excitado com umsinal x(t), apresentaaseguintepropriedade: ovalordey(t)|t=tfsodependedaentradax(t)edarespostaimpulsional f(t)paravaloresdetempot tf. Emoutraspalavras,adinamicadeumsistemacausal emqualquerinstantedetempot=tfdepende(naodepende) da entrada e da resposta impulsional para valores de tempo menores (maiores)quetf. Essapropriedade emostradaaseguir.y(t) = f(t) x(t) =

0f(t )x()dparat=tftemosf(tf )=0para >tf. Logof(tf )x()=0para >tfeportanto:y(tf) =

tf0f(tf )x()fsodependedef(t)ex(t)parat < tf.Outranoc aomuitoimportante eadeestabilidadedesistemas.Denicao2.6(EstabilidadedeSistemas) Umsistema editoserestavelsetodosospolos dasuafuncaodetransferenciaestaolocalizados nosemi-planoesquerdoestrito,istoe,Re[polos] < 0. Casocontrarioosistemaeditoserinstavel.Pela denicao acima nota-se que a estabilidade e uma propriedade intrnseca do sistema.Elasodependedasuafuncaodetransferenciaeportantodosseusparametrosfsicosedaestruturaentrada/sada.2.9.DiagramadeBlocos www.das.ufsc.br/labsil 48Exemplo2.29Mostre que num sistema estavel, a resposta de Estado Zero sera um sinaldeenergianitaparatodosinal deentradadeenergianita.Solucao: ArespostadeEstadoZerodeumsistemaedadapor(2.14). Seosistemaeestavel entaotodosospolosdeF(s)possuempartereal estritamentenegativa. Alemdisso,seosinaldeentradapossuienergianita,suatransformadapossuitodosospolostambemcomparterealestritamentenegativa(vejasecao2.5). Comoatransformadadosinal desadaY (s)edadaporY (s)=F(s)X(s)podemosvericarquetodosospolosdeY (s)tambemestaonosemi-planoesquerdoestrito. Portantoosinal desadapossuienergialimitadasemprequeosistemaforestavel eosinal deentradapossuirenergialimitada.Problema2.8ParaocircuitoRLCseriedoproblema2.6pede-se:a)Veriqueseosistemaeestavel.b)Calculearespostaimpulsional.c)Noexemplo2.29analisa-seaenergiadarepostadeEstadoZero. Veriquequenocircuitoemquestao,sinaisdeentradadeenergialimitadaproduzemrespostastotaiscomenergialimitadatambem. Istoe,arespostadeEntradaZerodocircuitotambempossuienergialimitada.2.9 DiagramadeBlocosOdiagramadeblocoseutilizadopararepresentaresquematicamentecomofuncionaosistema. Cadaelementodosistemae representadopor umblocoque contemsuaFunc aodeTransferencia. Essesblocossaoent aointerligadosoquepermiterepresentarainterdependenciadesses elementos. Os diagramas saonormalmente utilizados pararepresentararespostadeEstadoZero. QuandosedesejaarespostadeEntradaZerotambem, as condic oes iniciais devemser fornecidas. Quandoelas naosaofornecidasassume-seseremnulas.Umdiagramadeblocospodeservistocomoumaformaesquematicaderepresentarvariaveis serelacionamnumconjuntodeequac oes. Vejaoqueseriaumdiagramadeblocosparaumcasojabastanteconhecidoque eocircuitoRLCserie.Exemplo2.30Representeasinterdependenciasdasvariaveisx(t), I(t), y(t)nocircuitodagura2.15atravesdeumdiagramadeblocos.Solucao: Oprimeiropassoparaaobtencaododiagramaeaobtencaodas equacoesque regem o comportamento do sistema. Nessas equacoes as variaveis de interesse devemaparecer explicitamente. As demais variaveis devemser eliminadas. Istoseconsegueescrevendo-as emfuncaodas variaveis de interesse. Vejacomoproceder nocasodocircuitoemquestao.2.9.DiagramadeBlocos www.das.ufsc.br/labsil 49+-RLCx(t)I(t)+-SISTEMA Entraday(t)SadaFigura2.15: Diagramaentrada/sadadeumcircuitoInicialmentevamosobterumdiagramaondeapenasossinaisdeentradax(t)esaday(t)saodeinteresse, istoeacorrentenaoaparecenasequacoes. Obtendoasequacoesdocircuitoeeliminandoacorrentecamoscomequacaodiferencial emx(t)ey(t).

x(t) = RI(t) + L I(t) + y(t) y(t) =1CI(t)RC y + LC y + y= xSendoX(s) = L[x(t)]eY (s) = L[y(t)]temosparacondicoesinciaisnulas:RCsY (s) + LCs2Y (s) + Y (s) = X(s)Logo:Y (s) =1LCs2+RCs + 1X(s) (2.16)Portanto:F(s) =1LCs2+ RCs + 1X(s) Y(s)F(s)Figura2.16: DiagramadeblocossimplicadoA funcao F(s) e a transferencia da tensao de entrada X(s) para a tensao de sada Y (s)eparacondicoesiniciaisnulastemosquearespostadocircuitoparaqualquersinal deentradax(t) edadapory(t) = x(t) f(t)ondef(t) = L1[F(s)] earespostaimpulsionaldocircuito.Notequenodiagramadeblocosacimaforameliminadasasinformacoessobretodasasoutrasvariaveisdocircuito(corrente, etc). AFuncaodeTransferencia dainformacaoapenassobrearelacaodecausa-efeitoentreasvariaveisdeentradaedesada.Epossvel, noentanto, explicitaradependenciadeoutrasvariaveisnodiagramadeblocosatravesdesimplesmanipulacaodeequacoes. Porexemplo, parafazerapareceravariavel correntenodiagramadeblocosdocircuitotemos:2.10.SistemasRealimentados www.das.ufsc.br/labsil 50

X(s) = RI(s) + LsI(s) + Y (s)CsY (s) = I(s)

X(s) Y (s) = (R +Ls)I(s) I(s) =1R+Ls(X(s) Y (s))Y (s) =1CsI(s)Agoraessas equac oes podemser transformadas emdiagramas comomostraagura2.17.+-X(s) Y(s) I(s)Y(s)1 1R+Ls CsFigura2.17: DiagramadeblocosdetalhadoNotequeosdiagramasdasguras2.16e2.17saoequivalenteseossinaisX(s), Y (s)sao os mesmos nas duas conguracoes. Para se vericar isto basta manipular as equacoescomoanteriormente,eliminando-seassimavariavel corrente.2.10 SistemasRealimentadosA presenca de uma malha fechada num diagrama de blocos caracteriza o que se chamadesistemarealimentado. Deumamaneirageralumsistemarealimentadopodesercar-acterizadopelodiagramadagura2.18ondeX(s) Y(s) E(s)G(s)H(s)+-Figura2.18: SistemarealimentadoX(s) eatransformadadosinaldeentrada.Y (s) eatransformadadosinaldesada.G(s) func aodetransferenciadosistemaasercontrolado, incluindoacionadores, medi-doresecontroladores(Filtrosparansdecontrole).2.10.SistemasRealimentados www.das.ufsc.br/labsil 51H(s) func aodetransferenciaderealimentac aoqueinclui transdutoreseeventuaiscon-troladoresadicionais.AFunc aodeTransferencia entreX(s)eY (s)nodiagramaacimaeconhecidacomoF.T.demalhafechadaepodeserobtidaatravesdasequac oesinicadasnodiagrama.

E(s) = X(s) H(s)Y (s)Y (s) = G(s)E(s)Parase obter afuncaode transferenciaentre X(s) e Y (s) deve-se eliminar todas asvariaveisintermedi arias,E(s)nocasoacima. Comissotemosaseguinterelacao:Y (s) =G(s)1 + G(s)H(s)X(s) (2.17)X(s)Y(s) G(s)1+G(s)H(s)F.T.M.F.Figura2.19: Sistemarealimentadosimplicadoque pode ser representada num diagrama simplicado como indicado na gura 2.19. Noteque os diagramas das guras 2.18 e 2.19 sao equivalentes. Eles expressam a mesma relac aoentrada/sada,isto e,seaentrada eamesmanosdoisdiagramasasadatambemo e.X(s)Y(s)+-(R+Ls)(Cs)1Figura2.20: DiagramadeblocosdeumcircuitoRLC-serieExemplo2.31Vimos que a F.T. entreX(s)e Y (s)no circuito da gura 2.16 eF(s) =1/(LCs2+RCs+1). Vimos tambemque aofazer aparecer acorrente nodiagramadeblocosdocircuito, odiagramaresultante(Figura2.17)canaformadeumsistemarealimentadodotipodaFigura2.18. ParaencontrarosvaloresdeG(s)eH(s)vamossimplicar o diagrama da gura 2.17 como indicado na gura 2.20 de onde podemos maisfacilmenteobterporcomparacao:G(s) =1(R + Ls)Cse H(s) = 1Agorapodemosfacilmentevericarqueaoutilizarmosaequacao(2.17)comosvaloresdeG(s), H(s)acimaobtemosafuncaodetransferenciadocircuitoindicadaem(2.16).F(s) =G(s)1 + G(s)=1LCs2+RCs + 12.10.SistemasRealimentados www.das.ufsc.br/labsil 522.10.1 EstabilidadedeConexoesVimos que umsistemae estavel se todos os polos dasuafunc aode transferenciapossuempartereal negativa. Veremosaseguirqueaconexaodedoissistemasestaveispoderesultarnumsistemainstavel,dependendodecomoela efeita. Logoaconexaodesistemasdeveserfeitacomcuidado.SejamG1(s)=N1(s)D1(s)eG2(s)=N2(s)D2(s)duasF.T. estaveis, istoe, asrazesdeD1(s)eD2(s)possuemparterealnegativa.Oquepoderamosdizerdasconexoesabaixo?++X(s) Y(s)G1(s)G2(s)Figura2.21: Conexaodedoissistemasemparalelo-+X(s) Y(s)G1(s)G2(s)Figura2.22: Conexaodedoissistemasemrealimenta caoAfunc aodetransferenciadeX(s)paraY (s)naconexaodaFigura2.21 edadapor:Y (s) = (G1(s) + G2(s))X(s)= (N1(s)D2(s) + N2(s)D1(s)D1(s)D2(s))X(s)ComoasrazesdeD1(s)edeD2(s)possuempartereal negativaent aoasrazesdeD1(s)D2(s)possuemasmesmacaractersticas. LogoafuncaodetransferenciadeX(s)paraY (s)naconeccaodaFigura2.21 eestavel.JanocasodaconexaodaFigura2.22temos:Y (s) =G1(s)1 + G1(s)G2(s)X(s)=N1(s)D1(s)1 +N1(s)D1(s)N2(s)D2(s)=N1(s)D2(s)D1(s)D2(s) + N1(s)N2(s)X(s)2.10.SistemasRealimentados www.das.ufsc.br/labsil 53AgoraasrazesdopolinomioD1(s)D2(s) + N1(s)N2(s)podemterparterealpositivamesmoseasrazesdeD1(s)eD2(s)possuempartereal negativa. Esseeocaso, porexemplo,seN1(s) = 2,N2(s) = 1eD1(s) = D2(s) = s + 1.2.10.2 SistemasRealimentadosempresencadedist urbiosR(s) C(s)+-++H(s)G1(s)G2(s)ReferenciaD(s)Dist urbioFigura2.23: SistemarealimentadoperturbadoNoesquemaacima, asadaC(s) e afetadatantopelareferenciaR(s) quantopelaperturbac aoD(s). Quandoas duas entradas R(s) eD(s) saoindependentes entresientaooefeitodessasentradassobreasadaC(s)podeserobtidodemaneiratambemindependenteatravesdoprincpiodasuperposicaodosefeitos(Linearidade).Ctotal(s) = CR(s) + CD(s)

CR(s) = C(s) paraD(s) = 0CD(s) = C(s) paraR(s)=0-++H(s)D(s)G1(s)G2(s)CD(s)Figura2.24: DiagramaparareferencianulaQuandoR(s) = 0obtem-seodiagramadagura2.24,eutilizando(2.17)temos:CD(s) =G2(s)1 + G2(s)H(s)G1(s)D(s)QuandoD(s) = 0tem-seodiagramadagura2.25enovamentecom(2.17)temos:CR(s) =G1(s)G2(s)1 + G1(s)G2(s)H(s)R(s)Logo:Ctotal(s) = CD(s) + CR(s) =G2(s)1 + G2(s)H(s)G1(s)D(s) +G1(s)G2(s)1 + G1(s)G2(s)H(s)R(s)2.11.Problemascomplementares www.das.ufsc.br/labsil 54R(s)+-+H(s)G1(s)G2(s)CR(s)ReferenciaFigura2.25: Diagramaparadist urbionuloSistemasrealimentados, quandobemprojetados, saomenossensveisàperturbac oesquesistemassemrealimentac ao(MalhaAberta). Istoseconsegueprojetando-secontro-ladores(ltrosdecontrole)queforcamaparcelaCR(s)devidoaosinaldereferenciaserdominanteemrelac aoàparcelaCD(s)devidoaodist urbio.2.11 ProblemascomplementaresProblema2.9CalculeatransformadadeLaplacedasfuncoes:a)f(t) = exp(10t) , t 0b)f(t) = cos(10t + /3) , t 0Problema2.10Ocomportamentode umdeterminadosistemae regidopelaequacaodiferencial x+2x = f. Calculearespostadessesistemaquandoomesmo eexcitadocomumdegrauunitarioecondicoesiniciaisx(0) = 1. Identiqueafuncaodetransferencia,arespostadeEntradaZeroearespostadeEstadoZeroeveriqueseosistema eestavel.Problema2.11Sabendo que a resposta impulsional do sistema da gura 2.26(a) e w(t) =2exp(t) , t 0veriqueseosistemarealimentadodagura2.26(b)eestavel. Justi-quesuaresposta.u G(s)(a)--+eu 1s10G(s) 5yr(b)Figura2.26: SistemaparacontroledeposicaoCaptulo3RespostaaoDegrau3.1 IntroducaoUm grande n umero de problemas de controle consiste em se manter constante a vari aveldesada. Vejaporexemplooproblemadecontroledeposicionamentodeumaantenaindicado na gura 1.4. A entrada do sistema, que representa o valor desejado da vari avelcontrolada(sada)enestecasoumdegraucomamplitudeigual aovalordesejadoparaasada. Quandosequermudaraposicaodaantenadeumaposic aoinicial, digamosposicaozero, paraumanovaposicao, digamosposicaoum, osinal deentradadeveserumdegrauunitario. Aoseaplicarumdegraunaentradadessesistemadecontrole, aposic aodaantenavai evoluir daposicaozeroparaaposicaoumsegundoumacurvaquedependedecomoosistemadecontrolefoiprojetado. Curvastpicasdessaevoluc aopodem ser encontradas na gura 3.1. Normalmente deseja-se um transitorio rapido, compoucas oscilac oes e que a vari avel controlada,posicao da antena no caso,va para o valordesejadosemerrosignicativodeposic aoemregime, istoe, erroderegimedespresvel.Paraatendertodosessesrequisitosdeperformance,quandoisso epossvel,oengenheirodevesaberprojetaradequadamenteosltrosdecontroledosistema. Oprimeiropasso,noentanto, esaber especicar matematicamenteosndices deperformancedesejadospara a resposta. Veja na gura 3.1 que a resposta (a) e mais oscilatoria que as demais. Aresposta(c)atingeovalorderegimemaisrapidoqueasdemaisetodasastrespossuemerroderegimenulo(valornaldaresposta eexatamenteovalordesejado).Nestecaptuloestudaremosalguns ndicesdeperformancedarespostaaodegrauquenos permitira quanticar matematicamente o tamanho das oscilacoes da resposta, a rapi-dezdarespostaeoerroderegimecometido.Outros sinais deentradacomoimpulsoefuncaorampa(x(t) =t) tambemsaodeinteresse. Noentanto, paracondic oes iniciais nulas, arespostadeumsistema(linearinvariante)aoimpulso, degrau, erampaestaoligadasentresi. Parailustrarestefato,sejaF(s)aF.T.deumsistemalinearinvarianteindicadonagura3.2.f(t) = L1[F(s)]RespostaImpulsional: X(s) = 1 Y (s) = F(s) y(t) = f(t)3.1.Introducao www.das.ufsc.br/labsil 560 3 6 9 12 15 18 21 24 27 300.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0+0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 300.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0+0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 300.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0+0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 300.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0+(a)(b)(c)(d)Figura3.1: CurvastpicasdarespostaaodegrauX(s) Y(s)F(s)Figura3.2: Diagramadeblocoentrada/sada3.2.AnalisedeSistemasdePrimeiraOrdem www.das.ufsc.br/labsil 57RespostaaoDegrau: X(s) =1s Y (s) =1sF(s) y(t) =

t0 f(t)dtRespostaàRampa: X(s) =1s2 Y (s) =1s2 y(t) =

t0

t0 f(t)dtdtNoteque,paracondic oesiniciaisnulas,arespostaaoimpulsoearespostaàrampasaorespectivamenteaderivadaeaintegral darespostaaodegrau. Poressemotivovamosnosconcentrarnarespostaaodegraudeagoraemdiante.3.2 AnalisedeSistemasdePrimeiraOrdemSistemas cujafuncaode transferenciapossui apenas umpolosaoconhecidos comosistemasdeprimeiraordem.Exemplo3.1Veriquequeocircuitodagura3.3eumsistemadeprimeiraordem.Solucao: Paramostrar que osistemae de primeiraordemprecisamos encontrar afuncaodetransferenciadomesmoeparaissosesupoequeocircuitopossui condic oesiniciais nulas. As equacoes que regemocomportamentodesse sistemasaoindicadasabaixo.

x + RI + y= 0I= C y, condicaoinicial nula(y(0) = 0)AplicandoLaplacetemos:RC+-+-x(t) y(t) IFigura3.3: CircuitoRCx + RC y + y= 0 Y (s)X(s)=1RCs + 1=1Ts + 1onde T =RC. Comoafuncaode transferenciapossui apenas umpoloosistemaeX(s) Y(s)1Ts+1Figura3.4: Sistemadeprimeiraordempadraorealmentedeprimeiraordem.3.2.AnalisedeSistemasdePrimeiraOrdem www.das.ufsc.br/labsil 58Exemplo3.2Podemosexpressaravelocidade()doeixodeummotorDCemfuncaodatensaodeentrada(V )atravesdeumaequacaodiferencialdotipoJ +f= bVondeb, J, fsaoconstantesfsicasdomotor. Mostrequeessesistemaedeordem1.Solucao: Devemos mostrar que a funcao de transferencia possui apenas umpolo.TomandoatransformadadeLaplaceencontramos =bJs+fV quemostraoresultadodesejado.A resposta ao degrau de um sistema cuja func ao de transferencia e do tipo F(s) =1Ts+1eobtidadaseguinteforma:Y (s) =1Ts + 1X(s) =1Ts + 11scomcondic oesiniciaisnulase L[X(s)] =1s.Expandindoporfracoesparciaiseanti-transformandotemos:Y (s) =1s TTs + 1 y(t) = 1 et/T, t 0Arespostaindicadaacimapossuipropriedadesinteressantes:0 ty(t)x(t)entradasadaFigura3.5: Respostaaodegraudeumsistemadeprimeiraordempadrao1)dydt|t=0=1T2)Parat=T y(T)=1 e1=0, 632, istoe, decorridosTsegundosarespostaatinge63, 2%doseuvalornalderegimepermanente.t = 2T y(2T) = 1 e2= 0, 865t = 3T y(3T) = 1 e3= 0, 950t = 4T y(4T) = 1 e4= 0, 982t = 5T y(5T) = 1 e5= 0, 993Asduaspropriedadesacimapodemserutilizadasparaseencontrarovalordaconstantede tempoT quandoarespostaaodegraufor obtidaexperimentalmente. Certique-senoexperimentodequeascondic oesiniciaissaorealmentenulasequeafunc aodetransferencia edotipo1Ts+1.3.3.AnalisedeSistemasdeSegundaOrdem www.das.ufsc.br/labsil 593.3 AnalisedeSistemasdeSegundaOrdemSistemas de segunda ordem sao aqueles cuja func ao de transferencia possui dois polos.Nestasecaovamosestudarumtipoespecialdesistemasdesegundoordemconhecidonaliteraturadecontrolecomosistemadesegundaordempadrao:F(s) =2ns2+ 2ns + 2n(3.1)onde e n recebem o nome de taxa de amortecimento e frequencia natural do sistema re-spectivamente. Os valores desses parametros dependem dos parametros fsicos do sistemaestudado,comoilustraoexemploaseguir.Exemplo3.3Encontreosvalores endaformapadraoparaosistemadesegundaordemdagura3.6.+-RLCx(t)I(t)+-SISTEMA Entraday(t)SadaFigura3.6: SistemadesegundaordempadraoSolucao: O primeiro passo para se resolver o problema e obter a funcao de transferenciadosistema,oquejafoideterminadonoexemplo2.30,eeindicadaaseguir.X(s) = (RCs +LCs2+ 1)Y (s) Y (s) = F(s)X(s)F(s) =1LCs2+ RCs + 1Porcompara caocom(3.1)temos:F(s) =1LCs2+ RCs + 1=2ns2+ 2ns + 2nLogo:2n=1LC; 2n=RL =R2

CLNotequeataxadeamortecimento dependelinearmentedaresistenciadocircuitoeestaeresponsavel peladissipac aodeenergia. Jaafrequencianatural ndependedos3.3.AnalisedeSistemasdeSegundaOrdem www.das.ufsc.br/labsil 60valores da capacitancia e indutancia que sao os elementos responaveis pelas oscilac oes daresposta. Numsistemasemamortecimento, istoeR=0eportanto=0, arespostaoscilacomafrequencianatural dosistema. Esteeocasodarespostadagura3.1(a).Mas quandoexisteamortecimentoduas situac oes podemocorrer: i)oamortecimentoepequenocausandorespostaoscilatoriaenessecasoafrequenciadeoscilacaoemenorqueafrequencianatural dosistema. Essasituac aoestaindicadanagura3.1(b)e(c); ii) oamortecimentoe grande e nesse casoarespostanaoe mais oscilatoria, comoilustraagura3.1(d). Naliteraturaocasocompoucoamortecimento econhecidocomosubamortecidoeocasocommuitoamortecimentorecebeonomedesuperamortecido.3.3.1 Casosemamortecimento(= 0)Se a resistencia do circuito e nula, o circuito e um oscilador ideal e nao existe dissipac aode energia. Isso indica que a resposta ao degrau do sistema e oscilatoria nao amortecida.Sistemasquenaodissipamenergiapossuemcoecientedeamortecimentonulo. Vejaoqueacontecenoexemplo3.3.Arespostaaodegrau(X(s) = 1/s)quando= 0 e:Y (s) =2n(s2+ 2n)sepelatransformadainversaencontramosy(t) = 1 cos(nt)quecorrespondeàcurvadagura3.1(a)paran= 2.Notequenessecaso( =0)ospolosdafuncaodetransferenciaestaosobreoeixoimaginariooqueconrmaofatodequeoamortecimentodarespostaedenidopelapartereal dospolos. Comoaparterealenulanessecaso, oamortecimentotambemoe. Noteaindaqueovalordaparteimaginariadospolosdeneafrequenciacomquearespostaoscila.3.3.2 CasoSubamortecido(0 < < 1)Quando 0 < < 1 os polos da funcao de transferencia indicada em (3.1) sao complexosedoladoesquerdodoeixoimaginario. Istopodeservericadodaseguinteforma. Ospolossaodadospelaequac ao:p1,2= 2n

422n42n2= nn

21quepodemosescrevercomo:p1,2= jdonde = ne a parte real dos polos e d= n

1 2e a parte imaginaria,tambemchamada de frequencia natural amortecida. A frequencia natural do sistema n e o modulodospolosn=

2+2d.3.3.AnalisedeSistemasdeSegundaOrdem www.das.ufsc.br/labsil 61Arespostaaodegrauunitario edadaporY (s) = F(s)R(s)comR(s) = 1/s. Logo:Y (s) =2n(s2+ 2ns +2n)scomoauxliodatabeladeanti-transformadatemos:y(t) = L1[Y (s)] = 1 et

1 2sen(dt + ), = tan1

1 2(3.2)Nagura3.1(b)seencontraarespostay(t)para= 0, 1en= 2enocaso3.1(c)para= 0, 6en= 2.Problema3.1Calculeovalorderegimepermanentedarespostaaodegraudeumsis-temanaformapadrao(3.1). Qual eadiferencaentreosvaloresdaentradaedasadaemregimepermanente?Dica: Utilizeoteoremadovalornal.3.3.3 CasoSuperamortecido( 1)Se 1 os polos da funcao de transferencia (3.1) sao reais e os dois negativos. A sadaparaumaentradadegrauunitario e:Y (s) =2n(s + s1)(s + s2)scoms1,2= (

21)n. Comousodetabelasdetransformadasobtem-se:y(t) = 1 + (es1ts1es2ts2)n2

21Esta resposta pode ser vista na gura 3.1(d) para = 2 e n= 2. Para o caso particularde =1aexpressaoy(t)acimaprecisasermodicadaepodeserencontradaem[1].Notequese>>1ent ao, paraomesmovalorden, temos |s1|>> |s2| eportantooefeito do polo s1sobre a resposta desaparece bem mais rapido que o efeito do polo s2queestamaisproximodoeixoimaginario. Sendoassimparavaloresde>>1osistemasetornaextremamentelento. Umsistemadeprimeiraordemcomumpolos2teriaumarespostamuitoparecida.3.3.4 Casoinstavel(< 0)Paravaloresnegativosdeumdospolosdafuncaodetransferencia(3.1) epositivoeportantoasadadivergeexponencialmente(instabilidade).Notequenocasodocircuitodoexemplo3.3ataxadeamortecimentoserasemprepositiva(ounulaquandoR = 0)devidoàdissipac aodeenergianoresistor.Problema3.2Mostrequequando >0)istoepossvel eessasexpressoessaoobtidasaseguir.Instante de Pico (tp): Oinstante de picopode ser caracterizadocomosendooprimeiroinstante de tempo(excetoaorigem) paraoqual aderivadatemporal darespostaenula. Tomandoaderivadatemporal darespostay(t)em(3.2)eigualandoàzeroencontramos:tp=d=n

1 2(3.3)SobressinalMaximo(Mp): Note que num sistema do tipo (3.1) o valor de regime darespostaaodegrauunitario eum. Comoy() = 1vamosutilizar(3.2)paraobter:Mp=y(tp) y()y()= y(tp) 1 = ed= e 12(3.4)NotequeMpdependesomentedeequando 1naoexisteoscilac aoeMpnaotemmaissentido.TempodeAcomodacao(ts): DiferentementedoSobressinal edointantedepico,nao existe uma expressao analtica exata para o tempo de acomodac ao ts. Existem abacosquepermitemadeterminac aoexatadets. Vejaporexemplo[1]. Aseguirapresentamosduaspossibilidadesparaseobterumaaproximac aodets.Arespostaaodegraudosistema(3.1) e:y(t) = 1 et

1 2sen(dt + ) , = tan1

1 2Impondoqueaamplitudedosenoestejadentrodafaixadetoleranciaquecaracterizaotempodeacomodacaotemosumacondicaosucienteparagarantirqueotempodeacomodac aofoiatingidocomadadatolerancia. Notequeovalorderegimedarespostaey()=1eaamplitudedosenotendeàzeroquandot . Sejaatoleranciadeerro que dene o tempo de acomodac ao. Impondo que a amplitude do seno esteja dentrodessatoleranciatemos:

y(ts) y()y()

=

ets

1 2sen(d + )

ts=ln(

1 2)(3.5)onde= neaparterealdospolos.Umaoutraaproxima caomuitocomumparatspodeserobtidaporanalogiacomsis-temas de primeira ordem. Num sistema de primeira ordem o valor de regime da respostae atingido apos 4 constantes de tempo com 2% de erro e apos 3 constantes de tempo com5%deerro. ParaumsistemadesegundaordempodemosaproximartsdenindocomoconstantedetempoT= 1/eassimtemos:ts= 4Tpara2%deerro ; ts= 3Tpara5%deerro (3.6)3.4. Indicesdedesempenho www.das.ufsc.br/labsil 64Exemplo3.4Obtenhaos ndicesdedesempenhodarespostaaodegrauunitarioparaoseguintesistema:C(s)R(s)=25s2+ 6s + 25Solucao: O primeiro passo e obter os valores da frequencia natural e da taxa de amortec-imentodosistema. Comparandoosistemaacimacom(3.1)temos:25 = 2n n= 5eafrequencianatural.6 = 2n = 6/10 = 0, 6eataxadeamortecimento.d= n

1 2= 4eaparteimaginariadospolos.= n= 3eapartereal dospolos.Agorapodemoscalcularos ndiceseverica-losnagura3.8.tp=d= 0, 785segeoinstantedepico.Mp= e /d= 0, 095, Mp(%) = 9, 5%eosobressinal.ts(2%) =ln(0,0212)3= 1, 38segeotempodeacomodacaocom2%deerro.ts(5%) =ln(0,0512)3= 1, 07segeotempodeacomodacaocom5%deerro.0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 2.4 2.7 3.00.000.120.240.360.480.600.720.840.961.081.20+Figura3.8: Respostaaodegraudosistema3.5.Servomecanismoparacontroledeposicao www.das.ufsc.br/labsil 653.5 ServomecanismoparacontroledeposicaoAseguir estudaremos umproblemamuitocomumnaind ustriaque consiste emsecontrolaraposic aodeumdeterminadoobjetoatravesdeummotorDC. Umesquemasimplicadodessetipodesistemadecontrole, conhecidocomoservomotorouservome-canismoparacontroledeposic ao, eindicadonagura1.4.Os elementos desse sistema de controle sao: 1 comparador de tensao, 2 potenciometrosidenticos, um amplicador de potencia, uma antena com haste movel e base, 1 sistema deengrenagens para reduc ao de velocidade, 1 motor DC. O diagrama da gura 3.9 ilustra ofuncionamentodosistema.motortorquedoeixodomotorpotenciometroposic aodaantenapotenciometro-+engrenagensamplicadordepotenciaposic aomedidaantenatorquedoeixodaantenatensaodomotorEareferenciar(t)tens aodeerroe(t)Figura3.9: DiagramafuncionaldosistemadeposicionamentoParaconstruir odiagramade blocos apartir dodiagramafuncional dagura3.9precisamosobterafuncaodetransferenciadecadadispositivodosistema. Issoeoquefaremosaseguir.Comparador: Essedispositivo eumsomadordetensoesquetemcomoentradaduastensoes: Vc(t)quevemdopotenciometrodemedicaodaposicaodaantenaeVr(t)quevemdopotenciometrodereferencia. Asadadocomparadoreentaoumsinal deerroentreovalordesejadoeovalorobtidodaposic aodaantena: e(t) = Vr(t) Vc(t).Potenciometro: Essedispositivotransformadeslocamentoangularemumatensaoquelhe eproporcional. Aconstantedeproporc ao,quedeniremospork0, eoganhodopotenciometro. Assim, se denotarmos por c(t) a posicao da antena e r(t) o valor desejadoparaelapodemosconstruirodiagramadeblocosdagura3.10.Amplicadordepotencia: Essedispositivotemcomofunc aosuprircomenergiaosistemadecontrole. Notequeosinal deentradadoamplicadore(t)eumsinal deerro oriundo de medidores e portanto nao possui energia suciente para acionar o motor.Vamos considerar que o amplicador e ideal e possui um ganho de tensao k1. Assim o sinaldesadadoamplicadorEa(t)edadoporEa(t)=k1e(t). Incorporandooamplicadornodiagramadeblocos3.10obtemosumnovodiagramaindicadonagura3.11.MotorDC: Afunc aodomotorDCeacionaraantenaparaqueelaestejasempre3.5.Servomecanismoparacontroledeposicao www.das.ufsc.br/labsil 66k0k0e(t)+ -r(t) c(t)Figura3.10: Diagramadeblocosdocomparadorepotenciometrok0k0+ -r(t) c(t)e(t)Ea(t)k1Figura3.11: Diagramadeblocoscomadicaodoamplicadorapontada para a direc ao desejada. Sao comums as palavras acionador e servomotor paradesignarafuncaodomotornessetipodesistemadecontrole.Oservomotor pode ser operadode dois modos. Nummodoacorrente de campo(estator)emantidaconstanteeumatensaoajustavel eaplicadaàarmadura(rotor)enooutromodose faz ocontr ario. Esses modos de operac aopossuemcaractersticasdiferenteseapenasoprimeiroseraconsideradoaqui.Quandoacorrentedecampoeconstante, ouxoproduzidopelabobinadecampotambem e constante e nesse caso o conjugado (Tm) desenvolvido pelo motor e proporcionalàcorrentedearmadura(Ia)Tm= k2Ia(3.7)onde k2 e uma constante que depende do meio magnetico e do valor da corrente de campo.Comarotacaodaarmaduradomotornocampomagneticoconstanteproduzidopelabobinadecampo, apareceumatensaoinduzidanabobinadearmadura(Vfcem)queeproporcionalàvelocidadedomotor(m).Vfcem= k3m(3.8)ondek3eumaconstantequedependedomeiomagneticoedacorrentedecampo. Atensao induzida Vfcem possui a polaridade contr aria da tensao aplicada na armadura, poisela surge como uma oposicao ao movimento do rotor. Por esse motivo essa tensao recebeo nome de forca contra-eletromotriz. O controle da velocidade do motor e obtido por meiodeumatensaoaplicadaàarmadura(Ea). Apolaridadedatensaoaplicadadeterminaosentidodotorqueobtido(Tm)eestedeterminaomovimentodorotor. Agura3.12mostraodiagramadefuncionamentodeummotordccontroladopelaarmadura. NessaguraRaeLaindicamaresistenciaeindutanciadearmadurarespectivamenteeIaeacorrente que circula no circuito de armadura devido a aplicacao da tensao Ea. A equacaodetensoesparaocircuitodearmadura e:La Ia + RaIa + Vfcem= Ea(3.9)3.5.Servomecanismoparacontroledeposicao www.das.ufsc.br/labsil 67+-RaLa+Vfcem-VcccircuitodecampocircuitodearmaduraEa(t)IaTmFigura3.12: MotorDCcontroladopelaarmadura(rotor)ecomasexpressoes(3.7)e(3.8)temos:Lak2Tm +Rak2Tm + k3m= Ea(3.10)Podemos agora incluir o motor no diagrama de blocos da gura 3.11 para obter o diagramadagura3.13.k0k0e(t)+ -Ea(t)k1Tm, mLak2Tm +Rak2 Tm + k3m= Eac(t) r(t)Figura3.13: DiagramadeblocoscomadicaodomotorDCEngrenagens: Osistemadeengrenagenstemcomofunc aoadequaravelocidadederotacaodoeixodaantenaaoeixodorotor. Umsistemadeengrenagenspossui func aoanalogadotransformadoremsistemaseletricos. Nosdoiscasos,apotenciadoprimariodeve ser igual à do secundario: no caso do transformador a potencia e o produto da tensaopelacorrenteV1I1=V2I2enocasodaengrenagemapotenciaeoprodutodotorquepelavelocidadeT11=T22. Arelac aoentreasgrandezasdoprimarioesecundarioedenidapelaconstantederelacaoentreon umerodeespirasdoprimarioesecundariodotransformadoreentreon umerodesulcrosdasengrenagensprimariaesecundaria.Deniremos aconstantederelac aodas engrenagens pelaletran, istoe, 2=1neportanto T2= T1/n. Incorporando a engrenagem no digrama de blocos anterior obtemosodiagramadagura3.14.Plataformadaantena: Aplataformaeaantenaformamumsistemamecanicoquepossui momentodeinecia(Jc) eumcoecientedeatritoviscoso(bc) nos mancais daplataforma. Agura3.15ilustraas grandezas presentes nomovimentorotacional daantena. Fazendoasomatoriadostorquesnoeixodaantenatemos:3.5.Servomecanismoparacontroledeposicao www.das.ufsc.br/labsil 68nk0k0e(t)+ -Ea(t)k1Tc, cTm, mLak2Tm +Rak2 Tm + k3m= Ear(t)c(t)Figura3.14: Diagramadeblocoscomadic aodaengrenagembccTcmomentodeinercia(referidoaoeixodaantena)coecientedeatritoviscoso(referidoaoeixodaantena)JcFigura3.15: SistemamecanicodaplataformaeantenaTorques = 0 Tc= Jc c + bcc(3.11)e com a expressao acima podemos incluir a antena no diagrama 3.14 para obter o diagramada gura 3.16. Note que as vari aveis m, Tmdo eixo do motor e as vari aveis c, Tcdo eixonk0k0e(t)+Ea(t)Tm, mLak2Tm +Rak2 Tm + k3m= EaTc, cck1c(t)

dtTc= Jc c + bccr(t)-Figura3.16: Diagramacompletodosistemadeposicionamentodacarga(antena)estaoligadasentresi atravesdaengrenagem. Alemdisso, avariaveldeinteresse eaposicaoangulardoeixodaantena,quenodiagrama3.16 erepresentadapelaletrac(t),isto e, c(t) = c(t).Uma vez que todos os dispositivos fsicos foram modelizados,podemos comecar a sim-plicar odiagrama,ja queapenasossinaisr(t) dereferencia ec(t) deposic ao daantenasao de interesse no problema. Todos os outros sinais intermedi arios podem ser eliminados.Devido às caractersticas do motor DC, na faixa normal de funcionamento a tensao no3.5.Servomecanismoparacontroledeposicao www.das.ufsc.br/labsil 69indutor e muito pequena em relac ao às tensoes no resistor e de efeito contra-eletromotriz.Podemosent aodesprezaroefeitoindutivodaarmadura, istoe, podemossimplicaraexpressao(3.10)fazendoLa= 0. DaconclumosqueTm=k2RaEak2k3RamConsiderandoagoraaengrenagemtemosTm=Tcnem=c/nejuntamentecomaexpressaoacimapodemosrescrever(3.11)naforma:Jc c + (bc +k2k3n2Ra)c=k2nRaEa(3.12)ecomoc= c(t)temosJc c(t) + (bc +k2k3n2Ra) c(t) =k2nRaEa(3.13)TomandoatransformadadeLaplacedaequac aoacimapodemosencontrarafunc aodetransferenciadatensaoEa(t)paraaposic aoc(t).C(s)Ea(s)=k2nRaJcs2+ (bc +k2k3n2Ra) s(3.14)Comistoodiagrama3.16podesersimplicadocomoindicadonodiagrama3.17. Porr(t)e(t)+ -k0k1Ea(t)c(t)k2nRaJcs2+(bc+k2k3n2Ra) sFigura3.17: Diagramasimplicadodeposicionamentodaantenaconvenienciadenotacaoiremosdenirafunc aoG(s)indicadaaseguir.G(s) =KJ s2+BsK=K0K1K2nRa, B= bc +K2K3n2Ra, J= Jc(3.15)ComG(s)acimaodiagrama3.17podeserrescritocomoindicadonagura3.18queeumaformamaisconvenienteparanossospropositos. AgoraaFunc aodeTransferenciademalhafechada e:C(s)R(s)=G(s)1 + G(s)=KJ s2+Bs + K3.5.Servomecanismoparacontroledeposicao www.das.ufsc.br/labsil 70r(t)+c(t)-KJs2+BsFigura3.18: DiagramadeposicionamentonaformapadraoComparando a equacao acima coma forma padrao (3.1) encontramos os valores dafrequencianaturalnetaxadeamortecimentodosistemadecontrole:2n=KJ, 2n=BJ(3.16)Pelasexpressoesacimapodemosvericaraperformancedosistemadecontrole.QuandoosvaloresnumericosdeJ, K, Bsaofornecidospodemosfacilmentededuzirosvalores de, ncorrespondentes eportantosaber seosistemadecontrolevai fazer oposicionamentodaantenacomoscilac oes(se0 0.Umfatordotipo1/seumaretadeinclinac ao-20dB/decadaquepassaporzerodBquando = 1 rad/seg= 1/2Hertz: |1j|dB= |j|dB= 20log|j| = 20log||. Suafaseeconstanteevale-90graus. Umfatordotipospossui moduloefasecomsinaistrocados.-110010110-40-30-20-10010203040dbHzMagnitude-110010110-270-250-230-210-190-170-150-130-110-90degreesHzPhaseFigura4.14: DiagramadeBodedostermosse1sParaumfatordeprimeiraordemdotipo1Ts+1temos:Baixas frequencias: lim01jT+1=1. Logonas baixas frequencias otermosecomportacomoumfatorconstanteunitario.Altasfrequencias: lim1jT+1=1jT( ). Logonasaltasfrequenciasotermosecomportacomoumfatordotipo1jTquepossuifase-90grausemodulodecrescendonarazaode-20dB/decada.Mediasfrequencias: nafrequenciadequebra=1/Totemos1jT+1=1j+1quepossuimodulo 20 log(2) = 3dBefase tan1(1) = 45graus.Veja na gura 4.15 que as assntotas (linhas pontilhadas) possuem, no modulo, inclinacoesde zero e -20 dB/decada para baixas e altas frequencias respectivamente. A fase vale zerograus nas baixas frequencias, -90 graus nas altas frequencias e nas medias frequencias podeseraproximadaporumaassntotadeinclinac ao-45graus/decada. Aqui consideramos4.3.ConstrucaodoDiagramadeBode www.das.ufsc.br/labsil 91-30-20-100dbHzMagnitude0.1T1T10T-90-80-70-60-50-40-30-20-100degreesHzPhase0.1T1T10TFigura4.15: DiagramadeBodedotermo1Ts+1eassntotasmedias frequencias o intervalo entre uma decada abaixo e uma decada acima da frequenciadequebra.EimportantenotarqueogracodeTs + 1eobtidotrocando-seosinaldomoduloefase.Paraumfatordesegundaordemdotipo2ns2+2ns+2ntemos:Baixas frequencias: lim02n(j)2+2n(j)+2n=1. Logonas baixas frequencias otermosecomportacomoumfatorconstanteunitario.Altas frequencias: lim2n(j)2+2n(j)+2n=2n(j)2(). Logo nas altasfrequenciasotermosecomportacomoumfatordotipo2n(j)2quepossuifase-180grausemodulodecrescendonarazaode-40dB/decada.Mediasfrequencias: nafrequenciadequebra= notemos2n(j)2+ 2n(j) + 2n=1j2quepossuimodulo 20 log(2)dBefase tan1() = 90graus.Veja na gura 4.16 que as assntotas (linhas pontilhadas) possuem, no modulo, inclinacoesde zero e -40 dB/decada para baixas e altas frequencias respectivamente. A fase vale zerograusnasbaixasfrequencias, -180grausnasaltasfrequenciasenasmediasfrequenciaspodeseraproximadaporumaassntotadeinclinacao-90graus/decada. Aquiconsider-amosmediasfrequenciasointervaloentreumadecadaabaixoeumadecadaacimada4.3.ConstrucaodoDiagramadeBode www.das.ufsc.br/labsil 920.1 n-50-40-30-20-1001020dbHzMagnitude-180-160-140-120-100-80-60-40-200degreesHzPhase= 0.1= 50.1 nnn= 5= 0.1assntotasassntotas10 n10 nFigura4.16: DiagramadeBodedotermo2ns2+2ns+2neassntotasfrequenciadequebra. Afrequenciaeopicoderessonanciasaocalculadosdaseguinteforma:dd|G(j)| = 0 dd[1

[1 (n)2]2+ [2n]2] = 0Resolvendoaexpressaoacimaencontramosr= n

1 22, 0 22(4.1)Se>2/2naohaver apicoderessonanciaeomodulodecaimonotonicamentede1àzero.Quando0 2/2opicoderessonancia e:Mr= |G(j)|=r=12

1 2(4.2)Problema4.2ConsidereocircuitoRLCdagura4.6comR=0(osciladorideal)esuponhaL = 0.01H, C= 1F. Paraessesistemapede-se:1. AfuncaodetransferenciaG(s)doosciladoreseuspolos.2. OsdiagramasdeBodedafuncaoG(j).3. Expliqueporquenaosepodeobterarespostaemfrequenciadessesistema, istoe,porquenessecasofalhamasrelacoesindicadasnasguras4.2e4.3.4.4.SistemasdeFaseMnimaeNao-Mnima www.das.ufsc.br/labsil 934. ComoauxliodetabelasdetransformadadeLaplaceobtenhaasrespostasdoos-ciladorparav(t) = sen(104t)u(t)ev(t) = sen(2t)u(t).5. Obtenhaarespostaparaumdegrauunitarionaentrada. Expliqueporqueoteoremadovalornal naopodeseraplicadonestecaso.Exemplo4.6ConstruaosdiagramasdeBodepara:G(s) =10(s + 10)s(s + 1)(s2+ 100s + 104)Solucao: Quandosedispoedoauxliodeumcomputadoreumsoftwareadequadoodiagrama se constroi bastante facilmente (veja gura 4.19). Quando se deseja apenas umesbocomanual dodiagramapodemos constru-lodaseguinteforma. OprimeiropassoconsisteemfatorarG(s)numaformaondeseconheceosdiagramasassintoticosdecadaumdosfatoresindividualmente. Osfatoresquesaopolinomiosdeprimeiraesegundaordemdevemterotermoindependenteunitariocomoindicadoaseguir.G(s) =102(0, 1s + 1)s(s + 1)(104s2+ 102s + 1)Emseguidaconstruaosdiagramasassintoticosdedoisfatoresquaisqueresomeasduascurvas de moduloe de fase. Construaodiagramaassintoticode umterceirofator esomeascurvasobtidascomoresultadoanterior. Repitaesseprocedimentoatequeosdiagramasassintoticosdetodososfatorestenhamsidolevadosemconsideracao. ParaconstruirumesbocodosdiagramasdeBodeapartirdosdiagramasassintoticosobtidosuseofatoquenasfrequenciasdequebradefatoreslinearesadistanciaentreacurvareale as assntotas de de 3 dB e nos fatores quadraticos e 20 log(2). As guras 4.17,4.18e4.19ilustramesses passos. As curvas pontilhadas saoas assntotas ecurvas cheiassaogracosreais. Ointervalodefrequenciapodeserescolhidocomosendoumadecadaabaixodamenorfrequenciadequebraeumadecadaacimadamaior.4.4 SistemasdeFaseMnimaeNao-MnimaVimosemsec oesprecedentesqueumsistemaeestavelquandotodosospolosdasuafuncao de transferencia estao no semi-plano complexo esquerdo. Nesta sec ao estudaremosalgumaspropriedadesassociadasaoszerosdafunc aodetransferencia.Denicao4.1UmsistemaeditoserdeFaseMnimasetodososzerosdafuncaodetransferenciadessesistemaestaonosemi-planocomplexoesquerdo. Casocontrario,istoeseexistiralgumzeronosemi-planodireitoousobreoeixoimaginario,osistema editoserdeFaseNao-mnima.Paraqueumsistemadecontroletenhaalguminteressepraticoeledeveserestavel,istoetodososzerosdasuafunc aodetransferenciadevemterpartereal estritamentenegativa. Noentantoalgunssistemasfsicosestaveispodempossuirzerosnosemi-planodireito.4.4.SistemasdeFaseMnimaeNao-Mnima www.das.ufsc.br/labsil 94-110010110210310-60-50-40-30-20-10dbMagnitude-110010110210310-90-80-70-60-50-40-30-20-100degreesPhaserad/srad/sFigura4.17: DiagramadeBodedotermoG1(s) =0.01(0.1s+1)seassntotas-110010110210310-120-110-100-90-80-70-60-50-40-30-20dbMagnitude-110010110210310-150-140-130-120-110-100-90degreesPhaserad/srad/sFigura4.18: DiagramadeBodedotermoG2(s) = G1(s)1s+1eassntotas4.4.SistemasdeFaseMnimaeNao-Mnima www.das.ufsc.br/labsil 95-110010110210310-160-140-120-100-80-60-40-20dbrad/sMagnitude-110010110210310-270-250-230-210-190-170-150-130-110-90degreesrad/sPhaseFigura4.19: DiagramadeBodedotermoG(s) = G2(s)1104s2+102s+1eassntotasr2 r1CC r2r1x+-y-+Figura4.20: Circuitodefasenaomnima(r2> r1)4.4.SistemasdeFaseMnimaeNao-Mnima www.das.ufsc.br/labsil 96Exemplo4.7Ocircuitodagura4.20possuix(t)comotensaodeentradaey(t)comotensao de sada. A equacao diferencial que rege o comportamento do circuito e y +rC y=x r0 xonder = r1 +r2er0= r2r1. Afuncaodetransferenciadessecircuito eentaoG(s) =1 r0Cs1 + rCs(4.3)NotequeG(s)possui umpoloems= 1rCeumzeroems=1r0C. Portantoosistemaeestavel defasenaomnimaseescolhemosr2> r1,poisnessecasoozerodeG(s)estanosemi-planodireito. Seescolhemosr2 r1)Sistemasdefasemnimapossuempropriedadesbastanteinteressantes. SaomaissimplesdeseremcontroladoseosseusdiagramasdeBode(moduloefase)saoassint oticosnasaltasebaixasfrequenciasealemdissopodemosrelacionaraassntotademodulocomade fase atraves do grau relativo do sistema. Grau relativo de um sistema e a diferenca degrauentreodenominadoreonumeradordafunc aodetransferenciadomesmo.Veja o que ocorre se considerarmos um sistema que possui uma funcao de transferenciadotipo:G(s) =K(amsm+ + a1s + 1)bnsn+ + b1s + 1(4.4)coman, bn, Kreaispositivos.4.5.GracosdeNyquist(oupolares) www.das.ufsc.br/labsil 97-110010110210310-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10dbHzMagnitude-110010110210310-30-26-22-18-14-10-6-22degreesHzPhaseFigura4.22: Caso(b): Sistemadefasemnima(r2< r1)Ograurelativodessesistemaen m. Notequen m 0paratodosistemadeinteressepratico.Nasbaixasfrequenciastemos:lim0G(j) = KLogoodiagramademodulonasbaixasfrequenciaseumaassntotadeinclinac aozeroevalordadopor20 log(K). OdiagramadefasenasbaixasfrequenciastambemeumaassntotadeinclinacaozeroevalorzeropoisK> 0. Nasaltasfrequenciastemos:limG(j) =limKambn(j)mnOdiagramademodulonasaltasfrequenciaseumaassntotadeinclinac ao20(m n)dBpor decadaeovalor ondeestaassntotacruzaoeixodas frequenciasedadopor=(Kambn)1nm. Odiagramadefasenasaltasfrequenciastambemeumaassntotadeinclinacaozeroevalor90(m n)graus. Assimnotequenumsistemadefasemnimatemosqueseomodulodecaiassintoticamentecom20(mn)dBpordecadaafasevale90(m n)graus. Veriqueesteresultadonoexemplo4.7. Nesseexemplon=m=1(graurelativozero)eportantonocaso(b)quandor2 r1(sistemadefasenaomnima).4.5 GracosdeNyquist(oupolares)Como vimos na sub-sec ao 4.2, podemos representar a func ao complexa Gj) em termosdassuascoordenadaspolares. NoeixohorizontalplotamosRe[G(j)]enoeixovertical4.5.GracosdeNyquist(oupolares) www.das.ufsc.br/labsil 98Im[G(j)]. EstegracorecebeonomedediagramadeNyquist. Aconstruc aodeumesbocomanualparaessesgracosnao eumatarefafacilemgeral. NoentantopodemosconstruirodiagramadeNyquistapartirdosdiagramasdeBode. ComalgunspontosdemoduloefasedosdiagramasdeBodepodemosconstruirumesbocododiagramadeNyquist. Oponto(-1,0)dodiagramadeNyquisttemumpapel muitoimportantenaanalisedeestabilidadedesistemasrealimentados.Agura4.23mostraosdiagramasdeNyquistdostermosG1(s) = (s + 1)1, G2(s) =(s+1)2, G3(s) = (s+1)3, G4(s) = (s+1)4. Note na gura 4.23 que o graco de todos-0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.

(Alexandre Trofino - UFSC) - Sistemas Lineares

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