Álgebra Booleana

Álbebra BooleanaÁlbebra BooleanaProf. Tony Alexander HildLógica Digital – 1 CC – Unicentro – 2013

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Princípio da DualidadePrincípio da Dualidade

● Em álgebra Booleana a dualidade pode ser obtida trocando operadores · e + e substituindo 0s por 1s e vice-versa.

Exemplo:

(a · b) + c' = (a' + b') · c

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Postulados e Teoremas da Álgebra Postulados e Teoremas da Álgebra BooleanaBooleana

● Postulado 1 – Operações:

A álgebra Booleana tem um conjunto K de 2 ou mais valores e duas operações · e +, de modo que para todo a, b pertencentes a K:

a · b ∈ K

a + b ∈ K● Postulado 2 – Valores Neutros:

Existem valores 0 e 1 tais que:

a + 0 = a

a · 1 = a

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● Postulado 3 – comutatividade:

a + b = b + a

a · b = b · a● Postulado 4 – associatividade:

a + (b + c) = (a + b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c● Postulado 5 – distributividade:

a + (b · c) = (a + b) · (a + c)

a · (b + c) = (a · b) + (a · c)

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● Postulado 6 – existência de complemento:

Para todo a K, existe um e apenas um a' K, ∈ ∈chamado de complemento de a, tal que:

a + a' = 1

a · a' = 0

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● Teorema 1 (Idempotência):

A soma ou o produto de um valor por ele mesmo é igual a ele mesmo.

a + a = a

a · a = a

____________________________

Prova

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● Teorema 2 (Aniquilação):

a + 1 = 1

a · 0 = 0

____________________________

Prova

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● Teorema 3 (Involução):

● Teorema 4 (Absorção):

a + (a · b) = a

a · (a + b) = a

____________________________

Prova

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● Teorema 5:

a + a' · b = a + b

a · (a' + b) = a · b

____________________________

Prova

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● Teorema 6 (Adjacência lógica):

a · b + a · b' = a

(a + b) · (a + b) = a

____________________________

Prova

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● Teorema 7:

a · b + a · b' · c = a · b + a · c

(a + b) · (a + b + c) = (a + b) · (a + c)

____________________________

Prova

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● Teorema 8 (Leis de DeMorgan):

(a + b)' = a' · b'

(a · b)' = a' + b'

____________________________

Prova

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● Teorema 9 (Teorema do Consenso):

a · b + a' · c + b · c = a · b + a' · c

(a + b) · (a' + c) · (b + c) = (a + b) · (a' + c)

____________________________

Prova

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Leis de DeMorganLeis de DeMorgan

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Leis de DeMorganLeis de DeMorgan

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Universalidade das portas NANDUniversalidade das portas NAND

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Universalidade das portas NORUniversalidade das portas NOR

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Resumo dos Postulados e TeoremasResumo dos Postulados e Teoremas

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Postulados e Teoremas expressos por meio de Postulados e Teoremas expressos por meio de portas lógicasportas lógicas

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Representação alternativaRepresentação alternativa

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Exemplos de simplificaçõesExemplos de simplificações

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Mais exemplos de simplificaçõesMais exemplos de simplificações

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Formas Canônica e PadrãoFormas Canônica e Padrão

● Precisamos considerar técnicas formais para a simplificação de funções booleanas.

– Funções idênticas terão exatamente a mesma forma canônica;

– Mintermos e maxtermos;– Soma dos mintermos e Produtos dos maxtermos;– Produto e soma de termos;– Soma de Produtos (SOP) e Produto de Somas (POS).

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DefiniçõesDefinições

● Literal: Uma variável ou o seu complemento;● Termo Produto: literais conectados por ·;● Termo Soma: literais conectados por +;● Mintermo: um termo Produto em que todas as

variáveis aparecem exatamente uma vez, seja complementada ou não complementada;

● Maxtermo: um termo de Soma em que todas as variáveis aparecem exatamente uma vez, seja complementada ou não complementada.

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MintermoMintermo

● Representa exatamente uma combinação na tabela verdade;

● Denotado por mj, onde j é o equivalente decimal dos mintermos correspondente à combinação binária (bj);

● Uma variável em mj é complementada se seu valor em bj for 0, caso contrário é não complementada;

● Exemplo: Dadas 3 variáveis (A,B,C), e j=3. Então, bj = 011 e seu mintermo correspondente é denotado por mj = A’BC.

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MaxtermoMaxtermo

● Representa exatamente uma combinação na tabela verdade;

● Denotado por Mj, onde j é o equivalente decimal dos maxtermos correspondente à combinação binária (bj);

● Uma variável em Mj é complementada se seu valor em bj for 1, caso contrário é não complementada;

● Exemplo: Dadas 3 variáveis (A,B,C), e j=3. Então, bj = 011 e seu maxtermo correspondente é denotado por Mj = A+B'+C'.

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Tabela verdade para a notação de Mintermos e Tabela verdade para a notação de Mintermos e MaxtermosMaxtermos

● Mintermos e Maxtermos são fáceis de denotar usando uma tabela verdade;

● Examplo: Assuma 3 variáveis A,B,C (com ordem fixa).

Decimal A B C f(A,B,C)

0 0 0 0 1

1 0 0 1 0

2 0 1 0 1

3 0 1 1 1

4 1 0 0 0

5 1 0 1 0

6 1 1 0 1

7 1 1 1 1

Mintermos Maxtermos m

0 = A'B'C' M

0 = A + B + C

m1 = A'B'C M

1 = A + B + C'

m2 = A'BC' M

2 = A + B' + C

m3 = A'BC M

3 = A + B' + C'

m4 = AB'C' M

4 = A' + B + C

m5 = AB'C M

5 = A' + B + C'

m6 = ABC' M

6 = A' + B' + C

m7 = ABC M

7 = A' + B' + C'

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Formas Canônicas (Únicas)Formas Canônicas (Únicas)

● Qualquer função Booleana f( ) pode ser expressada como uma soma única de mintermos ou um produto único de maxtermos (sob uma ordem de variáveis fixa);

● Em outras palavras, toda função f( ) possui duas formas canônicas:

– Soma de Produtos Canônica (soma de mintermos);– Produto de Somas Canônico (produto de maxtermos).

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Formas Canônicas (cont.)Formas Canônicas (cont.)

● Soma de Produtos Canônica:

– Os mintermos incluídos são os mj tal que f( ) = 1 na linha j da tabela verdade para f( ).

● Produto de Somas Canônico:

– Os maxtermos incluídos são os Mj tal que f( ) = 0 na linha j da tabela verdade para f( ).

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ExemploExemplo

● Tabela verdade para f(A,B,C);

● A forma canônica de soma de produtos para f é:

– f(A,B,C) = m1 + m2 + m4 + m6 = A’B’C + A’BC’ + AB’C’ + ABC’

● A forma canônica de produto de somas para F é:

– f(A,B,C) = M0 · M3 · M5 · M7 = (A+B+C) · (A+B’+C’) · (A’+B+C’) · (A’+B’+C’)

● Observe que: mj = Mj’. A B C F0 0 0 0 01 0 0 1 12 0 1 0 13 0 1 1 04 1 0 0 15 1 0 1 06 1 1 0 17 1 1 1 0

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Abreviatura: ∑ e ∏Abreviatura: ∑ e ∏

● f(A,B,C) = ∑ m(1,2,4,6), onde ∑ indica que é a forma Soma de Produtos, e m(1,2,4,6) indica que os mintermos que devem ser incluídos são m1, m2, m4, e m6.

● f(A,B,C) = ∏ M(0,3,5,7), onde ∏ indica que é a forma Produto de Somas, e M(0,3,5,7) indica que os maxtermos que devem ser incluídos são M0, M3, M5, e M7.

● Como mj = Mj’ para todo j, ∑ m(1,2,4,6) = ∏ M(0,3,5,7) = f(A,B,C)

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Conversão entre Formas CanônicasConversão entre Formas Canônicas

● Substitua ∑ por ∏ (ou vice versa) e substitua os j’s que estão na forma original pelos que não estão.

● Example:f(A,B,C) = A’B’C + A’BC’ + AB’C’ + ABC’

= m1 + m2 + m4 + m6

= ∑(1,2,4,6)

= ∏(0,3,5,7) = (A+B+C)·(A+B’+C’)·(A’+B+C’)·(A’+B’+C’)

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Formas Padrão (Não Únicas)Formas Padrão (Não Únicas)

● Formas Padrão são “como” Formas Canônicas, exceto que nem todas as variáveis precisam aparecer nos termos produto (SOP) ou soma (POS) individuais;

● Exemplo:f(A,B,C) = A’B’C + BC’ + AC’é uma forma padrão de soma de produtos.

● f(A,B,C) = (A+B+C)·(B’+C’)·(A’+C’)é uma forma padrão de produto de somas.

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Conversão de SOP da forma padrão para a Conversão de SOP da forma padrão para a forma canônicaforma canônica

● Expanda os termos não-canônicos inserindo o equivalente a 1 em cada variável x ausente:(x + x’) = 1

● Remova os mintermos duplicados● f(A,B,C) = A’B’C + BC’ + AC’

= A’B’C + (A+A’)BC’ + A(B+B’)C’ = A’B’C + ABC’ + A’BC’ + ABC’ + AB’C’ = A’B’C + ABC’ + A’BC + AB’C’

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Conversão de POS da forma padrão para a Conversão de POS da forma padrão para a forma canônicaforma canônica

● Expanda os termos não-canônicos adicionando 0 nos termos com variáveis faltantes (e.g., xx’ = 0) e use a lei distributiva.

● Remova os maxtermos duplicados.● f(A,B,C) = (A+B+C)·(B’+C’)·(A’+C’)

= (A+B+C)·(AA’+B’+C’)·(A’+BB’+C’) = (A+B+C)·(A+B’+C’)·(A’+B’+C’)·

(A’+B+C’)·(A’+B’+C’) = (A+B+C)·(A+B’+C’)·(A’+B’+C’)·(A’+B+C’)

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