Álgebra Booleana aplicada a Eletronica Digital

lgebra de Boole aplicada eletrnica digital


Eng.: Roberto Bairros dos Santos. Um empreendimento Bairros Projetos Didticos www.bairrospd.kit.net

Este trabalho tem por objetivo apresentar os conceitos bsicos da lgebra Boole permitindo a aplicao dos postulados, teoremas, propriedade e identidades em circuitos eletrnicos digitais facilitando o seu entendimento e simplificao.

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Contedo1 2 3 4 5 6 7 Conceito: ................................................................................................................ 3 O que uma Funes Lgicas: .............................................................................. 4 Estados lgicos na eletrnica: ................................................................................ 5 Funes lgicas bsicas: ........................................................................................ 6 O circuito Lgico:.................................................................................................... 8 Como descrever uma funo lgica: ....................................................................... 9 A tabela Verdade. ................................................................................................. 10 7.1 Funo E (AND):.......................................................................................... 11 7.2 Funo OU (OR): ......................................................................................... 13 7.3 Funo NO (Inversora) (NOT): ..................................................................... 15 8 Circuito digital:..................................................................................................... 17 8.1 Exemplo de anlise de circuito digital:........................................................... 18 9 Funes especiais:................................................................................................ 21 9.1 Funo NO E (NAND): ............................................................................... 22 9.2 Funo NO OU (NOR):............................................................................... 25 9.3 Funo OU EXCLUSIVO (EXOR): ................................................................ 27 9.4 Funo NO OU EXCLUSIVO (EXNOR):...................................................... 29 10 Postulados da lgebra de Boole: ........................................................................ 31 10.1 Postulado do produto:................................................................................. 31 10.2 Postulado da soma:..................................................................................... 32 10.3 Postulado da Inverso:................................................................................ 33 10.4 Aplicando os postulados na prtica: ........................................................... 34 10.4.1 Chaves eletrnicas digitais: .................................................................. 34 10.4.2 Implementando a funo NOT sem usar a porta inversora:.................. 36 11 Propriedades das funes lgicas: ..................................................................... 39 11.1 Propriedade Comutativa: ............................................................................ 40 11.2 Propriedade Associativa: ............................................................................. 41 11.3 Propriedade distributiva: ............................................................................ 42 12 Teorema de Demorgan: .................................................................................... 45 12.1 Aplicando na prtica do Teorema de Demorgan:......................................... 47 13 Teorema do Mutual: ......................................................................................... 49 14 Identidades: ...................................................................................................... 50 15 Simplificao usando lgebra de Boole: ............................................................ 54 15.1 Equao na forma da soma de produtos:.................................................... 55 15.2 Dicas para a simplificao usando lgebra de Boole:.................................. 56 15.3 Exemplos de simplificao usando a lgebra de Boole: .............................. 57

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1 Conceito:A lgebra de Boole um sistema completo para operaes lgicas. Este sistema usado para colocar de uma forma matemtica o pensamento lgico com base nas alternativas que podem assumir somente duas possibilidades: Falso ou Verddeiro! Seu nome se deve ao matemtico ingls George Boole que foi o primeiro a definir um sistema lgico. A lgebra de boole tem grande aplicao em circuitos digitais como computador, telefones celulares, jogos eletrnicos, microcontroladores, CLP (Controlador Lgico Programvel). A lgebra de Boole tambm aplicada na programao de computador, programao de CLP, programao de microcontroladores. O conhecimento da lgebra de Boole fundamental par ao tcnico eletrnico. A lgebra de Boole ser tratada neste trabalho sempre sob o ponto de vista da eletrnica digital, voc ir estudar a lgebra de Boole de forma a poder entender o funcionamento de um circuito digital. O estudo terico ser desenvolvido tendo em vista sua aplicao prtica, voc ver exemplos prticos em praticamente todos os tpicos. A lgebra de Boole estuda as funes e variveis lgicas. O conhecimento da lgebra de Boole vai permitir otimizar circuitos digitais. Uma das principais aplicaes desta lgebra na simplificao de funes lgicas, com este conhecimento possvel projetar circuitos digitais menores e mais baratos. O conhecimento da lgebra de Boole pode ser aplicado at mesmo no campo da pneumtica, existem circuitos pneumticos digitais, que usam funes lgicas. O estudo da lgebra de Boole basicamente matemtico, trata as funes lgicas somente sob o aspecto matemtico, no entanto, vamos enfocar este assunto tendo em vista a sua aplicao em circuitos digitais. A lgica de Boole foi desenvolvida pelo filsofo e matemtico ingls George Boole que morreu em 1864. A lgebra de Boole base matemtica dos computadores digitais modernos, Boole considerado um visionrio e um dos fundadores da cincia da computao. Boole morreu sem ter visto um computador!

George Boole.

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2 O que uma Funes Lgicas:A lgebra de Boole estuda as funes e operaes que utilizam variveis lgicas. Uma varivel s pode assumir dois valores tais que uma vez declarado um valor o outro deve ser declarado de forma que se um for declarado verdadeiro o outro dever ser declarado falso. Os valores lgicos tambm so chamados de estados lgicos. Qualquer duas afirmativas declaradas de forma que a existncia de uma implica da no existncia da outra pode ser considerada um para de variveis lgicas, veja os exemplos abaixo. No estudo original da lgica de Boole os estados das variveis lgicas so declarados como Falso e Verdadeiro. Voc ir ver esta forma de declarar variveis no formato ingls False e True principalmente em linguagem de computadores, microcontroladores e especificaes de componentes eletrnicos digitais! Veja que se a varivel assume o estado Falso com certeza no h duvida que ela no verdadeira, porque se uma afirmativa declarado falso no h possibilidade de ser verdadeiro. Na matemtica mais comum tratar as variveis lgicas como nmeros onde por conveno o nmero 1(um) significa o equivalente ao estado verdadeiro da lgebra de Boole e o nmero 0 (zero) equivalente ao estado falso. Ns vamos usar esta notao nesse trabalho.

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3 Estados lgicos na eletrnica:Em circuitos eltricos os estados das variveis lgicas so declarados como ligados e desligados. Um circuito ligado com certeza no esta desligado! O significado de ligado ou desligado pode mudar de circuito para circuito ou de componente para componente. O estado ligado mais comum na eletrnica digital aquele em que a tenso no circuito igual a +5 V e o estado desligado aquele em que a tenso 0V. Na prtica existe uma faixa de tenso em o estado pode ser considerado o (zero) e uma faixa de tenso que pode ser considerado 1 (um), estes detalhes sero estudados no momento apropriado, por enquanto vamos considerar ligado como sendo uma tenso prxima de +5V e desligado uma tenso prxima de 0V! Nos diagramas os componentes eletrnicos sempre sero desenhados no seu estado inicial desligado, ento uma chave desenhada com os contatos abertos significa que este no seu estado 0 (zero ou Falso) antes de algum apertar o boto da chave, se for desenhada com os contatos fechados significa que este o seu estado (zero ou Falso). Veja o desenho abaixo.

Figura mostrando o diagrama eltrico de chaves e contatos de rels. A figura abaixo mostra trs tipos de chaves. A chave mais a direita uma chave com duas possibilidade de conexo, o desenho mostra o estado da chave antes de ser pressionada!

Exemplo de botes e chaves usadas em automao! Observe o desenho na chave indicando que entre os parafusos de cima a chave possui um contato NF e entre os parafusos de baixo um contato NA! Os contatos NA e NF tambm so chamados de NC e NO (Normally Close, Normally Open)!

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4 Funes lgicas bsicas:Existem trs funes lgicas bsicas: Funo E. Funo OU. Funo No ou "Inversora". Estas so as denominaes das funes em portugus, mas estas mesmas funes so tambm conhecidas com a sua denominao em ingls, mais concisa: Funo AND, Funo OR e funo NOT, assim ao longo deste trabalho voc ir usar as duas denominaes. A partir das funes bsicas possvel desenvolver funes mais complexas, a maioria no recebe uma denominao especial, mas tm algumas que, pelo seu uso, recebem nomes e smbolos especiais, so elas: Funo NAND. Funo NOR. Funo EXOR. Funo EXNOR. Neste caso, a denominao inglesa mais usada. Os captulos seguintes descrevem os detalhes de cada uma destas funes e mostra exemplos de aplicao em circuitos eltricos, linguagem de CLP LADDER e de linguagem de programao C # (se pronuncia C#). Estes exemplos so importantes para que voc veja a abrangncia da lgebra de Boole. No incio do estudo da eletrnica digital no ensino tcnico o curso era voltado para as aplicaes em circuitos digitais comportas lgicas, porque esta era a tecnologia do momento. Hoje as portas lgicas t~em pouca aplicao em mquinas de automao industrial o CLP e microcontroladores so os dispositivos usados atualmente para esta funo. O CLP programado via PC usando uma linguagem chamada LADDER que similar ao desenho de um circuito eltrico, os smbolos usados so simples porque na poca que o CLP foi inventado os computadores no tinham grande recursos grficos, o sistema operacional da poca era o DOS. O microcontroldor um dispositivo eletrnico especialmente desenvolvido para controlar mquina, um microprocessador com circuitos de entrada e sada j montados internamente, isto facilita o uso em controle de mquinas. A programao de um microcontrolador feita via PC usando uma linguagem de alto nvel, normalmente o C++. Um PC normal tambm pode controlar mquinas desde que seja acrescentada alguma placa especial para entrada e sada de sinais digitais.

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Observe que a tecnologia digital evolui rapidamente, por isto, estudar em detalhes as portas lgicas hoje no mais uma tarefa produtiva, no entanto a lgebra de Bool continua sendo a base terica para a aplicao destes dispositivos. Voc dever concentrar especial ateno no estudo da lgebra de Boole, pois a tecnologia poder mudar, mas a base continuar a mesma por um bom tempo ainda!

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5 O circuito Lgico:Um circuito digital usado para controle de mquinas. O seu funcionamento baseado na lgebra de Boole. O diagrama abaixo mostra a estrutura de um circuito lgico.

As variveis de entrada podem ser chamadas em eletrnica de sinais de entrada o mesmo ocorre com as variveis de sada. O termo entrada e sada tambm um termo usado na eletrnica, no um termo matemtico. Chamar as variveis de entrada e sada fica mais fcil para o tcnico entender o processo. Por exemplo: Se o circuito digital um alarme, os sinais de entrada so: A chave colocada na porta do carro e o boto do controle remoto o sinal de sada ir ligar a buzina do carro, o circuito lgica dever processar uma funo que ir ligar sada quando a porta estiver aberta (chave fechada) e o boto do alarme no estiver acionado!

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6 Como descrever uma funo lgica:Uma funo lgica pode ser descrita de vrias formas: Atravs da tabela verdade, atravs da equao lgica ou atravs de um diagrama lgico, linguagem de CLP Ladder, linguagem de computador C++, Basic etc... Para os matemticos as equaes lgicas so a formas mais importantes de descrever uma funo lgica, para o tcnico eletrnico ou mecatrnico, a tabela verdade e o diagrama lgico so os mais importantes. Para desenhar um diagrama lgico que represente uma funo lgica, existem as portas lgicas, que so smbolos grficos que expresso uma funo lgica. A tabela verdade um grfico onde todas as possibilidades de combinao de estados das entradas e das sadas so desenhados. Outra forma de representar uma funo lgica atravs da programao de CLP chamada LADDER que nada mais do que um programa de computador que simula um diagrama eltrico! Se voc for chamado para consertar um equipamento digital ele vai precisar do diagrama do equipamento. O diagrama desenhado na forma de portas lgicas. Voc dever conhecer o comportamento das funes lgicas e os smbolos das portas lgicas que representam as funes lgicas! Se voc for chamado para consertar uma mquina controlada por CLP, voc vai precisar entender o programa escrito em linguagem LADDER que nada mais do que um diagrama eltrico, isto foi feito para facilitar a vida do tcnico. Um circuito eltrico com contatos de chaves em srie e paralelo que liga e desliga uma bobina simples para um tcnico entender, neste caso voc deve reconhecer as funes lgicas construdas atravs de circuito eltricas. Programas CLP um das atividades mais lucrativas para o tcnico eletrnico! Se voc for chamado para programar um PC usando uma linguagem de computador, voc ter que fazer um curso extra para aprender a escrever as funes lgicas usando esta linguagem, este um trabalho mais apropriado para um tcnico em informtica. Cada vez mais est aparecendo mquinas controladas por computador, desta forma aconselhvel que voc conhea este tipo de programao. A boa notcia que escrever um programa para controle de mquina no requer todo o conhecimento desenvolvido em cursos de informtica. Uma linguagem muito usada no campo da eletrnica o C++! Por outro lado, um tcnico em informtica no pode ser contratado para fazer o programa de controle de uma mquina, isto porque ele no entende nada de eletrnico e a mquina vai tratar com componentes eletrnicos. Este um campo bem promissor para o tcnico eletrnico e mecatrnico!

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7 A tabela Verdade.A tabela verdade a forma mais importante para descrever uma funo lgica e consiste de um desenho na forma de uma tabela em que descreve todas as possibilidades que as variveis de entrada podem assumir e para cada uma das possibilidades descrito o estado da varivel de sada. As variveis de entrada so descritas normalmente com as letras do incio do alfabeto e as de sada com as letras do final do alfabeto. Este trabalho ir estudar funes lgicas at quatro variveis de entrada. A seqncia com que os valores das variveis de entrada podem assumir no relevante, no entanto vamos seguir um padro que o mesmo usado por fabricantes de CI para descrever uma tabela verdade. As tabelas verdades abaixo mostram todas as possibilidades para um nmero de variveis entre um e quatro!

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7.1

Funo E (AND):

A funo E relaciona as funes lgicas de forma que a sada assumir estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B for 1. Esta funo chamada de produto lgico, pois tem o comportamento exatamente igual ao produto algbrico. A figura abaixo mostra a tabela verdade da funo E (AND)

Equao literal descrita abaixo:

Z A.BNote que o smbolo da operao um ponto no ode ser usado o "x" como na lgebra. Note que basta uma entrada estar com o valor 0 (zero) para que a sada assuma o valor 0 (zero), no importa qual o estado da outra entrada. Voc pode dizer que zero vezes qualquer coisa zero!

Smbolo da porta lgica. E (AND) mostrado abaixo.

O circuito abaixo implementa uma funo AND:

A lmpada liga quando a chave A "E" a chave "B" estiverem ligadas! Circuito srie! Programa em Ladder (linguagem de CLP):

Note a semelhana com o circuito eltrico descrito acima!

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Linguagem C++; Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = a& b; } Note que a varivel deve ser declarada antes do tipo booleana, isto em linguagem de computador significa que esta varivel obedece a lgebra de Boole e pode assumir s dois valores FALSE ou TRUE, note a aplicao direta do estudo em curso! No foi usado o sinal de multiplicao para que o computador saiba que a operao uma operao lgica!

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7.2

Funo OU (OR):

A funo OU relaciona as funes lgicas de forma que a sada assumir estado 1 somente quando a entrada A ou a entrada B forem 1. Esta funo chamada de soma lgica, pois tem o comportamento quase idntico a soma algbrica (na soma algbrica 1+1 no 1 e sim 2). A tabela verdade da funo OU (OR) mostrado na figura abaixo:

Equao da funo E (OR) mostrada abaixo:

Z ABO smbolo da Porta Lgica OU (OR) mostrado abaixo.

O circuito abaixo implementa uma funo OR:

A lmpada ir acender se a chave A "OU" a chave B estirem ligadas. Circuito paralelo! Programa em Ladder (linguagem de CLP):

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Linguagem C++: Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = a | b; }

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7.3

Funo NO (Inversora) (NOT):

A funo "NOT" inverte o estado lgico da entrada, esta uma funo de uma varivel onde a sada o inverso da entrada! Esta funo pode ser chamada de funo "NO", "Inversora" ou NOT. O mais comum em portugus chamar de funo inversora! A Tabela verdade da funo "Inversora" (NOT) mostrada abaixo:

A equao da funo NOT mostrada abaixo:

ZAAlgumas vezes a funo inversora escrita de forma diferente em funo de que desenhar a barra sobre uma letra complicado em programas do tipo editore de texto. Neste trabalho uma funo inversora poder ser descrita como: Z=A' O smbolo da porta Lgica NOT mostrado abaixo

Observe que o que caracteriza uma funo inversora no desenho a bolinha, o tringulo simboliza um amplificador genrico. Algumas vezes esta porta desenhada com a bolinha na entrada como na figura abaixo!

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O circuito abaixo implementa uma funo inversora:

O circuito usa uma chave normalmente fechada (NF), quando voc ligar a chave, a lmpada ir apagar. Com a chave desligada (desenho) a lmpada ir acender!

Programa em Ladder (linguagem de CLP):

Note o smbolo do contato normalmente fechado! Linguagem C++: Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = !a; }

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8 Circuito digital:Um circuito digital composto por uma combinao de portas lgicas gerando uma nova funo. Os circuitos podem ser os mais variados possveis, no entanto este trabalho ir abordar circuitos com no mximo 4 variveis. Neste momento vamos ver o conceito bsico para anlise de um circuito digital, que uma das habilidades que o tcnico eletrnico ou mecatrnico teve ter!

A anlise de um circuito digital consiste em levantar a tabela verdade deste circuito. Mais tarde veremos como levantar a equao do circuito a partir da tabela verdade. A anlise um circuito digital no difcil, mas pode ser trabalhosa uma vez que voc ter que testar todas as possibilidades, isto analisar o circuito linha a linha. Em um circuito com duas entradas existem 4 possibilidades, trs entradas 8 possibilitar, quatro entradas de 16 possibilidades! Abaixo so mostradas as tabelas verdades com os valores de entrada padronizados!

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8.1 Exemplo de anlise de circuito digital:Exemplo 1.

O circuito representa uma ova funo, voc dever analisar linha por linha para determinar a varivel de sada. As figuras abaixo mostram o resultado da anlise para cada uma das alternativas!

Circuito digital do exemplo 1 a ser analisado!

Analise do circuito para A=0 B=0. A entrada do CI1 apresenta o valor 1, como o Ci1 uma inversora a sada assumir o valor 0! As entradas do CI2 apresentam os valores 0 e 0. A sada ser o resultado da lgica CI2=0.0 que igual a zero. Voc poderia ter abreviado este raciocnio se prestasse ateno no circuito e verificasse que o valor zero da entrada B aplicado direto a uma das entradas da porta AND que calcula o produto lgico, em um produto zero vezes qualquer coisa zero!

Anlise do circuito para A=0 e B=1. Aqui voc pode abreviar o clculo se perceber que o valor 1 da entrada B aplicado direto a uma das entradas do CI3 que calcula a soma lgica em uma soma lgica se uma das entradas igual a um a sada ser um. Na soma um mais qualquer coisa um!

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Anlise do circuito para A=1 e B=0. Na figura s mostrado o caminho relevante. Com o zero da entrada B aplicado uma das entradas do CI2 este assume na sada o valor zero, este valor zero aplicado a uma das entradas do CI3 que calcula a soma. Como na soma se uma das entradas zero no d para afirmar nada sobre a sada, isto vai depender do valor da outra entrada. Olhando o circuito o valor da outra entrada do CI3 zero tambm, ento a sada ser zero.

Anlise do circuito para A=1 e B=1. A sada ser 1. Transferindo estas anlises para a Tabela Verdade (T.V.) temos a soluo do circuito. Note que uma funo totalmente nova.

Tabela verdade do circuito 1.

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Exemplo 2. Veja agora a anlise do circuito abaixo. Para simplificar o desenho foi desenhado duas vezes a entrada A e B evitando o cruzamento de linhas no desenho, voc s deve ter o cuidado de colocar o mesmo valor nos dois locais com letras iguais! Eletricamente elas devem ser no mesmo!

Soluo:

Passando para a tabela verdade:

Esta uma funo interessante onde a sada um quando A for diferente de B!

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9 Funes especiais:Existem algumas funes complexas so especialmente teis em circuitos digitais, estas funes so listadas neste captulo. Uma funo complexa pode sempre ser escrita usando as portas bsicas, voc ter dois circuitos diferentes gerando a mesma tabela verdade cada representando uma equao diferente. Quando duas equaes diferentes possuem a mesma tabela verdade, estas duas equaes so consideradas iguais e voc pode usar o sina de igual para uni-las o mesmo ocorre com os circuitos. Se voc concluir que dois circuitos diferentes possuem a mesma tabela verdade, ento voc pode substituir um por outro. Voc pode dizer que os circuitos so equivalentes. Na anlise abaixo ser apresentada a nova tabela verdade de novas funes juntamente com os seus smbolos, diagrama eltrico, diagrama de CLP e o digrama do circuito equivalente!

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9.1 Funo NO E (NAND):A funo NO E relaciona as funes lgicas de forma que a sada assumir estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B for 1. Esta funo uma associao da funo E com uma funo NOT. Esta funo descrita como NAND mesmo em portugus A tabela verdade da funo NO E (NAND) apresentada abaixo.

A equao da funo NAND apresentada abaixo.

Z A.BA figura abaixo mostra o smbolo da porta lgica. NO E (NAND).

Smbolo da funo NAND. Note a bolinha na sada indicando que aps a funo AND o valor deve ser invertido. Quando voc for analisar um circuito com este tipo de porta uma forma simples de encarar o problema fazendo duas operaes: Primeiro multiplique e depois inverta! mais simples que decorar a tabela verdade de mais uma funo! O circuito abaixo implementa uma funo NAND!

Quando as chaves estiverem desligadas a lmpada estar ligada, pois neste caso a bobina do rel auxiliar estar desligada e o seu contato NF estar dando passagem de corrente para que a lmpada acenda! A lmpada s vai apagar quando as duas chaves estiverem ligadas!

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Neste circuito usado um rel que um dispositivo eletromecnico composto por uma bobina e uma srie de contatos. O nmero e tipo de contatos dependem do tipo de rel. O contato acionado quando a bobina ligada. Se for um contato normalmente aberto NA este contato ir fechar. Se for um contato normalmente fechado NF, este contato ir abrir! Os rels foram muito usados no passado na construo de comandos lgicos, hoje ainda aparecem em algumas aplicaes! A figura abaixo mostra um rel!

Na figura da direita apresentado um rel usado na automao industrial com mais de um par de contatos. Na figura da esquerda apresentado um rele automotivo d para ver tr~es contatos: O contato NA (normalmente aberto), o contato NF (Normalmente fechado) e o contato COM (COMUM)! O diagrama deste tipo de rel mostrado abaixo! O contato comum aquele que fica fechando entre o contato NA e NF. Como rel desligado o contato fechado com o contato comum o NF! Em comandos lgicos os rels so usados como componentes auxiliares para montar a lgica, no caso da funo NAND o rel foi usado para implementar uma operao de inverso do estado. A figura abaixo mostra o smbolo de um rel!

Smbolo de um rel auxiliar.

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Neste caso tambm necessrio usar uma bobina auxiliar, exatamente como no circuito eltrico. Linguagem C++: Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = !(a & b); } O parntese necessrio para indicar par ao processador que primeiro ele tem fazer o produto lgico (funo AND) depois este resultado ser invertido! O circuito abaixo apresenta a mesma tabela verdade da funo NAND, logo, eles so equivalentes. Se voc no tiver uma porta NAND no seu estoque, monte o circuito abaixo que o resultado ser o mesmo. Levante a tabela verdade do circuito abaixo r comprove que os circuitos so equivalentes!

Circuito equivalente a uma funo NAND!

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9.2

Funo NO OU (NOR):

A funo NOR relaciona as funes lgicas de forma que a sada assumir estado 1 somente quando a entrada A ou a entrada B forem 0. Est uma funo complexa composta da associao de uma funo OU (OR) bsica em srie com uma funo Inversora (NOT). A tabela verdade da funo NOU (NOR): mostrada abaixo:

A Equao da funo NOR mostrada abaixo:

O smbolo da Porta Lgica NO OU (NOR) mostrado abaixo.

Note a bolinha na sada indicando que aps a funo OR o valor deve ser invertido. Quando voc for analisar um circuito com este tipo de porta uma forma simples de encarar o problema fazendo duas operaes: Primeiro some e depois inverta! O circuito abaixo implementa uma funo NOR!

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Neste caso tambm necessrio usar uma bobina auxiliar, exatamente como no circuito eltrico. Linguagem C++: Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = !(a | b); } O parntese necessrio para indicar par ao processador que primeiro ele tem fazer a soma lgica (funo OR) depois este resultado ser invertido! O circuito abaixo apresenta a mesma tabela verdade da funo NAND, logo, eles so equivalentes. Se voc no tiver uma porta NAND no seu estoque, monte o circuito abaixo que o resultado ser o mesmo. Levante a tabela verdade do circuito abaixo r comprove que os circuitos so equivalentes!

Circuito equivalente a uma funo NAND!

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9.3

Funo OU EXCLUSIVO (EXOR):

A funo OU EXCLUSIVA" tambm conhecida como EXOR relaciona as funes lgicas de forma que a sada assumir estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B forem diferentes. Esta funo chamada de desigualdade e tem o apelido de XOR. A Tabela verdade da funo EXOR mostrado abaixo

Para levantar a tabela verdade voc dever pensar da seguinte forma: A sada ser um quando as entradas forem diferentes. Por isto esta funo chamada de desigualdade! A equao da funo EXOR mostrada abaixo:

Z ABSmbolo da porta lgica. OU EXCLUSIVO (EXOR) mostrado abaixo.

O circuito abaixo implementa a funo lgica EXOR. Neste circuito usada uma chave de duas posies voc pode encontrar este tipo de chave em qualquer ferragem, ela chamada de chave hotel! Esta chave possui um contato comum (COM) e dois outros contatos um NA e outro NF!

Note que o estado ligado (igual a um ) e desligado (igual a zero) s uma questo de conveno, no circuito acima a posio que a chave est ligada marcada com o nmero 1 e a posio que a chave est desligada marcada com a posio 0! Programa em Ladder (linguagem de CLP): O programa em Ladder no pode reproduzir o circuito acima uma vez que no existe a funo chave escada em Ladder, no entanto possvel criar esta funo com dois contatos; um NA e outro NF desde que os dois sejam acionados pela mesma entrada!

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Na posio do desenho as duas chaves esto desligadas e no existe um caminho para a corrente chegar a bobina Z. Se somente a entrada A for ligada o contato de cima fecha e o contato de baixo abre, quando o contato da entrada A de cima fechar criado um caminho para a corrente chegar a bobina Z. O mesmo acontece se somente a entrada B for ligada. Quando as duas entradas so ligadas ao mesmo tempo a corrente no encontra um caminho para chegar a bobina Z! Linguagem C++: Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = a ^ b; } O C++ possui um operador para a funo EXOR! A funo EXOR pode ser implementada usando portas lgicas, o circuito abaixo uma forma de fazer isto:

Circuito equivalente a porta EXOR!

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9.4

Funo NO OU EXCLUSIVO (EXNOR):

A funo NO OU EXCLUSIVO relaciona as funes lgicas de forma que a sada assumir estado 1 somente quando a entrada A e a entrada B forem iguais. Esta funo chamada de igualdade. A tabela verdade da funo EXNOR mostrada abaixo.

A equao mostrada abaixo:

Ou ainda a forma abaixo menos comum:

O smbolo da porta lgica. NO OU EXCLUSIVO (EXNOR) mostrado abaixo.

O circuito que implementa a funo EXNOR mostrado abaixo:

O diagrama Ladder pode ser visto abaixo:

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Linguagem C++: Main ( ) { bool a; bool b; bool z; z = !(a ^ b); } O C++ no possui um operador para a funo EXNOR! O circuito abaixo implementa uma funo EXNOR!

Circuito equivalente a uma porta EXNOR

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Postulados da lgebra de Boole:

Os postulados so aquelas relaes retiradas das funes lgicas e que serviro de base para todo o desenvolvimento do raciocnio matemtico. Atravs da observao da tabela verdade de uma funo possvel chegar aos, como mostrado a seguir.

10.1 Postulado do produto:Olhando a tabela verdade do produto podemos tirar as seguintes relaes:

Sempre que uma das variveis for 0(zero), a sada ser 0 (zero). Como em um produto aritmtico! Sempre que uma varivel de entrada for o inverso da outra, a sada ser 0. Podemos chegar a esta concluso recorrendo a primeira observao, pois pelo menos uma das variveis ser 0 (pois uma o inverso da outra, e s podem assumir um de dois estados, zero ou um). Sempre que uma das variveis de entrada for 1, a varivel de sada vai ter o mesmo valor da outra varivel.Sempre que as variveis de entrada forem iguais, a sada assume o mesmo valor das variveis de entrada. A partir destas observaes, chagamos aos seguintes postulados:

Observe que X uma varivel qualquer e pode assumir qualquer um dos dois estados possveis, zero ou um. A equao 2 indica o produto de duas variveis de entrada que assumiram o mesmo estado. Na equao 4 temos o produto de duas variveis de entrada com estados diferentes.

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10.2 Postulado da soma:Olhando a tabela verdade da soma podemos tirar as seguintes relaes:

Sempre que uma das variveis for 1 (um), a sada ser 1 (um). Quase igual a soma aritmtica somente cuidar que na linha 4 que 1+1=1 na lgebra de Boole! Sempre que uma varivel de entrada for o inverso da outra, a sada ser 1. Podemos chegar a esta concluso recorrendo a primeira observao, pois pelo menos uma das variveis ser 1 (pois uma o inverso da outra, e s podem assumir um de dois estados, zero ou um). Sempre que uma das variveis de entrada for 0, a varivel de sada vai ter o mesmo valor da outra varivel .Sempre que as variveis de entrada forem iguais, a sada assume o mesmo valor das variveis de entrada. A partir destas observaes, chagamos aos seguintes postulados:

Observe que X uma varivel qualquer e pode assumir qualquer um dos dois estados possveis, zero ou um. A equao 2 e indica a soma de duas variveis de entrada que assumiram o mesmo estado. Na equao quatro temos a soma de duas variveis de entrada com estados diferentes.

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10.3 Postulado da Inverso:Este o postulado mais simples de todos, no entanto de extrema aplicao, no parece mas to importante quanto os outros. Como tabela verdade a funo inversora s tem duas linhas, existe somente um postulado, descrito a seguir:

Se a varivel de entrada for invertida duas vezes, a sada no ser alterada, assumir o mesmo estado da varivel de entrada. Na verdade sempre que a varivel de entrada for invertida um nmero par de vezes, a sada assumir o mesmo estado da varivel de entrada.

A equao mostrada ao lado esta equao diz que invertendo o invertido a sada no muda nada, isto equivale a dizer que colocar duas portas inversoras em srie, em termos de funo lgica equivale a uma ligao de um condutor da entrada at a sada. Por que ento fazer isto? Este postulado que sero vistas mais tarde como: reforo do sinal, atraso no tempo de propagao do sinal etc. Note que inverter uma varivel que j est barrada significa eliminar a inverso, isto vai ocorrer se o numero de barras for par, se o nmero de barras for impar pode ser reduzido a uma s barra. Uma varivel com um nmero par de barras equivale a uma varivel sem inverso, uma varivel com um nmero impar de barras equivale a uma varivel com uma s barra.

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10.4 Aplicando os postulados na prtica:Os pargrafos seguintes descrevem algumas aplicaes bastante teis para as funes lgicas desenvolvidas at aqui!

10.4.1

Chaves eletrnicas digitais:

Podemos construir chaves digitais, de forma que uma das entradas de uma porta AND ou OR bloqueie a passagem do sinal, que aplicado a outra porta. A entrada que servir de chave (bloqueando ou no a passagem do sinal) normalmente chamada de entrada de habilitao, recebe o smbolo E do ingls enable(habilitar). Circuito com porta OU:

Se a entrada de habilitao E estiver ligada no nvel 1 (um +5V), a sada Z ficar grampeada no estado 1, pois Z = 1+ sinal=1, neste caso a sada assume o valor 1 seja qual for o estado do sinal. Esta condio na tabela verdade marcada com a letra X na coluna do sinal para indicar que o sinal pode assumir qualquer valor. Quando a entrada E ligada ao estado 0 (zero terra), a sada assumir o mesmo estado da entrada do sinal, pois Z= 0+ sinal. Os circuito que trabalha com alimentao de 5V chamado de TTL (Transistor Transistor Logic) e os detalhes da sua ligao ser visto na unidade apropriada. No circuito TTL um entrada com nvel lgico 0 (zero) sempre deve estar ligada no terra (0V), j o nvel lgico 1 (um) admite duas possibilidades: ser ligado direto ao +5V ou no estar ligado a circuito eltrico algum. Em eletrnica quando voc no liga uma entrada a ponto algum do circuito voc diz que a entrada est aberta! Note que a conexo eltrica que equivale ao nvel lgico 1 (um) aquele que liga a entrada ao +5V da fonte. A conexo eltrica que equivale ao nvel lgico 0 (zero) o terra onde est conectado o 0V da fonte! Neste caso quando a sada assumir o valor 1 (um) a tenso ser de +5V e quando a sada assumir o valor 0 (zero) a tenso ser de 0V!

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Circuito com porta E:

Se a entrada de habilitao E estiver ligada no nvel 0 (zero terra), a sada Z ficar grampeada no estado 0, pois Z = 0 seja qual for a outra entrada.. Quando a entrada E ligada ao estado 1 (um +5V), a sada assumir o mesmo estado da entrada do sinal pois Z= S . A configurao usando porta E mais comum, pois deixa a sada desligada no bloqueio. Podemos ter variantes usando portas NAND, NOR, EXOR ou EXNOR.

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10.4.2 Implementando a funo NOT sem usar a porta inversora:Podemos implementar a funo NOT usando portas NAND, NOR, EXOR ou EXNOR, estes circuitos so mostrados a seguir:

10.4.2.1 Funo NOT usando Porta NAND:A porta NAND pode ser considerada uma porta inversora em srie com uma porta E, de forma que a porta NAND tem a funo inversora j implementada. Se voc olhar a tabela verdade da funo NAND ver que nas linhas 1 e 4 as entradas possuem o mesmo valor e que a sada Z possui o valor inverso do valor das entradas.

A partir desta observao possvel criar uma funo inversora a partir de uma NAND, basta conectar as duas entradas juntas e a sada assumira o inverso das entradas! O circuito mostrado abaixo!

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10.4.2.2 Funo NOT usando porta NOR:A filosofia a mesma usada na construo da funo inversora usando NAND somente que usando agora, a funo NOR. A tabela verdade na funo NOR mostrada abaixo. Se voc olhar a tabela verdade da funo NOR ver que nas linhas 1 e 4 as entradas possuem o mesmo valor e que a sada Z possui o valor inverso do valor das entradas.

A partir desta observao possvel criar uma funo inversora a partir de uma NOR, basta conectar as duas entradas juntas e a sada assumira o inverso das entradas! O circuito mostrado abaixo!

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10.4.2.3 Funo NOT usando porta EXOR:Implementar a funo NOT usando EXOR no a configurao muito usada com portas lgicas, no entanto este processo bastante usado em linguagem de programao. No circuito eletrnico uma chave pode ser usada para inverter ou no o sinal digital. Olhando a tabela verdade da funo EXOR mostrada abaixo voc pode observar que nas linhas 3 e 4 onde a varivel de entrada B igual 1 (um) a varivel de sada Z igual ao inverso da entrada A! Nas linhas 1 e 3 quando a varivel de entrada B assume o valor 0 (zero) a varivel de sada Z igual a entrada A!

Baseado na observao acima possvel criar o circuito abaixo onde a funo da chave inverter ou no o sinal de entrada!

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Propriedades das funes lgicas:

As funes lgicas possuem propriedades semelhantes aquela das funes aritmticas, estas semelhanas ajudaro voc a memorizar estas relaes. As propriedades das funes recebem os mesmos nomes das propriedades das funes aritmticas: * Comutativa. * Associativa. * Distributiva. Somente a propriedade distributiva apresenta alguma diferena e ser tratada de forma especial. Devido a semelhana com a aritmtica fica muito simples entender e aplicar estas propriedades. No vamos demonstr-las, mas se o estudante quiser provar a igualdade pode usar o mtodo conhecido de levantar a tabela verdade dos dois lados da igualdade, se as sadas forem iguais, a igualdade verdadeira.

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11.1 Propriedade Comutativa:Esta propriedade afirma que: Variveis podem ser trocadas de posio sem que o resultado se altere. Na prtica isto implica em que o tcnico no precisa se preocupar em qual o pino de entrada da porta ir conectar o sinal. Comutativa da soma: Comutativa do produto:

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11.2 Propriedade Associativa:Esta propriedade muito til, pois permite que uma funo de trs variveis possa ser implementada com funes de duas variveis. Se no circuito existe uma porta E ou uma porta OU de trs entradas, estas portas podem ser substitudas por duas portas de duas entradas, veja o circuito da figura abaixo. Associativa do produto: Associativa da Soma:

Figura mostrando como montar um circuito com duas portas AND com resultado semelhante a um circuito de uma porta AND com trs entradas!

Figura mostrando como montar um circuito com duas portas OR com resultado semelhante a um circuito de uma porta OR com trs entradas!

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11.3 Propriedade distributiva:Existem duas propriedades distributivas na lgebra de Boole, enquanto que na aritmtica existe apenas uma e esta uma das principais dificuldades no estudo da lgebra de Boole, de forma que, o estudante deve ter o mximo de ateno, e, poder ser que no incio no encontre certa dificuldade em visualizar esta propriedade, por isto, preciso fazer bastante exerccios. A seguir descrevemos as duas propriedades, que a ttulo didtico vamos chamar de distributiva do produto na soma e distributiva da soma no produto.

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11.3.1.1 Propriedade distributiva do produto na soma:A propriedade distributiva do produto na soma mostrada abaixo:

Esta propriedade pode ser vista como a distribuio do produto, fora do parntese, entre as somas dentro dos parnteses. Observe que o parntese na equao do lado direito da igualdade pode ser excludo, pois no h duvidas de que primeiro deve ser feito a operao do produto. Este tipo de operao existe na lgebra comum. Esta operao pode ser realizada no sentido inverso, isto , partindo do lado direito da igualdade para chegar a equao do lado esquerdo da igualdade. Esta ao tambm conhecida como colocar em evidncia, isto ocorre quando existe duas ou mais parcelas com uma varivel comum, ou um conjunto de duas ou mais variveis comuns. Neste caso a varivel comum pode ser colocada em evidncia, esta ao muito usada na simplificao de funes lgebra convencional em operaes com fraes, aqui, esta ao tambm ser usada para simplificar funes. A seguir mostrada a ao de colocar em evidncia, que a expresso contrria da distributiva. Ao de colocar em evidncia onde a varivel A a varivel comum. Distributiva do Produto na soma.

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11.3.1.2 Distributiva da soma no Produto:Esta propriedade no existe na lgebra convencional, por isto voc deve prestar bastante ateno, pois no intuitiva como as outras propriedades. Esta propriedade pode ser vista como a distribuio da soma fora do parntese nos produtos dentro do parntese. O resultado da operao da distributiva no lado esquerdo da igualdade faz aparecer no lado direito, dois novos parnteses cada um com uma soma e o produto entre eles. O parntese necessrio para evitar que primeiro seja feito o produto. Aqui at podemos dizer que existe uma ao semelhante ao de colocar em evidncia ao fazer a operao inversa partindo do lado direito da igualdade para chegar na equao do lado esquerdo! Distributiva da soma no produto:

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Teorema de Demorgan:

Este um dos teoremas mais importantes da lgebra de Boole. Este teorema relaciona as funes de soma lgica e produto lgico. Por este teorema podemos afirmar que basta uma funo lgica alm da inversora, por exemplo, a soma, pois um produto pode ser implementado usando a funo lgica da soma e da inversora. O mesmo ocorre para o produto. O teorema de Demorgan mostrado na equao 1 relacionando a funo soma ao produto, a equao 2 outra forma de mostrar este teorema: Equao 1: Equao 2: O teorema de Demorgan tambm pode ser escrito em funo do produto: Equao 3: Equao 4:

Aplicando o Teorema de Demorgan:

Uma aplicao simples do teorema de Demorgan implementar uma funo OR a partir de uma funo AND, isto ocorre quando em um projeto o tcnico precisa de uma porta OU e tm sobrando uma porta NAND e duas inversoras. O circuito descrito na figura abaixo. A mesma tcnica voc pode usar para implementar uma funo AND usando portas OR e inversoras!

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Alguns diagramas europeus descrevem a funo NAND com o desenho de uma porta OU tendo duas bolinhas em srie com as entradas para indicar a inverso (lembre-se que a bolinha simboliza inverso). O diagrama mostra Teorema de Demorgan escrito usando o diagrama europeu!.

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12.1 Aplicando na prtica do Teorema de Demorgan:Vamos mostrar uma forma prtica de aplicar o Teorema de Demorgan, este um mtodo mnemnico denominado: Mtodo das Trs inverses; Neste mtodo para aplicar o Teorema de Demorgam a uma equao voc dever fazer trs inverses: 1 Inverter as entradas. 2 Inverter as operaes. 3 Inverter toda a equao. Exemplo 1: Aplicao do mtodo das trs inverses no produto Z A . B Soluo: 1 Invertendo as entradas: 2 3 Invertendo a operao: Invertendo tudo:

Exemplo 2: O Teorema de Demorgan pode ser aplicado a qualquer tipo de equao. Se uma equao tiver um dos seus termos como uma varivel barrada indicando uma inverso voc pode aplicar o Teorema de Demorgam para eliminar a inverso. Por exemplo, aplicando o teorema de Demorgan na equao: Soluo: 1 Invertendo as entradas:

Pois A A 2 Invertendo as operaes:

Z A .B3 Invertendo tudo:

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Exemplo 3: Aplique o Teorema de Demorgan na equao: Aqui o Teorema de Demorgan ser aplicado as trs variveis ao mesmo tempo! 1 Invertendo as entradas Note que a inverso de B barrado e C barrado resulta em B sem barra e C sem barra devido ao teorema de inverso (duas inverses se anulam). 2 Invertendo as operaes: 3 Invertendo tudo:

Exemplo 4: Neste vamos mostrar como deve ser tratado um erro bastante comum para os iniciantes no estudo da eletrnica digital. O estudante desavisado tende a interpretar as variveis barradas de uma soma ou de um produto lgico como se fossem iguais a toda as operaes barradas, como mostrado na equao a seguir.

Z A B A Bou

ISTO UM ERRO GRAVE!!! O Teorema de Demorgan mostra que para inverter toda a equao preciso inverter a operao tambm. O correto :

Z A B A . BOu

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Teorema do Mutual:

Este teorema diz que: Se existe uma relao conhecida e verdadeira, possvel criar uma segunda relao verdadeira a partir da primeira, simplesmente trocando as operaes, e invertendo os nmeros 1 e 0. Este teorema pode ser exemplificado a partir dos postulados anteriores, que sempre foram explicitados aos pares. Observe como o postulado do produto pode ser deduzido a partir do postulado da soma, como mostrado a seguir: Partindo da Equao 1: Trocando a soma por um produto e o 0 por 1 pode-se chagar a equao 1 do produto. .

O Teorema de Demorgan tambm pode servir como exemplo. Dada uma das equaes possvel deduzir a segunda. Se por exemplo fosse dada a equao. Trocando a soma pelo produto, chagaramos a equao. . Note que aqui no havia nem o nmero zero nem o nmero um para serem invertidos. Note ainda que, as barras no foram alteradas. O Teorema do Mutual no fala nada a respeito das barras.

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Identidades:

Identidades so novas relaes deduzidas baseadas nos postulados e teoremas As identidades apresentam grande aplicao prtica na simplificao de circuitos eletrnicos digitais. A simplificao dos circuitos digitais ser estudada separadamente. Para provar a veracidade da Identidade voc pode usar a Tabela verdade aplicada aos dois lados da igualdade, se as tabelas verdades forem iguais ento, a identidade verdadeira! Outra forma tentar entender a equao usando os postulados e teoremas, este ser o mtodo que ns vamos usar nesta etapa do trabalho, isto porque, este um mtodo semelhante ao usado na simplificao das equaes lgicas, que ser visto nos captulos seguintes.

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Identidade 1:

Note que esta identidade pode ser aplicada a um circuito digital simplificando o circuito. Se voc aplicar a identidade 1 no circuito da figura a seguir voc ver que este circuito pode ser substitudo por um condutor, isso mesmo todo o circuito pode ser substitudo por um fio! Note que neste circuito a varivel B no tem a menor influncia no resultado, usando a identidade 1 voc conseguir simplificar circuitos consideravelmente e inda ir fazer muita economia!

Prova da identidade 1 usando a lgebra de Boole: Colocando o A em evidncia, pois o A est presente nas duas parcelas. Como ( 1 + B ) = 1, todo o parntese pode ser eliminado e substitudo pelo nmero 1. Finalmente o produto por 1 pode ser eliminado pois A = A . 1.

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Identidade 2:

Neste caso a simplificao no to marcante como na identidade 1, mas mesmo assim, houve a economia de uma porta E e de uma porta inversora. O mais importante desta identidade a prova usando lgebra de Boole, pois ser necessrio o uso da propriedade distributiva da soma no produto, esta uma propriedade difcil de identificar no incio. Distribuindo a soma A+ no produto Como! Ento! Como 1. X = 1! Para aplicao de esta identidade ser mais prtica voc pode usar o seguinte raciocnio: Se em uma soma de duas parcelas uma varivel aparece nas duas parcelas e ainda est sozinha em uma das parcelas e a varivel est barrada somente em uma das parcelas ento esta varivel pode ser simplificada usando a identidade 1. A varivel simplificada vai ficar com o formato da varivel na parcela em que ela est sozinha. Este mtodo de memorizao resumido abaixo: 1 2 3 4 A A A A varivel varivel varivel varivel aparece nas duas parcelas! est sozinha na primeira parcela! est barrada somente em uma das parcelas! ser simplificada na parcela em que no est sozinha

Observe os exemplos abaixo:

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Exemplo 5: Dada a equao abaixo: Aqui a varivel A aparece na primeira e na segunda parcela! A varivel A est sozinha na primeira parcela! Na primeira parcela a varivel A est barrada e na segunda parcela a varivel A no est barrada! A varivel A que no est sozinha simplificada mantendo o formato da primeira parcela, isto , A barrado! Exemplo 6: Dada a equao abaixo: A varivel A satisfaz as condies e pode ser simplificada na parcela em que no est sozinha!

Exemplo 7: Dada a equao abaixo. Note que o conjunto de variveis A . B funciona como uma s varivel, pois na segunda parcela a barra passa por sobre as duas variveis, tem que passar sobre as duas, no esquea o erro grave do exemplo 4, assim possvel aplicar a identidade dois para simplificar esta equao. 1 O conjunto de variveis A.B est presente nas duas parcelas! 2 O conjunto de variveis A.B est sozinho na primeira parcela! 3 O conjunto de variveis A.B est barrado na segunda parcela e est sem barra na primeira parcela! O conjunto A.B pode ser simplificado na segunda parcela. O resultado abaixo:

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Simplificao usando lgebra de Boole:

Simplificar uma funo lgica consiste em aplicar a lgebra de Boole a esta funo de forma torna-la mais simples, com menos operaes. Na prtica este procedimento leva os circuitos mais simples, com menos componentes, por sua vez mais econmicos. Existem duas formas bsicas de simplificar uma funo lgica, a primeira usando diretamente os postulados, os teoremas, as propriedades e identidades j estudadas. Outra forma chamada de mapa de Karnaugh, que um mtodo grfico mais simples, e por isto, mais prtico, este mtodo ser estudado em separado. O mtodo usando a lgebra de Boole no tem uma regra bem definida, depende do estudo, da prtica e da dedicao de cada um. Voc ver alguns exemplos, voc receber algumas sugestes e o primeiro : Faa o mximo de exerccios possvel. Este no o mtodo mais prtico para simplificar funes lgicas, o mtodo do Mapa de karnaugh mais prtico e ser usado na maioria das vezes, no entanto, a simplificao usando a lgebra de Boole pode ser aplicado a funes com qualquer nmero de variveis e o mapa de karnaugh s prtico at quatro variveis! A prtica neste tipo de simplificao tambm servir para voc firmar os conceitos j estudados, e ainda para entender como funciona o Mapa de Karnaugh no futuro!

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15.1 Equao na forma da soma de produtos:O primeiro passo para simplificar uma equao usando a lgebra de Boole colocar a equao na forma de soma de produtos. Toda a equao pode ser colocada na forma da soma de produtos, esta afirmao baseada no Teorema da expanso de shannon que ser visto em unidade separada! A equao abaixo mostra um exemplo deste tipo de estrutura.

Z A . B . C A. B. C A . B .CO diagrama desta equao mostrado na figura abaixo. Observe no diagrama que o circuito montado em trs partes: * Uma parte constituda das inversoras, caso haja. * Uma etapa comporta E (produto). * Uma etapa final com porta OU (soma).

Circuito implementado usando a soma!

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15.2 Dicas para a simplificao usando lgebra de Boole:No existe uma regra para simplificar equaes usando lgebra de Boole, existem algumas dicas baseadas na experincia, essas dicas so descritas abaixo. * Procure organizar colocando as parcelas com o maior nmero de variveis comuns, lado a lado formando duplas. * Trabalhe as parcelas aos pares. * Procure colocar as variveis comuns em evidncia, com isto aparecero as simplificaes bsicas. * Tente eliminar primeiro os parnteses, se houver! * Avance um passo de cada vez, usando em cada passo um dos teoremas ou identidades apresentados anteriormente! Ao trabalhar as parcelas busque simplificao usando os teoremas, propriedades ou identidade da lgebra de Boole. A figura mostrada o resumo do estudo da lgebra de Boole desenvolvido at aqui!

Tabela com o resumo. Voc dever usar esta tabela para simplificar equaes usando a lgebra de Boole! A dica mais importante para ajudar voc a aprender a simplificar uma funo lgica usando a lgebra de Boole : Pratique muito e estude exemplos!

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15.3 Exemplos de simplificao usando a lgebra de Boole:Exemplo 01: Este exemplo mostra o processo bsico para usar a lgebra de Boole na simplificao de uma equao lgica.

Z D.C.B. A D.C.B.A D.B.C. AO primeiro passo consiste em verificar se existe alguma varivel ou conjunto de variveis que podem ser colocados em evidncia em duas parcelas. As parcelas podem estar lado a lado ou no! Na equao dada as variveis A e B barrado esto presentes nas duas primeiras parcelas, logo, podem ser colocados em evidncia!

Z A.B ( D.C D.C ) D.B.C . AObserve que voc tem outras opes, como por exemplo, A e C nas duas ltimas parcelas. Escolha uma e tora para que seja a melhor opo, algumas vezes a sua escolha leva a um caminho que no chega a melhor soluo e voc neste momento no tem como saber isso! Continue trabalhando dentro do parntese, no esquea tente eliminar primeiro os parnteses! Neste caso dentro do parntese o C comum as duas parcelas, logo pode ser colocado em evidncia dentro do parntese!

Z A.B(C.( D D)) D.B.C. AAgora surgiu uma simplificao encontrada nos teoremas da soma (Equao 3 da tabela com o resumo) aplicada a varivel D!

D D 1 Z A.B (C.1) D.B.C. AAgora surgiu dentro dos parnteses outra simplificao esta encontrada nos Teoremas do produto ( (equao 4 da tabela do resumo) a varivel C!

C .1 C Z A.B.C D.B.C. AA equao ficou sem parnteses, agora voc tem que procurar novamente as variveis comuns aos pares de parcelas! Neste caso conjunto de variveis A e C so comuns as duas parcelas. Note que a ordem com que escrito o produto ou a soma no interfere no resultado (propriedade associativa).

Z A.C.( B. D.B )

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A funo que resultou possui um parntese, olhando este parntese voc pode identificar a identidade 2, pois: A varivel B est presente as duas parcelas. A varivel B esta barrada na primeira parcela e no barrado na segunda parcela. A varivel B est sozinha na primeira parcela. A varivel B pode ser simplificada na segunda parcela ento!

Z A.C .( B D)Esta funo ainda tem um parntese, mas este no contm nenhuma simplificao possvel, esta equao pode ser considerada uma soluo para o exerccio na prtica ser aquela com o menor nmero de portas, no entanto vamos manter um padro em que a soluo no dever conter parntese! Este tipo de padro fica mais fcil de ser implementado na forma de um circuito digital, pois se enquadra dentro da lgica da soma dos produtos! Observe ainda que as variveis sejam escritas na ordem DCBA!

Z C.B. A D.C. A

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Álgebra Booleana aplicada a Eletronica Digital

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