Álgebra e Geometria

Álgebra e Geometria

Em uma partida de vôlei disputada em duplas, Raul e Felipe marcaram 20 pontos juntos em um jogo.

Exemplo:

Pontos de Raul: xPontos de Felipe: y

Portanto: então: x + y = 20

Equações do 1o grau com duas incógnitas

Uma equação é do 1o grau com duas incógnitas, x e y, quando pode ser escrita na forma ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0.

Exemplo:

4x – 5y = 6, pois é equivalente a 4x + (–5)y = 6 (a = 4, b = –5 e c = 6)

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Álgebra e GeometriaDeterminação de soluções de equações do 1o grau com duas incógnitasExemplo:

Veja como podemos determinar pares ordenados que são soluções daequação 5x – 2y = 4.

Fazendo x = 25 . (2) – 2y = 4

10 – 2y = 4

– 2y = 4 – 10

– 2y = – 6

(– 1) . – 2y = – 6 . (– 1)

2y = 6

y = = 3

Logo, o par ordenado é (2, 3).(x, y)

Fazendo y = 0

5x – 2 . (0) = 4

5x + 0 = 4

5x = 4

Logo, o par ordenado é .

x =

3

Álgebra e GeometriaGráfico de uma equação do 1o grau com duas incógnitas

Exemplo: vamos determinar alguns pares ordenados de números racionaisque são soluções da equação 2x + y = 1 e representá-los graficamente.

Os pontos correspondentes às soluções de uma equação do 1o grau comduas incógnitas estão sempre alinhados, isto é, estão todos sobre umamesma reta.

x = 2, temos y = – 3 (2, – 3)

x = 1, temos y = – 1 (1, – 1)

x = 0, temos y = 1 (0, 1)

x = – 2, temos y = 5 (–2, 5)

eixo y

eixo x

(−2, 5)

(0 ,1)

(1 ,−1)

(2 ,−3)

4

Álgebra e Geometria

Resolver um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitassignifica procurar as soluções comuns às duas equações.

Na partida de vôlei, Raul e Felipe marcaram 20 pontos juntos, porém

Raul marcou o triplo dos pontos de Felipe.

Pontos de Raul: xPontos de Felipe: y

Portanto: x + y = 203x = y

Como as duas equações fazem parte de um mesmo sistema, entãopodemos escrever:

x + y = 203x = y

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Álgebra e GeometriaResolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas: método da substituição

2x + y = 2703x + 2y = 460

2x + y = 270y = 270 – 2x

y = 270 – 2x

3x + 2y = 460 3x + 2(270 – 2x) = 4603x + 540 – 4x = 460

3x – 4x = 460 – 540– 1x = – 80

x = 80

y = 270 – 2 . 80

III

I

II

y = 270 – 160y = 110

isolamos y

I em II

substituindo em I

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Álgebra e GeometriaResolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas: método de comparação

y = 5 – xy = 2x – 4

x + y = 52x – y = 4

III

y = 5 – xy = 2x – 4

III

III

5 – x = 2x – 4–2x – x = – 4 – 5

–3x = – 93x = 9substituímos em I ou II

y = 5 – 3 y = 2

isolamos o y nasduas equações

comparamos asequações

x = = 3

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Álgebra e Geometria

As desigualdades que contêm letras que representam números desconhecidos são chamadas de inequações.

Exemplos:

• x + y ≠ 8

• x > 2 • 2y < 25

Soluções de uma inequação

S = {0, 1, 2, 3, 4}

S = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}

S = {x racional, tal que x ≤ 4}

Inequações

Vamos resolver, por exemplo, a inequação x ≤ 4 nos conjuntos dos , , .

Nos racionais :Nos inteiros :

Nos naturais :

• n2 ≤ • x ≥ 5

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Álgebra e Geometria

Resolução das inequações do 1o grau com uma incógnita noconjunto dos números racionais

Inequações do 1o grau com uma incógnita

Chamamos de inequações do 1o grau com uma incógnita a toda inequaçãoque pode ser escrita, com a ≠ 0, em uma das seguintes formas: ax > b ouax < b ou ax ≥ b ou ax ≤ b.

Exemplo:3 + 5(– 4 – x) ≤ x – 1 + 2x

3 – 20 – 5x ≤ x – 1 + 2x

– 5x – x – 2x ≤ – 1 + 20 – 3

(– 1) . – 8x ≤ + 16 . (– 1)

8x ≥ – 16

x ≥ – 2

– 3 – 2x < 11

+ 3 – 3 – 2x < 11 + 3

– 2x < 14

(– 1) . – 2x < 14 . (– 1)

2x > – 14

x > – 7

x ≥ –> –

9

Álgebra e GeometriaSistemas de inequações do 1o grau com uma incógnita

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Exemplo:

Perímetro = 2x + (x + 8) + 15 = 3x + 23

Quais são os valores de x para que esse perímetro seja maior do que 32 me menor do que ou igual a 41 m ?

32 < 3x + 23 ≤ 41 ou3x + 23 > 323x + 23 ≤ 41

2xx + 8

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Álgebra e GeometriaResolvemos cada inequação separadamente e depois procuramos assoluções comuns.

3x + 23 > 323x + 23 ≤ 41

3x + 23 > 32

3x > 32 – 23

3x > 9

x > 3

3x + 23 ≤ 41

3x ≤ 41 – 23

3x ≤ 18

x ≤ 6

Devemos ter, ao mesmo tempo, x > 3 e x ≤ 6

3 < x ≤ 6

0 3 6

> ≤

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Álgebra e Geometria

A ideia de ânguloÂngulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas são seus lados, e o ponto de origem das duas semirretas é seu vértice.

Exemplo:

Ângulo: ou ou .

Lados: e

Vértice: R

Ângulos

P

R

MU

SE

LMA

N /

F1 O

NLI

NE

/ D

IOM

ED

IA

PE

TR J

ILE

K /

SH

UTT

ER

STO

CK

/ G

LOW

IMA

GE

S

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Álgebra e GeometriaTipos de ângulos

Ângulo raso

Ângulo reto

Ângulo nulo

Ângulo obtuso

Ângulo agudoCA

SA D

E TI

POS

/ AR

QU

IVO

DA

ED

ITO

RA

B

P

R

B C

A

B

E

F

Q

PR

B

O

A

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Álgebra e GeometriaPosições relativas de duas retas em um plano

a e b são retasparalelas (a // b)

r e s são retasconcorrentesperpendiculares(r s)

p e q são retasconcorrentesoblíquas (p q)

a b

s

r p

q

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Álgebra e GeometriaMedida de ângulo

1 volta completa

Ao dividirmos a circunferência em 360 partes iguais, dizemos que a medida da abertura desse ângulo é de um grau e indicamos essa medida por 1º.

volta

de volta de volta

de volta

de volta

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Álgebra e GeometriaSubmúltiplos do grau: minuto e segundo

1º = 60’1’ = 60’’

Portanto:

Exemplos:

• 0,5º = 30’ • 50,5º = 50º + 0,5º = 50º 30’

• 72’’ = 60’’ + 12 = 1’12’’

1 minuto corresponde a do grau. Representamos 1’.

1 segundo corresponde a do minuto. Representamos 1’’.

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Álgebra e GeometriaOperações com medidas de ângulosAdição de medidas de ângulos:

28º 11’ 35’’+ 10º 40’ 21’’

56”51’38º

3º 11’ 5’’+ 5º 55’ 57’’

62”66’8º8º 67’ 2’’ Trocamos 60’’ por 1’9º 7’ 2’’ Trocamos 60’ por 1º

Subtração de medidas de ângulos:

12º 54’ 59’’– 7º 2’ 30’’

29”52’ 5º

Exemplos:

Exemplos:90º – (2º 10’) 90º 0’

– 2º 10’

60’’89º

87º 50’

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Álgebra e GeometriaMultiplicação de número natural por medida de ângulo:

7º 2’ 20’’ × 2

2º 30’ 32’’ × 2

4º 61’ 4’’14º 4’ 40’’ 64’’60’4º

5º 1’ 4’’

Exemplos:

Exemplos:

Divisão de medida de ângulo por um número natural diferente de zero:

(12º 54’ 50’’) : 2 = 6º 27’ 25’’ (34º 3’ 15’’) : 3Como 34 não é múltiplo de 3, fazemos34º 3’ 15’’ =

(33º 63’ 15’’) : 3 =

33º 63’ 15’’

11º 21’ 5’’

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Álgebra e GeometriaÂngulos congruentes

Dizemos que dois ângulos são congruentes quando eles têm a mesmamedida.

m( ) = 20º m( ) = 20º

Dizemos:

Ângulos adjacentes

Dizemos que eles são adjacentes, pois têm um lado comum ( ), e as regiões determinadas por eles não têm mais pontos comuns.

A

B

C

O

B

CA

E

G

F

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Álgebra e GeometriaÂngulos complementares e ângulos suplementares

Quando a soma das medidas de dois ângulos é 90º, dizemos que eles são ângulos complementares.

Quando a soma das medidas de dois ângulos é 180º, dizemos que eles são ângulos suplementares.

40º + 50º = 90º

70º + 110º = 180º

50º A

40ºB

110º

C

70º

D

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Álgebra e GeometriaÂngulos adjacentes e suplementares

Adjacentes pela posição de um em relação ao outro. Suplementares porque a soma de

suas medidas é 180º.

A B

C

O

Ângulos adjacentes e suplementares têm um lado comum e os outros dois lados são semirretas opostas, ou seja, formam uma reta.

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Álgebra e GeometriaÂngulos opostos pelo vértice

Conclusão: duas retas com um só ponto comum formam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.

=

=

CA

SA

DE

TIP

OS

/ A

RQ

UIV

O D

A

ED

ITO

RA

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Álgebra e GeometriaBissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice que determina, com os lados do ângulo, dois ângulos congruentes, ou seja, de medidas iguais.

B C

A

M

A

B

C

M

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Álgebra e GeometriaÂngulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal

As medidas de , , e são mantidas pelos correspondentes , , e ,isto é, a = e, b = f, c = g, d = h.

CA

SA

DE

TIP

OS

/ A

RQ

UIV

O D

A

ED

ITO

RA

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Álgebra e Geometria

Polígonos e seus ângulos

Vamos analisar os seguintes polígonos:

Polígono: Quadrilátero (ABCD)

Ângulo interno é formadopor um lado e pelo prolongamento do outro.

Polígono: Triângulo (EFG)

Polígonos

A B

CD

EE F

G

H

: um dos ângulos externos.

, , e :ângulos internos

: um dos ângulos externos.

Ângulos internos: , e .

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Álgebra e GeometriaTriângulo – soma das medidas de seus ângulos internos

Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180º.

C

A B

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Álgebra e GeometriaQuadrilátero convexo – soma das medidas de seus ângulos internos

Em todo quadrilátero convexo, a soma das medidas dos quatros ângulos internos é igual a 360º.

D

C

A

B

A

B

C

A

C

D

m( ) + m( ) + m( ) + m( ) = 360º

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Álgebra e GeometriaPolígono convexo – soma das medidas de seus ângulos internosObserve:

Triângulo Quadrilátero Pentágono

3 lados 4 lados 5 lados

Soma das medidasdos ângulos internosé 1 . 180º

Soma das medidasdos ângulos internosé 2 . 180º

Soma das medidasdos ângulos internosé 3 . 180º

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por: (n – 2) . 180º

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Álgebra e GeometriaParalelogramo – propriedades de seus ângulos internos

É todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

Em qualquer paralelogramo, dois ângulos opostos são congruentes (têmmedidas iguais) e dois ângulos não opostos são suplementares (soma 180º).

a + b = 180ºc + d = 180ºa = c

b + c = 180ºd + a = 180ºb = da

b c

d

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Álgebra e GeometriaPolígonos regularesRecebem esse nome porque têm todos os lados com medidas iguais (congruentes) e também todos os ângulos internos com medidas iguais (congruentes).

Triângulo regular ou triângulo equilátero

Quadrilátero regular ou quadrado

Pentágono regular

Hexágono regular

Octógono regular

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