Álgebra Linear e Geometria Analítica 2ª aula. Mais matrizes especiais.
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Álgebra Linear e
Geometria Analítica
2ª aula
Mais matrizes especiais
Matrizes em escada
Exemplo:
100000000125000000201130000243242000401230021
Exemplo:
100000000125000000201130000243242000401230021
Exemplo:
100000000125000000201130000243242000401230021
Matrizes condensadas
Exemplo:
100000000021000000000110000040201000000200021
Exemplo:
100000000021000000000110000040201000000200021
Mas afinal como reconhecer se uma matriz está ou não em forma
de escada ou está condensada?
Definição: Matriz em forma de escada
Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer:
• Se a linha i é nula todas as linhas abaixo de i são nulas;
• Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro elemento não nulo, todos os elementos da coluna k abaixo de aik são nulos assim como os elementos das colunas anteriores da linha k para baixo.
Definição: Matriz em forma de escada(usando notação matemática)
Diz-se que uma matriz Amn está em forma de escada se para toda a linha i = 1, … , m acontecer:
• Se a linha i é nula e p > i a linha p é nula;• Se a linha i não é nula e aik é o seu primeiro
elemento não nulo, então para p > i e q k, apq = 0.
Definição: PIVOT
Quando uma matriz está em forma de escada ao primeiro elemento não nulo de cada linha chama-se pivot.(numa linha nula não há nenhum pivot)(em cada coluna há no máximo um pivot)
Exemplo matriz em escada:
100000000125000000201130000243242000401230021
Exemplo matriz em escada:
000000000000000000201130000243242000401230021
Algumas considerações:
• As linhas nulas ficam sempre na parte de baixo da matriz
• Pode haver colunas nulas em qualquer posição
• Qualquer linha tem sempre o pivot para a direita dos pivots das linhas acima dela
Definição: Matriz condensada
Diz-se que uma matriz Amn está na forma condensada se é uma matriz em escada e
• Todos os pivots são iguais a 1;• Se aik é o pivot da linha i todos os elementos
da coluna k acima de aik são nulos.
Exemplo de matriz condensada:
100000000021000000000110000040201000000200021
Exemplo de matriz condensada:
000000000000000000201110000243201000401200021
Qualquer matriz pode ser transformada numa matriz em
escada ou numa matriz condensada
COMO?
Operações elementaressobre
as linhas de uma matriz
Tipos de Operações Elementares
216097634501432
Tipos de Operações Elementares
Tipo I: Trocar duas linhas
L1 L3
216097634501432
014327634521609
Tipos de Operações Elementares
Tipo II: Multiplicar uma linha por um escalar não nulo
0.5L1
216097634501432
216097634505.025.11
Tipos de Operações Elementares
Tipo III: Somar a uma linha outra multiplicada por um escalar
L2 L2- 0.5L1
216097634501432
2160975.555.2401432
Exemplos:
101001100121010
Exemplos:
101001100121010
101002101011001
Exemplos:
101001100121010
101002101011001
Exemplos:
300000321
Exemplos:
300000321
000300321
Exemplos:
300000321
000300321
A partir de uma matriz podem-se obter várias matrizes em escada,
mas uma única matriz condensada
Definição: Característica de uma matriz
A característica de uma matriz Amn é igual ao número de linhas não nulas numa sua forma de escada.(é também igual ao número de colunas que têm um pivot e é igual ao número de pivots)Representa-se por car(Amn )
A uma coluna onde não há um pivot chama-se coluna livre.A uma coluna onde há um pivot chama-se coluna principal.
EXEMPLO:Determinar a característica de:
110010111012101
A
Determinar a característica de:
110010111012101
A
L3 L3 + (-1) L1
Determinar a característica de:
110010111012101
A
L3 L3 + (-1) L1
211000111012101
A
Determinar a característica de:
110010111012101
A
L3 L3 + (-1) L1
211000111012101
A
211000111012101
A
A matriz está em forma de escada.Há 3 pivots A matriz tem característica 3.As colunas principais são as 3 primeiras e as duas últimas são as livres;
Determinar a característica de:
184110530486410119325320321
A
Determinar a característica de:
18110053044201023021100321
184110530486410119325320321
A
Determinar a característica de:
18110053044201023021100321
1620062008200410021100321
Determinar a característica de:
1620062008200410021100321
800020000000410021100321
Determinar a característica de:
800020000000410021100321
000020008000410021100321
Determinar a característica de:
000020008000410021100321
000000008000410021100321
Determinar a característica de:
000020008000410021100321
000000008000410021100321
A matriz está em forma de escada. Há 4 pivots. A característica da matriz é 4.