Geometria Analítica e Álgebra...

2019/Sem_02

NOTAS DE AULA

Geometria Analítica e

Álgebra Linear

Vetores no Espaço

Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.

Geometria Analítica e Álgebra Linear


ii

Índice 3 Vetores no Espaço Tridimensional .......................................................................... 1

3.1 Definição ........................................................................................................... 1 3.2 Operações com vetores ..................................................................................... 1

3.3 Projeção ortogonal de um vetor sobre outro ................................................... 13 3.4 Exercícios propostos sobre vetores ................................................................. 13 Referências Bibliográficas ........................................................................................ 15

Prof. Nunes 1


3 Vetores no Espaço Tridimensional

3.1 Definição Um vetor é uma classe de segmentos equipolentes.

Nas figuras, as flechas representam um mesmo vetor, o qual será indicado por AB− , ´´ AB − ,

ou ´́´́ AB − , de modo que AB− = ´´ AB − = ´́´́ AB − . Costuma-se indicar AB− também por

AB , ou então por uma letra latina minúscula com uma flecha em cima, como u

.

Desta forma temos que �⃗� = 𝐵 − 𝐴 = AB .

Observações:

a) O tamanho (intensidade ou comprimento) de um vetor �⃗� é indicado por ‖�⃗� ‖ e chama-se

norma de �⃗� . Se ‖�⃗� ‖ = 1 dizemos que o vetor é unitário. Alguns autores utilizam para a norma

de ‖�⃗� ‖ a notação |�⃗� |.

b) O vetor BA é chamado de vetor oposto do vetor AB . Assim, AB e BA só diferem entre si

no sentido (se BA ). O vetor oposto do vetor AB é indicado também por AB− ; o vetor

oposto de �⃗� é −�⃗� .

c) O vetor nulo pode ser representado por 0⃗ = 𝐴 − 𝐴 = 𝐴𝐴→

. Tem-se ainda que ‖0⃗ ‖ = 0 e

−0⃗ = 0⃗ .

d) Se �⃗� e 𝑣 tem mesma direção, dizemos que eles são vetores paralelos e indicamos por �⃗� // 𝑣 .

e) Dizemos que �⃗� e 𝑣 são ortogonais, se uma flecha que representa �⃗� faz ângulo reto com uma

flecha que representa 𝑣 . Notação �⃗� ⊥ 𝑣 .

3.2 Operações com vetores

3.2.1 Adição

Prof. Nunes 2


Propriedades da adição de vetores

(A1) Propriedade Associativa: (�⃗� + 𝑣 ) + �⃗⃗� = �⃗� + (𝑣 + �⃗⃗� ) (A2) Propriedade Comutativa:

�⃗� + 𝑣 = 𝑣 + �⃗� (A3) Elemento Neutro:

�⃗� + 0⃗ = 0⃗ + �⃗� = �⃗� (A4) Elemento Oposto:

�⃗� + (−�⃗� ) = 0⃗ Ilustração da propriedade associativa (A1):

Prof. Nunes 3


Observações: Podemos também definir a diferença entre vetores como: �⃗⃗� − �⃗⃗� = �⃗⃗� + (−�⃗⃗� )

Exemplo:

1) Dados os vetores �⃗� e 𝑣 destacados no paralelepípedo que segue, identifique na figura um

representante para o vetor �⃗� − 𝑣 :

3.2.2 Multiplicação de número real por vetor

Dado um vetor 𝑣 e um número real , definimos o vetor 𝛼 ⋅ 𝑣 , como:

Se 0= ou 𝑣 = 0⃗ , então 𝛼 ⋅ 𝑣 = 0⃗ ;

Se 0 e 𝑣 ≠ 0⃗ , então 𝛼 ⋅ 𝑣 é o vetor tal que:

(i) 𝛼 ⋅ 𝑣 é paralelo a 𝑣 ; (ii) 𝛼 ⋅ 𝑣 e 𝑣 tem mesmos sentidos se 0 ;

(iii) 𝛼 ⋅ 𝑣 e 𝑣 tem sentidos contrários se 0 ;

(iv) A norma de 𝛼 ⋅ 𝑣 é ‖𝛼 ⋅ 𝑣 ‖ = |𝛼| ⋅ ‖𝑣 ‖.

Exemplos:

1) Na sequência são apresentados alguns casos de produto de vetor por número real:

a) Para 02 = :

b) Para 02 −= :

Prof. Nunes 4


c) Para 03

1=

Proposição:

Se �⃗� e 𝑣 são paralelos e �⃗� ≠ 0⃗ , existe tal que 𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗� .

Definição:

Dado um vetor �⃗� ≠ 0⃗ , chama-se versor do vetor �⃗� , um vetor unitário, paralelo e de mesmo

sentido que �⃗� .

Exemplo:

1) Dado um vetor �⃗� ≠ 0⃗ , mostre que o versor de �⃗� é �⃗⃗�

‖�⃗⃗� ‖.

Resolução:

Chamando de 𝑣 ao versor de �⃗� , temos que 𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗� , com 0 .

𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗� ⇒ ‖𝑣 ‖ = ‖𝛼 ⋅ �⃗� ‖ = |𝛼| ⋅ ‖�⃗� ‖|𝛼| =‖�⃗� ‖

‖�⃗⃗� ‖=

1

‖�⃗⃗� ‖. Como 0 , temos que 𝛼 =

1

‖�⃗⃗� ‖.

Substituindo este valor de em 𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗� , obtemos:

𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗� ⇒ 𝑣 =1

‖�⃗⃗� ‖⋅ �⃗� =

�⃗⃗�

‖�⃗⃗� ‖. Logo 𝑣 =

�⃗⃗�

‖�⃗⃗� ‖.

Propriedades da multiplicação de número real por vetor

(M1) 𝛼 ⋅ (�⃗� + 𝑣 ) = 𝛼 ⋅ �⃗� + 𝛼 ⋅ 𝑣 (M2) (𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝑣 = 𝛼 ⋅ 𝑣 + 𝛽 ⋅ 𝑣 (M3) 1 ⋅ 𝑣 = 𝑣 (M4) 𝛼 ⋅ (𝛽 ⋅ 𝑣 ) = (𝛼 ⋅ 𝛽) ⋅ 𝑣 = 𝛽 ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑣 )

Definição:

Sejam 𝑣 1, 𝑣 2, 𝑣 3, . . . . . , 𝑣 𝑛 vetores do 3 , ( )1n e n ,.....,,, 321 . Chama-se

combinação linear dos vetores 𝑣 1, 𝑣 2, 𝑣 3, . . . . . , 𝑣 𝑛, com coeficientes n ,.....,,, 321 ,

ao vetor: 𝑣 = 𝛼1 ⋅ 𝑣 1 + 𝛼2 ⋅ 𝑣 2 + 𝛼3 ⋅ 𝑣 3+ . . . . . +𝛼𝑛 ⋅ 𝑣 𝑛.

Definição:

Uma base do 3 é uma tripla ordenada de vetores (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) do

3 , tais que não existe

nenhum plano paralelo simultaneamente aos vetores 𝑒 1, 𝑒 2 e 𝑒 3.

Prof. Nunes 5


Proposição:

Dado um vetor qualquer 𝑣 ∈ ℜ3, existe uma única tripla ordenada ( )321 ,, , tal que:

𝑣 = 𝛼1 ⋅ 𝑒 1 + 𝛼2 ⋅ 𝑒 2 + 𝛼3 ⋅ 𝑒 3.

Assim, na figura anterior temos:

𝑂𝑅→

= 𝛼1 ⋅ 𝑒 1, 𝑂𝑆→ = 𝛼2 ⋅ 𝑒 2 e 𝑂𝑇

→ = 𝛼3 ⋅ 𝑒 3

Sendo 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base do 3 , escreve-se:

𝑣 = 𝑂𝑃→

= 𝛼1 ⋅ 𝑒 1 + 𝛼2 ⋅ 𝑒 2 + 𝛼3 ⋅ 𝑒 3= ( )E321 ,, .

Exemplos:

1) Sendo �⃗� = (1,1,4)𝐸 e 𝑣 = (−1,3,5)𝐸, calcule: 2 ⋅ �⃗� − 3 ⋅ 𝑣 , na base 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3).

Resolução:

2 ⋅ �⃗� − 3 ⋅ 𝑣 = 2 ⋅ (1,1,4)𝐸 − 3 ⋅ (−1,3,5)𝐸 = (2,2,8)𝐸 + (3,−9, −15)𝐸 = (5,−7,−7)𝐸

Ou seja, 2 ⋅ �⃗� − 3 ⋅ 𝑣 = 5 ⋅ 𝑒 1 − 7 ⋅ 𝑒 2 − 7 ⋅ 𝑒 3.

2) Sendo �⃗� = (−1,4, −1)𝐸 e 𝑣 = (𝑎, 𝑏,1

2)𝐸

e �⃗⃗� = (1, 𝑐, 2𝑎 + 𝑐)𝐸, e sabendo que 2 ⋅ 𝑣 + �⃗⃗� =

�⃗� , calcule os valores de a, b e c.

Resposta: 0e2,1 ==−= cba

Definição:

Uma base 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) é ortonormal se 𝑒 1, 𝑒 2 e 𝑒 3 são unitários (‖𝑒 1‖ = ‖𝑒 2‖ =‖𝑒 3‖ = 1) e ortogonais dois a dois.

Prof. Nunes 6


Proposição:

Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Se 𝑣 = 𝛼1 ⋅ 𝑒 1 + 𝛼2 ⋅ 𝑒 2 + 𝛼3 ⋅ 𝑒 3, então:

‖𝑣 ‖ = √𝛼12 + 𝛼2

2 + 𝛼32.

Exemplos:

1) Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Sendo �⃗� = (0,1,2)𝐸 e 𝑣 = (−2,4, −6)𝐸,

calcule:

a) ‖�⃗� ‖ Resposta: 5

b) ‖𝑣 ‖ Resposta: 56

c) ‖�⃗� + 𝑣 ‖ Resposta: 45

d) ‖�⃗� − 2 ⋅ 𝑣 ‖ Resposta: 261

e) ‖−�⃗� +1

2⋅ 𝑣 ‖ Resposta: 27

3.2.3 Produto escalar ou produto interno

Sendo �⃗� e 𝑣 vetores, definimos o número real �⃗� ⋅ 𝑣 , do seguinte modo:

i) Se �⃗� = 0⃗ ou 𝑣 = 0⃗ , então �⃗� ⋅ 𝑣 = 0 (zero)

ii) Se �⃗� ≠ 0⃗ e 𝑣 ≠ 0⃗ , então �⃗� ⋅ 𝑣 = ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ cos θ, onde é o ângulo convexo entre os

vetores �⃗� e 𝑣 . ( 0 ).

Se �⃗� ⋅ 𝑣 = 0, pode-se concluir que �⃗� = 0⃗ ou 𝑣 = 0⃗ ?

Não! Pois, �⃗� ⊥ 𝑣 ⇒ �⃗� ⋅ 𝑣 = 0.

Proposição:

Se �⃗� = (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3)𝐸 e 𝑣 = (𝛽1, 𝛽2, 𝛽3)𝐸 e 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) é uma base ortonormal, então:

�⃗� ⋅ 𝑣 = 𝛼1 ⋅ 𝛽1 + 𝛼2 ⋅ 𝛽2 + 𝛼3 ⋅ 𝛽3.

Prof. Nunes 7


Demonstração:

Da Lei dos Cossenos temos que:

‖𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗‖2= ‖�⃗� ‖2 + ‖�⃗� ‖2 − 2‖�⃗� ‖ ∙ ‖𝑣 ‖ ∙ cos 𝜃=

= (𝛼12 + 𝛼2

2 + 𝛼32) + (𝛽1

2 + 𝛽22 + 𝛽3

2) − 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 (I)

Mas temos também que:

‖𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗‖2= ‖�⃗� − 𝑣 ‖2 = ‖(𝛼1 − 𝛽1, 𝛼2 − 𝛽2, 𝛼3 − 𝛽3)‖

2 = (𝛼1 − 𝛽1)2 + (𝛼2 − 𝛽2)

2 + (𝛼3 −

𝛽3)2 = (𝛼1

2 + 𝛼22 + 𝛼3

2) + (𝛽12 + 𝛽2

2 + 𝛽32) − 2 ⋅ (𝛼1 ⋅ 𝛽1 + 𝛼2 ⋅ 𝛽2 + 𝛼3 ⋅ 𝛽3) (II)

Igualando (I) com (II), obtemos:

(𝛼12 + 𝛼2

2 + 𝛼32) + (𝛽1

2 + 𝛽22 + 𝛽3

2) − 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 =

( ) ( ) ( )33221123

22

21

23

22

21 2 ++−+++++

Logo concluímos que �⃗� ⋅ 𝑣 = 𝛼1 ⋅ 𝛽1 + 𝛼2 ⋅ 𝛽2 + 𝛼3 ⋅ 𝛽3.

Observação:

Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Se �⃗� = 𝛼1 ⋅ 𝑒 1 + 𝛼2 ⋅ 𝑒 2 + 𝛼3 ⋅ 𝑒 3, então:

‖�⃗� ‖ = √𝛼12 + 𝛼2

2 + 𝛼32 = √�⃗� ⋅ �⃗� �⃗� ⋅ �⃗� = ‖�⃗� ‖2

Assim, ‖�⃗� ‖ = √�⃗� ⋅ �⃗� �⃗� ⋅ �⃗� = ‖�⃗� ‖2.

2) Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Sendo �⃗� = (1,−1,5)𝐸 e 𝑣 = (2,4, −1)𝐸,

calcule:

a) �⃗� ⋅ 𝑣

�⃗� ⋅ 𝑣 = 1 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 4 + 5 ⋅ (−1) = −7

b) ‖�⃗� ‖

‖�⃗� ‖ = √1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) + 5 ⋅ 5 = √27

c) ‖𝑣 ‖

‖𝑣 ‖ = √2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 + (−1) ⋅ (−1) = √21

d) o ângulo entre �⃗� e 𝑣

�⃗� ⋅ 𝑣 = ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ cos θ cos21277 =−2127

7cos

−= arc

3) Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Sendo �⃗� = (1,4,1)𝐸 e 𝑣 = (0,1, −8)𝐸,

calcule:

a) (2 ⋅ �⃗� + 𝑣 ) ⋅ �⃗� Resposta: 32

b) (�⃗� − 𝑣 ) ⋅ (�⃗� + 𝑣 ) Resposta: 47−

4) Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Sendo �⃗� = (√3, 1,0)𝐸

e 𝑣 = (2,2√3, 0)𝐸

,

calcule o ângulo convexo entre os vetores �⃗� e 𝑣 . Resposta: 6

rad

Prof. Nunes 8


Propriedades do produto escalar

(PE1) �⃗� ⋅ (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� ⋅ 𝑣 + �⃗� ⋅ �⃗⃗� e (�⃗� + 𝑣 ) ⋅ �⃗⃗� = �⃗� ⋅ �⃗⃗� + 𝑣 ⋅ �⃗⃗� (PE2) (𝛼 ⋅ �⃗� ) ⋅ 𝑣 = 𝛼 ⋅ (�⃗� ⋅ 𝑣 ) = �⃗� ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑣 ) (PE3) �⃗� ⋅ 𝑣 = 𝑣 ⋅ �⃗�

(PE4) �⃗� ⋅ �⃗� ≥ 0; �⃗� ⋅ �⃗� = 0 ⇔ �⃗� = 0⃗

1) Prove:

a) ‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 + 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2

Resolução:

Lembrando que ‖�⃗� ‖ = √�⃗� ⋅ �⃗� �⃗� ⋅ �⃗� = ‖�⃗� ‖2, temos que:

||�⃗� + 𝑣 ||2= (�⃗� + 𝑣 ) ⋅ (�⃗� + 𝑣 ) = �⃗� ⋅ �⃗� + 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + 𝑣 ⋅ 𝑣 = ‖�⃗� ‖2 + 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2

b) ‖�⃗� − 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 − 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2.

Resolução:

Analogamente, temos:

‖�⃗� − 𝑣 ‖2 = (�⃗� − 𝑣 ) ⋅ (�⃗� − 𝑣 ) = �⃗� ⋅ �⃗� − 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + 𝑣 ⋅ 𝑣 = ‖�⃗� ‖2 − 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2

c) |�⃗� ⋅ 𝑣 | ≤ ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ (Desigualdade de Schwarz)

Resolução:

�⃗� ⋅ 𝑣 = ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ cos θ|�⃗� ⋅ 𝑣 | = |‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃| = ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ |𝑐𝑜𝑠 𝜃| ≤ ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖

d) ‖�⃗� + 𝑣 ‖ ≤ ‖�⃗� ‖ + ‖𝑣 ‖ (Desigualdade Triangular)

Resolução:

‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 + 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2 ≤ ‖�⃗� ‖2 + 2 ⋅ |�⃗� ⋅ 𝑣 | + ‖𝑣 ‖2 ≤ ‖�⃗� ‖2 + 2 ⋅ ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ + ‖𝑣 ‖2 = (‖�⃗� ‖ + ‖𝑣 ‖)2 ⇒ ‖�⃗� + 𝑣 ‖2 ≤ (‖�⃗� ‖ + ‖𝑣 ‖)2 ⇒

‖�⃗� + 𝑣 ‖ ≤ ‖�⃗� ‖ + ‖𝑣 ‖

3.2.4 Produto vetorial ou produto externo

Se �⃗� // 𝑣 , então, por definição o produto vetorial (ou produto externo) de �⃗� por 𝑣 é o vetor nulo.

Notação: �⃗� ∧ 𝑣 = 0⃗ ou �⃗� × 𝑣 = 0⃗ .

Se �⃗� e 𝑣 não são paralelos, então 𝑢⃗⃗⃗ ∧ 𝑣 é um vetor com as seguintes características:

a) ‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖ = ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ sen𝜃; onde é o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 .

b) �⃗� ∧ 𝑣 é ortogonal a �⃗� e a 𝑣 ;

c) o sentido de �⃗� ∧ 𝑣 pode ser dado pela regra da mão direita:

Assim, nas figuras que seguem tem-se: �⃗� ∧ 𝑣 = �⃗⃗� e 𝑣 ∧ �⃗� = −�⃗⃗�

Prof. Nunes 9


A regra da mão direita pode ser melhor observada nas figuras que seguem, onde o polegar indica

o sentido do vetor oriundo do produto vetorial:

Observação:

Se 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) é uma base ortonormal, então 𝑒 1 ∧ 𝑒 2 = 𝑒 3 ou 𝑒 1 ∧ 𝑒 2 = −𝑒 3.

Temos ainda que ‖𝑒 1 ∧ 𝑒 2‖ = ‖𝑒 1‖ ⋅ ‖𝑒 2‖ ⋅ sen𝜋

2= 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1

Definição:

Uma base ortonormal chama-se dextrógira se 𝑒 1 ∧ 𝑒 2 = 𝑒 3 e levógira se 𝑒 1 ∧ 𝑒 2 = −𝑒 3.

Observação:

Se 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) é uma base ortonormal dextrógira, então temos que:

𝑖 ∧ 𝑗 = �⃗� �⃗� ∧ 𝑖 = 𝑗

𝑗 ∧ �⃗� = 𝑖 𝑖 ∧ �⃗� = −𝑗

�⃗� ∧ 𝑗 = −𝑖 𝑖 ∧ 𝑖 = 0⃗ , etc.

Exemplo:

1) Apresente os vetores 𝑖 , 𝑗 𝑒 �⃗� na base 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ).

Resposta: 𝑖 = (1,0,0)𝐸, 𝑗 = (0,1,0)𝐸 e �⃗� = (0,0,1)𝐸

Prof. Nunes 10


Propriedades do produto vetorial

(PV1) �⃗� ∧ (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� ∧ 𝑣 + �⃗� ∧ �⃗⃗� ou (�⃗� + 𝑣 ) ∧ �⃗⃗� = �⃗� ∧ �⃗⃗� + 𝑣 ∧ �⃗⃗� (PV2) (𝛼 ⋅ �⃗� ) ∧ 𝑣 = 𝛼 ⋅ (�⃗� ∧ 𝑣 ) = �⃗� ∧ (𝛼 ⋅ 𝑣 ) (PV3) �⃗� ∧ 𝑣 = −𝑣 ∧ �⃗�

Proposição:

Se 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) é uma base ortonormal dextrógira, e se �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐)𝐸 e 𝑣 = (𝑚, 𝑛, 𝑝)𝐸, então:

�⃗� ∧ 𝑣 = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗�

𝑎 𝑏 𝑐𝑚 𝑛 𝑝

].

Demonstração:

�⃗� ∧ 𝑣 = (𝑎 ⋅ 𝑖 + 𝑏 ⋅ 𝑗 + 𝑐 ⋅ �⃗� ) ∧ (𝑚 ⋅ 𝑖 + 𝑛 ⋅ 𝑗 + 𝑝 ⋅ �⃗� ) =

𝑎𝑚 ⋅ 𝑖 ∧ 𝑖 + 𝑎𝑛 ⋅ 𝑖 ∧ 𝑗 + 𝑎𝑝 ⋅ 𝑖 ∧ �⃗� +

𝑏𝑚 ⋅ 𝑗 ∧ 𝑖 + 𝑏𝑛 ⋅ 𝑗 ∧ 𝑗 + 𝑏𝑝 ⋅ 𝑗 ∧ �⃗� +

𝑐𝑚 ⋅ �⃗� ∧ 𝑖 + 𝑐𝑛 ⋅ �⃗� ∧ 𝑗 + 𝑐𝑝 ⋅ �⃗� ∧ �⃗� =

𝑎𝑛 ⋅ �⃗� − 𝑎𝑝 ⋅ 𝑗 − 𝑏𝑚 ⋅ �⃗� + 𝑏𝑝 ⋅ 𝑖 + 𝑐𝑚 ⋅ 𝑗 − 𝑐𝑛 ⋅ 𝑖 =

(𝑏𝑝 − 𝑐𝑛) ⋅ 𝑖 − (𝑎𝑝 − 𝑐𝑚) ⋅ 𝑗 + (𝑎𝑛 − 𝑏𝑚) ⋅ �⃗� =

𝑑𝑒𝑡 [𝑏 𝑐𝑛 𝑝

] ⋅ 𝑖 − 𝑑𝑒𝑡 [𝑎 𝑐𝑚 𝑝] ⋅ 𝑗 + 𝑑𝑒𝑡 [

𝑎 𝑏𝑚 𝑛

] ⋅ �⃗� = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗�


]

Exemplos:

1) Sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base ortonormal dextrógira, �⃗� = (1,1,3)𝐸 e 𝑣 = (1,−1,−4)𝐸,

calcule �⃗� ∧ 𝑣 :

Resolução:

�⃗� ∧ 𝑣 = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗�

1 1 31 −1 −4

] = −𝑖 + 7𝑗 − 2�⃗� .

Resposta: �⃗� ∧ 𝑣 = −𝑖 + 7𝑗 − 2�⃗�

2) Sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base ortonormal dextrógira, calcule �⃗� ∧ 𝑣 nos seguintes casos:

a) �⃗� = (−2,1,0)𝐸 e 𝑣 = (1,3, −2)𝐸 Resposta: ( )E7,4,2 −−−

b) �⃗� = (2,1, −1)𝐸 e 𝑣 = (2,5,4)𝐸 Resposta: ( )E8,10,9 −

3) Obtenha 𝑥 tal que 𝑥 ∧ 𝑗 = �⃗� e ‖𝑥 ‖ = √5, sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base ortonormal

dextrógira.

Resolução:

𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑖 + 𝑏 ⋅ 𝑗 + 𝑐 ⋅ �⃗�

𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗�

𝑎 𝑏 𝑐0 1 0

] = �⃗� 𝑎 ⋅ �⃗� − 𝑐 ⋅ 𝑖 = �⃗� a = 1 e c = 0.

Mas ‖𝑥 ‖ = √5 522 =+ba 51 22 =+b 51 22 =+ b 2=b

Prof. Nunes 11


Logo 𝑥 = 𝑖 ± 2 ⋅ 𝑗

Resposta: 𝑥 = 𝑖 ± 2 ⋅ 𝑗

4) Obtenha 𝑥 tal que 𝑥 ⋅ (𝑖 − 𝑗 ) = 0 e 𝑥 ∧ (𝑖 + 2�⃗� ) = 𝑖 −1

2�⃗� , sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base

ortonormal dextrógira.

Resolução:

𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑖 + 𝑏 ⋅ 𝑗 + 𝑐 ⋅ �⃗� 𝑥 ⋅ (𝑖 − 𝑗 ) = 0𝑎 ⋅ 1 + 𝑏 ⋅ (−1) + 𝑐 ⋅ (0) = 0 ⇒ 𝑎 = 𝑏

𝑥 ∧ (𝑖 + 2�⃗� ) = 𝑖 −1

2�⃗� 𝑑𝑒𝑡 [

𝑖 𝑗 �⃗�

𝑎 𝑎 𝑐1 0 2

] = 𝑖 −1

2�⃗�

2𝑎 ⋅ 𝑖 + (𝑐 − 2𝑎) ⋅ 𝑗 − 𝑎 ⋅ �⃗� = 𝑖 −1

2�⃗�

2

112 == aa

102

1202 ==−=− ccac Logo 𝑥 =

1

2⋅ 𝑖 +

1

2⋅ 𝑗 + �⃗�

Resposta: 𝑥 =1

2⋅ 𝑖 +

1

2⋅ 𝑗 + �⃗�

5) Obtenha 𝑥 tal que 𝑥 ⊥ �⃗� , 𝑥 ⊥ 𝑣 e ‖𝑥 ‖ = 10, sabendo que �⃗� ∧ 𝑣 = 𝑖 + 4 ⋅ 𝑗 + 2√2 ⋅ �⃗� , sendo

𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base ortonormal dextrógira.

Resolução:

‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖ = √12 + 42 + (2√2)2= 5

Sabemos que 𝑥 = 𝛼 ⋅ (�⃗� ∧ 𝑣 ) ‖𝑥 ‖ = |𝛼| ⋅ ‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖ 2510 ==

Logo 𝑥 = ±2 ⋅ (�⃗� ∧ 𝑣 ) = ±2 ⋅ (𝑖 + 4 ⋅ 𝑗 + 2√2 ⋅ �⃗� )= ( )E24,8,2

Resposta: 𝑥 = ±(2,8,4√2)𝐸

6) Obtenha 𝑥 tal que 𝑥 ⊥ (1,1,1)𝐸, 𝑥 ⊥ (2,1,3)𝐸 e ‖𝑥 ‖ = √6, sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base

ortonormal dextrógira. Resposta: ( )E1,1,2 −−

Interpretação geométrica do produto vetorial

Assim, a área do paralelogramo que tem �⃗� e 𝑣 como lados, é a norma do produto vetorial destes

vetores, isto é 𝑆 = ‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖.

Prof. Nunes 12


3.2.5 Produto misto

Dados os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� , o produto misto destes 3 vetores é um número real representado por

�⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� ou [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ]. (Efetua-se primeiro o produto vetorial)

Nulidade do produto misto

Dados os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� , o produto misto destes 3 vetores �⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� = 0 se:

i) Pelo menos um destes vetores for nulo; ou

ii) �⃗� // 𝑣 (pois neste caso �⃗� ∧ 𝑣 = 0⃗ ), ou

iii) Os três vetores são coplanares.

Proposição:

Se 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) é uma base ortonormal dextrógira, e se �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐)𝐸 , 𝑣 = (𝑚, 𝑛, 𝑝)𝐸 e �⃗⃗� =

(𝑟, 𝑠, 𝑡)𝐸, então: �⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� = 𝑑𝑒𝑡 [𝑎 𝑏 𝑐𝑚 𝑛 𝑝𝑟 𝑠 𝑡

].

Demonstração:

Sabemos que �⃗� ∧ 𝑣 = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗�


]=𝑑𝑒𝑡 [𝑏 𝑐𝑛 𝑝

] ⋅ 𝑖 − 𝑑𝑒𝑡 [𝑎 𝑐𝑚 𝑝] ⋅ 𝑗 + 𝑑𝑒𝑡 [

𝑎 𝑏𝑚 𝑛

] ⋅ �⃗�

Logo �⃗� ∧ 𝑣 =

Enm

ba

pm

ca

pn

cb

−

det,det,det . Então

�⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� = =

+

−

t

nm

bas

pm

car

pn

cbdetdetdet

tsr

pnm

cba

det

Exemplo:

1) Calcule o produto misto dos vetores �⃗� = (1,2,1)𝐸 , 𝑣 = (1,0,1)𝐸 e �⃗⃗� = (1,2,3)𝐸, sendo 𝐸 =

(𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) é uma base ortonormal dextrógira.

Resolução:

�⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗�

=

tsr

pnm

cba

det 4

321

101

121

det −=

=

Resposta: �⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� = −4

Propriedades do produto misto

(PM1) [�⃗� 1 + �⃗� 2, 𝑣 , �⃗⃗� ] = [�⃗� 1, 𝑣 , �⃗⃗� ] + [�⃗� 2, 𝑣 , �⃗⃗� ]

[�⃗� , 𝑣 1 + 𝑣 2, �⃗⃗� ] = [�⃗� , 𝑣 1, �⃗⃗� ] + [�⃗� , 𝑣 2, �⃗⃗� ]

[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� 1 + �⃗⃗� 2] = [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� 1] + [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� 2]

(PM2) [𝛼 ⋅ �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = [�⃗� , 𝛼 ⋅ 𝑣 , �⃗⃗� ] = [�⃗� , 𝑣 , 𝛼 ⋅ �⃗⃗� ] = 𝛼 ⋅ [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ]

(PM3) O produto misto [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] muda de sinal permutando-se dois vetores:

[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = −[𝑣 , �⃗� , �⃗⃗� ] = [𝑣 , �⃗⃗� , �⃗� ]

[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = −[�⃗⃗� , 𝑣 , �⃗� ] = [�⃗⃗� , �⃗� , 𝑣 ]

[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = −[�⃗� , �⃗⃗� , 𝑣 ] = [�⃗⃗� , �⃗� , 𝑣 ]

Prof. Nunes 13


(PM4) O produto misto não se altera se permutarmos os símbolos e

�⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� =�⃗� ⋅ 𝑣 ∧ �⃗⃗�

Interpretação geométrica do produto misto

Assim, o volume do paralelepípedo da figura anterior é:

𝑉 = ‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖ ⋅ ‖�⃗⃗� ‖ ⋅ |cos 𝜃|=|�⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� |

Exemplo:

1) Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores �⃗� = (2,1,4)𝐸 , 𝑣 =

(2,−1,3)𝐸 e �⃗⃗� = (5,4,1)𝐸, sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) é uma base ortonormal dextrógira.

Resposta: 39=V

3.3 Projeção ortogonal de um vetor sobre outro

Expresse vetorialmente a projeção ortogonal de um vetor v

sobre um vetor u

.

Resolução:

𝑎 = 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗� 𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗�

�⃗� = 𝑣 − 𝑎 (𝑣 − 𝑎 ) ⋅ �⃗� = 0

(𝑣 − 𝛼 ⋅ 𝑎 ) ⋅ �⃗� = 0 → 𝑣 ⋅ �⃗� − 𝛼‖�⃗� ‖2 = 0 → 𝛼 =𝑣 ⋅ �⃗�

‖�⃗� ‖2

Logo, 𝑎 = 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗� 𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗� = (�⃗� ⋅�⃗⃗�

‖�⃗⃗� ‖2) ⋅ �⃗�

Resposta: 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗� 𝑣 = (�⃗� ⋅�⃗⃗�

‖�⃗⃗� ‖2) ⋅ �⃗�

3.4 Exercícios propostos sobre vetores

Considere em todos estes exercícios𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base ortonormal dextrógira.

Prof. Nunes 14


1) Determine x, sabendo que os vetores são paralelos, nos casos:

a) �⃗� = (1,3,10)𝐸, 𝑣 = (−2, 𝑥, −20)𝐸 Resposta: 6−=x

b) �⃗� = (0,2, 𝑥)𝐸, 𝑣 = (0,3,6)𝐸 Resposta: 4=x

c) �⃗� = 2 ⋅ 𝑖 − 3 ⋅ 𝑗 − �⃗� e 𝑣 = 𝑥 ⋅ 𝑖 − 9 ⋅ 𝑗 − 3 ⋅ �⃗� Resposta: 6=x

2) Calcular a para que os vetores sejam coplanares, nos casos:

a) �⃗� = (1,3,0)𝐸, 𝑣 = (2,1,14)𝐸 e �⃗⃗� = (3,4, 𝑎)𝐸 Resposta: a = 14

b) �⃗� = 𝑎 ⋅ 𝑖 − 3 ⋅ 𝑗 , 𝑣 = 𝑎 ⋅ 𝑗 + �⃗� e �⃗⃗� = 𝑖 + 𝑗 + �⃗� Resposta: 2

131=a

3) Dados �⃗� = 2 ⋅ 𝑖 , 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 + �⃗� e �⃗⃗� = −2 ⋅ 𝑖 + 6 ⋅ 𝑗 + 6 ⋅ �⃗� , escrever, se possível, �⃗⃗� como

combinação linear de �⃗� e 𝑣 . Resposta: �⃗⃗� = −4 ⋅ �⃗� + 6 ⋅ 𝑣

4) Dados �⃗� = (2,0,0)𝐸, 𝑣 = (1,1,1)𝐸 e �⃗⃗� = (−2,6,2)𝐸, escrever, se possível, �⃗⃗� como

combinação linear de �⃗� e 𝑣 .

Resposta: É impossível, pois estes três vetores não são coplanares.

5) Sendo ‖�⃗� ‖ = 2, ‖𝑣 ‖ = 3, e o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 é de 2

radianos, ache:

a) ‖�⃗� + 𝑣 ‖ Resposta: 13

b) o versor de (�⃗� + 𝑣 ) Resposta: �⃗⃗� +�⃗�

√13

c) (�⃗� + 𝑣 ) ⋅ (�⃗� − 𝑣 ) Resposta: 5−

6) Determinar o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 , sabendo-se que:

�⃗� + 𝑣 + �⃗⃗� = 0⃗ , ‖�⃗� ‖ = 2 , ‖𝑣 ‖ = 3, ‖�⃗⃗� ‖ = 4. Resposta: 4

1cosarc=

7) Seja um paralelogramo construído sobre os vetores �⃗� 𝑒 𝑣 . Determinar o ângulo entre

as diagonais deste paralelogramo, sabendo-se que: ‖�⃗� ‖ = √3, ‖𝑣 ‖ = 1 e o ângulo entre os

vetores �⃗� e 𝑣 é de 6

radianos. Resposta:

7

72cosarc=

8) Sabendo que 𝑣 = (1,−1,1)𝐸, calcular o(s) vetor(es) �⃗� = (𝛼, 𝛽, 𝛾)𝐸, que satisfaçam

simultaneamente as 3 condições abaixo:

a) �⃗� ⊥ 𝑖 b) �⃗� ⋅ 𝑣 = 0

c) ‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖ = 3√6 Resposta: �⃗� = ±(0,3,3)𝐸

9) Determinar a área do paralelogramo construído sobre �⃗� e 𝑣 , cujas diagonais são:

�⃗� + 𝑣 = (0,3,5)𝐸 e �⃗� − 𝑣 = (2,1,1)𝐸. Resposta: 35

10) Determinar vetorialmente o ângulo formado por duas diagonais de um cubo.

Resposta: = 703

1cosarc

Prof. Nunes 15


11) Calcule ‖2�⃗� + 4𝑣 ‖2, sabendo que ‖�⃗� ‖ = 1 e ‖𝑣 ‖ = 2, e a medida em radianos do ângulo

entre 𝑣 e �⃗� é 2

3

. Resposta: 52

12) Ache 𝑣 tal que ||𝑣 || = 3 3 , e seja ortogonal a �⃗� = (2, 3, − 1)𝐸 e a �⃗⃗� = (2,−4,6)𝐸 .

Resposta: 𝑣 = ±3( 𝑖 − 𝑗 − �⃗� )

13) Ache um vetor unitário ortogonal a �⃗� = (1,−3,1) E e a 𝑣 = (−3,3,3) E .

Resposta: 𝑣 = ±1

√6( −2𝑖 − 𝑗 − �⃗� )

14) A medida em radianos entre �⃗� e 𝑣 é de 2

3

. Sendo ||�⃗� || = 1 e ||𝑣 || = 7, calcule:

||�⃗� 𝑣 ||² e ||1

3�⃗� ∧

3

4𝑣 ||. Resposta:

4

147 e

8

37, respectivamente.

15) Dados �⃗� = 3𝑖 −2𝑗 +6�⃗� ; 𝑣 = − 3𝑖 −5𝑗 + 8�⃗� e �⃗⃗� = 𝑖 +�⃗� , calcule:

a) a área do paralelogramo construído sobre �⃗� e 𝑣 ; Resposta: 49

b) o volume do paralelepípedo construído sobre �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� ; Resposta: 7

c) a altura do paralelepípedo. Resposta: 7

1

16) Calcular os valores de m para que o vetor �⃗� +𝑣 seja ortogonal a �⃗⃗� − �⃗� onde:

�⃗� = (2, 1, m) E ; 𝑣 = (m+2, −5, 2) E e �⃗⃗� = (2m, 8, m) E .

Resposta: 6−=m ou 3=m

17) Resolva o sistema {𝑥 ⋅ (2𝑖 + 3𝑗 + 4�⃗� ) = 9

𝑥 ∧ (−𝑖 + 𝑗 − �⃗� ) = −2𝑖 + 2�⃗�

Resposta: 𝑥 = 𝑖 + 𝑗 + �⃗�

Referências Bibliográficas

1. BARSOTTI, Leo. Geometria Analítica e Vetores. 3.a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e

Editora Unificado, 1984.

2. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica – Um tratamento Vetorial.

São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987.

3. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no Espaço. São

Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1997.

4. VENTURI, Jacir J. Sistemas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas

e Editora Unificado, 1987.

5. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2.a Edição. São Paulo:

Pearson Education do Brasil, 2010.

6. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2.a Edição. São

Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.

Geometria Analítica e Álgebra...

Documents

Transcript of Geometria Analítica e Álgebra...