Álgebra Linear e Geometria Analítica
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Álgebra Linear e
Geometria Analítica
8ª aula
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Valores Próprios
e
Vectores Próprios
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Definição:
Seja um número real e A uma matriz quadrada nn. Diz-se que é um valor próprio da matriz A se existir uma matriz coluna não nula Xn1 tal que
A X = XÀ matriz coluna X chama-se vector próprio associado ao valor próprio .
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Exemplo:
1
13
3
3
1
1
41
12
3 é valor próprioUm vector próprio associado é
1
1
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Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
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Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
0
00
XIA
IXAXXAXXAX
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Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
0
00
XIA
IXAXXAXXAX
Este sistema homogéneo tem que ser indeterminado pois queremos X0
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Definições:
(A - I) – matriz característica de A
det (A - I) – polinómio característico de A
det (A - I) = 0 – equação característica de A
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Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
0 XIA Este sistema homogéneo tem que ser indeterminado pois queremos X0
então
det (A - I) = 0
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Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
0 XIA det (A - I) = 0
entãoOs valores próprios são as raízes do polinómio característico.
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41
12A
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10
01
41
12det)det( IA
41
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12det
10
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12A
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14241
12det
10
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41
12det)det(
IA
41
12A
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22 396
14241
12det
10
01
41
12det)det(
IA
41
12A
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23
41
12AOs valores próprios de
são as raízes de
3 é a única raiz deste polinómio:tem multiplicidade 2
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23
41
12AOs valores próprios de
são as raízes de
3 é a única raiz deste polinómio:tem multiplicidade 2
Diz-se que é valor próprio com multiplicidade algébrica 2
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Como encontrar o vector próprio associado?
030
03
41
12
0)3(
X
XIA
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Como encontrar o vector próprio associado?
030
03
41
12
0)3(
X
XIA
011
11
X
b
aX Deve ser tal que – a + b = 0
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O conjunto de todos os vectores
próprios associados ao mesmo valor
próprio é um subespaço vectorial que
se designa por subespaço próprio
associado a e se representa por E
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No exemplo:
41
12Tem um valor próprio = 3
Os valores próprios associados
têm que ser da forma
com
– a + b =
0
b
aX
1,1
:,
:, 23
aaa
babaE
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No exemplo:
1,13 E
1dim 3 E
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Definição:
Chama-semultiplicidade geométrica
de um valor próprio à dimensão do subespaço próprio associado
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Teorema:
A multiplicidade algébrica
de um valor próprio é maior ou igual à sua
multiplicidade geométrica
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677
787
776
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677
787
776
677
787
776
det
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677
787
776
677
011
776
det
677
787
776
det
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677
787
776
607
001
716
det
677
011
776
det
677
787
776
det
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677
787
776
67
01det11
607
001
716
det
677
011
776
det
677
787
776
det
21
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677
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6111
67
01det11
607
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det
677
011
776
det
677
787
776
det
21
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677
787
776
616111
67
01det11
607
001
716
det
677
011
776
det
677
787
776
det
2
21
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677
787
776
A 61 2
= 6 é valor próprio de A com
multiplicidade algébrica 1
= -1 é valor próprio de A com
multiplicidade algébrica 2
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Determinação dos subespaços próprios:
677
787
776
A 1
00
777
777
777
321
3
2
1
xxx
x
x
x
XIA
1,0,1,0,1,1
,:,,
:,,
0:,,
323232
3213
321
3213
3211
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxxE
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Determinação dos subespaços próprios:
677
787
776
A 6
3231
3
2
1
3
2
1
0
000
110
101
0
077
7147
770
xxxx
x
x
x
x
x
x
XIA
1,1,1
:,, 32313
3216
xxxxxxxE
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677
787
776
A
1,1,16 E 1,0,1,0,1,11 E
1,1,1,1,0,1,0,1,1
É uma base de 3
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)1,1,1()1,0,1()0,1,1(,, cbazyx
zyxc
yxb
zyxa
zcb
yca
xcba 2
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Valores próprios e invertibilidade:
• Seja A uma matriz que tem o valor próprio = 0 então:det(A – 0 I) = 0 det(A) = 0Conclusão: a matriz não é invertível.
![Page 38: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062315/56815036550346895dbe31bf/html5/thumbnails/38.jpg)
Valores próprios e invertibilidade:
• Seja A uma matriz que tem o valor próprio = 0 então:det(A – 0 I) = 0 det(A) = 0Conclusão: a matriz não é invertível.
TEOREMA: Uma matriz é invertível se e só se não tem o valor próprio 0.
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Diagonalização de matrizes
Definição: Uma matriz A diz-se semelhante a uma matriz B se existir uma matriz invertível P tal que B = P-1 A P. Se A é semelhante a B então B é semelhante a A. PBP-1 = PP-1 A PP-1 PBP-1 = A
Definição: Uma matriz A diz-se diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal, isto é se houver uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que: D = P-1 A P
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Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
![Page 41: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062315/56815036550346895dbe31bf/html5/thumbnails/41.jpg)
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I)
![Page 42: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062315/56815036550346895dbe31bf/html5/thumbnails/42.jpg)
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 P ) =
![Page 43: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062315/56815036550346895dbe31bf/html5/thumbnails/43.jpg)
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 I P ) = det(P-1 (A - I ) P ) =
![Page 44: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062315/56815036550346895dbe31bf/html5/thumbnails/44.jpg)
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) =det(P-1) det (A - I) det(P)
![Page 45: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062315/56815036550346895dbe31bf/html5/thumbnails/45.jpg)
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) =det(P-1) det (A - I) det(P) =det(P-1) det(P) det (A - I)
![Page 46: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062315/56815036550346895dbe31bf/html5/thumbnails/46.jpg)
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) =det(P-1) det (A - I) det(P) =det(P-1) det(P) det (A - I) =det (A - I)
![Page 47: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062315/56815036550346895dbe31bf/html5/thumbnails/47.jpg)
Teorema: A matriz A-1 tem os valores próprios inversos dos valores próprios de A
Seja valor próprio de A. Então:A X = X A-1 A X = A-1 X X = A-1 X Se A é invertível todos os valores próprios são diferentes de 0 X = A-1 X
XXAouXAX11 11
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Valores próprios de uma matriz diagonal:
Os valores próprios de uma matriz diagonal são os elementos da diagonal.EXEMPLO:
300
010
002
)3)(1)(2(
300
010
002
det
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Teorema: Uma matriz quadrada de ordem n é semelhante a uma matriz diagonal se e só se existir uma matriz invertível P cujas colunas são vectores próprios da matriz
D = P-1 A P PD = APAP = [ AP1 AP2 . . . APn]
AP1 = 1P1 AP2 = 2P2 . . . APn = nPn
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Teorema: Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, existe uma matriz invertível cujas colunas são vectores próprios de A se e só se a soma das multiplicidades algébricas dos valores próprios de A é n e as multiplicidades algébricas e geométricas coincidem.
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787
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A
110
101
111
P
111
011
1211P
110
101
111
677
787
776
111
011
1211APP
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677
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P
111
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110
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787
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111
011
1211APP
610
601
611
111
011
1211APP
![Page 53: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062315/56815036550346895dbe31bf/html5/thumbnails/53.jpg)
677
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776
A
110
101
111
P
111
011
1211P
110
101
111
677
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011
1211APP
610
601
611
111
011
1211APP
600
010
0011APP
![Page 54: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062315/56815036550346895dbe31bf/html5/thumbnails/54.jpg)
Uma aplicação:Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
32 vezes
![Page 55: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.fdocumentos.com/reader035/viewer/2022062315/56815036550346895dbe31bf/html5/thumbnails/55.jpg)
Uma aplicação:Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
A32 = (P-1 D P) 32 =
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Uma aplicação:Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P =
32 vezes
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Uma aplicação:Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P = P-1 D (P P-1 )D P . . . P-1 D (P P-1 )D P =
32 vezes
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Uma aplicação:Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P =P-1 D (P P-1 )D P . . . P-1 D (P P-1 )D P =P-1 D I D P . . . P-1 D I D P =
32 vezes
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Uma aplicação:Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P =P-1 D (P P-1 )D P . . . P-1 D (P P-1 )D P =
P-1 D I D P . . . P-1 D I D P = P-1 D32 P
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