Álgebra Linear (Parte 1) (C. T. Chen, Capítulo 3) Sistemas Lineares.
Transcript of Álgebra Linear (Parte 1) (C. T. Chen, Capítulo 3) Sistemas Lineares.
Álgebra Linear(Parte 1)
(C. T. Chen, Capítulo 3)
Sistemas Lineares
IntroduçãoSejam as matrizes reais Anxm, Bmxr , Clxn , Drxp. Seja ai
a i-ésima coluna de A e bj a j-ésima linha de B. Então
- aibi é uma matriz nxr (ai é nx1 e bi é 1xr)- biai só existe se n=r. Neste caso, o resultado é um escalar.
Bases, representação e ortonormalização
Seja o espaço linear real de dimensão n (n-dimensional) Cada vetor em é uma n-upla, e é dado por
que normalmente escrevemos de forma transposta, por economia de espaço, como
,
A dimensão de um espaço linear pode ser definida como o número máximo de vetores linearmente independentes no mesmo. Logo, em podemos ter no máximo n vetores LI
Base e representação
Base ortonormal
Exemplo
-1 q1
2 q2
0.5 q2
2 i2
Normas de vetores
Norma 1
Norma 2, quadrática ou Euclidiana
Norma ∞
Ortonormalização
Um vetor é dito normalizado se sua norma Euclidiana é 1, ou seja,
Observe que é um escalar e é uma matriz nxn.
Ortonormalização
Dado um conjunto de vetores LI Pode-se obter um conjunto ortonormal através do seguinte procedimento:
meee 21
Ortonormalização de Schmidt
Equações algébricas lineares
Range space de A se traduz como espaço imagem ou espaço de colunas de A
Exemplo
Espaço imagem de A
Espaço nulo de A
Teorema da existência de soluções
Teorema da parametrização das soluções
Exemplo
Corolário
Determinante e inversa de matrizes quadradas
Transformação de similaridadeSeja uma matriz quadrada . Ela mapeia nele mesmo. Se associarmos a a base ortonormal em (3.8), então a -ésima coluna de é a representação de na base ortonormal. Agora, selecionando um conjunto diferente como base, a saber, , a matriz terá uma representação diferente, . Daí, a -ésima coluna de é a representação de na base . Isto é ilustrado pelo exemplo a seguir:
Exemplo 3.4
Continuação...
Caso geral
• Seja A uma matriz n por n