GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ESCALONAMENTO: MÉTODO DE ELIMINAÇÃO GAUSSIANA

Professor: GILCIMAR BERMOD RUEZZENE

EQUAÇÃO LINEAR

É uma equação da forma

a1x1 + a2x2 + ... anxn = b

na qual x1, x2, ..., xn são as variáveis; a1, a2, ..., an são os respectivos coeficientes das variáveis e b é o termo independente.

Os valores das variáveis que transformam uma equação linear em identidade, isto é, que satisfazem a equação, constituem sua solução. Esses valores são as raízes da equação linear.

Exemplo:

2x + y = 10

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

... ......

...

SISTEMA COMPATÍVEL

2x + 3y =183x + 4y =25

4x + 2y =100

8x + 4y =200

SISTEMA INCOMPATÍVEL

3x + 9y =123x + 9y =15

SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO

3x1 + 6x2 = 012x1 + 24x2 = 0

SISTEMAS EQUIVALENTES

3x + 6y = 42 x + 2y = 14e

OPERAÇÕES ELEMENTARES E SISTEMAS EQUIVALENTES

Um sistema de equações lineares se transforma num sistema equivalente quando se efetuam operações elementares sobre suas equações:

I)Permutação de duas equações.

II)Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero.

III)Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número real diferente de zero.

MATRIZ AMPLIADA DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

2x1 + 4x2 = 16

ESCALONAMENTO: MÉTODO DE ELIMINAÇÃO GAUSSIANAO método de Gauss para resolução de sistemas é um dos mais adotados quando se faz uso do computador, devido ao menor número de operações que envolve.

Método

O método consiste na aplicação sucessiva de propriedades básicas

de álgebra linear.

1) Combinações lineares: adição de uma linha com um múltiplo de outra linha, para substituir uma das linhas consideradas.

2) Troca de linhas

3) Multiplicação de uma linha por uma constante

EXEMPLO 1

Encontrar os valores das incógnitas u, v e w aplicando-se a eliminação de Gauss.

2u + v + w = 5

4u – 6v = –2

–2u + 7v + 2w = 9

EXEMPLO 2

Encontrar os valores das incógnitas x, y e w aplicando-se a eliminação de Gauss.

2x + y + w = 3

x + y – w = 4

x – y + w = –2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

REFERÊNCIAS

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Introdução à álgebra linear. São Paulo: Makron Books, 1990.

BOLDRINI, José Luiz [et al]. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.

STRANG, Gilbert. Álgebra linear e suas aplicações. Tradução All tasks. São Paulo: Cengage Learning, 2009.