UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOCENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA

JULIO PANSIERE ZAVARISE 2014102032

IMPLEMENTAÇÃO EM OCTAVE DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

São Mateus2016

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JULIO PANSIERE ZAVARISE 2014102032

IMPLEMENTAÇÃO EM OCTAVE DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

SÃO MATEUS2016

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Trabalho apresentado à disciplina de Algoritmos Numéricos como requisito parcial avaliativo na Centro Universitário do Norte do Espírito Santo-Universidade Federal do Espírito Santo.Orientador: Profª Isaac Pinheiro dos Santos

SUMÁRIO

RESUMO............................................................................................................... 1.OBJETIVOS........................................................................................................2.INTRODUÇÃO....................................................................................................3.METODOLOGIA................................................................................................. 4.RESULTADOS E DISCUSSÃO ....................................................................... CONCLUSÃO .....................................................................................................REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................

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RESUMO

O algoritmo apresentado foi implementado de forma computacional utilizando-

se o software GNU OCTAVE versão 4.0.3 com o intuito de resolver três

problemas de ajuste de curvas e análise dos desvio pelo método dos mínimos

quadrados. No problema 1 , foi solicitado que o processo de minização do

desvio D pelo metodo dos mínimos quadrados. No problema 2 ,o algoritmo

construído foi implementado de forma que o usuário pudesse inserir como

entrada n pares ordenados (x,y) e o grau m do polinômio desejado . Já no

problema 3 , pede-se o ajuste de um polinômio de grau 4 a um conjunto de

dados e a ainda , que seja apresentado um gráfico deste polinômio . Verificou-

se que o algoritmo construído no problema 2 pode ser empregado na resolução

do problema e por isso adicinou-se no programa uma função para plotar o

gráfico do polinômio resultante da interpolação linear . Os resultados obtidos

foram bons pois apresentaram parâmetros adequados .

Palavras-Chave: Metódo dos Míninos Quadrados;Interpolação de dados; Octave; Interpolação Polinomial .

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1.OBJETIVOS :

Desenvolver um programa em Octave para ajustar curvas pelo método dos mínimos quadrados.

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2.INTRODUÇÃO :

O Método dos Mínimos Quadrados foi concebido no final do século

XVIII. Bem no início do século XIX, o mundo viu sua primeira aplicação no

estudo de trajetórias de corpos celestes. A ideia básica é: dado um conjunto de

pontos, achar uma curva que melhor se ajusta a eles. Legendre foi o primeiro a

publicar o méetodo em 1805, em seu trabalho: “Nouvelles méthodes pour la

détermination des orbites des comètes”. Gauss publicou suas conclusões

apenas em 1809, embora acredita-se que ele já conhecia o Método desde

1795. Esse método vem sendo ampliado, generalizado e largamente utilizado

até hoje.

De acordo com CAMPOS ,2007 , o Método dos Mínimos Quadrados

consiste justamente em encontrar uma estimativa da reta u=β0+β1 x de modo a

produzir o menor a produzir o menor valor possível do desvio .

D (β0 , β1 )=∑i=1

n

( yi−ui ) ²= ∑i=1

n

( yi−β0−β1 xi) ² (Eq.1)

Cujas derivadas parciais são :

dD (β0 , β1 )d β0

=−2∑i=1

n

( yi−β0−β1 xi) e

dD (β0 , β1 )d β1

=−2∑i=1

n

( yi−β0−β1 xi)xi.

Os valores para os quais as funções D (β0 , β1 ) possui um mínimo são

aqueles onde as derivadas parciais se anulam, isto é , se D (b0 , b1 ) for o ponto

de mínimo de D (β0 , β1 ), então :

−2∑i=1

n

( yi−β0−β1 xi )=0→∑i=1

n

bo+∑i=1

n

b1xi=∑i=1

n

yie

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−2∑i=1

n

( yi−β0−β1 xi )xi=0→∑i=1

n

boxi+∑i=1

n

bixi2=∑i=1

n

xiyi.

Simplificando a notação ,pode-se escrever que ∑i=1

n

¿∑ :

[ n ∑i=1

n

xi

∑i=1

n

xi ∑i=1

n

xi ²][ bob1]=[ ∑i=1n

yi

∑i=1

n

xiyi]Cuja solução é :

b1=∑i=1

n

xi∑i=1

n

yi−n∑i=1

n

xiyi

(∑i=1

n

xi)2

−n∑i=1

n

xi ² e

bo=∑i=1

n

yi−b1∑i=1

n

xi

n

Para aferir a qualidade do ajuste pode-se utilizar alguns parâmetros

como o coeficiente de determinação r² , definido como a proporção da variação

total dos dados em torno da média y que é explicada pelo modelo de

regressão, satisfazendo 0≤ r ²≤1:

r ²=1− D(bo ,b1)

∑i=1

n

y i2−1n

¿¿¿ (Eq. 2)

Outro parâmetro importante que pode ser usado para aferir a qualidade

do ajuste é variância residual :

σ 2=D (b0 , b1)n−p

(Eq.3)

Em que:

n é o número de pontos ;

p é o número de parâmetros estimados .

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Um caso particular e importante da regressão linear múltipla , é quando

se relaciona a variável resposta y com uma variável explicativa x ,segundo o

modelo :

y=β0+β1 x+β2 x2+…+β gxg+e (Eq. 5)

Esse modelo é denominado regressão polinomial e escrevendo as

equações normais obtidas pelo método dos mínimos quadrados calculando-se

as derivadas parciais e igualando-as a zero a fim de encontrar o ponto mínimo

da função D(β0 , β1 , β2 ,…, βg) na forma matricial , tem-se que :

[n ∑ xi ∑ xi ² ⋯ ∑ xi g

∑ xi ∑ xi ² ∑ xi ³ ⋯ ∑ xig+ 1

∑ xi² ∑ xi ³ ∑ xi4 ⋯ ∑ xig+ 2

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

∑ xig ∑ xig+1 ∑ xig+2 ⋯ ∑ xi2 g ] [b0b1b2⋮bg

]=[ ∑ yi∑ xi yi∑ xi ² yi

⋮

∑ xig yi]

Um algoritmo capaz de executar o Método dos Mínimos Quadrados é

apresentado abaixo. Inicialmente, tem-se os dados de entrada e saída :

Figura 1- Fluxograma representando a entrada de dados no algoritmo e a

saída

O objetivo do algoritmo, simbolizado por → , é minimizar a soma dos

quadrados[ f (x 1)−g1] ²+ ·· ·+¿¿ ², em que f é definida por

f (x)=a1 f 1(x)+· ··+amfm(x ). Deseja-se resolver o sistema linear FA=B. A

matriz dos coeficientesF tem o elemento da linha i e coluna j definido por:

A matriz dos termos independentes é dada por:

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Para definirmos B, tomemos uma funcão g, tal que

g(xk )=gk , ∀ k∈{1,2 , ...n }. De acordo com ,

Na prática, em alguns casos, a funcão g é totalmente dispensável, isto é,

basta considerarmos a última soma na definição de . Finalmente, a matriz das

incógnitas é dada por:

O algoritmo pode ser sintetizado na figura 2 :

Figura 2- Algoritmo a ser construído para executar o método dos mínimos quadrados

para realizar a interpolação de dados

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3.METODOLOGIA :

No problema 1 , descreveu-se o processo de minização do desvio D ,

dado pela equação ---- , mostrando-se que o mesmo resulta em um sistema do

tipo Ax=b .

No problema 2 , utilizou-se o software GNU OCTAVE, versão 4.0.3, para

construir o algoritmo a ser empregado na resolução do problema 3. Num

primeiro momento o algoritmo foi construído para que o usuário pudesse inserir

um número natural n, que vem a ser o número de pares ordenados (x;y) e em

seguida o grau m , do polinômio interpolador empregado , porém tendo em

vista que seria vantajoso analisar graficamente qual é a relação entre o

polinômio construído e os dados inseridos inseriu-se no algoritmo a função que

permite a plotagem do gráfico que correlaciona os pares (x;y) e polinômio

interpolador.

No problema 3 , o polinômio interpolador construído possui grau 4 e os

pares ordenados inseridos foram obtidos da tabela 1 , disposta abaixo :

Tabela 1- Dados deformação-tensão para a borracha

Deformação ϵ (MPa) Tensão σ (MPa)

0.0 0.0

0.4 3.0

0.8 4.5

1.2 5.8

1.6 5.9

10

2.0 5.8

2.4 6.2

2.8 7.4

3.2 9.6

3.6 15.6

4.0 20.7

4.4 26.7

4.8 31.1

5.2 35.6

5.6 39.3

6.0 41.5

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO:

Problema 2 : O Algoritmo criado segue abaixo :

Linha 1: clear

Linha 2: clc

Linha 3: format short

Linha 4: Linha 5: printf("\n\n Digite numero de pontos\n\n");

Linha 7: n = input("n:\n");

Linha 8: nAqui tem-se o comando para inserir o número de pontos a serem

interpolados .

Linha 9: printf("\n\n Digite o grau do polinomio\n\n");

Linha 10: m= input("m:\n");

Linha 11: mLinha 12: for i=1:n

Aqui tem-se o comando para inserir o grau do polinômio interpolador.

Linha 13: printf("Digite x(%d)\n\n", i);

Linha 14: x(i)= input("x:\n");

Linha 15: x(i)

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Linha 16: printf("Digite y(%d)\n\n", i);

Linha 17: y(i)= input("y:\n");

Linha 18: y(i)

Linha 19: endfor

Linha 20: %Preenchendo a matriz dos coeficientes, temos

Linha 21: a(1,1)=n;

Linha 22: for i1=1:m+1

Linha 23: for j=1:m+1

Linha 24: a(i1,j)=sum(x.^(j+i1-2));

Linha 25: endfor

Linha 26: endfor

Aqui tem-se um laço de iteração dentro de outro laço para preecher a

matriz dos coeficientes

Linha 27: %Preenchendo o vetor dos termos independentes, temos

Linha 28: for i1=1:m+1

Linha 29: c(i1)=sum(y.*x.^(i1-1));

Linha 30: endfor

Linha 32: aLinha 33: cLinha 34: c=c';

Linha 35: b=a\c; %faz as equacões normais e calcula a solucão do sistema

Linha 36: b = b(end:-1:1) %coeficientes do polinômio interpolador u(x)

Linha 37: x1=(-10:1:10); %Intervalo onde os gráficos serão plotados

Linha38: d=polyval(b,x1); % calcula a imagem dos pontos pela funcão

aproximada

O intervalo em que os gráficos serão plotados é arbitrário e depende dos

valores que serão ajustados pelo polinômio interpolador. Sendo assim , como o

maior valor em x é 6.0 e o menor valor 0.0 adotou-se 10 como o limite superior

e -10 como o limite inferior para plotar os dados .

Linha 39: Linha 40: %Plotagem do gráfico

Linha 41: hold on;

Linha 42: plot(x1,d,x, y, 'b.');

Linha 43: title('Ajuste de minimos quadrados')

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Linha 44: xlabel('x');

Linha 45: ylabel('u(x)');

Linha 46: grid on;

Comando empregado para plotar o gráfico correlacionando os pares

ordenados (x;y) e o polinômio interpolador .

Problema 3 : Com os dados da tabela 2 , obteve-se o seguinte vetor , que representa

os coeficientes ---- do polinômio interpolador obtido de acordo com as

condições especificadas :

b=[ −0.264393.11855

−10.1926712.87798−0.27461

](i) O polinômio obtido será da forma

U ( x )=b0 x0+b1x1+b2 x2+b3 x3+b4 x4 , em que :

b 4=−0.26439 , b3=3.11855 , b2=−10.19267 , b1=12.87798 eb0=−0.27461 .

Logo , tem-se que :

U ( x )=−0.27461 x0+12.87798 x1−10.19267 x2+3.11855 x3−0.26439 x4

(ii) O gráfico plotado pelo software encontra-se disposto abaixo na

figura ---:

Figura -- - Gráfico tensão-deformação

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