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Lista de Exercícios #9 Assunto: Análise de Regressão – Método de Mínimos Quadrados

1

01. ANPEC 2018 – Questão 4

Considere o seguinte modelo de regressão linear simples:

(1) 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥 + 𝑢

Para uma amostra com 30 observações, foram verificados os seguintes resultados:

∑ 𝑥𝑖30𝑖=1 = 30, ∑ 𝑦𝑖 = 120, ∑ 𝑥𝑖

2 = 6030𝑖=1 , ∑ 𝑦𝑖

2 = 40030𝑖=1

30𝑖=1 𝑒 ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 18030

𝑖=1 .

Com base nesses resultados, obtenha o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para 𝛽1 na

equação (1).


Considere o seguinte modelo amostral: 𝑦𝑖 = ��0 + ��1𝑥1𝑖 + 2𝑥2𝑖 + ��𝑖, em que 𝑢𝑖 é o termo aleatório e

𝐸(𝑢𝑖|𝑋1, 𝑋2) = 0. Sabe-se que 𝑐𝑜𝑣(𝑥1𝑖, 𝑥2𝑖) = 40, 𝑐𝑜𝑣(𝑦𝑖 , 𝑥1𝑖) = 60 e que 𝑣𝑎𝑟(𝑥1𝑖) = 20. Ainda

𝑐𝑜𝑣(𝑦𝑖 , 𝑥2𝑖) = 50 e 𝑣𝑎𝑟(𝑥2𝑖) = 165. Qual é o valor de ��1? Multiplique o resultado por 10 e marque a parte

inteira.


Considere a estimativa da função linear 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 + 𝛽2𝑥2 + 𝑢, cujos parâmetros tenham sido estimados

pelo Método dos Mínimos Quadrados Ordinários. Julgue as afirmativas:

(0) Se 𝐸(𝑢|𝑥1) = 0 e 𝐸(𝑢|𝑥1) ≠ 0, então os estimadores não são viesados.

(1) Se o 𝑅2 = 0, então y é uma combinação linear de 𝑥1 e 𝑥2.

(2) Suponha que 𝑥2 seja relevante e correlacionada com 𝑥1. Se omitirmos 𝑥2 da regressão, considerando que

𝐸(𝑢|𝑥1) = 0, os estimadores de 𝛽0 e 𝛽1 não serão viesados.

(3) O R² ajustado aumenta ao se incluir uma variável adicional irrelevante.

(4) Se 𝑉(𝑢|𝑥1, 𝑥2) = 𝜃0, então serão tendenciosos os estimadores de mínimos quadrados da variância de ��0,

��1 e ��2.


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Considere o seguinte modelo de regressão linear múltipla:

(1) 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝑢𝑖

Defina ��0, ��1 e ��2 como os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para 𝛽0, 𝛽1 𝑒 𝛽2,

respectivamente. Supondo que a equação acima tenha sido estimada pelo método de MQO usando uma

amostra com n observações, julgue as afirmativas:

(0) ∑ (𝑦𝑖 − ��0 − ��1𝑥1𝑖 − ��1𝑥2𝑖𝑛𝑖=1 ) = 0.

(1) Se 𝑧𝑖 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥1𝑖 + 𝑎2𝑥2𝑖, em que 𝑎0, 𝑎1 e 𝑎2 são constantes, então: ∑ 𝑧𝑖(𝑦𝑖 − ��0 − ��1𝑥1𝑖 −𝑛𝑖=1

��1𝑥2𝑖) = 0.

(2) Se ∑ 𝑥2𝑖𝑛𝑖=1 > ∑ 𝑥1𝑖

𝑛𝑖=1 , então: ∑ 𝑥2𝑖(𝑦𝑖 − ��0 − ��1𝑥1𝑖 − ��1𝑥2𝑖

𝑛𝑖=1 ) > ∑ 𝑥1𝑖(𝑦𝑖 − ��0 − ��1𝑥1𝑖 − ��1𝑥2𝑖

𝑛𝑖=1 ).

(3) �� = ��0 + ��1��1 + ��1��2

(4) Sendo ��𝑖 = 𝑦𝑖 − ��0 − ��1𝑥1𝑖 − ��1𝑥2𝑖, temos: ∑ ��𝑖 = ∑ (𝑦𝑖 − ��) − ��1 ∑ (𝑥1𝑖 −𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1

��1) − ��2 ∑ (𝑥2𝑖 − ��2)𝑛𝑖=1 .

05. ANPEC 2017 - Questão 5

Considere o modelo de regressão linear:

𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1𝑖 + 𝛽2𝑥2𝑖 + 𝑢𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛, 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝐸(𝑢𝑖|𝑥1𝑖, 𝑥2𝑖) = 0

Com base nesse modelo, é correto afirmar:

(0) A hipótese 𝐸(𝑢𝑖|𝑥1𝑖, 𝑥2𝑖) = 0 não é necessária para que o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários

(MQO) de 𝛽1 seja consistente.

(1) Se 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖|𝑥1𝑖, 𝑥2𝑖) = 𝜎2, o estimador de MQO de 𝛽1 tem distribuição normal.

(2) Se 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖|𝑥1𝑖, 𝑥2𝑖) = 𝑥1𝑖𝜎2, o estimador de MQO de 𝛽1 é tendencioso.

(3) Se a correlação entre 𝑥1𝑖 e 𝑥2𝑖 é igual a 0,95, o estimador de MQO de 𝛽1 não é eficiente.

(4) Suponha que os parâmetros do modelo tenham sido estimados por MQO. Se 𝑉𝑎𝑟(𝑢𝑖|𝑥1𝑖, 𝑥2𝑖) = 𝑥1𝑖𝜎2, a

estatística t não é válida para testar a significância dos parâmetros do modelo.


3


Considere o modelo de regressão linear simples:

𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥 + 𝑢

Para uma amostra de 10 observações são encontrados os seguintes resultados:

�� ∑ 𝑥𝑖 = 10

10

𝑖=1

, �� ∑ 𝑦𝑖 = 400

10

𝑖=1

, ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 = 500

10

𝑖=1

, 𝑒 ∑ 𝑥𝑖2 = 15

10

𝑖=1

Sendo 𝛽1 o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários de 𝛽1, calcule o valor da estimativa de 𝛽1 usando os

resultados da amostra.


Um economista deseja avaliar o consumo de carne bovina em 2 estados brasileiros: Rio Grande do Sul (RS) e

Rio Grande do Norte (RN). Para tanto, ele seleciona uma amostra de 50.000 unidades de consumo, 35.000

localizadas no Rio Grande do Sul (primeira sub-amostra) e 15.000 no Rio Grande do Norte (segunda sub-

amostra). Inicialmente, o economista preferiu trabalhar com as sub-amostras em separado.

Para as duas sub-amostras ele estima a Curva de Engel para o consumo de carne bovina pelo método de

Mínimos Quadrados Ordinários. Os resultados das regressões estão abaixo, em que os erros-padrão estão

entre parênteses: [Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal

padrão, então P(|Z|>1,645)=0,10 e P(|Z|>1,96)=0,05]

ln(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜) = 0,30 + 1,15 𝑙𝑛(𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎) − RS (1)

(0,25) (0,04)

R² = 0,45 e n=35.000

ln(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜) = 0,80 + 0,67 𝑙𝑛(𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎) − RN (2)

(0,65) (0,07)

R² = 0,38 e n=15.000


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em que ln(consumo) é o logaritmo natural do consumo de carne bovina, em quilogramas, e ln(renda) é o

logaritmo natural da renda total do domicílio, em milhares de reais. Todas as suposições usuais acerca do

modelo de regressão linear clássico são satisfeitas.

Com base nos resultados acima, e supondo que a amostra é suficientemente grande para que aproximações

assintóticas sejam válidas, é correto afirmar que:

(0) Na equação (1), mantendo os preços constantes, com um aumento de 1% na renda das unidades de

consumo, o consumo de carne bovina terá um aumento esperado de 1,15%;

(1) De acordo com os resultados das regressões, para um nível de renda igual a R$ 1,00, o consumo de carne

no Rio Grande do Sul será maior do que no Rio Grande do Norte, mantendo todas as demais condições

constantes;

(2) É possível afirmar, ao nível de significância de 10%, que no Rio Grande do Norte a carne bovina depende

exclusivamente do nível de renda, portanto, não é um bem de primeira necessidade;

(3) É possível afirmar, com 1% de significância, que a demanda de carne bovina no estado do Rio Grande do

Sul é superior a do Rio Grande do Norte em 67%, para um nível de renda média igual R$ 1.000,00;

(4) O economista decidiu trabalhar apenas com a amostra completa, agregando as informações dos dois

estados e indicando a localização da unidade de consumo por meio de uma variável dummy, nos parâmetros

em que 1 indica o estado do Rio Grande do Sul. Dado um aumento de 1% na renda a diferença média de

consumo de carne bovina entre as unidades localizadas no Rio Grande do Sul e no Rio Grande do Norte será a

diferença entre os dois parâmetros da ln(renda) das equações (1) e (2).


Foram obtidos os seguintes resultados via análise de regressão linear:

��𝑡 = 10,2 − 125,4 𝑋𝑖𝑡 com R² =0,50

(5,45) (-9,06)

Na pressa, o pesquisador se esqueceu de incluir a estatística F nos resultados. Este pesquisador precisa

verificar se a regressão é significante. Ajude-o, calculando o valor da estatística F do teste a ser empregado.

Marque somente a parte inteira.


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Considere as seguintes afirmativas sobre os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários em um modelo de

regressão múltipla:

(0) A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores viesados;

(1) Se a hipótese de homoscedasticidade for violada, os estimadores de MQO serão viesados;

(2) Assuma que todas as suposições de Gauss Markov foram satisfeitas, então os estimadores de MQO serão

os melhores estimadores na classe dos lineares;

(3) Se o valor esperado dos erros estimados do modelo for diferente de zero, então os estimadores de todos os

parâmetros, inclusive o intercepto, não serão viesados;

(4) As estimativas de modelos cross-section com a presença de correlação serial geram estimadores viesados.


Considere o modelo de regressão abaixo:

𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖 + 𝑢𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 em que 𝐸[ 𝑢𝑖|𝑥𝑖] = 0 𝑒 𝑉𝑎𝑟[ 𝑢𝑖|𝑥𝑖] = 𝜎2

Considere os seguintes estimadores de β1:

��1 =∑ (𝑥𝑖 − ��)(𝑦𝑖)𝑛

𝑖=1

∑ (𝑥𝑖 − ��)𝑥𝑖𝑛𝑖=1

e ��1 = ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑛𝑖=1

∑ 𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1

, em que �� = 𝑛−1 ∑ 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

É correto afirmar que:

(0) ��1 é um estimador não tendencioso de 𝛽1;

(1) Se 𝛽0 = 0, ��1 é um estimador consistente de 𝛽1;

(2) Se 𝛽0 = 0, ��1 não é um estimador consistente de 𝛽1;

(3) ��1 é um estimador não tendencioso de 𝛽1;

(4) Se 𝛽0 > 0, 𝐸[��1] > 𝐸[��1].


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Julgue as seguintes afirmativas:

(0) Colinearidade quase perfeita na matriz de variáveis explicativas causa um viés no estimador de Mínimos

Quadrados Ordinários;

(1) Colinearidade quase perfeita na matriz de variáveis explicativas causa um viés no estimador da variância

do estimador de Mínimos Quadrados Ordinários;

(2) Colinearidade quase perfeita na matriz de variáveis explicativas gera uma perda da propriedade de

eficiência do estimador de Mínimos Quadrados Ordinários;

(3) Colinearidade quase perfeita faz com que o erro-padrão de algumas estimativas dos coeficientes de

Mínimos Quadrados Ordinários seja grande;

(4) Colinearidade quase perfeita faz com que o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários deixe de ser

linear.


O governo gostaria de estimar o efeito do Programa Saúde da Família sobre a taxa de internação por difteria

das crianças entre 0 e 4 anos de idade. Para isso, ele gostaria de estimar o seguinte modelo de regressão:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖 + 𝜀𝑖,

no qual 𝑌𝑖 é a taxa de internação do município i, 𝑋𝑖 é uma variável binária que é igual a 1, se o município i

participa do programa, e 0, caso contrário. Usando os dados para o Brasil em 2013, temos os seguintes

resultados: ��1 = 85, ��0 = 65. Neste caso, ��1 é a média da taxa de internação para os municípios que

participaram do Programa e ��0 é a média da taxa de internação para os municípios que não participaram do

Programa. Além disso, 70% dos municípios brasileiros participam do Programa Saúde da Família. Você

estima o modelo acima por Mínimos Quadrados Ordinários. Qual o valor obtido para o coeficiente associado

a 𝑋𝑖?


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Neste exemplo, queremos prever o peso do indivíduo i usando somente sua altura,

iii XY 10,

no qual Y é o peso do indivíduo e X a altura. Assumimos que Niii XY

1,

é uma amostra aleatória,

0][ ii XE , 0][ iXVar , ][ 4

iXE , ][0 4

iuE e 2

][ ii XVar . Após coletar a informação de

peso e altura de 100 indivíduos, obtemos a seguinte tabela:

N

i

iY1

N

i

iX1

2

1

N

i

i YY 2

1

N

i

i XX XXYY i

N

i

i 1

18 8 95 1200 4800

Estimando o modelo por Mínimos Quadrados Ordinários, calcule o valor da estimativa obtida para 1 .

Multiplique o resultado por 10.


Usando dados de uma amostra aleatória da população com 80.000 indivíduos, é estimada uma

regressão pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários. Os resultados dessa regressão são

mostrados abaixo, em que os erros-padrão são mostrados entre parênteses:

[Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão,

então P(|Z|>1,645)=0,10 e P(|Z|>1,96)=0,05]

ln(salário) = 0,30+ 0,10 escol + 0,03 idade - 0,15 mulher – 0,05(mulher x escol)

(0,10) (0,04) (0,01) (0,03) (0,05)

R2 = 0,45 e n=80.000,

em que

escol representa o número de anos de estudo, idade é a idade do indivíduo em anos e mulher é

uma variável dummy igual a 1 se o trabalhador for do sexo feminino e igual a 0 se for do sexo

masculino. Todas as suposições usuais acerca do modelo de regressão linear clássico são

satisfeitas.

Com base nos resultados acima, e supondo que a amostra é suficientemente grande para que

aproximações assintóticas sejam válidas, é correto afirmar que:


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(0) É possível rejeitar, ao nível de significância de 10%, a hipótese nula de que o coeficiente

associado a variável escol é igual a zero. A hipótese alternativa é a de que o coeficiente

associado a variável escol é diferente de zero;

(1) A média dos salários dos homens é maior do que a média dos salários das mulheres;

(2) Cada ano adicional de escolaridade deve elevar os salários em 10%;

(3) O coeficiente de interação (mulher x escol) é significante (hipótese alternativa de que é diferente

de zero) ao nível de 10%;

(4) É possível rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula de que o coeficiente

associado a variável idade é igual a zero. A hipótese alternativa é que o coeficiente associado a

variável idade é maior do que zero.


Suponha que queremos estimar como a renda de um indivíduo varia ao longo do ciclo de vida.

Queremos testar a teoria de que a renda do indivíduo cresce a partir do momento que ele entra no

mercado de trabalho até uma idade média, e depois começa a decrescer até o final do ciclo de vida.

Usando dados de uma pesquisa anual para 14.368 trabalhadores, estimamos o seguinte modelo:

iiiiii XXXXY 2

143322110 ,

em que

iY é o logaritmo da renda mensal do indivíduo i, iX1 é a idade do indivíduo i,

iX 2 é uma

variável binária que é igual 1 se o indivíduo é homem e iX3 representa o número de anos de

estudo do indivíduo i.

Estimando o modelo por Mínimos Quadrados Ordinários, obtemos o seguinte resultado, em que os valores em

parênteses abaixo dos coeficientes representam os erros-padrão: [Para a resolução desta questão talvez lhe

seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então P(|Z|>1,645)=0,10 e P(|Z|>1,96)=0,05]

2

1)0009,0(

3)08,0(

2)46,0(

1)08,0()67,1(

06,010,155,945,066,49ˆiiiii XXXXY .

(0) Se a teoria descrita acima é verdadeira, esperamos que o sinal de 1 seja positivo e o sinal de 4

negativo;


9

(1) Neste modelo, o intercepto do modelo para homens é 0 + 2 , e o do modelo para mulheres é somente

0 ;

(2) O resultado indica que, mantendo tudo mais constante, o aumento de 1 ano da idade do indivíduo

aumenta a sua renda em 45%;

(3) Temos evidência de que a equação de salários dos homens apresenta um intercepto diferente do modelo

para mulheres;

(4) Com os resultados do modelo, podemos afirmar que idade e educação têm um efeito conjunto

significativo no logaritmo do salário, isto é, temos evidência para rejeitar a hipótese nula

0,0: 320 H .


Um pesquisador tem dados de 50 países das seguintes variáveis: N, número médio de jornais comprados

durante um ano; Y, PIB per capita medido em dólares. Ele roda a seguinte regressão (desvios padrões entre

parênteses, RSS = soma dos quadrados dos resíduos, F = estatística F para a equação, R² = coeficiente de

determinação):

�� = 25,0 + 0,020𝑌 𝑅² = 0,06 𝑅𝑆𝑆 = 4000 𝐹 = 4,0 (10,0) (0,010)

Suponha que você rode a mesma regressão com Y medido em reais. Assuma, por simplicidade, que a taxa de

câmbio seja dois reais por dólar.


(0) A estimativa do coeficiente de Y permanecerá inalterada.

(1) A estimativa do intercepto permanecerá inalterada.

(2) RSS permanecerá inalterado.

(3) A estimativa do desvio padrão do coeficiente de Y permanecerá inalterada.

(4) R² permanecerá inalterado.


10


Usando uma base de dados que contém informação sobre 437 firmas, estimamos uma função de produção

Cobb-Douglas:

��𝑖 = 0,99 + 0,64𝐿𝑖 + 0,45𝐾𝑖, 𝑅2 = 0,91

(0,003) (0,035) (0,023)

em que

��𝑖 denota o produto (em logaritmo), 𝐿𝑖 representa o insumo trabalho (em logaritmo) e 𝐾𝑖 , o insumo

capital (em logaritmo).

Os números entre parênteses representam o erro-padrão associado a cada coeficiente.

Baseado no resultado acima, julgue as afirmativas:

(0) Considerando que o tamanho da amostra é grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam

válidas, é possível rejeitar a hipótese de que o retorno marginal do insumo capital, mantendo o insumo

trabalho constante, é igual a zero ao nível de significância de 5%. [Nesta questão, pode ser útil saber que a

5% de significância a estatística é t = 1,645].

(1) Mantendo o capital em dado nível, um aumento de 10 para 11 unidades de trabalho causa um aumento no

produto de 0,99 + 0,64 = 163.

(2) Com base nas informações acima, podemos testar a hipótese de retornos constantes de escala, isto é, a

hipótese nula de que 𝛽𝐿 + 𝛽𝑘 = 1.

(3) Com base nos dados acima, construímos um intervalo de 95% de confiança para 𝛽𝑘, [0,41, 0,495].

Supondo que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam

válidas, com base neste intervalo, podemos rejeitar a hipótese nula de 𝛽𝑘 =2

3 ao nível de significância de

5%.

(4) Suponha que estimamos uma nova função de produção que relaciona o produto com capital, trabalho e

uma medida das condições climáticas enfrentadas por cada firma. Podemos afirmar que R² deste modelo será

maior que 0,91.


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Usando uma base de dados que têm informação de 65.535 trabalhadores, queremos verificar se existe

desigualdade salarial entre os setores da economia. Consideremos que a economia está dividida em 4 setores:

indústria, comércio, serviços e construção. Cada um dos trabalhadores está em um dos quatro setores e eles

são mutuamente exclusivos. Seja Yi o salário mensal do trabalhador i e definimos para cada setor uma variável

binária que é igual a 1 se o trabalhador está em determinado setor e 0 caso contrário. Estimando um modelo

linear de regressão, obtemos o seguinte resultado:

𝑌�� = 4,0 + 0,12educi + 0,03idadei + 0,40homemi -0,05DIi - 0,15DCi – 0,25Dconsi

(0,02) (0,008) (0,0001) (0,0005) (0,001) (0,003) (0,005)

R2 = 0,83

em que

educ representa o número de anos de estudos de cada trabalhador, idade é medida em anos, homem é

uma variável binária que assume valor igual a 1 se i é homem e 0 caso contrário, DI representa a

dummy para indústria, DC para o comércio e DCons para o setor de construção. Entre parênteses

encontra-se o erro padrão.

Baseado nas informações acima julgue as seguintes afirmativas:

[Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então

Pr(|Z|>1,645) = 0,10 e Pr(|Z|>1,96) = 0,05.]

(0) Com base nos resultados acima, é possível rejeitar ao nível de 5% de significância a hipótese nula de que o

salário do setor da indústria é igual ao salário do setor de serviços para trabalhadores com o mesmo nível

educacional, a mesma idade e do mesmo sexo. A hipótese alternativa é que os salários nestes setores sejam

diferentes.


salário no setor de construção é igual ao salário no setor de comércio, mantendo educação, idade e sexo

fixos. A hipótese alternativa é que os salários nestes setores sejam diferentes.


salário nos 4 setores da economia são iguais, mantendo constante educação, idade e sexo.

(3) Os resultados do modelo acima permitem testar a hipótese de que o retorno salarial entre homem e mulher

é diferente para cada nível educacional, ao nível de 5% de significância.

(4) Com base nos resultados acima, podemos testar a hipótese de que o intercepto do modelo linear de salário

em função da educação, idade e setor para homem é diferente do intercepto do mesmo modelo linear de

salário para mulher.


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Suponha que um pesquisador esteja interessado em investigar os determinantes da delinquência juvenil e

tenha acesso aos seguintes dados provenientes de 100 cidades de um dado país: A, o número de internações

por 1000 adolescentes; P, o número de residências por 1000 domicílios na cidade com renda abaixo da linha

da pobreza; S, o número de residências por 1000 domicílios na cidade com apenas um dos pais. O pesquisador

estima a seguinte regressão:

A = β1 + β2P + β3S + u

em que

u é um termo de erro que satisfaz todas as hipóteses usuais do modelo de regressão. A correlação

populacional entre P e S é 0,96.


(0) A alta correlação populacional entre P e S dará origem ao problema conhecido como multicolineariedade.

(1) Multicolineariedade não torna viesados os estimadores de mínimos quadrados ordinários dos coeficientes,

mas faz com que eles sejam inconsistentes.

(2) As estimativas dos desvios padrões serão viesadas e provavelmente subestimarão os valores verdadeiros.

(3) Na presença de multicolineariedade, os testes t e F não são válidos.

(4) Se ao invés de uma alta correlação populacional entre P e S, houvesse uma alta correlação populacional

entre A e P ou entre A e S, o problema de multicolineariedade seria ainda pior.


Considere o seguinte modelo de regressão:

yi = β0 + β1x1i + εi

Em que β0 e β1 são parâmetros estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários e εi representa o

erro do modelo.


(0) A hipótese de que E[y|x1]=0 assegura que a soma dos resíduos da regressão é igual a zero.

(1) Nesse modelo, a soma dos quadrados total é igual a soma dos quadrados explicada mais a soma dos

quadrados dos resíduos da regressão.

(2) A covariância amostral entre a variável independente x1i e os resíduos da regressão é zero se a hipótese de

que E[y|x1]=0 for verdadeira.

(3) Neste modelo, a covariância amostral entre os valores preditos pela regressão, 𝑦��, e os resíduos da

regressão é sempre igual a zero.

(4) Para verificar quão bom é o ajuste da regressão podemos usar o R2, que é igual ao quadrado do coeficiente

de correlação entre yi o observado e o predito, 𝑦��.


13


Considere o seguinte modelo de regressão:

yi = β1+ β2xi + ui, i = 1,...,n

Suponha que xi é não estocástico e que

E[ui] = 0, E[ui²] = σ², E(ui, uj) = 0 para todo i ≠ j

Considere os dois estimadores alternativos de β2:

n

ii

n

iii

x

yxb

1

2

12

e

n

i i

n

i ii

xx

yyxx

1

2

12

Onde

n

i

ixnx1

1 e

n

i

iyny1

1 são as médias amostrais de x e y respectivamente.


(0) b2 em geral é um estimador não viesado de β2.

(1) 2 é um estimador não viesado de β2 se e somente se β1 = 0.

(2) 2 é mais eficiente do que b2 se β1 = 0.

(3) b2 é um estimador não viesado de β2 se, para qualquer amostra de tamanho n, 0x .

(4) b2 é um estimador não viesado de β2 se, para qualquer amostra de tamanho n, 0y .


[Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então

Pr(|Z|>1,645)=0,10 e Pr(|Z|>1,96)=0,05.]

Considere as seguintes estimativas obtidas pelo método de mínimos quadrados ordinários para o modelo de

regressão abaixo (desvios-padrões entre parênteses):

ln(salário) = 0,600+ 0,175sindicato + 0,090sexo+0,080educ+0,030 exper – 0,003 exper2+ ûi

(0,201) (0,100) (0,050) (0,032) (0,009) (0,001)

R2 = 0,36

em que

educ e exper denotam, respectivamente, o número de anos de estudo e o número de anos de experiência

profissional, sindicato é uma variável dummy que assume o valor 1 se o trabalhador for sindicalizado e

0 caso contrário e sexo é uma variável dummy igual a 1 se o trabalhador for do sexo masculino e igual

a 0 se for do sexo feminino. O resíduo da regressão é o termo ûi. Todas as suposições usuais acerca do

modelo de regressão linear clássico são satisfeitas.


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(0) Supondo que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam

válidas, é possível rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula de que os salários de

trabalhadores sindicalizados e não sindicalizados são iguais. A hipótese alternativa é que os

trabalhadores sindicalizados ganham mais do que os não sindicalizados.

(1) Supondo que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam

válidas, é possível rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula de que os salários de homens

e mulheres são iguais. A hipótese alternativa é que os salários de homens e mulheres são diferentes.

(2) Um ano adicional de experiência eleva o salário em 3,00%.

(3) Se incluirmos um regressor adicional entre as variáveis explicativas, o R² não diminuirá.

(4) Supondo que os erros tenham distribuição normal e que o tamanho da amostra seja 206, é possível

rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que os coeficientes da regressão, com exceção do

intercepto, são simultaneamente iguais a zero (F0,95; 5, 200 = 2.2592).


Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico em que as variáveis são expressas como desvios em

relação às respectivas médias:

yi = αxi + ui, i = 1,...,n

e

E[ui] = 0, E[ui²] = σ², E(ui, uj) = 0 para todo i ≠ j

Suponha, por simplicidade, que xi é um regressor escalar não estocástico. Propõe-se estimar α através da

razão entre as médias amostrais de yi e xi:

Calcule a variância de . Multiplique o resultado por 100. (Sabe-se que σ² = 100, n = 100 e

5/1

nxx

n

i i ).

x

y


15


Considere a seguinte regressão

y = Xβ +

em que y, X e são vetores de dimensão nx1 e β é um escalar. Adicionalmente, suponha que

E( |X) = 0

e que

0

0

5

7

0

1

1

1

1

1

,

80000

06000

00400

00030

00001

|' yeXXE

Compute a variância condicional em X do estimador de mínimos quadrados ordinários de β. Multiplique o

resultado por 100.


Considere a regressão

y = Xβ +

Suponha que tenhamos uma amostra de tamanho 4 e que

𝛺 = 𝐸[𝜖𝜖′] = 𝜎2 = [

21

16

0 00 0

0 0 3 10 0 1 4

]; 𝑿 = [

1111

] e 𝑦 = [

0750

].

Compute a estimativa eficiente de β.


16


Suponha que o modelo linear abaixo descreva as relações entre quatro variáveis aleatórias escalares: y, X, Z e

.

2 Equação0||,|,

1 Equação,|

10

210

EXEZEXZEZX

ZXZXyE

Suponha ainda que 0e0,0,0,0 10210 .

Indique se cada umas das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa:

(0) ZZyE 20| .

(1) Seja uZXy 210 . Então 0,| ZXuE .

(2) ZZXE 10| .

(3) Seja Zy 10, em que

0100 e 2111 . Portanto, 0| ZE .

(4) Considere uma amostra de n observações das variáveis aleatórias y, X e Z. O estimador

2

1

1

n

i

i

n

i

ii

ZZ

ZZy

T é um estimador não-tendencioso para o parâmetro 2111 .


O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo cujo

objetivo é explicar as variações de renda entre 487 indivíduos:

487458,0

002,0002,00003,0059,0073,0

ˆexp009,0exp01,0004,0169,0883,0log

2

nR

ugeneroerereducgenerorenda

em que gênero é uma variável dicotômica (valor 1 se for mulher e 0 caso contrário), educ é o número de anos

de escolaridade e exper é a experiência profissional também medida em anos. Os números entre parênteses

são os erro-padrão das estimativas. Com base nos resultados acima, é correto afirmar:

(0) A 5%, o efeito de uma ano a mais de escolaridade para os indivíduos do sexo masculino é

estatisticamente maior do que o efeito para as mulheres.

(1) O efeito na renda de um ano a mais de experiência profissional para as mulheres é 0,9% menor do que

para os homens.

(2) O modelo acima não pode ser estimado por mínimos quadrados, pois há uma interação entre as variáveis

exper e gênero.

(3) Para um mesmo nível de escolaridade e experiência profissional, a renda média dos homens é superior a

das mulheres.

(4) Para um individuo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta um aumento da renda

de aproximadamente 14%.


17


Um econometrista estimou o seguinte modelo de regressão para explicar a renda de 526 indivíduos:

log(renda) = 0,510 − 0,310 genero + 0,080 educ + 0,030 exper − 0,001 exper2 + u ,

(0,099) (0,036) (0,03) (0,005) 0,00010)

R2 = 0,441, n = 526

em que

genero é uma variável dicotômica ( = 1 se mulher, = 0, caso contrário), educ é o número de anos gastos

com educação, exper é a experiência profissional do indivíduo, medida em anos. Os desvios padrões

dos coeficientes estão entre parênteses.

Com base nesses resultados, julgue as afirmativas:

(0) O efeito de um ano a mais de experiência profissional na renda média de um indivíduo do sexo masculino

é, 0,030 unidades monetárias.

(1) As mulheres recebem salários 31% mais baixos que os dos homens, em média.

(2) De acordo com o modelo estimado e, a hipótese de que o efeito médio de um ano a mais de educação na

renda dos indivíduos seja diferente de 10% é rejeitada ao nível de significância de 5%.

(3) Se V(u|genero, educ, exper) = a2 + b2educ, então os estimadores de mínimos quadrados são tendenciosos.

Nota: V(u|X) é a variância de u condicionada a X, a e b são parâmetros.

(4) Em uma regressão do resíduo u em função de educação e gênero, o R2 será zero.


Considere a regressão múltipla:

y = β0 + β1x1+ β2x2+ β3x3 + u

cujos parâmetros tenham sido estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários.

Julgue as afirmativas:

(0) Se E(u| x1, x2, x3)=0 e o modelo não é perfeitamente colinear, então os estimadores não são viesados.

(1) Se o R2 = 1, então y é uma combinação linear de x1, x2 e x3.

(2) O R2 ajustado aumenta ao se incluir uma variável adicional, caso tal variável seja significativa ao nível de

5%.

(3) Se o modelo satisfaz as hipóteses do teorema de Gauss-Markov, então 1 é o estimador linear não

viesado de β1 com menor variância possível.

(4) Se omitirmos x3 da regressão, os estimadores de β0, β1 e β2 podem ser viesados.


18


Julgue as afirmativas:

(0) Heterocedasticidade ocorre quando o erro aleatório em um modelo de regressão é correlacionado com uma

das variáveis explicativas.

(1) Quando o erro aleatório em um modelo de regressão é correlacionado com alguma variável explicativa, os

estimadores de mínimos quadrados não são consistentes.

(2) Na presença de heterocedasticidade, estimadores de mínimos quadrados ordinários são ineficientes.

(3) Os testes t e F usuais não são válidos na presença de heterocedasticidade.

(4) Na presença de heterocedasticidade, estimadores de mínimos quadrados ordinários são não viesados, mas

são inconsistentes.


A regressão abaixo foi estimada com o objetivo de explicar a diferença de salários entre homens e mulheres.

As seguintes variáveis foram utilizadas:

sal = salário médio por hora, em Reais;

homecas = 1 se homem e casado; = 0, caso contrário;

mulhcas = 1 se mulher e casada; = 0, caso contrário;

mulhsol = 1 se mulher e solteira; = 0, caso contrário;

edu = número de anos de educação formal;

exper = número de anos de experiência profissional;

empre = número de anos com o atual empregador.

Entre parênteses, encontram-se os erros-padrão calculados por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

sal) (log = 0,300+0,200homecas – 0,200mulhcas – 0,100mulhsol + 0,0800edu + 0,0200exper + 0,0300empre

(0,100) (0,055) (0,050) (0,050) (0,006) (0,005) (0,006)

Suponha que um indivíduo do sexo masculino, com 15 anos de experiência profissional, se case. Ceteris

paribus, qual a variação percentual esperada no seu salário dois anos após seu casamento em relação ao seu

salário de solteiro? Suponha que o número de anos de educação formal do indivíduo não se tenha alterado e

que ele não tenha trocado de emprego.


19


O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo

objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos de uma amostra aleatória:

ln(renda) = 0,362+ 0,094 educ + 0,014 exper – 0,178 sexo – 0,010 exper x sexo + u

(0,128) (0,008) (0,002) (0,058) (0,002)

R2 = 0,368 n = 526

em que

sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for mulher e 0, caso contrário), educ é o número de anos de

escolaridade (0 ≤ educ ≤ 17), exper são anos de experiência profissional (0 ≤ exper ≤ 40) e u é a

estimativa do erro. Os números entre parênteses são os erros-padrão das estimativas, robustos à

heterocedasticidade.

Com base nos resultados acima, é correto afirmar:

(0) Ao nível de significância de 5%, o efeito de um ano a mais de experiência profissional para indivíduos

do sexo masculino é estatisticamente maior do que o efeito para mulheres.

(1) Para um indivíduo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta um aumento da renda

de aproximadamente 9%.

(2) O efeito na renda de um aumento de 1 ano na experiência profissional para as mulheres é 1% menor do

que para os homens.

(3) Pela inspeção dos resultados da estimação fica claro que os erros do modelo são heterocedásticos.

(4) Se a um nível de significância de 5%, o valor crítico do teste F para a regressão for 2,37, os coeficientes

angulares serão conjuntamente diferentes de zero.


Um pesquisador estima o seguinte modelo de regressão simples: iii eXY 10 . Outro pesquisador

estima o mesmo modelo, mas com escalas diferentes para iY e iX . O segundo modelo é:

***

1

*

0

*

iii eXY , em que: ii YwY 1

* , ii XwX 2

* e 1w e 2w são constantes maiores que zero.

(0) Os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários de 0 e 1 são iguais aos de *

0 e *

1 .

(1) Se 2* é a variância estimada de

*

ie e 2 é a variância estimada de ie , então

22

1

2* ˆˆ w .

(2) As variâncias dos estimadores dos parâmetros do primeiro modelo são maiores do que as variâncias dos

estimadores do segundo modelo.

(3) Os coeficientes de determinação são iguais nos dois modelos.

(4) A transformação de escala de ( iY , iX ) para (*

iY ,*

iX ) não afeta as propriedades dos estimadores de

Mínimos Quadrados Ordinários dos parâmetros.


20


Considere o seguinte modelo para a população: Y = 2 + 4X – 5Z + u, em que u é o termo aleatório e

0)(),|( uEZXuE . A partir de uma amostra de n indivíduos, estimaram-se os parâmetros deste

modelo, tendo, todavia, sido omitida a variável Z. Ou seja, o modelo estimado foi: ii XY 10ˆˆˆ . Suponha

ainda que, para amostra em questão, tenham sido obtidos os seguintes resultados:

7,0

)(

))((

1

2

1

n

i

i

n

i

ii

XX

XXZZ

, em que

n

i

iXn

X1

1 e

n

i

iZn

Z1

1.

Calcule XE |ˆ1 . Multiplique o resultado por 10.


Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais:

.,...,1,...22110 niuxxxy ikikiii


(0) Para que os estimadores de mínimos quadrados sejam lineares não-tendeciosos de menor variância

(BLUE) é necessário que os erros sejam homocedásticos.

(1) A hipótese que nixxxuVar kiiii ,...,1,),...,,|( 2

21 , é necessária para que os estimadores de

mínimos quadrados sejam não-tendenciosos.

(2) As estatísticas t e F continuam válidas assintoticamente mesmo que os erros da regressão sejam

heterocedásticos.

(3) Se nixxCov ii ,...,1,0),( 31 , os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão

niuxxxxy ikikiiii ,...,1,...4422110 , serão consistentes.

(4) Se nixxCov ii ,...,1,0),( 31 os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão

niuxxxxy ikikiiii ,...,1,...4422110 , serão consistentes.


21


Um pesquisador estimou uma regressão múltipla com 5 variáveis independentes e n = 56, mas na pressa, não

imprimiu os resultados e anotou apenas o valor do R2 = 0,90, o coeficiente de determinação. Este pesquisador

precisa verificar se a regressão é significante. Ajude-o, calculando o valor da estatística do teste a ser

empregado.


Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais

.,...,1,...22110 niuxxxy ikikiii


(0) para que os estimadores de mínimos quadrados sejam os melhores estimadores lineares não-tendeciosos é

necessário que os erros sejam normalmente distribuídos;

(1) a hipótese que nixxxuVar kiiii ,...,1,),...,,|( 2

21 , não é necessária para que os estimadores de

mínimos quadrados sejam consistentes;

(2) a inclusão de uma nova variável explicativa no modelo reduzirá o coeficiente de determinação R2 ;

(3) para que as estatísticas t e F sejam válidas assintoticamente é necessário que os erros sejam normalmente

distribuídos;

(4) se nixxCov ii ,...,1,0),( 31 os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão

niuxxxy ikikiii ,...,1,...22110 , serão tendenciosos.


O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo

objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos:

,526,441,0

,00058,0029,0080,0297,0417,0)log(

2

2

)00010,0()005,0()007,0()036,0()099,0(

nR

uexperexpereducsexorenda


22

em que

sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for homem e 0, caso contrário), educ é o número de anos de

escolaridade, exper é experiência profissional, também medida em anos. Os números entre parênteses

são os erros-padrão das estimativas )4.,,.,..1,0( isib .

Com base nos resultados acima, é correto afirmar:

(0) a regressão não é estatisticamente significante pois o coeficiente de determinação é menor do que 0,5;

(1) a diferença de renda entre homens e mulheres não é estatisticamente significante;

(2) um ano a mais de escolaridade, mantidos constantes todos os demais fatores, aumenta em 0,08% a renda

de um indivíduo do sexo feminino;

(3) a significância conjunta das variáveis educ e exper não pode ser medida por meio da estatística t. Para

isto, o teste F deve ser utilizado;

(4) o modelo é incapaz de captar diferenças nos retornos da educação entre homens e mulheres.


É correto afirmar a respeito do modelo de regressão linear clássico multivariado: XY , com n

observações e k > 2 variáveis explicativas, incluindo-se o intercepto.

(0) Os coeficientes de inclinação não se alteram quando se modificam as unidades de medida de Y e X

multiplicando-os por uma constante, por exemplo, transformando-se seus valores de reais para dólares.

(1) Se o modelo for estimado com apenas k-1 variáveis explicativas (mas mantendo o intercepto), os

coeficientes estimados poderão ser viesados e inconsistentes.

(2) Quando os coeficientes ’s estimados forem altamente significativos, individualmente, mas a estatística F

e o R2 indicarem que o modelo como um todo tem um baixo poder explicativo, pode-se desconfiar da

presença de multicolinearidade.

(3) Para testar a hipótese conjunta de que 0...32 k , pode-se utilizar o teste

)])(1[(

)1(2

2

)(),1(;knR

kRF knk

, em que R2 é o coeficiente de determinação do modelo.

(4) Sempre que o modelo tiver pelo menos duas variáveis explicativas além do intercepto, o R2 será maior ou

igual ao R2 ajustado.


23


Ao testar a significância do coeficiente angular ß de um modelo de regressão linear simples encontrou-se

valor-p = 3x103

. Pode-se afirmar que:

(0) O erro tipo II será igual a 3x103

.

(1) A probabilidade de o verdadeiro valor do parâmetro encontrar-se no intervalo

ˆ2ˆ S é 99,7%.

(2) O mais baixo nível de significância ao qual a hipótese nula pode ser rejeitada é 3x103

.

(3) O coeficiente é significante a 99% de confiança.

(4) A potência do teste é definida por (1 – 0,003).


A partir de uma amostra de n elementos, foi estimada uma regressão linear simples, pelo método de mínimos

quadrados, obtendo-se os resultados:

tt XY 1ˆˆˆ 0ˆ

121 KR

A seguir, a mesma regressão foi estimada sabendo-se que a reta de regressão da população passa pela origem

das coordenadas (termo constante = 0), obtendo-se os resultados:

tt XY 2ˆˆ

222 KR

Pode-se afirmar que:

(0) 1 = 2

(1) ) de padrão (desvio ) de padrão (desvio 12 12 ss

(2) A reta Xˆ2 passa pelo ponto médio da amostra ( Y,X )

(3) (K2 / K1) > 1

(4) A soma dos resíduos de mínimos quadrados de ambas equações estimadas é zero.


24


Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico, relacionando as variáveis quantidade

demandada (Q) e preço do produto (P). Admita que as duas variáveis sejam medidas em Reais, e que a

estimação será efetuada por MQO (ln é logaritmo natural)

lnQi = 1 + 2 lnPi + ui i = 1,2,..., 100.


(0) Variando-se o preço em 1%, a quantidade demandada variará 102%, ceteris paribus.

(1) Ignorando-se o termo aleatório, se o preço ultrapassar determinado limite, será possível obter quantidades

demandadas negativas.

(2) Se mudarmos as unidades de Q e P para dólares americanos, então a estimativa de 2 na nova equação

será igual a sua estimativa obtida na equação em Reais.

(3) Se a variável ln Y (Y = renda) for acrescentada ao modelo o coeficiente R2 desta nova regressão será

maior ou igual ao coeficiente R2 da regressão original.

(4) Se o coeficiente R2 ajustado da regressão com a variável ln Y for maior do que o coeficiente R2 ajustado

da regressão original, então necessariamente, o coeficiente de ln Y é estatisticamente significante, ao

nível de significância de 5%, em um teste bi-lateral.


Seja o seguinte modelo de regressão linear múltipla na forma matricial:

Y X . ,

onde as dimensões das matrizes e dos vetores envolvidos são: Y => (n 1); X => (n k); => (k 1); e

=> (n 1).

Então, podemos fazer as seguintes afirmações:

(0) Um dos pressupostos básicos do modelo é: Os elementos da matriz X são estocásticos com valores fixados

em amostras repetidas.

(1) Outro pressuposto básico é: nenhuma das variáveis independentes deve estar perfeitamente correlacionada

com qualquer outra variável independente ou com qualquer combinação linear de outras variáveis

independentes.


25

(2) As equações normais de mínimos quadrados para o modelo dado podem ser apresentadas em notação

matricial como )'()'( XXYX e a solução para será )'()'(ˆ 1 YXXX .

(3) Quando testamos a existência do modelo de regressão, fazemos as seguintes hipóteses sobre os

coeficientes da regressão (admitindo que 1

0 , ou seja, a regressão não passa pela origem):

Hipótese nula => H0: 2 3

0 ...k

Hipótese alternativa => H1: Todos os i 0 , para i = 2, 3,…, k.

(4) Os intervalos de confiança dos coeficientes da regressão podem ser calculados da seguinte maneira:

).ˆ;.ˆ( ˆˆii

stst knikni

onde i = estimativa do coeficiente i; tn k = abcissa de uma distribuição “t” com (n - k) graus de

liberdade, fixado o grau de confiança de intervalo; e i

s = erro padrão estimado de i .


Foram encontrados os seguintes resultados para estimar uma regressão linear com duas variáveis explicativas

para uma amostra de tamanho 10.

Variáveis

preditoras

Coeficiente Desvio

padrão

Estatística

“t’

p-valor

Constante 223,3 254,8 0,88 0,410

X1 -1,26 0,8263 -1,52 0,172

X2 -1,03 3,213 -0,32 0,752

R2 = 81,2%; R2 ajustado = 76,1%; Valor calculado da estatística F=15,1

Podemos afirmar que:

(0) A equação de regressão estimada é 21 .03,1.26,13,223ˆ XXY .

(1) A um nível de significância de 5% podemos afirmar que a regressão existe. Porém, após elaborarmos os

testes de hipóteses para os coeficientes individuais, aceitamos a hipótese (a um nível de significância de

1%) de que o coeficiente para a variável X2 é zero.

(2) O coeficiente de determinação indica que 81,2b% da variação amostral de Y podem ser atribuídos as

variações de X1 e X2.

(3) O valor estimado para Y quando X1 = 15 e X2 = 80 é 220.

(4) Os valores teóricos das estatísticas “t” utilizadas para testar os coeficientes das variáveis explicativas

devem ser calculados para 7 graus de liberdade.

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