Aluna : Laura Lange Turma:83 Professora Solange Componente curricular:História.
Aluna do Mestrado Aluna do Mestrado Giseli Sonego Professora da Escola Professora da Escola Estadual...
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Aluna do MestradoAluna do Mestrado Giseli Sonego
Professora da Escola Professora da Escola Estadual João XXIII
Santa Maria - RS
RELAÇÃO TEORIA-PRÁTICA NO ENSINO DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÃO
QUADRÁTICA
Centro Universitário Franciscano Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino
de Física e de Matemática FRANCISCANO
CENTRO UNIVERSITÁRIO
INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO
Um dos grandes desafios de nossa profissão é
relacionar a teoria com a prática. A necessidade de se
“entender” e “ser capaz” de usar a Matemática na
vida diária e nos locais de trabalho é uma exigência
atual.
Para que o aluno aprenda Matemática com
significado é fundamental trabalhá-la por meio de
situações-problema, próprias da vivência do aluno,
fazendo-o pensar, analisar, julgar e decidir pela
melhor solução. É preciso que o aluno sinta a
importância de saber o conteúdo Matemático para a
sua vida.
De acordo com os Parâmetros Curriculares
Nacionais:
“É preciso que o aluno perceba a Matemática
como um sistema de códigos e regras que tornam
uma linguagem de comunicação de idéias e permita
modelar a realidade e interpretá-la.”
Compreender o processo de maximização de áreas
de retângulos através da análise gráfica de uma
função quadrática.
Utilizar material concreto como ferramenta auxiliar
na determinação de área máxima de retângulos de
perímetro constante.
Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática
na interpretação e intervenção do mundo real.
OBJETIVOS DA PRÁTICA DOCENTEOBJETIVOS DA PRÁTICA DOCENTE
Sou licenciada em Matemática pela Universidade
Federal de Santa Maria, UFSM, e concluí o curso de
Especialização, também pela UFSM, no ano de 2000.
Iniciei minha vida profissional em 1992 numa escola
estadual no município de São Pedro do Sul,
posteriormente exerci por 3 anos minhas atividades
docentes em Restinga Seca e atualmente sou
professora concursada e faço parte do corpo docente
da Escola Estadual de Educação Básica João XXIII, em
São João do Polêsine.
TRAJETÓRIA PROFISSIONALTRAJETÓRIA PROFISSIONAL
RELATO DA EXPERIÊNCIARELATO DA EXPERIÊNCIA
Esta experiência foi realizada no 2º semestre de 2006, com uma turma de 28 alunos do 1º ano do Ensino Médio. O conteúdo desenvolvido foi sobre função quadrática, mais especificamente valor máximo e mínimo da função.
Como podemos construir um retângulo com um cordão de 80 cm, de modo que tenha área máxima?
Para a resolução desse problema foi proposto aos alunos que desenhassem os possíveis retângulos que tinham como perímetro 80 cm.
Foi proposto aos alunos o seguinte Foi proposto aos alunos o seguinte problema:problema:
Os alunos desenharam os seguintes retângulos:Os alunos desenharam os seguintes retângulos:
Clique aquiClique aqui
Área= 300 cm2
10 c
m
30 cm
Área = 175cm2
35 cm
5 cm
Área= 300 cm2
10 c
m
30 cm
Área = 175cm2
35 cm
5 cm
Área= 300 cm2
10 c
m
30 cm
Área = 400 cm2
20 c
m
20 cm
Área = 175cm2
35 cm
5 cm
Área= 300 cm2
10 c
m
30 cm
Área = 400 cm2
20 c
m
20 cm
Área = 336 cm2
28 cm
12 c
m
Área = 175cm2
35 cm
5 cm
Área= 300 cm2
10 c
m
30 cm
25 cm
15 c
m
Área = 400 cm2
20 c
m
20 cm
Área = 336 cm2
28 cm
12 c
m
Área = 375cm2
Após os alunos desenharem e manipularem os diversos retângulos indaguei qual deles tinha área máxima.
Qual desses retângulos tem a maior área?
?
É possível obter uma É possível obter uma
relação entre o perímetro e os relação entre o perímetro e os
lados do retângulo para lados do retângulo para
obter-se os possíveis valores obter-se os possíveis valores
dos lados?dos lados?
É possível obter uma É possível obter uma
relação entre o perímetro e os relação entre o perímetro e os
lados do retângulo para lados do retângulo para
obter-se os possíveis valores obter-se os possíveis valores
dos lados?dos lados?
Indaguei ainda aos alunos:Indaguei ainda aos alunos:
Para responder a esta questão foi desenhado no quadro um retângulo de lados x e y tal que o perímetro fosse 80 cm.
x
y
Perímetro:
2x + 2y = 80 cm
ou y = 40 – x
Entre todos os valores Entre todos os valores
que que xx pode assumir, pode assumir,
como podemos como podemos
descobrir o valor que descobrir o valor que
torna a área máxima?torna a área máxima?
Analisando a relação entre os lados do retângulo perguntei:Analisando a relação entre os lados do retângulo perguntei:
Concluímos que xx não poderia assumir o valor zero nem o valor
40, pois nesse caso o retângulo não poderia ser desenhado,
portanto o intervalo I de variação de x, só poderia ser;
I = (0,40)I = (0,40)
Lancei um novo desafio
Entre todos os valores que xx pode assumir, como podemos descobrir o valor que torna a área máxima?
Portanto a área é determinada por
A = (40 – x).x ou,
A= - x² + 40x
y = 40 -x
x
Para responder a questão, o primeiro passo Para responder a questão, o primeiro passo
foi calcular a área do retângulo.foi calcular a área do retângulo.
Área: A = x . y
Como o perímetro mede 80 cm, isto é,
80=2x+2y ,, obtemos para y: obtemos para y:
Considerando as coordenadas do vértice (Xv, Yv) de uma
função quadrática da forma y=ax2 + bx + c obtemos:
Xv = - b/2a =-40/-2 =20 logo, Xv =20 cm ;
A área máxima é dada pelo valor da ordenada do vértice,
isto é:
Yv = -Δ /4 a =-1600/-4 =400 logo, A max = 400 cm².
Considerando a função A = -x² + 40xA = -x² + 40x, vamos determinar
o valor de xx tal que a área do retângulo seja máxima:
Conclusão:Conclusão:
Se x = 20, então A = 40 -20 = 20
O retângulo que terá a O retângulo que terá a
maior área será o de ladosmaior área será o de lados
X=20 cm e y=20 cm, e a área X=20 cm e y=20 cm, e a área
máxima será de 400 cm².máxima será de 400 cm².
Será que existe uma relação entre a área do
retângulo e a função quadrática?
Voltei a desafiá-los:
Consideremos novamente a função quadráticaA = - x² + 40x
x
y
Construindo o gráfico da função analisei com os alunos que o máximo da função área ocorre exatamente no vértice.
20
20V=(20,20)
Analisando os valores obtidos, concluímos que o
retângulo de perímetro 80cm e que possui área
máxima é um QUADRADO de 20cm de lado e cuja área
mede 400 cm².
A IMPORTÂNCIA DA ANÁLISE GRÁFICA
A análise do gráfico foi a etapa mais importante, pois por
meio do gráfico foi possível os alunos visualizarem em que ponto a área assumiu seu maior valor.
Primeiramente chamei atenção para o fato da parábola estar voltada para “baixo”“baixo” pois o coeficiente do termo x²x² é negativo.
Salientei também que a parábola intercepta o eixo xx em x= 0x= 0 e x= 40x= 40, que são as raízes da equação A =- x² + 40xA =- x² + 40x..
Por meio da análise do gráfico ficou mais claro para os alunos o fato de xx não poder assumir valores “zero”“zero” e “40”“40”, pois neste caso a área AA seria “zero”.“zero”.
Por último analisei com os alunos o valor de xx que maximizava a área.
Logo após começamos a verificar no nosso cotidiano,
como podemos aplicar esse conhecimento. Pedi aos alunos que
observassem como é a forma das casas populares. Eles
constataram que elas tem geralmente a forma aproximada de um
quadrado o que permite um maior aproveitamento da área
construída.
Também fomos verificar se nos canteiros de hortas
caberiam mais mudas se eles tivessem a forma de um quadrado
ou de um retângulo.
Todos concluíram que os canteiros deveriam ser
quadrados, porém eles não possuem essa forma devido ao difícil
manejo para alcançar o centro do canteiro.
Através do processo pedagógico desenvolvido
pude perceber que consegui provocar o raciocínio
dos alunos, levando-os a analisar e refletir sobre o
tema e dar significado prático, pois o pensamento
matemático que os alunos precisam desenvolver
na escola é constituído por raciocínio rigoroso ou
formal, que viabiliza processos informais, de
aplicabilidade em situações concretas.
CONSIDERAÇÕES FINAISCONSIDERAÇÕES FINAIS