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4.1 DERIVADA DAS FUNÇÔES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSÍVEIS
Amintas Paiva Afonso
6. Derivada das funções trigonométricas inversíveis.
Toda função trigonométrica satisfaz à identidadef(x + 2) = f(x).
Portanto nenhuma função trigonométrica é inversível.
6. Derivada das funções trigonométricas inversíveis.
A DERIVADA DA INVERSA DO SENO E DO COSSENO
Restringindo x ao intervalo [-/2, /2] para y = senx e restringindo x ao intervalo [0, ] para y = cosx, obtemos duas novas funções cujos gráficos são uma parte do gráfico original de y = senx e y = cosx, aos quais chamaremos de y = senx e y = cosx.
6. Derivada das funções trigonométricas inversíveis.Os gráficos de y = senx e y = cosx são inversíveis e
denotados, cada qual, como y = arcsenx e y = arccosx. Observe:
y = senx y = arcsenx
y = cosx
y = arccosx
DOMÍNIO
[-/2, /2]
[-1, 1] [0, ] [-1, 1]
IMAGEM [-1, 1] [-/2, /2] [-1, 1] [0, ]Demonstra-se que:
2. D arccosx = −
3. D arctgx =
1. D arcsenx =
Derivadas de funções trigonométricas e suas inversas
(u + v) = +
+
DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE
= 0 dk = 0 (k)´= 0
d(ku) = 0 (ku)´= 0
d(u+v) = du+dv (u+v)´= u´+ v´
d(u.v) = vdu + udv (uv)´= u´v+v´u
d(u/v) = (vdu –udv)/v2 (u/v)´= (u’v – v’u)/v2
d(un) = n.un-1.du (un)´= n.un-1.u´
d(eu) = eu.du (eu)´= eu.u´
DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE
d(au) = au.lna.du (au)’ = au.lna.u’
d(senu) = cosu.du (senu)’ = cosu.u’
d(cosu) = - senu.du (cosu)’ = -senu.u’
d(lnu) = (1/u).du (lnu)´= (1/u).u’
d(arctgu) = du/(1+u2)
(arctgu)’ = u’/(1+u2)
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