CEA 562

SINAIS E SISTEMAS

TEORIA DA AMOSTRAGEM, ANÁLISE EM

FREQUÊNCIA DE SINAIS E SISTEMAS

DISCRETOS

Experimento: Aula Prática 2

Data de entrega: Segunda, 15 de Julho de 2015

Professora: Sarah Negreiros

Aluno: Douglas Monteiro

ÍNDICE

Introdução ............................................................................................................................................. 4

Objetivo .................................................................................................................................................. 4

Prática e Discussão ................................................................................................................................. 4

Questão 1 .................................................................................................................................. 6

Questão 2 .................................................................................................................................. 8

Conclusão ............................................................................................................................................. 11

Referências ........................................................................................................................................... 11

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1. INTRODUÇÃO

A afirmação feita pelo teorema da amostragem de Nyquist-Shannon é bem clara e direta:

possuindo-se um sinal que seja perfeitamente delimitado por uma banda B Hz, discretizado, tal sinal

pode ser recuperado sem perda desde que a taxa de amostragem tenha sido feita no mínimo duas

vezes a máxima frequência do sinal. Apesar de o teorema de Nyquist ser de grande valia na análise de

sinais, ele possui uma condição forte: a de que o sinal deve ser perfeitamente delimitado em banda;

e, no mundo real, é impossível construir tais sistemas. Embora nos deparemos com essa limitação,

sabemos que podemos desenhar sistemas suficientemente bons a nossa necessidade. É exatamente

nesse termo - suficientemente bons - que se encontram alguns conceitos teóricos de fundamental

importância para compreender os processos de amostragem e reconstrução: em certas situações,

pode-se não conseguir recuperar exatamente como era originalmente, entretanto, uma aproximação

satisfatória pode ser alcançada de forma que se resolva o problema.

2. OBJETIVO

O foco deste trabalho estará em descrever como os processos citados acima

influenciam na qualidade do sinal. Serão abordados os conceitos da teoria da amostragem, o

efeito de aliasing, a transformada discreta de Fourier de sinais discretos e a filtragem de sinais

discretos.

3. PRÁTICA E DISCUSSÃO

Este exercício compreendeu-se na gravação de um áudio qualquer a taxa de 44100 Hz e os

dados do sinal gerado foram utilizados para a obtenção da transformada discreta de Fourier do sinal.

Foram utilizados dois softwares de fácil manejo e grande funcionalidade para a realização da

atividade. Para a gravação do sinal, o Audacity; e para os cálculos e plotagem de gráficos, o Matlab®.

Abaixo, na figura 1, está o sinal original no Audacity que representa um solo de contrabaixo da música

Diante Dele, de David Quinlan.

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Figura 1 – 30 primeiros segundos do Solo

Audacity

O código em Matlab utilizado para o cálculo é o mostrado abaixo.

%%%%%% Transformada de Fourier clear; clc;

%% LER O SINAL

%% limpa a tela e as variaveis do sistema

readfile = 'C:\Users\Douglas\Desktop\UFOP\5o Periodo\1. Sinais\LAB

02_Sarah\solo_.wav'; [y,Fs] = audioread(readfile); %sound(y,Fs);

%% CALCULO DA TRANSFORMADA (DFT) Ns = length(y); t = (1/Fs)*(1:Ns);

y_fft = abs(fft(y)); %Obter Magnitude y_fft = y_fft(1:Ns); %Descartar Parte Simetrica f = Fs*(0:Ns-1)/Ns; %Montagem do Vetor de Frequencias

% Depois de analisar o grafico %%% --> Maxima Frequecia desse Sinal %%% --> é 19000 Hz logo, deve ser amostrado %%% --> com uma taxa maior que 38000 Hz

%% REAMOSTRAR O SINAL

A = 1; B = 10; %%%% <<--- ATENCAO: Reamostragem AQUI z = resample(y,A,B); N2s = length(z); z_fft = abs(fft(z)); %Obter Magnitude z_fft = z_fft(1:N2s); %Descartar Parte Simetrica f2 = A*Fs/B*(0:N2s-1)/N2s;

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%% %%% PLOTAGEM DOS GRAFICOS

figure(1); subplot(2,1,1) plot(t, y); % Plot Sound File "02" no Tempo xlabel('Time (s)'); ylabel('Amplitude'); title('Plot do Sinal no domínio do Tempo'); axis tight %ylim([-0.11 0.11]); %xlim([19 19.6]); grid on;

%figure(2); subplot(2,1,2) plot(f,y_fft); %Plot Sound File no dominio da Frequencia xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude'); title('Transformada - Espectro de Frequência'); axis tight %ylim([0 250]); %xlim([0 3000]) %%xlim([0 1000]) grid on;

% % figure(2); % subplot(2,1,2); % plot(z,'Colo',[0 0.750 0]); %Plot Sound File no dominio

da Frequencia % xlabel('Bins'); % ylabel('Amplitude'); % title('Sinal reamostrado'); % axis tight % %ylim([0 250]); % %xlim([0 3000]) %%xlim([0 1000]) % grid on;

figure(3); subplot(2,1,1) plot(f2,z_fft,'Color',[1 0 0],'Linewidth',2); %Plot Sound File

reamostrado no Dominio da Frequencia xlabel('Frequency (Hz)'); ylabel('Amplitude'); title('Plot da Transformada no domínio da Frequência (Hz)'); axis tight grid on;

yy = real(ifft(fft(z))); %length_yy = length(yy) N3s = length(yy); t2 = (B/A*1/Fs)*(1:N3s);

%figure(3); subplot(2,1,2) plot(t2,yy,'COlor',[0 0.75 0],'Linewidth',1.25); xlabel('Tempo (s)'); ylabel('Amplitude'); title('Plot do Sinal Recuperado no domínio do Tempo (Hz)'); axis tight grid on;

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figure(4); subplot(2,1,1) plot(t, y); % Plot Sound File "02" no Tempo xlabel('Time (s)'); ylabel('Amplitude'); title('ZOOM do Sinal Original no domínio do Tempo'); axis tight ylim([-1 1]) %%% <---- Depende so sinal que for lido xlim([5 10]); %%% <---- Depende so sinal que for lido grid on;

%figure; subplot(2,1,2) plot(t2,yy,'Color',[0 0.75 0],'Linewidth',1.25); axis tight ylim([ -15 15]) xlabel('Tempo (s)'); ylabel('Amplitude'); title('ZOOM do Sinal Recuperado no domínio do Tempo (Hz)'); axis tight ylim([-1 1]) %%% <---- Depende so sinal que for lido xlim([5 10]); %%% <---- Depende so sinal que for lido grid on;

%% %%% OUVIR SOM REAMOSTRADO e SALVAR

k = A*Fs/B; %sound(yy,k)

%audiowrite('m.sound_reamostrado.wav',yy,k);

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Gráfico 1

Gráfico 1

Questões Propostas

1. Calcule a transformada discreta de Fourier (DFT) do sinal e plote o seu valor absoluto no

intervalo [0; 2π[, colocando, sobre o eixo horizontal, os valores da frequência em Hertz.

a. Qual é a máxima frequência do sinal?

b. Para quais frequências de amostragem o critério de Nyquist é observado?

(a) No mundo real, na maioria das vezes, o sinal coletado não possui apenas uma onda

claramente delimitada, como neste caso em que vemos um sinal com vários componentes de

frequência. Analisando somente o domínio do tempo não é possível saber claramente quais são os

componentes de frequência dentro desta amostra. A FFT é de extrema importância para tal fim. No

gráfico 1, pode-se observar que somente aparecem componentes de frequência até

aproximadamente 7 kHz. Conclui-se facilmente pela inspeção do gráfico espectral que os

componentes de frequência dominantes desse sinal estão no intervalo aproximado de 0 a 0,5 KHz.

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Gráfico 2

Dentro deste intervalo, podemos ver que o intervalo de frequência que contribui com maior energia

para o sinal é o compreendido entre 80 e 200 Hz, onde a frequência de 166 Hz é a de maior amplitude

e portanto maior energia. A maior componente de frequência deste sinal é 1,85x104 ou 18500 kHz.

(b) De posse da maior frequência do sinal, que pode ser melhor analisada pelo gráfico 2,

sabe-se que somente será possível a recuperação deste sinal caso a taxa de amostragem Shannon-

Nyquist seja respeitada. Logo, qualquer amostragem que pretenda recuperar o sinal sem perda de

informação considerável deve tomar uma taxa de amostragem com uma frequência maior ou igual1

a 13700 kHz.

2. Re-amostre usando a expressão: x1[n] = x[10n].

a. Qual a frequência de amostragem empregada?

b. Ocorre aliasing? Justifique.

1 Para o caso em que o sinal seja igual, apenas um filtro ideal seria capaz de recuperar o sinal sem perdas.

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Gráfico 3

c. Plote o módulo da DFT deste sinal amostrado seguindo as mesmas diretrizes do item (a) e

compare com o gráfico do sinal original. Houve perda de conteúdo espectral?

(a) (b) A amostragem fazendo x[n] = x[nT], com um período de amostragem 10x maior que

o original, ou seja, com uma nova frequência de amostragem Fs = 4410 Hz, resulta em um áudio que

se assemelha ao original, entretanto, com qualidade inferior devido a ocorrência de aliasing. De

certa forma, pode-se interpretar o aliasing como o “deslocamento” das partes refletidas do espectro

em direção uma a outra de tal forma que os componentes de frequências das partes espelhadas se

sobrepõem, pelo fato de a transformada não interpretar corretamente quais componentes de

frequência estão contidos no sinal, devido à baixa amostragem. É interessante atentar para quando

ocorre a sobreposição das frequências. Sabe-se que quanto maior for a taxa de amostragem, maior

será a parte nula que separa o espelhamento. Se o sinal for tal que as maiores frequências antes da

sobreposição sejam suficientemente próximas de zero, quando ocorrer aliasing nessa parte do gráfico

haverá pouca perda de informação, ou seja, o sinal será reconstruído consideravelmente parecido

com o sinal original. Isso se deve ao fato de que esses componentes contribuem pouco na formação

do sinal inicial. Em outras palavras, o sinal terá pequena “distorção” quando for feita a reconstrução.

Entretanto a medida que a taxa de amostra se torna cada vez menor do que o disposto pelo teorema

da amostragem e a sobreposição avança sobre as frequências que mais contribuem para a formação

do sinal, a perda se torna cada vez mais considerável e indesejada.

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Gráfico 4

Gráfico 5

(c) Vê-se no gráfico 3 que houve perda de conteúdo espectral, acarretando consigo perda

de informação. Essa perda de informação pode ser melhor notada ao observar-se o gráfico 4 do sinal

original e do sinal recuperado amostrado a uma taxa abaixo de 2B, onde as caixas representam as

maiores perdas de dados. Tem-se um zoom do tempo 5 ao 10 no gráfico 5. Isso ocorreu pela taxa de

amostragem empregada não respeitar o critério de Nyquist onde 𝑓𝑠 > 2𝐵. Isto é, como já mencionado

anteriormente, a taxa de amostragem devia ser maior que 2*6,85 kHz = 13700 Hz.

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Ouça o áudio Original aqui: Ouça o áudio reamostrado aqui:

m.sound.wav

m.sound_reamostrado.wav

6. CONCLUSÃO

Nessa prática, pôde-se notar a grande importância e utilidade da transformada discreta de

Fourier na análise de sinais e sua relação com a teoria da amostragem. Um bom domínio dos dois

conceitos é de suma importância para construir uma base solida de conhecimentos para a correta

manipulação de sinais onde os componentes de frequências não são claros. Com a transformada

discreta de Fourier pode-se fazer uma series de análises úteis no sinal, como determinar quais são

os componentes de frequência dominantes no sinal, quais componentes mais tem energia no sinal,

além de ser de fácil identificação a maior frequência do sinal que pode ser utilizada para o cálculo

da correta taxa de amostragem, respeitando o critério de Nyquist. A DTF se mostra assim uma

ferramenta tal que todo estudante de engenharia deve ter conhecimento e domínio.

7. REFERÊNCIAS

[1]. LATHI, B. P. Linear Signals and Systems, 2nd Edition. Oxford University Press Oxford, UK.

[2] WEEKS, M. Digital Signal Processing Using MATLAB and Wavelets. Infinity Science Press

LLC. Hingham, Massachusetts.

[3]. OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. and NAWAB, H. Signals and Systems, 2nd

International Edition. Prentice Hall, NJ.