& µ v u v } s } } u o Æ }

17
Fundamentos Vetores Complexos SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas Amílcar Careli César Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP

Transcript of & µ v u v } s } } u o Æ }

Page 1: & µ v u v } s } } u o Æ }

FundamentosVetores Complexos SEL 310/612 Ondas Eletromagnéticas

Amílcar Careli CésarDepartamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP

Page 2: & µ v u v } s } } u o Æ }

Atenção! Este material didático é planejado para servir de apoio às aulas de SEL-310 E SEL-612: Ondas Eletromagnéticas, oferecida aos alunos regularmente matriculados no curso de engenharia de computação. Não são permitidas a reprodução e/ou comercialização do material. solicitar autorização ao docente para qualquer tipo de uso distinto daquele para o qual foi planejado.

2SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL22/08/2016

Page 3: & µ v u v } s } } u o Æ }

Campo vetorial: Exemplos

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 3

Modelo Cessna 182 em túnel de vento Vórtice produzido avião

Objetivo: modelagem, representação de fenômenoVelocidade e direção de fluido em movimento pelo espaçoIntensidade (magnitude) e direção de força gravitacional, elétrica, magnética

Page 4: & µ v u v } s } } u o Æ }

Linhas de campo

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 4elétrico magnético

1 C carga de 6,241×1018 elétrons1 C carga de 6,241×1018 elétrons

Page 5: & µ v u v } s } } u o Æ }

Campo vetorial

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 5http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_field

Coleção de setas com magnitude e direçãoCada uma associada a um ponto do plano

Page 6: & µ v u v } s } } u o Æ }

Vetor real e complexo

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 6

ˆ ˆ ˆ( ) cos( ) cos( ) cos( )x x y y z zV t V t x V t y V t z

A representação complexa deste vetor é

ˆ ˆ ˆ( ) Re{[ exp( ) exp( ) exp( ) ]exp( )}x x y y z zV t V j x V j y V j z j t

( ) Re{ exp( )}V t V j t

vetor complexo

ˆ ˆ ˆexp( ) exp( ) exp( )x x y y z zV V j x V j y V j z

Page 7: & µ v u v } s } } u o Æ }

Função e derivada

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 7

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Graph_of_sliding_derivative_line.gif

2

' 2 2

( ) sin( ) 1( ) sin( ) 2 cos( )

f x x xf x x x x

http://phet.colorado.edu/simulations/sims.php?sim=Calculus_Grapher

Page 8: & µ v u v } s } } u o Æ }

Fluxo através de S-1

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 10

Fn̂

dS S

F dS

ˆdS dS n

SV

animação

Page 9: & µ v u v } s } } u o Æ }

Rotacional e divergente

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 16

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆx y zx y z F x F y F zx y z

F

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆx y zx y z F x F y F zx y z

F

opeˆ ˆ ˆ rador del (notação)x y zx y z

campo vetorˆ ˆ aˆ i lx y zF x F y F z F

Page 10: & µ v u v } s } } u o Æ }

Operadores diferenciais vetoriais-1

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 17

2

2

: gradiente de escalar

: rotacion : lapla

: divergente de

ciano de escalaral de vetor

: laplaciano de ve

vetor

tor

AA

A

Page 11: & µ v u v } s } } u o Æ }

Operadores diferenciais vetoriais-2

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 18

yx

yz

yx z

z

x

AAx

y zAA

AA Ax

x y zx y

A Ay z

x x

z

z

y

z y

A

A

Page 12: & µ v u v } s } } u o Æ }

Operadores diferenciais vetoriais-3

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 19

2 2 22

2 2 2

2

2 2 2

( ) ( )

x y zx A y A z A

x y z

A AA

Page 13: & µ v u v } s } } u o Æ }

Valor Médio de Grandeza Variável no Tempo

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 23

o valor médio de vetor complexo é

0

1 [ cos( ) cos( ) c () 0s( o ) ]T

x x y y z zV t x V t y V t ztT

V

grandeza escalar 0( ) cos( )v t V t

00

1( ) cos( ) 0T

v t V t dtT

valor médio da função

22

0021( )2

( )Tv

Ttt dt

Vv

Page 14: & µ v u v } s } } u o Æ }

Valor Médio do Produto Vetorial de Dois Vetores-1

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 24

vetores complexos

i

r i

r

B BA A

jBjA

domínio do tempo

( ) Re{ exp( )} cos( ) sen( )( ) Re{ exp( )} cos( ) sen( )

r i

r i

A t A j t A t A tB t B j t B t B t

Page 15: & µ v u v } s } } u o Æ }

Valor Médio do Produto Vetorial de Dois Vetores-2

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 25

( ) Re{ exp( )} cos( ) sen( )( ) Re{ exp( )} cos( ) sen( )

r i

r i

A t A j t A t A tB t B j t B t B t

produto vetorial

2 2( ) ( ) cos ( ) sen ( )

sen( )cos( )r r i i

r i i r

A t B t A B t A B t

A B A B t t

valor médio deste produto vetorial

0

1 1( ) ( ) ( ) ( )2

T

r r i iA t B t A t B t dt A B A BT

domínio do tempo

Page 16: & µ v u v } s } } u o Æ }

Valor Médio do Produto Vetorial de Dois Vetores-3

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 26

valor médio deste produto vetorial

0

1 1( ) ( ) ( ) ( )2

T

r r i iA t B t A t B t dt A B A BT

r i r i r r i i i r r iA B A jA B jB A B A B j A B A B

*1( ) ( ) Re2

A t B t A B

o valor médio do produto vetorial de dois vetores é determinado a partir da representação complexa

2 2( ) ( ) cos ( ) sen ( ) sen( )cos( )r r i i r i i rA t B t A B t A B t A B A B t t

Page 17: & µ v u v } s } } u o Æ }

ReferênciasMath Insight

– http://mathinsight.org/curl_componentsPhEThttp://phet.colorado.edu/Wolfram Alpha

– http://www.wolframalpha.com/

22/08/2016 SEL310/612 Ondas Eletromagnéticas Amilcar Careli César USP EESC SEL 27


} v Z À v P v µ u À ] } Æ o µ ] À } } v µ o } ] } v ( ] v ... · ANGF villas-boas acp Haja o que houver. CORRETORES ASSOCIADOS DE SEGUROS S.A. EST. 1944

} v Z À v P v µ u À ] } Æ o µ ] À } } v µ o } ] } v ( ] v ... · ANGF villas-boas acp Haja o que houver. CORRETORES ASSOCIADOS DE SEGUROS S.A. EST. 1944

ò ó u æ s

ò ó u æ s

Z o ] } } v ] o } v u v } } Æ ] } } & µ v } u } } d o Z ... · &rqyrqlrv h ,qvwuxphqwrv &rqjrqhuhv d dsurydu fygljr o 1mr uhjxodul]domr gh rfruurqfld dsrqwdgd qr dxglwru frqwielo

Z o ] } } v ] o } v u v } } Æ ] } } & µ v } u } } d o Z ... · &rqyrqlrv h ,qvwuxphqwrv &rqjrqhuhv d dsurydu fygljr o 1mr uhjxodul]domr gh rfruurqfld dsrqwdgd qr dxglwru frqwielo

} v } o } P ] ] ( v ( } i } ] v o } Æ } ] } Duets técnic… · } v } o } P ] } i } ] v o } Æ } ] } Duets u }abril maio junho julho agosto setembro µ µ u u ] u } } µ } } v µ

} v } o } P ] ] ( v ( } i } ] v o } Æ } ] } Duets técnic… · } v } o } P ] } i } ] v o } Æ } ] } Duets u }abril maio junho julho agosto setembro µ µ u u ] u } } µ } } v µ

W } } ^ P ] / d Z u } o ] } u o Æ ^ } ] o v v À ] } v u v ...

W } } ^ P ] / d Z u } o ] } u o Æ ^ } ] o v v À ] } v u v ...

^]oÀ] ] v& ] U']ou d ]Æ ] /v(} u v µ }W µ] v}/&&oµu]v ...€¦ · Capa Projeto Gráfico Diagramação Regina de Oliveira Tonelli Henrique Barreiros Alves Rodolfo Rodrigues Pontes

^]oÀ] ] v& ] U']ou d ]Æ ] /v(} u v µ }W µ] v}/&&oµu]v ...€¦ · Capa Projeto Gráfico Diagramação Regina de Oliveira Tonelli Henrique Barreiros Alves Rodolfo Rodrigues Pontes

o } K Æ ] ] À ] d v } o } v

o } K Æ ] ] À ] d v } o } v

Jornal O DIA SP Página 4 Nacional Ministro visita criança ......Z µ o } µ ] À o ! v ] ] u } v ] o (214.009) (4.521.489) & o µ Æ } ] Æ o _ µ ] } } v À ] } ] } v ] ~ õ X ô

Jornal O DIA SP Página 4 Nacional Ministro visita criança ......Z µ o } µ ] À o ! v ] ] u } v ] o (214.009) (4.521.489) & o µ Æ } ] Æ o _ µ ] } } v À ] } ] } v ] ~ õ X ô

V EPIC - Caderno de Resumos - fateb.eventoum.com.br · } Ç ] P Z } Æ } î ì í ô r ] } & d d } } } ] ] } À } X u ] ] } µ } ( ] v µ } X

V EPIC - Caderno de Resumos - fateb.eventoum.com.br · } Ç ] P Z } Æ } î ì í ô r ] } & d d } } } ] ] } À } X u ] ] } µ } ( ] v µ } X

Técnico de Laboratório - Anatomia · x Yh ^d K í ï > ] } } ] ] Æ } U Æ _ } d Æ } ï W

Técnico de Laboratório - Anatomia · x Yh ^d K í ï > ] } } ] ] Æ } U Æ _ } d Æ } ï W

JAGUARIPE - sei.ba.gov.br · ²³ " å Ýæ Ý å å æ å å " æ åæ õ å æ Ý å æ u å å õ æ " æ " " " " æ åæ l l Onha Mutá C ocã Capão Fátima Amaral Sodoma Cações

JAGUARIPE - sei.ba.gov.br · ²³ " å Ýæ Ý å å æ å å " æ åæ õ å æ Ý å æ u å å õ æ " æ " " " " æ åæ l l Onha Mutá C ocã Capão Fátima Amaral Sodoma Cações

Z o ] } } v ] o } v u v } } Æ ] } } D ] v ] ] } } v } u ]€¦ · 6,$'6 whqgr hp ylvwd rv sulphlurv uhjlvwurv uhdol]dgrv qd 8* 63( 0( Ïujmr ± 6xshulqwhqgrqfld gd =rqd )udqfd gh

Z o ] } } v ] o } v u v } } Æ ] } } D ] v ] ] } } v } u ]€¦ · 6,$'6 whqgr hp ylvwd rv sulphlurv uhjlvwurv uhdol]dgrv qd 8* 63( 0( Ïujmr ± 6xshulqwhqgrqfld gd =rqd )udqfd gh

CV AMonteiro 2016 - ihc · í ò DKEd /ZK U o Æ v ~ î ì í ò ^h u ( u } u v Z ] ] À W } u v Z ] ' o

CV AMonteiro 2016 - ihc · í ò DKEd /ZK U o Æ v ~ î ì í ò ^h u ( u } u v Z ] ] À W } u v Z ] ' o

catálogo IMPRESSO 2020 · 2020. 11. 5. · ã ] [ \ æ \ y ] w [ x u y w u ã ] [ \ æ \ y ] w [ x u y w u ã u z v w á ã v y [ ã u p æ v t u ] 5didho &duydokr 5h]hqgh 2olyhlud

catálogo IMPRESSO 2020 · 2020. 11. 5. · ã ] [ \ æ \ y ] w [ x u y w u ã ] [ \ æ \ y ] w [ x u y w u ã u z v w á ã v y [ ã u p æ v t u ] 5didho &duydokr 5h]hqgh 2olyhlud

Forum de DANT - GT Violencia autoprovocadasvs.aids.gov.br/.../grupo7-violencia-autoprovocada.pdf · w ] v ] ] µ Æ v u } v } ] o u î ì í ó)dl[d hwiuld dqr d dqrv d dqrv d dqrv

Forum de DANT - GT Violencia autoprovocadasvs.aids.gov.br/.../grupo7-violencia-autoprovocada.pdf · w ] v ] ] µ Æ v u } v } ] o u î ì í ó)dl[d hwiuld dqr d dqrv d dqrv d dqrv

Cap 4 Crises Cambiais e Financeiras - Armando Manuelarmandomanuel.pro/macro/macro_II/Cap 4_Crises Cambais e Financeiras... · & o µ Æ } P u ] u ] ] } ] } Æ ] À } v ] À ] u v

Cap 4 Crises Cambiais e Financeiras - Armando Manuelarmandomanuel.pro/macro/macro_II/Cap 4_Crises Cambais e Financeiras... · & o µ Æ } P u ] u ] ] } ] } Æ ] À } v ] À ] u v

Lista definitiva admitidos · 2018-11-05 · 1 gh ,qvfulomr 1rph &pgxod'rf hp )dowd 3urjudpd gh )rupdomr > ] ( ] v ] ] À v ] } u ] ] } Æ o µ _ } } w } ] u v } } v µ o /d î ì

Lista definitiva admitidos · 2018-11-05 · 1 gh ,qvfulomr 1rph &pgxod'rf hp )dowd 3urjudpd gh )rupdomr > ] ( ] v ] ] À v ] } u ] ] } Æ o µ _ } } w } ] u v } } v µ o /d î ì

i ] ] } Æ u ] µ ] } } v u } À ] u ] v } ] o ~ Z u ] ] · 2020-04-24 · Si es necesario que un tercero te ayude a completar el movimiento. Repita el movimiento 30 veces con calma.

i ] ] } Æ u ] µ ] } } v u } À ] u ] v } ] o ~ Z u ] ] · 2020-04-24 · Si es necesario que un tercero te ayude a completar el movimiento. Repita el movimiento 30 veces con calma.

Aula 7 - Válvulas de Controle...î í l ì ò l î ì í ô í ò s o À µ o o } u v } Z } ] À } 9s o À µ o ( } u µ } ] ( P u ] }s ] ( P u ( o Æ _ À o W ( Ì } ] Æ } u }

Aula 7 - Válvulas de Controle...î í l ì ò l î ì í ô í ò s o À µ o o } u v } Z } ] À } 9s o À µ o ( } u µ } ] ( P u ] }s ] ( P u ( o Æ _ À o W ( Ì } ] Æ } u }

W P] µ u }i }µ vÀ}oÀ µµu } µ } Æ o!v ]U v v } }u v uÀ} !J · DI ÃO IRATARIA! Prestigie quem projetou e desenvolveu um produto de excelência, pensando somente em você!

W P] µ u }i }µ vÀ}oÀ µµu } µ } Æ o!v ]U v v } }u v uÀ} !J · DI ÃO IRATARIA! Prestigie quem projetou e desenvolveu um produto de excelência, pensando somente em você!