Universidade Estadual de Campinas

Tarefa 2

Analise Horizontal

Thaıs Marson

Ana Claudia Piau Candido

Otavio de Nadae

142007

154615

156899

26 de setembro de 2017

Sumario

1 Introducao 2

2 Metodologia 3

2.1 Organizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Conteudos Pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Conteudos Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.5 Pontuacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Organizacao 5

4 Conteudos Pares 9

4.1 Expressao algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4 Operacoes com polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.5 Produtos Notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.6 Fatoracao de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Conteudos Impares 21

5.1 Operacoes com monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Exercıcios 22

6.1 Exercıcios Pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.2 Exercıcios Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7 Conclusao 32

1

1 Introducao

Figura 1: Livro 1 Figura 2: Livro 2

Figura 3: Capas dos livros analisados

Nessa tarefa, realizamos uma analise horizontal de dois livros didaticos com

o objetivo de comparar um mesmo conteudo matematico abordado em ambos a

partir de uma metodologia definida pelo grupo e decidir qual deles apresentou esse

conteudo de maneira mais adequada, levando em conta o contexto da utilizacao

do livro em sala de aula.

Os dois livros que foram comparados sao voltados para o 8º ano. O livro

Vontade de Saber, que chamamos aqui de livro 1, e de autoria de Joamir Souza

e Patricia Moreno Pataro. E o livro da colecao Convergencias, que chamamos de

livro 2, e de autoria de Eduardo Chavante.

A comparacao foi feita analisando o capıtulo 5 do livro 1, chamado “Polinomios,

produtos notaveis e fatoracao”, e o capıtulo 7 do livro 2, denominado “Calculo

2

algebrico”.

2 Metodologia

2.1 Organizacao

Alguns dos criterios analisados dentro desse topico foram:

Padrao de apresentacao: Como os autores seguem a exposicao dos conteudos

ao longo do capıtulo, podendo apresentar um assunto partindo de um caso es-

pecıfico para o caso geral ou partindo do caso geral para casos especıficos.

Subcapıtulos: Se os assuntos apresentados pelos autores estao divididos em

secoes coerentes e bem sequenciadas.

Recursos visuais: Como os autores utilizam imagens e outros recursos graficos

ao longo do capıtulo.

Layout: Se o posicionamento de imagens, quadros de avisos e outros elementos

de destaque estao posicionados e distribuıdos de forma coerente.

Alem desses quatro criterios essenciais, podem surgir ainda outros pontos rela-

cionados a organizacao e a estrutura passıveis de comparacao entre os dois livros.

Apos a comparacao desses criterios e de outras questoes que possam aparecer,

daremos 1 ponto para o livro que se sobressair no aspecto comparado e nenhum

ponto caso os livros se mostrem semelhantes durante a comparacao.

2.2 Conteudos Pares

Sao conteudos presentes em ambos os livros e, assim, passıveis de comparacao.

Consideramos os seguintes aspectos para analise:

Abordagem: Como o conteudo e apresentado pelos autores, levando em conta

as motivacoes iniciais para a introducao do assunto, a clareza e a objetividade dos

textos.

Rigor Matematico: Se os livros apresentam definicoes, teoremas e proprie-

dades adequados e corretos.

Exemplos: Se os livros apresentam exemplos de qualidade, se possuem uma

quantidade adequada, se eles sao relevantes e ajudam no entendimento do aluno.

3

Ao comparar conteudos pares dos dois livros, decidiremos se algum deles o

executou de maneira mais adequada e atribuiremos 1 ponto para o melhor, ou nao

atribuiremos pontos caso nenhum deles se sobressaia consideravelmente.

2.3 Conteudos Impares

Sao conteudos presentes em apenas um dos livros e, por isso, foram analisados

separadamente. Foram analisados os seguintes aspectos:

Relevancia: Se o conteudo apresentado e importante para o capıtulo anali-

sado.

Desenvolvimento: Se, independente da relevancia, o autor desenvolve o

conteudo de maneira satisfatoria.

Apos analisarmos o conteudo ımpar de um livro, atribuiremos 1 ponto caso o

conteudo seja pertinente e bem apresentado, e nenhum ponto caso contrario.

2.4 Exercıcios

Quantidade e Distribuicao: Obervamos se o capıtulo possui equilıbrio entre

quantidade de exercıcios e competencias requisitadas por esses.

Para cada competencia inspecionada, decidiremos qual livro a explorou de

modo mais pertinente e atribuiremos 1 ponto para esse. Caso os dois livros tra-

balhem uma mesma competencia de forma conveniente, nao pontuaremos nenhum

deles por tal competencia.

2.5 Pontuacao

Apos analisarmos todos os criterios propostos inicialmente, faremos a soma dos

pontos acumulados por cada livro em cada um dos criterios.

Para a pontuacao geral do capıtulo, atribuiremos peso 5 para os conteudos

pares e ımpares, peso 4 para os exercıcios e peso 2 para a organizacao.

Depois de atribuirmos os pontos e termos feito a somatoria geral considerando

os pesos, veremos qual livro recebeu a maior quantidade de pontos, e entao cons-

tataremos qual deles sera considerado melhor.

4

3 Organizacao

Divisao dos capıtulos

Observando o sumario de cada um dos livros, observamos que o livro 2 reune

dois ou mais capıtulos dentro de uma “unidade”, enquanto o livro 1 mantem os

capıtulos isolados.

Figura 4: Livro 1 Figura 5: Livro 2

Figura 6: Sumario dos livros analisados

Nesse aspecto, o livro 1 e mais adequado pelo fato de que as unidades do livro 2

trazem capıtulos nao relacionados entre si e ainda, ao fim de cada unidade, o livro

2 traz um bloco de exercıcios denominado “Verificando rota” envolvendo exercıcios

de todos os capıtulos da unidade mas sem relacionar os conteudos dos capıtulos

entre si.

Consideramos entao que, pelos aspectos negativos do livro 2, o livro 1 fez um

papel melhor nessa comparacao. (Livro 1 +1)

5

Introducao inicial do capıtulo

Os dois livros abordam uma situacao real para a utilizacao de expressoes

algebricas. O livro 1 apresenta a vazao de agua das cataratas do Iguacu dizendo

que a cada segundo sao escoados 1500 m3 de agua, entao a cada n segundos o

volume escoado e 1500 · n m3. O livro 2 apresenta a trajetoria de uma bola de

futebol ao ser chutada, sendo a altura dada em funcao da distancia horizontal

percorrida pela bola, e essa funcao e dada por uma expressao algebrica.

O objetivo dos dois livros com essa introducao e apresentar o conceito de valor

numerico de uma expressao algebrica, e os dois livros conseguem cumpri-lo.

Alem disso, o livro 2 levanta duas questoes que abordam outros conteudos alem

da simples substituicao da variavel para encontrar um valor numerico. Por isso, o

livro 2 se sobressaiu na introducao. (Livro 2 +1)

Ordem de subcapıtulos

Observamos que a maior parte dos conteudos apresentados nos dois livros sao

conteudos pares. Assim, com excecao dos subcapıtulos “Expressoes algebricas”

e “Potenciacao com monomios”, ambos do livro 1, a divisao de subcapıtulos nos

dois livros e feita de forma igual. Alem disso, a ordem em que os subcapıtulos

coincidentes aparecem nos livros tambem e a mesma. (Empate)

Padrao de apresentacao

Os dois livros utilizaram abordagens muito similares em todos os conteudos

pares do capıtulo. Como a maior parte dos conteudos se baseia em apresentar

formas de realizar manipulacoes algebricas, os livros escolheram introduzir esses

conteudos a partir de exemplos. E, mesmo os conteudos que foram apresentados

partindo de um caso geral para depois serem mostrados exemplos, os dois livros

realizaram essa sequencia da mesma forma. (Empate)

Textos em destaque

No livro 1, sao utilizados blocos amarelos para destacar no texto uma sıntese

geral do conteudo abordado. Em alguns casos, eles retomam definicoes ja dadas

e apresentam alguns exemplos; em outros, ao tratar de manipulacoes algebricas,

6

eles mostram exemplos da operacao com monomios e/ou polinomios a ser ensinada

como um guia para realizar tais operacoes. Os blocos amarelos sao utilizados ao

longo do capıtulo de forma coerente, mas a partir do conteudo de fatoracao, eles

deixam de ser utilizados.

Tambem sao inseridos ao longo do capıtulo alguns avisos com o objetivo de

apresentar termos relacionados aos conteudos, ou de chamar a atencao para alguns

detalhes que podem auxiliar o aluno ao se deparar com algo que o texto principal

nao apresentou.

No livro 2, sao utilizados blocos azuis para destacar uma sıntese do que foi ensi-

nado: tanto definicoes quanto mecanismos das operacoes com monomios/polinomios.

Assim como ocorre no livro 1, os blocos azuis tambem deixam de ser utilizado

quando se inicia o assunto de fatoracao.

Tambem sao utilizados quadros pontilhados para inserir pequenos avisos ou

lembretes ao longo do capıtulo, podendo servir para chamar a atencao do aluno

para detalhes a serem considerados, para retomar ou ensinar o significado de al-

gumas palavras ou expressoes que sao utilizadas ao se tratar desse conteudo.

Comparando os blocos amarelos do livro 1 com os blocos azuis do livro 2,

vemos que o livro 2 utiliza-os de forma mais objetiva, destacando o essencial do

conteudo enquanto o livro 1 insere muita informacao neles. Em relacao aos avisos

espalhados pelo capıtulo, os dois livros os utilizam de forma adequada.

Feita essa comparacao, decidimos que o livro 2 fez um melhor trabalho na

escolha dos textos a serem destacados do restante. (Livro 2 +1)

Recursos visuais

Os dois livros trazem elementos visuais em todos os conteudos iniciais do

capıtulo, muitos com o intuito de ajudar na construcao do exemplo inicial de

cada conteudo. Tambem em ambos os livros, a partir dos topicos de “Produtos

notaveis” os elementos visuais utilizados servem apenas de apoio as representacoes

geometricas dos produtos notaveis apresentados. E nos topicos de “Fatoracao de

polinomios”, os livros nao apresentam mais recursos visuais. Logo, nessa questao,

os dois livros se mostraram semelhantes.

Os autores de ambos os livros tambem se preocuparam em inserir imagens

acompanhando os exercıcios do capıtulo. Em cada um dos blocos de exercıcios

7

ha pelo menos dois exercıcios com figuras, ajudando na busca pela atencao e

motivacao dos alunos.

Pela semelhanca na utilizacao de recursos visuais, nenhum dos livros se desta-

cou nesse aspecto. (Empate)

8

4 Conteudos Pares

4.1 Expressao algebrica

O livro 1 possui um subcapıtulo para a explicacao de expressoes algebricas.

Nele ha um exemplo que introduz o subcapıtulo e, tambem, traz as definicoes de

expressao algebrica, valor numerico e variaveis.

Ja o livro 2 trata as expressoes algebricas dentro da apresentacao de monomios.

Nele ha uma breve definicao de expressao algebrica e uma breve explicacao de

variaveis.

Devido ao livro 1 trazer a explicacao de expressao algebrica com uma melhor

didatica, ele e o que melhor se adequa. (Livro 1 +1)

4.2 Monomios

Apresentacao

Os dois livros apresentam o conceito de monomio atraves do calculo de area de

um retangulo. O que os diferencia e que o livro 2 traz uma motivacao como se um

aluno estivesse descobrindo a resposta do problema da area, enquanto no livro 1

apenas apresenta a expressao.

O livro 2 traz uma pergunta sobre coeficiente e grau de um monomio para

finalizar a explicacao, enquanto o livro 1 da uma ideia ao professor para que os

alunos possam interagir trazendo ideias de monomios semelhantes.

Atraves desta analise, decidimos que a apresentacao que melhor se adequa ao

conteudo e a do livro 2. (Livro 2 +1)

9

Figura 7: Trecho da apresentacao do livro 2

Adicao e Subtracao

O livro 1 explica adicao e subtracao atraves de um exemplo de calculo de

volume de um podio. Ele tambem cita a propriedade distributiva da multiplicacao

em relacao a adicao e afirmam sua funcionalidade de simplificacao.

O livro 2 explica a adicao e subtracao atraves de um exemplo de calculo de

perımetro de um quadrilatero. Ele enfatiza o fato de que e preciso que os monomios

sejam semelhantes para poder soma-los, e tambem cita a importancia da proprie-

dade distributiva da multiplicacao em relacao a adicao.

Em ambos os livros ha quatro exemplos de adicao e subtracao, mas o livro 2

da um exercıcio para que os alunos pensem em dois monomios que resulte em um

monomio dado.

Devido ao fato do livro 2 enfatizar o fato dos monomios serem semelhantes, ele

e quem melhor adequa o conteudo. (Livro 2 +1)

10

Figura 8: Trechos onde se enfatiza o fato dos monomios serem semelhantes

Multiplicacao

O livro 1 inicia a explicacao atraves de um exemplo de calculo de area de

um quadrado. Depois da quatro exemplos numericos e cita as propriedade de

comutativa da multiplicacao e a propriedade de multiplicacao de potencias de

mesma base, e nessa traz um lembrete sobre como ela e definida.

O livro 2 da um exemplo numerico para iniciar a explicacao e apos mais quatro

exemplos numericos. Cita tambem as propriedades.

Como o livro 1 traz um lembrete sobre a propriedade de multiplicacao de

potencia de mesma base, e ainda traz um exemplo contextualizado de multi-

plicacao, o conteudo que melhor traz a explicacao e o do livro 1. (Livro 1 +1)

Divisao

Ambos os autores explicaram atraves de um exemplo numerico. O livro 1

revisou a propriedade de divisao de potencia de mesma base, ja o livro 2 tomou

cuidado e fez um adendo ao fato do denominador ter que ser diferente de zero.

Como ambos fizeram comentarios importantes, nao houve uma concordancia

quanto a superioridade. (Empate)

11

Figura 9: Comentario do livro 1

Figura 10: Comentario do livro 2

4.3 Polinomios

Apresentacao

Ambos os livros iniciam a secao de Polinomios com um exemplo, sendo que o

Livro 1 considera a area retangular de um salao dividido em 3 partes, e o Livro

2 utiliza uma chapa retangular metalica da qual foi retirada uma peca (tambem

retangular). No primeiro, o autor coloca direto a soma das areas de cada parte

e indica embaixo a correspondencia. Ja no outro livro o autor coloca o calculo

isolado de cada uma das areas e depois realiza a soma abaixo, deixando de forma

uma pouco mais facil o acompanhamento do que foi feito. Por fim, eles concluem

que a area final (expressao algebrica) e chamada de polinomio.

Em seguida segue-se a definicao formal do que e um polinomio, que nos dois

livros estao praticamente iguais, mas seguindo o livro 1 o autor descreve como

alguns especıficos polinomios sao chamados, baseados na quantidade de termos

que possuem e da exemplos disso, enquanto no livro 2 o autor simplesmente da

mais exemplos de polinomios, antes de abordar a parte de nomenclatura.

Como o exemplo dado, modo do desenvolvimento do assunto e o rigor ma-

tematico foram todos muito semelhantes, quanto a pontuacao desse topico, deci-

12

Figura 11: Livro 2 Figura 12: Livro 1

Figura 13: Introducao de Polinomios

dimos considerar empate. (Empate)

Simplificacao de Polinomios

Ambos introduzem o assunto dizendo que e possıvel simplificar polinomios se

estes apresentarem monomios semelhantes em sua escrita. Entao, um exemplo e

apresentado e desenvolvido passo a passo em cada um deles. Porem, no Livro 2, o

autor apresenta uma segunda forma de simplificacao mais pratica. (Livro 2 +1)

Grau de um Polinomio

Os dois livros iniciam apresentando um exemplo que se desenvolve gradativa-

mente passando por todos os passos. Primeiro os autores destrincharam cada um

dos termos do polinomio e calcularam o grau deles. Observando entao todos os

valores obtidos, o grau do polinomio sera o maior dentre todos. As unicas coi-

sas que diferenciam os dois e que o livro 2 possui um exemplo a mais. Portanto,

consideramos empate. (Empate)

13

Figura 14: Livro 1 Figura 15: Livro 2

Figura 16: Grau de polinomios

4.4 Operacoes com polinomios

Adicao de polinomios

No comeco da secao o autor do Livro 1 utiliza como exemplo de introducao

duas figuras geometricas, sendo que uma, figura 1, e a juncao de dois retangulos

e a segunda, figura 2, um outro retangulo. Entao e sugerido somar estas duas

areas, dados os valores dos lados das imagens. No Livro 2, utiliza-se o exemplo de

duas figuras geometricas tambem (um quadrilatero e um triangulo), entretanto, e

pedido que calcule-se o perımetro total dessas duas figuras.

Dentro ainda da adicao temos um subitem que trata de polinomios opostos,

portanto, nos dois livros o modo de introducao e completamente semelhante. Ba-

sicamente, o que altera e apenas o exemplo dado.

Sendo assim, por serem tao semelhantes nao houve concordancia quanto a

superioridade de um dos livros. (Empate)

Subtracao de polinomios

No Livro 1 o assunto e introduzido dizendo que a subtracao e realizada adici-

onando o 1º polinomio ao oposto do 2º polinomio. O Livro 2 aborda da mesma

14

maneira, portanto, o autor utiliza os termos “minuendo” e “subtraendo”, que sao

caracterısticos quando se fala em subtracao.

Esta e a unica diferenca entre os dois livros, algo que nao interfere quanto

ao aprendizado do aluno, portanto, consideramos empate, pensando em relacao a

pontuacao atribuıda. (Empate)

Multiplicacao de polinomios

O livro 1 apresenta esse assunto com uma situacao em que se deseja representar

a area de um retangulo atraves de um polinomio ja que as medidas dos lados

desse retangulo tambem sao polinomios, a partir disso surge a necessidade de se

multiplicar polinomios. O livro entao mostra duas maneiras distintas de se resolver

essa situacao, mas so na segunda maneira e utilizada a multiplicacao de polinomios

(seguindo a propriedade distributiva da multiplicacao).

Ja no livro 2, esse assunto surge sem qualquer contexto, apenas sao mostradas

maneiras distintas de se resolver a multiplicacao de dois polinomios, que nao re-

presentam nada. Entretanto as duas maneiras apresentadas podem ser utilizadas

para se resolver qualquer multiplicacao entre dois polinomios.

Apos essa abordagem inicial, os dois livros seguem de forma bem semelhante,

mencionando a propriedade distributiva da multiplicacao e tambem como pode-se

realizar um produto envolvendo mais de dois polinomios. Apesar de, nos exem-

plos, nao utilizar as flechinhas representando a propriedade distributiva, o livro 2

apresenta uma quantidade maior de exemplos do que o livro 1.

Por mencionar duas maneiras distintas de se realizar o produto de dois po-

linomios e apresentar mais exemplos desse assunto, o livro 2 se sobressaiu na

totalidade.(Livro 2 +1)

Divisao de polinomio por monomio

A situacao apresentada para a introducao desse assunto e bastante semelhante

nos dois livros. O livro 1 mostra um retangulo cuja area e representada por

um polinomio e a medida de um de seus lados e representada por um monomio

e deseja calcular a medida do outro lado desse retangulo. O livro 2 mostra um

paralelogramo cuja area e representada por um polinomio e a medida da sua altura

e representada por um polinomio e deseja encontrar o polinomio que representa a

15

medida da sua base.

Com essas informacoes, ambos os livros realizam a divisao de um polinomio

(representando a area) por um monomio (representando uma das medidas da fi-

gura) para encontrar a medida procurada. O livro 2 apresenta duas maneiras

distintas de se realizar essa divisao: a divisao utilizando o metodo da chave e a

divisao de termo a termo do polinomio pelo monomio. O livro 1 so apresenta a

segunda maneira mostrada no livro 2.

O livro 2 apresenta mais exemplos desse tipo de divisao do que o livro 1. Os

dois livros citam que o denominador nao pode ser o monomio nulo, mas o livro 2

reforca esse ponto apos os exemplos.

Apos essa analise, consideramos que o livro 2 foi melhor na apresentacao desse

conteudo. (Livro 2 +1)

4.5 Produtos Notaveis

Apresentacao

Os dois livros fazem uma breve apresentacao, de um paragrafo, explicando o

que sao os produtos notaveis. Os dois textos sao bem semelhantes. (Empate)

Quadrado da soma de dois termos

Os dois livros logo apresentam a igualdade (a+b)2 = a2 +2ab+b2 justificando-

a algebricamente pela propriedade distributiva da multiplicacao. Ambos utilizam

flechas para registrar qual e o primeiro e qual e o segundo termo do produto notavel

e tambem para evidenciar a utilizacao da distributividade.

Apos apresentar a igualdade algebricamente, os dois livros justificam geome-

tricamente esse produto notavel. A ideia geometrica utilizada pelos dois livros e

essencialmente a mesma, mas o livro 2 a apresenta com mais clareza.

O livro 2 traz em destaque o modo de calcular (a+ b)2 expresso em palavras e

apresenta um exemplo a mais que o livro 1.

Em geral, o livro 2 apresenta esse assunto de modo mais satisfatorio. (Livro

2 +1)

16

Quadrado da diferenca de dois termos

Esse assunto transcorre de forma extremamente similar nos dois livros em

relacao a secao “Quadrado da soma de dois termos”.

Os dois livros iniciam apresentando a igualdade (a−b)2 = a2−2ab+b2 de forma

analoga ao que foi feito no assunto anterior. A justificativa geometrica tambem

aparece nos dois livros, o livro 2 apresenta mais passos enquanto o livro 1 e mais

conciso na apresentacao.

O livro 2 destaca o modo como o calculo desse produto notavel pode ser ex-

presso em palavras e apresenta um exemplo a mais do que o livro 1.

Em geral, nenhum livro se sobressaiu nesse conteudo. (Empate)

Produto da soma pela diferenca de dois termos

Os dois livros seguem o mesmo padrao de apresentacao das duas secoes ante-

riores. De inıcio, demonstram algebricamente a igualdade (a + b)(a− b) = a2 − b2

e em seguida apresentam uma representacao geometrica desse produto notavel. A

justificativa geometrica para a igualdade e apresentada de maneira mais extensa

pelo livro 2, enquanto o livro 1 consegue ser mais conciso. (Livro 1 +1)

4.6 Fatoracao de polinomios

Apresentacao

Ambos os livros apresentam o conceito retomando a fatoracao de numeros. As

diferencas sao: no livro 1 o autor traz um exemplo de fatoracao atraves do calculo

da area de um retangulo, ja no livro 2 e exibido a definicao de “fatorar”.

Analisando qual das duas diferencas e mais relevante, decidimos que o livro 1

traz uma apresentacao melhor sobre o assunto. (Livro 1 +1)

17

Figura 17: Exemplo do livro 1

Fatoracao colocando um fator comum em evidencia

Os dois livros expressam esse tipo de fatoracao de maneira semelhante, ou seja,

ambos trazem a decomposicao dos fatores, a indicacao de quais sao comuns aos

dois fatores e depois o colocam os comuns em evidencia. A estrutura que o livro

1 traz e um pouco mais didatica, ja o livro 2 traz uma forma de verificacao como

conteudo extra.

Atraves dessa analise estabelecemos que a melhor explicacao e a do livro 2.

(Livro 2 +1)

Figura 18: Verificacao do livro 2

Fatoracao por agrupamento

Os dois livros explicam a fatoracao por agrupamento de maneira semelhante,

atraves de um exemplo numerico, e por fim, mencionam a propriedade distributiva

da multiplicacao para verificar se a forma fatorada esta correta. O livro 1 traz de

18

forma sobressalente, dois exemplos numericos. Por causa disso, e decidido que o

livro 1 e o melhor neste topico. (Livro 1 +1)

Fatoracao da diferenca de dois quadrados

O livro 1 retorma que o produto da soma pela diferenca e igual a uma diferenca

de quadrados, estudado em paginas anteriores, e traz dois exemplos numericos.

Ja o livro 2 mostra o porque do produto da soma pela diferenca e uma diferenca

de quadrados e traz outros tres exemplos.

A partir dessa analise, decidimos que o livro que traz uma melhor explicacao

sobre este tipo de fatoracao e o livro 2. (Livro 2 +1)

Figura 19: Fatoracao da diferenca de dois quadrados pelo livro 1

Figura 20: Fatoracao da diferenca de dois quadrados pelo livro 2

19

Fatoracao do trinomio quadrado perfeito

O livro 1 retoma que o quadrado da soma ou da diferenca de dois termos e

um trinomio quadrado perfeito, estudado em paginas anteriores, entao ele define

a forma fatorada de um quadrado perfeito. Alem disso, ele traz quatro exemplos

numericos.

Ja o livro 2 mostra o porque dessa relacao acontecer e, assim, mostra ao lei-

tor como fatorar um trinomio quadrado perfeito. Traz, tambem, tres exemplos

numericos.

Depois dessa analise, decidimos que o livro 2 possui a melhor explanacao do

tema. (Livro 2 +1)

20

5 Conteudos Impares

5.1 Operacoes com monomios

Potenciacao

O livro 1 tem um subcapıtulo de potenciacao de monomios. O subcapıtulo e

iniciado atraves de um exemplo de calculo de volume de um cubo. Sabe-se que ja

fora estudado multiplicacao de monomios e revisado a multiplicacao de potencias

de mesma base, entao o livro 1 nao sera pontuado.

Figura 21: Exemplo introdutorio de potenciacao do livro 1

21

6 Exercıcios

6.1 Exercıcios Pares

Introducao

Observando os dois livros e possıvel notar logo de inıcio que o Livro 1 possui

uma quantidade muito maior de exercıcios do que o Livro 2, quase numa proporcao

2 para 1 (Livro 1: 118 exercıcios; Livro 2: 63 exercıcios). Os exercıcios do Livro

1 possuem uma maior divisao no decorrer do capıtulo, ou seja, ao final de cada

divisao de assunto existe uma area reservada para exercıcios. O que nao acontece

no Livro 2, em que os exercıcios sao encontrados apos um bloco de diferentes

assuntos ter sido introduzido.

Sendo assim, a divisao dos exercıcios a serem comparados foi feita da seguinte

maneira:

Competencia Livro 1 Livro 2

Expressoes Algebricas 1 - 7

1 - 15Monomio e operacoes de adicao e subtracao 8 - 16

Multiplicacao e Divisao de monomios 17 - 26

Potenciacao com monomios 27 - 29 -

Definicao de Polinomios, Simplificacao e grau 30 - 39

16 - 30Adicao e Subtracao com polinomios 40 - 45

Multiplicacao de polinomios 46 - 54

Divisao de polinomio por monomio 55 - 62

Produtos Notaveis 63 - 75 31 - 43

Fatoracao de polinomios 76 - 87 44 - 51

Exercıcios de Revisao 88 - 116 52 - 63

O objetivo dessa analise de exercıcios e comparar os dois capıtulos baseados na

quantidade de vezes que determinada competencia foi exigida para sua resolucao.

Inclusive, e possıvel que um mesmo exercıcio tenha sido encaixado em mais de

uma delas.

22

Figura 22: Histograma dos exercıcios de monomios

Monomios

Analisando o histograma vemos que alguns casos existe uma diferenca dema-

siada entre os dois livros em alguns topicos, enquanto em outros a diferenca e

quase nula (ou simplesmente nao existe). Comentaremos apenas as que possuem

diferenca mais evidente.

A primeira competencia faz mencao aqueles exercıcios em que o enunciado

apresenta uma certa sentenca e o aluno precisa interpreta-la e escreve-la de maneira

algebrica, representando exatamente o que foi pedido. Esse tipo de exercıcio exige

o conhecimento de termos matematicos (triplo, terco, etc), das operacoes e de

representacao de expressoes algebricas (estrutura), portanto e necessario pratica e

uma certa repeticao para que se possa realmente ter essa habilidade desenvolvida.

O livro 1 possui o dobro de exercıcios em que essa competencia foi exigida do que o

livro 2, sendo assim, decidimos que seria importante essa quantidade neste topico.

Resolver expressoes algebricas e algo de extrema importancia, saber substituir

variaveis por numeros e realizar operacoes basicas (soma, subtracao, multiplicacao,

divisao, potenciacao, operacoes com fracoes) e essencial. Portanto decidimos, que

uma maior quantidade de exercıcios seria ideal.

Com relacao a grau e coeficiente de monomios, o assunto nao e tao pertinente

para que seja necessario tantas aplicacoes em que essa competencia precisasse ser

23

utilizada, pois em meio a exercıcios mais elaborados, esse topico nao tera tanta

funcao, a nao para um conhecimento proprio. Portanto, neste caso, decidimos que

a maior quantidade nao e necessariamente algo melhor, mas pode estar ocupando

espaco de outros possıveis exercıcios que viessem a desenvolver melhor a capacidade

do aluno.´Comparar dois monomios e ver se sao semelhantes, e uma habilidade que precisa

ser desenvolvida nos alunos, pois e assim que saberao se e possıvel somar ou subtrair

dos destes. Em ambos os livros este assunto e tratado, porem, apenas no livro 1

ha exercıcios que abordem isso.

Quanto a soma e subtracao, o livro 1 traz exercıcios que nao exigem muita abs-

tracao do aluno, sendo praticamente um exercıcio de representacao imediata. Ja o

livro 2, apesar de apresentar menos exercıcios para aplicacao dessa competencia,

os traz de numa maneira crescente de dificuldade. A divisao, tendo observado di-

versos alunos e turmas, nao tem sido algo que os alunos dominam, portanto, seria

importante que fosse apresentado mais exercıcios desse assunto.

Saber identificar um monomio e algo exige do aluno saber se ele realmente

compreendeu a definicao daquilo que lhe foi ensinado. Portanto, decidimos que e

viavel que exista algum exercıcio que aborde essa competencia.

A seguir temos a tabela que representa a pontuacao atribuida conforme as

competencias.

Competencia Livro 1 Livro 2 Pontuacao (+1)

Representar sentenca em forma de monomio 19 9 livro 1

Resolver expressao algebrica 8 1 livro 1

Representar perımetro de figuras geometricas planas 4 4 -

Determinar grau e coeficiente 13 6 livro 2

Comparacao (semelhanca) 4 0 livro 1

Soma e Subtracao 10 4 livro 2

Multiplicacao 8 8 -

Divisao 15 8 livro 1

Emprego de varias operacoes 2 1 -

Sequencia 1 1 -

Classificar se e monomio 0 3 livro 2

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Polinomios

Figura 23: Histograma dos exercıcios de polinomios

Baseando no mesmo padrao a analise sera feita para os exercıcios que abordam

polinomios. Como ficou decidido e explicado anteriormente, na secao de monomios,

representar uma sentenca em forma de polinomio e algo que exige interpretacao e

desenvolve nao apenas uma competencia no aluno, portanto e pertinente realizar

varios exercıcios relacionados a isso.

Um dos topicos dentro de polinomios era a simplificacao. Saber simplificar

polinomios implica a utilizacao do que foi aprendido em monomios (operacoes),

portanto e algo que sera recorrente em diversos conteudos futuros que o aluno ira

aprender.

Quanto a multiplicacao e a divisao, o livro 1 apresenta mais exercıcios em am-

bos, o que e apropriado se sabemos que sao operacoes que exigem mais dos alunos,

pois e preciso saber dividir nao apenas normalmente, mas saber propriedades de

potencia e saber somar e subtrair, para deixar o polinomio em sua forma reduzida.

Por fim, o autor do livro 1 e do livro 2 colocam “Polinomio Oposto” como parte

da teoria do livro. Porem, apenas encontramos um exercıcio na secao de exercıcios

do livro 1. Decidimos pontuar o livro 1, pois apesar de nao ser algo complexo de ser

entendido, e bom para que os alunos se habituem aos conceitos novos, definicoes

e se em algum exercıcio aparecer, eles saibam lidar de forma natural com eles.

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Competencia Livro 1 Livro 2 Pontuacao (+1)

Representar sentenca em forma de polinomio 6 11 livro 2

Resolver expressao algebrica 7 5 -

Classificar tipo 6 6 -

Determinar grau 3 6 -

Simplificacao 14 7 livro 1

Soma e Subtracao 9 11 -

Multiplicacao 19 13 livro 1

Divisao 14 6 livro 1

Emprego de varias operacoes 5 7 -

Classificar se e ou nao polinomio 0 7 -

Produtos Notaveis

Figura 24: Histograma dos Execıcios de Produto Notavel

Tendo analisado os exercıcios da secao de produtos notaveis foi possıvel notar

pelo histograma que existe uma boa distribuicao das competencias dentro do livro

2. O livro 1 tambem possui uma boa distribuicao a nao ser pelo exercıcios de

diferenca de quadrados que havia apenas 1. Distribuımos os exercıcios nessas

competencias porque haviam aqueles em que se pedia que desenvolvesse o produto

notavel e aqueles em que era pedido que atraves de trinomios quadrado perfeito e

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diferencas de quadrado fossem encontrados os produtos notaveis.

Alem disso, na comparacao dos dois livros, pudemos constatar que eles possuem

quase a mesma quantidade de exercıcios em todas as competencias (a nao ser

pela diferenca de quadrados), o que ate agora nao havia ocorrido em nenhum

outro topico. Provavelmente, porque nesta secao, em ambos capıtulo haviam 12

exercıcios, e nao houve uma grande diferenca como nos outros.

Como a diferenca que mais chama atencao quando olhamos o grafico foi no

ultimo item, este sera o unico passıvel de pontuacao. Decidimos por pontuar o

livro 2, que apresentou uma maior distribuicao das competencias, uma vez que e

importante desenvolve-las igualmente bem.

Competencia Livro 1 Livro 2 Pontuacao (+1)

Quadrado da soma de dois termos 10 9 -

Quadrado da diferenca de dois termos 10 9 -

Produto da soma pela diferenca 11 13 -

Trinomio Quadrado Perfeito 7 8 -

Diferenca de quadrados 1 5 Livro 2

Fatoracao

Figura 25: Histograma dos exercıcios de fatoracao

Com relacao ao topico fatoracao, que e um assunto que percebemos uma grande

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dificuldade no ensino fundamental e medio, pudemos observar as seguintes distri-

buicoes de competencias nos dois livros.

Existe uma grande quantidade a mais de exercıcios, no livro 1, que sao sobre

fator comum, que e o modo mais intuitivo, se comparado aos outros. Como e

a primeira forma de fatoracao ensinada, e necessario que os alunos pratiquem

diversas vezes, para que compreendam esse nosso conceito e essa nova maneira de

manipulacao de certas equacoes e expressoes. Entretanto, analisando, chegamos ao

consenso de que a quantidade de vezes que essa competencia e requisitada no livro

1 e um pouco demais, e que poderiam ter sido divididas de melhor forma entre as

outras formas de fatoracao que exigem um pouco mais da capacidade dos alunos.

Quanto a quantidade apresentada no livro 2, pareceu bem razoavel, e suficiente

para que os alunos assimilem.

Quanto a fatoracao por agrupamento, no livro 1 a competencia tambem e

demandada mais vezes que no livro 2, mas a diferenca nao e muito grande. Entre-

tanto, como esse modo de fatorar e um pouco mais elaborado, os alunos provavel-

mente precisariam de mais para compreenderem. E sendo assim, o livro 1 ajudaria

mais os alunos nesse quesito.

Uma coisa que e muito desafiadora para alunos e quando o tipo do exercıcio

e alterado. Eles se acostumam a uma unica maneira de resolver aquilo e quando

um novo modo e necessario, ou se torna necessario interpretar uma figura e tirar

informacoes dela, isso dificulta o andamento. Portanto, e necessario que haja essa

insercao dos alunos e esse reconhecimento. Por isso, consideramos positivo o fato

de em um dos exercıcios ser preciso determinar um trinomio quadrado perfeito a

partir da area de um quadrado.

Competencia Livro 1 Livro 2 Pontuacao (+1)

Fator em comum 21 8 livro 2

Agrupamento 5 2 livro 1

Trinomio quadrado perfeito 6 7 -

Diferenca de quadrados 4 5 -

Polinomio que representa area 1 1 -

Determinar T.Q.P a partir da area de um quadrado 0 2 livro 2

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Exercıcios de Revisao

Figura 26: Histograma dos Execıcios de Revisao

Cada livro, ao final do capıtulo possui uma secao de exercıcios de revisao, onde e

possıvel encontrar exercıcios de todos os topicos abordados no decorrer do capıtulo

todo, geralmente com uma maior dificuldade do que os outros exercıcios. Entao,

para a analise desta parte de revisao, resolvemos ver a quantidade de vezes que

cada topico foi utilizado nessa divisao. O livro 1 possui 30 exercıcios de revisao, e

o livro 2 apenas 11.

O histograma permite comparar a quantidade de exercıcios de topico para

topico em um mesmo livro, e tambem comparar o mesmo topico em dois livros

diferentes.

Entao analisando proporcionalmente vemos que o livro 1 quase nao apresenta

exercıcios em que e necessaria a competencia da fatoracao, se comparado ao livro

2 que possui mais exercıcios de fatoracao, mesmo possuindo menos exercıcios na

secao. Como fatoracao e um item que os alunos precisam desenvolver, e bom

que dentro dos exercıcios de revisao exista alguns mais elaborados desse assunto.

(Livro 2 +1)

Ja o livro 2, quase nao apresenta exercıcios de produtos notaveis, enquanto

o livro 1, requer varias vezes essa competencia. Talvez nao fosse necessario essa

quantidade, enquanto quase nao existe exercıcios de fatoracao, mas ainda assim, e

positivo o fato de ser abordado mais do que apenas uma vez. (Livro 1 +1)

Outro fato interessante e de se levar em consideracao e que o livro 1, possui

exercıcios desafios, distribuıdos nesta secao de revisao. No total tem 3 exercıcios

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que se nominam assim.. E algo muito positivo, pois na maior parte das vezes

isso instiga certa curiosidade nos alunos e que realmente os fazem sentir desafia-

dos. Outro fato importante e que eles tem contato com outros tipos de exercıcios

que demandam um pouco mais de concentracao, investigacao, interpretacao, etc.

Portanto, nesse aspecto o livro 1 se destacou mais (Livro 1 +1)

6.2 Exercıcios Impares

Os exercıcios que acompanham a parte de teoria de potenciacao, presentes no

livro 1, sao basicamente para aplicar as propriedades de potenciacao. Como sa-

bemos, uma potencia n-esima representa multiplicacoes sequenciais de um mesmo

termo, por n vezes, e esse assunto ja e abordado em capıtulos anteriores do mesmo

livro, sendo assim, nao haveria necessidade da criacao de uma secao propria para

apenas isso. Os exercıcios poderiam estar juntos com a parte de multiplicacao de

monomios e polinomios. Portanto, nao pontuaremos esses exercıcios.

Outro exercıcio que pode ser considerado ımpar e que no livro 1 encontra-

mos um exercıcio retirado da Olimpıada Brasileira de Matematica das Escolas

Publicas (OBMEP). Os exercıcios da olimpıada sao completamente diferentes de

todos os outros que aparecem no decorrer do capıtulo, pois os objetivos desse tipo

de exercıcio sao diferentes permitindo que a criatividade e a perspicacia de cada

aluno seja colocada em acao. (Livro 1 +1)

Figura 27: Exercıcio da OBMEP

Outro tipo de exercıcios que alunos de Ensino Fundamental e Medio nao estao

habituados a fazer e que muitos possuem bloqueio, ou algum tipo de medo, sao

os exercıcios que exigem alguma demonstracao. Esse tipo de exercıcio, por nao

ser muito abordado normalmente, nao faz parte da rotina dos alunos, e portanto

cria-se toda essa atmosfera de tensao quando eles surgem eventualmente. Como

consideramos que seja importante o desenvolvimento completo das competencias

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dos alunos, a introducao desses tipos de problemas faz com que eles crescam dentro

da Matematica. (Livro 2 +1)

Figura 28: Exercıcio para demonstrar livro 2

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7 Conclusao

Comparando os dois livros, pudemos perceber que eles eram semelhantes em

alguns aspectos como no desenvolvimento dos conteudos, incluindo a propria es-

crita, na organizacao geral do capıtulo e nas definicoes apresentadas. Porem vimos

que o livro 2 se destacou pela melhor elaboracao de cada conteudo, sendo mais

claro nas manipulacoes e trazendo mais exemplos.

Apesar do livro 1 ter recebido uma pontuacao maior e apresentar muitos

exercıcios a mais, o livro 2 nao deixou a desejar, pois quase todas as competencias

encontradas em um estavam tambem contidas no outro. O que realmente diferen-

ciou e fez o livro 1 se destacar foram os exercıcios de desafio e os da OBMEP pois

e uma forma de fazer os alunos saırem de suas zonas de conforto. Entretanto, em

alguns aspectos o livro 1 apresentava muitos exercıcios de uma mesma competencia

e explorava menos outras competencias.

Pudemos comprovar nossas observacoes iniciais a partir da metodologia apli-

cada. Apos a distribuicao dos pontos, vimos um equilıbrio na parte de organizacao

e exercıcios, mas o livro 2 se mostrou superior nos conteudos.

Livro 1 Livro 2

Conteudos Pares/Impares 5 9

Exercıcios 11 9

Organizacao 1 2

Pontuacao final 6,5 7,7

Computando os pesos de cada topico, o livro 2 recebeu uma pontuacao final

maior e, portanto, e o vencedor desse embate.

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