ANÁLISE DA PRECISÃO OBTIDA PELO AJUSTAMENTO PELO MMQ BASEADA NA CONSTRUÇÃO DE ELIPSES DE ERRO

8/10/2019 ANLISE DA PRECISO OBTIDA PELO AJUSTAMENTO PELO MMQ BASEADA NA CONSTRUO DE ELIPSES DE ERRO

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ANLISE DA PRECISO OBTIDA PELO AJUSTAMENTO PELOMMQ BASEADA NA CONSTRUO DE ELIPSES DE ERRO

Gerardo Felipe Espinoza Prez Eng. AgrnomoMtrica Tecnologia Suporte Tcnico e TreinamentosDaniel Alexandre Janini - Eng. Agrimensor, Mestre em AgronomiaMtrica Tecnologia Diretor de Desenvolvimento Tcnico

1 - Introduo

Ao fazer levantamentos topogrficos por mtodosconvencionais, as coordenadas resultantes tm comoorigem medidas de ngulos e distncias, chamadasobservaes. Estas medidas esto sujeitas a erros quepodem ser minimizados atravs da aplicao de modelosmatemticos de ajustamento, como o Mtodo dosMnimos Quadrados (MMQ).

Na anlise das precises das coordenadas obtidas peloMMQ, a matriz das covarincias (MVC) deve sercalculada para se conhecer a correlao entre ascomponentes da varivel aleatria, definindo o grau de

dependncia entre elas (Gemael, 2004). Contudo, naprtica, os objetos matemticos no so diretamenteacessveis percepo e necessitam de representaespara sua apreenso.

Em topografia e geodsia o sistema de representaomais utilizado o de figuras geomtricas, pois elaspermitem anlises grficas bidimensionais da precisodas coordenadas em todas as direes de um plano. Ainterseco entre o plano e a superfcie da distribuiode probabilidade determina uma figura geomtricaconhecida como elipse padro de erro.

Esta figura delimita a regio onde a densidade deprobabilidade constante, apresenta a direo mximae mnima de erros (expressa em valores numricos), efornece o desvio padro nas direes x e y (Stringhini,2005).

Fig. 1 - Elipse de erro padro (Adaptado de Wolf &Ghilani,1997).

Complementarmente s direes, a orientao da elipseest diretamente ligada correlao entre ascoordenadas x e y e determinada pelo ngulo horrio

formado entre a direo positiva do eixo y e a direo do

semi-eixo mximo da elipse.Sendo assim, ao observar os formatos, tamanhos eorientaes das elipses, possvel fazer rpidas esignificativas comparaes entre as precises dospontos ajustados pelo MMQ.

2 Anlise das elipses dos erros

Segundo Amorim (2004) os valores presentes na MVC(Equao1) so os indicadores do comportamento daelipse de erro em relao ao sistema cartesiano XY.

==

2

yyx

xy

2

x

xyMVC (01)

J o grau de correlao entre as coordenadas x e ymostrado na equao 2, pode ser comprovadavisualmente ao analisar a proximidade do eixo maior emrelao a um dos eixos do sistema cartesiano.

yx

xy

xy

= (02)

Desta forma, a correlao e a magnitude das varinciase covarincias apresentadas na MVC afetamdiretamente o tamanho, formato e a orientao daselipses como mostrado nas figuras a seguir:

Fig. 2 - yx =

0xy =

= 0

Q12 =

Fig. 3 - yx =

0xy

= 45

Q12 =

Ao comparar as Figuras 3 e 4 possvel perceber comoa correlao entre as varincias em x e y afetam a formada elipse. Quando no existe correlao entre as


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Revista A Mira - Edio n 147

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variveis e estas possuem valores idnticos, a elipseassume uma forma circular. No caso da existncia decorrelao entre as variveis e considerando que seusvalores so idnticos, a elipse assume um formato maisoblongo, tendo como orientao um ngulo de 45. AFigura 3 mostra uma situao desejvel pois nesse casoparticular, as varincias contribuem de forma idnticaspara formao da elipse.

Fig. 4 - yx <

0xy = = 0

Q12 =

Fig. 5 - yx >

0xy = = 0 Q22 =

As figuras 4 e 5 demonstram a questo docomportamento das elipses quando as varincias sodiferentes em x e y e estas no possuem correlaoentre si. Pode-se notar que, quando este tipo de situaoocorre, o eixo maior da elipse alinha-se com o eixocartesiano que apresenta a maior varincia e que oachatamento da elipse varia conforme a magnitude damenor varincia.

O tamanho das elipses uma maneira de mensurar ograu de confiana em relao posio dascoordenadas ajustadas, pois elipses menoresapresentam maior fiabilidade que as elipses maiores.

Sendo assim, pode-se afirmar que, quando analisadasisoladamente, as dimenses das elipses fornecem umamedida da acurcia posicional. Quando analisadas emum contexto geral indicam a rigidez da rede de estaes.

O formato e a orientao das elipses indicam como arede pode ser melhorada para que a figura geomtrica

possua maior rigidez (STARPLUS,2004). Uma anlise darigidez de figuras geomtricas versus a propagao devarincias pode ser encontrada no trabalho de Silva et.al.(2003).

Elipses mais oblongas mostram que h uma maiorincerteza em uma das coordenadas e talvez, naquelaestao, haja a necessidade de observaes. Elipsesgrandes e circulares mostram que varincia em X e Y

est bem distribuda, porm, talvez sejam necessriastcnicas de medio mais acuradas ou observaesadicionais nas outras estaes. Se a maioria das elipses oblonga e possui orientaes semelhantesprovavelmente h um desbalanceamento ao longo dapoligonal, no sentido da orientao das elipses, devido aalguma deficincia nos azimutes. Isto poderia sersolucionado atravs do injuncionamento da poligonacom pontos de controle. (STARPLUS, 2004).

Alm da questo posicional, importante ressaltartambm a questo da adoo das escalas durante aconstruo das elipses. Geralmente os desvios-padrodas estaes ajustadas so apresentados emmilmetros, o que dificulta a representao e visualizaogrfica das elipses quando desenhadas juntamente poligonal topogrfica calculada. Sendo assim, comumque as elipses sejam desenhadas em uma escala maioque a da poligonal, para uma melhor visualizao grficados resultados, conforme mostrado na Figura 6.

Fig. 6 - Poligonal simulada ajustada pelo MMQ erepresentao grfica da preciso por meio das elipsesdos erros (Adaptado de Carvalho et al.,2007).

3 Aplicao prtica

No mercado de softwares para topografia existem vriasopes. No entanto somente alguns possuem algoritmospara ajustamento de poligonais topogrficas pelo Mtododos Mnimos Quadrados. Neste exemplo prtico serutilizado o TopoEVN 6, pois um dos softwares queefetua o ajustamento pelo MMQ e permite gerarrelatrios com os resultados dos processamento e

construo das elipses dos erros.

Para exemplificar a interpretao das elipses construdasa partir dos resultados obtidos no ajustamento peloMMQ, ser utilizada uma planilha de campodisponibilizada no arquivo de exemplos do prpriosoftware.


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Fig. 7 Planilha de campo com 3 seqncias de leiturasconjugadas (CE e CD).Esta planilha contm dados de campo reais, sendo quea minimizao de erros sistemticos e randmicos nolevantamento de campo foi realizada atravs de 3seqncias de leituras conjugadas (CE e CD). Apsefetuar o processamento e testar estatisticamente oclculo, o software exibe as coordenadas ajustadas comsuas respectivas correes e o numero de iteraesnecessrias para finalizar o ajustamento.

Fig. 8 Ajustamento finalizado com as respectivascorrees.

Ao finalizar o ajustamento o software ter condies de

construir as elipses dos erros pois possuir os valoresdas precises de cada estao ajustada. Uma vezconstrudas as elipses possvel interpreta-las erapidamente obter concluses sobre a preciso dasestaes da poligonal topogrfica ajsutada.

Fig. 9 Ajustamento finalizado com as respectivascorrees.

No exemplo utilizado, pode-se concluir, atravs dacomparao do tamanho das elipses, que as estaesprximas aos pontos de apoio da poligonal so maisprecisas que as mais afastadas dos mesmos. Percebe-se tambm que, de modo geral, as elipses so oblongaso que indica uma forte correlao entre as variveis.

Outro concluso que pode ser obtida a partir da anlisedas elipses dos erros que a partir da estao E6provavelmente, h um desbalanceamento ao longo dapoligonal devido a alguma deficincia nos azimutes, poisa partir desta estao as elipses possuem orientaes

semelhantes.

Com relao ao software, nota-se que alm de construiras elipses grficas o mesmo fornece os valores doselementos das elipses e a escala em que elas foramapresentadas graficamente, simplesmente posicionandoo mouse na figura desejada. O valores podem seexibidos em forma de relatrio ao executar o comandoRelatrio das Elipses.

Fig. 9 Elementos da elipse de erro e escala utilziadapara represent-las graficamente.

Maiores detalhe sobre a obteno das elipses de erropodem ser encontrados em recente trabalho publicadopelos autores deste artigo (Prez et al., 2008)

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA


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2/2008h,URL:http://geodesia.ufsc.br/Geodesia-online/arquivo/2008/02.2/GDG-2008.htm

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