Análise das Probabilidades Neutras a Risco da Taxa de ... · demorada desse modelo, ... 1 Uma...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROCENTRO DE CIÊNCIAS JURÍDICAS E ECONÔMICASINSTITUTO DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM ADMINISTRAÇÃO - COPPEAD

Análise das Probabilidades Neutras a Risco da Taxa deCâmbio do Dólar Comercial, Implícitas nos Preços dasOpções de Compra Negociadas na BM&F

Paulo Castor de Castro

Dissertação de MestradoOrientador: Prof. Eduardo Facó Lemgruber

Rio de Janeiro2000

ii

ANÁLISE DAS PROBABILIDADES NEUTRAS A RISCO DA TAXADE CÂMBIO DO DÓLAR COMERCIAL, IMPLÍCITAS NOS PREÇOSDAS OPÇÕES DE COMPRA NEGOCIADAS NA BM&F

Paulo Castor de Castro

Dissertação submetida ao corpo docente do Instituto de Pós-Graduação ePesquisa em Administração (COPPEAD) da Universidade Federal do Rio de Janeiro –UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre.

Aprovada por:

_________________________________________ - OrientadorProf. Eduardo Facó Lemgruber - COPPEAD/UFRJ

_________________________________Prof. Eduardo Saliby – COPPEAD/UFRJ

________________________________________________________Carlos Hamilton Vasconcelos Araújo - BANCO CENTRAL DO BRASIL

Rio de Janeiro2000

iii

Castro, Paulo Castor de

Análise das Probabilidades Neutras a Risco da Taxa de Câmbio do

Dólar Comercial, Implícitas nos Preços das Opções de Compra

Negociadas na BM&F. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2000.

viii, 90 p. il.

Dissertação – Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPEAD.

1. Finanças 2. Opções 3. Probabilidades Neutras a Risco I. Título

II. Tese (Mestrado – UFRJ/COPPEAD)

iv

Aos meus pais, Apolônio e Maria,

e à minha esposa Márcia,

com muito amor

v

Agradecimentos

Ao Banco Central do Brasil, pelo apoio institucional que me permitiu cursar o

mestrado do COPPEAD;

Aos colegas de BACEN Ricardo Franco Moura (meu orientador técnico junto ao

Banco), Carlos Alberto de Amorim Preza e Sergio José Ceia, que incentivaram e

apoiaram minha candidatura ao Programa de Pós-Graduação, e a Carlos Hamilton

Vasconcelos Araújo, que me honrou com a sua presença na banca examinadora desta

dissertação;

Aos colegas de BACEN Jaqueline Terra Moura Marins e Eduardo Hitiro Nakao,

que tornaram possível a realização deste trabalho;

Aos professores do COPPEAD, em especial ao meu orientador, Prof. Eduardo

Facó Lemgruber, e ao Prof. Eduardo Saliby;

Aos funcionários do COPPEAD, pela boa vontade e profissionalismo;

E aos meus colegas da turma 97 do COPPEAD, companheiros de jornada e

verdadeiros amigos.

vi

Resumo

CASTRO, Paulo Castor de. Análise das Probabilidades Neutras a Risco da Taxa deCâmbio do Dólar Comercial, Implícitas nos Preços das Opções de CompraNegociadas na BM&F.

Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2000.

Dissertação ( Mestrado em Administração)

Esta dissertação apresenta a derivação de distribuições de probabilidades neutras

a risco implícitas nos preços de opções de compra de dólar comercial, negociadas na

Bolsa de Mercadorias e Futuros de São Paulo (BM&F). As assimetrias destas

distribuições foram comparadas com as cotações do dólar no mercado à vista, por meio

do cálculo das correlações entre as séries de valores observados. Calcularam-se também

as correlações entre as mesmas assimetrias e as variações registradas nas cotações do

mercado à vista, tanto em termos absolutos quanto relativos, ao longo de períodos de

um, dez, quinze e vinte dias úteis.

Caso as correlações obtidas fossem negativas, poder-se-ia inferir que os agentes

do mercado brasileiro acreditam na existência de uma banda cambial implícita. Esta

hipótese pode ser rejeitada, pois as correlações encontradas foram, em sua maioria,

positivas, apesar de não significativas. Como as assimetrias encontradas foram

sistematicamente positivas, pode-se também rejeitar a hipótese de que a taxa de câmbio

siga uma trajetória do tipo passeio aleatório, pois esse tipo de trajetória geraria

distribuições com assimetrias nulas. Os resultados obtidos indicam que os agentes de

mercado, no Brasil, acreditam que o dólar tende a se valorizar no longo prazo,

independentemente da cotação atual ou dos movimentos recentes da taxa de câmbio.

Isso explicaria tanto as baixas correlações quanto a ocorrência quase permanente de

assimetrias positivas nas distribuições implícitas.

vii

Abstract

CASTRO, Paulo Castor de. Análise das Probabilidades Neutras a Risco da Taxa deCâmbio do Dólar Comercial, Implícitas nos Preços das Opções de CompraNegociadas na BM&F.

Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2000.

Dissertação ( Mestrado em Administração)

This dissertation presents the derivation of risk neutral probability distributions

implied in the prices of call options on the “commercial dollar” (in Reals, the Brazilian

currency), negotiated in the Mercantile and Futures Exchange of São Paulo, Brazil. The

skewnesses of these distributions were compared with the spot exchange rates by

calculating the correlation between the series of observed values. The correlations

between the same skewnesses and the absolute and relative changes in the spot rates

(during periods of one, ten, fifteen and twenty trading days) were also calculated.

If the correlations obtained were negative, it could be inferred that the agents in the

Brazilian market believe in the existence of an implicit target zone for the dollar exchange

rate. This hypothesis can be rejected, because the correlations found were mostly

positive, though they were always non significant. As the skewnesses found were

sistematically positive, the hypothesis that the exchange rate follows a random walk can

also be rejected (this kind of trajectory would imply null skewnesses). The results obtained

indicate that market agents, in Brazil, believe that the dollar tends to evaluate in the long

run, regardless of the actual spot rates or the recent spot rate movements. This would

explain not only the small correlations but also the almost permanent positive skewnesses

verified in the implied distributions.

viii

Sumário

1 INTRODUÇÃO..............................................................................................................1

2 REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 Black, Scholes e o Argumento de Merton.....................................................................5

2.2 A Avaliação Neutra a Risco...........................................................................................9

2.2.1 Medidas martingais equivalentes.......................................................................10

2.2.2 Preços de estado...............................................................................................11

2.2.3 Probabilidades neutras a risco em modelos de tempo contínuo........................14

2.2.4 Aspectos técnicos da avaliação neutra a risco..................................................18

2.2.5 A avaliação neutra a risco em operação............................................................18

2.3 O Resultado de Breeden e Litzenberger.....................................................................19

2.4 A Técnica de Shimko..................................................................................................23

2.5 Outras Técnicas..........................................................................................................24

2.5.1 Técnicas que procuram estimar diretamente a distribuição neutra a

risco.............................................................................................................................25

2.5.2 Técnicas que procuram descrever o processo estocástico seguido pelo ativo

objeto...........................................................................................................................42

2.6 Aplicações da Análise Neutra a Risco........................................................................46

2.7 Comparações entre os Diferentes Métodos................................................................51

3 METODOLOGIA

3.1 A Derivação das Distribuições Neutras a Risco..........................................................55

3.2 As Limitações do Método............................................................................................64

3.3 A Obtenção dos Dados...............................................................................................65

4 RESULTADOS............................................................................................................67

5 CONCLUSÕES...........................................................................................................80

BIBLIOGRAFIA..................................................................................................................84

1. Introdução

A análise das informações contidas nos preços de ativos financeiros negociados

em mercado - tanto nos organizados quanto nos chamados "mercados de balcão" - se

constitui numa área importante da pesquisa em finanças. Investidores procuram estimar

as distribuições de probabilidade dos possíveis valores dos diversos ativos, antes de

elaborar suas estratégias de negociação. Gestores de política econômica, especialmente

os bancos centrais, também podem obter informações importantes a partir da observação

dos preços de mercado de ativos financeiros, pois eles refletem, além de flutuações de

oferta e demanda, as expectativas dos agentes a respeito dos retornos futuros.

A forma convencional de se estimar preços e retornos futuros parte da observação

do seu comportamento ao longo do tempo. Amostras de preços e retornos ocorridos no

passado, considerando-se diferentes horizontes de tempo, podem ser utilizadas para

estimar parâmetros da sua distribuição de probabilidade.

As recentes pesquisas em finanças têm aumentado o grau de sofisticação com

que as expectativas são avaliadas a partir dos preços de ativos. RUBINSTEIN (1994)

enumera as condições necessárias para o sucesso de inferências baseadas em preços

de mercado: existência de um modelo satisfatório, relacionando os preços à informação

que se deseja inferir; possibilidade de implementação relativamente simples e não

demorada desse modelo, a custos razoáveis; capacidade de mensurar corretamente os

dados que o alimentam, e eficiência dos mercados.

Dado que existam um modelo satisfatório e as condições necessárias ao seu

sucesso, é improvável que se consiga obter melhores inferências utilizando outro método.

Esta é, na opinião de RUBINSTEIN (1994), a razão pela qual o modelo de avaliação do

preço de opções1, desenvolvido por BLACK e SCHOLES (1973) e MERTON (1973),

passou a ser largamente utilizado para inferir a volatilidade dos preços dos seus ativos

subjacentes (ações, índices, moedas, mercadorias, taxas de juros). Um dos mais bem

sucedidos modelos teóricos das ciências sociais, o trabalho de Black, Scholes e Merton

apresenta como resultado final uma fórmula fechada (a fórmula Black-Scholes) que, nas

palavras de RUBINSTEIN (1994): "...é provavelmente, incluindo sua extensão binomial, a

fórmula com probabilidades mais largamente utilizada na história da humanidade".

O cálculo da fórmula Black-Scholes pode ser facilmente implementado num micro-

1 Uma opção européia de compra (venda) sobre um determinado ativo objeto, ou subjacente, é um contrato que dá ao seu possuidor odireito, mas não a obrigação, de comprar (vender) o ativo numa data futura predeterminada (data de exercício), a um preçopredeterminado (preço de exercício). Opções que podem ser exercidas a qualquer tempo até o vencimento (inclusive) são chamadasopções americanas.

2

computador, ou mesmo numa máquina de calcular, como mostram BECKER e

LEMGRUBER (1992). Dados o preço do ativo subjacente à opção, e a taxa à qual ele

eventualmente pague algum rendimento, como juros ou dividendos; a taxa livre de risco

acessível aos investidores; o preço de exercício e prazo de vencimento, é possível utilizar

os preços observados no mercado para estimar o único parâmetro não observável da

fórmula: a volatilidade do ativo subjacente. Em muitas situações práticas relevantes, os

dados podem ser facilmente mensurados, e os ativos relacionados são negociados em

mercados razoavelmente eficientes.

Apesar de todo esse sucesso, a fórmula Black-Scholes foi perdendo credibilidade

ao longo do tempo. RUBINSTEIN (1994) e JACKWERTH (1999) ressaltam que os

primeiros testes empíricos referendaram, com maior ou menor ênfase, o uso da fórmula.

RUBINSTEIN (1994) detalha os resultados de um estudo que conduziu nos anos 80, no

qual calculou os desvios em relação aos valores teóricos Black-Scholes, observados nos

preços das 30 opções mais negociadas na CBOE (Chicago Board of Options Exchange)

ao longo de dois anos, entre 1976 e 1978. Apesar de encontrar significância estatística

nos desvios observados, RUBINSTEIN (1994) não os considerou economicamente

relevantes. Mas a partir do final da década de 80, uma anomalia passou a ser verificada

com freqüência nos diversos mercados derivativos, que foram surgindo e se

desenvolvendo ao longo dos anos: a existência do chamado "smile" da volatilidade.

A volatilidade implícita nos preços das opções, encontrada a partir da fórmula

Black-Scholes, é um parâmetro único, que se refere à trajetória do preço do ativo

subjacente (no caso do modelo de Black-Scholes-Merton, um movimento browniano

geométrico). No entanto, os valores de volatilidades implícitas Black-Scholes, obtidos

empiricamente, costumam variar de acordo com o preço de exercício, e também com o

prazo de vencimento das opções.

Nos mercados de opções sobre moedas, é comum encontrar volatilidades

implícitas como funções convexas do preço de exercício. Opções in-the-money e out-of-

the-money tendem a ter volatilidades implícitas maiores que as at-the-money2 (neste

caso, considerando como at-the-money as opções com preço de exercício igual ao preço

futuro). Os gráficos que mostram a volatilidade implícita em função do preço de exercício

acabam formando uma figura que lembra um sorriso - o "smile". Já nos mercados de

opções sobre índices de mercados de ações, como os americanos S&P 100 e S&P 500,

costumam-se observar volatilidades decrescentes em relação ao preço de exercício,

fenômeno denominado "skew"3.

2 Opções in-the-money são as que proporcionariam um fluxo de caixa positivo, caso exercidas imediatamente; opções at-the-moneyapresentariam um fluxo de caixa nulo, e as out-of-the-money implicam num fluxo de caixa negativo.3 O crash das bolsas norte-americanas de 1987 é o momento a partir do qual, segundo RUBINSTEIN (1994), JACKWERTH e

3

Ao analisar anomalias como os smiles e skews, os estudos sobre volatilidade

implícita de opções foram deixando de ser apenas testes de eficiência do modelo Black-

Scholes-Merton, e acabaram se transformando em sofisticados instrumentos de análise

do comportamento futuro dos ativos. Diferentes técnicas passaram a ser desenvolvidas

para, com base nos preços de opções negociadas em mercados de bolsa ou de balcão,

tentar descrever tanto a trajetória dos preços dos ativos subjacentes quanto as possíveis

distribuições de probabilidade dos seus valores, na data de vencimento.

Tais análises vêem se tornando, ao longo dos anos 90, ferramentas úteis para

diversas aplicações, como avaliação de derivativos complexos, gerenciamento de risco e

análise de expectativas (coloquialmente chamadas de "sentimento do mercado"),

especialmente em períodos tais como crises cambiais, crises políticas e mudanças de

ordem político-institucional.

Esta dissertação apresenta um estudo de "sentimento de mercado" aplicado ao

caso brasileiro, utilizando preços de opções de compra de dólar comercial, negociadas na

Bolsa de Mercadorias & Futuros (BM&F). Derivam-se as distribuições neutras a risco dos

possíveis valores em reais do dólar comercial, implícitas nos preços das opções

negociadas no primeiro dia útil de cada mês, na BM&F. As distribuições foram estimadas

para um período de quinze meses, referindo-se aos vencimentos de maio de 1999 a julho

de 2000. Foram calculadas quatro distribuições implícitas para cada vencimento, com

prazos até o vencimento de dez, quinze, vinte e vinte e cinco dias úteis. O método

utilizado foi desenvolvido por SHIMKO (1993).

Em seguida, calculam-se as correlações entre as assimetrias dessas distribuições

e os valores do dólar observados no mercado à vista (cotações de venda informadas pelo

Banco Central do Brasil), como em CAMPA, CHANG E REIDER (1997), e também as

correlações entre as mesmas assimetrias e as variações registradas nas cotações do

mercado à vista, tanto em termos absolutos quanto percentuais, considerando-se

períodos de tempo de um, dez, quinze e vinte dias úteis.

Assim como CAMPA, CHANG e REIDER (1997) verificaram para o caso do

mercado de balcão envolvendo diferentes pares de moedas, este trabalho refuta a

hipótese de que os preços das opções de compra de dólar no mercado brasileiro refletem

expectativas de que a taxa de câmbio dólar/real obedeça a uma "banda cambial

implícita". Esse tipo de comportamento deveria se refletir na ocorrência de correlações

negativas entre as cotações do dólar no mercado à vista e a assimetria das distribuições

implícitas, o que só se verificou (com valores não significativos) quando o prazo até o

RUBINSTEIN (1996) e JACKWERTH (1999), o skew da volatilidade implícita passou a ser observado de maneira sistemática nomercado norte-americano de opções de índices de ações (refletindo uma possível mudança de percepção de risco e de comportamentopor parte dos investidores após o crash).

4

vencimento das opções era de 25 dias úteis. Os demais valores encontrados foram

positivos, apesar de não significativos (na maioria dos casos, inferiores a 0,5).

O segundo capítulo desta dissertação é uma revisão bibliográfica, que enfatiza as

bases conceituais e os resultados fundamentais dos quais deriva a metodologia

empregada. O terceiro capítulo descreve a metodologia adotada na derivação e

construção das distribuições neutras a risco, as limitações dessa metodologia, e a forma

como foram obtidos os dados utilizados. O quarto capítulo apresenta os resultados

encontrados, e o quinto traz as conclusões e sugestões para pesquisa futura.

5

2. Referencial Teórico

2.1 - Black, Scholes e o argumento de Merton

Quando Fischer Black e Myron Scholes encontraram, em meados de 1970, a

solução para uma equação diferencial que haviam enunciado meses antes, e que seria

mais tarde celebrizada como fórmula Black-Scholes, estavam dando seqüência a um

trabalho que já vinha sendo desenvolvido, havia alguns anos, por Fisher Black.

Trabalhando em princípio para a empresa norte-americana de consultoria Arthur D. Little,

e depois como consultor independente, Black procurava aplicar modelos criados por Jack

Treynor, um dos criadores do Capital Asset Pricing Model (CAPM), à avaliação de

diversos ativos financeiros, entre as quais os warrants4.

BLACK e SCHOLES (1973), SMITH (1976), SMITHSON (1992) e WHALEY (1997)

mostram os resultados obtidos até então por A. James Boness, Case Sprenkle e Paul

Samuelson, ao tentarem calcular o valor de uma opção (expresso em termos de

warrants)5. Partindo da abordagem tradicional de fluxo de caixa descontado, Boness,

Sprenkle e Samuelson adotaram a hipótese (aproveitada depois por Black e Scholes) de

que o ativo objeto seguia um movimento browniano geométrico, de forma que a

distribuição de probabilidade de seu valor, na data de vencimento, deveria ser lognormal.

Calcularam então o valor esperado do payoff de uma opção de compra no vencimento

(sendo este payoff igual a S - X, onde S é o preço do ativo e X é o preço de exercício, se

S>X; e igual a 0, caso contrário). Este resultado, descontado a uma taxa apropriada,

deveria ser o valor da opção.

Sprenkle encontrou o seguinte resultado para o valor da opção no vencimento

(sendo S o valor do ativo objeto; X o preço de exercício; L' a função de densidade de

probabilidade lognormal; ρ a taxa de retorno esperada do ativo objeto, σ a volatilidade do

processo estocástico seguido por ele, τ o prazo até o vencimento, T-t; e N(.) o valor da

função de distribuição normal padrão acumulada):

∫∞

−=X

TTTT dSSLXSCE ).(').()(

4 Warrants são opções de longo prazo não padronizadas, lançadas por uma companhia, que dão ao comprador o direito de adquirir açõesou títulos de dívida (bonds) por ela emitidos, ou cuja emissão foi autorizada, mas ainda não efetuada (há casos em que instituiçõesfinanceiras emitem warrants sobre títulos emitidos por outra companhia). Portanto, um warrant pode significar uma emissão futura.5 Os trabalhos originais de Sprenkle, Boness e Samuelson estão reproduzidos em The Random Character of Stock Market Prices, editadopor Paul Cootner (M.I.T Press, 1964).

6

)(.)(..)( 21 dNXdNSeCE T −= ρτ ,

onde

++

=τσ

σρ

.

2ln

2

1

XS

d ; τσ .12 −= dd

Sprenkle estava ciente de que, em geral, um investidor não estaria disposto a

pagar, por um warrant, uma quantia equivalente ao seu valor esperado. Seria natural que

o investidor exigisse um prêmio de risco para adquiri-lo. Sprenkle sugeriu então a

multiplicação do segundo termo da fórmula por um fator de correção, que seria uma

medida da aversão ao risco dos participantes do mercado.

Boness assumiu que todas as ações sobre as quais fossem negociadas opções

pertencessem a uma mesma classe de risco, e que o valor de uma opção no vencimento

deveria ser descontado, a valor presente, por um fator que refletisse o mesmo prêmio de

risco da ação. O resultado de Boness para o valor de uma call foi então:

)(..)(. 21 dNXedNSC ρτ−−= ,

onde

++

=τσ

σρ

.

2ln

2

1

XS

d ; τσ .12 −= dd

Samuelson estendeu o modelo de Boness, assumindo diferentes níveis de risco, e

portanto diferentes retornos esperados, para uma ação e uma opção. Na formulação de

Samuelson, ρ é a taxa média de crescimento do preço da ação, e ω a taxa média de

crescimento do valor da call:

)(..)(.. 21).( dNXedNSeC ϖττϖρ −− −= ,

onde

++

=τσ

σρ

.

2ln

2

1

XS

d ; τσ .12 −= dd

7

Ao analisar diversas possibilidades com referência à relação entre os retornos do

ativo e da opção, Samuelson sugeriu que a teoria precisava avançar, de modo a deduzir

estes valores para cada categoria de ativo subjacente. A questão passava a ser a

definição da taxa de retorno esperada da ação, e da taxa de desconto apropriada para o

valor da opção no vencimento.

Concentrados na aplicação do CAPM à avaliação dos warrants, Black e Scholes

haviam chegado à seguinte equação diferencial, envolvendo o valor da opção e suas

derivadas em relação ao tempo e ao preço do ativo objeto6:

CrSCS

SCSr

tC ....

21.. 2

222 =

∂∂+

∂∂+

∂∂ σ

onde r é a taxa livre de risco e σ é a volatilidade do ativo objeto.

Black e Scholes estavam ainda longe de encontrar a solução da equação,7

quando fizeram uma observação fundamental: as taxas de retorno esperadas do ativo

objeto e da opção não faziam parte da equação. Portanto, se ela estivesse correta, o

valor da opção deveria ser independente do retorno esperado do ativo objeto. Black e

Scholes resolveram então testar como solução o valor presente do resultado de Sprenkle,

adotando a taxa de juros como retorno do ativo. Já que o valor da opção não dependia

dele, qualquer retorno poderia ser adotado, desde que se definisse corretamente a taxa

de desconto do valor da opção. Mas qual seria o desconto apropriado?

Na concepção do CAPM, o prêmio de risco de um ativo, representado pela

diferença entre o seu retorno e a taxa livre de risco, é proporcional ao prêmio de risco do

mercado, e esta razão é conhecida como β (beta)8. Em sua derivação, Black e Scholes

consideravam linear a relação entre o beta da ação e o beta da opção.

Adotar a taxa livre de risco como retorno esperado do ativo significava considerar

o seu beta como sendo zero. Neste caso, a relação linear entre o beta do ativo e o beta

da opção determinaria um beta zero também para a opção. Nas palavras de BLACK

(1997)9: "... se todo o risco da ação pode ser diversificado, todo o risco da opção também

pode. Se o beta da ação fosse zero, o beta da opção teria de ser zero também. Se a

opção sempre tivesse um retorno esperado igual à taxa de juros, então a taxa de

desconto que traria seu valor esperado futuro a valor presente seria sempre a taxa de 6 A equação admite inúmeras soluções, pois é válida para qualquer derivativo de S. Cada solução atende a determinadas condições decontorno; no contexto dos derivativos, são as especificações do contrato, que determinam seu payoff no vencimento. No caso de umacall, C = max (0, S-X), quando t=T.7 Que vinha a ser uma variante da equação da transmissão de calor (cuja solução já era conhecida); Black e Scholes não haviampercebido esse fato.8 O Beta é medido pela razão (covariância entre o retorno do título e o retorno do mercado) / (variância do retorno do mercado)

8

juros. A taxa de desconto não dependeria do tempo ou do preço da ação, como seria o

caso se a ação tivesse outro retorno esperado que não a taxa de juros".

Black e Scholes então adotaram a taxa de juros (suposta constante) também

como taxa de desconto do valor futuro da opção, na fórmula de

Sprenkle/Boness/Samuelson:

)(..)(. 21 dNXedNSC rτ−−= ,

onde

++

=τσ

σ

.

2ln

2

1

rXS

d ; τσ .12 −= dd

Testaram o resultado obtido como solução da equação diferencial e, segundo BLACK

(1997): "... é claro, ele se ajustou. Nós sabíamos que ele estava certo".

Robert Merton10 forneceu a Black e a Scholes um argumento definitivo, que

referendou o resultado por eles obtido - principalmente porque resultava na mesma

equação diferencial, mas não se baseava no CAPM. A idéia central era a da criação de

carteiras com posições compradas e vendidas, compostas por uma opção e seu ativo

subjacente11. A proporção de cada componente na composição da carteira deveria ser

determinada de forma que o ganho (perda) eventualmente obtido com a posição

comprada fosse praticamente anulado pela perda (ganho) obtido pela posição vendida.

À medida que o preço do ativo subjacente e o tempo variam, a proporção ideal

entre os componentes da carteira (a que mantém fixo o seu valor) também varia. Mas se

a composição da carteira for ajustada continuamente, de maneira a manter a proporção

ideal (posição coberta), o seu valor independe do preço do ativo objeto. O retorno obtido

pela carteira coberta se torna completamente independente das eventuais variações no

preço do ativo objeto, e praticamente livre de risco - equivalente, portanto, à taxa de

juros. A igualdade entre o retorno da carteira coberta e a taxa de juros forneceu a Black e

Scholes a mesma equação diferencial que haviam obtido anteriormente, a partir do

CAPM.

9 Em artigo publicado postumamente, em sua homenagem, pela revista Risk. Black faleceu prematuramente, de câncer, em 30/08/1995.10 MERTON (1973) estabeleceu vários resultados importantes e generalizações do modelo original de BLACK e SCHOLES (1973).Enunciou limites máximos e mínimos para valores de calls e puts, considerou o pagamento de dividendos e taxas de juros variáveis.Partindo de hipóteses mais gerais que as de BLACK e SCHOLES (1973), não utilizou hipóteses de equilíbrio em que vale o CAPM, masapenas critérios de dominância e argumentações de arbitragem.11 O modelo adotado por Black e Scholes foi de uma posição vendida na opção e outra, comprada, na ação. SMITH (1976) e BLACK(1997) enfatizam há outras possibilidades, desde que as proporções sejam corretamente definidas. Segundo BLACK e SCHOLES

9

2.2 - A Avaliação Neutra a Risco

A derivação de Black e Scholes e o argumento de Merton sugeriram a COX e

ROSS (1976) uma interpretação alternativa para a solução do problema, cuja "pedra

fundamental" é o uso da taxa de juros como taxa de retorno e de desconto na derivação

da fórmula Black-Scholes.

COX e ROSS (1976) observam que a única hipótese a respeito da estrutura de

preferências dos indivíduos no mercado, utilizada na derivação de BLACK e SCHOLES

(1973), é a de que dois ativos que são substitutos perfeitos entre si devem oferecer a

mesma taxa de retorno de equilíbrio. As condições de demanda no mercado, e de

preferências dos investidores, atuam apenas na medida em que determinam os valores

de equilíbrio dos parâmetros (preço do ativo objeto, taxa de juros, volatilidade). Nenhuma

hipótese envolvendo aversão a risco, por parte do investidores, foi adotada por Black,

Scholes e Merton.

Isto sugere que a solução obtida, assumindo-se uma determinada estrutura de

preferências por parte dos investidores, tem de ser a mesma que seria obtida caso fosse

adotada qualquer outra estrutura que, no equilíbrio, resultasse nos mesmos parâmetros

relevantes (no caso de Black e Scholes, a taxa de juros e a volatilidade do preço do ativo

objeto) . Portanto, é possível escolher, para obter a solução do problema, a estrutura de

preferências que se revele mais conveniente.

Na visão de COX e ROSS (1976), o que Black, Scholes e Merton implicitamente

fizeram foi considerar que os mercados são compostos por indivíduos indiferentes ao

risco. Neste contexto, um "mundo neutro a risco", o retorno de todos os ativos passa a

ser simplesmente a taxa de juros.

COX e ROSS (1976) enunciam então um resultado geral para a avaliação de

opções do tipo europeu:

[ ]),0(.),( ')( XSMaxEetXC TPtTr −= −−

TTX

TtTr dSSfXSetXC ).().(.),( )( ∫

∞−− −=

onde r é a taxa livre de risco; P' é uma medida de probabilidade e f(ST) a densidade da

distribuição desta probabilidade, referente ao ativo subjacente, na data de vencimento T.

P' é a medida de probabilidade que resultaria do processo estocástico seguido

(1973), a idéia foi sugerida num livro escrito por Edward Thorp e Sheen Kassouf, Beat the Market (Random House, 1967).

10

pelo ativo objeto, caso ele ocorresse num "mundo neutro ao risco". As distribuições de

probabilidade assim obtidas se tornaram conhecidas como probabilidades neutras a

risco.

2.2.1 - Medidas Martingais Equivalentes

HARRISON e KREPS (1979) estendem o raciocínio de COX e ROSS (1976),

estabelecendo a relação entre o processo estocástico seguido pelo preço do ativo, sua

distribuição de probabilidades no vencimento e a hipótese da neutralidade ao risco.

Definindo de maneira formal e rigorosa um modelo de equilíbrio econômico e um modelo

de mercado de títulos em condições de incerteza, HARRISON e KREPS (1979) mostram

que as probabilidades neutras a risco de COX e ROSS (1976) podem ser interpretadas

como medidas martingais equivalentes à probabilidade original do ativo objeto.

Duas medidas de probabilidade são ditas equivalentes se o conjunto de eventos

que possuem probabilidade positiva, em relação a uma medida, é idêntico ao dos que

possuem probabilidade positiva em relação à outra medida. A probabilidade neutra a

risco é nula se a probabilidade original do modelo é nula, e positiva se a probabilidade

original é positiva. Elas são, portanto, equivalentes.

Um processo estocástico é denominado martingal se a mudança esperada no seu

valor, a cada instante, é sempre nula12. SUNDARAM (1997) mostra que uma

probabilidade neutra a risco transforma os processos estocásticos de um modelo em

martingais, se o ativo livre de risco for adotado no modelo como unidade de conta, ou

numerário. A taxa de juros é o retorno de todos os ativos, sob a hipótese de neutralidade

a risco. O valor esperado futuro de cada ativo, expresso em termos do ativo livre de risco

(o numerário) será então igual ao seu valor presente. Desta forma, é possível definir as

probabilidades neutras a risco como medidas martingais equivalentes.

Uma importante conclusão de HARRISON e KREPS (1979) é a de que, se um

modelo admite a existência de uma medida martingal equivalente, então não oferece

oportunidades de arbitragem. A inexistência da medida martingal equivalente é condição

necessária e suficiente para que oportunidades de arbitragem existam.

Outro resultado importante se refere à unicidade da medida martingal equivalente.

A multiplicidade de medidas é condição necessária e suficiente para que o modelo de

mercado seja incompleto, ou seja, que existam derivativos cujo payoff não possa ser

replicado pelo payoff de uma carteira formada por outros ativos. 12 Mais formalmente, NEFTCI (1996) mostra que, dada uma família de conjuntos de informações It, e uma medida de probabilidade P:se, para todo t>0, St é sabido, dado It (St é I-adaptado); E |St|< ∞; e Et[ST] = St, para todo t < T, com probabilidade 1, então o processo{St, t ∈ [0, ∞]}, é martingal

11

Caso essa replicação seja possível, o preço do derivativo pode ser determinado

unicamente por considerações de arbitragem. Se todos os derivativos puderem ser

replicados, ou seja, se os valores de todos eles puderem ser unicamente determinados

por argumentação de arbitragem, o modelo de mercado é considerado completo.

HARRISON e KREPS (1979) mostram que esta é uma condição necessária e suficiente

para que o modelo admita uma única medida martingal equivalente, ou probabilidade

neutra a risco.

2.2.2 - Preços de Estado

ARROW (1964) e DEBREU (1958) definem um tipo elementar de derivativo, que

desempenha papel equivalente ao das probabilidades neutras a risco na formulação de

modelos econômicos sob condições de incerteza. Todos os demais derivativos podem

ser expressos em termos de carteiras desses derivativos elementares.

Considere-se que a incerteza a respeito do futuro seja expressa pela definição de

diferentes estados da natureza, mutuamente exclusivos, dos quais apenas um possa

efetivamente ocorrer. Um ativo Arrow-Debreu é um derivativo associado a um

determinado estado, que paga uma unidade monetária no futuro, caso esse estado

ocorra, e nada caso ele não ocorra. O preço de um ativo Arrow-Debreu é denominado

preço de estado.

Dado um vetor (ψ1, ψ2, ..., ψk) de preços de estado (cada um associado a um dos

estados da natureza definidos por um modelo), o preço de qualquer derivativo pode ser

expresso como a soma dos produtos dos seus possíveis payoffs, a cada estado da

natureza, pelos respectivos preços de estado:

kk ttCttCttCtC ϕϕϕ ).((...)).().()( 2211 ∆+++∆++∆+=

onde C (t) é o preço do derivativo no instante t e ψj os preços de estado, em t, de cada

um dos k estados da natureza que podem ocorrer em t+∆t, sendo ψj>0. 13

A existência de um ativo livre de risco no modelo produz um resultado

fundamental. O payoff de um ativo livre de risco é sempre o mesmo, não importando qual

estado da natureza ocorra. Considerando a taxa livre de risco r no período ∆t , o valor

unitário de um ativo livre de risco B é dado por:

13 Este tipo de relação é chamada representação, dado que apenas um dos estados irá efetivamente ocorrer em t+∆t e, portanto, ela nãopode ser observada na realidade. O mesmo tipo de representação pode ser enunciado para todos os ativos definidos no modelo.

12

krtB ϕϕϕ .1(...).1.1

11)( 21 +++=+

=

onde ψj são os preços de estado em t, referentes aos k estados da natureza em t+∆t.

Multiplicando-se o valor de B(t) por 1+r (o retorno do ativo livre de risco), é fácil

verificar que 1).1(1

=+∑=

k

jjr ϕ . Portanto, multiplicar cada payoff Cj (t+∆t) pelo termo

(1+r).ψj é operacionalmente equivalente ao cálculo de um valor esperado futuro14. Este

cálculo tem como resultado o preço do derivativo na data presente,

kk ttCttCttCtC ϕϕϕ ).((...)).().()( 2211 ∆+++∆++∆+= , multiplicado por (1+r). Logo,

(1+r).ψj nada mais é do que uma medida de probabilidade neutra a risco, ou medida

martingal equivalente, associada ao estado da natureza j.

SUNDARAN (1997) ressalta que esta correspondência entre preços de estado e

probabilidades neutras a risco faz com que se possa abordar a avaliação neutra a risco

em termos mais intuitivos. A técnica funciona porque calcular probabilidades neutras a

risco significa calcular os preços de estado associados ao modelo utilizado.

A inexistência de probabilidades neutras a risco significa, portanto, que não é

possível determinar os preços associados a cada estado, de forma que o modelo

permaneça em equilíbrio. A inconsistência do modelo é a razão que possibilita

oportunidades de arbitragem.

A existência de múltiplas medidas martingais equivalentes, ou probabilidades

neutras a risco, significa que múltiplos vetores de preços de estado satisfazem o

equilíbrio. Ou seja, pelo menos um título Arrow-Debreu pode assumir diversos valores

compatíveis com a não-arbitragem. Para que isso aconteça, não pode ser possível

replicá-lo construindo uma carteira com outros títulos, cujo valor já está determinado pelo

modelo. Logo, o modelo está incompleto.

Estes resultados podem ser resumidos através de notação matricial. Seja uma

matriz de payoffs DNxK representada pelos payoffs dij, gerados por cada um dos N ativos

do modelo, em cada um dos K possíveis estados da natureza futuros:

=

NkNN

k

k

ddd

dddddd

D

ΛΜΜΜΜ

ΛΛ

21

22221

11211

14 E(X) = Σ Xi . P(Xi), no caso de uma variável aleatória discreta.

13

Sejam Si os N ativos considerados no modelo. Podemos definir uma carteira θ

como o vetor que mostra a parcela de um investimento comprometida com cada ativo i. O

valor da carteira no instante t será dado pelo produto do vetor θ pelo vetor formado pelos

ativos Si, de modo que ∑=

=N

iiit tSS

1

).(.' θθ :

[ ]

=

N

Nt SSSS

θ

θθ

θΜ

Λ 2

1

21 ..'

O payoff da carteira θ, no instante t, será dado pelo produto do vetor θ pela matriz

D ( D'.θ ), de modo que o payoff em cada estado j seja dado por ∑=

N

iiij td

1

:).( θ

=

NNkkk

N

ddd

dddd

D

θ

θθ

θΜ

ΛΜΜΜΜ

ΛΛ

2

1

21

12

12111

.'.

Pode-se definir uma carteira de arbitragem, ou simplesmente uma arbitragem, se

uma das seguintes condições for satisfeita:

1. S'.θ ≤ 0 e D'.θ > 0 ou

2. S'.θ < 0 e D'.θ ≥ 0

De acordo com esta definição, uma carteira de arbitragem θ garante um retorno

positivo a custo zero, ou negativo, gerando uma receita presente. Outra possibilidade é a

de que a arbitragem gere uma receita presente (custo negativo) sem gerar desembolso

futuro, ou seja, garantido um retorno positivo ou nulo.

Sejam jϕ os preços de estado associados a cada um dos k estados da natureza:

14

kϕ

ϕϕ

Μ2

1

NEFTCI (1996) enuncia o teorema que generaliza a discussão sobre condições

para a ocorrência de arbitragem:

1. Se não existem oportunidades de arbitragem, então existe 0>ϕ tal que:

ϕ.DS =

3. Se a condição 1 é verdadeira, não existe oportunidade de arbitragem.

Isto significa que, num mundo em que não existam oportunidades de arbitragem,

sempre existirão k preços de estado jϕ maiores do que 0, tais que:

=

kNkNN

k

N ddd

ddd

S

SB

ϕ

ϕϕ

ΜΛ

ΜΜΜΜΛΛ

Μ2

1

21

222212 .

111

Note-se que, na primeira linha, os payoffs são constantes e iguais a 1. O retorno

do primeiro ativo é o mesmo, não importa qual estado da natureza se realize: é o ativo

livre de risco. O valor presente de uma unidade monetária no futuro, livre de risco, é dado

pelo somatório de todos os K preços de estado, ∑=

=k

jj

10 ϕϕ .

2.2.3 - Probabilidades neutras a risco em modelos de tempo contínuo

BLACK e SCHOLES (1973) e MERTON (1973) tornaram popular o uso do cálculo

estocástico no estudo de finanças, ao utilizarem modelos de processos estocásticos em

tempo contínuo para analisar a evolução dos preços dos ativos.

Este tipo de abordagem foi utilizado, pela primeira vez, na tese de doutorado

Théorie de la Spéculation, apresentada à Universidade de Paris pelo francês Louis

Bachelier, em 190015. O trabalho de Bachelier era tão original que foi finalizado cinco

15 Sua tese, orientada pelo célebre matemático francês Henri Poincaré, também está reproduzida em The Random Character of StockMarket Prices, editado por Paul Cootner (M.I.T Press, 1964).

15

anos antes de Albert Einstein propor a teoria matemática do movimento browniano16, ao

estudar o movimento de moléculas de gás (o tabalho de Einstein foi aprofundado e

sistematizado por Norbert Wiener, em 1923). A proposta de Bachelier, no entanto,

pressupunha que o preço dos ativo financeiros seguissem o que é hoje conhecido como

movimento browniano ou processo de Wiener17. SMITH (1976) mostra que essa hipótese

tem implicações economicamente inaceitáveis, como probabilidades positivas de

ocorrência de preços negativos, para o ativo objeto, e maiores que o do ativo objeto, para

a opção.

Mais de meio século depois do trabalho de Bachelier, o estatístico inglês Maurice

Kendall sugeriu, em trabalho apresentado à sociedade britânica de estatística18, que os

preços de ações e commodities seguiam um random walk (passeio aleatório).

JACKWERTH (1999) atribui a M. Osborne19 a proposição de que os ativos seguem um

movimento browniano geométrico, também conhecido como processo de Itô - hipótese

adotada por BLACK e SCHOLES (1973) e MERTON (1973)20.

Dado que a hipótese adotada pelo modelo Black-Scholes-Merton para descrever a

trajetória do ativo objeto é a de que ela segue um processo de Itô , o teorema de

Girsanov estabelece as condições em que se pode alterar o parâmetro de tendência do

processo, redefinindo-o em relação a uma estrutura de probabilidade equivalente -

justamente o que é necessário para se obter probabilidades neutras a risco. Portanto, o

teorema de Girsanov é a ferramenta necessária para a definição de probabilidades

neutras a risco, no contexto do modelo Black-Scholes-Merton.

SUNDARAM (1997) utiliza um modelo simples de dois ativos, um livre de risco e

outro sujeito a risco, para apresentar os principais pressupostos, implicações e

conclusões da avaliação neutra a rico num contexto de tempo contínuo.

A taxa de juro r, capitalizada continuamente, é suposta constante. O preço do

ativo livre de risco evolui então de acordo com a equação diferencial ordinária

dtBrdB ..=

O ativo em risco evolui de acordo com a seguinte equação diferencial estocástica

(é o modelo conhecido como movimento browniano geométrico ou processo de Itô):

16 Descrito pela primeira vez, em 1827, pelo botânico Robert Brown, ao observar o movimento de pequenas partículas suspensas numlíquido.17 Isso implica numa igual probabilidade de alta ou queda do preço, a cada instante, em valores absolutos.18 "The Analysis of Economis Time Series, Part I. Prices", citado em BREALEY e MYERS (1996)19 No artigo "Brownian Motion in the Stock Market", publicado em 1959, no vol. 7 de Operations Research, pp. 145-173 (citado emJACKWERTH, 1999)20 Essa hipótese implica em probabilidades de alta e queda do preço, a cada instante, em valores relativos, independentes do seu valorabsoluto.

16

( ) dWtSdttSdS ).,(., βα +=

onde α é a tendência instantânea do processo, β2 é a variância instantânea, e W é um

processo de Wiener, ou movimento browniano21.

Pode-se então definir um processo de preço descontado Z, em que a taxa de

crescimento do ativo em risco é descontada à taxa livre de risco: Z = S/B. O lema de Itô

pode ser então utilizado para derivar os parâmetros µ e σ do processo descontado.

Dada uma variável aleatória S que siga um processo de Itô,

( ) ( )dWtSdttSdS .,..,. βα += , o lema de Itô mostra que uma função F de S segue um

processo:

22

2

).(.21.. dS

SFdt

tFdS

SFdF

∂∂+

∂∂+

∂∂=

Basta calcular (dS)2, considerando que (dt)2 ≅ 0, dt.E(dW) = 0, e E(dW2) = 1, e

reagrupar os termos para verificar que:

dWSFdt

SF

tF

SFdF .....

21. 2

2

2

ββα∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

onde dW é o mesmo processo de Wiener presente em S. Portanto, F também segue um

processo de Itô22.

Considerando o processo seguido por Z, que é função de S ( Z = S/B ), temos

então:

dWdtdZ .. σµ +=

onde 22

2

..21. βαµ

SZ

tZ

SZ

∂∂+

∂∂+

∂∂= , e βσ .

SZ

∂∂= .

Em relação à probabilidade neutra a risco, o processo descontado dZ deve ser

martingal. Isto significa que a mudança de valor esperada para Z, a cada instante, deve 21 Uma variável que segue um processo de Wiener é contínua e tem incrementos independentes e estacionários ao longo do tempo,distribuídos normalmente, com média zero e variância ∆t. Um processo de Wiener pode ser descrito por: dw = εt √dt, sendo εt umavariável aleatória normalmente distribuída, de média 0 e variância 1. Logo, E(dw) = 0 e σ2(dw) = dt.22 HULL (1997) mostra uma demonstração bastante didática, sem rigor formal, do lema de Itô. NEFTCI (1996) apresenta o assunto de

17

ser zero, o que só é possível se o parâmetro de tendência do processo for zero.

Portanto, o parâmetro de tendência de Z, que é µ sob a estrutura de probabilidade

original, deve ser zero sob uma estrutura de probabilidade neutra a risco. E esta estrutura

tem de ser equivalente à estrutura original, ou seja, o conjunto de valores que possuem

probabilidades positivas deve ser o mesmo sob ambas as estruturas. O teorema de

Girsanov estabelece as condições para que isto aconteça.

A obtenção de probabilidades neutra a risco equivalentes se baseia na escolha

conveniente de um fator λ, que é utilizado para redefinir o processo de Wiener W,

gerando um processo martingal para Z, em relação à nova estrutura de probabilidade. A

escolha conveniente é fazer com que λ seja a razão entre o parâmetro de tendência do

processo µ, e a sua volatilidade σ : σµλ = . Define-se então um processo estocástico N

tal que:

dWdtdN += .λ

Seja então um novo processo estocástico Z', de tendência zero e mesma

volatilidade que Z, tal que Z' = 0.dt + σ.dN. Um simples algebrismo mostra que:

dNZ .' σ=

)..( dWdt += λσ

+

= dWdt..σµσ

dWdt .. σµ +=

Z=

Portanto, Z' é idêntico a Z, o que faz com que possamos redefinir Z em termos de

dN, como um processo de tendência zero. Ou seja,

dNdWdtZ ... σσµ ≡+=

O teorema de Girzanov garante que dN será um processo de Wiener, sob a nova

estrutura de probabilidade, e que ela será equivalente à do processo original, se o

processo ξ(λ) for martingal sob a estrutura de probabilidade original. O processo ξ(λ) é forma detalhada, e indica fontes adicionais de consulta.

18

definido como sendo

+− ∫ ∫

=

t t

dWdS

e 0 0

2 ...21

)(λλ

λξ .23

2.2.4 Aspectos técnicos da avaliação neutra a risco

O tema da avaliação neutra a risco demanda uma discussão extremamente

técnica, caso se queira discutir os aspectos formais, os pressupostos adotados e as

restrições aplicáveis à análise. Foram apresentados nesta dissertação apenas os

conceitos fundamentais, em termos intuitivos, omitindo-se detalhes técnicos,

especialmente no que se refere à extensão da análise ao caso contínuo.

SUNDARAN (1996) apresenta o assunto de forma intuitiva, sem formalismo, e

utiliza um modelo binomial simples para introduzir os conceitos de forma didática. O caso

contínuo é apresentado, incluindo uma breve discussão do teorema de Girsanov.

NEFTCI (1996) faz uma exposição detalhada da avaliação neutra a risco, tanto no

contexto discreto quanto no caso contínuo - especialmente do modelo Black-Scholes-

Merton. Discute com especial atenção o teorema de Girsanov, seus pressupostos e suas

conseqüências. Apesar de omitir alguns detalhes técnicos e demonstrações, fornece uma

extensa lista de referências mais completas ou formais, com breves discussões a

respeito de cada uma.

2.2.5 - A avaliação neutra a risco em operação

SUNDARAM (1997) sintetiza o processo de determinação do preço de um

derivativo, através da avaliação neutra a risco:

1. Identifica-se a distribuição de probabilidade neutra a risco, ou medida martingal

equivalente, associada ao modelo;

2. Utilizando-se esta medida, calcula-se o valor esperado dos payoffs proporcionados

pelo derivativo, e

3. Desconta-se o resultado obtido à taxa livre de risco.

Portanto, para que a avaliação neutra a risco seja possível, é necessário

determinar, de alguma forma, as probabilidades neutras a risco associadas ao modelo, a

23 Assegurar que ξ(λ) é martingal não é uma tarefa trivial, mas nos casos em que é satisfeita a condição de Novikhov

( ∞∫

<][..

21

0

2 dSt

eEλ

) , pode-se afirmar que ξ(λ) é martingal.

19

partir das informações disponíveis. Uma alternativa é modelar a dinâmica do preço do

ativo objeto, até o vencimento, determinando a distribuição de probabilidade associada a

esta trajetória (no vencimento), considerando-se a hipótese de neutralidade a risco. A

outra alternativa é tentar determiná-las empiricamente, a partir dos preços negociados em

mercado, utilizando métodos paramétricos ou não-paramétricos.

Esta dissertação apresenta um exemplo de utilização da segunda abordagem,

através de um método não-paramétrico, desenvolvido por SHIMKO (1993), a partir de

resultados teóricos deduzidos por BREEDEN e LITZENBERGER (1978). O método tem

um apelo bastante intuitivo, e sua implementação é simples, não requerendo nenhum tipo

de ferramenta matemática ou computacional sofisticada (apenas resultados elementares

de cálculo diferencial e integral, e o uso de uma planilha de cálculo em

microcomputador).

2.3 O resultado de Breeden e Litzenberger

ROSS (1976) analisa o fato de que opções simples sobre os ativos negociados

em mercado podem ser combinadas, de forma a refletir os diferentes preços de estado, e

verifica que elas aumentam a eficiência dos mercados por possibilitarem a replicação de

contratos complexos.

BREEDEN e LITZENBERGER (1978) mostram então que é possível encontrar, a

partir dos preços de opções de compra determinados pelo mercado, os preços de estado

associados a cada possível "estado da natureza" futuro. Os estados da natureza são

representados, na abordagem de BREEDEN e LITZENBERGER (1978), pelo espectro de

valores que um ativo ou carteira de ativos pode alcançar no futuro, pois cada valor pode

ser interpretado como o resultado da ocorrência de um determinado estado da natureza.

Um "derivativo elementar" de um ativo, ou carteira de ativos, já definido

anteriormente como ativo Arrow-Debreu, é um título que paga $1 numa determinada data

T, se o valor do ativo ou carteira for S naquela data; caso contrário, o derivativo

elementar expira sem pagar nada. Este derivativo elementar pode ser criado por meio de

posições compradas e vendidas em opções de compra sobre o ativo objeto, com

diferentes preços de exercício, todas expirando em T. O preço do derivativo elementar

tem de ser o custo da carteira de opções de compra que possua um payoff equivalente

ao seu.

Supondo que o valor do ativo objeto S, no instante T, possua um distribuição de

probabilidade discreta, com possíveis valores de $1, $2, $3, ..., N, os valores das opções

20

de compra C(X,T) referentes a S, com preços de exercício X iguais a $0, $1 e $2, e

vencimento em T, são representados por:

Ativo Objeto C (0,T) C(1,T) C(2,T)

S (T) = 1 1 0 0

S (T) = 2 2 1 0

S (T) = 3 3 2 1

S (T) = 4 4 3 2

( ... ) ( ... ) ( ... ) ( ... )

S (T) = N N N - 1 N - 2

Quando o preço de exercício passa de X para X+∆, o payoff do estado S = X+∆

se torna zero, e os payoffs de todos os estados tais que S > X+∆ são reduzidos de ∆.

Neste exemplo, C (0,T) - C(0+1,T) tem como resultado um payoff de $1 em cada

estado onde S ≥ 1, e C(0+1,T) - C(0+2, T) resulta num payoff de $1 em cada estado onde

S ≥ 2.

=

−

−

1

111

1

210

321

ΜΜΜNN

=

−

−

− 1

110

2

100

1

210

ΜΜΜNN

A carteira formada por [C (0,T) - C(1,T)] - [C (1,T) - C(2,T)] tem como resultado um

payoff de $1 se S=1, e zero caso contrário:

=

−

0

001

1

110

1

111

ΜΜΜ

O derivativo elementar para qualquer valor de S em T pode ser construído de

maneira similar. O custo da carteira de opções que replica o derivativo elementar fornece

21

o preço de estado a ele associado. Essa carteira será formada pela compra de uma

opção de compra com preço de exercício X = S-1 e de outra com X = S+1, além da venda

de duas opções de compra com X = S.

Assumindo-se um intervalo genérico entre os possíveis valores do ativo objeto

igual a ∆S, então C(X,T) - C(X+ ∆S,T) tem um payoff igual a zero para S≤X, e ∆S para

valores maiores que X. Portanto, uma carteira que produza um pagamento de $1 se o

ativo objeto é S, e zero caso contrário, será formada por 1/ ∆S vezes a combinação

montada para o caso do intervalo unitário. O valor atual dessa carteira será então:

[ ] [ ]{ }),(),(),(),(.1);,( TSSCTSCTSCTSSCS

STSP ∆+−−−∆−∆

=∆

À medida que os intervalos de preço ∆S tendem a zero, os possíveis valores de S

tendem a assumir uma distribuição contínua. Pode-se definir então uma densidade de

valor para S como o limite da razão do preço da carteira pelo tamanho ∆S do intervalo,

quando ∆S tende a zero:

[ ] [ ]{ }),(),(),(),(.1);,(2 TSSCTSCTSCTSSC

SSSTSP ∆+−−−∆−

∆=

∆∆

lim ∆S→0 2

2 ),();,(X

TXCS

STSP∂

∂=∆

∆ X=S

Portanto, assumindo-se que C(X,T) é duplamente diferenciável em X, o valor de

( )2

2 ,X

tXC∂

∂, calculado para X=S, dá o valor da função de preço de estado de S para o

caso contínuo.

O preço de estado em cada ponto é igual ao valor descontado, à taxa livre de

risco, da probabilidade neutra a risco a ele associada. Vale então a relação:

2

2 ),(X

TXC∂

∂ X=S )(.)( Sfe tTr −−=

onde S é o preço do ativo objeto, X é o preço de exercício, T-t é o prazo de maturidade

da opção de compra européia sobre S, e r é a taxa de juros.

Este mesmo resultado pode ser obtido de maneira direta, a partir da relação

22

fundamental enunciada por COX e ROSS (1976):

TTX

TtTr dSSfXSetXC ).().(.),( )( ∫

∞−− −=

Derivando C(X,t) em relação a X, de acordo com a regra de Leibniz para

derivação de integrais, e calculando este resultado para X=S, obtemos a distribuição

acumulada de probabilidade neutra a risco.

Seja a função C(X) definida por:

∫=)(

)(

).,()(Xh

Xg

dSSXcXC

onde g(X) e h(X) são os limites de integração expressos como função de X. Neste caso,

HILLIER e LIEBERMAN (1988) mostram que:

[ ] [ ]dX

XdgXgXcdX

XdhXhXcdSX

SXcdSSXcdXd

dXXdC Xh

Xg

Xh

Xg

)(.)(,)(.)(,.),().,()( )(

)(

)(

)(

−+∂

∂== ∫∫

Sendo )().(),( SfXSSXc −= , g(X) = X e h(X) = α, temos:

)()(

),( SfX

SXc −=∂

∂ ; 0)()( =∞=

dXd

dXXdh

; [ ] 0)().()(, =−= XfXXXgXc

Então:

∫ ∫ ∫∫∞ ∞ ∞

−=++−=−==X X X

Xh

Xg

dSSfdSSfdSSfXSdXddSSXc

dXd

dXXdC ).(00).().().().,()( )(

)(

Sabemos que ∫ ∫ ∫∞

∞− ∞−

∞

+=t

t

dxxfdxxfdxxf ).().().( , e que ∫∞

∞−

=1).( dSSf . Então:

1)(1)().()().( −=−=− ∫ ∫∞

∞−

SFSdSfSdSfX

X

23

Portanto,

XtXC

∂∂ ),(

X=S [ ]1)(.)( −= −−T

tTr SFe

Derivando este resultado uma segunda vez, e novamente calculando seu valor em

X=S, obtemos o resultado de BREEDEN e LITZENBERGER (1978):

2

2 ),(X

TXC∂

∂ X=S )(.)(

TtTr Sfe −−=

onde f(ST) é a função densidade de probabilidade neutra a risco de S, no vencimento.

2.4 A técnica de Shimko

SHIMKO (1993) desenvolveu um engenhoso método de implementação da

técnica sugerida por BREEDEN e LITZENBERGER (1978). Para que se possa calcular

as necessárias derivações dos preços de opções de compra, é preciso encontrar funções

de preço "suaves", ou seja, contínuas e deriváveis em todos os pontos. Como não existe

um espectro contínuo de preços de exercício, para as opções negociadas em mercado,

torna-se necessário interpolar os valores observados.

Após analisar diversas possibilidades de interpolação, considerando inicialmente

os preços de opções diretamente observados no mercado, SHIMKO (1993) optou por

utilizar as volatilidades implícitas obtidas a partir da fórmula Black-Scholes. Uma

parábola, obtida a partir do método de mínimos quadrados, foi interpolada entre os

valores observados.

Os valores interpolados correspondem à volatilidade até o vencimento, v = σ√τ. A

função v = A0 + A1X + A2X2 é usada para gerar um intervalo contínuo de volatilidades

implícitas que, via fórmula Black-Scholes, são utilizadas para gerar valores interpolados

de preços de opções. Estes valores são então diferenciados, gerando as funções de

distribuição acumulada e de densidade de probabilidade neutra a risco implícitas nos

preços. A forma quadrática de interpolação permite que as derivadas da função preço

das opções, em relação ao preço de exercício, sejam calculadas analiticamente.

24

"Smile" das Volatilidades Implícitas nas Opções de C ompra de D ólar C omercial, negociadas na B M& F no dia 02.03.2000

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

1,7 1,75 1,8 1,85 1,9

V olatilidadesInterpoladas

V olatilidades Implíc itasBlack-Scholes

Figura 1

SHIMKO (1993) enfatiza que a fórmula Black-Scholes é utilizada apenas com uma

transformação de variáveis, pois a técnica proposta pretende justamente relaxar a

hipótese fundamental do modelo Black-Scholes-Merton: de que a distribuição de

probabilidades do preço do ativo objeto, no vencimento, é lognormal.

A distribuição neutra a risco só é gerada para valores situados dentro do intervalo

observado de preços de opções. As probabilidades referentes aos valores situados fora

do intervalo são calculadas como distribuições lognormais, traçadas de forma a gerar os

mesmos valores de volatilidade e probabilidade que os obtidos, por meio do modelo, para

os pontos extremos. A distribuição final é formada pela junção das três partes.

2.5 Outras Técnicas

A pesquisa em finanças vem se dedicando, com interesse crescente, ao estudo

das probabilidades neutras a risco e dos processos estocásticos seguidos pelos preços

dos ativos. RUBINSTEIN (1994), JACKWERTH e RUBINSTEIN (1996) e JACKWERTH

(1999) associam o aumento deste interesse à ocorrência do crash das bolsas norte-

americanas (com repercussões nas bolsas de todo o mundo), em outubro de 1987. Não

é por acaso que um dos trabalhos pioneiros na área tenha sido motivado pelo tema: em

"The Crash of '87: Was It Expected? The Evidence from Options Markets", David S. Bates

25

procura examinar as expectativas de mercado anteriores ao crash, com a ajuda dos

preços de opções sobre futuros do índice de mercado de ações norte-americano S&P

500.24

As linhas de pesquisa sobre distribuições de probabilidade neutras a risco se

dividem em dois grandes grupos, na visão de CHANG e MELICK (1999). De um lado,

estão as técnicas que procuram recuperar o processo estocástico percorrido pelo ativo

objeto, obtendo a distribuição neutra a risco como resultado desse processo, como fez

BATES (1991). Do outro, estão as técnicas que procuram estimar a distribuição neutra a

risco a partir da sua relação com os preços de opções efetivamente praticados em

mercado, no vencimento. A abordagem de SHIMKO (1993), adotada com pequenas

modificações nesta dissertação, foi pioneira nesta segunda linha de pesquisa.

2.5.1 - Técnicas que procuram estimar diretamente a distribuição neutra a risco

BAHRA (1997) divide a segundo linha de pesquisa, que procura estimar

diretamente as probabilidades neutras a risco (sem determinar a trajetória seguida pelo

preço do ativo objeto), em três grupos principais. No primeiro, uma forma funcional para a

distribuição neutra a risco é assumida; seus parâmetros são estimados por métodos de

minimização das diferenças entre os preços de opções estimados pelo modelo, e os

preços efetivamente observados. No segundo grupo, são utilizadas técnicas de

ajustamento de curvas, que mostram uma relação funcional entre os preços das opções e

os preços de exercício, a distribuição é obtida por diferenciação dessa função, de acordo

com o resultado de BREEDEN e LITZENBERGER (1978). No terceiro, as distribuições

são estimadas de forma não paramétrica, ou seja, não é assumida nenhuma hipótese

prévia a respeito dos parâmetros que determinam a dinâmica do preço do ativo objeto, a

função de preço da opção ou o formato final da distribuição.

2.5.1.1 - Técnicas paramétricas

Dentre as técnicas paramétricas, a mais extensivamente utilizada tem sido a da

mistura de distribuições lognormais, utilizada pioneiramente por RITCHEY (1990), e

desenvolvida por MELICK e THOMAS (1997)25. A hipótese básica do modelo é que a

distribuição de probabilidades dos preços do ativo objeto, no vencimento, é formada por

24 A abordagem utilizada por BATES (1991) se baseia na recuperação do processo estocástico seguido pelo preço do ativo subjacente àsopções; a obtenção da distribuição de probabilidade neutra a risco é um sub-produto desse exercício.25 Versões anteriores do trabalho de William Melick e Charles Thomas foram apresentadas como International Finance DiscussionPepers nos 437 (Out. de 1992) e (Fev. de 1996), do Board of Governors do Federal Reserve System norte-americano, servindo comobase para o trabalho de LEAHY e THOMAS (1996).

26

uma média ponderada de distribuições lognormais:

∑=

=k

iTiiT SgSf

1

)](.[)( θ

onde gi(ST) é a i-ésima função densidade lognormal da mistura, com parâmetros µi e σi:

2)ln(

.21

...2

1)(

−−

= i

iTS

TiTi e

SSg σ

µ

σπ

Os pesos θi satisfazem a condição:

∑=

=k

ii

1

1θ , θi > 0 para todo i.

Ao analisar as condições do mercado de petróleo durante a crise do golfo

pérsico, no início dos anos 90, MELICK e THOMAS (1997) estimam distribuições de

probabilidade implícitas nos preços de opções americanas de compra sobre contratos

futuros de petróleo, negociados na NYMEX (New York Mercantile Exchange) no período

de 02 de julho de 1990 a 30 de março de 1991. Atribuem a priori uma estrutura

determinada à distribuição: uma mistura de três distribuições lognormais. MELICK e

THOMAS (1997) observam que a adoção dessa hipótese é similar, em espírito, à adoção

de uma hipótese prévia a respeito do processo estocástico seguido pelo preço do ativo

objeto.

Os parâmetros µi e σi, de cada distribuição lognormal, e os pesos θi são

determinados pela minimização da soma dos erros quadráticos dos preços de opções de

compra e venda determinados pelo modelo, em relação àqueles efetivamente ocorridos

no mercado. Informação adicional é fornecida pelo preço futuro do ativo objeto, que deve

ser igual à média da distribuição implícita. Este resultado é equivalente à constatação de

que o preço do ativo objeto deve ser igual ao preço de uma opção de compra, com preço

de exercício igual a zero. Caso esta propriedade não seja utilizada no cálculo dos

parâmetros, como em MELICK e THOMAS (1997), ela se torna um bom instrumento de

avaliação dos resultados obtidos.

Como vantagens da abordagem escolhida, MELICK e THOMAS (1997) destacam

a sua flexibilidade e generalidade. O método é capaz de acomodar uma ampla variedade

de possíveis formatos para a distribuição. Enquanto uma dada distribuição no final do

27

período pode representar diferentes processos estocásticos, um dado processo é

consistente com um único formato final de distribuição.

A grande desvantagem do método é justamente a de não transmitir informações a

respeito da trajetória percorrida pelo preço do ativo objeto. Isto significa que a técnica não

oferece meios para que se construam estratégias de replicação da opção, ou de hedge

dinâmico.

LEAHY e THOMAS (1996) analisam os movimentos das taxas de juros e das

taxas de câmbio canadenses, nos períodos imediatamente anteriores e posteriores ao

plebiscito sobre a independência da província canadense de Quebec. Utilizando a técnica

descrita nas versões preliminares de MELICK e THOMAS (1997), LEAHY e THOMAS

(1996) estimam distribuições neutras a risco para contratos futuros de dólares

canadenses, negociados na Chicago Mercantile Exchange (CME).

Os dados utilizados se referem aos preços de ajuste diários de opções sobre os

contratos futuros de dezembro de dólares canadenses da CME, que venceram no dia 9

de dezembro de 1995, 40 dias após o resultado do plebiscito. Foram estimadas

distribuições para vários dias do mês de outubro de 1995: dia 2, quatro semanas antes

do plebiscito; quatro dias durante as duas semanas anteriores, e dia 31, véspera

plebiscito.

Os formatos da distribuição variaram consideravelmente entre cada data,

refletindo as mudanças de expectativa, à medida em que a data do plebiscito se

aproximava. Um comportamento observado com freqüência foi a ocorrência de bi e

trimodalidade, que LEAHY e THOMAS (1996) consideram consistente com a

possibilidade de ocorrência de três cenários futuros alternativos: uma derrota

surpreendente da proposta de emancipação; um resultado previsível, ou uma vitória

surpreendente da proposta.

Há diversos tipos de situação como esta, em que os investidores esperam um

padrão discreto de distribuição de possíveis resultados futuros, atribuindo probabilidades

de maneira concentrada em torno de determinados valores. Nestes casos, restringir a

distribuição de probabilidades dos possíveis resultados a um formato suave de sino,

como exige a hipótese da lognormalidade, pode levar a persistentes subvalorizações e

sobrevalorizações dos preços das opções. LEAHY e THOMAS (1996) acreditam que,

quando esse padrão de comportamento desaparece, o modelo de mistura de lognormais

e o modelo lognormal simples produzem resultados similares. É o que verificaram ao

analisar as distribuições calculadas no dia seguinte ao da realização do plebiscito.

LEAHY e THOMAS (1996) observam ainda que o modelo de mistura de três

lognormais apresentou um desempenho apenas marginalmente melhor que o da mistura

28

de duas lognormais, mas substancialmente superior ao da lognormal simples. Concluem

que a prática tradicional de supor distribuições lognormais simples, em lugar da adoção

de modelos mais flexíveis como o da mistura de lognormais, pode resultar em erros de

avaliação significativos e persistentes, por não captar informações importantes contidas

nos preços das opções.

SHERRICK, GARCIA e TIRUPATTUR (1996) ressaltam que a teoria econômica

oferece pouca orientação a respeito do formato das distribuições neutras a risco, além da

restrição de que os preços dos ativos não podem ser negativos. Na prática, a

representação das distribuições de probabilidade dos preços é tratada empiricamente. A

representação lognormal é utilizada com freqüência, devido à sua simplicidade e à sua

correspondência com o modelo Black-Scholes-Merton, mas outras formas de distribuição

podem ser úteis para caracterizar preços e retornos esperados.

SHERRICK, GARCIA e TIRUPATTUR (1996) buscam identificar todos os

parâmetros da distribuição de probabilidade neutra a risco do preço de um ativo,

utilizando apenas dados disponíveis a respeito de opções. O procedimento adotado foi o

de procurar pelas probabilidades mais consistentes com os valores de opções

negociadas, para diferentes preços de exercício e prazos de vencimento.

Utilizando dados diários referentes aos preços de fechamento de opções sobre 22

contratos futuros de soja, negociados no período 1986-1991 na Chicago Board of Trade

(CBOT), SHERRICK, GARCIA e TIRUPATTUR (1996) analisam duas parametrizações

"candidatas" a descrever a distribuição: lognormal e Burr III. A escolha da Burr III, como

alternativa à hipotese tradicional de lognormalidade, se deu com base numa análise

preliminar das séries históricas do preços e retornos dos contratos de soja negociados no

período. Com base nas razões entre momentos calculadas e os valores padronizados

para diversas famílias de distribuições, a distribuição Burr III era que melhor se ajustava

aos valores observados empiricamente. Apesar de pouco utilizada na modelagem de

distribuições de preços, a distribuição Burr III tem se mostrado bastante útil à indústria de

seguros, na análise de probabilidades de ocorrência de sinistros.

SHERRICK, GARCIA e TIRUPATTUR (1996) comparam as distribuições

lognormal e Burr III, analisando os desempenhos de cada distribuição ao longo do tempo

e verificando como evoluíram os graus de informação e de incerteza a respeito do ativo

objeto, contidos nos preços das opções. Como as informações sobre preços do ativo

objeto não foram utilizadas para caracterizar as distribuições, relações importantes entre

o seu valor de mercado e as informações contidas nos preços das opções puderam ser

analisadas.

A distribuição acumulada Burr III, de parâmetros α,λ e τ, é expressa por:

29

λ

τ

τ

+

−=X

XFBR

1

11)( , sendo α,λ,τ > 0; X ≥ 0.

e a densidade é então descrita por:

( ) ( )

( ) 1

11 .......)( +

−−

+

−+= λαα

λααααλ

ταλτλα

XXXXXf BR

Os valores dos parâmetros das distribuições implícitas lognormais e Burr III foram

obtidos por meio do mesmo critério de otimização adotado por MELICK e THOMAS

(1997) : minimização do somatório dos erros quadráticos, considerados como a diferença

entre os valores efetivamente ocorridos, dia a dia, para opções de compra e de venda, e

os valores previstos pelo modelo, de acordo com a distribuição avaliada.

Os resultados obtidos foram submetidos a uma bateria de testes, em que foram

comparados os valores previstos com valores obtidos, para os preços de opções, e os

valores observados dos preços futuros com as médias das distribuições obtidas. Também

foram comparadas as variâncias das distribuições obtidas com a variância da série

histórica de valores ocorridos.

Com relação aos erros de cálculo dos preços das opções, a diferença não se

revelou significativa26, apesar de um desempenho ligeiramente melhor do modelo Burr III,

em especial nos períodos mais próximos do vencimento (no mercado em questão, os

volumes negociados são maiores nestes períodos).

A comparação das médias das distribuições mostrou que os valores de ambas as

séries apresentaram diferenças muito pequenas em relação aos preços observados para

os contratos futuros. Novamente, o desempenho do método Burr III foi marginalmente

superior.

As variâncias implícitas nas distribuições foram comparadas com as variâncias

efetivamente ocorridas, na série de preços de contratos futuros, ao longo dos intervalos

de tempo entre as datas a que se referiam as distribuições implícitas e os vencimentos.

Os resultados mostraram que o modelo Burr III apresentou uma performance

significativamente melhor como previsor de volatilidade, apesar de ambos terem

26 Da ordem de 0,14 centavos de dólar, em termos médios diários, para o modelo Burr III; e 0,16 centavos, para o modelo lognormal.

30

subestimado as variâncias efetivamente ocorridas. Isso pode significar que ambos não

apresentaram um bom desempenho; por outro lado, ambos podem ter avaliado com

precisão as expectativas dos investidores, que, por algum motivo, revelaram excesso de

confiança, de maneira sistemática, ao longo do intervalo de tempo analisado.27

O uso de distribuições implícitas neutras a risco por bancos centrais, como

instrumentos de apoio à tomada de decisões de política monetária, é analisado por

SÖDERLIND e SVENSSON (1997). Os autores discutem a utilização dessas

distribuições como instrumentos capazes de revelar expectativas dos mercados com

relação a taxas de juros, taxas de câmbio e de inflação futuras. A técnica de RITCHEY

(1990) e MELICK e THOMAS (1997) é adaptada por SÖDERLIND e SVENSSON (1997)

para o caso específico das opções de compra de bonds. A distribuição neutra a risco é

modelada como uma mistura de distribuições normais bivariadas do logaritmo do fator de

desconto (considerado estocástico) e do logaritmo do preço do bond.

Outra aplicação específica analisada por SÖDERLIND e SVENSSON (1997) é a

das opções sobre taxas de câmbio, em que a aproximação adotada para a distribuição

neutra a risco é a da mistura de três distribuições normais bivariadas dos logaritmos do

fator de desconto e das taxas de câmbio. O resultado do plebiscito sobre a

independência da província de Quebec, no Canadá, é analisado através do cálculo de

distribuições neutras a risco, implícitas nos preços das opções sobre a taxa de câmbio

entre os dólares americano e canadense, antes e depois da votação, como em LEAHY e

THOMAS (1996).

A correção de MELICK e THOMAS (1997) para opções americanas é analisada

por meio da comparação dos resultados obtidos com e sem a sua utilização (ou seja,

supondo que as opções fossem européias). SÖDERLIND e SVENSSON (1997) verificam

que os resultados são praticamente os mesmos, e consideram portanto que a correção

para opções americanas não é importante no cálculo de distribuições implícitas.

Observam ainda diversos problemas de ordem prática, como o surgimento de "pontas" no

formato das distribuições, além do fato de que as opções muito "fora do dinheiro" (out-of-

the-money) apresentam divergências significativas, em relação aos valores previstos.

SÖDERLIND e SVENSSON (1997) enfatizam que a diferença entre a distribuição

neutra a risco e a distribuição real está diretamente relacionada ao prêmio de risco da

moeda estrangeira. Sugerem ainda que, quando os diferentes estados têm interpretações

razoavelmente claras (ou seja, é possível estabelecer uma correspondência direta entre

27 JACKWERTH (1999) observa que o trabalho de SHERRICK, GARCIA e TIRUPATTUR (1996) não fez qualquer consideração arespeito da possibilidade de exercício antecipado, presente nas opções americanas sobre futuros, como fizeram MELICK e THOMAS(1997). Caso eles tenham simplesmente ignorado essa possibilidade, considerando as opções como européias, os resultados encontradosestarão incorretos.

31

os valores de cada distribuição que representam cada estado), deve-se considerar a

possibilidade de determinar simultaneamente as distribuições para taxas de juros e taxas

de câmbio, impondo-se a restrição de que elas devem indicar, para estados equivalentes,

as mesmas probabilidades neutras a risco.

JARROW e RUDD (1982) generalizam uma técnica desenvolvida por Schleher, na

qual uma dada distribuição de probabilidades, F(S), pode ser aproximada por uma

distribuição arbitrária (mais "tratável" matematicamente), a distribuição de aproximação

A(S). Esta técnica, similar à expansão em série de Taylor de funções analíticas, é

conhecida na literatura estatística como expansão em série de Edgeworth generalizada.

Uma propriedade desejável da expansão em série de Edgeworth é que seus coeficientes

são funções simples dos momentos da distribuição dada e da distribuição de

aproximação.

A série de Edgeworth original utiliza a distribuição normal padrão como

distribuição de aproximação. A abordagem de JARROW e RUDD (1982), generalizando a

técnica de Schleher, considera uma distribuição de aproximação arbitrária, e permite a

inexistência de determinados momentos.

Após formular o modelo de expansão em série de Edgeworth generalizada,

JARROW e RUDD (1982) utilizam-no para enunciar uma fórmula do valor aproximado de

uma opção, com base na expansão do termo f(S), na expressão geral de COX e ROSS

(1976)28. Em seguida, utilizam esta fórmula geral para o caso particular em que a função

lognormal é escolhida como função de aproximação. Neste caso, a fórmula de JARROW

e RUDD (1982) se torna uma expressão em que três termos de ajustamento são

adicionados à fórmula Black-Scholes, de maneira a tornar seus resultados mais próximos

dos valores efetivamente ocorridos.

Os termos de ajustamento da expressão de JARROW e RUDD (1982) são

funções do valor da função de aproximação, e de suas derivadas, no ponto que

corresponde ao preço de exercício da opção, K. Dependem, portanto, do fato da opção

estar "in, at ou out-of-the-money", e em que proporção. O primeiro termo ajusta

diferenças de variância; o segundo, diferenças de assimetria, e o terceiro reflete

diferenças de variância e curtose. A expressão comporta ainda um termo de erro

residual, ε(K).

Um caso particular de expansão de Edgeworth, em que a expressão é truncada

no polinômio de quarta ordem, é chamado expansão de Gram-Charlier. CORRADO e SU

28 Recordando, ∫∞

−− −=X

TTTtTr dSSfXSetXC ).().(),( )(

32

(1997) utilizam esse tipo de expansão para analisar desvios em relação à normalidade

dos retornos, implícitos em quatro contratos de opções sobre ações, negociados

ativamente na Chicago Board of Options Exchange (CBOE)29. CORRADO e SU (1997)

sugerem que as origens do skew das volatilidades implícitas nos preços das opções

negociadas na CBOE são as assimetrias e curtoses das distribuições de probabilidade

neutras a risco, implícitas nestes preços.

RUBINSTEIN (1998) propõe uma versão simplificada do trabalho de JARROW e

RUDD (1982), aplicando uma expansão de Edgeworth a distribuições discretas de

probabilidade neutras a risco. Estas distribuições funcionam como representações

aproximadas de uma distribuição contínua de probabilidades, através da construção de

uma árvore binomial de probabilidades.

A expansão de Edgeworth das probabilidades binomiais atribui assimetrias e

curtoses predeterminadas à distribuição, cujos valores são então obtidos de maneira

aproximada, ponto a ponto. A distribuição dos retornos do ativo objeto, assim obtida, é

ajustada de maneira a apresentar média igual à taxa livre de risco (ajustada a uma taxa

de payout, se necessário) e uma volatilidade especificada. Esta distribuição pode então

ser utilizada para avaliar opções européias do ativo subjacente. Opções americanas

podem ser avaliadas com base numa simulação da trajetória do preço do ativo, a partir

das probabilidades calculadas, através de uma árvore binomial implícita30.

MADAN e MILNE (1994) sugerem um modelo similar ao de JARROW e RUDD

(1982), em que a distribuição neutra a risco pode ser expressa como uma expansão da

distribuição normal, usando polinômios Hermite. O polinômio Hermite de ordem k é

definido como )(

1..!)1()(

xxkxH k

kk

k φφ

∂∂−= , onde ϕ é a densidade normal padrão de média

zero e variância 1.

LI (2000) apresenta uma das mais recentes aplicações de técnicas paramétricas,

na qual utiliza a distribuição t assimétrica generalizada. Caracterizada por quatro

parâmetros, a distribuição t assimétrica generalizada é de tal forma flexível que acolhe,

como casos particulares, diferentes formatos de distribuições de probabilidade. Apesar de

acolher a distribuição normal, a distribuição proposta não é estável sob adição, o que leva

LI (2000) a derivar somente distribuições neutras a risco na data de vencimento,

implícitas em opções do tipo europeu.

Utilizando expansões de Edgeworth, LI (2000) deriva fórmulas de avaliação de

opções para cada uma das distribuições possíveis. Os modelos gerados são subdivididos 29 As distribuições não são derivadas inteiramente por CORRADO e SU (1997); apenas as assimetrias e curtoses implícitas sãocalculadas.

33

em cinco grupos, de acordo com as características da distribuição neutra a risco de

retornos que geram: assimétrico-curtóticos, assimétricos, de curtose variável, de curtose

fixa e normal.

Com base em resultados obtidos a partir de uma amostra, composta por seis anos

de dados semanais de opções de compra sobre o índice S&P 500, LI (2000) mostra que

é possível construir um bom modelo com apenas três parâmetros, correspondentes à

volatilidade, à assimetria e à curtose da distribuição gerada. Na opinião de LI (2000), a

inclusão da assimetria como parâmetro adicional ao modelo Black-Scholes-Merton

produz os melhoramentos mais importantes. Considerando-se a amostra utilizada, os

modelos que utilizam a distribuição t assimétrica generalizada e a t assimétrica

apresentam resultados superiores aos demais, gerando erros médios quadráticos de

avaliação 80% inferiores aos do modelo padrão da fórmula Black-Scholes.

2.5.1.2 - Técnicas não paramétricas que utilizam ajustamento de curvas

SHIMKO (1993) foi o primeiro a sugerir o ajustamento de uma curva de

volatilidades implícitas como a melhor maneira de obter um espectro contínuo de preços

de opções, capaz de possibilitar a implementação do resultado de BREEDEN e

LITZENBERGER (1978). Algumas variações de seu método têm sido sugeridas, dentre

elas a de MALZ (1997).

A proposta de MALZ (1997), ao analisar distribuições de probabilidade de taxas

de câmbio futuras, é utilizar preços de opções cotados no mercado de balcão, ao invés

de recorrer às cotações das bolsas centralizadas. As convenções adotadas pelos

operadores do mercado de balcão de opções sobre moedas permitem uma maior

precisão e facilidade de cálculo, com um volume pequeno de dados.

Uma dessas convenções é a cotação dos preços das opções em termos da sua

volatilidade implícita na fórmula Black-Scholes. Os negócios são expressos em vols,

unidades de volatilidade implícita, que, juntamente com outros valores fixados (preços de

exercício, prazos) e observados no mercado (taxas de juros externas e domésticas, taxas

de câmbio) alimentam a fórmula Black-Schoeles, fornecendo então o valor fixado para o

negócio. A versão da fórmula Black-Scholes para opções sobre taxa de câmbio é

conhecida como fórmula Garman-Kohlhagen:31

C = )(..)(. 21* dNXedNSe r

tr ττ −− − ,

30 A elaboração de árvores binomiais implícitas será comentada mais adiante.31 Enunciada em GARMAN e KOHLHAGEN (1983)

34

onde

+−+

=τσ

τσ

.

.2

*ln2

1

rrXS

d

t

; τσ .12 −= dd , r* é a taxa de juros na

moeda estrangeira e r a taxa de juros na moeda doméstica

A maioria dos negócios no mercado de balcão de opções sobre moedas é feita

com opções at-the-money a termo, nas quais o preço de exercício é convencionado como

sendo a taxa de câmbio a termo. Quando opções in ou out-of-the-money são negociadas,

o preço de exercício é comumente fixado em termos do delta da opção, e não de

unidades monetárias. O delta de uma opção é a taxa de variação do seu valor Black-

Scholes em relação ao preço do ativo objeto (no caso, a taxa de câmbio à vista):

+−+

=∂∂= −

τσ

τσ

δ τ

.

.2

*ln.

2

*

rrXS

NeSC

t

r

tC

O valor de δC varia de 0 a e-r*t, e o valor do delta de uma opção de venda é δP = δC

- e-r*t. Geralmente, o preço de exercício é fixado de forma tal que o delta seja um número

redondo, expresso em termos percentuais (por exemplo, 25%). Dado que o delta de uma

opção de venda é negativo, seu valor é sempre expresso em termos absolutos (quando

se diz que uma put tem delta de 25%, isso significa que o seu valor é, na verdade, -0,25);

o valor aproximado do delta de uma opção cujo preço de exercício é a cotação a termo é

0,5. O delta de uma opção de compra decresce monotonicamente com o preço de

exercício; portanto, a correspondência entre um determinado delta e um preço de

exercício em unidades monetárias é única, e pode ser prontamente determinada.

No mercado de balcão, as opções sobre moedas são usualmente negociadas em

combinações, sendo as mais comuns conhecidas como straddles, strangles e risk

reversals. Os straddles são combinações formadas por opções de compra e venda de

mesmo preço de exercício (normalmente, a cotação a termo, cujo delta aproximado é

0,5). Os strangles são formados por posições compradas numa put e numa call

igualmente out-of-the money, ou seja, com deltas simétricos (quase eqüidistantes do

delta das opções at-the-money, que é aproximadamente 50%). Risk reversals são

combinações formadas pela venda de uma put e compra de uma call, com deltas também

35

simétricos. Os negócios com strangles e risk reversals são comumente realizados com

opções de delta 25%, mas combinações envolvendo opções com deltas de 15% estão se

tornando cada vez mais comuns.

As cotações de straddles, strangles e risk reversals são expressas em termos de

volatilidades implícitas Black-Scholes. No caso do risk reversal, a cotação é dada como a

diferença entre as volatilidades das duas opções “simetricamente out-of-the-money”,

PCrr δδ σσσ −=)( ; os strangles são cotados pela diferença entre a média destas

cotações e a cotação at-the-money, )(2

)( atmstr PC σσσσ δδ −+

= .

Dado que as opções de compra e de venda que compõem estas combinações se

referem a um mesmo ativo objeto, deveria ocorrer a igualdade σσσσ δδ === )(atmPC ;

portanto, estas cotações deveriam ser, em princípio, sempre zero. Elas se constituem,

portanto, num indicador da existência do "smile" de volatilidade, refletindo o grau de

afastamento das distribuições de probabilidade dos ativos objetos em relação à hipótese

de lognormalidade do modelo Black-Scholes-Merton.

MALZ (1997) sugere que se faça uma interpolação quadrática das volatilidades

implícitas no espaço delta-volatilidade, utilizando-se estas cotações (ao invés de

interpolar preços de exercício, como fez SHIMKO, 1993), por meio da equação:

221.0 )5,0).((.)5,0).((.)()( −+−+= δσδσσδσ δ strarraatma

Esta interpolação pode ser interpretada como uma aproximação, em série de

Taylor de segunda ordem, do “smile” de volatilidades. Os parâmetros ai podem ser

facilmente determinados se for imposta a condição de que a equação passe pelos pontos

formados pelas cotações das opções at-the-money, dos strangles e dos risk reversals:

2)5,0).((.16)5,0).((.2)()( −+−+= δσδσσδσ δ strrratm

MALZ (1997) utiliza preços simultâneos de opções com um mês de prazo até o

vencimento, disponibilizados publicamente pela agência de notícias Reuters. As cotações

se referem a straddles, strangles e risk reversals, constituídos por opções com preços de

exercício correspondentes a deltas (de call) de 25, 50 e 75%. Por serem bem espaçados

ao longo do eixo dos preços de exercício, estes valores permitem que se faça uma boa

interpolação dos demais preços.

Substituindo-se o valor do delta de uma opção na equação de interpolação obtida

36

por MALZ (1997), obtém-se uma expressão da volatilidade implícita como função do

preço de exercício, que pode ser substituída na fórmula Black-Scholes. Torna-se então

possível obter, numericamente, aproximações das derivadas primeira e segunda do valor

de uma call, obtendo F(S) e f(S) para S=X (sendo S o preço do ativo objeto e X o preço

de exercício da opção), com base no resultado de BREEDEN e LITZENBERGER (1978):

+

∆∆−−= − 1)()()(

XXXXeXF r σστ

XXXFXFXf

∆∆−−= )()()(

Comparando sua técnica com a de SHIMKO (1993), MALZ (1997) ressalta que a

interpolação proposta em seu modelo (que ele chama de "método da função de

volatilidade") evita o problema do crescimento ilimitado dos valores de σ, quando se tenta

a sua extrapolação com base numa função quadrática simples. Quando o preço de

exercício X se afasta do intervalo de valores em que há negócio (ou seja, X tende a 0 ou

+∝ ), os valores de σ crescem de maneira ilimitada no modelo de SHIMKO (1993), o que

não acontece com a função de volatilidade de MALZ (1997), dado o valor de δ é limitado

por e-r*τ.

No entanto, MALZ (1997) observa que, para valores muito grandes e muito

pequenos de preço de exercício, ∂C/∂σ (valor conhecido como vega da opção) tende a

zero. Nestes casos, uma mudança significativa da volatilidade implícita gera mudanças

muito pequenas no preço da opção. MALZ (1997) conclui então que apenas na região

central do espectro de preços de exercício é necessário que a interpolação de

volatilidades implícitas seja precisa. Fora deste intervalo, erros consideráveis da

interpolação de volatilidades implícitas levam a erros pequenos de avaliação dos preços

das opções, e portanto afetam pouco a estimativa da distribuição de probabilidade

implícita nestes preços.

CAMPA, CHANG e REIDER (1997) também utilizam cotações do mercado de

balcão de opções, envolvendo cinco pares de moedas ativamente negociados: dólar-

marco, dólar-iene, marco-libra, marco-franco francês e marco-lira. Dispondo de cinco

cotações para cada par, referentes aos deltas de -10%, -25%, +10% e +25%, além das

cotações at-the-money, CAMPA, CHANG e REIDER (1997) obtêm distribuições implícitas

de probabilidade dos preços de cada moeda, cotados na outra moeda do par. Utilizam

uma variação da técnica de SHIMKO (1993), na qual substituem a interpolação

37

quadrática pela técnica de cubic splines32. Isso faz com que os valores cotados em

mercado pertençam, necessariamente, à curva de interpolação, assim como na técnica

de MALZ (1997), o que não necessariamente acontece na interpolação via mínimos

quadrados utilizada por SHIMKO (1993). CAMPA, CHANG e REIDER (1997) extrapolam

volatilidades implícitas, para opções fora do intervalo onde ocorrem negócios,

estendendo o cubic spline por um trecho equivalente em tamanho ao último trecho

interpolado adjacente, dentro do intervalo. A partir do novo ponto extremo, determinado

pela extrapolação via cubic spline, a volatilidade é assumida como constante, e igual à

daquele ponto.

Os resultados obtidos por meio da técnica de SHIMKO (1993) modificada são

comparados com resultados obtidos via método de mistura de lognormais, de MELICK e

THOMAS (1997), e de árvore binomial implícita, de RUBINSTEIN (1994). CAMPA,

CHANG e REIDER (1997) verificam que os três métodos produzem resultados

“notavelmente similares”.

JACKWERTH e RUBINSTEIN (1996) analisam o crash das bolsas de valores, em

outubro de 1987, e comprovam que distribuições de probabilidade cujos parâmetros

sejam estimados a partir de medidas de volatilidade implícita, baseadas em séries

históricas de preços, não se mostram capazes de avaliar corretamente a possibilidade de

ocorrência de eventos extremos, como o crash de 87.

RUBINSTEIN (1994) calcula probabilidades neutras a risco, com base na

minimização da soma dos quadrados das diferenças entre os valores de uma distribuição

discreta genérica e de uma distribuição lognormal, sujeitos à restrição de que as

probabilidades geradas pela distribuição genérica avaliem corretamente os preços do

ativo objeto e de opções de compra sobre esse ativo. JACKWERTH e RUBINSTEIN

(1996) estendem esse raciocínio, examinando especificações alternativas do critério de

minimização: "qualidade do ajustamento" (somatório da razão entre os quadrados das

diferenças e o valor da probabilidade lognormal); somatório das diferenças absolutas e

função de máxima entropia (somatório do produtos

j

jj P

PP

'ln. , onde Pj é a

probabilidade genérica e P’j a lognormal)33. A conclusão de JACKWERTH e RUBINSTEIN

é que o critério de otimização adotado exerce pouca influência sobre a distribuição

resultante. Todas as distribuições encontradas atribuíram aproximadamente as mesmas

probabilidades acumuladas para valores near-the-money ("perto do dinheiro", ou seja, 32 Os cubic splines são polinômios de ordem menor ou igual a três, definidos para cada trecho entre dois pontos; a cada ponto, ospolinômios que nele se encontram possuem primeiras derivadas iguais, e diferenciáveis.

38

próximos do preço de exercício).

Além de testar diferentes critério de otimização para o método de RUBINSTEIN

(1994), JACKWERTH e RUBINSTEIN (1996) propõem um novo método, que não precisa

de uma distribuição de probabilidade definida a priori. A técnica consiste na determinação

de probabilidades implícitas que maximizem a função:

( )∑ +− +−n

jjj PPP0

211 2 , sendo P-1 = Pn+1 = 0

sujeita à restrição de que as probabilidades obtidas avaliem corretamente os valores de

opções disponíveis. Cada termo corresponde a uma aproximação em diferenças finitas

da derivada segunda 2

2

j

j

SP

∂

∂, se os Sj são igualmente espaçados:

).2.().(

21).(

21 1

11

1

1

1

1

+

−+

−

−

+

+

+−=+−+

−−

−−−

jjj

jjjj

jj

jj

jj

jj

PPPconstSSSS

SSPP

SSPP

O objetivo é encontrar a distribuição de "máxima suavidade", minimizando a

derivada segunda de Pj em relação ao ativo objeto e, consequentemente, minimizando a

curvatura da distribuição de probabilidade implícita.34

2.5.1.3 - Outras técnicas não paramétricas

BUCHEN e KELLY (1996) observam que as informações disponíveis em

mercados de opções são tipicamente incompletas e limitadas. Para contornar esse

problema, sugerem a adoção de um método de inferência estatística Bayesiana35, que

estima a distribuição de uma variável aleatória a partir de informações parciais, na forma

de um número finito de valores esperados. Teoricamente, existe um número infinito de

distribuições capaz de gerar esses valores, mas o Princípio da Máxima Entropia garante

que apenas uma distribuição pode ser determinada de maneira consistente com a

informação disponível.

O conceito de entropia surgiu no contexto da teoria termodinâmica clássica. A

33 O critério de máxima entropia será descrito com maiores detalhes mais adiante.34 JACKWERTH e RUBINSTEIN (1996) observam que esta técnica corresponde a uma versão, em termos discretos, da técnica de cubicspline.35 Desenvolvido por E. T. Jaynes, citado em BUCHEN e KELLY (1996)

39

formulação original do Princípio da Máxima Entropia36 diz que a entropia termodinâmica

cresce até o limite máximo imposto pelas restrições existentes num sistema. C. E.

Shannon37 mostrou que a entropia pode ser interpretada como uma medida de

“informação perdida”, ou de aumento de incerteza, gerado por mudanças pelas quais

passa um sistema. Jaynes desenvolveu as idéias de Shannon, de maneira a incorporá-

las ao estudo da inferência estatística. Dado um conjunto de informações parciais

(restrições) a respeito de uma distribuição de probabilidades, Jaynes argumenta que a

distribuição que maximiza a entropia, sujeita às restrições do modelo, é a distribuição que

menos depende da informação desconhecida. Neste sentido (e somente neste sentido), a

distribuição de máxima entropia é preferível a qualquer outra, pois não introduz qualquer

correlação ou estrutura adicional, além daquelas requeridas pelas restrições impostas à

distribuição pela informação disponível.

Quando se aplica o Princípio da Máxima Entropia à estimação da distribuição de

probabilidades de um ativo, o preço de um derivativo ou conjunto de derivativos

representa o papel de informação parcial. Segundo o resultado de COX e ROSS (1976),

o preço do derivativo representa o valor esperado de uma função conhecida, o payoff do

derivativo no vencimento. Dado um conjunto finito de preços, existe um número infinito de

distribuições que pode gerá-los; a proposta de BUCHEN e KELLY (1996) é escolher a

que possui máxima incerteza em relação à informação ausente, a Distribuição de Máxima

Entropia. Sob o ponto de vista da inferência estatística, não há razão para que se escolha

outra distribuição. Se houvesse - caso a distribuição não respeitasse alguma restrição ou

condição necessária - bastaria adicionar essa nova condição ao conjunto de restrições

imposto pelo modelo adotado, e calcular a Distribuição de Máxima Entropia em relação

ao novo conjunto de restrições.

A entropia de uma distribuição é definida como:

[ ]∫∞

−=0

.)(ln).()( dxxpxppS ,

sendo que a integral é calculada a partir de 0 porque lim [p.ln(p)]→0 quando p→0.

Para que p(x) represente uma densidade de probabilidade, é necessário que:

36 Formulado por Gibbs e desenvolvido por Boltzmann, citados em BUCHEN e KELLY (1996)37 Em The Mathematical Theory of Communication, publicado no Bell Systems Technical Journal n.27, em 1948 (citado em BUCHEN eKELLY, 1996)

40

∫∞

≥=0

.0)(,1).( xpdxxp

As demais restrições são dadas pelos preços dos derivativos:

∫∞

==0

).().()]([ iii CdxxcxpXcE

onde Ci, i= 1, 2..., n são valores observados de preços de opções, e ci são as funções

que representam o valor descontado do payoff de um derivativo, no vencimento. O

Princípio da Máxima Entropia estabelece que se deve procurar uma distribuição que

maximize o valor de S(p), sujeita às restrições impostas pelas propriedades de uma

distribuição de probabilidades, e pelos preços observados dos derivativos. Essa

distribuição é dada pela solução de um problema de otimização clássica com restrições,

obtida via multiplicadores de Lagrange38, dada por:

( )∫ ∑ ∫∫∞

=

∞∞

+++=0 1 00

0 ).().(.).(.1).(ln)()(n

iii dxxcxpdxxpdxxpxppMaxH λλ

onde λ0,λ1,λ2,...,λn são parâmetros de Lagrange.

BUCHEN e KELLY (1996) discutem ainda uma extensão do Princípio da Máxima

Entropia, em que existe um conhecimento prévio a respeito da variável aleatória, dado

por uma distribuição de probabilidades q(x). A entropia cruzada entre q(x) e uma

distribuição qualquer p(x) é dada por:

dxxqxpxpqpS .)()(ln).(),(

0∫∞

=

BUCHEN e KELLY (1996) sugerem que S(p,q) pode ser imaginada como uma

"distância de entropia" entre p(x) e q(x), pois satisfaz as mesmas condições impostas a

uma distância métrica verdadeira: S(p,p)=0, e S(p,q)>0, sempre que p≠q. Dadas as

mesmas informações a respeito dos preços de opções, discutidas anteriormente, o

Princípio da Mínima Entropia Cruzada diz que a distribuição p(x) que minimiza S(p,q), a

38 Uma descrição sintética do método é dada no apêndice 2 de HILLIER e LIEBERMAN (1988)

41

"distância de entropia" entre p(x) e a distribuição estipulada a priori, q(x) - obedecendo as

restrições impostas pela informação disponível - é a menos afetada pela informação

desconhecida a respeito da variável aleatória (no contexto dos derivativos, os preços

futuros do ativo objeto).

A conexão entre as distribuições de máxima entropia e de mínima entropia

cruzada é dada pelo fato de que, quando q(x) é constante (isto é, uma distribuição

uniforme indicando nenhuma informação prévia a respeito de X), a distribuição de

máxima entropia será a de mínima entropia cruzada. Portanto, a distribuição de máxima

entropia será a mais próxima, "entropicamente", de uma distribuição uniforme, não

informativa, mas que satisfaz as restrições impostas pelos preços dos derivativos. No

limite, em que não há nenhuma informação disponível, a distribuição de máxima entropia

se reduz também a uma distribuição uniforme.

No caso das opções, BUCHEN e KELLY (1996) sugerem que a distribuição prévia

q(x) seja a lognormal, com parâmetros baseados nos valores históricos de preços. A

chegada de nova informação, na forma de preços de opções, faz com que se calcule p(x)

com base na menor entropia cruzada com relação a q(x). O Princípio da Mínima Entropia

cruzada diz que não há razão para que se prefira outra distribuição: qualquer outra

escolha necessariamente conterá estrutura que não se pode inferir com base nos dados

disponíveis.

AÏT-SAHALIA e LO (1995) consideram o valor de uma opção como sendo uma

função arbitrária, não linear, de um vetor predeterminado de características da opção, ou

"variáveis explicativas": Z ≡ [ Ft,τ X τ rt,τ ], onde Ft,τ é o preço futuro do ativo objeto, X é o

preço de exercício da opção, τ é o seu prazo de vencimento e rt,τ é a taxa de juros no

período. Utilizando uma regressão kernel, constróem uma estimador não paramétrico da

função preço da opção, C(Z). O resultado de BREEDEN e LITZENBERGER (1978) é

então utilizado para calcular a densidade de probabilidade neutra a risco,

2

2

.)( ,

XCeSf tr

t ∂∂= τ .

Os métodos de regressão kernel são baseados no conceito de que cada dado

observado (por exemplo, uma volatilidade implícita, referente a um determinado preço de

exercício) pode ser considerado como o ponto central de uma região, onde o valor da

função a ser determinada pode se encontrar. Quanto maior a distância entre um

determinado ponto e um valor observado, menor a probabilidade de este ponto seja o

verdadeiro valor da função. Um estimador kernel k(x), freqüentemente uma distribuição

normal, mede a diminuição de verossimilhança de um estimador, à medida que aumenta

a sua distância em relação a um valor observado.

42

AÏT-SAHALIA e LO (1995) reduzem as dimensões do problema, considerando a

validade parcial da fórmula Black-Scholes, com a ressalva de que o parâmetro de

volatilidade implícita seja uma função não paramétrica do vetor Z’= [ X/Ft,τ τ ]:

[ ]),/(,,,,),,,,( ,,,,, τσσ τττττ tttBSttt FXrtXFCrtXSC =

A estimativa de ( )τσ τ ,/ ,tFX é feita então por meio de um estimador kernel

Nadaraya-Watson, dado por:

( )∑

∑

=

=

−

−

−

−

=n

i

i

FX

titFX

n

ii

i

FX

titFX

t

hk

hFXFX

k

hk

hFXFX

kFX

ii

ii

1 /

,,/

1 /

,,/

,

..//

.

...//

,/'

ττ

ττ

ττ

ττ

τ ττ

σττ

τσ

em que as funções kernel kX/F e kτ, e os parâmetros de faixa hX/F e hτ são determinados

de maneira a otimizar as propriedades do estimador da densidade neutra a risco f(S):

2

2

.)( ,

XCeSf tr

t ∂∂= τ |X=S

A principal limitação do método não paramétrico de AÏT-SAHALIA e LO (1995) é o

fato de que se baseia na utilização intensiva de dados, que nem sempre estão

disponíveis na quantidade necessária. LI (2000) observa que este tipo de método requer

uma base de dados da ordem de grandeza de milhares valores, para que se obtenha um

nível de razoável de precisão. Já os métodos paramétricos, teoricamente, demandam um

número mínimo de dados equivalente ao número de parâmetros a estimar.

2.5.2 - Técnicas que procuram descrever o processo estocástico seguido pelo ativoobjeto

Uma vez que se conheça a distribuição neutra a risco que caracteriza um ativo, na

data de vencimento de um derivativo a ele referenciado, é natural que se queira

determinar a trajetória seguida pelo preço do ativo. Para tanto, é preciso encontrar um

modelo de processo estocástico que resulte, na data de vencimento do derivativo, numa

distribuição de probabilidades equivalente àquela implícita nos preços. JACKWERTH

(1999) enfatiza que não existe uma resposta única para este tipo de questão, mesmo que

se conheçam as distribuições a cada instante, entre a data presente e o vencimento.

43

Dentre as soluções possíveis estão processos de difusão, de Poisson, e processos que

envolvam fatores tais como ocorrência de "saltos" no valor do ativo objeto, e taxas de

juros e volatilidades estocásticas.

Inversamente, uma vez que se conheçam os parâmetros do processo estocástico

seguido por um ativo, é possível determinar a distribuição de probabilidades dos valores

que ele poderá alcançar no futuro. Este é o objetivo de trabalhos como os de BATES

(1991,1996), HESTON (1993) e MALZ (1996).

BATES (1996) estima os parâmetros do processo estocástico implícito nos preços

de opções sobre o marco alemão, negociadas na PHLX (Philadelphia Stock Exchange)

entre 1984 a 1991, utilizando mínimos quadrados generalizados não lineares. O modelo

proposto por BATES (1996) combina volatilidade estocástica e a possibilidade de

ocorrência de "saltos", no processo de difusão seguido pelo preço do ativo objeto (a taxa

de câmbio do marco alemão, em dólares americanos).

BATES (1996) testa a compatibilidade entre as distribuições geradas pelo modelo

e as distribuições geradas por séries temporais de volatilidades implícitas, e de preços

futuros do marco alemão. Conclui que há concordância qualitativa entre as distribuições

implícitas e as distribuições baseadas nas séries temporais, principalmente no que se

refere ao uso de volatilidades implícitas como estimadores de volatilidade futura.

Outra conclusão importante de BATES (1996) é que a hipótese de volatilidade

estocástica, por si só, não explica o excesso de curtose refletido no "smile" das

volatilidades implícitas. Os parâmetros compatíveis com o "smile" se mostram

implausíveis, quando se leva em consideração as propriedades das séries temporais de

volatilidades implícitas. No entanto, a hipótese de que o excesso de curtose se deve ao

medo da ocorrência de "saltos" na cotação do marco gerou parâmetros consistentes com

os valores observados na série temporal. A principal deficiência do método, segundo

BATES (1996), foi a instabilidade dos valores gerados, especialmente no que se refere à

estrutura a termo das volatilidades implícitas.

HESTON (1993) deriva uma solução fechada para o problema de avaliação de

opções de compra européias, considerando que o parâmetro de volatilidade segue um

processo estocástico de Ornstein-Uhlenbeck, e que as taxas de juros são também

estocásticas. No modelo de HESTON (1993), a existência de correlação entre a

volatilidade e o preço do ativo objeto gera assimetria na distribuição dos retornos do

ativo. Sem essa correlação, a volatilidade estocástica só afeta a curtose da distribuição.

MALZ (1996) desenvolve modelo similar ao de BATES (1996), e estima a

probabilidade neutra a risco de ocorrência de um realinhamento da cotação da libra

44

esterlina no Sistema Monetário Europeu.39 O procedimento adotado por MALZ (1996)

simplifica a técnica de BATES (1996), por meio do uso de cotações de mercado de

balcão referentes a risk reversals, strangles e opções at-the-money a termo.

A conclusão de MALZ (1996) é que os preços de opções são indicadores úteis

para a interpretação das expectativas do mercado. Mesmo não sendo as verdadeiras

probabilidades subjetivas, as probabilidades neutras a risco do realinhamento das

cotações poderiam servir como indicadores do valor de mercado de uma proteção contra

o realinhamento. MALZ (1996) argumenta também que as probabilidades neutras a risco,

derivadas dos preços de opções, oferecem aos bancos centrais um importante indicador

antecedente de ataques especulativos, além dos tradicionalmente adotados, como

diferenciais de taxas de juros e flutuações no volume de reservas.

Outro grupo de técnicas, voltadas para a dedução do processo estocástico

seguido pelo ativo objeto, é baseado no modelo binomial de avaliação de opções de

COX, ROSS e RUBINSTEIN (1979)40. RUBINSTEIN (1994) dá a essa "família" de

técnicas a denominação genérica de árvores binomiais implícitas.

Desde a publicação do trabalho original de COX, ROSS E RUBINSTEIN (1979),

os modelos binomiais se tornaram extremamente populares entre os participantes dos

mercados, graças ao seu apelo intuitivo e ao extraordinário avanço das ferramentas

computacionais, ocorridos ao longo das três últimas décadas.

O modelo de COX, ROSS e RUBINSTEIN (1979) parte das mesmas premissas, e

usa a mesma idéia de carteira coberta utilizada por MERTON (1973), mas é construído

de maneira extremamente simples: supõe a existência de um ativo objeto (ação), um

derivativo simples (uma call), que vence num passo de tempo único e discreto, e um ativo

livre de risco (bond). Apenas dois estados da natureza podem ocorrer no instante de

tempo seguinte: um em que a ação possui rendimento superior à taxa livre de risco, e

outro em que esse rendimento é inferior à taxa livre de risco. Os valores das

probabilidades neutras a risco e do preço da opção são calculados a partir de relações

lineares simples entre os parâmetros.

Apesar da aparente simplicidade, o modelo se mostra uma ferramenta de análise

poderosa. Quando o intervalo de tempo único é subdividido num número arbitrariamente

grande de pequenos passos discretos, o modelo se mostra uma boa aproximação do

modelo Black-Scholes-Merton em tempo contínuo, e pode ser igualmente adaptado para

39 Antes da introdução do Euro, as cotações das principais moedas do continente europeu eram controladas, pelos bancos centrais dosrespectivos países, com base no Exchange Rate Mechanism (introduzido em 12.03.1979), que previa a intervenção ilimitada dos bancoscentrais para preservar bandas prefixadas de flutuação entre as cotações das diversas moedas.40 COX, ROSS e RUBINSTEIN (1979) desenvolveram seu modelo a partir de uma sugestão de William Sharpe, e citam uma formulaçãosimilar à sua, feita por Richard J. Rendleman, Jr. e Britt J. Bartter: Two-state Option Pricing, publicado no Journal of Finance n. 34, emdezembro de 1979.

45

simular processos estocásticos que apresentam "saltos".

A extrema flexibilidade do método, e a facilidade com que ele incorpora

características complexas da realidade (que não são captadas pelo modelo Black-

Scholes-Merton), tornaram os modelos binomiais, nas suas diversas variações,

ferramentas populares entre os participantes dos mercados. É natural que as pesquisas

sobre os processos estocásticos e probabilidades neutras a risco implícitos nos preços

dos ativos procurassem se beneficiar das características favoráveis do modelo binomial.

Os resultados pioneiros, na linha de pesquisa das árvores binomiais implícitas,

surgiram entre pesquisadores ligados a instituições financeiras, como DUPIRE (1994), e

DERMAN e KANI (1994). Quase simultaneamente, RUBINSTEIN (1994) apresentava

trabalho semelhante ao meio acadêmico.

DUPIRE (1994) constrói uma árvore trinomial neutra a risco, que procura captar

tanto o "smile" das volatilidade implícitas quanto a chamada "estrutura a termo das

volatilidades" (diferenças entre as volatilidades implícitas nos preços de opções sobre um

mesmo ativo, com diferentes prazos até o vencimento). Utilizando o grande número de

graus de liberdade que possui o modelo trinomial, DUPIRE (1994) atribui preços aos nós,

construindo a árvore com base no cálculo de probabilidades de transição que gerem

esses preços.

DERMAN e KANI (1994) constróem a árvore passo a passo, de forma a também

capturar o "smile" e a estrutura a termo das volatilidades. O algoritmo de DERMAN e

KANI (1994) considera cada etapa como um "vencimento", em que os preços de

exercício são os preços do ativo objeto na etapa anterior; os valores dos nós a cada

etapa são determinados com base na informação disponível na etapa anterior. A

implementação do método requer o uso extensivo de interpolação e extrapolação dos

preços de opções observados. Eventualmente, o método gera probabilidades negativas,

e JACKWERTH (1999) observa que a sua eliminação torna o método instável, para um

número grande de passos. BARLE e CAKICI (1995) observam que o "smile" não é

captado com precisão pela técnica de DERMAN e KANI (1994), quando as taxas de juros

são elevadas. Propõem um versão modificada do método, que substitui os preços do

ativo objeto pelos preços futuros, como os preços de exercício utilizados na construção

da árvore.

JACKWERTH (1999) observa que, assim como a árvore de DERMAN e KANI

(1994), a de BARLE e CAKICI (1994) também pode gerar probabilidades negativas,

embora com uma freqüência muito menor. BARLE e CAKICI (1994) garantem que este

tipo de valor só é gerado em casos extremos, limitados a preços de exercício muito altos

ou muito baixos. A região central, que é financeiramente mais relevante, não é afetada.

46

RUBINSTEIN (1994) propõe a construção de uma árvore binomial de forma

recursiva. O ponto de partida é uma estimativa para a distribuição de probabilidades

neutras a risco no vencimento, que pode ser obtida a partir de uma árvore binomial

simples, construída com o uso das volatilidades implícitas Black-Scholes das opções at-

the-money. Através de um método de mínimos quadrados, os valores finais da árvore

binomial são ajustados para melhor refletir os retornos efetivamente ocorridos. Estes

valores ajustados são então utilizados para calcular as "probabilidades de transição"

entre a etapa anterior e a etapa presente, por meio de regras de três simples. Com os

valores de probabilidades de transição obtidos, é possível então calcular os valores

intermediários do ativos objeto, a cada etapa, e, por extensão, calcular também os

valores das opções de compra e venda na etapa anterior.

JACKWERTH (1997) procura generalizar o modelo de árvore binomial implícita,

abrindo mão de uma hipótese restritiva assumida por RUBINSTEIN (1994): considerar

que trajetórias que levam a um mesmo nó ocorrem com igual probabilidade. O modelo

generalizado de JACKWERTH (1997) introduz diferentes pesos para cada trajetória,

ajustando-as para que avaliem corretamente os preços das opções nas etapas

intermediárias da árvore, que não são utilizados no modelo de RUBINSTEIN (1994).

BROWN e TOFT (1999) propõem uma técnica alternativa de árvore binomial

implícita, que identifica um processo binomial a partir dos preços de opções e datas de

exercício disponíveis. Ao contrário de DUPIRE (1993) e DERMAN e KANI (1993),

BROWN e TOFT (1999) não assumem que uma função de preço de opção C(X,T) exista

para todos os possíveis preços de exercício X e datas de vencimento T, mas apenas para

um número finito de datas em intervalos discretos de tempo, T1, T2, ... , Tn. O restante da

estrutura é imposto por restrições de ordem estatística e econômica, similares em

natureza àquelas feitas por RUBINSTEIN (1994).

2.6 Aplicações da análise neutra a risco

A motivação inicial da maioria das tentativas de inferência de probabilidades

neutras a risco, a partir dos preços de opções, era encontrar ferramentas capazes de

compensar as limitações do modelo Black-Scholes, impostas pelas hipóteses

simplificadoras nas quais se baseia a sua dedução. No entanto, um número crescente de

trabalhos tem utilizado as diversas técnicas desenvolvidas como instrumentos de aferição

de expectativas. As reações dos agentes de mercado diante da ocorrência de crises,

mudanças abruptas no cenário macroeconômico e diversos outros eventos

47

extraordinários vêm sendo avaliadas com base nas mudanças ocorridas nessas

expectativas.

Um "evento extraordinário" emblemático é o "crash" das bolsas norte-americanas,

ocorrido em 1987: em 19 de outubro daquele ano, o índice S&P 500 caiu

aproximadamente 20%, e a queda chegou a 23% no dia 20 (o preço futuro para dois

meses caiu 29%). JACKWERTH e RUBINSTEIN (1996) calculam que essa queda

representou um evento de valor 27 desvios-padrão inferior ao da média, cuja

probabilidade de ocorrência sob a hipótese de lognormalidade é da ordem de 10-160 –

virtualmente, um evento impossível.41

O trabalho de BATES (1991), um dos pioneiros da análise de expectativas por

meio de distribuições neutras a risco, foi motivado pelo crash de 87. Depois de examinar

diferentes hipóteses a respeito dos processos estocásticos que o índice S&P 500

poderia seguir, e os formatos das distribuições efetivas e neutras a risco que eles

gerariam, BATES (1991) constrói um processo que incorpora possíveis "saltos" aleatórios

e assimétricos no valor do índice. Conclui que o crash era esperado pelos participantes

do mercado, dado que as distribuições implícitas eram negativamente assimétricas

durante todo o ano anterior, mas verifica que nenhum aumento excepcional dessa

expectativa aconteceu nos dois meses que antecederam o crash.

Aplicando a técnica de mistura de lognormais, GEMMILL e SAFLEKOS (1999)

analisam os crashes de 87 e 89, a crise do Mecanismo de Taxas de Câmbio do Sistema

Monetário Europeu, em 1992, a crise da Ásia de 1997 e três episódios de eleições

britânicas (1987, 1992 e 1997). Comparando distribuições neutras a risco implícitas nas

opções sobre o índice FTSE-100, negociadas na LIFFE (London International Financial

Futures & Options Exchange), GEMMILL e SAFLEKOS (1999) examinam as hipóteses de

que 1) o modelo de mistura de duas lognormais possui performance superior ao da

fórmula Black-Scholes; 2) os mercados de opções antecipam crashes; e 3) o método é

particularmente útil em períodos nos quais se espera uma distribuição bimodal. GEMMILL

e SAFLEKOS (1999) aceitam com reservas a primeira hipótese, pois consideram que a

performance do modelo de mistura de lognormais não é suficientemente superior, para

que ele possa ser considerado economicamente útil. Rejeitam a segunda hipótese, pois

não encontram mudanças de assimetria nas distribuições do índice antes das crises, que

indiquem que as expectativas dos agentes de mercado as anteciparam, e concluem que

o mercado de opções sobre o índice FTSE-100 não prevê crises, apenas reage a elas.

Por fim, GEMMILL e SAFLEKOS (1999) aceitam fracamente a terceira hipótese : o

41 Dois anos mais tarde, no que ficou conhecido como "mini-crash" de 13.10.1989, o índice S&P 500 caiu em torno de 6%, um evento 5desvios-padrão abaixo da média - cuja probabilidade, sob a lognormalidade, seria inferior a 3.10-7.

48

método ajudou a revelar o “sentimento do mercado” durante os períodos eleitorais, mas a

"história do mercado" que ele conta não é consistente com expectativas racionais: não

surgiram distribuições bimodais durante o período eleitoral mais incerto (o de 1987), e as

distribuições geradas reagiram timidamente diante de um resultado inesperado, a vitória

conservadora de 1992.

LEAHY e THOMAS (1996) e SÖDERLIND e SVENSSON (1997) analisam o

plebiscito canadense sobre a independência da província do Quebec, utilizando também

a técnica de mistura de lognormais, desenvolvida MELICK e THOMAS (1997) a partir da

formulação pioneira de RITCHEY (1990). MELICK e THOMAS (1997) analisam os efeitos

da guerra do golfo de 1991 sobre as expectativas a respeito do preço do petróleo no

mercado internacional. Esses trabalhos procuram associar a existência de dois cenários

alternativos futuros (guerra x paz, vitória conservadora x vitória trabalhista, independência

x união nacional) a distribuições de probabilidade bimodais.

Análises dos mercados de opções sobre moedas foram feitas por MALZ (1996),

CAMPA, CHANG e REIDER (1997), CAMPA, CHANG e REFALO (1999) e McCAULEY e

MELICK (1996a). Utilizando instrumentos do mercado de balcão, MALZ (1996) aplica

método similar ao proposto por BATES (1991,1996) e avalia probabilidades de

realinhamento das cotações do par libra-marco alemão, durante a crise do Sistema

Monetário Europeu de 1992, associando a sua evolução ao desenrolar dos

acontecimentos que caracterizaram a crise.

As cotações de risk reversals negociados no mercado de balcão são utilizadas por

McCAULEY e MELICK (1996a) para caracterizar a assimetria das distribuições neutras a

risco de taxas de câmbio. Também com base em dados do mercado de balcão, CAMPA,

CHANG e REIDER (1997) utilizam três técnicas alternativas (as de SHIMKO, 1993;

RUBINSTEIN, 1994, e MELICK e THOMAS, 1997) para obter distribuições de

probabilidade neutras a risco implícitas nos preços de opções sobre diferentes pares de

moedas. Comparando a evolução das assimetrias das distribuições e das taxas de

câmbio à vista (spot) ao longo de um período de 48 semanas, entre abril de 1996 e

março de 1997, CAMPA, CHANG e REIDER (1997) encontram correlações sempre

positivas (na maioria, significativas) entre as assimetrias das distribuições e as taxas

spot. Interpretam esse resultado como uma rejeição tanto da hipótese de que as taxas de

câmbio se comportam como martingais quanto da hipótese de que elas seguem uma

"banda" cambial, explícita ou implícita.

CAMPA, CHANG e REFALO (1999) discutem a política cambial brasileira no

período de outubro de 1994 a julho 1997. Com base em dados referentes a opções de

compra e venda sobre o dólar americano, fornecidos pela BM&F, e utilizando a técnica de

49

SHIMKO (1993), CAMPA, CHANG e REFALO (1999) derivam distribuições de

probabilidade dos valores futuros do dólar, ao longo do período. Utilizam-nas para medir

a credibilidade da política de bandas cambiais, até então adotada pelo Banco Central do

Brasil, e concluem que ela começou baixa, mas aumentou a partir de fevereiro de 1996.

O mercado antecipou ajustamentos periódicos das bandas cambiais, mas foi

desenvolvendo maior confiança no Real ao longo do tempo.

GALATI e MELICK (1999) procuram evidenciar a relação entre as intervenções

dos bancos centrais americano e japonês, no mercado de câmbio, e as expectativas do

mercado a respeito da taxa de câmbio yen/dólar.42 Analisam o período de setembro de

1993 a abril de 1996, utilizando notícias veiculadas pela agência Reuters, e derivando as

distribuições de probabilidade neutras a risco da cotação futura do yen em dólares,

implícitas nos preços de opções at-the-money e de risk reversals negociados em balcão,

por meio da técnica de MELICK e THOMAS (1997). As médias, variâncias, assimetrias e

curtoses dessas distribuições são utilizadas para descrever as condições do mercado.

Os resultados obtidos por GALATI e MELICK (1999) sugerem que os participantes

do mercado viam o Banco do Japão e o Federal Reserve seguindo estratégias de

intervenção substancialmente diferentes. O Banco do Japão era visto como respondendo,

principalmente, a desvios em relação ao que os operadores percebiam como uma banda

cambial implícita; o Federal Reserve era visto como intervindo quando as condições de

mercado favoreciam a intervenção (por exemplo, quando o dólar estava se apreciando e

as expectativas do mercado eram de que ele tenderia a se apreciar mais).

ADÃO e LUÍS (1999) procuram encontrar a medida de probabilidade de uma

combinação de variáveis econômicas, f(x,y), quando existem opções negociadas sobre x

e sobre y, mas não sobre f(x,y). A combinação estudada por ADÃO e LUÍS (1999) é o

diferencial (spread) das taxas de juros futuras da peseta espanhola, e da lira italiana,

frente às taxas de juros do marco alemão.

Dado que não são negociadas opções sobre o spread de taxas de juros, ADÃO e

LUÍS (1999) utilizam opções sobre futuros de três meses de cada moeda, negociadas

entre março e julho de 1997, e vincendas em março e junho de 1998, para ajustar

misturas de distribuições conjuntas lognormais aos dois pares (peseta-marco e lira-

marco). Em seguida, por meio de uma transformação de variáveis, encontram

distribuições conjuntas do spread e de uma das taxas, cujas distribuições marginais em

relação à taxa (calculadas numericamente, devido à sua complexidade) geram as

42 Para efeito do estudo, intervenções do banco central são definidas como transações que visavam influenciar o nível da taxa de câmbio,tais como elas foram percebidas pelos operadores e reportadas na imprensa, mesmo que não tenham, de fato, ocorrido (ou que tenhamocorrido de maneira diferente da que foi noticiada). Essa definição exclui transações cujo objetivo era alterar a composição da carteira demoedas do banco.

50

distribuições dos spreads.

Um dos fatores necessários à derivação do modelo é a correlação esperada das

taxas de juros. ADÃO e LUÍS (1999) assumiram que nem os valores históricos nem as

correlações entre as taxas futuras seriam bons estimadores da verdadeira correlação. A

formulação do modelo faz com que as distribuições concentrem maior probabilidade de

ocorrência em torno de diferenciais mais altos, à medida em que aumenta a correlação

considerada. A opção de ADÃO e LUÍS (1999) foi considerar uma hipótese de “pior

cenário” para a convergência, adotando o coeficiente de correlação de 0,99 para ambos

os pares.

Os resultados obtidos por ADÃO e LUÍS (1999) mostram que os participantes do

mercado de opções não esperavam uma completa convergência das taxas espanhola e

italiana em relação à alemã, no primeiro semestre de 1998, mas acreditavam que os

spreads se reduziriam entre março e junho. Os resultados mostra ainda que, no período

considerado, a Espanha era considerada como estando à frente da Itália no processo de

convergência (pelo menos no que diz respeito às taxas de juros de curto prazo).

AÏT-SAHALIA e LO (2000), COUTANT (1999), JACKWERTH (2000) e

JACKWERTH e RUBINSTEIN (2001) analisam a relação entre distribuições de

probabilidade neutras a risco, distribuições de probabilidade subjetivas e funções de

aversão a risco, em relação ao nível de riqueza agregado da economia, que caracterizam

um "investidor médio", ou investidor representativo" do mercado. A probabilidade neutra a

risco, a cada estado da natureza, é o preço (corrigido pela taxa livre de risco) que os

investidores pagariam por um dólar naquele estado. A probabilidade subjetiva é uma

medida estatística, que o investidor representativo atribui à chance de que determinado

estado ocorra. Se os investidores fossem indiferentes ao risco, os valores dessa

probabilidades seriam idênticos. Portanto, a relação entre eles é uma medida das

preferências do investidor representativo, ou da sua aversão ao risco a cada estado da

natureza.

JACKWERTH (2000) e JACKWERTH e RUBINSTEIN (2001) adotam o índice

S&P 500 como aproximação do valor de uma carteira de mercado - carteira de ativos que

oferece payoffs proporcionais, a cada estado da natureza, aos payoffs proporcionados

pela riqueza agregada. Utilizam uma variação do método de JACKWERTH e RUBISTEIN

(1996) para derivar distribuições neutras a risco do índice, e distribuições dos seus

retornos históricos para representar as distribuições de probabilidades subjetivas. A

relação entre essas probabilidades fornece funções de aversão a risco do investidor

representativo.

AÏT-SAHALIA e LO (2000) propõem uma medida alternativa às medidas padrão

51

de exposição ao risco das carteiras de investimento, conhecidas como Value-at-Risk

(VaR). Na definição original do banco de investimentos J.P. Morgan, VaR é uma

estimativa, com um intervalo de confiança predefinido, de quanto se pode perder por

manter uma posição em determinada carteira, por um determinado horizonte de tempo.

Os cálculos de VaR utilizam modelagens das flutuações dos preços dos diferentes ativos

e demais parâmetros relevantes, normalmente baseadas em séries históricas de preços.

A medida de proposta por AÏT-SAHALIA e LO (2000), o "VaR econômico" (E-VaR), utiliza

probabilidades neutras a risco. A combinação das medidas de VaR padrão e de E-Var

fornecem uma estimativa de medida da aversão a risco agregada da economia.

Aplicando a metodologia de cálculo não-paramétrico de probabilidades neutras a risco de

AÏT-SAHALIA e LO (1998), AÏT-SAHALIA e LO (2000) obtêm medidas de VaR padrão e

E-VaR baseadas em séries de índices e opções sobre o índice S&P 500, a partir de

1993. A comparação das medidas de VaR e E-VaR mostram variações substanciais e

não-lineares da aversão a risco agregada.

COUTANT (1999) segue versões preliminares de AÏT-SAHALIA (2000) e

JACKWERTH (2000) para calcular estimadores de aversão a risco diários, com base em

dados de opções sobre o índice CAC 40 (formado pelas ações mais negociadas na bolsa

de valores de Paris). As distribuições subjetiva e neutra a risco são derivadas por meio do

método de expansão de distribuições lognormais em polinômios Hermite, desenvolvido

por MADAN e MILNE (1994).

2.7 Comparações entre os diferentes métodos

Diversas comparações entre os diferentes métodos de obtenção de

probabilidades neutras a risco têm sido feitas ao longo dos últimos anos. BAHRA (1997)

implementa de maneira direta o resultado de BREEDEN e LITZENBERGER (1978),

gerando histogramas por meio de diferenças finitas entre preços de opções negociada.

Em seguida, utilizando preços de diversos tipos de opções negociados na LIFFE (London

International Financial Futures Exchange), e opções sobre diversas taxas de câmbio

negociadas na PHLX (Philadelphia Stock Exchange), calcula distribuições neutras a risco

utilizando os métodos de SHIMKO (1993) e MELICK e THOMAS (1997). BAHRA

manifesta sua preferência pelo método de mistura de lognormais de MELICK e THOMAS

(1997), mas não apresenta uma comparação quantitativa entre os resultados obtidos.

CAMPA, CHANG e REIDER (1998) comparam uma versão modificada da técnica

de SHIMKO (1993) com as técnicas de MELICK e THOMAS (1997) e de RUBINSTEIN

52

(1994). As distribuições obtidas foram consideradas "notavelmente similares" por

CAMPA, CHANG e REIDER (1998), que utilizaram os resultados do método de

RUBINSTEIN (1994) em sua análise subseqüente (cálculo das correlações entre séries

de assimetrias das distribuições, referentes a diferentes pares de moedas, e séries de

taxas de câmbio spot).

JONDEAU e ROCKINGER (1997) comparam as técnicas de MELICK e THOMAS

(1997), MADAN e MILNE (1994) e JARROW e RUDD (1982), além das modelagens de

processos estocásticos propostas por MALZ (1996) e HESTON (1993), utilizando dados

de opções sobre a taxa de câmbio franco francês/marco alemão, negociadas no mercado

de balcão. Ao estipular intervalos de confiança para taxas futuras de câmbio com base

nas distribuições obtidas, JONDEAU e ROCKINGER (1997) observam que todos os

métodos captam assimetrias nas distribuições implícitas, dado que os limites inferiores

dos intervalos se mostram sempre mais próximos da média (a taxa forward) que os

limites superiores. Os diferentes métodos geram intervalos similares, à exceção do

método de HESTON (1993), que parece não captar a assimetria com a mesma

intensidade dos demais. A performance de cada método43 foi analisada com base nos

erros absolutos verificados na avaliação dos preços das opções. O método de mistura de

lognormais de MELICK e THOMAS (1997) apresentou a melhor performance para as

séries de opções de maturidade mais curta, e o método de MALZ (1996) superou todos

os demais para as opções de maturidade mais longa.

BLISS e PANIGIRTZOGLOU (1999) testam a estabilidade e a robustez dos

métodos de mistura de lognormais de MELICK e THOMAS (1997), e de interpolação do

"smile" de volatilidade de SHIMKO (1993), com as alterações propostas por CAMPA,

CHANG e REIDER (1998) - interpolação do "smile" via cubic splines - e MALZ (1997) -

interpolação do "smile" no espaço delta-volatilidade. A estabilidade e robustez das

distribuições, obtidas por meio dos dois métodos, são medidas diante da adição de

perturbações aleatórias aos preços de ajuste de opções sobre o índice FTSE-100 e sobre

futuros de taxas de juros. As perturbações foram uniformemente distribuídas entre mais e

menos metade do intervalo de preço padrão de cada contrato. Os resultados obtidos por

BLISS e PANIGIRTZOGLOU (1999) mostram forte evidência de maior estabilidade do

método de SHIMKO (1993). No entanto, os intervalos de confiança encontrados para as

estimativas dos momentos de ordem superior, obtidas por meio de ambos os métodos, se

mostraram excessivamente largos para que sejam considerados confiáveis. A conclusão

de BLISS e PANIGIRTZOGLOU (1999) é que variações diárias ou mensais na assimetria

e na curtose das distribuições implícitas (objeto de estudo desta dissertação) não devem

43 O método de HESTON (1993) foi descartado, por subestimar claramente a forte assimetria contidas nas séries de preços utilizadas

53

ser superestimadas.

COOPER (1999) testa a precisão e a estabilidade dos métodos MELICK e

THOMAS (1997) e de SHIMKO (1993), com as modificações sugeridas por BLISS e

PANIGIRTZOGLOU (1999). COOPER (1999) simula preços de opções, gerando via

método de monte carlo o modelo de processo estocástico proposto em HESTON (1993),

para o preço de um ativo hipotético. A precisão de cada método é avaliada pela sua

capacidade de reproduzir, na distribuição implícita que geram, a distribuição simulada. A

estabilidade é testada a partir da robustez de cada método diante da introdução de

perturbações aleatórias nos preços gerados, de maneira similar à feita em BLISS e

PANIGIRTZOGLOU (1999).

COOPER (1999) simula seis diferentes cenários (baixa e alta volatilidade, e

assimetrias negativa, positiva baixa e positiva alta), e para cada cenário gera conjuntos

de opções com diferentes preços de exercício e vencimentos. O método de SHIMKO

(1993) apresenta precisão ligeiramente superior para as estimativas das médias e

variâncias das distribuições; os dois métodos apresentam erros de estimação de

assimetria e curtose. O método de SHIMKO (1993) apresenta performance um pouco

superior nos cenários de maior assimetria, mas em dois cenários produz maiores erros,

quando a maturidade das opções é maior que três meses. No que se refere à

estabilidade, no entanto, a performance das estimativas obtidas com o método de

SHIMKO (1993) é claramente superior, referendando os resultados obtidos por BLISS e

PANIGIRTZOGLOU (1999).

McMANUS (1999) analisa distribuições implícitas em opções sobre contratos

futuros de taxas de juros, negociados na CME (Chicago Mercantile Exchange) e na ME

(Montreal Exchange), derivadas com base em quatro técnicas paramétricas e uma não

paramétrica. Das técnicas paramétricas, duas especificam o processo estocástico

seguido pelo ativo objeto - a fórmula de avaliação de futuros de Black , e os modelos de

BATES (1991) e MALZ (1996), que incorporam a ocorrência de "saltos"; duas técnicas

parametrizam a distribuição implícita no vencimento - a de mistura de lognormais de

MELICK e THOMAS (1997), e a de expansão em polinômios Hermite de MADAN e

MILNE (1994). A técnica não paramétrica é a de máxima entropia de BUCHEN e KELLY.

McMANUS (1999) calcula medidas de volatilidade, assimetria e curtose para cada tipo de

opção e método analisado; verifica que as estimativas de volatilidade são robustas com

relação ao uso de diferentes métodos, e que as estimativas de assimetria e curtose são

mais sensíveis à escolha do método. Em termos de desempenho como instrumento de

avaliação dos preços das opções, McMANUS (1999) conclui que o método MELICK e

THOMAS (1997) possui o melhor desempenho, e o de MADAN e MILNE (1994) o

54

segundo melhor. Segundo McMANUS (1999), o método de mistura de lognormais de

MELICK e THOMAS (1997) é atualmente utilizado pelo Banco do Canadá para analisar

as informações contidas nos preços de opções sobre contratos futuros de taxas de

câmbio.

55

3. Metodologia

3.1 A Derivação das Distribuições Neutras a Risco

As distribuições de probabilidade neutras a risco do preço do dólar americano, no

primeiro dia útil de cada mês entre abril de 1999 e junho de 2000, foram obtidas por meio

do método de SHIMKO (1993). Já estava em vigor, desde o início desse período, o novo

regime cambial brasileiro, de câmbio flutuante, sem compromisso com a manutenção de

bandas cambiais.44

O método de SHIMKO (1993) foi adotado com algumas modificações. SHIMKO

(1993) interpola as volatilidades implícitas na forma τσ .=v , onde σ é a volatilidade

implícita Black-Scholes, e τ é o prazo de vencimento da opção. Nesta dissertação,

interpola-se a volatilidade diária σ como função do preço de exercício X, na forma de uma

parábola (obtida por meio da técnica de mínimos quadrados):

2210 ..)( XAXAAX ++=σ

"Smile" das Volatilidades Implícitas nos Preços deOpções de Compra de Dólar Comercial, Negociadas na

BM&F, em 24-03-1999

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1,7 1,8 1,9 2 2,1

Volatilidades

VolatilidadesBlack-Scholes

Figura 2

Na formulação original de SHIMKO (1993), as volatilidades são interpoladas

apenas num intervalo contendo as cotações observadas. As distribuições nos trechos

44 Uma análise do período em que vigorou o regime de bandas cambiais no Brasil, e que também utiliza distribuições neutras a riscoobtidas pelo método de SHIMKO (1993), é feita por CAMPA, CHANG e REFALO (1999).

56

situados acima e abaixo da faixa de valores interpolados são estimadas por distribuições

lognormais, que interceptem a distribuição derivada nos pontos extremos, apresentando

os mesmos valores de probabilidade acumulada e de densidade de probabilidade.

Neste trabalho, optou-se por extrapolar as volatilidades implícitas, mantendo

constante a volatilidade a partir destes pontos, seguindo CAMPA, CHANG e REIDER

(1997)45. MALZ (1997) observa que, nestes trechos, diferentes formas de extrapolação

das volatilidades influenciam muito pouco os valores das distribuições. Esses valores são

calculados por meio das derivadas primeira e segunda da função de preço da opção, que

varia pouco nestes trechos. HULL (1997) mostra que a taxa de variação do preço da

opção, em função de variações da volatilidade (conhecida como vega), é pequena para

as opções muito “dentro” e “fora do dinheiro”. Esta solução se mostrou bem mais

conveniente que a escolhida por SHIMKO (1993), que gera descontinuidades nos

formatos das distribuições.

Os valores interpolados de σ, para cada valor de X, foram então substituídos na

versão de GARMAN e KOHLHAGEN (1983) para a fórmula Black-Scholes. Esta

substituição funcionou como uma simples transformação de variáveis, para transpor os

valores interpolados do espaço X x σ para o espaço X x C (já que a fórmula Black-Scholes

fornece uma relação biunívoca entre um determinado valor de volatilidade e um preço de

opção de compra). Como enfatiza SHIMKO (1993), isso não significa tomar como válida a

fórmula Black-Scholes, nem as premissas nas quais ela se baseia.

Com uma variante da fórmula Garman-Kohlhagen, foram mapeados valores de

opções de compra para cada volatilidade interpolada. Essa versão da fórmula, baseada

no resultado derivado por BLACK (1976), leva em conta o valor de um contrato futuro de

dólar que anula possibilidades de arbitragem:

τ*)(. rreSF −=

A versão Garman-Kohlhagen da fórmula padrão Black-Scholes é:

)(..)(.)( 21* dNXedNSeXC rr ττ −− −=

45 CAMPA, CHANG e REIDER fazem uma extrapolação das volatilidades implícitas, via cubic splines, de tamanho equivalente ao dosintervalos entre preços de exercício imediatamente adjacentes aos extremos, antes de fixar os valores das volatilidades.

57

onde

+−+

=τσ

τσ

.

.2

*ln2

1

rrXS

d ; τσ .12 −= dd ;

r* é a taxa de juros na moeda estrangeira e r a taxa de juros na moeda doméstica

Levando-se em conta o resultado derivado por BLACK (1976), e os valores

interpolados de σ, obtém-se:

[ ])(.)(..)( 21 dNXdNFeXC r −= − τ

onde

+

=τσ

τσ

).(

.2

)(ln2

1 X

XXF

d ;

τσ ).(12 Xdd −= ,

Feito o mapeamento dos valores de opções de compra correspondentes a cada

volatilidade, em função de cada possível valor de X, pôde-se então utilizar o resultado de

BREEDEN e LITZENBERGER (1978):

XTXC

∂∂ ),(

X=S [ ]1)(.)( −= −− SFe tTr

2

2 ),(X

TXC∂

∂ X=S )(.)( Sfe tTr −−=

A forma quadrática de interpolação permite que as derivações sejam feitas

analiticamente. Este foi o principal motivo pelo qual foi utilizada a abordagem original de

SHIMKO (1993), em lugar da formulação alternativa de CAMPA, CHANG e REIDER

(1997), que interpolaram as volatilidades implícitas utilizando o método de cubic splines.

Antes da escolha da interpolação quadrática, foi experimentado o método de cubic

splines. As derivações foram feitas por diferenças finitas, de maneira similar à adotada

por MALZ (1997). No entanto, os momentos das distribuições se revelaram muito

sensíveis ao grau de refinamento adotado para as diferenças, já que eles foram obtidos

numericamente, por meio de integrais das funções de distribuição (também calculadas

58

via diferenças finitas).

Seguindo LEMGRUBER (1995), é conveniente calcular o seguinte resultado,

antes de derivar C(X) em relação ao preço de exercício X:

τσ .12 −= dd

τστσ ....2 21

21

22 +−= ddd

τστσ ..2

ln.2 22

21

22 +

+

−=

XFdd

τστσ ..ln.2 2221

22 +−

−=

XFdd

−=−

XFdd ln.22

122 (1)

As derivadas primeira e segunda de N(d) em relação a d são:

[ ])()()(

dddNddn =

)(

..21

)(

2

2

dd

dted

dn

d t

=∫∞−

−

π

2

2

.21)(

d

edn−

=π

(2)

[ ])()()('

dddnddn =

2

2

.21.)('

d

eddn−

−=π

)(.)(' dnddn −= (3)

Segue-se a seguinte relação entre as derivadas n(d1) e n(d2), de N(d1) e N(d2):

59

2

2

1

221

22

.21

.21

)()(

d

d

e

e

dndn

−

−

=

π

π

).(21

1

221

22

)()( dd

edndn −−

=

de (1):

−−

= XF

edndn ln.2.

21

1

2

)()(

XF

dndn

=)()(

1

2 (4)

De posse dos resultados (1) a (4), foi possível então derivar C(X):

[ ][ ]dX

dNXdNFeddX

XdC r )(.)(..)( 21 −=

− τ

−−= −

dXdddnXdN

dXdddnFe

dXXdC r )().(.)()().(..)( 2

221

1τ

do resultado (4):

−−= −

dXdddnFdN

dXdddnFe

dXXdC r )(

).(.)()(

).(..)( 212

11

τ

−

−= − )(

)()().(..)(

221

1 dNdXdd

dXdddnFe

dXXdC rτ

Para simplificar a notação, considerem-se as seguintes convenções:

[ ]

[ ]2

2

22

11

)(''

)('

).(

)(;

)(

dXXdv

dXXdv

Xv

ddXddd

dXdd

XX

σ

στσ

=

=

=

==

60

Da interpolação, 2210 ..)( XAXAAX ++=σ .Logo,

( )( )

τ

τ

τ

...2''

...2'

...

2

21

2210

XAv

XAAv

XAXAAv

=

+=

++=

Dado que τσ .12 −= dd :

vdd ==− τσ .21

'.)(21 v

dXXddd XX ==− τσ

τ)...2( 2121 XAAdd XX +=− (5)

Voltando às derivadas de C(X), e utilizando os resultados (3) e (5):

{ })(').(..)(21 dNvdnFe

dXXdC r −= − τ (6)

{ }[ ]dX

dNvdnFeddX

XCd r )(').(..)( 212

2 −=

− τ

[ ]

−= −

dXdddn

dXvdnFde

dXXCd r )().('.).(..)( 2

21.

2

2τ

[ ]{ }XXr ddnvdnvddnFe

dXXCd

22111.

2

2

).('').('.).('..)( −+= − τ

[ ]{ }XXr ddnvdnvddndFe

dXXCd

22111.

2

2

).('').('.).(...)( −+−= − τ

[ ]{ }XXr ddnddvvdnFe

dXXCd

2211.

2

2

).(.'.'').(..)( −−= − τ (7)

Os valores de (6) e (7) puderam então ser substituídos no resultado de BREEDEN

e LITZENBERGER (1978), para que se pudessem calcular os valores de F(S) e f(S):

61

XXC

∂∂ )(

X=S [ ]1)(. −= − SFe rτ

1)( −SF . X=S XXCer

∂∂= )(τ

F(S) X=S XXCer

∂∂+= )(1 τ

de (6):

F(S) S=X )(').(.1 21 dNvdnF −+=

Este resultado foi utilizado para gerar valores de F(S), por meio de uma tabela

dinâmica em planilha de cálculo Excel, fazendo o valor de X variar entre 1 e 3 (com

intervalos entre cada valor de 0,001 - um décimo de centavo), pois, em todas as

distribuições geradas, F(1) foi praticamente 0, e F(3) foi praticamente 1 (na maioria dos

casos, a diferença foi inferior ao menor número que pode ser expresso pela planilha).

A figura abaixo mostra um exemplo de distribuição de probabilidades acumuladas,

gerada a partir do método. Esta distribuição se refere às probabilidades de ocorrência de

diferentes valores para a taxa de câmbio do dólar comercial em 02 de maio de 1999 (data

de vencimento de opções na BM&F), calculadas com base nos preços de opções de

compra de dólar comercial negociadas na BM&F, em 24 de março de 1999 (a linha mais

clara, perpendicular ao eixo dos valores da taxa de câmbio, representa as taxa de câmbio

dos contratos futuros negociados na BM&F, com a mesma data de vencimento que as

opções):

Distr ibu ição de Probab ilidade s Acumulad as e m 24-03-1999

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 1,5 2 2,5 3

Figura 3

62

Os valores de f(S) poderiam ter sido derivados tanto numericamente, por meio de

diferenças finitas dos resultados de F(S), quanto analiticamente. Optou-se por também

calcular f(S) de forma analítica:

)(Sf X=S 2

2 )(.dX

XCde rτ−

de (7):

)(Sf X=S [ ] XX ddnddvdnF 2211 ).(.'').(. −−=

Torna-se necessário então calcular o valor de d1X d2X:

+

=v

vXF

d 2ln

2

1 , e vdd −= 12 ,

2

22

1

'.2

ln..21

ln

)(v

vvXFv

dXdv

dXXFd

dXdd

+

−

+

=

2

1

1

'...'.1

v

vvdvvvXd X

−

+−

=

vvd

Xvvd X

'.1' 11 −−=

')()( 1212 v

dXdd

dXddvdd −=⇒−=

+−= '.1.1

12 vdXv

d X

Estes resultados foram utilizados para calcular os valores das funções de

densidade das probabilidade neutras a risco, também por meio de tabelas dinâmicas do

Excel, no intervalo de f(1) a f(3). Da mesma forma que em F(S), os valores de f(0) e f(3)

se mostraram muito próximos do valor assintótico 0 (na maioria das vezes, a diferença

também foi inferior ao menor número que a planilha podia representar).

A figura 4 mostra a função de densidade de probabilidades da taxa de câmbio do

63

dólar comercial, referente ao vencimento de 02.05.1999, derivada com base nos preços

de opções de compra do dólar, negociadas na BM&F em 24.03.1999:

De nsida de de P roba bil ida de s e m 24-03-1999

0

0,51

1,52

2,53

3,54

4,5

1 1,5 2 2,5 3

Figura 4

Com base nos valores de f(S) calculados, obteve-se numericamente os momentos

de primeira, segunda, terceira e quarta ordem. A área sob a curva foi determinada via

diferenças finitas, com um intervalo entre valores de S fixado em 0,001 (um décimo de

centavo):

∑=

+≈

2999

1000

001,0.0005,01000i

ifA

Na maioria das vezes, a área calculada se mostrou bastante próxima de 1. O erro

de cálculo foi quase sempre inferior a 10%, para mais ou para menos (ou seja, a área

resultante ficou entre 0,9 e 1,1). Esta margem de erro, que decorre das imprecisões tanto

do método quanto da integração numérica, foi similar à obtida por SHIMKO (1993). Os

demais momentos (média, variância, assimetria e curtose) foram calculados com valores

normalizados de f(S), segundo a proposta de SHIMKO (1993):

Média: ∑=

+

+≈

2999

1000

001,0.1.0005,01000

.0005,01000

)(i A

ifiSE

Variância: ∑=

+

−

+≈

2999

1000

22 001,0.1.0005,0

1000.)(0005,0

1000)(

i AifSEiSσ

64

Assimetria:[ ]2

32

2999

1000

3

3

)(

001,0.1.0005,01000

.)(0005,01000

)(S

AifSEi

S i

σσ

∑=

+

−

+

≈

Curtose: [ ]22

2999

1000

4

4

)(

001,0.1.0005,01000

.)(0005,01000

)(S

AifSEi

S i

σσ

∑=

+

−

+

≈

3.2 As Limitações do Método

A aplicação do método de SHIMKO (1993) à realidade brasileira apresenta uma

série de limitações (também presentes nas aplicações realizadas em outros contextos,

mas em menor intensidade). O problema mais sério é a pouca liquidez do mercado de

opções sobre dólar na BM&F.

Nos países desenvolvidos, a liquidez dos mercados de opções sobre moedas está

concentrada nos mercados de balcão, que normalmente negociam volumes várias vezes

superiores aos dos respectivos mercados organizados. Esta é razão pela qual estudos

como os de McCAULEY e MELICK (1996a), MALZ (1997) e CAMPA, CHANG e REIDER

(1997) utilizam cotações do mercado de balcão para derivar distribuições neutras a risco

referentes a diversos pares de moedas. No caso brasileiro, apesar da pouca liquidez, o

mercado da BM&F é a única fonte de informação disponível.

Além do pequeno volume financeiro e do baixo número de contratos negociados

para cada série, outro problema grave é enfrentado por quem tenta utilizar dados diários

de opções sobre dólar da BM&F, para derivar distribuições neutras a risco: o pequeno

número de séries efetivamente negociadas. Os diversos autores que analisaram e

procuraram aplicar a técnica de SHIMKO (1993) - ou variações dela, como MALZ (1997) -

enfatizam que, para que o resultado reflita efetivamente a distribuição implícita nos

preços das opções, é necessário que haja um número razoável de preços de exercício,

entre as séries de opções negociadas, que não devem estar muito concentrados em

torno do valor at-the-money , mas razoavelmente distribuídos ao longo do eixo de

possíveis valores. Infelizmente, não é este o caso do mercado de opções sobre o dólar

na BM&F. O número de strikes disponíveis a cada dia, no período observado por este

trabalho, em nenhum momento foi superior a cinco. Quando se consideram apenas os

casos em que houve mais de um negócio, como neste estudo, o maior número disponível

é quatro, sendo três (o mínimo necessário à implementação do método) o mais comum.

65

CAMPA, CHANG e REFALO (1999) procuram contornar essa limitação,

interpolando volatilidades implícitas referentes a opções negociadas em diferentes datas,

aglutinadas em blocos de quinze dias. A data central do período é considerada a "data de

observação", na qual são aglutinadas as volatilidades implícitas referentes a cada opção

observada, ao longo dos quinze dias. Os preços de exercício são convertidos a valores

equivalentes na data central, pela razão preço de exercício/preço futuro, multiplicada pela

cotação futura da data central. Esta aglutinação gera um espectro mais amplo de

volatilidades a interpolar, mas pressupõe que a relação entre as volatilidades e a razão

preço de exercício/preço futuro permaneça constante, e que o formato da distribuição

também permaneça constante, ao longo de cada intervalo de quinze dias.

Esses pressupostos parecem excessivamente restritivos para o caso brasileiro,

em que a instabilidade tem sido uma característica permanente. Torna-se extremamente

importante, portanto, a possibilidade de obter estimativas diárias das expectativas dos

mercados, propiciada pelas distribuições neutras a risco implícitas nos preços de opções.

Por esta razão, interpolaram-se neste estudo cotações referentes a uma única

data, obtendo-se estimativas diárias das distribuições neutras a risco do preço do dólar.

Considerou-se que a perda de qualidade na interpolação, decorrente da pequena

quantidade de valores interpolados, seria compensada pela maior riqueza de informações

que a observação das mudanças diárias no formato do "smile" (e, consequentemente,

das distribuições) pode proporcionar.

3.3 A Obtenção dos Dados

Os dados utilizados na derivação das distribuições foram obtidos via internet. A

Bolsa de Mercadorias e Futuros disponibiliza, em sua página www.bmf.com.br, o Serviço de

Recuperação de Informações. Por meio dele, qualquer usuário da internet pode solicitar,

via correio eletrônico, séries históricas disponíveis nos bancos de dados dos

computadores da BM&F. Os dados solicitados são remetidos em questão de minutos,

também por correio eletrônico.

Os dados fornecidos pela BM&F correspondem a séries históricas do Resumo

Estatístico do Pregão. Os valores de opções representam cotações médias de opções de

compra de dólar comercial, negociadas 10, 15, 20 e 25 dias úteis antes do primeiro

pregão de cada mês (datas de vencimento das opções). O período analisado

compreendeu os meses de abril de 1999 (vencimento de 02.05.1999) a junho de 2000

(vencimento de 03.07.2000) - um total de 15 vencimentos, para os quais foram derivadas

http://www.bmf.com.br/

66

60 distribuições acumuladas e 60 densidades de probabilidade (quatro para cada mês,

correspondendo aos horizontes de tempo de 10, 15, 20 e 25 dias úteis). A maioria das

distribuições foi obtida a partir da interpolação de três valores de opção de compra do

dólar comercial, correspondendo a três diferentes preços de exercício. Em alguns casos,

foi possível utilizar quatro valores, correspondendo a quatro diferentes preços de

exercício.

Os valores de F, utilizados nas derivações de f(S) e F(S), correspondem às

cotações de ajuste dos contratos futuros de dólar, com data de liquidação coincidente

com a data de vencimento das opções. O fator de desconto e-rτ foi estimado pela taxa

implícita nos contratos futuros de DI (depósitos interfinanceiros) de 1 dia, de mesmo

vencimento que as opções, por serem esses instrumentos os que melhor se prestariam à

montagem de estratégias de arbitragem com as opções e futuros na BM&F.

Para o cálculo das correlações entre as assimetrias das distribuições e a taxa de

câmbio, foram utilizados os preços de venda (cotações de fechamento) do dólar

comercial, informadas ao público pelo Banco Central do Brasil, por meio da transação

PTAX 800 do Sistema de Informações Banco Central (SISBACEN). Os mesmos valores

são utilizados pela BM&F para a liquidação financeira dos seus contratos futuros e de

opções.

67

4. Resultados

Com base no modelo exposto no capítulo 3, e nos dados obtidos via Sistema de

Recuperação de Informações da BM&F e SISBACEN, foram traçadas interpolações de

volatilidades implícitas ("smiles"), distribuições de probabilidades acumuladas e

densidades de probabilidade neutras a risco para o preço em reais do dólar comercial,

referentes aos primeiros dias úteis dos meses de maio de 1999 a julho de 2000

(correspondendo a 15 vencimentos de opções). Para cada um desses vencimentos,

foram obtidas interpolações, distribuições e densidades referentes a quatro horizontes de

tempo: 10, 15, 20 e 25 dias úteis. Calcularam-se as áreas sob as curvas, valores

esperados, variâncias, assimetrias e curtoses de cada uma das sessenta distribuições.

Os formatos das distribuições apresentaram diferenças significativas entre si,

refletindo as mudanças ocorridas nas expectativas dos agentes de mercado ao longo do

tempo. As figuras 5 a 8 mostram exemplos de algumas das sessenta distribuições de

probabilidades acumuladas e densidades de probabilidade. As linhas mais claras,

perpendiculares ao eixo dos valores da taxa de câmbio, representam as taxas de câmbio

dos contratos futuros negociados na BM&F, com o mesmo vencimento que as opções.

É possível avaliar como a derivação de distribuições de probabilidades neutras a

risco pode revelar informações importantes a respeito das expectativas dos agentes de

mercado, por meio de uma simples comparação visual entre as figuras 7 e 8: apesar das

taxas futuras do dólar comercial, nas respectivas datas, apresentarem valores muito

próximos, os formatos das distribuições derivadas a partir dos preços de opções são bem

diferentes entre si. Em 10-01-2000, data a que se refere a figura 4, a probabilidade

(neutra a risco) de que o preço do dólar ultrapassasse a barreira dos 2 reais no início de

fevereiro (área sob a curva a partir do valor 2) era significativamente diferente de zero, ao

passo que em 16-06-2000, data a que se refere a figura 5, a probabilidade de que a

barreira de 2 reais fosse ultrapassada no início de julho era vista como virtualmente nula.

As mudanças das expectativas dos agentes de mercado, ao longo do tempo, se

refletem em mudanças nas diferentes características das distribuições neutras a risco.

Um exemplo dessas mudanças é o surgimento de bimodalidade na distribuição, como

observado na figura 6. Em 02-09-1999, apesar da taxa futura do dólar comercial estar

abaixo do patamar de 2 reais, os preços das opções de compra refletiam a consideração,

por parte dos agentes de mercado, da possibilidade de ocorrência de um cenário em que

a taxa assumiria um comportamento explosivo, ultrapassando a barreira dos 2,5 reais. Já

alguns meses antes, em 27-04-1999, a probabilidade neutra a risco de que o preço do

68

dólar comercial caísse abaixo do patamar de 1,50 reais no início de junho de 1999 (área

sob a curva abaixo do valor 1,5) era vista como não desprezível.

Estes são apenas alguns exemplos de como a derivação das distribuições neutras

a risco pode ser importante para a análise das expectativas, refletindo informações estão

contidas nos preços das opções, mas não são reveladas pela simples observação dos

preços negociados nos mercados à vista e nos mercados futuros.

Seguindo a abordagem de CAMPA, CHANG e REIDER (1997), calcularam-se

neste trabalho as correlações entre as assimetrias das distribuições neutras a risco e as

cotações de fechamento do dólar comercial nas respectivas datas. Foram adotadas as

cotações de venda registradas na transação PTAX 800 do SISBACEN, que são utilizadas

na liquidação financeira dos contratos futuros e de opções de dólar comercial,

negociados na BM&F.

O objetivo do cálculo das correlações foi o de verificar até que ponto esses

contratos refletem a crença, por parte dos investidores, de que a taxa de câmbio

dólar/real segue uma banda cambial implícita, ou de que o Banco Central do Brasil esteja

disposto a intervir no mercado de câmbio, sempre que necessário, para tentar manter a

flutuação da taxa dentro de determinados limites. Uma correlação negativa forte entre as

cotações e as assimetrias das distribuições refletiria a crença na banda cambial (ou na

intervenção ativa do Banco Central): quando a cotação do dólar se aproximasse do teto

(implícito ou explícito) da banda, a distribuição de tornaria negativamente assimétrica,

indicando uma aposta mais forte na queda das cotações, por ocasião do vencimento das

opções; inversamente, quando a cotação se aproximasse do piso, as distribuições se

tornariam positivamente assimétricas.

A hipótese alternativa considerada por CAMPA, CHANG e REIDER (1997) é a da

ocorrência de assimetrias próximas de zero, e de correlações entre as distribuições de

probabilidades e as taxas de câmbio spot também próximas de zero, indicando que o

movimento futuro das taxas independe da cotação presente do dólar (um comportamento

próximo de um passeio aleatório). No entanto, os resultados obtidos para os cinco pares

de moedas observados (dólar/yen, dólar/marco, marco-franco francês, marco-libra e

marco-lira) não referendaram nenhuma das duas hipóteses: as correlações encontradas

foram todas positivas (a maioria delas positivas fortes). Uma explicação sugerida por

CAMPA, CHANG e REIDER (1997) é a de que os agentes de mercado seguem um

comportamento "extrapolativo", procurando sempre se defender das perdas decorrentes

da continuação da tendência presente. Outra explicação seria a crença dos agentes na

existência de um risco endógeno de realinhamento das bandas cambiais, implícitas ou

explícitas: à medida em que a cotação da moeda estrangeira se aproximasse do piso,

69

maior seria a probabilidade de um deslocamento para baixo da banda cambial; quanto

mais a cotação se aproximasse do teto, maior seria a probabilidade de um deslocamento

da banda para cima.

Os resultados obtidos pelo presente estudo estão resumidos nas tabelas 1 a 5. Os

valores das correlações entre as assimetrias das distribuições e a taxa de câmbio à vista

se mostraram sempre baixos, e positivos, para os horizontes de vencimento de 10, 15 e

20 dias úteis (próximas de 0.3, 0.1 e 0.01, respectivamente). Apenas para o horizonte de

tempo de vinte e cinco dias úteis a correlação encontrada foi negativa, mas de valor

igualmente baixo: -0,26. Com base nesses resultados, a hipótese de que os agentes de

mercado acreditam na existência de bandas cambiais implícitas pode ser rejeitada, tal

como em CAMPA, CHANG e REIDER (1997), já que essa hipótese implicaria na

ocorrência de correlações significativamente negativas.

Observe-se ainda que os valores de assimetria calculados foram sempre

positivos. Na hipótese de existência de bandas cambiais (implícitas ou explícitas), uma

elevação da taxa de câmbio deveria induzir a ocorrência de uma assimetria negativa na

distribuição, refletindo um maior peso para as expectativas de queda da taxa, dada a

existência dos limites impostos pela banda cambial.

A ocorrência de assimetrias sistematicamente positivas torna igualmente

improvável a hipótese de que a taxa de câmbio siga uma trajetória do tipo passeio

aleatório. Esse tipo de trajetória geraria assimetrias próximas de zero para as

distribuições; neste caso, seria de se esperar que os valores encontrados exibissem uma

certa alternância entre pequenos valores, positivos e negativos, com valor médio próximo

de zero.

Este trabalho propõe ainda um teste alternativo ao realizado por CAMPA, CHANG

e REIDER (1997): o cálculo das correlações entre as variações (absolutas e relativas) da

taxa de câmbio e as assimetrias das distribuições. Foram testadas as variações ocorridas

ao longo de quatro diferentes períodos de tempo: 1 dia útil, 5, 10 e 15 dias úteis. As

variações foram calculadas de duas formas diferentes: variação absoluta (diferença entre

as taxas) e variação percentual (razão entre a diferença de taxas e a taxa inicial); os

resultados encontrados foram praticamente idênticos (somente em um caso a diferença

entre as correlações foi superior a 0,02). Cada um dos quatro grupos de variações da

taxa de câmbio foi correlacionado com as assimetrias das distribuições, correspondentes

aos diferentes horizontes de tempo considerados na sua derivação (10, 15, 20 e 25 dias

úteis).

Os resultados obtidos apresentaram um padrão de comportamento parecido com

aquele observado nas correlações entre as assimetrias e a taxa de câmbio à vista (com

70

valores um pouco maiores para as correlações). As variações ocorridas na taxa de

câmbio em um dia útil se correlacionaram de maneira significativa com as assimetrias

das distribuições com horizonte de tempo de 10 dias úteis (aproximadamente 0,57), mas

as correlações também foram fracas e positivas para os vencimentos em 15 e 20 dias

úteis, e negativas e fracas para os vencimentos em 25 dias úteis.

As correlações entre as variações de taxas em 5, 10 e 15 dias úteis e as

assimetrias das distribuições também apresentaram comportamento similar ao verificado

nas correlações entre as assimetrias e a taxa spot: positivas e fracas para os prazos até

o vencimento de 10, 15 e 20 dias úteis, negativas e fracas para os prazos até o

vencimento de 25 dias úteis. Apenas dois valores se mostraram ligeiramente superiores a

50%: a correlação entre as variações da taxa de câmbio em 5 dias úteis, e as assimetrias

das distribuições referentes ao prazo de 20 dias úteis (aproximadamente 0.53), e a

correlação entre as variações da taxa em 10 dias úteis e as assimetrias das distribuições

com prazo de 15 dias úteis (aproximadamente 0.52). Apesar de pouco significativos,

esses valores indicam correlações um pouco maiores entre as variações das taxas de

câmbio e as assimetrias das distribuições. Uma possível explicação para essas

correlações um pouco maiores é que os agentes do mercado consideram a variação da

taxa spot, no passado recente, um melhor sinalizador do seu comportamento futuro.

71

Interpolações de Volatilidades Implícitas, Distribuições e Densidades de ProbabilidadeObtidas a Partir dos Preços de Opções de Compra de Dólar Comercial, Negociadas na

BM&F em 27.04.1999, Referentes ao Vencimento de 01-06-1999

"S m ile"das V o latilidades Im plícitas em 27-04-1999

0,205

0,21

0,215

0,22

0,225

0,23

0,235

0,24

1,68 1,7 1,72 1,74 1,76 1,78 1,8 1,82

D istribuição de P ro babilidades A cum uladas em 27-04-1999

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 1,5 2 2,5 3

D esnsidade de P robabilidades em 27-04-1999

0

0,51

1,52

2,53

3,54

4,5

1 1,5 2 2,5 3

Figura 5

72



"Sm ile" das Volatilidades Im plícitas em 02-09-1999

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

1,85 1,9 1,95 2 2,05 2,1 2,15


-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 1,5 2 2,5 3

D ensidade de P ro babilidades em 02-09-1999

00,5

11,5

22,5

33,5

44,5

1 1,5 2 2,5 3

Figura 6

73



"S m ile"das V o latilidades Im plícitas em 10-01-2000

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1,75 1,8 1,85 1,9 1,95 2 2,05 2,1


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 1,5 2 2,5 3

D ensidade de P ro babilidades em 10-01-2000

0

1

2

3

4

5

6

7

1 1,5 2 2,5 3

Figura 7

74



"Sm ile" das Volatilidades Im plícitas em 16-06-2000

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

1,78 1,8 1,82 1,84 1,86 1,88 1,9 1,92


-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 1,5 2 2,5 3

D ensidade de P robabilidades em 16-06-2000

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 1,5 2 2,5 3

Figura 8

75

Tabela 1Correlações entre as taxas de câmbio do dólar comercial (1), e as assimetrias dasdistribuições neutras a risco, implícitas nos preços de opções de compra negociadas naBM&F nas datas referenciadas (2).

Data Taxa de Câmbio Assimetria Data Taxa de Câmbio Assimetria16/04/99 1,67 0,566176843 31/03/99 1,722 0,17193107418/05/99 1,6659 0,524344597 04/05/99 1,6734 1,14200316117/06/99 1,7605 0,15196974 02/06/99 1,7542 1,09313136719/07/99 1,7929 0,632242921 05/07/99 1,7663 0,87346807618/08/99 1,8927 1,314341715 04/08/99 1,8217 2,04082898417/09/99 1,8861 1,51840813 02/09/99 1,9244 1,64330409118/10/99 1,9829 0,84092417 01/10/99 1,9565 1,19447298517/11/99 1,9327 1,10570311 03/11/1999(19d) 1,9414 0,53222737317/12/99 1,8178 0,651590536 06/12/1999(19d) 1,8669 1,27607532417/01/00 1,7957 1,420704863 03/01/00 1,8011 1,66375217916/02/00 1,7732 1,752046465 02/02/00 1,79 0,69682953920/03/00 1,7388 0,701741678 02/03/00 1,76 1,08683687114/04/00 1,7833 1,983730775 31/03/00 1,7473 1,72698379718/05/00 1,8305 0,729586113 04/05/00 1,8144 1,05849048116/06/00 1,8073 0,80293388 02/06/00 1,8104 0,338108925

Correlação: 0,286664083 Correlação: 0,119891971

Data Taxa de Câmbio Assimetria Data Taxa de Câmbio Assimetria09/04/99 1,709 0,16615425 24/03/99 1,8428 1,58917493811/05/99 1,6468 1,341484517 27/04/99 1,7069 0,31326618310/06/99 1,7597 0,365755112 26/05/99 1,7186 1,74409761

08/07/1999(16d) 1,7911 1,024737632 28/06/99 1,79 1,78236791311/08/99 1,863 1,48349477 28/07/99 1,7915 1,68294350910/09/99 1,8621 0,897274236 25/08/1999(26d) 1,9311 0,27694307308/10/99 1,943 1,023512891 24/09/99 1,9144 0,6380888109/11/99 1,9241 0,52783798 25/10/99 1,9777 0,89525027209/12/99 1,8668 0,634701934 25/11/99 1,93 1,89644429710/01/00 1,8161 0,89896911 27/12/1999(24d) 1,8267 1,0513922809/02/00 1,7632 0,583486658 24/01/00 1,7652 0,83355000613/03/00 1,7502 0,9653182 24/02/00 1,7779 4,52104565607/04/00 1,7439 1,264258311 23/03/2000(26d) 1,7242 1,919351109

10/05/2000(16d) 1,8169 1,21433603 26/04/00 1,7985 1,17584793809/06/00 1,7999 0,61092541 26/05/00 1,8455 0,690336555

Correlação: 0,011961674 Correlação: -0,259581685

Vencimentos em 20 Dias Úteis




(1) Cotações de Venda (fechamento), informadas pelo Banco Central do Brasil via transação

PTAX 800 do SISBACEN

(2) As quatro correlações calculadas se referem a quatro diferentes prazos até o vencimento, para

as opções: dez, quinze, vinte e vinte e cinco dias úteis.

76

Tabela 2Correlações entre as variações da taxa de câmbio do dólar comercial (1) - verificadas entreas datas referenciadas e os dias úteis imediatamente anteriores - e as assimetrias dasdistribuições neutras a risco, implícitas nos preços de opções de compra negociadas naBM&F, nas datas referenciadas (2).

Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria16/04/99 0,0012 0,00071908 0,566176843 31/03/99 -0,0114 -0,00657667 0,17193107418/05/99 -0,0011 -0,00065987 0,524344597 04/05/99 -1E-04 -5,9755E-05 1,14200316117/06/99 -0,007 -0,0039604 0,15196974 02/06/99 0,0206 0,011882787 1,09313136719/07/99 -0,0178 -0,00983045 0,632242921 05/07/99 -0,0043 -0,00242856 0,87346807618/08/99 0,0107 0,005685441 1,314341715 04/08/99 -0,0061 -0,00333735 2,04082898417/09/99 0,0067 0,003564968 1,51840813 02/09/99 0,0027 0,001405006 1,64330409118/10/99 0,0035 0,001768213 0,84092417 01/10/99 0,0342 0,017791188 1,19447298517/11/99 -0,0004 -0,00020692 1,10570311 03/11/1999(19d) -0,0017 -0,00087489 0,53222737317/12/99 -0,0229 -0,01244092 0,651590536 06/12/1999(19d) -0,0105 -0,00559284 1,27607532417/01/00 -0,004 -0,00222259 1,420704863 03/01/00 0,0121 0,006763555 1,66375217916/02/00 -0,0032 -0,0018014 1,752046465 02/02/00 -0,0032 -0,00178452 0,69682953920/03/00 -0,0019 -0,00109151 0,701741678 02/03/00 -0,0078 -0,00441226 1,08683687114/04/00 0,02 0,011342369 1,983730775 31/03/00 -0,0049 -0,00279648 1,72698379718/05/00 0,0013 0,000710693 0,729586113 04/05/00 -0,0018 -0,00099108 1,05849048116/06/00 -0,0006 -0,00033188 0,80293388 02/06/00 -0,0098 -0,00538402 0,338108925

Correlação: 0,57164559 0,576890924 Correlação: 0,23673503 0,243649178

Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria09/04/99 -0,0116 -0,00674183 0,16615425 24/03/99 -0,0088 -0,00475265 1,58917493811/05/99 -0,005 -0,003027 1,341484517 27/04/99 0,0091 0,005359877 0,31326618310/06/99 0,0106 0,00606026 0,365755112 26/05/99 -0,0294 -0,01681922 1,74409761

08/07/1999(16d) 0,0096 0,005388717 1,024737632 28/06/99 -0,0004 -0,00022341 1,78236791311/08/99 -0,0099 -0,00528592 1,48349477 28/07/99 -0,0258 -0,01419689 1,68294350910/09/99 -0,0114 -0,00608487 0,897274236 25/08/1999(26d) 0,0285 0,014979502 0,27694307308/10/99 0,0091 0,004705517 1,023512891 24/09/99 0,023 0,012160305 0,6380888109/11/99 -0,0025 -0,00129762 0,52783798 25/10/99 -0,0057 -0,00287385 0,89525027209/12/99 0,0041 0,002201106 0,634701934 25/11/99 0,0005 0,000259134 1,89644429710/01/00 -0,012 -0,00656419 0,89896911 27/12/1999(24d) -0,0023 -0,00125752 1,0513922809/02/00 -0,0022 -0,00124618 0,583486658 24/01/00 -0,0132 -0,0074224 0,83355000613/03/00 0,0116 0,006672035 0,9653182 24/02/00 -0,0107 -0,00598233 4,52104565607/04/00 0,0016 0,000918326 1,264258311 23/03/2000(26d) -0,0063 -0,00364057 1,919351109

10/05/2000(16d) 0,009 0,004978151 1,21433603 26/04/00 0,0097 0,00542263 1,17584793809/06/00 0,0051 0,002841542 0,61092541 26/05/00 0,0063 0,003425402 0,690336555

Correlação: 0,01429238 0,018879711 Correlação: -0,4846856 -0,48559513






PTAX 800 do SISBACEN.



77

Tabela 3Correlações entre as variações da taxa de câmbio do dólar comercial (1) - verificadasdurante os cinco dias úteis imediatamente anteriores às datas referenciadas - e asassimetrias das distribuições neutras a risco, implícitas nos preços de opções de compranegociadas na BM&F, nas datas referenciadas (2).

Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria16/04/99 -0,039 -0,02282036 0,566176843 31/03/99 -0,1208 -0,06555242 0,17193107418/05/99 0,0191 0,011598251 0,524344597 04/05/99 -0,0335 -0,01962622 1,14200316117/06/99 0,0008 0,000454623 0,15196974 02/06/99 0,0356 0,020714535 1,09313136719/07/99 0,0018 0,001004969 0,632242921 05/07/99 -0,0237 -0,01324022 0,87346807618/08/99 0,0297 0,015942029 1,314341715 04/08/99 0,0302 0,016857382 2,04082898417/09/99 0,024 0,012888674 1,51840813 02/09/99 -0,0067 -0,00346953 1,64330409118/10/99 0,0399 0,020535255 0,84092417 01/10/99 0,0421 0,021991224 1,19447298517/11/99 0,0086 0,004469622 1,10570311 03/11/1999(19d) -0,0363 -0,01835465 0,53222737317/12/99 -0,049 -0,02624813 0,651590536 06/12/1999(19d) -0,0631 -0,0326943 1,27607532417/01/00 -0,0204 -0,01123286 1,420704863 03/01/00 -0,0256 -0,01401434 1,66375217916/02/00 0,01 0,005671506 1,752046465 02/02/00 0,0248 0,0140494 0,69682953920/03/00 -0,0114 -0,00651354 0,701741678 02/03/00 -0,0179 -0,01006806 1,08683687114/04/00 0,0394 0,022593039 1,983730775 31/03/00 0,0231 0,013397518 1,72698379718/05/00 0,0136 0,007485277 0,729586113 04/05/00 0,0159 0,008840701 1,05849048116/06/00 0,0074 0,00411134 0,80293388 02/06/00 -0,0351 -0,01901924 0,338108925


Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria09/04/99 -0,013 -0,00754936 0,16615425 24/03/99 -0,0349 -0,01858657 1,58917493811/05/99 -0,0266 -0,01589578 1,341484517 27/04/99 -0,0032 -0,00187124 0,31326618310/06/99 0,0055 0,003135332 0,365755112 26/05/99 0,055 0,033060832 1,74409761

08/07/1999(16d) 0,0248 0,01404065 1,024737632 28/06/99 0,0264 0,014969381 1,78236791311/08/99 0,0413 0,022671131 1,48349477 28/07/99 -0,0256 -0,01408838 1,68294350910/09/99 -0,0623 -0,03237373 0,897274236 25/08/1999(26d) 0,0384 0,020288477 0,27694307308/10/99 -0,0135 -0,00690008 1,023512891 24/09/99 0,0283 0,015004507 0,6380888109/11/99 -0,0173 -0,0089111 0,52783798 25/10/99 -0,0052 -0,00262242 0,89525027209/12/99 -1E-04 -5,3565E-05 0,634701934 25/11/99 0,001 0,000518403 1,89644429710/01/00 0,015 0,008328244 0,89896911 27/12/1999(24d) 0,0219 0,012134309 1,0513922809/02/00 -0,0268 -0,01497207 0,583486658 24/01/00 -0,0305 -0,01698502 0,83355000613/03/00 -0,0098 -0,00556818 0,9653182 24/02/00 0,0039 0,002198422 4,52104565607/04/00 -0,0034 -0,00194586 1,264258311 23/03/2000(26d) -0,0115 -0,00662557 1,919351109

10/05/2000(16d) 0,0025 0,001377866 1,21433603 26/04/00 0,0323 0,01828785 1,17584793809/06/00 -0,0105 -0,00579982 0,61092541 26/05/00 1E-04 5,41888E-05 0,690336555










78

Tabela 4Correlações entre as variações da taxa de câmbio do dólar comercial (1) - verificadasdurante os dez dias úteis imediatamente anteriores às datas referenciadas - e asassimetrias das distribuições neutras a risco, implícitas nos preços de opções de compranegociadas na BM&F, nas datas referenciadas (2).

Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria16/04/99 -0,052 -0,03019744 0,566176843 31/03/99 -0,1557 -0,08292059 0,17193107418/05/99 -0,0075 -0,00448189 0,524344597 04/05/99 -0,0367 -0,02146073 1,14200316117/06/99 0,0063 0,003591381 0,15196974 02/06/99 0,0906 0,054460207 1,09313136719/07/99 0,0266 0,015059729 0,632242921 05/07/99 0,0027 0,001530959 0,87346807618/08/99 0,071 0,038974584 1,314341715 04/08/99 0,0046 0,002531506 2,04082898417/09/99 -0,0383 -0,01990231 1,51840813 02/09/99 0,0317 0,01674856 1,64330409118/10/99 0,0264 0,013493483 0,84092417 01/10/99 0,0704 0,037325699 1,19447298517/11/99 -0,0087 -0,0044813 1,10570311 03/11/1999(19d) -0,0415 -0,02092894 0,53222737317/12/99 -0,0491 -0,02630028 0,651590536 06/12/1999(19d) -0,0621 -0,03219285 1,27607532417/01/00 -0,0054 -0,00299817 1,420704863 03/01/00 -0,0037 -0,00205009 1,66375217916/02/00 -0,0168 -0,00938547 1,752046465 02/02/00 -0,0057 -0,00317425 0,69682953920/03/00 -0,0212 -0,01204545 0,701741678 02/03/00 -0,014 -0,00789177 1,08683687114/04/00 0,036 0,020603216 1,983730775 31/03/00 0,0116 0,006683183 1,72698379718/05/00 0,0161 0,008873457 0,729586113 04/05/00 0,0482 0,027290228 1,05849048116/06/00 -0,0031 -0,00171233 0,80293388 02/06/00 -0,035 -0,01896608 0,338108925


Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria09/04/99 -0,1338 -0,0726069 0,16615425 24/03/99 -0,0203 -0,01089582 1,58917493811/05/99 -0,0601 -0,03521003 1,341484517 27/04/99 0,0349 0,020873206 0,31326618310/06/99 0,0411 0,023914814 0,365755112 26/05/99 0,0572 0,034428795 1,74409761

08/07/1999(16d) 0,0011 0,000614525 1,024737632 28/06/99 0,0117 0,006579317 1,78236791311/08/99 0,0715 0,039910689 1,48349477 28/07/99 -0,0194 -0,01071291 1,68294350910/09/99 -0,069 -0,03573093 0,897274236 25/08/1999(26d) 0,0681 0,036553945 0,27694307308/10/99 0,0286 0,014939407 1,023512891 24/09/99 0,0523 0,028086569 0,6380888109/11/99 -0,0536 -0,02710219 0,52783798 25/10/99 0,0227 0,011611253 0,89525027209/12/99 -0,0632 -0,03274611 0,634701934 25/11/99 0,0012 0,000622148 1,89644429710/01/00 -0,0106 -0,00580281 0,89896911 27/12/1999(24d) -0,0297 -0,01599871 1,0513922809/02/00 -0,002 -0,00113302 0,583486658 24/01/00 -0,0509 -0,02802709 0,83355000613/03/00 -0,0277 -0,01558018 0,9653182 24/02/00 0,0084 0,004747104 4,52104565607/04/00 0,0197 0,011425589 1,264258311 23/03/2000(26d) -0,0101 -0,00582368 1,919351109

10/05/2000(16d) 0,0184 0,010230748 1,21433603 26/04/00 0,0514 0,029420182 1,17584793809/06/00 -0,0456 -0,02470875 0,61092541 26/05/00 0,0189 0,010347093 0,690336555










79

Tabela 5Correlações entre as variações da taxa de câmbio do dólar comercial (1) - verificadasdurante os quinze dias úteis imediatamente anteriores às datas referenciadas - e asassimetrias das distribuições neutras a risco, implícitas nos preços de opções de compranegociadas na BM&F, nas datas referenciadas (2).

Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria16/04/99 -0,1728 -0,09377035 0,566176843 31/03/99 -0,1411 -0,07573399 0,17193107418/05/99 -0,041 -0,02402015 0,524344597 04/05/99 0,0014 0,000837321 1,14200316117/06/99 0,0419 0,02438031 0,15196974 02/06/99 0,0928 0,055856507 1,09313136719/07/99 0,0029 0,001620112 0,632242921 05/07/99 -0,012 -0,00674802 0,87346807618/08/99 0,1012 0,056488976 1,314341715 04/08/99 0,0108 0,005963885 2,04082898417/09/99 -0,045 -0,02330278 1,51840813 02/09/99 0,0614 0,032957595 1,64330409118/10/99 0,0685 0,035781446 0,84092417 01/10/99 0,0944 0,050695451 1,19447298517/11/99 -0,045 -0,0227537 1,10570311 03/11/1999(19d) -0,0136 -0,00695652 0,53222737317/12/99 -0,1122 -0,05813472 0,651590536 06/12/1999(19d) -0,0619 -0,03209249 1,27607532417/01/00 -0,031 -0,01697049 1,420704863 03/01/00 -0,0553 -0,02978884 1,66375217916/02/00 0,008 0,004532064 1,752046465 02/02/00 -0,0261 -0,01437146 0,69682953920/03/00 -0,0391 -0,02199224 0,701741678 02/03/00 -0,0095 -0,00536875 1,08683687114/04/00 0,0591 0,034276766 1,983730775 31/03/00 0,013 0,00749582 1,72698379718/05/00 0,032 0,017792605 0,729586113 04/05/00 0,0673 0,038520978 1,05849048116/06/00 -0,0382 -0,020699 0,80293388 02/06/00 -0,0162 -0,00886894 0,338108925


Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria Data ∆∆∆∆ Taxa ∆∆∆∆% Taxa Assimetria09/04/99 -0,1687 -0,08984396 0,16615425 24/03/99 -0,3219 -0,14870421 1,58917493811/05/99 -0,0633 -0,03701538 1,341484517 27/04/99 -0,0245 -0,0141504 0,31326618310/06/99 0,0961 0,05776629 0,365755112 26/05/99 0,0339 0,020122277 1,74409761

08/07/1999(16d) 0,0275 0,015593105 1,024737632 28/06/99 0,0488 0,028026648 1,78236791311/08/99 0,0459 0,02526003 1,48349477 28/07/99 0,01 0,005613247 1,68294350910/09/99 -0,0306 -0,01616738 0,897274236 25/08/1999(26d) 0,1094 0,060053796 0,27694307308/10/99 0,0569 0,030168072 1,023512891 24/09/99 0,0104 0,005462185 0,6380888109/11/99 -0,0588 -0,02965354 0,52783798 25/10/99 0,0389 0,020063957 0,89525027209/12/99 -0,0622 -0,03224469 0,634701934 25/11/99 0,0005 0,000259134 1,89644429710/01/00 0,0113 0,006261082 0,89896911 27/12/1999(24d) -0,0402 -0,02153302 1,0513922809/02/00 -0,0325 -0,01809879 0,583486658 24/01/00 -0,0359 -0,01993226 0,83355000613/03/00 -0,0238 -0,01341601 0,9653182 24/02/00 0 0 4,52104565607/04/00 0,0082 0,004724319 1,264258311 23/03/2000(26d) -0,0358 -0,02034091 1,919351109

10/05/2000(16d) 0,0507 0,028705696 1,21433603 26/04/00 0,0453 0,025838467 1,17584793809/06/00 -0,0455 -0,0246559 0,61092541 26/05/00 0,0337 0,018600287 0,690336555










80

5. Conclusões

Esta dissertação apresentou uma metodologia de derivação das distribuições de

probabilidades neutras a risco, ou medidas martingais equivalentes, implícitas nos preços

de opções de compra de dólar comercial, negociadas na Bolsa de Mercadorias e Futuros

de São Paulo (BM&F) no período de abril de 1999 a junho de 2000, com vencimento no

primeiro dia útil do mês subseqüente (respectivamente, de maio de 1999 a julho de

2000). O método utilizado foi desenvolvido por SHIMKO (1993), como uma forma de

implementar os resultados fundamentais de BLACK e SCHOLES (1973), MERTON

(1973), COX e ROSS (1976) e BREEDEN e LITZENBERGER (1978).

Quatro séries de quinze distribuições foram obtidas, cada uma a partir de

volatilidades implícitas em opções com um determinado prazo até o vencimento: 10, 15,

20 e 25 dias úteis. Com base nestas distribuições, foram calculadas quatro séries de

momentos característicos das distribuições implícitas (média, variância, assimetria e

curtose). Cada série de assimetrias foi comparada com a série ocorrida de cotações do

dólar no mercado à vista, por meio do cálculo das correlações entre as séries, segundo

sugestão de CAMPA, CHANG e REIDER (1997).

Caso as correlações obtidas fossem negativas, poder-se-ia inferir que os agentes

do mercado acreditam na existência de uma banda cambial implícita, dado que a política

cambial adotada pelo Banco Central do Brasil é, em tese, de câmbio flutuante. As

correlações negativas indicariam que as expectativas se voltam para uma queda no

preço do dólar, quando ele se aproxima do teto da banda, e para uma alta, quando ele se

aproxima do piso.

CAMPA, CHANG e REIDER (1997) sugerem ainda uma hipótese alternativa: a

crença, por parte dos agentes, numa trajetória aleatória para o preço da moeda

estrangeira (no caso deste estudo, o dólar americano). Tal convicção se refletiria na

ocorrência de assimetrias nas distribuições, e de correlações entre as séries próximas de

zero.

Ambas as hipóteses foram rejeitadas por CAMPA, CHANG e REIDER (1997), que

encontraram correlações significativamente positivas para todos os cinco pares de

moedas que pesquisaram. As possíveis explicações para este resultado seriam um

comportamento "extrapolativo", que levaria os agentes a considerar que a probabilidade

de alta de uma moeda valorizada é maior que a probabilidade de queda, e vice-versa.

Outra explicação seria a convicção de que exista uma banda cambial com risco

endógeno de realinhamento - quando a cotação da moeda estrangeira se aproxima do

81

piso da banda, a probabilidade de que ela seja realinhada para baixo se torna maior; o

inverso acontece quando a cotação se aproxima do teto.

Os valores encontrados para o caso brasileiro, no período que vai de abril de 1999

a junho de 2000, mostram que a hipótese de banda implícita pode ser rejeitada, pois as

correlações encontradas foram, em sua maioria, positivas, apesar de não significativas (à

exceção das opções com vencimento em 25 dias úteis, para as quais a correlação

encontrada foi negativa, mas também não significativa). Outra evidência contrária é o fato

de que as assimetrias encontradas foram sempre positivas.

Essa evidência torna igualmente improvável a hipótese de que a taxa de câmbio

siga uma trajetória do tipo passeio aleatório, pois esse tipo de trajetória geraria

distribuições com assimetrias nulas. Seria de se esperar que as assimetrias calculadas

exibissem uma certa alternância entre pequenos valores, positivos e negativos, com valor

médio próximo de zero. No entanto, os valores encontrados se mostraram

sistematicamente positivos, e bem maiores do que zero. Esse comportamento reflete a

presença quase permanente de "skews", positivamente inclinados, nas volatilidades

implícitas nos preços das opções.

Analisados em conjunto, os resultados obtidos não permitem que se assuma a

hipótese do comportamento extrapolativo para o caso brasileiro pois, apesar de positivas,

as correlações encontradas não foram significativas. Aparentemente, baseados na

convivência de vários anos com a supervalorização do real, os agentes continuam

acreditando que ele tende a se desvalorizar no longo prazo, independentemente da

cotação atual ou dos movimentos recentes da taxa de câmbio. Isso explicaria tanto as

baixas correlações quanto a ocorrência quase permanente de assimetrias positivas nas

distribuições implícitas.

Além das correlações entre as cotações da taxa de câmbio dólar/real, no mercado

à vista, e as assimetrias das distribuições implícitas, foram calculadas também as

correlações entra as assimetrias e as variações das taxas. Apesar de ainda não

significativos, esses valores indicam uma correlação um pouco maior entre a variação da

taxa e a assimetria das distribuições (os agentes do mercado poderiam estar

considerando que o melhor sinalizador do comportamento futuro da taxa não é o seu

valor atual, mas a maneira como ela tem variado no passado recente).

Uma observação importante deve ser feita, com respeito à análise baseada nas

assimetrias das distribuições. Elas são distribuições neutras a risco, ou seja, não se

referem, necessariamente, à chance que os agentes de mercado atribuem à ocorrência

futura de uma determinada taxa; podem refletir também um maior valor atribuído pelo

mercado a essa taxa futura (por exemplo: o mercado pode estar disposto a pagar mais

82

por uma opção de compra - prêmio de seguro contra uma subida da taxa de câmbio - que

por uma opção de venda, que represente o prêmio de seguro pago contra uma queda

igualmente provável da taxa). Somente mediante a consideração de hipóteses muito

restritivas é possível distinguir estes dois efeitos.

GALATI e MELICK (1999) apresentam um exemplo ilustrativo desta questão.

Supondo-se que ocorra um aumento do preço de mercado dos seguros contra incêndio,

duas explicações alternativas podem ser dadas: a primeira delas é a de que o mercado

passou a acreditar mais na possibilidade da ocorrência de incêndios; a outra é a de que

os agentes de mercado passaram a atribuir um maior valor aos prejuízos que os

incêndios podem causar (talvez porque tenha aumentado a parcela média da renda que

cada cidadão invista em sua residência).

Levando-se em conta que as distribuições neutras a risco combinam

probabilidades subjetivas ("chance") e aversão a risco, a que podemos atribuir uma

variação na assimetria da distribuição neutra a risco da taxa de câmbio do dólar

comercial: a uma mudança das expectativas de alta ou de queda da taxa, ou uma maior

necessidade dos agentes de se garantirem contra uma eventual variação da taxa (por

exemplo, um aumento na exposição ao risco cambial, por parte de importadores)? Mais

especificamente: é possível assegurar que as assimetrias da distribuição neutra a risco e

da distribuição subjetiva ("verdadeira") variem da mesma maneira, ou na mesma

proporção?

Não necessariamente. Esta questão vem sendo tratada superficialmente, nos

diversos estudos sobre o assunto realizados até hoje. Uma linha de argumentação que

aparece com freqüência, quando se analisam mudanças em distribuições neutras a risco,

ao longo do tempo, é a seguinte: a probabilidade neutra a risco pode ser expressa como

o produto da probabilidade subjetiva por um fator de aversão a risco46; é de se esperar

que, num curto espaço de tempo, as preferências e o grau de aversão a risco do

investidor representativo do consenso do mercado não se modifiquem (a menos que haja

ocorrido um evento político ou macro-econômico relevante, como crise cambial, eleição,

etc.); portanto, variações da distribuição neutra a risco devem, em princípio, refletir

apenas variações das probabilidades subjetivas , ou "verdadeiras" (para eventos como a

crise cambial brasileira de janeiro de 2000, por exemplo, tal suposição não poderia ser

feita).

Este trabalho procurou apresentar uma aplicação simples de uma das diversas

técnicas existentes de derivação de distribuições neutras a risco, implícitas nos preços de

opções. Uma aplicação interessante da técnica apresentada seria a análise do impacto

46 Ver JACKWERTH (2000), JACKWERTH e RUBINSTEIN (2001) e AÏT-SAHALIA e LO (2000)

83

de diversos fatos políticos e/ou econômicos relevantes sobre as expectativas refletidas

nos preços de opções negociadas nos mercados brasileiros.

Igualmente relevante seria a realização de uma análise comparativa entre as

diferentes técnicas disponíveis, aplicadas a diferentes mercados de opções. Seria

necessária também uma investigação mais profunda a respeito das limitações impostas à

aplicação das diferentes técnicas pela pouca liquidez verificada nos mercados brasileiros

de opções, especialmente no que se refere às opções sobre taxas de juros. A derivação

das distribuições neutras a risco implícitas nestas opções seria extremamente relevante,

tanto sob a ótica dos investidores quanto dos gestores de política econômica.

84

Bibliografia

ADÃO, Bernardino; LUÍS, Jorge B. Interest Rate Spreads Implicit in Options: Spain and Italy

Against Germany Workshop on Estimating and Interpreting Probability Density

Functions. 14 June 1999, Bank of International Settlements. www.bis.org/publ/index.htm

AÏT-SAHALIA, Yacine; LO, Andrew W. Nonparametric Estimation of State-Price Densities

Implicit in Financial Asset Prices. The Journal of Finance. v.53, n.2, p.499-547 April, 1998

AÏT-SAHALIA, Yacine; LO, Andrew W. Nonparametric Risk Management and Implied Risk

Aversion. Journal of Econometrics. v.94, p.9-51 2000

ARROW, Kenneth J. The Role of Securities in the Optimal Allocation of Risk-bearing. Review of

Economic Studies. v.31, p.91-96 April, 1964

BAHRA, Bhupinder Implied Risk-Neutral Probability Density Functions From Options Prices:

Theory and Application. Bank of England Working Paper Series n.66

www.bankofengland.co.uk/workingpapers/wp66.pdf July, 1997

BARLE, Stanko; CAKICI, Nusret Growing a Smiling Tree. Risk. v.08, n.10, p.76-81 October

1995.

BATES, David S. The Crash 0f '87: Was It Expected? The Evidence from Options Markets. The

Journal of Finance. v.46, n.3, p.1009-1044 July 1991.

BATES, David S. Jumps and Stochastic Volatility: Exchange Rate Processes Implicit in Deutsche

Mark Options. The Review of Financial Studies. v.9, n.1, p.69-107 Spring 1996.

BECKER, João L.; LEMGRUBER, Eduardo F. Programa da HP-12C Para Cálculo do Valor de

Opções de Compra e de Venda, Usando a Fórmula de Black and Scholes. Resenha BM&F,

n.79, p.21-28 Março 1992.

BLACK, Fischer; The Pricing of Commodity Contracts. Journal of Financial Economics v.3,

p.167-79, March 1976.

85

BLACK, Fischer Living Up To The Model. In: From Black-Scholes to Black Holes. UK: Risk

Magazine Ltd, 1992 p.7-21.

BLACK, Fischer; How We Came Up To The Option Formula. Risk. London, U.K. v.10, n.12,

p.143-148, December 1997

BLACK, Fischer; SCHOLES, Myron. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal

of Political Economy. v.81, n.3, p.637-54, May-June 1973

BLISS, Robert R.; PANIGIRTZOGLOU, Nicolaos Testing the Stability of Implied Probability

Density Functions. Working Paper Series n. 99-21 Federal Reserve Bank of Chicago

research.frbchi.org/WorkingPapers/wp99_21.pdf December, 1999

BREALEY, Richard A.; MYERS, Stewart C. Principles of Corporate Finance. 5. ed. p.

BREEDEN, Douglas T.; LITZENBERGER, Robert H. Prices of State-contingent Claims Implicit

in Options Prices. Journal of Business. v.51, n.4, p.621-51, 1978

BROWN, Gregory; TOFT, KLAUS B. Constructing Binomial Trees from Multiple Implied

Probability Distributions. The Journal of Derivatives. v.7, n.2, p.83-100, Winter 1999

BRU, Bernard; COURTAULT, Jean-Michel; CRÉPEL, Pierre; KABANOV, Yuri; LE

MARCHAND, Arnaud; LEBON, Isabelle Louis Bachelier: On The Centenary of "Théorie de

La Spéculation" Mathematical Finance. v.10, n.3, p.341-53, July 2000.

BUCHEN, Peter W.; KELLY, Michael The Maximum Entropy Distribution of an Asset Inferred

from Option Prices. Journal of Financial and Quantitative Analysis. v.31, n.1, p.143-59,

March 1996.

CAMPA, José M.; CHANG, P. H. Kevin; REFALO, James F. An Options Based Analysis of

Emerging Market Exchange Rate Expectations: Brazil’s Real Plan, 1994-1997 Workshop on

Estimating and Interpreting Probability Density Functions. 14 June 1999, Bank of

International Settlements. www.bis.org/publ/index.htm

86

CAMPA, José M.; CHANG, P. H. Kevin; REIDER, Robert L. Implied Exchange Rate

Distributions: Evidence from OTC Option Markets NBER Working Paper Series n. 6179

September 1997. www.nber.org/papers/w6179

CAVALCANTI, Ilce G. M; FELIX, Angela; MEDEIROS, Jane Maria; RUSSO, Mariza Manual

Para Elaboração e Normalização de Dissertações e Teses. Rio de Janeiro: UFRJ/SISTEMA

DE BIBLIOTECAS E INFORMAÇÃO - SiBI, 1997. 23 p.

CHANG, P. H. Kevin; MELICK, William R. Background Note Workshop on Estimating and

Interpreting Probability Density Functions. 14 June 1999, Bank of International

Settlements. www.bis.org/publ/index.htm

COOPER, Neil. Testing Techniques for Estimating Implied RNDS from the Prices of European-

Style Options Workshop on Estimating and Interpreting Probability Density Functions.

14 June 1999, Bank of International Settlements. www.bis.org/publ/index.htm

COPELAND, Thomas C.; WESTON, J. Fred. Financial Theory and Corporate Policy. 3. Ed.

EUA: Addison-Wesley, 1988. 946 p.

CORRADO, C. J.; SU, Tie Implied Volatility Skews and Stock Return Skewness and Kurtosis

Implied by Stock Option Prices. The European Journal of Finance. v.3, n., p.73-85, 1997

COUTANT, Sophie. Implied Risk Aversion in Option Prices Using Hermite Polynomials

Workshop on Estimating and Interpreting Probability Density Functions. 14 June 1999,

Bank of International Settlements. www.bis.org/publ/index.htm

COX, John C.; ROSS, Stephen A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes.

Journal of Financial Economics. v.3, p.145-66, March 1976

COX, John C.; ROSS, Stephen A.; RUBINSTEIN, Mark Option Pricing: A Simplified Approach.

Journal of Financial Economics. v. 7, p.229-63, October 1979

DEBREU, Gerard Theory of Value. Cowles Foundation Monograph n. 17. EUA: John Wiley &

Sons, 1959. 104 p.

DERMAN, Emanuel; KANI, Iraj Riding on a Smile. Risk. v.7, n.1, p.32-39, January 1994.

87

DIXIT, Avinash K.; PINDYCK, Robert S. Investment Under Uncertainty EUA: Princeton

University Press, 1994. 468 p.

DUPIRE, Bruno Pricing With a Smile. Risk. v.7, n.1, p.18-20, January 1994.

GALATI, Gabriele; MELICK, William R. Perceived Central Bank Intervention and Market

Expectations: An Empirical Study of the Yen/Dollar Exchange Rate, 1993-96 BIS Working

Paper n. 77. October, 1999 www.bis.org/publ/index.htm

GARMAN, M. B.; KOHLHAGEN, S. B. Foreign Currency Option Values Journal of

International Money and Finance. v.2, p.231-37, 1983.

GEMMILL, Gordon; SAFLEKOS, Apostolos How Useful Are Implied Distributions? Evidence

from Stock-Index Options Workshop on Estimating and Interpreting Probability Density

Functions. 14 June 1999, Bank of International Settlements. www.bis.org/publ/index.htm

HARRISON, J. Michael; KREPS, David M. Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities

Markets Journal of Economic Theory. v.20, n., p.381-408, 1979.

HESTON, Steven L. A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with

Applications to Bond and Currency Options The Review of Financial Studies. v.6, n.2,

p.327-43, Summer 1993.

HILLIER, Frederick S.; LIEBERMAN, Gerald J. Introdução à Pesquisa Operacional. 3. Ed. (1.

Ed. em Português) SÃO PAULO: Campus / EDUSP, 1988. 805 p.

HULL, John C. Options, Futures and Other Derivatives. 3. Ed. EUA: Prentice-Hall,1997. 572 p.

JACKWERTH, Jens C. Generalized Binomial Trees The Journal of Derivatives. v.5, n.2, p.7-17,

Winter 1997.

JACKWERTH, Jens C. Option-Implied Risk-Neutral Distributions and Implied Binomial Trees: A

Literature Review The Journal of Derivatives. v.7, n.2, p.66-82, Winter 1999.

JACKWERTH, Jens C. Recovering Risk Aversion from Option Prices and Realized Returns The

Review of Financial Studies. v.13, n.2, p.433-51 Summer 2000.

88

JACKWERTH, Jens C.; RUBINSTEIN, Mark Recovering Probability Distributions from

Contemporaneous Security Prices The Journal of Finance. v.51, n.5, p.1611-31, December

1996.

JACKWERTH, Jens C.; RUBINSTEIN, Mark Recovering Probabilities and Risk Aversion from

Option Prices and Realized Returns Essays in Honour of Fisher Black. A publicar pela

Oxford Press, 2001.

JARROW, Robert; RUDD, Andrew. Approximate Option Valuation for Arbitrary Stochastic

Processes Journal of Financial Economics. v.10, p.347-69, November 1982.

JOHNSTON, John Econometric Methods. 3. Ed. EUA: McGraw-Hill, 1984. 568 p.

JONDEAU, Eric; ROCKINGER, Michael Reading the Smile: The Message Conveyed by Methods

which Infer Risk Neutral Densities Notes d'Études et de Recherche n. 47 Banque de France,

Octobre 1997 www. banque-france.fr/gb/publi/main.htm

LEAHY, Michael P.; THOMAS, Charles P. The Sovereignty Option: The Quebec Referendum and

Market Views on the Canadian Dolar International Finance Discussion Paper n. 555 Board

of Governors of the Federal Reserve System, June 1996 www.

federalreserve.gov/pubs/ifdp/1996/555

LEMGRUBER, Eduardo F. Avaliação de Contratos de Opções. Edição Revisada e Ampliada São

Paulo: BM&F., 1995 62p.

LI, Feng Option Pricing: How Flexible Should the SPD Be? The Journal of Derivatives. v.7, n.4,

p.49-65, Summer 2000.

MADAN, Dilip B.; MILNE, Frank Contingent Claims Valued and Hedged by Pricing and

Investing In a Basis Mathematical Finance. v.4, n.3, p.223-45, July 1994.

MALZ, Allan M. Using Option Prices to Estimate Realignment Probabilities in the European

Monetary System: The Case of Sterling-Mark Journal of International Money and Finance.

v.15, n.5, p.717-748, 1996.

89

MALZ, Allan M. Estimating the Probability Distribution of the Future Exchange Rate from Option

Prices The Journal of Derivatives. v.5, n.2, p.18-36, Winter 1997.

McCAULEY, Robert N.; MELICK, William R. Risk Reversal Risk Risk. v.9, n.11, p.54-57,

November 1996a.

McCAULEY, Robert N.; MELICK, William R. Propensity and Density Risk. v.9, n.12, p.52-54,

December 1996b.

MELICK, William R.; THOMAS, Charles P. Recovering an Asset's Implied PDF from Option

Prices: An Application to Crude Oil During the Gulf Crisis Journal of Financial and

Quantitative Analysis. v.32, n.1, p.91-115, March 1997.

MERTON, Robert C. Theory of Rational Option Pricing Bell Journal of Economics and

Management Science. v.4, p.141-183, Spring 1973.

McMANUS, Des J. The Information Content of Interest Rate Futures Options Workshop on

Estimating and Interpreting Probability Density Functions. 14 June 1999, Bank of

International Settlements. www.bis.org/publ/index.htm

NEFTCI, Salih N. An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives. EUA:

Academic Press, 1996. 352 p.

ROSS, Stephen A. Options and Efficiency. Quarterly Journal of Economics. v.90, p.75-89,

February 1976

RUBINSTEIN, Mark Implied Binomial Trees The Journal of Finance. v.49, n.3, p.771-818, July

1994

RUBINSTEIN, Mark Edgeworth Binomial Trees The Journal of Derivatives. v.5, n.3, p.20-27,

Spring 1998

SHERRICK, Bruce J.; GARCIA, Philip; TIRUPATTUR, Viswanath Recovering Probabilistic

Information from Option Markets: Tests of Distributional Assumptions Journal of Futures

Markets. v.6, n.5, p.545-562, 1996.

90

SHIMKO, David Bounds of Probability. Risk. v.6, n.4, p.33-37, April 1993

SHIMKO, David A Tail of Two Distributions. Risk. v.7, n.9, p.14-21, September 1994

SMITH, Jr., Clifford W. Option Pricing: A Review. Journal of Financial Economics. v. 3, p.3-51,

March 1976.

SMITHSON, Charles; Wonderful Life. In: From Black-Scholes to Black Holes. Inglaterra: Risk

Magazine Ltd, 1992 p.23-31.

SÖDERLIND, Paul; SVENSSON, Lars E. O. New Techniques to Extract Market Expectations

from Financial Instruments. NBER Working Paper Series n. 5877. January 1997

www.nber.org/papers/w5877

SUNDARAN, Rangarajan K. Equivalent Martingale Measures and Risk-Neutral Pricing: An

Expository Note The Journal of Derivatives. v.5, n.1, p.85-98, Fall 1997

VERGARA, Sylvia C. Projetos e Relatórios de Pesquisa em Administração. São Paulo: Atlas.

1997. 90 p.

WHALEY, Robert Building on Black-Scholes. Risk. London, U.K. v.10, n.12, p.149-56, December

1997.

Análise das Probabilidades Neutras a Risco da Taxa de ... · demorada desse modelo, ... 1 Uma...

Documents

Transcript of Análise das Probabilidades Neutras a Risco da Taxa de ... · demorada desse modelo, ... 1 Uma...