Anlise de

Componentes

Principais Jos Francisco Moreira Pessanha

professorjfmp@hotmail.com

Anlise de componentes principais - ACP

Karl Pearson

1857 - 1936

Introduzida por Karl Pearson em 1901.

On lines and planes of closest fit to systems of point in

space, Philosophical Magazine, Series 6, vol. 2, no. 11,

pp. 559-572.

Conue pour la premire fois par Karl Pearson en 1901,

intgre la statistique

mathmatique par Harold

Hotelling en 1933, lanalyse en composantes principales nest vraiment utilise que depuis

lavnement et la diffusion des moyens de calculs actuels.

Lebart, Morineau et Piron

Statistique Exploratoire

Multidimensionnelle, 3e

dition, Dunod, Paris, 2000.

Componentes principais

Descrevem a estrutura de varincia e covarincia de variveis

correlacionadas x1,x2,...,xp em termos de um conjunto de novas variveis

y1, y2, ..., yp no correlacionadas.

Cada yi uma combinao linear das variveis x1,x2,...,xp

Novas variveis yi ordenadas em ordem decrescente de importncia:

y1 (1 componente principal) concentra a maior parte da variao dos

dados originais entre todas as combinaes lineares de x1,x2,...,xp.

y2 (2 componente principal) no correlacionada com y1 e concentra a

maior parte da variao restante

y3 (3 componente principal) no correlacionada com y1 e y2 e concentra

uma parcela ainda menor da variao

e assim sucessivamente.

pipiii xaxaxay 2211

Finalidades da ACP

Reduo da dimensionalidade dos dados

Descrio e visualizao de dados

Transformar as variveis em novas variveis descorrelacionadas.

Extrao de sinal contido nos dados (Eliminar ou reduzir o rudo presente nos dados)

Ordenao dos objetos

Construo de nmeros ndices

Alguns exemplos de aplicao da ACP

As componentes principais proporcionam a reduo de dimensionaldade

As primeiras k (k

Definies Considere um vetor aleatrio XT=(x1,x2,...,xp) com matriz de

covarincia (matriz pxp).

A matriz de covarincia tem p autovalores (i, i=1,p) e p

autovetores ( ei = (ei1,ei2,...,eip) i=1,p), ordenados na ordem

decrescente dos autovalores.

A i-sima componente principal :

pipiii xexexey 2211

pipiii eeeyE 2211 iiyV

0,cov ji yy As componentes principais so no correlacionadas A varincia da componente o respectivo autovalor

Os coeficientes da i-sima

componente so definidos pelo

autovetor do i-simo maior

autovalor

Aluno 1

Aluno 30

Notas em microeconomia

Notas em macroeconomia

n =30 alunos

p =2 variveis (notas)

Cada aluno i um vetor Matriz de

Dados X

2i

1i

iX

XX

i = 1 at 30

Motivao

Nota

em

ma

cro

eco

no

mia

X2

Diagrama de disperso

Cada ponto representa um aluno

Nota em microeconomia X1

0

Nota em microeconomia X1

Nota em macroeconomia X2

alu

no

s

alu

no

s

Mdia = 5,8339

Varincia = 1,0446

Desvio-padro = 1,0221

Mdia = 6,9149

Varincia = 0,9579

Desvio-padro = 0,9787

Distribuies de freqncia das notas

Nota em microeconomia X1

Nota

em

ma

cro

eco

no

mia

X2

Covarincia = 0,8155

Correlao = 0,8153

Diagrama de disperso

Relao direta entre as notas de

microeconomia e macroeconomia

Matriz de covarincia amostral

9579,08155,0

8155,00446,1S

Var(X1)

Var(X2) Cov(X1,X2)

Vetor mdia amostral

9149,6

8339,5X

9579,08155,0

8155,00446,1S

7256,0

6881,0e2

6881,0

7256,0e1 8179,11

1846,02

matriz de covarincias 2x2 2 autovetores

Autovetores de S Direes de maior

variabilidade dos dados

(componentes principais)

Autovalores de S Parcela da variabilidade dos

dados concentrada em

cada componente principal

0024,29579,00446,121 XVarXVar

Matriz de covarincias =

Varincia

total

0024,221

21

yVaryVar

xVarxVar

Varincia das

projees

Direo de maior variabilidade

Da lgebra Linear sabe-se que

Trao de (S)

=

Soma dos autovalores de S

Logo

Trao de S

Var(y1) = 1,8179

Var(y2) = 0,1846

Nota

em

ma

cro

eco

no

mia

X2

Nota em microeconomia X1

1X

2X

e1

e2

7256,0

6881,0e2

6881,0

7256,0e1

Autovetores

da matriz S

0

Direes dos

autovetores

91,6

84,5X

Mdia

Mdia das notas de

microeconomia

Mdia das notas de

macroeconomia

Y1

Y2

Nota

em

ma

cro

eco

no

mia

X2

Nota em microeconomia X1

Projeo do vetor do i-simo

aluno na direo do

autovetor e1

6881,0

7256,0e11

e

2i

1i

iX

XX

0

A projeo o produto interno Xie1 :

2i1i X6881,0X7256,0 i-simo aluno

Direo da 1

componente principal

Projeo na direo de maior variabilidade,

ou seja, escore do i-simo aluno na primeira

componente principal

Nota

em

ma

cro

eco

no

mia

X2

Nota em microeconomia X1

0

Projees na direo de maior variabilidade

das notas, ou seja, escores dos alunos na

primeira componente principal

2i1i X6881,0X7256,0

2i1i X6881,0X7256,0 1iX 2iX2512,90914,76881,00247,67256,0

3968,85713,66881,03404,57256,0

6126,101074,86881,09374,67256,0

6316,84534,66881,07759,57256,0

Aluno 1

Aluno 30

Projees na

direo de

maior

variabilidade

das notas ou

escores dos

alunos na

primeira

componente

principal

Distribuio de freqncia dos escores na primeira componente principal

Mdia = 8,99

Varincia = 1,8179

Nota em microeconomia X1

Nota

em

ma

cro

eco

no

mia

X2

Nota

em

ma

cro

eco

no

mia

X2

Nota em microeconomia X1

0

Projees na direo da segunda

componente principal

21 7256,06881,0 ii XX

Observe que a disperso dos

pontos na direo da

segunda componente

menor que a disperso na

direo da primeira

componente

Var(1 componente) maior

que Var(2 componente)

21 7256,06881,0 ii XX 1iX 2iX9999,00914,77256,00247,66881,0

0934,15713,67256,03404,56881,0

1091,11074,87256,09374,66881,0

7082,04534,67256,07759,56881,0

Aluno 1

Aluno 30

Projees na

direo da

segunda

componente

principal

6881,0

7256,0e1

As componentes principais so combinaes lineares das variveis, cujos

coeficientes so definidos pelos autovetores da matriz e covarincia:

2i1i1i X6881,0X7256,0Y

7256,0

6881,0e2 2i1i2i X7256,0X6881,0Y

1 componente define as projees dos alunos na direo de

maior variabilidade

2 componente

Autovetores

As componentes principais so variveis aleatrias com varincias iguais

aos autovalores:

1846,0YVar

8179,1YVar

22i

11i

Nota

em

ma

cro

eco

no

mia

X2

Nota em microeconomia X1

Y1 Y2

0

1846,0YVarYVar

2

22

8179,1YVarYVar

1

11

0446,1XVar 1

9579,0XVar 2

9579,08155,0

8155,00446,1SMatriz de covarincias =

0024,29579,00446,1Strao Varincia total =

8179,1YVar 11

1846,0YVar 22

1 componente

2 componente

%78,90%1000024,2

8179,1

%22,9%1000024,2

1846,0

1 componente principal concentra 91% da variabilidade total dos dados, logo resume

boa parte da informao contida nas duas variveis

2 componente principal concentra apenas 9% da variabilidade total dos dados e por

isso pode ser descartada

Var Y1 > Var Y2 > .... > Var Yp

Algebricamente, as componentes principais so combinaes lineares das p variveis aleatrias X1, X2, ..., Xp;

Geometricamente, as combinaes lineares representam um novo sistema de coordenadas obtido pela translao e rotao do sistema original com X1, X2, ..., Xp como eixos;

Os novos eixos representam as direes com as maiores variabilidades e fornecem uma descrio mais simples e mais parcimoniosa da estrutura de covarincia, pois as componentes principais so no correlacionadas;

As componentes principais podem ser obtidas a partir da matriz de correlao (r) ou da matriz de covarincias () de X1, X2, ..., Xp. O seu desenvolvimento no necessita da suposio de normalidade.

Resumindo A anlise de componentes principais substitui um conjunto de variveis

correlacionadas (X) por um conjunto de novas variveis no-

correlacionadas (Y), sendo essas combinaes lineares das variveis

iniciais e colocadas em ordem decrescente por suas varincias.

Resumindo

Roteiro para obteno das componentes principais

Matriz

ou

r

Calcular

os

autovalores

Calcular

os

autovetores

e

Selecionar

as

componentes

principais

X1

X2

X3

...

Xp

Y1

Y2

Y3

...

Yp

Variveis

originais

Componentes

principais

Teorema da decomposio espectral

pppp

pp

p

p

pp

p

eee

e

e

e

eee

e

e

e

21

2

1

11211

1

12

11

1

pppp

p

p

ppppp

p

p

eee

eee

eee

eee

eee

eee

21

22221

11211

2

1

21

22212

12111

T

X PP

T

ppp

TT eeeeee 222111

Seja a matriz de covarincia do vetor aleatrio X.

O vetor aleatrio X tem p variveis aleatrias

A matriz tem p autovetores e1, e2,...,ep e p autovalores 1>2>...> p

Pelo teorema da decomposio espectral tem-se que:

Organizando a soma na forma matricial

Matriz P, cada coluna

um autovetor

Matriz diagonal formada

pelos autovalores em

ordem decrescente

Matriz PT. cada

linha um

autovetor

TX PP

Componentes principais

Matriz de covarincia das componentes principais

Matriz de covarincia das componentes principais

ppppp

p

p

p x

x

x

eee

eee

eee

y

y

y

2

1

21

22221

11211

2

1

XPY T

PP XT

Y

Pela decomposio espectral tem-se que

Logo PPPP TTY Como os autovetores so

ortonormais PTP=I ou PPT=I Y

p

Y

2

1 Matriz diagonal formada

pelos autovalores em

ordem decrescente

As componentes principais

so no correlacionadas

Varincia total o trao da matriz de covarincia

Conservao da varincia total

PP XT

Y

Relao entre as matriz de covarincia das variveis originais e das

componentes principais

PPTraoTrao XTY A permutao dos elementos de um produto no muda o trao

TXY PPTraoTrao Como os autovetores so ortonormais PTP=I ou PPT=I

XY TraoTrao

pppp

p

p

p

TraoTrao

21

22221

11211

2

1

ppp 221121

Varincia total das p componentes

principais igual a varincia total

das p variveis

1>2>...> p

As primeiras componentes principais concentram a maior parte da

varincia total

Conservao da varincia total

Como 1>2>...> p

X1

X2 Y1

Y2

Varincia total das p componentes principais igual a varincia total das

p variveis

221121

As componentes principais

oferecem uma nova base

vetorial para expressar as

variveis.

Ou seja, mudam apenas o

sistema de referncia e no a

nuvem de pontos.

Nuvem de observaes

Critrios de seleo do nmero de componentes

1) Kaiser ou Mtodo da Raiz Latente: selecionar apenas as

componentes com autovalores maiores que 1

2) Escolha as m (m < p variveis) primeiras componentes

principais que concentrem pelo menos 80% da variabilidade

total das variveis originais. Se m=2, isto significa que o

fenmeno sob estudo pode ser muito simplificado;

3) Scree test grfico dos autovalores.

Scree-plot

1 ou 2 componentes

principais concentram a

maior parte da variao

total

%80%100

1

1

p

i

i

m

i

i

Anlise de componentes principais no R

Comando princomp (EVERITT, 2007)

acp

Aplicar a ACP na matriz de covarincia ou na matriz de correlao?

As variveis do vetor aletrio X podem estar expressas em unidades

fsicas diferentes (m, km, g, kg, l, kl, segundo, minuto, hora,...) e ou terem

varincias muito diferentes.

Como a ACP busca maximizar a varincia ela pode ser sensvel s

diferenas de escala entre as variveis. Para evitar este problema os

dados devem ser expresso em unidades comparveis.

Um forma de expressar os dados em unidades comparveis consiste em

aplicar a ACP s variveis padronizadas:

2

i

iii

S

Xxz

1izVar

A matriz de covarincia das variveis padronizadas a matriz de

correlao. Por esta razo, em geral, recomenda-se aplicar a ACP na

matriz de correlao.

Exemplos

EXEMPLO 1

Exemplo (Johnson & Wichern, 2002): Em um estudo sobre o

tamanho e a forma da carapaa de tartarugas, Jolicoeur &

Mosimann mediram o comprimento (mm), a largura (mm) e a altura

(mm) de 24 tartarugas machos (dados em tartarugas.xls ou em

http://life.bio.sunysb.edu/morph/data/JolicoeurMosimannPaintedTur

tles.html).

comprimento largura altura

93 74 37

94 78 35

96 80 35

101 84 39

102 85 38

103 81 37

104 83 39

106 83 39

107 82 38

112 89 40

113 88 40

114 86 40

116 90 43

117 90 41

117 91 41

119 93 41

120 89 40

120 93 44

121 95 42

125 93 45

127 96 45

128 95 45

131 95 46

135 106 47

Var(comprimento) = 138,77 mm2

Var(largura) = 50,04 mm2

Var(altura) = 11,26 mm2

As expressivas diferenas

nas varincias e os boxplots

indicam a presena de

heterocedasticidade.

Para a aplicao da ACP

interessante homogeneizar a

varincia.

Para esta finalidade as

variveis podem ser

padronizadas ou pode-se

aplicar uma transformao

logartmica

A transformao logartmica faz a homogeneizao das

varincias.

ln comprimento ln largura ln altura

4,5326 4,3041 3,6109

4,5433 4,3567 3,5553

4,5643 4,3820 3,5553

4,6151 4,4308 3,6636

4,6250 4,4427 3,6376

4,6347 4,3944 3,6109

4,6444 4,4188 3,6636

4,6634 4,4188 3,6636

4,6728 4,4067 3,6376

4,7185 4,4886 3,6889

4,7274 4,4773 3,6889

4,7362 4,4543 3,6889

4,7536 4,4998 3,7612

4,7622 4,4998 3,7136

4,7622 4,5109 3,7136

4,7791 4,5326 3,7136

4,7875 4,4886 3,6889

4,7875 4,5326 3,7842

4,7958 4,5539 3,7377

4,8283 4,5326 3,8067

4,8442 4,5643 3,8067

4,8520 4,5539 3,8067

4,8752 4,5539 3,8286

4,9053 4,6634 3,8501

Var( ln(comprimento) ) = 0,01107

Var( ln(largura) ) = 0,0064

Var( ln(altura) ) = 0,0068

4.54.55

4.64.65

4.74.75

4.84.85

4.94.95

5

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

3.55

3.6

3.65

3.7

3.75

3.8

3.85

3.9

3.95

Ln comprimentoLn largura

Ln a

ltura

Matriz de covarincias

S=

Autovetores e autovalores de S

autovetores

1e 2e 3e

autovalores 0,223 0,0006 0,0004

% 96,04 2,47 1,65

% acumulado 96,04 98,51 100

Primeira componente concentra a

maior parte da varincia total

Projeo das observaes na direo de maior variabilidade

iiii altura_Ln5225,0uraargl_Ln5102,0ocompriment_Ln6831,0projeo

5225,0

i

5102,0

i

6831,0

ii altura_Lnuraargl_Lnocompriment_Lnprojeo

5225,0

i

5102,0

i

6831,0

ii alturauraarglocompriment_Lnprojeo

Note que os expoentes so da mesma ordem de grandeza

ii volumefprojeo

1e

i

i

i

alturaLn

uralLn

ocomprimentLn

_

arg_

_

X

A primeira componente principal relaciona-se com o volume da carapaa

da tartaruga

# localiza diretrio onde est o arquivo de dados diretorio

Resultados gerados pelo programa R

Raiz quadrada do auto valor

Parcela da varincia

concentrada na primeira

componente

Autovetor

associado ao

primeiro

autovalor

Parcela da varincia

concentrada na primeira

componente

Resultados gerados pelo programa R

Seleciona escores na

primeira componente

acp$scores[,1]

Escore da i-sima tartaruga na

primeira componente principal =

0,6831 * ( xi1 mdiax1 ) + 0,5102 * ( xi2 mdiax2 ) + 0,5225 * ( xi3 mdiax3 )

Pondera os desvios em relao

mdia pelos elementos do

autovetor que define a primeira

componente principal

Resultados gerados pelo programa R

Biplot nas duas primeiras componentes principais ( 99% da varincia total )

Grfico gerado pelo comando

biplot(acp)

Vetores das variveis apontando

na mesma direo indicam

variveis positivamente

correlacionadas e com

correlaes fortes.

O volume da carapaa da

tartaruga cresce da esquerda

para a direita.

Tartarugas 1, 2 e 3 so as menores

e a tartaruga 24 a maior

Matriz de correlaes

EXEMPLO 2 Oito marcas de coxinha de galinha foram avaliadas por 5 juzes

em relao a 4 atributos: sabor (x1), aroma (x2), qualidade da

massa (x3) e qualidade do recheio (x4).

Cada jurado atribuiu uma nota numa escala ordinal de 1 a 5

sendo que notas maiores indicam melhor qualidade.

(dados em coxinha.xls).

Dados: as notas para cada coxinha

em cada atributo so as mdias dos

cinco avaliadores

Matriz de dados

Matriz de covarincias

Autovetores e autovalores

1 = 1,737 2 = 0,065 3 = 0,027 4 = 0,022

94% 3,5% 1,5% 1%

Y1 = 0,456 x Sabor + 0,223 x Aroma + 0,477 x Massa + 0,717 x Recheio

1 Componente

Primeira componente

concentra a maior parte

da varincia total

Matriz de dados

Y1 = 0,456 x Sabor + 0,223 x Aroma + 0,477 x Massa + 0,717 x Recheio

1 Componente define as ponderaes de um ndice til na

ordenao das coxinhas

Escores das coxinhas na 1

componente principal

Por exemplo, o escore da coxinha M1 igual a:

Y1 = 0,456 x 2,75 + 0,223 x 4,03 + 0,477 x 2,80 + 0,717 x 2,62 = 5,37

EXEMPLO 3 Exemplo (Lattin, Carrol & Green, 2011): Aplicao da anlise de

componentes principais aos valores do produto estadual bruto (GSP

Gross State Product) de cada uma das 13 reas de atividade econmica em 1996 (arquivos gsp_rwa.xls e gsp_share.xls):

Agricultura, silvicultura e pesca Minerao Construo civil Servios urbanos (Eletricidade, gs e saneamento) Indstria (bens durveis) Indstria (bens de consumo) Transporte Comunicaes Comrcio atacadista Comrcio varejista Fiducirio, seguros e setor imobilirio Servios Governo

Estado Agricultura Minerao Const_ Civil Ind_bens_durveisInd_bens_consumo Transporte Comunicaes Serv_Urbanos Com_Atacadista Com_Varejista Fiduciria Servios Governos

AL 2016 1474 4144 10397 11734 2878 2836 3587 6259 9781 12694 15996 15395

AK 355 5424 983 277 884 2921 489 360 710 1576 2584 2871 4728

AZ 1899 1480 6442 12844 3299 3177 2421 3046 6997 11743 21120 22546 14505

AR 2886 570 2240 7242 6656 2470 1332 2361 3469 5729 6453 8344 6664

CA 20564 5776 31656 86522 47657 25133 24501 17501 65857 85443 218439 222748 110900

CO 2053 1936 6219 8939 5286 3796 6595 2565 7355 11274 19815 25161 15231

CT 893 52 4055 13616 7096 2193 2824 2681 8229 9211 35041 27029 11126

DE 290 6 970 1283 4710 462 379 668 1124 1698 10026 4042 2673

FL 6520 787 17031 16523 12763 11193 10933 10170 26417 40362 78695 84406 44696

GA 3801 906 8356 15957 23123 8565 9720 5881 18940 19333 35515 38919 27019

HI 445 28 1753 273 851 1617 1124 992 1446 4192 7768 8077 7752

ID 1744 174 1653 4189 1565 982 439 1021 1689 2774 3431 4548 3691

IL 5052 1282 15476 42026 29418 13905 8677 11447 28507 29877 71023 76832 37257

IN 2735 715 7228 33323 16015 5485 2189 4905 9382 14212 20426 23893 15289

IA 5771 177 3138 10088 8204 2507 1516 2100 5213 6296 10915 11655 8735

KS 2986 983 2838 7095 5356 2633 2417 2290 5311 6540 8608 11360 9597

KY 2438 2448 3752 14244 12589 3678 1453 2801 5565 8472 10733 14293 12944

LA 1488 17973 5086 4475 18514 3995 2276 4419 6451 9502 14709 19054 13201

ME 513 15 1297 2281 3052 676 572 904 1723 3197 5340 5410 3915

MD 1338 100 7216 5830 6486 3038 4123 4146 9046 12514 30573 33229 25552

MA 1212 130 6606 21966 10299 4083 3861 5184 14845 16373 50880 53879 19273

MI 2526 1173 10131 52785 18899 6322 4129 7058 18874 23420 41538 48791 27691

MN 4174 877 6195 15532 11584 5296 2640 2941 11776 12275 25352 27558 15374

MS 1798 507 2192 7313 5895 1813 1334 2857 3150 5630 6474 9032 8410

MO 2621 522 6697 16447 14675 5800 5114 4007 10659 13223 21345 27768 16246

MT 943 903 893 822 608 1008 391 932 1192 1839 2473 3557 2948

NE 4330 114 2097 3315 3347 3193 986 674 3495 3906 7007 8055 6669

NV 406 1969 4495 1687 902 1555 961 1630 2478 5053 9877 17336 5339

NH 252 31 1198 5600 1957 521 582 1486 2113 3098 7566 6617 3088

NJ 1524 128 9675 11954 26031 8889 11285 7366 25132 20221 64187 60211 29773

NM 808 3050 1979 6147 880 1073 708 1480 1823 3800 5937 7468 7545

NY 2780 471 17629 36007 36147 13007 21968 14544 37741 42056 182389 140228 68323

NC 4757 259 8563 20877 34198 5816 4161 6158 13094 18242 29719 31418 26968

ND 1668 482 764 723 461 767 302 626 1377 1427 1989 2741 2374

OH 3331 1134 11753 54395 28273 8809 5703 8994 21535 27984 46511 53989 31941

OK 1531 3879 2332 7431 5156 2702 2017 2570 4421 7267 9064 12634 11762

OR 2590 104 4731 13919 3949 2935 1633 2143 6937 7586 14140 15939 10361

PA 3298 1748 12509 37050 31025 9911 7245 11814 19286 28310 62352 69654 34338

RI 208 19 895 2853 1430 396 642 797 1426 2242 5802 5814 3106

SC 1208 223 4195 9335 14432 2156 1758 3193 5172 9180 11861 13505 13258

SD 2003 251 745 2257 694 637 332 623 1236 1795 4188 3156 2373

TN 1651 399 5527 17466 14777 6816 2798 1461 10396 15368 19450 27633 17005

TX 7327 41278 24138 47434 42291 20283 17481 20672 40239 47953 79020 99282 64431

UT 583 1620 2858 4578 2473 2068 1016 1316 3094 5167 8304 9892 7383

VT 332 46 635 1804 842 325 386 523 890 1416 2607 3043 1762

VA 1952 997 8635 11883 18103 5448 6818 4756 11068 16168 35268 39364 37351

WA 4612 332 7683 13985 6949 5037 5187 2551 11802 15432 29205 33006 23823

WV 240 2980 1720 2680 4036 1244 840 2789 1960 3248 4147 6147 5129

WI 3016 365 5986 22942 15662 4450 2083 3283 8756 12030 22367 23105 15114

WY 361 5323 622 235 731 1083 234 1082 543 1101 1744 1610 2177

Cross-section dos 50 Estados dos EUA em 1996 (valores em milhes de dlares)

diretorio

Matriz de correlaes

No R usar o comando cor(dados)

Considervel correlao positiva entre as variveis Maiores nveis de PIB setorial nos estados maiores e mais desemvolvidos Menores nveis de PIB setorial nos estados menores e menos desenvolvidos Uma boa quantidade de covariao pode ser explicada por um ou dois componentes principais

Resultados da Anlise de Componentes Principais

No R usar os comandos acp

Como pegar os autovetores das componentes ?

autovetor1

Screeplot

No R usar o comando screeplot(acp)

A primeira componente principal a mais importante As demais podem ser descartadas

Biplot

No R usar o comando biplot(acp)

Desenvolvimento econmico

California

New York

Louisiana

Texas

Minerao

A primeira componente principal est associada ao nvel de desenvolvimento econmico do estado

Cross-section dos 50 Estados dos EUA em 1996 (participao dos setores no PIB total)

cada linha soma 100% (o tamanho do estado foi removido) Agricultura Minerao Const_ Civil Ind_bens_durveis Ind_bens_consumo Transporte Comunicaes Serv_Urbanos Com_Atacadista Com_Varejista Fiduciria Servios Governos

AL 2.00 1.50 4.20 10.50 11.80 2.90 2.90 3.60 6.30 9.90 12.80 16.10 15.50

AK 1.50 22.40 4.10 1.10 3.70 12.10 2.00 1.50 2.90 6.50 10.70 11.90 19.60

AZ 1.70 1.30 5.80 11.50 3.00 2.80 2.20 2.70 6.30 10.50 18.90 20.20 13.00

AR 5.10 1.00 4.00 12.80 11.80 4.40 2.40 4.20 6.10 10.20 11.40 14.80 11.80

CA 2.10 0.60 3.30 9.00 5.00 2.60 2.50 1.80 6.80 8.90 22.70 23.10 11.50

CO 1.80 1.70 5.40 7.70 4.50 3.30 5.70 2.20 6.30 9.70 17.00 21.60 13.10

CT 0.70 0.00 3.30 11.00 5.70 1.80 2.30 2.20 6.60 7.40 28.20 21.80 9.00

DE 1.00 0.00 3.40 4.50 16.60 1.60 1.30 2.40 4.00 6.00 35.40 14.30 9.40

FL 1.80 0.20 4.70 4.60 3.50 3.10 3.00 2.80 7.30 11.20 21.80 23.40 12.40

GA 1.80 0.40 3.90 7.40 10.70 4.00 4.50 2.70 8.80 8.90 16.40 18.00 12.50

HI 1.20 0.10 4.80 0.80 2.30 4.50 3.10 2.70 4.00 11.50 21.40 22.20 21.30

ID 6.30 0.60 5.90 15.00 5.60 3.50 1.60 3.70 6.10 9.90 12.30 16.30 13.20

IL 1.40 0.30 4.20 11.30 7.90 3.80 2.30 3.10 7.70 8.10 19.20 20.70 10.00

IN 1.80 0.50 4.60 21.40 10.30 3.50 1.40 3.10 6.00 9.10 13.10 15.30 9.80

IA 7.60 0.20 4.10 13.20 10.80 3.30 2.00 2.80 6.80 8.30 14.30 15.30 11.40

KS 4.40 1.40 4.20 10.40 7.90 3.90 3.60 3.40 7.80 9.60 12.70 16.70 14.10

KY 2.60 2.60 3.90 14.90 13.20 3.90 1.50 2.90 5.80 8.90 11.20 15.00 13.60

LA 1.20 14.80 4.20 3.70 15.30 3.30 1.90 3.60 5.30 7.80 12.10 15.70 10.90

ME 1.80 0.10 4.50 7.90 10.60 2.30 2.00 3.10 6.00 11.10 18.50 18.70 13.50

MD 0.90 0.10 5.00 4.10 4.50 2.10 2.90 2.90 6.30 8.70 21.40 23.20 17.80

MA 0.60 0.10 3.20 10.50 4.90 2.00 1.90 2.50 7.10 7.80 24.40 25.80 9.20

MI 1.00 0.40 3.80 20.00 7.20 2.40 1.60 2.70 7.20 8.90 15.80 18.50 10.50

MN 2.90 0.60 4.40 11.00 8.20 3.70 1.90 2.10 8.30 8.70 17.90 19.50 10.90

MS 3.20 0.90 3.90 13.00 10.50 3.20 2.40 5.10 5.60 10.00 11.50 16.00 14.90

MO 1.80 0.40 4.60 11.30 10.10 4.00 3.50 2.80 7.30 9.10 14.70 19.10 11.20

MT 5.10 4.90 4.80 4.40 3.30 5.40 2.10 5.00 6.40 9.90 13.40 19.20 15.90

NE 9.20 0.20 4.40 7.00 7.10 6.80 2.10 1.40 7.40 8.30 14.80 17.10 14.10

NV 0.80 3.70 8.40 3.10 1.70 2.90 1.80 3.00 4.60 9.40 18.40 32.30 9.90

NH 0.70 0.10 3.50 16.40 5.70 1.50 1.70 4.40 6.20 9.10 22.20 19.40 9.10

NJ 0.60 0.00 3.50 4.30 9.40 3.20 4.10 2.70 9.10 7.30 23.20 21.80 10.80

NM 1.90 7.10 4.60 14.40 2.10 2.50 1.70 3.50 4.30 8.90 13.90 17.50 17.70

NY 0.50 0.10 2.90 5.90 5.90 2.10 3.60 2.40 6.20 6.90 29.70 22.90 11.10

NC 2.30 0.10 4.20 10.20 16.70 2.80 2.00 3.00 6.40 8.90 14.60 15.40 13.20

ND 10.60 3.10 4.90 4.60 2.90 4.90 1.90 4.00 8.80 9.10 12.70 17.50 15.10

OH 1.10 0.40 3.90 17.90 9.30 2.90 1.90 3.00 7.10 9.20 15.30 17.70 10.50

OK 2.10 5.30 3.20 10.20 7.10 3.70 2.80 3.50 6.10 10.00 12.50 17.40 16.20

OR 3.00 0.10 5.40 16.00 4.50 3.40 1.90 2.50 8.00 8.70 16.30 18.30 11.90

PA 1.00 0.50 3.80 11.30 9.40 3.00 2.20 3.60 5.90 8.60 19.00 21.20 10.50

RI 0.80 0.10 3.50 11.10 5.60 1.50 2.50 3.10 5.60 8.70 22.60 22.70 12.10

SC 1.40 0.20 4.70 10.40 16.10 2.40 2.00 3.60 5.80 10.30 13.30 15.10 14.80

SD 9.90 1.20 3.70 11.10 3.40 3.10 1.60 3.10 6.10 8.80 20.60 15.60 11.70

TN 1.20 0.30 3.90 12.40 10.50 4.80 2.00 1.00 7.40 10.90 13.80 19.60 12.10

TX 1.30 7.50 4.40 8.60 7.70 3.70 3.20 3.70 7.30 8.70 14.30 18.00 11.70

UT 1.20 3.20 5.70 9.10 4.90 4.10 2.00 2.60 6.10 10.30 16.50 19.60 14.70

VT 2.30 0.30 4.30 12.30 5.80 2.20 2.60 3.60 6.10 9.70 17.80 20.80 12.10

VA 1.00 0.50 4.40 6.00 9.20 2.80 3.40 2.40 5.60 8.20 17.80 19.90 18.90

WA 2.90 0.20 4.80 8.80 4.40 3.20 3.20 1.60 7.40 9.70 18.30 20.70 14.90

WV 0.60 8.00 4.60 7.20 10.90 3.30 2.30 7.50 5.30 8.70 11.20 16.50 13.80

WI 2.20 0.30 4.30 16.50 11.30 3.20 1.50 2.40 6.30 8.60 16.10 16.60 10.90

WY 2.10 31.60 3.70 1.40 4.30 6.40 1.40 6.40 3.20 6.50 10.40 9.60 12.90

diretorio

Matriz de correlaes

No R usar o comando cor(dados)

Poucas correlaes elevadas. A maioria varia ente 0 e 0,3 sendo algumas negativas. Um nico componente principal pode no ser suficiente para explicar as variaes subjacentes.

Resultados da Anlise de Componentes Principais

No R usar os comandos acp

Como pegar os autovetores das componentes ?

autovetor1

Screeplot

No R usar o comando screeplot(acp)

A maior parte da covariao no explicada por um reduzido nmero de componentes principais.

Biplot

O biplot reflete as especializaes das economias estaduais

Obtendo as coordenadas (escores) dos estados no biplot

score_cp1< acp$scores[,1]

score_cp2< acp$scores[,2]

EXEMPLO 4

Exemplo (Sousa & Oliveira, 2014):Ranking dos atacantes do

Campeonato Brasileiro Srie A 2013

Dados: Cartola FC http://globoesporte.globo.com/cartola-fc

141 atacantes descritos por 8 variveis

Nmero de gols (+) Passes errados (-) Assistncias (+) Finalizaes na trave (+) Finalizaes defendidas (+) Finalizaes para fora (+) Impedimentos (-) Penalties perdidos (-)

# diretrio de trabalho

setwd("c:/curso_R_2014")

dados=read.csv("jogadores.csv",sep=";",header=T)

p=dim(dados)[2]

# Matriz de dados X

X=dados[,2:p]

rownames(X)=dados[,1]

# dimenses da matriz X

dim(X)

# variveis na matriz X

names(X)

Leitura da matriz de dados

# primeiras seis linhas da matriz de dados

head(X)

cor(X) Matriz de correlaes

Execuo da ACP # faz a ACP

resultado=princomp(X,cor=T,score=T)

summary(resultado)

# scree plot

plot(resultado)

As duas primeiras componentes

principais concentram 75% da

varincia total

names(resultado)

# coeficientes das componentes principais (autovetores)

resultado$loadings

A primeira componente est associada ao desempenho de um atacante

A segunda componente est associada com penalties perdidos

Resultados

Resultados

# grfico dos coeficientes das duas primeiras componentes

plot(resultado$loadings)

text(resultado$loadings,names(X))

Mehor desempenho

Mais

penalties

perdidos

Resultados

# scores dos jogadores nas componentes principais

resultado$scores

Resultados

# jogadores nas duas primeiras componentes principais

plot(resultado$scores)

text(resultado$scores,rownames(X))

-2 0 2 4 6 8

02

46

Comp.1

Co

mp

.2

Rafael Sobis (Fluminense)

Ederson (Atletico PR)

Fred (Fluminense)

Leandro Damiao (Internacional)

Maxi Biancucchi (Vitoria)Lins (Criciuma)

Rafael Marques (Botafogo)

Barcos (Gremio)

Dagoberto (Cruzeiro)

Forlan (Internacional) Hernane (Flamengo)

Borges (Cruzeiro)Luis Fabiano (Sao Paulo)

Andr? (Vasco)

William (Ponte Preta)

Alexandre Pato (Corintihians)

Deivid (Coritiba)

Diego Tardelli (Atletico MG)

Luan (Atletico MG)

Fernandao (Bahia)Carlos Tenorio (Vasco)

Rog?rio (Nautico)Emerson (Corintihians)

Maikon Leite (Nautico)Scocco (Internacional)

Thiago Ribeiro (Santos)

Willian (Cruzeiro) Marquinhos (Vitoria)

Kleber (Gremio)

Vargas (Gremio)Jo (Atletico MG)

Dinei (Vitoria)

William Henrique (Vitoria)

Fernandinho (Atletico MG)Marcelo (Atletico PR)

Osvaldo (Sao Paulo)

Marquinhos Gabriel (Bahia)

Samuel (Fluminense)

Chiquinho (Ponte Preta)

Rafinha (Flamengo)

Paolo Guerrero (Corintihians)

Alosio (Sao Paulo)

Wallyson (Bahia)

Romarinho (Corintihians)

Giva (Santos)

Walter (Goias)

Rildo (Ponte Preta)Jorge Henrique (Internacional)

Rhayner (Fluminense)Wellington Paulista (Criciuma)

Edmlson (Vasco)Gilberto (Portuguesa)

Luan (Cruzeiro)Julio Cesar (Coritiba)

Neilton (Santos)

Hyuri (Botafogo)Roger (Atletico PR)

Anselmo Ramon (Cruzeiro)

Paulinho (Flamengo)

Elias (Botafogo)

Marcelo Moreno (Flamengo)

Martinuccio (Cruzeiro)

Rafael Moura (Internacional)

Dellatorre (Atletico PR)Wiliam Barbio (Bahia)

Bergson (Portuguesa)Leonardo (Ponte Preta)Bruno Moraes (Portuguesa)

Guilherme (Atletico MG)

Vincius Araujo (Cruzeiro)Alecsandro (Atletico MG)

Jones Carioca (Nautico)Andr? Lima (Vitoria)Silvinho (Sao Paulo)

Ademilson (Sao Paulo)

Willian Jos? (Sao Paulo)

Nixon (Flamengo)Lucca (Cruzeiro)Caio (Internacional)Reginaldo (Vasco)

Welliton (Sao Paulo)Denilson (Fluminense)

Marcel (Criciuma)

Everton Costa (Santos)Neto Berola (Atletico MG)

Diogo (Portuguesa)

L?o Bonatini (Goias)Bruno Mendes (Botafogo)

Alemao (Vitoria)Henrique (Botafogo)

Junior Vicosa (Goias)Fabinho (Goias)Romulo (Vitoria)Victor Andrade (Santos) Obina (Bahia)Araujo (Goias)Hugo (Nautico)Bruninho (Flamengo)

Souza (Bahia)

Olivera (Nautico)Michel (Portuguesa)

Biro (Fluminense)Sass (Botafogo)Thalles (Vasco) Willie (Vasco)Keirrison (Coritiba)Weldon (Criciuma)

Marcos (Fluminense)Douglas (Atletico PR) Henrique (Portuguesa)Kenedy (Fluminense)

Adailton (Ponte Preta)Marcelinho (Fluminense)Alex (Botafogo)Joao Paulo (Nautico)Douglas (Criciuma)Erik (Goias)Bill (Coritiba)Paulo (Goias)Romao (Portuguesa)Welinton Junior (Goias)Negueba (Flamengo)

Maiquinho (Coritiba)

Geraldo (Coritiba)Yuri Mamute (Gremio)Saullo (Nautico)Paulinho (Gremio)Pedro Oldoni (Vitoria)Rafael Ratao (Ponte Preta)Paulo Victor (Corintihians)Lucas Coelho (Gremio)Nelson (Portuguesa)Bruno Lopes (Criciuma)Zizao (Corintihians)Mike (Internacional)Robinho (Vasco)Carlos (Atletico MG)Cassiano (Criciuma)Elder Santana (Atletico MG)Ciro (Atletico PR)Flecha Arraya (Portuguesa)

Resultados

# 10 melhores atacantes no ranking por ACP

sort(resultado$scores[,1],decreasing=T)[1:10]

# 10 piores atacantes no ranking por ACP

sort(resultado$scores[,1],decreasing=F)[1:10]

Comparao com o Trofu Armando Nogueira

Sousa & Oliveira (2014)

Artilheiro do campeonato com 21 gols

Vice artilheiro com 16 gols

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