Transformações em Sistemas Elétricos de Potência: Análise ...
Análise de Sistemas de Potência III_120511
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SumrioCAPTULO 1 - MTODOS DE OTIMIZAO APLICADOS A SISTEMAS DE POTNCIA ................................................................................................................... 6
1. INTRODUO ..................................................................................................... 62. PROBLEMAS DE OTIMIZAO COM RESTRIES ....................................... 63. DESPACHO ECONMICO DE UNIDADES TRMICAS .................................... 9
3.1 Despacho Desprezando as Perdas na Transmisso ................................... 93.2 Algoritmo de Soluo .................................................................................. 123.3 Despacho Considerando as Perdas na Transmisso ................................ 15
4. PROGRAMAO DA GERAO TRMICA .................................................... 174.1 Reserva Girante .......................................................................................... 194.2 Restries Operacionais ............................................................................. 204.3 Mtodos de Soluo ................................................................................... 21
5. COORDENAO HIDROTRMICA .................................................................. 325.1 Programao da Operao Hidrotrmica de Mdio Prazo ......................... 335.2 Estratgia Baseada na Curva Limite .......................................................... 345.3 Estratgia Baseada no Valor Marginal da gua ......................................... 345.4 Planejamento da Operao Hidrotrmica de Curto Prazo ......................... 35
6. FLUXO DE POTNCIA TIMO ......................................................................... 536.1 Formulao do Problema ........................................................................... 546.2 Fluxo de Potncia timo Linearizado ......................................................... 58
7. REFERNCIAS ................................................................................................. 698. ANEXO .............................................................................................................. 70
CAPTULO 2 - REPRESENTAO DE CONTROLES E LIMITES NOS PROGRAMAS DE FLUXO DE POTNCIA .......................................................... 74
1. INTRODUO ................................................................................................... 742. MODOS DE REPRESENTAO ...................................................................... 75
2.1 Ajustes Alternados ...................................................................................... 75
-
2.2 Representao do Limite de Injeo de Reativo nas Barras PV ................ 762.3 Limites de Tenso em Barras PQ ............................................................... 782.4 Transformadores com Ajuste Automtico de Tap ...................................... 802.5 Transformadores Defasadores com Controle Automtico de Fase ............ 822.6 Controle de Intercmbio entre reas .......................................................... 832.7 Controle de Tenso em Barras Remotas ................................................... 85
3. REFERNCIAS ................................................................................................. 86CAPTULO 3 - ESTIMAO DE ESTADOS EM SISTEMAS ELTRICOS DE POTNCIA ................................................................................................................. 87
1. INTRODUO ................................................................................................... 871.1 Estados Operativos da Rede ...................................................................... 88
2. MODERNOS CENTROS DE OPERO DE SISTEMAS ................................. 892.1 Centro de Operao de Sistemas - COS ................................................... 892.2 Principais Funes Executadas no COS .................................................... 902.3 Centro de Operao de Distribuio - COD ............................................... 91
3. PRINCIPAIS CARACTERSTICAS DOS ESTIMADORES DE ESTADOS EM SEP ........................................................................................................................... 944. APLICAO DOS RESULTADOS DA ESTIMAO DE ESTADOS EM SEP . 955. CLASSIFICAO DOS ESTIMADORES DE ESTADOS .................................. 956. MNIMOS QUADRADOS PONDERADOS (MQP) ABORDAGEM CLSSICA 967. ESTIMADOR DE ESTADOS LINEARIZADO (DC) .......................................... 100
7.1 Consideraes Iniciais .............................................................................. 1007.2 Hipteses Simplificadoras ........................................................................ 1007.3 Estrutura de Dados do Estimador DC ...................................................... 1017.4 Modelo de Medio Linearizado ............................................................... 1037.5 Soluo do Estimador de Estados DC ..................................................... 103
8. ESTIMADOR DE ESTADOS NO-LINEAR .................................................... 1068.1 Modelo No-Linear de Medio ................................................................ 106
-
8.2 Soluo do Mtodo MQP Aplicado ao Problema de Estimao de Estados em SEP ............................................................................................................... 1078.3 O mtodo de Gauss-Newton .................................................................... 1078.4 Estrutura de Dados do Estimador CA ....................................................... 109
9. ESTIMADORES DE ESTADOS DESACOPLADOS ........................................ 1219.1 Estimadores Desacoplados no Algoritmo ................................................. 1239.2 Estimadores Desacoplados no Modelo .................................................... 123
10. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................. 125CAPTULO 4 - ANLISE DE CONTINGNCIAS EM SISTEMAS ELTRICOS DE POTNCIA ................................................................................ 126
1. INTRODUO ................................................................................................. 1262. ANLISE DE ALTERAES EM REDES ELTRICAS MTODOS DE COMPENSAO .................................................................................................... 128
2.1 Pr-Compensao .................................................................................... 1302.2 Ps-Compensao ................................................................................... 1312.3 Compensao Intermediria ..................................................................... 131
CAPTULO 5 - ANLISE DE SENSIBILIDADE ............................................... 1351. INTRODUO ................................................................................................. 1352. MODELO MATEMTICO PARA ANLISE DE SENSIBILIDADE ................... 135
2.1 Matrizes de Sensibilidade ......................................................................... 1372.2 Soluo da Equao Matricial de Sensibilidade ....................................... 138
3. DETERMINAO DAS GRANDEZAS FUNCIONAIS ..................................... 140CAPTULO 6 PREVISO DE CARGA EM SISTEMAS ELTRICOS DE POTNCIA ............................................................................................................... 145
1. INTRODUO ................................................................................................. 1452. CARACTERSTICAS DAS CARGAS EM SISTEMAS DE ELTRICOS DE POTNCIA .............................................................................................................. 146
2.1 Fatores Temporais .................................................................................... 1462.2 Fatores Meteorolgicos ............................................................................ 1472.3 Fatores Aleatrios ..................................................................................... 147
-
2.4 Fatores Determinsticos ............................................................................ 1473. MODELOS DE CARGA ................................................................................... 148
3.1 Modelo de Pico de Carga ......................................................................... 1483.2 Modelo de Curva de Carga ....................................................................... 148
4. TCNICAS DE PREVISO DE CARGA .......................................................... 1494.1 Mtodos Convencionais ........................................................................... 1504.2 Mtodos No Convencionais .................................................................... 152
5. REFERNCIAS ............................................................................................... 153
-
CAPTULO 1 - MTODOS DE OTIMIZAO APLICADOS A SISTEMAS DE POTNCIA
1. INTRODUO
Este captulo aborda a aplicao de mtodos de otimizao na resoluo de problemas tpicos da rea de sistemas de potncia, tais como: despacho econmico de unidades de gerao trmica; programao da gerao trmica; coordenao hidrotrmica e fluxo de potncia timo.
Primeiramente, feita uma breve reviso sobre o mtodo de Lagrange aplicado soluo de problemas de otimizao com restries. Em seguida, esses conceitos so estendidos aos problemas de despacho econmico da gerao trmica e coordenao hidrotrmica.
Por fim, faz-se uma breve apresentao do problema de fluxo de potncia timo (FPO) em linhas gerais, para em seguida apresentar a formulao do problema de FPO,utilizando o modelo linearizado (DC) para representao das equaes de fluxo de potncia nas redes de transmisso.
2. PROBLEMAS DE OTIMIZAO COM RESTRIES
Em diversos problemas relacionados aos sistemas de potncia, comumente, so encontradas funes que devem ser otimizadas (i.e., encontrar os pontos de mximo ou mnimo). Uma vez que o objetivo maximizar ou minimizar uma determinada funo matemtica, essa funo usualmente denominada de funo objetivo. As funes de restrio ou simplesmente os limites das variveis do problema so agrupadas como restries do problema. A regio definida pelas restries chamada de regio factvel do problema. Se as restries so tais que no h uma regio factvel, isto , no h valores para as variveis independentes que satisfaam simultaneamente todas as equaes de restrio, o problema de otimizao no tem soluo factvel.
Antes de dar incio formulao de problemas de otimizao em sistemas de potncia, considere o problema de otimizao apresentado em (1.1).
, 0,25 :
, 5 0
(1.1)
O problema de otimizao mostrado em (1.1) pode ser graficamente representado conforme ilustra a Figura 1.1.
-
Podeinterstamb. ConsfunpontoNoteportano pdifereda fucompperpedesteque ponto
Figura 1.1
e-se observseo da f
bm que o
sidere, agoo nas pros ( , ),
e que no pranto, tem vaponto (, ente de zeruno objetponente doendicular ae ponto. Pao gradienteo de vista m
1: Represent
var pela Figfuno elpponto de t
ra, a Figuraroximidades(, ) e (imeiro pontalor diferen) perpero na direivo. Portant
o gradiente , logo n
ara garantir e de e o gmatemtico,
Figura 1.2
tao grfica
gura 1.1 quptica para timo ocorre
a 1.2, na qus do ponto , ), repto (, ), onte de zero endicular a o de impto, para minprojetado eo h como que o grad
gradiente d, isso pode
2: Gradientes
a da funo o
ue o timo 5 e a
e onde a fun
ual se mostimo e os
presentadoso gradiente na direo, mas n
plica que mnimizar deem . No p
melhorar odiente de de g sejam ser express
0
s nas proxim
objetivo e da
o do problea equao no de res
tram algumgradientes
s na figura perpend
o de . Semo a . O over nessaeve-se camonto timo
o valor da fu(i.e. ) sevetores lineso da segui
idades do po
equao de
ma de otimde restri
strio ta
mas elipses das funepor , icular a ,
melhantemecomponen
a direo auinhar em se(, ), o g
uno objeteja perpendearmente dinte forma:
onto timo.
e restrio.
mizao eso (). Nongente fu
para valorees e pa e mas no a
ente, o gradnte do gradumentar o entido oposgradiente dtivo movendicular a ,
dependente
7
t na ota-se uno
es da ara os , . , e,
diente diente
valor sto ao e do-se basta s. Do
(1.2)
-
8
O escalar conhecido como multiplicador de Lagrange. O problema de otimizao mostrado em (1.1) pode, ento, ser reformulado utilizando o multiplicador de Lagrange.
Lx, , , , (1.3)
A expresso (1.3) chamada de equao de Lagrange. Ao encontrar o timo da equao , , , isto , os pontos extremos (, ), encontra-se automaticamente o valor correto de . Para que a condio imposta pela equao (1.2) seja satisfeita, basta que as derivadas parciais da funo de Lagrange sejam igualadas a zero.
L 0 0 0
(1.4)
Para ilustrar como o processo descrito anteriormente funciona, considere novamente o problema dado pela equao (1.1). Utilizando a funo de Lagrange, o problema pode ser reescrito da seguinte forma:
, , 0,25 5 Tomando as derivadas parciais da funo de Lagrange e igualando-as a zero, tem-se:
0,5 0
2 0
5 0
Note que a derivada da funo de Lagrange em relao equivale equao de restrio. Finalmente, resolvendo o sistema de equaes anteriormente mostrado, chega-se a:
4; 1 2
-
3. D
3.1
Consque a
Mate
Na eunida
A dimultipode
As cderiv e
DESPAC
Despac
sidere um salimenta um
ematicamen
equao (1ade gerado
stribuio iplicadores em ser com
condies nvadas parcia) sejam tod
HO ECO
ho Desp
sistema coma carga
Figura 1
nte, o proble
.5) o termora e tem a s
tima da cde Lagrangbinadas na
necessriasais da fundas iguais a
ONMICO
rezando
mposto por, conforme
.3: N unidad
ema pode s
F
o reseguinte ca
carga entrege. Nesse seguinte fu
,
s para que o de Lagraa zero.
O DE UN
o as Perd
r unidad ilustra a Fi
des trmicas
ser formulad
0
presenta aaracterstica
e os geradcaso, a fun
uno de La
o timo daange em re
IDADES
das na Tr
es trmicasgura 1.3.
suprindo um
do como se
0
a funo cua:
dores pode no objetivagrange:
a funo seelao s va
TRMIC
ransmiss
s conectad
ma carga.
segue:
usto de pro
ser obtidavo e a fun
eja encontraariveis ind
CAS
so
das a uma
oduo de
a por meioo de res
rado so qudependentes
9
barra
(1.5)
(1.6)
cada
(1.7)
o dos trio
(1.8)
ue as s (i.e.
-
10
,
0
, 0
(1.9)
Adicionalmente, os limites mximo e mnimo de gerao podem ser adicionados ao problema. Sendo assim, o problema passa a ser formulado pelo conjunto de equaes e inequaes a seguir.
N equaes
2Ninequaes
1 restrio de igualdade
(1.10)
As inequaes anteriores podem ser expandidas nas seguintes condies:
para
para
para
(1.11)
Exemplo 3.1:
Determine o despacho timo de 3 unidades trmicas utilizadas para suprir uma carga de 850 MW.
Dados das unidades
Tabela 1.1: Dados do sistema do exemplo 3.1. Unidade Curva Caracterstica H(P)
[MBtu/h] Custo de operao
[$/MBtu] Limites operacionais
[MW] U1 0,00142 7,2 510,0 1,1 150 600 U2 0,00194 7,85 310,0 1,0 100 400 U3 0,00482 7,97 78,0 1,0 50 200
Soluo:
O primeiro passo obter a funo custo de produo para cada unidade. Para tal, basta que o custo de operao seja multiplicado pela funo de consumo . Sendo assim, tem-se:
Gerador 1: 0,001562 7,92 561,0
-
11
Gerador 2: 0,00194 7,85 310,0 Gerador 3: 0,00482 7,97 78,0 Em seguida, aplicando-se as condies impostas pela equao (9), tem-se:
0,003124 7,92 0
0,00388 7,85 0
0,00964 7,97 0
850 0
Resolvendo-se o sistema de equaes acima, chega-se a:
393,2MW; 334,6MW; 122,2MW 9,148$/MWh Nota-se que todas as potncias geradas esto dentro dos limites mximo e mnimo.
Exemplo 3.2:
Suponha, agora, que o custo de operao da unidade 1 tenha baixado para 0,9 $/MBtu. Sendo assim, a funo custo para o gerador 1 torna-se:
0,001278 6,48 459 Resolvendo o sistema de equaes dado pela expresso (9), obtm-se:
705,7MW; 111,8MW; 32,50MW 8,283$/MWh Nota-se que essa soluo satisfaz restrio do equilbrio entre gerao e carga, mas viola os limites dos geradores 1 e 3.
Para adequar a soluo, coloca-se o gerador 1 gerando no mximo, o gerador 3 gerando no mnimo e o restante da potncia sendo gerada pelo gerador 2. Sendo assim, o despacho torna-se:
600MW; 200MW 50MW Do conjunto de restries dado em (11), verifica-se que o custo incremental do sistema ( deve ser igual ao custo incremental do gerador 2, uma vez que a potncia nesse gerador est dentro dos limites mximo e mnimo. Sendo assim:
8,626$/MWh
O prximo passo verificar os custos incrementais dos geradores 1 e 3.
-
12
8,016$/MWh
8,452$/MWh
Nota-se que o custo incremental do gerador 1 ( 8,016$/MWh) menor que 8,626 $/MWh, logo a unidade 1 deve realmente gerar no seu limite mximo. Entretanto, o custo incremental da unidade 3 ( 8,452$/) menor que 8,626 $/MWh, o que implica que a unidade 3 no deve gerar no mnimo. Portanto, as unidades 2 e 3 devem ser redespachadas. Isso significa ter que resolver o seguinte sistema de equaes:
600 0,00388 0
0,00964 0
850 0 Resolvendo o sistema de equaes anterior, obtm-se:
187,1MW; 62,9MW 8,576$/MWh Observe que esse despacho satisfaz s condies dadas em (11), pois:
8,016$/MWh
menor que 8,576$/MWh e
8,576
3.2 Algoritmo de Soluo
O mtodo de soluo mostrado anteriormente, embora seja simples, no muito prtico para ser desenvolvido computacionalmente. Por esse motivo, nessa subseo, as equaes sero reorganizadas de uma maneira mais fcil, para que elas possam ser utilizadas em um processo iterativo de busca pela soluo tima.
Como mostrado anteriormente, a funo de custo de produo do gerador dada por um polinmio de segunda ordem. Na condio de otimalidade, tem-se que:
2 0
(1.12)
-
13
da qual se obtm:
2 (1.13)
Substituindo a equao (1.13) na equao de equilbrio entre gerao e carga, tem-se:
2
0
(1.14)
Aps algumas modificaes, a equao (1.14) pode ser posta na forma a seguir:
2 1 1
0
(1.15)
As equaes (1.13) e (1.15) podem ser utilizadas alternadamente em um processo iterativo para resolver o problema de despacho timo, conforme ilustrado na Figura 1.4.
-
14
Incio
Sim Pi < Pi
Min
Sim Pi > Pi
Max
No
A
Max Sim Problema no convergiu
|fNo Soluo encontrada
Pi = PiMin
Pi = PiMax
Calcular:Piii
Calcular:
ltimo gerador
B
B
N
fPL Pi i=1
Calcular:f
f
k=k+1
-
Ler dados:Nmero de geradores: NLimites dos geradores: P e P M ax M in
Coefic ientes da funo custo: , e Carga: PLCusto inc remental inic ial: 0Nmero mximo de iteraes: NM ax
Tolernc ia:
Figura 1.4: Algoritmo de soluo.
O valor do custo incremental () pode ser corrigido utilizando-se o mtodo de Newton, ou seja, nas proximidades da soluo, a funo dada por (1.15) pode ser linearizada, conforme se mostra em (1.16).
0 (1.16)
-
15
da qual se obtm
(1.17)
em que a derivada da funo (1.15) e igual a:
1
(1.18)
Portanto, a cada iterao, o valor de dado por .
3.3 Despacho Considerando as Perdas na Transmisso
Quando as perdas no sistema de transmisso so includas no problema de despacho timo, aumenta-se um pouco a complexidade do problema. A funo objetivo continua sendo a mesma mostrada em (1.5), porm a restrio do equilbrio entre gerao e carga deve, agora, levar em conta as perdas nas linhas de transmisso. Sendo assim, a nova restrio passa a ser:
0
(1.19)
O mesmo procedimento seguido para obter as condies necessrias para garantir a otimalidade do problema, ou seja:
e
1
0
(1.20)
0
As perdas so expressas em funo da potncia de cada gerador conforme mostrado em (1.21).
-
16
(1.21)
Uma maneira fcil de resolver esse problema utilizar o algoritmo anterior, substituindo a equao (1.13) pela equao (1.22).
2 (1.22)
Alm da substituio da equao (1.13) pela equao (1.22), as perdas devem ser calculadas utilizando-se os valores mais recentes de e inclu-las na equao de equilbrio entre gerao e carga, conforme a segunda equao da expresso (1.20).
A Figura 1.5 resume os passos necessrios para solucionar o problema de despacho timo de geradores trmicos considerando as perdas na transmisso.
Exemplo 3.3:
Considere novamente as unidades do exemplo 1 sendo utilizadas para suprir uma carga de 850 MW. Suponha agora que as perdas na transmisso so dadas por:
0,00003 0,00009 0,00012 A tabela seguir resume os passos do algoritmo apresentado na Figura 1.6, considerando que o custo incremental inicial foi de 9,52.
Tabela1.2: Resultados para o exemplo 3.3. Iterao
0 9,5200 432,9942 298,5555 129,9812 15,6741 4,1433 1 9,5281 435,1186 299,9188 130,6360 15,8234 0,1500 2 9,5284 435,1955 299,9681 130,6597 15,8288 0,0054
-
Figu
4. P
Gera(em maioacordque ligadtal si
Exem
Trs para 1.6.
ura 1.5: Algo
PROGRA
almente, nofuno das
or parte da do com os durante os
das e desligtuao, con
mplo 4.1:
geradoressuprir uma
Gerador Gerador 1 Gerador 2 Gerador 3
oritmo de solu
AMAO
s sistemas s atividadespopulao dias da sem dias normadas ao lon
nsidere o ex
s trmicos, a carga que
TabelaMax (MW)
600 400 200
uo do prob
O DA GER
eltricos ds comerciaiest dorm
mana. Normais. Por qungo do dia xemplo a se
cujos dadoe varia entre
a 1.3: Dados Min (MW)
150 100 50
blema de destransmisso
RAO T
e potncia,is e industrindo). Adic
malmente, nuestes ecode acordo ceguir.
os so mose 500 e 120
dos geradorFuno 510 7,2310 7,8578 7,97
spacho timoo.
TRMICA
a carga toriais) e baixionalmentenos finais donmicas, acom a varia
strados na 00 MW, con
res do exemHi(Pi) (MBtu2 0,001425 0,00197 0,00482
o consideran
A
otal elevadxa ao anoit, a carga tae semana aas unidadesao da car
Tabela 1.3nforme mos
plo 4.1. u/h) Custo2 94 2
ndo as perda
da durante tecer (quanambm vara carga ms geradorasrga. Para ilu
3, so utilizstrado na F
o (R$/MBtu)0,9 1,0 1,2
17
as na
o dia ndo a ria de menor s so ustrar
zados Figura
-
Detedia s
Solu
A fimunidacombMW,segu
As liprodprog
De 5
De 6
De 7
De 1
ermine a proseguinte.
uo:
m de se obades devebinaes da desde 500
uir.
nhas destauo. Obseramao do
500 e 600 M
650 a 700 M
750 a 1000 M
050 a 1200
Figu
ogramao
bter a progro ser ligas trs unid0 at 1200
acadas em ervando-se os geradore
MW, apenas
MW, os gera
MW, os ger
0 MW, todos
TaCarga
500
550
600
ura 1.6: Curva
das unidad
gramao dgadas/desligdades para cMW. As po
amarelo reos dados d
es:
s o gerador
adores 1 e 3
radores 1 e
s os gerado
abela 1.4: PrG1 (MW) G2
500 450 400 350
0 550 500 450 400
0 600 550 500
a de carga p
des para o p
das unidadegadas, podcada valor
ossveis com
eferem-se da tabela a
1 despac
3 so despa
2 so desp
ores so de
rogramao 2 (MW) G3 (
0 00 5
100 0100 5400 10
0 00 5
100 0100 5400 15
0 00 5
100 0
para o exemp
perodo de 4
es, isto , de-se enumda curva dembinaes
soluo seguir po
chado;
achados;
pachados;
spachados
dos geradoreMW) Custo0 40
50 420 43
50 4500 480 44
50 460 47
50 4950 540 48
50 490 51
plo 4.
4:00 h PM
em que mmerar todae carga em so mostra
com menoossvel ident
.
es. o Total $/h 018,50 220,10 369,90 584,20 868,20 406,95 604,80 748,20 956,10 418,70 807,10 995,90 32,90
s 4:00 h P
momento e as as poss
intervalos dadas na tab
or custo tottificar a seg
18
PM do
quais sveis de 50
bela a
tal de guinte
-
19
450 100 50 5334,50 0 400 200 5998,10
650 600 0 50 5393,30 550 100 0 5524,00 500 100 50 5719,20
700 600 0 100 5914,90 600 100 0 5921,50 550 100 50 6110,30
750 600 150 0 6338,20 600 0 150 6465,40 600 100 50 6507,70
800 600 200 0 6764,70 600 150 50 6924,50 600 0 200 7044,80
850 600 250 0 7200,80 600 200 50 7350,90
900 600 300 0 7646,70 600 250 50 7787,10
950 600 350 0 8102,20 600 300 50 8232,90
1000 600 400 0 8567,50 600 350 50 8688,50
1050 600 400 50 9153,70 1100 600 400 100 9675,30 1150 600 400 150 10226,00 1200 600 400 200 10805,00
Esse um exemplo simples de programao da gerao, no qual as nicas restries atendidas so o nvel de carga e os limites dos geradores. As subsees seguintes abordam as demais restries que devem ser levadas em conta na programao da gerao.
4.1 Reserva Girante
O termo reserva girante utilizado para designar o montante total de gerao disponvel de todas as unidades sincronizadas (i.e. que esto girando), menos a carga suprida e as perdas. O montante de reserva girante deve ser tal que a perda de uma ou mais unidades sincronizadas no cause alteraes na frequncia do sistema nem ocasione corte de carga. Geralmente, o nvel de reserva girante especificado com base em um conjunto de regras que define quanto de reserva dever ser deixado em cada unidade geradora.
Historicamente, uma regra muito utilizada pelos operadores dos sistemas de potncia especificar o montante de reserva girante como um percentual da carga pico do sistema, ou uma quantidade equivalente maior unidade geradora sincronizada. Outra forma de especificar a reserva girante com base no risco de no haver gerao suficiente para atender a carga.
-
20
A reserva girante no deve somente ser suficiente para cobrir a perda de unidades geradoras, mas deve ser adequadamente distribuda entre as unidades com tempo rpido de resposta (i.e., que podem ser sincronizadas em poucos minutos) e unidades lentas (que levam dezenas de horas para serem sincronizadas). Isso permite que o controle automtico de gerao restaure a frequncia do sistema e mantenha os intercmbios de potncia ativa entre reas, caso ocorra a perda de unidades sincronizadas.
4.2 Restries Operacionais
As unidades trmicas requerem uma equipe de operadores responsveis pelo controle das mesmas, principalmente quando elas precisam ser ligadas ou desligadas. As unidades trmicas suportam apenas variaes pequenas de temperatura, o que implica em um perodo longo (da ordem de algumas horas) para que a unidade esteja pronta para suprir carga. Como resultado, algumas restries operacionais de uma central de gerao termeltrica devem ser levadas em considerao no processo de programao da gerao:
Tempo mnimo de parada (minimum up time): quando uma unidade trmica est em operao a mesma no pode ser desligada instantaneamente.
Tempo mnimo de partida (minimum down time): quando uma unidade est desligada, necessrio um tempo mnimo para que ela seja posta em operao.
Disponibilidade de mo-de-obra: se uma central de gerao termeltrica composta por duas ou mais unidades geradoras, essas unidades no podem ser
ligadas/desligadas simultaneamente se no houver operadores suficientes para
atender a todas as unidades.
Adicionalmente, as unidades trmicas necessitam de certa quantidade de energia trmica para vencer a inrcia das massas girantes, a qual no convertida em energia eltrica. Essa quantidade inicial de energia considerada nos estudos de programao da gerao como custo de partida da unidade geradora (start-up cost).
O custo de partida das unidades trmicas pode variar desde um valor mximo, quando a unidade posta em operao com a caldeira fria (cold start) at valores consideravelmente menores, quando a unidade posta em operao poucos instantes aps ter sido desligada, e ainda se encontra com a temperatura prxima ao ponto de operao. Esses dois custos podem ser aproximadamente estimados pelas equaes (1.23) e (1.24).
Custo de partida a frio (cooling):
1 (1.23)
-
21
Custo de partida a quente (baking):
(1.24)
em que:
Energia trmica necessria para a partida a frio (MBtu); Energia trmica necessria para manter a unidade geradora na temperatura de operao (MBtu/h);
custo do combustvel; Custo fixo (incluindo gastos com mo-de-obra, manuteno etc.); constante trmica da unidade geradora; - tempo durante o qual aunidade permaneceu desligada.
4.3 Mtodos de Soluo
O problema de programao da gerao bem complexo. Para ter uma ideia da dimenso do problema, considere um sistema formado por unidades geradoras trmicas que devem ser programadas para suprir uma carga durante um perodo dividido em intervalos. Ento, enumerando as possveis combinaes de geradores que devem ser examinadas em cada intervalo, tem-se:
, 1 , 2 , 1 , 2 1
em que , representa a combinao de item de maneiras diferentes. Para um total de intervalos, o nmero mximo de combinaes se torna 2 1, o que pode ser extramente grande dependendo do nmero de unidades geradoras e da quantidade de intervalos. Por exemplo, para um perodo de 24 horas, dividido em intervalos iguais de 1 hora, e 5 unidades geradoras seriam analisadas 6,2 1035 possibilidades.
4.3.1 Mtodo da Lista de Prioridades
Um modo bastante simples de fazer a programao das unidades consiste em construir uma lista de prioridade para as unidades geradoras. Essa lista pode ser obtida com base no custo incremental das unidades para a condio de carregamento mximo, ou seja:
-
22
(1.25)
Para ilustrar, considere novamente as unidades do exemplo 4, para as quais o custo mdio mostrado a seguir:
Tabela 1.5: Custo Mdio de Produo. Gerador Custo Mdio ($/MWh)
1 8,0136 2 9,4020 3 11,8776
Ento, seguindo fielmente a lista de prioridade anterior, as unidades so despachadas na ordem 1, 2 e 3.
Os passos seguintes podem ser utilizados para programar a gerao trmica, utilizando o mtodo da lista de prioridade.
i. A cada hora, quando a carga estiver decrescendo, determine a prxima
unidade da lista de prioridade que poder ser desligada, sem afetar a carga
mais os requisitos de reserva girante;
ii. Determine o nmero de horas H, decorrido desde o instante que a unidade foi
desligada at o momento em que ela entrar em operao novamente
(considerando que a carga esteja decrescendo, mas se elevar algumas horas
frente);
iii. Se H menor que o tempo mnimo de partida, mantenha a unidade em
operao, seno, v para o passo (iv);
iv. Calcule trs custos de produo: a) soma dos custos de produo horrio para
as prximas H horas considerando que a unidade esteja em operao; b) soma
dos custos de produo horrio considerando que a unidade foi desligada mais
o custo de partida a frio da unidade (cooling); c) idem ao (b), porm utilizando o
custo de partida a quente (baking). Se o custo de desligar a unidade mais o
custo de partida (cooling ou baking) for menor que manter a unidade em
operao, desligue-a; seno mantenha a unidade em operao;
v. Repita os passos anteriores para as prximas unidades da lista de prioridade.
-
23
Exemplo 4.2:
Determine a programao do sistema de gerao trmico dado a seguir.
Tabela 1.6: Dados dos geradores do exemplo 4.2.
Gerador Max (MW) Min
(MW) Energia
incremental (Btu/kWh)
Et(MBtu/h)Ec
(MBtu) T. Min. Parada
(h)
T. Min. Partida
(h) 1 500 70 9950 300 800 2 2 2 250 40 10200 210 380 2 2 3 150 30 11000 120 110 2 4 4 150 30 11000 120 110 2 4
Tabela 1.7: Dados da carga do exemplo 4.2. Intervalo Carga (MW)
1 600 2 800 3 700 4 950
Considere que o custo do combustvel seja 1,0 $/MBtu, que inicialmente as unidades 1
e 2 estejam operando e que as unidades 3 e 4 estejam desligadas. Considere tambm
que as unidades 3 e 4 esto desligadas h 8 horas e que cada intervalo da carga dure
2 horas.
Soluo:
Nesse problema assume-se que a curva de cada unidade uma reta. Logo, o custo incremental ser constante. Os custos incrementais dos geradores so
calculados a seguir:
9,95MBtu/MWh 1,0$/MBtu 9,95$/MWh
10,2MBtu/MWh 1,0$/MBtu 10,2$/MWh
11,0MBtu/MWh 1,0$/MBtu 11,0$/MWh
Ento, as unidades sero despachadas na ordem: 1, 2 e 3.
Intervalo 1:
600MW, 500MWe 100MW
Dado que as unidades j se encontravam em operao, o custo de produo no
primeiro intervalo ser:
500 9,95 2 100 10,2 2 $11990,00
-
24
Intervalo 2:
800MW, 500MW, 250MW 50MW.
Como o gerador 3 estava desligado, para coloc-lo em operao deve-se
primeiramente verificar a restrio quanto ao tempo mnimo de partida. Como esse
gerador j se encontrava desligado por 8 horas, ele poder ser ligado no incio do
intervalo 2, pois o seu tempo mnimo de partida de 4 horas. Em seguida, deve-se
calcular o custo de produo, lembrando que ao custo do gerador 3 deve-se adicionar
a parcela referente ao custo de partida.
500 9,95 2 250 10,2 2 110 1,0 50 11,0 2 $16260,00
Intervalo 3:
Nota-se que a carga diminui de 800 para 700 MW, o que implica que h a
possibilidade de o gerador 3 ser desligado. Entretanto, no quarto intervalo a carga
aumenta para 950 MW e, portanto, o gerador 3 dever ser ligado novamente. Como
cada intervalo tem 2 horas de durao, no haver tempo suficiente para partir o
gerador 3 caso ele seja desligado no incio do intervalo 3. Sendo assim, o mesmo
dever ser mantido em operao. Portanto, duas alternativas devem ser analisadas:
O gerador 3 no despachado, mas mantido aquecido:
700, 500, 200 0.
500 9,95 2 200 10,2 2 120 1,0 2 $14270,00
O gerador 3 despachado no mnimo:
700MW, 500MW, 170MW, 30MW
500 9,95 2 170 10,2 2 30 11,0 2 $14078.
Verifica-se que a segunda opo mais econmica.
Intervalo 4:
950MW, 500MW, 250MW, 100MW 100MW
Aqui, novamente, deve-se incluir o custo de partida a frio do gerador 4.
500 9,95 2 250 10,2 2 100 11,0 2 110 1,0 100 11,0 2 $19560,00
-
25
Finalmente, o custo total de produo no perodo :
_
$61888,00
4.3.2 Programao Dinmica
A programao dinmica apresenta algumas vantagens com relao aos mtodos
baseados na enumerao. A grande vantagem apresentada pela programao
dinmica est na reduo da dimenso do espao de busca pela soluo tima do
problema. Para ser ter ideia de como algumas imposies reduzem a dimenso do
espao de busca, suponha um sistema composto por quatro unidades trmicas sendo
utilizadas para suprir uma carga. Esse problema apresenta um total de 24 1 = 15
possveis combinaes para serem testadas. Entretanto, se uma lista de prioridade
imposta, h somente quatro combinaes para testar:
Unidade 1
Unidade 1 + Unidade 2
Unidade 1 + Unidade 2 + Unidade 3
Unidade 1 + Unidade 2 + Unidade 3 + Unidade 4
Para esse caso foi suposto que a unidade 1 a primeira a ser despachada, em
seguida a unidade 2, e assim por diante at a unidade 4.
A imposio da lista de prioridade, baseada no custo incremental da unidade em plena
carga, resultar, teoricamente, no despacho correto, somente se:
A curva caracterstica da unidade H(P) for linear entre zero e a capacidade mxima de gerao;
No haver outras restries;
O custo de partida for fixo.
Adicionalmente, as seguintes consideraes so feitas:
Um estado consiste de uma matriz de unidades, na qual um determinado nmero de unidades est operado e as demais desligadas;
-
26
O custo de partida das unidades independente do tempo em que elas permaneceram desligadas (i.e. custo de partida fixo);
No so considerados custos para desligar as unidades;
Segue-se fielmente uma lista de prioridade e, a cada intervalo, uma quantidade mnima de gerao deve ser despachada.
Um estado ser factvel somente quando as unidades programadas forem capazes de
suprir a carga e respeitarem o valor mnimo de gerao despachada em cada
intervalo.
possvel desenvolver um algoritmo baseado no mtodo da programao dinmica
que busque a soluo tima partindo do intervalo final em direo ao primeiro intervalo
(programao para trs backward dynamic programming). Contrariamente, pode-se
tambm desenvolver o algoritmo que segue o curso natural do problema, ou seja,
parte da primeira hora em direo ao intervalo final (programao dinmica para frente
forward dynamics programming). O segundo mtodo apresenta vantagens evidentes
com relao ao primeiro. Por exemplo, se o custo de partida de uma unidade
expresso em funo do tempo que a unidade permanece desligada, a programao
dinmica para frente mais indicada, uma vez que a condio do estado anterior pode
ser calculada a cada estgio.
O algoritmo recursivo para determinar o custo mnimo na hora k, no estado i,
apresentado a seguir.
, , ,:, _ 1, (1.26)
em que:
_, menor custo total para chegar ao estado k no intervalo i;
, custo de produo do estado k no intervalo i;
1, : , custo de transio do estado k-1, no intervalo l, para o estado k no intervalo i.
-
27
Exemplo 4.3:
Determine a programao tima do sistema termeltrico cujos dados so
apresentados a seguir. Utilize o mtodo da programao dinmica. Cada intervalo da
curva de carga tem durao de uma hora.
Tabela 1.8: Parmetros dos geradores.
Gerador Max. (MW) Min. (MW)
Custo vazio ($/h)
Custo incremental a plena carga ($/MWh)
T. Min. de partida (h)
T. Min de parada (h)
1 80 25 213 23,54 4 2 2 250 60 585,62 20,34 5 3 3 300 75 684,74 19,74 5 4 4 60 20 252 28 1 1
Tabela 1.9: Condio inicial de operao, custos e tempos de partida.
Gerador Condio Inicial Durao
(h)
Custo de partida ($) Tempo de partida a frio (h) Frio Quente
1 Desligado 5 350 150 4 2 Ligado 8 400 170 5 3 Ligado 8 1100 500 5 4 Desligado 6 0,02 0 0
Tabela 1.10: Curva de carga. Hora Carga (MW)
1 450 2 530 3 600 4 540 5 400 6 280 7 290 8 500
Obs.: considerar que a funo custo das unidades seja da forma dada a seguir:
Soluo:
O primeiro passo para resolver o problema construir a lista de prioridade com base
nos custos incrementais das unidades. Para o exemplo em questo, tem-se:
-
28
Tabela 1.11: Lista de prioridade. Prioridade Custo ($/MWh) Gerador
1 19,74 3 2 20,34 2 3 23,54 1 4 28,00 4
Intervalo 1:
Das condies iniciais, tem-se que os geradores 2 e 3 encontravam-se ligados e os
geradores 1 e 4 desligados. Sendo assim, para os geradores 2 e 3 so despachados
para atender a carga de 450 MW. Ento, o custo associado hora 1, para a condio
dos geradores 2 e 3 ligados :
, 684,74 300 19,74 1 585,62 150 20,34 1 $10243,36
O custo mnimo at o primeiro intervalo ser considerado zero. Assumindo tambm
que no houve transio de um estado anterior, tem-se:
1,1 1,1 $10243,36
Intervalo 2:
Nesse intervalo, a carga sobe para 530 MW. As unidades 2 e 3 tm capacidade
suficiente para atender essa carga, no sendo necessrio por em operao a prxima
unidade da lista de prioridade. Logo,
2,1 684,74 300 19,74 1 585,62 230 20,34 1 $11870,56
O custo mnimo at o segundo intervalo :
2,1 2,1 1,1
2,1 10243,36 11870,56 $22113,92
Intervalo 3:
Nesse intervalo, a carga sobe para 600 MW, implicando na necessidade de por a
prxima unidade da lista de prioridade em operao. Ento, as seguintes opes
devem ser analisadas:
1) Por a unidade 1 em operao:
-
29
A unidade 1 precisa de 4 horas para partir. Dado que ela se encontrava desligada por 5 horas no incio da anlise, ela ter permanecido 7 horas desligada at o incio do intervalo 3. Ento, o custo de transio do intervalo 2 no estado 1 (unidades 2 e 3 ligadas) para o intervalo 3 no estado 2 (unidades 1, 2 e 3 ligadas) equivale ao custo de partida a frio da unidade 1, ou seja:
2,1: 3,2 350 Supondo que a deciso tenha sido ligar a unidade 1, o custo de produo no intervalo 3 seria:
3,2 684,74 300 19,74 1 585,62 250 20,34 1 213,00 50 23,54 1 $13667,36
Sendo assim, o custo at o intervalo 3, considerando a deciso de ligar a mquina 1 :
3,2 3,2 2,1: 3,2 2,1 3,2 13667,36 350 22113,92 $36131,28
2) Por a unidade 4 em operao:
No caso da unidade 4, esta tambm poder estar em operao no intervalo 3. O custo de transio nesse caso ser equivalente ao custo de partida a frio da unidade 4.
2,1: 3,3 0,02 Supondo que a deciso tenha sido ligar a unidade 4, o custo de produo no intervalo 3 seria:
3,3 684,74 300 19,74 1 585,62 250 20,34 1 252,00 50 28,00 13929,36
O custo at o intervalo 3, considerando que a deciso tenha sido ligar a unidade 4 :
3,3 3,3 2,1: 3,3 2,1
3,3 13929,36 0,02 22113,92 $36043,30
Verifica-se que a deciso mais econmica que a unidade 4 seja ligada para operar
no intervalo 4.
Intervalo 4:
No intervalo 4, a carga diminui para 540 MW, o que implica que a unidade 4 poder
ser desligada. Verificando os prximos intervalos nota-se que a carga continua
decrescendo. Portanto, a melhor alternativa , de fato, desligar a unidade 4. Sendo
assim, do intervalo 3 para o intervalo 4 no haver custo de transio e o custo de
produo nesse intervalo ser de:
684,74 300 19,74 1 585,62 240 20,34 $12073,36
-
30
O custo total at o intervalo 4 :
4,1 4,1 3,3
4,1 12073,36 36043,30 $48117,66
Intervalo 5:
No intervalo 5, a carga diminui para 400 MW. Novamente, as unidades 2 e 3 so
suficientes para suprir essa carga.
5,1 684,74 300 19,74 1 585,62 100 20,34 1 $9226,36
5,1 5,1 4,1
5,1 9226,36 48117,66 $57344,02
Intervalo 6:
No intervalo 6, a carga cai para 280 MW. Nessa condio h trs possibilidades a
serem analisadas:
1) Desligar a unidade 2:
Essa alternativa no possvel, pois no intervalo 8 a carga sobe para 500 MW e, portanto, a unidade 2 dever ser ligada novamente. Como essa unidade apresenta um tempo mnimo de partida de 5 horas, no h como satisfazer essa restrio.
2) Manter a unidade 2 aquecida, mas sem despach-la:
6,4 684,74 280 19,74 1 $6211,94 O custo de transio do intervalo 5 para o intervalo 6 equivale ao custo de manter a unidade 2 operando sem carga, isto :
5,1: 6,4 585,62 O custo final acumulado at o intervalo 6 :
6,4 6,4 5,1: 6,4 5,1 6,4 6211,94 585,62 57344,02 $64141,58
3) Despachar a unidade 2 no mnimo:
6,1 684,74 220 19,74 1 585,62 60 20,34 1 $6833,56 6,1 6,1 5,1
6,1 6833,56 57344,02 $64177,58
-
31
Intervalo 7:
No intervalo 7, a carga sobe para 290 MW. Nesse caso, novamente, tm-se duas possibilidades:
1) Manter a unidade 2 aquecida, mas sem despach-la:
7,4 684,74 290 19,74 1 $6409,34 Ento, o custo at o intervalo 7 assumindo que a deciso anterior tenha sido manter a unidade aquecida, mas sem despach-la :
7,4 7,4 6,4: 7,4 6,4 7,4 6409,34 585,62 64141,58 $71136,54
ou o custo at o intervalo 7 considerando que a deciso anterior foi manter a unidade 2 gerando no mnimo:
7,4 7,4 6,1: 7,4 6,1 7,4 6409,34 64177,58 $71172,54
2) Despachar a unidade 2 no mnimo:
7,1 684,74 230 19,74 1 585,62 60 20,34 1 $7030,96 O custo at o intervalo 7, assumindo que a deciso anterior foi manter a unidade 2 aquecida, mas sem despach-la :
7,1 7,1 6,4: 7,1 6,4 7,1 7030,96 170 64141,58 $71342,54
ou o custo at o intervalo 7, considerando que a deciso anterior foi despachar a unidade 2 no mnimo:
7,1 7,1 6,1: 7,1 6,1 7,1 7030,96 64177,58 $71208,54
Intervalo 8:
No intervalo 8, a carga sobe para 500 MW. Como as unidades 2 e 3 so capazes de
suprir essa carga, no necessrio por em operao uma nova unidade.
8,1 684,74 300 19,74 1 585,62 200 20,34 1 $11260,36
Assumindo que a deciso anterior tenha sido manter a unidade 2 ligada, mas sem
despach-la, tem-se:
8,1 8,1 7,4: 8,1 7,4
-
ou co
Todo
1.7.
5. C
O deorigecompaos retc. raciofutura
onsiderando
os os possv
COORDE
espacho ecoem hidrulicplexo porqureservatrioEm geral, a
onal possvas, de mod
8,1
o que a dec
8,1
8
veis caminh
Figura 1.7: C
ENAO
onmico hidca e de orue dependeos, do maioa participa
vel da guado a, por um
11260,3
ciso tenha
1 8
,1 11260
hos para a s
Caminhos da
HIDROT
drotrmico vigem trmic
e do grau deor ou menoro trmicaa dentro dm lado, min
6 170 7
sido mante
8,1
0,36 7134
soluo do
a soluo via
TRMICA
visa determca no atene dificuldadr grau de a
a determino contextoimizar o ris
71136,54
er a unidade
7,1: 8,1
42,54 $82
problema s
a programa
A
minar as parndimento dade em se prrmazenamenada de mo de incerteco de dfic
$82566,9
e 2 gerando
7,1
2602,90
so apresen
o dinmica
rticipaes da demandarever as afluento de guodo a propezas quantit de gera
o no mnimo
ntados na F
.
das geraa. O probleuncias naua nos mes
piciar o uso to s afluo de energ
32
o:
Figura
es de ma turais smos,
mais ncias gia e,
-
33
por outro, reduzir o desperdcio de energia hidrulica implicado por vertimento de volumes de gua turbinveis.
Para melhor tratar as incertezas associadas s afluncias aos reservatrios e ao crescimento da carga, o problema de programao da operao de sistemas hidrotrmicos , em geral, abordado em horizontes de tempo distintos. Quanto maior o horizonte de planejamento, tanto menos detalhada e mais incerta a programao. Os horizontes usuais de planejamento da operao so os seguintes:
Programao de longo prazo: Considera o horizonte de cinco anos com intervalos mensais para determinar as participaes da gerao hidrulica e trmica e o intercmbio de energia. Os reservatrios so agregados em um reservatrio equivalente.
Programao de mdio prazo: Considera o horizonte de um ano com intervalos semanais. Utiliza mtodos de previso de vazes para determinar as participaes hidrulica e trmica no atendimento da demanda.
Programao de curto prazo: Neste caso o horizonte semanal com intervalos de horas. Em geral, a abordagem determinstica, e aspectos energticos, hidrulicos e eltricos so considerados simultaneamente. Assim, a rede eltrica, os intercmbios e as caractersticas das unidades so todos representados.
O foco deste documento so estudos de curto prazo. Entretanto, para uma melhor compreenso do processo de programao da operao hidrotrmica, a prxima seo faz algumas consideraes sobre os estudos de mdio prazo.
5.1 Programao da Operao Hidrotrmica de Mdio Prazo
Os mtodos usualmente empregados no horizonte anual podem ser agrupados como:
Mtodos empricos: Baseiam-se na histria passada, prevendo situaes semelhantes;
Mtodos baseados em simulao: So aperfeioamentos dos mtodos empricos, utilizando modelos matemticos que permitem analisar um grande
nmero de casos, dos quais se deduz uma soluo (no necessariamente a tima
global);
Mtodos precisos: Resolvem o problema por meio de tcnicas de otimizao, por exemplo, programao dinmica estocstica, necessitando, portanto, de modelos
matemticos mais sofisticados.
Dentre os mtodos utilizados no horizonte de mdio e longo prazo, destacam-se a estratgia baseada na curva limite do reservatrio equivalente do sistema e a estratgia baseada no valor marginal da gua.
-
5.2
Trata
do s
atend
pass
ocorr
A cu
siste
Duralimiteisso supricondtrm
5.3
Nestcustooperagera
ParaEssetrmlongoacrsao lo
Estratg
a-se de uma
istema aba
dimento da
sado. Procu
rncia de d
rva limite il
ma para um
Figura
ante a opere, ora aume
procura-seimento que
duz a uma eica fora dos
Estratg
te caso, buso da geraar com a geo trmica
a operacione valor dica e da eo de um pscimo de congo do pe
gia Base
a estratgia
aixo do qua
a demanda
ura-se, por
ficits.
ustrada na
m dado ano
a 1.8: Curva
rao ao loentando-a, e evitar vee resultariaexpectativa s perodos s
gia Base
sca-se minio trmicaerao trma nos perod
alizar esta definido comnergia no
perodo. Emusto decorrerodo. O v
ada na C
a tradiciona
al as usinas
a, tendo po
rtanto, che
Figura 1.8
hidrolgico
limite para p
ongo do ase o nvel d
ertimento (da da exaus
elevada desecos.
ada no V
mizar o cusa mais o cumica mnimados com hid
estratgia mo a deriv suprida em
m outras parente da utivalor margi
Curva Lim
l. A curva li
s trmicas
or base o
egar ao fim
obtida po
o.
programao
no hidrolgdo reservatdesperdciosto do voe atendimen
Valor Ma
sto total de usto do da nos perodrologias ad
necessvada do cum relao alavras, o vilizao de inal da gu
mite
imite indica
devem ser
histrico d
m do pero
or meio de
o hidrotrmic
gico procurtrio est ao) de gualume til anto, mas co
rginal da
atendimentficit. Em oodos hidroldversas.
rio definir usto espera produovalor marguma unida
ua est ass
o nvel de
acionadas
das vazes
odo de pla
simulao
ca de mdio
ra-se acombaixo da cu
a e o riscoarmazenadoom altos cu
a gua
to da demaoutras palavgicos favor
o valor maado atualizao da energinal da gude de enersociado a
armazenam
s para gara
s registrada
anejamento
da opera
prazo.
mpanhar a urva limite. o de dfico. Essa t
ustos de ge
nda, que invras, procurveis e ele
arginal da ado da gegia hidrulicua represergia armazecada estad
34
mento
ntir o
as no
sem
o do
curva Com
cit de cnica rao
nclui o ura-se evar a
gua. rao ca ao nta o
enada do do
-
siste(i.e., Figur
Comoperaestraoperaoperahidrda g
F
5.4
Nesthidro
Eh
F
h
d
Et
re
ma, caractequando a
ra 1.9 ilustr
m a disponiao do sis
atgia timaao, as tar no mx
ulicas. Porgua devem
Figura 1.9: Va
Planejam
ta seo sotrmica no
Em sistema
hidrulica,
Frequentem
h restrie
de se opera
Em sistema
rmica e hi
minimizar
estries hi
erizado porexpectativaa essa dep
bilidade dostema poa de operarmicas de ximo, uma r outro ladooperar no m
ariao do va
mento da
sero vistohorizonte d
as hidrotrm
busca-se
mente, estes
s energtic
r as trmica
as hidrotrm
drulica, ou
r os custos
idrulicas e
r um nvel a de aflunendncia.
o valor massvel defin
ao das tcusto marvez que
o, as trmicmnimo.
alor marginaarmazena
a Opera
s dois prode curto pra
micos nos
em geral
s problemas
cas para a g
as em subin
micos nos q
u em que a
s da gera
xistentes.
de armazencias mai
arginal da nir um probrmicas. Porginal inferi mais ec
cas de cust
al da gua coamento do re
o Hidr
oblemas tpazo:
quais h p
minimizar
s so do tip
gerao hid
ntervalos do
quais h eq
a primeira p
o trmica
namento e s pessimist
gua para lema de oti
or exemplo,or ao valorconmico qo marginal
om a tendnceservatrio.
otrmica
picos de p
predominn
r os cust
o de progra
drulica e, p
o horizonte
quilbrio ent
predomina s
a, porm, r
pela tendta que o va
os diferenmizao pa, para um r marginal que gerar superior ao
cia hidrolgic
a de Curt
planejament
cia de gera
tos da ge
amao de
portanto, h
de tempo d
tre as gera
sobre a seg
reconhecen
ncia hidrolalor corrent
ntes estadoara determidado estadda gua dcom as uo valor ma
ca e o nvel d
to Prazo
to da ope
ao de or
erao tr
energia, em
a necess
de interesse
aes de o
gunda, o ob
ndo as div
35
gica te). A
os de nar a
do de evem
usinas rginal
de
rao
rigem
rmica.
m que
idade
e.
rigem
bjetivo
ersas
-
5.4.1
Cons(UHE
Conshidroprodpotnconsos qu
Fig
Ou, e
As p
.
No pUHEmas duraexpre
1 Program
sidere o sisE) equivalen
sidera-se qogerador, uo da uncias gerad
siderado. O uais duram
gura 1.10: Si
em termos
otncias ge
problema deE tem capac
a energia nte todo oessa pelas
mao Hid
stema formntes alimen
que a expr conhec
usina termedas, assim
horizonte d horas.
istema hidro
matemtico
eradas e a
e programacidade suficde origem
o horizonteequaes (
drotrmica
ado por umtando uma
resso da cida. Da meltrica como a cade anlise
trmico forme
os, pode-se
carga, para
o hidrotrciente para
hidrulica e de anlis(1.28) e (1.2
,
a com Res
ma usina tcarga, con
vazo eesma form. Alm
arga, variamcom dura
mado por umaequivalentes
e dizer:
a cada inter
rmica com suprir a cardisponvel
se. Em ter29).
1,2,
stries d
rmica (UTEforme ilustr
em funo a, conhedisso, con
m com o temo d
a usina trms.
rvalo , so
restrio derga por um insuficien
rmos matem
de Energia
E) e uma urado na Figu
da potnccida a funnsidera-se mpo ao londividido em
ica e uma us
designada
e energia, cperodo lim
nte para almticos, es
a Hidrulic
usina hidrelura 1.10.
cia gerada o de cusque amba
ngo do horim interv
sina hidreltr
as por: ,
considera-semitado de teimentar a cssa condi
36
ca
trica
pelo sto de as as zonte valos,
rica
(1.27)
e
e que empo, carga
o
(1.28)
-
37
(1.29)
O objetivo da programao de energia utilizar toda a energia hidrulica disponvel durante o horizonte de tempo de modo a minimizar o custo de funcionamento das trmicas. Da restrio energtica dada por (1.29), verifica-se que a energia gerada pelas trmicas durante o horizonte de tempo deve ser dada por:
(1.30)
Alm disso, no se exige que a trmica funcione durante todo o horizonte de anlise ( ). Sendo assim, seja o nmero de intervalos de operao da unidade trmica, ento:
(1.31)
e
(1.32)
O problema de coordenao hidrotrmica com restrio de energia pode, ento, ser formulado como:
(1.33)
s.a:
0
Na equao anterior o vetor , composto por: , ,
-
38
A funo de Lagrange correspondente ao problema (1.33) :
,
(1.34)
Uma condio de otimalidade para o problema (1.33) :
,
0 , 1,2, ,
(1.35)
Como constante, a condio (1.35) implica que a UTE deve operar a custo incremental constante durante todo o perodo de tempo em que est em operao. Dada a natureza monotnica da funo , isto significa que a potncia gerada pela UTE deve ser constante ao longo de todo o seu intervalo de funcionamento.
Seja, ento, , o valor timo constante da gerao trmica, isto :
(1.36)
Da condio (1.32), tem-se que
(1.37)
ou
(1.38)
A equao (1.36) permite tambm reescrever o custo total da trmica como:
(1.39)
-
39
Assumindo que a funo custo de produo da trmica pode ser aproximada por uma funo quadrtica do tipo
Nota-se que a equao (39) assume a forma
ou ainda, utilizando a equao (1.38), tem-se
(1.40)
Observe que, essencialmente, os passos desde a equao (1.34) at (1.40) correspondem interpretao da restrio (1.31) e a avaliao do impacto desta interpretao sobre a funo objetivo do problema (1.33). Esse problema pode ser reduzido ao seguinte problema de otimizao sem restries:
min
cuja soluo obtida de
0
Logo,
(1.41)
A equao (1.41) indica que o despacho timo da trmica independe de e corresponde ao ponto mais eficiente de operao da UTE. Conclui-se que a soluo tima para o problema de despacho de energia requer que a UTE seja despachada a potncia constante durante todo o seu perodo de funcionamento. A princpio, a UTE pode iniciar sua operao a qualquer instante do horizonte de tempo entre 0 e . Entretanto, convm que a entrada em operao seja logo no incio do horizonte de anlise, pois qualquer alterao de previso, seja de demanda, seja de disponibilidade hidreltrica, dever ser atendia via maior ou menor participao trmica. Para isso, basta estender ou reduzir o tempo de utilizao da trmica em sua potncia de mxima eficincia. A Figura 1.11 ilustra essas consideraes.
-
Figu
Exem
Umasema
Supofunci
Solu
A en
Logo
A ge
Por f
Exem
Supotermo
ura 1.11: Cur
mplo 5.1:
a UHE e umana (168 ho
UHE
UTE ondo que aionar a UTE
uo:
ergia solicit
o a energia
rao trmi
fim, o tempo
mplo 5.2:
onha agoraos do volum
rva de carga
ma UTE deoras). As ca
0,02 usina hidre
E e qual dev
tada pela ca
trmica que
ica tima po
o de funcion
que o limitme de gu
e participacom re
evem alimearacterstica
300 1213 11eltrica live ser o seu
arga durant
90MW e dever se
15120ode ser obt
namento da
te de energa pelo qua
o trmica eestrio ener
entar uma as das unida
15 1,27 5mitada a gu despacho
te a semana
168h 15er gerada :
10000 ida da equa
53,250,0213
a UTE dad
512050
gia para a Ul o reserva
e hidrulica ergtica.
carga consades so da
/ 3,25 [$/h]erar 10 GW
o?
a :
5120MWh:
5120MWhao (41):
50MW
do por:
102,4h
UHE do Exatrio da us
em problema
stante de 9adas a segu
0 12,5
Wh, por qua
h
xemplo 1 sesina pode s
de program
90 MW poruir:
100 [MW] 50 [MW]
anto tempo
eja expressser deplecio
40
ao
r uma
deve
so em onado
-
41
durante a semana. Supondo que o mximo deplecionamento admissvel seja de 250.000 dam3 para a semana e que os demais dados do Exemplo 1 permaneam os mesmos, por quanto tempo a trmica deve funcionar?
Soluo:
No Exemplo 1 foi determinado que a UTE deve gerar 50 MW, independentemente do valor de . Consequentemente, a UHE dever gerar os 40 MW restantes no perodo em que a UTE estiver em operao. A vazo neste perodo ser:
300 15 40 900dam/h Logo, o volume turbinado nesse perodo ser: 900 . Quando apenas a UHE estiver operando, tem-se:
300 15 90 1650dam/h 1650 168
Como est limitado a 250.000 dam3, tem-se: 900 1650 168 250000
Resolvendo essa equao, chega-se a:
36,27h
5.4.2 Programao Hidrotrmica Considerando as Perdas na Transmisso
Outro problema de coordenao hidrotrmica de muito interesse prtico aquele em que se requer que um dado volume de gua seja utilizado para minimizar o custo de operao das trmicas, que neste caso so supostas operar durante todo o horizonte de tempo de estudo, uma vez que se considera que a gerao de origem hidrulica no tem potncia suficiente para alimentar a carga. Estes aspectos diferenciam a programao hidrotrmica de curto prazo do problema de programao com restries de energia abordado na Subseo 5.4.1.
Para apresentar o problema, ser considerado um sistema formado por uma UTE e uma UHE equivalentes. H um mximo volume de gua que pode ser turbinado ao longo do perodo horas, definido com base nos estudos de planejamento da operao de mdio prazo. Ser tambm suposta a ausncia de vertimento e ainda que a altura da coluna de gua no reservatrio permanece aproximadamente constante ao longo do horizonte de estudo. Esta ltima hiptese implica que a potncia produzida pela UHE depende essencialmente da vazo turbinada. Sendo assim, possvel expressar a vazo no intervalo como uma funo da potncia hidreltrica gerada .
Seja o volume disponvel para ser turbinado durante o horizonte horas, que como antes, dividido em intervalos, sendo que 1, 2, . . . , , tem durao
-
42
de horas. O problema de programao hidrotrmica de curto prazo pode, ento, ser formulado como:
min
(1.42)
s.a:
0, 1,2, ,
Na equao anterior, a carga do sistema no intervalo e representa as perdas na transmisso no intervalo . Supe-se que a carga constante ao longo de cada intervalo e a relao entre e continua sendo dada pela equao (27). A funo de Lagrange relativa ao problema (42) dada por:
, , ,
(1.43)
em que
, ,
, , ,
, 1,2, , so os multiplicadores de Lagrange associados s restries de balano de potncia ativa em cada intervalo de tempo, e o multiplicador de Lagrange associado restrio de volume.
Note que a restrio de volume apenas uma, mas envolve todas as potncias geradas na UHE em cada intervalo de tempo . Pelo fato de envolver todos os intervalos do horizonte de tempo estudado, esse tipo de restrio chamado de restrio intertemporal.
As condies necessrias para a soluo tima do problema (1.42) em um dado intervalo so:
-
43
1
0, 1,2, , (1.44)
1
0, 1,2, , (1.45)
As equaes (1.44) e (1.45) podem ser reescritas como:
11
, 1,2, , (1.46)
11
, 1,2, , (1.47)
As equaes (1.46) e (1.47) so chamadas equaes de coordenao hidrotrmica.
Supondo inicialmente um caso particular em que as perdas na transmisso so desprezadas e que tambm os intervalos de tempo so de igual durao, isto , , 1, 2, .
Neste caso, as equaes (1.46) e (1.47) se tornam:
, 1,2, ,
(1.48)
, 1,2, ,
(1.49)
Adicionalmente, supondo que a funo possa ser aproximada por
de tal modo que constante, v-se da equao (1.49) que, sob as hipteses consideradas, ser constante ao longo de todos os intervalos de tempo. Levando este resultado equao (1.48), facilmente conclui-se que as trmicas
-
44
devero operar com custos incrementais constantes, o que por sua vez implica em que as potncias geradas pelas trmicas sero igualmente constantes durante todo o horizonte de estudo.
Esta verso simplificada da coordenao hidrotrmica tambm possibilita uma interpretao bastante til do multiplicador de Lagrange . Para tanto, vlido relembrar a relao entre a funo de consumo e a funo custo de produo , dada por:
em que o custo do combustvel. Substituindo essa relao na equao (1.48), obtm-se:
(1.50)
Comparando as equaes (1.49) e (1.50) e levando em conta que e desempenham um papel similar como funes que traduzem a taxa de entrada de energia para a UTE e para a UHE, respectivamente, pode-se concluir que a varivel , medida em $/dam3, deve ter um papel anlogo a , expresso em $/MBtu. Ento, a varivel representa o valor marginal da gua. Considerando dois volumes de gua disponveis para serem turbinados por uma UHE sob as mesmas condies, e , , pode-se esperar que, se e so valores marginais da gua correspondentes, ento, . importante salientar que as concluses anteriores tambm pressupem que nenhum limite de gerao foi atingido.
Exemplo 5.3:
Uma carga deve ser alimentada durante 24 horas por uma UHE e uma UTE cujas caractersticas so dadas a seguir:
Tabela 1.12: Parmetros dos geradores do exemplo 5.3.
Usina Funo Limites
UHE 330 4,97 [dam3/h] 0 1000MW UTE 575 9,2 0,00184 [$/MWh] 150 1500MW
Os efeitos das perdas na transmisso so considerados desprezveis, o mximo volume a ser turbinado de 100.000 dam3 e a carga varia conforme se mostra a seguir:
-
45
Tabela 1.13: Dados da carga do exemplo 5.3.
Perodo Carga (MW)
00:00 12:00 1200
12:00 24:00 1500
Determine os despachos da UHE e da UTE ao longo do perodo, bem como os custos marginais de energia do sistema e o custo marginal da gua.
Soluo:
Sabe-se que 12 horas. Como as perdas so desprezadas, podem-se aplicar as concluses da subseo 4.2.2 e, portanto, . Das equaes de balano de potncia, tem-se que:
1200 1200
1500 1500 Da equao da restrio de volume, tem-se
Como 12, vem
12330 4,971200 330 4,971500 100.000 Resolvendo a equao anterior encontra-se:
577,9MW e consequentemente:
1200 622,1MW
1500 922,1MW Os multiplicadores de Lagrange das equaes de balano de energia podem ser obtidos por:
12 9,2 0,00368 577,9 135,92$/MW
E o custo marginal da gua obtido por:
12 4,97 135,92
Logo, 2,28$/dam.
-
46
Exerccio:
Considere o sistema termeltrico composto por uma UTE e uma UHE (equivalentes) cujos dados so mostrados a seguir.
Tabela 1.14: Parmetros dos geradores.
Usina Funes Limites
UTE 0,008 8,0 500 $/h 100 625 UHE 200 10 dam/h 0 220
A carga do sistema varia conforme os dados a seguir.
Tabela 1.15: Dados da carga.
Perodo Carga (MW)
00:00 08:00 600
08:00 16:00 700
16:00 24:00 500
Sabe-se que a UHE conta com um reservatrio com capacidade de 33600 dam3 que pode ser utilizado ao longo do dia. Determine o despacho da UTE e da UHE, bem como os custos marginais de energia e da gua.
5.4.3 Programao Hidrotrmica via Mtodo Computacional
No caso geral em que as perdas de transmisso no podem ser desprezadas, a soluo das equaes de coordenao hidrotrmica (1.46) e (1.47) juntamente com as restries de balano de energia e volume do problema (1.42) forma um conjunto de (6 1) equaes no-lineares para determinar igual nmero de incgnitas. Ser apresentado a seguir um algoritmo computacional para resolver este problema.
O mtodo computacional apresentado a seguir consiste em trs laos: o mais interno um lao iterativo que ajusta os multiplicadores de Lagrange para obter uma soluo das equaes de coordenao hidrotrmica e da equao de balano de potncia; o lao intermedirio serve apenas para incrementar os intervalos de tempo at esgotar o horizonte de tempo estudado; finalmente, o lao mais externo ajusta iterativamente o multiplicador de Lagrange da restrio de volume.
Novamente, ser assumido que a funo do tipo: e que a funo do tipo: . No caso das perdas na transmisso ser assumido que as perdas se relacionam com as potncias hidrulica e trmica geradas, por meio da equao (51).
(1.51)
-
47
Levando a funo e funo das perdas para a equao (1.44), e isolando o termo , chega-se a:
2 (1.52)
Procedendo de modo semelhante para a equao (1.45), chega-se a:
2
(1.53)
Levando as equaes (1.52) e (1.53) para a restrio do balano de potncia:
2 2 0
(1.54)
Por fim, substituindo na funo da restrio de volume, tem-se:
2 0
(1.55)
As equaes (1.52) a (1.54) podem ser utilizadas iterativamente para determinar a soluo tima do problema de programao hidrotrmica de curto prazo, seguindo-se os passos do algoritmo apresentado a seguir.
Passos do algoritmo:
1. Inicializar as variveis: , , e ; 2. Inicializar o contador de intervalos: 1; 3. Determinar as potncias hidrulica e trmica, utilizando as equaes (1.52) e
(1.53).
4. Verificar os limites inferior e superior das variveis e , caso estejam fora
dos limites fazer a varivel que violou igual ao limite violado;
5. Verificar a equao do balano de potncia: || . Em caso afirmativo, prosseguir para o passo 6, seno atualizar o valor de e retornar ao passo 3.
6. Calcular ; 7. Se , ir para o passo 8, seno fazer 1 e retornar ao passo 3;
-
48
8. Verificar se a restrio de volume atendida: . Se a restrio foi satisfeita, encerrar o processo iterativo; seno atualizar o valor
de e voltar ao passo 2.
O valor de atualizado seguindo-se o processo a seguir.
(1.56)
sendo dado por:
(1.57)
Na equao (1.57), representa a derivada da funo dada em (1.54) em relao .
2 2
(1.58)
De modo semelhante, o valor de pode ser atualizado a cada iterao.
(1.59)
sendo dado por:
(1.60)
Derivando a funo dada em (1.55) em relao a varivel , obtm-se:
2
(1.61)
-
E
Rdd
EL
S
Cva
Oq1
In
5.4.4
Comprobcompcons1.12.
Seja
Exemplo 5.
Reconsideredistncia dadependem a
Encontre osLagrange e
Soluo:
Considerandvariveis. Cativa e 5 dam
O problemaqual apre
.16, a segu
nter. Dur. (h)
1 12
2 12
4 Coorde
m o propsilema de dposto por usidere o mo.
Figu
m as seguin
4:
e o Exempa carga, tapenas de
s novos desas perdas n
do omo tolerm3 para o d
a foi resolviesentado nouir.
TaCarga (MW) (
1200 6
1500 8
enao Hid
ito de expldespacho uma unidadeodelo simp
ura 1.12: Mod
ntes varive
plo 3, agoratal que as, sendo d
8
spachos da na transmis
135,9213ncia, adoto
desvio de vo
ido utilizando Anexo. O
abela 1.16: RPH
(MW) PT
(MW)
668,3 567,4
875,6 685,7
drotrmica
icar a aplichidrotrmice trmica elificado de
delo hidrotr
eis do probl
a supondo s perdas ndadas por:
8 10
UHE e da sso.
35e 2ou-se o valoolume.
do-se um pOs resultad
Resultados d
)
($/MW)
4 135,458
7 140,700
a via Prog
cao da co ser coe uma unida
um sistem
rmico utilizad
lema:
que a UHna transmi
, 1,2,
UTE, bem
2,28, como or 10-3 MW
programa dos obtidos
o Exemplo 5Perdas (MW)
35,73
61,33
gramao
programaonsiderado ade hidrelt
ma hidreltri
do na progra
HE est locsso so
como os m
a estimativpara o des
desenvolvidso mostr
5.4.
($/dam3) (d
2,028
2,028
Dinmica
o dinmicum sistem
trica equivaico apresen
mao dinm
calizada a significativ
multiplicadore
va inicial pasvio de pot
do em Matlrados na T
q dam3/h)
C
3651,5 76
4681,7 92
a
ca soluma simplifialentes. Parntado na F
mica.
49
certa vas e
es de
ara as tncia
ab, o abela
Custo ($)
6653,7
2988,9
o do cado, ra tal, Figura
-
50
vazo afluente durante o perodo ; vazo vertida durante o perodo ;
volume armazenado ao final do perodo ; vazo turbinada durante o perodo ;
potncia hidreltrica gerada durante o perodo ;
potncia termeltrica gerada durante o perodo ;
potncia da carga no perodo ;
funo custo de produo no perodo ; A restrio operacional da usina hidreltrica dada sob a forma de volumes, sendo que no instante 0 tem-se o volume e ao final do perodo de operao ( ), deseja-se ter o volume . Para a central termeltrica assume-se que o custo de produo uma funo polinomial de segunda ordem da potncia trmica produzida ( ). Tambm para a central hidreltrica ser assumido que a vazo turbinada uma funo polinomial da potncia hidreltrica gerada ( ). Se cada intervalo tem durao de horas, o volume armazenado ao final do intervalo dado por:
(1.62)
Assumindo que no haver vertimento, ou seja, 0. Sejam e os volumes no incio e ao final do intervalo , respectivamente. Ento, tem-se que:
(1.63)
em que a vazo deve ser maior que zero e menor que uma vazo mxima (), correspondente capacidade mxima de gerao da usina hidreltrica.
O problema de coordenao hidrotrmica consiste em determinar o menor custo de produo para atender carga no perodo especificado, obedecendo s restries energticas do sistema hidreltrico, definidas pela capacidade mnima e mxima de armazenamento.
Ento, sejam:
estado/condio de volume no incio do intervalo ;
-
51
estado/condio de volume ao final do intervalo ; custo de produo acumulado at o final do intervalo ; , 1: , custo de produo para ir do intervalo 1 no estado de volume para o intervalo no estado de volume . O algoritmo de programao dinmica muito simples. Basta que a cada intervalo sejam determinados os custos de produo para diferentes estados de armazenamento. A soluo final a trajetria que resulta no menor custo de produo acumulado ao longo do perodo. Ento,
0 0 (1.64)
1 , 1: ,
Exemplo 5.5:
Considere um sistema hidrotrmico composto por uma unidade trmica e uma unidade hidreltrica cujos dados so apresentados a seguir:
Tabela 1.17: Dados das usinas do exemplo 5.5.
Usina Parmetros
UTE 0,0005 4,8 700 $/h 200 1200MW UHE 10 260 / 0 260MW
O volume inicial de 10.000 dam3 e deseja-se que ao final do perodo de operao o volume final seja tambm de 10.000 dam3. Os limites mnimo e mximo de armazenamento so, respectivamente, 6.000 dam3 e 18.000 dam3.
A curva de carga e a vazo afluente para um perodo de 24 horas so dadas a seguir:
Tabela 1.18: Valores da carga e vazo afluente para o exemplo 5.5.
Perodo Carga (MW) q (dam3/h)
1 600 1000
2 1000 1000
3 900 1000
4 500 1000
5 400 1000
6 300 1000
-
Solu
Parainiciailustr
Ent
Para
Conhda ca
Finalinterv
Logo= 10dam3
uo:
a solucionarando em 6rado na Figu
Fig
o, partindo
a a vazo de
hecido o vaarga, determ
lmente, comvalo 1.
o, o custo de0.000 dam3)3) dado p
r esse prob6.000 dam3
ura 1.13.
ura 1.13: Tra
do volume
e 2.000 dam
alor da geramina-se o v
m o valor da
e produo) e ir para
por:
blema, cons at 18.00
ajetrias para
inicial de 1
10.000
m3/h tem-se
26010ao hidrelvalor da gera
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0,426
para sair do final do
sideram-se 00 dam3 em
a o problema
0.000 dam3
0 6.0004
e a gerao
0 2.000 10trica para orao trmic
600 1rmica, det
,0005 6 2834,5do incio do intervalo 1
inicialmentm passos
a de program
3, tem-se:
1.000 2
hidreltrica
260 174
o primeiro ica.
174 426Mtermina-se o
4,8 700538$/h
intervalo 1,, no estado
te sete estade 2.000 d
mao dinm
.000 dam/
a de:
MW
ntervalo, e
MW o custo de p
0
, no estado o de volum
ados de vodam3, conf
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/h
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produo p
3 de volumme 1 ( = 6
52
olume forme
valor
para o
me ( 6.000
-
O cu
Realsoluacum
6. F
Os sextenintene a constm planevista
O fluuma sistevari
Em l(e.g. de reexig
usto acumul
izando-se oo tima, mulado at o
FLUXO D
sistemas ensos, abrannsificao dcontnua in
sideravelmesinalizado
ejamento e tcnico qu
uxo de potferramenta
ma habilidveis e alter
inhas geraiminimiza
estries fncias de s
3,0: 1,ado at o fi
os clculos esquematico final do in
DE POT
eltricos dengendo graesse procencorporaoente a comp a necescontrole daanto econ
ncia timo a mais inte
dades pararnativas solu
is, o probleo do custosicas e opegurana e
1 nal do prim
para os de
camente rentervalo 6
Figura 1
NCIA T
potncia andes reasesso, somado de novasplexidade opsidade de a operao,mico.
(FPO) ueligente e analisar ues.
ma de FPOo de operaperacionais em um siste
4 283meiro interva
11342,1emais estadepresentada
de $ 81.73
1.14: Solu
TIMO
tm se tos e atendeda a fatoress tecnologiaperacional d aprimoram, que propic
uma opo eficiente qproblemas
O consiste no) enquanimpostas p
ema de pot
34,538 11alo para o e
52$ os de volum
a na Figura38,8.
o tima.
rnado cadaendo demans como a das de equidos sistemamento dosciem aes
diante neue proporccomplexos
na otimizanto que simpelas limitancia aten
1342,152$ stado de vo
me e interva 1.14, para
a vez maisndas cada esregulameipamentos as de potns mtodos seguras, ta
ecessidade cione aos ps que env
o de umamultaneameaes dos endido.
olume 1 :
alos, chegaa a qual o
s interligadvez maiore
entao do tm aumen
ncia. Esses dedicadoanto do pon
e de desenvplanejadore
volvem ml
a funo obente um conequipamen
53
a-se a custo
dos e es. A setor
ntado fatos
s ao nto de
volver es do tiplas
bjetivo njunto tos e
-
54
6.1 Formulao do Problema
O problema de FPO caracterizado como um problema de otimizao no linear com restries, o qual pode ser matematicamente formulado como se segue.
min
(1.65)
s.a:
0 0
em que:
vetor de variveis de estado do sistema; restries de igualdade; restries de desigualdade; , limites inferior e superior dos controles. As restries de igualdade correspondem modelagem da rede (equaes de balano de potncia ativa e reativa em cada n da rede), enquanto que as restries de desigualdade representam os limites das variveis do sistema (restries funcionais dos equipamentos e operacionais do sistema).
6.1.1 Restries de Igualdade
As restries de igualdade bsicas do FPO correspondem s equaes do balano de potncias ativa e reativa do fluxo de potncia A.C. Contudo, cada problema a ser estudado um caso particular, tendo um objetivo especfico. Dependendo do tipo de aplicao, novas restries ou equaes podem ser acrescentadas, como aquelas relativas ao intercmbio de potncia entre reas.
As principais restries de igualdade utilizadas em problemas de FPO so apresentadas a seguir em sua forma geral.
Equao de Balano de Potncia Ativa:
(1.66)
em que:
-
55
conjunto de barras ligadas barra ; fluxo de potncia ativa da barra para a barra ; potncia ativa gerada na barra ; fator de carga (em pu) na barra ; parcela da carga do tipo potncia constante; parcela da carga que varia linearmente com a tenso; parcela da carga que varia com o quadrado da tenso; carga ativa na barra ; mdulo da tenso na barra ; injeo de potncia ativa na barra . Equao de Balano de Potncia Reativa:
(1.67)
em que:
conjunto de barras ligadas barra ; fluxo de potncia reativa da barra para a barra ; potncia reativa gerada na barra ; injeo de potncia reativa capacitiva na barra ; injeo de potncia reativa indutiva na barra ; mdulo da tenso na barra ; susceptncia shunt ligada barra ; fator de carga (em pu) da barra ; parcela da carga tipo potncia constante; parcela da carga que varia linearmente com a tenso; parcela da carga que varia com o quadrado da tenso; carga reativa na barra i. Intercmbio de Potncia entre reas:
-
56
(1.68)
em que:
intercmbio lquido na rea ;
fluxo de potncia ativa no circuito ;
conjunto de circuitos de interligao , tal que a medio realizada no n e o n pertence rea ; conjunto de circuitos de interligao , tal que a medio realizada no n e n pertence rea ; conjunto de circuitos de interligao , tal que a medio realizada no n e o n no pertence rea ; conjunto de circuitos de interligao , tal que a medio realizada no n e o n no pertence rea .
6.1.2 Restries de Desigualdade
As restries de desigualdade correspondem s restries funcionais do tipo mximo carregamento em circuitos. Essas restries refletem limites de operao dos equipamentos, ou alguma poltica operativa especfica.
Mdulo da Tenso:
(1.69)
Potncia Ativa Gerada:
(1.70)
Potncia Reativa Gerada:
(1.71)
Tap do Transformador:
(1.72)
-
57
Rejeio de Carga:
Existem algumas situaes, como em sistemas com problemas de tenso ou carregamento dos circuitos, por exemplo, em que pode ser necessrio reduzir a carga em determinadas barras de forma a viabilizar a operao do sistema. Esses cortes de carga so modelados matematicamente por meio do fator , presente nas equaes de balano de potncia ativa e reativa. Esse fator encontra-se dentro dos seguintes limites:
0 1 (1.73)
Observe que = 1 significa que a carga total da barra considerada, enquanto que = 0 anula o valor da carga.
Intercmbio de Potncia entre reas:
(1.74)
Mximo Carregamento dos Circuitos:
(1.75)
6.1.3 Funes Objetivo
Dependendo do tipo de aplicao do problema de FPO, as funes objetivo podem ser lineares ou no lineares. Adicionalmente, podem ser utilizadas isoladamente ou combinadas entre si. A seguir apresentam-se as funes objetivo mais utilizadas.
Mnimo Custo de Gerao Ativa:
(1.76)
em que:
conjunto de geradores cujas potncias ativa so controladas; custo de gerao ativa do gerador ; gerao ativa do gerador . Mnima Injeo de Potncia Reativa:
-
58
(1.77)
em que:
conjunto de barras candidatas injeo de potncia reativa capacitiva; potncia reativa capacitiva injetada na barra ; conjunto de barras candidatas injeo de potncia reativa indutiva; potncia reativa indutiva injetada na barra . Mnima Perda:
,
(1.78)
em que:
conjunto de circuitos do sistema;
, fluxo de potncia ativa nos circuitos e . Mnimo Corte de Carga:
(1.79)
em que:
conjunto de barras de carga; frao de carga efetiva na barra i; carga original da barra i; frao da carga cortada na barra i.
6.2 Fluxo de Potncia timo Linearizado
O fluxo de potncia ativa em uma linha de transmisso proporcional abertura angular na linha e se desloca no sentido dos ngulos maiores para os ngulos menores. A relao existente entre os fluxos de potncia ativa e as aberturas angulares semelhante relao existente entre os fluxos de corrente e as quedas de tenso em um circuito de corrente contnua. Sendo assim, possvel desenvolver um
-
59
modelo aproximado, conhecido como fluxo de potncia DC, que permite estimar, com baixo custo computacional e preciso aceitvel para muitas aplicaes, a distribuio dos fluxos de potncia ativa em uma rede de transmisso. Esse modelo simplificado bastante utilizado nos estudos de planejamento da expanso de sistemas de transmisso.
Deste ponto em diante, o problema de fluxo de potncia timo (FPO) ser formulado com base no modelo de fluxo de potncia linearizado ou DC. Entretanto, antes de dar incio modelagem matemtica do problema de FPO linearizado, pertinente fazer uma breve reviso sobre programao linear.
Um grande nmero de problemas, tratados por tcnicas de otimizao, pode ser resolvido diretamente ou por meio de simplificaes pelas tcnicas de programao linear (PL), formulado por meio de funes lineares.
De forma matemtica, o problema de programao linear pode ser apresentado como se mostra em (1.80).
(1.80)
: , ,, ,, 0, 1, 2, ,
A equao anterior pode ser escrita de modo compacto, como mostrado em (1.81).
(1.81) : 0
em que representa o vetor de coeficientes da funo objetivo linear, a matriz contm os coeficientes de restries lineares do problema e representa o vetor de termos independentes.
A aplicao do mtodo simplex [1] e [2] para a soluo de problemas de programao linear baseia-se nos seguintes princpios:
Conjuntos de solues convexos: o espao definido pelo conjunto de restries lineares convexo, isto , qualquer combinao linear de duas solues quaisquer pertencentes a este espao tambm vivel. A Figura 1.15 d exemplos de espaos convexos e no convexos em problemas de duas variveis.
-
timlineaprobilustr
Exe
Consem pdistinsem,energ
mo em um ar e um esplema correra essa cara
mplo 6.1:
sidere que upontos diferntos para ca, no entantogia. Os dad
ponto extrpao de so
esponde a acterstica.
Figura 1.1
um produtorentes no sada geradoo, extrapolados do prob
remo do colues defium vrtice
Figura 1.15
16: Soluo
or independeistema. Os
or. O produtr o limite mlema so a
onjunto deinido por re ou aresta
5: Espao de
tima no ext
ente possus custos de tor deseja v
monetrio esapresentado
solues:estries lina do poli
