Análise Descritiva com Dados Agrupados

Em algumas situações, os dados podem ser apresentados

diretamente nas tabelas de frequências. Netas situações devemos

utilizar estratégias específicas para obter as medidas descritivas de

posição e de dispersão.

A) Variáveis discretas: para variáveis discretas os resultados

com dados agrupados são os mesmos quando se tem a

amostra, pois esta pode ser recomposta com as frequências da

tabela.

Exemplo 1: dados coletados em entrevistas com 48 mulheres de

uma comunidade rural sobre o número de vezes que ficaram

grávidas (dados fictícios).

X = variável número de gravidezes por mulher

Tabela de frequências

ix in if acF ii fx 2)( xxn ii

1 7 0,146 0,146 0,146 30,343

2 13 0,271 0,417 0,542 15,219

3 11 0,229 0,646 0,687 0,074

4 7 0,146 0,792 0,584 5,899

5 6 0,125 0,917 0,625 22,072

6 4 0,083 1,000 0,498 34,059

Total 48 1,000 - 3,082 107,666

Calcular a média, variância, mediana, moda, quartis:

i) Cálculo da média:

k

iii

k

i

i

i

k

i

ii

n

jj

fxn

nx

n

nx

n

x

x111

1

Portanto:

)229,03()271,02()146,01(1

k

iifxx

)083,06()125,05()146,04(

498,0625,0584,0687,0542,0146,01

k

iifxx

3082,31

k

iifxx gravidezes

ii) Cálculo da variância e desvio padrão:

29,247

666,107

11

2

2

k

i

ii

n

xxns

514,129,2 s gravidezes

iii) Cálculo da mediana:

3)( xmed pois a 3ª classe acumula mais de 50% dos

dados;

iv) Cálculo dos quartis:

21 Q pois a 2ª classe acumula mais de 25% dos dados;

43 Q pois a 4ª classe acumula mais de 75% dos dados;

v) 2)( xmo 2 é a observação com maior frequência.

Figura 1: Histograma do númerdezes/mulher (dados fictícios).

B) Variáveis contínuas: no caso de variáveis contínuas

devemos considerar uma aproximação que assume que os

dados estão distribuídos de maneira homogênea dentro da

classe.

Assim sendo, para o cálculo das estatísticas descritivas,

devemos utilizar o ponto médio do intervalo como referência e

proceder como no caso anterior.

Exemplo 2: Salário de 36 funcionários da Companhia MB em

número de salários mínimos (dados fictícios)

X = salário (sm)

Tabela de frequências

classes Pto.

Médio ix in if acF ii fx 2)( xxn ii

04 |-- 08 6 10 0,28 0,28 1,68 274,576

08 |-- 12 10 12 0,33 0,61 3,30 18,451

12 |-- 16 14 8 0,22 0,83 3,08 60,941

16 |-- 20 18 5 0,14 0,97 2,52 228,488

20 |-- 24 22 1 0,03 1,00 0,66 115,778

Total 36 1,000 - 11,24 698,234

Calcular a média, variância, mediana, moda, quartis: (no caso, xi, i = 1, 2, …, k são os pontos médios das classes)

i) Cálculo da média:

24,111

k

iifxx sm

ii) Cáclculo da variância e desvio padrão:

950,19

35

234,698

11

22

kii

n

xxns

467,4950,19 s sm

iii) )(xmed pertence à 2ª classe, pois a 2ª classe acumula mais de

50% dos dados ( 50,0acF ).

Como até a classe anterior temos 0,28 de distribuição

acumulada, os 0,22 restantes para totalizar 0,50 devem ser obtidos

da 2ª classe. Assim, por meio da proporcionalidade entre os

retângulos na figura (regra de três), obtém-se a mediana.

Logo, 22,0

33,0

8)(

)812(

xmed,

de onde se obtêm:

22,0)812(33,08)( xmed

33,0

22,048)(

xmed

67,10)( xmed sm

iv) Para os quartis o procedimento é semelhante ao da mediana.

Para o quartil 1Q devemos encontrar a classe que acumula

uma frequência igual ou maior do que 0,25.

Desta forma, 1Q pertence à 1ª classe, que acumula uma

frequência igual a 0,28. Num procedimento semelhante ao

anterior, temos:

Portanto,

25,0

28,0

4

)48(

1

Q

de onde se obtêm:

28,0

25,0441

Q

57,71 Q sm

v) 3

Q pertence à 3ª classe, que acumula uma frequência igual a

0,83 (> 0,75).

Desta forma, temos:

Portanto,

14,0

22,0

12

)1216(

3

Q

de onde se obtêm:

22,0

14,0412

3

Q

55,143Q sm

Os cálculos acima podem resumidos na fórmula dos percentis

amostrais. No caso a mediana é o percentil 0.50 (50%) e sua

fórmula é dada por:

i

ca

inff

FhLxmed

)1(50.0)(

,

Em que:

h = amplitude da classe;

Linf = limite inferior da classe da mediana;

fi = frequência relativa da classe que contém a mediana;

)1(caF = frequência acumulada até a classe imediatamente

anterior à classe da mediana.

Obs: Para os quartis 1

Q e 3

Q a fórmula é a mesma, substituindo

apenas a frequência 0,5 por 0,25 e 0,75, respectivamente.

vi) Cálculo da moda:

Para dados agrupados, ao invés da moda, pode-se considerar a

classe modal , que neste caso é a 2ª classe, com frequência igual

a 12, ou seja, a classe modal seria: )12;8[ .

Porém, uma opção maia apropriada seria a moda de Czuber,

calculada a seguir:

6

88

)42(

248)(

xmo

cz

33.9)( xmocz

sm

A seguir são apresentados mais 2 exemplos com dados

agrupados variando a forma de cálculo: o primeiro caso com

dados discretos e o segundo, dados contínuos.

Dados coletados em entrevistas com 500 pessoas sendo coletadas

informações sobre o tempo de casamento até o primeiro divórcio e

o número de divórcios de cada.

Exemplo 3

Variável discreta: X = número de divórcios por indivíduo

Tabela de frequências.

Divórcios = xi ni fi Fac xi fi ni xi2

1 240 0,480 0,480 0,480 240

2 125 0,250 0,730 0,500 500

3 81 0,162 0,892 0,486 729

4 48 0,096 0,988 0,384 768

5 6 0,012 1,000 0,060 150

Total 500 1,000 - 1,910 2387

i) Média amostral:

k

iii fxx

1

= 1,91 divórcios

ii) Variância e desvio padrão amostrais:

13,1499

95,562

)1500(

)910.1(5002387

)1(

222

2

n

xnxs i

06,1s divórcios

iii) Mediana: med(x) = 2 divórcios (Fac em xi = 2 é maior que 0,50)

iv) Quartis:

11Q divórcio (Fac em xi = 1 é maior que 0,25)

33Q divórcios (Fac em xi = 3 é maior que 0,75)

Outra representação: Divórcios = xi ni fi Fac xi fi (xi – x ) ni (xi – x )

2

1 240 0,480 0,480 0,480 -0,910 198,744

2 125 0,250 0,730 0,500 0,090 1,013

3 81 0,162 0,892 0,486 1,090 96,236

4 48 0,096 0,988 0,384 2,090 209,669

5 6 0,012 1,000 0,060 3,090 57,2886

Total 500 1,000 – 1,910 – 562,950

Média amostral: ii fxx = 1.91 divórcios

Variância amostral:

13,1499

95,562

)1(

2

2

n

xxs i

Exemplo 4

Variável contínua: X = tempo, em anos, até o primeiro divórcio.

Tabela de frequências.

Anos até 1º.

divórcio

Pto. médio

xi ni fi Fac xi fi ni xi

2

0 |---- 6 3 280 0,56 0,56 1,68 2520

6 |---- 12 9 140 0,28 0,84 2,52 11340

12 |---- 18 15 60 0,12 0,96 1,80 13500

18 |---- 24 21 15 0,03 0,99 0,63 6615

24 |---- 30 27 5 0,01 1,00 0,27 3645

Total

500 1,00 – 6,90 37620

i) Média amostral: ii fxx = 6.90 anos

ii) Variância e desvio padrão amostrais:

685,27499

13815

)1500(

)90,6(50037620

)1(

222

2

n

xnxs i

26,5s anos

iii) Mediana:

Pertence à 1ª classe, pois sua Fac é maior do que 0,50.

Regra de três

50,0

56,0

0)(

)06(

xmed,

de onde se obtêm:

50,0656,0)( xmed

56,0

50,06)(

xmed

36,5)( xmed anos

iv) Quartis:

Q1 pertence à 1ª classe, pois sua Fac é maior do que 0,25.

Regra de três

25,0

56,0

0

)06(

1

Q,

25,0656,01

Q

68,21Q anos

Q3 pertence à 2ª classe, pois sua Fac é maior do que 0,75.

Acumulado até a classe anterior 0,56, portanto, faltam

19,056,075,0 de frequência.

Regra de três

19,0

28,0

6

)612(

1

Q,

19,0628,061

Q

07,101Q anos

Outra representação: Anos = xi

ptos. médios ni fi Fac xi fi (xi – x ) ni (xi – x )

2

3 280 0,56 0,56 1,68 -3,9 4258,8

9 140 0,28 0,84 2,52 2,1 617,4

15 60 0,12 0,96 1,80 8,1 3936,6

21 15 0,03 0,99 0,63 14,1 2982,15

27 5 0,01 1,00 0,27 20,1 2020,05

Total 500 1,00 - 6,90 - 13815

Média amostral: ii fxx = 6.90 anos

Variância amostral:

685.27499

13815

)1(

22

n

xxs i anos2

Exemplo 5: Notas no teste GMAT (Graduate Management Apititude Test)

na seleção de alunos de graduação numa universidade americana.

Tabela de frequências.

Escores Pto. médio: xi ni fi xi fi ni xi2

300 |-- 350 325 3 0,035 11,5 316875

350 |-- 400 375 7 0,082 30,9 984375

400 |-- 450 425 18 0,212 90,0 3251250

450 |-- 500 475 24 0,282 134,1 5415000

500 |-- 550 525 15 0,176 92,6 4134375

550 |-- 600 575 10 0,118 67,6 3306250

600 |-- 650 625 4 0,047 29,4 1562500

650 |-- 700 675 4 0,047 31,8 1822500

Totais 85 1,000 488 20793125

i) Média amostral: ii fxx = 488 pts

ii) Variância e desvio padrão amostrais:

2,655884

2024224020793125

)1(

22

2

n

xnxns

ipts2

98,802,6558 s pts

Histograma:

Percentis amostrais pelo gráfico da distribuição acumulada

Escores Pto. médio: xi ni fi Fac

300 |-- 350 325 3 0,035 0,035

350 |-- 400 375 7 0,082 0,117

400 |-- 450 425 18 0,212 0,329

450 |-- 500 475 24 0,282 0,611

500 |-- 550 525 15 0,176 0,787

550 |-- 600 575 10 0,118 0,905

600 |-- 650 625 4 0,047 0,952

650 |-- 700 675 4 0,048 1,000

Totais 85 1,000

Obtenção da mediana por semelhança de triângulos: