Análise dinâmica de sólidos elásticos pelo método dos elementos ...

Análise dinâmica de sólidos elásticos pelo método dos

elementos finitos

Vítor Hugo Amaral Carreiro

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira

Orientador: Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões

Vogal: Doutor António Manuel Figueiredo Pinto da Costa

Junho de 2009

i

Agradecimentos

Em primeiro lugar, quero manifestar o meu profundo agradecimento ao Professor Fernando

Simões, meu orientador científico, pelo seu total apoio, amizade, motivação e disponibilidade

demonstrada ao longo do trabalho. Agradeço também todos os conhecimentos que me

transmitiu, que foram, sem dúvida, extremamente importantes para a realização deste trabalho

e para o meu enriquecimento pessoal.

Agradeço ao meu irmão Henrique, pela sua preciosa ajuda, principalmente na resolução de

alguns problemas informáticos inesperados. Os seus conhecimentos em Engenharia

Informática foram-me muito úteis.

À minha namorada Mafalda devo-lhe um agradecimento muito especial, pelo incondicional

apoio, paciência e força transmitida ao longo de todo o trabalho. Foi sempre a minha força nos

momentos mais pessimistas.

Esta dissertação é dedicada aos meus pais, por tudo o que têm feito por mim durante toda a

minha vida. Devo a eles tudo o que sou hoje. Obrigado.

iii

Resumo

O método dos elementos finitos (m.e.f.) é um método numérico que permite obter

aproximações de dimensão finita para problemas de valor de fronteira, sendo hoje em dia uma

ferramenta muito útil na análise de muitos problemas lineares ou não lineares em mecânica

dos meios contínuos.

Esta dissertação tem como objectivo fundamental o desenvolvimento de um programa de

elementos finitos, em linguagem Fortran, que permita analisar problemas planos dinâmicos

com deformação infinitesimal, envolvendo sólidos elásticos lineares, e em que a integração das

equações da dinâmica possa ser efectuada por métodos explícitos ou implícitos.

Os dois programas de elementos finitos concebidos (um utilizando a integração implícita e

outro a integração explícita) são aplicados posteriormente na análise dinâmica de três

estruturas, com carregamentos e condições de fronteira diferentes. O primeiro desses

exemplos (sólido) é utilizado para validar os programas desenvolvidos, comparando os

resultados obtidos nesse exemplo com os resultados obtidos com o programa comercial

Abaqus. Nos outros dois exemplos mais complexos (viga em consola e viga bi-encastrada)

comparam-se as soluções obtidas com os dois diferentes tipos de integração numérica no

tempo e com malhas de 4 nós e de 8 nós e discutem-se os resultados obtidos.

Enquanto que na regra de integração explícita o incremento de tempo está limitado por razões

de estabilidade, na regra de integração implícita este só está limitado por razões de precisão. A

utilização do mesmo incremento de tempo nos dois casos conduz, em geral, a uma melhor

aproximação dos resultados obtidos com a regra de integração implícita, à custa de um

aumento do tempo de cálculo. A consideração de uma regra de integração implícita permite

ainda, através da introdução de amortecimento numérico, reduzir a influência dos modos de

energia mais elevada nos resultados.

Os programas desenvolvidos poderão servir como ponto de partida para futuros

desenvolvimentos de outros programas.

Palavras-Chave: Método dos elementos finitos, Integração explícita, Integração implícita,

Análise dinâmica, Sólidos elásticos lineares.

v

Abstract

The finite element method (FEM) is a numerical method that allows the attainment of finite

dimension approximations for boundary value problems and is now a highly useful tool in the

analysis of many linear or non linear problems in continuum mechanics.

The core objective of this dissertation is the development of a finite element program in the

Fortran programming language for the dynamic analysis of plane linear elastic solids

experiencing infinitesimal strains and where the integration of the dynamic equations may be

carried out by explicit or implicit methods.

The two finite element programs (one with recourse to implicit integration and the other with

explicit integration) are applied in the dynamic analysis of three structures with different loads

and boundary conditions. The first such example (solid), where the results obtained are

compared with results generated by the Abaqus commercial program, serves to validate the

written program. In the other two more complex examples (cantiliver beam and doubly-clamped

beam), the solutions obtained with two different types of numerical time integration and two

different meshes are compared and discussed.

While the rule for explicit integration is that the time increment is limited for reasons of stability,

the rule for implicit integration is that the time increment is limited only for reasons of precision.

The utilisation of the same time increment in the two cases generally leads to a better

approximation of the results obtained with the implicit integration rule at the cost of an increased

time of calculation. Incorporating an implicit integration rule further enables, through the

introduction of numerical damping, a reduction of the influence of the higher energy mode levels

on the results.

The programs developed may serve as the basis for future software applications.

Keywords: Finite element method, Explicit integration, Implicit integration, Dynamic analysis,

Linear elastic solids.

vii

Índice geral

1. Introdução .............................................................................................................................. 1

1.1 Enquadramento Geral ................................................................................................... 1

1.2 Objectivos ...................................................................................................................... 1

1.3 Estrutura da Dissertação ............................................................................................... 2

2. O Problema da elasticidade plana linear............................................................................... 3

2.1 Introdução ...................................................................................................................... 3

2.2 Formulação Forte .......................................................................................................... 4

2.3 Formulação fraca ou variacional ................................................................................... 6

2.4 Elasticidade Plana (2D) ................................................................................................. 7

2.5 Aproximação por elementos finitos ............................................................................... 9

2.6 Integração no tempo das equações da dinâmica ....................................................... 13

2.6.1 Integração explícita ............................................................................................. 13

2.6.2 Integração implícita ............................................................................................. 15

3. Elementos finitos isoparamétricos ....................................................................................... 18

3.1 Introdução .................................................................................................................... 18

3.2 Os elementos quadriláteros bilinear (4 nós) e quadrático (8 nós) .............................. 18

3.3 Cálculos relativos aos elementos bidimensionais ....................................................... 21

3.4 Integração numérica – Quadratura de Gauss ............................................................. 24

4. Aplicação do método dos elementos finitos ........................................................................ 26

4.1 Introdução .................................................................................................................... 26

4.2 Exemplo 1: Sólido........................................................................................................ 26

viii

4.2.1 Elementos de 4 nós ............................................................................................. 28

4.2.2 Elementos de 8 nós ............................................................................................. 34

4.2.3 Comparação entre elementos de 4 e 8 nós ........................................................ 37

4.2.4 Comparação entre o caso dinâmico e o caso estático ....................................... 41

4.3 Exemplo 2: Viga em consola ....................................................................................... 44

4.3.1 Elementos de 4 nós ............................................................................................. 45

4.3.2 Elementos de 8 nós ............................................................................................. 52


4.4 Exemplo 3: Viga bi-encastrada ................................................................................... 59

4.4.1 Elementos de 4 nós ............................................................................................. 60

4.4.2 Elementos de 8 nós ............................................................................................. 68


5. Conclusões e sugestões para desenvolvimentos futuros ................................................... 77

6. Bibliografia ........................................................................................................................... 79

ANEXOS ...................................................................................................................................... 81

Anexo 1 – Malha da viga em consola com elementos de 4 nós ............................................ A-1

Anexo 2 – Malha da viga em consola com elementos de 8 nós ............................................ A-5

Anexo 3 – Malha da viga bi-encastrada com elementos de 4 nós ........................................ A-9

Anexo 4 – Malha da viga bi-encastrada com elementos de 8 nós ...................................... A-13

Anexo 5 – Modos de vibração dados pelo Abaqus .............................................................. A-17

Viga em consola com elementos de 4 nós ...................................................................... A-19

Viga bi-encastrada com elementos de 4 nós ................................................................... A-21

ix

Anexo 6 – Frequências de vibração dadas pelo Abaqus ..................................................... A-23





Anexo 7 – Tempo de cálculo de cada exemplo ................................................................... A-29

xi

Índice de figuras

Figura 1 - Corpo elástico linear na sua configuração indeformada .............................................. 3

Figura 2 - Malha de elementos finitos ........................................................................................... 9

Figura 3 - Elemento Quadrilátero de 4 nós Ω à esquerda e elemento mestre Ω à direita ... 19

Figura 4 - Elemento mestre Ω de 8 nós ................................................................................... 20

Figura 5 - Sólido .......................................................................................................................... 27

Figura 6 - Intensidade da carga ao longo do tempo ................................................................ 27

Figura 7 - Malha do sólido com elementos de 4 nós .................................................................. 28

Figura 8 - Integração Explícita / Abaqus – Deslocamento vertical ............................................. 29

Figura 9 - Integração Implícita (α 0) / Abaqus – Deslocamento vertical ................................ 29

Figura 10 - Integração Implícita (α 0,05) / Abaqus – Deslocamento vertical ...................... 30

Figura 11 - Integração Implícita (α 1/3) / Abaqus – Deslocamento vertical ....................... 30

Figura 12 - Integração Explícita / Abaqus – Tensão vertical ...................................................... 31

Figura 13 - Integração Implícita (α 0) / Abaqus – Tensão vertical ......................................... 32

Figura 14 - Integração Implícita (α 0,05) / Abaqus – Tensão vertical ................................. 32

Figura 15 - Integração Implícita α 1/3) / Abaqus – Tensão vertical .................................. 33

Figura 16 - Malha do sólido com elementos de 8 nós ................................................................ 34

Figura 17 - Integração Explícita / Abaqus – Deslocamento vertical ........................................... 35

Figura 18 - Integração Implícita (α 1/3) / Abaqus – Deslocamento vertical ....................... 35

Figura 19 - Integração Explícita / Abaqus – Tensão vertical ...................................................... 36

xii

Figura 20 - Integração Implícita (α 1/3) / Abaqus – Tensão vertical .................................. 36

Figura 21 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento vertical .............. 37

Figura 22 - Integração Implícita (α 1/3) em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento

vertical ......................................................................................................................................... 38

Figura 23 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Tensão vertical ......................... 38

Figura 24 - Integração Implícita (α 1/3) em elementos de 4 e 8 nós – Tensão vertical ..... 39

Figura 25 - Deformada do sólido com elementos de 4 nós ........................................................ 40

Figura 26 - Deformada do sólido com elementos de 8 nós ........................................................ 40

Figura 27 - Intensidade da carga ao longo do intervalo de tempo [0 – 0,002s] – Casos 1 e 241

Figura 28 - Intensidade da carga ao longo do intervalo de tempo [0 – 0,5s] – Caso 3 ........... 42

Figura 29 - Caso dinâmico/Caso estático – [0 – 0,002s] ............................................................ 42

Figura 30 - Caso dinâmico/Caso estático – [0 – 0,5s] ................................................................ 43

Figura 31 - Viga em consola ....................................................................................................... 44

Figura 32 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 0) – Deslocamento horizontal no

intervalo [0 – 0,02s] ..................................................................................................................... 45

Figura 33 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 1/3) – Deslocamento horizontal no

intervalo [0 – 0,02s] ..................................................................................................................... 46


intervalo [1 – 1,02s] ..................................................................................................................... 46


intervalo [1 – 1,02s] ..................................................................................................................... 47

xiii


intervalo [10 – 10,02s] ................................................................................................................. 47


intervalo [10 – 10,02s] ................................................................................................................. 48

Figura 38 - Diagrama de tensões no intervalo [0 – 0,02s] – Integração Explícita (T1 =

0,0000875s ; T5 = 0,0004375s ; T9 = 0,0007875s ; T13 = 0,0011375s ; T17 = 0,0014875s) ... 49

Figura 39 - Diagrama de tensões no intervalo [0 – 0,02s] – Integração Implícita (α 1/3) (T1

= 0,0000875s ; T5 = 0,0004375s ; T9 = 0,0007875s ; T13 = 0,0011375s ; T17 = 0,0014875s) 49


1,0000365s ; T5 = 1,0003865s ; T9 = 1,0007365s ; T13 = 1,0010865s ; T17 = 1,0014365s) ... 50


= 1,0000365s ; T5 = 1,0003865s ; T9 = 1,0007365s ; T13 = 1,0010865s ; T17 = 1,0014365s) 50


10,0000150s ; T5 = 10,0003650s ; T9 = 10,0007150s ; T13 = 10,0010650s ; T17 =

10,0014150s)............................................................................................................................... 51

Figura 43 - Diagrama de tensões no intervalo [10 – 10,02s] – Integração Implícita (α 1/3)

(T1 = 10,0000150s ; T5 = 10,0003650s ; T9 = 10,0007150s ; T13 = 10,0010650s ; T17 =

10,0014150s)............................................................................................................................... 51


0,0000875s ; T5 = 0,0004375s ; T9 = 0,0007875s ; T13 = 0,0011375s ; T17 = 0,0014875s) ... 53


= 0,0000875s ; T5 = 0,0004375s ; T9 = 0,0007875s ; T13 = 0,0011375s ; T17 = 0,0014875s) 53


1,0000369s ; T5 = 1,0003869s ; T9 = 1,0007369s ; T13 = 1,0010869s ; T17 = 1,0014369s) ... 54

xiv


= 1,0000369s ; T5 = 1,0003869s ; T9 = 1,0007369s ; T13 = 1,0010869s ; T17 = 1,0014369s) 54

Figura 48 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento horizontal no

intervalo [0 – 0,02s] ..................................................................................................................... 55


horizontal no intervalo [0 – 0,02s] ............................................................................................... 56

Figura 50 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento horizontal no

intervalo [1 – 1,02s] ..................................................................................................................... 56


horizontal no intervalo [1 – 1,02s] ............................................................................................... 57

Figura 52 - Deformada da viga em consola com elementos de 4 nós ........................................ 58

Figura 53 - Deformada da viga em consola com elementos de 8 nós ........................................ 58

Figura 54 - Viga bi-encastrada .................................................................................................... 59

Figura 55 - Intensidade da carga ao longo do tempo ............................................................. 59

Figura 56 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 0) – Deslocamento vertical durante o

carregamento [0 – 0,1s] .............................................................................................................. 61

Figura 57 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 1/3) – Deslocamento vertical

durante o carregamento [0 – 0,1s] .............................................................................................. 61

Figura 58 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 0) – Deslocamento vertical após o

carregamento [0,1 – 0,24s] ......................................................................................................... 62

Figura 59 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 1/3) – Deslocamento vertical após

o carregamento [0,1 – 0,24s] ...................................................................................................... 62


carregamento [10 – 10,14s] ........................................................................................................ 63

xv

Figura 61 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 1/3) – Deslocamento vertical após

o carregamento [10 – 10,14s] ..................................................................................................... 63

Figura 62 - Diagrama de tensões durante o carregamento [0 – 0,1s] – Integração Explícita (T4 =

0,0018200s ; T9 = 0,0040950s ; T14 = 0,0063700s ; T19 = 0,0086450s ; T24 = 0,0109200s) . 64

Figura 63 - Diagrama de tensões durante o carregamento [0 – 0,1s] – Integração Implícita

(α 1/3) (T4 = 0,0018200s ; T9 = 0,0040950s ; T14 = 0,0063700s ; T19 = 0,0086450s ; T24

= 0,0109200s) ............................................................................................................................. 65

Figura 64 - Diagrama de tensões após o carregamento [0,1 – 0,24s] – Integração Explícita (T4

= 0,1014649s ; T9 = 0,1037399s ; T14 = 0,1060149s ; T19 = 0,1082899s ; T24 = 0,1105649s)

..................................................................................................................................................... 65

Figura 65 - Diagrama de tensões após o carregamento [0,1 – 0,24s] – Integração Implícita

(α 1/3) (T4 = 0,1014649s ; T9 = 0,1037399s ; T14 = 0,1060149s ; T19 = 0,1082899s ; T24

= 0,1105649s) ............................................................................................................................. 66

Figura 66 - Diagrama de tensões após o carregamento [10 – 10,14s] – Integração Explícita (T4

= 10,0013476s ; T9 = 10,0036226s ; T14 = 10,0058976s ; T19 = 10,0081726s ; T24 =

10,0104476s)............................................................................................................................... 66

Figura 67 - Diagrama de tensões após o carregamento [10 – 10,14s] – Integração Implícita

(α 1/3) (T4 = 10,0013476s ; T9 = 10,0036226s ; T14 = 10,0058976s ; T19 = 10,0081726s ;

T24 = 10,0104476s) .................................................................................................................... 67


0,0018200s ; T9 = 0,0040950s ; T14 = 0,0063700s ; T19 = 0,0086450s ; T24 = 0,0109200s) . 68

Figura 69 - Diagrama de tensões durante o carregamento [0 – 0,1s] – Integração Implícita

(α 1/3) (T4 = 0,0018200s ; T9 = 0,0040950s ; T14 = 0,0063700s ; T19 = 0,0086450s ; T24

= 0,0109200s) ............................................................................................................................. 69

xvi

Figura 70 - Diagrama de tensões após o carregamento [0,1 – 0,24s] – Integração Explícita (T4

= 0,1014650s ; T9 = 0,1037400s ; T14 = 0,1060150s ; T19 = 0,1082900s ; T24 = 0,1105650s)

..................................................................................................................................................... 69

Figura 71 - Diagrama de tensões após o carregamento [0,1 – 0,24s] – Integração Implícita

(α 1/3) (T4 = 0,1014650s ; T9 = 0,1037400s ; T14 = 0,1060150s ; T19 = 0,1082900s ; T24

= 0,1105650s) ............................................................................................................................. 70

Figura 72 - Diagrama de tensões após o carregamento [10 – 10,14s] – Integração Explícita (T4

= 10,0013562s ; T9 = 10,0036312s ; T14 = 10,0059062s ; T19 = 10,0081812s ; T24 =

10,0104562s)............................................................................................................................... 70

Figura 73 - Diagrama de tensões após o carregamento [10 – 10,14s] – Integração Implícita

(α 1/3) (T4 = 10,0013562s ; T9 = 10,0036312s ; T14 = 10,0059062s ; T19 = 10,0081812s

; T24 = 10,0104562s) .................................................................................................................. 71

Figura 74 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento vertical durante o

carregamento [0 – 0,1s] .............................................................................................................. 72


vertical durante o carregamento [0 – 0,1s] .................................................................................. 72

Figura 76 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento vertical após o

carregamento [0,1 – 0,24s] ......................................................................................................... 73


vertical após o carregamento [0,1 – 0,24s] ................................................................................. 73

Figura 78 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento vertical após o

carregamento [10 – 10,14s] ........................................................................................................ 74


vertical após o carregamento [10 – 10,14s] ................................................................................ 74

Figura 80 - Deformada da viga bi-encastrada com elementos de 4 nós .................................... 75

xvii

Figura 81 - Deformada da viga bi-encastrada com elementos de 8 nós .................................... 76

Índice de tabelas

Tabela 1 - Algoritmo do método .............................................................................................. 17

Tabela 2 - Coordenadas e pesos para regras integração de Gauss .......................................... 25

Tabela 3 - Propriedades do sólido .............................................................................................. 28

Tabela 4 - Propriedades da viga em consola .............................................................................. 44

Tabela 5 - Propriedades da viga bi-encastrada .......................................................................... 60

xix

Abreviaturas

m.e.f - Método dos elementos finitos

E.P.T. - Estado plano de tensão

E.P.D. - Estado plano de deformação

P.T.V. - Princípio dos trabalhos virtuais

P.G. - Pontos de Gauss

Simbologia

Ω - Domínio ocupado por um corpo

- Forças de massa distribuídas no interior de um corpo por unidade de volume

Ω - Superfície do corpo

- Deslocamentos prescritos em parte da superfície do corpo (= 0)

- Forças por unidade de superfície de um corpo

- Vector de deslocamento (m)

- Vector de velocidade (m/s)

- Vector de aceleração (m/s2)

- Vector dos deslocamentos nodais (m)

- Vector das velocidades nodais (m/s)

- Vector das acelerações nodais (m/s2)

- Vector dos deslocamentos virtuais nodais cinematicamente admissíveis

- Tempo (s)

- Massa específica (Kg/m3)

- Tensor das tensões

! - Tensor das deformações

xx

" - Vector de componentes de tensão (Pa)

# - Vector de componentes de deformação

$ - Módulo de elasticidade (Pa)

% - Coeficiente de Poisson

& - Vector da função de teste (deslocamentos virtuais)

Ω - Elemento finito (e)

' - Matriz das funções de forma

( - Número total de nós num elemento (e)

) - Matriz de operadores diferenciais

* - Matriz dos coeficientes elásticos

+ - Matriz de deformação

, - Vector das forças exteriores

- - Vector das forças interiores (- .)

. - Matriz de rigidez

/ - Matriz de massas

0 - Constante de proporcionalidade

12 - Número total de elementos finitos utilizados na discretização de um sólido

Δ - Incremento de tempo

4 - Frequência

, 5, 6 - Parâmetros que controlam a precisão e a estabilidade do método

7, 8 - Constantes de Lamé

Δ9 - Força residual

. - Matriz de rigidez efectiva

: - Pesos associados a um ponto de Gauss

xxi

1 - Ordem da regra de quadratura de Gauss

Ω - Elemento mestre

;, < - Coordenadas naturais do elemento mestre

= - Símbolo de Kronecker

> - Matriz jacobiana de transformação

- Carga uniformemente distribuída

- Carga pontual

1

1. Introdução

1.1 Enquadramento Geral

Quase todos os fenómenos na natureza podem ser descritos, com a ajuda das leis da Física,

por equações algébricas, diferenciais ou integrais que relacionam entre si diversas quantidades

importantes para os problemas em causa. A obtenção das equações que regem esses

fenómenos constitui, por um lado, um grande desafio. Por outro lado, a sua resolução através

de métodos exactos poderá tornar-se difícil senão mesmo impossível. Isto acontece em

problemas da mecânica dos meios contínuos quando, por exemplo, os dados do problema

(geometria do domínio, propriedades dos materiais, condições de fronteira, carregamento, etc.)

são muito irregulares. Nestes casos há que recorrer a métodos aproximados de análise,

nomeadamente a métodos numéricos.

O método dos elementos finitos (m.e.f.) é um dos métodos que permite obter aproximações de

dimensão finita para problemas de valores de fronteira. Um problema de valores de fronteira

consiste na determinação de uma ou mais funções incógnitas, chamadas variáveis

dependentes, que satisfazem um dado conjunto de equações diferenciais no interior dum dado

domínio ou região e que tomam elas próprias, e possivelmente as suas derivadas, valores

conhecidos na fronteira desse domínio [1,2].

O m.e.f. teve um grande desenvolvimento nas últimas décadas e é hoje uma ferramenta muito

útil na análise de muitos problemas lineares ou não lineares em mecânica dos meios contínuos

[1,2].

1.2 Objectivos

A presente dissertação tem como objectivo fundamental o desenvolvimento de um programa

de elementos finitos, em linguagem Fortran [3,4], que permita analisar problemas planos

dinâmicos com deformação infinitesimal, envolvendo sólidos elásticos lineares, e em que a

integração das equações da dinâmica possa ser efectuada por métodos explícitos ou

implícitos.

Desenvolveram-se assim dois programas de cálculo distintos, um em que as equações da

dinâmica são integradas explicitamente e outro em que são integradas implicitamente. Ambos

são aplicados neste trabalho à análise de problemas em Engenharia Civil.

Os programas desenvolvidos destinam-se a ser utilizados pelos investigadores do núcleo 2 –

Mecânica, Modelação e Análise de Estruturas – do Instituto de Engenharia de Estruturas,

2

Território e Construção (ICIST), que é umas das unidades de investigação do Instituto Superior

Técnico, quer em análises dinâmicas lineares quer como ponto de partida para o

desenvolvimento de outros programas de cálculo destinados a resolver problemas dinâmicos

que envolvam, por exemplo, materiais com leis de comportamento mais complexos.

1.3 Estrutura da Dissertação

Este trabalho encontra-se dividido em 4 capítulos principais.

O 2º capítulo descreve os conceitos teóricos fundamentais que estão na base do m.e.f..

Apresentam-se todos os passos necessários para se chegar às equações de equilíbrio

dinâmico global de um corpo elástico e descrevem-se os dois esquemas de integração no

tempo das equações da dinâmica: a integração explícita e a integração implícita.

No 3º capítulo faz-se referência ao conceito de elementos finitos isoparamétricos e descrevem-

se os cálculos relativos a elementos bidimensionais.

No 4º capítulo aplicam-se os programas de elementos finitos na análise dinâmica de três

estruturas, com carregamentos e condições de fronteira diferentes. O primeiro desses

exemplos é utilizado para validar os programas de elementos finitos desenvolvidos. Os

resultados obtidos nesse exemplo são comparados com os resultados obtidos com o programa

comercial Abaqus.

Nos restantes dois exemplos comparam-se as soluções obtidas com os dois diferentes tipos de

integração numérica no tempo e com malhas de 4 nós e de 8 nós e discutem-se os resultados.

No 5º capítulo apresentam-se as conclusões finais resultantes da realização do presente

trabalho. Destaca-se também a importância que os programas desenvolvidos poderão ter em

trabalhos futuros.

3

2. O Problema da elasticidade plana linear

2.1 Introdução

O método dos elementos finitos aplica-se mais popularmente na análise de tensões e

deformações em estruturas elásticas lineares na hipótese dos pequenos deslocamentos

(elasticidade infinitesimal).

O problema de valores iniciais e na fronteira que se pretende considerar consiste na

determinação dos deslocamentos, deformações e tensões no domínio Ω ocupado por um corpo

elástico linear na sua configuração indeformada ao longo do tempo ? @0, AB. O corpo tem

massa volúmica e está sujeito a um campo de forças de massa distribuídas no seu interior

(), impondo-se deslocamentos nulos na parte da superfície do corpo ΩC, e conhecendo-

se as forças por unidade de superfície () aplicadas na parte restante ΩD (Figura 1) [5].

Ω ΩC E ΩD

ΩC F ΩD G

Figura 1 - Corpo elástico linear na sua configuração indeformada

Xj Ω

n

∂Ωu

∂Ωt ūj

tj

y

x

4

2.2 Formulação Forte

Para determinar as incógnitas referidas anteriormente utilizam-se as seguintes equações:

- Equilíbrio Dinâmico em H I @0, AB: , J K L J (2.1)

- Relação cinemática linear em H I @0, AB: ! 12 , J , (2.2)

- Relações constitutivas elásticas lineares (tensão - deformação) em H I @0, AB: $ NO !NO . (2.3)

As condições de fronteira a considerar são:

0 20 HC I @0, AB (condições essenciais) (2.4)

( 20 HD I @0, AB (condições naturais). (2.5)

Relativamente às condições iniciais de deslocamento e velocidade temos:

P, 0 QP P ? H (2.6)

P, 0 QP P ? H . (2.7)

Nas equações (2.1) – (2.5), são as componentes do tensor das tensões de Cauchy, ! as

componentes do tensor das deformações, as componentes do vector deslocamento, a

força de massa por unidade de volume, as componentes da força aplicada na superfície HD por unidade de área e ( as componentes do versor normal exterior a H. A equação (2.2)

5

representa a Lei de Hooke generalizada e $ NO são os coeficientes elásticos do material, que

se admitiram constantes, isto é, o corpo é homogéneo.

Os coeficientes elásticos satisfazem as seguintes propriedades:

- Simetria:

$ NO $NO $ NO $ ON (2.8)

- Forma positiva-definida:

S $TUVW XTU XVW Y 0$TUVW XTU XVW 0 Z XTU 0 [ , \ XTU XUT . (2.9)

Neste trabalho admitiu-se que os corpos são isotrópicos pelo que as componentes do tensor

constitutivo são dadas por

$ NO 7 = =NO J 8= N =O J = O =N (2.10)

em que 7 e 8 são as constantes de Lamé que satisfazem as restrições

8 ] 0 e 7 J _ 8 ] 0 (2.11)

e a partir das quais se definem o módulo de elasticidade $ e o coeficiente de Poisson % através

de

8 `^ abc e 7 c `abcad^c . (2.12)

Introduzindo a equação (2.2) em (2.3) e utilizando (2.8) obtém-se

, e$ NO N,Of, . (2.13)

Substituindo depois a equação (2.13) em (2.1) obtém-se a formulação forte do problema (em

termos dos deslocamentos):

6

ghihj$ NO N,O, J 20 H I @0, AB 20 HC I @0, AB $ NO N,O ( 20 HD I @0, ABP, 0 QP 20 HP, 0 QP 20 H

[ . (2.14)

2.3 Formulação fraca ou variacional

Numa análise por elementos finitos o primeiro passo a ser dado é a obtenção da forma fraca do

problema (2.14). Para tal, multiplica-se a primeira equação em (2.14) por um deslocamento

virtual & (função teste) e integra-se em todo o seu domínio. Tem-se então:

k B$ NO N,O, J @ l mH k l mHnn . (2.15)

Como $ NO N,O, l $ NO N,O l, $ NO N,O l, , substituindo em (2.15) obtém-se:

k $ NO N,O l, mHn k $ NO N,O l, n mH J k l n mH k l n mH . (2.16)

Através do teorema da divergência (ou teorema de Gauss) tem-se

k $ NO N,O l, mH k $ NO N,O l ( mopnn . (2.17)

A função teste l tem de satisfazer as condições de fronteira essenciais e como os

deslocamentos estão prescritos em HC, então l 0 em HC. Por outro lado $ NO N,O ( , logo

k $ NO N,O l ( mo k $ NO N,O l ( pnqpn mo k l mo pnq .

(2.18)

Substituindo (2.18) em (2.16) e atendendo à simetria (2.8) obtém-se finalmente a formulação

fraca do problema:

7

k $ NO N,O l , mH k l pnqn mo J k l n mH k l n mH . \ & cinematicamente admissível

(2.19)

A equação (2.19) corresponde ao princípio dos trabalhos virtuais (P.T.V.) aplicado a um corpo

elástico. O P.T.V. é uma condição necessária e suficiente de equilíbrio (estático ou dinâmico).

O 1º membro representa o trabalho realizado pelas forças internas (tensões) nas deformações

virtuais. O 2º membro representa o trabalho virtual das forças externas, forças de massa (r) e

forças por unidade de superfície (s), e o trabalho da força de inércia.

2.4 Elasticidade Plana (2D)

Existem duas categorias diferentes de problemas planos em elasticidade: o estado plano de

deformação (E.P.D.) e o estado plano de tensão (E.P.T.). Apesar de serem matematicamente

idênticos, fisicamente são bastante diferentes.

Para evitar a utilização de um elevado número de índices adopta-se uma notação livre de

índices. Sendo assim, no caso plano tem-se:

# t !aa!^^2!a^u t a,a^,^a,^ J ^,au ) (2.20)

em que ) é a matriz de operadores diferenciais

) vwwwwwwwwx L 0

0 yy Lz

| (2.21)

e o vector deslocamento

8

a^~ . (2.22)

A lei de Hooke generalizada pode ser escrita na seguinte forma:

" * # * ) (2.23)

em que,

" taa^âû (2.24)

* aa a^ a_^^ ^_T0. __ $aaaa $aa^^ $aaa^$^^^^ $^â^T0. $aâ^ . (2.25)

O 1º membro da equação (2.19) pode ainda escrever-se na forma:

k $ NO N,O l , mH k ) & * ) nn m H . (2.26)

No caso isotrópico, situação que será considerada nesta dissertação, o número de coeficientes

elásticos independentes presentes na matriz * (matriz dos coeficientes elásticos) reduz-se a

dois: $ e %. Sendo assim tem-se para o estado plano de deformação [6]

* $1 J % vwwwwwwwwx 1 %1 2% %1 2% 0

1 %1 2% 0T0. 12 z

|

$1 J % 1 2% 1 % % 01 % 0T0. 1 2%2 (2.27)

9

e para o estado plano de tensão

* $1 %^ 1 % 01 0T0. 1 %2 . (2.28)

2.5 Aproximação por elementos finitos

Considere-se o domínio plano Ω, representado na Figura 2, constituído por uma malha de

elementos finitos Ω 2 1, … , 12.

Figura 2 - Malha de elementos finitos

O ponto crucial da análise é precisamente o cálculo de aproximações locais do problema em

cada elemento, isto é, a obtenção de uma solução aproximada para o problema variacional

(2.19). É este aspecto do método que permite dizer que o problema é formulado para cada

elemento e que a aproximação final do problema é obtida por reunião das equações

elementares – espalhamento [6].

Sendo assim para cada elemento 2 1, … , 12 a componente T T 1,2 do campo de

deslocamentos planos P, é aproximada por

P (2.29)

Ω(e)

y

x

10

em que é o deslocamento do nó do elemento 2 segundo a direcção T no instante

e P é a função de forma associada ao nó . O campo de deslocamentos é então dado

por

' (2.30)

em que ' é a matriz das funções de forma

' a 0 ^ 0 _ 0 0 a 0 ^ 0 _ 2 I 2( (2.31)

o vector dos deslocamentos nodais

a ^ a ^ a ^ … 2( I 1 (2.32)

e ( é o número de nós do elemento 2.

Para um elemento Ω da malha de elementos finitos da Figura 2 tem-se

) &n * e) f mL my & s mopnq J & r mL my n n & mL my . (2.33)

As funções de teste (deslocamentos virtuais) são também aproximadas por & ' , em que é o vector dos deslocamentos virtuais nodais cinematicamente admissíveis. Dada

a arbitrariedade de somos conduzidos ao sistema

) 'n * e) ' f mL my ' s mopnq J ' r mL my n n ' ' mL my . (2.34)

Como a matriz de deformação + é uma matriz dada por

11

+ ) ' vwwwwwwwwx L 0

0 yy Lz

| a 0 ^ 0 _ 0 0 a 0 ^ 0 _ (2.35)

e o vector das forças exteriores é dado por

, k ' s mopnq J k ' r mL myn (2.36)

tem-se então

k +n * + mL my , k n ' ' mL my . (2.37)

A matriz de rigidez . de um elemento e a respectiva matriz de massas / são dadas por

. k + * + mL myn (2.38)

/ k ' ' n mL my . (2.39)

Substituindo (2.38) e (2.39) em (2.37) obtém-se a equação de equilíbrio dinâmico elementar

. J / , . (2.40)

O passo seguinte consiste no espalhamento das matrizes elementares nas matrizes globais

somando, nas posições adequadas, as contribuições elementares. Obtêm-se assim as

matrizes e vector de forças globais

12

. .a (2.41)

/ /a (2.42)

, ,a .

(2.43)

Em (2.41) – (2.43) o operador ∑ , que representa a adição dos vectores e matrizes

elementares, respeita a correspondência entre os graus de liberdade do elemento e os graus

de liberdade globais e 12 é o número total de elementos finitos utilizados na discretização do

sólido.

A equação de equilíbrio dinâmico global do problema de dimensão finita é finalmente dada

por

. J / , K - J / , (2.44)

em que - . são as forças interiores. Esta equação tem de ser satisfeita em cada instante

do intervalo de tempo em que a análise é efectuada. Em (2.44) é o vector global das

acelerações nodais em cada instante; na definição do correspondente vector global dos

deslocamentos nodais já estão tomadas em consideração as condições de fronteira

cinemáticas (essenciais) (2.4).

A matriz de massas elementar definida em (2.39) designa-se por matriz de massas consistente.

No entanto também se pode calcular uma matriz de massas diagonal, obtida através da técnica

de Hinton [7]. Esta técnica consiste no seguinte: para as componentes diagonais da matriz de

massas diagonal tomam-se valores proporcionais às correspondentes componentes da matriz

de massas consistente, sendo a constante de proporcionalidade (0) escolhida de forma a que

a massa total do elemento seja preservada. A matriz de massas diagonalizada associada ao

par de graus de liberdade (deslocamento do nó na direcção T, deslocamento do nó na

direcção U) do elemento 2 é dada por

13

, 0 = k mH , o2 n 0 , o2 [ (2.45)

em que

0 k mHn k n¡a mH ¢£ . (2.46)

massa total do elemento

soma das componentes diagonais da matriz

consistente

A matriz de massas diagonalizada é particularmente útil quando a integração das equações da

dinâmica no tempo é feita explicitamente.

O sistema de equações de equilíbrio dinâmico (2.44) é complementado pelas condições iniciais

0 Q e 0 Q (2.47)

em que Q e Q são os vectores globais de deslocamentos e velocidades nodais iniciais.

As integrações indicadas neste capítulo são efectuadas numericamente. O esquema numérico

de integração utilizado é a regra de quadratura de Gauss, que será explicado posteriormente

na secção 3.4.

2.6 Integração no tempo das equações da dinâmica

A discretização temporal das equações da dinâmica (2.44) é efectuada aproximando as

velocidades e as acelerações através de diferenças finitas. Foram implementados neste

trabalho dois esquemas diferentes de integração no tempo: uma integração explícita, utilizando

diferenças finitas centrais, e uma integração implícita utilizando o método α de Hilber [8].

2.6.1 Integração explícita

Neste esquema de integração as acelerações e as velocidades são aproximadas por

diferenças finitas centrais [5]. As acelerações são dadas por

14

¡ 1¤^ ¡ba 2¡ J ¡da (2.48)

e as velocidades por

¡ 12¤ ¡ba ¡da (2.49)

em que ¤ é o incremento de tempo. Substituindo (2.48) em (2.44) obtêm-se explicitamente os

deslocamentos no instante ¡ba em termos dos deslocamentos nos instantes ¡ e ¡da:

¡ba ¤^ /da ,¡ -¡ J 2¡ ¡da . (2.50)

Utilizando uma matriz de massas diagonal, as equações (2.50) podem ser facilmente

separadas, permitindo obter os deslocamentos no instante ¡ba sem efectuar qualquer

factorização matricial:

¡ba 1 ¤^ B¥ ¡ ¦ ¡@ J 2 ¡ ¡da (não somar em T). (2.51)

Dado que o método das diferenças centrais exige o conhecimento dos deslocamentos nos

instantes ¡ e ¡da para calcular os deslocamentos no instante ¡ba, é necessário, para iniciar

o algoritmo, obter os deslocamentos 0 Δ) a partir das condições iniciais 0 e 0.

Sendo assim, através de (2.49) obtém-se

Q 0 J ¤ 0 ¤2 ¤ (2.52)

pelo que

0 ¤ 2 ¤ Q J 0 J ¤ . (2.53)

Substituindo (2.53) em (2.50) obtém-se

a ¤^2 /da ,Q -Q J Q J ¤ Q . (2.54)

15

Para que o presente algoritmo explícito seja estável é necessário que o incremento de tempo

seja pequeno. Em problemas lineares mostra-se que este algoritmo é estável se os

incrementos de tempo forem limitados por

¤ § 24¨áª (2.55)

em que 4¨áª é a maior frequência do problema correspondente à malha de elementos finitos

utilizada [9].

2.6.2 Integração implícita

O esquema de integração implícita implementado é designado por método α ou método de

Hilber-Hughes-Taylor [8] e é uma modificação do método de Newmark. De acordo com este

método, a discretização no tempo da equação (2.44) é dada por

/ ¡ba J 1 J -¡ba -¡ ,¡b« (2.56)

em que ¡b« 1 J ¡ba ¡ ¡ba J ¤, e a evolução no tempo das soluções

aproximadas é dada pelas seguintes expressões em termos de diferenças finitas:

¡ba ¬¡ba J ¤^ 5 ¡ba (2.57)

¡ba ¡ba J ¤ 6 ¡ba (2.58)

em que

¬¡ba ¡ J ¤ ¡ J ¤^2 1 25 ¡ (2.59)

¡ba ¡ J ¤ 1 6 ¡ . (2.60)

Os valores ¬¡ba e ¡ba tratam-se de previsões para os deslocamentos e velocidades

enquanto que ¡ba e ¡ba se tratam dos respectivos valores corrigidos. Os parâmetros e

16

5 controlam a precisão e a estabilidade do método. O parâmetro permite amortecer o efeito

das frequências mais altas do sistema sem, no entanto, afectar a taxa de convergência do

método. O método de Newmark corresponde à situação 0, sendo também designado por

“Regra do Trapézio”, onde 5 a® e 6 a. Em problemas lineares e simétricos, se os

parâmetros , 6 e 5 forem seleccionados de forma a que ? B 1 3⁄ , 0@, 6 1 2 2⁄ e 5 1 ^ 4⁄ , o método de integração é estável independentemente do tamanho do

incremento de tempo [9].

Para se iniciar o algoritmo, as acelerações Q são obtidas a partir das condições iniciais Q e Q por resolução de

/ Q ,Q -Q . (2.61)

Na Tabela 1 apresentam-se resumidamente os passos deste algoritmo.

Num esquema de integração implícita o incremento de tempo não está limitado por razões de

estabilidade. A necessidade de utilizar incrementos de tempo pequenos justifica-se apenas por

razões de maior precisão dos resultados.

A consideração de valores de menores que 0 permite reduzir a influência dos modos de

energia mais elevada nos resultados.

17

1. Fase de previsão:

¡ba ¬¡ba ¡ J ¤ ¡ J ¤^ 1 25 ¡ 2⁄

¡ba ¡ba ¡ J ¤1 6 ¡ ¡ba ¡ba 0

2. Calcular a força residual utilizando a equação (2.56):

¤9 ,¡b« / ¡ba 1 J -¡ba J -¡ 3. Obter a matriz de rigidez efectiva utilizando a expressão:

. / ¤^ 5 J 1 J .⁄

4. Resolver o sistema:

. ¤ ¤9 5. Fase de correcção:

¡ba ¡ba J ¤ ¡ba B¡ba ¬¡ba @ ¤^5⁄

¡ba ¡ba J ¤ 6 ¡ba

Tabela 1 - Algoritmo do método

18

3. Elementos finitos isoparamétricos

3.1 Introdução

Elementos finitos isoparamétricos (iso = igual) são elementos que utilizam as mesmas funções

forma Ψ para aproximar o campo de deslocamentos e também a própria geometria do

elemento finito.

O conceito de isoparamétrico é muito útil porque torna possível a consideração de elementos

quadriláteros não rectangulares, permitindo assim representar domínios com fronteiras

irregulares. Assim sendo, os elementos finitos isoparamétricos são apropriados para modelar

estruturas que apresentem fronteiras curvas.

Falar-se-á neste capítulo, a título de exemplo, dos elementos quadriláteros bilinear (4 nós) e

quadrático (8 nós), utilizados neste trabalho, e far-se-á referência aos cálculos relativos a estes

elementos bidimensionais e à integração numérica (Quadratura de Gauss).

3.2 Os elementos quadriláteros bilinear (4 nós) e quadrático (8 nós)

O elemento quadrilátero de 4 nós Ω2, representado na Figura 3, é obtido a partir do elemento

“mestre” Ω definido no sistema de coordenadas ;, <, através da regra

ghihjL ;, < L®

ay ;, < y®

a[ (3.1)

em que L, y são as coordenadas globais dos 4 nós (vértices) e são as funções de

forma correspondentes aos 4 nós, vértices do elemento mestre no sistema ;, <. As

coordenadas ;, < chamam-se coordenadas naturais ou normais.

19

1 2

3

4

(-1,-1) (1,-1)

(1,1) (-1,1)

η

ξ

(x4,y4)

(x3,y3)

(x2,y2) (x1,y1)

y

x x = x(ξ,η) y = y(ξ,η)

ξ = ξ(x,y) η = η(x,y)

1 2

3 4

Figura 3 - Elemento Quadrilátero de 4 nós Ω à esquerda e elemento mestre Ω à direita

As funções de forma do elemento de 4 nós são obtidas considerando expansões

bilineares da forma

L;, < ±Q J ±a ; J ±^ < J ±_ ; <

(3.2) y;, < mQ J ma ; J m^ < J m_ ; <

e estipulando que

tL; , < Ly; , < y [ (3.3)

obtém-se

ghhihhja 14 1 ; 1 <

14 1 J ; 1 <_ 14 1 J ; 1 J <® 14 1 ; 1 J <

[ . (3.4)

20

As condições (3.3) têm como consequência

e;, <f = (3.5)

em que = é o símbolo de Kronecker.

De modo análogo obtêm-se as funções de forma para o elemento de 8 nós (Figura 4)

ghhhhhhhihhhhhhhja 14 1 ; 1 < 1 ; <

14 1 J ; 1 < 1 J ; <_ 14 1 J ; 1 J < 1 J ; J <® 14 1 ; 1 J < 1 ; J <

² 12 1 ;^ 1 <³ 12 1 J ; 1 <^ 12 1 ;^ 1 J <µ 12 1 ; 1 <^

[ (3.6)

Figura 4 - Elemento mestre Ω de 8 nós

1 5 2

6

3 7 4

8 ξ

η

(-1,-1) (0,-1) (1,-1)

(1,0)

(1,1) (0,1)

(-1,1)

(-1,0)

21

3.3 Cálculos relativos aos elementos bidimensionais

Para a execução dos cálculos relativos a elementos bidimensionais é necessário transformar

as funções de L e y em funções de ; e <. Para tal começa-se por aplicar a regra da derivação

da função composta às aplicações L L;, < e y y;, <:

mL L; m; J L< m<

(3.7) my y; m; J y< m<

ou

¶mLmy· > ¶m;m<· (3.8)

em que

> vwwwxL; L<y; y<z

| (3.9)

é a matriz jacobiana da transformação.

Para que as coordenadas L e y sejam transformadas nas coordenadas ; e < é necessário que

exista >da. Uma condição necessária e suficiente para que o sistema (3.8) seja invertível é que |>| m2 > 0 em qualquer ponto ;, < ? Ω, ou seja, que

m2 > L; y< L< y; 0 . (3.10)

Se a condição (3.10) for verdadeira tem-se

22

¶m;m<· >da ¶mLmy· 1|>| vwwwxy< L<y; L; z

| ¶mLmy· (3.11)

e ; ;L, y, < <L, y.

Dentro de cada elemento as funções ; ;L, y e < <L, y têm que ser contínuas,

deriváveis e invertíveis. Relativamente à transformação L L;, < e y y;, <, esta deve

ser algebricamente simples para que a matriz jacobiana possa ser calculada com maior

facilidade. As transformações do tipo considerado em (3.1) satisfazem estes requisitos.

Tem-se então em virtude de (3.11) e (3.1)

ghhhhhihhhhhj ;L 1|>| y< 1|>| y <

¡a;y 1|>| L< 1|>| L <

¡a<L 1|>| y; 1|>| y ;¡a<y 1|>| L; 1|>| L ;

¡a

[ (3.12)

e

|>| L; y< L< y; L ;

¡a ¢ y <

¡a ¢

L <¡a ¢ y ;

¡a ¢ .

(3.13)

23

Através destas fórmulas podem-se obter as matrizes elementares para o problema da

elasticidade plana. Como foi descrito anteriormente na secção 2.5, a matriz de rigidez

elementar é dada por

. k +* + mL my .n

Atendendo a que

mL my |>| m; m< (3.14)

L ; ;L J < <L 1|>| ; y¹ ¹<

¡¹a < y¹ ¹;

¡¹a º (3.15)

y ; ;y J < <y 1|>| ; L¹ ¹<

¡¹a < L¹ ¹;

¡¹a º (3.16)

substituindo (3.14), (3.15) e (3.16) obtém-se então a matriz rigidez elementar em função de ; e <

. k k + * + |>| m; m<ada

ada . (3.17)

O mesmo acontecendo para a matriz de massas elementar

24

/ k k ' ' |>|ada m; m<a

da . (3.18)

3.4 Integração numérica – Quadratura de Gauss

O cálculo das matrizes elementares e dos vectores envolve, como foi visto anteriormente, o

cálculo de integrais. Porém, na maioria das situações, estes integrais não são fáceis de

determinar, isto é, ou a primitiva da função integranda não existe explicitamente, ou é

demasiado complicada para viabilizar a sua utilização prática. Por este motivo é necessário

recorrer a técnicas de integração numérica, sendo a Quadratura de Gauss a técnica mais

utilizada no âmbito do m.e.f.. Este procedimento de integração numérica tem como principal

vantagem o facto de poder ser facilmente incluído num programa de computador destinado à

análise de estruturas pelo m.e.f..

A regra de quadratura de Gauss consiste em aproximar o integral de uma função através de

um somatório, ou seja

k »L mL ¼ »L :

a½

¾ (3.19)

em que L são os pontos de integração no intervalo ¿ § L § À, : são os pesos associados a

um ponto de Gauss e 1 é a ordem da fórmula. Uma regra de integração que utiliza 1 pontos

de Gauss integra exactamente polinómios de grau menor ou igual a 21 1 [6].

No caso bidimensional os cálculos serão executados nos elementos mestre Ω referidos

anteriormente (4 e 8 nós), definido pelo quadrado com coordenadas locais ; e < tais que os

pontos ;, < em Ω satisfaçam 1 § ; § 1 e 1 § < § 1. Empregando a regra

unidimensional separadamente para cada coordenada tem-se

k k »;, < m; m< ¼ k »; , <Á a : º m< ¼ »e; , <fÂ

aÁ

aa

daa

daa

da : : . (3.20)

25

Habitualmente pretende-se que as integrações sobre os elementos finitos sejam exactas. No

entanto existem casos em que a qualidade da solução melhora se se utilizar uma “integração

reduzida”, isto é, se os integrais forem calculados aproximadamente e não exactamente.

Neste trabalho os elementos finitos de 4 nós foram sempre integrados com 2 pontos de Gauss

em cada direcção e os elementos finitos de 8 nós foram sempre integrados com 3 pontos de

Gauss em cada direcção.

Apresentam-se na Tabela 2 as coordenadas (no elemento mestre) e pesos para as regras de

integração de Gauss utilizadas.

ÃÄÅ ÆÅ Ç È

0.57735 02691 89626 1.00000 00000 00000

Ç Í

0.00000 00000 00000 0.88888 88888 88889

0.77459 66692 41483 0.55555 55555 55555

Tabela 2 - Coordenadas e pesos para regras integração de Gauss

26

4. Aplicação do método dos elementos finitos

4.1 Introdução

Neste capítulo aplica-se o método dos elementos finitos na análise dinâmica de três problemas

diferentes. Os cálculos de deslocamentos e tensões são realizados usando os programas

concebidos, em linguagem Fortran, um com o método explícito e outro com o método implícito

de integração no tempo das equações da dinâmica. Através da análise dos resultados obtidos

é possível testar e validar o funcionamento dos programas. Utilizam-se também, no exemplo 1,

um programa de análise estática, em linguagem Fortran, e o programa comercial Abaqus, este

último como forma de validação dos resultados obtidos.

A análise dos resultados dados pelos programas permite também conhecer o comportamento

das diferentes estruturas ao longo do tempo, quando sujeitas a determinados tipos de esforços.

Utiliza-se em cada estrutura a integração explícita e a integração implícita com diferentes

valores do parâmetro , e definem-se malhas com elementos de 4 e 8 nós (integração de

Gauss de ordem 2 e 3, respectivamente), com o objectivo de os comparar entre si.

Considera-se um estado plano de tensão (E.P.T.) em todos os exemplos.

As estruturas em estudo são:

• Sólido

• Viga em consola

• Viga bi-encastrada

4.2 Exemplo 1: Sólido

O sólido tem 1 m de altura, 1 m de largura e 0,1 m de espessura. Está aplicada no topo da

estrutura uma carga uniformemente distribuída (Figura 5). Na Figura 5 apresentam-se

também esquematicamente as condições de fronteira do problema: o bordo esquerdo está

impedido de se deslocar horizontalmente e o bordo inferior está impedido de se deslocar

verticalmente.

27

Figura 5 - Sólido

A intensidade da carga ao longo do tempo de ensaio é dada pelo gráfico da Figura 6.

Figura 6 - Intensidade da carga ao longo do tempo

São calculados neste problema deslocamentos verticais e tensões normais ÎÎ, num intervalo

de tempo de 1 s, utilizando a integração explícita e a integração implícita com três valores de

distintos ( 0; 0,05; a_). O caso 0 corresponde, como já foi referido anteriormente,

ao algoritmo designado por “Regra do Trapézio”.

As propriedades do sólido são dadas na Tabela 3.

Neste exemplo são feitas comparações dos resultados com os resultados do programa

comercial Abaqus, no sentido de validar os programas de elementos finitos desenvolvidos.

y

x

L=0,5m L=0,5m

L=0,5m

L=0,5m

P

P (KN/m)

t (s) 0,1 0 1

2000

28

Módulo de Elasticidade Ð 200 GPa

Coeficiente de Poisson Ñ 0,2

Massa específica Ò 2500 Kg/m3

Tabela 3 - Propriedades do sólido

4.2.1 Elementos de 4 nós

Neste exemplo define-se uma malha com 4 elementos e 9 nós globais (Figura 7).

Figura 7 - Malha do sólido com elementos de 4 nós

Para a análise dos deslocamentos verticais escolhe-se o nó 9 e para a análise das tensões

verticais escolhe-se o ponto de Gauss (P.G.) mais afastado da origem, ou seja, o ponto

(0,8943; 0,8943) pertencente ao elemento 4.

Na integração explícita utiliza-se ¤ 3,3E-05 s, respeitando a relação ¤ § ^ÓÔáÁ, onde

4¨áª 34540 rad/s (valor dado pelo Abaqus). Na integração implícita utiliza-se ¤ 3,3E-04

s.

Neste exemplo a integração de Gauss é de ordem 2, o que significa que para cada elemento

existem dois pontos de Gauss em cada direcção.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 2

3 4

e

1 2

34

y

x

P

L=0,5m

L=0,5m

L=0,5m L=0,5m

Numeração local

29

Nas Figuras 8 – 11 representam-se as evoluções do deslocamento vertical do nó 9 ao longo do

tempo, obtidas com o programa utilizando a integração explícita e com o programa utilizando a

integração implícita com três valores diferentes de . Apresentam-se também os resultados

obtidos com o programa Abaqus, que utiliza uma integração implícita com 1/3.

Figura 8 - Integração Explícita / Abaqus – Deslocamento vertical

Figura 9 - Integração Implícita (α 0) / Abaqus – Deslocamento vertical

-1,20E-04

-1,00E-04

-8,00E-05

-6,00E-05

-4,00E-05

-2,00E-05

1,80E-19

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

δv

(m

)

t (s)

Int. Explícita Abaqus

-1,20E-04

-1,00E-04

-8,00E-05

-6,00E-05

-4,00E-05

-2,00E-05

0,00E+00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

δv

(m)

t (s)

Int. Implícita (0) Abaqus

30

Figura 10 - Integração Implícita (α 0,05) / Abaqus – Deslocamento vertical

Figura 11 - Integração Implícita (α 1/3) / Abaqus – Deslocamento vertical

Analisando as figuras não se observam diferenças entre os resultados dos programas Fortran,

com as várias integrações (explícita e implícitas), e os resultados do programa comercial

Abaqus. As curvas obtidas apresentam o mesmo andamento ao longo do tempo.

O deslocamento vertical do nó 9 aumenta, em valor absoluto, até ao instante 0,1 s, ao

mesmo tempo que a carga aumenta linearmente de intensidade. No instante 0,1 s o

deslocamento atinge o valor de -1,00E-04 m e a carga o valor máximo de 2000 KN/m. A

-1,20E-04

-1,00E-04

-8,00E-05

-6,00E-05

-4,00E-05

-2,00E-05

0,00E+00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

δv

(m)

t (s)

Int. Implícita (-0,05) Abaqus

-1,20E-04

-1,00E-04

-8,00E-05

-6,00E-05

-4,00E-05

-2,00E-05

0,00E+00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

δv

(m)

t (s)

Int. Implícita (-1/3) Abaqus

31

partir desse instante a carga mantém-se constante até 1 s e, olhando para as figuras,

verifica-se que o deslocamento vertical também se mantém praticamente constante. Também

não são visíveis diferenças entre os resultados obtidos com diferentes valores de .

Nas Figuras 12 – 15 representam-se as evoluções da tensão vertical no P.G. (0,8943; 0,8943)

ao longo do tempo, obtidas nos mesmos casos.

Figura 12 - Integração Explícita / Abaqus – Tensão vertical

-25

-20

-15

-10

-5

0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

σσ σσyy

(M

Pa

)

t (s)


32

Figura 13 - Integração Implícita (α 0) / Abaqus – Tensão vertical

Figura 14 - Integração Implícita (α 0,05) / Abaqus – Tensão vertical

-25

-20

-15

-10

-5

0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

σσ σσyy

(MP

a)

t (s)

Int. Implícita (0) Abaqus

-25

-20

-15

-10

-5

0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

σσ σσyy

(M

Pa

)

t (s)

Int. Implícita (-0,05) Abaqus

33

Figura 15 - Integração Implícita α 1/3) / Abaqus – Tensão vertical

Também não se observam diferenças significativas entre os resultados do programa Fortran,

com as várias integrações, e os resultados do Abaqus.

Quando a carga atinge o valor máximo de 2000 KN/m o P.G. tem, em todos os casos

analisados, uma tensão ÎÎ negativa de 20 MPa. Como o carregamento é aplicado lentamente,

o efeito dinâmico é pequeno. Por isso, devido às condições de carregamento e de fronteira, os

estados de tensão e de deformação são praticamente uniformes e a tensão vertical é igual à

força por unidade de área onde está aplicada. Visto que se considerou um estado plano de

tensão (E.P.T.), a força distribuída por unidade de comprimento é igual ao valor da tensão

vezes a espessura (0,1 m).

A partir do instante 0,1 s a carga e a tensão mantêm-se constantes até ao fim do ensaio.

-25

-20

-15

-10

-5

0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00σσ σσ

yy(M

Pa

)t (s)


34


Para o caso de elementos de 8 nós define-se uma malha com 4 elementos e 21 nós globais

(Figura 16).

Figura 16 - Malha do sólido com elementos de 8 nós

Para a análise dos deslocamentos verticais utilizam-se os resultados do nó 21 e para as

tensões verticais utiliza-se o P.G. (0,9436; 0,9436) do elemento 4, que corresponde ao ponto

mais afastado da origem. Importa referir que, para o elemento de 8 nós, a integração de Gauss

é de ordem 3, ou seja, para cada elemento existem três pontos de Gauss na direcção L e três

pontos na direcção y.


4¨áª 138091 rad/s (valor dado pelo Abaqus). Na integração implícita utiliza-se ¤ 3,3E-04

s.

Neste exemplo utiliza-se apenas a integração explícita e a integração implícita com 1/3.

Nas Figuras 17 e 18 representam-se as evoluções do deslocamento vertical ao longo do tempo

nos dois casos.

1 2 3 4 5

6 7 8

9

1 2

3 4

e

1 2

34

10 11 12 13

14 15 16

17 18 19 20 21

5

8 6

7

L=0,5m

L=0,5m

L=0,5m L=0,5m

P

Numeração local

y

x

35

Figura 17 - Integração Explícita / Abaqus – Deslocamento vertical

Figura 18 - Integração Implícita (α 1/3) / Abaqus – Deslocamento vertical

As curvas da integração explícita, da integração implícita ( 1/3) e do Abaqus têm o

mesmo andamento ao longo do tempo.

Comparando estes resultados com os resultados do exemplo anterior (elementos de 4 nós)

chega-se à conclusão que são idênticos.

Nas Figuras 19 e 20 representam-se as evoluções das tensões ÎÎ no P.G. (0,9436; 0,9436),

ao longo do tempo, nos dois casos.

-1,20E-04

-1,00E-04

-8,00E-05

-6,00E-05

-4,00E-05

-2,00E-05

0,00E+00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00δ

v (m

)t (s)


-1,20E-04

-1,00E-04

-8,00E-05

-6,00E-05

-4,00E-05

-2,00E-05

0,00E+00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

δv

(m)

t (s)


36

Figura 19 - Integração Explícita / Abaqus – Tensão vertical

Figura 20 - Integração Implícita (α 1/3) / Abaqus – Tensão vertical

Analisando as figuras verifica-se também que não existem diferenças entre as integrações

explícita e implícita ( 1/3) e o programa Abaqus.

Conclui-se também que o andamento das curvas e o valor máximo de tensão são exactamente

iguais aos do caso anterior (elementos de 4 nós).

-25

-20

-15

-10

-5

0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

σσ σσyy

(MP

a)

t (s)


-25

-20

-15

-10

-5

0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

σσ σσyy

(MP

a)

t (s)


37

4.2.3 Comparação entre elementos de 4 e 8 nós

Nesta secção comparam-se os resultados do deslocamento vertical nos nós 9 e 21,

pertencentes às malhas com elementos de 4 nós e 8 nós, respectivamente (Figuras 21 e 22).

Também se comparam os resultados da tensão ÎÎ nos P.G. (0,8943; 0,8943) e (0,9436;

0,9436), correspondentes aos elementos de 4 e 8 nós, respectivamente (Figuras 23 e 24).

Utilizam-se nesta análise comparativa os resultados da integração explícita e da integração

implícita com 1/3.

Figura 21 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento vertical

-1,20E-04

-1,00E-04

-8,00E-05

-6,00E-05

-4,00E-05

-2,00E-05

0,00E+00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

δv

(m)

t (s)

4 nós 8 nós

38

Figura 22 - Integração Implícita (α 1/3) em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento vertical

Figura 23 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Tensão vertical

-1,20E-04

-1,00E-04

-8,00E-05

-6,00E-05

-4,00E-05

-2,00E-05

0,00E+00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

δv

(m)

t (s)

4 nós 8 nós

-25

-20

-15

-10

-5

0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

σσ σσyy

(MP

a)

t (s)

4 nós 8 nós

39

Figura 24 - Integração Implícita (α 1/3) em elementos de 4 e 8 nós – Tensão vertical

Esta análise comparativa confirma o que foi dito anteriormente, ou seja, a inexistência de

diferenças entre os resultados obtidos com as malhas com elementos de 4 e 8 nós.

Devido ao tipo de carregamento e às condições de fronteira dadas no sólido, os estados de

tensão e de deformação são praticamente uniformes, pelo que o campo de deslocamentos é

praticamente linear. Por este motivo se justifica a igualdade de resultados em ambos os casos.

Com elementos de 4 nós consegue-se obter uma aproximação exacta do campo de

deslocamentos lineares. Definir malhas com mais elementos e/ou usar elementos de 8 nós não

acrescentará nada de novo aos resultados.

Nas Figuras 25 e 26 representam-se as deformadas do sólido no instante 0,1 s, para

elementos de 4 e 8 nós (factor de escala = 1000), respectivamente. Como se pode observar, o

estado de deformação é praticamente uniforme.

-25

-20

-15

-10

-5

0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00σσ σσ

yy(M

Pa

)

t (s)

4 nós 8 nós

40

Figura 25 - Deformada do sólido com elementos de 4 nós

Figura 26 - Deformada do sólido com elementos de 8 nós

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

41

4.2.4 Comparação entre o caso dinâmico e o caso estático

Nesta secção comparam-se os deslocamentos verticais numa análise estática com os

deslocamentos verticais da análise dinâmica, sendo utilizadas neste caso diferentes taxas de

carregamento.

No caso estático carrega-se a estrutura com uma carga de 2000 KN/m. No caso dinâmico

utilizam-se três tipos de carregamento diferentes:

1. A carga aumenta linearmente até ao instante A 0,0001 s atingindo o valor máximo

de 2000 KN/m. A taxa de carregamento é pois 2000x104 KN/m/s. A partir deste instante

a carga mantém-se constante até ao fim do ensaio (A» 0,002 s) (Figura 27).

2. A carga aumenta linearmente até ao instante A 0,001 s atingindo o valor máximo

de 2000 KN/m. A taxa de carregamento é pois 2000x103 KN/m/s. A partir deste instante

a carga mantém-se constante até ao fim do ensaio (A» 0,002 s) (Figura 27).

3. A carga aumenta linearmente até ao instante A 0,1 s atingindo o valor máximo de

2000 KN/m. A taxa de carregamento é pois 2000x101 KN/m/s. A partir deste instante a

carga também se mantém constante até ao fim do ensaio (A» 0,5 s) (Figura 28).

Figura 27 - Intensidade da carga ao longo do intervalo de tempo [0 – 0,002s] – Casos 1 e 2

P (KN/m)

2000

0 T=0,0001 T=0,001 Tf=0,002 t (s)

42

Figura 28 - Intensidade da carga ao longo do intervalo de tempo [0 – 0,5s] – Caso 3

Os cálculos são feitos com o programa da integração implícita ( 0,05) e utiliza-se a malha

com elementos de 8 nós. O nó 21 é o escolhido para a análise.

Nas Figuras 29 e 30 representam-se as evoluções do deslocamento vertical do nó 21 ao longo

do tempo, para as três diferentes taxas de carregamento, bem como o deslocamento estático.

Na Figura 29 representam-se também os resultados obtidos com o programa Abaqus.

Figura 29 - Caso dinâmico/Caso estático – [0 – 0,002s]

-2,0E-04

-1,6E-04

-1,2E-04

-8,0E-05

-4,0E-05

1,5E-18

0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020

δv

(m)

t (s)

T=0,001 s T=0,0001 s Estático

Abaqus (0,001s) Abaqus (0,0001s)

P (KN/m)

2000

0 T=0,1 Tf=0,5 t (s)

43

Figura 30 - Caso dinâmico/Caso estático – [0 – 0,5s]

Como se pode verificar, nos três casos a solução dinâmica tende para a solução quase

estática. No entanto, no 1º carregamento verificam-se grandes oscilações nos valores de

deslocamento em torno do valor estático (-1,00E-04 m), que tendem a diminuir ao longo do

tempo.

No 2º carregamento também se verificam oscilações em torno do valor estático, embora sejam

mais pequenas quando comparadas com as do 1º carregamento.

Quanto ao 3º carregamento, a partir do instante A 0,1 s já não se nota qualquer oscilação

em torno do valor estático, sendo os valores de deslocamento vertical iguais ao valor do caso

estático.

Assim se conclui que quanto mais rápida for a taxa de aplicação da carga, maior são as

oscilações dos valores de deslocamento em torno do valor estático, na fase de carregamento

constante. À medida que a taxa de carregamento vai sendo menor, os valores dinâmicos

tendem a aproximar-se dos valores estáticos.

É por esta razão que os resultados da secção 4.2 não apresentam oscilações significativas,

dado que a taxa de carregamento utilizada foi baixa.

De notar ainda que os resultados obtidos nas análises dinâmicas são semelhantes aos obtidos

com o programa comercial Abaqus.

-2,0E-04

-1,6E-04

-1,2E-04

-8,0E-05

-4,0E-05

1,5E-18

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5δ

v (m

)t (s)

T=0,1 s Estático

44

4.3 Exemplo 2: Viga em consola

A viga em consola (viga encastrada) é constituída por aço e tem 2 m de comprimento, 0,5 m de

altura e 0,1 m de espessura. A viga está sujeita a um deslocamento axial inicial de 0,5 mm

(Figura 31).

Figura 31 - Viga em consola

Este ensaio tem como objectivo analisar a evolução dos deslocamentos e das tensões na viga

ao longo do tempo, logo após a imposição do deslocamento inicial. Para tal, são calculados

deslocamentos horizontais e tensões axiais ªª em diferentes intervalos de tempo.

As propriedades do material constituinte da viga em consola são dadas na Tabela 4.

Material Aço




Tabela 4 - Propriedades da viga em consola

0,5 m

2,0 m

0,5 mm

y

x

45


Neste exemplo define-se uma malha homogénea com 100 elementos e 126 nós globais (Anexo

1).

Para a análise dos deslocamentos horizontais escolhe-se o nó 126, que se encontra na

extremidade livre da viga. As Figuras 32 – 37 mostram o deslocamento horizontal do nó 126

em função do tempo, em três intervalos de tempo distintos. Em cada intervalo é feita uma

sobreposição dos resultados da integração explícita com os resultados de cada integração

implícita ( 0 e 1/3).


4¨áª 1,09007E+05 rad/s (valor dado pelo Abaqus). Na integração implícita utiliza-se o

mesmo valor de ¤ para se poder comparar os resultados.

Na análise das tensões axiais ªª utilizam-se os resultados dos P.G. mais próximos do

encastramento (L 0,0211 m). Com estes resultados traçam-se diagramas de tensão na

secção da viga para os três intervalos de tempo considerados. Para cada intervalo são

escolhidos cinco instantes distintos. Usa-se a integração explícita e a integração implícita com 1/3 (maior amortecimento numérico) para o cálculo das tensões axiais.

Nas Figuras 32 e 33 representa-se a evolução no tempo do deslocamento horizontal do nó 126

no intervalo [0 – 0,02s], quando as equações da dinâmica são integradas explicitamente ou

implicitamente com 0 e 1/3.

Figura 32 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 0) – Deslocamento horizontal no intervalo [0 –

0,02s]

-5E-04

-4E-04

-3E-04

-2E-04

-1E-04

5E-18

1E-04

2E-04

3E-04

4E-04

5E-04

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

δh

(m

)

t (s)

Int. Explícita Int. Implícita (0)

46

Figura 33 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 1/3) – Deslocamento horizontal no intervalo

[0 – 0,02s]

Nas Figuras 34 e 35 representa-se a evolução no tempo do mesmo deslocamento, nos

mesmos casos, mas agora no intervalo de tempo [1 – 1,02s].


1,02s]

-5E-04

-4E-04

-3E-04

-2E-04

-1E-04

5E-18

1E-04

2E-04

3E-04

4E-04

5E-04

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

δh

(m

)

t (s)

Int. Explícita Int. Implícita (-1/3)

-5E-04

-4E-04

-3E-04

-2E-04

-1E-04

5E-18

1E-04

2E-04

3E-04

4E-04

5E-04

1,000 1,005 1,010 1,015 1,020

δh

(m

)

t (s)


47


[1 – 1,02s]

Finalmente, nas Figuras 36 e 37 representam-se as mesmas evoluções, mas agora no

intervalo de tempo [10 – 10,02s].


10,02s]

-5E-04

-4E-04

-3E-04

-2E-04

-1E-04

5E-18

1E-04

2E-04

3E-04

4E-04

5E-04

1,000 1,005 1,010 1,015 1,020

δh

(m

)

t (s)


-5E-04

-4E-04

-3E-04

-2E-04

-1E-04

5E-18

1E-04

2E-04

3E-04

4E-04

5E-04

10,000 10,005 10,010 10,015 10,020

δh

(m

)

t (s)


48


[10 – 10,02s]

Analisando os gráficos verifica-se que, após a imposição de um deslocamento inicial de 0,5

mm na extremidade da viga, o deslocamento horizontal oscila em torno da sua posição de

equilíbrio (=Õ 0) ao longo do tempo.

Relativamente aos resultados das diferentes integrações notam-se algumas diferenças entre

elas, nomeadamente nos intervalos de tempo [1 – 1,02s] e [10 – 10,02s].

No intervalo [0 – 0,02s] não são visíveis diferenças significativas. As curvas das integrações

explícita, implícita com 0 e implícita com 1/3 estão sobrepostas ao longo dos 0,02 s

(Figuras 32 e 33).

No intervalo [1 – 1,02s], apesar de o deslocamento continuar a oscilar entre os mesmos

valores, as curvas das diferentes integrações já não se encontram totalmente sobrepostas.

Observando as Figuras 34 e 35 nota-se um ligeiro afastamento entre a integração explícita e as

integrações implícitas, principalmente na implícita com 1/3 (Figura 35).

No intervalo [10 – 10,02s] vê-se um afastamento ainda maior entre a curva da integração

explícita e a curva da integração implícita com 0. Este afastamento tem a ver com o facto

de a integração implícita apresentar uma melhor aproximação dos resultados que a integração

explícita.

Na Figura 37 é visível um amortecimento numérico nos resultados da integração implícita com 1/3. O deslocamento horizontal oscila em torno da posição de equilíbrio, mas entre

valores mais baixos que a integração explícita. Na Figura 36 não se verifica amortecimento na

integração implícita com 0.

-5E-04

-4E-04

-3E-04

-2E-04

-1E-04

5E-18

1E-04

2E-04

3E-04

4E-04

5E-04

10,000 10,005 10,010 10,015 10,020

δh

(m

)

t (s)


49

O facto de existir amortecimento numérico apenas na integração implícita com 1/3,

deve-se ao valor de , ou seja, quanto maior o valor de (em valor absoluto) maior é o

amortecimento numérico ao longo do tempo.

Nas Figuras 38 e 39 representa-se a evolução no tempo, no intervalo [0 – 0,02s], da tensão

axial ªª na secção junto ao encastramento da viga, quando as equações da dinâmica são

integradas explicitamente e implicitamente com 1/3, respectivamente.

Figura 38 - Diagrama de tensões no intervalo [0 – 0,02s] – Integração Explícita (T1 = 0,0000875s ; T5 =

0,0004375s ; T9 = 0,0007875s ; T13 = 0,0011375s ; T17 = 0,0014875s)

Figura 39 - Diagrama de tensões no intervalo [0 – 0,02s] – Integração Implícita (α 1/3) (T1 =

0,0000875s ; T5 = 0,0004375s ; T9 = 0,0007875s ; T13 = 0,0011375s ; T17 = 0,0014875s)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

-150 -100 -50 0 50 100 150

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T1

T5

T9

T13

T17

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

-150 -100 -50 0 50 100 150

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T1

T5

T9

T13

T17

50

Nas Figuras 40 e 41 representa-se a evolução no tempo das mesmas tensões, nos mesmos

casos, mas agora no intervalo [1 – 1,02s].


1,0003865s ; T9 = 1,0007365s ; T13 = 1,0010865s ; T17 = 1,0014365s)


1,0000365s ; T5 = 1,0003865s ; T9 = 1,0007365s ; T13 = 1,0010865s ; T17 = 1,0014365s)


intervalo de tempo [10 – 10,02s]

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

-150 -100 -50 0 50 100 150

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T1

T5

T9

T13

T17

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

-150 -100 -50 0 50 100 150

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T1

T5

T9

T13

T17

51

Figura 42 - Diagrama de tensões no intervalo [10 – 10,02s] – Integração Explícita (T1 = 10,0000150s ; T5

= 10,0003650s ; T9 = 10,0007150s ; T13 = 10,0010650s ; T17 = 10,0014150s)


10,0000150s ; T5 = 10,0003650s ; T9 = 10,0007150s ; T13 = 10,0010650s ; T17 = 10,0014150s)

Os diagramas de tensões aproximam-se da distribuição uniforme do caso da extensão quase-

estática, notando-se, no entanto, diferenças entre as integrações explícita e implícita. Os

diagramas da integração implícita estão mais próximos da distribuição uniforme, ao contrário

da integração explícita, que apresenta diagramas com linhas curvas mais acentuadas em toda

a altura da viga.

Em cada figura são visíveis diferenças de sinal nos diagramas. O sinal negativo significa que a

secção da viga está à compressão e o sinal positivo significa que está à tracção. Esta variação

de sinal, ao longo de cada intervalo de tempo, tem a ver com as oscilações horizontais

(alongamento/encurtamento) da viga em torno da posição de equilíbrio.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

-150 -100 -50 0 50 100 150

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T1

T5

T9

T13

T17

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

-150 -100 -50 0 50 100 150

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T1

T5

T9

T13

T17

52

De referir ainda que o tempo de cálculo da análise explícita é muito menor que o tempo de

cálculo da análise implícita (ver Anexo 7).


No exemplo de 8 nós a malha homogénea tem 100 elementos e 351 nós globais (Anexo 2).

Para a análise dos deslocamentos horizontais escolhe-se o nó 351, pertencente à extremidade

livre da viga. Os resultados dos deslocamentos são apresentados apenas na secção 4.3.3,

onde é feita uma comparação com os resultados obtidos com a malha de 4 nós.



mesmo valor de ¤.

Para traçar os diagramas de tensões utilizam-se os resultados dos P.G. mais próximos do

encastramento (L 0,0113 m).

Apresentam-se em seguida os diagramas de tensões em dois intervalos de tempo, tendo-se

escolhido cinco instantes diferentes para cada intervalo.

Para os cálculos utilizam-se a integração explícita e a integração implícita com 1/3.

Nas Figuras 44 e 45 representa-se a evolução no tempo, no intervalo [0 – 0,02s], da tensão

axial ªª na secção junto ao encastramento, no caso explícito e implícito com 1/3,

respectivamente.

53


0,0004375s ; T9 = 0,0007875s ; T13 = 0,0011375s ; T17 = 0,0014875s)


0,0000875s ; T5 = 0,0004375s ; T9 = 0,0007875s ; T13 = 0,0011375s ; T17 = 0,0014875s)

Nas Figuras 46 e 47 representa-se a evolução no tempo das mesmas tensões, nos mesmos

casos, mas agora no intervalo [1 – 1,02s].

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

-150 -100 -50 0 50 100 150

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T1

T5

T9

T13

T17

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

-150 -100 -50 0 50 100 150

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T1

T5

T9

T13

T17

54


1,0003869s ; T9 = 1,0007369s ; T13 = 1,0010869s ; T17 = 1,0014369s)


1,0000369s ; T5 = 1,0003869s ; T9 = 1,0007369s ; T13 = 1,0010869s ; T17 = 1,0014369s)

Os diagramas de tensões aproximam-se da distribuição uniforme do caso da extensão quase

estática, tal como no exemplo de 4 nós. Comparando a integração explícita com a integração

implícita chega-se também à conclusão que a distribuição de tensões na integração implícita é

mais uniforme, especialmente para instantes de tempo maiores.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

-150 -100 -50 0 50 100 150

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T1

T5

T9

T13

T17

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

-150 -100 -50 0 50 100 150

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T1

T5

T9

T13

T17

55


Para a análise comparativa entre os dois exemplos sobrepõem-se os resultados do

deslocamento horizontal do nó 126 e do nó 351, pertencentes às malhas com elementos de 4 e

8 nós, respectivamente.

Utilizam-se os resultados da integração explícita e da integração implícita com 1/3 em

dois intervalos de tempo.

Nas Figuras 48 e 49 representam-se as evoluções dos deslocamentos no tempo no intervalo [0

– 0,02s] e nas Figuras 50 e 51 representam-se as mesmas evoluções no intervalo [1 – 1,02s].

Figura 48 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento horizontal no intervalo [0 –

0,02s]

-5E-04

-4E-04

-3E-04

-2E-04

-1E-04

5E-18

1E-04

2E-04

3E-04

4E-04

5E-04

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

δh

(m

)

t (s)

8 nós 4 nós

56

Figura 49 - Integração Implícita (α 1/3) em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento horizontal no

intervalo [0 – 0,02s]

Figura 50 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento horizontal no intervalo [1 –

1,02s]

-5E-04

-4E-04

-3E-04

-2E-04

-1E-04

5E-18

1E-04

2E-04

3E-04

4E-04

5E-04

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020

δh

(m

)

t (s)

8 nós 4 nós

-5E-04

-4E-04

-3E-04

-2E-04

-1E-04

5E-18

1E-04

2E-04

3E-04

4E-04

5E-04

1,000 1,005 1,010 1,015 1,020

δh

(m

)

t (s)

8 nós 4 nós

57

Figura 51 - Integração Implícita (α 1/3) em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento horizontal no

intervalo [1 – 1,02s]

No intervalo [0 – 0,02s] não são visíveis diferenças entre os exemplos de 4 e 8 nós, tanto para

a integração explícita como para a integração implícita. As curvas de deslocamento horizontal

de ambos os exemplos estão totalmente sobrepostas (Figuras 48 e 49).

O mesmo já não acontece no intervalo [1 – 1,02s]. Observando a Figura 50, onde se mostram

os resultados da integração explícita, constata-se que as curvas dos elementos de 4 e 8 nós

encontram-se afastadas entre si. Utilizando elementos de 8 nós conseguem-se obter melhores

resultados que os elementos de 4 nós, por isso se justifica o afastamento de ambas as curvas

ao longo do tempo.

Em relação à integração implícita (Figura 51) as curvas estão muito próximas uma da outra.

Essa aproximação justifica-se pelo facto da integração implícita ser mais precisa, não se

notando grandes diferenças entre os resultados dos elementos de 4 e 8 nós. A única diferença

visível é na amplitude das oscilações, onde a oscilação do exemplo de 8 nós é ligeiramente

mais ampla que a oscilação do exemplo de 4 nós. Esta pequena diferença deve-se à melhor

aproximação conseguida com a malha com elementos de 8 nós.

Nas Figuras 52 e 53 representam-se as deformadas da viga em consola para malhas com

elementos de 4 e 8 nós, no instante 0,0015750 s (factor de escala = 1000).

A deformada representada na Figura 52 assemelha-se ao 3º dos modos de vibração calculados

com o programa Abaqus e representados no Anexo 5. A frequência associada a este modo é

de 647,97 ciclos/s, pelo que, no intervalo de tempo de 0,02 s em que são representados os

deslocamentos, é também natural que ocorram 13 ciclos de oscilação (ver Figuras 32 – 37).

-5E-04

-4E-04

-3E-04

-2E-04

-1E-04

5E-18

1E-04

2E-04

3E-04

4E-04

5E-04

1,000 1,005 1,010 1,015 1,020

δh

(m

)

t (s)

8 nós 4 nós

58

No Anexo 6 apresentam-se as frequências de vibração correspondentes às duas malhas. As

frequências associadas aos modos mais baixos são praticamente as mesmas para as duas

malhas, pelo que é de esperar que os resultados obtidos para os deslocamentos nos dois

casos não sejam muito diferentes.

Figura 52 - Deformada da viga em consola com elementos de 4 nós

Figura 53 - Deformada da viga em consola com elementos de 8 nós

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

59

4.4 Exemplo 3: Viga bi-encastrada

A viga bi-encastrada, constituída por aço, tem 5 m de comprimento, 0,4 m de altura e 0,05 m

de espessura. Está aplicada no centro da viga uma carga de 100 KN (Figura 54).

Figura 54 - Viga bi-encastrada

A intensidade da carga ao longo do tempo é dada pelo gráfico da Figura 55.

Figura 55 - Intensidade da carga ao longo do tempo

y

x

2,5 m 2,5 m

0,4 m

Q

Q (KN)

100

0 0,1 t (s)

60

Como a viga bi-encastrada é simétrica discretizou-se em elementos finitos apenas metade da

viga, tendo-se considerado condições de fronteira e de carregamento respeitantes da simetria.

O objectivo do ensaio é de estudar o comportamento da viga durante e após o carregamento.

Para tal calculam-se deslocamentos verticais e tensões axiais ªª em várias fases do ensaio.

As propriedades do material constituinte da viga bi-encastrada são dadas na Tabela 5.

Material Aço




Tabela 5 - Propriedades da viga bi-encastrada


No exemplo de 4 nós define-se uma malha homogénea com 100 elementos e 130 nós globais

(Anexo 3).

Para a análise dos deslocamentos verticais escolhe-se o nó 130, que pertence à secção do

meio vão da viga. Obtêm-se gráficos de deslocamento no intervalo de tempo em que a carga

esteve aplicada e em dois intervalos de tempo após o carregamento. Em cada intervalo é feita

uma sobreposição dos resultados obtidos com a integração explícita com os resultados obtidos

com as integrações implícitas ( 0 e 1/3.



mesmo valor de ¤.

Para a análise das tensões axiais utilizam-se os resultados dos P.G. da secção mais próxima

do encastramento (L 0,0211 m) e traçam-se diagramas para os três intervalos de tempo

referidos anteriormente. São escolhidos em cada intervalo cinco instantes distintos. Os valores

das tensões são calculados com a integração explícita e com a integração implícita para 1/3.

Nas Figuras 56 e 57 representa-se a evolução no tempo do deslocamento vertical do nó 130 no

intervalo [0 – 0,1s], quando as equações da dinâmica são integradas explicitamente ou

implicitamente com 0 e 1/3.

61

Figura 56 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 0) – Deslocamento vertical durante o

carregamento [0 – 0,1s]

Figura 57 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 1/3) – Deslocamento vertical durante o


Nas Figuras 58 e 59 representa-se a evolução no tempo do mesmo deslocamento, nos

mesmos casos, mas agora no intervalo de tempo [0,1 – 0,24s], logo após terminar o

carregamento.

-2,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

-7,0E-18

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

δv

(m)

t(s)

Int. Explícita Int- Implícita (0)

-2,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

-7,0E-18

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

δv

(m)

t(s)

Int. Explícita Int- Implícita (-1/3)

62


carregamento [0,1 – 0,24s]

Figura 59 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 1/3) – Deslocamento vertical após o


Finalmente nas Figuras 60 e 61 representam-se as mesmas evoluções, mas agora no intervalo

de tempo [10 – 10,14s].

-2,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

-7,0E-18

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24

δv

(m)

t(s)


-2,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

-7,0E-18

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24

δv

(m)

t(s)


63



Figura 61 - Integração Explícita/Integração Implícita (α 1/3) – Deslocamento vertical após o


No intervalo de tempo em que a carga esteve aplicada (Figuras 56 e 57) o deslocamento

vertical oscila entre os 0 e -2,5 mm. Comparando os resultados das diferentes integrações não

se notam quaisquer diferenças, encontrando-se totalmente sobrepostas ao longo dos 0,1 s.

-2,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

-7,0E-18

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 10,11 10,12 10,13 10,14

δv

(m)

t(s)


-2,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

-7,0E-18

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 10,11 10,12 10,13 10,14

δv

(m)

t(s)


64

No intervalo [0,1 – 0,24s], logo após se retirar a carga, verifica-se que o deslocamento vertical

passa a oscilar em torno da sua posição de equilíbrio (=l 0), ou seja, entre os 2 e -2 mm. As

curvas da integração explícita e das integrações implícitas continuam sobrepostas, não

existindo quaisquer diferenças nos resultados obtidos (Figuras 58 e 59).

Passados 9,9 s após ser retirado o carregamento, o deslocamento vertical continua a oscilar

em torno da posição de equilíbrio, entre os 2 e -2 mm (Figuras 60 e 61). No entanto, já se vêem

diferenças entre os resultados da integração explícita e os resultados das integrações

implícitas, notando-se um afastamento entre as curvas. Este afastamento deve-se ao facto,

como já foi referido, de a integração implícita ser mais precisa que a integração explícita. No

entanto, a amplitude das oscilações é praticamente a mesma nos dois casos.

Em nenhum dos intervalos se observa amortecimento numérico significativo nos valores do

deslocamento, especialmente na integração implícita com 1/3.

Nas Figuras 62 e 63 representa-se a evolução ao longo do tempo, no intervalo [0 – 0,1s], da

tensão axial ªª na secção junto ao encastramento, no caso das integrações explícita e

implícita com 1/3, respectivamente.


0,0018200s ; T9 = 0,0040950s ; T14 = 0,0063700s ; T19 = 0,0086450s ; T24 = 0,0109200s)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-120 -80 -40 0 40 80 120

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T4

T9

T14

T19

T24

65

Figura 63 - Diagrama de tensões durante o carregamento [0 – 0,1s] – Integração Implícita (α 1/3)

(T4 = 0,0018200s ; T9 = 0,0040950s ; T14 = 0,0063700s ; T19 = 0,0086450s ; T24 = 0,0109200s)

Nas Figuras 64 e 65 representam-se as mesmas evoluções, mas agora no intervalo de tempo

[0,1 – 0,24s].

Figura 64 - Diagrama de tensões após o carregamento [0,1 – 0,24s] – Integração Explícita (T4 =

0,1014649s ; T9 = 0,1037399s ; T14 = 0,1060149s ; T19 = 0,1082899s ; T24 = 0,1105649s)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-120 -80 -40 0 40 80 120

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T4

T9

T14

T19

T24

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-120 -80 -40 0 40 80 120

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T4

T9

T14

T19

T24

66

Figura 65 - Diagrama de tensões após o carregamento [0,1 – 0,24s] – Integração Implícita (α 1/3)

(T4 = 0,1014649s ; T9 = 0,1037399s ; T14 = 0,1060149s ; T19 = 0,1082899s ; T24 = 0,1105649s)



Figura 66 - Diagrama de tensões após o carregamento [10 – 10,14s] – Integração Explícita (T4 =

10,0013476s ; T9 = 10,0036226s ; T14 = 10,0058976s ; T19 = 10,0081726s ; T24 = 10,0104476s)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-120 -80 -40 0 40 80 120

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T4

T9

T14

T19

T24

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-120 -80 -40 0 40 80 120

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T4

T9

T14

T19

T24

67

Figura 67 - Diagrama de tensões após o carregamento [10 – 10,14s] – Integração Implícita (α 1/3)

(T4 = 10,0013476s ; T9 = 10,0036226s ; T14 = 10,0058976s ; T19 = 10,0081726s ; T24 = 10,0104476s)

Os diagramas de tensões aproximam-se da distribuição linear da solução quase-estática do

problema de flexão de vigas. O sinal negativo representa as compressões e o sinal positivo as

tracções.

Durante o carregamento todos os diagramas apresentam sinal positivo na zona superior da

secção e sinal negativo na zona inferior, ou seja, a zona superior está à tracção e a zona

inferior à compressão (Figuras 62 e 63).

Após ser retirado o carregamento (Figuras 64 – 67), em determinados instantes a zona

superior da secção da viga encontra-se traccionada enquanto noutros instantes a mesma zona

já se encontra comprimida. Esta mudança de sinal está relacionada com as oscilações do

deslocamento vertical do meio vão da viga (nó 130) em torno da sua posição de equilíbrio.

Quando o deslocamento vertical é negativo, a secção junto ao encastramento é traccionada em

cima e comprimida em baixo, e vice-versa quando o deslocamento é positivo.

Neste exemplo não existem diferenças significativas entre a integração explícita e a integração

implícita com 1/3.

Refira-se ainda que, tal como no exemplo 2, o tempo de cálculo da análise explícita é muito

menor que o da análise implícita (ver Anexo 7).

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-120 -80 -40 0 40 80 120

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T4

T9

T14

T19

T24

68


No exemplo de 8 nós define-se uma malha homogénea com 100 elementos e 350 nós globais

(Anexo 4).

Escolhe-se o nó 359, localizado a meio vão da viga, para a análise dos deslocamentos

verticais. Os resultados deste exemplo apresentam-se apenas na secção 4.4.3, onde se

compara com o exemplo de 4 nós.



mesmo valor de ¤.

Para os diagramas de tensões axiais escolhem-se os P.G. da secção mais próxima do

encastramento (L 0,0113m). Traçam-se diagramas nos três intervalos de tempo

considerados anteriormente em cinco instantes diferentes.

Os cálculos são efectuados utilizando a integração explícita e a integração implícita com 1/3.

Nas Figuras 68 e 69 representa-se a evolução no tempo, no intervalo [0 – 0,1s], da tensão axial ªª junto à secção de encastramento, no caso das integrações explícita e implícita com 1/3, respectivamente.


0,0018200s ; T9 = 0,0040950s ; T14 = 0,0063700s ; T19 = 0,0086450s ; T24 = 0,0109200s)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-120 -80 -40 0 40 80 120

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T4

T9

T14

T19

T24

69

Figura 69 - Diagrama de tensões durante o carregamento [0 – 0,1s] – Integração Implícita (α 1/3)

(T4 = 0,0018200s ; T9 = 0,0040950s ; T14 = 0,0063700s ; T19 = 0,0086450s ; T24 = 0,0109200s)

Nas Figuras 70 e 71 representam-se as mesmas evoluções, mas agora no intervalo de tempo

[0,1 – 0,24s], logo após terminar o carregamento.

Figura 70 - Diagrama de tensões após o carregamento [0,1 – 0,24s] – Integração Explícita (T4 =

0,1014650s ; T9 = 0,1037400s ; T14 = 0,1060150s ; T19 = 0,1082900s ; T24 = 0,1105650s)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-120 -80 -40 0 40 80 120

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T4

T9

T14

T19

T24

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-120 -80 -40 0 40 80 120

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T4

T9

T14

T19

T24

70

Figura 71 - Diagrama de tensões após o carregamento [0,1 – 0,24s] – Integração Implícita (α 1/3)

(T4 = 0,1014650s ; T9 = 0,1037400s ; T14 = 0,1060150s ; T19 = 0,1082900s ; T24 = 0,1105650s)

Finalmente nas Figuras 72 e 73 representam-se as mesmas evoluções, mas agora no intervalo

de tempo [10 – 10,14s].

Figura 72 - Diagrama de tensões após o carregamento [10 – 10,14s] – Integração Explícita (T4 =

10,0013562s ; T9 = 10,0036312s ; T14 = 10,0059062s ; T19 = 10,0081812s ; T24 = 10,0104562s)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-120 -80 -40 0 40 80 120

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T4

T9

T14

T19

T24

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-120 -80 -40 0 40 80 120

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T4

T9

T14

T19

T24

71

Figura 73 - Diagrama de tensões após o carregamento [10 – 10,14s] – Integração Implícita (α 1/3)

(T4 = 10,0013562s ; T9 = 10,0036312s ; T14 = 10,0059062s ; T19 = 10,0081812s ; T24 = 10,0104562s)

Os diagramas de tensões aproximam-se da distribuição linear da solução quase-estática do

problema de flexão de vigas, tal como no exemplo de 4 nós.

Os resultados obtidos são semelhantes aos obtidos com a malha de 4 nós.


Neste capítulo sobrepõem-se os resultados do deslocamento vertical dos nós 130 e 359,

correspondentes às malhas com elementos de 4 e 8 nós, respectivamente.

Utilizam-se nesta análise os resultados da integração explícita e da integração implícita com 1/3.

Nas Figuras 74 e 75 representa-se a evolução dos dois deslocamentos no tempo, no intervalo

[0 – 0,1s]; nas Figuras 76 e 77 representam-se as mesmas evoluções no intervalo [0,1 – 0,24s],

logo após ser retirada a carga, e nas Figuras 78 e 79 representam-se as mesmas evoluções no


0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

-120 -80 -40 0 40 80 120

Y (m)

σσσσxx [MPa]

T4

T9

T14

T19

T24

72

Figura 74 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento vertical durante o


Figura 75 - Integração Implícita (α 1/3) em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento vertical durante

o carregamento [0 – 0,1s]

-2,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

-7,0E-18

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10δ

v (m

)t(s)

8 nós 4 nós

-2,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

-7,0E-18

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

δv

(m)

t(s)

8 nós 4 nós

73

Figura 76 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento vertical após o carregamento

[0,1 – 0,24s]

Figura 77 - Integração Implícita (α 1/3) em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento vertical após o


-2,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

-7,0E-18

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24

δv

(m)

t(s)

8 nós 4 nós

-2,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

-7,0E-18

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24

δv

(m)

t(s)

8 nós 4 nós

74

Figura 78 - Integração Explícita em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento vertical após o carregamento

[10 – 10,14s]

Figura 79 - Integração Implícita (α 1/3) em elementos de 4 e 8 nós – Deslocamento vertical após o


Analisando as figuras vêem-se diferenças entre os resultados do exemplo de 4 nós e do

exemplo de 8 nós, tanto para a integração explícita como para a integração implícita.

Relativamente aos resultados da integração explícita (Figura 74), durante o carregamento,

verifica-se uma tendência de ambas as curvas se afastarem entre si ao longo do tempo. O

mesmo acontece para os resultados da integração implícita (Figura 75).

-2,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

-7,0E-18

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 10,11 10,12 10,13 10,14

δv

(m)

t(s)

8 nós 4 nós

-2,5E-03

-2,0E-03

-1,5E-03

-1,0E-03

-5,0E-04

-7,0E-18

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

10,00 10,01 10,02 10,03 10,04 10,05 10,06 10,07 10,08 10,09 10,10 10,11 10,12 10,13 10,14

δv

(m)

t(s)

8 nós 4 nós

75

No intervalo [0,1 – 0,24s], logo após o carregamento, as curvas de ambos os exemplos, em

ambas as integrações, apresentam amplitudes diferentes e um ligeiro distanciamento entre si.

A curva do exemplo de 4 nós oscila entre -2 mm e 2 mm, enquanto a curva do exemplo de 8

nós oscila entre -1,5 mm e 1,5 mm (Figuras 76 e 77).

No intervalo [10 – 10,14s] sucede-se o mesmo relativamente à amplitude das curvas de ambos

os exemplos, no entanto, já se nota um maior distanciamento entre as curvas (Figuras 78 e

79). Esse afastamento é maior no caso da integração explícita (Figura 78), a menos precisa

nos resultados.

Em princípio, os resultados obtidos com a malha de 8 nós serão também mais precisos do que

os obtidos com a malha de 4 nós.

Nas Figuras 80 e 81 representam-se as deformadas da viga bi-encastrada para malhas com

elementos de 4 e 8 nós, no instante 0.0059150s (factor de escala = 100).

A deformada representada na Figura 80 assemelha-se ao 1º dos modos de vibração calculados

com o programa Abaqus e representados no Anexo 5. A frequência associada a este modo é

de 83,1 ciclos/s, o que justifica a ocorrência de 8 ciclos de oscilação no intervalo [0 – 0,1s] (ver

Figuras 74 e 75).

No Anexo 6 apresentam-se as frequências de vibração correspondentes às duas malhas.

Como se pode observar, as frequências associadas aos modos mais baixos são praticamente

as mesmas para as duas malhas.

Figura 80 - Deformada da viga bi-encastrada com elementos de 4 nós

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4 5

76

Figura 81 - Deformada da viga bi-encastrada com elementos de 8 nós

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 1 2 3 4 5

77

5. Conclusões e sugestões para desenvolvimentos futuros

O sucesso do m.e.f. é devido, em grande parte, à facilidade com que o método pode ser

implementado em computador. Além disso, um programa de elementos finitos permite resolver

qualquer problema de valores na fronteira pertencente a uma dada classe através, unicamente,

da especificação dos dados de entrada, sem ser necessário proceder a alterações no

programa. Por outras palavras, para diferentes geometrias, condições de fronteira, tipos de

solicitações e outros dados, consegue-se resolver um problema específico de uma dada classe

geral alterando apenas o ficheiro de dados do programa.

Este trabalho teve como resultado principal dois programas de cálculo funcionais destinados à

análise dinâmica de sólidos elásticos pelo m.e.f., em que num programa as equações da

dinâmica são integradas explicitamente e no outro estas equações são integradas

implicitamente através do método de Hilber [8].

Os programas foram aplicados na análise dinâmica de três estruturas distintas, com diferentes

condições de fronteira e tipos de solicitação, como forma de os testar e validar. No exemplo 1

os resultados obtidos com os programas de elementos finitos foram comparados com os do

programa comercial Abaqus, tendo-se obtido resultados idênticos. Neste mesmo exemplo

utilizaram-se três taxas de carregamento distintas, tendo-se observado que à medida que a

carga é aplicada mais lentamente menores são os efeitos dinâmicos e os resultados

aproximam-se dos valores quase-estáticos.

Nos exemplos mais complexos, viga em consola e viga bi-encastrada, verificou-se que os

deslocamentos oscilam em torno dos respectivos valores quase-estáticos, e que as

distribuições de tensões em cada instante se aproximam das correspondentes distribuições

dos problemas quase-estáticos de extensão axial e de flexão, respectivamente.

Os resultados obtidos com a integração explícita foram também comparados com os obtidos

com integrações implícitas com diferentes valores do parâmetro de amortecimento .

Na integração explícita o incremento de tempo ¤ está limitado por razões de estabilidade da

solução, o mesmo não se passando na integração implícita onde o incremento de tempo em

problemas lineares só está limitado por razões de precisão dos resultados. Utilizando a

integração implícita e o mesmo incremento de tempo utilizado na integração explícita

consegue-se obter resultados mais precisos, daí as diferenças verificadas nos resultados dos

exemplos da viga em consola e da viga bi-encastrada.

Também os resultados obtidos com malhas de 8 nós são mais precisos do que os obtidos com

malhas de 4 nós, devido à aproximação de ordem mais elevada (quadrática) desses

elementos.

78

Na integração implícita foram utilizados três valores de diferentes (0; 0,05; a_). Tanto no

sólido como na viga bi-encastrada não se observaram diferenças significativas entres os vários

valores de . No entanto, na viga em consola já foram visíveis diferenças de valores entre 1/3 e 0, chegando-se à conclusão que com 1/3 existe amortecimento

numérico, isto é, a consideração de um valor de negativo permite reduzir a influência dos

modos de energia mais elevada (espúrios) nos resultados. Em muitas aplicações estruturais só

a resposta que envolve os modos mais baixos tem interesse prático.

Verifica-se também que o tempo de cálculo das análises explícitas, realizadas com uma matriz

de massas diagonal, é sempre menor que o das correspondentes análises implícitas, devido à

sua natureza directa. A utilização de um programa baseado numa integração explícita das

equações da dinâmica justificar-se-á sempre que o tempo de cálculo for um parâmetro a ter em

conta. Importa referir também que todos os cálculos foram executados num computador portátil

com o seguinte processador: “Intel® Core™2 Duo CPU T9300 @ 2.50 GHz 250 GHz”. O

tempo de cálculo das análises implícitas foi cerca de 2 a 4 vezes superior ao das análises

explícitas. O tempo de cálculo de malhas com elementos de 8 nós foi também bastante

superior ao tempo de análise de malhas com elementos de 4 nós. Estas diferenças foram mais

visíveis nos exemplos 2 e 3 (viga em consola e viga bi-encastrada), devido à sua

complexidade.

Os programas desenvolvidos destinam-se a ser utilizados pelos investigadores do núcleo 2 do

Instituto de Engenharia de Estruturas, Território e Construção (ICIST), quer na análise dinâmica

de sólidos elásticos, quer como ponto de partida para futuros desenvolvimentos de outros

programas destinados à resolução de problemas que envolvam, por exemplo, comportamentos

materiais mais complexos. Prevê-se o desenvolvimento destes programas para ter em conta

comportamentos materiais elasto-plásticos, viscoelásticos ou viscoplásticos. Prevê-se também

utilizar estes programas como ponto de partida de um programa de análise dinâmica de meios

porosos, a utilizar tanto em Engenharia Civil (por exemplo em problemas de consolidação)

como em Biomecânica (por exemplo na análise do comportamento de cartilagens).

79

6. Bibliografia

[1] Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., Zhu, J.Z., “The Finite Element Method, Its Basics &

Fundamentals”, Elsevier Ltd, USA, 2006.

[2] Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., “The Finite Element Method for Solid and Structural

Mechanics”, Elsevier Ltd, USA, 2006.

[3] http://folk.uio.no/steikr/doc/f77/tutorial/

[4] http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs201/NOTES/fortran.html

[5] Simões, F.M., “Instabilidades em problemas não associados da mecânica dos sólidos”,

Dissertação para obtenção do Grau de Doutor em Engenharia Civil, IST, Lisboa, Julho de 1997.

[6] Pires, E.B., “Elementos Finitos – Mestrado em Engenharia de Estruturas”, Lisboa, IST,

Outubro de 1989.

[7] Hinton, E., Rock, T. e Zienkiewicz, O.C., “A note on mass lumping and related process in the

finite element method”, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, vol. 4, pp. 245-249,

1976.

[8] Hilber, H.M., Hughes, T.J.R. e Taylor, R.L., “Improved numerical dissipation for time

integration algorithms in structural dynamics”, Earthquake Engineering and Structural

Dynamics, vol. 5, pp. 283-292, 1977.

[9] Hughes, T.J.R., “The Finite Element Method. Linear Static and Dynamic Finite Element

Analysis”, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1987.

81

ANEXOS

A - 1

Anexo 1

Malha da viga em consola com elementos de 4 nós

A - 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105

106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

4039383736353433323130292827262524232221

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

8079787776757473727170696867666564636261

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 2

34

e

Numeração Local

A - 5

Anexo 2

Malha da viga em consola com elementos de 8 nós

A - 7

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 103

125

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

4039383736353433323130292827262524232221

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

8079787776757473727170696867666564636261

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 102

104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186

187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227

228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289

290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310

311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351

1 2

34

e

Numeração Local

5

6

7

8

A - 9

Anexo 3

Malha da viga bi-encastrada com elementos de 4 nós

A - 10

A - 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

403938373635343332313029282726 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

8079787776

757473727170696867666564636261

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

21 22 23 2524

127 128 129 130

Q/2

1 2

34

e

Numeração Local

A - 12

A - 13

Anexo 4

Malha da viga bi-encastrada com elementos de 8 nós

A - 14

A - 15

1 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

403938373635343332313029282726 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

8079787776

757473727170696867666564636261

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

21 22 23 2524

Q/2

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77

78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128

129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154

155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205

206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231

232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282

283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308

309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359

1 2

34

e

Numeração Local

5

6

7

8

A - 16

A - 17

Anexo 5

Modos de vibração dados pelo Abaqus

A - 18

A - 19

Viga em consola com elementos de 4 nós

• Modo 1 – freq. = 100,90 ciclos/s



A - 20




A - 21

Viga bi-encastrada com elementos de 4 nós




A - 22




A - 23

Anexo 6

Frequências de vibração dadas pelo Abaqus

A - 24

A - 25


Modo Frequência (ciclos/s)

1 100,90

2 511,54

3 647,97

4 1173,2

5 1887,9

6 1930,2

7 2619,4

8 3152,9

9 3210,4

10 3547,4

11 3817,0

12 4121,8

13 4235,1

14 4317,2

15 4550,5

16 4627,2

17 4934,7

18 5069,2

19 5100,5

20 5144,5

… …

240 17349,0

A - 26



1 99,972

2 507,97

3 647,90

4 1167,6

5 1886,3

6 1934,3

7 2630,1

8 3176,5

9 3240,4

10 3603,6

11 3869,1

12 4232,5

13 4417,3

14 4551,5

15 4655,1

16 4836,5

17 5175,4

18 5245,6

19 5291,1

20 5310,0

… …

680 69620,0

A - 27



1 83,102

2 403,92

3 876,50

4 1034,7

5 1428,6

6 2020,3

7 2058,8

8 2629,5

9 3057,3

10 3241,9

11 3845,0

12 3999,6

13 4059,0

14 4407,4

15 4497,3

16 4802,3

17 4965,8

18 5072,3

19 5319,4

20 5557,3

… …

245 17243,0

A - 28



1 81,748

2 397,08

3 861,97

4 1035,1

5 1407,0

6 1995,3

7 2063,9

8 2607,3

9 3076,7

10 3232,0

11 3861,1

12 4051,4

13 4169,3

14 4484,2

15 4613,5

16 4929,0

17 5109,6

18 5225,8

19 5588,6

20 5762,5

… …

691 69172,0

A - 29

Anexo 7

Tempo de cálculo de cada exemplo

A - 30

A - 31

4 nós 8 nós

Exemplo1: Sólido

Integração Explícita 1 s 1 s

Integração Implícita 1 s 1 s

Exemplo 2: Viga em consola

Integração Explícita 18 m 45 m

Integração Implícita 35 m 2,5 h

Exemplo 3: Viga bi-encastrada

Integração Explícita 9 m 8 h

Integração Implícita 40 m 31 h

Análise dinâmica de sólidos elásticos pelo método dos elementos ...

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