UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO E ESTATÍSTICA

ANÁLISE DA DINÂMICA DE UM PÊNDULO

ELÁSTICO COM EXCITAÇÃO VERTICAL

NO SUPORTE

Eduardo Lima de Oliveira

Dissertação de MestradoPós-Graduação em Matemática Aplicada

Rua Cristovão Colombo, 2265

Caixa Postal 136

15054-000 - São José do Rio Preto - SP - Brasil

Telefone: (017) 221-2200

Fax: (017) 221-2200

Análise da dinâmica de um pêndulo elástico com excitação

vertical no suporte

Eduardo Lima de Oliveira

Dissertação apresentada ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Uni-

versidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", Câmpus de São José do Rio

Preto, São Paulo, para a obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada.

Orientador: Prof. Dr. Masayoshi Tsuchida

São José do Rio Preto

Fevereiro 2006

"O inverno cobre minha cabeça, e uma primavera

enche meu coração." Victor Hugo

Dedico

aos meus pais Terezinha Lima e Osvaldo Alves;

às minhas irmãs Elisângela, Elizabete, Taíse e Tamara;

à adorável Jaqueline Fioravante, e ao Brasil,

terra mãe gentil.

Agradecimentos

À todas as pessoas que contribuíram positivamente na construção deste tra-

balho. Aos Professores. Dr. Masayoshi Tsuchida, pela orientação, e incentivo no

desenvolvimento deste trabalho; aos Professores , Geraldo Nunes Silva, Neuza Kazuko

Kakuta, Dimitar K. Dimitrov, e minha namorada Paula Carpintéro de moraes que

me são pessoas preciosíssimas; aos amigos Gleber Nelson Marques e Sérgio Eduardo

Ferreira um agradecimento sincero pelas horas de discussões que foram imprescindíveis

na minha formação. Agradeço também aos meus amigos deste Instituto Fábio Lucas,

Altamir, Cristiane Pendeza, Ricardo Godoy, José Maricato, Flávio Molina, Marcela

Ferreira, Daniele Lozano, Ana Carolina, Rodrigo Chela, Gabriela Perez, Reginaldo

Izelli, Nilton Delbem, Fernando Feltrin, Daniel, Alessandro Martins, Cássius, Adriana

O. Dias, Amábile Neiris, Danilo Elias, Rildo Pinheiro, Pedro Cruz, José Renato, Oreste

Cauz e Fernando Rafaeli pelas amizades dedicadas. À Capes pelo auxílio financeiro.

Com dedicação especial aos noivos Fernando Alessandro e Renata pela motivação que

a vida presenteia.

E à Deus que me concede, amizades tão fiéis.

i

Resumo

O sistema dinâmico estudado neste trabalho consiste de um pêndulo elástico com co-

eficiente não linear, preso em um suporte que oscila verticalmente com freqüência e

amplitude constantes e não afetadas pelo movimento do pêndulo (problema ideal). A

análise do sistema é realizada investigando o comportamento dinâmico em função de

alguns parâmetros de controle como a amplitude e freqüência de oscilação vertical. Us-

ando a matriz Jacobiana da aproximação linear, escolhemos os valores dos parâmetros

do problema, de modo que o sistema apresente ressonâncias internas do tipo 1:1, 1:2,

4:9 e 2:5. Através de técnicas numéricas usuais mostramos movimentos regulares e

irregulares (caóticos), e a ocorrência de bifurcações. Constatamos numericamente, a

existência de pontos de equilíbrio do tipo sela, órbitas homoclínicas e ciclos limites no

espaço de fases.

ii

Abstract

The studied dynamic system in this work consists of a elastic pendulum with nonlinear

coefficient, assembled in a support that oscillates vertically with constant frequency and

amplitude and not affected by the movement of the pendulum (ideal problem). The

analysis of the system is performed investigating the dynamic behavior in function of

some control parameters as the amplitude and frequency of vertical oscillation. Using

the Jacobian matrix of linear approximation, we choose the values of the parameters of

the problem, in way that the system presents internal resonances of the type 1:1, 1:2,

4:9 and 2:5. Through the usual numerical techniques we show regular and irregular

movements (chaotic), and the occurrence of bifurcations. We evidence numerically, the

existence of equilibrium points of the type saddle, homoclinic orbits and limit cycles

in the state space.

iii

Sumário

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1 Sistemas Dinâmicos Não Lineares 1

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sistemas Dinâmicos Não Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Estabilidade do ponto de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Estabilidade Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Linearização e Estabilidade Não Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Estabilidade Estrutural e Bifurcações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Caos em Sistemas Dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Divergência exponencial de trajetórias vizinhas . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Sistemas Clássicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9.1 Equação de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9.2 Equação de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9.3 Equação de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Análise da Dinâmica do Pêndulo Elástico 23

iv

2.1 Equações Adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Soluções Estacionárias do Pêndulo Elástico . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Considerações Sobre o Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Resultado das Simulações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 O Pêndulo Elástico em Ressonância 38

3.1 Fase Estacionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Fase Transiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Conclusão 49

4.1 Proposta de trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

v

Lista de Figuras

1.1 Pêndulo simples próximo aos pontos de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Possíveis configurações para o fluxo próximo aos pontos de equilíbrio no espaço

de fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Retrato de fases para equação de Van der Pol. . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 (a) Espaço de estado do sistema de equações de Lorenz com parâmetros σ =

10, ρ = 28 e β = 83 . (b) Respectivo expoente característico de Lyapunov. . . 20

1.5 haste magneto-elástica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 Secção de Poincaré para o oscilador de Duffing com parâmetros γ = 0.30,α = β = 1, δ = 0.15 e ω = 1.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7 Diagrama de bifurcações da amplitude máxima para o intervalo do parâmetrode controle 0 ≤ ω ≤ 3.0. Os outros valores para os parâmetros são α = 0.05,

γ = 2.5 e δ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 Ilustração do pêndulo elástico excitado parametricamente. . . . . . . . . . . 25

2.2 A figura (a) ilustra o fluxo no espaço de fases relativo ao deslocamento angular,

e a figura (b) o fluxo da deformação da mola. A condição inicial foi tomada

próxima ao ponto de equilíbrio P ∗′

2 . Verificamos que este ponto é instável e

P ∗′

1 é ponto de equilíbrio estável. Os valores dos parâmetros adotados nessas

simulações (a) e (b) foram α = 0.5, ψ = 0.2, η = 3.46, κ = 1.0, Ω = 1.58,

e condições iniciais x1 = π e x2 = 0, x3 = −2x∗3, x4 = 0. Na figura (c)

vi

tem-se α = 0, com o pêndulo abandonado na posição x1 = π, x3 = 0.25 e

velocidade (x2, x4) = (0,−0.01). Vemos que o fluxo oscila antes de convergir

para o ponto de equilíbrio estável, esse efeito pode ser explicado considerando

o acoplamento entre o pêndulo e a mola; Na figura (d) está ilustrado uma

superfície do potencial total V/mgl com α = 0, que pode esclarecer melhor

esse efeito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Simulação realizada com os parâmetros ψ = 0.2, η = 0.2, ω = 1.0, α = 0,

λ = −0.5 e κ = −3λ 3

√

( 12λ)2. Figura (a) e (b) ilustram os retratos de fase

para o fluxo x1 e x3 respectivamente. São tomadas várias condições iniciais

próximas ao ponto de equilíbrio de modo que visualizamos o ponto de sela. . 34

2.4 As figuras (a) e (b) ilustram os retratos de fases para o deslocamento angular

com valores de parâmetros α = 0.01, η = 1.2, ψ = 0.2, λ = 0.05 e κ =

−3λ 3

√

( 12λ)2, note que o parâmetro linear κ do potencial é negativo. Con-

statamos que o ponto de equilíbrio (x∗1, x∗

2) = (0, 0) é ponto de sela enquanto

que (x∗1, x∗

2) = (π, 0) é foco estável. A figura (c) mostra a amplitude x3 no

espaço de fases, observamos que mantém oscilação constante. . . . . . . . . 35

2.5 Nas figuras (a) e (b) estão mostradas duas simulações geradas com condições

iniciais x1 = 0.01, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, e x1 = 0.01, x2 = 0, x3 = 0.03,

x4 = 0.03 respectivamente. Mostram a sensibilidade do sistema às condiçõesiniciais, já que os parâmetros têm os mesmos valores. Para as condições iniciais

tomadas em (b) o pêndulo realiza um número maior voltas completas durante

mesmo tempo. Também podemos observar que a condição inicial de x3 tem

influência na resposta em x1, por causa do acoplamento. . . . . . . . . . . . 36

2.6 As figuras ilustram ciclos limites que surgem no espaço de fases relativo

ao deslocamento angular (a), e deformação da mola (b). Foram tomadas

condições iniciais dentro e fora dos ciclos, e verificamos que o fluxo tende aos

ciclos. Os valores dos parâmetros para as simulações foram tomados como

vii

α = 0.6, ψ = 0.2, η = 0.01, κ = 1.0, Ω = 0.786 e λ = 0. . . . . . . . . . . . 362.7 Órbitas homoclínicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Nas figuras (a) e (b) são ilustrados os diagramas de bifurcação angular (x1) e

da mola (x3) em função do parâmetro de controle α. Os valores dos parâmetros

estão na coluna 1 da tabela. Notamos na figura (a) o ponto de bifurcação por

duplicação de período. Na figura (b) vemos uma mudança significativa entre

a amplitude x3 e a amplitude de excitação α externa, pois o fluxo atravessa

a secção de Poincaré sucessivamente com amplitudes cada vez menores, até

praticamente se estacionar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Nos gráficos são ilustrados os diagramas de bifurcação do pêndulo e a mola re-

spectivamente, cujos valores dos parâmetros estão na tabela (coluna 2). Pode-

se observar nas figuras bifurcações catastróficas, pelo fato de serem aparente-

mente descontínuas no ponto de bifurcação. No ponto de bifurcação o período

do pêndulo fica totalmente descompassado em relação ao período da força ex-

citatora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Nas figuras estão ilustrados os espectros dos expoentes de Lyapunov referentes

aos diagramas de bifurcação acima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Nas figuras (a) e (b) estão mostrados os diagramas de bifurcação para o pên-

dulo e a mola respectivamente. Os valores dos parâmetros estão na tabela

(coluna 3). O efeito do acoplamento é nítido, pois os pontos se espalham em

ambas figuras, nos mesmos intervalos do parâmetro de controle α. Nesses

intervalos os movimentos do pêndulo e da mola são caóticos. . . . . . . . . 42

3.5 Nas figuras estão as simulações, cujos valores dos parâmetros estão na coluna

3 da tabela. Em (a) temos uma visão mais ampla do diagrama de bifurcação

mostrado na figura 3.3(a). A figura (b) mostra o espaço de fases para o

viii

deslocamento angular com parâmetro de controle α = 0.33. Na figura (c)

mostra o espaço de fases com α = 0.5, sendo que para este valor do parâmetro

α o sistema não está em movimento caótico. Em todas simulações foi retirada

a mesma fase transiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 Expoentes característicos de Lyapunov calculados para α = 0.33 e α = 0.5.

Em (a) e (b) mostram respectivamente que a figura 3.4(b) exibe comporta-

mento caótico, enquanto que em 3.4(c) é regular. . . . . . . . . . . . . . . 44

3.7 Na figura temos os espectros dos expoentes de Lyapunov para α = 0.4, com o

pêndulo em regime de ressonância, cujos valores estão na coluna 3 da tabela

3.1. Ao mudarmos as condições iniciais os expoentes tornam-se diferentes mas

mantém-se positivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.8 Nas figuras (a), (b) e (c), (d) estão ilustrados os diagramas de bifurcação do

pêndulo e mola, com valores de parâmetros dados nas colunas 5 e 4 respecti-

vamente. Sistema com não linearidade cúbica na mola . . . . . . . . . . . . 45

3.9 Nas figuras (a) e (b) estão ilustrados os hitóricos no tempo para observar o

comportamento da oscilação da massa do pêndulo em ressonância 1:1(coluna

1 da tabela 3.1). Quando mudamos a amplitude de excitação externa α de

1.0 para 2.0, observamos na figura (a), com α = 1.0 que a massa oscila com

amplitude constante depois da fase transiente, e em (b) vemos que a massa

realiza voltas completas na fase estacionária se α = 2.0. . . . . . . . . . . . 46

3.10 O histórico no tempo mostra que a evolução é irregular e não é observado

uma fase estacionária no movimento. Os valores para os parâmetros estão na

coluna 3 da tabela 3.1, com α = 0.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.11 figura ilustrativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.12 Gráficos de deformação máxima da mola. Em (a) mola linear (coluna 3 tabela

3.1), e em (b) mola não linear(coluna 5 tabela 3.1). . . . . . . . . . . . . . 48

ix

Capítulo 1

Sistemas Dinâmicos Não Lineares

1.1 Introdução

O início do desenvolvimento da teoria de sistemas dinâmicos está relacionado com

as investigações da Mecânica Celeste, a ciência que trata do movimento de corpos

deslocando-se com velocidades pequenas, se comparadas à velocidade da luz, especial-

mente os corpos que compõem o Sistema Solar [3]. Resumidamente, Newton estabele-

ceu as leis que regem o movimento dos corpos celestes a partir das leis de Kepler, e

formulou as equações de movimento com introdução do cálculo diferencial. Com isso,

foi decretado o fim da análise descritiva do sistema solar, e começava uma nova forma

de estudos onde agora eram levados em consideração as causas e os efeitos. Nascia

assim a modelagem matemática de sistemas dinâmicos através de equações diferenci-

ais. Uma solução muito elegante do problema de dois corpos foi dada por Laplace,

mas o problema de três ou mais corpos não admite solução analítica completa [4]. O

1

grande desafio enfrentado pelos pesquisadores deu origem a várias técnicas de abor-

dagem do problema de n corpos, como por exemplo a técnica de perturbação e os

mapeamentos. Com a rápida disseminação de modelagem matemática em outras áreas

do conhecimento, essas técnicas foram adaptadas para sistemas dinâmicos em geral.

No livro "Essai Philosophique sur les probabilités"(Ensaio filosófico sobre as

Probabilidades), publicado em 1814, P. S. Laplace [1749-1827] reflete a pretensão cien-

tífica daquela época. Segundo ele, "se alguém pudesse conhecer a posição e velocidade

de cada partícula do universo num dado instante, assim como a massa dessas partícu-

las, e força a elas aplicada, então esse alguém poderia prever o futuro para o resto do

tempo". Esse determinismo Laplaciano perdeu a força no século XX, com a elabo-

ração da mecânica quântica e o aprofundamento nos estudos de equações diferenciais

não lineares [3].

J.H. Poincaré [1854-1912] introduziu novas técnicas para lidar com as equações

diferenciais não lineares. Como podemos perceber, até o final do séculoXIX buscavam-

se fórmulas que permitissem realizar previsões precisas através da integração analítica

das equações. Poincaré percebeu que as propriedades qualitativas das soluções podiam

ser investigadas, sem que tais soluções precisassem ser determinadas explicitamente.

Assim, em vez de procurar fórmulas, ele partiu para uma abordagem qualitativa, que

descreve as características da topologia do espaço de fases [3].

Em sistemas não lineares, uma variação no parâmetro do sistema pode dar

início a uma mudança no comportamento do sistema, muitas vezes para um com-

portamento bastante complexo. Caos e comportamento caótico são sinônimos usados

2

para descrever o comportamento temporal de um sistema quando o comportamento é

aperiódico e "aparentemente aleatório"(Caos Determinístico [11]) [10]. Provavelmente

Poincaré foi o primeiro a vislumbrar a existência do caos no problema dos três corpos na

sua versão simplificada [3]; Poincaré concluiu que é impossível encontrar uma fórmula

exata que descreva o movimento dos corpos, a partir de uma condição inicial qualquer.

O caos ocorre em um sistema determinísta quando seu comportamento é aperiódico

(irregular) e depende sensivelmente das condições iniciais. Poincaré escreveu, sobre

o problema dos três corpos: "...pode acontecer que diferenças pequenas nas condições

iniciais produzam grandes efeitos no fenômeno final. A previsão torna-se impossível...".

O trabalho combinado de A.N.Kolmogorov [1903-1987], V.I.Arnold e J.Moser,

realizado em meados do século XX, mostrou que dependendo das condições iniciais,

as soluções em série do problema de três corpos podem convergir ou divergir [3].

Hoje podemos encontrar modelagem matemática através de sistemas dinâmicos

em diversas áreas da ciência, como os sistemas econômicos, em que se estuda a relação

entre variáveis de interesse na economia, sistemas físicos, químicos, fisiológicos, ge-

ológicos, engenharias, etc. Poderá haver mais que um modelo para o mesmo problema,

dependendo das simplificações introduzidas e dos objetivos a serem alcançados. Geral-

mente as simplicações decorrem da eliminação das interações realmente despresíveis,

mas o enfoque dado á análise do problema pode também definir a simplicação a ser

introduzida. Nem sempre o modelo mais completo é o ideal, pois o seu estudo pode

tornar-se demasiadamente complexo.

3

1.2 Sistemas Dinâmicos Não Lineares

A dinâmica não linear, essencialmente, constitui o estudo de sistemas de

equações diferenciais não lineares [10]. Considere um parâmetro que descreva um sis-

tema linear, tal como a constante k da força elástica (F = kx). Se k é mudado, então a

freqüência e amplitude das oscilações resultantes mudarão, mas a natureza qualitativa

do comportamento dinâmico permanecerá a mesma. Para sistemas não lineares, uma

pequena mudança em um dos seus parâmetros pode induzir uma inesperada e súbita

mudança no comportamento qualitativo do sistema.

Neste capítulo introduzimos alguns conceitos básicos sobre a teoria de sistemas

dinâmicos, como as definições de estabilidade. Também mostramos exemplos clássi-

cos dos quais foram obtidos, através de simulações, gráficos que já são conhecidos na

literatura.

Temos como característica básica de sistemas dinâmicos não lineares a sensi-

bilidade às condições iniciais e à variação de seus parâmetros, e isto motiva a definição

dada a seguir.

Um sistema dinâmico não linear contínuo, com n-0 de graus de liberdade finito,

pode ser descrito pelas equações

x = fi(x1, x2, ..., xN ;µ1, µ2, ..., µs), i = 1, 2, ...N

x = (x1, x2, ..., xN ) ∈ IRN µj, j = 1, 2, ... s(1.1)

onde o lado direito são funções diferenciáveis não lineares que dependem dos parâmetros

µj [2]. Os sistemas não lineares são chamados assim porque na sua constituição existe

4

algum componente ou subsistema não linear. Sistemas não lineares podem ter o tempo

explícito nas equações ou implícito, dando-lhe o nome de não-autônomo e autônomo

respectivamente.

A dinâmica dos sistemas não lineares é mais complexa do que a dos lineares,

e de um modo geral muito mais rica do que a destes, pois há fenômenos que ocorrem

apenas em sistemas não lineares. Uma maneira de observar o comportamento dinâmico

de um sistema é observando os estados do sistema.

(i) O espaço de estados, ou espaço de fases, é um espaço N-dimensional. Um

estado é representado pelas coordenadas x1(t), x2(t), ..., xN(t) nesse espaço. (ii) A di-

mensão desse espaço é o número de equações diferenciais de primeira ordem necessárias

para descrever esse sistema. (iii) Chama-se retrato de fases um conjunto de curvas obti-

das pela evolução do sistema a partir de um conjunto de condições iniciais. Designam-se

pontos de equilíbrio aqueles que todo o estado que nele se inicia permanece inalterado,

isto é, se x0 é ponto de equilíbrio então f(x0(t)) = 0 ∀ t ∈ IR.

Em se tratando de sistemas não lineares poderá existir mais de um ponto de

equilíbrio, como é observado no sistema pêndulo simples (figura 1.1), que tem x∗k = kπ,

k = 0,±1,±2, ... como pontos de equilíbrio, embora efetivamente o sistema tenha

somente dois pontos de equilíbrio. Um quando a massa está acima do suporte e outro

quando está abaixo dele, isto é, quando k for par, que representa a posição da massa

abaixo, e k ímpar que corresponde a massa do pêndulo na posição acima do suporte.

5

Figura 1.1: Pêndulo simples próximo aos pontos de equilíbrio

1.3 Estabilidade do ponto de equilíbrio

A definição de estabilidade do ponto de equilíbrio que está apresentada abaixo

é no sentido de Lyapunov, e tem caráter local.

Um ponto de equilíbrio x∗ é dito: (i) estável se, e somente se, dado ǫ > 0,

existe δ(ǫ) > 0 tal que para ‖x(0) − x∗‖ < δ(ǫ), então ‖x(t) − x

∗‖ < ǫ, ∨− t > 0;

(ii) assintoticamente estável se, e somente se, existe δ > 0 tal que para ‖x(0)−x∗‖ < δ,

então ‖x(t) − x∗‖ −→ 0, para t −→ ∞; (iii) instável se a órbita se afasta do ponto

de equilíbrio no espaço de fases , isto é, ∃ ǫ > 0 tal que ∨− δ > 0, ‖x(0) − x∗‖ < δ,

então ‖x(t) − x∗‖ ≥ ǫ.

Uma outra maneira de conceituar estabilidade é de acordo com Lagrange,

chamada de estabilidade limitada. Formalmente, a estabilidade é limitada se existe c

6

tal que c <∞ e ||x(t)|| < c para todo t ([3] pp.65-67).

1.4 Estabilidade Orbital

A noção de estabilidade orbital no sentido de Lyapunov é particular, semel-

hante a que caracteriza a estabilidade em um ponto de equilíbrio.

Seja uma órbita C∗, descrita pelas variáveis de estado do sistema. (i) Se toda

curva que se inicia em uma vizinhança de C∗ tender a ela com o passar do tempo então

a órbita C∗ é assintoticamente estável; (ii) Se o estado atual evoluir sobre a superfície

de um toróide em torno de C∗, então a órbita descrita por esse estado é neutramente

estável; (iii) Se essa distância aumenta com o tempo, então a órbita C∗ é instável.

Poincaré formulou o conceito de estabilidade orbital de modo a não levar em

conta a escala de tempo dos movimentos. Pela definição de Poincaré, considera-se

somente a proximidade das curvas no espaço de fases, ou seja, avalia a variação da

distância dessas duas soluções, medida no espaço de fases [3]. Seja C1 um caminho

fechado, no espaço de fases, descrito por γ1(t) e C2 órbita suficientemente próxima de

C1 descrita por γ2(t). As soluções periódicas γ1(t) e γ2(t) têm períodos diferentes, de

modo que evoluem em escalas de tempo diferentes. (i) Diz-se que C1 é orbitalmente

estável se, dado ǫ > 0, existe δ(ǫ) > 0 tal que se ‖γ1(t0) − γ2(t1)‖ < δ(ǫ) para os

instantes t0 e t1, então existem instantes t2 e t3 em que ‖γ1(t2)−γ2(t3)‖ < ǫ. (ii) Uma

curva C1 é orbitalmente assintoticamente estável se C2 tende a C1 com o passar do

tempo, ou seja, ‖γ1(t) − γ2(t)‖ −→ 0 para t−→ ∞. Uma curva fechada é instável se

7

ela não é orbitamente estável.

Uma importante trajetória fechada no estudo de sistemas dinâmicos não lin-

eares são os ciclos-limite. Pode aparecer no retrato de fases do sistema. Mais que uma

curva fechada, o ciclo limite é uma curva orbitalmente assintóticamente estável/instável

ou ainda semi-estável no caso do fluxo, no espaço de fases, se aproximar assintótica-

mente somente por um lado da curva. Pode ser chamado ainda de curva isolada, porque

sua estabilidade nunca é neutra, existe uma ausência de qualquer curva fechada próx-

ima a ele [3].

1.5 Linearização e Estabilidade Não Linear

Seja o sistema de equações diferenciais não lineares

x = f(x, y)

y = g(x, y)(1.2)

para o qual existe um ponto de equilíbrio P ∗ = (x∗, y∗). Escrevemos a expansão em

série de Taylor

x = f(x, y) = f(x∗, y∗) +∂f

∂x(x∗, y∗)(x− x∗) +

∂f

∂y(x∗, y∗)(y − y∗) + O(2)

y = g(x, y) = g(x∗, y∗) +∂g

∂x(x∗, y∗)(x− x∗) +

∂g

∂y(x∗, y∗)(y − y∗) + O(2)

sendo que O(2) significa termos de ordens maiores ou iguais a 2 [11].

Definindo as novas variáveis (x, y) = (x, y)−P ∗ = (x−x∗, y−y∗) e observando-

se que ˙x = x, ˙y = y e f(x, y) = g(x, y) = 0 obtém-se desprezando os termos de ordem

8

superiores

˙x =∂f

∂x(x∗, y∗)x+

∂f

∂y(x∗, y∗)y = ax+ by

˙y =∂g

∂x(x∗, y∗)x+

∂g

∂y(x∗, y∗)y = cx+ dy (1.3)

A matriz dos coeficientes

J =

a b

c d

é a matriz Jacobiana∂(f,g)∂(x,y)

calculada no ponto fixo P ∗. As funções x(t) e y(t) obtidas

resolvendo o sistema (1.3), são aproximações de primeira ordem para as distâncias

entre os pontos (x(t), y(t)) da trajetória e o ponto fixo P ∗.

O processo que acabamos de descrever é conhecido como linearização. A

questão da estabilidade de uma solução estacionária reduz-se ao estudo das soluções

correspondentes do sistema linearizado. Através da análise dos autovalores dessa matriz

Jacobiana podemos classificar os pontos de equilíbrio em hiperbólico e elíptico também

chamados de pontos de equilíbrio não hiperbólicos, ou seja, se os autovalores tem parte

real nula são ditos pontos de equilíbio elípico ou não hiperbólico; se os autovalores tem

parte real não nula são ditos pontos de equilíbrio hiperbólicos. É possível demonstrar

que a estabilidade de um equilíbrio hiperbólico não é afetada pela linearização. Os

casos de pontos não-hiperbólicos a análise linear não nos permite concluir nada so-

bre a estabilidade do ponto de equilíbrio, e nesse caso devem ser estudados termos de

ordens superiores. A teoria da variedade central pode ser aplicada para a análise da

estabilidade desses tipos de pontos, e uma aplicação pode ser vista em [11], onde os

9

autores analizaram o comportamento local de um sistema flexível, através da redução

à variedade central na vizinhaça de um ponto de equilíbrio não hiperbólico.

Equivalência Topológica

Assuma que a função vetorial h(x) = y etabeleça uma relação entre o vetor x

e o vetor y

h(x) = y ⇐⇒

h1(x1, x2, ..., xn) = y1

h2(x1, x2, ..., xn) = y2

. .

. .

. .hn(x1, x2, ..., xn) = yn

(1.4)

Suponha que h seja uma função injetora e sobrejetora. Uma função com essas

propriedades é inversível, isto é, existe a função inversa h−1(y) = x. Se h é contínua,

invertível e sua inversa h−1 é contínua, então h é chamada de homeomorfismo, e o

domínio x e a imagem y são considerados homeomorfos.

Um homeomorfismo é chamado de difeomorfismo se h e h−1 são diferenciáveis

em todos os pontos.

Quando os retratos de fases dos sistemas dinâmicos:

dxdt

= f(x),dydt

= g(y)

podem estar relacionados por um homeomorfismo h(x) = y que preserva o sentido do

movimento no espaço de fases, então esses sistemas são topológicamente orbitalmente

equivalentes. Isso significa que as trajetórias de um sistema podem ser continuamente

deformadas até se transformarem iguais as do outro sistema.

10

1.6 Estabilidade Estrutural e Bifurcações

Um sistema dinâmico depende de um ou mais parâmetros chamados parâmet-

ros de controle. Então o sistema dinâmico pode ser pensado como função dos parâmet-

ros de controle, pois o comportamento dinâmico de um sistema pode ser qualitativa-

mente e quantativamente diferente se algum de seus parâmetros for mudado[11].

Um sistema dinâmico é estruturalmente estável se para qualquer perturbação

suficientemente pequena das equações que o definem, o fluxo resultante é topologica-

mente equivalente àquele associado ao sistema inicial sem a perturbação.

Formalmente, define-se estabilidade estrutural da seguinte maneira. Seja o

fluxo das equações x =fi(x;µ1, µ2, ..., µs) i = 1, 2, ..., N , que depende dos parâmetros

µj. Para um valor fixo dos parâmetros µ0 = (µ01, µ

02, ..., µ

0s ), o fluxo de x =fi(x;µ0

1, µ02, ..., µ

0s )

é estruturalmente estável se há um valor de ǫ > 0 tal que x =fi(x;µ1, µ2, ..., µs) é topo-

logicamente equivalente a x =fi(x;µ01, µ

02, ..., µ

0s ), para µj tais que ||µj − µ0

j || < ǫ.

As equações (1.1) formam de uma família de sistemas ou equações diferenciais cujas

soluções dependem tanto do tempo quanto dos parâmetros µj. A matriz Jacobiana e

autovalores e autovetores também vão depender de µj.

Considere o sistema bidimensional (1.3) e o ponto de equilíbrio P ∗ do sistema.

Sejam λ1,2 = α ± iω os autovalores da matriz Jacobiana J , e a tabela (1.2), onde

estão ilustradas as possíveis configurações do fluxo no espaço de fases, cuja topologia

depende do sinais das partes reais e imaginárias dos autovalores.

Quando variamos o parâmetro de controle µj e ocorre uma mudança topológ-

11

Figura 1.2: Possíveis configurações para o fluxo próximo aos pontos de equilíbrio no espaço

de fases.

ica no retrato de fases, o sistema perde sua estabilidade estrutural, sofrendo uma

bifurcação. O ponto (xc, µ0) em que isso ocorre, é chamado ponto de bifurcação. Bi-

furcações que são produzidas genericamente pela variação de um único parâmetro são

classificadas como bifurcação de codimensão um. Assim codimensão é o número de

12

parâmetros que se varia a fim de produzir uma bifurcação da solução.

Graficamente pode-se mostrar como a soluções de equilíbrio variam em função

do parâmetro, construindo um diagrama de bifurcações. Variando-se um parâmetro de

controle podem ocorrer quatro tipos de bifurcações locais, que são brevemente descritas

abaixo. Detalhes e outros tipos de bifurcações podem ser encontrados em livros de

introdução aos sistemas dinâmicos, como em [3], ou em livros intermediários como em

[2].

(I) A bifurcação sela-nó, também conhecida como bifurcação tangente, é o

meio básico pelo qual um par de pontos de equilíbrio com estabilidades contrárias é

criado ou destruido.

(II) A bifurcação transcrítica acontece quando há situações em que dois pontos

de equilíbrio devem existir para todos os valores de parâmetro, embora as estabilidades

desses pontos sejam trocadas quando o parâmetro passa por um valor crítico.

(III) Em uma bifurcação forquilha, um par de pontos de equilíbrio pode apare-

cer ou desaparecer simultaneamente, quando o parâmetro passa por um valor crítico.

Essa bifurcação aparece em sistemas que possui algum tipo de simetria. A bifur-

cação forquilha apresenta-se na forma subcrítica ou supercrítica. Supercrítica significa

que inicialmente existe um ponto de equilíbrio P ∗ estável, e variando-se o valor do

parâmetro µ, P ∗ torna-se instável quando surgem pontos adicionais estáveis em um

valor crítico µ = µc.

(IV) A bifurcação de Hopf, ocorre em um sistema pelo menos bidimensional,

pois um ponto inicialmente estável P ∗ torna-se instável em um valor crítico µc, e um

13

ciclo limite (portanto bidimensional) estável passa a existir como solução estacionária.

As bifurcações descritas em (I), (II), (III) são chamadas estáticas, enquanto

(IV) é dita dinâmica pois na sua ocorrência surge um ciclo limite que é a típica solução

que oscila com o tempo. Todas são bifurcações locais, estudadas para valores próximos a

(P ∗;µc). Existem bifurcações classificadas como globais, mas não são previstas usando

autovalores, e para o estudo desses tipos de bifurcações outros métodos são usados.

1.7 Caos em Sistemas Dinâmicos

Uma noção intuitiva de atrator é a seguinte: um conjunto invariante para o

qual órbitas próximas convergem depois de um período significativamente longo é um

atrator. Surgem em sistemas dissipativos, onde ocorre contração de um elemento de

volume, no espaço de fases, o que não é possível em sistemas conservativos. Não existe

uma definição única para atrator, aqui daremos a nossa baseada nas referências [3] e

[11].

A região compacta A é um atrator de fluxo φ(t, x) se as três hipóteses a seguir

valem: (a) A é invariante segundo φ, isto é, qualquer trajetória que começa em A

permanece em A por todo tempo; (b) A atrai um conjunto aberto de condições iniciais,

isto é, há um hipervolume B que contém A, tal que para qualquer condição inicial

φ(0, x0) ∈ B, a distância entre o fluxo φ(t, x) e A tende a zero, quando t → ∞. O

maior conjunto de condições iniciais que satisfaz essa propriedade é chamada de bacia

de atração; (c) O fluxo não pode ser decomposto, isto é, A não pode ser dividido em

14

duas ou mais partes invariantes não triviais, ou seja, não há subconjunto de A que

satisfaça as duas condições anteriores.

Além dos atratores citados, que apresentam dimensões inteiras, existem out-

ros peculiares que são encontrados em vários sistemas que além de contrações em uma

direção apresentam expansões em outras, portanto diferem de atratores representados

por equilíbrios estáveis. Atratores dessa forma são chamados de atratores estranhos.

Tal tipo de dinâmica pode ocorrer tanto em sistemas dissipativos, autônomos ou não-

autônomos, que tenham força motora externa periódica ou não [11]. Num atrator

estranho as linhas de fluxo dependem sensívelmente das condições iniciais, e essa de-

pendência tem conseqüências práticas uma vez que pequenos desvios nas condições

iniciais podem estar presentes, devido a imprecisão das medidas e outros fatores que

consistem em ruídos experimentais. Sistemas que exibem tais atratores podem apresen-

tar comportamentos irregulares ou caóticos. Deve-se enfatizar que o comportamento

caótico observado resulta da própria dinâmica do sistema (determinístico), não sendo

produzido por perturbações de natureza estocástica.

Escrevemos formalmente que o fluxo de um sistema depende sensivelmente

das condições iniciais se há um número ǫ > 0, tal que para qualquer condição inicial

x0 e qualquer δ > 0, existe pelo menos um ponto x′

0 com ||x0 − x′

0|| < δ, que im-

plica em ||f(x0) − f(x′

0)|| ≥ ǫ. Para medir a taxa de devergência de trajetórias, e

portanto para quantificar a depêndencia sensitiva às condições iniciais usa-se os ex-

poentes de Lyapunov. O caos determinístico é essencialmente devido á sensibilidade

às condições iniciais (DCI). Assim sendo leis de evolução deterministas podem levar a

15

comportamentos caóticos, inclusive na ausência de ruído ou flutuações externas. Essa

dependência (DCI), quando existe, resulta das não linearidades presentes no sistema,

as quais amplificam exponencialmente pequenas diferenças nas condições iniciais.

1.8 Divergência exponencial de trajetórias vizinhas

Uma maneira de qualificar a sensibilidade às condições iniciais de um sistema

dinâmico é estudar o limite assintótico de sua função de sensibilidade. O sistema

dinâmico autonômo

x = f(x) (1.5)

admite as soluções x′(t) e x(t), infinitesimalmente próximas em t = 0, i.é.,

ξ(x′(t = 0),x(t = 0)) = ||x′(0) − x(0)|| ≪ 1 (1.6)

A função sensibilidade é definida como a razão 1

ξ(t)

ξ(0)=

||x′(t) − x(t)||

||x′(0) − x(0)||(1.7)

Para sistemas em comportamento caótico o desenvolvimento assintótico da

função sensibilidade é exponencial [22]

ξ(t)

ξ(0)∝ eσt, σ > 0 (1.8)

A taxa de crescimento exponencial σ é chamado de expoente característico de

Lyapunov. Este expoente pode ser determinado calculando o limite

σ = limt→∞

1

tLog

(

ξ(t)

ξ(0)

)

(1.9)

1note que simplificamos a notação da função distância ξ

16

Esse expoente definido em (1.9) é na verdade o maior dentre um conjunto

de expoentes de Lyapunov, pois a quantidade de expoentes de Lyapunov é igual à

dimensão do espaço de estados.

1.9 Sistemas Clássicos

Os sistemas dinâmicos não lineares têm particularidades específicas, ou seja,

cada sistema se caracteriza pelo seu comportamento complexo e único. Existem alguns

exemplos importantes, que são largamente utilizados como paradigmas, e portanto

tornaram-se sistemas clássicos. Apresentamos três deles: o oscilador de Van der Pol, e

os sistemas de Lorentz e Duffing. O primeiro originou-se quando Van der Pol modelou

um circuito elétrico. O segundo vem da simplificação das equações diferenciais parciais

que governam a convecção em fluidos, e o terceiro sistema é o conhecido como oscilador

de Duffing, um sistema mecânico dotado de uma mola com não linearidade cúbica [4].

Realizamos simulações com esses sistemas, usando os programas implementados, para

validação dos mesmos.

1.9.1 Equação de Van der Pol

A equação de Van der Pol vem de uma modelagem do oscilador com amor-

tecimento não-linear. Esse sistema possui um ciclo limite para o qual convergem ass-

intoticamente todas soluções. Neste oscilador, a energia é dissipada em amplitudes

grandes e gerada em amplitudes pequenas. Esse tipo de sistema aparece em muitos

17

problemas físicos [4]. A aplicação original descrita por Van der Pol [1927] modela um

circuito elétrico que possui uma válvula com propriedades resistivas e que varia com a

corrente, chamada válvula triode. Quando a corrente é pequena a resistencia é baixa,

mas torna-se maior quando a corrente cresce [4].

A equação diferencial de Van der Pol é escrita na forma

x+ αφ(x, c)x+ x = βp(t) (1.10)

onde φ(x) é função par, negativa para |x| < c e positiva para |x| > c, c > 0, e p(t) é

T-periódica, com α, β parâmetros relacionados com as propriedades físicas do sistema.

Reescrevemos como um sistema de equações de primeira ordem

x = y

y = −x+ βp(θ) − αφ(x, c)

θ = 1

(x, y, θ) ∈ lR2 × S1

(1.11)

Existem estudos do sistema de Van der Pol [4] em fenômenos biológicos, como

as pulsações do coração. No trabalho de M. Santos e coraboradores são investigados

osciladores de Van der Pol acoplados [20] que podem servir de modelo para o estudo

do ritmo cardíaco. Na figura (1.3) pode-se observar o ciclo limite no espaço de fases do

sistema (1.11), onde tomamos φ(x) = x2 − c, Φ(x) = x3 − cx, c = 1 e p(t) = cos(Ωt).

18

Figura 1.3: Retrato de fases para equação de Van der Pol.

1.9.2 Equação de Lorenz

Em 1963, Lorenz um meteorologista, apresenta uma análise de um conjunto

de três equações diferenciais ordinárias quadráticas acopladas

X = −σ(Y −X)

Y = ρX − Y − Y Z

Z = −βX +XY

onde, σ é chamado número de Prandtl, ρ número de Rayleigh, e β uma razão [4][3].

No espaço estados do sistema, quando os parâmetros têm os valores β = 83,

σ = 10 e ρ = 28, a figura tem semelhança com uma borboleta, como pode ser visto na

figura (1.4). Para estes valores o sistema exibe um comportamento caótico, e podemos

constatar que o expoente característico de Lyapunov é positivo confirmando a evolução

caótica do sistema.

19

Figura 1.4: (a) Espaço de estado do sistema de equações de Lorenz com parâmetros σ = 10,

ρ = 28 e β = 83 . (b) Respectivo expoente característico de Lyapunov.

1.9.3 Equação de Duffing

A equação de Duffing [1918] modela um oscilador não linear com um termo de elas-

ticidade cúbica para descrever o efeito da dureza na mecânica dos sólidos [4]. Aqui

vamos ilustrar esta forma da equação de Duffing, particularizada quando β < 0, isto é,

o potencial V (x) = β

4x4 + 1

2x2 tem o coeficiente β negativo. Um aparato experimental

constituído de uma haste flexível que vibra sob a variação de um campo eletromag-

nético e fixa em um suporte rígido, é ilustrado na figura (1.5). A equação diferencial

de Duffing é dada por

x+ δx− βx+ αx3 = γsin(ωθ)

ou reescrevendo como sistema de equações de primeira ordem, tem-se

u = v

v = βu− αu3 − δv + γsin(ωθ)

θ = 1

20

onde γ é a amplitude da força de excitação, com (u, v, θ) ∈ IR2 × S1

Figura 1.5: haste magneto-elástica.

A figura (1.6) mostra um "atrator estranho", onde podemos observar a irreg-

ularidade em relação ao período da força de excitação externa. Essa figura é obtida

com a técnica de secção de Poincaré.

Observe que a figura (1.7) ilustra uma bifurcação obtida com a simulação,

onde o parâmetro ω é variado de dois modos. Primeiro de 0 até 3, e depois de 3 até

0. Na verdade este diagrama de bifurcações deveria ser um pouco diferente, com os

ramos sobrepostos, e associados a um típico fenômeno de histerese. Mas para obter esse

diagrama, corretamente, exige-se o algorítimo denominado de técnica da força bruta ,

que não foi usado neste trabalho. Maiores detalhes sobre esse algoritmo é encontrado

no livro de Fiedler [11].

21

Figura 1.6: Secção de Poincaré para o oscilador de Duffing com parâmetros γ = 0.30,α = β = 1, δ = 0.15 e ω = 1.0.

Figura 1.7: Diagrama de bifurcações da amplitude máxima para o intervalo do parâmetro decontrole 0 ≤ ω ≤ 3.0. Os outros valores para os parâmetros são α = 0.05, γ = 2.5 e δ = 0.2

22

Capítulo 2

Análise da Dinâmica do Pêndulo

Elástico

É interessante notar que sistemas dinâmicos simples do tipo massa-mola podem servir

de modelo para diversos problemas complexos. Por exemplo, no início os estudos da

mecânica quântica basearam-se nos modelos de sistemas dinâmicos desse tipo. Igual-

mente, problemas vibratórios de engenharia como vibração de estruturas ou máquinas,

geralmente são modelados com sistemas que envolvem massa e mola [21]. Por outro

lado, sistemas dinâmicos pendulares desempenham um papel importante na modelagem

de problemas vibratórios, como no estudo de fenômenos vibratórios em mecânica ce-

leste.

Em virtude desse cenário, é natural que estejamos observando um grande in-

teresse no estudo dessa natureza, com componente não linear e dois graus de liberdade.

O modelo estudado neste trabalho é constituído por um pêndulo, cuja massa é suspensa

23

por uma mola que tem coeficiente de elasticidade linear e não linear. Este pêndulo está

preso a um suporte que oscila verticalmente [5]. A frequência e a amplitude da força

que excita o sistema mecânico são constantes e não são afetadas pelo movimento do

pêndulo, de modo que temos um problema ideal. O pêndulo elástico (figura 2.1) para-

metricamente excitado na direção vertical foi modelado por Andrade e colaboradores

[5] [6]. A modelagem matemática foi feita a partir do formalismo Lagrangeano, através

das energias cinética e potencial

T =1

2m[Z2 + u2 + (l + Z)2θ2 + 2Zucosθ − 2u(l + Z)θsenθ] (2.1)

V = mg(−(l + Z)cosθ + u) +kZ2

2+εZ2

4(2.2)

considerando u = Acos(wt), onde A é a amplitude e w é a freqüência de oscilação

da força externa. A descrição dos demais parâmetros físicos é dada a seguir: m é a

massa; l o comprimento da mola em repouso; g a aceleração da gravidade terrestre; Z

a deformação da mola; θ o ângulo de oscilação do pêndulo; k o coeficiente linear e ε o

coeficiente não linear da mola.

Das equações de Lagrange obtemos as equações de movimento

θ +2zθ

(l + z)+Aw2sen(wt)senθ

(l + z)+ g

sen(θ)

(l + z)= c1θ (2.3)

z −Aw2sen(wt)cosθ − (l + z)θ2 − gcos(θ) +k

mz + +

ǫ

mz3 = c2z (2.4)

24

Figura 2.1: Ilustração do pêndulo elástico excitado parametricamente.

onde c1 e c2 são os amortecimentos angular e radial respectivamente. Pode-se modelar

um sistema dinâmico usando o princípio de Hamilton e obter as equações de movimento.

Detalhes da aplicação do princípio de Hamilton podem serem vistos no trabalho de

Belato [16], onde o sistema modelado é biela-manivela-pêndulo, e também no trabalho

de Fenili e colaboradores [14], em que o sistema considerado é uma estrutura flexível

com elasticidade não linear.

A análise da dinâmica do sistema pode ser feita através da variação de alguns

parâmetros, como a amplitude ou freqüência de excitação externa. Esses parâmetros

passam a ser chamados de parâmetro de controle, e obviamente a escolha dos mesmos

depende das características físicas do problema modelado, e do tipo de investigação

que se deseja fazer.

A solução numérica das equações diferenciais de movimento ajuda a ilustrar

25

o fluxo no espaços de fases, e a análise analítica é realizada em torno de um ponto de

equilíbrio do sistema através de uma aproximação em primeira ordem das equações.

Uma aproximação analítica para a solução do pêndulo elástico harmonicamente exci-

tado foi obtida por Lee e Park [19] através do método de múltiplas escalas. Zaki e

colaboradores [9] estudam o efeito da força harmônica que excita um pêndulo elástico

tangencialmente ao deslocamento da massa, e são estabelecidas rotas para o comporte-

mento caótico. O pêndulo elástico está sendo bem investigado por diversos autores,

onde a excitação externa do suporte pode aparecer tanto na direção horizontal ou ver-

tical. Para alguns modelos do pêndulo elástico existem mais que uma fonte externa

de excitação. Por exemplo no trabalho de Zadpoor [18], além de ser considerada uma

excitação periódica externa vertical no suporte, existe também uma exitação periódica

tangencial ao deslocamento da massa. Bishop e Xu [7] estudaram a dinâmica e controle

de um sistema pendular excitado verticalmente, porém com haste rígida.

O estudo do comportamento global no espaço de fases também pode ser feito

obtendo uma solução analítica aproximada. Esse tipo de análise pode ser realizado

com o uso do método de múltiplas escalas, ou obtendo a função de Melnikov que mede

a distância entre as variedades estável e instável de um ponto de sela. Faouzi [15]

usa a função de Melnikov para realizar o estudo de regiões caóticas com respeito aos

parâmetros de um sistema parametricamente excitado, e no trabalho de Hu e Dowell

[17] pode ser vista a aplicação do método de múltiplas escalas para a análise das prin-

cipais ressonâncias no oscilador de Duffing forçado. A proposta deste estudo é levar

a efeito uma análise do comportamento dinâmico utilizando alguns métodos ampla-

26

mente experimentados, como diagramas de bifurcações de codimensão um, expoente

característico de Lyapunov que mede a sensibilidade às condições iniciais para certos

intervalos de valores dos parâmetros, e mapas de Poincaré para destacar comporta-

mentos regulares e irregulares.

O estudo de um sistema dinâmico é feito obedecendo uma seqüência lógica de

procedimentos, de modo que o conhecimento sobre o mesmo seja adquirido gradativa-

mente. O primeiro passo é a determinação das equações diferenciais do movimento, as

quais estão dadas em (2.3) e (2.4). As variáveis e os parâmetros físicos que aparecem

nas equações possuem dimensões, e então é praxe utilizarmos grandezas adimensionais,

inclusive a variável independente t. Com o adimensionamento eliminamos o problema

de escolha adequada da escala para analisar o sistema dinâmico. A seguir é impre-

scindível a determinação dos pontos de equilíbrio, pois sistemas dinâmicos não lineares

são analisados na vizinhança desses pontos de equilíbrio, através dos sistema linear

associado, métodos de perturbação e simulações numéricas. A estabilidade dos pontos

de equilíbrio é estabelecida pelos autovalores da matriz Jacobiana J , quando a parte

real dos autovalores são nulas nada podemos afirmar sobre a estabilidade do sistema

não linear. Neste caso o ponto de equilíbrio é dito não hiperbólico, e o teorema de

Hartmann-Grobman não pode ser utilizado.

27

2.1 Equações Adimensionais

Introduzindo as relações τ =√

g

lt = νt e Z= lz, as equações de movimento (2.3) e

(2.4) escrevem na forma adimensional como

θ +

(

2z

1 + z+

η

(1 + z)2

)

θ + (αΩ2sen(Ωτ) + 1)senθ

1 + z= 0 (2.5)

z + ψz − (1 + z)θ2 − (αΩ2sen(Ωτ) + 1)cosθ + κz + λz3 = 0 (2.6)

onde α = Al, Ω = ων−1, η = c1

ml2ν−1, ψ = c2

mν−1, λ = ǫ2l2ν−2 = ε

ml2

ν2 e κ = ω20ν

−2, com

ω0 =√

km

e ǫ =√

εm

.

Podemos adimensionar o tempo de uma outra forma, por exemplo, se tomando

a relação τ =√

kmt ao invés de τ =

√

g

lt, então a equação (2.4) fica

z + ψz − (1 + z)θ2 − (αΩ2sen(Ωτ) + β)cosθz + λz3 = 0 (2.7)

onde α = Al, Ω = ω

ω0

, β = g

lω2

0

, λ = ǫ2l2

ω2

0

, ψ = c2ω2

0

e η = c1ω2

0

.

A escolha de um ou outro adimensionamento não interfere na análise qualita-

tiva do sistema, mas apenas no modo de medir o tempo, isto é, ou usamos a escala de

frequência da mola ou a escala de frequência do pêndulo.

2.2 Soluções Estacionárias do Pêndulo Elástico

O ponto de equilíbrio, também chamado de ponto fixo, é uma solução estacionária do

sistema. Nesse ponto o sistema tem suas velocidades nulas. Escrevemos as equações

(2.5) e (2.6) como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem em termos

28

das variáveis de estado

θ = x1 ⇒ θ = x1 = x2

z = x3 ⇒ z = x3 = x4,

isto é, (x1, x2, x3, x4) = (θ, θ, z, z), e escrevemos o sistema

x1 = x2

x2 = − (αΩ2senΩτ+1)senx1

1+x3

− [ 2x4

1+x3

+ η

(1+x3)2]x2

x3 = x4

x4 = (αΩ2senΩτ + 1) cosx1 + (1 + x3)x22 − κx3 − λx3

3 − ψx4

(2.8)

Fazendo (x1, x2, x3, x4) = (0, 0, 0, 0) em (2.8), determinamos os pontos de equi-

líbrio P ∗

1 e P ∗

2 , que são dados por

P ∗

1 =

x∗11 = 0

x∗21 = 0

x∗41 = 0

x∗31 = [( κ3λ

)3 + ( 12λ

)2]1

2 + 12λ

1

3 − [( κ3λ

)3 + ( 12λ

)2]1

2 − 12λ

1

3

(2.9)

P ∗

2 =

x∗12 = π

x∗22 = 0

x∗42 = 0

x∗32 = [( κ3λ

)3 + ( 12λ

)2]1

2 − 12λ

1

3 − [( κ3λ

)3 + ( 12λ

)2]1

2 + 12λ

1

3

, (2.10)

29

onde o valor de x∗3j (j = 1, 2) depende dos coeficientes linear (κ) e não linear (λ) do

potencial elástico presente no sistema. Note que x∗31 = −x∗32.

Realizamos uma translação do sistema de coordenadas para levar o ponto de

equilíbrio P ∗

1 para origem. Como as coordenadas do ponto fixo P ∗

1 são todas nulas com

exceção de x∗31,1 assim a translação se resume na mudança de variável x3 7→ x3 + x∗3, e

escrevemos o sistema (2.8) como

x1 = x2

x2 = − (αΩ2senΩτ+1)1+x3+x∗

3

senx1 − [ 2x4

1+x3+x∗3

+ η

(1+x3+x∗3)2

]x2

x3 = x4

x4 = (αΩ2senΩτ + 1) cosx1 + (1 + x3 + x∗3)x22 − κ(x3 + x∗3)

−λ(x3 + x∗3)3 − ψx4

(2.11)

Observamos que os pontos de equilíbrio, com a translação, são dados por P ∗′

1 =

(0, 0, 0, 0) e P ∗′

2 = (π, 0,−2x∗3, 0).

A matriz Jacobiana (J4×4) é diagonal por blocos, e isso facilita o cálculo dos

autovalores que são zeros do seu polinômio característico. Temos

J =

0 1 0 0

− 11+x∗

3

− η

(1+x∗3)2

0 0

0 0 0 1

0 0 −κ− 3λ(x∗3)2 −ψ

1nota: uma vez escolhido o ponto P ∗

j para translação, suprimimos o índice j de x∗3j

30

e os autovalores dessa matriz são

Λψ = −ψ

2±

1

2

√

ψ2 − 4[κ+ 3λ(x∗3)2] (2.12)

Λη = −η

2(1 + x∗3)2±

√

η2 − 4(1 + x∗3)3

2(1 + x∗3)2

. (2.13)

Quando ψ2 − 4[κ + 3λ(x∗3)2] < 0 e η2 − 4(1 + x∗)3 < 0 temos Λψ = −ψ

2± ωzi e

Λη = − η

2(1+x∗3)± ωθi, com ωz e ωθ respectivamente relacionados com as frequências da

mola e do pêndulo. Quando ωz = ωθ = 0 não temos a parte oscilante da solução (parte

complexa dos autovalores). Observando os autovalores da Jacobiana concluímos que

existem valores dos parâmetros para os quais o ponto de equilíbrio passa de hiperbólico

η e ψ 6= 0, para não hiperbólico η = ψ = 0 , assim como autovalores passam de reais

puros para complexos puros.

2.3 Considerações Sobre o Potencial

O termo −κx3 − λx33 que aparece na quarta equação do sistema (2.8) está relacionado

ao potencial elástico. O parâmetro λ é ligado à rigidez da mola, e quando λ > 0 temos

uma mola dura e quando λ < 0 uma mola macia. Em (2.9) a expressão relacionada

com a coordenada x∗3 tem o termo R = ( κ3λ

)3 + ( 12λ

)2, que deve ser sempre maior

que zero para que a coordenada do ponto de equilíbrio não seja complexa. Assim, ao

considerarmos mola macia (λ < 0) temos que ter no mínimo R = 0, e nesse caso resulta

(κ

3λ)3 + (

1

2λ)2 = 0 ⇒ κ = − 3λ

3

√

(1

2λ)2 , λ < 0

31

x∗3 =3

√

R1

2 +1

2λ−

3

√

R1

2 −1

2λ= −2 3

√

1

2|λ|, λ < 0

O potencial total do pêndulo elástico é dado pela equação (2.2), mas com o

adimensionamento do tempo escrevemos

V

mgl= −(1 + x3)cos(x1) + αcos(Ωτ) +

κx23

2+λx4

3

4(2.14)

2.4 Resultado das Simulações

Realizamos algumas simulações neste capítulo, sem adotar um conjunto de parâmetros

específico, pois inicialmente estamos interessados nas configurações (centros, focos,

nós, etc) que o espaço de fases assume próximo aos pontos de equilíbrio. Também é

ilustrado que para certos valores dos parâmetros, o ponto instável torna-se estável ao

consideramos a mola macia. Observando que apesar do sistema de primeira ordem

ter quatro dimensões, vamos mostrar os espaços de fases bidimensionais relativos ao

deslocamento do ângulo e a deformação da mola.

32

Figura 2.2: A figura (a) ilustra o fluxo no espaço de fases relativo ao deslocamento angular,

e a figura (b) o fluxo da deformação da mola. A condição inicial foi tomada próxima ao ponto

de equilíbrio P ∗′

2 . Verificamos que este ponto é instável e P ∗′

1 é ponto de equilíbrio estável.

Os valores dos parâmetros adotados nessas simulações (a) e (b) foram α = 0.5, ψ = 0.2,

η = 3.46, κ = 1.0, Ω = 1.58, e condições iniciais x1 = π e x2 = 0, x3 = −2x∗3, x4 = 0. Na

figura (c) tem-se α = 0, com o pêndulo abandonado na posição x1 = π, x3 = 0.25 e velocidade

(x2, x4) = (0,−0.01). Vemos que o fluxo oscila antes de convergir para o ponto de equilíbrio

estável, esse efeito pode ser explicado considerando o acoplamento entre o pêndulo e a mola;

Na figura (d) está ilustrado uma superfície do potencial total V/mgl com α = 0, que pode

esclarecer melhor esse efeito.

33

Figura 2.3: Simulação realizada com os parâmetros ψ = 0.2, η = 0.2, ω = 1.0, α = 0,

λ = −0.5 e κ = −3λ 3

√

( 12λ)2. Figura (a) e (b) ilustram os retratos de fase para o fluxo x1 e

x3 respectivamente. São tomadas várias condições iniciais próximas ao ponto de equilíbrio de

modo que visualizamos o ponto de sela.

34

Figura 2.4: As figuras (a) e (b) ilustram os retratos de fases para o deslocamento angular

com valores de parâmetros α = 0.01, η = 1.2, ψ = 0.2, λ = 0.05 e κ = −3λ 3

√

( 12λ)2, note

que o parâmetro linear κ do potencial é negativo. Constatamos que o ponto de equilíbrio

(x∗1, x∗

2) = (0, 0) é ponto de sela enquanto que (x∗1, x∗

2) = (π, 0) é foco estável. A figura (c)

mostra a amplitude x3 no espaço de fases, observamos que mantém oscilação constante.

35

Figura 2.5: Nas figuras (a) e (b) estão mostradas duas simulações geradas com condições

iniciais x1 = 0.01, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, e x1 = 0.01, x2 = 0, x3 = 0.03, x4 = 0.03

respectivamente. Mostram a sensibilidade do sistema às condições iniciais, já que os parâmet-

ros têm os mesmos valores. Para as condições iniciais tomadas em (b) o pêndulo realiza um

número maior voltas completas durante mesmo tempo. Também podemos observar que a

condição inicial de x3 tem influência na resposta em x1, por causa do acoplamento.

Figura 2.6: As figuras ilustram ciclos limites que surgem no espaço de fases relativo ao

deslocamento angular (a), e deformação da mola (b). Foram tomadas condições iniciais dentro

e fora dos ciclos, e verificamos que o fluxo tende aos ciclos. Os valores dos parâmetros para

as simulações foram tomados como α = 0.6, ψ = 0.2, η = 0.01, κ = 1.0, Ω = 0.786 e λ = 0.

36

Observando a tabela (1.2), apresentada no capítulo 1, e os autovalores da ma-

triz J , equações (2.12) e (2.13), vemos que existem várias configurações em torno de

um ponto de equílibrio no espaço de fases. As figuras (2.3) e (2.4) ilustram pontos

de sela no retrato de fases bidimensional para valores específicos dos parâmetros, par-

ticularmente o parâmetro κ = −3λ 3

√

( 12λ

)2 está em função do parâmetro não linear

λ. Quando assumimos λ < 0 temos o potencial elástico de uma mola macia. Quando

λ > 0 temos κ < 0 (figura 2.4), chamamos o potencial de potencial efetivo, e nesta

situação o sistema não é mais um pêndulo como representado na figura (2.1), observe a

ilustração da figura (1.5). Ainda sobre a simulação representada na figura (2.4), obser-

vamos que são representações locais do espaço de fases. Dessa maneira podemos apenas

induzir como seria o espaço de fases completo com as ligações entre os dois pontos de

equilíbrio. Uma possível topologia entre esses dois pontos de equilíbrio é imaginada a

partir de (2.4a) e (2.4b), e é representada na figura (2.7), não sendo considerando o

amortecimento viscoso, isto é, ψ = η = 0.

Figura 2.7: Órbitas homoclínicas

37

Capítulo 3

O Pêndulo Elástico em Ressonância

O pêndulo elástico investigado neste trabalho tem a matriz jacobiana diag-

onal por blocos, e portanto o polinômio característico tem forma biquadrada. Este

fato facilita a análise da dinâmica do sistema em ressônancia, pois os valores para os

parâmetros podem ser facilmente determinados usando a condição de ressonância

R1ωθ = R2ωz (3.1)

onde ωz e ωθ são as partes imaginárias dos autovalores da matriz jacobiana. Podemos

dividir as ressonâncias em dois tipos, as ressonâncias de baixa ordem se |R1|+ |R2| < 5,

e ressonâncias de alta ordem se |R1| + |R2| ≥ 5 [23].

Usando a condição (3.1) e as expressões para ωz e ωθ escritas na página 31,

construímos a tabela abaixo

Na tabela (3.1) estão dados os valores dos parâmetros para os quais o sistema

se encontra em regimes de ressonância. Não é levado em consideração a parte não

38

Ressonância 1 2 3 4 5

Condição ωz ≈ 2ωθ ωz ≈ ωθ 4ωz ≈ 9ωθ 4ωz ≈ 9ωθ 2ωz ≈ 5ωθ

λ = ǫ2l2ν−2 0 0 0 1.0 1.3

κ = ω20ν

−2 3.00 1.618 4.00 3.0 2.5

ψ = c2mν−1 0.04 2.000 0.02 0.1 0.5

η = c1ml2

ν−1 0.07 0.010 0.01 1.12 1.85

α = Aw2

g- - - - -

Ω = ων−1 1.73 0.786 2.0 1.819 1.72

ωz 1.7319 0.78613 2.0000 1.819 0.690

ωθ 0.8658 0.78614 0.8944 0.800 1.720

Tabela 3.1: Valores dos parâmetros do sistema, para os quais o sistema se encontra em

ressonância interna.

linear da mola, pois atribuímos um valor nulo para o parâmetro λ. Analisamos o

comportamento do sistema para cada conjunto de valores de parâmetros mostrados na

tabela (colunas 1 a 5) através de diagramas de bifurcações.

3.1 Fase Estacionária

As bifurcações são obtidas para os valores expostos na tabela, isto é, o sistema

em condição de ressonância. A fase transiente do movimento foi desconsiderada, pois

queremos observar o movimento do pêndulo elástico na fase estacionária. Os diagramas

são feitos acumulando as secções de Poincaré, que por sua vez são obtidas através da

39

Figura 3.1: Nas figuras (a) e (b) são ilustrados os diagramas de bifurcação angular (x1) e da

mola (x3) em função do parâmetro de controle α. Os valores dos parâmetros estão na coluna

1 da tabela. Notamos na figura (a) o ponto de bifurcação por duplicação de período. Na

figura (b) vemos uma mudança significativa entre a amplitude x3 e a amplitude de excitação

α externa, pois o fluxo atravessa a secção de Poincaré sucessivamente com amplitudes cada

vez menores, até praticamente se estacionar.

discretização do fluxo no período T = 2πΩ

, isto é, a cada período da força externa de

excitação é registrado o ponto da trajetória.

Nesta secção analisamos a fase estacionária do movimento, pois foi desconsid-

erado a parcela inicial da resposta, que corresponde ao movimento irregular da fase

transiente. Em todas as simulações foram retiradas a mesma quantidade da resposta

inicial. Somente para um conjunto de parâmetros (coluna 3 da tabela 3.1) a resposta

é caótica, como foi constatado pelo cálculo dos expoentes característicos de Lyapunov

(figura 3.6). Foram encontrados cinco regimes de ressonância para o pêndulo elástico.

Usando a definição (3.1), classificamos ressonâncias de alta ordem e baixa ordem, e

observamos na tabela 3.1 que a partir da coluna 3, todas colunas apresentam valores

para regimes de ressonâncias de alta ordem. Quando varia o parâmetro de controle

40

Figura 3.2: Nos gráficos são ilustrados os diagramas de bifurcação do pêndulo e a mola

respectivamente, cujos valores dos parâmetros estão na tabela (coluna 2). Pode-se observar

nas figuras bifurcações catastróficas, pelo fato de serem aparentemente descontínuas no ponto

de bifurcação. No ponto de bifurcação o período do pêndulo fica totalmente descompassado

em relação ao período da força excitatora.

Figura 3.3: Nas figuras estão ilustrados os espectros dos expoentes de Lyapunov referentes

aos diagramas de bifurcação acima.

41

Figura 3.4: Nas figuras (a) e (b) estão mostrados os diagramas de bifurcação para o pêndulo

e a mola respectivamente. Os valores dos parâmetros estão na tabela (coluna 3). O efeito do

acoplamento é nítido, pois os pontos se espalham em ambas figuras, nos mesmos intervalos do

parâmetro de controle α. Nesses intervalos os movimentos do pêndulo e da mola são caóticos.

(α), e o pêndulo está em ressonância 9:4 (figura 3.4), o sistema entra em comporta-

mento caótico e sai posteriormente quando o valor do parâmetro de controle (α) está

em torno de 0.5. Com a mola não linear o comportamento da resposta do ângulo é

parecida com a linear, na verdade tem-se os mesmos comportamentos qualitativos para

o movimento do pêndulo. Mas para o comportamento dinâmico da mola é de se es-

perar alguma diferença, já que a mudança está justamente em a mola ser linear ou não.

Verifica-se comportamentos distintos para a oscilação da mola em relação ao diagrama

de bifurcações, como pode ser visto observando a figura 3.1(b), e figuras 3.7(b)(d).

42

Figura 3.5: Nas figuras estão as simulações, cujos valores dos parâmetros estão na coluna 3

da tabela. Em (a) temos uma visão mais ampla do diagrama de bifurcação mostrado na figura

3.3(a). A figura (b) mostra o espaço de fases para o deslocamento angular com parâmetro

de controle α = 0.33. Na figura (c) mostra o espaço de fases com α = 0.5, sendo que para

este valor do parâmetro α o sistema não está em movimento caótico. Em todas simulações

foi retirada a mesma fase transiente.

43

Figura 3.6: Expoentes característicos de Lyapunov calculados para α = 0.33 e α = 0.5. Em

(a) e (b) mostram respectivamente que a figura 3.4(b) exibe comportamento caótico, enquanto

que em 3.4(c) é regular.

Figura 3.7: Na figura temos os espectros dos expoentes de Lyapunov para α = 0.4, com o

pêndulo em regime de ressonância, cujos valores estão na coluna 3 da tabela 3.1. Ao mudarmos

as condições iniciais os expoentes tornam-se diferentes mas mantém-se positivos.

44

Figura 3.8: Nas figuras (a), (b) e (c), (d) estão ilustrados os diagramas de bifurcação do

pêndulo e mola, com valores de parâmetros dados nas colunas 5 e 4 respectivamente. Sistema

com não linearidade cúbica na mola

45

3.2 Fase Transiente

Na fase transiente geralmente a resposta do sistema é bastante irregular. Nessa

etapa o sistema não estabilizou o movimento, e geralmente é nesta fase que o sistema

alcança as mais altas amplitudes de movimento. Nesta seção é investigada a fase tran-

siente através do diagrama de bifurcações obtido com a amplitude máxima da resposta

versus Ω, isto é, usamos a frequência da força de excitação externa como parâmetro

de controle. Também é usado o histórico no tempo, que ajuda a investigar quando o

comportamento entra em fase estacionácia. Os valores da tabela 3.1 continuam sendo

utilizados.

Figura 3.9: Nas figuras (a) e (b) estão ilustrados os hitóricos no tempo para observar o

comportamento da oscilação da massa do pêndulo em ressonância 1:1(coluna 1 da tabela 3.1).

Quando mudamos a amplitude de excitação externa α de 1.0 para 2.0, observamos na figura

(a), com α = 1.0 que a massa oscila com amplitude constante depois da fase transiente, e em

(b) vemos que a massa realiza voltas completas na fase estacionária se α = 2.0.

A figura (3.12) mostra que a amplitude de oscilação da mola aumenta quando

o parâmetro de controle passa pela ressonância. Para esses gráficos vale o mesmo

46

Figura 3.10: O histórico no tempo mostra que a evolução é irregular e não é observado uma

fase estacionária no movimento. Os valores para os parâmetros estão na coluna 3 da tabela

3.1, com α = 0.4.

Figura 3.11: figura ilustrativa.

comentário feito anteriormente, ou seja, podem ser obtidos usando outro algoritmo

denominado técnica da força bruta [11]. Dessa forma poderá ser investigado os possíveis

efeitos de histerese, onde o diagrama apresenta dois braços sobrepostos como na figura

ilustrativa (3.11).

47

Figura 3.12: Gráficos de deformação máxima da mola. Em (a) mola linear (coluna 3 tabela

3.1), e em (b) mola não linear(coluna 5 tabela 3.1).

48

Capítulo 4

Conclusão

O sistema denâmico formado por um pêndulo elástico com excitação vertical no su-

porte tem sua dinâmica investigada através de um modelo obtido com as equações de

Lagrange. Uma primeira aproximação do sistema é obtida através da matriz Jacobiana

J calculada no ponto de equilíbrio. A matriz J tem a forma diagonal por blocos, logo

os zeros do polinômio característico são determinados explicitamente em função dos

parâmetros.

No capítulo dois é feita uma primeira análise da dinâmica do sistema pêndulo

elástico na vizinhaça do ponto de equilíbrio P ∗

1 , e concluímos que o espaço de fases

global possui órbitas homoclínicas entre P ∗

1 e P ∗

2 .

Soluções periódicas para o ângulo são determinadas numericamente, e ciclos

limites no espaço de fases (figura 2.6) são identificados, pois verificou-se que condições

iniciais próximas do ciclo desenvolvem trajetórias aproximando-se assintoticamente

dele, caracterizando o ciclo limite. Na mola existe um ciclo limite que persiste para

49

muitos valores dos parâmetros, mas no pêndulo o ciclo limite somente foi encontrado

quando o sistema encontra-se em ressonância, sem isso o movimento do pêndulo não

sustenta a oscilação angular.

No capítulo três são usados os autovalores da matriz Jacobiana para determinar

parâmetros para os quais o sistema permanece em ressonância interna (tabela 3.1).

Diagramas de bifurcações foram obtidos com o parâmetro de controle α, e as

figuras mostram que depois do ponto de bifurcação a amplitude angular do pêndulo

aumenta em relação a α. Na mola não acontece duplicação de período, pelo menos

para esses valores apresentados na tabela 3.1, mas há uma diferença no diagrama de

bifurcações em relação a mola linear da não linear. Quando é usada a mola linear

o fluxo tende a atravessar a secção de Poincaré com uma mesma amplitude x3 (ver

figura 3.1(b)), mas considerando a parte não linear da mola, a amplitude do fluxo que

atravessa a secção de Poincaré tem maior crescimento antes de estabilizar ( ver figura

3.8(b) e (d) ). É encontrado comportamento caótico quando o sistema se encontra em

ressonância ωz

ωθ

= 94, a resposta aumenta o período com o aumento da amplitude de

excitação externa, até que fica com o movimento aperiódico em relação ao período da

força de excitação externa, e totalmente caótico.

50

4.1 Proposta de trabalhos futuros

Como propostas de trabalhos para continuar as investigações do pêndulo elás-

tico, podemos sugerir a construção de experimentos em laboratório e também a contin-

uação de estudos teóricos através de técnicas de perturbação. O modelo apresentado

aqui possui uma fonte de excitação ideal, mas pode ser remodelado considerando uma

fonte de excitação não ideal. Além disso, considera-se apenas a força excitadora ex-

terna, que age verticalmente no suporte. Pode-se incluir uma outra força, com uma

nova freqüência de excitação, aplicada sempre tangencialmente ao movimento do pên-

dulo. Uma outra maneira de perturbar o movimento angular do pêndulo é usar a

função φ(x, c) que aparece no primeiro capítulo, relacionada ao sistema de Van der

Pol. Basta inserir a função na equação (2.5), e obtemos

θ +

[

2z

1 + z+φ(θ, c)η

(1 + z)2

]

θ + (αΩ2sen(Ωτ) + 1)senθ

1 + z= 0 (4.1)

e dessa maneira assegurar a oscilação angular para qualquer conjunto de parâmetros,

mesmo que c = 10−5.

Pode-se estudar os pontos de equilíbrio homoclínicos que aparecem no espaço

de fases do sistema quando κ < 0. Para esse estudo pode ser usado a teoria da variedade

central e função de Melnikov.

O método das múltiplas escalas pode ser aplicado para construir uma solução

analítica aproximada, e a técnica da força bruta pode ser usada para construção de dia-

gramas de bifurcação que mostre os fenômenos de "jump"na passagem pela ressonância,

além de conseguir a curva de histerese.

51

As formas normais podem ser calculadas para estudo das ressonâncias.

Um método de controle pode ser aplicado para estabilizar os movimentos in-

desejáveis (irregulares), baseado no trabalho de Bishop e Xu [7] que estuda o controle

do pêndulo de haste rígida excitado verticalmente.

52

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