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ANÁLISE DO CUSTO DE LAJES COM VIGOTAS PRÉ-FABRICADAS CONSIDERANDO AS ETAPAS DE PRODUÇÃO TRANSPORTE,

MONTAGEM E CONCRETAGEM Evaluation of precast slabs cost considering production, transport, assembly and casting

Daniel Forni(1); Maria Cristina Vidigal de Lima(2); Vanessa Cristina de Castilho(3)

(1) Eng, Daniel Forni, Etec Engenharia

[email protected]

(2) Profa.Dra., Maria Cristina Vidigal de Lima, Universidade Federal de Uberlândia [email protected]

(3) Profa. Dra., Vanessa Cristina de Castilho, Universidade Federal de Uberlândia

[email protected]

Rua: General Osório, 1396 - Ribeirão Preto – SP CEP 14010-000 Resumo

A utilização de lajes formadas por elementos pré-fabricados em estruturas de pavimentos, principalmente as vigotas treliçadas, torna-se cada vez mais difundida no mercado brasileiro. Este trabalho tem como objetivo analisar os custos envolvidos no processo de produção de vigotas treliçadas, no transporte, na montagem e na concretagem de lajes pré-fabricadas. A função custo obtida foi analisada em alguns exemplos de cálculo de lajes com várias dimensões. O custo de algumas lajes foi também avaliado pelo método de otimização de gradiente reduzido genérico (GRG2), disponível no programa Microsoft Excel. As variáveis de projeto consideradas para a minimização da função custo foram a altura, a resistência da capa de concreto e a distância entre as vigotas treliçadas (intereixo). Os resultados dos custos obtidos utilizando o método de otimização confirmam a importância de investir em valores mais econômicos.

Palavras-Chave: Lajes pré-fabricadas; vigotas treliçadas; custo.

Abstract

The use of slabs formed by prefabricated elements in structures of pavements becomes more and more spread in the Brazilian market, mainly lattice reinforced joists. This work purposes to analyze the costs involved in the production process of lattice reinforced joists, during transport, assembly and slab casting. The cost expression obtained was analyzed in some numerical examples of concrete slabs with several dimensions. The cost was also evaluated by the method of optimization of generic gradient (GRG2), available in the Microsoft Excel Software. The design variables considered for cost minimization were the height and the resistance of the concrete layer and the distance between lattice reinforcement joists. The results from the optimization method confirms the importance of searching more economical values. Keywords: Precast slabs; lattice reinforcement joists; cost.

1o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado. 1

1 Introdução

Observa-se, nos dias atuais, a necessidade de ampliação dos estudos na área de pré-fabricados, especialmente quando os elementos assumem uma produção de ritmo industrial.

Neste contexto, o fator custo é de primordial importância. Ao estudar os custos dos processos que envolvem os elementos pré-fabricados, como as vigotas treliçadas, estudam-se maneiras de aprimorar o controle e a composição dos mesmos, com o objetivo de reduzi-los.

O desenvolvimento da concepção de laje pré-fabricada nasceu na Europa, visando apresentar uma melhor relação custo X benefício e uma maior competitividade frente à laje maciça.

Hoje, a laje treliçada tem sido utilizada amplamente na construção civil, devido ao fato de possibilitar adequabilidade a inúmeras situações, superar grandes vãos, além de reduzir a mão-de-obra, gerando maior rapidez e limpeza na montagem.

Ao utilizar a laje treliçada, pode-se citar as seguintes vantagens. § o trabalho dos operários torna-se mais seguro; § faz-se um menor uso de escoras; § o escoramento pode ser retirado em menos tempo; § possibilita um processo produtivo de qualidade e competitivo.

Todas estas características fazem da laje pré-fabricada um elemento importante e de larga utilização em edificações. Os custos que envolvem estes elementos representam uma parcela significativa dos custos envolvidos na obra como um todo.

As indústrias de elementos pré-fabricados podem ter prejuízos por não dominarem os seus próprios custos e por não terem profissionais habilitados que obtenham resultados mais coerentes e realistas, frente a composição dos custos que estão trabalhando. O estudo e o domínio dos custos nas diversas etapas são fundamentais para empresas e construtoras que pretendem se manter no mercado competitivo. 2 Definição da Função Custo

Será apresentada neste trabalho uma função custo que abrange todo o processo produtivo das vigotas treliçadas, seu transporte até o local da obra e a montagem e concretagem da laje propriamente dita. A função custo está subdividida como segue:

§ Função do processo produtivo: representa todo o processo de fabricação da vigota. Compreendem-se aqui os custos com o material de enchimento e com os coxinhos.

§ Função de transporte: descreve o transporte das vigotas, do material de enchimento e dos coxinhos da fábrica até o local da obra.

§ Função de montagem e concretagem da laje pré-fabricada: descreve o custo da montagem das vigotas treliçadas, bem como todos os demais custos envolvidos até a concretagem final.

2.1 Função do Processo Produtivo

Os custos de produção descritos neste item referem-se àqueles provenientes da produção das vigotas treliçadas, ou seja, custos com a fábrica.

2.1.1 Variáveis Quantitativas (Qi)

As variáveis definidas a seguir representam os quantitativos dos insumos da produção das vigotas treliçadas. Neste contexto, pode-se acrescentar qualquer outro insumo, se necessário.


§ 1Q = quantidade de cimento (kg/m de vigota);

§ 2Q = quantidade de areia (m³/m de vigota);

§ 3Q = quantidade de brita (m³/m de vigota);

§ 4Q = quantidade de aditivo (l/m de vigota);

§ 5Q = quantidade de desmoldante (l/m de vigota);

§ 6Q = número de pedreiros trabalhando;

§ 7Q = número de ferreiros trabalhando;

§ 8Q = número de barras adicionais obtidas no dimensionamento;

§ 9Q = número de “estribos de ponta” por m;

§ 10Q = número de horas de pedreiro e/ou ferreiro produzindo um metro linear;

§ 11Q = quantidade de vigotas treliçadas (m);

§ 12Q = quantidade de material de enchimento utilizado;

§ 13Q = quantidade de coxinhos.

2.1.2 Preços Variáveis dos Insumos (P i)

Relaciona-se cada insumo no item anterior com seu respectivo preço de mercado. As variáveis dos insumos são apresentadas a seguir.

§ 1P = preço do saco de 50 kg de cimento ou a granel (R$);

§ 2P = preço da areia (R$/m³);

§ 3P = preço da brita (R$/m³);

§ 4P = preço do aditivo (R$/l);

§ 5P = preço do desmoldante (R$/l);

§ 6P = preço da hora trabalhada de pedreiro (R$/h);

§ 7P = preço da hora trabalhada de ferreiro (R$/h);

§ 8P = preço da treliça metálica (R$/kg);

§ 9P = preço da armadura adicional (R$/kg);

§ 10P = preço do material de enchimento utilizado (R$);

§ 11P = preço dos coxinhos (R$).

2.1.3 Variáveis Auxiliares

Com o intuito de melhor descrever a composição dos custos, algumas variáveis auxiliares estão discriminadas, a seguir.

§ lsP = percentual de Leis Sociais (%);

§ tmP = peso por metro da treliça metálica (kg);

§ adP = peso por metro da armadura adicional utilizada (kg);

§ epP= peso por metro da armadura do “estribo de ponta” - ø 4,2 mm Aço CA 60 (kg);

§ BDI = benefício de despesas indiretas (de 10 à 30%);


§ 1a = parcela representativa da quantidade de cimento no traço especificado;

§ 2a = parcela representativa da quantidade de areia no traço especificado;

§ 3a = parcela representativa da quantidade de brita no traço especificado.

Ex: Traço utilizado 1a : 2a : 3a § Cons = consumo de cimento (kg/m³); § bv = largura da base da vigota (cm); § hv = altura da base da vigota (cm); § ly = maior dimensão da laje (cm); § lx = menor dimensão da laje (cm); § ix = intereixo ao longo de lx (cm); § iy = intereixo ao longo de ly (cm); § Ql = quantidade de material de enchimento entre coxinhos; § int = parte inteira de um número qualquer; § sc = saco de cimento.

2.1.4 Determinação dos Valores dos Quantitativos e dos Insumos

Os valores dos quantitativos e dos custos para os insumos da vigota pré-fabricada são apresentados na Tabela 1.

Tabela 1 - Quantitativos e custos da vigota pré-fabricada.

DETERMINAÇÃO DOS CUSTOS – VIGOTA

CUSTO DOS INSUMOS (R$/m) QUANTITATIVOS UNIDADES DOS QUANTITATIVOS

Cimento

⋅=

5011

1

PQC

( )4

11 10

. hvbvConsaQ

⋅⋅=

kg/m

Areia ( )222 PQC ⋅= hvbvConsa

Q ⋅⋅

⋅⋅=

82

2 105

m³/m

Brita ( )333 PQC ⋅= hvbvConsa

Q ⋅⋅

⋅⋅

=8

33 105

m³/m

Aditivo ( )444 PQC ⋅= =4Q Entrada de dados l/m

Desmoldante ( )555 PQC ⋅= =5Q Entrada de dados l/m

Mão-de-obra Pedreiro

( )

+⋅⋅⋅=

100110666

lsPQPQC =10/6Q Entrada de dados unidades / h/m

Mão-de-obra Ferreiro

( )

+⋅⋅⋅=

100110777

lsPQPQC =10/7Q Entrada de dados unidades / h/m

Treliça metálica 88 PPC tm ⋅= - -

Armadura adicional 989 PPQC ad ⋅⋅= =8Q Entrada de dados unidades

Estribo de ponta

⋅⋅

+⋅⋅= 9910 100

2 PPhb

QC epvv =9Q Entrada de dados unidades

Os custos administrativos são determinados de forma estatística, sempre com referência ao mês/ano anterior. Quantifica-se a produção mensal/anual em m2 e os custos administrativos em R$/m², retirando-se o valor destes custos para cada m2 de laje produzida. Define-se, portanto os custos administrativos (Ca) por m2 na Equação 1.


PL

TCa =

(1)

onde:

Ca = custos administrativos no referido período (R$/m²);

T = total dos custos administrativos somados (mensal ou anual) (R$);

PL = produção de laje em metros quadrados no referido período (m²).

Ao final desta composição cada fabricante deve prescrever os percentuais despendidos com impostos, comissão e lucro que se deseja obter em porcentagem, caracterizando assim a variável BDI (� das porcentagens de impostos, comissão e lucro).

Assim, a Equação 2 representa os custos do processo produtivo.

141113

41012

10

1

211

100B

1.

1010.

10 )(

−=

−⋅

+

⋅

⋅⋅+

⋅

⋅⋅+

⋅

⋅⋅=

∑ DIPLTPQPQ

CQprodF

yxyxyx

ii

llllll (2)

2.2 Função de transporte

O transporte é um grande medidor de viabilidade. Em certas ocasiões a distância é o fator limitador dos custos. Geralmente utiliza-se o transporte por frete para pequenas distâncias, dentro de um mesmo município. Para tal, compreendem-se as seguintes variáveis:

§ vQ = quantidade de viagens necessárias para o transporte;

§ 12P = preço do frete (R$);

§ Tt = total a transportar (m²);

§ Ccarga = capacidade de carga do veículo transportador (m²);

§ inta = inteiro imediatamente acima de um número qualquer.

A composição de custos de transporte por frete (C14) é dada pela Equação (3) e (4).

⋅=

t

v

TPQ

C 1214

(3)

onde:

=

ac

tav C

TQ

arg

int (4)

2.3 Função de Montagem e Concretagem da Laje Pré-fabricada

Os custos descritos a seguir referem-se àqueles relacionados com a montagem e a concretagem da laje, imediatamente após a chegada das vigotas treliçadas.

2.3.1 Variáveis Quantitativas (Qi)

As variáveis quantitativas consideradas no trabalho são:

§ 14Q = número de ferreiros trabalhando;

§ 15Q = quantidade de armadura transversal obtida no dimensionamento da laje (kg);


§ 16Q = quantidade de armadura longitudinal obtida no dimensionamento da laje (kg);

§ 17Q = quantidade de armadura de distribuição (kg);

§ 18Q = quantidade de concreto bombeado (m³);

§ 19Q = número de pedreiros trabalhando;

§ 20Q = número de horas de ferreiro produzindo um metro quadrado.

§ 21Q = número de horas de pedreiro produzindo um metro quadrado.

2.3.2 Preços Variáveis dos Insumos (P i)

As variáveis designadas para representar os preços dos insumos são:

§ 14P = preço do escoramento (R$/m²);

§ 15P = preço da hora trabalhada de ferreiro (R$/h);

§ 16P = preço da armadura transversal (R$/kg);

§ 17P = preço da armadura longitudinal (R$/kg);

§ 18P = preço da armadura de distribuição (R$/kg);

§ 19P = preço do concreto bombeado (R$/m³);

§ 20P = preço da hora trabalhada de pedreiro (R$/h).

2.3.3 Variáveis Auxiliares

Algumas variáveis adicionais utilizadas foram:

§ Hl = altura total da laje;

§ bc = largura do coxinho (cm);

§ hc = altura do coxinho (cm);

§ ec1= espessura das paredes laterais do coxinho;

§ ec2= espessura da base do coxinho;

§ bv = largura da base da vigota (cm);

§ hv = altura da base da vigota (cm);

§ c = comprimento do material de enchimento (cm);

§ be = largura do material de enchimento = Comprimento do coxinho (cm);

§ he = altura do material de enchimento (cm);

§ inta = inteiro imediatamente acima de um número qualquer.

2.3.4 Determinação dos Quantitativos e dos Insumos

Os valores dos quantitativos e dos custos dos insumos apresentam-se na Tabela 2. Tabela 2 - Valores dos quantitativos e dos custos para a montagem e concretagem da laje pré-fabricada.

DETERMINAÇÃO DOS CUSTOS

INSUMOS (R$/m²) QUANTITATIVOS UNIDADES DOS

QUANTITATIVOS

Escoramento 1416 PC = - -

Mão-de-obra de ferreiro ( )20151417 QPQC ⋅⋅= =20/14Q Entrada de dados unidades / h/m²


Armadura transversal

⋅⋅⋅

=yx

41615

1810PQ

Cll

=15Q Entrada de dados kg/laje

Armadura longitudinal

⋅⋅⋅

=yx

41716

19.

10PQC

ll =16Q Entrada de dados kg/laje

Armadura de distribuição ( )181720 PQC ⋅= =17Q Entrada de dados kg/m²

Concreto

⋅⋅⋅

=yx

PQC

ll

41918

21

10(*) m³/laje

Mão-de-obra de pedreiro ( )21201922 QPQC ⋅⋅= =21/19Q Entrada de dados unidades / h/m²

(*) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]{ } 612213121118 102 −⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅= ecccecceevvyx beehbebQcbhQhbQHQ lll

Somando-se os itens referentes aos custos descritos acima, obtém-se a função de

montagem e concretagem da laje pré-fabricada F(mc), conforme Equação 5.

F(mc)= 14P + ( )201514 QPQ ⋅⋅ +

⋅⋅⋅

yx

41615 10PQ

ll+

⋅⋅⋅

yx

41716 10PQ

ll+ ( )1817 PQ ⋅ +

⋅⋅⋅

yx

41918 10PQ

ll+ ( )212019 QPQ ⋅⋅ (5)

2.4 Função Custo

A função custo é obtida pelo somatório da função de produção (Equação 2), da função de transporte (Equação 3) e da função de montagem e concretagem (Equação 5). A expressão final é dada pela Equação 6.

141113

41012

10

1

211

100B

1.

1010.

10 )(

−=

−⋅

+

⋅⋅⋅

+

⋅⋅⋅

+

⋅

⋅⋅=

∑ DIPLTPQPQ

CQcustoF

yxyxyx

ii

llllll+

⋅

t

v

TPQ 12

+ 14P +

( )201514 QPQ ⋅⋅ +

⋅⋅⋅

yx

41615 10PQll

+

⋅⋅⋅

yx

41716

.

10PQ

ll+ ( )1817 PQ ⋅ +

⋅⋅⋅

yx

41918

.

10PQ

ll+ ( )212019 QPQ ⋅⋅ (6)

3 Aplicações da Função Custo Neste item foram avaliados tanto os custos das lajes uni e bidirecionais, quanto os

custos obtidos para quatro lajes utilizando o método de otimização convencional, o GRG2 (Gradiente Reduzido Genérico).

3.1 Cálculo dos Custos

Foram consideradas para as lajes analisadas neste trabalho, altura de 12 cm e carga permanente e sobrecarga acidental igual a 1,5 kN/m². Para todas as análises foi usada vigota treliçada TR 08634. 3.1.1 Lajes Unidirecionais

As lajes unidirecionais analisadas têm vão ly variando entre 2 e 6m e lx entre 1 e 5m.

A Tabela 3 apresenta as características do grupo de lajes selecionadas. Os custos por categorias e o custo final são apresentados na Tabela 4.

A Figura 1 ilustra a parcela de contribuição de cada item já definido. Na Figura 1, aço e concreto tem uma participação homogênea, em torno de 35% e 26%, respectivamente. Havendo armação das vigotas, o aço passa a ter uma maior participação, ocupando o lugar do concreto. Esta participação chega a 45% do custo final para a laje L233.


Tabela 3 – Características geométricas e referentes ao dimensionamento das lajes unidirecionais.

CARACTERÍSTICAS DAS LAJES

Laje lx (cm)

ly (cm)

Ptm

(kg/m) P8

(R$/kg) Q8 Armadura adicional

Pad

(kg/m) P9

(R$/kg) Q15

(kg/Laje) Área (m²)

L201 100 200 0,886 2,84 - - - - 1,96 2,00

L202 100 250 0,886 2,84 - - - - 2,45 2,50

L203 100 300 0,886 2,84 - - - - 2,94 3,00 L204 100 350 0,886 2,84 - - - - 3,43 3,50

L205 100 400 0,886 2,84 - - - - 3,92 4,00

L206 100 450 0,886 2,84 - - - - 4,41 4,50 L207 100 500 0,886 2,84 - - - - 4,90 5,00

L208 100 550 0,886 2,84 - - - - 5,39 5,50

L209 100 600 0,886 2,84 - - - - 5,88 6,00 L210 200 200 0,886 2,84 - - - - 3,92 4,00

L211 200 250 0,886 2,84 - - - - 4,90 5,00

L212 200 300 0,886 2,84 - - - - 5,88 6,00 L213 200 350 0,886 2,84 - - - - 6,86 7,00

L214 200 400 0,886 2,84 - - - - 7,84 8,00

L215 200 450 0,886 2,84 - - - - 8,82 9,00 L216 200 500 0,886 2,84 - - - - 9,80 10,00

L217 200 550 0,886 2,84 - - - - 10,78 11,00

L218 200 600 0,886 2,84 - - - - 11,76 12,00 L219 300 300 0,886 2,84 2 ø 6,3 mm 0,245 2,85 8,82 9,00

L220 300 350 0,886 2,84 2 ø 6,3 mm 0,245 2,85 10,29 10,50

L221 300 400 0,886 2,84 2 ø 6,3 mm 0,245 2,85 11,76 12,00 L222 300 450 0,886 2,84 2 ø 6,3 mm 0,245 2,85 13,23 13,50

L223 300 500 0,886 2,84 2 ø 6,3 mm 0,245 2,85 14,70 15,00

L224 300 550 0,886 2,84 2 ø 6,3 mm 0,245 2,85 16,17 16,50 L225 300 600 0,886 2,84 2 ø 6,3 mm 0,245 2,85 17,64 18,00

L226 400 400 0,886 2,84 3 ø 8mm 0,395 2,64 15,68 16,00

L227 400 450 0,886 2,84 3 ø 8mm 0,395 2,64 17,64 18,00 L228 400 500 0,886 2,84 3 ø 8mm 0,395 2,64 19,60 20,00

L229 400 550 0,886 2,84 3 ø 8mm 0,395 2,64 21,56 22,00

L230 400 600 0,886 2,84 3 ø 8mm 0,395 2,64 23,52 24,00 L231 500 500 0,886 2,84 3 ø 10mm 0,617 2,36 24,50 25,00

L232 500 550 0,886 2,84 3 ø 10mm 0,617 2,36 26,95 27,50

L233 500 600 0,886 2,84 3 ø 10mm 0,617 2,36 29,40 30,00

As linhas de tendência para as lajes com o vão lx fixo são apresentadas pela Figura 2

e identificadas na Tabela 5. Essas equações correspondem ao comportamento da função custo em função da área da laje.

Tabela 4 – Custos totais e por categorias.

RESULTADOS DOS CUSTOS (R$/m²)

Laje 1. Concreto

2. Armadura

3. Cerâmica

4. Escoramento

5. Mão-de-obra

6. Administração

7. Transporte

Custo Final

L201 11,20 13,95 3,00 2,00 4,97 5,24 0,31 40,68

L202 11,17 13,69 3,00 2,00 4,95 5,13 0,31 40,25

L203 10,23 13,52 3,50 2,00 4,94 5,21 0,31 39,71

L204 10,44 14,14 3,43 2,00 4,98 5,46 0,31 40,76

L205 10,52 13,95 3,38 2,00 4,97 5,36 0,31 40,49

L206 10,57 13,81 3,33 2,00 4,96 5,29 0,31 40,27

L207 10,62 13,69 3,30 2,00 4,95 5,22 0,31 40,10


L208 10,16 13,60 3,55 2,00 4,94 5,26 0,31 39,82

L209 10,29 13,95 3,50 2,00 4,97 5,40 0,31 40,42

L210 11,20 13,95 3,00 2,00 4,97 5,24 0,31 40,68

L211 11,17 13,69 3,00 2,00 4,95 5,13 0,31 40,25

L212 10,23 13,52 3,50 2,00 4,94 5,21 0,31 39,71

L213 10,44 14,14 3,43 2,00 4,98 5,46 0,31 40,76

L214 10,52 13,95 3,38 2,00 4,97 5,36 0,31 40,49

L215 10,57 13,81 3,33 2,00 4,96 5,29 0,31 40,27

L216 10,62 13,69 3,30 2,00 4,95 5,22 0,31 40,10

L217 10,16 13,60 3,55 2,00 4,94 5,26 0,31 39,82

L218 10,29 13,95 3,50 2,00 4,97 5,40 0,31 40,42

L219 10,23 16,78 3,50 2,00 4,94 6,25 0,31 44,00

L220 10,44 17,73 3,43 2,00 4,98 6,60 0,31 45,49

L221 10,52 17,44 3,38 2,00 4,97 6,47 0,31 45,09

L222 10,57 17,22 3,33 2,00 4,96 6,37 0,31 44,77

L223 10,62 17,04 3,30 2,00 4,95 6,29 0,31 44,51

L224 10,16 16,90 3,55 2,00 4,94 6,31 0,31 44,16

L225 10,29 17,44 3,50 2,00 4,97 6,51 0,31 45,02

L226 10,52 21,76 3,38 2,00 4,97 7,84 0,31 50,77

L227 10,57 21,44 3,33 2,00 4,96 7,71 0,31 50,32

L228 10,62 21,18 3,30 2,00 4,95 7,60 0,31 49,97

L229 10,16 20,98 3,55 2,00 4,94 7,60 0,31 49,54

L230 10,29 21,76 3,50 2,00 4,97 7,88 0,31 50,70

L231 10,62 24,14 3,30 2,00 4,95 8,54 0,31 53,86

L232 10,16 23,88 3,55 2,00 4,94 8,53 0,31 53,37

L233 10,29 24,83 3,50 2,00 4,97 8,86 0,31 54,76

Laje unidirecional - h=12 cm

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

45,00%

50,00%

L201L203

L205L207

L209L211

L213L215

L217L219

L221L223

L225L227

L229L231

L233

LAJES

% N

O C

US

TO F

INA

L

Concreto

Armadura

Cerâmica

Escoramento

Mão-de-obra

Administração

Transporte

Figura 1 - Percentuais de representatividade.

Tabela 5 - Funções obtidas das linhas de tendências das lajes unidirecionais.

ll x (m) FUNÇÕES DAS LINHAS DE TENDÊNCIA PARA â12

1,00 y = -0,0076x3 + 0,1148x2 - 0,6004x + 41,286

2,00 y = -0,0009x3 + 0,0287x2 - 0,3002x + 41,286

3,00 y = 0,024x3 - 0,9882x2 + 13,153x - 11,772

4,00 y = 0,0157x3 - 0,8862x2 + 16,342x - 48,184

5,00 y = 0,1502x2 - 8,0788x + 161,98


CUSTO X ÁREA

Laje unidirecional - h=12 cm

39

41

43

45

47

49

51

53

55

0 5 10 15 20 25 30ÁREA (m²)

CU

ST

O (

R$/

m²)

lx = 1m

lx = 2m

lx = 3m

lx = 4m

lx = 5m

Figura 2 - Linhas de tendência.

3.1.2 Lajes Bidirecionais

Para comparar os resultados obtidos com as lajes unidirecionais, foi elaborado um grupo de lajes quadradas armadas em duas direções. A Tabela 6 contém os dados referentes à geometria, carregamentos e armaduras, a Tabela 7 apresenta os custos finais e a Figura 3 mostra a relação custo x área para o grupo de lajes bidirecionais.

Tabela 6 - Geometria, carregamentos e armaduras das lajes bidirecionais.

CARACTERÍSTICAS DAS LAJES BIDIRECIONAIS

Laje lx (cm)

ly (cm)

Ptm (kg/m)

P8 (R$/kg) Q8

Armadura adicional

Pad

(kg/m) P9

(R$/kg) Q15

(kg/Laje) Área (m²)

L210 200 200 0,886 2,84 - - - 3,92 4

L219 300 300 0,886 2,84 - - - 8,82 9

L226 400 400 0,886 2,84 2 ø 6,3 mm 0,245 2,85 15,68 16

L231 500 500 0,886 2,84 3 ø 8mm 0,395 2,64 39,5 25

Tabela 7 - Custos totais e por categorias .

RESULTADOS DOS CUSTOS DAS LAJES BIDIRECIONAIS (R$/m²)

Laje 1. Concreto

2. Armadura

3. Cerâmica

4. Escoramento

5. Mão-de-obra

6. Administração

7. Transporte

Custo final

L210 11,16 14,00 3,00 2,00 4,97 5,24 0,31 40,69 L219 10,19 13,57 3,50 2,00 4,94 5,21 0,31 39,71 L226 10,47 17,49 3,38 2,00 4,97 6,47 0,31 45,09 L231 10,58 22,48 3,30 2,00 4,95 7,60 0,31 51,22

y = 0,0228x2 - 0,1208x + 40,237

35

40

45

50

55

0 5 10 15 20 25 30

Área (m²)

Cu

sto

(R

$/m

²)

B12

Figura 3 – Relação custo x área para as lajes bidirecionais


3.1.3 Lajes Unidirecionais x Bidirecionais

Os resultados dos custos das lajes unidirecionais e bidirecionais, para as áreas que mais se aproximam entre si, estão apresentados na Tabela 8.

Tabela 8 - Comparativos de custos entre lajes unidirecionais e bidirecionais.

Unidirecionais Bidirecionais Área (m²)

ly (m)

lx (m)

Custo (R$/m²)

Área (m²)

ly (m)

lx (m)

Custo (R$/m²)

100 400 40,49 4,00

200 200 40,68 4,00 200 200 40,69

200 450 40,27 9,00

300 300 44,00 9,00 300 300 39,71

16,00 400 400 50,77

16,50 300 550 44,16 16,00 400 400 45,09

24,00 400 600 50,70

25,00 500 500 53,86 25,00 500 500 51,22

Na Tabela 8 verifica-se que não há diferença de custo entre as lajes de 4 m² de

área. Para as lajes quadradas de áreas de 9 m², 16 m² e 25 m², os custos entre as lajes uni e bidirecionais são significativos, podendo chegar a 11,2%. 3.2 Minimização da função custo

A minimização da função custo será feita por meio do método não linear de gradiente reduzido genérico (GRG2). O GRG2 é um programa de otimização não-linear usado pelo Microsoft Excel Solver para a solução de problemas de minimização e maximização (Lasdon (1978)). Basicamente, o GRG2 usa uma implementação do algoritmo gradiente reduzido generalizado (Generalized Reduced Gradient GRG). Um problema típico de otimização com restrições abordado via programação não-linear pode ser equacionado conforme apresentado pela Figura 4. No caso de inequações, utiliza-se a transformação de equações utilizando variáveis fictícias. A partir desse algoritmo típico e aplicando as características próprias do GRG, chega-se a solução do problema a ser otimizado.

minimizar F (X) sujeita a:

gi (X) = 0, i=1, neq Lj < Xj < Uj, j=1,n

onde Lj e Uj são os limites inferiores e superiores da variável xj.

Figura 4. Algoritmo típico de otimização.

A fim de avaliar a minimização da função custo por meio do Microsoft Excel Solver foram analisadas as lajes L105, L110, L115 e L119 utilizando como material de enchimento tanto o EPS (Espuma de Poliuretano Expandido) quanto a cerâmica. O problema de minimização da função custo de vigotas treliçadas se resume ao problema de minimização da função custo F(custo), respeitando os estados limites último e de serviço. As restrições seguem as recomendações das normas NBR 6118 (2003) e NBR 14859-1 (2002). O problema pode ser equacionado conforme apresentado pela Figura 5.

minimizar F (X) sujeita a:

restrições dos ELU e ELS 2,0 kN/cm² � fck � 53,0 kN/cm² 4 � hcapa � 6 cm 40 cm � Intereixo � 65 cm

Figura 5. Algoritmo de otimização.


A Tabela 9 apresenta uma comparação entre os custos obtidos aplicando a NBR

6118 (1978), a NBR 6118 (2003) e usando o método de otimização para o material de enchimento cerâmico. Na Tabela 10 os mesmos custos são avaliados para o EPS.

Tabela 9 – Custos obtidos utilizando cerâmica.

NBR 6118 (1978) L205 L210 L215 L219

Lajes (lx x ly) 100 x 400 200 x 200 200 x 450 300 x 300

fck (kN/cm²) 2 2 2 2

h capa (cm) 4 4 4 4 custo (R$/m²) 40,49 40,68 40,27 44,00

NBR 6118 (2003) L205 L210 L215 L219

Lajes (lx x ly) 100 x 400 200 x 200 200 x 450 300 x 300

fck (kN/cm²) 2 2 2 3 hcapa (cm) 4 4 4 4,5

custo (R$/m²) 40,49 40,68 40,27 43,23

Otimização GRG2 L205 L210 L215 L219

Lajes (lx x ly) 100 x 400 200 x 200 200 x 450 300 x 300

fck (kN/cm²) 2 2 2 3,5 hcapa (cm) 4 4 4 4,2

custo (R$/m²) 40,49 40,68 40,27 42,83

Tabela 10 – Comparação entre os custos obtidos utilizando EPS.

NBR 6118 (1978) L205 L210 L215 L219

Lajes (lx x ly) 100 x 400 200 x 200 200 x 450 300 x 300

fck (kN/cm²) 2 2 2 2 h capa (cm) 4 4 4 4

intereixo (cm) 42 42 42 42 custo (R$/m²) 44,36 44,13 44,10 48,02

NBR 6118 (2003) L205 L210 L215 L219

Lajes (lx x ly) 100 x 400 200 x 200 200 x 450 300 x 300

fck (kN/cm²) 2 2 2 2,5 h capa (cm) 4 4 4 4,5

intereixo (cm) 42 42 42 42 custo (R$/m²) 44,36 44,13 44,1 46,76

Otimização GRG2 L205 L210 L215 L219

Lajes (lx x ly) 100 x 400 200 x 200 200 x 450 300 x 300

fck (kN/cm²) 2 2 2 3,5

h capa (cm) 4 4 4 4,14 intereixo (cm) 42 42 42 48 custo (R$/m²) 44,36 44,13 44,10 45,00


4 CONCLUSÕES Este trabalho investigou os custos envolvidos no processo de produção, transporte,

montagem e concretagem de lajes com vigotas treliçadas. A função custo foi analisada para lajes uni e bidirecionais de altura 12cm. Com o intuito de verificar o desempenho da função custo foi realizado um estudo utilizando um método de otimização convencional.

A partir dos resultados obtidos da função custo no caso de vigota treliçadas, pode-se concluir que: • de uma forma geral observa-se que o insumo que mais influência nas variações dos

custos é o aço sendo responsável por até 45,5% do custo total em alguns casos; • constata-se que as lajes quadradas calculadas como bidirecionais são mais

econômicas, podendo chegar a 11,2%, além de apresentar uma distribuição de cargas mais homogênea, para as vigas de borda;

• no método de otimização, observa-se que em lajes de vão pequenos que não necessitam de armadura adicional, os resultados obtidos são praticamente os mesmos que os da aplicação da Função Custo. Já para lajes de médios vãos observa-se que ao utilizar o Microsoft Excel Solver, pode-se obter uma melhor combinação dos quantitativos dos insumos, aumentando a resistência do concreto da capa e o intereixo entre vigotas e diminuindo a altura da capa, de tal modo que se obtenha o menor custo.

5 REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14859-1. Lajes pré-fabricadas - Requisitos. Rio de Janeiro, 2002. MICROSOFT EXCEL. Programa automático para otimização Microsoft Excel Solver. CASTILHO, V. C. Otimização de componentes de concreto pré-moldado protendidos mediante algoritmos genéticos. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. São Carlos, 2003.

CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado – segundo a NBR 6118:2003. Editora EdufSCar, São Carlos, 2004.

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