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ANÁLISE E SÍNTESE DE FILTROS DIGITAIS FIR

Aldo Kazumi Kuzuo (bolsista CNPq – PIBIC, [email protected]) Profa. MsC Valquiria Gusmão Macedo (DEEC / CT – UFPA, [email protected])

Universidade Federal do Pará – Departamento de Engenharia Elétrica e de Computação Laboratório de Processamento de Sinais (UFPa – DEEC - LaPS)

Campus Universitário do Guamá – CEP: 66075-000 – Belém – Pará Tel.: +55 91 211 1674

Resumo: O método de projetos de filtros baseado no uso de janelas para truncar a resposta ao impulso e obter o espectro desejado foi o primeiro método proposto para projetar filtros FIR (Resposta ao Impulso Finita) com fase linear. O método da amostragem em freqüência e o método de aproximação de Chebyshev foram desenvolvidos na década de 1970 e desde então têm sido muito populares em projetos práticos de filtros FIR com fase linear, existindo atualmente vários algoritmos para projetos de filtros através das especificações, e usando métodos de aproximação. Os filtros FIR são largamente empregados em processamento digital de imagens por serem de fácil implementação. Este plano de trabalho tem como objetivo a implementação de filtros com resposta ao impulso finita, empregando o método da amostragem em freqüência, o método de janelas e o método através das especificações, com o uso do aplicativo MATLAB.

Abstract: The filters design method based in windows to truncate the impulse

response and to get the desired spectrum was the first considered method to project filters FIR (Finite Impulse Response) with linear phase. The method of the sampling in frequency and the Chebyshev’s approach method had been developed in 1970 decade and since then they have been very popular in practical FIR filters designs with linear phase. Currently there are some algorithms for filters design through the specifications, and using approximation methods. FIR Filters are used in image digital processing for due to of easy implementation. The objective of this work is the filter implementation with finite impulse response, using the method of the sampling in frequency, the method of windows and the method through the specifications, with the use of the MATLAB program. 1. INTRODUÇÃO

As diversas técnicas originalmente desenvolvidas para tratamento de sinais unidimensionais foram, em primeiro lugar, adaptadas para tratamento de imagens obtidas de satélites e de naves espaciais.

Posteriormente, com o rápido avanço das opções de hardware e software, estas mesmas técnicas passaram a ser aplicadas em inúmeros domínios tais como medicina, ciência dos materiais, microscopia, artes, etc...

Neste trabalho serão abordados projetos de filtros digitais com resposta ao impulso finita (FIR), que na prática, são empregados em problemas de filtragem onde existe a necessidade de uma característica de fase linear dentro da banda passante do filtro.

Uma das técnicas utilizadas é a filtragem no domínio da freqüência usando a Transformada de Fourier (FT) das imagens. Neste caso, a imagem original é transformada através de um algoritmo de Transformada Rápida de Fourier (FFT), máscaras são aplicadas sobre a imagem da transformada, selecionando regiões que serão mantidas ou eliminadas e, finalmente, a imagem filtrada é obtida através da FFT inversa (IFFT).

2. REPRESENTAÇÃO DE IMAGENS DIGITAIS

O termo imagem monocromática ou imagem , refere-se a uma função bidimensional de intensidade da luz , onde x e y são as coordenadas espaciais e o valor de f em qualquer ponto (x,y) é proporcional ao brilho (ou níveis de cinza) da imagem naquele ponto.

),( yxf

Revista Científica da UFPA http://www.ufpa.br/revistaic Vol 3, março 2002

A figura 1 ilustra a convenção adotada nesse trabalho. Às vezes é útil a visualização da função da imagem em perspectiva com um terceiro eixo representando o brilho. Dessa maneira a figura 1 apareceria como uma série de picos em regiões com numerosas modificações do nível do brilho, e regiões planas em que os níveis de brilho variaram pouco ou eram constantes. Usando a convenção de atribuir proporcionalmente valores mais altos para áreas de maior brilho fará a altura dos componentes da figura proporcional ao brilho correspondente na imagem.

y

Figu repx

Uma imagem digital é uma

espaciais quanto em brilho. Uma immatriz cujos índices de linhas e colunavalor do elemento da matriz identificmatriz digital são chamados de elemen

Embora o tamanho de uma immatrizes quadradas com tamanhos e tamanho típico comparável em qualidseria uma matriz de 512 x 512, com 12

3. FUNDAMENTOS DE IMAGENS

3.1 UM MODELO SIMPLES DE IM

O termo imagem refere-se a denotada por , em que o valor intensidade (brilho) da imagem naquedeve ser positiva e finita, isto é,

),( yxf

< ,(0 xf As imagens que as pessoas per

luz refletida dos objetos. A naturezacomponentes: (1) a quantidade de luzde luz refletida pelos objetos na cena.

Revista Científica da UFPA ht

Origem

ra 1 - Convenção dos eixos para resentação de imagens digitais

imagem discretizadaagem digital pode ser consids identificam um ponto na ima o nível de cinza naquele potos da imagem ou de “pixels”

),( yxf

agem digital varie de acordonúmeros de níveis de cinza cade de imagem com aquela de8 níveis de cinza.

DIGITAIS

AGEM uma função de intensidade ou amplitude de f nas coordenle ponto. Como a luz é uma f

∞<)y

cebem em atividades visuais c básica de pode se

incidindo na cena sendo obseApropriadamente, esses comp

),( yxf

tp://www.ufpa.br/revistaic Vo

f(x,y)

tanto em coordenadas erada como sendo uma

agem, e o correspondente nto. Os elementos dessa . com a aplicação usa-se om potências de 2. Um uma TV preto e branco

luminosa bidimensional, adas espaciais (x,y) dá a

orma de energia, ),( yxf

(1)

orriqueiras consistem de r caracterizada por dois rvada e (2) a quantidade onentes são chamados de

l 3, março 2002

iluminância e reflectância, respectivamente, e são representados por i e . O produto das funções resulta :

),( yx

L

,(xf

),( yxr),( yxf

),( yx =< (0 i

0 < r

minL ≤

max iL =]max

− )1,1(

)1,1()1,0(

N

ff

),(),( yxryxif (2)

∞<), yx (3) 1),( <yx (4)

Ao longo deste trabalho denomina-se a intensidade de uma imagem monocromática f

nas coordenadas ( de nível de cinza ( l ) da imagem daquele ponto. ), yxDas equações (2) a (4) é evidente que l fica restrito no intervalo

maxLl ≤ Em teoria, as restrições sobre l é que seja um valor positivo e seja finito.

Na prática, e . minL max

minminmin riL = maxmax rO intervalo [ é denominado escala de cinza. A prática comum é deslocar

esse intervalo para [ , onde l = 0 é considerado negro e l = L é denominado branco. Todos os intervalos intermediários são tons de cinza variando continuamente entre branco e negro.

,min LL],0 L

3.2 AMOSTRAGEM E QUANTIZAÇÃO

3.2.1 AMOSTRAGEM E QUANTIZAÇÃO UNIFORMES

Para ser adequada para processamento computacional, uma função precisa ser digitalizada tanto espacialmente quanto em amplitude. A digitalização das coordenadas espaciais é denominada amostragem de imagens e a digitalização da amplitude é chamada quantização em níveis de cinza.

)y

),( yx

Suponha que uma imagem contínua seja aproximada por amostras igualmente espaçadas, arranjadas na forma de matriz N x M como mostrado na equação (5), em que cada elemento é uma quantidade discreta:

),( yxf

−−

−−

−

≈

)1,1(

)1,1()1,0(

...

...

...

)0,1(

)0,1()0,0(

),(

MNf

MfMf

fNf

ff

yxf

(5)

O lado direito da equação (5) representa uma imagem digital. Cada elemento da

matriz representa um elemento da imagem ou pixel.

4. INTRODUÇÃO À TRANSFORMADA DE FOURIER Seja f (x) uma função contínua de uma variável real x. A Transformada de Fourier de

f (x), denotada por ℑ{f(x)}, é determinada pela equação

∫∞

∞−−==ℑ dxuxjxfuFxf ]2exp[)()()}({ π (6)


onde 1−=j . Dado F(u), f (x) pode ser obtida através do uso da transformada inversa de Fourier

duuxjuF

xfuF

∫∞

∞−

−

=

=ℑ

]2exp[)(

)()}({1

π

(7)

As equações 6 e 7, chamadas de par de transformadas de Fourier, existem se f (x) for

contínua e integrável e F(u) for integrável. Essas duas condições são quase sempre satisfeitas na prática.

A transformada de Fourier de uma função real é geralmente complexa; isto é:

)()()( ujIuRuF += (8) onde R (u) e I (u) são componentes real e imaginário de F (u), respectivamente. Normalmente é conveniente expressar a equação (8) na forma exponencial, isto é,

)()()( ujeuFuF θ= (9)

[ ] 2122 )()()( uIuRuF += (10)

= −

)()(tan)( 1

uRuIuφ

(12)

A função magnitude |F (u) | é chamada de espectro de Fourier de f (x) e φ (u) é o

ângulo de fase. O quadrado do espectro,

)()(

)()(22

2

uIuR

uFuP

+=

=

(13)

é comumente denominado como espectro de Potência de f (x). O termo densidade espectral também é usado para expressar o espectro de potência.

A variável u que aparece freqüentemente na Transformada de Fourier é denominada variável da freqüência. Esse nome deriva da expressão do termo exponencial, , usando a fórmula de Euler, na forma

]2exp[ uxj π−

uxjuxuxj πππ 2sen2cos]2exp[ −=− (14) A interpretação da integral na equação (6) como o somatório do limite de termos

discretos, torna evidente que F (u) é composta de uma soma infinita de termos seno e cosseno e que cada valor de u determina a freqüência de seu correspondente par seno– cosseno.

4.1 A TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

Suponha que uma função contínua f (x) seja discretizada numa seqüência

)}]1[(...,),2(),(),({ 0000 xNxfxxfxxfxf ∆−+∆+∆+ (15)

tornando-se N amostras separadas de ∆x unidades. Definindo

)()( 0 xxxfxf ∆+= (16)


em que x assume os valores discretos 0,1, 2, ...,N – 1. A seqüência {f(0), f (1), f(2), ..., f(N-1)} denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçadas de uma função contínua correspondente.

O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por

∑−

=

−=1

0]/2exp[)(1)(

N

xNuxjxf

NuF π

(17)

onde u = 0, 1, 2, ... , N – 1, e

∑−

=

=1

0]/2exp[)()(

N

uNuxjuFxf π

(18)

para x = 0, 1, 2, ... , N – 1. Os valores u = 0, 1, 2, ..., N − 1 na transformada discreta de Fourier (equação (17))

correspondem a amostras de uma transformada contínua nos valores 0, ∆u, 2∆u, ..., (N − 1) ∆u. Ou seja, F(u) representa F(u∆u). Esta notação é similar àquela usada para a representação discreta f (x), exceto que as amostras de F (u) iniciam-se na origem do eixo da freqüência. Os termos ∆u e ∆x são relacionados pela expressão

xNu

∆=∆

1 (19)

No caso de duas variáveis, o par de transformadas discretas de Fourier é

∑∑−

=

−

=

+−=1

0

1

0)](2exp[),(1),(

M

x

N

vN

vyM

uxjyxfMN

vuF π (20)

para u = 0, 1, 2, ... , M − 1, y = 0, 1, 2, ... , N − 1. A amostragem de uma função contínua é agora feita em uma grade bidimensional,

com divisões de largura ∆x e ∆y nos eixos x e y, respectivamente. Como no caso unidimensional, a função discreta representa amostras da função

para x = 0, 1, 2, ... , M − 1 e y = 0, 1, 2, ... , N − 1. Analogias podem ser feitas para a função . O incremento da amostragem nos domínios do espaço e freqüência são relacionados por

),( yxf),( 00 yyyxxxf ∆+∆+

),( vuF

xMu

∆=∆

1 (21)

e

yNv

∆=∆

1 (22)

Quando as imagens são amostradas em uma matriz quadrada, M = N e

∑∑−

=

−

=

+−=1

0

1

0]/)(2exp[),(1),(

N

x

N

yNvyuxjyxf

NvuF π

(23)

para u, v = 0, 1, 2, ... , N − 1, e

∑∑−

−

−

=

+=1

0

1

0]/)(2exp[),(1),(

N

u

N

vNvyuxjvuF

Nyxf π

(24)


para x, y = 0, 1, 2, ... , N − 1. Nota-se que o fator 1 / N em ambas as equações (23) e (24). Sendo e um par de transformadas de Fourier, o agrupamentos destes fatores multiplicativos constantes é arbitrário. Na prática, as imagens são tipicamente digitalizadas em matrizes quadradas, de modo que é de maior interesse o par de transformadas de Fourier das equações (23) e (24).

),( vuF ),( yxf

O espectro de Fourier, fase e espectro de energia das funções discretas unidimensional e bidimensional podem ser calculadas pelas equações (10) a (13), respectivamente. A única diferença é que as variáveis independentes são discretas.

Ao contrário do caso contínuo, a existência da transformada discreta de Fourier não é de interesse porque e sempre existem. No caso unidimensional, por exemplo, isso pode sr mostrado pela substituição direta da equação (18) na equação (17).

)(uF ),( vuF

)(

]/2exp[]/2exp[)(1

]/2exp[]/2exp[)(1)(

1

0

1

0

1

0

1

0

uF

NuxjNrxjrFN

NuxjNrxjrFN

uF

N

r

N

x

N

x

N

r

=

−=

−

=

∑ ∑

∑ ∑−

=

−

=

−

=

−

=

ππ

ππ

(25)

A identidade da equação 25 segue da condição de ortogonalidade

=

=−∑−

= contráriocasourseN

NuxjNrxjN

x 0]/2exp[]/2exp[

1

0

ππ

(26)

A substituição da equação (17) na equação (18) resultaria numa identidade sobre

, indicando que o par de transformadas de Fourier destas equações sempre existe. Um argumento similar aplica-se para o par de transformadas discretas de Fourier em duas dimensões.

)(xf

4.2 PROPRIEDADES DA TRANFORMADA DE FOURIER (FT) PARA SINAIS BIDIMENSIONAIS (2 - D) DISCRETOS

Existem diversas propriedades da Transformada de Fourier Bidimensional que são de grande interesse para o processamento de imagens. Muitas delas são derivações de propriedades semelhantes da transformada de Fourier unidimensional. Outras só fazem sentido para sinais bidimensionais, como a propriedade da separabilidade.

4.2.1 SEPARABILIDADE

O par de Fourier das equações (23) e (24) pode ser decomposto em:

∑∑−

=

−

=

−

−=

1

0

1

0

2exp),(2exp1),(N

y

N

x Nvyjyxf

Nuxj

NvuF ππ

(27)

para u, v = 0, 1, 2, ... , N − 1, e

∑∑−

=

−

=

=

1

0

1

0

2exp),(2exp1),(N

v

N

u NvyjvuF

Nuxj

Nyxf ππ

(28)

para x, y = 0, 1, 2, ... , N − 1.


A principal vantagem desta decomposição é permitir que a FT bidimensional possa ser obtida através de duas aplicações do algoritmo de FT unidimensional. Esta vantagem se torna evidente ao reescrevermos a equação (27) da seguinte forma

∑−

=

−=1

0

]/2exp[),(1),(N

x

NuxjvxFN

vuF π

(29)

onde

−= ∑

−

=

1

0]/2exp[),(1),(

N

yNvyjyxf

NNvxF π

(30)

Para cada valor de x, a expressão entre colchetes da equação (30) é uma transformada 1-D, com valores de freqüência ν = 0, 1, 2, ..., N – 1. Portanto, a função 2-D F (x, ν) é obtida calculando-se a transformada ao longo de cada linha de f (x, y) e multiplicando o resultado por N. O resultado final, F (u, ν) será obtido mediante uma nova aplicação da FT 1-D, desta vez ao longo das colunas do resultado intermediário F (x, ν), como indica a equação (29). Este procedimento é ilustrado na Figura 2. Sua principal vantagem é a possibilidade de aproveitar todas as otimizações já publicadas sobre o algoritmo da Transformada Rápida de Fourier (FFT), aplicando seus resultados a problemas bidimensionais.

Figura 2 - Cálculo da transformada de Fourier bidimensional a partir de duas aplicações do algoritmo

da transformada de Fourier unidimensional

4.2.2 TRANSLAÇÃO As propriedades de translação do par de Fourier bidimensional são resumidas nas

relações: ),(]/)(2exp[),( 0000 vvuuFNyvxujyxf −−⇔+π (31)

e ]/)(2exp[),(),( 0000 NvyuxjvuFyyxxf +−⇔−− π (32)

onde as setas duplas indicam a correspondência entre uma função e sua transformada de Fourier e vice-versa.

Para o caso particular em que u , a relação (31) se reduz a 2/00 Nv ==

−−⇔− +

2,

2)1)(,( NvNuFyxf yx

(33)

O deslocamento expresso na relação (33) é utilizado com bastante freqüência para uma melhor visualização do resultado de uma transformada de Fourier de uma imagem. Pode-se provar que tal deslocamento não altera a componente de magnitude da transformada resultante.

4.2.3 PERIODICIDADE E SIMETRIA CONJUGADA

A transformada discreta de Fourier e sua inversa são periódicas, com período N, ou seja,


),(),(),(),( NvNuFNvuFvNuFvuF ++=+=+= (34)

Se é real, sua transformada de Fourier exibe também a propriedade conhecida como simetria conjugada:

),( yxf

),(),( * vuFvuF −−= (35) ou

),(),( vuFvuF −−= (36)

onde é o conjugado complexo de . ),(* vuF ),( vuF 4.2.4 DISTRIBUTIVIDADE

A transformada de Fourier obedece à propriedade distributiva para a adição, mas não para a multiplicação, ou seja:

)},({)},({)},(),({ 2121 yxfyxfyxfyxf ℑ+ℑ=+ℑ (37)

e, em geral,

)},({)}.,({)},().,({ 2121 yxfyxfyxfyxf ℑℑ≠ℑ (38)

4.2.5 ROTAÇÃO A propriedade da rotação estabelece que, se uma imagem for rotacionada de

um certo ângulo θ),( yxf

0, sua transformada, , será rotacionada do mesmo ângulo. ),( vuF

4.2.6 ESCALA Sejam dois escalares a e b. Pode-se mostrar que

),(),( vuaFyxaf ⇔ (39) e

⇔

bv

auF

abbyaxf ,1),(

(40)

4.2.7 VALOR MÉDIO

O valor médio de uma função bidimensional é dado por ),( yxf

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

02 ),(1),(

N

x

N

yyxf

Nyxf

(41)

Substituindo u = v = 0 na equação (27), obtemos

∑∑−

=

−

=

=1

0

1

0),(1)0,0(

N

x

N

yyxf

NF

(42)

Logo, o valor médio de uma função bidimensional está relacionado à sua transformada de

Fourier através da relação

)0,0(1),( FN

yxf =

(43)


4.2.8 LAPLACIANO O laplaciano de uma função de duas variáveis é definido por ),( yxf

2

2

2

22 ),(

yf

xfyxf

∂∂

+∂∂

=∇

(44)

A transformada de Fourier do laplaciano de uma função bidimensional é:

),()()2()},({ 2222 vuFvuyxf +−⇔∇ℑ π (45)

O laplaciano é um operador útil no processo de detecção de bordas.

4.2.9 CONVOLUÇÃO O teorema da convolução, que no caso de funções unidimensionais, pode ser resumido

pelos pares de Fourier das equações (46) e (47), também pode ser estabelecido ao caso bidimensional, conforme indicado nas equações (48) e (49). Nestas equações, a operação de convolução é denotada por um asterisco.

)()()(*)( uGuFxgxf ⇔ (46)

)(*)()()( uGuFxgxf ⇔ (47)

),(),(),(*),( vuGvuFyxgyxf ⇔ (48)

),(*),(),(),( vuGvuFyxgyxf ⇔ (49)

5. PROJETOS DE FILTROS FIR USANDO O METODO DA AMOSTRAGEME EM FREQÜÊNCIA E O MÉTODO DAS JANELAS

O problema no projeto de filtro é basicamente determinar , ou , que significa a especificação do projeto. é a resposta ao impulso do filtro e

é a função do sistema.

),( 21 nnh ),( 21 zzH),( 21 nnh

),( 21 zzH

5.1 O METODO DAS JANELAS No método das janelas, nos sabemos a resposta em freqüência, , do filtro.

A transformada inversa de Fourier de é dado por . No método das janelas, o filtro FIR é obtido multiplicando com a janela , obtendo

),( 21 ωωdH), 21 n

),( 21 nn),( 21 ωωdH

,( 21 nnhd

(nhd

w)

),(),(),( 212121 nnwnnhnnh d= (50)

Se e são simétricos com suas respectivas origens, então terá como resultado um filtro de fase zero.

),( 21 nnhd ),( 21 nnw),( 21 nnh

Existe a propriedade da transformada de Fourier

( ) ∫ ∫−= −=−−=

=π

πθ

π

πθθθθωθωθθ

π

ωωωωωω

1 2212211212

212121

),(),(2

1),(*),(),(

ddWH

WHH

d

d

(51)


Pela equação (51) o efeito da janela no domínio da freqüência é suavizar . Queremos que a largura do lóbulo principal de W seja pequeno para que a largura de transição de seja pequeno. O objetivo é ter pequenas amplitudes dos lóbulos laterais para assegurar que as ondulações das regiões de passa banda e rejeita banda tenham amplitudes pequenas.

),( 21 ωωdH),( 21 ωω

),( 21 ωωdH

As janelas bidimensionais são normalmente obtidas através de janela unidimensionais. O método para obter uma janela bidimensional é ),( 21 nnw

2211 ,21221121 |),()()(),( ntntc ttwnwnwnnw ==== (53)

)()(),( 2121 twtwttw bac = (54)

As funções e são as janelas unidimensionais. Pode-se supor que

e como seqüências de janelas unidimensionais. O resultado da seqüência pode ser separado, e sua transformada de Fourier W é simplificada pela expressão

)( 1twa )( 2twb )( 1twa

), 21 nn)( 2twb (w),( 21 ωω

)()(),( 221121 ωωωω WWW = (55)

onde e W são transformadas unidimensionais de e respectivamente.

)( 11 ωW )( 22 ω )( 11 nw )( 22 nw

5.2 MÉTODO DA AMOSTRAGEM EM FREQÜÊNCIA

No método da amostragem em freqüência, a resposta em freqüência desejada, , é amostrada igualmente em pontos do espaço cartesiano, e o resultado é a

inversa da transformada de Fourier discreta. Especificamente, temos que será obtido por

),( 21 ωωdH),( 21

' kkH

222111 )/2(,)/2(22112121' |]2/)1(exp[]2/)1(exp[),(),( kNkNd NjNjHkkH πωπωωωωω ==−−−−=

10,10 2211 −≤≤−≤≤ NkNk (56)

onde é a resposta em freqüência de fase zero desejada, e N),( 21 ωωdH 1 e N2 são ímpares. A correspondente seqüência é obtida da equação (56) ),( 21

' nnh

)],([),( 21'

21' kkHIDFTnnh = (57)

Finalmente, o filtro de fase zero, , projetado é dado por ),( 21 nnh

−

+−

+=2

1,2

1),( 22

11

'21

NnNnhnnh

(58)

O termo da fase linear na equação (56) e o resultado da troca de seqüências na

equação (58) são dois dos fatos que fazem a Transformada de Fourier Discreta ser definida somente para o primeiro quadrante da seqüência, onde sua fase não é zero.


5.3 MÉTODO DAS ESPECIFICAÇÕES O método de especificações consiste em criar algoritmos para limitar as oscilações de

amplitude do sinal em uma determinada faixa de freqüência para um filtro unidimensional. No caso bidimensional, utiliza-se a propriedade da separabilidade para projetar filtros em duas dimensões.

6. RESULTADOS

Foi feito um programa no MATLAB que juntasse o método das janelas, o das especificações e o método da transformação em freqüência. O método das especificações foi feito em um outro programa a parte. No programa podem ser vistos a imagem original, a filtrada, os coeficientes do filtro e a sua resposta em freqüência. Os campos indicam a imagem, o tipo de filtro, janelas a serem utilizadas, corte, ordem e o método a ser usado. No campo “Design Method” ou o método do filtro, os campos são comandos do MATLAB cujos significados são:

• fsamp2 → implementa o projeto de amostragem em freqüência para filtros

FIR bidimensionais. fsamp2 retorna um filtro h com uma reposta em freqüência que passa através dos pontos na entrada da matriz Hd.;

• fwind1 → cria uma janela bidimensional pela extensão de uma janela

unidimensional;

• fwind2 → usa uma janela bidimensional especificada diretamente;

• ftrans2 → implementa o método de transformação de freqüência. Esta matriz de transformação padrão da função produz filtros com simetria aproximadamente circular. Por definição com sua própria matriz de transformação você pode obter diferentes simetrias. O método da transformação em freqüência preserva algumas características do filtro unidimensional, particularmente a largura da banda de transição e as características da ondulação (“ripple”).


6.1 PARA UM FILTRO PASSA BAIXA COM FREQÜÊNCIA DE CORTE 0,5 E ORDEM 15

- Método da amostragem em freqüência

Figura 3 - Filtro passa baixa com freqüência de corte 0,5 Hz e ordem 15, usando o método da

amostragem em freqüência - Método usando a janela de Hamming unidimensional

Figura 4 - Filtro passa baixa com freqüência de corte 0,5Hz e ordem 15.


- Método usando a janela de Hamming bidimensional

Figura 5 - Filtro passa baixa com freqüência de corte 0,5 Hz e ordem 15.

- Método usando a transformação em freqüência

Figura 6 - Filtro passa baixa com freqüência de corte 0,5 Hz e ordem 15.


6.2 PARA UM FILTRO PASSA ALTA COM FREQÜÊNCIA DE CORTE 0,5 E ORDEM 15

- Método da amostragem em freqüência

Figura 7 - Filtro passa alta com freqüência de corte 0,5 Hz e ordem 15.

- Método usando a janela de Hamming unidimensional



- Método usando a janela de Hamming bidimensional


- Método usando a transformação em freqüência



- Método das especificações criando uma resposta em freqüência passa baixa

Figura 11 - Filtro passa baixa circular com corte em 0,5 Hz

Usando a amostragem em freqüência

Figura 12 - Filtro passa baixa circular com corte em 0,5 Hz


7. CONCLUSÃO 7.1 Para um filtro passa baixa: No método em amostragem em freqüência, a sua resposta em freqüência possui

algumas pequenas ondulações no topo da resposta. Mas, aplicando o filtro, houve um pequeno borrão em relação à figura original.

No método das janelas, tanto o comando “fwind1”, como o “fwind2”, apresentaram características muito próximas. No entanto, a resposta em freqüência da segunda é mais acentuada que a primeira. No comando “fwind1” a resposta em freqüência do filtro se assemelha mais ao filtro ideal passa baixa.

Para o método da transformação em freqüência, a resposta em freqüência possui uma pequena elevação no centro. O resultado, em relação à figura original, é que houve uma diminuição do brilho.

O método das especificações apresentou muitas ondulações nas laterais, em relação ao ideal, que deveria aproximar-se de um cone circular.

7.2 Para um filtro passa alta No método em amostragem em freqüência houve um contraste nas bordas

evidenciando um ponto no lado direito inferior da figura. Ao redor desse ponto nota-se também um círculo.

No método das janelas, pelo comando “fwind1” houve uma melhora na detecção das bordas e o ponto é facilmente percebido. Pelo comando “fwind2” manteve-se a boa detecção de bordas, mas um maior clareamento da figura.

O método da transformação em freqüência levou a um maior borramento da figura nas bordas e também ao redor do ponto. 8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARRIFANO, Natache do Socorro Dias – " Análise Espectral" – CPGEE, UFPa, 1998 LIM, Jae S. – “Two – Dimensional Signal and Image Processing” – Prentice – Hall,1990. CAMARA NETO, G. – “Métodos de Interpolação em Imagens Digitais por meio de Técnicas de Projeto de Filtros FIR”, Tese de Mestrado, INPE, 1983 GONZALES, C. R. & WOODS, R. E. – “ Processamento Digital de Imagens Digitais” – Edgard Blücher, 2000 MACEDO, V. G. – "Projetos de Filtros Digitais com resposta ao impulso finita (FIR)" – CPGEE, UFPa, 1998. MARQUES FILHO, O. & VIEIRA NETO, H. – “ Processamento Digital de Imagens” – Brasport, 1999. PROAKIS, J. & MANOLKIS, D. – “Digital Signal Processes – Principles, Algoriythms and Applications”, Macmillan, 1992 RABINER, Lawrence R. & GOLD, Bernard –- “Theory and Application of Digital Signal Processing” – Prentice-Hall, 1975.


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