Análise Exploratória de Dados

R – LIG/10 – 2008

Objetivos

obter a tabela de contingência entre duas variáveis qualitativas;

calcular tabelas derivadas da tabela de freqüências absolutas (freqüências relativas, perfis-linha e perfis coluna);

calcular (definir) medida de associação entre duas variáveis qualitativas.

Análise de duas variáveis qualitativas:

Exemplo: pesquisa de mercado

Dados de telemarketing da AT&T (companhia de telefonia americana)

Fonte: James W. Watson (1986) (Splus). Esta base de dados contém informação

sobre 1000 domicílios (linhas). As 10 variáveis (colunas) incluem informações demográficas e informação específica sobre os serviços de telefonia no domicílio.

Exemplo (continuação)

Nome, descrição e código das variáveis:

1) cia – fator indicando se o domicílio usa os serviços de longa distância da companhia AT&T (ATT) ou de outras companhias (OCC).

2) renda – fator ordenado indicando o nível de renda do domicílio. Os níveis são: <7.5, 7.5|-15, 15|-25, 25|-35, 35|-45, 45|-75, >=75.

Nome, descrição e código das variáveis (cont.):

3) mudancas – fator ordenado indicando o número de vezes que o dono do domicílio mudou-se nos 10 anos precedentes. Os níveis são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 10.

4) idade – fator ordenado indicando a faixa etária do entrevistado. Os níveis são: 18-24, 25-34, 35-44, 45-54, 55-64, 65+.

Nome, descrição e código das variáveis (cont.):

5) instrucao – fator ordenado indicando o nível de escolaridade do entrevistado. Os níveis são: <HS(ensino fundamental), HS(ensino médio), Voc, Coll, BA e >BA(Pós-graduação).

6) emprego – fator indicando o tipo de emprego do entrevistado. Os níveis são: F, P, R, S, H, U e D.

7) uso – vetor numérico fornecendo o uso médio mensal de telefone do domicílio.

Nome, descrição e código das variáveis (cont.):

8) nonpub – fator indicando se o domicílio possui um número de telefone não listado.

9) plano – fator indicando se o domicílio participou de um plano especial da AT&T, antes da atual política de serviços de telefonia.

10) cartao – fator indicando se o domicílio possuiu um serviço de cartão da AT&T, antes da atual política de serviços de telefonia.

Nome, descrição e código das variáveis (cont.):

Os níveis das variáveis nonpub, plano e cartao são Y(Sim), N(Não) e NA(Não disponível).

Os dados estão disponíveis no arquivo telemark.txt.

dados=read.table(“http://www.im.ufrj.br/~flavia/aed06/telemark.txt”,header=T)

Atividade 1

Obter a tabela de dupla entrada das variáveis cia e plano.

Vimos que para obter os totais marginais das respostas por variável, podemos usar o comando table: > table(dados$cia)

ATT OCC 504 496

>table(dados$plano)

N Y 919 62

Tabela de contingência

Para obter a tabela de dupla entrada, também usamos o comando table: table(dados$cia,dados$plano)

N Y N Y ATT 454 48ATT 454 48 OCC 465 14OCC 465 14

Obs.: Dados não disponíveis não são levados em consideração.

Freqüências relativas

Para dispor as freqüências relativas em relação ao total, basta pedir round(table(dados$cia,dados$plano)/sum(table(dados$cia,dados$plano)),digits=3)

N Y ATT 0.463 0.049 OCC 0.474 0.014

Perfis-linha

Para obter a distribuição relativa ao total de cada linha, podemos definir uma matriz x com uma coluna e uma linha a mais que a tabela obtida, para representar a linha e a coluna de totais.

Neste exemplo, podemos definir x=matrix(0,3,3) #x

recebe uma matriz nula 3 por 3.

Perfis-linha (cont.)

x[1:2,1:2]=table(dados$cia,dados$plano)

for (i in 1:2) {x[i,3]=sum(x[i,])} for (i in 1:2) {x[3,i]=sum(x[,i])} x[3,3]=sum(x[1:2,1:2])

N Y totalATT 454 48 502OCC 465 14 479total 919 62 981

Perfis-linha

Para obter os perfis-linha, basta pedir pl=x e

for (i in 1:3) {for (j in 1:3) { pl[i,j]=pl[i,j]/pl[i,3]}}

round(pl,digits=2)

N Y total

ATT 0.90 0.10 1OCC 0.97 0.03 1Total 0.94 0.06 1

Comentário

Observe que independentemente da companhia, 94% não tinham o plano especial da AT&T e 6% tinham.

Quando olhamos por companhia temos 90% e 10% para a AT&T e 97% e 3% para outras companhias.

N Y totalATT 0.90 0.10 1OCC 0.97 0.03 1Total 0.94 0.07 1

Atividade 2

Obtenha os perfis-coluna para estas variáveis.

pc=x e for (i in 1:3) {for (j in 1:3)

{ pc[j,i]=pc[j,i]/pc[3,i]}} round(pc,digits=2)

Perfis-coluna

N Y total ATT 0.494 0.774 0.512 OCC 0.506 0.226 0.488 total 1.000 1.000 1.000

Percebe-se que o perfil-coluna de totais (51%-ATT e 49%-OCC) para as companhias é parecido com o perfil de quem não possuiu o tal plano (49%-ATT e 51%-OCC)

Mas o perfil de totais é bem diferente do perfil de quem possuiu o plano (77%-ATT e 23%-OTT).

Volta para exercício.

COMENTÁRIO

Desta última observação podemos concluir que há uma associação entre estas variáveis (cia e plano): o fato de ter possuído o plano da AT&T parece favorecer o domicílio a usar o serviço de longa distância da companhia AT&T(77%) e caso contrário, não há prevalência da AT&T(49%).

Problema

Como quantificar a associação entre duas variáveis qualitativas?

Antes de responder essa pergunta, obtenha a tabela de contingência para cia e idade.

Depois, obtenha os perfis-linha e coluna da tabela obtida.

Companhia versus idade

18-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65+ ATT 38 129 98 75 67 82 OCC 23 85 105 77 86 102

x=matrix(0,3,7) x[1:2,1:6]=table(dados$cia,dados$idade) for (i in 1:2) {x[i,7]=sum(x[i,])} for (i in 1:7) {x[3,i]=sum(x[,i])}

Companhia versus idade

> x 18-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65+ totalATT 38 129 98 75 67 82 489OCC 23 85 105 77 86 102 478total 61 214 203 152 153 184 967

Perfis-linha

Distribuição das idades por companhia:

pl=xfor (i in 1:7) {for (j in 1:3) {pl[j,i]=pl[j,i]/pl[j,7]}}

18-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65+ totalATT 0.078 0.264 0.20 0.153 0.137 0.168 1OCC 0.048 0.178 0.22 0.161 0.180 0.213 1total 0.063 0.221 0.21 0.157 0.158 0.190 1

Obs.: Podemos perceber que entre os clientes da AT&T, 54% estãoentre os mais jovens e entre os de outras companhias (OCC), 55%estão entre os mais velhos. Isto indica alguma associação entre estasvariáveis.

Perfis-coluna

Distribuição das companhias (ATT e OCC) por faixa de idade:

18-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65+ totalATT 0.623 0.603 0.483 0.493 0.438 0.446 0.506OCC 0.377 0.397 0.517 0.507 0.562 0.554 0.494total 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

pc=x for (i in 1:3) {for (j in 1:7) {pc[i,j]=pc[i,j]/pc[3,j]}}

Medida de associação

Se as duas variáveis em estudo são independentes, espera-se que a distribuição marginal de uma delas (sem discriminar por valores da outra) seja igual às distribuições condicionadas por valores da outra.

A partir dessa idéia, podemos construir uma medida de associação entre duas variáveis qualitativas, conhecida como Qui-quadrado.

Exemplo: Suponha a seguinte tabela de contingência

sexo Curso 1Estatística

Curso 2 Engenharia

total

Homens 40 200 240

Mulheres 60 100 160

total 100 300

400

Ao examinar 400 estudantes de certa Instituição distribuídospelos cursos de Estatística e Engenharia, obteve-se:

Curso versus sexo

Se sexo e matrículas nos cursos de Engenharia e Estatística fossem independentes, esperaria-se ter os seguintes perfis-coluna:

sexo Curso 1Estatística

Curso 2 Engenharia

total

Homens 60% 60% 60%

Mulheres 40% 40% 40%

total 100% 100% 100%

Valores esperados sob independência

Como são 100 alunos em Estatística e 300 alunos em Engenharia, (240 do sexo masculino e 160 do sexo feminino) esperaria-se, em caso de independência, ter a seguinte tabela de contingência:

sexo Curso 1Estatística

Curso 2 Engenharia

total

Homens 60 180 240

Mulheres 40 120 160

total 100 300 400

sexo Curso 1Estatística

Curso 2 Engenharia

total

Homens 40 200 240

Mulheres 60 100 160

total 100 300

400

Tabela com as freqüências observadas:

sexo Curso 1Estatística

Curso 2 Engenharia

total

Homens 60 180 240

Mulheres 40 120 160

total 100 300 400

Tabela com as freqüências esperadas no caso de não associação:

Qui-quadrado

O qui-quadrado é uma medida que baseia-se na comparação entre os valores observados, que aqui denotaremos por nij e os valores esperados que denotaremos por eij.

Para cada cela da tabela de contingência calculamos

ij

ijij

e

en 2)(

16010060 Mulheres

24020040Homens

totalCurso 2 Engenharia

Curso 1Estatística

sexo

total 400300

100

Tabela com as freqüências observadas:

160 12040Mulheres

240 18060Homens

totalCurso 2 Engenharia

Curso 1Estatística

sexo

total 400 300100

Tabela com as freqüências esperadas no caso de não associação:

60

)6040( 2

180

)180200( 2

40

4060 2

120

120100 2

Qui-quadrado

O qui-quadrado é, então,

l

i

c

j ij

ijij

e

en

1 1

22 )(

onde l representa o número de categorias de resposta da primeira variável e c, representa o número de categorias de resposta da segunda variável.

Cálculo do qui-quadrado do exemplo dos estudantes de Estatística e Engenharia

22,22120

)120100(

40

)4060(

180

)180200(

60

)6040( 22222

Cálculo do Qui-quadrado usando o R

Há no R, uma função específica que calcula o qui-quadrado de uma tabela de contingência.

Interpretação: se a hipótese de não-associação entre as variáveis for verdadeira, o valor do qui-quadrado deve estar próximo de zero.

Quanto maior for o valor do qui-quadrado, mais forte é a associação entre as variáveis.

Cálculo do qui-quadrado usando o R

Suponha que x seja a matriz contendo os dados da tabela dos estudantes:

x=matrix(0,2,2) x[1,1]=40 x[1,2]=200 x[2,1]=60 x[2,2]=100

Cálculo do Qui-quadrado usando o R

Qui=chisq.test(x,correct=F)

Pearson's Chi-squared testdata: x X-squared = 22.2222 (qui-quadrado), df = 1, (graus de liberdade)p-value = 2.428e-06 (P-valor)

Pode ser usado como uma medida de avaliação da magnitude do qui-quadrado:

- p-value<=0,05, indica que o qui-quadrado é grande, ou seja, indica uma possível associação entre as variáveis.

Notação científica para 0,000002428

Comentários do exemplo

De acordo com o slide anterior, verifica-se que o Qui-quadrado obtido é alto, o que indica a presença de associação entre curso e sexo.

Mais ainda, pela análise das tabelas verificamos que essa associação ocorre de tal modo que no curso de Estatística a maioria (60%) dos estudantes tende a ser do sexo feminino e na Engenharia, a maioria (67%) tende a ser do sexo masculino.

Medidas derivadas do qui-quadrado

Pearson definiu uma medida de associação, baseada no qui-quadrado, chamada coeficiente de contingência, dado por

nC

2

2

onde n é o tamanho da amostra.

Medidas derivadas do qui-quadrado

Interpreta-se o coeficiente de contingência de maneira análoga ao coeficiente de correlação.

Porém, o coeficiente de contingência, apesar de estar entre 0 e 1 nunca atinge o valor 1.

O valor máximo de C depende de l (número de categorias de resposta da primeira variável), de c (número de categorias de resposta da segunda variável) e de n, o tamanho da amostra.

Medidas derivadas do qui-quadrado

Outro coeficiente é dado por

)1)(1(

/2

cl

nT

que pode atingir o máximo igual a 1, quando l=c.

Coeficientes para os dados do exemplo curso versus sexo

qui=22.22222 CP=sqrt(qui/(qui+sum(x))) CP [1] 0.2294157 TC=sqrt((qui/sum(x))/(1*1)) TC [1] 0.2357022

Atividade 3:

Calcule o qui-quadrado, e os coeficientes C e T, das seguintes tabelas de contingência:

1) cia e plano; 2) cia e idade; 3) cia e cartao; 4) cia e nonpub; 5) cia e renda; 6) cia e instrucao; 7) cia e emprego.

3.1) cia versus plano

x=table(dados$cia,dados$plano) N Y ATT 454 48 OCC 465 14chisq.test(table(dados$cia,dados$plano),correct=F) Pearson's Chi-squared testdata: table(dados$cia, dados$plano) X-squared = 18.2476, df = 1, p-value = 1.940e-05 qui=18.2476 CP=sqrt(qui/(qui+sum(x))) TC=sqrt((qui/sum(x))/(1*1)) CP[1] 0.1351345 TC[1] 0.1363856

Companhia versus plano

Como o valor de Qui-quadrado foi 18,2476, com um P-valor de 0,0000194 (bem menor do que 0,05), isso indica presença de associação entre as variáveis Companhia e Plano

Vimos que entre os que participaram do plano, a maioria (77%) já usou os serviços de longa distância da AT&T.

Entre os que não participaram do plano a distribuição fica mais equilibrada com 49% para AT&T e 51% para outras companhias.

Ver tabela.

3.2) cia versus idade

x=table(dados$cia,dados$idade) 18-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65+ ATT 38 129 98 75 67 82 OCC 23 85 105 77 86 102 chisq.test(table(dados$cia,dados$idade),correct=F) Pearson's Chi-squared test data: table(dados$cia, dados$idade) X-squared = 17.4135, df = 5, p-value = 0.003779 > qui=17.4135 > CP=sqrt(qui/(qui+sum(x))) > TC=sqrt((qui/sum(x))/(1*5)) > CP [1] 0.1330008 > TC [1] 0.06001293

3.2) cia versus idade

Como o valor de Qui-quadrado foi 17,4135, com um P-valor de 0,003799 (bem menor do que 0,05), isso indica presença de associação entre as variáveis Companhia e Idade

Vimos que entre os clientes da AT&T, 54% estão nas faixas mais jovens.

Entre os clientes de OCC, 55% estão nas faixas mais velhas.

3.3) cia versus cartao

x=table(dados$cia,dados$cartao)

N Y ATT 329 175 OCC 373 106 chisq.test(table(dados$cia,dados$cartao),correct=F) Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction data: table(dados$cia, dados$cartao) X-squared = 19.0774, df = 1, p-value = 1.255e-05

> qui=19.0774 > CP=sqrt(qui/(qui+sum(x))) > TC=sqrt((qui/sum(x))/(1*1)) > CP [1] 0.1379777 > TC [1] 0.1393102

3.4) cia versus nonpub x=table(dados$cia,dados$nonpub) chisq.test(table(dados$cia,dados$nonpub),correct=F) Pearson's Chi-squared test

data: table(dados$cia, dados$nonpub) X-squared = 15.1792, df = 1, p-value = 9.777e-05

> qui=15.1792 > x N Y ATT 384 119 OCC 424 69 > CP=sqrt(qui/(qui+sum(x))) > TC=sqrt((qui/sum(x))/(1*1)) > CP [1] 0.1225210 > TC [1] 0.1234510

3.5 Companhia versus renda

chisq.test(table(dados$cia,dados$renda),correct=F) Pearson's Chi-squared test data: table(dados$cia, dados$renda) Qui-quadrado = 11,1541, df = 6, P-valor = 0,08373 > 0,05 Logo, não parece haver associação entre

companhia e renda.

3.6 Companhia e Instrução

chisq.test(table(dados$cia,dados$instrucao),correct=F)

Pearson's Chi-squared test data: table(dados$cia,

dados$instrucao) Qui-quadrado = 28,623, df = 5, p-valor = 0,00002749

3.7 Companhia e emprego

chisq.test(table(dados$cia,dados$emprego),correct=F)

Pearson's Chi-squared test data: table(dados$cia,

dados$emprego) Qui-quadrado = 13,4602, df = 6, p-valor = 0,03628