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Analise Matemática I
Tema I: Introdução
Aula 6: Equações e inequações.
Sistemas de equações.
Ano académico 2017
Aula 06
Sistemas de duas equações lineares com dois variáveis.
Sistema de duas equações com dois variáveis
quadrático
Ano académico 2017
Analise Matemática I
Sumário
Definição de sistemas de duas equações lineares com dois
variáveis.
Métodos de solução
Tipos de solução
Sistema de duas equações com dois variáveis quadrático
Bibliografia
Autor Título Editorial Data
Barnett, Ziegler y Byleen
Pré-Cálculo, funciones y gráficas Mc.Graw-Hill 2000
Zuma Medeiros , Valéria
Pré-Cálculo 2ª edição revista r atualizada
CENGAGE Learning
2012
Demana Pré-Cálculo PEARSON
Addison Wesley 2010
Stewart Pré-Cálculo CENGAGE Learning
5ta Edição
Aplicação dos sistemas de equações lineares
São inúmeros os problemas de engenharia onde se recai na solução de um sistema de equações lineares. Como exemplos, podemos citar: • O cálculo de esforços em problemas de estática; • O cálculo de tensões e correntes em um circuito elétrico composto por elementos lineares; • O balanço de massa em sistemas físicos lineares; • A solução de equações diferenciais lineares por métodos numéricos como elementos finitos e diferenças finitas, etc.
Definição. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
Um sistema de duas equações lineares com dois variáveis é
um conjunto de equações do tipo:
Onde x e y são variáveis e a, b, c, d, h e k são
constantes reais.
Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
Uma solução de um sistema de duas equações lineares
com duas variáveis é um par ordenado de números reais
que satisfaz cada uma das equações.
Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
Contudo, sabemos também que nem todos os sistemas lineares tem solução. Como por exemplo,
Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis
Solução. Método da substituição
1. Isolar uma variável: Escolher uma equação e isolar uma das variáveis.
2. Substituir: substitua a expressão que determinou no passo 1 na outra
equação para obter uma equação com uma variável. Logo resolva-a para
obter o valor dessa variável.
3. Substituir na equação da variável isolada. Substitua o valor que
encontrou no passo 2 na expressão que encontrou no passo 1 para
determinar a variável que falta.
Calcule as soluções do sistema:
Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis. Suporte gráfico
Calcule as soluções do sistema:
Solução. Método do cancelamento
1. Ajustar os coeficientes: Multiplica-se uma ou mais das equações por
quantidades adequadas de modo que o coeficiente de uma variável de
uma equação seja o negativo de seu coeficiente na outra equação.
2. Adicionar as equações: Adicionam-se as duas equações para eliminar
uma variável, logo resolve para determinar o valor da variável restante.
3. Substituir: Substitui-se o valor que determinou no passo 2 em uma das
equações originais, e resolve-se para determinar o valor da variável
restante.
Método do cancelamento. Exemplo
Calcule as soluções do sistema:
***** As soluções são independentes do método
Método de Cramer
***** As soluções são independentes do método
Gabriel Cramer (31 de Julho de 1704 - 4 de janeiro de 1752) foi um matemático
suizo nascido em Ginebra.
O MÉTODO DE CRAMER É UTILIZADO NA PROCURA DE SOLUÇÕES A SISTEMAS
DE EQUAÇÕES COM N EQUAÇÕES E N VARIÁVEIS.
O método consiste em representar os coeficientes de cada variável de todas
as equações em forma de matrizes e calculam-se discriminantes da seguinte
forma:
Método de Cramer. Exemplo
PARA UM SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS
Sistema:
Representação Matricial:
Solução:
Método de Cramer. Exemplo
PARA UM SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS
Sistema:
Representação Matricial:
Solução:
Método de Cramer. Exemplo
PARA UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES COM TRÊS VARIÁVEIS
Sistema:
Representação Matricial:
Solução:
Método de Cramer. Exemplo
Calcular um discriminante de 3x3:
=(j.e.i + b.f.l + k.h.c) – (l.e.c + k.b.i + h.f.j)
Método de Cramer. Exemplo
PARA UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES COM TRÊS VARIÁVEIS
Método de Cramer. Exemplo
PARA UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES COM TRÊS VARIÁVEIS
Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis. Classificação
De acordo com sua conjunto solução, os sistemas lineares
podem ser de três tipos:
Compatíveis
• Determinados: Quando possuem apenas uma solução.
• Indetermináveis: Quando possuem infinitas soluções.
Incompatíveis: Quando não possuem nenhuma solução.
Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis . Exemplo 1
Calcule as soluções do sistema:
*****O sistema neste caso não tem solução e podemos dizer
que é incompatível
Calcule as soluções do sistema:
Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis . Exemplo 1
Sistema de duas equações com dois variáveis quadrático
5x2 – 4y = 5,3
x + 3y = 7 A
5x2 – 4xy = 5,3
x + 3y = 7 C
x + 3y = 7 x·y = 40
B*
D 5x2 – 4y2 = 5,3
x2 + 3y2 = 7
Sistema de duas equações com dois variáveis
quadrático. Soluções. Exemplo 2
Aplican-se os mesmos métodos que nos sistemas de duas
equações lineares com dois variáveis.
Exemplo:
Sistema de duas equações com dois variáveis
quadrático. Soluções. Exemplo 2
Exemplo:
Sistema de duas equações com dois variáveis
quadrático. Soluções. Exemplo 2
Exemplo:
Solução. S.2.E.L com dois variáveis. Suporte gráfico. Exemplo 2
(7;43)
(43;7)
Historia
Os babilônios estudavam problemas que conduziam a equações, há muitos anos. Um exemplo disso foi encontrado em um bloco de barro que data cerca de 300 a. C. , contendo o seguinte problema:
Dois campos tem área total de 1800 jardas quadradas. Um produz grãos em 2/3 de um alqueire por jarda quadrada, enquanto o outro produz grãos em 1/2 de um alqueire por jarda quadrada. Se o lucro total é de 1100 alqueires. Qual o tamanho de cada campo?
Historia
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