ANÁLISE MATEMÁTICA III

I Elementos de Geometria Diferencial em R2 e R3

Funções vectoriais de uma variável

1. Curvas parametrizadas

2. Derivadas - Vetores tangentes

3. Integrais de caminho

4. Comprimento de arco

5. Curvatura e torção

6. Triedro e Fórmulas de Frenet Serret

Superfícies

1. Superfícies parametrizadas

2. Derivadas parciais - Planos tangentes e reta normal

3. Orientabilidade

4. Integrais sobre superfícies

II Análise Complexa

1. Números complexos e operações aritméticas

2. Funções complexas, limites e continuidade

3. Derivação complexa - Equações de Cauchy-Riemann

4. Funções harmónicas e conjugados harmónicos

5. Funções analíticas: Polinómios, funções racionais, séries de potências, exponencial, logaritmo,

funções trigonométricas e hiperbólicas

6. Integrais de caminho: Teorema fundamental do cálculo, integrais de caminho fechado

7. Fórmula integral de Cauchy

8. Representabilidade das funções analíticas em série de potências

III Equações Diferenciais

Equações Diferenciais Ordinárias

1. Definições e exemplos

2. Equaçoes exatas - Fator integrante

3. Equações de variáveis separáveis

4. Integrais sobre superfícies

II Análise Complexa

1. Números complexos e operações aritméticas

2. Funções complexas, limites e continuidade

3. Derivação complexa - Equações de Cauchy-Riemann

4. Funções harmónicas e conjugados harmónicos

5. Funções analíticas: Polinómios, funções racionais, séries de potências, exponencial, logaritmo,

funções trigonométricas e hiperbólicas

6. Integrais de caminho: Teorema fundamental do cálculo, integrais de caminho fechado

7. Fórmula integral de Cauchy

8. Representabilidade das funções analíticas em série de potências

III Equações Diferenciais

Equações Diferenciais Ordinárias

1. Definições e exemplos

2. Equaçoes exatas - Fator integrante

3. Equações de variáveis separáveis

4. Equações lineares de primeira ordem

5. Mudança de variável: Equação de Bernoulli e de Ricati

6. Equaçoes lineares de 2a ordem: redução de ordem, Wronskiano

7. Equações lineares de 2a ordem com coeficientes constantes

8. Problemas com valores inicias

Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias

1. Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias. Problemas de valor inicial e método de Picard

2. Sistemas Lineares. Wronskiano e fórmula de Abel

3. Sistemas Lineares com coeficientes constantes

4. Comportamento assintótico e estabilidade de soluções

5. Sistemas autónomos em dimensão 2

IV Análise de Fourier

Séries de Fourier

1. Séries trigonométricas

2. Coeficientes de Fourier, fórmulas de Euler

3. Convergência e representação de funções periódicas em séries de Fourier

4. Prolongamentos periódicos, prolongamento par e ímpar

5. Séries de Fourier complexas

Integral de Fourier

1. Transformada de Fourier, definição e exemplos

2. Teoria L2 da transformada de Fourier: Fórmulas de Parseval e Plancharel

4. Convolução e a transformada de Fourier

5. Funções própias, funções de Hermit