Análise No Domínio Da Frequência

PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA PARAAUXÍLIO NA SELEÇÃO DE ESTRUTURA DE MODELOS

NARX POLINOMIAIS

Felipe de Brito Freitas

Dissertação submetida à banca examinadora designada peloColegiado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia doCentro Universitário do Leste de Minas Gerais, como partedos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre emEngenharia Industrial.Área de Concentração:Processos Industriais

Orientador: Prof. Marcelo Vieira Corrêa, Dr. - PPGE/Unileste-MG

Coronel Fabriciano, março de 2011

PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA PARAAUXÍLIO NA SELEÇÃO DE ESTRUTURA DE MODELOS

NARX POLINOMIAIS

Felipe de Brito Freitas

Banca:

Prof. Marcelo Vieira Corrêa, Dr. - PPGE/Unileste-MG - Orientador.Prof. Mara Cristina da Silveira Coellho, Dr. - UNIFEI.Prof. Roselito de Albuquerque Teixeira, Dr. - PPGE/Unileste-MG.

À Deus,à meus pais Manoel Ricardo Pacheco e Eula e

à todos que torceram por mim.

Agradecimentos

Agradeço a Deus por permitir que eu realize este trabalho dando-me condições físicas, emo-cionais e espirituais durante a minha vida para a realização deste trabalho.

Aos meus pais, Manoel Ricardo e Eula Elizabeth pelo apoio incondicional que me concedem acada momento provendo a mim todos os recursos para que eu supere cada etapa em busca darealização dos meus sonhos.

Agradeço aos colegas do MOCP, em especial aqueles que conviveram comigo durante os doisanos de trabalho. Citando em especial os bolsistas de iniciação científ ca Igor, Renan, Marceloe Natália, Tallys e também os colegas de Mestrado, Raquel, Renata, Marcus, Viviane, Gabriela,Marisa, Felipe e Maressa que apoiaram e criticaram nos momentos certos.

À todos os professores do Mestrado que tiveram a paciência do ensinar e colaboraram de formaimensurável para a realização deste trabalho. Em especial aqueles que tive o prazer de conviverdurante o curso de suas disciplinas: Mário Godinho, Roselito, Adelaide, Marcelo e Dair. Àque-les professores do programa que não tive a oportunidade de conviver em sala de aula mas quesempre que precisei deles estavam de prontidão.

Às secretárias do programa que sempre pacientemente nos atendiam, esclareciam nossas dúvi-das e alertavam sobre as informações importantes durante o período de curso.

Aos funcionários do UnilesteMG que sempre estiveram prestando os seus serviços de forma atornar o nosso trabalho menos árduo.

Ao professor Roselito de Albuquerque Teixeira pelas orientações e pela competência ao resolveros problemas do programa na posição de coordenador do curso.

Aos familiares, amigos, vizinhos e todos aqueles que estiveram ao meu redor durante esteperíodo sempre com palavras de apoio e incentivo.

Agradeço ao professor Marcelo Vieira Corrêa, meu orientador, pela dedicação e competência,pelos ensinos e pela compreensão.

vi

E f nalmente, um agradecimento especial à CAPES e ao UnilesteMG pelo f nanciamento e pordepositar em mim a conf ança na minha capacidade para a realização deste trabalho.

viii

"O ser humano vivência a si mesmo, seus pensamentos como algo separado do restodo universo - numa espécie de ilusão de ótica de sua consciência. E essa ilusão éuma espécie de prisão que nos restringe a nossos desejos pessoais, conceitos e ao

afeto por pessoas mais próximas. Nossa principal tarefa é a de nos livrarmos dessaprisão, ampliando o nosso círculo de compaixão, para que ele abranja todos os seresvivos e toda a natureza em sua beleza. Ninguém conseguirá alcançar completamenteesse objetivo, mas lutar pela sua realização já é por si só parte de nossa liberação e

o alicerce de nossa segurança interior."

Albert Einstein

Resumo

Diante das dif culdades apresentadas na etapa de seleção de estrutura em identif cação de sis-temas, este trabalho investiga qual a relação entre a resposta em frequência de sistemas nãolineares e a escolha de estruturas e de grau de não linearidade de modelos que o representem.Contribuiu-se com a proposição de uma metodologia que estime estruturas adequadas à umarepresentação polinomial a partir da resposta em frequência dos sinais de entrada e saída. Oprocedimento baseia-se na resposta em frequência da saída gerada pelo sistema a ser modeladoexcitado por um sinal de entrada de frequência única. Diante desse resultado, sugere-se o graude não linearidade para um modelo e determina-se os máximos atrasos de entrada e saída. Ocritério ERR é utilizado para ordenar os agrupamentos de termos em ordem de relevância naexplicação do sistema. De um em um, agrupamentos são sugeridos ao modelo e verif ca-se suaresposta em frequência respeitando a hierarquia imposta pelo ERR. Assim que há uma aproxi-mação satisfatória da resposta em frequência do modelo em relação à resposta em frequênciado sistema é feito o corte na estrutura. O modelo é então validado. O procedimento pode tantoser utilizado como ferramenta única na etapa de escolha de estrutura como ferramenta auxiliarà procedimentos clássicos existentes na literatura como o critério de ordenação ERR e o critériode corte de AKAIKE. O procedimento proposto foi aplicado a dois sistemas simulados e a doissistemas reais. O primeiro sistema simulado apresenta uma não linearidade branda. O segundotrata-se de uma planta de pH simulada com uma não linearidade severa. Observou-se que oprocedimento proposto apresentou resultados satisfatórios tanto em relação ao desempenho nasimulação dos modelos obtidos quanto à obtenção de estruturas mais compactas sem grandesperdas de desempenho. Os sistemas reais utilizados tratam de um forno de bancada e o segundotrata-se de um protótipo de helicóptero de dois graus de liberdade Quanserr. Dados foram co-letados e o método foi aplicado obtendo resultados satisfatórios. Foram obtidas estruturas maiscompactas com pouca redução no desempenho dos modelos. Comparações foram realizadasentre os modelos obtidos pelas técnicas clássicas de seleção de estrutura e o procedimento pro-posto verif cando-se ef cácia do método.

AbstractGiven the diff culties presented in the structure selection stage in system identif cation, thiswork investigates what is the relationship between the nonlinear systems frequency responseand the choice of structure and the degree of nonlinearity of models that represent them. Thedevelopment of a methodology to estimate the structures is needed for a polynomial representa-tion from the frequency response of input and output. The procedure is based on the frequencyresponse of the output generated by the system being modeled excited by an input signal ofsingle frequency. Given this result, it is suggested that the degree of nonlinearity for a modeland determines the maximum delay of input and output. The ERR criterion is used to sortgroups of terms in order of relevance in explaining the system. By one to one, groups of termsare suggested to the model and verif es its frequency response respecting the hierarchy imposedby the ERR. So there is a satisfactory approximation of the frequency response of the modelrelative to the frequency response of the system is cut in the structure. The model is then val-idated. The procedure can be used both as a unique tool in the stage of choice of structure asan auxiliary tool to conventional procedures in the literature as the ERR and Akaike criteria.The proposed procedure was applied to two simulated systems and two real systems. The f rstsimulated system has a soft nonlinearity. The second is a plant with a pH simulated severe non-linearity. It was observed that the proposed procedure with satisfactory results both in relationto the performance obtained in simulation models as to obtain more compact structures withoutsignif cant loss of performance. The real systems used to treat a countertop oven and the secondit is a prototype helicopter to two degrees of freedom Quanser r. Data were collected and themethod was applied satisfactory outcomes. More compact structures were obtained with littlereduction in performance of the models. Comparisons were made between models obtained byclassical techniques of selection procedure proposed structure and verifying the effectivenessof the method.

Sumário

Resumo xi

Abstract xiii

Lista de Figuras xvii

Lista de Tabelas xxi

Lista de Símbolos xxiv

1 Introdução 1

1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Organização do texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Fundamentação Teórica 9

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

xiv

2.2 Identif cação de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Etapas da Identif cação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 As Transformadas de Fourier no tempo discreto . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 Efeitos da amostragem de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Seleção de estrutura através da análise de resposta em frequência 25

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Análise matemática da resposta em frequência de modelos NARX polinomiais . 26

3.2.1 Agrupamento de termos puros de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Agrupamento de termos cruzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3 Agrupamento de termos puros de saída . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.4 Considerações sobre a análise matemática no domínio da frequência de

modelos NARX polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Metodologia aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1 Sugestão de grau de não linearidade ` a partir da análise no domínio da

frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.2 Seleção de estrutura a partir da resposta em frequência da saída do sistema 43

3.4 Comentários Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

xv

4 Estudo de casos simulados 49

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Sistema simulado 1 - CTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2.1 Obtenção de estrutura de modelo polinomial NARX para o sistema si-

mulado 1 utilizando o método clássico e a sugestão de grau de não

linearidade proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


mulado 1 utilizando a resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Sistema simulado 2 - A planta de neutralização de pH simulada . . . . . . . . . 65


mulado 2 utilizando o método clássico e a sugestão de grau de não

linearidade proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


mulado 2 utilizando a resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3.3 Validação estática dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75


5 Estudo de casos reais 79

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2 Sistema Térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.1 Aquisição de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

xvi

5.2.2 Obtenção de estrutura de modelo polinomial NARX para o sistema tér-

mico utilizando o método clássico e a sugestão de grau de não lineari-

dade proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.3 Obtenção de estrutura de modelo NARMAX polinomial para o sistema

térmico utilizando a resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2.4 Validação estática dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3 O helicóptero de 2 graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.3.1 Aquisição de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3.2 Obtenção de estrutura de modelo NARMAX polinomial para o he-

licóptero utilizando o método clássico e a sugestão de grau de não line-

aridade proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3.3 Obtenção de estrutura de modelo polinomial NARX para o helicóptero

utilizando a resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94


6 Considerações Finais 99

6.1 Sugestões para trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Referências Bibliográficas 108

Lista de Figuras

3.1 Análise no domínio da frequência de agrupamentos de termos de entrada sub-metidos a um sinal de frequência única. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Análise no domínio da frequência de um modelo com agrupamentos de termoscruzados submetidos a um sinal de frequência única. . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Análise no domínio da frequência de um modelo com agrupamentos de termospuros de saída submetidos a um sinal de frequência única. . . . . . . . . . . . 38

4.1 Sistema simulado 1 em representação por blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 Dados gerados pela simulação do sistema 1 para identif cação. . . . . . . . . . 51

4.3 Dados gerados pela simulação do sistema 1 para validação. . . . . . . . . . . . 51

4.4 Ganho das frequências do sistema simulado 1 em dB. . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5 Parte dos dados para o sistema 1 excitado a uma frequência de 0,02 rad/s. . . . 53

4.6 DTFT dos dados do sistema simulado 1 excitado a uma frequência de 0,02 rad/s. 54

4.7 Predição livre e análise no domínio da frequência do modelo obtido pelo métodoclássico para o sistema simulado 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.8 Predição livre e análise no domínio da frequência do primeiro modelo obtidopara o sistema simulado 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.9 Predição livre e análise no domínio da frequência do segundo modelo obtidopara o sistema simulado 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.10 Predição livre e análise no domínio da frequência do terceiro modelo obtidopara o sistema simulado 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

xviii

4.11 Predição livre e análise no domínio da frequência do quarto modelo obtido parao sistema simulado 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.12 Predição livre e análise no domínio da frequência do quinto modelo obtido parao sistema simulado 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.13 Evolução do cálculo de ErroW para cada passo para o sistema simulado 1. . . 64

4.14 Parte dos dados gerados pela simulação do sistema 2 para identif cação. . . . . 66

4.15 Parte dos dados gerados pela simulação do sistema 2 para validação. . . . . . . 67

4.16 Ganho das frequências do sistema simulado 2 em dB. . . . . . . . . . . . . . . 67

4.17 Parte dos dados para o sistema 2 excitado a uma frequência de 2,0 × 10−4 rad/s. 69

4.18 Análise no domínio da frequência dos dados do sistema simulado 2 excitado auma frequência de 2,0 × 10−4 rad/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.19 Predição livre e análise no domínio da frequência do modelo obtido pelo métodoclássico para o sistema simulado 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.20 Evolução do cálculo de ErroW para cada passo para o sistema simulado 2. . . 74

4.21 Predição livre e análise no domínio da frequência do modelo obtido pelo métodode análise da resposta em frequência para o sistema simulado 2. . . . . . . . . 75

4.22 Curva estática do sistema simulado 2 e dos modelos obtidos pelo critério deERR e pelo método proposto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1 Dados gerados pelo sistema térmico para identif cação. . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 Dados gerados pelo sistema térmico para validação. . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3 Ganho das frequências do sistema real térmico em dB. . . . . . . . . . . . . . 82

5.4 Parte dos dados para o sistema térmico excitado a uma frequência de 5,3×10−3

rad/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.5 Análise no domínio da frequência do sistema térmico excitado a uma frequênciade 5,3 × 10−3 rad/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.6 Predição livre e análise no domínio da frequência do modelo obtido pelo métodoclássico para o sistema térmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

xix

5.7 Evolução do cálculo de ErroW para cada passo para o sistema térmico. . . . . 86

5.8 Predição livre do modelo obtido pelo método proposto para o sistema térmico. . 87

5.9 Curva estática do sistema térmico e dos modelos obtidos pelo critério de ERR+AKAIKEe pelo método proposto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.10 Os dois eixos de rotação do helicóptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.11 Foto do protótipo de helicóptero com dois GDL. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.12 Dados gerados pelo helicóptero para identif cação. . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.13 Dados gerados pelo helicóptero para validação. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.14 Parte dos dados para o helicóptero excitado a uma frequência de 0,0628 rad/s. . 92

5.15 Análise no domínio da frequência dos dados do sinal de arfagem do helicópteroexcitado a uma frequência de 0,0628 rad/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.16 Predição livre e análise no domínio da frequência do modelo obtido pelo métodoclássico para o helicóptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.17 Evolução do cálculo de ErroW para cada passo para o helicóptero. . . . . . . 95

5.18 Predição livre do modelo obtido pelo método proposto para o helicóptero. . . . 96

Lista de Tabelas

3.1 Resposta em frequência de agrupamentos de termos submetidos a um sinal deentrada de frequência única ωi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do sistema simulado 1. . . . 54

4.2 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída modelo obtido pelo métodoclássico para o sistema simulado 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída modelo obtido pelo primeiropasso do método proposto para o sistema simulado 1. . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída modelo obtido pelo segundopasso do método proposto para o sistema simulado 1. . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída modelo obtido pelo terceiropasso do método proposto para o sistema simulado 1. . . . . . . . . . . . . . . 61

4.6 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída modelo obtido pelo quartopasso do método proposto para o sistema simulado 1. . . . . . . . . . . . . . . 62

4.7 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída modelo obtido pelo quintopasso do método proposto para o sistema simulado 1. . . . . . . . . . . . . . . 63

4.8 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do modelo obtido pelométodo clássico para o sistema simulado 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.9 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do sistema simulado 2. . . . 72

4.10 Valores de ErroW para cada adição de termo no modelo para o sistema simu-lado 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

xxii

5.1 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do sistema térmico. . . . . 84

5.2 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do modelo obtido pelométodo clássico para o sistema térmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3 Valores de ErroW para cada adição e termo no modelo para o sistema térmico. 86

5.4 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do helicóptero. . . . . . . . 93

5.5 Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do modelo obtido pelométodo clássico para o helicóptero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.6 Valores de ErroW para cada adição e termo no modelo para o sistema térmico. 95

Lista de Símbolos

F Função` Grau de não linearidadey(k) Sinal de saídau(k) Sinal de entradae(k) Sinal de ruídoN Conjunto dos números naturaisτd Atraso de transporteny Máximo atraso de saídanu Máximo atraso de entradane Máximo atraso de erroc Parâmetroψ(k − 1) Vetor de regressores (pode conter observações até o instante (k − 1))T Transpostoθ Parâmetrosˆ Valor estimadoξ(k) Resíduog Parâmetros estimadosω Regressores ortogonaisn Número de termos de um modelonθ Número de parâmetros de um modeloN Número de amostrasψ Matriz de regressoresj sqrt−1

x[n] SinalΩ Agrupamento de termosA[k] Peso de senóidesGmf Ganho de uma frequência do modelo

xxiv

Grf Ganho de uma frequência do sistemaδ Função impulso unitário

Siglas e Abreviações

AIC Critério de Informação de Akaike (Akaike Information Criterion)ARX Modelo Autoregressivo com Entradas Exógenas (AutoRegressive model with eXogenous inputs)DTFS Séries de Fourier no Tempo Discreto (Discrete Time Fourier Series)ERR Taxa de Redução de Erro (Error Reduction Ratio)FOS Busca Ortogonal Rápida (Fast Orthogonal Search)FFT Transformada Rápida de Fourier (Fast Oourier Transform)FS Séries de Fourier (Fourier Series)GFRF Funções de Resposta em Frequência Generalizadas

(Generalized Frequency Response Functions)MQ Mínimos QuadradosMQE Mínimos Quadrados EstendidosNARMAX Modelo não-linear auto-regressivo de média móvel com entradas exógenas

(Nonlinear AutoRegressive Moving Average model with eXogenous inputs)NARX Modelo não-linear auto-regressivo com entradas exógenas

(Nonlinear AutoRegressive model with eXogenous inputs)OPS Busca Ótima de Parâmetros (Optimal Parameter Search)OS Busca Ortogonal (Orthogonal Search)RNA Redes Neurais Artif ciaisRMSE Raiz quadrada do erro médio quadrático (Root Mean Square Error )SISO Uma Entrada e Uma Saída ( Single-Input Single-Onput)

Capítulo 1

Introdução

Modelagem matemática de sistemas é uma metodologia muito comum em ciência e na engenha-ria. Porém mostrava-se um desaf o aos pesquisadores desde as décadas de 50 e 60 pela falta deferramentas computacionais para realização de cálculos em série. Mas com o forte avanço tec-nológico e o desenvolvimento de recursos computacionais cada vez mais ef cazes, os cálculosmatemáticos já não formariam barreiras para o desenvolvimento da área de modelagem.

Em breves palavras, modelo é uma representação matemática aproximada de um sistema dinâ-mico real, ou seja, um modelo representa apenas algumas características do sistema real. Nesseponto cabe a seguinte pergunta: quais características devem ser reproduzidas pelo modelo? Aresposta a esta pergunta não é única e depende do(s) objetivo(s) para o qual o modelo está sendodesenvolvido (AGUIRRE, 2004). Uma outra pergunta também poderia ser realizada: Qual(is)é(são) a(s) região(ões) de interesse em análise deste modelo?

Várias são as representações matemáticas possíveis para sistemas lineares e não lineares. Entreas representações paramétricas, para um sistema linear existem as funções de transferência, osmodelos em espaço de estados e modelos polinomiais ARX (do inglês - Autoregressive Mod-els with Exogenous Inputs) e ARMAX (do inglês - Autoregressive Moving Average Modelswith Exogenous Inputs). Para os sistemas não lineares pode-se citar as representações por Re-des Neurais Artif ciais e os modelos polinomiais NARX (do inglês - Nonlinear AutoregressiveModels with Exogenous Inputs) e NARMAX (do inglês - Nonlinear Autoregressive MovingAverage Models with Exogenous Inputs)

De acordo com o nível de conhecimento sobre o processo a ser incorporado ao modelo, os méto-dos de modelagem podem ser classif cados como em (TULLEKEN, 1993; SJOBERG e outros,1995):

2 1 Introdução

• modelagem caixa branca (modelo físico ou fenomenológico): nesta abordagem a estru-tura e os parâmetros do modelo são determinados por princípios físicos que regem ocomportamento estático e dinâmico do sistema,

• modelagem caixa preta (modelo empírico): a única informação utilizada são dados de en-trada e saída do processo. Neste caso, os fenômenos físicos internos ao processo são des-considerados. Podem ser gerados modelos paramétricos, onde os parâmetros, em geral,não têm signif cado físico, ou modelos não-paramétricos, representados, por exemplo,pela resposta ao impulso, resposta ao degrau e resposta em frequência,

• modelagem caixa cinza: nesta técnica, o procedimento de modelagem utiliza tanto dadosde entrada e saída, quanto informações conhecidas do processo. Por exemplo, a estruturadas equações matemáticas do modelo podem derivar de informações conhecidas a priorie utiliza-se os dados coletados para identif car os parâmetros deste modelo.

Devido ao conhecimento e tempo necessários para modelar um sistema partindo do equaciona-mento dos fenômenos envolvidos, nem sempre é viável seguir o procedimento de modelagemfenomenológica (AGUIRRE, 2004) por isso, em casos onde o processo fenomenológico é de-veras complicado, faz-se a opção pela modelagem empírica.

A modelagem empírica é uma alternativa interessante, porque pouco ou nenhum conhecimentoprévio do sistema é necessário na obtenção de um modelo, exigindo-se apenas o conhecimentodos sinais de entrada e saída do processo. A ciência que estuda modelos matemáticos empíricosbaseados nos sinais de entrada e saída dos sistemas é denominada Teoria de Identificação deSistemas.

Uma etapa de fundamental importância na Identif cação de Sistemas é a seleção de estruturado modelo. A escolha inadequada pode não incorporar certas características do sistema dinâ-mico ao modelo. Algumas técnicas são difundidas na literatura, porém, não são ef cientes emtodos os casos e muitas vezes dependem da experiência e da habilidade do desenvolvedor paramostrarem resultados satisfatórios. Neste trabalho é investigada a seleção de estrutura de mo-delos matemáticos com o auxílio da resposta em frequência fornecida pelo conjunto de dadosde entrada e saída.

Considerando representações polinomiais, para modelos lineares, a seleção de estrutura limita-se a ordem dos polinômios. Em modelos não-lineares é complicado def nir uma ordem signi-f cativa para a inclusão de termos candidatos no modelo, tendo em vista o elevado número determos existentes mesmo para valores relativamente de baixa ordem. Outro problema é def nirquais serão os cruzamentos de termos visto que tais informações não estão explícitas nos sis-

3

temas ou dados. Aguirre (2004), Aguirre; Billings (1995a) e Mendes; Biillings (2001) já co-comentam sobre as dif culdades na seleção de estruturas de modelos não-lineares.

Um outro problema na identif cação de modelos polinomiais é o fato de que o número de ter-mos candidatos cresce rapidamente com o aumento do grau de não-linearidade e dos máximosatrasos nos sinais de entrada e saída do modelo. Isso acarreta o aumento da complexidade domodelo tornando a busca por uma estrutura ideal1 uma tarefa ainda mais árdua.

Alguns métodos para seleção de estrutura foram propostos no decorrer dos estudos sobre a mo-delagem empírica. Em identif cação caixa-preta, por exemplo, alguns métodos que auxiliam naseleção de estrutura de modelos não lineares já estão difundidos na literatura dos quais podemser citados: critério de informação de Akaike (AKAIKE, 1974; AGUIRRE, 2004), agrupamentode termos (CORRÊA, 2001; AGUIRRE, 2004), a busca ortogonal, OS, ou busca ortogonal rá-pida, FOS (do inglês Orthogonal Search e Fast Orthogonal Search) com taxa de redução de erro,ERR (do inglês Error Reduction Ratio), (KORENBERG, 1985, 1989a,b; BILLINGS; CHEN;KORENBERG, 1989; CHEN; BILLINGS; LUO, 1989; PAARMANN; KORENBERG, 1992),a busca ótima de parâmetros com índice de projeção de distância, OPS (do inglês Optimal Pa-rameter Search) (LU; JU; CHON, 2001; ZOU; CHON, 2004) e o SRR (do inglêsSimulationError Reduction Ratio) (SPINELLI W., 2006; PIRODDI, 2008).

Ressalta-se que a taxa de redução de erro (ERR) ou a busca de parâmetros ótima (OPS), e oscritérios de informação como o critério de Akaike, são complementares entre si. Uma pos-sibilidade, por exemplo, seria o uso da ERR ou OPS para ordenar hierarquicamente os termoscandidatos do modelo. Portanto, tendo-se ordenado os termos, poder-se-ia empregar um critériode informação para efetuar o corte necessário para a escolha da ordem do modelo representa-tivo. Billings (1980) comenta sobre a dif culdade na busca de representações não lineares e aimpossibilidade de estabelecer apenas uma técnica capaz de fornecer soluções ef cazes em todosos casos. Zhang (2007) e Wei e Billings (2008) reforçam esta dificuldade.

Um sistema dinâmico pode ser analisado no domínio do tempo e/ou no domínio da frequência.Por esse motivo, a identif cação deve ser capaz de derivar modelos (lineares ou não-lineares) quedescrevam o comportamento do sistema original no domínio do tempo (equações diferenciaisou de diferenças) ou no domínio da frequência (resposta em frequência), ponto de interessedeste trabalho. Seria então possível que a partir de um conjunto de dados de entrada e saídaanalisados no domínio da frequência fornecesse informações para a identif cação de modeloslineares e não-lineares.

1Uma estrutura ideal para um modelo polinomial é aquela que represente o sistema dinâmico a ser modelado etenha a menor complexidade possível.

4 1 Introdução

O termo resposta em frequência signif ca a resposta em regime permanente de um sistema auma entrada senoidal. Nos métodos de resposta em frequência, varia-se a frequência do sinalde entrada dentro de um determinado intervalo e analisa-se a resposta em frequência resultante(OGATA; KOHN; BARROS MORAIS, 2003). Para sistemas lineares em qualquer uma de suasfaixas de operação, as frequências dos sinais de entrada são as mesmas frequências observadasnos sinais de saída havendo apenas variações em seus ganhos e/ou fases. O comportamentodos modelos lineares são como de f ltros que preservam as faixas de frequências de interesseatenuando aquelas que não explicam o sistema e também inserem ganhos em módulo e avançoou atraso de fase nos sinais.

Os sinais de interesse neste trabalho são discretizados, pois são obtidos por placas digitais quecoletam dados em determinados intervalos de tempo. Esse procedimento acarreta o surgimentode frequências inexistentes no espectro de frequência real dos dados de entrada e saída do sis-tema gerando o efeito conhecido como aliasing. Neste caso, o que se propõe é que quanto menoro tempo de amostragem, há maior proximidade do comportamento contínuo. Isso diminuiriaos efeitos da discretização do sinal na análise de resposta em frequência. No entanto, a super-amostragem pode provocar outros efeitos. Como exemplo, as altas frequências provocadas porruído passam a incorporar o espectro de frequência do sinal causando o mesmo efeito aliasing.

Um outro problema que se manifesta está relacionado à quantidade f nita de dados. As frequên-cias geradas pelo truncamento do sinal podem ser tão expressivas quanto aquelas que realmenteo compõem trazendo dif culdades na análise no domínio da frequência. Por isso, quanto maiora quantidade de dados, melhor seria a análise no domínio da frequência do sistema. Para isso,são implementados f ltros conhecidos como janelas que diminuem o efeito do truncamento dosinal.

A obtenção da resposta em frequência de sinais discretos é amplamente discutida em (HAYKIN;VAN VEEN, 2001) sendo realizada por exemplo, através de Transformações Discretas de Fou-rier (FFT do inglês Fast Fourier Transform). No caso das transformadas de Fourier, con-siderando um sinal como uma superposição ponderada de senóides complexas, aplicando-seesse sinal a um sistema linear, a saída do sistema será uma superposição ponderada das res-postas do sistema a cada senóide complexa. Porém, em sistemas não lineares o mesmo nãoocorre, podendo haver surgimento e/ou desaparecimento nas saídas de frequências aplicadasna excitação da entrada. Os sistemas não-lineares são conhecidos pela presença de harmôni-cos, inter-modulações complexas e até mesmo o caos, onde há transferência de energia entreas diferentes frequências fornecendo resultados no domínio da frequência bem diferentes dasfrequências de entrada (RUGH, 1981; LANG e outros, 2007; WU; LANG; BILLINGS, 2007;JING; LANG; BILLINGS, 2008).

5

As respostas em frequências de modelos não lineares podem ser obtidas através das Funçõesde Resposta em Frequência Generalizadas (GFRF - do inglês Generalized Frequency ResponseFunctions) que estendem o conceito de funções de resposta em frequência lineares a uma amplaclasse de sistemas não-lineares que possuem memória e podem ser descritos pelo modelo deséries de Volterra (VOLTERRA, 1930; BOYD; CHUA; DESOER, 1984).

No entanto, o que se deseja é obter o modelo matemático a partir do conjunto de dados deentrada e saída do sistema e com pouco ou nenhum outro conhecimento prévio. O que podeser feito com esses dados são as suas análises no domínio da frequência através da FFT. Talferramenta permite visualizar qual foi o conjunto de frequências existente nos dados de entrada,ou seja, aquelas frequências às quais o sistema foi submetido, e as frequências que compõemo sinal gerado em sua saída. Isso é de fundamental importância pois a partir dessa análise já épossível identif car possíveis não linearidades do sistema modelado. A partir de então pode serconsiderado que a análise da frequência da saída gerada por um determinado sistema não-linear,além das informações dos dados de entrada, possuem informações sobre o sistema em que seaplica tal entrada.

O método de análise de resposta em frequência de sistemas não-lineares baseados na teoria deséries de Volterra foi iniciada em na década de 1950 quando o conceito de GFRF de sistemas nãolineares foi apresentado. As GFRF’s foram def ninas como transformações multidimensionaisde Fourier dos kernels(do inglês Núcleos) de Volterra nas expansões de sistemas não-linearesnas séries de Volterra (LANG; BILLINGS, 2000).

Lang e outros (2007) realizaram um trabalho que procurava investigar as frequências de saídade sistemas não-lineares com o objetivo de contornar algumas dif culdades na análise e de-senvolvimento no domínio da frequência. Ainda propuseram uma metodologia para obter asrespostas em frequência de modelos polinomiais de equações de diferenças a partir dos termosdo modelo e de seus coeficientes. Wu; Lang; Billings (2007) comentam sobre o desenvolvi-mento de um algoritmo capaz de determinar as faixas de frequência de saída de sistemas não-lineares.

No entanto, poucos estudos baseados no domínio da frequência focaram-se na seleção de estru-turas de modelos polinomiais discretos. A grande maioria envolveu a determinação das GFRF’sa partir de modelos já obtidos e parametrizados.

6 1 Introdução

1.1 Motivação

A motivação para realização deste trabalho está no fato de que o processo de escolha de estru-tura para modelos polinomiais ainda encontra-se em aberto. Pouco tem sido discutido quantoa relação de análise de resposta em frequência de um sistema e os termos necessários parareproduzi-la utilizando um modelo polinomial discreto. Logo, neste trabalho são investigadasas possibilidades de seleção de termos e consequentemente seleção de estruturas, a partir análiseno domínio da frequência do conjunto de dados de entrada e saída do sistema.

1.2 Objetivos

Os objetivos deste trabalho são:

1. Investigar a relação entre a inclusão de combinações dos vários termos candidatos de ummodelo discreto de equações de diferenças NARX e as mudanças espectrais dos sinais desaída em relação às mudanças espectrais dos sinais de entrada;

2. Propor um procedimento de auxílio na escolha da estrutura (grau de não linearidade etermos candidatos) de um modelo de equações de diferenças que se baseie nas análisesdo domínio da frequência do conjunto de dados de entrada e saída;

3. Comprovar a ef ciência do método proposto através de testes em dois sistemas simuladose em dois sistemas reais.

1.3 Organização do texto

Esta dissertação está organizada em seis capítulos da seguinte forma:

Capítulo 2: Fundamentação teórica.Neste capítulo, a fundamentação teórica para a reali-zação deste trabalho é apresentada. A Identif cação de Sistemas é apresentada em cada umade suas etapas. Em seguida são mostradas as técnicas de análise de resposta em frequênciautilizadas na aplicação do método proposto.

Capítulo 3: Auxílio da seleção de estruturas a partir das respostas em frequências dosdados de entrada e saída.Neste capítulo, procedimentos de auxílio na seleção de estrutura demodelos de equações de diferenças a partir das respostas em frequência dos dados de entrada e

1.3 Organização do texto 7

saída são propostos e discutidos.

Capítulo 4: Estudo em sistemas simulados.Neste capítulo, os procedimentos apresentadosno capítulo 4 são aplicados à dois sistemas simulados. O primeiro sistema simulado apresentauma não linearidade mais branda. O segundo sistema simulado apresenta um grau de não line-aridade mais severa. São apresentados e discutidos os resultados para estes dois casos.

Capítulo 5: Estudo em sistemas reais.Este capítulo apresenta a aplicação do procedimentoproposto em dois sistemas reais. O primeiro composto de um forno de bancada. E o segundoum helicóptero didático de dois graus de liberdade. São apresentados e discutidos os resultadospara os dois casos.

Capítulo 6: Considerações finais. Este capítulo faz as considerações f nais a respeito dotrabalho realizado e apresenta sugestões para trabalhos futuros.

8 1 Introdução

Capítulo 2

Fundamentação Teórica

2.1 Introdução

Neste capítulo será apresentada uma breve fundamentação teórica que sustenta os estudos re-alizados neste trabalho. Num primeiro momento são apresentadas as técnicas de identif cação,suas etapas e métodos mais utilizados. Depois são apresentadas as técnicas de análise no domí-nio da frequência.

2.2 Identificação de sistemas

O comportamento de um sistema pode ser representado por diferentes tipos de modelos. A es-colha de um modelo para um determinado sistema depende tanto do foco de interesse de estudoquanto da aplicação deste modelo. Por exemplo, compreender certas dinâmicas do sistema sobdiversas condições de operação, por exemplo, em um sistema industrial dif cilmente seria pos-sível excitar uma planta em toda sua faixa de operação pois poderiam causar danos ao sistemaou até mesmo perdas materiais. Uma outra necessidade seria predizer o comportamento de umdeterminado sistema, tal como a prevenção de catástrofes naturais evitando perda de vidas. Ou-tras aplicações seriam: otimizar o comportamento do sistema, analisar e projetar controladores,permitir detecção ef ciente de falhas no sistema, estimar variáveis do processo que não podemser medidas diretamente, permitir o estudo do sistema em regiões de operação despendiosasou problemáticas no sistema real, permitindo um treinamento de operação seguro e ef ciente(MATKO; ZUPANCIC; KARBA, 1992).

10 2 Fundamentação Teórica

O comportamento de um sistema pode ser representado por diferentes tipos de modelos. Aescolha do tipo de modelo é inerente a característica a qual deseja-se que o modelo representeassim como o propósito ou o objetivo para o qual o modelo será desenvolvido. Gevers (2005)afirma que se o modelo é somente uma aproximação do sistema real, então a qualidade domodelo deve ser dependente da aplicação desejada.

Dentre esses modelos, os matemáticos permitem aplicações avançadas, sendo, por esse mo-tivo, os mais utilizados, seja na engenharia, biologia, medicina, economia ou em outras áreas(LJUNG, 1999).

A modelagem matemática constitui-se de duas vertentes principais. A primeira delas é a mode-lagem pela física do processo também conhecida como modelagem caixa branca. Modelagemesta que procura, através de relações físico-matemáticas, explicar o comportamento de um de-terminado sistema. Muitas vezes torna-se deveras complexa pois nem sempre em todo o com-portamento do sistema há relações físicas bem def nidas ou tempo suf ciente para desenvolverum modelo a partir de todas as equações que regem a física do processo. Devido a esta de-manda criada pela impossibilidade de modelar fenomenologicamente todos os sistemas, surgiuoutra vertente: A Identificação de Sistemas, ciência que procura explicar os fenômenos de umprocesso através apenas de observações, ou seja, a partir dos dados de entrada e saída por issoconhecida também como modelagem caixa-preta.

A identif cação de sistemas apresenta uma grande vantagem pela relativa facilidade de obtençãode modelos em virtude do pouco ou nenhum conhecimento prévio do sistema exigido. Adesvantagem até o momento se restringe ao número excessivo de parâmetros e a ausência designif cado físico dos modelos obtidos.

Neste capítulo é apresentada uma breve discussão referente as principais etapas da identif caçãode sistemas.

2.2.1 Etapas da Identificação

As principais etapas da Identif cação de Sistemas são:

• Testes dinâmicos e a coleta de dados;

• escolha de representação matemática a ser usada;

• determinação da estrutura do modelo;

• estimação dos parâmetros;

2.2 Identif cação de sistemas 11

• validação do modelo.

Nas próximas seções as etapas supracitadas serão abordadas de forma sucinta. Outros detalhes,aplicações, exemplos e discussões podem ser encontrados em (AGUIRRE, 2004).

2.2.1.1 Testes dinâmicos e a coleta de dados

Três aspectos precisam ser analisados: onde excitar o sistema, que tipos de sinais usar a f m deobter dados que sejam representativos dessa dinâmica e como amostrar tais dados.

O sinal de excitação apresenta duas importantes funções. A primeira delas é conseguir exci-tar todas as características dinâmicas e estáticas do sistema em toda a faixa de frequência deinteresse. A segunda está relacionada ao perf l de amplitudes desse sinal, que é responsávelpela excitação das não-linearidades presentes no sistema. Características dinâmicas e estáticasque não forem excitadas não aparecerão nos modelos. O que não estiver nos dados não seráidentif cado.

Na identif cação de sistemas não-lineares é comum usar um gerador de números aleatórios paragerar sinais de entrada persistentemente excitantes de ordem elevada. Tendo def nido o tempode amostragem, mantém-se constante cada valor escolhido aleatoriamente por um tempo emtorno de 3 a 5 intervalos de amostragem.

Uma etapa importante no processo de identif cação é a escolha do tempo ou período de amostra-gem, que corresponde ao intervalo entre duas amostras. Na prática, a frequência de amostragemé normalmente escolhida entre 5 e 10 vezes a maior frequência de interesse.

Dois problemas podem surgir no mal dimensionamento do tempo de amostragem. O primeirodeles refere-se a subamostragem, onde o tempo de amostragem é muito grande e causa malrepresentação da dinâmica real do sistema. O outro problema é o de super-amostragem, ondeo tempo de amostragem é muito pequeno, que como descrito por (BILLINGS; AGUIRRE,1995), um sinal super-amostrado, provoca instabilidade numérica e elevado esforço computa-cional devido ao mal condicionamento da matriz de regressores, dif cultando a determinação daestrutura do modelo. Quando um sinal é super-amostrado, pode-se decimá-lo a f m de que setorne devidamente amostrado.

2.2.1.2 Escolha da representação matemática

Grandes são as possibilidades de representações não-lineares na identif cação de sistemas. Aescolha do tipo de representação depende de fatores já discutidos na seção 2.1 dos quais pode seracrescentada a disponibilidades das ferramentas de implementação da representação escolhida.


Porém na prática as representações são selecionadas de acordo com a conveniência do mode-lador, a complexidade da aplicação ou a possibilidade de interligação com outros conceitos.

As representações não-lineares que mais se destacam, podem ser citadas, as redes neurais arti-f ciais (RNA), defendidas e melhor discutidas em (BRAGA; CARVALHO; LUDEMIR, 2000;AMARAL, 2001; HAYKIN, 2001). Tais representações são modelos matemáticos inspiradosno funcionamento do cérebro humano, formado por um conjunto de células chamadas neurôniosfazendo um paralelo ao grupo de unidades (neurônios) que em conjunto, formam um sistemainteligente capaz de representar um sistema (cérebro).

Uma outra representação matemática que pode ser citada é a série de Volterra (VOLTERRA,1930; BILLINGS, 1980). A utilização de uma série de Volterra permite caracterizar um pro-cesso não-linear de forma a se ter uma idéia do seu signif cado físico (RUGH, 1981).

Entre as representações não-lineares, pode-se destacar também os modelos de blocos inter-conectados (WIENER, 1958; WIGREN, 1993; PEARSON; POTTMANN, 2000; COELHO,2002), compostos por um modelo dinâmico linear em cascata com uma função estática não-linear. Quando a função estática precede o modelo dinâmico, tem-se o modelo de Hammer-stein. Por outro lado, quando o modelo dinâmico precede a função estática, tem-se o modelo deWiener.

Um outro tipo de representação não-linear são os modelos polinomiais e racionais (BILLINGS;CHEN, 1989a,b; BILLINGS; TAO, 1991; BILLINGS; ZHU, 1993, 1994; CORRÊA, 2001;CAMPOS, 2007).

Na área de identif cação de modelos não lineares, o modelo NARMAX polinomial (LEON-TARITIS; BILLINGS, 1985a,b). Tais modelos são extensões dos modelos NARX porém coma inclusão de termos de ruído para evitar polarização1 de parâmetros.

O modelo NARMAX polinomial é um modelo discreto que explica o valor de saída em funçãode valores prévios dos sinais de saída y(k), de entrada u(k) e de ruído e(k) e é representado daseguinte forma:

y(k) = F `[

y(k − 1), . . . ,y(k − ny),u(k − τd), . . . ,u(k − τd − nu + 1),

e(k − 1), . . . ,e(k − ne)]

+ e(k), (2.1)

1A polarização é o desvio entre o valor esperado de uma determinada variável aleatória (a variável estimada) euma variável determinística (o valor real), ainda que não seja conhecida.


sendo que e(k) indica os efeitos que não podem ser bem representados por F `[·], que é umafunção polinomial com grau de não-linearidade ` ∈ N. Os termos τd,ny,nu e ne representam,respectivamente, o atraso de transporte e os máximos atrasos em y, em u e em e.

A parte livre do ruído da equação (2.1) pode ser expandida como o somatório de termos comgraus de não-linearidade variando na faixa 1 ≤ m ≤ `. Assim, cada termo de grau m poderáconter um fator de grau p do tipo y(k − i) e um fator de grau (m − p) do tipo u(k − i) sendomultiplicado por um parâmetro representado por cp,m−p(n1, . . . ,nm). Matematicamente, tem-se(PEYTON-JONES; BILLINGS., 1989):

y(k) =∑

m=0

m∑

p=0

ny ,nu∑

n1,nm

cp,m−p(n1, . . . ,nm)

p∏

i=1

y(k − ni)

m∏

i=p+1

u(k − ni), (2.2)

sendo que

ny ,nu∑

n1,nm

≡

ny∑

n1=1

· · ·

nu∑

nm=1

. (2.3)

O limite superior será ny se o somatório se referir a fatores do tipo y(k − ni). Por outro lado,se o somatório se referir a fatores do tipo u(k − ni), tal limite será nu.

2.2.1.3 Seleção da Estrutura do Modelo

Parte crucial na Identif cação de Sistemas, a seleção de estrutura ainda é um problema. Váriastécnicas foram propostas a f m de selecionar os melhores regressores de modelos NARX/NAR-MAX embora ainda não se tenha uma solução que def na com ef ciência a melhor estrutura paracada caso identif cado.

Alguns casos de seleção de estrutura que obtiveram melhores desempenhos na Identif caçãode Sistemas não lineares foram propostos em (KORENBERG e outros, 1988; LEONTAR-ITS; BILLINGS, 1987; BILLINGS; CHEN; KORENBERG, 1989; AGUIRRE; BILLINGS,1995a; MAO; BILLINGS, 1997);(MENDES; BILLINGS, 2001; PIRODDI; SPINELLI, 2003;RODRÍGUEZ-VÁZQUEZ e outros, 2004; ZHANG; ZHU; LONGDEN, 2007; WEI; BILLINGS,2008).

Para modelos polinomiais a seleção de estrutura trata da def nição do grau de não-linearidade` e dos máximos atrasos em y, em u e em e. É importante salientar que quanto maior o graude não linearidade e os máximos atrasos, maior será a variedade de termos possíveis multipli-


cando a possibilidade de combinações e consequentemente de estruturas possíveis. Aguirre;Billings (1995b) chamam atenção para o fato que se o número de termos for maior que onúmero de termos necessários, ou seja, um modelo sobreparametrizado, pode acarretar insta-bilidade numérica na estimação dos parâmetros (seção 2.2.1.6), esforço computacional além donecessário e fazer com que o modelo represente dinâmicas não existentes no sistema represen-tado.

Um outro cuidado que o modelador deve ter é que na tentativa de melhor explicar os dadosde identif cação do sistema, os modelos tendem a se tornar excessivamente complexos. A uti-lização desses modelos na prática torna-se inviável, pois muito tempo e esforço computacionalserão necessários para implementar a estimação de parâmetros, simular o modelo e predizer ocomportamento do sistema.

Neste trabalho considerou-se que o critério ERR (do inglês error reduction ratio) foi usado paraordenar os termos candidatos do modelo por ordem de importância na explicação da dinâmicado sistema e tendo-se ordenado os termos, empregou-se o critério de informação de Akaikepara efetuar o corte necessário para a escolha da ordem do modelo representativo para com-paração com a técnica investigada. Tanto o critério de Akaike quanto o ERR serão brevementeexplanados nas seções 2.2.1.5 e 2.2.1.4

2.2.1.4 Critério ERR

O critério ERR baseia-se na redução do erro de predição, avalia a importância dos termos domodelo em função da sua habilidade de explicar a variância do sinal de saída.

A f m de def nir a taxa de redução de erro (ERR), será def nido o seguinte modelo NARMAXgeral:

y(k) = ψT(k − 1)θ + ξ(k)

=

nθ∑

i=1

θiψi(k − 1) + ξ(k), (2.4)

sendo que o termo nθ corresponde ao número de parâmetros.

Analogamente, um modelo representado em base ortogonal pode ser expresso por:


y(k) =

nθ∑

i=1

giwi(k − 1) + ξ(k), (2.5)

sendo que gi representa os parâmetros estimados e wi, os regressores ortogonais sobre os dados.Na ausência de regressores, ou seja, quando nθ = 0, o erro de predição corresponde ao própriosinal de saída y(k).

A taxa de redução de erro devido à inclusão do i-ésimo regressor no modelo é def nida como(CHEN; BILLINGS; LUO, 1989):

[ERR]i =g2

i 〈wi,wi〉

〈y,y〉, (2.6)

sendo que o ERR indica a porção da variância da saída explicada pela inclusão de um novotermo no modelo. Normalmente, a escolha dos termos candidatos ao modelo é feita con-siderando os regressores que apresentam os maiores valores de ERR.

2.2.1.5 Critério de Akaike

O método mais utilizado para estimar o número de termos que devem ser incluídos em modelosdinâmicos é o critério de informação de AKAIKE (1974). De acordo com o critério de Akaike,o número ótimo de termos em um modelo deve minimizar a seguinte função de custo:

AIC = N ln(V ar[ξ(k)]) + 2 nθ, (2.7)

sendo que N corresponde ao número de amostras, V ar[ξ(k)], à variância do resíduo e nθ, onúmero de parâmetros.

A função representada na equação (2.7) signif ca que à medida que os termos são incluídos nomodelo, o número de graus de liberdade aumenta permitindo um ajuste dos dados mais exato.Assim, V ar[ξ(k)] diminui à medida que nθ aumenta. A partir de um determinado momento, aredução na variância do resíduo devido à inclusão de um novo termo passa a ser insignif cantee, consequentemente, não justif ca mais a inclusão deste último termo. Neste ponto é efetuadoo corte.


2.2.1.6 Estimação de Parâmetros

Determinada a estrutura do modelo, deve-se estimar os parâmetros correspondentes a cada umde seus termos. Para isso, utiliza-se do conjunto de dados obtidos ou simulados separados paraesta fase do procedimento. Tais dados são comumente chamados de dados de identif cação.Uma outra parcela dos dados é separada para a realização da validação do modelo que serámelhor discutida na seção 2.2.1.7.

Representando a equação (2.1) na forma:

y(k) = ψT(k − 1)θ + ξ(k)

= y(k) + ξ(k), (2.8)

sendo que k indica o instante considerado, ψ(k − 1) corresponde ao vetor de regressores, quepode conter observações até o instante (k− 1), θ representa o vetor de parâmetros estimados2 eξ(k), o erro cometido pelo modelo ao tentar explicar y(k) como ψT(k − 1)θ.

Tomando a equação (2.8) ao longo do conjunto de dados e representando o conjunto de equaçõesresultante em forma matricial, tem-se:

y = Ψθ + ξ, (2.9)

sendo que Ψ representa a matriz de regressores e ξ representa o erro cometido pelo modelo aotentar explicar y(k).

Isolando-se ξ na equação (2.9) tem-se:

ξ = y − Ψθ. (2.10)

No estimador de mínimos quadrados, os parâmetros são estimados minimizando-se a seguintefunção de custo:

JMQ =

N∑

i=1

ξ(i)2 = ξTξ. (2.11)

2O símbolo ( ˆ ) sobre as variáveis faz referência a valores estimados.


Substituindo a equação (2.10) em (2.11), tem-se:

θMQ = (ΨTΨ)−1ΨTy. (2.12)

que é a expressão do estimador de mínimos quadrados (MQ).

Em algumas situações, o MQ torna-se polarizado, levando ao uso de soluções como o estimadorde mínimos quadrados estendido (MQE).

O MQE consiste em estender a matriz de regressores Ψ incluindo regressores de ruído para quea parte modelável do erro seja modelada tornando o ruído ξ branco. Este procedimento faz comque não haja correlação entre a matriz estendida de regressores e o resíduo. Para isso, o resíduoé utilizado como estimativa do ruído usado na formação da nova matriz de regressores.

2.2.1.7 Validação do modelo

Após a obtenção do modelo utilizando-se das quatro etapas anteriores, é necessário verif car seeste atende às expectativas do modelador. O modelo que atenderá as expectativas será aqueleque suprir a necessidade para a qual foi projetado e será usado. Como já foi dito, é impossívelque o modelo represente todas as dinâmicas do sistema. Porém um modelo será consideradoválido se incorporar as características do sistema que são fundamentais para a aplicação dese-jada.

Aguirre (2004) destaca que um cuidado básico é não usar os dados utilizados para obter omodelo na validação. A motivação para tal cuidado é que a validação procura saber a capacidadede generalização do modelo e não somente o ajuste aos dados usados na identif cação. Essacapacidade de generalização signif ca que o modelo realmente incorporou a dinâmica do sistemae não apenas ajustou aos dados.

Uma técnica muito utilizada para validação de modelos é a predição livre, conhecida tambémcomo predição de inf nitos passos à frente, no qual o modelo é simulado indef nidamente re-troalimentado com predições passadas. Porém, para iniciar o processo, são necessários dadosmedidos retirados da parcela separada para validação.

Para quantif car a qualidade de modelo e obter um parâmetro de comparação de desempenho oRMSE (do inglês Root Mean Squared Error) é largamente utilizado e é dado por:


RMSE =

√

∑N

k=1

(

y(k) − y(k))2

√

∑N

k=1

(

y(k) − y)2

, (2.13)

sendo que y(k) é a predição livre do sinal e y é o valor médio do sinal medido y(k). É importanteressaltar que quanto menor for o valor do RMSE, maior será a capacidade do modelo de seajustar aos dados. Se forem utilizados os dados de validação como exige a técnica, comprova-se que quão menor seja o índice RMSE, maior será a capacidade de generalização do modelo.

Até então, tratou-se da validação dinâmica, ou seja utilizando pares de dados de entrada e saídatranscorrentes no tempo. Porém, existe também a validação estática, ou seja, aquela que usaa relação entre os dados de entrada e saída sem a inf uência do estado de transição temporaltambém conhecido como estado estacionário. Corrêa (2001), Coelho (2002) e Campos (2007)utilizaram desta técnicas em seus trabalhos.

2.3 Transformada de Fourier

A quase totalidade dos fenômenos físicos de natureza periódica tem sua origem em ondas (sono-ras, elétricas, hidráulicas e mecânicas) que apresentam formas bem def nidas.

São quatro as representações de Fourier. Cada uma aplicável a uma classe diferente de sinais.Essas quatro classes são def nidas pelas propriedades de periodicidade de um sinal mostrandose ele é contínuo ou discreto (HAYKIN; VAN VEEN, 2001).

Os sinais periódicos podem ser representados como séries de Fourier FS (do inglês Fourier Se-ries). Essas séries aplicam-se a sinais periódicos no tempo contínuo. Também existem as sériesde Fourier de tempo discreto (DTFS do inglês Discrete Time Fourier Series) que se aplicam-sea sinais periódicos discretizados. Sinais não-periódicos contínuos são representados pela Trans-formada de Fourier, FT (do inglês Fourier Transform). E os sinais não-periódicos discretizadossão representados pela Transformada de Fourier de Tempo Discreto, DTFT (do inglês DiscreteTime Fourier Transform).

Considerando que os sinais utilizados neste trabalho são sinais discretizados e os sinais deinteresse são sinais não-periódicos, a discussão nesta seção se limitará às DTFT’s.

Na seção 2.3.1 será apresentada uma avaliação da base matemática para converter qualquer sinalnão-periódico nas suas componentes de frequência utilizando a sua DTFT. Posteriormente, naseção 2.3.2 serão apresentados os efeitos negativos da amostragem dos sinais e o que pode ser

2.3 Transformada de Fourier 19

feito para amenizá-los.

2.3.1 As Transformadas de Fourier no tempo discreto

Nesta discussão, empregar-se-á uma abordagem intuitiva procurando simplif car a demonstraçãoda DTFT. Partindo-se da DTFS, descreve-se um sinal não-periódico como o limite de um sinalperiódico cujo período, N , aproxima-se do inf nito. Supõe-se que o sinal não-periódico sejarepresentado por um período simples do sinal periódico que está centralizado na origem, e oque o limite, quando N se aproxima do inf nito, é tomado de maneira simétrica. Admitindoque x[n] seja um sinal periódico com período N = 2M + 1. Def ne-se, portanto, o sinal nãoperiódico de duração f nita x[n] como um período de x[n], como é mostrado por

x[n] =

x[n], −M ≤ n ≤M

0, |n| > M(2.14)

Procurando replicar o sinal não-periódico inf nitas vezes para longe da origem tanto pela direitacomo pela esquerda tem-se M → ∞ e desta forma pode-se expressar

x[n] = limM→∞

x[n]. (2.15)

Partindo da representação de DTFS do sinal periódico x[n] tem-se

x[n] =

M∑

k=−M

X[k]ejkΩ0n (2.16)

sendo Ω0 = 2π/N a frequência fundamental de x[n] que é o vetor de dados. A frequência dak-ésima senóide na superposição é kΩ0. X[k] é o peso aplicado à k-ésima senóide complexa eé dado por

X[k] =1

2M + 1

M∑

n=−M

x[n]e−jkΩ0n. (2.17)

Uma vez que x[n] = x[n] para −M ≤ n ≤ M , a equação (2.17) pode ser reescrita da seguinteforma:


X[k] =1

2M + 1

∞∑

n=−∞

x[n]e−jkΩ0n, (2.18)

partindo do fato que x[n] = 0 para |n| > M . Def ne-se agora uma função contínua de fre-quência X(ejΩ) cujas amostras em kΩ0 são iguais aos coef cientes da DTFS normalizados por2M + 1. Logo,

X(ejΩ) =∞

∑

n=−∞

x[n]e−jΩn, (2.19)

de forma que X[k] = X(ejkΩ0)/(2M + 1). Substituindo esta def nição de X[k] na equação(2.16) tem-se:

x[n] =1

2M + 1

M∑

k=−M

X(ejkΩ0)ejkΩ0n (2.20)

e usando a relação Ω0 = 2π/(2M + 1), escreve-se:

x[n] =1

2π

M∑

k=−M

X(ejkΩ0)ejkΩ0nΩ0. (2.21)

Considerando x[n] como o valor limite de x[n] quando M → ∞, avaliar-se-á o efeito deM → ∞ sobre a frequência fundamental Ω0. À medida que M se eleva, Ω0 decresce e osespaçamentos entre os harmônicos da DTFS diminui. Isso pode ser notado matematicamenteatravés da equação (2.19). Combinando a equação (2.15) com a equação (2.21) tem-se:

x[n] = limM→∞

1

2π

M∑

k=−M

X(ejkΩ0)ejkΩ0nΩ0. (2.22)

Aproximando a equação (2.23) pela regra retangular para uma integral e lembrando que Ω =

kΩ0, de forma que dΩ = Ω0, tem-se:

x[n] =1

2π

∫ π

−π

X(ejΩ)ejΩndΩ. (2.23)

2.3 Transformada de Fourier 21

Dessa forma x[n] é expresso como uma superposição ponderada de senóides de tempo discreto.Neste caso, a superposição é uma integral e a ponderação em cada senóide é 1

2πX(ejΩ)dΩ.

Logo, a representação por DTFT é expressa como:

x[n] =1

2π

∫ π

−πX(ejΩ)ejΩndΩ

X(ejΩ) =∑

∞

n=−∞ x[n]e−jΩn

(2.24)

Logo, pode-se dizer que X(ejΩ) e x[n] são um par de DTFT, descrito por:

x[n] DTF T←−−−−−−−→X(ejΩ),

ou seja, a transformada X(ejΩ) descreve o sinal x[n] como uma função de frequência senoidalΩ e é denominada representação no domínio da frequência de x[n]. A amostragem de um sinalno tempo gera no domínio da frequência réplicas deslocadas do espectro do sinal original.

Mais informações sobre a Transformada de Fourier de Tempo Discreto pode ser encontrada em(HAYKIN; VAN VEEN, 2001).

2.3.2 Efeitos da amostragem de sinais

2.3.2.1 Aliasing

A operação de amostragem gera um sinal de tempo discreto a partir de um sinal de um tempocontínuo, ou seja, representa-se matematicamente o sinal amostrado como o produto de um sinalcontínuo original por um trem de impulsos. Os efeitos da subamostragem e super-amostragemno processo de identif cação foram brevemente discutidos na seção 2.2.1.1. No entanto, quandoum sinal é amostrado, é necessário que possa se reconstruir o sinal original (contínuo) a partirdo sinal digitalizado. Isso garante que todas as características do sinal original inclusive suaTransformada de Fourier sejam preservadas.

Quando há subamostragem do sinal em estudo, pode-se haver um efeito chamado aliasing,que em português signif ca disfarce. Esse disfarce ocorre quando a DTFT deixa de ter umacorrespondência biunívoca com o sinal de tempo contínuo original. Isso signif ca que não épossível usar o espectro do sinal amostrado para analisar o sinal no tempo contínuo, e que nãose pode reconstruir de forma única o sinal de tempo contínuo a partir de suas amostras.


O aliasingdistorce o espectro do sinal original. Há uma superposição entre o espectro original esuas réplicas acarretando o fenômeno de um componente de alta frequência assumir a identidadede um de baixa frequência. Isto sugere que uma condição para a correspondência única entreo sinal de tempo contínuo e suas amostras é equivalente à condição para o impedimento doaliasing. Esta exigência é formalmente estabelecida da seguinte maneira:

Teorema 2.3.1 (Teorema da Amostragem)Admitindo-se quex(t) F T←−−−−−→X(jω) represente um

sinal de faixa limitada, de forma queX(jω) = 0 para |ω| > ωm, sendoω uma frequência qual-quer do sinal eωm a mais alta frequência do sinal. Seωs > 2ωm, em queωs = 2π/τ é afrequência de amostragem eτ , o tempo de amostragem, entãox(t) é determinado de maneiraúnica por suas amostrasx(nτ), comn = 0,± 1,± 2, . . . .

A frequência mínima de amostragem, 2ωm, é denominada taxa de amostragem de Nyquistoutaxa de Nyquist.

Isso leva a um relaxamento em escolher uma taxa de amostragem superior à taxa de Nyquist.Porém, embora o sinal no qual se tem interesse possa ter uma frequência máxima ωm, em geral,o sinal de tempo contínuo terá energia em frequências mais elevadas devido à presenta de ruídoou de outras características não ideais. Portanto, uma super-amostragem também pode provocaraliasingna DTFT de um sinal de interesse.

2.3.2.2 Janelamento do sinal

Em aplicações práticas envolvendo a amostragem de sinais pode-se obter somente uma gravaçãof nita do sinal. Isso resulta em uma forma de onda truncada que possui características espec-trais diferentes do sinal original. Tal descontinuidade produz a perda da informação espectraloriginal.

Uma maneira de aumentar as características espectrais de um sinal amostrado é a aplicaçãode janelas sobre o mesmo. Ao analisar uma sequência de dados f nita através da DTFT, ojanelamento minimiza as margens de transição em formas de onda truncadas, reduzindo dessaforma a perda espectral.

O janelamento de um sinal no domínio do tempo é equivalente um f ltro passa baixas. Resumi-damente, o que se faz é multiplicar o sinal f nito pela função que representa a janela. Devidoa multiplicação no domínio do tempo ser equivalente à convolução no domínio da frequência,o espectro de um sinal ajanelado é a convolução do espectro do sinal original com o espectroda janela. Dessa maneira, o janelamento modif ca a forma do sinal tanto no domínio do tempoquanto no da frequência.

2.4 Considerações Finais 23

Os principais tipos de janelas disponíveis são citados a seguir:

• Retangular : Aplicar uma janela retangular é equivalente a não utilizar qualquer janela.A janela retangular possui o maior volume de perda espectral. Possui o valor igual a 1sobre todo o seu intervalo de tempo.

• Hanning: Esta janela possui uma forma similar aquela de meio ciclo de uma forma deonda cossenoidal. Uma janela de tamanho N está def nida através da Equação :

w[n] = 0,5 − 0,5cos(2πn/N), para n = 0,1,2, . . . , N − 1 (2.25)

• Hamming: Essa janela é uma versão modif cada da janela de Hanning. Sua forma tam-bém é similar a de uma onda cossenoidal. Uma janela de tamanho N é def nida pelaEquação .

w[n] = 0,54 − 0,46cos(2πn/N), para n = 0,1,2, . . . , N − 1 (2.26)

Outras janelas também podem ser citadas tais como a janela de Kaiser-Bessel, Triangular, Flat-top, Exponencial, entre outras. A escolha correta da janela depende de um certo conhecimentoa priori do sinal em análise. Como em grande parte das vezes isso não é possível, deve-se ex-perimentar os diversos métodos de janelamento existentes e encontrar o que melhor se adapta aanálise em questão.

2.4 Considerações Finais

Neste capítulo foram discutidas as principais etapas da identif cação de sistemas. Métodos detratamento de dados, seleção de estruturas e estimação de parâmetros foram apresentados ediscutidos. Alguns trabalhos realizados utilizando tais técnicas foram citados. Mais detalhessobre identif cação de sistemas podem ser vistos em (AGUIRRE, 2004).

Também foram apresentadas a def nição e a forma de obtenção da Transformada de Fourier desinais discretos. Alguns problemas que podem deturpar a transforma também foram apresenta-dos e brevemente discutidos. Mais detalhes sobre essa discussão, conceitos e aplicações podemser encontrados em (HAYKIN; VAN VEEN, 2001).

Os métodos descritos nesse capítulo foram utilizados para identif cação de sistemas de dadosusados neste trabalho e para obtenção da resposta em frequência de sinais aplicados e fornecidospelos sistemas tratados.


No próximo capítulo será apresentada e discutida a metodologia proposta e utilizada neste tra-balho.

Capítulo 3

Seleção de estrutura através da análise deresposta em frequência

3.1 Introdução

No capítulo anterior foram discutidas as etapas de Identif cação de Sistemas e a Transformadade Fourier de sinais discretos.

Na seção 2.2.1.2 foi visto que as não linearidades de modelos NARX polinomiais são deter-minadas por produtos entre entradas, entre saídas ou por produtos entre entradas e saídas. Ostermosdos modelos são aqueles apresentados na equação (2.1). A escolha de estrutura destesmodelos consiste em determinar quais termos e agrupamentos farão parte do modelo, ou seja,farão parte de sua estrutura com o objetivo de representar os regimes dinâmicos descritos pelosdados.

É importante salientar que, se o número de termos do modelo for maior que o necessário, resul-tando em um modelo sobreparametrizado (modelo com um número excessivo de termos), seustermos redundantes, além de acarretarem grande tempo computacional e mal condicionamentonumérico, podem fazer com que o modelo apresente regimes dinâmicos espúrios (AGUIRRE;BILLINGS, 1995b; PIRODDI; SPINELLI, 2003) ou, até mesmo, torne-se instável. A escolhade termos apropriados é de fundamental importância para obtenção de um modelo compacto erobusto.

Alguns métodos tratados na literatura para seleção de estrutura foram apresentados na seção2.2.1.3. Entre as técnicas usadas foram destacados o ERR que ordena os termos candidatos de

26 3 Seleção de estrutura através da análise de resposta em frequência

acordo com a contribuição de cada um na explicação da dinâmica dos dados. Tendo ordenadoos termos ainda é necessário achar o ponto de corte. Uma primeira estimativa pode ser obtidaatravés do critério de informação de Akaike. Como essas duas técnicas estão bem estabele-cidas na literatura, serão chamadas de “métodos clássicos” daqui em diante para facilitar suareferência no texto.

Neste capítulo será apresentada uma metodologia de suporte à seleção de estrutura de modelosNARX polinomiais realizada a partir da análise no domínio da frequência de um sistema de umaentrada e uma saída (SISO - do inglês Single Input, Single Output). O modelo deve reproduziraproximadamente a resposta em frequência do sistema em sua saída. Portanto, realizou-se umestudo para saber como cada termo ou agrupamento deste colabora na reconstrução da respostaem frequência do modelo que compõe. A análise matemática deste estudo é demonstrada naseção 3.2.

3.2 Análise matemática da resposta em frequência de mode-los NARX polinomiais

O objetivo de se fazer a análise no domínio da frequência de um sistema é verif car como talsistema responde a um sinal senoidal de frequência única ω. Se for aplicado um sinal senoidalde frequência única e média zero em um modelo polinomial NARX, esse modelo produziráfrequências na saída que dependerão do conjunto de agrupamentos de termos que o compõem.

Nas próximas seções serão realizadas as análises matemáticas para os agrupamentos de termospuros de entrada, agrupamentos de termos cruzados e agrupamento de termos puros de saída.

Ressalta-se que neste trabalho priorizou-se pela análise de ganhos de cada uma das frequências.As análises de avanço e atraso de fase serão omitidas e sugeridas como assunto para trabalhosfuturos.

3.2.1 Agrupamento de termos puros de entrada

Considere um sinal de frequência única ω, média zero e ganho igual a um representado na formade Euler e apresentado na equação (3.1).

sen(kωT ) =1

2j(ejkωT − e−jkωT ), (3.1)

3.2 Análise matemática da resposta em frequência de modelos NARX polinomiais 27

sendo ω a frequência fundamental e T o período do sinal. Agora considere um modelo NARXpolinomial da equação (2.2) revisitado na equação (3.2).

y(k) =∑

m=0

m∑

p=0

ny ,nu∑

n1,nm

cp,m−p(n1, . . . ,nm)

p∏

i=1

y(k − ni)m∏

i=p+1

u(k − ni), (3.2)

Aplicando o sinal senoidal apresentado na equação (3.1) em um modelo NARX como o apre-sentado na equação (3.2) pode-se observar o surgimento de frequências diferentes da frequênciade excitação do modelo. Tanto as frequências surgidas quanto o número dessas frequências de-penderá de cada termo escolhido para a composição do modelo.

Tratando-se de agrupamento de termos puros de entrada dados por c0,m(n1, . . . ,nm)∏m

i=1 u(k−

ni) com p = 0, tem-se:

c0,m(n1, . . . ,nm)m∏

i=1

(1

2j(ej(k−ni)T − e−j(k−ni)T )). (3.3)

Sendo a equação (3.3) um termo puro de entrada de grau de não linearidadem, pode-se expandi-la utilizando o binômio de Newton, logo tem-se:

1

2j·

m∑

g=0

m!

g!(m− g)!(ejωT )m−g(−e−jωT )g. (3.4)

A equação (3.4) apresenta a expansão usando o binômio de Newton da equação (3.3) submetidaa um grau de não linearidade m. Essa equação mostra que dependendo de m um padrão defrequências surge na saída. A partir dela é possível def nir exatamente quais frequências surgemquando existe no modelo um agrupamento de termo puro de entrada. Os exemplos 3.2.1 a 3.2.4apresentarão o desenvolvimento da expansão para agrupamento de termos puros de entrada degraus de não linearidade ` variando de dois a cinco.

Para os exemplos a seguir considere o sinal de entrada apresentado na equação (3.1) na formade Euler.

Exemplo 3.2.1

Considere o termo θiu(k)2 de um modelo NARX qualquer.

Considerando o sinal aplicado como a entrada mostrada na equação (3.1) tem-se o desenvolvi-


mento:

u(k)2 = (1

2j(ejkωT − e−jkωT ))2

= (1

2j)2 · (ejkωT − e−jkωT )2

= −1

4· (e2jkωT + e−2jkωT − 2)

= −e2jkωT

4−e−2jkωT

4+

1

2(3.5)

Pela equação (3.5) pode-se notar que o agrupamento θiu(k)2 gera a frequencia zero e a frequên-

cia 2ω.

Exemplo 3.2.2

Agora considere o termo θiu(k)3 de um modelo NARX qualquer.

Considerando o sinal aplicado como a entrada mostrada na equação (3.1) tem-se o desenvolvi-mento:

u(k)3 = (1


= (1


= −1

8j· (−e−3jkωT − 3ejkωT + 3e−jkωT + e3jkωT )

=(e−3jkωT + 3ejkωT − 3e−jkωT − e3jkωT )

8j(3.6)

Pela equação (3.6) pode-se notar que o agrupamento θiu(k)3 gera a frequência ω e a frequência

3ω.

Exemplo 3.2.3

Agora considere o termo θiu(k)4 de um modelo NARX qualquer.

Considerando o sinal aplicado como a entrada mostrada na equação (3.1) tem-se o desenvolvi-


mento:

u(k)4 = (1


= (1

2j)4 · (ejkωT − e−jkωT ))4

=1

16· (6 − 4e2jkωT + e−4jkωT + e4jkωT − 4e−2jkωT )

=(6 − 4e2jkωT + e−4jkωT + e4jkωT − 4e−2jkωT )

16(3.7)

Pela equação (3.6) pode-se notar que o agrupamento θiu(k)4 gera a frequência zero, a frequência

2ω e a frequência 4ω.

Exemplo 3.2.4

Considere o termo θiu(k)5 de um modelo NARX qualquer.

Considerando o sinal aplicado como a entrada mostrada na equação (3.1) tem-se o desenvolvi-mento:

u(k)5 = (1


= (1


=1

32j· (−10e−jkωT + 10ejkωT − e−5jkωT − 5e3jkω + 5e−3jkωT + e5jkωT )

=(−10e−jkωT + 10ejkωT − e−5jkωT − 5e3jkωT + 5e−3jkωTT + e5jkωT )

32j(3.8)

Pela equação (3.6) pode-se notar que o agrupamento θiu(k)5 gera as frequências ω, 3ω e 5ω.

A partir dos desenvolvimentos dos exemplos 3.2.1 a 3.2.4 pôde ser visto que agrupamentosde termos puros de entrada de grau de não linearidade ` par não geram ω. Apenas geramfrequências múltiplas pares de ω. Os mesmos agrupamentos, porém de grau de não linearidade` ímpar geram a frequência ω e mais frequências múltiplas ímpares de ω.

Um exemplo gráf co será apresentado na Figura 3.1. Neste exemplo são apresentados as análises


no domínio da frequência fornecidas por cada agrupamento de termos puros de entrada demon-strados nos exemplos 3.2.1 a 3.2.4.

Exemplo 3.2.5

Considere os agrupamentos de termos puros de entrada apresentados nos exemplos 3.2.1 a 3.2.4.Aplicando-se um sinal de entrada senoidal de média zero amostrado a uma taxa de 62,8319rad/s de ganho um e frequência única de 1 rad/s, obteve-se a DTFT para cada um deles. Oscoef cientes de todos os termos representados foi def nido como um. As análises no domínio dafrequência para os exemplos são apresentadas na Figura 3.1.

Na Figura 3.1 (b), é apresentada a resposta em frequência de um termo linear de entrada. Pode-se observar que a frequência fornecida pelo termo é a mesma frequência aplicada na entradaapresentada na Figura 3.1 (a). O mesmo não se pode dizer das respostas em frequência ex-ibidas nas Figuras 3.1 (c) a (f). A Figura 3.1 (c) refere-se a uma resposta em frequência deum agrupamento de termos puro de entrada não-linear de grau de não linearidade ` igual a dois.Considerando que agrupamentos com ` par produzem as frequências kω sendo k = 2,4,6, . . . ,m

na saída e a frequência fundamental é de 1 rad/s, logo este agrupamento fornecerá a frequência2 rad/s.

A mesma regra é válida para o caso da Figura 3.1 (d) onde é apresentada a resposta em fre-quência de um agrupamento em que ` é igual a quatro. Neste caso surgem as duas frequências:zero, 2 rad/s e 4 rad/s. Tanto para o caso de ` é igual a dois e ` é igual a quatro, as saídas nãoreproduzem a frequência fundamental.

Para os casos representados pelas Figuras 3.1 (e) e (f) os agrupamentos de termos puros de en-trada não lineares apresentam grau de não linearidade ` ímpar. Na Figura 3.1 (e) é apresentada aresposta em frequência de um agrupamento de ` igual a três. Na Figura 3.1 (f), ` é igual a cinco.Como agrupamentos puros de entrada de não linearidade ` ímpar produzem as frequências kωsendo k = 1,3,5, . . . ,m na saída, serão produzidas pelo agrupamento representado na Figura3.1 (e) a frequência fundamental ω e a frequência 3ω, e para o agrupamento representado naFigura 3.1 (f), a frequência fundamental ω e as frequências 3ω e 5ω.

A partir da discussão e dos exemplos 3.2.1 a 3.2.5 pode-se generalizar: para agrupamentos determos puros de entrada de grau de não linearidade m:

• sendo m par, serão produzidas as frequências 2kω, sendo k = 0,1 . . . ,m/2, m ≥ 2 e;

• sendo m ímpar, serão produzidas as frequências 2(k+1)ω, sendo k = 0,1 . . . ,(m−1)/2,m ≥ 3.


(a) (b)

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Espectro de frequência da entrada (u)

Frequencia (rad/s)

|U(jω

)|

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Espectro de frequência da saída (y)

Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

(c) (d)

0 1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

0 1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

(e) (f)

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

0 1 2 3 4 5 60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 3.1: Análise no domínio da frequência de agrupamentos de termos de entrada submetidos a umsinal de frequência única. Em (a) a DTFT da entrada é apresentada e em (b) a DTFT dosinal fornecido por um termo linear de entrada. Em (c) e em (d) são apresentadas as análisesno domínio da frequência de sinais gerados por agrupamento de termos com graus de nãolinearidade pares sendo ` = 2 para (c) e ` = 4 para (d). Finalmente, em (e) e em (f) sãoapresentadas as análises no domínio da frequência de sinais gerados por agrupamento determos com graus de não linearidade ímpares sendo ` = 3 para (e) e ` = 5 para (f))


Portanto, foram def nidas quais as frequências que um agrupamento de termos puros de entradafornecem para a resposta do modelo quando submetidos a uma sinal de frequência única. Grausde não linearidade ` > 5 podem ser analisados expandindo-se a equação (3.4) comprovando ageneralização proposta.

3.2.2 Agrupamento de termos cruzados

Considerando o modelo NARX polinomial da equação (3.2), pode-se notar que agrupamento determos cruzados de entrada e saída também podem compor o modelo. Representado este tipode agrupamento como na equação (3.9), tem-se:

cp,m−p(n1, . . . ,nm)

p∏

i=1

y(k − ni)

m∏

i=p+1

u(k − ni) (3.9)

com p,m 6= 0.

Considere o exemplo 3.2.6.

Exemplo 3.2.6

Sendo a equação (3.10) parte de um modelo NARX polinomial de grau de não linearidade `igual a dois estimado e com parâmetros θ tem-se:

y(k) = θiu(k)y(k − 1) + θi+1u(k). (3.10)

Aplicando-se o mesmo sinal de entrada apresentado na equação (3.10) e considerando que y(k−1) = 0, tem-se:

y(k) = θi(1

2j(ejkωT − e−jkωT )) · 0 + θi+1(

1

2j(ejkωT − e−jkωT ))) (3.11)

no passo k, e:


y(k + 1) = θi(1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT )) · (θi(

1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT )) · 0 +

+θi+1(1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT )) +

+θi+1(1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT ))

= θi(1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT )) · (θi+1(

1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT ))) +

+θi+1(1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT ))

= θiθi+1(1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT ))(

1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT )) +

+θi+1(1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT ))

θiθi+1(−e2j(k+1)ωT

4−e−2j(k+1)ωT

4−

1

2) +

= +θi+1(1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT )) (3.12)

no passo k + 1, e

y(k + 2) = θi(1

2j(ej(k+2)ωT − e−j(k+2)ωT )) · (θiθi+1(−

e2j(k+2)ωT

4−e−2j(k+2)ωT

4−

1

2) +

+θi+1(1

2j(ej(k+2)ωT − e−j(k+2)ωT )) + θi+1(

1

2j(ej(k+2)ωT − e−j(k+2)ωT ))

= θ2i θi+1(

(e−3j(k+2)ωT + 3ej(k+2)ωT − 3e−j(k+2)ωT − e3j(k+2)ωT )

8j)

+θiθi+1(−e2j(k+2)ωT

4−e−2j(k+2)ωT

4−

1

2) +

+θi+1(1

2j(ej(k+2)ωT − e−j(k+2)ωT )) (3.13)

no passo k + 2.

Pode-se notar através dos desenvolvimentos apresentados nas equações (3.11) a (3.13), que acada iteração o modelo é realimentado por uma saída passada que já contém frequências in-


seridas pelo próprio modelo em passos anteriores. Isso faz com que o sinal gerado por umagrupamento de termos cruzados forneça à própria saída inf nitas frequências ressonantes dafrequência fundamental. Quanto maior o número de passos dados pelo modelo, mais frequên-cias surgirão na análise no domínio da frequência.

Exemplo 3.2.7

Neste exemplo é apresentado a análise no domínio da frequência de um agrupamento de termoscruzados. Aplicando-se um sinal de entrada senoidal de média zero amostrado a uma taxade 62,8319 rad/s de ganho um e frequência única de 1 rad/s, obteve-se a DTFT da saída. Ocoef ciente do agrupamento do exemplo é um. As análises no domínio da frequência para oexemplo 3.2.6 são apresentadas na Figura 3.2.

(a) (b)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


Frequencia (rad/s)

|U(jω

)|

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 3.2: Análise no domínio da em frequência de um modelo com agrupamentos de termos cruzadossubmetidos a um sinal de frequência única. Em (a) a DTFT da entrada é apresentada e em(b) a DTFT do sinal fornecido por um agrupamento de termos cruzados.

Pela Figura 3.2 é possível notar que aplicando uma frequência na entrada, várias outras fre-quências surgem na saída. Isso pode ser comprovado se o desenvolvimento das equações (3.11)a (3.13) for continuado.

Portanto, para agrupamento de termos cruzados de grau de não linearidade m, pode-se genera-lizar, a partir dos exemplos 3.2.6 e 3.2.7, que:

• qualquer que seja m, o número de frequências fornecido por um agrupamento de termoscruzados, aumenta à medida que as iterações com saídas passadas cresce. Logo, quandok → inf, são fornecidas inf nitas frequências na saída múltiplas de ω.


3.2.3 Agrupamento de termos puros de saída

Para agrupamento de termos puros de saída a reprodução de frequências na saída é semelhanteà reprodução de frequências para os agrupamentos de termos cruzados.

Considerando novamente o modelo NARX polinomial da equação (3.2). Representando o agru-pamento de termos puros de saída como na equação (3.9), tem-se:

cp,0(n1, . . . ,np)

p∏

i=1

y(k − ni) (3.14)

com p 6= 0.

O exemplo 3.2.8 apresentará o desenvolvimento de um modelo qualquer que contém um agru-pamento de termos puro de saída. O grau de não linearidade do termo do exemplo é dois maspode ser expandido para graus de não linearidade pares superiores. Para o exemplo 3.2.8 serãoconsiderados graus de não linearidades pares para os agrupamentos.

Exemplo 3.2.8

Sendo a equação (3.15) parte de um modelo NARX de grau de não linearidade par ` igual a doisestimado e com parâmetros θ tem-se:

y(k) = θiy(k − 1)2 + θi+1u(k). (3.15)


y(k) = θi · (0)2 + θi+1(1

2j(ejkωT − e−jkωT ))) (3.16)

no passo k, e:


y(k + 1) = θi(θi+1(1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT )))2 + θi+1(

1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT ))

= θiθ2i+1(−

e2j(k+1)ωT

4−e−2j(k+1)ωT

4−

1

2) + θi+1(

1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT ))

no passo k + 1, e:

y(k + 2) = θi(θiθ2i+1(−

e2j(k+2)ωT

4−e−2j(k+2)ωT

4−

1

2) + θi+1(

1

2j(ej(k+2)ωT − e−j(k+2)ω)))2

+θi+1(1

2j(ej(k+2)ωT − e−j(k+2)ωT ))

= θ3i θ

4i+1(

e−2j(k+2)ωT

4+e2j(k+2)ωT

4+e−4j(k+2)ωT

16+e4j(k+2)ωT

16+

3

8)) +

+2θ2i θ

3i+1(

e−j(k+2)ωT

4j−ej(k+2)ωT j

4+e−3j(k+2)ωT j

8+ej(k+2)ωT j

8−

−e−j(k+2)ωT

8j−e3j(k+2)ωT

8) + θiθ

2i+1(

1

2−e2j(k+2)ωT

4−e−2j(k+2)ωT

4) +

+θi+1(1

2j(ej(k+2)ωT − e−j(k+2)ωT )) (3.17)

no passo k + 2.

Nota-se que há o surgimento de todas as frequências ressonantes da frequência fundamental.Se houver continuidade no desenvolvimento para os passos posteriores, haverá o surgimentode inf nitas frequências quando um agrupamento de termos puro de saída com grau de nãolinearidade dois compor o modelo.

No exemplo 3.2.9 será demonstrado o agrupamento de termos puro de saída para grau de nãolinearidade ` = 2 ímpar igual a três. Tal processo pode ser estendido para qualquer grau de nãolinearidade ímpar para agrupamentos puros de saída.

Exemplo 3.2.9

Sendo a equação (3.18) parte de um modelo NARX de grau de não linearidade ` igual a doisestimado e com parâmetros θ tem-se:


y(k) = θiy(k − 1)3 + θi+1u(k). (3.18)


y(k) = θi · (0)3 + θi+1(1

2j(ejkωT − e−jkωT ))) (3.19)

no passo k, e:

y(k + 1) = θi(θi+1(1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT )))3) + θi+1(

1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT )))

= θiθ3i+1(−

1

8j· (−e−3j(k+1)ωT − 3ej(k+1)ωT + 3e−j(k+1)ωT + e3j(k+1)ωT ))

+θi+1(1

2j(ej(k+1)ωT − e−j(k+1)ωT ))) (3.20)

no passo k + 1, e:

y(k + 2) = θi(θiθ3i+1(−

1

8j· (−e−3j(k+2)ωT − 3ej(k+2)ωT + 3e−j(k+2)ωT + e3j(k+2)ωT ))

+θi+1(1

2j(ej(k+2)ωT − e−j(k+2)ωT ))))3 +

+θi+1(1

2j(ej(k+2)ωT − e−j(k+2)ωT )) (3.21)

no passo k+2. A expansão da parte da equação (3.21) elevada ao cubo gera uma outra equaçãocom muitos termos que pode ser expandida computacionalmente e será suprimida aqui. O que érelevante é que essa expansão gerará frequências múltiplas ímpares da frequência fundamental.

Exemplo 3.2.10

Neste exemplo é apresentado a análise no domínio da frequência de um agrupamento de termos


puros de saída. Aplicando-se um sinal de entrada senoidal de média zero amostrado a uma taxade 62,8319 rad/s de ganho um e frequência única de 1 rad/s, obteve-se a DTFT da saída. Ocoef ciente do agrupamento do exemplo é 0,1. As análises no domínio da frequência para oexemplo 3.2.6 são apresentadas na Figura 3.3.

(a) (b)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


Frequencia (rad/s)

|U(jω

)|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1Espectro de frequência da saída (y)

Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

(c) (d)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 3.3: Análise no domínio da frequência de um modelo com agrupamentos de termos cruzadossubmetidos a um sinal de frequência única. Em (a) a DTFT da entrada é apresentada. Em(b) a DTFT do sinal fornecido por um agrupamento de termos puro de saída com grau denão linearidade quatro. Em (c) a DTFT do sinal fornecido por um agrupamento de termospuro de saída com grau de não linearidade três. E em (d) a DTFT do sinal fornecido por umagrupamento de termos puro de saída com grau de não linearidade cinco.

Pela Figura 3.3 (b) é possível notar que aplicando uma frequência na entrada, várias outrasfrequências surgem na saída para um grau de não linearidade par igual a quatro em um agru-pamento de termos puro de saída. Desenvolvimentos e simulações com outros graus de não


linearidades pares comprovam este comportamento.

Na Figura 3.3 (c) e (d) pode-se notar que apenas frequências múltiplas ímpares da frequênciafundamental são geradas além da frequência fundamental. Tanto para o grau de não linearidadedo agrupamento igual a três como para o grau de não linearidade igual a cinco. Nestes casos oque diferencia o caso de grau de não linearidade três para o cinco é o ganho das frequências. Oaumento do grau de não linearidade ref ete num aumento do ganho das frequências ressonantesda frequências fundamental reproduzidas pelo agrupamento.

Portanto, para agrupamento de termos puros de saída de grau de não linearidade m, pode-segeneralizar, a partir dos exemplos 3.2.8, 3.2.9 e 3.2.10, que:

• para graus de não linearidade ` pares são geradas inf nitas frequências múltiplas da fre-quência fundamental e;

• para graus de não linearidade ` ímpar são geradas inf nitas frequências múltiplas ímparesda frequência fundamental.

3.2.4 Considerações sobre a análise matemática no domínio da frequência de modelosNARX polinomiais

Nos exemplos apresentados na seção anterior alguns modelos foram simulados para verif car aanálise da resposta em frequência para cada tipo de agrupamento de termos individualmente.Para que o modelo convergisse, apenas termos lineares de entrada foram adicionados além doagrupamento em estudo. Logo, não houve interferência nas frequências produzidas para cadaagrupamento.

Pôde ser visto que agrupamentos de termos não lineares puros de entrada submetidos a umsinal de entrada de frequência única têm em sua saída frequências bem def nidas. Pela análisematemática é possível notar que é simples também obter os ganhos e as defasagens.

No entanto, não se pode af rmar o mesmo para agrupamentos de termos cruzados. Pôde-secomprovar que a cada iteração esses agrupamentos fornecem uma nova frequência ao sinal desaída do modelo. Portanto, f ca difícil def nir quantas e quais frequências serão fornecidas porcada um destes agrupamentos.

Para agrupamentos de termos puros de saída foi visto que o número de frequências geradas nasaída não pode ser def nido. No entanto, pôde-se observar que esses agrupamentos com grau denão linearidade ímpar fornecem a frequência fundamental a suas frequências múltiplas ímparesressonantes.


É importante notar também que os ganhos de cada frequência dependem dos coef cientes queacompanham cada agrupamento. Agrupamentos diferentes podem fazer surgir as mesmas fre-quências na saída do modelo, logo os ganhos das frequências apresentadas é resultado de umasoma ponderada pelos coef cientes de cada termo que gera a mesma frequência.

Uma outra observação que deve ser feita é que os atrasos de cada termo do agrupamento nãointerferem em quais frequências surgem na saída devido à presença do agrupamento. Isso podeser comprovado pelos desenvolvimentos realizados nesta seção. A Tabela 3.1 apresenta a re-lação de termos e o surgimento de frequências.

Tabela 3.1: Resposta em frequência de agrupamentos de termos submetidos a um sinal de entrada defrequência única ωi.

Agrupamento Frequências de saídaΩu ωi

Ωy ωi

Ωum m par kωi sendo que k = 0,2,4,6, . . . ,m

Ωyp p par kωi sendo que k = 1,2,3, . . . ,∞

Ωum m ímpar kωi sendo que k = 1,3,5, . . . ,m

Ωyp p ímpar kωi sendo que k = 1,3,5, . . . ,∞

Ωumyp kωi sendo que k = 1,2,3, . . . ,∞

Conforme apresentado na Tabela 3.1 pode-se notar que def nir as frequências surgidas na saídapara cada agrupamento não é trivial. Apenas para os termos lineares e para os agrupamentos determos puros de entrada é possível chegar a um número def nido de frequências geradas.

Quando trata-se de ganho de cada uma dessas frequências surgidas, é necessário conhecer ocoef ciente que acompanha cada uma das fontes dessas frequências, no caso, cada um dos agru-pamentos.

Se um mesmo modelo contiver termos lineares, agrupamentos de termos puros de entrada comgrau de não linearidade ímpar, agrupamento de termos cruzados e agrupamento de termos purosde saída, todos esses irão contribuir para o ganho da frequência fundamental ωi. Quanto àsfrequências ressonantes, os agrupamentos de termos puros de entrada irão contribuir para asfrequências ímpares múltiplas de ωi e os demais agrupamentos para todas as outras. Se contiveragrupamentos de termos puros de entrada com grau de não linearidade par, este contribuirá paraos ganhos das frequências múltiplas de 2ωi.

Como um modelo deve aproximar a resposta em frequência do sistema modelado, a estimaçãode parâmetros deve ser realizada de forma a ponderar os ganhos das frequências geradas por

3.3 Metodologia aplicada 41

cada agrupamento e esta soma f nal aproximar ao máximo da frequência real de saída geradapelo sistema. O mesmo deve ser considerado para os avanços e/ou atrasos de fase.

Como se pode notar pelos desenvolvimentos realizados ao longo da seção 3.2.1, um modelo jáparametrizado, será capaz de fornecer apenas um padrão de resposta em frequência para cadafrequência individualmente aplicada na entrada. Logo, se for aplicado um sinal de frequênciaúnica na entrada de um modelo, este sempre fornecerá na saída o mesmo padrão de reposta emfrequência. A partir dessa informação é proposta a metodologia utilizada neste trabalho.

3.3 Metodologia aplicada

A metodologia aplicada neste trabalho baseia-se nos desenvolvimentos realizados na seção 3.2e serão considerados apenas o ganho das frequências surgidas nas saídas desconsiderando-seo avanço e/ou atraso de fase que possam ocorrer. Pode-se observar que um modelo NARXpolinomial tem o mesmo padrão de resposta em frequência quando é submetido a uma únicafrequência. Isso signif ca que o número de frequências ressonantes que surgirão na saída domodelo será sempre o mesmo para qualquer frequência que for aplicada individualmente. Issotambém vale para o ganho de cada uma dessas frequências desde que não se localizem em umaregião de atenuação.

Entretanto, um sistema pode f ltrar determinadas frequências. Se sua dinâmica for lenta, podenão haver resposta a sinais com componentes de frequências muito altas. Portanto, certasregiões de frequências de excitação podem não interferir na resposta do sistema. Algumas fre-quências podem ser atenuadas pelo próprio sistema e cabe ao modelo reproduzir esta atenuaçãoem sua saída.

Logo, um modelo NARX que represente bem um sistema, além de gerar as frequências resso-nantes na saída, precisa delimitar a sua região de frequências de interesse. Essa delimitação érealizada pelo conjunto de termos lineares que formam um tipo de filtro que funciona como umbloco funcional para suprimir frequências espúrias dos sistemas nos modelos.

3.3.1 Sugestão de grau de não linearidadea partir da análise no domínio da frequência

Um sistema que reproduza na saída, apenas a mesma frequência aplicada na entrada pode serrepresentado por um modelo de grau de não linearidade ` igual a um, ou seja, linear. Parasistemas que reproduzam na saída frequências ressonantes da frequência fundamental, pode-sefazer uma análise partindo da discussão realizada na seção 3.2.1 para agrupamentos de termos


puros de entrada.

Se um sistema apresenta a frequência fundamental mais uma frequência ressonante pode-sesugerir, por exemplo, que o grau de não linearidade seja dois e que se tenha termos de entradalineares que serão responsáveis pela reprodução da frequência fundamental. Caso o sistemaapresente duas frequências ressonantes pode-se sugerir um grau de não linearidade três e pelomenos um termo com grau de não linearidade dois. O termo com grau de não linearidade trêsfaz surgir na saída a frequência fundamental e sua primeira frequência múltipla ímpar. O termocom grau de não linearidade par faz surgir a frequência par múltipla da frequência fundamental.

Ainda no caso de haver duas frequências ressonantes, poderiam ser sugeridos agrupamentos determos puros de entrada de grau de não linearidade dois e agrupamentos de termos cruzados deentrada e saída visto que estes são capazes de gerar todas as frequências ressonantes. Adicionaragrupamentos de termos cruzados ao modelo pode também colaborar na representação de fre-quências ressonantes, podendo-se assim, reduzir a complexidade do modelo no que diz respeitoao grau de não linearidade. No entanto, pode-se fazer surgir frequências espúrias ao sistemarepresentado.

O grau de não linearidade do modelo pode partir da análise no domínio da frequência dos agru-pamentos de termos de entrada. Isso garantirá que todas as frequências dentro da região depotência espectral sejam representadas. Como foi visto na seção 3.2.1, os agrupamentos determos puros de entrada geram frequências que podem ser def nidas. Tomando as informaçõesda Tabela 3.1 e comparando com a análise no domínio da frequência do sistema, é possíveldeterminar o grau de não linearidade do agrupamento de termos puros de entradas que rep-resente todas as frequências apresentadas. Então toma-se este grau de não linearidade comomáximo garantindo-se a representação de todas as frequências da saída e limita-se o grau denão linearidade dos demais agrupamentos de termos a este máximo.

De acordo com a Tabela 3.1 pode-se notar que a simples presença de agrupamentos de termoscruzados contribui para o aparecimento de diversas frequências na saída quando o modelo ésubmetido a um sinal de entrada de frequência única. Logo, pode-se pressupor que um grau denão linearidade dois ou três em um modelo que contenha agrupamento de termos cruzados já épossível representar todas as frequências ressonantes. Embora isso possa acarretar o surgimentode frequências espúrias ao sistema modelado. Diante disso, uma boa representação já pode serobtida a partir de um grau de não linearidade dois ou três mesmo apresentando mais que duasfrequências ressonantes.

Porém, considerar o grau de não linearidade do sistema a partir dos agrupamentos de termospuros de entrada é mais conveniente, pois, pode-se determinar exatamente quantas e quais fre-


quências são inseridas na saída do modelo quando é inserido um agrupamento deste tipo.

De uma forma generalizada, pode-se adotar que a quantidade de frequências fundamental eressonantes de um sistema surgidas em sua região de potência espectral pode determinar o graude não linearidade de um modelo NARX polinomial que representará bem o sistema.

Uma vez que ωs = 2ωM , logo, ωM = 1/2ωs, ou seja, 50%. No entanto, as taxas de amostragemadotas foram levemente aumentadas neste trabalho. Portanto, considerou-se neste trabalho asfrequências ressonantes até o valor de 30% da frequência de amostragem. Logo, ` = nfr + 1

sendo nfr o número de frequências ressonantes até 30% da frequência de amostragem do sinal.

3.3.2 Seleção de estrutura a partir da resposta em frequência da saída do sistema

Um modelo que represente bem o sistema precisa reproduzir adequadamente a sua resposta emfrequência. No entanto, avaliar um sistema submetido a um sinal com diversas frequências naentrada é inviável matematicamente. Além disso, pode-se notar através dos desenvolvimentose discussões realizados nas seções 3.2.1 a 3.2.3 que um modelo polinomial NARX apresentarásempre os mesmos padrões de ganhos e provavelmente de avanço/atraso de fase para qualquerque seja a frequência aplicada individualmente em sua entrada. Considerando que um sinalde múltiplas frequências seja a soma de vários sinais de frequência única, logo a saída de ummodelo submetido a um sinal de múltiplas frequências será a soma no domínio da frequênciadas saídas obtidas correspondentes a cada sinal de frequência única.

Portando, optou-se por realizar o procedimento proposto neste trabalho aplicando-se um sinal deentrada de frequência única, observar a análise no domínio da frequência do sistema e compará-la ao domínio da frequência do modelo ao acrescentar cada termo. Logo, um dos pré-requisitospara o uso do método proposto é que o sistema a ser modelado permita aplicar um sinal defrequência única em sua entrada com uma frequência próxima a menor frequência de potênciaespectral do sistema e que excursione toda a faixa de entrada em amplitude.

Resumidamente, a metodologia proposta é a de realizar uma comparação entre as frequên-cias geradas pelo sistema em sua saída e escolher os agrupamentos de termos que devem estarpresentes no modelo a partir da resposta a um sinal de frequência única. O método oferecetermos ao modelo e verif ca se houve uma aproximação do domínio da frequência do modeloem relação ao do sistema. Neste trabalho, quando se refere ao modelo aproximar o domínio dafrequência do sistema, limita-se a análise do ganho de cada frequência.

A metodologia adotada para o desenvolvimento desse procedimento é sintetizada por etapas,apresentadas a seguir e logo em seguida serão discutidas cada uma das etapas:


1. Realize as coletas de dados do sistema para identif cação;

(a) Separe dados para identif cação e para validação;

2. Obtenha a razão entre análise no domínio da frequência para delimitar a região de potên-cia espectral do sistema;

3. Submeta o sistema a um sinal de frequência única entre 10 a 15 vezes menor que a maiorfrequência de potência espectral;

4. Obtenha a análise no domínio da frequência do sistema;

5. PARA - Determine o grau de não linearidade (`) conforme o número de frequênciasressonantes produzidas na análise no domínio da frequência do passo anterior até o limitede 30% da frequência de amostragem;

(a) Determine os máximos atrasos de entrada (nu) e de saída (ny) utilizando algummétodo presente na literatura;

(b) Hierarquize os agrupamentos de termos utilizando o ERR;

(c) Sugira o acréscimo ou retirada dos agrupamentos de termos conforme discutido naseção 3.2.4;

(d) Inicialize este laço com os termos lineares;

(e) ENQUANTO - ErroW (i+1)−ErroW (i)ErroW (i)

× 100 < 1% E ErroW (i+ 1) < ErroW (i)

i. Adicione o próximo agrupamento de termos mais importante segundo o ERR;ii. Realize a estimação de parâmetros;

iii. Simule o modelo submetido ao mesmo sinal de frequência única escolhido nopasso 3;

iv. Obtenha a análise no domínio da frequência do modelo submetido ao mesmosinal de frequência única escolhido no passo 3;

v. Separe as frequências fundamental e ressonantes até o limite de 30% da fre-quência de amostragem;

vi. Calcule ErroW usando a equação (3.22) para as frequências escolhidas nopasso anterior;

ErroW =

n+1∑

i=1

∣

∣

∣

Grfi−Gmfi

Grfi

∣

∣

∣

∑n+1j=1 Grfj

×Grfi

2

(3.22)


sendo Grf o ganho de cada frequência do sistema a ser modelado, Gmf oganho de cada frequência do modelo da saída submetidos ao sinal de entradadef nido no passo 3 e n o número de frequências consideradas.FIM ENQUANTO

(f) Simule o modelo de estrutura def nida no passo anterior;

6. Caso o desempenho do modelo não atenda;

(a) Adicione 1 ao grau de não linearidade;

(b) Volte ao passo 5a;

7. Valide o modelo obtido (Seção 2.2.1.7).

Apresentado o algoritmo que sintetiza o procedimento proposto neste trabalho, são necessáriosalguns comentários.

Ao realizar a coleta de dados, é necessário seguir o procedimento descrito neste trabalho naseção 2.2.1.1. É importante observar que o sinal aplicado na entrada tem que conter o máximode frequências possível e se aproximar de uma entrada branca. Isso permitirá que se delimitecom maior exatidão as frequências de interesse do sistema.

Para obter as razões entre os ganhos das frequências vistas na análise no domínio da frequênciaoptou-se por utilizar a medida expressa na equação:

GdB = 20log10

|fy(jω)|

|fu(jω)|(3.23)

sendo fy(jω) o vetor de frequências da saída gerada pelo modelo e fu(jω) é o vetor de frequên-cias da entrada aplicada ao modelo obtidos através da DTFT.

Seguindo para o próximo passo, para determinar os máximos atrasos dos sinais de entradae saída do modelo, é necessário seguir algum procedimento presente na literatura. Um bomexemplo é o método dos falsos vizinhos (FNN) onde os máximos atrasos são estimados direta-mente a partir dos dados (RHODES; MORARI, 1995a,b) ou as funções de correlação cruzada(FCC) de ordem elevada presentes em (BILLINGS; ZHU, 1994; AGUIRRE, 1997) e utilizadosneste trabalho.

A sugestão de termos do passo 5c pode ser feita seguindo as análises feitas na seção 3.2.4. Apartir do número de frequências ressonantes é possível determinar o grau de não linearidade departida para a representação segundo a discussão da seção 3.3.1.


As frequências que devem ser consideradas na saída tanto para a sugestão do grau de não linea-ridade quanto para comparação realizada no método são aquelas que estão na região de potênciaespectral do sistema. Porém, é necessário avaliar quais frequências realmente fazem parte dadinâmica do sistema e quais frequências surgem em função da amostragem e do janelamentodo sinal. Frequências que surgem após este limite provavelmente são espúrias à dinâmica dosistema. Além disso deve-se optar por uma frequência o mais próximo da menor frequênciade potência espectral possível. Isso permitirá a análise de todas as frequências ressonantes àfrequência aplicada pelo sinal de entrada.

Pelos desenvolvimentos realizados nas seções 3.2.1 a 3.2.3 e resumidos na Tabela 3.1 podemser sugeridas com maior exatidão apenas os agrupamentos de termos puros de entrada.

Pode-se também, ao invés de adotar o procedimento proposto como ferramenta principal naseleção de estrutura, utilizá-lo como ferramenta auxiliar a outros métodos onde estruturas commenores números de termos já foram escolhidas cabendo ao método realizar o corte de termosmenos relevantes.

Uma boa prática nesse caso, seria utilizar o método como auxílio aos critérios ERR e Akaike.Utilizando esses critérios antes da aplicação da ferramenta proposta o método avalia se hárelevância de todos os termos incluídos nas estruturas pelos métodos clássicos. Portanto, se-ria uma opção ao método acrescentar o seguinte passo antes do passo 5c:

• Utilize o critério de corte de Akaike.

Portanto, o método iria buscar por estruturas mais compactas do que aquelas oferecidas pelaaplicação do critério ERR em conjunto com o critério de corte de Akaike.

A estimação de parâmetros do passo 5(e)ii pode ser feita utilizando o MQ ou MQE discutidosna seção 2.2.1.6.

É importante apontar agrupamentos de termos importantes na explicação da dinâmica do sis-tema modelado porque diminuirá a variedade de estruturas avaliadas no passo 5e diminuindo otempo de processamento computacional.

O modelo agora com os parâmetros estimados precisa reproduzir o mesmo domínio da frequên-cia que o sistema submetido ao mesmo sinal de entrada. Para isso, a análise no domínio dafrequência é obtido utilizando a DTFT. Neste caso comparar-se-á apenas o ganho de cada umadas frequências de interesse. Foi preciso então calcular o erro entre os ganhos das frequênciasdo modelo e do sistema. Para isso foi criado um índice de erro entre os ganhos das frequênciasdo modelo e do sistema chamado ErroW . A equação (3.22) apresenta o cálculo deste índice.

3.4 Comentários Finais 47

O cálculo de ErroW trata-se de uma soma ponderada do erro de todas as frequências emrelação às frequências geradas pelo sistema elevadas ao quadrado. O cálculo realizado nessaforma reforça a importância de representar prioritariamente as frequências de maior ganho esecundariamente as frequências de menor ganho. Isso porque as frequências de maiores ganhostem maior participação na composição do sinal e consequentemente terão maior participaçãona análise no domínio da frequência do sistema, enquanto às de menor ganho possuem menorexpressividade.

Logo, como a resposta em frequência diz respeito a dinâmica do sistema a ser modelado, issogarante que o modelo obtido não seja apenas um ajuste aos dados de identif cação, mas, queesteja incorporando a dinâmica presente no conjunto de dados.

3.4 Comentários Finais

Neste capítulo foi apresentada e discutida a metodologia desenvolvida e utilizada neste trabalho.Foi discutido que o método apresentado pode tanto servir de método único de seleção de es-trutura como servir de uma ferramenta de auxílio a métodos clássicos presentes na literaturaentre os quais pode-se citar o critério de ordenação ERR e o critério de informação de Akaike.A grande vantagem de utilizar os métodos em conjunto seria diminuir o tempo de processa-mento e de convergência do algoritmo devido a grande redução do conjunto de agrupamentospossíveis.

Nos dois próximos capítulos será apresentada a aplicação do método proposto em sistemas si-mulados e em sistemas reais. Serão avaliados o desempenho e a robustez do método submetidoà diferentes aplicações.

Capítulo 4

Estudo de casos simulados

4.1 Introdução

Neste capítulo a metodologia proposta neste trabalho é aplicada em dois sistemas simulados.O primeiro é um sistema visto em (HABER; UNBEHAUEN, 1990). Este sistema foi esco-lhido principalmente por ser frequentemente utilizado na literatura para realização de identi-f cação. Isso permite que sejam comparados desempenhos de modelos obtidos anteriormentecom representações apontadas pelo método. Uma outra vantagem é poder obter sistemas comnão linearidades pré-estabelecidas variando um parâmetro do modelo.

O segundo sistema trata-se da simulação de uma planta de neutralização de pH. Seu uso nestetrabalho deve-se principalmente à sua característica não linear severa. Isso garante que o métodoutilizado possa ser submetidos à casos extremos onde a identif cação nem sempre funciona uti-lizando ferramentas existentes na literatura. Casos recentes na literatura como em (CORRÊA,2001; CAMPOS, 2007) apresentam estruturas de grande complexidade para uma representa-ção satisfatória desse sistema. A metodologia aplicada fará uma busca por uma estrutura maiscompacta e que mesmo assim represente bem a dinâmica da planta de pH simulada.

4.2 Sistema simulado 1 - CTV

O sistema simulado 1 é um sistema de primeira ordem apresentado em (HABER; UNBE-HAUEN, 1990):

50 4 Estudo de casos simulados

[1 + αu(t)]dy

dt+ y(t) − u(t) = 0 (4.1)

ou seja, trata-se de um sistema cujo ganho é constante e a constante de tempo varia com o pontode operação na seguinte forma τ(u) = 1 + αu(t). A equação (4.1) foi simulada com α = 5,gerando conjuntos de dados distintos para identif cação e para validação assim como feito em(CORRÊA; AGUIRRE, 2004). Não foi adicionado ruído para este caso.

Para a identif cação realizada no procedimento, foi usado um sinal com a entrada de amplitudealeatória, excursionando o sistema em toda a sua faixa de operação com duração de cada pata-mar também aleatório. O tempo de amostragem usado foi de Ts = 0,1 s e a massa de dadostotal possui 15000 observações.

Esse sistema foi simulado utilizando o Simulinkr em formato de diagrama de blocos utilizandoa equação (4.1). A simulação é baseada no algoritmo de Dormand-Prince chamado no programade ode45.m. A Figura 4.1 apresenta o diagrama de blocos da representação.

Figura 4.1: Sistema simulado 1 em representação por blocos.

Os dados gerados pela simulação podem ser visualizados nas Figuras 4.2 e 4.3, respectivamente.Procurou-se excitar o sistema em toda a faixa de frequência onde o sistema tem potência espec-tral com o objetivo de excitar toda sua dinâmica.

4.2 Sistema simulado 1 - CTV 51

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

Dados de identificação: entrada vs. tempo

tempo(s)

p.u.

0 100 200 300 400 500 600 700

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Dados de identificação: saída vs. tempo

tempo(s)

p.u.

Figura 4.2: Dados gerados pela simulação do sistema 1 para identif cação. Em (a), os dados de entradasão apresentados e em (b) os dados de saída.

800 900 1000 1100 1200 1300 1400

1

2

3

4

Dados de validação: entrada vs. tempo

tempo(s)

p.u.

800 900 1000 1100 1200 1300 1400

0.5

1

1.5

2

2.5

3


tempo(s)

p.u.

Figura 4.3: Dados gerados pela simulação do sistema 1 para validação. Em (a), os dados de entrada sãoapresentados e em (b) os dados de saída.

É interessante notar que os vetores de dados de identif cação e de validação possuem tamanhosiguais. Neste primeiro caso o sistema foi simulado, portanto, poderiam ser gerados quantos


dados fossem necessários, não havendo a obrigatoriedade de critérios de divisão entre dadosidentif cação e de validação. No entanto todos os critérios apreciados na seção 2.2.1.1 foramobservados. A frequência de amostragem utilizada na coleta foi de 62,83 rad/s.

Na Figura 4.4 a resposta em frequência do sistema, obtido de forma experimental, sendo omódulo da razão entre a DTFT dos sinais de saída e entrada é apresentado.

10−2

10−1

100

101

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

Espectro de frequência do sistema simulado 1: CTV

Frequencia (rad/s)

Gan

ho (

dB)

Figura 4.4: Ganho das frequências do sistema simulado 1 em dB. A linha reforça o comportamento doganho no domínio da frequências dos dados.

Pela Figura 4.4 pode-se observar que o comportamento do sistema simulado 1 é semelhante ade um f ltro passa baixas e que, a frequência de corte desse f ltro considerando um ganho decorte de -3dB, localiza-se entre 0,1 e 0,2 rad/s. Os pontos após esta faixa de frequência quepossuem ganhos que diferem do comportamento do sistema são causados pelo janelamento dosdados. Foi utilizado a janela de Hammimg para diminuição desse efeito. A linha escura enfatizaa relação entre os ganhos de entrada e saída do sistema simulado 1.

Diante das informações apresentadas nesta seção, pode-se partir para a obtenção da estruturaseguindo a metodologia proposta.


4.2.1 Obtenção de estrutura de modelo polinomial NARX para o sistema simulado 1utilizando o método clássico e a sugestão de grau de não linearidade proposta

Como já comentado, a frequência de corte do sistema simulado 1 encontra-se entre 0,1 e 0,2rad/s. Logo foi escolhida a frequência 0,02 rad/s para excitar o sistema e verif car quantas equais são as frequências ressonantes.

A Figura 4.5 (a) apresenta parte do sinal gerado com frequência única de 0,02 rad/s com média2,5 p.u. e amplitude máxima de 4,8 aplicado ao sistema simulado 1. A Figura 4.5 (b) apresentaparte da resposta do sistema ao sinal aplicado.

0 100 200 300 400 500 600

1

2

3

4

(a) Parte dos dados de entrada para o sistema 1: CTV vs. tempo na frequência de 0,02 rad/s

tempo(s)

p.u.

0 100 200 300 400 500 600

1

2

3

4

(b) Parte dos dados do sistema 1: CTV saída vs. tempo submetido a uma frequência de 0,02 rad/s

tempo(s)

p.u.

Figura 4.5: Parte dos dados para o sistema 1 excitado a uma frequência de 0,02 rad/s. Em (a), os dadosde entrada são apresentados e em (b) os dados de saída.

A detecção visual de não linearidades a partir da análise dos sinais de entrada e saída é difícildevido à semelhança deste conjunto de dados verif cado nas Figuras 4.5 (a) e (b) para entradae saída, respectivamente. Porém, o sinal parece ter sofrido uma pequena alteração na saída.Como pode ser observado, houve uma mudança nos tempos de pico superior do sinal próximoa 100 e a 400 segundos da saída em relação à entrada. Para uma análise mais criteriosa sãorealizadas as DTFT’s tanto para o sinal de entrada quanto para o sinal de saída.

As Figuras 4.6 (a) e (b) apresentam a análise no domínio da frequência do sistema simulado 1submetido a uma entrada de 0,02 rad/s. A análise no domínio da frequência foi obtida através


da aplicação da DTFT tanto nos dados de entrada quanto nos dados de saída.

(a) (b)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.5

1

1.5

2

Espectro de frequência da entrada do sistema 1 submetido a uma frequência de 0,02 rad/s

Frequencia (rad/s)

|U(jω

)|

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.5

1

1.5

2

Espectro de frequência da saída do sistema 1 submetido a uma frequência de 0,02 rad/s

Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 4.6: DTFT dos dados do sistema simulado 1 excitado a uma frequência de 0,02 rad/s. A DTFT dosinal de entrada está representados em (a). A DTFT dos dados de saída estão representadosem (b). O eixo horizontal foi cortado na frequência 0,25 rad/s para uma melhor visualização.

Nas Figuras 4.6 pode-se verif car a existência de apenas uma frequência no sinal de entradae o surgimento de uma frequência ressonante no sinal de saída. A Tabela 4.1 apresenta asfrequências surgidas na saída e os seus ganhos em módulo.

Tabela 4.1: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do sistema simulado 1.

Frequência (rad/s) Ganho (módulo)0,02 2,39110,04 0,1845

Analisando a Figura 4.6 (b) e confrontando com os dados da Tabela 4.1 observa-se o surgimentode uma outra frequência aparente além da frequência de excitação. A primeira é a frequênciafundamental, resposta direta à entrada e principal componente da saída. Sugere-se então queesta é a frequência que deve ser melhor representada pelo modelo. A única frequência resso-nante do modelo é a de valor 0,04 rad/s. Esta frequência tem papel fundamental na dinâmica dosistema 1 porque surge dentro de sua faixa de operação e dentro do limite de 30% da frequênciade amostragem.

Diante disso e da discussão feita na seção 3.3.1 sugere-se que o uso de um modelo polinomial degrau de não-linearidade dois seria suf ciente para representação do sistema simulado 1. Graus de


não linearidade maiores que este poderiam inserir frequências espúrias do sistema no modelo.

Os agrupamentos de termos que podem ser sugeridos para a estrutura do modelo, analisandopela resposta em frequência, são: os termos lineares, capazes de reproduzir a frequência funda-mental dos dados da saída e em conjunto representar o comportamento de f ltro passa-baixas dosistema; o agrupamento de termos cruzados de grau de não linearidade par. Estes últimos agru-pamentos colaboram para a representação da frequência ressonante múltipla par da frequênciafundamental; e um agrupamento de termo puro de entrada de grau de não linearidade 2. Estecolabora para a reprodução da segunda frequência ressonante exibida pelo sistema.

Os máximos atrasos na entrada e saída foram determinados utilizando o FCC.

O modelo obtido pelo método clássico da literatura é apresentado na equação (4.2).

y(k) = 1,6680y(k − 1) − 0,6795y(k − 2) + 0,0119u(k − 1) − 0,0008u(k − 1)2

+0,3294u(k − 1)y(k − 2) − 0,3287u(k − 1)y(k − 1) − 0,0005u(k − 2)

+6,42 × 10−5u(k − 2)2 − 2,08 × 10−5u(k − 2)u(k − 1) − 1,3343y(k − 1)2

−1,3154y(k − 2)2 + 2,6499y(k − 2)y(k − 1) − 0,0005 (4.2)

O modelo da equação (4.2) apresentou 13 termos em sua estrutura ordenados do mais relevantepara o menos relevante na explicação da dinâmica do sistema. O RMSE foi de 0,1290. Apredição livre e a análise no domínio da frequência do modelo são apresentadas nas Figuras 4.7(a) e (b) respectivamente.


(a) (b)

700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 15000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Dados de validação: saída

tempo(s)

p.u.

DadosModelo (4.2)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 4.7: Predição livre e análise no domínio da frequência do modelo obtido pelo método clássicopara o sistema simulado 1. A predição livre está ilustrada em (a). A análise no domínio dafrequência em (b).

Na Figura 4.7 pode-se observar que a análise no domínio da frequência obtida pelo modeloapresentam as frequências fundamental e outras duas ressonantes. Os valores das frequênciasressonantes para este caso são apresentados na Tabela 4.2.

Tabela 4.2: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída modelo obtido pelo método clássico parao sistema simulado 1.

Frequência (rad/s) Ganho (módulo)0,02 2,0760,04 0,22480,06 0,0045

Pela Tabela 4.2 é possível observar que as frequências apresentadas pela predição livre do sis-tema submetido ao sinal de frequência única de 0,02 rad/s são as mesmas apresentadas pelo mo-delo exceto a segunda frequência ressonante. A frequência 0,06 rad/s apresentada pelo modelonão corresponde ao conjunto de frequências ressonantes apresentadas pelo sistema. Portanto, osurgimento desta frequência pode representar uma dinâmica espúria afetando o desempenho domodelo. O ErroW calculado foi de 0,1233.

Diante disso, procurou-se aplicar o método proposto para verif car a possibilidade de melhoraro desempenho do modelo e ainda avaliar a necessidade de cada termo e agrupamento de termosapresentado na estrutura fornecida pelo método clássico.


4.2.2 Obtenção de estrutura de modelo polinomial NARX para o sistema simulado 1utilizando a resposta em frequência

Nesta seção será implementada a metodologia proposta no capítulo 3 com o objetivo de melho-rar a representação apresentada pelo método clássico.

Analisando os termos apresentados pelo modelo da equação (4.2) em relação à resposta emfrequência, é possível detectar agrupamentos que contribuem de forma semelhante para a res-posta em frequência do modelo. Um exemplo disso, seria a contribuição para o surgimento daprimeira ressonante apresentada pelo sistema. De acordo com a Tabela 3.1 os agrupamentos determos puros de entrada com grau de não linearidade par, os agrupamentos de termos puros desaída de grau de não linearidade par e os agrupamentos de termos cruzados contribuem para osurgimento desta segunda frequência ressonante no modelo.

Portanto, alguns desses termos poderiam ser descartados do modelo fornecido pelo métodoclássico por representarem a mesma contribuição na resposta em frequência do sistema. Con-siderando a ordem de importância apresentada pelo critério ERR os termos e agrupamentos quedevem ser considerados são: y(k − 1), y(k − 2), u(k − 1) para representação da dinâmicaprincipal do modelo como um f ltro passa-baixas e representação da frequência fundamental.E também, o termo u(k − 1)2, responsável pela representação da frequência ressonante apre-sentada pelo sistema. Com esta estrutura, estima-se novamente os parâmetros e obtém-se oseguinte modelo:

y(k) = 1,8075y(k − 1) − 0,8099y(k − 2) + 0,0027u(k − 1) − 0,0003u(k − 1)2 (4.3)

A Figura 4.8 apresenta em (a) a predição livre do modelo obtido e em (b) a análise no domínioda frequência. O RMSE foi de 0,9904.


(a) (b)

700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 15000

0.5

1

1.5

2

2.5

3


tempo(s)

p.u.

DadosModelo (4.3)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 4.8: Predição livre e análise no domínio da frequência do primeiro modelo obtido para o sistemasimulado 1. A predição livre está representados em (a). A análise no domínio da frequênciaem (b).

A Tabela 4.3 apresenta os valores dos ganhos das frequências fornecidas pelo modelo apresen-tado pelo método no passo 1.

Tabela 4.3: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída modelo obtido pelo primeiro passo dométodo proposto para o sistema simulado 1.

Frequência (rad/s) Ganho (módulo)0,02 1,15520,04 0,3322

Pode-se observar através da Figura 4.8 e pelo índice RMSE que o desempenho do modelo foiinferior ao do modelo obtido pelo método clássico. Na Tabela 4.3 nota-se que os ganhos de cadafrequência fornecida pelo modelo têm valores bem diferentes daqueles obtidos pelo sistemaapresentados na Tabela 4.1. O ErroW calculado foi de 0,4833 bem maior que o ErroW

apresentado pelo modelo apresentado na equação (4.2).

Diante do pior desempenho do modelo da equação (4.3) comparado ao modelo obtido pelométodo clássico, sugere-se acrescentar mais um termo que possa colaborar nos ganhos dasfrequências fundamental e ressonante exibidas na saída do modelo. Seguindo a ordenação re-alizada pelo critério ERR, adiciona-se o termo u(k − 1)y(k − 2) porque este termo tambémpossui contribuição para a frequência ressonante apresentada pelo sistema. Depois estima-senovamente os parâmetros e realiza-se uma nova predição livre. O modelo obtido é apresentado


na equação (4.4).

y(k) = 1,6923y(k − 1) − 0,6995y(k − 2) + 0,0064u(k − 1) − 0,0012u(k − 1)2

+0,0014u(k − 1)y(k − 2) (4.4)

A Figura 4.9 apresenta em (a) a predição livre do modelo obtido e em (b) a análise no domínioda frequência . O RMSE foi de 0,3690.

(a) (b)

700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 15000

0.5

1

1.5

2

2.5

3


tempo(s)

p.u.

DadosModelo (4.4)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.5

1

1.5

2


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 4.9: Predição livre e e análise no domínio da frequência do segundo modelo obtido para o sistemasimulado 1. A predição livre está representados em (a). A análise no domínio da frequênciaem (b).


Tabela 4.4: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída modelo obtido pelo segundo passo dométodo proposto para o sistema simulado 1.

Frequência (rad/s) Ganho (módulo)0,02 2,2050,04 0,28560,06 0,1190,08 0,04821


Pode-se notar pelas informações da Figura 4.1 (b) e da Tabela 4.4 que pelo efeito da adiçãode um termo cruzado ao modelo surgem outras frequências na saída fornecida pelo modelo.Embora isso tenha ocorrido, o modelo teve seu desempenho signif cativamente melhorado secomparado ao modelo (4.2). Isso pode ter sido causado pela aproximação dos ganhos dasfrequências de interesse (0,02 e 0,04 rad/s) do modelo aos ganhos das frequências reais dositema. O ErroW obtido foi de 0,4833.

No próximo passo, utilizando o critério de ordenação ERR, o agrupamento que será acrescen-tado é u(k − 1)y(k − 1). Com este agrupamento o modelo obtido e estimado é apresentado naequação (4.5).

y(k) = 1,7851y(k − 1) − 0,7951y(k − 2) + 0,0099u(k − 1) − 0,0004u(k − 1)2

+0,3795u(k − 1)y(k − 2) − 0,3791u(k − 1)y(k − 1) (4.5)

A Figura 4.10 apresenta em (a) a pedição livre do modelo obtido e em (b) a análise no domínioda frequência . O RMSE foi de 0,1293.

(a) (b)

700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 15000

0.5

1

1.5

2

2.5

3


tempo(s)

p.u.

DadosModelo (4.5)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Espectro de frequência da saída (y)

Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 4.10: Predição livre e análise no domínio da frequência do terceiro modelo obtido para o sistemasimulado 1. A predição livre está representados em (a). A análise no domínio da frequênciaem (b).



Tabela 4.5: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída modelo obtido pelo terceiro passo dométodo proposto para o sistema simulado 1.


Comparando os valores dos ganhos das frequências 0,02 e 0,04 rad/s das Tabelas 4.1 e 4.5é possível notar que estes continuam próximos. Isso signif ca que as frequências que devemser representadas pelo modelo tem o seu ganho próximos aos ganhos reais do sistema. Noentanto, em relação às frequências espúrias ao sistema 1, 0,06 e 0,08 rad/s, a adição do termou(k − 1)y(k − 1) causou uma forte atenuação em seus ganhos fazendo com que a respostaem frequência do modelo fosse melhor aproximada da resposta em frequência do sistema. OErroW calculado foi de 0,1449 ainda maior que o modelo (4.5).

No próximo passo, utilizando o critério de ordenação ERR, o termo que será acrescentado éu(k − 2). Este é um termo linear e contribui apenas para o ganho da frequência fundamen-tal. Tanto pode ser descartado como pode ser utilizado para um novo cálculo de ErroW .Isso porque a sua contribuição pode ser irrelevante já que o ganho da frequência fundamentalencontra-se muito próximo ao ganho da frequência do sistema. Também pode ter efeito danosona representação da dinâmica principal do sistema. Com o propósito de análise, será apresen-tada a predição livre também para o modelo com este termo. Com este termo o modelo obtidoe estimado é apresentado na equação (4.6).

y(k) = 1,7846y(k − 1) − 0,7946y(k − 2) + 0,0101u(k − 1) − 0,0004u(k − 1)2

+0,3793u(k − 1)y(k − 2) − 0,3789u(k − 1)y(k − 1) − 0,0003u(k − 2) (4.6)

A Figura 4.11 apresenta em (a) a predição livre do modelo obtido e em (b) a análise no domínioda frequência. O RMSE foi de 0,1301.


(a) (b)

700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 15000

0.5

1

1.5

2

2.5

3


tempo(s)

p.u.

DadosModelo (4.6)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 4.11: Predição livre e análise no domínio da frequência da saída do quarto modelo obtido para osistema simulado 1. A predição livre está representados em (a). A análise no domínio dafrequência em (b).


Tabela 4.6: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída modelo obtido pelo quarto passo dométodo proposto para o sistema simulado 1.


Confrontando os dados das Tabelas 4.5 e 4.6 pode-se notar que a adição do termo u(k − 2)

não teve inf uência signif cativa na resposta em frequência do modelo. Por isso, poderia serdispensado da análise no método proposto. o ErroW obtido para este caso foi de 0,1445.

Descartando o termo u(k− 2) e adicionando o termo u(k− 2)2 é realizado o próximo passo. Omodelo obtido agora é apresentado na equação (4.7).


y(k) = 1,7849y(k − 1) − 0,7949y(k − 2) + 0,0098u(k − 1) − 0,0004u(k − 1)2

+0,3794u(k − 1)y(k − 2) − 0,3790u(k − 1)y(k − 1)

−4,24 × 10−5u(k − 2)2 (4.7)

A Figura 4.12 apresenta em (a) a predição livre do modelo obtido e em (b) a sua análise nodomínio da frequência. O RMSE foi de 0,1301.

(a) (b)

700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 15000

0.5

1

1.5

2

2.5

3


tempo(s)

p.u.

DadosModelo (4.7)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 4.12: Predição livre e análise no domínio da frequência do quinto modelo obtido para o sistemasimulado 1. A predição livre está representados em (a). A DTFT em (b).


Tabela 4.7: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída modelo obtido pelo quinto passo dométodo proposto para o sistema simulado 1.


Novamente para este quinto modelo a alteração da resposta em frequência ocasionada pelaadição do termo u(k− 2)2 foi pequena. O ErroW calculado para a DTFT deste quinto modelo


foi de 0,1448. Pode-se notar que a adição dos dois últimos termos não alterou signif cativamentea resposta em frequência da saída do modelo. O cálculo de ErroW praticamente não se alterou.A Figura 4.13 apresenta a evolução de ErroW ao longo dos passos.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5Evolução de ErroW

Err

oW

Passo (Número de agrupamentos de termos adicionados)

Figura 4.13: Evolução do cálculo de ErroW para cada passo para o sistema simulado 1.

Nota-se que nos passos quatro e cinco não há diminuição signif cativa do ErroW calculado.Isso sugere que tanto o termo u(k − 2) e u(k − 2)2 são irrelevantes na explicação da dinâmicado sistema no domínio da frequência. Portanto pode-se haver o corte da estrutura no passo três.O modelo sugerido pelo método será o modelo apresentado na equação (4.5).

É importante salientar que essa avaliação não é feita para os primeiros termos lineares. Issoporque esses termos não colaboram sozinhos na reprodução da frequência ressonante da saídae não alcançam desempenho satisfatório na representação de sistemas que apresentam não line-aridades.

Agrupamento de termos que geram as mesmas frequências podem ser sugeridos ao modelo. Acontribuição de cada agrupamento para cada frequência dependerá também do coef ciente queacompanha o agrupamento. Para o termo u(k − 1)2 é fácil predizer o efeito do termo sobre omodelo. Porém para os termos cruzados, u(k − 1)y(k − 2) e u(k − 1)y(k − 1) esta conclusãonão é tão trivial, pois, estes termos podem fornecer inf nitas frequências ressonantes quandoadicionados ao modelo. No entanto, diferentemente de u(k − 1)2, os agrupamentos cruza-dos contribuem de forma signif cativa para a frequência fundamental do sistema representado.

4.3 Sistema simulado 2 - A planta de neutralização de pH simulada 65

Porém, o grande problema em adicionar estes agrupamentos, é o fornecimento de frequênciasespúrias à resposta em frequência do sistema. Quando o termo u(k − 1)y(k − 2) é adicionadoao modelo há um melhora razoável em seu desempenho, porém pela análise da resposta em fre-quência, surgem frequências não pertencentes à dinâmica do sistema. A adição do agrupamentou(k− 1)y(k− 1) parece ter efeito contrário nas frequências ressonantes funcionando como umf ltro que diminui os seus ganhos.

Uma outra análise que pode ser feita é quanto à importância do agrupamento u(k−1)2 sugeridapelo ERR. Entre os termos não lineares, o ERR o classif ca como o mais signif cativo na repre-sentação da dinâmica do sistema. Isso corrobora a sugestão desse agrupamento para compor omodelo pela análise da resposta em frequência da saída do sistema, pois, é o termo que con-tribuirá diretamente para o ganho da primeira frequência ressonante do sistema em discussão.

Comparando o modelo obtido através do método clássico e o modelo obtido pelo método pro-posto neste trabalho pode-se notar que o RMSE calculado é bastante semelhante. Para o modeloclássico o erro RMSE foi de 0,1290 e para o modelo proposto foi de 0,1293. Como esses errossão praticamente iguais pode-se af rmar que o desempenho dos modelos são equivalentes. Sóque há uma vantagem do modelo obtido pelo método proposto em relação ao modelo obtidopelo método clássico. A relevante redução da complexidade do modelo. Vários agrupamen-tos de termos foram descartados diminuindo também a possibilidade de o modelo representardinâmicas espúrias ao sistema.

4.3 Sistema simulado 2 - A planta de neutralização de pHsimulada

O segundo sistema simulado trata-se de uma planta de neutralização de pH implementado por(CAMPOS, 2007). A simulação foi feita com base em um modelo fenomenológico baseado naaproximação físico-química de invariantes de reação. A escolha desse sistema se dá pelo fato deapresentar uma complexa e difícil não linearidade que pode variar sensivelmente sob pequenasmudanças nas condições do processo.

Simplif cadamente a planta de neutralização de pH simulada têm três entradas e uma saída:

• Fluxo de entrada de um ácido forte;

• Fluxo de entrada de uma base forte;

• Fluxo de entrada de uma solução tampão;


• Medição de pH.

Neste trabalho a entrada única trata-se da vazão de reagente básico e a saída, também única,trata-se da medição de pH. As demais entradas são mantidas constantes. Melhores informaçõessobre a planta de neutralização de pH simulada podem ser obtidas em (CAMPOS, 2007).

Para a identif cação realizada no procedimento, foi usado um sinal com a entrada de amplitudealeatória, excursionando o sistema em toda a sua faixa de operação com duração de cada pata-mar também aleatório. O tempo de amostragem usado foi de Ts = 15 s e a massa de dados totalpossui 48000 observações.

Parte dos dados de identif cação e validação podem ser visualizados nas Figuras 4.14 e 4.15respectivamente.

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

1

2

3

4

Dados de identificação: entrada vs. tempo

tempo(s)

p.u.

0 1 2 3 4 5 6 7

x 104

4

6

8

10


tempo(s)

p.u.

Figura 4.14: Parte dos dados gerados pela simulação do sistema 2 para identif cação. Em (a), os dadosde entrada são apresentados e em (b) os dados de saída.


3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3

x 105

1

2

3

4

Dados de validação: entrada vs. tempo

tempo(s)

p.u.

3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3

x 105

4

6

8

10


tempo(s)

p.u.

Figura 4.15: Parte dos dados gerados pela simulação do sistema 2 para validação. Em (a), os dados deentrada são apresentados e em (b) os dados de saída.

10−4

10−3

10−2

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

Espectro de frequência do sistema simulado 2: pH

Frequencia (rad/s)

Gan

ho (

dB)

Figura 4.16: Ganho das frequências do sistema simulado 2 em dB. A linha escura reforça o comporta-mento do ganho no domínio da frequência dos dados.

Para a simulação com uma frequência def nida foram aplicados sinais senoidais pré-def nidoscom amplitude f xa também excursionando toda a faixa de interesse do sistema com o objetivo


de varrer toda sua dinâmica e consequentemente excitar todas as suas não linearidades. NaFigura 4.16 a resposta em frequência obtida com base nos dados de identif cação são apresen-tados.

Assim como no sistema simulado 1, o comportamento do sistema simulado 2 aproxima-se aocomportamento de um f ltro passa-baixas. O corte de frequências, considerando um ganho de-3dB localiza-se entre 4,0 × 10−3 e 6,0 × 10−3 rad/s. A linha escura reforça a indicação docomportamento no domínio da frequência do sistema simulado 2.

Obtidas as informações descritas até aqui, parte-se para a seleção da estrutura do modelo parao sistema simulado 2.

4.3.1 Obtenção de estrutura de modelo polinomial NARX para o sistema simulado 2utilizando o método clássico e a sugestão de grau de não linearidade proposta

Uma vez conhecida a região de frequência de corte do sistema simulado 2 pode-se estabelecera frequência que será usada para excitá-lo. A frequência escolhida foi de 2,0 × 10−4 rad/s.Tal frequência encontra-se dentro da região de potência espectral do sistema 2 e é cerca de dezvezes inferior a mais alta frequência da região de potência espectral do sistema.

A Figura 4.17 (a) apresenta o sinal de entrada utilizado na excitação do sistema 1. Este sinalpossui apenas uma componente de frequência. A média estabelecida é de 2,5 e amplitudemáxima de 5. Já a Figura 4.17 (b) apresenta um sinal de saída diferente da senoidal aplicada.Isso conf rma a presença de frequências diferentes no sinal de saída em relação ao sinal deentrada.


2 3 4 5 6 7

x 104

0

1

2

3

4

5

(a) Parte dos dados de entrada para o sistema 2 vs. tempo na frequência de 2,0× 10−3 rad/s

tempo(s)

p.u.

2 3 4 5 6 7

x 104

4

6

8

10

(b) Parte dos dados do sistema 2 saída vs. tempo submetido a uma frequência de 2,0× 10−3 rad/s

tempo(s)

p.u.

Figura 4.17: Parte dos dados para o sistema 2 excitado a uma frequência de 2,0× 10−4 rad/s. Em (a), os

dados de entrada são apresentados e em (b) os dados de saída.

A Figura 4.18 (a) e (b) apresenta a análise no domínio da frequência do sistema simulado 2submetido a uma entrada de 2,0 × 10−4 rad/s. A a análise no domínio da frequência foi obtidaatravés da aplicação da DTFT tanto nos dados de entrada quanto nos dados de saída.

(a) (b)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Espectro de frequência da entrada (u) para o sistema 2: pHsubmetido a uma frequência de 2,0× 10−3 rad/s

Frequencia (rad/s)

|U(jω

)|

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10−3

0

0.5

1

1.5

2

Espectro de frequência da saída (y) para o sistema 2: pHsubmetido a uma frequência de 2,0× 10−3 rad/s

Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 4.18: Análise no domínio da frequência dos dados do sistema simulado 2 excitado a uma fre-quência 2,0 × 10

−4 rad/s. A análise no domínio da frequência do sinal de entrada estárepresentados em (a). Para os dados de saída, em (b).


Nas Figuras 4.18 pode-se comprovar a existência de apenas uma frequência da entrada e osurgimento de outras frequências na saída. Diferentemente do sistema simulado 1, o espectrode frequência do sinal de saída do sistema simulado 2 apresenta diversas frequências na saída.Isso ocorre, provavelmente, em decorrência da severa não-linearidade da planta de neutralizaçãode pH simulada.

O desaf o neste ponto é determinar quais frequências são relevantes na formação do sinal desaída quando o sistema é submetido a um sinal de frequência única igual a 2,0 × 10−4 rad/s equais frequências que o modelo será capaz de reproduzir em sua saída. Sugere-se pelo desen-volvimento realizado que um grau de não-linearidade extremamente elevado possa representarbem o sistema no domínio da frequência. Porém, isto é pouco interessante na prática pois tornao modelo muito complexo fazendo com que sua simulação e implementação f que trabalhosa.

Mesmo que não se tenha um grau de não linearidade próximo do número de frequências resso-nantes do sistema, pela Tabela 3.1 pode-se observar que agrupamentos de termos puros desaída e agrupamentos de termos cruzados fornecem ao sistema inf nitas frequências ressonantes.Logo, existe a possibilidade de se adotar graus de não linearidade menores, diminuindo a com-plexidade do modelo e, ao mesmo tempo, possibilitando o surgimento de inf nitas frequênciasressonantes no modelo acrescentando os agrupamentos mencionados. Percebe-se também quemodelos com apenas agrupamentos puros de entrada não serão capazes de reproduzir bem adinâmica do sistema.

Através dessa discussão e da discussão realizada no capítulo 3, foi escolhido um grau de nãolinearidade três para obter o modelo pelo método clássico.1 Sabe-se que o grau de não line-aridade não atende à reprodução de todas as frequências na saída, portanto, é certo que serãonecessários agrupamento de termos cruzados e talvez agrupamentos de termos puros de saída.Foram determinados máximos atrasos de entrada e saída um e três respectivamente através doFCC.

Uma outra questão é em relação a quantidade de frequências que deverão ser consideradas nocálculo do índiceErroW . Para tanto, obteve-se o modelo pelo método clássico e observou-se asua capacidade de representação da resposta em frequência. Através dessa análise determinou-se quais frequências seriam utilizadas para determinar o cálculo deErroW . Contudo, para estecaso, o método procurará uma estrutura que apresente um melhor desempenho sendo menoscomplexa e partirá do modelo obtido pelo método clássico.

O modelo obtido pelo método clássico é apresentado na equação (4.8).

1Testes suprimidos neste trabalho mostraram que o aumento do grau de não linearidade para quatro ou cinconão melhoram satisfatoriamente o desempenho do modelo para os dados do sistema simulado 2.


y(k) = 1,0424y(k − 1) − 0,6490y(k − 2) + 0,0772u(k − 1) + 0,4129y(k − 3)

−0,0497u(k − 1)2y(k − 1) + 0,3492u(k − 1)y(k − 1)

−0,0279u(k − 1)y(k − 3)2 + 0,2965 + 0,0342u(k − 1)3

+0,0312u(k − 1)2y(k − 3) − 0,2261u(k − 1)y(k − 3) − 0,1404u(k − 1)2

+0,0530u(k − 1)y(k − 3)y(k − 1) − 0,0271u(k − 1)y(k − 1)2

+0,003y(k − 3)2 (4.8)

A ordem dos termos apresentada na equação (4.8) é a ordem hierárquica fornecida pelo ERR.O critério de informação de Akaike forneceu um valor de 32 termos para o modelo, porém omesmo não convergiu. O ponto de corte foi def nido em uma busca exaustiva retirando-se ostermos até encontrar uma estrutura para que o modelo convergisse. Chegou-se ao número determos igual a 15.

O RMSE do modelo apresentado na equação (4.8) foi de 0,2099. A predição livre e a respostaem frequência do modelo obtido pelo ERR para o sistema simulado 2 são apresentadas nasFiguras 4.19 (a) e (b), respectivamente.

(a) (b)

3.64 3.66 3.68 3.7 3.72 3.74 3.76 3.78 3.8 3.82

x 105

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Parte dos dados de validação: saída

tempo(s)

pH

DadosModelo (4.8)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10−3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 4.19: Predição livre e análise no domínio da frequência do modelo obtido pelo método clássicopara o sistema simulado 2. A predição livre está representada em (a). A análise no domínioda frequência em (b).

A Figura 4.19 (b) apresenta todas as frequências que o modelo foi capaz de criar na saídasubmetido ao mesmo sinal de entrada de frequência única aplicado ao sistema. A Tabela 4.8


apresenta as frequências surgidas na saída fornecida pelo modelo apresentado na equação (4.8)submetido ao sinal de entrada de frequência única igual a 2,0 × 10−4 rad/s.

Tabela 4.8: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do modelo obtido pelo método clássicopara o sistema simulado 2.

Frequência (rad/s) Ganho (módulo)2,0 × 10−4 4,5114,0 × 10−4 0,51316,0 × 10−4 0,46818,0 × 10−4 0,26011,0 × 10−3 0,20451,2 × 10−3 0,12761,4 × 10−3 0,0796

A Tabela 4.8 mostra que o modelo obtido pelo ERR foi capaz de representar a frequênciafundamental e mais seis frequências ressonantes com ganhos consideráveis. Portanto, parao cálculo de ErroW , serão consideradas as primeiras sete frequências surgidas na saída dosistema para realização do corte de termos. A Tabela 4.9 apresenta as sete primeiras frequênciase seus respectivos ganhos para o sistema simulado 2 observadas na Figura 4.18 (b).

Tabela 4.9: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do sistema simulado 2.

Frequência (rad/s) Ganho (módulo)2,0 × 10−4 2,4754,0 × 10−4 0,2066,0 × 10−4 0,4978,0 × 10−4 0,11451,0 × 10−3 0,14691,2 × 10−3 0,04231,4 × 10−3 0,0319

Com base nas Tabelas 4.8 e 4.9 pode-se calcular o ErroW para a o modelo obtido pelo ERR.Para este, o valor calculado de ErroW é 0,5884.


4.3.2 Obtenção de estrutura de modelo polinomial NARX para o sistema simulado 2utilizando a resposta em frequência

Diferentemente da forma apresentada para o sistema 1, a obtenção do modelo pelo métodoproposto neste capítulo será simplif cada para o sistema simulado 2. Os modelos não serãosimulados a cada retirada de termos ou de agrupamentos. Apenas será apresentada na Tabela4.10 os valores de ErroW para cada um dos passos apresentados. Os valores de ErroW paraos termos lineares localizados nas primeiras posições classif cados pelo ERR são consideradoscomo número de agrupamentos igual a zero na Tabela.

O objetivo do método neste segundo caso será o de melhorar a estrutura do modelo obtido peloERR com 15 termos de forma que alcance um melhor desempenho ou diminua sua comple-xidade mantendo o desempenho. Com isso, o método proposto funcionará como um critériode informação, ou de corte, retirando agrupamentos e termos que não explicam a dinâmica dosistema, ou ainda, incorporam dinâmicas espúrias ao modelo.

Tabela 4.10: Valores de ErroW para cada adição de termo no modelo para o sistema simulado 2.

N.o Ω adicionado ErroW

0 1,02251 0,89432 0,81263 0,78524 0,79125 0,66556 0,50447 0,49728 0,49559 0,6050

Na Figura 4.20 é apresentado o ErroW a cada agrupamento acrescentado ao modelo. Nota-seque a partir do passo 7 no qual é acrescentado o termo u(k−1)y(k−3) não há grande variaçãodo índice ErroW . Portanto, pode-se dizer que o acréscimo de termos a partir de então nãotem efeito na resposta em frequência do sistema. Portanto, limita-se a estrutura do modelo nosétimo agrupamento após os termos lineares.


1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Err

oW


Figura 4.20: Evolução do cálculo de ErroW para cada passo para o sistema simulado 2.

O modelo sugerido pelo método é apresentado na equação (4.9).

y(k) = 1,1824y(k − 1) − 0,6404y(k − 2) − 0,2164u(k − 1) + 0,3180y(k − 3)

−0,0630u(k − 1)2y(k − 1) + 0,2989u(k − 1)y(k − 1)

−0,0014u(k − 1)y(k − 3)2 + 0,3703 + 0,0180u(k − 1)3

+0,0449u(k − 1)2y(k − 3) − 0,1921u(k − 1)y(k − 3) (4.9)

O modelo 4.9 apresenta 11 termos enquanto o modelo obtido pela busca exaustiva foi estimadocom 15 termos. É importante salientar que o número de termos fornecido pelo critério de cortede Akaike forneceu um número de termos de um modelo que não convergiu (31 termos). Apredição livre do modelo 4.9 é apresentada na Figura 4.21 (a) e em (b) a sua análise no domínioda frequência submetido ao sinal de frequência única de 2,0 × 10−4 rad/s.


(a) (b)

3.64 3.66 3.68 3.7 3.72 3.74 3.76 3.78 3.8 3.82

x 105

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Parte dos dados de validação: saída

tempo(s)

pH

DadosModelo (4.9)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10−3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 4.21: Predição livre e análise no domínio da frequência do modelo obtido pelo método de análiseda resposta em frequência para o sistema simulado 2. A predição livre está representadosem (a). A análise no domínio da frequência em (b).

O método proposto apresentou um modelo que obteve um desempenho satisfatório. O índiceRMSE calculado foi de 0,2099, o mesmo índice calculado para o modelo com 15 termos. Issosugere que os quatro termos a mais presentes no modelo apresentado na equação (4.8) nãointerferiam na representação da dinâmica dos dados apresentados.

O cálculo de ErroW não é necessário para os termos lineares hierarquizados pelo ERR. Issoporque esses termos só colaboram para a reprodução da frequência fundamental não registrandointerferência nas dinâmicas não lineares do sistema. E neste trabalho, procurou-se trabalhar comos agrupamentos de termos que explicam as dinâmicas não lineares dos sistemas representados.Embora, os índices de ErroW para modelos lineares, provavelmente, teriam grandes módulospor apresentarem ganho zero nas frequências ressonantes.

4.3.3 Validação estática dos modelos

Como discutido na seção 2.2.1.7 uma das formas de validar modelos estimados é através dacurva estática. Muito embora a curva estática não explicite a dinâmica do sistema, seu com-portamento deve aproximar bem da curva estática do sistema modelado para que todos os seuspontos f xos possam ser aproximados pelo modelo.

Na Figura 4.22 são apresentados os comportamentos estáticos exibidos pelo sistema e pelosmodelos obtidos neste trabalho para a planta simulada de neutralização de pH.


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Vazão de base (ml/s)

pH

Curva Estática − planta (pH)

Modelo (4.9) − Mét. proposto

Dados

Modelo (4.8) − Mét. clássico

Figura 4.22: Curva estática do sistema simulado 2 e dos modelos obtidos pelo critério de ERR e pelométodo proposto. A linha contínua apresenta a curva estática do sistema simulado 2. A linhadescontínua mais clara apresenta a característica estática do modelo obtido pelo ERR com15 termos. A linha descontínua mais escura apresenta a característica estática do modeloobtido pelo método proposto baseado na resposta em frequência.

Na Figura 4.22 pode-se observar que a curva estática do sistema simulado 2 é melhor aproxi-mada quando se segue a sugestão do método proposto. Isso pode explicar que os termos queforam retirados do modelo não têm importância signif cativa na representação do sistema. Alémdisso, sugere-se que o modelo com os termos a mais, embora tenha tido desempenho seme-lhante quando é comparado o índice RMSE, fornece um comportamento estático bem diferentedo comportamento estático real do sistema. Enquanto o modelo apresentado pelo método pro-posto é capaz de apresentar nesta mesma região um comportamento muito mais próximo dosistema. Isso pode ser observado nas regiões de vazão de base entre 0 e 0,5 ml/s.

No entanto, como pode ser visto na f gura 4.14 poucos dados de identif cação estão presentesnas regiões de melhora de desempenho do comportamento estático do modelo (4.9). Portanto,não se pode af rmar que a melhora nesse desempenho é referente à aplicação do método.



Neste capítulo foram expostos e discutidos os resultados da aplicação do método em dois ca-sos simulados. O primeiro caso, trata-se de um sistema com uma não linearidade mais suaveenquanto no segundo caso a não linearidade é mais severa. Embora o sistema simulado 2 tercaráter não-linear mais severo, observou-se que o método obteve um considerável desempenhona seleção de estrutura do modelo NARX.

A utilização do método proposto como critério de corte sugeriu modelos menos complexos paraos dois casos e ainda assim, manteve-se um desempenho satisfatório.

No próximo capítulo o método proposto será usado na seleção de estrutura de modelos parasistemas reais.

Capítulo 5

Estudo de casos reais

5.1 Introdução

No Capítulo 4 foi apresentada a aplicação do método proposto no Capítulo 3 em dois sistemassimulados. Neste capítulo a metodologia é aplicada em sistemas reais e por isso apresentamalgumas peculiaridades. Entre essas características peculiares dos sistemas reais, pode-se citaro aparecimento de ruído nos sinais coletados e a dif culdade em obter dados em grandes quan-tidades, seja pelo tempo requerido para simulação ou pelas condições não ideais de operação,que podem não permitir a obtenção de dados que varram toda a faixa de operação do sistema,prejudicando assim a identif cação.

Neste capítulo, o método proposto no Capítulo 3 foi implementado em dois sistemas reais. Oprimeiro sistema trata-se de um sistema térmico de bancada em que sua fonte de calor é umalâmpada incandescente. O segundo sistema trata-se de um modelo de um helicóptero de doisgraus de liberdade.

A validação dos modelos foi feita pelo método tradicional utilizando dados separados para avalidação diferente do conjunto de dados de identif cação e foi escolhido o sistema térmico parase realizar a validação do modelo obtido pelo comportamento estático.

5.2 Sistema Térmico

A principal característica de um sistema térmico é a conservação de calor em seu interior. Issofaz com que o aumento de temperatura medida no interior do sistema térmico seja mais rápido

80 5 Estudo de casos reais

enquanto a diminuição de temperatura, ao cessar a fonte de calor, seja mais lenta. Devido à estavariação de constante de tempo, o sistema térmico apresenta um caráter não linear.

Resumidamente, o sistema térmico usado neste trabalho trata-se de uma montagem de bancadacomposta por um tubo de PVC de 200mm de diâmetro e 300mm de altura apoiado em uma su-perfície de madeira e uma lâmpada incandescente em seu interior. O forno é fracamente isoladotermicamente de forma que variações da temperatura ambiente afetam o seu comportamentodinâmico. Os dados consistem em uma entrada de controle variando de 5 a 0 Volts que sãoeletronicamente convertidos em tensão aplicada à uma lâmpada incandescente. Esta lâmpada éde 60 W de potência e é alimentada por uma tensão variável de 0 a 127 Volts. Quanto maior atensão aplicada à lâmpada, maior é a energia térmica fornecida ao sistema. A saída do sistemaé exibida em uma escala de 0 a 10 Volts e é fornecida por um circuito eletrônico que contémcomo sensor um transistor LM35. Cada variação unitária de tensão de saída representa a vari-ação de cerca de 10oC na temperatura do sistema. Os dados são trocados entre o sistema e ocomputador através de uma placa USB-6008da National Instrumentsr

Nas seções subsequentes serão apresentadas as formas de aquisição de dados e a aplicação dométodo no auxílio à obtenção de uma estrutura adequada de modelos polinomiais.

5.2.1 Aquisição de dados

Os dados de identif cação devem ser capazes de ref etir os diversos regimes dinâmicos apresen-tados pelo sistema. Para tanto, o sinal de excitação da planta deve apresentar espectro suf cien-temente amplo em frequência e amplitude de tal forma que excursione o sistema pelos regimesdinâmicos de interesse. Infelizmente, isso nem sempre é possível em sistemas reais, devido àsrestrições operacionais.

Os dados foram coletados a uma taxa de amostragem de 62,83 rad/s. A f m de evitar malcondicionamento numérico na estimação de parâmetros devido a medições repetitivas, os dadosforam dizimados para uma taxa de amostragem de 6,2832 rad/s para realização do procedimentode identif cação.

Embora para a identif cação, dados repetitivos possam implicar em mal condicionamento numérico,na etapa de estimação de parâmetros, para a obtenção da análise no domínio da frequência,optou-se por manter a taxa de amostragem inicial dos dados a f m de melhorar a visualizaçãodas frequências de interesse.

As Figuras 5.1 e 5.2 apresentam os dados coletados e separados em dados para a identif caçãoe dados para validação.

5.2 Sistema Térmico 81

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

1

2

3

4

(a) Dados de identificação: entrada vs. tempo

tempo(s)

Ten

são

(Vol

ts)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

40

50

60

70(b) Dados de identificação: saída vs. tempo

tempo(s)

Tem

pera

tura

(C

º)

Figura 5.1: Dados gerados pelo sistema térmico para identif cação. Em (a), os dados de entrada sãoapresentados e em (b) os dados de saída.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

1

2

3

4

(a) Dados de validação: entrada vs. tempo

tempo(s)

Ten

são

(Vol

ts)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

40

45

50

55

60

(b) Dados de identificação: saída vs. tempo

tempo(s)

Tem

pera

tura

(C

º)

Figura 5.2: Dados gerados pelo sistema térmico para validação. Em (a), os dados de entrada são apre-sentados e em (b) os dados de saída.

Na Figura 5.3 a resposta em frequência do sistema é apresentado.


10−3

10−2

10−1

100

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

Espectro de frequência do sistema real 1: Forno

Frequencia (rad/s)

Gan

ho (

dB)

Figura 5.3: Ganho das frequências do sistema real térmico em dB. A linha escura reforça o comporta-mento do ganho no domínio da frequências dos dados.

A resposta em frequência apresentada pela Figura 5.3 demonstra que o sistema térmico comporta-se como um f ltro passa-baixas atenuando fortemente frequências acima da faixa aproximadade 2,0 × 10−2 e 6,0 × 10−2 rad/s. Fisicamente, um sistema térmico excitado a um sinal de altafrequência não é capaz de responder ao sinal de entrada. Isso porque o processo tem caracte-rística dinâmica lenta. Portanto, sinais de alta frequência inseridos na entrada são fortementeatenuados na saída.

A linha escura reforça a visualização do resposta em frequência do sistema térmico mais apro-ximada.

5.2.2 Obtenção de estrutura de modelo polinomial NARX para o sistema térmico uti-lizando o método clássico e a sugestão de grau de não linearidade proposta

A frequência de corte de operação do sistema térmico encontra-se próxima a faixa de 2,0×10−2

e 6,0 × 10−2 rad/s como pode ser visto na Figura 5.3. Conhecida a região de espectro defrequência onde o sistema térmico funciona, determinou-se a frequência de excitação do sistemapara verif cação do surgimento de frequências ressonantes em 5,3 × 10−3 rad/s.

A Figura 5.4 (a) apresenta o sinal de entrada aplicado ao sistema térmico e a resposta do sistemaao sinal aplicado na Figura 5.4 (b) à frequência determinada.


1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35

x 104

1

2

3

4

(a)Parte dos dados de entrada para o forno vs. tempo na frequência de 0,0053 rad/s

tempo(s)

Tem

pera

tura

(C

º)

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35

x 104

45

50

55

60

65

(b)Parte dos dados do forno saída vs. tempo submetido a uma frequência de 0,0053 rad/s

tempo(s)

Tem

pera

tura

(C

º)

Figura 5.4: Parte dos dados para o sistema térmico excitado a uma frequência de 5,3 × 10−3 rad/s. Em

(a), os dados de entrada são apresentados e em (b) os dados de saída.

(a) (b)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Espectro de frequência da entrada (u) para o forno submetido a uma frequência de 0,0053 rad/s

Frequencia (rad/s)

|U(jω

)|

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Espectro de frequência da saída (y) para o forno submetido a uma frequência de 0,0053 rad/s

Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 5.5: Análise no domínio da frequência do sistema térmico excitado a uma frequência de 5,3×10−3

rad/s. A análise no domínio da frequência do sinal de entrada está representados em (a) e dosdados de saída estão representados em (b).

As Figuras 5.5 (a) e (b) apresentam a análise no domínio da frequência do sistema térmicosubmetido a uma entrada de 5,3 × 10−3 rad/s da entrada e da saída respectivamente. A análise


no domínio da frequência foi obtida através da aplicação da DTFT tanto nos dados de entradaquanto nos dados de saída.

Nas Figuras 5.5 (a) e (b) pode-se comprovar a existência de apenas uma frequência da entradae o surgimento de duas frequências ressonantes existentes na saída, muito embora haja o apare-cimento de frequências devido à amostragem e ao janelamento do sinal. A Tabela 5.1 apresentaas frequências ressonantes da frequência fundamental surgidas na saída e os seus ganhos emmódulo.

Tabela 5.1: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do sistema térmico.

Frequência (rad/s) Ganho5,3 × 10−3 8,5771,06 × 10−2 0,40841,59 × 10−2 0,5522

Os dados exibidos na Tabela 5.1 indicam uma não linearidade moderada nos dados do sistematérmico devido ao ganho das ressonâncias serem baixos em relação a frequência aplicada naentrada. No entanto, para representar de forma adequada o sistema como sugere o método,pode-se utilizar grau de não-linearidade dois ou três. Optou-se pelo menor grau de não linea-ridade a f m de obter um modelo menos complexo. Logo, agrupamentos de termos cruzadosou puros de entrada deverão estar presentes para representar a terceira frequência ressonante jáque agrupamentos puros de entrada de grau de não linearidade par não as reproduzem. Quantoaos atrasos máximos de entrada e saída foram determinados, pelo FCC, dois para os dois casos.Por ser um sistema real e estar sujeito a ruídos, obteve-se modelos NARMAX com 20 termosde ruído lineares.

O modelo obtido pelo método clássico é apresentado na equação (5.1)

y(k) = 3,5972y(k − 1) − 2,5138y(k − 2) − 0,2710u(k − 1)y(k − 1) − 0,3879y(k − 1)2

−0,3541y(k − 2)2 + 0,0048u(k − 2)y(k − 2) + 0,2561u(k − 1)y(k − 2)

+0,7412y(k − 2)y(k − 1) − 0,0290u(k − 2)y(k − 2) + 0,4167u(k − 1)

−1,5933 +20

∑

i=1

θiξ(k − 1) + ξ(k) (5.1)

O modelo da equação (5.1) apresentou 11 termos em sua estrutura ordenados do mais relevante


para o menos relevante na explicação da dinâmica do sistema e os termos de ruído. O rmse foide 0,3401. A predição livre e a resposta em frequência do modelo são apresentadas nas Figuras5.6 (a) e (b), respectivamente.

(a) (b)

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

x 104

42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

62

Dados de validação: saída

tempo(s)

Tem

pera

tura

(C

º)

DadosModelo (5.1)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050

2

4

6

8

10

12

14


Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 5.6: Predição livre e análise no domínio da frequência do modelo obtido pelo método clássicopara o sistema térmico. A predição livre está representados em (a). A análise no domínio dafrequência em (b).

Pela Figura 5.6 pode-se observar o surgimento de frequências devido ao janelamento do sinal eda amostragem. No caso de sistemas reais esse efeito é intensif cado pois os conjuntos de dadostêm tamanhos limitados. Um outro problema que surge é a presença de ruído nos dados. Essesruídos aparecem nas respostas em frequência do sistema e assim como o ajanelamento do sinal,podem camuf ar as frequências ressonantes que surgem na saída com menores ganhos causandoerros no cálculo do índice ErroW para implementação do método.

A Tabela 5.2 apresenta as frequências e seus respectivos ganhos para o sistema térmico obser-vados na Figura 5.6 (b).

Tabela 5.2: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do modelo obtido pelo método clássicopara o sistema térmico.

Frequência (rad/s) Ganho (módulo)5,3 × 10−3 14,391,06 × 10−2 0,51171,59 × 10−2 0

Neste caso, o valor de ErroW foi 0,6123.


5.2.3 Obtenção de estrutura de modelo NARMAX polinomial para o sistema térmicoutilizando a resposta em frequência

Tendo ordenado os termos do modelo hierarquicamente utilizando o ERR, aplica-se o métodoproposto para a realização do corte da estrutura. Os valores de ErroW são apresentados naTabela 5.6.

Tabela 5.3: Valores de ErroW para cada adição e termo no modelo para o sistema térmico.


1 0,88562 0,61653 0,63254 0,53055 0,56346 0,62697 0,7276

Na Figura 5.7 é apresentado o ErroW a cada agrupamento acrescentado ao modelo. Note quea partir do passo 4 no qual é acrescentado o termo u(k − 2)y(k − 2) o índice ErroW volta acrescer. Portanto, pode-se dizer que o acréscimo de termos a partir de então tem efeito negativona resposta em frequência do sistema, ou seja, a inclusão de termos está incluindo dinâmicasespúrias ao modelo. Portanto, limita-se a estrutura do modelo no quarto agrupamento após ostermos lineares.

1 2 3 4 5 6 70.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85


Err

oW


Figura 5.7: Evolução do cálculo de ErroW para cada passo para o sistema térmico.


O modelo sugerido pelo método é apresentado na equação (5.2).

y(k) = 2,0014y(k − 1) − 0,9726y(k − 2) − 0,0088u(k − 1)y(k − 1) − 0,0060y(k − 1)2

+0,0056y(k − 2)2 + 0,0056u(k − 2)y(k − 2) +20

∑

i=1

θiξ(k − 1) + ξ(k) (5.2)

Observe que o modelo (5.2) tem apenas seis termos, cinco a menos que o modelo (5.1), ap-resentado pelo método clássico. A predição livre do modelo obtido é apresentada na Figura5.8.

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

x 104

42

44

46

48

50

52

54

56

58

60

62


tempo(s)

Tem

pera

tura

(C

º)

DadosModelo (5.2)

Figura 5.8: Predição livre do modelo obtido pelo método proposto para o sistema térmico.

O método proposto apresentou o modelo 5.2 que obteve um desempenho satisfatório. O índiceRMSE calculado foi de 0,3560 próximo ao RMSE obtido pelo modelo (5.1).

5.2.4 Validação estática dos modelos

O sistema térmico foi escolhido para a realização da validação estática.

Na Figura 5.9 são apresentados os comportamentos estáticos exibidos pelo sistema e pelosmodelos obtidos neste trabalho para o sistema térmico.


0.5 1 1.5 2 2.5 3

30

40

50

60

70

80

Tensão (Volts)

Tem

pera

tura

(C

º)

Curva Estática − forno

Modelo ERR+AKAIKEModelo Resp. em frequência

Figura 5.9: Curva estática do sistema térmico e dos modelos obtidos pelo critério de ERR+AKAIKEe pelo método proposto. A linha contínua apresenta a curva estática do sistema térmico.A linha descontínua mais clara apresenta a característica estática do modelo obtido peloERR+AKAIKE. A linha mais escura apresenta a característica estática do modelo obtidopelo método proposto baseado na resposta em frequência.

Pela Figura pode-se observar que as curvas estáticas dos dois modelos aproximaram de formainsuf ciente à curva estática do sistema térmico. No entanto, quando é comparado o modelo5.2 pelo método proposto e o modelo (5.1), obtido pelo método clássico, observa-se que osmodelos têm desempenho estático próximos. Embora não tenha tido um desempenho superiorsignif cativo, o método proposto sugere um modelo mais compacto o que o torna vantajosoperante o outro modelo.

5.3 O helicóptero de 2 graus de liberdade

O sistema real 2 usado neste trabalho trata-se de um protótipo simplif cado de um helicópterofabricado pela empresa Quanserr. Este sistema é considerado uma aproximação de um he-licóptero real porque possui apenas 2 GDL (Graus de Liberdade): a arfagem e a guinada. AFigura 5.10 apresenta os eixos de rotação do helicóptero para o movimento de arfagem e deguinada. A arfagem constitui o movimento de rotação em torno do eixo horizontal e a guinadaé o movimento de rotação em torno do eixo vertical.

5.3 O helicóptero de 2 graus de liberdade 89

Figura 5.10: Os dois eixos de rotação do helicóptero.

As duas entradas deste sistema são independentes e constituem-se em tensão de controle de 0a 24 Volts convertidas em tensão de alimentação do motor de cada uma das hélices. Tanto alocalizada acima do helicóptero quanto àquela localizada na cauda conforme a foto do protótipoapresentada na Figura 5.11.

Figura 5.11: Foto do protótipo de helicóptero com dois GDL.

As duas saídas do protótipo constituem-se nos ângulos de cada um dos movimentos de rotação.A primeira, o ângulo de rotação do movimento de arfagem e a segunda o ângulo de rotação parao movimento de guinada.

Este trabalho limitou-se ao uso de sistemas SISO. Portanto a entrada do motor da cauda foimantida constante e a leitura do ângulo de rotação do movimento de guinada foi desprezada.Mais detalhes sobre a coleta de dados serão apresentados na seção 5.3.1.

A ação da gravidade contribui para uma condição especial ao movimento do sistema. Ao mesmotempo que faz oposição ao movimento de subida, colabora para o movimento de descida in-f uindo na velocidade de subida e descida do movimento de arfagem. Isso faz com que osistema tenha ao menos duas constantes de tempo. A partir disso já pode-se considerar que o


sistema apresenta caráter não-linear.

5.3.1 Aquisição de dados

Como escrito anteriormente, a leitura do ângulo de rotação do movimento de guinada foi despre-zada mantendo-se apenas a leitura do ângulo de rotação do movimento de arfagem. A entradadesse sistema trata-se da alimentação do motor da hélice superior.

Os dados foram coletados a uma taxa de amostragem de 62,83 rad/s. A f m de evitar malcondicionamento numérico na estimação de parâmetros devido a medições repetitivas, os dadosforam decimados para uma taxa de amostragem de 6,2832 rad/s para realização do procedi-mento de identif cação. As Figuras 5.12 e 5.13 apresentam os dados usados na identif cação eos separados para a validação, respectivamente.

Muito embora os dados de entrada do sistema real 2 permitissem uma aplicação de tensão nafaixa de 0 a 24 Volts, optou-se por usar a faixa de 13 a 15 Volts na entrada do sistema paraque o helicóptero não atingisse os limites de movimento superior ou inferior do movimento derotação de guinada.

5.3.2 Obtenção de estrutura de modelo NARMAX polinomial para o helicóptero uti-lizando o método clássico e a sugestão de grau de não linearidade proposta

A frequência de 0,0628 rad/s foi escolhida para compor o sinal de frequência única aplicado aosistema e aos modelos na implementação do método.

A Figura 5.14 (a) apresenta o sinal de entrada aplicado ao protótipo e a resposta do sistema aosinal aplicado na Figura 5.14 (b) à frequência determinada.


0 200 400 600 800 100013

13.5

14

14.5

(a) Dados de identificação: entrada vs. tempo

tempo(s)

Ten

são

(Vol

ts)

0 200 400 600 800 1000−40

−30

−20

−10

0


tempo(s)

Âng

ulo

− A

rfag

em (

º)

Figura 5.12: Dados gerados pelo helicóptero para identif cação. Em (a), os dados de entrada são apre-sentados e em (b) os dados de saída.

1100 1150 1200 1250 1300 1350

13.5

14

14.5

(a) Dados de validação: entrada vs. tempo

tempo(s)

Ten

são

(Vol

ts)

1100 1150 1200 1250 1300 1350

−35

−30

−25

−20

−15

−10


tempo(s)

Âng

ulo

− A

rfag

em (

º)

Figura 5.13: Dados gerados pelo helicóptero para validação. Em (a), os dados de entrada são apresenta-dos e em (b) os dados de saída.


100 200 300 400 500 600 700 800

13.5

14

14.5

(a) Dados de entrada para o helicóptero vs. tempo na frequência de 0.6283 rad/s

tempo(s)

Ten

são

(Vol

ts)

100 200 300 400 500 600 700 800

−30

−25

−20

−15

−10

(b) Dados do helicóptero saída vs. tempo submetido a uma frequência de 0.6283 rad/s

tempo(s)

Âng

ulo

− G

uina

da (

º)

Figura 5.14: Parte dos dados para o helicóptero excitado a uma frequência de 0,0628 rad/s. Em (a), osdados de entrada são apresentados e em (b) os dados de saída.

A Figura 5.5(a) e (b) apresenta a análise no domínio da frequência do sinal de arfagem dohelicóptero submetido a uma entrada de 0,0628 rad/s. A resposta em frequência foi obtidaatravés da aplicação da FFT tanto nos dados de entrada quanto nos dados de saída.

(a) (b)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Espectro de frequência do sinal de arfagem do helicópterosubmetido a uma frequência de 0.6283 rad/s

Frequencia (rad/s)

|U(jω

)|

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

1

2

3

4

5

6

7

8

Espectro de frequência do sinal de arfagem do helicópterosubmetido a uma frequência de 0.6283 rad/s

Frequencia (rad/s)

|Y(jω

)|

Figura 5.15: Análise no domínio da frequência dos dados do sinal de arfagem do helicóptero excitado auma frequência de 0,0628 rad/s. A análise no domínio da frequência dos dados de entradaestá representados em (a) e dos dados de saída estão representados em (b).


Nas Figuras 5.15 (a) e (b) a visualização das frequências está mais complexa que nos sistemasanteriores. Pode-se observar que a inf uência do janelamento, mesmo minimizado com os f ltrosde janela de Hamming, dos dados de entrada insere diversas frequências na DTFT da entrada.Não obstante, essas frequências acabam por interferir na resposta em frequência do sistemaobtida pela DTFT do sinal de saída. Porém, é possível visualizar em (a) que a frequênciapredominante é aquela aplicada na entrada de 0,0628 rad/s. Em (b), é possível ver a frequênciaressonante 0,1257 rad/s com ganho menor em relação à frequência fundamental. As demaisfrequências surgidas podem ser em decorrência da discretização do sinal e do número limitadode dados coletados. A Tabela 5.4 apresenta as frequências surgidas na saída e os seus ganhosem módulo.

Tabela 5.4: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do helicóptero.

Frequência (rad/s) Ganho0,0628 8,5450,1257 0,835

Os dados exibidos na Tabela 5.4 indicam uma não linearidade moderada nos dados do he-licóptero devido ao ganho das frequências ressonantes serem baixos em relação a frequênciaaplicada na entrada. Para representar de forma adequada o sistema como sugere o método,pode-se utilizar grau de não-linearidade dois pois há apenas mais uma frequência ressonantevisível. Quanto aos atrasos máximos de entrada e saída foram determinados em dois pelo FCC.Por ser um sistema real e estar sujeito a ruídos, foram obtidos modelos NARMAX com 20termos de ruído lineares.

O modelo obtido pelo método clássico é apresentado na equação (5.3).

y(k) = 1,9980y(k − 1) − 1,0004y(k − 2) − 0,0001y(k − 1)2 − 0,0020u(k − 2)y(k − 1)

−3,0961 + 0,0122u(k − 2)2 + 0,0008u(k − 1)2 + 0,0025y(k − 2)y(k − 1)

−0,0015y(k − 2)2 + 0,0021u(k − 2)y(k − 2) +20

∑

i=1

θiξ(k − 1) + ξ(k) (5.3)

O modelo da equação (5.3) apresentou 10 termos em sua estrutura ordenados do mais relevantepara o menos relevante na explicação da dinâmica do sistema. O RMSE foi de 0,6843. Apredição livre e a análise no domínio da frequência do modelo são apresentadas nas Figuras5.16 (a) e (b) respectivamente.


(a) (b)

1145 1150 1155 1160 1165 1170 1175 1180

−32

−30

−28

−26

−24

−22

−20

−18

−16

−14

−12


tempo(s)

Âng

ulo

− A

rfag

em (

º)

DadosModelo (5.3)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

1

2

3

4

5

6

7

8


Frequencia (Hz)

|Y(jω

)|

Figura 5.16: Predição livre e análise no domínio da frequência do modelo obtido pelo método clássicopara o helicóptero. A predição livre está representados em (a). A análise no domínio dafrequência em (b).

Pela Figura 5.16 pode-se observar o surgimento de frequências devido ao janelamento do sinal eda amostragem. Esse efeito é intensif cado ainda mais pois os conjuntos de dados têm tamanhoslimitados. Os ruídos presentes no conjunto de dados aparecem nas respostas em frequência dosistema e podem camuf ar as frequências ressonantes que surgem na saída com menores ganhosdif cultando o cálculo de ErroW para implementação do método.

A Tabela 5.5 apresenta as frequências e seus respectivos ganhos para o helicóptero observadasna Figura 5.6 (b). Neste caso, o valor de ErroW foi 0,0635.

Tabela 5.5: Frequências e respectivos ganhos surgidos na saída do modelo obtido pelo método clássicopara o helicóptero.

Frequência (rad/s) Ganho0,0628 9,0190,1257 1,196

5.3.3 Obtenção de estrutura de modelo polinomial NARX para o helicóptero utilizandoa resposta em frequência

Na seção anterior, a análise no domínio da frequência do sinal de arfagem do protótipo dohelicóptero e um modelo pelo método clássico com 10 termos em sua estrutura foram obtidos.Nesta seção, o método proposto será aplicado para efetuar o corte na estrutura do modelo. A


Tabela 5.6 mostra os valores de ErroW calculados a cada passo realizado pelo método.

Tabela 5.6: Valores de ErroW para cada adição e termo no modelo para o sistema térmico.


1 0,91532 0,09003 0,06904 0,08165 0,07726 0,07507 0,0635

Na Figura 5.17 é apresentado o ErroW a cada agrupamento acrescentado ao modelo. Nota-seque a partir do passo 3 no qual é acrescentado o termo u(k − 2)2, o índice ErroW volta acrescer. Portanto, pode-se dizer que o acréscimo de termos a partir de então tem efeito negativona resposta em frequência do sistema, ou seja, a inclusão de termos está incluindo dinâmicasespúrias ao modelo. Portanto limita-se a estrutura do modelo no terceiro agrupamento após ostermos lineares.

1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Evolução de ErroW

Err

oW


Figura 5.17: Evolução do cálculo de ErroW para cada passo para o helicóptero.

O modelo sugerido pelo método proposto é apresentado na equação (5.4).


y(k) = 2,1862y(k − 1) − 0,9475y(k − 2) + 0,0018y(k − 1)2 − 0,0145u(k − 2)y(k − 1)

−0,0836 +20

∑

i=1

θiξ(k − 1) + ξ(k) (5.4)

Observe que o modelo (5.4) tem apenas cinco termos, cinco a menos que o modelo apresentadopelo método clássico no modelo (5.3). A predição livre do modelo obtido é apresentada naFigura 5.18.

1145 1150 1155 1160 1165 1170 1175 1180

−32

−30

−28

−26

−24

−22

−20

−18

−16

−14

−12


tempo(s)

Âng

ulo

− A

rfag

em (

º)

DadosModelo (5.4)

Figura 5.18: Predição livre do modelo obtido pelo método proposto para o helicóptero.

O método proposto apresentou o modelo (5.4) que obteve um desempenho fraco porém parecidocom o desempenho do modelo (5.3), obtido pelo método clássico. O índice RMSE calculadofoi de 0,7125 enquanto para o método clássico foi de 0,6843.

Pode-se observar que o índice de erro de simulação foi maior para o modelo obtido pelométodo mostrando um desempenho fraco em relação ao modelo obtido pelo método clássico.A dif culdade em encontrar um modelo com uma estrutura que apresentasse um melhor de-sempenho pode ter sido causada pela interferência de frequências espúrias ao sistema surgidaspelo ajanelamento do sinal no cálculo da FFT.



Dois sistemas reais foram utilizados neste capítulo para validar a ef ciência do método proposto.Um sistema térmico foi escolhido pela sua facilidade de implementação e observação e pelacaracterística não linear apresentada assim, como o helicóptero, aquisição recente do grupo depesquisa MOCP.

A principal dif culdade apresentada na implementação da metodologia proposta foi a limitaçãona quantidade de dados e a presença de ruídos. Essas ocorrências causaram interferências con-sideráveis na obtenção das DTFT’s de cada um dos sistemas, prejudicando assim, a análisecorreta das respostas em frequência.

Resultados foram apresentados e comentados. Observou-se, contudo, que assim como em sis-temas simulados, o método teve razoável desempenho fornecendo estruturas mais compactas eainda fornecendo indícios de termos de importância considerável na representação de cada umdos sistemas.

Capítulo 6

Considerações Finais

A etapa de seleção de estrutura em identif cação de sistemas ainda não foi completamente solu-cionada. Diversos trabalhos têm sido realizados no intuito de facilitar o processo de busca deuma estrutura mais próxima do ideal de um modelo sem a necessidade da experiência do mod-elador e se possível realizá-lo em posse de apenas o conjunto de dados em alguns casos. Éimportante ressaltar que cada um tem a sua limitação.

Um critério amplamente discutido na literatura é o ERR. Apesar de sua ampla aplicabilidade,tal critério pode escolher termos incorretos ou redundantes em condições não ideais de iden-tif cação. Essas condições não ideais de identif cação referem-se a dados superamostrados ouruidosos ou quando o sinal de entrada é relativamente lento.

A f m de investigar o problema de seleção de estrutura de modelos NARX polinomiais, foiproposto neste trabalho um estudo de comparação entre a análise da resposta em frequência deum sistema e cada um dos agrupamentos de termos pertencentes a um modelo que o represente.Uma análise matemática foi feita para cada tipo de agrupamento e algumas simulações foramrealizadas comprovando a aplicabilidade da metodologia.

No Capítulo 3 foi apresentada, analisada e discutida as relações de cada um dos termos pos-síveis em um determinado modelo. Foi visto que apenas para agrupamentos de termos purosde entrada pode-se determinar quais as frequências geradas ao se aplicar um sinal de entradade frequência única no modelo. Também foi visto que agrupamento de termos cruzados ouagrupamentos puros de saída fornecem inf nitas frequências ao modelo quando submetido aomesmo sinal. Pode-se perceber que este comportamento permitia a diminuição dos graus denão linearidade de modelos pois para a representação de frequências ressonantes bastava adi-cionar um agrupamento de termos puro de saídas ou cruzados para gerar inf nitas ressonantes.

100 6 Considerações Finais

Observou-se que isso poderia justif car ser desnecessário graus de não linearidades muito altosem alguns casos.

A partir dessas análises foi possível sugerir a inclusão ou exclusão de alguns termos de um mo-delo mesmo já hierarquizado pelo ERR, pois tornou-se possível avaliar o efeito do agrupamentona resposta em frequência do modelo.

Os testes realizados para os sistemas simulados mostraram que a metodologia proposta fun-cionou como critério de corte de estruturas com agrupamentos hierarquizados pelo ERR. Ob-servou-se que, em comparação ao critério de informação de Akaike, o desempenho dos modelossugeridos pelo método proposto foram semelhantes, porém, com a vantagem de fornecer estru-turas mais compactas. Isso demonstrou que em alguns casos o critério de Akaike pode fornecertermos que não explicam a dinâmica dos dados, algumas vezes fornecendo estruturas extrema-mente complexas. O método proposto foi capaz de reconhecer estruturas bem compactas quetiveram desempenhos próximos a um modelo com uma estrutura muito mais complexa. A apli-cação do método na planta simulada de pH mostrou que, embora no erro de simulação, nãohouvesse melhora no desempenho dinâmico do modelo, ainda assim com uma estrutura bemmais compacta, houve uma melhora signif cativa na aproximação do comportamento estático.

Para os casos reais, o método proposto não apresentou robustez à presença de ruído e ao ajanela-mento do sinal. Isso porque o cálculo da FFT realizado para uma quantidade limitada de dadoscausa o aparecimento de frequências não pertencentes ao sistema que camuf am as frequênciasverdadeiras. A presença de ruídos nos dados também faz surgir frequências que dependendode sua amplitude esconde frequências que compõem o espectro real do sistema. Porém, mo-delos obtidos pelo método tiveram desempenhos semelhantes à modelos obtidos pelo métodoclássico. Isso comprova que o método clássico também está sujeito à falhas na obtenção demodelos devido à condições não ideais de identif cação.

O método aqui implementado serve como um critério de informação, porém, não é fundamen-talmente estatístico como o critério de Akaike, mas apresenta relação com a representação dadinâmica do sistema a ser modelado. Isso é muito vantajoso, pois, há uma menor possibilidadede incluir agrupamentos que insiram dinâmicas espúrias ao sistema. Também aumenta-se a pos-sibilidade de indicar os agrupamentos corretos que expliquem as não linearidades do sistema edescartar agrupamentos que o explicam, diminuindo assim a quantidade de termos do modelo econsequentemente simplif cando sua estrutura.

6.1 Sugestões para trabalhos futuros 101

6.1 Sugestões para trabalhos futuros

Algumas propostas para trabalhos futuros são citadas:

1. Utilizar a técnica apresentada neste trabalho como auxílio à outras técnicas de seleção deestrutura;

2. Aplicar um sinal de frequências múltiplas na entrada para avaliação do espectro de fre-quência da saída e assim determinar uma estrutura de um modelo mais adequada;

3. Melhorar o cálculo deErroW procurando uma melhor aproximação das frequências fun-damental e ressonantes apresentadas pelo modelo em relação as frequências apresentadaspelo sistema;

4. Inserir a análise de fase da resposta em frequência do sistema e dos agrupamentos can-didatos relacionando-os com os atrasos máximos de entrada e saída.

102 Referências Bibliográf cas

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