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XIV CILA CONGRESSO IBERO-LATINOAMERICANO DEL ASFALTO

Análise Probabilística de Desempenho de um Pavimento Asfáltico

João Vicente Falabella Fabrício1; João Menescal Fabrício 2

1 Afiliação: : Ecl Engenharia Consultoria e Economia AS Endereço: Rua Dezenove de Fevereiro nº 108, Botafogo, Rio de Janeiro, RJ, CEP: 22280-030 e-mail: jvffabricio@hotmail.com 2 Afiliação: Ecl Engenharia Consultoria e Economia AS Endereço: Rua Dezenove de Fevereiro nº 108, Botafogo, Rio de Janeiro, RJ, CEP: 22280-030 e-mail: eclrj@veloxmail.com.br

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RESUMO A busca da variância de um determinado parâmetro utilizado em pavimentação, que por

sua vez é dependente das variâncias de outros parâmetros, pode ser feita de uma

maneira simplificada pelo “Método do Segundo Momento de Primeira Ordem”.

Encontram-se neste caso o cálculo do desempenho de um pavimento flexível pelo

método DNER PRO-159/79, o módulo de deformação de misturas asfálticas

desenvolvida pela Shell (Sehell Normograma PH), espessuras totais das camadas

estruturais calculadas pelos métodos de dimensionamento de pavimentos etc. No

presente trabalho mostramos um estudo de caso de desempenho de um pavimento

asfáltico empregando as equações da evolução do trincamento do Método DNER-PRO

159/85. Analisando as incertezas de todos os parâmetros envolvidos, determinamos a

variância do tempo de vida útil do pavimento e, assim, foi possível avaliar a

probabilidade da duração do pavimento em razão do tempo.

PALAVRAS-CHAVE: Método do Segundo Momento de Primeira Ordem, variância,

tempo de vida útil.

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ABSTRACT The search for variance of parameters used in the design of pavement structures, which

are dependent on other variance parameters, can be conducted whith the help of the

Method of the Second Moment of the First Order – including calculations of flexible

pavements’ performance through the DNER PRO-159/79 method, the deformation

module of asphalt mixtures developed by Shell (Sehell Normograma PH), total thickness

of structural layers calculated by pavement measurement methods etc. This paper

presents a “case study” in which this method is used, enabling the determination of the

variance of the pavement’s life span and the evaluation of its durability in relation to

time.

KEY WORDS: Method of the Second Moment of the First Order, variance, pavement’s

life.

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ANÁLISE PROBABILÍSTICA NOS ESTUDOS DE PAVIMENTOS INTRODUÇÃO

A busca da variância de um determinado parâmetro utilizado em pavimentação que é

dependente das variâncias de outros parâmetros pode ser feita de uma maneira

simplificada pelo “Metodo do Segundo Momento de Primeira Ordem”. Estão neste caso

o cálculo do desempenho de um pavimento flexível pelo método DNER PRO-159/79

dentre outros. Este trabalho mostra um estudo de caso no qual o método foi

empregado.

MÉTODO DO SEGUNDO MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM

A formulação do método do Segundo Momento de Primeira Ordem, para o emprego em

estudos de pavimentação, foi desenvolvida da seguinte maneira:

Sendo um determinado parâmetro P de um pavimento uma função f(x1,x2,x3 ..., xn), na

qual xi são variáveis aleatórias independentes, como o tráfego, deflexão Benkelman,

número estrutural etc, o valor médio do parâmetro é representado por

),...,2,1()( nxxxfXf = em que ix é o valor médio da variável xi, conforme mostrado nas

Equações 1 e 2.

],...,2,1[ nxxxX = (1)

),...,2,1()( nxxxfXf = (2)

Expandindo a função f(X) em série de Taylor em torno do vetor X ,obtem-se:

5

...2)(!2

)(''1)(!1

)(')()( +−+−+= XXXfXXXfXfXf (3)

A Equação 3 pode ser aproximada truncando-se a série no segundo termo, pois o

somatório a partir do terceiro termo em diante é pequeno em relação aos dois

primeiros. Assim, reescreve-se a Equação 3 da seguinte forma:

))((')()( XXXfXfXf −=− (4)

Os termos “ )()( XfXf − ” e “ XX − ” são respectivamente os desvios padrões do

parâmetro P do pavimento e do vetor X. Deste modo, a Equação 4 é reescrita da

seguinte forma:

)()(')]([ XXfXf σσ = (5)

na qual:

σ = desvio padrão

Elevando-se ao quadrado os dois lados da equação encontra-se:

)(2))('()]([ XVXfXfV = (6)

na qual:

V = variância

6

Sendo =)(Xf P, a Equação 6 recai em um somatório dos quadrados das derivadas

parciais no vetor X da função )(Xf em relação a cada um dos parâmetros xi

multiplicados por sua variância. Dessa forma, a variância do parâmetro P pode ser

expressa aproximadamente pela Equação 7:

)(.2)1()( ixVn

i ixVUPV ∑

= ∂∂

= (7)

Para encontrar a variância do parâmetro P, é necessário calcular as derivadas parciais

de P em torno do vetor X em relação a todos os parâmetros xi. Com essa finalidade,

utilizamos o método das diferenças finitas centrais. Este método visa em calcular o

parâmetro P médio (P ), dar uma variação (δ) separadamente em cada variável xi para

mais e para menos e verificar o comportamento de P. A variação de P para mais e

para menos dividida pela variação imposta a xi é uma aproximação da derivada parcial,

conforme expressa a Equação 8:

ix

ixixPixixP

ixVP

δδδ )5,0()5,0( −−+

=∂∂ (8)

Para que a Equação 8 seja válida, a magnitude de δxi deve ser suficientemente

pequena. Dessa forma, ∂P/∂xi poderia ser considerada constante ao longo do intervalo

δxi. Estudos probabilísticos na área geotécnica (fundações, taludes e contenções) têm

mostrado que uma variação δ = 10% dá uma boa aproximação na Equação 8

7

EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO – ESTUDO DE CASO

Empregamos o método do Segundo Momento de Primeira Ordem com o objetivo de

complementar uma simulação de soluções de um pavimento flexível para o estudo de

viabilidade técnica e econômica da rodovia BR-163/PA, subtrecho Divisa MT/PA –

Trairão, cujo projeto de engenharia já tinha sido executado. Visando uma solução de

pavimentação por etapas, estudamos vários perfis de pavimentos. Entre esses, o que

despertou maior interesse tinha o seguinte perfil:

Revestimento de Concreto Asfáltico Usinado a Quente (CAUQ). Espessura H = 4cm;

Base Granulometricamente Estabilizada. Espessura (Hb) = 20cm;

Sub Base Granulometricamente Estabilizada. Espessura (Hsb) = 20cm;

Subleito local com Índice Suporte Califórnia (ISC) ≥ 6 recomendado pelo projeto.

A seguir, procuramos saber qual seria a probabilidade de duração desse pavimento,

visando o início de uma segunda etapa de reforço da estrutura a fim de suportar o

tráfego previsto para um período maior.

O parâmetro P escolhido para definição de Vida Útil do Pavimento (VU) foi a

percentagem de trincamento cujo valor máximo adotado foi de 30%. Para isso, foram

feitas as seguintes abordagens e cálculos para a obtenção da variância do tempo de

vida útil do pavimento projetado. Estudos análogos poderiam ser feitos para outros

parâmetros de referência no cálculo da vida útil como a irregularidade longitudinal ou o

desgaste.

Procedimentos Utilizados para a Análise Probabilística

A análise probabilística para o desempenho do pavimento foi separada em duas etapas

tendo em vista de tornar o emprego do método mais didático.

8

1ª Etapa Avaliação da Variância da Deflexão Benkelman

Nessa avaliação foi empregado o programa de análise de tensões e deformações

ELSYN 5 nos cálculos determinísticos. As variáveis independentes que fizeram parte

dessa etapa foram os módulos do subleito e do revestimento; o CBR do subleito; as

espessuras do revestimento, da base e da sub-base e os coeficientes de Poison de

todas as camadas.

O módulo da sub-base, considerada uma variável dependente, foi avaliado em razão do

módulo do subleito aplicando-se a Equação 9 (Asphalt Institute, Manual de Pesquias do

Programa DAMA). O módulo da base também foi avaliado por meio da mesma

equação, mas em razão do módulo da sub-base.

Assim,

ESB = K. ESL (9)

Na qual:

K = 0,2.h30,45

ESB = módulo da sub-base em MPa

ESL = módulo do sub leito em MPa

h3 = espessura da sub-base em mm

A avaliação do módulo do subleito foi obtida pela Equação 10 (Fabrício 1992- 26ª RAPV

– Avaliação Estrutural de Pavimentos Flexíveis):

ESL = 70 x ISCSL (10)

Na qual:

ESL = módulo do subleito;

9

ISCSL = Índice Suporte Califórnia do subleito.

No cálculo da variância da Deflexão Benkelman, as seguintes variáveis e seus

respectivos desvios padrões foram arbitrados com os seguintes valores:

-Módulo do revestimento ER = 20.000 Kgf/cm2 e desvio padrão s = 10.000

Kgf/cm2,

-Coeficiente de Poison de todas as camadas = 0.4 e desvio padrão = 0.1,

-Desvios padrões para as espessuras das camadas base, sub-base e

revestimento = 10% das respectivas espessuras.

No caso estudado, não houve uma avaliação mais profunda em relação aos parâmetros

relacionados acima devido a sua pequena participação na variância da deflexão. Essas

variáveis juntas respondem por 3,27% (última coluna da Tabela 1) da variância total da

Deflexão Benkelman.

O desvio padrão, adotado para o módulo do subleito, foi obtido por meios do erro

padrão de 15 pontos próximos ao ISC igual a 7 usados por Fabrício et all (1992) na

correlação do ISC x Módulo do Subleito (equação 10). Assim, os valores dos

parâmetros adotados para o Módulo do subleito foram:

Módulo médio do subleito ESL= 525 Kgf/cm2, Desvio Padrão do Módulo do Subleito s = 171 Kgf/cm2.

A média e desvio padrão do CBR do subleito foram fornecidos pelos boletins de

sondagem inclusos no projeto de pavimentação:

ISC médio do subleito = 7,5,

Desvio padrão ISC s = 1,5.

10

A tabela 1 mostra o resultado do cálculo da variância da deflexão Benkelman.

Tabela 1-Cálculo da variância das Deflexões Benkelman pelo Método do Segundo Momento de Primeira

Ordem

Na qual:

Coluna 1 – Valor médio de cada variável xi;

Coluna 2 - Valor médio da variável xi acrescido de 5% do seu valor;

Coluna 3 - Valor médio da variável xi diminuído de 5% do seu valor;

Coluna 4 – D0+ = f(xi acrescido de 5% do seu valor);

Coluna 5 – D0- = f(xi diminuído de 5% do seu valor);

Coluna 6 - ; (Coluna 4 - Coluna 5) / (Coluna 2 - Coluna 3);

Coluna 7 – Variância da variável xi = (Desvio Padrão da variável xi)2;

Coluna 8 – Contribuição da variância da variável xi na variância total de D0 = (Coluna

6)2 x Coluna 7

Coluna 9 – Percentagem da contribuição da variância da variável xi na variância total de

D0

2ª Etapa Cálculo da Variância do Tempo de Vida Útil do Pavimento.

Parâmetro Xi + 5% Xi - 5% D0+ D0- ∆D0/∆XI V(xi) ((∆D0/∆XI)^2)xV(xi) % de V (D0)

Módulo do revestimento 21000 19000 63,22 63,34 -6E-05 100000000 0,36 0,07%Coef. de Poison do Revestimento 0,42 0,38 63,18 63,38 -5 0,01 0,25 0,05%

Espessura do revestimento 4,20 3,80 63,06 63,49 -1,075 0,16 0,1849 0,04%Coef. de Poison da base 0,42 0,38 63,26 63,27 -0,25 0,01 0,000625 0,00%

Espessura da base 21,000 19,000 62,23 64,38 -1,075 4,00 4,6225 0,96%Coef. de Poison da sub-base 0,42 0,38 63,41 63,14 6,75 0,01 0,455625 0,09%

Espessura da sub-base 21 19 62,95 63,62 -0,335 4,00 0,4489 0,09%CBR do subleito 7,9 7,1 61,79 64,90 -4,14667 2,56 44,01880178 9,12%

Módulo do subleito 551 499 60,34 66,51 -0,11752 30625,0 422,9877778 87,61%Coef. de Poison da subleito 0,42 0,38 62,61 63,84 -30,75 0,01 9,455625 1,96%

100,00%CBR 7,13 498,75

H sub base 20 cm482,78

Desv Padrão de D0 21,97TOTAL = V(D0)

D0 médio

Valor Médio20000

0,4

0,44,0

63,28

0,420

20

0,45257,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

11

Na segunda etapa calculamos a variância do tempo de vida útil. Para tal, utilizamos as

equações de desempenho do método de restauração do DNER PRO 159/79 baseado

nas equações de Queirós (1982 – Equação 11 e Equação 12). As incertezas envolvidas

no processo foram: o tráfego, o número estrutural corrigido, o tráfego necessário para o

aparecimento da primeira trinca, a percentagem de área trincada e a deflexão

Benkelman cuja variância foi calculada na etapa anterior.

Tráfego necessário para o aparecimento da primeira trinca

Log N = 1.202 + 5.96.Log SNC (11)

Erro Padrão = 0,44

Percentagem de área trincada

CR = -18,53 +0,0456.B.Ln (N) + 0,00501.B.AGE.Ln (N) (12)

Erro Padrão = 12,616

Na qual:

N = Número N da AASHTO

SNC = Número estrutural corrigido

CR = Percentagem de área trincada

B = Deflexão Benkelman em centésimos de milímetros

AGE = Idade do pavimento em anos

Para avaliação do tempo de vida útil do pavimento empregamos o critério do

trincamento e fixamos um limite máximo de 30% de área trincada para o qual a rodovia

necessitaria de uma restauração.

12

O número estrutural corrigido foi calculado conforme o método PRO 159/79 e

arbitrado um desvio padrão de 10% do seu valor:

Número Estrutural Corrigido Médio SNC = 3.14,

Desvio Padrão s = 0,314.

Estudos feitos pelo CENTRAN (Centro de Excelência em Engenharia de

Transportes) avaliaram um número N final, para um período de 10 anos, valores entre

5,2 x106 e 1,3 x107. Para efeito de cálculo, foi mantida uma taxa de crescimento anual

do tráfego de 3,4% e calculado o tráfego inicial para se atingir esses dois extremos no

período mencionado. As incertezas quanto ao tráfego foram expressas somente tendo

em vista o tráfego inicial tomando como valor médio a média desse tráfego para esses

dois extremos e para o desvio padrão a diferença entre essa média e os valores iniciais

extremos:

Tráfego inicial médio N = 7,71x105

Desvio padrão s = 3,29x105

Um dos parâmetros para se avaliar a evolução do trincamento é a idade do pavimento

na data do levantamento das condições de superfície. Esse dado de entrada foi

estimado por meio da Equação 12 e a projeção do tráfego com o tempo decorrido para

o aparecimento da primeira trinca. Os valores médios para esse tráfego e o desvio

padrão foram:

Tráfego necessário para o aparecimento da primeira trinca N = 14.701,

Desvio padrão s = 13.051

Cabe notar, conforme visualizado na última coluna da Tabela 2, que os 3

parâmetros abordados acima respondem somente por 0,17% na variância da vida útil

13

do pavimento. A deflexão e o próprio erro padrão da Equação 11 tem um peso de

40,80% e 59,03%, respectivamente, na variância da vida útil do pavimento.

Tabela 2 - Cálculo da variância da vida útil do pavimento pelo Método do Segundo Momento de Primeira

Ordem

Na qual:

Coluna 1 – Valor médio de cada variável xi;

Coluna 2 - Valor médio da variável xi acrescido de 5% do seu valor;

Coluna 3 - Valor médio da variável xi diminuído de 5% do seu valor;

Coluna 4 – VU+ = f(xi acrescido de 5% do seu valor);

Coluna 5 – VU- = f(xi diminuído de 5% do seu valor);

Coluna 6 - ; (Coluna 4 - Coluna 5) / (Coluna 2 - Coluna 3);

Coluna 7 – Variância da variável xi = (Desvio Padrão da variável xi)2;

Coluna 8 – Contribuição da variância da variável xi na variância total da V.U. = (Coluna

6)2 x Coluna 7

Coluna 9 – Percentagem da contribuição da variância da variável xi na variância total da

V.U.

PROBABILIDADES DO TEMPO DE VIDA ÚTIL

A partir do tempo médio de vida útil do pavimento e de seu respectivo desvio padrão, é

possível calcular a probabilidade do pavimento durar mais do que um determinado

número de anos. A Tabela 3 e gráfico da Figura 2 apresentam a probabilidade de vida

Parâmetro Xi + 5% Xi - 5% VU+ VU- ∆VU/∆XI V(xi) ((∆VU/∆XI)^2)xV(xi) % de V (VU)Número Estrutural Corrigido 3,30 2,98 12,016 12,002 0,043531 0,10 0,000182101 0,00%

Tráfego para aparecimento da primeira Trinca 15436 13966 12,009 12,007 1,55E-06 7,63E+07 0,000182858 0,00%Deflexão Benkelman 66,15 59,85 11,440 12,634 -0,18954 482,78 17,34356546 40,80%

Tráfego Inicial 809550 732450 11,978 12,040 -8,1E-07 1,08E+11 0,071406803 0,17%Trincamento admissível 31,5 28,5 12,603 11,412 0,397069 159,16 25,09428969 59,03%

100,00%

3,008 9,013,104 1,096

30

TOTAL = V(VU) 42,51Desv Padrão de VU 6,52

VU médiA (ANOS)

Valor Médio3,14

14701

12,01

63771000

170E+08

1 2 3 4 5 6 7 8

14

útil do pavimento ser maior do que determinado período previsto. Para tal cálculo

adotamos o modelo de distribuição normal conforme mostra a Figura 1.

Figura1 – Distribuição de freqüência da vida útil do pavimento

Tabela 3 – Probabilidade de vida útil x Período em anos

1 ano 95% 11 anos 56% 21 anos 8%2 anos 94% 12 anos 50% 22 anos 6%3 anos 92% 13 anos 44% 23 anos 5%4 anos 89% 14 anos 38% 24 anos 3%5 anos 86% 15 anos 32% 25 anos 2%6 anos 82% 16 anos 27% 26 anos 2%7 anos 78% 17 anos 22% 27 anos 1%8 anos 73% 18 anos 18% 28 anos 1%9 anos 68% 19 anos 14% 29 anos 0%

10 anos 62% 20 anos 11% 30 anos 0%

Probabilidade de vidaútil maior do que:

Probabilidade de vidaútil maior do que:

Probabilidade de vidaútil maior do que:

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35Vida Útil

Freq

uênc

ia

(Anos)

15

Figura 2 – Probabilidade de vida útil x Período em anos

CONCLUSÕES

O estudo deste caso, que utilizou o Método Probabilístico do Segundo Momento

de Primeira Ordem, quantificou as incertezas envolvidas na análise de desempenho do

pavimento projetado avaliando as probabilidades de sua duração para diversos

períodos em razão do parâmetro trincamento. No entanto, os valores encontrados não

são absolutos, pois eles são dependentes do modelo de desempenho empregado, do

programa de análise tensão/deformação, do número de variáveis envolvidas, do

método probabilístico utilizado e principalmente do tipo de distribuição empregada. A

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 5 10 15 20 25 30

Vida Útil

Prob

abili

dade

(Anos)

16

distribuição normal é a mais adotada em estatística, mas talvez não seja a mais

adequada para o estudo em questão. O método do Segundo Momento tem a vantagem

de ser menos trabalhoso, envolvendo uma quantidade pequena de cálculos se

comparado a outros métodos como a Simulação de Monte Carlo e Estimativas

Pontuais. Uma outra vantagem deste método é fornecer a contribuição de cada variável

independente na variância da variável dependente. O método mostrou a grande

influência do módulo do subleito na variância da Deflexão Benkelman (87,61%). Tal

percentagem foi majorada devido ao uso da correlação ISCSL x MÓDULOSL obtida em

pesquisas na ocasião em que J. M. Fabrício (1992) estudava a aplicação do Modelo de

Hoog na avaliação estrutural de pavimentos flexíveis em rodovias federais. Chamamos

também atenção o grande peso (59,03%) que o erro padrão da equação de

desempenho exerce na variância da vida útil.

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