Análise de Estabilidade Estática de Placas Anisotrópicas ...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFaculdade de Engenharia Mecânica

JOSÉ ILMAR LIMA MONTEIRO JÚNIOR

Análise de Estabilidade Estática dePlacas Anisotrópicas Laminadas de Kirchhoff

pelo Método dos Elementos de Contorno

CAMPINAS2017

JOSÉ ILMAR LIMA MONTEIRO JÚNIOR

Análise de Estabilidade Estática dePlacas Anisotrópicas Laminadas de Kirchhoff

pelo Método dos Elementos de Contorno

Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade deEngenharia Mecânica da Universidade Estadual deCampinas como parte dos requisitos exigidos paraobtenção do título de Mestre em Engenharia Mecâ-nica, na Área de Mecânica dos Sólidos e Projeto Me-cânico.

Orientador: Prof. Dr. Carlos Henrique Daros

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VER-SÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDAPELO(A) ALUNO(A) JOSÉ ILMAR LIMA MON-TEIRO JÚNIOR, E ORIENTADO PELO(A) PROF.DR CARLOS HENRIQUE DAROS.

...............................................................ASSINATURA DO(A) ORIENTADOR(A)

CAMPINAS2017

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CAPES, 33003017

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaLuciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129

Monteiro Júnior, José Ilmar Lima, 1990- M764a MonAnálise de estabilidade estática de placas anisotrópicas laminadas de

Kirchhoff pelo método dos elementos de contorno / José Ilmar Lima MonteiroJúnior. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

MonOrientador: Carlos Henrique Daros. MonDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Engenharia Mecânica.

Mon1. Placas. 2. Método de elementos de contorno. 3. Flambagem

(Mecânica). I. Daros, Carlos Henrique,1971-. II. Universidade Estadual deCampinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Static stability analysis of laminated anisotropic Kirchhoff plates viaboundary element methodPalavras-chave em inglês:PlatesBoundary element methodBuckling (Mechanics)Área de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto MecânicoTitulação: Mestre em Engenharia MecânicaBanca examinadora:Carlos Henrique Daros [Orientador]Paulo SolleroLeandro Palermo JúniorData de defesa: 08-08-2017Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

DEPARTAMENTO DE MECÂNICA COMPUTACIONAL

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Análise de Estabilidade Estática dePlacas Anisotrópicas de Kirchhoff

pelo Método dos Elementos de ContornoAutor: José Ilmar Lima Monteiro Júnior

Orientador:Prof. Dr. Carlos Henrique Daros

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:

Prof. Dr. Carlos Henrique DarosFEM/DMC/UNICAMP

Prof. Dr. Paulo SolleroFEM/DMC/UNICAMP

Prof. Dr. Leandro Palermo JúniorFEC/UNICAMP

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vidaacadêmica do aluno.

Campinas, 08 de agosto de 2017.

Agradecimentos

À Deus por me permitir concluir este objetivo.

Ao meu orientador, Prof. Dr. Carlos Henrique Daros por sua orientação e ensinamentos passa-dos durante esses dois anos.

A minha família, em especial a minha mãe, Matildes Carreiro Monteiro, por todo suporte eapoio durante esse mestrado.

Aos meus amigos e colegas pela ajuda quando necessária e momentos de descontração. Emespecial gostaria de agradecer Alfredo, Gil, Yuri, Jean e Maria, sem nossas noites geladas noPina e nossos churrascos esses dois anos seriam muito sem graça. Ao Alessandro, Renato, Jair,Felipe e Giovana, sem nossas quartas de futebol e intervalos da tardes as semanas seriam maischatas. Ao meus companheiros de sala. Ao pessoal do DMC, Max, Rayston, Otávio, Luís eFernando pela diversão na hora do café.

A CAPES que pelo suporte financeiro que permitiu a realização desse trabalho.

Uma mente necessita de livros da mesmaforma que uma espada necessita de umapedra de amolar, se quisermos que semantenha afiada.

George R. R. Martin

Resumo

O presente trabalho trata de três análises estruturais de placas: estabilidade estática de placasfinas isotrópicas unidirecionalmente comprimidas, estabilidade de placas finas isotrópicasmultidirecionalmente comprimidas e estabilidade estática de placas finas anisotrópicasmultidirecionalmente comprimidas. Foram desenvolvidos três programas em 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏©, umpara a análise de cada um dos problemas estudados, baseado em elementos de contornoquadráticos isoparamétricos descontínuos, juntamente com o acréscimo de nós nos cantosda placa. Esse trabalho descreve a formulação do método dos elementos de contorno (MEC)aplicada ao problema de flexão e compressão de placas isotrópicas e anisotrópicas. Os váriosnúcleos utilizados nas soluções fundamentais, bem como uma abordagem da transformadade Radon aplicada ao MEC. Os resultados foram comparados com as soluções analíticasdisponíveis, demonstrando uma boa convergência. Para a validação de alguns casos de placasmultidirecionalmente comprimidas foram usados resultados encontrados na literatura. Ao finaldesse trabalho são apresentados alguns estudos feitos com os programas criados, apresentandoplacas de diferentes formatos e condições de contorno.

Palavras-chave: Placas, Flambagem, Estabilidade Estática, Método dos Elementos de Con-torno.

Abstract

The present work study three problems of plates: static stability of thin isotropic platesunidirectionally compressed, static stability of thin isotropic plates multidirectionally com-pressed and static stability of thin anisotropic plates multidirectionlly compressed. It has beendeveloped three programs in 𝑀𝑎𝑡𝑙𝑎𝑏©, one for each problem analysed, based in quadraticisoparametric descontinuous bounadry elements and extra nodes at the plate’s corner. Thiswork describe a boundary element formulation (BEM) applied to the bending and compressionproblems of isotropic and anisotropic plates. All the kernels of the three fundamental solutionsare described, as well as a aproach of Radon transform applied to the BEM. The solutionswere validated with the avaiable analytical solutions, showing good agreement. The casesof multidirectionally compressed plates were validated with results in the literature. Thisdissertation presents some studies with different boundary conditions, geometrys and somelaminated materials.

Keywords: Plates, Buckling, Static Stability, Boundary Elements Method

Lista de Ilustrações

1.1 Exemplos de aplicação de materiais compósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Exemplos de aplicação de placas e cascas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1 Tanque de vinho flambado - (shellbuckling.com) . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Modos de Flambagem com diferentes condições de contorno (pino/pino, pi-

no/engaste e engaste/engaste) - (BIGONI, 2012) . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Comportamento de flambagem de uma barra rígida - (POPOV, 1990) . . . . . . 223.4 Barra rígida com um grau de liberdade - (POPOV, 1990) . . . . . . . . . . . . 233.5 Formas de equilíbrio pós-flambagem - (SIMITSES, 1989) . . . . . . . . . . . . 244.1 Reforço compósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Material Monoclínico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Material Ortotrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Material Isotrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5 Teste de compressão hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6 Teste de tração simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.7 Teste de cisalhamento simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.8 Rotação do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1 Placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2 Deslocamento devido a flexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3 Tensões no elemento de placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.4 Intensidade das forças no elemento de placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5 Tensões em uma seção arbitrária de um elemento de placa . . . . . . . . . . . . 445.6 Equilíbrio de forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.7 Equilíbrio de forças de membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.8 Laminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.9 Laminado Simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.1 Placa com elementos com ponto fora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2 Elementos Descontínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3 Elementos Quadriláterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.1 Orientação do sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.2 Casos estudados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.3 LELA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.4 LELA Carga Crítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.5 LELE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.6 LELE Carga Crítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.7 LELE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.8 LLLE Carga Crítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.9 AAAA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.10 AAAA Carga Crítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.11 AAAA com carga concentrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.12 Deslocamento AAAA com carga concentrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.13 Deslocamento AAAA com carga concentrada - Placa 3x1 . . . . . . . . . . . . 998.14 Superfície AAAA com carga concentrada - Placa 3x1 . . . . . . . . . . . . . . 1008.15 EEEE Carga Crítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.16 AAAA Carga Crítica - 𝑁𝑥 = 𝑁𝑦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.17 Placa Multicomprimida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.18 AAEE Carga Crítica - 𝑁𝑥 = 𝑁𝑦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.19 LLLE bidirecionalmente comprimida isotrópica - Carga Crítica . . . . . . . . . 1038.20 EEEE bidirecionalmente comprimida isotrópica - Carga Crítica . . . . . . . . . 1048.21 Placa engastada - deslocamento na direção x com cargas cisalhantes . . . . . . 1058.22 Placa engastada - Isocurvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058.23 Placa engastada - mapa de deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.24 Carga Crítica - Placa engastada com compressão biaxial combinada com carga

cisalhante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.25 Casos de placas chanfradas estudados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078.26 Caso AAAA unidirecionalmente comprimida isotrópica com chanfros - Carga

Crítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1088.27 Deslocamento na direção x de uma placa ortotrópica sobre flexão . . . . . . . . 1098.28 AAAA unidirecionalmente comprimida ortotrópica - Carga Crítica . . . . . . . 1108.29 EAEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108.30 EAEA unidirecionalmente comprimida ortotrópica - Carga Crítica . . . . . . . 1108.31 AAAA bidirecionalmente comprimida ortotrópica - Carga Crítica . . . . . . . . 1118.32 Variação da carga crítica com a mudança do ângulo de orientação da fibra . . . 1128.33 Caso AAAA unidirecionalmente comprimida ortotrópica com chanfros - Carga

Crítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Lista de Tabelas

8.1 Estudo de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.2 Fator de carga de flambagem 𝑘𝑐𝑟 - laminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Lista de Abreviaturas e Siglas

Matrizes,vetores e tensores

[𝐴] - Matriz de rigidez planar do laminado[𝐵] - Matriz de acoplamento entre as rigidezes do laminado𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 - Tensor de elasticidade[𝐶] - Matriz de rigidez[𝐷] - Matriz de rigidez flexural do laminado[𝐺] - Matriz de influência com os núcleos dos deslocamentos

na placa[𝐻] - Matriz de influência com os núcleos dos esforços na placa[𝑄] - Matriz de rigidez da lâmina reduzida[] - Matriz de rigidez da lâminda reduzida rotacionada𝜎𝑖𝑗 - Tensor de tensões𝜖𝑖𝑗 - Tensor de deformações

Letras Gregas

𝛿(𝑥) - Função delta de dirac𝛿𝑖𝑗 - Delta de Kronecker𝜆 - Constante de Lamé𝜇 - Constante de Lamé∆𝑉 - Varição de Volume𝜈 - Coeficiente de PoissonΓ - Contorno da placaΩ - Domínio da placa∇ - Operador biarmônico

Letras Latinas

ci - Função cosseno integral𝐶𝑖 - Termo livre da equação integral de contorno𝐷 - Rigidez flexural da placa𝐸 - Módulo de elasticidade𝐺 - Módulo de Cisalhamentoℎ - Espessura da placa𝐾 - Módulo de expansão volumétrica𝑀𝑛 - Momento fletor resultante𝑀𝑛𝑠 - Momento volvente resultante𝑀𝑥 - Distribuição do momento fletor ao longo do eixo 𝑦

𝑀𝑥𝑦 - Distribuição do momento volvente ao longo do eixo 𝑥

𝑀𝑦 - Distribuição do momento fletor ao longo do eixo 𝑥

𝑀𝑦𝑥 - Distribuição do momento volvente ao longo do eixo 𝑦

𝑛𝑥 e 𝑛𝑦 - Cossenos diretores𝑁𝑐 - Função de forma contínua𝑁𝑑 - Função de forma descontínua𝑁𝑛 - Força planar normal resultante𝑁𝑛𝑠 - Força planar cisalhante resultante𝑁𝑥 - Força planar na direção 𝑥

𝑁𝑥𝑦 - Força planar cisalhante𝑁𝑦 - Força planar na direção 𝑦

𝑝 - Pressão hidrostática𝑞 - carga lateral𝑄𝑛 - Força cisalhante resultante no eixo 𝑛

𝑄𝑥 - Distribuição da força cisalhante ao longo da direção 𝑦

𝑄𝑦 - Distribuição da força cisalhante ao longo da direção 𝑥

𝑟 - Distância entre o ponto fonte e o ponto campo𝑅𝑐 - Reação de cantosi - Função seno integral𝑉 - Volume𝑉𝑛 - Força cisalhante resultante𝑤 - Deslocamento da placa na direção 𝑧

𝑌𝑖 - Função de Bessel do segundo tipo e ordem 𝑖

Siglas

EPT - Estado Plano de TensãoMEC - Método dos Elementos de ContornoMEF - Método dos Elementos FinitosTCP - Teoria Clássica de PlacasTCL - Teoria Clássica de Laminados

Subscritos

f - fibraft - direção transversal da fibral - longitudinallt - lâminam - matrizt - transversal

Sumário

1 INTRODUÇÃO 151.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Objetivos 192.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Roteiro da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Flambagem 21

4 Materiais Compósitos 254.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Constituintes dos compósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1 Fibras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Vantagens dos compósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4 Equações constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4.1 Simetria Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Material Monoclínico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Material Ortotrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Material Isotrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4.2 Constantes de Engenharia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Teste de compressão hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Teste de tração simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Teste de cisalhamento simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Constantes de engenharia nos compósitos . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.3 Matriz de transformação de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4.4 Estado Plano de Tensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Teoria de placas finas anisotrópicas 405.1 Teoria clássica de placas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.1 Equações de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2 Placas Comprimidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 Teoria clássica de laminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 MEC aplicado a placas anisotrópicas multidirecionalmente comprimidas 516.1 Equação integral de contorno para flexão de placas anisotrópicas . . . . . . . . 516.2 Equação integral de contorno para flexocompressão de placas anisotrópicas . . 55

6.3 Solução fundamental para o caso isotrópico unidirecionalmente comprimida . . 61

6.3.1 Núcleo da inclinação -𝜕𝑤*

𝜕𝑛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.3.2 Núcleo do momento resultante - 𝑀*𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.3.3 Núcleo da resultante do esforço cortante - 𝑉 *𝑛 . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3.4 Núcleo da reação de canto - 𝑅*𝑐𝑗

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3.5 Núcleo da derivada do deslocamento -𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑖

. . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3.6 Núcleo da derivada da inclinação -𝜕2𝑤*

𝜕𝑛𝜕𝑛𝑖

. . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3.7 Núcleo da derivada do momento resultante -𝜕𝑀*

𝑛

𝜕𝑛𝑖

. . . . . . . . . . . 66

6.3.8 Núcleo da derivada do esforço cortante -𝜕𝑉 *

𝑛

𝜕𝑛𝑖

. . . . . . . . . . . . . . 67

6.3.9 Núcleo da derivada da reação de canto -𝜕𝑅*

𝑐𝑗

𝜕𝑛𝑖

. . . . . . . . . . . . . . 70

7 Soluções fundamentais para os caso de placas multidirecionalmente comprimida 717.1 Solução fundamental para o caso de placa multidirecionalmente comprimida

isotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.1.1 Núcleo da inclinação -𝜕𝑤*+

𝜕𝑛. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.1.2 Núcleo do momento resultante - 𝑀*𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.1.3 Núcleo do esforço cortante resultante - 𝑉 *𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . 77


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.1.5 Núcleo da derivada do deslocamento -𝜕𝑤*+

𝜕𝑛𝑖

. . . . . . . . . . . . . . 78

7.1.6 Núcleo da derivada da inclinação -𝜕2𝑤*+


. . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.1.7 Núcleo da derivada do momento -𝜕𝑀*

𝑛

𝜕𝑛𝑖

. . . . . . . . . . . . . . . . . 80


𝑛

𝜕𝑛𝑖

. . . . . . . . . . . . . . 80

7.1.9 Núcleo da derivada das reações de canto -𝜕𝑅*

𝑐𝑗

𝜕𝑛𝑖

. . . . . . . . . . . . . 80

7.1.10 Integrais Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2 Solução fundamental anisotrópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2.1 Núcleo da inclinação do deslocamento -𝜕𝑤*+

𝜕𝑛. . . . . . . . . . . . . 82

7.2.2 Núcleo do momento resultante - 𝑀*+𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.2.3 Núcleo do esforço cortante resultante - 𝑉 *+𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.2.4 Núcleo das reações de canto - 𝑅*+𝑐𝑗

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.2.5 Segunda Equação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2.6 Integrais Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.3 Implementação computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8 Resultados 91

8.1 Validação dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.1.1 Caso unidirecionalmente comprimido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Caso LALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Caso LELE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Caso LLLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Caso AAAA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Caso AAAA com carga concentrada . . . . . . . . . . . . . . . . 98Caso EEEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.1.2 Caso isotrópico multicomprimido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Caso AAAA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Caso AAEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Caso LLLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Caso EEEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Caso EEEE com cargas compressivas combinadas com cargas ci-salhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Caso AAAA com chanfros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.1.3 Caso Anisotrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Placa ortotrópica unidirecionalmente comprimida . . . . . . . . . 109Caso AAAA multicomprimido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Influência do ângulo de orientação da fibra na carga crítica . . . . . 112Casos Laminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Caso AAAA com chanfros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9 Conclusão 1159.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Referências Bibliográficas 117

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1 INTRODUÇÃO

Esse trabalho estuda quatro assuntos: materiais compósitos, placas, estabilidade estáticae o método dos elementos de contorno. A seguir serão apresentadas as motivações para o pre-sente trabalho, bem como uma revisão bibliográfica do MEC aplicada à estabilidade de placase cascas.

1.1 Motivação

Atualmente no estudo dos fenômenos físicos de problemas de engenharia, o uso de mé-todos numéricos tem sido extremamente importante nos mais diversos campos da engenharia.Alguns dos fatores para o aumento do uso destes métodos são a qualidade dos resultados obti-dos quando comparados com dados experimentais; um tempo relativamente curto para a soluçãodos problemas, principalmente com as inovações da computação moderna; tais problemas sãoregidos, em sua maioria, por equações diferenciais parciais cujas soluções analíticas não podemser obtidas.

Dentre os vários métodos numéricos existentes, o método dos elementos de contorno(MEC) tem ganhado bastante destaque como uma excelente ferramenta de simulação computa-cional. O MEC possui uma melhor convergência e precisão, principalmente em problemas comconcentração de tensão e domínios que tendem ao infinito (BREBBIA e DOMINGUEZ, 1992;KANE, 1994), quando comparado com outros métodos numéricos, como por exemplo o métododos elementos finitos (MEF). Uma das principais características do MEC é a sua discretizaçãoapenas no contorno do domínio, simplificando assim a malha e reduzindo o custo computacio-nal.

Os métodos numéricos possibilitaram a aplicação de novos materiais, como os compó-sitos anisotrópicos. Tais materiais tem despertado o interesse de diversos pesquisadores nasúltimas décadas, devido ao baixo peso e variação das propriedades mecânicas, podendo serprojetado para usos específicos. Inicialmente eles eram restritos à indústria de tecnologia deponta, devido ao alto custo e complexidade de projeto. No entanto, com as novas tecnologias,os materiais compósitos passaram a ser utilizados em diversas áreas, como em veículos auto-mobilísticos, satélites, fuselagem de aviões e helicópteros, plataformas marítimas, telescópios,implantes ortopédicos e odontológicos, equipamentos esportivos, instrumentos musicais.

Dentre os materiais compósitos destacam-se os compósitos laminados cuja formação sedá pelo empilhamento e colagem de várias camadas (lâminas) de materiais compósitos, dife-rentes ou não. Geralmente os compósitos são formados pela união de pelo menos dois tiposde materiais diferentes, sendo um a matriz e outro como material de reforço. Tanto a ma-triz quanto o reforço podem ser compostos por metais ou não-metais (polímeros e cerâmicas)(REDDY, 2003). A Fig. 1.1(a) mostra uma peça da câmara de combustão de uma turbina feitade material compósito com matriz cerâmica e Fig. 1.1(b) mostra a caixa da asa de um avião

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feita com um compósito de matriz polimérica.

(a) Componente da turbina de um avião(www.aviacao.org)

(b) Asa de um avião(www.omundodausinagem.com.br)

Figura 1.1: Exemplos de aplicação de materiais compósitos

Diversos problemas que não possuem solução analítica podem ser investigados mais pro-fundamente com a ajuda dos métodos numéricos. A versatilidade do MEC permite que ele sejaaplicado na análise de diversos problemas estruturais, como por exemplo termoelasticidade,mecânica da fratura, estabilidade estática, problemas de contato.

A análise de estabilidade estática tem ganhado um destaque muito grande nas últimasdécadas, devido ao desenvolvimento de materiais de alta resistência e baixo peso, como oscompósitos, que possibilitou o uso de componentes estruturais cada vez mais finos. Um doselementos mais utilizados na área estrutural são os componentes de paredes finas, como placase cascas. Tais elementos são projetados para suportar cargas como membranas, no entanto, seas cargas atuantes forem compressivas, o elemento pode se tornar instável e falhar por flamba-gem. Placas e cascas possuem uma dimensão, espessura, muito menor que as outras, podendoassim ser simplificada como um elemento bidimensional. Esses componentes possuem diversasaplicações nas mais variadas áreas da engenharia, como nas aletas de foguetes, lajes e paredesna engenharia civil, painéis estruturais nos automóveis, cascos de navio, placas de circuitos naengenharia eletrônica. Na Fig. 1.2(a), temos o exemplo de uma viga metálica composta portrês placas, também chamadas de chapas, utilizada em superestruturas de pontes, sendo que aalma do perfil atua sobre compressão podendo flambar em caso de mal dimensionamento; naárea aeronáutica temos como exemplo a fuselagem de um avião, Fig. 1.2(b), como exemplo decasca.

Atualmente a indústria tem utilizado placas e cascas finas feitas com materiais compósi-tos anisotrópicos. O estudo de flambagem desses elementos não possuem soluções analíticas,tornando fundamental a aplicação de simulações numéricas para a solução do problema.

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(a) Viga metálica de ponte(www.perfilsoldado.com.br)

(b) Fuselagem de avião(www.aviacao.org)

Figura 1.2: Exemplos de aplicação de placas e cascas

1.2 Revisão Bibliográfica

Em relação ao estudo de placas existem duas teorias mais amplamente difundidas: a teoriade placas desenvolvida por Kirchhoff e Love (1888), também conhecida como teoria clássicade placas (TCP); e a teoria de placas desenvolvida por Reissner (1945) e Mindlin (1951). ATCP considera pequenas deflexões, menores que a dimensão da espessura. Isso permite quepossam ser feitas as seguintes considerações: não ocorre deformação no plano médio da placa;pontos que estão em uma posição normal ao plano médio permanecem normais ao plano médioda placa após a flexão; as tensões normais a superfície da placa podem ser desconsideradas.Uma grande diferença entre ambas teorias é com relação a deformação cisalhante, sendo que nateoria de placas de Reissner e Mindlin o efeito da força cisalhante é considerável, necessitandoportanto considerar a deformação cisalhante. Já a TCP considera tais deformações desprezíveis.Devido a segunda consideração, a teoria de Kirchhoff não apresenta bons resultados quando aplaca possui pontos com concentração de tensão, como por exemplo um furo com diâmetrosuperior a espessura da placa, pois os efeitos da força cisalhante não podem ser consideradosdesprezíveis.

A ideia do MEC consiste em utilizar integrais de contorno para resolver as equações go-vernantes dos problemas físicos, fato este que possibilita a redução das dimensões do problema.Antes do advento dos computadores, os trabalhos de Somigliana (1885/86) e Fredholm (1903)são considerados alguns dos precursores do método, (GAUL et al., 2003). Pode-se dizer que otrabalho de Cruse e Rizzo (1968) foi pioneiro no uso do método direto de análise de problemasfísicos com integrais de contorno para os problemas de elastoestática (BREBBIA et al., 1984)enquanto Jaswon (1963) e Symm (1963) utilizaram as equações de Fredholm para resolverproblemas potenciais, (KATSIKADELIS, 2002).

Algumas das primeiras aplicações do MEC ao problema de placas finas foram obtidaspor Bézine e Stern que desenvolveram uma formulação para solucionar o problema de flexão de

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placas com diferentes condições de contorno, como pode ser visto em (BÉZINE, 1978), (BÉ-ZINE, 1981) e (STERN, 1979). (KATSIKADELIS e ARMENÀKAS, 1984) estudaram placasapoiadas em fundações elásticas e (BÉZINE et al., 1985) investigaram o problema de flamba-gem de placas sobre apoios elásticos.

Outros trabalhos foram desenvolvidos para analisar os mais diversos problemas de placas,como o de (TAI et al., 1983) que investigaram o problema de flexão de placas com bordaslivres e o (SLÁDEK e SLÁDEK, 1983) apresentaram uma formulação de BEM para resolver oproblema com diferentes condições de contorno. Mais recentemente (PARÍS e DE LEÓN, 1996)apresentaram uma nova formulação para analisar flexão de placas utilizando duas equações dePoisson. No Brasil destacam-se as pesquisas realizadas por Venturini, Paiva, Palermo Jr. noinicio dos anos 1990 como pode ser visto em (PAIVA, 1987), (PAIVA e VENTURINI, 1992),(PALERMO JR. et al., 1992), (VENTURINI e PAIVA, 1993). E nos anos 2000 por Albuquerquee Sollero como em (ALBUQUERQUE et al., 2006).

Um estudo de flambagem de placas ortotrópicas somente com forças planares com o MECfoi feito por (SHI e BÉZINE, 1990). O caso de flambagem com forças no plano variáveis foiinvestigado por (LIN et al., 1999) para o caso de placas isotrópicas. (TANAKA et al., 1999)utilizaram MEC para analisar os casos de pré e pós-flambagem de placas utilizando a teoria devon Kármán. (PURBOLAKSONO e ALIABADI, 2005) estudaram a flambagem de placas comdeformação cisalhante e posteriormente investigaram o problema com grandes deformações,(PURBOLAKSONSO e ALIABADI, 2010). Outros estudos de elementos de paredes finas comgrandes deformações com as equações de von Kármán podem ser encontrados em (BAIZ eALIABADI, 2006), (BAIZ e ALIABADI, 2010) e (DIRGANTARA e ALIABADI, 2006).

A análise de estabilidade estática de placas anisotrópicas não é recente, uma das maiorescontribuições para esse estudo, na década de 1960, foi feita por (LEKHNITSKII, 1968) queestudou diversos casos de flambagem de placas ortotrópicas de forma analítica e experimental.Nos anos de 1980 outros pesquisadores contribuíram para o tema: (REDDY e PHAN, 1985),(BAHARLOU e LEISSA, 1987), (LEISSA, 1987), (GEIER e ROHWER, 1989), (REDDY eKHDEIR, 1989), para citar alguns. Algumas investigações mais recentes utilizando diferentesabordagens e teorias podem ser encontradas em (TARN, 1996), (NEMETH, 2004) e (SELYU-GIN, 2016).

Diversos pesquisadores estudaram o problema através de outros métodos, como o MEF,que podem ser encontrados em (LAKSHMINARAYANA e MURTHY, 1984), (HARIK eBALAKRISHNAN, 1994), (RAJAMOHAN e RAAMACHANDRAN, 1999), (FERREIRAet al., 2011), (ZHU et al., 2012), (LOPATIN e MOROZOV, 2014), para citar alguns. Algu-mas contribuições para a análise de flambagem de placas com o MEC podem ser encontradasem (SYNGELLAKIS e ELZEIN, 1994) que estudaram o problema com diversas condições decarregamento utilizando uma formulação sem a necessidade de uma segunda equação integrale (SHI, 1990) que analisou a flambagem de placas ortotrópicas através do MEC.

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2 Objetivos

Esse capítulo apresenta os objetivos gerais da dissertação juntamente com um roteiro dosdemais capítulos.

2.1 Objetivos

Esse trabalho tem como objetivo principal a aplicação do MEC para analisar o problemade estabilidade estática de placas com forças multidirecionalmente compressivas uniformes econstantes atuando conjuntamente com cargas laterais (concentradas ou distribuídas).

O presente trabalho pode ser divido em três etapas: placas isotrópicas unidirecionalmentecomprimidas, placas isotrópicas multidirecionalmente comprimidas e placas anisotrópicas mul-tidirecionalmente comprimidas. Como resultado da dissertação foram desenvolvidos três pro-gramas em Matlab® baseados no MEC, um para cada etapa do trabalho. Os programas são usa-dos para simular o campo de deslocamento das placas, analisando assim seu comportamentocom o aumento das cargas planares.

2.2 Roteiro da dissertação

Essa dissertação é dividida em oito capítulos.No capítulo 1 é apresentada a motivação para o tema estudado, bem como uma breve

revisão sobre o MEC, placas e materiais compósitos.O capítulo 2 descreve os objetivos do trabalho e o roteiro da dissertação.O problema de flambagem é apresentado no capítulo 3, mostrando algumas formas de

flambagem. Nesse capítulo também é feita uma breve introdução à teoria de estabilidade.O capítulo 4 apresenta algumas características dos materiais compósitos, como definição

e composição. Nesse capítulo também são apresentadas algumas das equações constitutivasdesses materiais.

O capítulo 5 apresenta a teoria de placas de Kirchhoff para os casos de placas sobre flexão.A teoria é estendida para o caso em que atuam na placa forças fora do plano conjuntamente comforças planares. Ao final do capítulo também é descrita a teoria clássica de laminados.

O capítulo 6 detalha a formulação de elementos de contorno para placas isotrópicas uni-direcionalmente comprimidas. Demonstra a obtenção da equação integral de contorno, assimcomo a equação hipersingular e descreve os núcleos utilizados na primeira etapa do trabalho.

As formulação do MEC para as demais etapas da dissertação são descritas no capítulo 7,assim como alguns tratamentos de singularidades necessários para a implementação dos algo-ritmos. Nesse capítulo também é descrita a aplicação da transformada de Radon com o MEC.

No capítulo 8 os programas são validados com as soluções analíticas disponíveis e comresultados numéricos encontrados na literatura. Alguns casos de placas com diversos formatos

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e condições de contorno são analisados, apresentando o fator de carga encontrado.Por fim, no capítulo 9 são feitas as considerações finais e conclusões sobre o trabalho,

assim como sugestão de trabalhos futuros.

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3 Flambagem

Nesse capítulo será apresentado o problema de flambagem e uma breve introdução aoestudo de estabilidade.

O fenômeno de flambagem ocorre em várias situações onde forças compressivas estãoatuando sobre a estrutura. Em geral, ocorre uma perda estabilidade no equilíbrio da estruturaquando esta está sujeita a compressão, fato que pode levar a falha por flambagem. A Fig. 3.1ilustra um tanque de vinho que flambou devido a ocorrência de um terremoto . A forma deflambagem depende dos tipos de apoio, como pode ser visto na Fig. 3.2.

Figura 3.1: Tanque de vinho flambado - (shellbuckling.com)

O critério de estabilidade do equilíbrio estático pode ser simplificado pelo exemplo apre-sentado na Fig. 3.3. Na Fig. 3.3 é apresentado uma barra rígida apoiada sobre uma mola tor-cional e com uma carga compressiva axial 𝑃 e uma força horizontal 𝐹 . De acordo com (PO-POV, 1990), quando apenas a força 𝑃 atua na barra, se as forças restauradoras da mola foremmaior que o efeito causado pela força externa, 𝑘𝜃 > 𝑃𝐿𝜃, então o equilíbrio é estável. Caso asforças restauradoras sejam menores, 𝑘𝜃 < 𝑃𝐿𝜃, o equilíbrio é instável.

No entanto, se 𝑘𝜃 = 𝑃𝐿𝜃, então considera-se que o equilíbrio é neutro e a carga 𝑃 queiguala o efeito da força externa às forças de restauração da mola é a chamada carga crítica deflambagem, 𝑃𝑐𝑟.

Quando uma força perturbadora horizontal 𝐹 está atuando no sistema, a curva de desloca-mento passa a ter um comportamento assintótico considerando que sin(𝜃) ≡ 𝜃, como ilustradona parte b da Fig. 3.3.

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Figura 3.2: Modos de Flambagem com diferentes condições de contorno (pino/pino, pino/en-gaste e engaste/engaste) - (BIGONI, 2012)

Figura 3.3: Comportamento de flambagem de uma barra rígida - (POPOV, 1990)

Considerando que a barra possui uma pequena inclinação inicial 𝛿𝜃, então a equação deequilíbrio passa a ser

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(𝑃𝐿− 𝑘)𝛿𝜃 = 0. (3.1)

Pela Eq. (3.1) observa-se que existem duas soluções distintas. Uma na qual 𝛿𝜃 = 0 (vol-tando no caso da barra reta) e outra na qual o termo entre parêntesis é zero. Nesse caso, osistema possui duas posições de equilíbrio na carga crítica. Esses dois caminhos da solução nacarga crítica é chamado de ponto de bifurcação.

Analisando o equilíbrio da barra rotacionada (quando estão atuando sobre ela as forçasvertical 𝑃 e horizontal 𝐹 ) ilustrado na Fig. 3.4. Pelo somatório dos momentos obtém-se

𝑃𝐿 sin(𝜃) + 𝐹𝐿 cos(𝜃) − 𝑘𝜃 = 0,

𝑃 =𝑘𝜃 − 𝐹𝐿 cos(𝜃)

𝐿 sin(𝜃).

(3.2)

Figura 3.4: Barra rígida com um grau de liberdade - (POPOV, 1990)

A Eq. (3.2) apresenta a solução exata ilustrada na Fig. 3.4(b). No entanto, tal soluçãoconsidera grandes deformações, fato que geralmente não pode ser suportado pela maioria dasaplicações. Para contornar esse problema, considera-se que quando 𝜃 é pequeno sin(𝜃) ≡ 𝜃 ecos(𝜃) = 1, assim reescreve-se a Eq. (3.2) como

𝑃 =𝑘𝜃 − 𝐹𝐿

𝐿𝜃. (3.3)

A solução linearizada apresenta uma boa precisão para pequenos valores de 𝜃, porém ela começaa divergir bastante quando 𝜃 → 𝜋 como pode ser visto na Fig. 3.4(b).

Segundo (KUBIAK, 2013) e (LEIPHOLZ, 1987) uma estrutura pode se comportar de trêsformas após o ponto de bifurcação. A Fig. 3.5 apresenta tais formas. Fig. 3.5(a) apresenta umequilíbrio estável, onde os deslocamentos aumentam com o aumento da carga 𝑃 e de acordo

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com (SIMITSES, 1989) essa resposta do sistema é característica de elementos estruturais comoplacas e colunas. A Fig. 3.5(b) ilustra um caminho de equilíbrio estável de um lado e instáveldo outro. Esse tipo de equilíbrio é tipico de treliças. A Fig. 3.5(c) mostra um equilíbrio instá-vel, onde os deslocamentos reduzem com o aumento da carga 𝑃 , sendo um equilíbrio muitoencontrado em cascas cilíndricas.

(a) Equilíbrio Estável (b) Equilíbrio Estável-Instável

(c) Equilíbrio Instável

Figura 3.5: Formas de equilíbrio pós-flambagem - (SIMITSES, 1989)

Uma outra forma de analisar o problema de flambagem é estudando a energia potencialtotal do elemento (LEIPHOLZ, 1987) e (THOMPSON e HUNT, 1973). Considerando um sis-tema conservativo, se o variacional total de energia for positivo, então o corpo não consegue seafastar da posição de equilíbrio e o sistema apresenta uma configuração de equilíbrio estável.Se o variacional total de energia for negativo, o corpo consegue se afastar da posição de equilí-brio e o sistema está em um equilíbrio instável. No caso em que o variacional total de energiaé zero, o equilíbrio é neutro, o que significa que não houve mudanças na energia potencial totaldo sistema, (SHAMES e DYM, 1991).

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4 Materiais Compósitos

Nesse capítulo serão apresentadas algumas definições de materiais compósitos e descritaas equações constitutivas para os mesmos.

4.1 Definição

Um material compósito é formado pela união de dois ou mais materiais diferentes, sendocombinações entre metais, cerâmicas e polímeros. Diferente de outras materiais constituído pormais de um componente, como ligas metálicas, que são formados em escala microscópica, oscompósitos são formados macroscopicamente (GIBSON, 1994). Portanto esses materiais sãoheterogêneos.

O uso de materiais compósitos não é recente, desde a antiguidade eles são usados peloshomens, como as ferramentas feitas de ossos, que é um compósito natural. Outro compósitonatural muito utilizado é a madeira que pode ser considerado como uma combinação de umaparte lenhosa e outra de celulose. Os constituintes dos compósitos podem ser divididos emaglutinante (matriz) e reforço.

O material de reforço pode ser composto por fibras, partículas, tiras entre outras formas.Atualmente, na área estrutural o principal reforço utilizado se encontra na forma fibrosa, por-tanto no presente trabalho as outras formas de reforço não serão descritas.

4.2 Constituintes dos compósitos

4.2.1 Fibras

Fibras consistem de várias centenas ou milhares de filamentos com um diâmetro entre 5

e 15𝜇m entrelaçados entre si de forma semelhante a fios de tecido (GAY, 2015). Elas são divi-didas de acordo com seu comprimento em: fibras curtas, possuindo entre frações de milímetrosa poucos centímetros de comprimento e são usadas geralmente em moldes de injeção; fibraslongas que são cortadas após a fabricação da peça e são utilizadas na sua forma natural ou naforma de tecidos.

Os materiais compósitos geralmente se apresentam na forma de laminas, cuja formaçãose dá pelo arranjo de várias fibras em uma matriz. Tais arranjos podem ser unidirecional, bidire-cional (com fibras nas duas direções do plano) e tecidos (fibras entrelaçadas como na industriatêxtil), como pode ser visto na Fig. 4.1.

As fibras são os principais carregadores de carga dos compósitos, portanto a orientaçãodas fibras tem uma grande influência no comportamento dos mesmos. No caso da Fig. 4.1(a),possui bom comportamento mecânico quando os esforços são longitudinais (direção da fibra),no entanto apresenta um comportamento não desejável com esforços transversais. O arranjo

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(a) Fibras unidirecionais (b) Fibras Bidirecionais (c) Fibras Tecidos

Figura 4.1: Reforço compósitos

mostrado na Fig. 4.1(b) tem um bom comportamento com cargas tanto transversais quantolongitudinais, porém sua eficiência dependerá da densidade de fibras em cada uma das direções.O tecido multidirecional apresentado na Fig. 4.1(c) possui resistência mecânica semelhante asdo caso bidirecional e melhor tolerância ao dano, aumentando sua resistência à delaminação.

Os principais materiais utilizados para fabricação das fibras são: vidros, aramida, carbono,carbeto de silício, boro e fibras naturais. Na indústria aeronáutica os compósitos são preenchidosprincipalmente com fibras de carbono, enquanto que no setor automobilístico usa-se mais asfibras de vidro.

As fibras naturais podem ser de origem animal ou vegetal. Atualmente, essas fibras temganhado muita importância devido aos impactos ambientais causados pelo homem. Uma desuas principais vantagens está exatamente no fato de ser biodegradável, além de não emiti-rem dióxido de carbono. Muitas das fibras naturais possuem características interessantes comrelação as suas propriedades de amortecimento e resistência ao choque. Porém sua qualidadedepende de fatores ambientais como clima e tipo de solo. Elas também são hidrofílicas, o quepode comprometer seu desempenho. Como elas são naturais, não possuem boa resistência aaltas temperaturas.

4.2.2 Matrizes

As matrizes dos materiais compósitos tem a função de manter o arranjo geométrico dasfibras e de transmitir o carregamento para as fibras, além de contribuir para algumas proprieda-des especificas como ductilidade, dureza, resistência térmica, isolamento elétrico, por exemplo.Elas podem ser feitas de resinas termoplásticas (polipropileno), resinas termoajustáveis (epóxi,silicones), matrizes minerais (carbono, carbeto de silício) ou matrizes metálicas (ligas de alumí-nio, ligas de titânio). A escolha da matriz está ligada as propriedades desejadas no componente,a sua compatibilidade com as fibra e em muitos casos ao custo.

Além do material base da matriz, em muitos casos, adiciona-se um outro componente

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durante a fabricação das matrizes, os materiais de preenchimento. Geralmente, eles são usa-dos para melhorar alguns aspectos como redução de peso ou melhor proteção contra radiaçãoultravioleta (GIBSON, 1994).

4.3 Vantagens dos compósitos

Inicialmente o interesse nos materiais compósitos surgiu principalmente pela necessidadede redução de peso das estruturas. A indústria aeroespacial foi a primeira a utilizar tais materiais.O interesse pelos compósitos foi se espalhando pelas mais diversas áreas, sendo utilizados emautomóveis, aeronaves, instrumentos musicais, equipamentos esportivos, entre muitos outroscampos de estudo. As principais características que tornam os compósitos tão interessantes sãoseu baixo peso, alta resistência, alta rigidez, baixa condutividade elétrica, bom desempenho aaltas temperaturas de trabalho, entre outras.

Além disso, o fato de materiais compósitos serem fabricados permite que eles sejam pro-jetados de forma que tenham propriedades desejadas em direções específicas. Devido ao fatode serem fabricados, durante o processo de fabricação dos mesmos ocorre menos perda de ma-terial. No entanto, a complexidade de projeto de materiais compósitos é maior do que para osmateriais isotrópicos devido a grande quantidade de variáveis envolvidas. Um desses fatores éa compatibilidade entre matriz e fibras, sendo que as mesmas devem ser escolhidas de formaque elas possuam uma boa ligação química e mecânica entre si. A compatibilidade entre ma-triz e fibra se torna mais importante no caso de compósitos que atuam em altas temperaturas,pois nesses casos, existe o risco de ocorrerem reações indesejáveis entre os constituintes docompósito.

Os compósitos possuem uma maior resistência à fadiga, o que influencia diretamente navida útil dos componentes. O baixo coeficiente de expansão térmica apresentado pela maioriadesses materiais reduz possíveis deformações causadas pela variação de temperatura. Materiaisfeitos com matrizes poliméricas e cerâmicas apresentam uma excelente resistência a corrosão.

Algumas das desvantagens dos compósitos são quanto sensibilidade à umidade dos com-ponentes, pois a mesma pode causar uma redução nas propriedades mecânicas. Outra desvan-tagem, principalmente na aeronáutica, é a baixa condutividade elétrica dos compósitos. Nessescasos, deve-se ter um cuidado especial com a estrutura em caso de descargas elétricas. Materi-ais compósitos, geralmente, possuem uma resistência ao impacto de média para baixa, portantodeve-se evitar choques nas estruturas compósitas. A resistência ao fogo desses materiais em ge-ral é alta, no entanto é preciso evitar que matrizes feitas de materiais poliméricos que produzemfumaças tóxicas entre em contato com chamas. O elevado custo da matéria-prima, ferramentariae processamento é outro fator limitante no uso de compósitos.

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4.4 Equações constitutivas

Para definir as equações constitutivas dos materiais anisotrópicos é preciso aplicar osconceitos da teoria da elasticidade. Os fundamentos de elasticidade estão presentes em diver-sas literaturas, como (HERAKOVICH, 1998) e (CHEN e SALEEB, 1994), e serão descritos aseguir.

𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝜀𝑘𝑙 (4.1)

A lei de Hooke generalizada, Eq. (4.1), descreve a relação tensão-deformação elásticalinear do material em notação indicial. Onde 𝜎𝑖𝑗 representa o tensor de tensão, 𝜀𝑘𝑙 é o tensor dedeformação e 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 é o tensor de quarta ordem com as constantes elásticas do material. Como ostensores de tensão e deformação são simétricos, o tensor 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 apresenta as seguintes simetrias:

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐶𝑗𝑖𝑘𝑙 = 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑘 = 𝐶𝑗𝑖𝑙𝑘 . (4.2)

Devido as condições de simetria do tensor de constantes elásticas do material, a quan-tidade de termos independentes é reduzida de 81 para 21. Com essa redução de constantes épossível reescrever a Eq. (4.1) em uma forma mais compacta.

𝜎𝑖 = 𝐶𝑖𝑗𝜀𝑗 , (4.3)

onde 𝑖,𝑗 = 1,2,...,6 e

𝜎1 = 𝜎11 𝜀1 = 𝜀11

𝜎2 = 𝜎22 𝜀2 = 𝜀22

𝜎3 = 𝜎33 𝜀3 = 𝜀33

𝜎4 = 𝜎23 = 𝜏23 𝜀4 = 2𝜀23 = 𝛾23

𝜎5 = 𝜎31 = 𝜏31 𝜀5 = 2𝜀31 = 𝛾31

𝜎6 = 𝜎12 = 𝜏12 𝜀6 = 2𝜀12 = 𝛾12

(4.4)

sendo 𝜏𝑖𝑗 e 𝛾𝑖𝑗 as tensões e deformações de engenharia, respectivamente e

[𝐶] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝐶11 𝐶12 𝐶13 𝐶14 𝐶15 𝐶16

𝐶22 𝐶23 𝐶24 𝐶25 𝐶26

𝐶33 𝐶34 𝐶35 𝐶36

𝑆𝑖𝑚 𝐶44 𝐶45 𝐶46

𝐶55 𝐶56

𝐶66

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(4.5)

A matriz 𝐶𝑖𝑗 também é chamada de matriz de rigidez.Os termos apresentados na Eq. (4.5) são para um material sem nenhum plano de simetria,

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material anisotrópico. Essas constantes ainda podem ser reduzidas de acordo com as proprieda-des de simetria do material: isotropia, ortotropia e materiais monoclínicos.

4.4.1 Simetria Material

Material Monoclínico

Materiais monoclínicos possuem apenas um plano de simetria material como pode servisto na Fig. 4.2, onde o plano 𝑥𝑦 seria o único plano de simetria material. As fibras dosmateriais monoclínicos possuem uma rotação em relação ao sistema cartesiano, variando de−90 < 𝜃 < 90. A Eq. (4.6) apresenta as treze constantes elásticas independentes desses mate-riais.

Figura 4.2: Material Monoclínico

[𝐶] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝐶11 𝐶12 𝐶13 0 0 𝐶16

𝐶12 𝐶22 𝐶23 0 0 𝐶26

𝐶13 𝐶23 𝐶33 0 0 𝐶36

0 0 0 𝐶44 𝐶45 0

0 0 0 𝐶45 𝐶55 0

𝐶16 𝐶26 𝐶36 0 0 𝐶66

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(4.6)

Material Ortotrópico

Materiais ortotrópicos possuem três planos mutualmente ortogonais de simetria, comopode ser visto na Fig. 4.3. As fibras dos materiais compósitos ortotrópicos são orientadas à 0

ou 90 graus em relação ao sistema cartesiano. Nesse caso o material possui nove constantesindependentes, como pode ser visto na Eq. (4.7).

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Figura 4.3: Material Ortotrópico

[𝐶] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝐶11 𝐶12 𝐶13 0 0 0

𝐶12 𝐶22 𝐶23 0 0 0

𝐶13 𝐶23 𝐶33 0 0 0

0 0 0 𝐶44 0 0

0 0 0 0 𝐶55 0

0 0 0 0 0 𝐶66

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(4.7)

Material Isotrópico

Materiais isotrópicos possuem propriedades independentes da direção. Como pode servisto na Fig. 4.4, qualquer plano pode ser considerado um plano de simetria. Nesse caso, amatriz de rigidez possui apenas dois termos independentes e pode ser reescrita da seguinteforma:

Figura 4.4: Material Isotrópico

31

[𝐶] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝐶11 𝐶12 𝐶12 0 0 0

𝐶12 𝐶11 𝐶12 0 0 0

𝐶12 𝐶12 𝐶11 0 0 0

0 0 0𝐶11 − 𝐶12

20 0

0 0 0 0𝐶11 − 𝐶12

20

0 0 0 0 0𝐶11 − 𝐶12

2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(4.8)

4.4.2 Constantes de Engenharia

Os coeficientes do tensor das constantes elásticas não é medido diretamente em laborató-rio. Os testes experimentais medem outras propriedades dos materiais, as chamadas constantesde engenharia, como o módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson, módulo de cisalhamentotransversal e módulo de expansão volumétrica.

Para materiais anisotrópicos são necessários vários testes experimentais para obter todasas constantes do material. No entanto, materiais isotrópicos possuem apenas duas constantesindependentes, necessitando de poucos testes para conhecer todas as constantes elásticas domaterial.

Devido as propriedades de simetria dos tensores de tensão e deformação e da isotropia domaterial, o tensor 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 deve ser isotrópico, logo ele pode ser definido da seguinte forma

𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜆𝛿𝑖𝑗𝛿𝑘𝑙 + 𝜇 (𝛿𝑖𝑘𝛿𝑗𝑙 + 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑘) , (4.9)

sendo 𝛿𝑖𝑗 o Delta de Kronecker, 𝜆 e 𝜇 são as constantes de Lamé.Aplicando a Eq. (4.9) na Eq. (4.1) e usando as propriedades do Delta de Kronecker, temos

𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝜀𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝜀𝑖𝑗 (4.10)

e𝜀𝑖𝑗 =

𝜎𝑖𝑗

2𝜇− 𝜆𝜎𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗

2𝜇 (3𝜆 + 2𝜇). (4.11)

Logo, pelas Eq. (4.10) e (4.11), 𝜆 e 𝜇 são as duas constantes independentes dos materiais iso-trópicos.

A seguir será descrito alguns testes para obtenção das constantes de engenharia dos ma-teriais isotrópicos.

32

Teste de compressão hidrostática

Através do teste de compressão hidrostática Fig. 4.5 obtém-se o módulo de expansão

volumétrica 𝐾, em função da pressão hidrostática 𝑝 e da variação de volume,∆𝑉

𝑉.

Figura 4.5: Teste de compressão hidrostática

𝐾 =−𝑝∆𝑉

𝑉

≈ −𝑝

𝜀𝑘𝑘(4.12)

No estado hidrostático temos 𝜎𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 = 𝑗 e 𝜎11 = 𝜎22 = 𝜎33 = −𝑝, portanto𝜎𝑘𝑘 = −3𝑝. Aplicando a pressão hidrostática na Eq. (4.10), temos

𝜎𝑘𝑘 = (3𝜆 + 2𝜇) 𝜀𝑘𝑘, (4.13)

aplicando a Eq. (4.13) em Eq. (4.12), temos

𝐾 =3𝜆 + 2𝜇

3. (4.14)

Teste de tração simples

O módulo de elasticidade 𝐸 e coeficiente de Poisson 𝜈 são encontrados pelo teste detração simples Fig. 4.6. Sendo que

𝐸 =𝜎11

𝜀11. (4.15)

e𝜈 = −𝜀22

𝜀11= −𝜀33

𝜀11. (4.16)

Neste teste, somente a tensão 𝜎11 = 0. Logo, aplicando essa condição na Eq. (4.11)percebe-se que 𝜀11 = 0,

33

Figura 4.6: Teste de tração simples

𝜀22 = − 𝜆𝜎11

2𝜇 (3𝜆 + 2𝜇)(4.17)

e𝜀33 = − 𝜆𝜎11

2𝜇 (3𝜆 + 2𝜇), (4.18)

logo 𝜀22 = 𝜀33 e as demais deformações são zero.Aplicando as Eqs. (4.10) e (4.11) nas Eqs. (4.15) e (4.16), obtém-se

𝐸 =𝜇 (3𝜆 + 2𝜇)

𝜆 + 𝜇(4.19)

e𝜈 =

𝜆

2 (𝜆 + 𝜇). (4.20)

Teste de cisalhamento simples

Pelo teste de cisalhamento simples, Fig. 4.7, encontra-se o módulo de cisalhamento trans-versal,

𝐺 =𝜎12

2𝜀12=

𝜏12𝛾12

. (4.21)

Nesse caso, somente 𝜎12 = 0. Logo, da Eq. (4.10) temos

𝐺 = 𝜇. (4.22)

34

Figura 4.7: Teste de cisalhamento simples

Constantes de engenharia nos compósitos

As constantes de engenharia dos compósitos variam de acordo com a proporção de seusconstituintes, fibras e matriz. A fração volumétrica pode ser calculada como

𝑉𝑓 =Volume de fibra

Volume total, 𝑉𝑚 =

Volume de matrizVolume total

, (4.23)

onde 𝑉𝑓 é a fração volumétrica de fibras e 𝑉𝑚 é a fração volumétrica da matriz.Segundo (GAY, 2015), com as frações volumétricas é possível calcular as constantes de

engenharia para uma lâmina unidirecional de forma aproximada por

𝐸𝑙 = 𝐸𝑓𝑉𝑓 + 𝐸𝑚𝑉𝑚, (4.24)

sendo 𝐸𝑙 o módulo de elasticidade longitudinal (direção da fibra), 𝐸𝑚 é o módulo de elasticidadeda matriz e 𝐸𝑓 é o módulo de elasticidade da fibra.

𝐸𝑡 = 𝐸𝑚

⎡⎢⎢⎣ 1

𝑉𝑚 +𝐸𝑚

𝐸𝑓𝑡

𝑉𝑓

⎤⎥⎥⎦ , (4.25)

onde 𝐸𝑡 é o módulo de elasticidade transversal da lâmina (direção perpendicular a sentido dafibra) e 𝐸𝑓𝑡 é o módulo de elasticidade transversal da fibra.

𝐺𝑙𝑡 = 𝐺𝑚

⎡⎢⎢⎣ 1

𝑉𝑚 +𝐺𝑚

𝐺𝑓

𝑉𝑓

⎤⎥⎥⎦ , (4.26)

com 𝐺𝑚, 𝐺𝑓 e 𝐺𝑙𝑡 sendo os módulos de cisalhamento transversal da matriz, fibra e lâmina,respectivamente.

35

𝜈𝑙𝑡 = 𝜈𝑓𝑉𝑓 + 𝜈𝑚𝑉𝑚, (4.27)

sendo 𝜈𝑙𝑡 coeficiente de Poisson da lâmina, 𝜈𝑓 o coeficiente da fibra e 𝜈𝑚 o Poisson da matriz.

4.4.3 Matriz de transformação de coordenadas

Como pode ser visto anteriormente, as propriedades dos materiais compósitos são descri-tas nas direções longitudinais e transversais das suas fibras. O sistema de coordenadas usado naformulação dos problemas, geralmente, não coincide com a direção da fibra. Como os tensoresde tensão e deformação mudam de acordo com o sistema de coordenadas utilizado, é precisodefinir relações de transformação entre os sistemas, permitindo assim que as tensões e deforma-ções de um sistema corresponda a quantidade correta em outro sistema. A Fig. 4.8 mostra umsistema de coordenadas (𝑥,𝑦,𝑧) sendo rotacionado de um ângulo 𝜃 no eixo z, passando a ser umnovo sistema (𝑥′,𝑦′,𝑧′).

Figura 4.8: Rotação do sistema

As tensões mudam do sistema cartesiano (𝑥,𝑦,𝑧) para um sistema rotacionado (𝑥′,𝑦′,𝑧′)

da seguinte forma:

𝜎′ = [𝑇1] 𝜎 (4.28)

sendo 𝜎 o vetor de tensões na notação de Voigt, 𝜎′ as tensões no sistema rotacionado e [𝑇1]

a matriz de rotação para as tensões, descrita como

36

[𝑇1] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑚2 𝑛2 0 0 0 2𝑚𝑛

𝑛2 𝑚2 0 0 0 −2𝑚𝑛

0 0 1 0 0 0

0 0 0 𝑚 −𝑛 0

0 0 0 𝑛 𝑚 0

−𝑚𝑛 𝑚𝑛 0 0 0 𝑚2 − 𝑛2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(4.29)

onde 𝑚 = cos(𝜃), 𝑛 = sin(𝜃) e 𝜃 é o ângulo de rotação.A mudança de coordenadas das deformações ocorre de forma semelhante a das tensões.

𝜀′ = [𝑇2] 𝜀 (4.30)

sendo

[𝑇2] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑚2 𝑛2 0 0 0 𝑚𝑛

𝑛2 𝑚2 0 0 0 −𝑚𝑛

0 0 1 0 0 0

0 0 0 𝑚 −𝑛 0

0 0 0 𝑛 𝑚 0

−2𝑚𝑛 2𝑚𝑛 0 0 0 𝑚2 − 𝑛2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(4.31)

A diferença entre as matrizes de rotação para as tensões e deformações na notação com-pactada ocorre devido 𝜀4 = 2𝜀23, 𝜀5 = 2𝜀31, 𝜀6 = 2𝜀12, como descrito na Eq. (4.4).

Aplicando as Eqs. (4.28) e (4.30) na Eq. (4.3), temos

[𝑇1] 𝜎 = [𝐶] [𝑇2] 𝜀 . (4.32)

Reorganizando a Eq. (4.32), têm-se

𝜎 = [𝑇1]−1 [𝐶] [𝑇2] 𝜀 , (4.33)

logo, a matriz de rigidez rotacionada é

[𝐶]

= [𝑇1]−1 [𝐶] [𝑇2] . (4.34)

Os termos da matriz de rigidez rotacionada para o caso de um material monoclínico são:

𝐶11 = 𝐶11𝑚4 + 2𝑚2𝑛2 (𝐶12 + 2𝐶66) + 4𝑚𝑛

(𝑚2𝐶16 + 𝑛2𝐶26

)+ 𝐶22𝑛

4, (4.35)

𝐶12 = 𝑚2𝑛2 (𝐶11 + 𝐶22 − 4𝐶66) − 2𝑚𝑛(𝑚2 − 𝑛2

)(𝐶16 − 𝐶26) +

(𝑚4 + 𝑛4

)𝐶12, (4.36)

37

𝐶13 = 𝐶13𝑚2 + 𝐶23𝑛

2 + 2𝑚𝑛𝐶36, (4.37)

𝐶16 = 𝑚2 (𝑚2 − 3𝑛2)𝐶16 −𝑚𝑛 [𝑚2𝐶11 − 𝑛2𝐶22 − (𝑚2 − 𝑛2) (𝑚2𝐶16 + 𝑛2𝐶26)]

+𝑛2 (3𝑚2 − 𝑛2)𝐶26,(4.38)

𝐶22 = 𝐶22𝑚4 + 2𝑚2𝑛2 (𝐶12 + 2𝐶66) − 4𝑚𝑛 (𝐶12 + 2𝐶66) + 𝐶22𝑚

4, (4.39)

𝐶23 = 𝐶13𝑛2 + 𝐶23𝑚

2 − 2𝑚𝑛𝐶36, (4.40)

𝐶26 = 𝑚2 (𝑚2 − 3𝑛2)𝐶26 −𝑚𝑛 [𝑛2𝐶11 −𝑚2𝐶22 + (𝑚2 − 𝑛2) (𝐶12 + 2𝐶66)]

+𝑛2 (3𝑚2 − 𝑛2)𝐶16,(4.41)

𝐶33 = 𝐶33, (4.42)

𝐶36 =(𝑚2 − 𝑛2

)𝐶36 + 𝑚𝑛 (𝐶23 − 𝐶13) , (4.43)

𝐶44 = 𝑚2𝐶44 − 2𝑚𝑛𝐶45 + 𝑛2𝐶55, (4.44)

𝐶45 =(𝑚2 − 𝑛2

)𝐶45 + 𝑚𝑛 (𝐶44 − 𝐶55) , (4.45)

𝐶55 = 𝑛2𝐶44 + 2𝑚𝑛𝐶45 + 𝑚2𝐶55, (4.46)

𝐶66 = 𝑚2𝑛2 (𝐶11 + 𝐶22 − 2𝐶12) + 2𝑚𝑛(𝑚2 − 𝑛2

)(𝐶22 − 𝐶16) +

(𝑚2 − 𝑛2

)2𝐶66. (4.47)

Para obter os termos da matriz de rigidez rotacionada para os casos isotrópico e ortotró-pico basta zerar os termos correspondentes nas Eqs. (4.35)-(4.47).

4.4.4 Estado Plano de Tensão

O estado plano de tensão (EPT) consegue reduzir um problema tridimensional para umcaso bidimensional. Para que isso ocorra é necessário que uma das dimensões do corpo sejamuito menor que as outras duas, como no caso de lâminas compósitas que possuem a espessura

38

muito menor em relação ao seu comprimento e largura; o carregamento não varie ao longo damenor dimensão; não há componentes de tensão na direção da menor dimensão. Portanto,

𝜎3 = 0, 𝜎4 = 0, 𝜎5 = 0, (4.48)

e aplicando a Eq. (4.48) na Eq. (4.3), nota-se que 𝜀4 = 𝜀5 = 0 e que 𝜀3 = 0. Logo, pode-sereescrever a Eq. (4.3) da seguinte forma:⎧⎪⎨⎪⎩

𝜎1

𝜎2

𝜎6

⎫⎪⎬⎪⎭ =

⎡⎢⎣ 𝑄11 𝑄12 𝑄16

𝑄12 𝑄22 𝑄26

𝑄16 𝑄26 𝑄66

⎤⎥⎦⎧⎪⎨⎪⎩

𝜀1

𝜀2

𝜀6

⎫⎪⎬⎪⎭ , (4.49)

sendo [𝑄] a matriz de rigidez reduzida, cujos termos são

𝑄𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗 −𝐶𝑖3𝐶𝑗3

𝐶33

. (4.50)

A matriz [𝑄] pode ser transformada da mesma forma que a matriz [𝐶] na Eq. (4.34).Utilizando as seguintes identidades

𝑚4 =1

8(3 + 4 cos(2𝜃) + cos(4𝜃)) ,

𝑚3𝑛 =1

8(2 sin(2𝜃) + sin(4𝜃)) ,

𝑚2𝑛2 =1

8(1 − cos(4𝜃)) ,

𝑚𝑛3 =1

8(2 sin(2𝜃) − sin(4𝜃)) ,

𝑛4 =1

8(3 − 4 cos(2𝜃) + cos(4𝜃)) ,

(4.51)

é possível escrever os termos da matriz de rigidez reduzida rotacionada[]

em função dosinvariantes 𝑈𝑖 e do ângulo de rotação 𝜃⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

11

22

12

66

216

226

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝑈1 𝑈2 2𝑈6 𝑈3 𝑈7

𝑈1 −𝑈2 −2𝑈6 𝑈3 𝑈7

𝑈4 0 0 −𝑈3 −𝑈7

𝑈5 0 0 −𝑈3 −𝑈7

0 2𝑈6 −𝑈2 2𝑈7 −2𝑈3

0 2𝑈6 −𝑈2 −2𝑈7 2𝑈3

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1

cos(2𝜃)

sin(2𝜃)

cos(4𝜃)

sin(4𝜃)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , (4.52)

onde

39

𝑈1 = 18

(3𝑄11 + 3𝑄22 + 2𝑄12 + 4𝑄66) ,

𝑈2 = 12

(𝑄11 −𝑄22) ,

𝑈3 = 18

(𝑄11 + 𝑄22 − 2𝑄12 − 4𝑄66) ,

𝑈4 = 18

(𝑄11 + 𝑄22 + 6𝑄12 − 4𝑄66) ,

𝑈5 = 18

(𝑄11 + 𝑄22 − 2𝑄12 + 4𝑄66) ,

𝑈6 = 12

(𝑄16 + 𝑄26) ,

𝑈7 = 12

(𝑄16 −𝑄26) .

(4.53)

40

5 Teoria de placas finas anisotrópicas

Nesse capítulo será descrita a teoria clássica de placas (TCP) e a teoria clássica de lami-nados (TCL) sobre flexão e com cargas planares compressivas. Ao final do capítulo será feitauma breve introdução da teoria de estabilidade elástica.

5.1 Teoria clássica de placas

Placas são elementos estruturais que possuem uma dimensão, espessura ℎ, muito menordo que as outras duas, Fig. 5.1. Sendo Γ a superfície limitante da mesma e 𝑞 uma carga normalatuante em uma das faces da placa. Se a superfície Γ for curva, têm-se um elemento de casca.Caso a superfície seja plana, têm-se uma placa.

Figura 5.1: Placa

Se as deformações da placa forem pequenas quando comparadas com a sua espessura,podem ser feitas as seguintes considerações com relação a flexão de placas: não há deformaçãono plano médio da placa; os pontos normais a superfície da placa em um estado não deformadopermanecem normais a superfície após a deformação, isso significa que os efeitos das forçascisalhantes são desconsiderados; as tensões na direção da espessura podem ser consideradasdesprezíveis, embora a carga 𝑞(𝑥,𝑦) seja aplicada em 𝑧 = −ℎ/2 e 𝜎𝑧𝑧 = 0 as placas podem seranalisadas pelo EPT em uma análise aproximada.

Assumindo que o movimento na direção z de qualquer ponto na placa possa ser conside-rado igual ao movimento de qualquer ponto na superfície média, então o deslocamento pode serexpresso em função das coordenadas do plano médio da placa

𝑢3 (𝑥1,𝑥2,𝑥3,) = 𝑤 (𝑥,𝑦) , (5.1)

41

onde (𝑥1,𝑥2,𝑥3) são a posição do ponto, 𝑤 é o deslocamento na direção z do plano médio emfunção das coordenadas da superfície média da placa (𝑥,𝑦).

Os movimentos paralelos na superfície média da placa são considerados como contri-buição das ações de alongamento e das ações de flexão. Com relação a ação de alongamento,assume-se que os deslocamentos de um ponto qualquer da placa tem o mesmo deslocamentoque o ponto correspondente à superfície média da placa, logo

[𝑢1 (𝑥1,𝑥2,𝑥3,)]𝑆 = [𝑢 (𝑥,𝑦)]𝑆 , [𝑢2 (𝑥1,𝑥2,𝑥3,)]𝑆 = [𝑣 (𝑥,𝑦)]𝑆 , (5.2)

onde 𝑢𝑆 e 𝑣𝑆 se referem as ações da superfície média.As ações da flexão estão relacionadas a segunda consideração feita pela TCP. Portanto, a

linha 𝑎𝑏 na Fig. 5.2 sofre uma translação vertical juntamente com uma rotação de corpo rígido.Então os deslocamentos devido a flexão, (𝑢1)𝐵 e (𝑢2)𝐵, são dados por:

[𝑢1 (𝑥1,𝑥2,𝑥3,)]𝐵 = −𝑧𝜕𝑤 (𝑥,𝑦)

𝜕𝑥, [𝑢2 (𝑥1,𝑥2,𝑥3,)]𝐵 = −𝑧

𝜕𝑤 (𝑥,𝑦)

𝜕𝑦. (5.3)

Figura 5.2: Deslocamento devido a flexão

Combinando os termos dos deslocamentos horizontais devido a contribuição do alonga-mento e da flexão, pode-se escrever o campo de deslocamento da placa em função dos termosda superfície média,

𝑢1 = 𝑢 (𝑥,𝑦)𝑆 − 𝑧𝜕𝑤 (𝑥,𝑦)

𝜕𝑥,

𝑢2 = 𝑣 (𝑥,𝑦)𝑆 − 𝑧𝜕𝑤 (𝑥,𝑦)

𝜕𝑦,

𝑢3 = 𝑤 (𝑥,𝑦) .

(5.4)

A partir do campo de deslocamentos dado pela Eq. (5.4), escreve-se o campo de deforma-ções utilizando a relação deformação-deslocamento

42

𝜀𝑖𝑗 =1

2(𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖) . (5.5)

Logo, o campo de deformação é

𝜀𝑥𝑥 =𝜕𝑢𝑆

𝜕𝑥− 𝑧

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2,

𝜀𝑦𝑦 =𝜕𝑣𝑆𝜕𝑦

− 𝑧𝜕2𝑤

𝜕𝑦2,

𝜀𝑥𝑦 =1

2

(𝜕𝑢𝑆

𝜕𝑦+

𝜕𝑣𝑆𝜕𝑥

)− 𝑧

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦,

(5.6)

sendo que as deformações na direção z são zero, pois o campo de deslocamentos depende apenasde x e y.

5.1.1 Equações de equilíbrio

A Fig. 5.3 mostra as tensões atuantes em um elemento do plano médio de uma placa comcargas laterais atuantes.

Figura 5.3: Tensões no elemento de placa

As intensidades de força cisalhante, 𝑄𝑥 e 𝑄𝑦, são definidas como

𝑄𝑥 =

∫ ℎ/2

−ℎ/2

𝜏𝑥𝑧𝑑𝑧, (5.7)

𝑄𝑦 =

∫ ℎ/2

−ℎ/2

𝜏𝑦𝑧𝑑𝑧. (5.8)

Sendo 𝑄𝑥 a distribuição de força cisalhante ao longo da direção y e 𝑄𝑦 é a distribuição de força

43

cisalhante ao longo da direção x, como pode ser visto na Fig. 5.4.

Figura 5.4: Intensidade das forças no elemento de placa

As intensidades momentos fletores 𝑀𝑥 e 𝑀𝑦 e momento volvente 𝑀𝑥𝑦 e 𝑀𝑦𝑥 são definidascomo:

𝑀𝑥 =

∫ ℎ/2

−ℎ/2

𝜎𝑥𝑥𝑧𝑑𝑧, (5.9)

𝑀𝑦 =

∫ ℎ/2

−ℎ/2

𝜎𝑦𝑦𝑧𝑑𝑧, (5.10)

𝑀𝑥𝑦 =

∫ ℎ/2

−ℎ/2

𝜏𝑥𝑦𝑧𝑑𝑧, (5.11)

𝑀𝑦𝑥 =

∫ ℎ/2

−ℎ/2

𝜏𝑦𝑥𝑧𝑑𝑧. (5.12)

A intensidade 𝑀𝑥 é a distribuição do momento fletor ao longo do eixo y e 𝑀𝑦 é a distri-buição do momento fletor ao longo do eixo x. A intensidade 𝑀𝑥𝑦 é a distribuição do momentovolvente ao longo do eixo x e 𝑀𝑦𝑥 é a distribuição do momento volvente ao longo do eixo y.Devido as propriedades de simetria do tensor de tensão, temos

𝑀𝑥𝑦 = 𝑀𝑦𝑥. (5.13)

Se aplicarmos as Eqs. (4.19), (4.20) e (4.22) a uma placa com simetria monoclínica, Eq.(4.1), é possível reescrever as tensões em função das deformações para um material mono-clínico. Substituindo as tensões e deformações nas Eqs. (5.9)-(5.12) e realizando as integrais,obtemos

44

𝑀𝑥 = −(𝐷11

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+ 2𝐷16

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝐷12

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2

),

𝑀𝑦 = −(𝐷12

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+ 2𝐷26

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝐷22

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2

),

𝑀𝑥𝑦 = −(𝐷16

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+ 2𝐷66

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝐷26

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2

).

(5.14)

A Fig. 5.5 mostra as tensões atuantes em um elemento de placa ao longo da seção deum plano arbitrariamente inclinado. Utilizando a Eq. (4.28) para realizar a transformação decoordenadas, temos

Figura 5.5: Tensões em uma seção arbitrária de um elemento de placa

𝜏𝑛𝑛 = 𝑛2𝑥𝜎𝑥𝑥 + 2𝑛𝑥𝑛𝑦𝜏𝑥𝑦 + 𝑛2

𝑦𝜎𝑦𝑦,

𝜏𝑛𝑠 = 𝑛𝑥𝑛𝑦 (𝜎𝑦𝑦 − 𝜎𝑥𝑥) +(𝑛2𝑥 − 𝑛2

𝑦

)𝜏𝑥𝑦,

(5.15)

onde 𝑛𝑥 e 𝑛𝑦 são os cossenos diretores da transformação de coordenadas.As resultantes 𝑀𝑛𝑛 e 𝑀𝑛𝑠 podem ser definidas de forma análoga as Eqs. (5.9) e (5.11),

logo

𝑀𝑛 = 𝑛2𝑥𝑀𝑥 + 2𝑛𝑥𝑛𝑦𝑀𝑥𝑦 + 𝑛2

𝑦𝑀𝑦,

𝑀𝑛𝑠 = 𝑛𝑥𝑛𝑦 (𝑀𝑦 −𝑀𝑥) +(𝑛2𝑥 − 𝑛2

𝑦

)𝑀𝑥𝑦.

(5.16)

De forma análoga, a resultante da força cisalhante no eixo n, pode ser escrita como:

𝑄𝑛 = 𝑄𝑥𝑛𝑥 + 𝑄𝑦𝑛𝑦. (5.17)

As quantidades 𝑀𝑥, 𝑀𝑦, 𝑀𝑥𝑦, 𝑄𝑥 e 𝑄𝑦 podem ser relacionadas pelo equilíbrio de forçasmostrado na Fig. 5.6. Considerando que não existem forças de corpo, pode-se escrever

45

Figura 5.6: Equilíbrio de forças

𝑄𝑥 =𝜕𝑀𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑦, (5.18)

𝑄𝑦 =𝜕𝑀𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥, (5.19)

𝜕𝑄𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑄𝑦

𝜕𝑦+ 𝑞 = 0. (5.20)

Substituindo as Eqs. (5.18) e (5.19) na Eq. (5.20), temos:

𝜕2𝑀𝑥

𝜕𝑥2+ 2

𝜕2𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕2𝑀𝑦

𝜕𝑦2+ 𝑞 = 0. (5.21)

Aplicando a Eq. (5.14) na Eq. (5.21), obtêm-se

𝐷11𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 4𝐷16

𝜕4𝑤

𝜕𝑥3𝜕𝑦+ 2 (𝐷12 + 2𝐷66)

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+ 4𝐷26

𝜕4𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦3+ 𝐷22

𝜕4𝑤

𝜕𝑦4= 𝑞, (5.22)

que é a equação governante para o problema de flexão de placas anisotrópicas.

5.2 Placas Comprimidas

Se além das forças laterais, forças no plano da placa (forças de membrana) também atu-arem na placa, tais forças tem um efeito considerável na flexão de placas. A deflexão da placaserá menor se as forças de membrana forem de tração e será maior se as mesmas forem com-pressivas.

A Fig. 5.7 ilustra o equilíbrio de um pequeno elemento de placa com forças atuando noseu plano médio. Considerando as projeções das forças nas direções x e y e assumindo que não

46

há forças de corpo nessas direções, as equações de equilíbrio podem ser escritas como

𝜕𝑁𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑁𝑥𝑦

𝜕𝑦= 0, (5.23)

𝜕𝑁𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝑁𝑥𝑦

𝜕𝑥= 0. (5.24)

Figura 5.7: Equilíbrio de forças de membrana

A resultantes das forças normais e cisalhantes de membrana podem ser descritas como:

𝑁𝑥 =

∫ ℎ/2

−ℎ/2

𝜎𝑥𝑥𝑑𝑧,

𝑁𝑦 =

∫ ℎ/2

−ℎ/2

𝜎𝑦𝑦𝑑𝑧,

𝑁𝑥𝑦 =

∫ ℎ/2

−ℎ/2

𝜏𝑥𝑦𝑑𝑧.

(5.25)

Devido a flexão da placa 𝑤 no eixo z, deve-se considerar as projeções das forças mostradasna Fig. 5.7 na direção do eixo z, dadas por

𝑁𝑥𝜕2𝑤

𝜕𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦 +

𝜕𝑁𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦, (5.26)

𝑁𝑦𝜕2𝑤

𝜕𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 +

𝜕𝑁𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦, (5.27)

2𝑁𝑥𝑦𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 +

𝜕𝑁𝑥𝑦

𝜕𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 +

𝜕𝑁𝑥𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦. (5.28)

Somando as Eqs. (5.26)-(5.28) na Eq. (5.21) e utilizando as Eqs. (5.23) e (5.24), obtêm-se

47

a seguinte equação de equilíbrio:

𝜕2𝑀𝑥

𝜕𝑥2+ 2

𝜕2𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕2𝑀𝑦

𝜕𝑦2= −

(𝑞 + 𝑁𝑥

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+ 2𝑁𝑥𝑦

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑁𝑦

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2

). (5.29)

Substituindo a Eq. (5.14) em Eq. (5.29), temos:

𝐷11𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 4𝐷16

𝜕4𝑤

𝜕𝑥3𝜕𝑦+ 2 (𝐷12 + 2𝐷66)

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+ 4𝐷26

𝜕4𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦3+ 𝐷22

𝜕4𝑤

𝜕𝑦4=(

𝑞 + 𝑁𝑥𝜕2𝑤


𝜕2𝑤


𝜕2𝑤

𝜕𝑦2

),

(5.30)

que é a equação governante de placas quando estão atuando cargas laterais e forças de mem-brana de tração. Se as forças de membranas forem compressivas, então a equação governanteé

𝐷11𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 4𝐷16

𝜕4𝑤

𝜕𝑥3𝜕𝑦+ 2 (𝐷12 + 2𝐷66)

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+ 4𝐷26

𝜕4𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦3+ 𝐷22

𝜕4𝑤

𝜕𝑦4=

𝑞 −(𝑁𝑥

𝜕2𝑤


𝜕2𝑤


𝜕2𝑤

𝜕𝑦2

).

(5.31)

5.3 Teoria clássica de laminados

Laminados são conjuntos de lâminas colados uma sobre as outras, podendo ter orientaçãode fibras e espessura diferentes diferentes. A Fig. 5.8 mostra um laminado com N camadas,sendo a primeira lâmina a camada superior e a lâmina N a camada inferior. O sistema de co-ordenadas do laminado é considerado no plano médio do laminado. A espessura k-ésima, ℎ𝑘,lâmina é calculada pela diferença entre as coordenadas na direção z como

Figura 5.8: Laminado

48

ℎ𝑘 = 𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1. (5.32)

De acordo com (HERAKOVICH, 1998) as principais hipóteses da TCL são:∘ O laminado é constituído de camadas perfeitamente coladas;∘ Cada lâmina é considerada como um material homogêneo;∘ Cada lâmina pode ser isotrópica ou ortotrópica;∘ As camadas são analisadas com o EPT;∘ O laminado se deforma de acordo com a TCP.

De forma análoga ao feito para placas, pode-se escrever o campo de deformações dolaminado em função do deslocamento 𝑤. A Eq. (5.6) pode ser escrita de forma matricial como⎧⎪⎨⎪⎩

𝜀𝑥𝑥

𝜀𝑦𝑦

𝜀𝑥𝑦

⎫⎪⎬⎪⎭ =

⎧⎪⎨⎪⎩𝜀0𝑥𝑥

𝜀0𝑦𝑦

𝜀0𝑥𝑦

⎫⎪⎬⎪⎭ + 𝑧

⎧⎪⎨⎪⎩𝜅𝑥

𝜅𝑦

𝜅𝑥𝑦

⎫⎪⎬⎪⎭ , (5.33)

onde

𝜀0𝑥𝑥 =𝜕𝑢𝑆

𝜕𝑥, 𝜅𝑥 = −𝜕2𝑤

𝜕𝑥2,

𝜀0𝑦𝑦 =𝜕𝑣𝑆𝜕𝑦

, 𝜅𝑦 = −𝜕2𝑤

𝜕𝑦2,

𝜀0𝑥𝑦 =1

2

(𝜕𝑢𝑆

𝜕𝑦+

𝜕𝑣𝑆𝜕𝑥

), 𝜅𝑥𝑦 = − 𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦.

(5.34)

Aplicando as Eqs. (5.9)-(5.11), (5.25) e (5.33) na Eq. (4.49), obtém-se a equação consti-tutiva dos laminados⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑁𝑥

𝑁𝑦

𝑁𝑥𝑦

𝑀𝑥

𝑀𝑦

𝑀𝑥𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

𝐴11 𝐴12 𝐴16 𝐵11 𝐵12 𝐵16

𝐴21 𝐴22 𝐴26 𝐵21 𝐵22 𝐵26

𝐴61 𝐴62 𝐴66 𝐵61 𝐵62 𝐵66

𝐵11 𝐵12 𝐵16 𝐷11 𝐷12 𝐷16

𝐵21 𝐵22 𝐵26 𝐷21 𝐷22 𝐷26

𝐵61 𝐵62 𝐵66 𝐷61 𝐷62 𝐷66

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝜀0𝑥𝑥

𝜀0𝑦𝑦

𝜀0𝑥𝑦

𝜅𝑥

𝜅𝑦

𝜅𝑥𝑦

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭, (5.35)

onde

𝐴𝑖𝑗 =𝑁∑𝑘=1

𝑘𝑖𝑗 (𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1) , (5.36)

𝐵𝑖𝑗 =1

2

𝑁∑𝑘=1

𝑘𝑖𝑗

(𝑧2𝑘 − 𝑧2𝑘−1

), (5.37)

49

𝐷𝑖𝑗 =1

3

𝑁∑𝑘=1

𝑘𝑖𝑗

(𝑧3𝑘 − 𝑧3𝑘−1

). (5.38)

Importante notar que a matriz [𝐴] representa a rigidez no plano do laminado, a matriz [𝐵]

representa o acoplamento entre as forças de flexão e alongamento e a matriz [𝐷] é a matriz comas rigidez flexural do compósito laminado. Como a matriz

[]

é simétrica, então [𝐴], [𝐵] e [𝐷]

também são simétricas.Interessante ressaltar que as matrizes [𝐵] e [𝐷] dependem da sequência de empilhamento

do laminado, a ordem em que as camadas são empilhadas umas sobre as outras começando nacamada 𝑁 . Isso pode ser visto pelo termo

(𝑧2𝑘 − 𝑧2𝑘−1

)na Eq. (5.37) e pelo termo

(𝑧3𝑘 − 𝑧3𝑘−1

)na Eq. (5.38). Enquanto que a matriz [𝐴] depende somente da espessura de cada lâmina atravésdo termo (𝑧𝑘 − 𝑧𝑘−1) na Eq. (5.36).

Se a sequência de empilhamento do laminado for simétrica em relação ao plano médiodo laminado, ou seja, lâminas com a mesma orientação de fibras estão a uma distância igual doplano médio, então a matriz [𝐵] = 0. Por exemplo, os termos da matriz [𝐵] do laminado da Fig.5.9 são

Figura 5.9: Laminado Simétrico

[𝐵] =1

21

𝑖𝑗

(𝑧2 − 𝑧21

)+

1

22

𝑖𝑗

(𝑧22 − 𝑧2

). (5.39)

Se as lâminas 1 e 2 possuírem a mesma orientação de fibras, então

1 = 2, (5.40)

e[𝐵] =

1

21

𝑖𝑗

(𝑧2 − 𝑧21 + 𝑧22 − 𝑧2

), (5.41)

logo se a espessura das lâminas ℎ1 = ℎ2, então [𝐵] = 0.No presente trabalho serão considerados somente laminados simétricos. As projeções das

forças de membrana na direção z, Eqs. (5.26)-(5.28), produzem momentos adicionais ao pro-blema de flexão de placas.

Os termos da matriz [𝐷] são calculados utilizando a Eq. (4.52). Aplicando as constantesde engenharia dos compósitos, obtém-se para cada lâmina 𝑘

50

𝑘11 =

1

8(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2) [3𝐸𝑘

𝑙 + 3𝐸𝑘𝑡 + 2𝐸𝑘

𝑡 𝜈𝑘𝑙𝑡 + 4𝐺𝑘

𝑙𝑡

(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2)]

+

cos(2𝜃𝑘)

2(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2) (𝐸𝑘

𝑙 − 𝐸𝑘𝑡

)+

cos(4𝜃𝑘)

8(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2) [𝐸𝑘

𝑙 + 𝐸𝑘𝑡 − 2𝐸𝑘

𝑡 𝜈𝑘𝑙𝑡 − 4𝐺𝑘

𝑙𝑡

(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2)]

,

𝑘12 =

1

8(1 − (𝜈𝑘


𝑙 + 𝐸𝑘𝑡 + 6𝐸𝑘


𝑙𝑡

(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2)]

−

cos(4𝜃𝑘)

8(1 − (𝜈𝑘




𝑙𝑡

(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2)]

,

𝑘16 =

−

sin(2𝜃𝑘)(𝐸𝑘


)4(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2) −

sin(4𝜃𝑘)[𝐸𝑘



𝑙𝑡

(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2)]

8(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2)

,

𝑘22 =

1

8(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2) [3𝐸𝑘

𝑙 + 3𝐸𝑘𝑡 + 2𝐸𝑘


𝑙𝑡

(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2)]

−

cos(2𝜃𝑘)

2(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2) (𝐸𝑘


)+

cos(4𝜃𝑘)

8(1 − (𝜈𝑘




𝑙𝑡

(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2)]

,

𝑘26 =

−

sin(2𝜃𝑘)(𝐸𝑘


)4(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2) +

sin(4𝜃𝑘)[𝐸𝑘



𝑙𝑡

(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2)]

8(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2)

,

𝑘66 =

1

8(1 − (𝜈𝑘




𝑙𝑡

(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2)]

−

cos(4𝜃𝑘)

8(1 − (𝜈𝑘




𝑙𝑡

(1 − (𝜈𝑘

𝑙𝑡)2)]

.

(5.42)

51

6 MEC aplicado a placas anisotrópicas multidirecionalmentecomprimidas

Nesse capítulo é apresentada a formulação MEC para o caso de placas finas de Kirchhoffmultidirecionalmente comprimidas. A teoria do MEC é aplicada ao modelo de placas aniso-trópicas descrito no capítulo 4, cuja equação governante é a Eq. (5.31). Após a formulação, osnúcleos da solução fundamental são descritos.

6.1 Equação integral de contorno para flexão de placas anisotrópicas

A equação integral de contorno para o problema de flexão de placas com cargas laterais éobtida pelo Teorema de Betti, dado por∫

Ω

𝜎*𝑖𝑗𝜀𝑖𝑗𝑑Ω =

∫Ω

𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑖𝑗𝑑Ω. (6.1)

Expandindo o lado direito da (6.1), temos:

∫Ω

𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑖𝑗𝑑Ω =

∫Ω

(𝜎𝑥𝑥𝜀

*𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦𝜀

*𝑦𝑦 + 𝜎𝑧𝑧𝜀

*𝑧𝑧 + 𝜏𝑥𝑦𝛾

*𝑥𝑦 + 𝜏𝑥𝑧𝛾

*𝑥𝑧 + 𝜏𝑦𝑧𝛾

*𝑦𝑧

)𝑑Ω. (6.2)

De acordo com a TCP, as tensões na direção z podem ser desprezadas, logo∫Ω


∫Ω

(𝜎𝑥𝑥𝜀

*𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦𝜀

*𝑦𝑦 + 𝜏𝑥𝑦𝛾

*𝑥𝑦

)𝑑Ω. (6.3)

Substituindo as Eqs. (5.6) e (5.14) na Eq. (6.3), o primeiro termo da equação pode serescrito, após a integração em z, como:

∫Ω

𝜎𝑥𝑥𝜀*𝑥𝑥𝑑Ω = −

∫Ω

(𝐷11

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+ 2𝐷16

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝐷12

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2

)𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2𝑑Ω = −

∫Ω

𝑀𝑥𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2𝑑Ω.

(6.4)A regra da derivada do produto pode ser escrita como

𝑓(𝑥)𝜕𝑔(𝑥)

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] − 𝑔(𝑥)

𝜕𝑓(𝑥)

𝜕𝑥. (6.5)

Aplicando a propriedade de derivação da Eq. (6.5) na Eq. 6.4, tem-se∫Ω


∫Ω

𝜕

𝜕𝑥

[𝑀𝑥

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥

]− 𝜕𝑀𝑥

𝜕𝑥

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥𝑑Ω. (6.6)

Utilizando o teorema de Green para transformar a integral de domínio da Eq. (6.6) emuma soma de uma integral de contorno com uma integral de domínio, tem-se

52

∫Ω


∫Γ

(𝑀𝑥

𝜕𝑤*

𝜕𝑥

)𝑛𝑥𝑑Γ +

∫Ω

𝜕𝑀𝑥

𝜕𝑥

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥𝑑Ω. (6.7)

Aplicando a Eq. (6.5) na integral de domínio do lado direito da Eq. (6.7), temos:

∫Ω


∫Γ

(𝑀𝑥

𝜕𝑤*

𝜕𝑥

)𝑛𝑥𝑑Γ +

∫Ω

[𝜕

𝜕𝑥

(𝜕𝑀𝑥

𝜕𝑥𝑤*

)− 𝜕2𝑀𝑥

𝜕𝑥2𝑤*

]𝑑Ω. (6.8)

Usando novamente o teorema de Green, temos:∫Ω

𝜎𝑥𝑥𝜀*𝑥𝑥𝑑Ω =

∫Γ

(−𝑀𝑥

𝜕𝑤*

𝜕𝑥+ 𝑤*𝜕𝑀𝑥

𝜕𝑥

)𝑛𝑥𝑑Γ −

∫Ω

𝑤*𝜕2𝑀𝑥

𝜕𝑥2𝑑Ω. (6.9)

De forma análoga, encontra-se para os termos 𝜎𝑦𝑦𝜀𝑦𝑦 e 𝜏𝑥𝑦𝛾𝑥𝑦 as seguintes integrais:∫Ω

𝜎𝑦𝑦𝜀*𝑦𝑦𝑑Ω =

∫Γ

(−𝑀𝑦

𝜕𝑤*

𝜕𝑦+ 𝑤*𝜕𝑀𝑦

𝜕𝑦

)𝑛𝑦𝑑Γ −

∫Ω

𝑤*𝜕2𝑀𝑦

𝜕𝑦2𝑑Ω (6.10)

e ∫Ω

𝜏𝑥𝑦𝛾*𝑥𝑦𝑑Ω =

∫Γ

(−𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑤*

𝜕𝑦𝑛𝑥 −𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑛𝑦 + 𝑤*𝜕𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥𝑛𝑦 + 𝑤*𝜕𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑦𝑛𝑥

)𝑑Γ

−∫Ω

2𝑤*𝜕2𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦𝑑Ω.

(6.11)Substituindo as Eqs. (6.9)-(6.11) na Eq. (6.3), obtém-se

∫Ω

𝜎𝑖𝑗𝜀*𝑖𝑗 = −

∫Γ

(𝑀𝑥

𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑛𝑥 + 𝑀𝑦

𝜕𝑤*

𝜕𝑦𝑛𝑦 + 𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑤*

𝜕𝑦𝑛𝑥 + 𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑛𝑦

)𝑑Γ+∫

Γ

[(𝜕𝑀𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑦

)𝑛𝑥 +

(𝜕𝑀𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥

)𝑛𝑦

]𝑤*𝑑Γ+∫

Ω

(𝜕2𝑀𝑥

𝜕𝑥2+ 2

𝜕2𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕2𝑀𝑦

𝜕𝑦2

)𝑤*𝑑Ω.

(6.12)

Utilizando as Eqs. (5.17) e (5.21), pode-se reescrever a Eq. (6.12) como

∫Ω


∫Γ

(𝑀𝑥

𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑛𝑥 + 𝑀𝑦

𝜕𝑤*

𝜕𝑦𝑛𝑦 + 𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑤*

𝜕𝑦𝑛𝑥 + 𝑀𝑥𝑦

𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑛𝑦

)𝑑Γ+∫

Γ

𝑄𝑛𝑤*𝑑Γ +

∫Ω

𝑞𝑤*𝑑Ω.(6.13)

Utilizando as relações de mudança de sistema de coordenadas, tem-se

53

𝜕𝑤*

𝜕𝑥=

𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑛𝑥 −

𝜕𝑤*

𝜕𝑠𝑛𝑦,

𝜕𝑤*

𝜕𝑦=

𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑛𝑦 +

𝜕𝑤*

𝜕𝑠𝑛𝑥.

(6.14)

Aplicando a Eq. (6.14) na Eq. (6.13), tem-se:

∫Ω


∫Γ

[𝑀𝑥𝑛𝑥

(𝜕𝑤*


𝜕𝑤*

𝜕𝑠𝑛𝑦

)+ 𝑀𝑦𝑛𝑦

(𝜕𝑤*

𝜕𝑦=

𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑛𝑦 +

𝜕𝑤*

𝜕𝑠𝑛𝑥

)+

𝑀𝑥𝑦𝑛𝑥

(𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑛𝑦 +

𝜕𝑤*

𝜕𝑠𝑛𝑥

)+ 𝑀𝑥𝑦𝑛𝑦

(𝜕𝑤*


𝜕𝑤*

𝜕𝑠𝑛𝑦

)]𝑑Γ+∫

Γ𝑄𝑛𝑤

*𝑑Γ∫Ω𝑞𝑤*𝑑Ω.

(6.15)Reorganizando a Eq. (6.15) em função das derivadas do sistema (𝑛,𝑠), temos:∫

Ω


∫Γ

𝜕𝑤*

𝜕𝑛

(𝑀𝑥𝑛

2𝑥 + 2𝑀𝑥𝑦𝑛𝑥𝑛𝑦 + 𝑀𝑦𝑛

2𝑦

)+

𝜕𝑤*

𝜕𝑠

[(𝑀𝑥 −𝑀𝑦)𝑛𝑥𝑛𝑦 + 𝑀𝑥𝑦

(𝑛2𝑥 − 𝑛2

𝑦

)]𝑑Γ

+∫Γ𝑄𝑛𝑤

*𝑑Γ +∫Ω𝑞𝑤*𝑑Ω.

(6.16)

Utilizando as Eqs. (5.16), pode-se escrever a Eq. (6.16) como:

∫Ω


∫Γ

(𝑀𝑛

𝜕𝑤*

𝜕𝑛+ 𝑀𝑛𝑠

𝜕𝑤*

𝜕𝑠

)𝑑Γ +

∫Γ

𝑄𝑛𝑤*𝑑Γ +

∫Ω

𝑞𝑤*𝑑Ω. (6.17)

Integrando o termo de 𝑀𝑛𝑠 na Eq. (6.17), temos:∫Γ

𝑀𝑛𝑠𝜕𝑤*

𝜕𝑠= 𝑀𝑛𝑠𝑤

*Γ1

Γ2

−∫Γ

𝜕𝑀𝑛𝑠

𝜕𝑠𝑤*𝑑Γ, (6.18)

onde Γ1 e Γ2 são as coordenadas dos extremos dos contornos onde a integral está sendo reali-zada.

No caso de contornos fechados sem cantos, como um disco por exemplo, o primeirotermo do lado direito da Eq. (6.18) é zero. Caso o contorno possua cantos, pode-se escrever aEq. (6.18) como:

∫Γ

𝑀𝑛𝑠𝜕𝑤*

𝜕𝑠= −

𝑁𝑐∑𝑖=1

𝑅𝑐𝑖𝑤*𝑐𝑖−∫Γ

𝜕𝑀𝑛𝑠

𝜕𝑠𝑤*𝑑Γ, (6.19)

onde 𝑤𝑐𝑖 são os deslocamentos dos cantos, 𝑁𝑐 é o número de cantos do contorno e

𝑅𝑐𝑖 = 𝑀+𝑛𝑠 −𝑀−

𝑛𝑠, (6.20)

54

sendo 𝑀+𝑛𝑠 é o momento volvente depois do canto da 𝑖 da placa e 𝑀−

𝑛𝑠 é o momento volventeanterior ao canto 𝑖.

Aplicando a Eq. (6.19) na Eq. (6.17), tem-se

∫Ω


∫Γ

(−𝑀𝑛

𝜕𝑤*

𝜕𝑛+ 𝑄𝑛𝑤

* +𝜕𝑀𝑛𝑠

𝜕𝑠𝑤*

)𝑑Γ +

𝑁𝑐∑𝑖=1

𝑅𝑐𝑖𝑤*𝑐𝑖

+

∫Ω

𝑞𝑤*𝑑Ω. (6.21)

Seguindo um procedimento similar ao utilizado para obter a Eq. (6.21), a partir do ladoesquerdo da Eq. (6.1) obtém-se:

∫Ω

𝜎*𝑖𝑗𝜀𝑖𝑗𝑑Ω =

∫Γ

(−𝑀*

𝑛

𝜕𝑤

𝜕𝑛+ 𝑄*

𝑛𝑤 +𝜕𝑀*

𝑛𝑠

𝜕𝑠𝑤

)𝑑Γ +

𝑁𝑐∑𝑖=1

𝑅*𝑐𝑖𝑤𝑐𝑖 +

∫Ω

𝑞*𝑤𝑑Ω. (6.22)

Substituindo as Eqs. (6.21) e (6.22) na Eq. (6.1), pode-se escrever:

∫Γ

(−𝑀*

𝑛

𝜕𝑤

𝜕𝑛+ 𝑄*

𝑛𝑤 +𝜕𝑀*

𝑛𝑠

𝜕𝑠𝑤

)𝑑Γ +

𝑁𝑐∑𝑖=1

𝑅*𝑐𝑖𝑤𝑐𝑖 +

∫Ω

𝑞*𝑤𝑑Ω =∫Γ

(−𝑀𝑛

𝜕𝑤*

𝜕𝑛+ 𝑄𝑛𝑤

* +𝜕𝑀𝑛𝑠

𝜕𝑠𝑤*

)𝑑Γ +

𝑁𝑐∑𝑖=1

𝑅𝑐𝑖𝑤*𝑐𝑖

+

∫Ω

𝑞𝑤*𝑑Ω.

(6.23)

Modela-se a carga lateral 𝑞* como uma carga concentrada unitária em um ponto 𝑃 (𝑥𝑖,𝑦𝑖)

do domínio de forma que ela possa ser representada pela função delta de Dirac. Os deslocamen-tos e esforços associados a 𝑞* se tornam funções do ponto de carregamento 𝑃 (𝑥𝑖,𝑦𝑖), tambémchamado ponto fonte, e do ponto onde o deslocamento é observado, chamado de ponto campo𝑄(𝑥,𝑦). Devido a essa propriedade da função delta de Dirac, agora um dos estados da Eq.(6.23) é conhecido e ela pode ser aplicada para solucionar problemas de flexão de placas. Osdeslocamentos e esforços conhecidos da Eq. (6.23) são representados com * e são denominadoscomo soluções fundamentais. Aplicando a propriedade da função delta de Dirac na Eq. (6.23) ereescrevendo ela em função dos ponto fonte e campo, temos:

𝐶𝑖𝑤(𝑃 ) +

∫Γ

[(𝑄*

𝑛 (𝑃,𝑄) +𝜕𝑀*

𝑛𝑠 (𝑃,𝑄)

𝜕𝑠

)𝑤(𝑄) −𝑀*

𝑛 (𝑃,𝑄)𝜕𝑤 (𝑄)

𝜕𝑛

]𝑑Γ(𝑄)+

𝑁𝑐∑𝑗=1

𝑅*𝑐𝑗

(𝑃,𝑄)𝑤𝑐𝑗 (𝑄) =

∫Γ

[(𝑄𝑛 (𝑄) +

𝜕𝑀𝑛𝑠 (𝑄)

𝜕𝑠

)𝑤*(𝑃,𝑄) −𝑀𝑛 (𝑄)

𝜕𝑤* (𝑃,𝑄)

𝜕𝑛

]𝑑Γ(𝑄)

+𝑁𝑐∑𝑗=1

𝑅𝑐𝑗 (𝑄)𝑤*𝑐𝑗

(𝑃,𝑄) +

∫Ω

𝑞 (𝑄)𝑤* (𝑃,𝑄) .

(6.24)A constante 𝐶𝑖 aparece devido à consideração da função delta de Dirac. Essa constante

55

varia de acordo com a posição do seu ponto de aplicação. Se a função delta de Dirac for aplicada

em um ponto do contorno, com o mesmo sendo suave, então 𝐶𝑖 =1

2. Se o ponto de aplicação

estiver no domínio, mas fora do contorno, então 𝐶𝑖 = 1. Caso o ponto de aplicação esteja forado domínio, 𝐶𝑖 = 0. Caso a função delta de Dirac seja aplicada em um contorno que não sejasuave, a constante 𝐶𝑖 dependerá do ângulo do contorno

𝐶𝑖 =𝛽𝑐

2𝜋, (6.25)

onde 𝛽𝑐 é o ângulo do contorno. No caso do ponto de aplicação ser o canto de uma placa com

ângulo de𝜋

2, 𝐶 =

1

4.

No entanto, resolvendo a Eq. (6.24), percebe-se que a equação possui mais incógnitas doque equações. Isso ocorre pois há sempre duas incógnitas a serem determinadas nos pontos docontorno.

Para solucionar o problema necessita-se de outra equação que pode ser obtida de duasformas: pela derivada da equação integral de contorno em relação à normal do ponto fonte 𝑛𝑖,como em (PAIVA, 1987), ou aplicando os pontos fonte fora do contorno da placa.

Derivando a Eq. (6.24), obtém-se:

𝐶𝑖𝜕𝑤(𝑃 )

𝜕𝑛𝑖

+

∫Γ

[(𝜕𝑄*

𝑛 (𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑖

+𝜕2𝑀*

𝑛𝑠 (𝑃,𝑄)

𝜕𝑠𝜕𝑛𝑖

)𝑤(𝑄) − 𝜕𝑀*

𝑛 (𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑖

𝜕𝑤 (𝑄)

𝜕𝑛

]𝑑Γ(𝑄)+

𝑁𝑐∑𝑗=1

𝜕𝑅*𝑐𝑗

(𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑖

𝑤𝑐𝑗 (𝑄) =

∫Γ

[(𝑄𝑛 (𝑄) +

𝜕𝑀𝑛𝑠 (𝑄)

𝜕𝑠

)𝜕𝑤*(𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑖

−𝑀𝑛 (𝑄)𝜕2𝑤* (𝑃,𝑄)


]𝑑Γ(𝑄)

+𝑁𝑐∑𝑗=1

𝑅𝑐𝑗 (𝑄)𝜕𝑤*

𝑐𝑗(𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑖

+

∫Ω

𝑞 (𝑄)𝜕𝑤* (𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑖

.

(6.26)Com as Eqs. (6.24) e (6.26) ainda não é possível resolver o sistema devido as incógnitas

dos cantos, 𝑤𝑐𝑖 e 𝑅𝑐𝑖 . Para resolver esse problema, aplica-se as Eqs. (6.24) e (6.26) com ospontos fontes sendo as coordenadas dos cantos da placa. Assim, obtém-se equações suficientespara resolver o sistema.

6.2 Equação integral de contorno para flexocompressão de placas anisotrópi-cas

Para obter a equação integral de contorno para o problema de flexocompressão de placaspartimos da Eq. (5.31). Essa equação é reescrita de forma mais conveniente para a aplicação dométodo dos resíduos ponderados da seguinte forma:

56

𝐷11𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 4𝐷16

𝜕4𝑤

𝜕𝑥3𝜕𝑦+ 2 (𝐷12 + 2𝐷66)

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+ 4𝐷26

𝜕4𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦3+ 𝐷22

𝜕4𝑤

𝜕𝑦4+

𝑁𝑥𝜕2𝑤


𝜕2𝑤


𝜕2𝑤

𝜕𝑦2− 𝑞 = 0.

(6.27)

Ponderando o resíduo,

∫Ω

[𝐷11

𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 4𝐷16

𝜕4𝑤

𝜕𝑥3𝜕𝑦+ 2 (𝐷12 + 2𝐷66)

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+ 4𝐷26

𝜕4𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦3+ 𝐷22

𝜕4𝑤

𝜕𝑦4

+𝑁𝑥𝜕2𝑤


𝜕2𝑤


𝜕2𝑤

𝜕𝑦2− 𝑞

]𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0.

(6.28)

Do problema de flexão de placas, sabe-se que:

∫Ω

[𝐷11

𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 4𝐷16

𝜕4𝑤

𝜕𝑥3𝜕𝑦+ 2 (𝐷12 + 2𝐷66)

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+ 4𝐷26

𝜕4𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦3+ 𝐷22

𝜕4𝑤

𝜕𝑦4− 𝑞

]𝑤*𝑑Ω =∮

Γ

𝑀𝑛𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑑Γ −

∮Γ

𝑀*𝑛

𝜕𝑤

𝜕𝑛𝑑Γ −

∮Γ

(𝑄𝑛 +

𝜕𝑀𝑛𝑠

𝜕𝑠

)𝑤*𝑑Γ+∮

Γ

(𝑄*

𝑛 +𝜕𝑀*

𝑛𝑠

𝜕𝑠

)𝑤𝑑Γ +

𝑁𝑐∑𝑗=1

𝑀𝑛𝑠𝑤*21−

𝑁𝑐∑𝑗=1

𝑀*𝑛𝑠𝑤

21−∫Ω

𝑞𝑤*𝑑Ω+∫Ω

[𝐷11

𝜕4𝑤*

𝜕𝑥4+ 4𝐷16

𝜕4𝑤*

𝜕𝑥3𝜕𝑦+ 2 (𝐷12 + 2𝐷66)

𝜕4𝑤*

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+ 4𝐷26

𝜕4𝑤*

𝜕𝑥𝜕𝑦3+ 𝐷22

𝜕4𝑤*

𝜕𝑦4− 𝑞*

]𝑤𝑑Ω.

(6.29)Do Teorema de Green, temos:∫

Ω

𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦 =

∮Γ

𝑤𝑤*𝑑𝑦 −∫Ω

𝑤𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦,

∫Ω

𝜕𝑤

𝜕𝑦𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦 = −

∮Γ

𝑤𝑤*𝑑𝑥−∫Ω

𝑤𝜕𝑤*

𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦.

(6.30)

Aplicando o Teorema de Green no termo refente a força compressiva na direção x da Eq.(6.28), temos: ∫

Ω

𝑁𝑥𝜕𝑤2

𝜕𝑥2𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦 =

∮Γ

𝑁𝑥𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑤*𝑑𝑦⏟ ⏞

𝐼

−∫Ω

𝑁𝑥𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦⏟ ⏞

𝐼𝐼

. (6.31)

Aplicando o Teorema de Green em 𝐼𝐼 , tem-se:∫Ω

𝑁𝑥𝜕𝑤

𝜕𝑥

𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 =

∮Γ

𝑁𝑥𝑤𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑑𝑦 −

∫Ω

𝑁𝑥𝑤𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦. (6.32)

Substituindo a Eq. (6.32) em (6.31), obtém-se

57

∫Ω

𝑁𝑥𝜕𝑤2

𝜕𝑥2𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦 =

∮Γ

𝑁𝑥𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑤*𝑑𝑦 −

∮Γ


𝜕𝑥𝑑𝑦 +

∫Ω

𝑁𝑥𝑤𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦. (6.33)

De forma análoga, obtém-se para os termos da força compressiva na direção y:

∫Ω

𝑁𝑦𝜕𝑤2

𝜕𝑦2𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦 = −

∮Γ

𝑁𝑦𝜕𝑤

𝜕𝑦𝑤*𝑑𝑥 +

∮Γ

𝑁𝑦𝑤𝜕𝑤*

𝜕𝑦𝑑𝑥 +

∫Ω

𝑁𝑦𝑤𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦. (6.34)

Usando a propriedade das derivadas na Eq. (6.35),

𝜕2

𝜕𝑥𝜕𝑦𝑓 =

𝜕2

𝜕𝑦𝜕𝑥𝑓 , (6.35)

pode-se escrever o termo das forças cisalhantes como:

2𝑁𝑥𝑦𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝑁𝑥𝑦

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑁𝑥𝑦

𝜕2𝑤

𝜕𝑦𝜕𝑥. (6.36)

Aplicando o mesmo procedimento para encontrar as Eqs. (6.33) e (6.34), obtém-se:

∫Ω

𝑁𝑥𝑦𝜕𝑤2

𝜕𝑥𝜕𝑦𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦 =

∮Γ

𝑁𝑥𝑦𝜕𝑤

𝜕𝑦𝑤*𝑑𝑦 +

∮Γ

𝑁𝑥𝑦𝑤𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

∫Ω

𝑁𝑥𝑦𝑤𝜕2𝑤*

𝜕𝑥𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 (6.37)

e ∫Ω

𝑁𝑥𝑦𝜕𝑤2

𝜕𝑥𝜕𝑦𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦 = −

∮Γ


𝜕𝑥𝑤*𝑑𝑥−

∮Γ


𝜕𝑦𝑑𝑦 +

∫Ω

𝑁𝑥𝑦𝑤𝜕2𝑤*

𝜕𝑦𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦. (6.38)

Somando as Eqs. (6.33),(6.34),(6.37) e (6.38), temos:

∫Ω

[𝑁𝑥

𝜕2𝑤


𝜕2𝑤


𝜕2𝑤

𝜕𝑦2

]𝑤*𝑑𝑥𝑑𝑦 =

∮Γ

𝑁𝑥𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑤*𝑑𝑦 +

∮Γ


𝜕𝑦𝑤*𝑑𝑦

−∮Γ

𝑁𝑦𝜕𝑤

𝜕𝑦𝑤*𝑑𝑥−

∮Γ


𝜕𝑥𝑤*𝑑𝑥−

∮Γ


𝜕𝑥𝑑𝑦 +

∮Γ


𝜕𝑥𝑑𝑥 +

∮Γ


𝜕𝑦𝑑𝑥

−∮Γ


𝜕𝑦𝑑𝑦 +

∫Ω

[𝑁𝑥

𝜕2𝑤*


𝜕2𝑤*


𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2

]𝑤𝑑𝑥𝑑𝑦.

(6.39)Aplicando a Eq. (6.14) na Eq. (6.39), pode-se escrever os termos das integrais de contorno

como:

58

∮Γ

𝑁𝑥𝜕𝑤

𝜕𝑥𝑤*𝑑𝑦 =

∮Γ

𝑁𝑥

(𝑛𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑛− 𝑛𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑠

)𝑤*𝑛𝑥𝑑Γ,

∮Γ


𝜕𝑦𝑤*𝑑𝑦 =

∮Γ

𝑁𝑥𝑦

(𝑛𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑛+ 𝑛𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑠

)𝑤*𝑛𝑥𝑑Γ,

−∮Γ

𝑁𝑦𝜕𝑤

𝜕𝑦𝑤*𝑑𝑥 =

∮Γ

𝑁𝑦

(𝑛𝑦

𝜕𝑤

𝜕𝑛+ 𝑛𝑥

𝜕𝑤

𝜕𝑠

)𝑤*𝑛𝑦𝑑Γ,

−∮Γ


𝜕𝑥𝑤*𝑑𝑥 =

∮Γ

𝑁𝑥𝑦

(𝑛𝑥

𝜕𝑤


𝜕𝑤

𝜕𝑠

)𝑤*𝑛𝑦𝑥𝑑Γ,

−∮Γ


𝜕𝑥𝑑𝑦 = −

∮Γ

𝑁𝑥𝑤

(𝑛𝑥

𝜕𝑤*


𝜕𝑤*

𝜕𝑠

)𝑛𝑥𝑑Γ,

∮Γ


𝜕𝑥𝑑𝑥 = −

∮Γ

𝑁𝑥𝑦𝑤

(𝑛𝑥

𝜕𝑤*


𝜕𝑤*

𝜕𝑠

)𝑛𝑦𝑑Γ,

∮Γ


𝜕𝑦𝑑𝑥 = −

∮Γ

𝑁𝑦𝑤

(𝑛𝑦

𝜕𝑤*

𝜕𝑛+ 𝑛𝑥

𝜕𝑤*

𝜕𝑠

)𝑛𝑦𝑑Γ,

−∮Γ


𝜕𝑦𝑑𝑦 = −

∮Γ

𝑁𝑥𝑦𝑤

(𝑛𝑦

𝜕𝑤*

𝜕𝑛+ 𝑛𝑥

𝜕𝑤*

𝜕𝑠

)𝑛𝑥𝑑Γ.

(6.40)

Substituindo a Eq. (6.40) na Eq. (6.39), tem-se:

∫Ω

[𝑁𝑥

𝜕2𝑤


𝜕2𝑤


𝜕2𝑤

𝜕𝑦2


∫Ω

[𝑁𝑥

𝜕2𝑤*


𝜕2𝑤*


𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2

]𝑤𝑑𝑥𝑑𝑦

+

∮Γ

(𝑁𝑥𝑛

2𝑥 + 2𝑁𝑥𝑦𝑛𝑥𝑛𝑦 + 𝑁𝑦𝑛

2𝑦

) 𝜕𝑤𝜕𝑛

𝑤*𝑑Γ +

∮Γ

[𝑛𝑥𝑛𝑦 (𝑁𝑦 −𝑁𝑥) + 𝑁𝑥𝑦

(𝑛2𝑥 − 𝑛2

𝑦

)] 𝜕𝑤𝜕𝑠

𝑤*𝑑Γ

−∮Γ

(𝑁𝑥𝑛

2𝑥 + 2𝑁𝑥𝑦𝑛𝑥𝑛𝑦 + 𝑁𝑦𝑛

2𝑦

) 𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑤𝑑Γ −

∮Γ

[𝑛𝑥𝑛𝑦 (𝑁𝑦 −𝑁𝑥) + 𝑁𝑥𝑦

(𝑛2𝑥 − 𝑛2

𝑦

)] 𝜕𝑤𝜕𝑠

𝑤*𝑑Γ.

(6.41)Sabendo que

𝑁𝑛 = 𝑁𝑥𝑛2𝑥 + 2𝑁𝑥𝑦𝑛𝑥𝑛𝑦 + 𝑁𝑦𝑛

2𝑦,

𝑁𝑛𝑠 = 𝑛𝑥𝑛𝑦 (𝑁𝑦 −𝑁𝑥) + 𝑁𝑥𝑦

(𝑛2𝑥 − 𝑛2

𝑦

),

(6.42)

pode-se escrever a Eq. (6.41) como:

59

∫Ω

[𝑁𝑥

𝜕2𝑤


𝜕2𝑤


𝜕2𝑤

𝜕𝑦2


∮Γ

𝑁𝑛𝜕𝑤

𝜕𝑛𝑤*𝑑Γ +

∮Γ

𝑁𝑛𝑠𝜕𝑤

𝜕𝑠𝑤*𝑑Γ

−∮Γ

𝑁𝑛𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑤𝑑Γ −

∮Γ

𝑁𝑛𝑠𝜕𝑤*

𝜕𝑠𝑤𝑑Γ +

∫Ω

[𝑁𝑥

𝜕2𝑤*


𝜕2𝑤*


𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2

]𝑤𝑑𝑥𝑑𝑦.

(6.43)Substituindo Eq. (6.43) em Eq. (6.28), temos

∫Ω

[𝐷11

𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 4𝐷16

𝜕4𝑤

𝜕𝑥3𝜕𝑦+ 2 (𝐷12 + 2𝐷66)

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+ 4𝐷26

𝜕4𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦3+ 𝐷22

𝜕4𝑤

𝜕𝑦4

+𝑁𝑥𝜕2𝑤


𝜕2𝑤


𝜕2𝑤

𝜕𝑦2− 𝑞

]𝑤*𝑑Ω =∮

Γ

𝑀𝑛𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑑Γ −

∮Γ

𝑀*𝑛

𝜕𝑤

𝜕𝑛𝑑Γ −

∮Γ

(𝑄𝑛 +

𝜕𝑀𝑛𝑠

𝜕𝑠−𝑁𝑛

𝜕𝑤

𝜕𝑛−𝑁𝑛𝑠

𝜕𝑤

𝜕𝑠

)𝑤*𝑑Γ

+

∮Γ

(𝑄*

𝑛 +𝜕𝑀*

𝑛𝑠

𝜕𝑠−𝑁𝑛

𝜕𝑤*


𝜕𝑤*

𝜕𝑠

)𝑤𝑑Γ +

𝑁𝑐∑𝑗=1

𝑀𝑛𝑠𝑤*21−

𝑁𝑐∑𝑗=1

𝑀*𝑛𝑠𝑤

21−∫Ω

𝑞𝑤*𝑑Ω

+

∫Ω

[𝐷11

𝜕4𝑤*

𝜕𝑥4+ 4𝐷16

𝜕4𝑤*

𝜕𝑥3𝜕𝑦+ 2 (𝐷12 + 2𝐷66)

𝜕4𝑤*

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+ 4𝐷26

𝜕4𝑤*

𝜕𝑥𝜕𝑦3+ 𝐷22

𝜕4𝑤*

𝜕𝑦4

+𝑁𝑥𝜕2𝑤*


𝜕2𝑤*


𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2− 𝑞*

]𝑤𝑑Ω.

(6.44)Aplicando novamente a propriedade da função delta de Dirac, obtém-se a equação integral

de contorno para o problemas de flexocompressão de placas:

𝐶𝑖𝑤 (𝑃 ) +

∮Γ

𝑉 *𝑛 (𝑃,𝑄)𝑤 (𝑄) 𝑑Γ (𝑄) −

∮Γ

𝑀*𝑛 (𝑃,𝑄)

𝜕𝑤 (𝑄)

𝜕𝑛𝑑Γ (𝑄) +

𝑁𝑐∑𝑗=2

𝑅*𝑐𝑗

(𝑃,𝑄)𝑤𝑐𝑗 (𝑄) =∮Γ

𝑉𝑛 (𝑄)𝑤* (𝑃,𝑄) 𝑑Γ (𝑄) −∮Γ

𝑀𝑛 (𝑄)𝜕𝑤* (𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑑Γ (𝑄) +

𝑁𝑐∑𝑗=2

𝑅𝑐𝑗 (𝑄)𝑤*𝑐𝑗

(𝑃,𝑄)

+

∫Ω

𝑞 (𝑄)𝑤* (𝑃,𝑄) 𝑑Ω.

(6.45)Os termos com * são os termos referentes a solução fundamental da equação integral de

contorno. Aplicando 𝑤* na Eq. (5.16), temos:

𝑀*𝑛 = 𝑛2

𝑥𝑀*𝑥 + 2𝑛𝑥𝑛𝑦𝑀

*𝑥𝑦 + 𝑛2

𝑦𝑀*𝑦 ,

𝑀*𝑛𝑠 = 𝑛𝑥𝑛𝑦

(𝑀*

𝑦 −𝑀*𝑥

)+(𝑛2𝑥 − 𝑛2

𝑦

)𝑀*

𝑥𝑦,

(6.46)

60

onde

𝑀*𝑥 = −

(𝐷11

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2+ 2𝐷16

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝐷12

𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2

),

𝑀*𝑦 = −

(𝐷12

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2+ 2𝐷26

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝐷22

𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2

),

𝑀*𝑥𝑦 = −

(𝐷16

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2+ 2𝐷66

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝐷26

𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2

).

(6.47)

O termo 𝑉𝑛 é o somatório das forças cisalhantes, derivada do momento volvente na dire-ção 𝑠 e projeções das forças de membranas, dado por:

𝑉 *𝑛 = 𝑄*

𝑛 +𝜕𝑀*

𝑛𝑠

𝜕𝑠−𝑁𝑛

𝜕𝑤*


𝜕𝑤*

𝜕𝑠,

𝑉𝑛 = 𝑄𝑛 +𝜕𝑀𝑛𝑠

𝜕𝑠−𝑁𝑛

𝜕𝑤


𝜕𝑤

𝜕𝑠.

(6.48)

Sabendo que

𝑄*𝑛+

𝜕𝑀𝑛𝑠

𝜕𝑠= 𝑣1

𝜕3𝑤*

𝜕𝑥3+𝑣2

𝜕3𝑤*

𝜕𝑥2𝜕𝑦+𝑣3

𝜕3𝑤*

𝜕𝑥𝜕𝑦3+𝑣4

𝜕3𝑤*

𝜕3𝑦+

1

𝑅

(𝑣5𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2+ 𝑣6

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑣7

𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2

),

(6.49)onde 𝑅 é o raio de curvatura da superfície da placa. Nesse trabalho só é considerado o caso deplacas poligonais, 𝑅 → ∞, logo a Eq. (6.49) torna-se:

𝑄*𝑛 +

𝜕𝑀𝑛𝑠

𝜕𝑠= 𝑣1

𝜕3𝑤*

𝜕𝑥3+ 𝑣2

𝜕3𝑤*

𝜕𝑥2𝜕𝑦+ 𝑣3

𝜕3𝑤*

𝜕𝑥𝜕𝑦3+ 𝑣4

𝜕3𝑤*

𝜕3𝑦. (6.50)

Sabendo que

𝜕𝑤*

𝜕𝑛=

𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑛𝑥 +

𝜕𝑤*

𝜕𝑦𝑛𝑦,

𝜕𝑤*

𝜕𝑠= −𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑛𝑦 +

𝜕𝑤*

𝜕𝑦𝑛𝑥,

(6.51)

tem-se que

𝑁𝑛𝜕𝑤*

𝜕𝑛+ 𝑁𝑛𝑠

𝜕𝑤*

𝜕𝑠= (𝑁𝑛𝑛𝑥 −𝑁𝑛𝑠𝑛𝑦)

𝜕𝑤*

𝜕𝑥+ (𝑁𝑛𝑛𝑦 + 𝑁𝑛𝑠𝑛𝑥)

𝜕𝑤*

𝜕𝑦(6.52)

ou𝑁𝑛

𝜕𝑤*

𝜕𝑛+ 𝑁𝑛𝑠

𝜕𝑤*

𝜕𝑠= 𝑣8

𝜕𝑤*

𝜕𝑥+ 𝑣9

𝜕𝑤*

𝜕𝑦. (6.53)

Substituindo as Eqs. (6.50) e (6.53) na Eq. (6.48), temos:

𝑉 *𝑛 = 𝑣1

𝜕3𝑤*

𝜕𝑥3+ 𝑣2

𝜕3𝑤*

𝜕𝑥2𝜕𝑦+ 𝑣3

𝜕3𝑤*

𝜕𝑥𝜕𝑦3+ 𝑣4

𝜕3𝑤*

𝜕3𝑦+ 𝑣8

𝜕𝑤*

𝜕𝑥+ 𝑣9

𝜕𝑤*

𝜕𝑦, (6.54)

61

onde os termos 𝑣𝑖 da Eq. (6.54) são obtidos de acordo com o trabalho de (BÉZINE, 1978).Derivando a Eq. (6.45), obtém-se:

𝐶𝑖𝜕𝑤 (𝑃 )

𝜕𝑛𝑖

+

∮Γ

𝜕𝑉 *𝑛 (𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑖

𝑤 (𝑄) 𝑑Γ (𝑄) −∮Γ

𝜕𝑀*𝑛 (𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑖

𝜕𝑤 (𝑄)

𝜕𝑛𝑑Γ (𝑄)

+𝑁𝑐∑𝑗=2

𝜕𝑅*𝑐𝑗

(𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑖

𝑤𝑐𝑗 (𝑄) =

∮Γ

𝑉𝑛 (𝑄)𝜕𝑤* (𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑖

𝑑Γ (𝑄) −∮Γ

𝑀𝑛 (𝑄)𝜕2𝑤* (𝑃,𝑄)


𝑑Γ (𝑄)

+𝑁𝑐∑𝑗=2

𝑅𝑐𝑗 (𝑄)𝜕𝑤*

𝑐𝑗(𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑖

+

∫Ω

𝑞 (𝑄)𝜕𝑤* (𝑃,𝑄)

𝜕𝑛𝑖

𝑑Ω,

(6.55)

6.3 Solução fundamental para o caso isotrópico unidirecionalmente compri-mida

(JAHANSHAHI e DUNDURS, 1964) desenvolveram uma solução para o problema deplacas unidirecionalmente comprimidas com carga concentrada se movendo ao longo da super-fície da placa.

Para trabalhar com a solução proposta por (JAHANSHAHI e DUNDURS, 1964) é precisoreescrever a Eq. (5.31) para o caso em que existem forças compressivas apenas em uma direção.Para isso define-se 𝑁𝑦 = 𝑁𝑥𝑦 = 0, então a Eq. (5.31) torna-se para o caso isotrópico:

𝐷∇4𝑤 + 𝑁𝑥𝜕2𝑤

𝜕𝑥2= 𝑞, (6.56)

onde𝐷 =

𝐸ℎ3

12 (1 − 𝜈2). (6.57)

Ajustando a solução proposta para o caso de uma carga concentrada fixa, obtém-se:

𝑤* =1

8𝐷𝜅

∫ 𝑥

0

sin (𝜅𝜌)𝑌𝑜

(𝜅√𝜌2 + 𝑦2

)𝑑𝜌 +

1

8𝐷

∫ 𝑦

0

(𝑦 − 𝜌)𝑌0 (𝜅𝜌) 𝑑𝜌, (6.58)

onde𝜅2 =

𝑁𝑥

4𝐷(6.59)

e 𝑌0 é a função de Bessel do segundo tipo e ordem 0.Para que a Eq. (6.58) seja solução fundamental do problema de placas unidirecionalmente

comprimidas, quando substituída na Eq. (6.56), deve se comportar como a função delta de Dirac,logo


𝜕𝑥2= 𝛿 (𝑥− 𝑥𝑖) 𝛿 (𝑦 − 𝑦𝑖) . (6.60)

62

Primeiramente prova-se que para 𝑟 = 0 (distância entre os ponto fonte e campo, Eq. 6.61),

𝑟 =

√(𝑥− 𝑥𝑖)

2 + (𝑦 − 𝑦𝑖)2, (6.61)

𝑤* é solução fundamental. Para isso, 𝑤* é derivada quatro vezes e substituída na Eq. (6.60),onde verifica-se que o resultado é zero conforme o esperado.

Para o caso em que 𝑟 → 0, tem-se:

∫Ω𝜀

(𝐷∇4𝑤* + 𝑁𝑥

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥*

)𝑑Ω𝜀 = 𝐷

∫Ω𝜀

∇ · ∇(∇2𝑤*) 𝑑Ω𝜀⏟ ⏞

𝐼

+𝑁𝑥

∫Ω𝜀

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2𝑑Ω𝜀⏟ ⏞

𝐼𝐼

. (6.62)

Aplicando o Teorema da Divergência em 𝐼 , temos

𝐷

∫Ω𝜀

∇ · ∇(∇2𝑤*) 𝑑Ω𝜀 = 𝐷

∫Γ𝜀

∇(∇2𝑤*) · n𝑑Γ𝜀 = 𝐷

∫Γ𝜀

𝜕

𝜕𝑛

(𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2

)𝑑Γ𝜀.

(6.63)fazendo 𝑛 = 𝑟, obtém-se

𝐷

∫Γ𝜀

𝜕

𝜕𝑛

(𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2

)𝑑Γ𝜀 =

1

4

∫Γ𝜀

𝜕

𝜕𝑟(cos [𝜅𝑟 cos (𝜃)]𝑌0 (𝜅𝑟)) 𝑑Γ𝜀

= −1

4

∫Γ𝜀

𝜅𝑌0 (𝜅𝑟) cos (𝜃) sin [𝜅𝑟 cos (𝜃)]

+𝜅𝑌1 (𝜅𝑟) cos [𝜅𝑟 cos (𝜃)] 𝑑Γ𝜀.

(6.64)

Aplicando limite, obtém-se:

− 1

4lim𝜀→0

∫Γ𝜀

2𝜅

𝜋2cos2 (𝜃) 𝜀

(log 𝜀 + log

𝜅

2

)+ 𝑂

(𝑟2)− 2

𝜋𝜀+ 𝑂

(𝑟1)

𝑑Γ𝜀. (6.65)

Como 𝜀 → 0, o primeiro termo da Eq. (6.65) é zero, logo a Eq. (6.65) fica:

1

4lim𝜀→0

∫Γ𝜀

2

𝜋𝜀𝑑Γ𝜀. (6.66)

Considerando o contorno Γ𝜀 como sendo um círculo com raio 𝜀, tem-se∫Γ𝜀

𝑑Γ𝜀 = 2𝜋𝜀, (6.67)

logo,

63

1

4lim𝜀→0

∫Γ𝜀

2

𝜋𝜀𝑑Γ𝜀 = lim

𝜀→0

2 (2𝜋𝜀)

4𝜋𝜀= 1. (6.68)

Através da Eq. (6.68) prova-se que 𝑤* é solução fundamental do problema. Assim, deve-se reescrever 𝑤* em função dos ponto fonte e campo para que ela possa ser implementadacomputacionalmente no MEC, como:

𝑤* =1

8𝐷𝜅

∫ |𝑥−𝑥𝑖|

0

sin (𝜅𝜌)𝑌𝑜

(𝜅

√𝜌2 + (𝑦 − 𝑦𝑖)

2

)𝑑𝜌+

1

8𝐷

∫ |𝑦−𝑦𝑖|

0

(|𝑦 − 𝑦𝑖| − 𝜌)𝑌0 (𝜅𝜌) 𝑑𝜌.

(6.69)Os demais núcleos da solução fundamental serão apresentados a seguir. Alguns dos nú-

cleos apresentam singularidades cujo tratamento analítico foi feito com a ajuda do software𝑀𝑎𝑡ℎ𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎©.

6.3.1 Núcleo da inclinação -𝜕𝑤*

𝜕𝑛

Utilizando a Eq. (6.51), pode-se escrever o núcleo da inclinação do deslocamento como:

𝜕𝑤*

𝜕𝑛=

1

8𝐷

1

𝜅sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟)𝑛𝑥 +

[𝑠𝑖𝑔𝑛 (𝑦 − 𝑦𝑖)

∫ |𝑦−𝑦𝑖|

0

𝑌0 (𝜅𝜌) 𝑑𝜌

− (𝑦 − 𝑦𝑖)

∫ |𝑥−𝑥𝑖|

0

sin (𝜅𝜌)√𝜌2 + (𝑦 − 𝑦𝑖)

2𝑌1

(𝜅

√𝜌2 + (𝑦 − 𝑦𝑖)

2

)𝑑𝜌

⎤⎦𝑛𝑦

⎫⎬⎭ .(6.70)

6.3.2 Núcleo do momento resultante - 𝑀*𝑛

A Eq. (6.47) para o caso isotrópico, os momentos resultantes são:

𝑀*𝑥 = −𝐷

(𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2+ 𝜈

𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2

),

𝑀*𝑦 = −𝐷

(𝜈𝜕2𝑤*

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑤*

𝜕𝑦2

),

𝑀*𝑥𝑦 = − (1 − 𝜈)𝐷

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥𝜕𝑦.

(6.71)

Aplicando Eq. (6.71) na Eq. (5.16), após as derivadas obtém-se:

𝑀*𝑛 = −(1 + 𝜈)

8cos[𝜅(𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0(𝜅𝑟)

+(1 − 𝜈)

8

[𝑟,𝑥𝑛

2𝑥 + 2𝑟,𝑦𝑛𝑥𝑛𝑦 − 𝑟,𝑥𝑛

2𝑦

]sin[𝜅(𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1(𝜅𝑟),

(6.72)

64

onde𝑟,𝑥 =

(𝑥− 𝑥𝑖)

𝑟e 𝑟,𝑦 =

(𝑦 − 𝑦𝑖)

𝑟. (6.73)

Para uma implementação do MEC é preciso evitar singularidades dos núcleos. Para tal,expande-se assintoticamente o núcleo para 𝑟 → 0, obtendo assim:

cos [𝜅𝑟 cos (𝜃)]𝑌0 (𝜅𝑟) =2𝛾

𝜋+

2𝑙𝑛 (𝑟)

𝜋+

2

𝜋𝑙𝑛

(𝜅2

)+ 𝑂 [𝑟]2 ,

sin [𝜅𝑟 cos (𝜃)]𝑌1 (𝜅𝑟) = − 2

𝜋cos (𝜃) + 𝑂 [𝑟]2 ,

(6.74)

onde 𝛾 é a constante gama de Euler e cos (𝜃) = 𝑟,𝑥. Percebe-se que esse núcleo possui um

singularidade fraca no2𝑙𝑛 (𝑟)

𝜋. Então o núcleo do momento será divido em dois, um referente

a parte regular (𝑅) e outro referente a parte singular (𝑆).

𝑀*𝑅𝑛 = −(1 + 𝜈)

8

[cos[𝜅(𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0(𝜅𝑟) − 2

𝜋𝑙𝑛 (𝑟)

]+

(1 − 𝜈)

8

[𝑟,𝑥𝑛


2𝑦

]sin[𝜅(𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1(𝜅𝑟),

(6.75)

𝑀*𝑆𝑛 = −(1 + 𝜈)

4𝜋𝑙𝑛 (𝑟) , (6.76)

sendo 𝑀*𝑛 = 𝑀*𝑅

𝑛 + 𝑀*𝑆𝑛 .

6.3.3 Núcleo da resultante do esforço cortante - 𝑉 *𝑛

Aplicando as derivadas de 𝑤* para o caso isotrópico em Eq. (6.54), obtém-se

𝑉 *𝑛 = 𝑎1𝜅 cos[𝜅(𝑥−𝑥𝑖)]𝑌1(𝜅𝑟)+𝑎2

1

𝑟sin[𝜅(𝑥−𝑥𝑖)]𝑌1(𝜅𝑟)+𝑎3𝜅 sin[𝜅(𝑥−𝑥𝑖)]𝑌0(𝜅𝑟), (6.77)

onde

𝑎1 =1

8

(∇r · n)

[2 + 2𝑛2

𝑦 (1 − 𝜈)]− (1 − 𝜈) 𝑟,𝑦𝑛𝑦

,

𝑎2 =1

8(1 − 𝜈)

[(𝑟2𝑥 − 𝑟2𝑦

) (𝑛3𝑥 − 3𝑛𝑥𝑛

2𝑦

)+ 2𝑟𝑥𝑟𝑦

(3𝑛2

𝑥𝑛𝑦 − 𝑛3𝑦

)],

𝑎3 =1

8

2𝑛𝑥 + (1 − 𝜈)

[𝑟2,𝑦𝑛

3𝑥 + 𝑛𝑥𝑛

2𝑦

(2 − 3𝑟2,𝑦

)− 3𝑟,𝑥𝑟,𝑦𝑛

2𝑥𝑛𝑦 + 𝑟,𝑥𝑟,𝑦𝑛

3𝑦

]− 𝑛3

𝑥

𝑁𝑥

𝐷𝜅2

.

(6.78)Assim como foi feito para o núcleo do momento, expande-se o esforço cortante resultante,

obtendo

65

𝜅 sin [𝜅𝑟 cos (𝜃)]𝑌0 (𝜅𝑟) = 0,

𝜅 cos [𝜅𝑟 cos (𝜃)]𝑌1 (𝜅𝑟) = − 2

𝜋

1

𝑟,

1

𝑟sin [𝜅𝑟 cos (𝜃)]𝑌1 (𝜅𝑟) = −2 cos (𝜃)

𝜋

1

𝑟.

(6.79)

Percebe-se duas singularidades fortes, uma no termo − 2

𝜋𝑟e outra no termo −2 cos (𝜃)

𝜋𝑟.

Somando as duas singularidades, temos

𝑉 *𝑆𝑛 = − 2

𝜋𝑟(𝑎1 + 𝑟,𝑥𝑎2) . (6.80)

Prova-se numericamente que

𝑉 *𝑆𝑛 = − 1

4𝜋𝑟(∇r · n)

2 + (1 − 𝜈)

[2 (∇r · n)2 − 1

], (6.81)

portanto, para placas retas alinhadas aos eixos cartesianos, quando o elemento for singular, asolução fundamental do esforço cortante será zero. Isso é facilmente visto por simples substi-tuição: quando o elemento estiver ao longo da face paralela a x, 𝑛𝑦 = 𝑟,𝑥 = 0, os coeficientesda solução serão nulos; quando estiver ao longo da face paralela a y, 𝑛𝑥 = 𝑟,𝑦 = 0, o coeficiente𝑎1 = 0. No entanto, sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)] = 0, já que 𝑥 = 𝑥𝑖, logo 𝑉 𝑛* = 0.


Derivando os termos da Eq. (6.20) em função de 𝑤*, obtém-se

𝑅*𝑐𝑗

=(1 − 𝜈)

82𝑟,𝑥𝑐𝑗

(𝑛−𝑥 𝑛

−𝑦 − 𝑛+

𝑥 𝑛+𝑦

)sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟) +

(1 − 𝜈)

8

[(𝑛2+𝑥 − 𝑛2+

𝑦

)−

(𝑛2−𝑥 − 𝑛2−

𝑦

)]𝑟,𝑦𝑐𝑗 sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟) .

(6.82)

6.3.5 Núcleo da derivada do deslocamento -𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑖

O núcleo da derivada do deslocamento é obtido de forma semelhante ao núcleo da incli-nação, só que derivando a solução fundamental do deslocamento em função da normal do pontofonte.

66

𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑖

=1

8𝐷

1

𝜅sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟)𝑛𝑥𝑖

+

[𝑠𝑖𝑔𝑛 (𝑦 − 𝑦𝑖)

∫ |𝑦−𝑦𝑖|

0

𝑌0 (𝜅𝜌) 𝑑𝜌

− (𝑦 − 𝑦𝑖)

∫ |𝑥−𝑥𝑖|

0

sin (𝜅𝜌)√𝜌2 + (𝑦 − 𝑦𝑖)

2𝑌1

(𝜅

√𝜌2 + (𝑦 − 𝑦𝑖)

2

)𝑑𝜌

⎤⎦𝑛𝑦𝑖

⎫⎬⎭ .(6.83)

6.3.6 Núcleo da derivada da inclinação -𝜕2𝑤*


Sabendo que

𝜕

𝜕𝑛𝑖

(𝜕𝑤*

𝜕𝑛

)=

𝜕

𝜕𝑛𝑖

(𝜕𝑤*

𝜕𝑥𝑛𝑥 +

𝜕𝑤*

𝜕𝑦𝑛𝑦

), (6.84)

logo,

𝜕2𝑤*

𝜕𝑛𝑖𝜕𝑛=

(𝜕2𝑤*

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑛𝑥 +

𝜕2𝑤*

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑦𝑛𝑦

)𝑛𝑥𝑖

+

(𝜕2𝑤*

𝜕𝑦𝑖𝜕𝑥𝑛𝑥 +

𝜕2𝑤*

𝜕𝑦𝑖𝜕𝑦𝑛𝑦

)𝑛𝑦𝑖 . (6.85)

Usando a Eq. (6.85), obtém-se

𝜕2𝑤*

𝜕𝑛𝑖𝜕𝑛= − 1

8𝐷cos [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟) (n · ni) +

1

8𝐷[(∇r · ni)𝑛𝑥 + (𝑟,𝑦𝑛𝑥𝑖

− 𝑟,𝑥𝑛𝑦𝑖)𝑛𝑦] sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟) .(6.86)

Percebe-se que esse núcleo possui termos semelhantes ao núcleo do momento resultantecos [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟) e sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟), logo possui o mesmo tipo de singularidade.Portanto, assim como feito com o momento resultante, o núcleo da derivada da inclinação serádividido em duas partes: uma regular e outra singular.

𝜕2𝑤*𝑅

𝜕𝑛𝑖𝜕𝑛= − 1

8𝐷

[cos [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟) +

2

𝜋𝑙𝑛 (𝑟)

](n · ni) +

1

8𝐷[(∇r · ni)𝑛𝑥 + (𝑟,𝑦𝑛𝑥𝑖

− 𝑟,𝑥𝑛𝑦𝑖)𝑛𝑦] sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟)

(6.87)

e𝜕2𝑤*𝑆

𝜕𝑛𝑖𝜕𝑛=

1

4𝜋𝐷𝑙𝑛 (𝑟) (n · ni) . (6.88)

6.3.7 Núcleo da derivada do momento resultante -𝜕𝑀*

𝑛

𝜕𝑛𝑖

Derivando a Eq. (6.72) em função da normal do ponto fonte, temos

67

𝜕𝑀*𝑛

𝜕𝑛𝑖

= 𝑏1𝜅 cos [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟) + 𝑏2𝜅 sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟) +

𝑏31

𝑟sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟) ,

(6.89)

onde:

𝑏1 = −(1 + 𝜈)

8(∇r · ni) −

(1 − 𝜈)

8

[𝑟,𝑥𝑛


2𝑦

]𝑛𝑥𝑖

,

𝑏2 = −(1 + 𝜈)

8𝑛𝑥𝑖

− (1 − 𝜈)

8

[𝑟,𝑥𝑛


2𝑦

](∇r · ni) ,

𝑏3 =(1 − 𝜈)

8

[−𝑟2,𝑦𝑛

2𝑥 − 2𝑟,𝑥𝑟,𝑦𝑛𝑥𝑛𝑦 + 𝑟2,𝑦𝑛

2𝑦

]𝑛𝑥𝑖

+[𝑟,𝑥𝑟,𝑦𝑛

2𝑥 − 2𝑟2,𝑥𝑛𝑥𝑛𝑦 − 𝑟,𝑥𝑟,𝑦𝑛

2𝑦

]𝑛𝑦𝑖

+

(1 − 𝜈)

8

[𝑟,𝑥𝑛


2𝑦

](∇r · ni) .

(6.90)Analisando o elemento singular em placas retas alinhadas quando o nó do elemento está

ao longo do eixo x, os três coeficientes 𝑏𝑖 da equação são zerados, consequentemente a deri-vada do momento também será. Quando o nó do elemento singular está ao longo do eixo y,somente o coeficiente 𝑏1 = 0. No entanto, os outros dois coeficientes estão multiplicados porsin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)], como nesse caso 𝑥 = 𝑥𝑖, o seno será zero e portanto a derivada do momentotambém.


𝑛

𝜕𝑛𝑖

Derivando a Eq. (6.77), obtém-se

𝜕𝑉 *𝑛

𝜕𝑛𝑖

= 𝐷1𝜅2 cos [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟) + 𝐷2𝜅

1

𝑟cos [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟)

+𝐷3𝜅1

𝑟sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟) + 𝐷4𝜅

2 sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟)

+𝐷51

𝑟2sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟) ,

(6.91)

68

onde:

𝐷1 = −1

8

(∇r · n)

[2 + 2𝑛2

𝑦 (1 − 𝜈)]− (1 − 𝜈) 𝑟,𝑦𝑛𝑦

(∇r · ni)

−1

8

2𝑛𝑥 + (1 − 𝜈)

[𝑟2,𝑦𝑛


2𝑦

(2 − 3𝑟2,𝑦

)+ 𝑟,𝑥𝑟,𝑦

(𝑛3𝑦 − 3𝑛2

𝑥𝑛𝑦

)]− 𝑁𝑥

𝐷𝜅2𝑛3𝑥

𝑛𝑥𝑖

,

𝐷2 =1

8

(−𝑟2,𝑦𝑛𝑥 + 𝑟,𝑥𝑟,𝑦𝑛𝑦

) [2 + 2𝑛2

𝑦 (1 − 𝜈)]− (1 − 𝜈) 𝑟,𝑥𝑟,𝑦𝑛𝑦

− (1 − 𝜈)[(𝑟2,𝑥 − 𝑟2,𝑦

) (𝑛3𝑥 − 3𝑛𝑥𝑛

2𝑦

)+ 2𝑟,𝑥𝑟,𝑦

(3𝑛𝑥𝑛𝑦 − 𝑛3

𝑦

)]𝑛𝑥𝑖

+1

8

(−𝑟2,𝑥𝑛𝑦 + 𝑟,𝑥𝑟,𝑦𝑛𝑥

) [2 + 2𝑛2

𝑦 (1 − 𝜈)]

+ (1 − 𝜈) 𝑟2,𝑥𝑛𝑦

𝑛𝑦𝑖

+1

8

(∇r · n)

[2 + 2𝑛2

𝑦 (1 − 𝜈)]− (1 − 𝜈) 𝑟,𝑦𝑛𝑦

(∇r · ni) ,

𝐷3 = −1

8(1 − 𝜈)

[(𝑟2,𝑥 − 𝑟2,𝑦

) (𝑛𝑥 − 3𝑛𝑥𝑛

2𝑦


(3𝑛2


)](∇r · ni)

+1

8(1 − 𝜈)

[2𝑟,𝑥𝑟

2,𝑦

(𝑛3𝑥 − 3𝑛𝑥𝑛

2𝑦

)+(𝑟3,𝑦 − 𝑟2,𝑥𝑟,𝑦

) (3𝑛2


)]𝑛𝑥𝑖

+1

8(1 − 𝜈)

[−2𝑟2,𝑥𝑟,𝑦

(𝑛3𝑥 − 3𝑛𝑥𝑛

2𝑦

)+(𝑟3,𝑥 − 𝑟,𝑥𝑟

2,𝑦

) (3𝑛2


)]𝑛𝑦𝑖 ,

𝐷4 =1

8

(∇r · n)

[2 + 2𝑛2

𝑦 (1 − 𝜈)]− (1 − 𝜈) 𝑟,𝑦𝑛𝑦

𝑛𝑥𝑖

+1

8

2𝑛𝑥 + (1 − 𝜈)

[𝑟2,𝑦𝑛


2𝑦

(2 − 3𝑟2,𝑦

)+ 𝑟,𝑥𝑟,𝑦

(𝑛3𝑦 − 3𝑛2

𝑥𝑛𝑦

)]− 𝑁𝑥

𝐷𝜅2𝑛3𝑥

×

(∇r · ni) ,

𝐷5 =1

8(1 − 𝜈) 2

[(𝑟2,𝑥 − 𝑟2,𝑦

) (𝑛3𝑥 − 3𝑛𝑥𝑛

2𝑦


(3𝑛2


)](∇r · ni)

+1

8(1 − 𝜈)

[𝑟,𝑥𝑟

2,𝑦

(12𝑛𝑥𝑛

2𝑦 − 4𝑛3

𝑥

)− 2

(𝑟3,𝑦 − 𝑟2,𝑥𝑟,𝑦

) (3𝑛2


)]𝑛𝑥𝑖

+1

8(1 − 𝜈)

[−𝑟2,𝑥𝑟,𝑦

(12𝑛𝑥𝑛

2𝑦 − 4𝑛3

𝑥

)2(𝑟3,𝑥 − 𝑟,𝑥𝑟

2,𝑦

) (3𝑛2


)]𝑛𝑦𝑖 .

(6.92)Os termos 𝐷𝑖 foram conferidos numericamente com a ajuda do software 𝑀𝑎𝑡ℎ𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎©.

Analisando as singularidades da equação, quando 𝑟 → 0, temos:

69

𝜅2 cos [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟) = 2𝜋𝜅2𝑙𝑛 (𝑟) + · · · + 𝑂 [𝑟]2 ,

𝜅1

𝑟cos [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟) = − 2

𝜋

1

𝑟2+

𝜅2

𝑟𝑙𝑛 (𝑟) + · · · + 𝑂 [𝑟]2 ,

𝜅1

𝑟sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟) =

2

𝜋𝜅2𝑟,𝑥𝑙𝑛 (𝑟) + · · · + 𝑂 [𝑟]2 ,

𝜅2 sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟) = 1𝜋𝑟,𝑥 + · · · + 𝑂 [𝑟]2 ,

1

𝑟2sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟) = − 2

𝜋

1

𝑟2𝑟,𝑥 +

𝜅2

𝑟𝑟,𝑥𝑙𝑛 (𝑟) + · · · + 𝑂 [𝑟]2 .

(6.93)

Assim, no limite, a equação é reescrita da seguinte forma:

𝜕𝑉 *𝑛

𝜕𝑛𝑖 𝑟→0

=2

𝜋𝜅2𝑙𝑛 (𝑟) (𝐷1 + 𝑟,𝑥𝐷3) +

(𝜅2𝑙𝑛 (𝑟) − 2

𝑟2

)1

𝜋(𝐷2 + 𝑟,𝑥𝐷5) . (6.94)

Verificando o termo com a hipersingularidade -1

𝑟2, para placas retas alinhadas, prova-se

numericamente que:

1

𝜋(𝐷2 + 𝑟,𝑥𝐷5) u

(1 + 𝜈)

4𝜋. (6.95)

Analisando o primeiro termo da Eq. (6.94), quando o elemento tem nó ao longo do eixox, tem-se que:

2

𝜋𝜅2𝑙𝑛 (𝑟) (𝐷1 + 𝑟,𝑥𝐷3) = −(1 − 𝜈)

4𝜋𝜅2𝑙𝑛 (𝑟) (6.96)

e quando o nó do elemento singular está ao longo do eixo y,

2

𝜋𝜅2𝑙𝑛 (𝑟) (𝐷1 + 𝑟,𝑥𝐷3) = − 1

4𝜋𝜅2𝑙𝑛 (𝑟)

[(3 − 𝜈) − 𝑁𝑥

𝐷𝜅2

]. (6.97)

Portanto a equação será dividida em uma parte regular e outra singular.

𝜕𝑉 *𝑛

𝜕𝑛𝑖

=𝜕𝑉 𝑛*𝑅

𝜕𝑛𝑖

+𝜕𝑉 *𝑆

𝑛

𝜕𝑛𝑖

, (6.98)

70

onde:

𝜕𝑉 *𝑅𝑛

𝜕𝑛𝑖

= 𝐷1𝜅2𝐶𝑜𝑠 [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟) + 𝐷2𝜅

1

𝑟𝐶𝑜𝑠 [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟)

+𝐷3𝜅1

𝑟𝑆𝑖𝑛 [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟) + 𝐷4𝜅

2𝑆𝑖𝑛 [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟)

+𝐷51

𝑟2𝑆𝑖𝑛 [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟) −

(𝜅2𝑙𝑛 (𝑟) − 2

𝑟2

)(1 + 𝜈)

4𝜋

+1

4𝜋𝜅2𝑙𝑛 (𝑟) ×

⎧⎪⎨⎪⎩(1 − 𝜈) , se 𝑛𝑥 = 0[

(3 − 𝜈) − 𝑁𝑥

𝐷𝜅2

], se 𝑛𝑦 = 0

(6.99)

e

𝜕𝑉 *𝑆𝑛

𝜕𝑛𝑖

=

(𝜅2𝑙𝑛 (𝑟) − 2

𝑟2

)(1 + 𝜈)

4𝜋− 1

4𝜋𝜅2𝑙𝑛 (𝑟)×

⎧⎪⎨⎪⎩(1 − 𝜈) , se 𝑛𝑥 = 0[

(3 − 𝜈) − 𝑁𝑥

𝐷𝜅2

], se 𝑛𝑦 = 0

. (6.100)

6.3.9 Núcleo da derivada da reação de canto -𝜕𝑅*

𝑐𝑗

𝜕𝑛𝑖

Derivando a Eq. (6.82), temos:

𝜕𝑅*𝑐𝑗

𝜕𝑛𝑖

=(1 − 𝜈)

8

[(𝑛2+𝑥 − 𝑛2+

𝑦

)𝑟,𝑦𝑐𝑗 −

(𝑛2−𝑥 − 𝑛2−

𝑦

)][−𝜅𝑟,𝑥𝑐𝑗

𝑟,𝑦𝑐𝑗 sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟)

−𝜅𝑟,𝑦𝑐𝑗 cos [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟) +2

𝑟𝑟,𝑥𝑐𝑗

𝑟,𝑦𝑐𝑗 sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟)

]𝑛𝑥𝑖[

−𝜅𝑟2,𝑦𝑐𝑗 sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌0 (𝜅𝑟) +1

𝑟

(𝑟2,𝑦𝑐𝑗 − 𝑟2,𝑥𝑐𝑗

)sin [𝜅 (𝑥− 𝑥𝑖)]𝑌1 (𝜅𝑟)

]𝑛𝑦𝑖

.

(6.101)

71

7 Soluções fundamentais para os caso de placas multidirecional-mente comprimida

Nesse capítulo são apresentadas as soluções fundamentais para o caso de placas multidi-recionalmente comprimidas isotrópicas e monoclínicas. Os núcleos apresentados neste capítulonão estão presentes na literatura, sendo desenvolvidos do zero.

7.1 Solução fundamental para o caso de placa multidirecionalmente compri-mida isotrópica

Reescrevendo a Eq. (5.31) para o caso de placas isotrópicas, temos:



𝜕2𝑤


𝜕2𝑤

𝜕𝑦2= 𝑞. (7.1)

Da transformada de Radon, sabemos que

ℛ (𝑓) = f (𝑠,m) ,

ℛ (𝛿 (x,𝜉)) = 𝛿 (𝑠−m · 𝜉) ,

ℛ (ℒ (𝜕x) 𝑓 (x)) = 𝐿 (m)𝜕𝑘

𝜕𝑠𝑘f (𝑠,m) ,

(7.2)

onde m é o vetor unitário representando o raio do círculo de Radon.Aplicando Eq. (7.2) na Eq. (7.1), temos:

[𝐷𝑑4𝑠 +

(𝑁𝑥𝑚

21 + 2𝑁𝑥𝑦𝑚1𝑚2 + 𝑁𝑦𝑚

22

)𝑑2𝑠

]w* (𝑠,m) = 𝛿 (𝑠−m · 𝜉) ,

[𝑑2𝑠

(𝑑2𝑠 + 𝛽 (m)

)]w* (𝑠,m) =

1

𝐷𝛿 (𝑠−m · 𝜉) ,

𝛽 (m) =𝑁𝑥

𝐷𝑚2

1 + 2𝑁𝑥𝑦

𝐷𝑚1𝑚2 +

𝑁𝑦

𝐷𝑚2

2,

(7.3)

onde𝑚1 = cos (𝜃) e 𝑚2 = sin (𝜃) . (7.4)

Baseado em (RANGELOV et al., 2005), assume-se que para 𝛽 (m) > 0,

w* (𝑠,m) =1

2𝐷𝛽 (m)

[|𝑠−m · 𝜉| +

i√𝛽 (m)

𝑒i√

𝛽(m)|𝑠−m·𝜉|

]. (7.5)

Da transformada inversa de Radon, tem-se

72

𝑓 (x) = ℛ−1 (f (𝑠,m)) =1

4𝜋2

∫|m|=1

(∫ +∞

−∞

𝜕

𝜕𝜎𝑓 (𝑝,m)

1

𝑠− 𝜎𝑑𝜎

) 𝑠=m·x

𝑑m. (7.6)

Aplicando a Eq. (7.6) em (7.5), temos

ℛ−1 (|𝑠−m · 𝜉|) =1

4𝜋2

∫|m|=1

2 log (|𝑠−m · 𝜉|)𝑠=m·x

𝑑m,

ℛ−1

(i𝑒i𝑘|𝑠−m·𝜉|

2𝑘

)=

1

4𝜋2

∫|m|=1

1

2i𝜋 cos (𝑘|𝑠−m · 𝜉|)

−2 [ci (𝑘|𝑠−m · 𝜉|) cos (𝑘|𝑠−m · 𝜉|) + si (𝑘|𝑠−m · 𝜉|) sin (𝑘|𝑠−m · 𝜉|)]𝑠=m·x

𝑑m,(7.7)

onde𝑘 =

√𝛽 (m). (7.8)

As funções ci (𝑥) e si (𝑥) que aparecem na Eq. (7.7) são a função cosseno integral e senointegral, respectivamente. Elas são definidas como

ci (𝑥) = 𝛾 + log (𝑥) +

∫ 𝑥

0

cos (𝑡) − 1

𝑡𝑑𝑡 (7.9)

esi (𝑥) =

∫ 𝑥

0

sin (𝑡)

𝑡𝑑𝑡. (7.10)

Fazendo como em (DAROS, 2009),

v+ = 𝛾 [i𝜋 cos (𝑘𝑧) − 2 (ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧))] , (7.11)

𝑣*+ =1

4𝜋2

∫|m|=1

v+ (𝑧)𝑧𝑑m,

𝜕𝑣*+

𝜕𝑥𝑗

=1

4𝜋2

∫|m|=1

𝜕𝑧v+ (𝑧)𝑚𝑗sign (m · (x− 𝜉)) 𝑑m,

𝜕𝑧v+ = 𝛾+

[−i𝜋 sin (𝑘𝑧) − 2

𝑧+ 2𝑘 (ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧))

].

(7.12)

Reescrevendo 𝜕𝑧v+ como

73

𝜕𝑧v+ = 𝑔+1 + 𝑔+2 ,

𝑔+1 = 𝛾+ [−i𝜋 sin (𝑘𝑧) + 2𝑘 (ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧))] ,

𝑔+2 = −2

𝑧.

(7.13)

Aplicando Eq. (7.13) em (7.11) e derivando novamente, temos

𝜕2𝑣*+

𝜕𝑥2𝑗

=1

4𝜋2

∫|m|=1

𝜕𝑧𝑔+1 𝑚

2𝑗𝑑m +

1

4𝜋2

∫|m|=1

2𝑔+1 𝑚2𝑗𝛿 (m · (x− 𝜉)) 𝑑m

+1

4𝜋2

∫|m|=1

𝜕𝑧𝑔+2 𝑚

2𝑗𝑑m.

(7.14)

Sabendo que

m · (x− 𝜉) = 𝑟 (cos (𝜃) cos (𝜙) + sin (𝜃) sin (𝜙)) , (7.15)

assumindo que sin (𝜃) = 0, temos

m · (x− 𝜉) = 𝑟 sin (𝜃) (cot (𝜃) cos (𝜙) + sin (𝜙)) . (7.16)

Agora assumindo cos (𝜙) = 0, temos

m · (x− 𝜉) = 𝑟 sin (𝜃) cos (𝜙) (cot (𝜃) + tan (𝜙)) . (7.17)

Demonstrando-se, assim, a periodicidade dessas funções no intervalo [0,𝜋].Considerando somente a parte real da Eq. (7.7), pode-se escrever

𝑤*+ (x,𝜉) =1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1

𝜑+ (𝑧)𝑧=|m·(x−𝜉)|

𝑑m, (7.18)

onde𝜑+ (𝑧) =

1

𝑘2log (𝑧) − [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] . (7.19)

Fazendo uma expansão assintótica de 𝜑+ quando 𝑧 → 0, temos

𝜑+ (𝑧)𝑧→0 =log (𝑘) + 𝛾

𝑘2+ 𝑂

(𝑧2)

. (7.20)

Portanto 𝑤*+ (x,𝜉) é regular para x → 𝜉, com 𝑘 > 0.O índice sobrescrito + indica que essa solução funciona apenas para os casos em que

𝛽 (m) > 0.Assim, para verificar se 𝑤*+ (x,𝜉) é solução fundamental, aplica-se Eq. (7.18) na Eq.

(7.1). Realizando as derivadas, temos

74

𝜕𝑤*+

𝜕𝑥=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1

𝜕𝑧𝜑+ (𝑧)𝑚1sign (m · (x− 𝜉)) 𝑑m, (7.21)

𝜕𝑤*+

𝜕𝑦=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1

𝜕𝑧𝜑+ (𝑧)𝑚2sign (m · (x− 𝜉)) 𝑑m, (7.22)

𝜕2𝑤*+

𝜕𝑥2=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1

𝜕𝑧𝜑+ (𝑧)𝑚2

1𝑑m, (7.23)

𝜕2𝑤*+

𝜕𝑥𝜕𝑦=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1

𝜕𝑧𝜑+ (𝑧)𝑚1𝑚2𝑑m, (7.24)

𝜕2𝑤*+

𝜕𝑦2=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1

𝜕𝑧𝜑+ (𝑧)𝑚2

2𝑑m, (7.25)

𝜕3𝑤*+

𝜕𝑥3=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1

(−𝑘2𝜕𝑧𝜑

+ (𝑧))𝑚3

1sign (m · (x− 𝜉)) 𝑑m

− 1

4𝜋2

∫|m|=1

𝑚31

m · (x− 𝜉)𝑑m,

(7.26)

𝜕3𝑤*+

𝜕𝑥2𝜕𝑦=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1


+ (𝑧))𝑚2

1𝑚2sign (m · (x− 𝜉)) 𝑑m

− 1

4𝜋2

∫|m|=1

𝑚21𝑚2

m · (x− 𝜉)𝑑m,

(7.27)

𝜕3𝑤*+

𝜕𝑥𝜕𝑦2=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1


+ (𝑧))𝑚1𝑚


− 1

4𝜋2

∫|m|=1

𝑚1𝑚22

m · (x− 𝜉)𝑑m,

(7.28)

𝜕3𝑤*+

𝜕𝑦3=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1


+ (𝑧))𝑚3


− 1

4𝜋2

∫|m|=1

𝑚32

m · (x− 𝜉)𝑑m,

(7.29)

𝜕4𝑤*+

𝜕𝑥4=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1

(−𝑘2𝜕2

𝑧𝜑+ (𝑧)

)𝑚4

1𝑑m +1

4𝜋2

∫|m|=1

𝑚41

[m · (x− 𝜉)]2𝑑m, (7.30)

𝜕4𝑤*+

𝜕𝑥2𝜕𝑦2=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1

(−𝑘2𝜕2

𝑧𝜑+ (𝑧)

)𝑚2

1𝑚22𝑑m +

1

4𝜋2

∫|m|=1

𝑚21𝑚

22

[m · (x− 𝜉)]2𝑑m, (7.31)

𝜕4𝑤*+

𝜕𝑦4=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1

(−𝑘2𝜕2

𝑧𝜑+ (𝑧)

)𝑚4

2𝑑m +1

4𝜋2

∫|m|=1

𝑚42

[m · (x− 𝜉)]2𝑑m, (7.32)

onde𝜕𝑧𝜑

+ (𝑧) = −1

𝑘[ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] , (7.33)

𝜕𝑧𝜑+ (𝑧)𝑧→0 = −𝑧 (log (𝑧) + log (𝑘) + 𝛾 − 1) + 𝑂

(𝑧2)

, (7.34)

𝜕2𝑧𝜑

+ (𝑧) = − [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] , (7.35)

75

𝜕𝑧𝜑+ (𝑧)𝑧→0 = − (log (𝑧) log (𝑘) + 𝛾) + 𝑂

(𝑧2)

, (7.36)

𝜕3𝑧𝜑

+ (𝑧) = −− 1

𝑧+ 𝑘 [ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] , (7.37)

𝜕3𝑧𝜑

+ (𝑧)𝑧→0 = −1

𝑧+ 𝑘2𝑧 (log (𝑧) + log (𝑘) + 𝛾 − 1) + 𝑂

(𝑧2)

. (7.38)

Pela expansão da segunda e terceira derivadas, Eqs. (7.36) e (7.38), respectivamente,percebe-se a existência de uma singularidade logarítmica e outra forte. Tais singularidades serãotratadas nos núcleos em que aparecerem.

Modelando a carga lateral 𝑞 como a função delta de Dirac, obtém-se

𝛿 (x,𝜉) =1

4𝜋2

∫|m|=1

1

[m · (x− 𝜉)]2𝑑m. (7.39)

Aplicando as Eqs. (7.21)-(7.32) na Eq. (7.1), encontra-se

𝐷∇4𝑤*++𝑁𝑥𝜕2𝑤*+

𝜕𝑥2+2𝑁𝑥𝑦

𝜕2𝑤*+

𝜕𝑥𝜕𝑦+𝑁𝑦

𝜕2𝑤*+

𝜕𝑦2=

1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1

1

[m · (x− 𝜉)]2𝑑m =

𝛿 (x,𝜉)

𝐷,

(7.40)provando-se assim que a Eq. (7.18) é solução do problema e portanto pode-se utilizar apenas aparte real da Eq. (7.7).

Rescrevendo a Eq. (7.18) para aplicar no MEC, obtemos

𝑤*+ (x,𝜉) =1

4𝜋2𝐷

∫ 2𝜋

0

1

𝑘2log (𝑧) − [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃, (7.41)

onde𝑧 = 𝑟|𝑚1𝑟,𝑥 + 𝑚2𝑟,𝑦|. (7.42)

Assim como no caso unidirecional, alguns dos núcleos multidirecionais apresentam sin-gularidades que foram tratadas analiticamente com a ajuda do software 𝑀𝑎𝑡ℎ𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎©.

7.1.1 Núcleo da inclinação -𝜕𝑤*+

𝜕𝑛

Utilizando a Eq. (6.51) e aplicando as Eqs. (7.21) e (7.22), obtém-se

𝜕𝑤*+

𝜕𝑛=

1

4𝜋2𝐷

∫ 2𝜋

0

1

𝑘[ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] sign (𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦)𝑚1𝑛𝑥𝑑𝜃

+1

4𝜋2𝐷

∫ 2𝜋

0

1

𝑘[ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] sign (𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦)𝑚2𝑛𝑦𝑑𝜃.

(7.43)

76

7.1.2 Núcleo do momento resultante - 𝑀*𝑛

Aplicando as Eqs. (7.23)-(7.25) na Eq. (6.71), obtém-se

𝑀*𝑛 = − 1

4𝜋2

∫|m=1

𝑎 (𝜃) 𝜕2𝑧𝜑 (𝑧) 𝑑m, (7.44)

sendo𝑎 (𝜃) = 𝑛2

𝑥

(𝑚2

1 + 𝜈𝑚22

)+ 2𝑛𝑥𝑛𝑦 (1 − 𝜈)𝑚1𝑚2 + 𝑛2

𝑦

(𝜈𝑚2

1 + 𝑚22

). (7.45)

Devido a singularidade presente nesse núcleo, ele será divido em uma parte regular e outrasingular

𝑀*𝑅𝑛 = − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑎 (𝜃) − log (𝑧) + [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃, (7.46)

𝑀*𝑆𝑛 = − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

log (|𝑧|) 𝑑𝜃, (7.47)

𝑀*𝑛 = 𝑀*𝑅

𝑛 + 𝑀*𝑆𝑛 . (7.48)

Sabendo que

log (|𝑧|) = log (𝑟) + log (|𝑚1𝑟,𝑥 + 𝑚2𝑟,𝑦|) , (7.49)

reescreve-se 𝑀*𝑆𝑛 como

𝑀*𝑆𝑛 = − log (𝑟)

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑎 (𝜃) 𝑑𝜃⏟ ⏞ 𝐼1

− 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑎 (𝜃) log (|𝑚1𝑟,𝑥 + 𝑚2𝑟,𝑦|) 𝑑𝜃⏟ ⏞ 𝐼2

. (7.50)

Resolvendo a integral 𝐼1, obtém-se

𝐼1 = −(1 + 𝜈)

4𝜋log (𝑟) . (7.51)

Para resolver a integral 𝐼2 aplica-se uma transformada de Telles e obtém-se

𝐼2 =1

8𝜋

(1 − 𝜈)

[2 (∇ · )2 − 1

]+ (1 + 𝜈) log (4)

. (7.52)

Portanto, quando a integração for regular

𝑀*𝑛 = − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑎 (𝜃) − log (𝑧) + [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃

+𝐼2 −(1 + 𝜈)

4𝜋log (𝑟) .

(7.53)

77

E quando for em um ponto singular,

𝑀*𝑅𝑛 = − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑎 (𝜃) − log (𝑧) + [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃 + 𝐼2 (7.54)

e𝑀*𝑆

𝑛 = −(1 + 𝜈)

4𝜋log (𝑟) . (7.55)

7.1.3 Núcleo do esforço cortante resultante - 𝑉 *𝑛

Aplicando as Eqs. (7.21), (7.22), (7.26)-(7.29) na Eq. (6.54), temos

𝑉 *𝑛 = − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑏 (𝜃)1

(𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦)𝑑𝜃⏟ ⏞

𝐼3

− 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑑 (𝜃)1

𝑘[ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] sign (𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦) 𝑑𝜃,

(7.56)sendo

𝑏 (𝜃) = 𝑛𝑥

[1 + 𝑛2

𝑦 (1 − 𝜈)]𝑚3

1 + 𝑛𝑦

[1 − 2𝑛2

𝑥 (1 − 𝜈) + 𝑛2𝑦 (1 − 𝜈)

]𝑚2

1𝑚2

+𝑛𝑦

[1 + 𝑛2

𝑥 (1 − 𝜈)]𝑚3

2 + 𝑛𝑥

[1 − 2𝑛2

𝑦 (1 − 𝜈) + 𝑛2𝑥 (1 − 𝜈)

]𝑚1𝑚

22,

(7.57)

𝑐 (𝜃) =

[𝑁𝑥

𝐷

(𝑛3𝑥 + 𝑛𝑥𝑛

2𝑦

)+

𝑁𝑥𝑦

𝐷

(𝑛2𝑥𝑛𝑦 + 𝑛3

𝑦

)]𝑚1

+

[𝑁𝑥𝑦

𝐷


2𝑦

)+

𝑁𝑦

𝐷


𝑦

)]𝑚2,

(7.58)

𝑑 (𝜃) = 𝑐 (𝜃) − 𝑘2𝑏 (𝜃) . (7.59)

Resolvendo a integral 𝐼3, temos

𝐼3 = − 1

4𝜋𝑟(∇ · )

2 + (1 − 𝜈)

[2 (∇ · )2 − 1

]. (7.60)

Substituindo a Eq. (7.60) em Eq. (7.56), obtém-se

𝑉 *𝑛 = − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑑 (𝜃)1

𝑘[ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] sign (𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦) 𝑑𝜃

− 1

4𝜋𝑟(∇ · )

2 + (1 − 𝜈)

[2 (∇ · )2 − 1

].

(7.61)Analisando a Eq. (7.61) numericamente, percebe-se que 𝐼3 = 0 para o caso de placas

poligonais, quando a integração é realizada em um ponto singular.

78


Substituindo as Eqs. (7.23)-7.25 na Eq. (6.20), temos

𝑅*𝑐𝑗

= − 1

4𝜋2

∫|m=1|

𝑓 (𝜃) 𝜕2𝑧𝜑 (𝑧) 𝑑m, (7.62)

onde

𝑓 (𝜃) = (1 − 𝜈)(

𝑛+𝑥 𝑛

+𝑦 + 𝑛−

𝑥 𝑛−𝑦

) (𝑚2

2 −𝑚21

)+[(𝑛+2𝑥 − 𝑛+2

𝑦

)−(𝑛−2𝑥 − 𝑛−2

𝑦

)]𝑚1𝑚2

.

(7.63)Devido a singularidade presente no núcleo, divide-se o mesmo em uma parte regular e

outra singular, como

𝑅*𝑅𝑐𝑗

= − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑓 (𝜃) − log (𝑧) + [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃,

𝑅*𝑆𝑐𝑗

= − log (𝑟)

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑓 (𝜃) 𝑑𝜃⏟ ⏞ 𝐼4

− 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑓 (𝜃) log (𝑚1𝑟,𝑥 + 𝑚2𝑟,𝑦) 𝑑𝜃⏟ ⏞ 𝐼5

.(7.64)

Resolvendo as integrais 𝐼4 e 𝐼5, obtemos

𝐼4 = 0 (7.65)

e

𝐼5 = −(1 − 𝜈)

4𝜋

[(𝑛+2𝑥 − 𝑛+2

𝑦

)−(𝑛−2𝑥 − 𝑛−2

𝑦

)]𝑟,𝑥𝑟,𝑦 +

(𝑛+𝑥 𝑛

+𝑦 − 𝑛−

𝑥 𝑛−𝑦

) (𝑟2,𝑦 − 𝑟2,𝑥

).

(7.66)Substituindo as Eqs. (7.65) e (7.66) em Eq. (7.64), obtém-se

𝑅*𝑐𝑗

= − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑓 (𝜃) − log (𝑧) + [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃

−(1 − 𝜈)

4𝜋

[(𝑛+2𝑥 − 𝑛+2

𝑦

)−

(𝑛−2𝑥 − 𝑛−2

𝑦

)]𝑟,𝑥𝑟,𝑦 +

(𝑛+𝑥 𝑛

+𝑦 − 𝑛−

𝑥 𝑛−𝑦

) (𝑟2,𝑦 − 𝑟2,𝑥

).

(7.67)

7.1.5 Núcleo da derivada do deslocamento -𝜕𝑤*+

𝜕𝑛𝑖

De forma semelhante à Eq. (7.43), encontra-se

79

𝜕𝑤*+

𝜕𝑛𝑖

=1

4𝜋2𝐷

∫ 2𝜋

0

1

𝑘[ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] sign (𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦)𝑚1𝑛𝑥𝑖

𝑑𝜃

+1

4𝜋2𝐷

∫ 2𝜋

0

1

𝑘[ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] sign (𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦)𝑚2𝑛𝑦𝑖𝑑𝜃.

(7.68)

7.1.6 Núcleo da derivada da inclinação -𝜕2𝑤*+


Derivando a Eq. (7.43), temos

𝜕2𝑤*+


= − 1

4𝜋2𝐷

∫|m|=1

𝑔 (𝜃) 𝜕2𝑧𝜑

+ (𝑧) 𝑑m,

𝑔 (𝜃) = 𝑛𝑥𝑛𝑥𝑖𝑚2

1 + (𝑛𝑦𝑛𝑥𝑖+ 𝑛𝑥𝑛𝑦𝑖)𝑚1𝑚2 + 𝑛𝑦𝑛𝑦𝑖𝑚

22.

(7.69)

Devido a singularidade presente em 𝜕2𝑧𝜑

+ (𝑧), o núcleo é dividido em uma parte regular eoutra singular,

𝜕2𝑤*+𝑅


= − 1

4𝜋2𝐷

∫ 2𝜋

0

𝑔 (𝜃) − log (𝑧) + [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃,

𝜕2𝑤*+𝑆


= − log (𝑟)

4𝜋2𝐷

∫ 2𝜋

0

𝑔 (𝜃) 𝑑𝜃⏟ ⏞ 𝐼6

− 1

4𝜋2𝐷

∫ 2𝜋

0

𝑔 (𝜃) log (𝑚1𝑟,𝑥 + 𝑚2𝑟,𝑦) 𝑑𝜃⏟ ⏞ 𝐼7

.(7.70)

Resolvendo as integrais, temos

𝐼6 = −( · 𝑛𝑖)

4𝜋𝐷log (𝑟) , (7.71)

𝐼7 =1

8𝜋𝐷

𝑛𝑥

[𝑛𝑥𝑖

(2𝑟2,𝑦 − 1 + log (4)

)− 2𝑛𝑦𝑖𝑟,𝑥𝑟,𝑦

]−2𝑛𝑦𝑟,𝑦 (∇ · 𝑛𝑖) + 𝑛𝑦𝑛𝑦𝑖 + 𝑛𝑦𝑛𝑦𝑖 log (4) ,

(7.72)

logo, o núcleo da derivada da inclinação do deslocamento quando a integração ocorrer em umponto regular será:

𝜕2𝑤*+


= − 1

4𝜋2𝐷

∫ 2𝜋

0

𝑔 (𝜃) − log (𝑧) + [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃,

𝐼7 −−( · 𝑛𝑖)

4𝜋𝐷log (𝑟) .

(7.73)

Quando a integração for em um ponto singular, então o núcleo será

80

𝜕2𝑤*+𝑅


= − 1

4𝜋2𝐷

∫ 2𝜋

0

𝑔 (𝜃) − log (𝑧) + [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃 + 𝐼7,

(7.74)𝜕2𝑤*+𝑆


= −( · 𝑛𝑖)

4𝜋𝐷log (𝑟) . (7.75)

7.1.7 Núcleo da derivada do momento -𝜕𝑀*

𝑛

𝜕𝑛𝑖


𝜕𝑀*𝑛

𝜕𝑛𝑖

= − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑎 (𝜃) 𝑘 [ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] sign (𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦)×

(𝑚1𝑛𝑥𝑖+ 𝑚2𝑛𝑦𝑖) 𝑑𝜃

+1

4𝜋𝑟

(1 + 𝜈) (∇ · 𝑛𝑖) − 2 (1 − 𝜈)

[(∇)2 (∇ · 𝑛𝑖) − (∇ · ) ( · 𝑛𝑖)

].

(7.76)


𝑛

𝜕𝑛𝑖


𝜕𝑉 *𝑛

𝜕𝑛𝑖

=1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑑 (𝜃) [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] (𝑚1𝑛𝑥𝑖+ 𝑚2𝑛𝑦𝑖) 𝑑𝜃

−(∇ · ) (∇ · 𝑛𝑖)

4𝜋𝑟2

4 + 2 (1 − 𝜈)[(∇ · )2 − 1

]+ 4 (1 − 𝜈) (∇ · )2

+

( · 𝑛𝑖)

4𝜋𝑟2

2 + (1 − 𝜈)[2 (∇ · )2 − 1

]+ 4 (1 − 𝜈) (∇ · )2

.

(7.77)Caso a avaliação da integral ocorra em um ponto de singularidade, o núcleo torna-se

𝜕𝑉 *𝑅𝑛

𝜕𝑛𝑖

=1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑑 (𝜃) [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] (𝑚1𝑛𝑥𝑖+ 𝑚2𝑛𝑦𝑖) 𝑑𝜃,

𝜕𝑉 *𝑆𝑛

𝜕𝑛𝑖

=( · 𝑛𝑖)

4𝜋𝑟2(1 + 𝜈) .

(7.78)

7.1.9 Núcleo da derivada das reações de canto -𝜕𝑅*

𝑐𝑗

𝜕𝑛𝑖


81

𝜕𝑅*𝑐𝑗

𝜕𝑛𝑖

= − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑓 (𝜃) 𝑘 [ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] sign (𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦)×

(𝑚1𝑛𝑥𝑖+ 𝑚2𝑛𝑦𝑖) 𝑑𝜃

−(1 − 𝜈)

4𝜋𝑟

[(𝑛+2𝑥 − 𝑛+2

𝑦

)−

(𝑛−2𝑥 − 𝑛−2

𝑦

)] [(𝑟2,𝑥𝑟,𝑦 − 𝑟3,𝑦

)𝑛𝑥𝑖

+(𝑟2,𝑦𝑟,𝑥 − 𝑟3,𝑥

)𝑛𝑦𝑖

]+(𝑛+𝑥 𝑛

+𝑦 − 𝑛−

𝑥 𝑛−𝑦

) (4𝑟,𝑥𝑟

2,𝑦𝑛𝑥𝑖

− 4𝑟2,𝑥𝑟,𝑦𝑛𝑦𝑖

).

(7.79)

7.1.10 Integrais Numéricas

As integrais numéricas de contorno foram avaliadas da mesma forma que o caso de placasunidirecionalmente comprimidas. As integrais presentes nos núcleos da solução fundamentaltambém foram integradas utilizando a quadratura de Gauss simples, no entanto foi necessárioutilizar pelo menos 20 pontos de integração para uma boa aproximação dos resultados comcargas baixas. Para cargas mais próximas a carga crítica será necessário aumentar a quantidadede pontos de integração.

7.2 Solução fundamental anisotrópica

Aplicando a transformada de Radon na Eq. (5.31), temos

[𝐷11𝑚

41 + 4𝐷16𝑚

31𝑚2 + 2 (𝐷12 + 2𝐷66)𝑚

21𝑚

22 + 4𝐷26𝑚1𝑚

32 + 𝐷22𝑚

42

]𝑑4𝑠+[

𝑁𝑥𝑚21 + 2𝑁𝑥𝑦𝑚1𝑚2 + 𝑁𝑦𝑚

22

]𝑑2𝑠*+ (𝑠,m) = 𝛿 (𝑠−m · 𝜉) ,

(7.80)

[𝛼𝑑4𝑠 + 𝛽𝑑2𝑠

]*+ =

1

𝐷11

𝛿 (𝑠−m · 𝜉) , (7.81)

onde𝛼 = 𝑚4

1 + 𝛾𝑚31𝑚2 + 𝛿𝑚2

1𝑚22 + 𝜂𝑚1𝑚

32 + 𝜇𝑚4

2, (7.82)

𝛾 =4𝐷16

𝐷11

, 𝛿 =2 (𝐷12 + 2𝐷66)

𝐷11

, 𝜂 =4𝐷26

𝐷11

, 𝜇 =𝐷22

𝐷11

, (7.83)

𝛽 =𝑁𝑥

𝐷11

𝑚21 + 2

𝑁𝑥𝑦

𝐷11

𝑚1𝑚2 +𝑁𝑦

𝐷11

𝑚22. (7.84)

Assumindo𝛽

𝛼> 0, a pode-se escrever a solução do problema como

𝑤* (𝑠,m) =1

2𝐷11𝛽

[|𝑠−m · 𝜉| +

i√𝛽𝛼

𝑒i√𝛽𝛼|𝑠−m·𝜉|

]. (7.85)

Aplicando a transformada inversa de Radon em Eq. (7.85), obtemos

82

ℛ−1 (|𝑠−m · 𝜉|) =1

4𝜋2

∫|m|=1

2 log (|𝑠−m · 𝜉|)𝑠=m·x

𝑑m,

ℛ−1

(i𝑒i𝑘|𝑠−m·𝜉|

2𝑘

)=

1

4𝜋2

∫|m|=1

1

2i𝜋 cos (𝑘|𝑠−m · 𝜉|)

−2 [ci (𝑘|𝑠−m · 𝜉|) cos (𝑘|𝑠−m · 𝜉|) + si (𝑘|𝑠−m · 𝜉|) sin (𝑘|𝑠−m · 𝜉|)]𝑠=m·x

𝑑m,(7.86)

onde

𝑘 =

√𝛽

𝛼. (7.87)

Aplicando Eq. (7.86) em Eq. (7.85), encontramos

𝑤*+ (x,𝜉) =1

4𝜋2𝐷11

∫ 2𝜋

0

1

𝛼𝑘2log (𝑧) − [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃. (7.88)

De maneira semelhante ao que foi feito para o caso de placas isotrópicas, encontramos

𝐷11𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 4𝐷16

𝜕4𝑤

𝜕𝑥3𝜕𝑦+ 2 (𝐷12 + 2𝐷66)

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+ 4𝐷26

𝜕4𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦3+ 𝐷22

𝜕4𝑤

𝜕𝑦4

+

(𝑁𝑥

𝜕2𝑤


𝜕2𝑤


𝜕2𝑤

𝜕𝑦2

)= 𝛿 (x,𝜉) .

(7.89)

A Eq. (7.89) prova que (7.88) é solução do problema.

7.2.1 Núcleo da inclinação do deslocamento -𝜕𝑤*+

𝜕𝑛


𝜕𝑤*+

𝜕𝑛=

1

4𝜋2𝐷11

∫ 2𝜋

0

1

𝑘𝛼[ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] sign (𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦)𝑚1𝑛𝑥𝑑𝜃

+1

4𝜋2𝐷11

∫ 2𝜋

0

1

𝑘𝛼[ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] sign (𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦)𝑚2𝑛𝑦𝑑𝜃.

(7.90)

7.2.2 Núcleo do momento resultante - 𝑀*+𝑛

Aplicando as Eqs. (7.23)-(7.25) em (6.46), encontramos

𝑀*𝑛 = − 1

4𝜋2

∫|m=1

𝑎 (𝜃) 𝜕2𝑧𝜑 (𝑧) 𝑑m, (7.91)

83

onde para esse caso

𝑎 (𝜃) = 𝑛2𝑥

(𝑚2

1 + 𝛾1𝑚22 + 2𝛿1𝑚1𝑚2

)+ 2𝑛𝑥𝑛𝑦

(𝛿1𝑚

21 + 𝜖1𝑚

22 + 2𝜂1𝑚1𝑚2

)+𝑛2

𝑦

(𝛾1𝑚

21 + 𝜅1𝑚

22 + 2𝜖1𝑚1𝑚2

),

(7.92)

𝛾1 =𝐷12

𝐷11

, 𝛿1 =𝐷16

𝐷11

, 𝜖1 =𝐷26

𝐷11

, 𝜂1 =𝐷66

𝐷11

, 𝜅1 =𝐷22

𝐷11

. (7.93)

Devido a singularidade presente no núcleo, o mesmo será dividido em uma parte regulare outra singular.

𝑀*𝑅𝑛 = − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑎 (𝜃)

𝛼 (𝜃)− log (𝑧) + [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃, (7.94)

𝑀*𝑆𝑛 = − log (𝑟)

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑎 (𝜃)

𝛼 (𝜃)𝑑𝜃⏟ ⏞

𝐼1

− 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑎 (𝜃)

𝛼 (𝜃)log (|𝑚1𝑟,𝑥 + 𝑚2𝑟,𝑦|) 𝑑𝜃⏟ ⏞

𝐼2

. (7.95)

As integrais 𝐼1 e 𝐼2 devem ser avaliadas numericamente. Para avaliar 𝐼1 realiza-se umasimples mudança de variável, encontrando

𝐼1 = − log (𝑟)

4𝜋

∫ +1

−1

𝑎 (𝜃 (𝜂))

𝛼 (𝜃 (𝜂))𝑑𝜂, (7.96)

onde𝜂 =

2

𝜋𝜃 − 1 e

𝑑𝜂

𝑑𝜃=

2

𝜋. (7.97)

Para avaliar 𝐼2, aplica-se a transformada de Telles e obtém-se

𝐼2 = − 1

2𝜋2

∫ +1

−1

𝑎 (𝜃1 (𝜁1))

𝛼 (𝜃1 (𝜁1))log (| sin (𝜃1 (𝜁1)) |)

𝜋

4(1 + 𝜁1) 𝑑𝜁1

− 1

2𝜋2

∫ +1

−1

𝑎 (𝜃2 (𝜁2))

𝛼 (𝜃2 (𝜁2))log (| sin (𝜃2 (𝜁2)) |)

𝜋

4(1 − 𝜁2) 𝑑𝜁2,

(7.98)

onde

𝜃1 (𝜁1) =𝜋

4

(−(1 − 𝜁21 )

2+ 𝜁1 + 1

),

𝑑𝜃1𝑑𝜁1

=𝜋

4(1 + 𝜁1) ,

𝜃2 (𝜁2) =𝜋

4

((1 − 𝜁22 )

2+ 𝜁1 − 1

)− 𝜋,

𝑑𝜃2𝑑𝜁2

=𝜋

4(1 − 𝜁2) .

(7.99)

7.2.3 Núcleo do esforço cortante resultante - 𝑉 *+𝑛

Aplicando-se as derivadas na Eq. (6.54), encontramos

84

𝑉 *𝑛 = − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑏 (𝜃)

𝛼 (𝜃)

1

(𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦)𝑑𝜃⏟ ⏞

𝑉 *𝑆𝑛

− 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑑 (𝜃)1

𝑘𝛼 (𝜃)[ci (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧) − si (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧)] sign (𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦) 𝑑𝜃,

(7.100)sendo para o caso anisotrópico

𝑏 (𝜃) =[𝑛𝑥

(1 + 𝑛2

𝑦

)+ 2𝛿1𝑛

3𝑦 − 𝛾1𝑛𝑥𝑛

2𝑦

]𝑚3

1 +[𝜅1𝑛𝑦

(1 + 𝑛2

𝑥

)+ 2𝜖1𝑛

3𝑥 − 𝛾1𝑛

2𝑥𝑛𝑦

]𝑚3

2

+[4𝛿1𝑛𝑥 + 𝛾1𝑛𝑦

(1 + 𝑛2

𝑥

)+ 4𝜂1𝑛

3𝑦 − 𝑛2

𝑥𝑛𝑦 − 2𝜖1𝑛𝑥𝑛2𝑦

]𝑚2

1𝑚2

+[4𝜖1𝑛𝑦 + 𝛾1𝑛𝑥

(1 + 𝑛2

𝑦

)+ 4𝜂1𝑛

3𝑥 − 𝜅1𝑛𝑥𝑛

2𝑦 − 2𝛿1𝑛

2𝑥𝑛𝑦

]𝑚1𝑚

22,

(7.101)

𝑐 (𝜃) =

[𝑁𝑥

𝐷11


2𝑦

)+

𝑁𝑥𝑦

𝐷11


𝑦

)]𝑚1

+

[𝑁𝑥𝑦

𝐷11


2𝑦

)+

𝑁𝑦

𝐷11


𝑦

)]𝑚2.

(7.102)

A parte singular pode ser reescrita como Eq. (7.103), devido a periodicidade da função𝜑+ no círculo de Radon.

𝑉 *𝑆𝑛 = − 1

4𝜋𝑟𝐼3, (7.103)

onde𝐼3 =

2

𝜋

∫ 𝜋

0

𝑏 (𝜃)

𝛼 (𝜃)

1

(𝑚1𝑟𝑥 + 𝑚2𝑟𝑦)𝑑𝜃. (7.104)

A integral 𝐼3 também não pôde ser avaliada analiticamente, sendo portanto avaliada nu-mericamente.

7.2.4 Núcleo das reações de canto - 𝑅*+𝑐𝑗

Aplicando as derivadas de 𝜑+ em Eq. (6.20), temos

𝑅*𝑐𝑗

= − 1

4𝜋2

∫|m=1|

𝑓 (𝜃)

𝛼 (𝜃)𝜕2𝑧𝜑 (𝑧) 𝑑m, (7.105)

onde

𝑓 (𝜃) =(𝑛+𝑥 𝑛

+𝑦 − 𝑛−

𝑥 𝑛−𝑦

) [(𝛾1𝑚

21 + 𝜅1𝑚

22 + 2𝜖1𝑚1𝑚2

)−(𝑚2

1 + 𝛾1𝑚22 + 2𝛿1𝑚1𝑚2

)]+[(𝑛+2𝑥 − 𝑛+2

𝑦

)−

(𝑛−2𝑥 − 𝑛−2

𝑦

)] (𝛿1𝑚

21 + 𝜖1𝑚

22 + 2𝜂1𝑚1𝑚2

).

(7.106)Devido a singularidade presente no núcleo, o mesmo será dividido em uma parte regular

e outra singular,

85

𝑅*𝑅𝑐𝑗

= − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑓 (𝜃)

𝛼 (𝜃)− log (𝑧) + [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃,

𝑅*𝑆𝑐𝑗

= − log (𝑟)

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑓 (𝜃)

𝛼 (𝜃)𝑑𝜃⏟ ⏞

𝐼4

− 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑓 (𝜃)

𝛼 (𝜃)log (𝑚1𝑟,𝑥 + 𝑚2𝑟,𝑦) 𝑑𝜃⏟ ⏞

𝐼5

.(7.107)

As integrais presentes no núcleo singular devem ser avaliadas numericamente. Para isso,faz-se uma simples mudança de variável em 𝐼4.

𝐼4 = − log (𝑟)

4𝜋2

∫ +1

−1

𝑓 (𝜃 (𝜂))

𝛼 (𝜃 (𝜂))𝑑𝜂, (7.108)

onde𝜂 =

2

𝜋𝜃 − 1 e

𝑑𝜂

𝑑𝜃=

2

𝜋. (7.109)

Similar ao caso de 𝐼2, aplica-se a transformada de Telles em 𝐼5. Portanto o núcleo dasreações de canto será

𝑅*𝑐𝑗

= − 1

4𝜋2

∫ 2𝜋

0

𝑓 (𝜃)

𝛼 (𝜃)− log (𝑧) + [ci (𝑘𝑧) cos (𝑘𝑧) + si (𝑘𝑧) sin (𝑘𝑧)] 𝑑𝜃 + 𝐼4 + 𝐼5.

(7.110)

7.2.5 Segunda Equação

A segunda equação para o caso de placas multicomprimidas anisotrópicas será encontradautilizando o método dos pontos fora do domínio da placa, Fig. 7.1. Esse método foi escolhidodevido a complexidade no tratamento das singularidades que aparecem na derivada da equaçãointegral de contorno.

Figura 7.1: Placa com elementos com ponto fora

86

7.2.6 Integrais Numéricas

Assim como nos casos isotrópicos, as integrais de contorno foram avaliadas com a qua-dratura de Gauss simples com 10 pontos de integração. Porém as integrais de Radon precisaramser integradas com no mínimo 60 pontos de integração para baixas cargas, fato este que torna asolução muito custosa computacionalmente.

7.3 Implementação computacional

Com o objetivo de solucionar as integrais de contorno descritas anteriormente é precisodiscretizar o contorno da placa em 𝑁𝑖 elementos sobre os quais as variáveis de deslocamento eforças são escritas em função dos seus 𝑁 pontos nodais.

Os elementos escolhidos para discretizar a placa nesse trabalho foram elementos qua-dráticos isoparamétricos descontínuos, como demonstrados na Fig. 7.2. Os elementos quadrá-ticos foram escolhidos por serem os elementos mais simples capazes de representar qualquercontorno curvo. Enquanto que a descontinuidade foi escolhida devido algumas integrações desingularidade necessitarem da continuidade de Hölder nos nós. Importante ressaltar que nessetrabalho, os pontos geométricos são discretizados de forma contínua, apesar dos elementos se-rem descontínuos.

Na Fig. 7.2 as coordenadas (𝑥𝑖,𝑦𝑖) representam os pontos fonte, 𝑛𝑖 é a normal para forado ponto fonte, (𝑥,𝑦) são as coordenadas do ponto campo, 𝑛− 𝑠 é o sistema coordenado repre-sentando a direção normal 𝑛 e tangente 𝑠 do ponto campo.

Figura 7.2: Elementos Descontínuos

A geometria e variáveis do contorno são discretizadas pelas seguintes funções de forma:

87

𝑁𝑐1 =1

2𝜉 (𝜉 − 1) , 𝑁𝑐2 = 1 − 𝜉2, 𝑁𝑐3 =

1

2𝜉 (𝜉 + 1) ,

𝑁𝑑1 = 𝜉

(9

8𝜉 − 3

4

), 𝑁𝑑2 =

(1 − 9

4𝜉2)

, 𝑁𝑑3 = 𝜉

(9

8𝜉 +

3

4

),

(7.111)

onde 𝑁𝑐𝑖 são as funções de forma contínuas e 𝑁𝑑𝑖 são as funções de forma descontínuas, 𝜉 é acoordenada adimensional ao longo do elemento (−1 ≤ 𝜉 ≤ 1).

Os deslocamentos, forças e geometria podem ser escritos, nos elementos quadráticos,como:

𝑥

𝑦

=

[𝑁𝑐1 0 𝑁𝑐2 0 𝑁𝑐3 0

0 𝑁𝑐1 0 𝑁𝑐2 0 𝑁𝑐3

]⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑥1

𝑦1

𝑥2

𝑦2

𝑥3

𝑦3

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭, (7.112)

⎧⎨⎩ 𝑤𝜕𝑤

𝜕𝑛

⎫⎬⎭ =

[𝑁𝑑1 0 𝑁𝑑2 0 𝑁𝑑3 0

0 𝑁𝑑1 0 𝑁𝑑2 0 𝑁𝑑3

]⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑤1

𝜕𝑤1

𝜕𝑛𝑤2

𝜕𝑤2

𝜕𝑛𝑤3

𝜕𝑤3

𝜕𝑛

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭, (7.113)

𝑉𝑛

𝑀𝑛

=

[𝑁𝑑1 0 𝑁𝑑2 0 𝑁𝑑3 0

0 𝑁𝑑1 0 𝑁𝑑2 0 𝑁𝑑3

]⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑉𝑛1

𝑀𝑛1

𝑉𝑛2

𝑀𝑛2

𝑉𝑛3

𝑀𝑛3

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭. (7.114)

Aplicando os deslocamentos, forças e geometria na forma discretizada nas Eqs. (6.45) e(6.55), monta-se um sistema matricial para resolver o problema como:

[𝐻1 𝑅1

𝐻2 𝑅2

]⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩𝑤𝜕𝑤

𝜕𝑛𝑤𝑐

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭ =

[𝐺1 𝐶1

𝐺2 𝐶2

]⎧⎪⎨⎪⎩𝑉𝑛

𝑀𝑛

𝑅𝑐

⎫⎪⎬⎪⎭ +

𝑝𝑏

𝑝𝑐

(7.115)

ou de forma mais compacta

88

Hu = Gq + p. (7.116)

Na Eq. (7.116) a matriz H é composta pelos os núcleos da solução fundamental referentesaos esforços na placa, sendo

H1 =

[ℎ11 ℎ12 ℎ13 ℎ14 ℎ15 ℎ16

ℎ21 ℎ22 ℎ23 ℎ24 ℎ25 ℎ26

], (7.117)

H2 =[ℎ31 ℎ32 ℎ33 ℎ34 ℎ35 ℎ36

], (7.118)

R1 =

⎡⎣ 𝑅*𝑐𝑗

𝜕𝑅*𝑐𝑗

𝜕𝑛

⎤⎦ , (7.119)

R2 =[𝑅*

𝑐𝑗

]. (7.120)

Na Eq. (7.117) os termos ℎ representam as integrais de contorno das Eqs. (6.45) e (6.55).Eles são descritos como:

ℎ11 =

∫ +1

−1

𝑁𝑑1𝑉 *𝑛 𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, ℎ12 = −

∫ +1

−1

𝑁𝑑1𝑀*

𝑛𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, ℎ13 =

∫ +1

−1

𝑁𝑑2𝑉 *𝑛 𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉,

ℎ14 = −∫ +1

−1

𝑁𝑑2𝑀*

𝑛𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, ℎ15 =

∫ +1

−1

𝑁𝑑3𝑉 *𝑛 𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, ℎ16 = −

∫ +1

−1

𝑁𝑑3𝑀*

𝑛𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉,

ℎ21 =

∫ +1

−1

𝑁𝑑1

𝜕𝑉 *𝑛

𝜕𝑛𝑖𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, ℎ22 = −

∫ +1

−1

𝑁𝑑1

𝜕𝑀*𝑛

𝜕𝑛𝑖𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, ℎ23 =

∫ +1

−1

𝑁𝑑2

𝜕𝑉 *𝑛

𝜕𝑛𝑖𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉,

ℎ24 = −∫ +1

−1

𝑁𝑑2

𝜕𝑀*𝑛

𝜕𝑛𝑖𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, ℎ25 =

∫ +1

−1

𝑁𝑑3

𝜕𝑉 *𝑛

𝜕𝑛𝑖𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, ℎ26 = −

∫ +1

−1

𝑁𝑑3

𝜕𝑀*𝑛

𝜕𝑛𝑖𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉.

(7.121)

Os termos da matriz H2 são semelhantes aos termos ℎ1,𝑖 da matriz H1, no entanto ospontos fonte passam a ser os pontos dos cantos da placa. Assim como a matriz H2, os termosda matriz R2 os pontos fontes são aplicados nos cantos da placa.

A matriz G é composta pelos núcleos da solução fundamental referentes aos deslocamen-tos da placa, sendo

G1 =

[𝑔11 𝑔12 𝑔13 𝑔14 𝑔15 𝑔16

𝑔21 𝑔22 𝑔23 𝑔24 𝑔25 𝑔26

], (7.122)

G2 =[𝑔31 𝑔32 𝑔33 𝑔34 𝑔35 𝑔36

], (7.123)

C1 =

⎡⎣ 𝑤*𝑐𝑗

𝜕𝑤*𝑐𝑗

𝜕𝑛

⎤⎦ , (7.124)

89

C2 =[𝑤*

𝑐𝑗

]. (7.125)

Os termos da matriz G1 são:

𝑔11 =

∫ +1

−1

𝑁𝑑1𝑤*𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, 𝑔12 = −

∫ +1

−1

𝑁𝑑1

𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, 𝑔13 =

∫ +1

−1

𝑁𝑑2𝑤*𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉,

𝑔14 = −∫ +1

−1

𝑁𝑑2

𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, ℎ25 =

∫ +1

−1

𝑁𝑑3𝑤*𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, 𝑔16 = −

∫ +1

−1

𝑁𝑑3

𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉,

𝑔21 =

∫ +1

−1

𝑁𝑑1

𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑖𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, 𝑔22 = −

∫ +1

−1

𝑁𝑑1

𝜕2𝑤*

𝜕𝑛𝜕𝑛𝑖𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, 𝑔23 =

∫ +1

−1

𝑁𝑑2

𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑖𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉,

𝑔24 = −∫ +1

−1

𝑁𝑑2

𝜕2𝑤*

𝜕𝑛𝜕𝑛𝑖𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, 𝑔25 =

∫ +1

−1

𝑁𝑑3

𝜕𝑤*

𝜕𝑛𝑖𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉, 𝑔26 = −

∫ +1

−1

𝑁𝑑3

𝜕2𝑤*

𝜕𝑛𝜕𝑛𝑖𝐽 (𝜉) 𝑑𝜉.

(7.126)

As matrizes G2 e C2 são montadas de forma semelhante as matriz H2 e R2, respectiva-mente.

O termo 𝐽 (𝜉) é o jacobiano necessário para transformar as integrais para o sistema iso-paramétrico, sendo descrito como

𝐽 (𝜉) =

√(𝜕𝑥

𝜕𝜉

)2

+

(𝜕𝑦

𝜕𝜉

)2

=𝑑Γ

𝑑𝜉. (7.127)

O vetor p contém as integrais referentes a carga lateral, sendo pb o vetor com as integraisde domínio das Eqs. (6.45) e (6.55) e pc o vetor com a integral de domínio da Eq. (6.45) com ospontos fonte aplicados nos cantos da placa. Para realizar tais integrais foram utilizados quatroelementos quadrilaterais de quatro nós, como demonstrado na Fig. 7.3.

Figura 7.3: Elementos Quadriláterais

Caso a carga lateral seja concentrada, devido as propriedades da função delta de Dirac, aintegral de domínio passa a ser

𝑞 = 𝛿 (x− xi)

∫Ω

𝑞𝑤*𝑑Ω = 𝑞𝑤* (𝑥− 𝑥𝑖) . (7.128)

As integrais numéricas, integrais de contorno e integrais presentes nos núcleos da so-

90

lução fundamental para o caso isotrópico unidirecionalmente comprimida, foram integradasutilizando a quadratura de Gauss simples com dez pontos de integração. As integrais singulares

presentes nos núcleos 𝑀*𝑛,

𝜕2𝑤*


e𝜕𝑉 *

𝑛

𝜕𝑛𝑖

foram realizadas analiticamente. Importante destacar

que as integrais com singularidades fortes devem ser integradas no sentido do valor principalde Cauchy (VPC) e as integrais com hipersingularidades devem ser integradas no sentido deHadamard.

Após resolver a integrais e aplicar as condições de contorno, a Eq. (7.116) pode ser rear-ranjada como

Ax = b, (7.129)

podendo assim ser resolvida como um sistema linear padrão.

91

8 Resultados

Neste capítulo serão apresentados os resultados obtidos com as três soluções propostasneste trabalho. Primeiramente é feita a validação dos dados obtidos com soluções analíticas eresultados numéricos presentes na literatura, após essa etapa são apresentados alguns testes comdiferentes condições de contorno e geometrias.

8.1 Validação dos resultados

Os resultados apresentados aqui são usados como parâmetros adimensionais de acordocom a Eq. (8.1). O sistema de coordenadas e a orientação dos lados da placa são descritos naFig. (8.1)

𝑁𝑎𝑑 =𝑁𝑏2

𝐷𝜋2, 𝑤𝑎𝑑 =

𝑤𝐷

𝑞𝑎2. (8.1)

Figura 8.1: Orientação do sistema de coordenadas

8.1.1 Caso unidirecionalmente comprimido

A solução do caso unidirecionalmente comprimido foi validada com soluções analíticasde vigas e solução analítica de placas. Para poder fazer a validação dos casos em que são usadasas soluções de vigas, o coeficiente de Poisson da placa foi zerado para evitar qualquer deforma-ção lateral.

Primeiramente foi feito um estudo de convergência da solução com os casos ilustrados naFig. 8.2, cujo resultado pode ser visto na Tabela 8.1.

Os dados utilizados para obtenção da Tabela 8.1 foram: 𝑎/𝑏 = 1, ℎ = 0.01m, 𝐸 =

200 × 109Pa, 𝜈 = 0.3. Os casos estudados são: apoio simples (AAAA); dois lados paraleloslivre, um engastado e o outro com apoio simples (LELA); dois lados paralelos engastados com

92

os outros dois lados livres (LELE); um lado engastado e os outros três livres (LLLE). As cargasutilizadas foram 𝑁𝑥 = 0.8𝑁𝑐𝑟 e 𝑞 = 1𝑁/𝑚2. Pela Tabela 8.1 percebe-se claramente que com oaumento da quantidade de elementos por lado o erro é reduzido, ficando em torno de 1% paraos casos AAAA e LLLE e abaixo disso para os caso LELE e LELA.

(a) Case AAAA (b) Case LELA

(c) Case LELE (d) Case LLLE

Figura 8.2: Casos estudados

Tabela 8.1: Estudo de convergência

AAAAElementos/lado 1 3 5 7 9

erro [%] 10.467 1.080 1.543 1.546 1.515

LALEElementos/lado 1 3 5 7 9

erro 14.005 3.738 1.048 0.366 0.105

LELEElementos/lado 1 3 5 7 9

erro [%] 34.915 1.766 0.352 0.124 0.058

LLLEElementos/lado 1 3 5 7 9

erro [%] 32.278 1.980 1.208 1.216 1.480

93

Caso LALE

A solução analítica para os casos de vigas é:

𝑤 = − 𝑞𝑥2

8𝐷𝜅2+ 𝐶3 + 𝑥𝐶4 −

𝐶1 cos (2𝑥𝜅)

4𝜅2− 𝐶2 sin(2𝑥𝜅)

4𝜅2, (8.2)

sendo 𝐿 o comprimento da viga. As constantes da Eq. (8.2) para o caso LELA são:

𝐶1 = −𝑞(−2𝐿𝜅 + (1 + 2𝐿2𝜅2) sin (2𝐿𝜅))

4𝐷𝜅2(2𝐿𝜅 cos (2𝐿𝜅) − sin (2𝐿𝜅)),

𝐶2 =𝑞(−1 + (1 + 2𝐿2𝜅2) cos (2𝐿𝜅)) csc (2𝐿𝜅)

4𝐷𝜅2(−1 + 2𝐿𝜅 cot (2𝐿𝜅)),

𝐶3 = − 𝑞(−2𝐿𝜅 + (1 + 2𝐿2𝜅2) sin (2𝐿𝜅))

16𝐷𝜅4(2𝐿𝜅 cos (2𝐿𝜅) − sin (2𝐿𝜅)),

𝐶4 =𝑞(−1 + (1 + 2𝐿2𝜅2) cos (2𝐿𝜅)) csc (2𝐿𝜅)

8𝐷𝜅3(−1 + 2𝐿𝜅 cot (2𝐿𝜅)).

(8.3)

A carga crítica é dada por

𝑁𝑐𝑟 =𝜋2𝐷

(0.699𝐿)2. (8.4)

A Fig. 8.3 ilustra a superfície (Fig. 8.3(b)) e o mapa de deslocamentos (Fig. 8.3(a)) daplaca com uma carga de 80% da carga crítica. Pela Fig. 8.4 é possível ver que a solução numé-rica está de bom acordo com a solução analítica antes da carga crítica. No entanto após ela ocomportamento da solução passa a ser inconsistente. Essa inconsistência provavelmente ocorrepor falta de pontos de integração na integral de contorno.

(a) Mapa de deslocamentos (b) Superfície

Figura 8.3: LELA

94

Figura 8.4: LELA Carga Crítica

Caso LELE

Para esse caso as constantes da Eq. (8.2) são:

𝐶1 =𝑞𝐿 cot (𝐿𝜅)

4𝐷𝜅,

𝐶2 =𝑞𝐿

4𝐷𝜅,

𝐶3 =𝑞𝐿 cot (𝐿𝜅)

16𝐷𝜅3,

𝐶4 =𝑞𝐿

4𝐷𝜅2.

(8.5)

A carga crítica analítica é:

𝑁𝑐𝑟 =4𝜋2𝐷

𝐿2. (8.6)

A Fig. 8.5 ilustra a superfície e os deslocamentos da placa com uma carga de 80% dacarga crítica. Pela Fig. 8.6 é possível ver que a solução numérica está de bom acordo com asolução analítica tanto antes da carga crítica quanto depois.

95


Figura 8.5: LELE

Figura 8.6: LELE Carga Crítica

Caso LLLE

A sua carga crítica dada por:


4𝐿2. (8.7)

As constantes da Eq. (8.2) são:

96

𝐶1 =𝑞(𝑁𝑥 − (𝑁𝑥 − 4𝐷𝜅2) cos (2𝐿𝜅) − 2𝐿𝑁𝑥𝜅 sin (2𝐿𝜅))

4𝐷𝜅2(−𝑁𝑥 + 4𝐷𝜅2 + 𝑁𝑥 cos (2𝐿𝜅)),

𝐶2 =𝑞(−𝑁𝑥 + 4𝐷𝜅2 + 2𝐿𝑁𝑥𝜅 cot (2𝐿𝜅)) sin (2𝐿𝜅)

4𝐷𝜅2(−𝑁𝑥 + 4𝐷𝜅2 + 𝑁𝑥 cos (2𝐿𝜅)),

𝐶3 =𝑞(𝑁𝑥 − (𝑁𝑥 − 4𝐷𝜅2) cos (2𝐿𝜅) − 2𝐿𝑁𝑥𝜅 sin (2𝐿𝜅))

16𝐷𝜅4(−𝑁𝑥 + 4𝐷𝜅2 + 𝑁𝑥 cos (2𝐿𝜅)),

𝐶4 =𝑞(−𝑁𝑥 + 4𝐷𝜅2 + 2𝐿𝑁𝑥𝜅 cot (2𝐿𝜅)) sin (2𝐿𝜅)

8𝐷𝜅3(−𝑁𝑥 + 4𝐷𝜅2 + 𝑁𝑥 cos (2𝐿𝜅)).

(8.8)


Figura 8.7: LELE

Figura 8.8: LLLE Carga Crítica

97

Pela Fig. 8.8, a solução numérica apresenta resultados semelhantes ao da solução analí-tica.

Caso AAAA

A solução analítica para placas com apoios simples é descrita em (TIMOSHENKO eWOINOWSKY-KRIEGER, 1987).

𝑤 =16𝑞

𝜋6𝐷

∞∑𝑚=1

∞∑𝑛=1

1

𝑚𝑛

[(𝑚2

𝑎2+

𝑛2

𝑏2

)2

− 𝑁𝑥𝑚2

𝜋2𝐷𝑎2

] sin𝑚𝜋𝑥

𝑎sin

𝑛𝜋𝑦

𝑏, (8.9)

onde 𝑥 e 𝑦 são as coordenadas do ponto avaliado, 𝑚 e 𝑛 são número inteiros ímpares. A cargacrítica para esse caso é uma combinação dos coeficientes 𝑚 e 𝑛 nos somatórios.

𝑁𝑐𝑟 =𝜋𝐷𝑎2

𝑚2

(𝑚2

𝑎2+

𝑛2

𝑏2

)2

. (8.10)


Figura 8.9: AAAA

Para o caso de uma placa quadrada com apoio simples em todos os bordos, o coeficiente𝑚 = 1. A Fig. 8.9 ilustra a superfície e os deslocamentos da placa com uma carga de 80% dacarga crítica. Pela Fig. 8.10, percebe-se que mesmo com 20 elementos, os erros imediatamenteapós a carga crítica ainda são grandes. No entanto, nos demais pontos a solução está de acordocom a solução analítica.

98

Figura 8.10: AAAA Carga Crítica

Caso AAAA com carga concentrada

A solução analítica para esse caso, Fig. 8.11, é descrita em (TIMOSHENKO eWOINOWSKY-KRIEGER, 1987).

𝑤 =4𝑃

𝑎𝑏𝜋4𝐷

∞∑𝑚=1

∞∑𝑛=1

sin𝑚𝜋𝜉

𝑎sin

𝑛𝜋𝜂

𝑏(𝑚2

𝑎2+

𝑛2

𝑏2

)2

− 𝑁𝑥𝑚2

𝜋2𝐷𝑎2

sin𝑚𝜋𝑥

𝑎sin

𝑛𝜋𝑦

𝑏, (8.11)

onde 𝑃 é a carga concentrada, 𝜉 e 𝜂 são as coordenadas do ponto de aplicação da carga.

Figura 8.11: AAAA com carga concentrada

A solução numérica apresentada nesse trabalho não pode avaliar a função no ponto deaplicação da carga, quando uma carga concentrada atua sobre a placa. Isso ocorre, pois a funçãode Bessel possui uma singularidade quando 𝑥 = 𝑥𝑖. No entanto como ilustrado na Fig. 8.12 a

99

solução apresenta uma boa concordância nos outros pontos da placa.

Figura 8.12: Deslocamento AAAA com carga concentrada

Figura 8.13: Deslocamento AAAA com carga concentrada - Placa 3x1

As Figs. 8.14 e 8.13 ilustram a superfície e o deslocamento, respectivamente, de umaplaca simplesmente apoiada com carga lateral concentrada e

𝑎

𝑏= 3, demonstrando que mesmo

para placas retangulares a solução concorda bem com a analítica.

Caso EEEE

Não foi encontrada solução analítica do deslocamento para esse caso. No entanto, (SHA-MES e DYM, 1991) apresentaram a carga crítica analítica para o mesmo.

100

Figura 8.14: Superfície AAAA com carga concentrada - Placa 3x1

𝑁𝑐𝑟 = 24.8𝐷

𝑎2. (8.12)

A Fig. 8.15 apresenta os resultados obtidos com o programa para o caso com carga lateraldistribuída. Percebe-se para esse caso que os resultados com três elementos por lado (12 ele-mentos) e com cinco elementos por lado (20 elementos) tem apresentam uma diferença muitopequena entre si.

Figura 8.15: EEEE Carga Crítica

101

8.1.2 Caso isotrópico multicomprimido

Caso AAAA

A solução analítica para o caso de placas simplesmente apoiadas com cargas com-pressivas na direção 𝑥 e 𝑦 e carga lateral concentrada é apresentada em (TIMOSHENKO eWOINOWSKY-KRIEGER, 1987).

𝑤 =4𝑃

𝑎𝑏𝜋4𝐷

∞∑𝑚=1

∞∑𝑛=1

sin𝑚𝜋𝜉

𝑎sin

𝑛𝜋𝜂

𝑏(𝑚2

𝑎2+

𝑛2

𝑏2

)2

− 𝑁𝑥𝑚2

𝜋2𝐷𝑎2− 𝑁𝑦𝑛

2

𝜋2𝐷𝑏2

sin𝑚𝜋𝑥

𝑎sin

𝑛𝜋𝑦

𝑏, (8.13)

sendo a carga crítica calculada como

𝑁𝑥𝑚2

𝜋2𝐷𝑎2+

𝑁𝑦𝑛2

𝜋2𝐷𝑏2=

(𝑚2

𝑎2+

𝑛2

𝑏2

)2

. (8.14)

Caso 𝑁𝑥 = 𝑁𝑦 e 𝑎 = 𝑏 a carga crítica será


𝑎2(𝑚2 + 𝑛2

). (8.15)

A Fig. 8.16 ilustra a carga crítica quando 𝑁𝑦 = 𝑁𝑐𝑟 e 𝑁𝑥 variável. Pela Fig. 8.16 é possívelperceber uma melhor aproximação dos resultados com o aumento da quantidade de elementospor lado, notando-se que os resultados do programa utilizando cinco elementos por lado (20elementos) está bem próximo do analítico.

Figura 8.16: AAAA Carga Crítica - 𝑁𝑥 = 𝑁𝑦

102

Caso AAEE

Não foi encontrada solução analítica na literatura para esse caso. A validação foi feitacomparando com os resultados de (LIEW e WANG, 1995), que analisou placas com diversasgeometrias e cargas compressivas ortogonais aos seus lados com a mesma magnitude, comoilustrada na Fig. 8.17. O fator carga crítica encontrado para esse caso foi 𝜆 = 8.0131, onde

Figura 8.17: Placa Multicomprimida

𝜆 =𝑁𝑎2

𝐷. (8.16)

Figura 8.18: AAEE Carga Crítica - 𝑁𝑥 = 𝑁𝑦

A Fig. 8.18 ilustra a carga crítica desse caso. O programa encontrou a carga crítica namesma região que (LIEW e WANG, 1995).

103

Caso LLLE

Assim como o caso anterior, (LIEW e WANG, 1995) encontrou 𝜆 = 0.5913.

Figura 8.19: LLLE bidirecionalmente comprimida isotrópica - Carga Crítica

A Fig. 8.19 demonstra o comportamento do deslocamento com o aumento das cargasplanares. Pela Fig. 8.19 percebe-se que a solução proposta encontrou a carga crítica um poucomaior que a encontrada por (LIEW e WANG, 1995). O fator de carga encontrado para esse casofoi 0.6090, o que representa um aumento de cerca de 3%.

Caso EEEE

Para o caso todo engastado comprimido nas direções 𝑥 e 𝑦, (LIEW e WANG, 1995) achou𝜆 = 13.086.

A Fig. 8.20 ilustra a carga crítica do caso todo engastado com 𝑁𝑦 = 𝑁𝑐𝑟 e 𝑁𝑥 variá-vel. É possível perceber que esse caso é muito estável, pois com poucos elementos por lado ocomportamento do deslocamento já está dentro do esperado.

104

Figura 8.20: EEEE bidirecionalmente comprimida isotrópica - Carga Crítica

Caso EEEE com cargas compressivas combinadas com cargas cisalhantes

Para esse caso o parâmetro adimensional utilizado para as cargas foi

𝑁𝑎𝑑 =𝑁𝑥

𝑁𝑐𝑟

. (8.17)

Dessa forma pode-se comparar a diferença percentual que o efeito da carga cisalhante 𝑁𝑥𝑦 causana placa.

A Fig. 8.21 ilustra os deslocamentos de uma placa quadrada engastada com forças apli-cadas 𝑁𝑥 = 0.8𝑁𝑐𝑟, 𝑁𝑦 = 𝑁𝑐𝑟 e diferentes valores de 𝑁𝑥𝑦, sendo que 𝑁𝑐𝑟 se refere a cargacrítica bidirecional sem cisalhamento. Pode ser visto que a carga cisalhante causa um aumentodo deslocamento da placa.

A Fig. 8.22 ilustra o efeito de distorção causado por 𝑁𝑥𝑦 nas isocurvas da placa. EnquantoFig. 8.23 demonstra esse efeito no mapa de deslocamento da placa.

O efeito da força cisalhante na carga crítica pode ser visto na Fig. 8.24. Na Fig. 8.24 𝑁𝑦 =

𝑁𝑐𝑟, 𝑁𝑥𝑦 = 𝛾𝑁𝑐𝑟 e 𝑁𝑥 variável. Foram testados três valores do fator 𝛾, respeitando a limitaçãoda solução (𝛽 > 0). Pela Fig. 8.24 percebe-se que com o acréscimo da carga cisalhante, ocorreuma redução da carga crítica. Sendo que para o caso em que 𝛾 = 0.3 a redução da carga críticafoi aproximadamente de 3% e no caso de 𝛾 = 0.5 a redução foi de aproximadamente 8%.

105

Figura 8.21: Placa engastada - deslocamento na direção x com cargas cisalhantes

Figura 8.22: Placa engastada - Isocurvas

106

Figura 8.23: Placa engastada - mapa de deslocamento

Figura 8.24: Carga Crítica - Placa engastada com compressão biaxial combinada com cargacisalhante

107

Caso AAAA com chanfros

Para analisar o efeito da variação geométrica na carga crítica foram testados cinco casosde uma placa quadrada chanfrada simplesmente apoiada em todos os bordos e comparados como caso analítico de uma placa quadrada. Os casos testados são descritos na Fig. 8.25.

(a) Caso I (b) Caso II

(c) Caso III (d) Caso IV

(e) Caso V

Figura 8.25: Casos de placas chanfradas estudados

O efeito do chanfro na carga crítica da placa é demonstrado na Fig. 8.26. Pela Fig. 8.26percebe-se que o chanfro afasta a carga crítica, esse efeito ocorre provavelmente devido a redu-ção da área da placa. O caso I reduziu a área da placa em 4.5%, o que resultou em um aumentode aproximadamente 3.8% na carga crítica. Os casos II e III tiveram uma redução de área de9%. No entanto, o aumento da carga crítica para ambos os casos foi diferente, sendo de apro-ximadamente 6.4% e 9%, respectivamente para o caso II e III. Essa diferença no aumento dacarga crítica provavelmente é causada pela simetrias presentes no caso III. O aumento na carga

108

crítica gerado pelo caso IV foi de aproximadamente 12.6%, enquanto que a área reduzida peloschanfros foi de 13.5%. O caso V teve uma área reduzida de 18% e um aumento na carga críticade cerca de 17.6%.

Figura 8.26: Caso AAAA unidirecionalmente comprimida isotrópica com chanfros - Carga Crí-tica

8.1.3 Caso Anisotrópico

Antes de validar as placas ortotrópicas comprimidas, comparou-se a solução propostacom a solução de placas ortotrópicas sobre flexão presente em (LEKHNITSKII, 1968). A Fig.8.27 ilustra o deslocamento de uma placa quadrada com 1m de comprimento e as seguintespropriedades mecânicas: 𝐸𝑙 = 245GPa, 𝐸𝑡 = 100GPa, 𝐺𝑙𝑡 = 48GPa, 𝜈𝑙𝑡 = 0.25, ℎ = 0.01m.Pela Fig. 8.27 nota-se que a solução proposta está de bom acordo com a solução analítica.

(LEKHNITSKII, 1968) desenvolveu soluções analíticas para alguns casos ortotrópicos deplacas comprimidas sem a presença de cargas laterais. Apesar de não poder comparar as curvasde deslocamento, as soluções de (LEKHNITSKII, 1968) podem ser usadas para validar os casosde placas ortotrópicas comprimidas. Nesse caso os fatores adimensionais são:

𝑁𝑎𝑑 =𝑁𝑏2

𝜋2√𝐷11𝐷22

e 𝑤𝑎𝑑 =𝑤√𝐷11𝐷22

𝑞𝑎2. (8.18)

109

Figura 8.27: Deslocamento na direção x de uma placa ortotrópica sobre flexão

As constantes utilizadas foram: 𝐸𝑙 = 200GPa, 𝐸𝑡 = 100GPa, 𝜈𝑙𝑡 = 0.3, 𝐺𝑙𝑡 =𝐸𝑡

2 (1 + 𝜈𝑙𝑡), ℎ = 0.01m.

Placa ortotrópica unidirecionalmente comprimida

De acordo com (LEKHNITSKII, 1968) a carga crítica para o caso simplesmente apoiadoé dada por

𝑝𝑐𝑟 =𝜋2√𝐷11𝐷22

𝑏2

[√𝐷11

𝐷22

(𝑚𝑐

)2

+ 2𝐷3√

𝐷11𝐷22

+

√𝐷22

𝐷11

( 𝑐

𝑚

)2]

, (8.19)

onde 𝐷3 = 𝐷12 + 2𝐷66 e 𝑐 =𝑎

𝑏. Se 0 < 𝑐 < 1.41 4

√𝐷11

𝐷22

então 𝑚 = 1.

A Fig. 8.28 ilustra a carga crítica de uma placa quadrada.(LEKHNITSKII, 1968) também desenvolveu a solução da carga crítica para o caso

EAEA, como descrito na Fig. 8.29. A Eq. 8.20 descreve a carga crítica em função de 𝑐.


𝑏2

[√𝐷11

𝐷22

(𝑚𝑐

)2

+ 2.67𝐷3√

𝐷11𝐷22

+ 5.33

√𝐷22

𝐷11

( 𝑐

𝑚

)2]

. (8.20)

110

Figura 8.28: AAAA unidirecionalmente comprimida ortotrópica - Carga Crítica

Figura 8.29: EAEA

Para o caso EAEA, se 0 < 𝑐 < 0.931 4

√𝐷11

𝐷22

, então 𝑚 = 1. A Fig. 8.30 ilustra a carga

crítica do caso EAEA ortotrópico.

Figura 8.30: EAEA unidirecionalmente comprimida ortotrópica - Carga Crítica

111

Caso AAAA multicomprimido

A solução da carga crítica para este caso desenvolvida por (LEKHNITSKII, 1968) é


𝑏2

[√𝐷11

𝐷22

(𝑚𝑐

)2

+ 2𝐷3√

𝐷11𝐷22

𝑛2 +

√𝐷11

𝐷22

( 𝑐

𝑚

)2

𝑛4

]1 + 𝛼

( 𝑐

𝑚

)2

𝑛2, (8.21)

onde 𝛼 =𝑁𝑥

𝑁𝑦

.

Para o caso de uma placa ortotrópica quadrada e 𝛼 = 1, a carga crítica passa a ser:

𝑝𝑐𝑟 = 2.23𝜋2√𝐷11𝐷22

𝑏2. (8.22)

Figura 8.31: AAAA bidirecionalmente comprimida ortotrópica - Carga Crítica

112

Influência do ângulo de orientação da fibra na carga crítica

Para verificar a influência do ângulo orientação da fibra na carga crítica, foi testada umaplaca quadrada de 1mx1m e espessura de 1cm, com as seguintes propriedades elásticas: 𝐸𝑙 =

200GPa, 𝐸𝑡 = 𝐸𝑙

2, 𝐺𝑙𝑡 = 𝐸𝑙

10, 𝜈𝑙𝑡 = 0.25. Foram testados sete placas com diferentes ângulos

de orientação. Os resultados são ilustrados na Fig. 8.32, sendo mostrados em função da cargacrítica ortotrópica.

Pela Fig. 8.32 percebe-se que a carga crítica aumenta de acordo com o ângulo de orien-tação da fibra até 45∘. Após o ângulo de 45∘ a carga crítica reduz com o aumento do ângulode orientação, apresentando um comportamento periódico em torno de 45∘. Os ângulos de 15∘

e 75∘ apresentaram um aumento em torno de 8%. Enquanto que os ângulos de orientação 30∘

e 60∘ aumentam a carga crítica em cerca de 24%. Dentre os ângulos testados, 45∘ foi o quecausou um maior aumento, de cerca de 32%.

Figura 8.32: Variação da carga crítica com a mudança do ângulo de orientação da fibra

Casos Laminados

(SHOJAEE et al., 2012) aplicaram uma abordagem utilizando MEF para encontrar a cargacrítica de flambagem de placas laminadas com diversas condições de contorno. O fator de cargaencontrado é dado pela Eq. 8.23,

113

𝑘𝑐𝑟 =𝑁0𝑏

2

𝜋2𝐷11𝑜

. (8.23)

Onde 𝐷11𝑜 é a rigidez flexural na direção longitudinal da fibra de uma lâmina ortotrópica.Foram analisadas placas quadradas de 10𝑚 de lado, espessura ℎ = 0.06𝑚, 𝐸𝑙

𝐸𝑡= 2.45, 𝐺𝑙𝑡

𝐸𝑡=

0.48 e 𝜈𝑙𝑡 = 0.23.

Tabela 8.2: Fator de carga de flambagem 𝑘𝑐𝑟 - laminados

Laminado MétodoCondições de contorno

AAAA EEEE EAEA AEEA

[0,0,0](SHOJAEE et al., 2012) 2.36 6.71 4.27 3.93

MEC 2.36 6.727 4.27 3.93

[15,-15,15](SHOJAEE et al., 2012) 2.43 6.57 4.41 3.96

MEC 2.426 6.57 4.399 3.94

[30,-30,30](SHOJAEE et al., 2012) 2.59 6.29 4.79 4.00

MEC 2.577 6.258 4.742 3.98

[45,-45,45](SHOJAEE et al., 2012) 2.66 6.10 4.78 4.01

MEC 2.646 6.10 4.828 3.989

[90,0,90](SHOJAEE et al., 2012) 2.36 6.70 4.36 3.93

MEC 2.36 6.70 4.36 3.93

Pela Tabela 8.2 o comportamento da carga crítica varia de acordo com as condições decontorno. Os casos simplesmente apoiado e engastado apresentam comportamento opostos,apesar de ambos apresentarem simetria em relação ao ângulo de 45∘, o caso apoiado possuivalor máximo com 45∘ enquanto que o caso engastado apresenta seu valor mínimo nesse ân-gulo. Já o caso EAEA apresenta um comportamento semelhante ao caso simplesmente apoiado,assim como o caso AEEA. Porém, o caso AEEA apresenta uma variação muito pequena com amudança dos ângulos das laminas.

Caso AAAA com chanfros

Para o caso anisotrópico também foi testado o efeito de chanfros em uma placa quadradaortotrópica com os mesmos exemplos do caos isotrópico. Assim como no caso isotrópico, ovalor da carga crítica está aumentando em relação à carga crítica da placa sem chanfros.

As propriedades utilizadas nessa simulação foram: 𝐸𝑙 = 200GPa, 𝐸𝑡 = 𝐸𝑙

10, 𝜈𝑙𝑡 = 0.3,

𝐺𝑙𝑡 = 𝐸𝑙

26. As características geométricas da placa ortotrópica são as mesmas do caso isotrópico.

Comparando com o caso isotrópico, percebe-se que as carga críticas tiveram um aumentomaior nas placas ortotrópicas. Para o caso I, o aumento da carga crítica foi de aproximadamente5%. Os casos II e III ortotrópicos apresentaram aumentos aproximados de respectivamente 15%

e 16%. Percebe-se que enquanto no caso isotrópico a diferença entre ambos foi de aproximada-mente 2.6%, no caso ortotrópico testado foi de aproximadamente 1%. Os casos IV e V tiveramum aumento de cerca de 20% e 31%, respectivamente.

114

Figura 8.33: Caso AAAA unidirecionalmente comprimida ortotrópica com chanfros - CargaCrítica

Esse aumento porcentual da carga crítica maior do que a redução porcentual da área daplaca provavelmente é causado pela grande diferença de rigidez nas direções longitudinal etransversal da placa.

115

9 Conclusão

9.1 Conclusões

Neste trabalho foram desenvolvidos os núcleos da solução fundamental para o problemade placas unidirecionalmente comprimidas baseado na solução proposta por (JAHANSHAHI eDUNDURS, 1964). Além disso, também foram desenvolvidos os núcleos para o problema deplacas isotrópicas multidirecionalmente comprimidas e placas anisotrópicas multidirecional-mente comprimidas, sendo que os núcleos das soluções de placas multidirecionalmente com-primidas não são encontrados na literatura. As soluções propostas podem analisar placas comcargas laterais distribuídas ou concentradas. Caso seja utilizada uma carga concentrada, a equa-ção integral de contorno possuirá apenas integrais de contorno, uma vez com carga concentradaa integral de domínio não é mais necessária.

As validações dos resultados numéricos da solução unidirecional foi feita com as soluçõesanalíticas existentes de placas e de vigas. Analisando os resultados, percebe-se que a soluçãoproposta apresenta resultados próximos das soluções analíticas, sendo necessário poucos ele-mentos para apresentar erros em torno de 1% na região próxima a carga crítica. Porém, essasolução perde um pouco de precisão quando a razão 𝑎/𝑏 aumenta. Quando uma carga lateralconcentrada é aplicada na placa, essa solução não consegue avaliar o deslocamento no ponto deaplicação da placa, devido a singularidade presente na função de Bessel, porém ela apresentauma boa concordância com a solução analítica nos outros pontos internos.

As soluções dos casos multicomprimidos são inéditas e todos os núcleos foram descritosneste trabalho. Devido as considerações feitas durante a obtenção da solução fundamental doscasos multidirecionalmente comprimidos, 𝛽 > 0 e 𝛽

𝛼> 0, as soluções propostas não podem

analisar o caso de cisalhamento puro. No entanto, desde que essa condição seja obedecida épossível analisar placas tanto com cargas planares de compressão e cisalhantes.

Os resultados isotrópicos foram validados com a solução analítica e alguns resultadosnuméricos encontrados na literatura, apresentando uma boa concordância com os resultados en-contrados. Após a validação foi testado o caso de placas com chanfros nos cantos e compressãounidirecional. Os resultados obtidos estão dentro do esperado, com a redução da área da placacausada pelo chanfro ocorre um aumento da carga crítica. Nos casos de placas com chanfros,notou-se que o aumento da carga crítica também é afetado pela simetria da placa.

A solução anisotrópica foi validada primeiramente com as soluções de flexão de pla-cas ortotrópicas apresentada por (LEKHNITSKII, 1968). Não foi possível validar as curvasde deslocamento de placas ortotrópicas com cargas planares e fora do plano, pois as mesmassão encontradas somente para o caso de em que apenas cargas planares estão atuando sobre aplaca. No entanto, as cargas críticas puderam ser validadas com as soluções analíticas de placasortotrópicas disponíveis e soluções de laminados presentes na literatura. A solução propostaapresenta um comportamento assintótico dentro do esperado mesmo com poucos elemento porlado.

116

Verificou-se a influência do ângulo de orientação das fibras, mostrando que para o casosimplesmente apoiado a carga crítica cresce até o ângulo de 45∘ e volta a decrescer após. Notou-se também um comportamento simétrico em relação a esse ângulo, sendo que ângulos equidis-tantes de 45∘, 30∘ e 60∘, por exemplo, apresentam deslocamentos muito próximos assim com acarga crítica. Da mesma forma que para as lâminas, os laminados simétricos testados apresen-taram o mesmo comportamento no caso apoiado. Percebe-se que além do ângulo de orientaçãoda fibra, as condições de contorno também influenciam o comportamento da carga crítica. Ocaso simplesmente apoiado teve a maior carga crítica com as fibras orientadas à 45∘, enquantoque o caso engastado apresentou a menor carga crítica com esse ângulo de orientação de fibra.

Assim como para o caso isotrópico, foram testados casos de placas ortotrópicas com chan-fros. Os resultados também estão dentro do esperado, sendo que o aumento apresentando nacarga crítica foi maior que para o caso isotrópico.

As soluções fundamentais com a transformada de Radon, demonstram ser muito precisase promissoras. No entanto, é importante ressaltar que o método de integração utilizado não éadequado, devido as funções serem muito oscilatórias, fato este que aumenta muito o custo deprocessamento das mesmas.

9.2 Trabalhos Futuros

O presente trabalho apresentou novas soluções fundamentais para resolver o problemade placas com cargas planares e fora do plano. Entretanto, a formulação aqui apresentada élimitada para o caso em que as forças planares são compressivas, 𝛽 > 0. Sugere-se tratar asolução aqui apresentada de forma a retirar essa limitação, podendo assim estudar casos comforças compressivas e de tração no plano e o caso de cisalhamento puro, por exemplo. Além demontar e tratar a solução hipersingular anisotrópica.

O método de integração das funções no circulo de Radon não é ideal, pois as funçõesdescritas são muito oscilatórias, aumentando a oscilação com o aumento da carga aplicada.Recomenda-se a implementação de outro método mais adequado como os métodos Levy ouLevy-type.

A solução se mostrou promissora, podendo ser estendida para uma análise de problemasde estabilidade dinâmicos (esse problema será estudado pelo mestrando Pedro Jatahy Neto) eacrescentar furos na placa para averiguar a influência dos mesmos na carga crítica.

117

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