ANÁLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO · PDF filerefinados e comparados ao modelo...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL MARCELO DIEGO DE ALMEIDA BARBOSA ANÁLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO FORTALEZA 2010
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MARCELO DIEGO DE ALMEIDA BARBOSA
ANÁLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
FORTALEZA
2010
ii
MARCELO DIEGO DE ALMEIDA BARBOSA
ANÁLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
Monografia submetida à Coordenação do
Curso de Engenharia Civil da Universidade
Federal do Ceará, como requisito para
obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Orientador: Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota
B199a Barbosa, Marcelo Diego de Almeida
Análise de flechas em vigas de concreto armado / Marcelo Diego de Almeida Barbosa.
85f: il. color. enc.
Orientador: Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota
Área de concentração: Análise de Estruturas
Monografia (graduação) - Universidade Federal do Ceará,
Centro de Tecnologia. Depto. de Engenharia Estrutural e Construção
Civil , Fortaleza, 2010.
1. Concreto armado 2. Estruturas de concreto I. Mota, Joaquim
Eduardo (orient.) II. Universidade Federal do Ceará – Curso de Engenharia
Civil III.Título
CDD 620
FORTALEZA
2010
iii
iv
Aos meus pais,
Telmo Barbosa e Maria das Graças de Almeida Barbosa
Por todo incentivo e amor.
v
AGRADECIMENTOS
A DEUS, que me deu vida e inteligência, e que me dá força para continuar a
caminhada em busca dos meus objetivos.
Aos meus pais Telmo Barbosa e Maria das Graças de Almeida Barbosa, pelo
amor que me dedicaram e em especial a minha mãe, por ser um exemplo para mim e nunca
medir esforços em superar os obstáculos enfrentados.
Aos meus irmãos Márcio Talvany de Almeida Barbosa e a Telma Patricia de
Almeida Barbosa, por sempre serem meu apoio nos momentos difíceis e por me ensinarem os
reais valores da vida.
À minha namorada, Sâmara Ribeiro e Silva pela paciência, incentivo e pelo apoio
incondicional ao longo da graduação.
Ao professor Dr. Joaquim Eduardo Mota, pela orientação, pelos conhecimentos
transmitidos e sem sua importante ajuda esse trabalho não teria sido concretizado.
Ao engenheiro Dácio Carvalho, por ter aberto as portas de sua empresa, por ter
transmitido o seu enorme conhecimento e por ter colaborado na concretização desse sonho.
Ao amigo e colega de trabalho, Thiago Bruno Reis de Azevedo pela sua enorme
paciência, boa vontade em transmitir seu conhecimento e pela amizade adquirida ao longo dos
anos.
Aos amigos Vitor Rocha Holanda, Justino Café Leitão, Pedro Campelo Nogueira,
Marconi Nunes Santana, Joaquim Umbelino Neto pelo apoio nessa caminhada e em especial
ao grande amigo Régis Bezerra de Oliveira pela amizade, incentivo e companheirismo ao
longo da graduação.
Aos Senhores, Rômulo César Estevam Angelim e José Heli Leite Santiago por
terem sido os responsáveis em despertar meu interesse em fazer o curso de Engenharia Civil.
vi
RESUMO
Nos dias de hoje pode-se atingir um alto nível de refinamento na análise
estrutural, sendo cada vez mais comum a utilização de modelos numéricos que consideram a
não- linearidade física dos materiais, a fissuração, a fluência, a retração do concreto, o
comportamento elasto-plástico da armadura, além da influência do processo construtivo no
comportamento da estrutura.
Neste trabalho será apresenta-se a formulação simplificada da NBR 6118:2003
item 17.3.2.1: “Avaliação aproximada de flechas em vigas” e avalia-se sua eficiência no
cálculo de flechas pela comparação com resultados obtidos por métodos numéricos mais
refinados e comparados ao modelo simplificado da NBR 6118:2003. Elaborou-se uma
planilha em Excel que serviu de base para a obtenção desses dados. O modelo não linear mais
refinado utilizado é o programa CONSNOU.
Para uma avaliação mais refinada das flechas em vigas de concreto armado
utilizou-se o programa computacional denominado CONSNOU desenvolvido pelo Professor
Antonio R. Marí do Departamento de Engenharia da Universidade Politécnica da Catalunha
Barcelona/Espanha. Este programa permite considerar os efeitos da fluência, fissuração,
retração e da colaboração do concreto tracionado entre as fissuras para a rigidez à flexão dos
elementos. Esse programa serviu de base para a comparação dos resultados obtidos pela
formulação da NBR6118:2003.
Palavras-chave: flechas em vigas; concreto armado; análise-estrutural; NBR 6118:2003.
vii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Deslocamentos de vigas sobre carregamento distribuído.................... 5
Figura 2.2 - Diagrama tensão – deformação do concreto...................................... 7
Figura 2.3 - Ensaio de tração direta....................................................................... 9
Figura 2.4 - Ensaio de tração por compressão diametral....................................... 10
Figura 2.5 - Ensaio de tração na flexão.................................................................. 10
Figura 2.6 - Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio I).................... 12
Figura 2.7 - Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio II)................... 12
Figura 2.8 - Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio III).................. 13
Figura 2.9 - Diagrama Retangular.......................................................................... 14
Figura 2.10 - Exemplo de distribuição das fissuras de uma viga........................... 14
Figura 2.11 - Retração do concreto........................................................................ 15
Figura 2.12 - Reversibilidade da retração.............................................................. 17
Figura 2.13 - Fluência do concreto........................................................................ 17
Figura 2.14 - Reversibilidade da fluência.............................................................. 18
Figura 2.15 - Acréscimo de deformação devido à fluência................................... 19
Figura 2.16 - Seção Retangular no Estádio I......................................................... 21
Figura 2.17 - Seção Retangular no Estádio II........................................................ 22
Figura 2.18 - Limite do momento de fissuração.................................................... 23
Figura 2.19 - Valores do coeficiente α................................................................... 27
Figura 2.20 - Flecha imediata para as cargas quase permanentes pelos diferentes
métodos..................................................................................................................
27
Figura 2.21 - Flecha total pelos diferentes métodos.............................................. 29
Figura 2.22 - Dano em elementos não estruturais................................................... 31
Figura 3.1 - Gráfico do deslocamento x limite..................................................... 57
Figura 3.2 - Gráfico do deslocamento x parcela de carga acidental e permanente 58
Figura 3.3 - Gráfico do deslocamento x tempo de aplicação das cargas............... 59
Figura 3.4 - Gráfico do deslocamento x base da viga........................................... 61
Figura 3.5 - Gráfico do deslocamento x altura da viga......................................... 62
Figura 3.6 - Gráfico do deslocamento x armadura de compressão........................ 63
viii
Figura 3.7 - Gráfico do deslocamento x vão da viga............................................. 64
Figura 3.8 - Gráfico do deslocamento x Fck.......................................................... 65
Figura 4.1 - Deslocamento linear x não linear....................................................... 68
Figura 4.2 – Fluxograma simplificado do programa CONSNOU........................ 71
Figura 4.3 – Gráfico de deslocamento NBR 6118:2003 x CONSNOU............... 71
ix
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo ................................. 28
Tabela 2.2 – Limites para deslocamentos ............................................................. 32
Tabela 2.3 - Valores de ψ1 e ψ2.............................................................................. 37
Tabela 3.1 - Exemplo da guia de cálculo da planilha em Excel............................. 49
Tabela 3.2 – Exemplo da guia dados e resultados em Excel................................. 50
x
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 1
1.1. Aspectos gerais ........................................................................................................... 1
1.2. Justificativa ................................................................................................................. 2
1.3. Objetivos ..................................................................................................................... 3
1.4. Organização do trabalho ........................................................................................... 4
2. CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO ..... 5
2.1 Introdução .................................................................................................................. 5
2.2 Variáveis que influem nos deslocamentos ............................................................... 6
2.2.1 Propriedades do concreto.................................................................................... 6
2.2.2 Fissuração ......................................................................................................... 11
2.2.3 Retração ............................................................................................................ 15
2.2.4 Fluência ............................................................................................................ 17
2.3 Cálculo dos deslocamentos ...................................................................................... 20
2.3.1 Considerações iniciais ...................................................................................... 20
2.3.2 Cálculo dos deslocamentos imediatos .............................................................. 26
2.3.3 Cálculo dos deslocamentos diferidos ............................................................... 28
2.4 Controle dos deslocamentos .................................................................................... 30
2.4.1. Metodologia do controle de deslocamentos ..................................................... 31
2.4.2. Adoção de medidas para o controle de deslocamentos excessivos .................. 35
2.5 Considerações de ações ............................................................................................ 36
2.5.1 Classificações das ações ................................................................................... 36
2.5.2 Combinações de ações ...................................................................................... 37
2.6 Considerações finais ................................................................................................ 38
3. ANÁLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO ....................... 40
3.1 Introdução ..................................................................................................................... 40
3.2 Cálculo de flechas em vigas de concreto armado....................................................... 40
3.2.1 Exemplo 1 ................................................................................................................ 40
3.2.2 Exemplo 2 ................................................................................................................ 45
3.3 Cálculo de flechas em vigas de concreto armado utilizando o Excel .................. 49
3.3.1 Introdução ................................................................................................................ 49
3.3.2 Cálculo de flechas em vigas de concreto armado utilizando o Excel ...................... 49
xi
3.3.3 Análise de variáveis que influem nos deslocamentos de vigas de concreto
armado...............................................................................................................................57
3.4 Considerações finais ..................................................................................................... 66
4. ANÁLISE NUMÉRICA DO PROGRAMA CONSNOU ............................................ 67
4.1 Aspectos gerais .............................................................................................................. 67
4.2 Análise não linear ......................................................................................................... 68
4.2.1 Não linearidade física .............................................................................................. 69
4.2.2 Não linearidade geométrica ..................................................................................... 70
4.2 Programa CONSNOU .................................................................................................. 70
4.3 Análise numérica .......................................................................................................... 72
4.4 Considerações finais ..................................................................................................... 74
5. CONCLUSÕES ............................................................................................................... 75
1
1. INTRODUÇÃO
1.1. Aspectos gerais
Com o progresso das construções, tanto na agilidade dos processos construtivos
quanto na evolução dos projetos estruturais, as edificações deixaram de ser robustas e
passaram a ser mais esbeltas. A altura desses empreendimentos também acompanhou essas
modificações, onde temos estruturas bem mais verticalizadas. Esses fatores, anteriormente
citados, podem ser atribuídos ao aprimoramento das técnicas de análise estrutural e
desenvolvimento das tecnologias dos materiais utilizados na construção civil.
Entretanto, surgiram novos problemas nas construções. Pois, como essas
estruturas antigamente eram robustas, as vigas não apresentavam problemas de deslocamentos
excessivos devido a essa elevada rigidez. A consequência foi um maior nível de fissuração
das peças, diminuindo sua rigidez e conseqüentemente aumentando os deslocamentos. Por
isso, a questão do controle de fissuração e o controle de deslocamentos vêm sendo cada vez
mais importante no desenvolvimento de projetos nos dias de hoje.
Foi introduzido um maior cuidado na construção civil chamado de durabilidade.
De acordo com o item 6.1 da NBR 6118:2003: “As estruturas de concreto devem ser
projetadas e construídas de modo que sob as condições ambientais previstas na época do
projeto e quando utilizadas conforme preconizados em projeto conservem sua segurança,
estabilidade e aptidão em serviço durante o período correspondente a sua vida útil”. Onde
entendemos que vida útil é o período que a estrutura mantém as mesmas características
iniciais definidas em projeto.
Os deslocamentos excessivos são um exemplo de prejuízo às estruturas em
serviço, em que os danos vão além de efeitos na sua própria funcionalidade e estética, como a
de outros elementos, estruturais ou não que a eles estejam ligados. Podemos citar como
exemplos desses tipos de danos o mau funcionamento de portas e janelas, o acúmulo de água
em lajes de cobertura e marquises e a vibração excessiva em lajes de piso. Esses danos
anteriormente citados não têm relação com a segurança, porém os efeitos que eles podem
causar são de desconforto e desconfiança aos usuários.
Sendo assim, todo engenheiro deverá preocupar-se tanto em garantir a segurança
da estrutura à ruína quanto ao comportamento da estrutura em serviço, pois estes estão
2
intimamente ligados ao bom funcionamento e desempenho da edificação. Kimura (2009)
alerta que quando um estado limite de serviço (ELS) é alcançado, o uso da edificação é
inviabilizado, da mesma forma quando um estado limite último (ELU) é atingido.
1.2. Justificativa
A evolução das estruturas de concreto armado possibilitou a diminuição das
seções transversais das vigas, das espessuras das lajes. Com isso, mesmo tendo uma maior
eficiência as estruturas tornam-se mais flexíveis e tornam o problema dos deslocamentos
excessivos mais comuns. Portanto, a avaliação das estruturas em serviço torna-se
imprescindível para o bom funcionamento da edificação.
Nesse contexto, as normas vêm cada vez mais exigindo o atendimento às
verificações das peças em serviço: na fissuração, nas deformações excessivas e vibrações.
Para isso, essas normas especificam faixas de valores limites nos quais as peças deverão
atender. Para os deslocamentos de peças fletidas dois critérios poderão ser atendidos: ou a
adoção de altura mínima, ou a verificação dos deslocamentos comparados aos seus valores
limites.
Segundo Guarda (2005), no primeiro critério, se a altura de um elemento for
superior a um determinado limite, que deve ser respeitado independentemente da altura
requerida pelo dimensionamento à flexão, pode-se admitir que seus deslocamentos não
causarão danos à edificação. Alguns desses critérios de altura mínima são bastante simples,
essencialmente empíricos e baseados na experiência adquirida ao longo do tempo, para cada
tipo de elemento estrutural. Outros, propostos por estudos mais recentes, já tem abordagens
mais racionais, mas mesmo assim fornecem expressões muito complexas. Diante disso,
percebe-se a conveniência de se desenvolverem novos critérios de altura mínima, de aplicação
prática, que consigam dosar as simplificações e a necessidade de se considerarem diversos
fatores importantes para o estudo dos deslocamentos.
Já na verificação de deslocamentos comparados aos seus valores limites, pode ser
feito de diversas maneiras. Alguns métodos possuem resultados mais aproximados, pois não
levam em consideração alguns fatores que influem diretamente nos resultados finais desses
deslocamentos, já outros modelos mais refinados consideram alguns efeitos não contemplados
pelos métodos simplificados. O processo de cálculo de flechas da norma NBR 6118: 2003
3
leva em consideração apenas alguns desses fatores e com uma abordagem simplificada,
variáveis essas que serão melhores discutidas posteriormente.
Dentro dessa ótica, é necessário avaliar os métodos para obtenção de flechas
atualmente utilizados, compará-los a modelos teóricos mais realistas e a modelos
experimentais. Em seguida, devem-se ajustar os modelos simplificados e calibrá-los a
modelos mais realistas para obtenção de resultados mais satisfatórios.
1.3. Objetivos
O objetivo geral deste trabalho é apresentar a formulação da NBR 6118:2003, no
item 17.3.2.1, avaliação aproximada de flechas em vigas. Utilizando-se de uma planilha que
automatize esse processo na obtenção das flechas.
Os objetivos específicos são:
Elaborar uma planilha no Excel para que se obtenham as flechas em
vigas de forma mais rápida;
Apresentar alguns exemplos de cálculo de flechas em vigas utilizando
o modelo proposto pela NBR 6118:2003;
Utilizar o programa CONSNOU de análise não-linear para obter as
flechas pelo modelo não-linear mais refinado;
Comparar os resultados obtidos pelo método da NBR 6118:2003 e pelo
programa CONSNOU;
Analisar as possíveis causas das divergências nos resultados entre
esses dois modelos e sugerir qual medida corretiva deverá ser tomada
no sentido de adotar um resultado mais próximo do real;
Analisar as vantagens e desvantagens do modelo adotado pela NBR
6118:2003.
4
1.4. Organização do trabalho
O primeiro capítulo trata da contextualização do problema, justificativa e
objetivos.
O segundo capítulo apresenta um resumo detalhado de como obter as flechas
imediatas e diferidas no tempo em vigas de concreto armado, utilizando o método de
avaliação aproximada da NBR 6118:2003, bem como os conceitos dos efeitos que afetam os
deslocamentos como: fluência, retração, fissuração.
No terceiro capítulo, apresentaremos de forma sucinta a forma como foi elaborada
a planilha em Excel que será utilizada para obtenção de flechas em vigas de concreto armado
e também alguns exemplos de cálculo de flechas em vigas de concreto armado. Em seguida
analisaremos os deslocamentos avaliando as variáveis que os influem.
No quarto capítulo serão apresentadas as bases do programa computacional
CONSNOU, fundamentado no método dos elementos finitos, que foi empregado na análise
numérica. Ainda neste capítulo, será apresentada uma avaliação do programa computacional
através da simulação de modelos reais utilizados para validarem a precisão desse programa.
Por fim, no quinto capítulo, serão apresentadas as conclusões, algumas
considerações finais sobre as análises realizadas e sugestões para nova pesquisa.
5
2. CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
2.1 Introdução
Este capítulo aborda alguns conceitos básicos relevantes como a definição de
viga, os tipos de deslocamentos, as combinações de carregamento, apresenta também o estado
limite de serviço (ELS-DEF), os conceitos de fluência, retração, fissuração, suas influências
nos deslocamentos e os métodos simplificados para avaliação de flechas em vigas de concreto
armado.
Um conceito que devemos ter bem definido é a definição de viga. De acordo com
o item 14.4.1.1 da NBR 6118:2003, vigas são elementos lineares em que a flexão é
preponderante. Elementos lineares são aqueles em que o comprimento longitudinal supera em
pelo menos três vezes a maior dimensão da seção transversal, sendo também denominada de
barras.
Em uma estrutura que está solicitada por forças, os seus membros sofrem
deformações e deslocamentos, isto é, os pontos dentro da estrutura deslocam-se para novas
posições, com exceção dos pontos de apoios não deslocáveis. Esses deslocamentos podem ser
de translação, de rotação, ou uma combinação de ambos (GERE; WEAVER, 1987).
Em nosso estudo iremos avaliar os deslocamentos de translação. Onde, esse
deslocamento pode ser divido em deformação imediata e deformação diferida. Os
deslocamentos imediatos podem ser denominados também de iniciais e surgem logo após a
aplicação dos carregamentos. Já a deformação diferida ou deformação lenta ocorrem ao passar
do tempo, conforme ilustrado na Figura 2.1. A soma dessas duas parcelas de deslocamentos
conduz a flecha final.
Figura 2.1 - Deslocamentos de vigas sobre carregamento distribuído – Fonte: ALVA (2010).
6
2.2 Variáveis que influem nos deslocamentos
Vários são os fatores que exercem influência, em maior ou menor escala, sobre a
ordem de grandeza dos deslocamentos. Como menciona o ACI 435.2R (1966), podem ser
citados, dentre outros: o tipo, a grandeza e o histórico do carregamento; o vão e as condições
de apoio do elemento estrutural; as propriedades geométricas de sua seção transversal; as
propriedades dos materiais utilizados; a fissuração, a retração e a fluência do concreto; as
taxas de armadura de tração e de compressão e o processo de execução da estrutura. Algumas
dessas variáveis têm uma influência maior e outras uma preponderância menor. Podemos citar
fatores que afetam de maneira diretamente proporcional os deslocamentos como o vão da viga
e o carregamento. Já os que implicam em alterações de menor magnitute são a taxa de
armadura de compressão, que, na realidade interfere na retração, a alteração da largura da
viga. Algumas dessas variáveis serão abordadas a seguir.
2.2.1 Propriedades do concreto
Algumas propriedades do concreto apresentam interferência direta no cálculo de
deslocamentos de vigas em concreto armado. De acordo com a NBR 6118:2003, o módulo de
elasticidade e a taxa de armadura à tração são alguns exemplos de fatores que colaboram
diretamente para a variação nos deslocamentos. Outros fatores que podem ser citados, porém
de uma forma indireta são a resistência à compressão, a armadura de flexão, a fissuração, a
retração e a fluência. A seguir, algumas dessas variáveis serão descritas.
A. Resistência à compressão
Denominada de Fc. É a principal característica do concreto, a qual é determinada
pelo ensaio de corpos de prova submetidos à compressão centrada. Esse ensaio é
regulamentado pela NBR 12654:1992 – Controle tecnológico de materiais componentes de
7
concreto. No Brasil, utilizam-se corpos de prova (CP’s) cilíndricos, com diâmetro da base de
15 cm e altura de 30 cm e também corpos de prova com base de 10 cm e altura de 20 cm. A
resistência à compressão do concreto deve ser relacionada à idade de 28 dias (NBR
6118:2003, item 8.2.4) e será estimada a partir do ensaio de determinada quantidade de corpos
de prova.
Diversos fatores que afetam os deslocamentos nas peças de concreto armado estão
ligados ao Fck. Podemos citar o módulo de elasticidade, consequentemente a rigidez da
estrutura e a rigidez à tração, pois ao aumentar o Fck implicará em um valor mais elevado de
resistência à tração e, por conseguinte num aumento do momento de fissuração, elevando esse
fator para um valor superior. Entretanto, Guarda (2005) alerta que a diminuição dos
deslocamentos não tem a mesma proporção do aumento da resistência do concreto à
compressão, e também que, se esse aumento for obtido a partir de um consumo muito elevado
de cimento, os benefícios decorrentes da resistência mais alta podem até ser anulados pelo
crescimento da retração química.
B. Módulo de elasticidade
É uma constante da relação tensão-deformação do concreto quando esta mantiver-
se comportando-se de maneira elástico-linear. Porém o concreto comporta-se de maneira não
linear quando submetido a esforços de certa magnitude. Esse comportamento é consequência
da microfissuração progressiva que ocorre na interface entre o agregado graúdo e a pasta de
cimento. O diagrama da Figura 2.2 representa o comportamento dessa relação tensão x
deformação.
Figura 2.2 – Diagrama tensão – deformação do concreto – Fonte: NBR 6118 (2003)
8
Onde o módulo tangente Eci representa a inclinação da reta que passa pela origem
e a corta no diagrama no ponto correspondente a uma tensão da ordem de 0,5 fc, sendo fc a
resistência à compressão simples. Superando o valor de 0,5 fc passará a ser utilizado o
módulo de elasticidade secante Eci.
A determinação experimental do módulo de deformação do concreto é prevista em
norma específica, a NBR 8522: 1994: Concreto – Determinação do módulo de deformação
estática e diagrama tensão-deformação – Método de ensaio. Na falta de determinação
experimental e não existindo dados precisos sobre a resistência recomenda-se adotar a idade
do concreto a 28 dias.
Pela NBR 6118:2003, item 8.2.8, o módulo de elasticidade tangente inicial do
concreto é estimado pela expressão seguinte, com fc e Eci na unidade MPa.
(2.1)
Para verificações de peças em serviço, pode ser adotado o chamado módulo de
elasticidade secante, à compressão e à tração, multiplicando por 0,85 o módulo tangente da
equação 2.1. Esse módulo secante é adotado na maioria das estruturas como um valor
representativo para as tensões atuantes.
(2.2)
Portanto, essa variável atua de maneira diretamente proporcional nas flechas em
vigas de concreto armado. Pois, a rigidez de uma estrutura é definida pelo produto da inércia
com o módulo de elasticidade e quanto maior for esse produto, mais rígida ficará a peça e o
resultado das flechas será inversamente proporcional a esse produto.
C. Resistência à tração (fct)
É importante no estudo de deslocamentos em peças de concreto armado, onde
indica o início da fissuração. Com o aparecimento dessas fissuras há uma diminuição do valor
da rigidez e o aumento dos deslocamentos. O concreto possui resistência preponderante à
compressão, já a resistência à tração para concretos convencionais é da ordem de grandeza de
1/10 de sua capacidade a compressão.
Alguns estudos apontam a importância de considerar a resistência à tração.
Stramandinoli (2010) indica que mesmo após o início da fissuração, o concreto tracionado
9
entre fissuras tem papel importante na resistência do elemento, devido à transferência de
tensões causadas pela aderência entre aço e concreto. Este efeito é conhecido como “tension-
stiffening” ou enrijecimento à tração. Onde a formulação de Branson que será descrita
posteriormente leva de forma simplificada a consideração desse efeito.
Para a determinação dessa resistência existem três tipos de ensaios normatizados:
tração direta, compressão diametral e tração na flexão. Esses três tipos de ensaios serão
descritos logo abaixo.
I – Tração direta
Neste ensaio, considerado de referência, a resistência à tração, fct, é determinada
aplicando-se tração axial, até a ruptura, em corpos de prova de concreto simples conforme
apresentado na Figura 2.3. A seção central é retangular, medindo 9 cm por 15 cm e as
extremidades são quadradas, com 15 cm de lado.
Figura 2.3 - Ensaio de tração direta – Fonte: PINHEIRO (2007)
II – Ensaio de tração na compressão diametral
É o ensaio mais utilizado. Também é conhecido internacionalmente como ensaio
brasileiro, em virtude de ter sido desenvolvido pelo brasileiro Lobo Carneiro, em 1943. Esse
ensaio consiste na utilização de um corpo de prova com dimensões de 15 cm por 30 cm,
colocado com o eixo horizontal entre os pratos da prensa, conforme ilustrado na Figura 2.4,
sendo aplicada uma força até a sua ruptura por tração indireta, também conhecida por
fendilhamento.
10
Figura 2.4 – Ensaio de tração por compressão diametral – Fonte: PINHEIRO (2007)
O valor da resistência à tração por compressão diametral, fct,SP, encontrado neste
ensaio, é um pouco maior que o obtido no ensaio de tração direta. Este ensaio é simples de ser
executado e fornece resultados mais uniformes do que o da tração direta. Esse ensaio está
descrito na NBR 7222:1994.
III – Ensaio de tração na flexão
Para a realização desse ensaio, utiliza-se um corpo de prova de seção prismática e
o submete à flexão com carregamentos em duas seções simétricas até a ruptura, ver Figura
2.5. Esse ensaio também é conhecido por “carregamentos nos terços”, pelo fato das seções
carregadas se encontrarem nos terços dos vãos.
Os valores encontrados para a resistência à tração na flexão, fct, f, são maiores
que os encontrados nos ensaios descritos anteriormente. Esse ensaio é descrito na NBR
12142:1991.
Figura 2.5 - Ensaio de tração na flexão – Fonte: PINHEIRO (2007)
11
A NBR 6118:2003 recomenda que para a obtenção da resistência à tração direta
fct, pode ser considerada igual a 0,9 fct, SP ou 0,7 fct, f, ou na falta de ensaios para a
obtenção de fct,SP e fct,f, pode ser avaliado o seu valor médio ou característico por meio das
equações seguintes:
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Onde:
fct,m e fck são expressos em megapascal.
Sendo 7 MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 28
dias.
2.2.2 Fissuração
É uma característica do concreto, ou seja, durante a vida útil de uma estrutura e
mesmo durante sua construção, se atuar um carregamento que provoque um estágio de
fissuração a rigidez correspondente a esse estágio ocorrerá para sempre. Com a diminuição da
intensidade do carregamento, as fissuras podem até fechar, porém jamais deixarão de existir.
O grau de fissuração de uma estrutura de concreto armado dependerá do nível de
carregamento que estiver atuando na própria peça, da qualidade do concreto, da quantidade de
armadura na peça, das condições de cura, da desforma e reescoramento. As diversas fases
pelas quais passa a seção de concreto, ao longo desse carregamento, dá-se o nome de estádios.
Essas fases são divididas em três etapas: Estádio I, Estádio II e Estádio III. (PINHEIRO ,
2007) apresenta essas três fases da seguinte forma:
1) Estádio I:
12
Esta fase corresponde ao início do carregamento. As tensões normais que surgem
são de baixa magnitude e dessa forma o concreto consegue resistir às tensões de tração. Tem-
se um diagrama linear de tensões, ao longo da seção transversal da peça (Figura 2.6).
Figura 2.6 – Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio I) – Fonte: PINHEIRO (2007)
Levando-se em consideração a baixa resistência do concreto à tração, se
comparada com a resistência à compressão, percebe-se a inviabilidade de um possível
dimensionamento neste estádio.
O limite entre o estádio I e II é feito pelo cálculo do momento de fissuração, onde
esse cálculo será apresentado posteriormente. A partir do conhecimento do momento de
fissuração, é possível calcular a armadura mínima, de modo que esta seja capaz de absorver,
com adequada segurança, as tensões causadas por um momento fletor de certa magnitude.
Portanto, o estádio I termina quando a seção fissura.
2) Estádio II:
Neste nível de carregamento, o concreto não mais resistente à tração e a seção se
encontra fissurada na região de tração. A contribuição do concreto tracionado deve ser
desprezada, apesar de existir certa resistência. No entanto, a parte comprimida ainda mantém
um diagrama linear de tensões (Figura 2.7).
13
Figura 2.7 – Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio II) - Fonte: PINHEIRO (2007)
Basicamente, o estádio II serve para a verificação da peça em serviço. Como
exemplos, citam-se o estado limite de abertura de fissuras e o estado limite de deformações
excessivas, que será objeto de estudo.
Com a evolução do carregamento, as fissuras caminham no sentido da borda
comprimida, a linha neutra também e a tensão na armadura cresce, podendo atingir o
escoamento ou não.
O estádio II termina com o início da plastificação do concreto comprimido.
3) Estádio III:
No estádio III, a zona comprimida encontra-se plastificada e o concreto dessa
região está na iminência da ruptura (Figura 2.8). Admite-se que o diagrama de tensões seja da
forma parabólico-retangular, também conhecido como diagrama parábola-retângulo.
A NBR 6118:2003 permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe com um
diagrama retangular equivalente (Figura 2.9). A resultante de compressão e o braço em
relação à linha neutra devem ser aproximadamente os mesmos para os dois diagramas.
14
Figura 2.8 – Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio III) – Fonte: PINHEIRO (2007)
Figura 2.9 – Diagrama Retangular – Fonte: PINHEIRO (2007)
Deve-se ressaltar que os deslocamentos em peças de concreto armado são
inversamente proporcionais aos valores da rigidez, onde a mesma varia de acordo com o grau
de fissuração da estrutura.
Guarda (2005) alerta que ao longo de uma viga com carregamento uniformemente
distribuído, as vigas de concreto armado apresentam regiões mais fissuradas e outras
praticamente sem fissuras, onde esse agravamento se evidencia em regiões onde haja maiores
momentos fletores (Figura 2.10) que é o caso no meio de uma viga. Este comportamento pode
ser observado nas seções próximas aos apoios, onde os momentos fletores tendem a zero, não
apresentam fissuras, já na região do meio do vão, onde os valores dos momentos são mais
altos, as seções estão bastante fissuradas.
Figura 2.10 – Exemplo de distribuição das fissuras de uma viga – Fonte: GUARDA (2005)
15
Portanto, a seção onde apresenta menor rigidez é aquela localizada na posição de
uma fissura e analogamente ocorrerá um valor de rigidez maior no local onde a peça estiver
sem fissura. Diante disso, percebemos que o módulo de elasticidade varia de acordo com o
grau de fissuração da peça e torna-se necessário a avaliação cuidadosa das fissuras para se
obter de forma mais aproximada a rigidez a flexão e avaliar a magnitude de deslocamentos
nas vigas de concreto armado.
2.2.3 Retração
A retração do concreto é um fenômeno bastante comentado, mas pouco
compreendido. Diversos autores definem retração da mesma forma, como sendo uma
diminuição do volume de um elemento, provocando o surgimento de deformações e esforços
adicionais na estrutura. Sendo mais significativa em peças com grandes volumes (Figura
2.11). Essa deformação atinge 80% do seu valor logo no primeiro ano do início desse
processo.
Figura 2.11 - Retração do concreto – Fonte: KIMURA (2007)
Sua magnitude é afetada por diversos fatores, podendo-se citar os materiais
constituintes e a dosagem do concreto, o tempo, as condições ambientais de umidade e
temperatura, a geometria do elemento estrutural, a idade do concreto quando começa o
processo de secagem e a quantidade de armadura de compressão e tração.
Dos fatores anteriormente citados, três dessas variáveis combinadas levam o
concreto a retrair, podemos citar cada um deles em específico.
16
A geometria do elemento estrutural nas peças com elevada relação entre a
superfície exposta e o volume total da peça, tais como pisos, pavimentos e lajes de concreto, a
perda de água para o ambiente se dá de maneira muito rápida. Ora, se a retração do concreto
está relacionada à perda de água e se este tipo de estrutura está mais vulnerável a esta perda é
intuitivo pensar que lajes, pisos e pavimentos de concreto naturalmente sofrem mais com a
retração do concreto. As dimensões das placas de concreto cada dia maiores e a execução
cada vez mais esbeltas tornam os pisos e pavimentos extremamente suscetíveis aos efeitos da
retração do concreto.
Outro fator é o traço do concreto, uma vez que diversos fatores relacionados aos
materiais que compõem o concreto e suas combinações podem influenciar a retração do
concreto, principalmente a retração por secagem. O tipo, a granulometria e a dimensão
máxima do agregado, a relação água-cimento, a quantidade de água de amassamento e o
emprego de adições minerais e aditivos químicos são variáveis importantes que afetam
fortemente a retração do concreto. A literatura aponta que agregados com maior módulo de
deformação conduzem a um menor grau de retração. Deve-se empregar a menor quantidade
de água de amassamento possível, assim como se devem evitar agregados com excesso de
material pulverulento e argila. A distribuição granulométrica contínua reduz a retração do
concreto quando comparada com uma combinação de agregados miúdos e graúdos
inadequada.
E, por fim o terceiro fator que influi na magnitude da retração são as condições
ambientais, pois a retração do concreto está intimamente relacionada à perda de água para o
ambiente. Os principais fatores climáticos que influenciam na saída de água do concreto são a
alta temperatura, a baixa umidade do ar e a velocidade do vento que incide sobre a peça recém
concretada.
Esses fatores afetam diretamente no valor da retração. Porém, a depender de sua
causa, podem ser definidos alguns tipos de retração. São eles: a retração plástica, a retração
por carbonatação, a retração química (ou endógena) e a retração por secagem.
Depois que o concreto é lançado nas formas, a sua superfície fica sujeita à
evaporação natural da água, tanto maior quanto for a velocidade dos ventos, maior a
temperatura e menor a umidade do ambiente, como foi anteriormente citado. A consequente
perda de volume é chamada de retração plástica, por acontecer enquanto o concreto está no
estado plástico, daí o nome de retração plástica.
Outra denominação é a retração química. Ela acontece em todos os concretos
porque os produtos de hidratação do cimento têm menor volume que a soma dos volumes de
17
água e do cimento que os formam. Esse tipo de retração ocorre desde os instantes da pega e se
prolonga durante toda a hidratação, sendo mais bem intensa nos primeiros dias.
Já a retração por carbonatação é causada pela reação da pasta de cimento
hidratada com o dióxido de carbono do ar, na presença de umidade. E por último a retração
por secagem pode ser definida com o a evaporação da água não fixada quimicamente no
concreto, quando este é exposto a um ambiente com umidade relativa menor que 100%.
Guarda (2005) alerta que quando um elemento de concreto for submetido a um
processo de molhagem, a retração apresentará um certo grau de reversibilidade, como
indicado na Figura 2.12.
Figura 2.12 – Reversibilidade da retração – Fonte: MEHTA & MONTEIRO (1994)
A influência da retração nos deslocamentos se deve tanto devido ao aumento das
fissuras como também porque geralmente a armadura de tração é maior que armadura de
compressão, implica em um encurtamento devido à retração na região tracionada menor que
na região comprimida, fazendo com que surja uma curvatura adicional na mesma direção da
curvatura devida à flexão. Provocando o aumento nos deslocamentos na peça de concreto
armado.
2.2.4 Fluência
18
Para Kimura (2007), a fluência consiste no aumento das deformações no concreto,
que ocorrem ao longo do tempo de vida da estrutura, em virtude da aplicação de ações
permanentes (Figura 2.13).
Figura 2.13 - Fluência do concreto – Fonte: KIMURA (2007)
Segundo Carvalho & Filho (2007), fluência é o fenômeno em que surgem
deformações ao longo do tempo em um corpo solicitado por tensão constante.
De acordo com Pinheiro (2007), esse fenômeno pode ser definido como uma
deformação diferida, causada por uma força aplicada. Corresponde a um acréscimo de
deformação com o tempo, se a carga permanecer. Em linhas gerais, podemos definir fluência
como um aumento gradual da deformação quando submetido a uma tensão constante ao longo
do tempo.
As parcelas das deformações ocorridas por causa da fluência podem ser
caracterizadas por: deformação rápida¸ que ocorre nas primeiras 24 horas após a aplicação do
carregamento e é irreversível. A fluência é composta por uma parte reversível e outra
irreversível. Já essa parte parcialmente reversível, que se inicia ao retirar o carregamento que
originou a deformação, uma parcela dessa deformação total é restituída imediatamente, outra
parte é restituída com o tempo e o restante torna-se permanente, como pode ser visto na
Figura 2.14.
19
Figura 2.14 – Reversibilidade da fluência – Fonte: MEHTA & MONTEIRO (1994)
Essa variável tem sua magnitude ligada a diversos fatores, como podemos citar,
por exemplo: Tipo de cimento (endurecimento lento, normal ou rápido), tempo de
manutenção da carga, nível de fissuração da peça, temperatura ambiente, umidade do ar que
envolve a peça, espessura da peça e o amadurecimento do concreto na data de carregamento.
Portanto, o deslocamento provocado por esse fenômeno varia de maneira inversamente
proporcional ao fator água cimento e ao valor do módulo de elasticidade de resistência à
compressão.
Com boa parte dos fatores sendo iguais na influência das respectivas magnitudes,
retração e fluência são tratadas simultaneamente na análise das deformações, uma vez que em
estruturas reais esses dois tipos de deformações ocorrem simultaneamente é conveniente e
prático tratá-las em conjunto.
Porém, apesar de poder serem tratadas de maneira simultânea, fluência e retração
são fenômenos com bases conceituais distintas. Enquanto na retração por secagem a origem
da perda de água é a diferença de umidade entre o elemento de concreto e o meio ambiente,
na fluência, essa perda de água está associada à aplicação continuada de uma ação. Além
disso, a duração e a intensidade das ações, bem como a idade do concreto ao primeiro
carregamento, são aspectos relevantes ao estudo da fluência, mas que não influem na retração.
Em suma, a fluência propicia um acréscimo significativo das deformações do
concreto, conforme representado na Figura 2.15. A consideração desse efeito é obrigatória e
está especificado na NBR 6118:2003, onde a norma indica o processo para a obtenção e a
forma de considerar esse efeito.
20
Figura 2.15 – Acréscimo de deformação devido à fluência – Fonte: KIMURA (2007)
Já a consideração desse efeito para os deslocamentos é utilizado partindo-se de
uma combinação de carregamento quase-permanente, visto que parte da carga acidental atua
ao longo da vida útil da edificação. Em seguida, na obtenção da deformação lenta ou diferida
a NBR 6118:2003 sugere uma série de valores que variam com o tempo para em seguida
multiplicar por um parâmetro αf(que varia com m tempo de aplicação das cargas) pela flecha
imediata. A maneira de obtenção de flechas imediatas e diferidas será abordada de forma mais
detalhada adiante.
2.3 Cálculo dos deslocamentos
De acordo com as variáveis anteriormente citadas, já temos idéia dos fatores que
influem no resultado obtido para esses deslocamentos. Agora, partiremos para os métodos
recomendados para obter os deslocamentos imediatos e diferido em vigas de concreto armado.
2.3.1 Considerações iniciais
Nesta seção serão apresentadas algumas consideração para obtenção da magnitude
dos deslocamentos em vigas de concreto armado e em seguida a formulação simplificada da
NBR 6118:2003.
21
A) Seção transversal homogeneizada
A viga de concreto armado, assim como as outras estruturas de concreto armado,
comporta-se da mesma forma, com o aço e concreto trabalhando solidariamente, ou seja, para
garantir a segurança dessa peça é necessário que esses dois materiais estejam aderidos. Assim,
o centro de rotação da seção e sua rigidez são afetados pelo posicionamento da armadura, e
neste caso, deve ser feita a homogeneização da seção, que consiste em substituir a área de aço
existente na seção por uma área de concreto equivalente, onde essa relação é satisfeita
fazendo o produto da área de aço presente na viga de concreto armado (As) pelo fator αe
(Relação do módulo de elasticidade do aço pelo módulo de elasticidade do concreto).
Conforme foi comentado anteriormente, para avaliação dos deslocamentos em
vigas de concreto armado as estruturas em serviço devem se comportar nos estádios I e II.
Logo, a homogeneização da seção deverá ser avaliada nessas duas condições, uma vez que
obtemos resultados diferentes já que no estádio I não ocorre fissuração e no estádio II há
fissuras.
i) Estádio I:
Como já havíamos mencionado no estádio I o concreto resiste às tensões de
tração, uma vez que as tensões atuantes são inferiores a capacidade resistente do concreto.
Então para uma seção retangular, a posição da linha neutra e o momento de inércia são
calculados com base na Figura 2.16.
Figura 2.16 – Seção Retangular no Estádio I – Fonte: PINHEIRO (2007)
22
Como vemos na Figura 2.16 uma seção transversal retangular de concreto armado,
é composta por uma área de concreto b · h, e uma seção de concreto equivalente a do aço é
igual a As · (αe – 1). Diminui-se de -1 de αe para considerar que na posição da armadura a área
de concreto já foi computada uma vez no produto b · h.
Portanto, para calcular a posição da linha neutra x1, basta fazer MLN=0, sendo Mln
o momento estático da seção em relação à linha neutra. Para a seção retangular da Figura 2.16
tem-se:
Es = 210 GPa = 210 000 MPa ( item 8.3.5 da NBR 6118:2003)
Ec = 0,85Eci = = 4760· (Em MPa), conforme comentado na seção do
módulo de elasticidade do concreto.
Então, para cálculo da posição x1 da linha neutra resulta:
Já para a mesma seção retangular da Figura 2.16, o momento de inércia resulta:
ii) Estádio II:
Já no estádio II o concreto tracionado é desprezado, pois ele está fissurado (Figura
2.17).
Figura 2.17 – Seção Retangular no Estádio II – Fonte: PINHEIRO (2007)
23
Adotando a metodologia análoga ao do Estádio I, desprezando-se a resistência do
concreto à tração, tem-se para a seção retangular no Estádio II (Figura 2.17).
Portanto, a posição da linha neutra x2 é obtida por meio da equação:
Já para o momento de Inércia I2, temos:
B) Momento de fissuração
“Nos estados limites de serviço as estruturas trabalham parcialmente no Estádio I
e parcialmente no Estádio II. A separação entre essas duas partes é definida pelo momento de
fissuração” (Figura 2.18). Definição da NBR 6118:2003, item 17.3.
Já Vasconcelos (2005), define momento de fissuração como o momento fletor que
a seção transversal é capaz de resistir sem a colaboração das barras das armaduras, sendo
determinado pela equação (2.12), considerando as hipóteses das seções homogêneas da
Resistência dos Materiais e utilizando o método de homogeneização apresentado
anteriormente.
Figura 2.18 - Limite do momento de fissuração – Fonte: PINHEIRO (2007)
A NBR 6118:2003, item 17.3 aponta que esse momento pode ser calculado pela
seguinte expressão aproximada:
24
Onde:
α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a
resistência à tração direta:
A resistência do concreto à tração direta, fct, é obtida conforme o item 8.2.5 da
NBR 6118:2003. Para determinação de Mr, no estado limite de formação de fissura, deve ser
usado o fctk,inf e no estado limite de deformação excessiva, o fctm.
fct =
Onde:
Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
yt é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada.
Para seção retangular, resulta:
yt = h-x = x (2.14)
C) Momento de inércia efetivo
Na avaliação de flechas em vigas de concreto armado, podem ocorrer duas
situações. Na primeira temos Ma<Mr, ou seja, temos o momento fletor na seção crítica com
um valor inferior ao momento de fissuração. Nesse caso, a viga não haverá fissurado (Estádio
I) e a inércia na seção será a própria inércia da seção bruta ou a inércia no Estádio I (equação
2.8), desde que a viga esteja densamente armada.
Na segunda situação, podemos ter Ma>Mr, já nesse caso a peça de concreto
armado se encontrará no Estádio II. Nessa situação, ao longo da seção da viga essa peça
trabalhará nesses dois estádios e com isso a viga estará fissurada. Essa fissuração afetará
diretamente a inércia da viga. Desse modo, para não introduzir a variação de inércia na peça
25
de concreto armado, é necessário utilizar uma inércia equivalente que contemple tal situação
de maneira aproximada.
Branson (1968) realizou um estudo experimental em vigas retangulares e T,
submetendo-as a carregamentos uniformemente distribuídos e de curta duração. A partir desse
ensaio, o autor propôs um modelo no qual admite uma única inércia para todo elemento de
concreto, representando os trechos fissurados e não-fissurados. Esse modelo baseia-se em um
método semiprobabilístico, no qual toma a variação de tensão ao longo da seção transversal e
ao longo do comprimento de maneira simplificada, utilizando expressões empíricas que
fornecem valores médios de inércia. Dessa forma, Branson procura simular aproximadamente
o efeito da fissuração do concreto, quando submetido à flexão, no cálculo das deformações
imediatas.
Baseado nos resultados de seus ensaios e nos de outros pesquisadores, ele sugeriu
a utilização de um valor médio de momento de inércia, compreendido entre o momento de
inércia da seção não fissurada (Estádio I), e o da seção fissurada (Estádio II), chamado de
momento de inércia efetivo, dado por:
Onde:
Im: Momento de inércia efetivo para uma seção ou para toda a peça, no caso de vigas
simplesmente apoiadas; momento de inércia médio entre a seção do apoio e a seção do meio
do vão para o caso de vigas contínuas;
II : Momento de inércia da peça no estádio I ( da seção bruta ou homogeneizada);
III : Momento de inércia da peça no estádio II puro;
Mr: Momento de fissuração do concreto;
Ma: Momento atuante de serviço mais solicitada; e
m: índice de valor igual a 4, para situações em que a análise é feita em apenas uma seção da
peça, ou igual a 3, quando se faz a análise da peça ao longo de todo seu comprimento, que é a
forma recomendada pela NBR 6118:2003.
Como havíamos mencionado anteriormente, a NBR 6118:2003, item 17.3.2.1, na
avaliação aproximada da flecha imediata em vigas, foi feita uma adaptação da equação 2.15
para o cálculo da rigidez equivalente de uma viga de concreto, adotando o índice de valor 3.
Esse cálculo de rigidez equivalente em vigas de concreto armado é expresso por:
26
Onde:
Ic : Momento de inércia da seção bruta de concreto;
III : Momento de inércia da peça no estádio II puro;
Mr: Momento de fissuração do concreto, expresso pela equação 2.12, que deve ser reduzido à
metade para barras lisas;
Ma: Momento atuante de serviço mais solicitada, momento máximo no meio do vão para
vigas biapoiadas e momento no apoio para balanços; e
Ecs: Módulo de elasticidade secante de concreto, expresso pela equação 2.2.
2.3.2 Cálculo dos deslocamentos imediatos
Partindo do conceito de flecha mencionado na seção 2.1. Discutiremos com mais
detalhes os tipos de flechas que ocorrem em vigas de concreto armado. Primeiramente
discutiremos o conceito de flecha imediata. Nesse trabalho a definição de flecha imediata ou
instantânea será o máximo deslocamento que um ponto da peça sofre quando os escoramentos
são retirados ou logo após a introdução de um carregamento permanente. Esse deslocamento
imediato é função, principalmente, do tipo e da grandeza do carregamento aplicado, do nível
de fissuração, do comprimento do vão, das condições de apoio, das propriedades geométricas
da seção transversal e das propriedades dos materiais, aço e concreto.
Já Baroni (2003) define flecha imediata como o deslocamento transversal ao
longo do processo de aplicação do carregamento e depende das características físico-
geométricas da peça, inclusive tipo de carregamento.
O cálculo da flecha imediata ou instantânea para vigas de concreto armado pode
ser efetuado através da expressão padrão de elementos fletidos não fissurados, assumindo o
concreto armado como um material de comportamento elástico e linear, dada por:
27
Onde:
fi = Flecha imediata;
Ma = Momento máximo fletor no vão l;
l = Comprimento do vão
(EI)eq = Rigidez equivalente, obtida a partir da equação 2.16
α = Coeficiente que depende das condições de apoio e carregamento conforme Figura 2.19.
Figura 2.19 – Valores do coeficiente α – Fonte: MERLIN (2006)
Onde o momento máximo da seção pode ser obtido por diversos métodos de
análise estrutural. O deslocamento máximo varia sua posição de acordo com as condições de
apoio, bem como o tipo de carregamento atuante. Nesse estudo não aprofundaremos esse
assunto, uma vez que o objetivo do estudo é a análise dos deslocamentos. A determinação do
momento máximo é um valor que deverá ser conhecido.
Araújo (2004) avaliou a precisão e a validade dos métodos simplificados para
cálculo de flechas em vigas de concreto armado, comparando ao modelo não linear mais
refinado. Para tal análise, o mesmo utilizou o método bilinear do CEB, uma fórmula prática
apresentada no código modelo CEB-FIP/90 e o método da ACI adotado na NBR 6118:2003.
Durante sua análise o autor observou que para flechas imediatas todos os modelos
anteriormente citados apresentam uma boa concordância entre os resultados (Figura 2.20).
28
Figura 2.20 – Flecha imediata para as cargas quase permanentes pelos diferentes métodos – Fonte: ARAÚJO
(2004)
As pequenas diferenças verificadas entre os diversos métodos ocorrem devido às
diferentes considerações para o momento de fissuração e para o módulo de deformação
longitudinal do concreto.
2.3.3 Cálculo dos deslocamentos diferidos
Após a obtenção do deslocamento imediato da viga de concreto armado, deve ser
determinado o deslocamento diferido no tempo que leva em consideração os efeitos de
fluência e retração. Devido à influência desses dois fatores a flecha diferida tende a ter,
geralmente, valores de deslocamentos superiores aos deslocamentos instantâneos. Daí sua
importância.
Então, para a obtenção desses deslocamentos, a NBR 6118:2003 recomenda o
cálculo da flecha adicional diferida (equação 2.19), decorrente das cargas de longa duração
em função da fluência, de uma forma aproximada por meio da multiplicação da flecha
imediata pelo fator αf dado pela expressão abaixo:
29
Onde:
fd = flecha diferida;
ξ é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 2.1 ou ser
calculado pelas seguintes expressões:
Δξ = ξ(t) - ξ(t0)
ξ(t) = 0,68(0,996t)t
0,32 para t ≤ 70 meses
ξ(t) = 2 para t > 70 meses
Tabela 2.1 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo
Sendo:
t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida;
t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso de
parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes, pode-se tomar valor
para t0 o valor ponderado a seguir:
(2.21)
Onde:
ff flecha final;
Pi representa as parcelas de carga;
T0i é a idade em que se aplicou cada parcela Pi, em meses.
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1+αf ).
Tempo (t) 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40
≥
70 Meses
Coeficiente 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2
ξ(t)
30
Em outros estudos, comparando outros modelos simplificados para cálculo de
flechas em vigas de concreto armado, Araújo (2004) aproveitou os modelos utilizados para
avaliar as flechas em vigas instantâneas para verificar a precisão de cada modelo para
deformação lenta (Figura 2.21).
Figura 2.21 – Flecha total pelos diferentes métodos – Fonte: ARAÚJO (2004)
A partir da Figura 2.21, Araújo (2004) demonstra que o método da NBR
6118:2003 não reproduz satisfatoriamente os efeitos das deformações diferidas do concreto na
resposta das vigas de concreto armado. Segundo o autor, esse método subestima as flechas
das vigas pouco solicitadas, quando elas ainda se encontram no estádio I, ou no início do
estádio II. Por outro lado, o modelo da NBR 6118:2003 superestima as flechas das vigas mais
solicitadas, em um estado de fissuração mais adiantado. Logo, ele alerta para o emprego do
modelo da norma brasileira para cálculo de flechas de vigas diferidas.
2.4 Controle dos deslocamentos
Vigas e lajes deformam-se naturalmente sob ação do peso próprio, das demais
cargas permanentes e acidentais e mesmo sob efeito da retração e da deformação lenta do
concreto. Os componentes estruturais admitem flechas que podem não comprometer em nada
sua própria estética, a estabilidade e a resistência da construção. Tais flechas, entretanto,
podem ser incompatíveis com a capacidade de deformação das paredes e outros itens que
compõem os edifícios de concreto armado.
31
Como havíamos mencionado, com a evolução das construções começaram a
surgir diversas manifestações patológicas nas peças de concreto armado. A partir de então,
torna-se necessário o controle dos deslocamentos nessas estruturas. Medeiros (2005) aponta
que durante essa evolução houve um surgimento de fenômenos comuns como paredes de
vedação rompendo, trincas em alvenarias, entre outras. Portanto, para evitar esse tipo de
problema é necessário controlar esses deslocamentos dentro de limites aceitáveis.
De acordo com Guarda (2005), o objetivo do controle dos deslocamentos é se
garantir que uma estrutura ou um elemento estrutural, apesar de apresentar deslocamentos em
relação a sua posição inicial, possa atender a critérios mínimos de aceitação, tanto do ponto de
vista estrutural quanto estético. A forma que iremos utilizar no presente trabalho é a de
calcular esses deslocamentos, conforme foi apresentado anteriormente, e verificar os valores
limites para os deslocamentos.
Kimura (2009) escreve em seu artigo citando uma frase do Eng. Zamarion Diniz:
“As flechas não são calculadas e sim estimadas! Analisar uma estrutura em serviço não é uma
tarefa fácil! Nenhuma exatidão pode ser cobrada das formulações atuais, por mais refinadas
que sejam”. Entretanto, o autor alerta que essa premissa é equivocada e busca incentivar aos
projetistas estruturais que busquem uma análise mais refinada, pois muitas patologias surgem
em estruturas de concreto armado devido a aproximações grosseiras.
Com as manifestações patológicas tornando-se cada vez mais comuns em peças de
concreto armado e mesmo alguns autores advertindo que é impossível obter o valor preciso
desses deslocamentos, ressaltamos que quão mais aproximado obtivermos esses valores e
tivermos os cuidados para que esses deslocamentos estejam dentro desses limites aceitáveis,
mais rápido propiciaremos a atenuação dessas patologias. Portanto, será utilizado nesse
trabalho o critério de aceitação dos deslocamentos propostos pela NBR 6118:2003, item 13.3.
2.4.1. Metodologia do controle de deslocamentos
Em função dos efeitos que esses deslocamentos podem causar nas edificações, a
NBR 6118:2003 dividiu a avaliação dos deslocamentos em quatro grupos: aceitabilidade
sensorial, efeitos específicos, efeitos em elementos não estruturais e efeitos em elementos
estruturais. Esses valores limites, que serão em seguida descritos (tabela 2.1), são valores
32
práticos utilizados para a verificação de serviço do estado limite de deformações e tem
conduzido a resultados satisfatórios.
A) Aceitabilidade sensorial: Estão relacionados ao conforto dos usuários, onde nesse
grupo os limites são baseados nos efeitos visuais desconfortáveis aos usuários e a
vibrações excessivas. Pois, esse desconforto sentido pelos usuários gera desconfiança
dos mesmos para com a segurança da estrutura, mesmo quando não existe esse tipo de
risco.
B) Efeitos específicos: São efeitos que possam impedir a utilização adequada da
construção. Podemos citar alguns exemplos como: drenagem de superfícies que
deveriam permanecer horizontais (inversão da inclinação da drenagem prevista de
coberturas e varandas), superfícies que devem permanecer horizontais (ginásios, pistas
de boliche).
C) Efeitos em elementos não estruturais: São deslocamentos estruturais que podem
ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar de não fazerem parte da
estrutura, estão a ela ligados. Exemplo disso é o deslocamento excessivo de uma viga,
prejudicando o funcionamento de janelas (Figura 2.22).
Figura 2.22 – Dano em elementos não estruturais – Fonte: KIMURA (2007)
D) Efeitos em elementos estruturais: Os efeitos em elementos estruturais, causados por
deslocamentos excessivos, podem ser bastante significativos, principalmente quando
as hipóteses de cálculo adotadas e o comportamento previsto podem ser modificados.
Nesses casos, é necessário se incorporar os deslocamentos ao modelo utilizado para a
determinação dos esforços na estrutura.
Após a apresentação das 4 classes, segue a tabela 2.2 da NBR 6118:2003 que sugere
os valores limites de deslocamentos em função do tipo de efeito que deseja ser avaliado.
33
Tabela 2.2 – Limites para deslocamento – Fonte NBR 6118:2003
Tipo de
Efeito
Razão da
limitação
Exemplo Deslocamento a
Considerar
Deslocamento
Limite
Aceitabilidade
sensorial
Visual Deslocamentos visíveis
em elementos estruturais
Total l/250
Outro Vibrações sentidas no
piso
Devido a cargas
acidentais
l/350
Efeitos estruturais
em serviço
Superfícies que
devem drenar
água
Coberturas e varandas Total l/2501)
Pavimentos que
devem
permanecer
planos
Ginásios e pistas de
boliche
Total l/350+
Contraflecha2)
Ocorrido após a
construção
l/600
Elementos que
suportam
equipamentos
sensíveis
Laboratórios Ocorrido após
nivelamento do
equipamento
De acordo com
recomendação do
fabricante do
equipamento
Efeitos em
elementos não
estruturais
Paredes Alvenaria, caixilhos e
revestimentos
Após a construção
da parede
l/500 3)
ou 10mm
ou θ=0,0017 rad4)
Divisórias leves e
caixilhos de telescópios
Ocorrido após a
instalação da
divisória
l/250 3)
ou 25mm
Movimento lateral de
edifícios
Provocado pela
ação do vento para
combinação
freqüente (ψ1=0,30)
H1700 ou Hi/8505)
entre pavimentos6)
Movimentos térmicos
verticais
Provocado por
diferença de
temperatura
l/4007)
ou 15mm
Forros Movimentos térmicos
horizontais
Provocado por
diferença de
temperatura
Hi/500
Revestimentos colados Ocorrido após a
construção do forro
l/350
Revestimentos
pendurados ou com juntas
Deslocamento
ocorrido após a
construção do forro
l/175
Pontes rolantes Desalinhamento de trilhos Deslocamento
provocado pelas
ações decorrentes
de frenação
H/400
Efeitos em
elementos
estruturais
Afastamento em
relação às
hipóteses de
cálculo adotadas
Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus
efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser
considerados, incorporando-as ao modelo estrutural adotado.
34
Tabela 2.2 – Limites para deslocamento – Fonte NBR 6118:2003 - Continuação
1) As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto
compensado por contraflechas, de modo a não se ter acúmulo de água.
2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de
contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um
desvio do plano maior que l/350.
3) O vão l deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve.
4) Rotação nos elementos que suportam paredes.
5) H é a altura total do edifício e Hi o desnível entre dois pavimentos vizinhos.
6) Esse limite aplica-se ao deslocamento lateral entre dois pavimentos consecutivos
devido à atuação de ações horizontais. Não devem ser incluídos os deslocamentos
devido às deformações axiais nos pilares. O limite também se aplica para o
deslocamento vertical das extremidades de lintéis conectados a duas paredes de
contraventamento, quando Hi representa o comprimento do lintel.
7) O valor l refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno.
NOTAS:
1 Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão l suportados
em ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de
balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do
balanço.
2 Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o
valor l é o menor vão, exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde
interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse
valor a duas vezes o vão menor.
3 O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações
características ponderadas pelos coeficientes definidos na seção 2.5.1.
4 Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas
35
2.4.2. Adoção de medidas para o controle de deslocamentos excessivos
Para não ter uma estrutura que não atenda as condições em serviço. As flechas em
vigas de concreto armado devem atender os limites fornecidos na tabela 2.2. No caso desses
valores superarem os limites aceitáveis recomenda-se a adoção de contraflechas. Nessa seção
apontaremos os principais problemas ocasionados por deformações excessivas e as medidas a
serem adotadas para minimizar esses deslocamentos. Onde contraflecha é o deslocamento
vertical intencional aplicado durante a montagem das escoras, ou seja, no sentido contrário ao
da flecha.
Medeiros (2005) aponta que as patologias provenientes de deformações
excessivas, são ocasionadas tanto por deformações lentas quanto as deformações imediatas.
Esses efeitos são uma preocupação de todas construtoras hoje. Em seu texto a autora adverte
que os edifícios de hoje são mais altos e esbeltos, a concepção privilegia grandes vãos, onde
para atender essas necessidades do mercado as estruturas tornaram-se mais vulneráveis as
deformções. Nesse texto são mostradas também algumas medidas nas quais as construtoras
tentam minimizar esse tipo de problema, adotando como solução o aumento no tempo de
escoramento e a utilização do transporte manual do concreto, porém a autora alerta que de
nada servirá esses cuidados na obra se uma análise apurada e detalhada durante o projeto
estrutural não for analisada cuidadosamente.
A primeira medida adotada para atenuar os deslocamentos excessivos é de adotar
uma contraflecha que pode ser estimada pela expressão proposta por Pinheiro (2007),
lembrando que o valor da contra flecha não poderá ser superior a relação l/350 (Tabela 2.2):
Onde:
ac = contraflecha;
ai = flecha imediata obtida na equação 2.17;
af = flecha diferida obtida na equação 2.19.
Outras medidas a serem adotadas são: o aumento da altura e largura das vigas,
desde que a arquitetura permita essa alteração; aumento da armadura de tração dimensionada
no ELU; utilização de armadura de compressão, utilizar concretos com resistências maiores e
aumentar o tempo de escoramento dessas estruturas, aumentando assim o tempo de aplicação
36
inicial das cargas. Ressaltamos também a importância da realização de uma cura adequada
para minimizar os efeitos de fluência e retração.
2.5 Considerações de ações
Apresentamos as formulações simplificadas para avaliação de flechas em vigas, os
fatores que afetam os deslocamentos e as medidas tomadas para atenuar esses efeitos. Na
presente seção, será demonstrada a combinação das ações em serviço para que as peças de
concreto armado sejam avaliados.
2.5.1 Classificações das ações
As ações atuantes na construção são classificadas, segundo a NBR 8681:2003,
em: permanentes(g), variáveis(q) e excepcionais.
As ações permanentes são aquelas que ocorrem com valores praticamente
constantes durante toda a vida da construção. Segundo Kimura (2007), ações permanentes são
aquelas que acompanham a utilização do edifício desde o início ao fim, ou seja, são aquelas
ações que “entram e ficam para sempre”. Os exemplos desse tipo de ação é o peso próprio da
estrutura, peso de elementos construtivos (alvenarias, revestimentos, etc.) e os empuxos
permanentes.
Já as ações excepcionais, são as que têm duração extremamente curta e muito
baixa probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, tais como, ações decorrentes
de explosões e abalos sísmicos . E por fim, as ações variáveis são as que apresentam variações
significativas durante a vida de construção. Definidas também por Kimura (2007), as ações
variáveis atuam somente durante um período de vida do edifício, ou seja, elas entram e depois
saem. Os exemplos que podemos citar são: cargas acidentais de uso, vento, ações dinâmicas,
água e variações de temperatura.
Guarda (2005) alerta que, em alguns casos, as ações variáveis de construção
exercem influência significativa para os deslocamentos finais, devendo ser consideradas. Isso
37
se deve a dois fatores principais. O primeiro é a própria ordem de grandeza dessas ações, que
podem atingir valores de até o dobro das ações permanentes. O segundo ponto é da ocorrência
da fissuração prematura, proveniente de ações provocadas a pequenas idades, quando os
valores do módulo de elasticidade e da resistência à tração ainda estão baixos. Além do
aumento dos deslocamentos iniciais, as ações de construção podem influir nos deslocamentos
ao longo do tempo, provocados pela fluência, que depende da idade do concreto quando do
primeiro carregamento.
2.5.2 Combinações de ações
A NBR 6118:2003, item 11.8.3.1 “Classificação”, as combinações de serviço em
três tipos: quase permanentes, frequentes e raras. Em estruturas de concreto armado, as
combinações de serviço mais utilizadas são a “quase permanente” e a “frequente”. A primeira
é empregada para avaliar o estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF). Já a segunda
utiliza-se para averiguar os estados limites de formação de fissuras (ELS-F), abertura de
fissuras (ELS-W) e vibrações excessivas.
Como o objeto de estudo nesse trabalho é de analisar as flechas em vigas de
concreto armado, apresentaremos a combinação de carregamento utilizada para esse fim, que
conforme foi citado anteriormente é a combinação quase permanente.
A formulação dessa combinação é determinada pelo somatório das cargas
permanentes e o somatório das cargas acidentais pelo produto com o fator redutor. Essa
formulação segue apresentada abaixo:
Onde:
Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço;
Ψ2 é o fator de redução de combinação quase permanente para ELS.
Os valores dos coeficientes redutores das ações variáveis são fornecidos na tabela 2.3.
38
Tabela 2.3 – Valores de ψ1 e ψ2 – Fonte:NBR 6118:2003.
Ações ψ1 ψ2
Cargas acidentais de
edifícios
Locais em que não há predominância de pesos de
equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, nem de elevadas concentrações
de pessoas.
0,4 0,3
Locais em que há predominância de pesos de
equipamentos que permanecem fixos por longos
períodos de tempo, nem de elevadas concentrações
de pessoas.
0,6 0,4
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens. 0,7 0,6
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral. 0,3 0
Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à
média anual local.
0,5 0,3
2.6 Considerações finais
Conforme foi apresentado neste capítulo, diversas variáveis influem no resultado
das flechas em vigas de concreto armado. O que conduz esses cálculos a valores aproximados
daqueles que de fato ocorrem.
Alguns desses fatores, por serem determinados no cálculo de forma aproximada
implicam em resultados finais aproximados. As considerações de fluência, retração, nível de
fissuração, são exemplos dessas estimativas. Podemos citar também, as interferências devido
ao processo construtivo, como retirada de escoramento de forma prematura, submetendo a
viga ao carregamento antes do previsto, onde a mesma não atingiu o módulo de elasticidade
definido em cálculo e consequentemente afetando o grau de fissuração da peça. Outro fator
que afeta diretamente o resultado final é o processo de cura dessa peça, pois não realizando
esse processo de modo adequado, influirá na retração. A análise de flechas em vigas de
concreto armado por meio de processos simplificados é um fator anterior ao processo
construtivo e quão distante esse valor estiver do real contribuirá para comportamentos
diferentes do esperado. Alguns exemplos dessas aproximações é a obtenção do momento de
inércia efetivo para simular a fissuração e obtenção dos resultados de deformação lenta a
partir da multiplicação de um coeficiente variável com o tempo que visa simular os efeitos da
retração e fluência.
39
Com todos esses aspectos, torna-se imprescindível o papel do projetista de ter os
cuidados necessários a obediências dos critérios pré-estabelecidos, que apesar de conduzirem
a estimativas aproximadas propicia o atendimento às peças de concreto armado em serviço.
40
3. ANÁLISE DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO
3.1 Introdução
Neste capítulo serão apresentado alguns exemplos de cálculo de flechas em vigas
de concreto armado, bem como uma planilha em Excel que serviu de base para a obtenção
desse cálculo de forma rápida. Essa planilha além de auxiliar no cálculo serviu para avaliar
algumas variáveis que influem nos deslocamentos em vigas de concreto armado. Como
podemos citar a influência do carregamento, da parcela de carga permanente e acidental na
viga, do tempo de aplicação do carregamento, das propriedades geométricas, armadura de
compressão, vão, fck e das condições de apoio da viga.
Essas comparações serão apresentadas posteriormente por meio de gráficos, onde
em cada uma dessas análises serão discutidas com detalhes a relevância e influência de
maneira direta ou inversamente proporcional que esses fatores possam propiciar aos
deslocamentos. Por tanto, é um estudo de grande significado pois servirá como alternativa
para o controle dos deslocamentos, uma vez que o projetista ao verificar o deslocamento da
viga de concreto armado saberá qual alternativa mais conveniente deverá tomar.
3.2 Cálculo de flechas em vigas de concreto armado
Na presente seção serão apresentados dois exemplos de cálculo de flechas em
vigas de concreto armado, onde a mesma será obtida seguindo as recomendações da NBR
6118: 2003 item 17.3.2.1 “Avaliação aproximada de flechas em vigas de concreto armado”.
Onde utilizaremos as equações apresentadas do capítulo 2.
3.2.1 Exemplo 1
41
Avaliar a deformação em uma viga bi-apoiada de um edifício comercial, com um
vão de cálculo de 5 metros e submetida à cargas permanentes uniformemente distribuídas de
16,25 kN/m e de acidentais de 4,0 kN/m. Sendo o uso em edifícios de escritórios. A classe de
agressividade ambiental adotada é: CAA I.
* Dados do problema:
Classe do concreto: C-20
Categoria do aço CA-50
bw = 17 cm
h = 45 cm
Cobrimento adotado: 25 mm
Diâmetro do estribo (ϕt): 5 mm
Agregado graúdo : brita 1 → dmáx = 19mm.
* 1o passo: Calcular o momento para o ELU
Md = Mk · γf = (Mgk + Mqk) γf
Md = 63,28 · 1,4 = 88,6 kNm = 8860 kNcm
* 2o passo: Dimensionamento no ELU
Resistência de cálculo do aço fyd = fyk / 1,15
Resistência de cálculo do concreto fcd = fck / 1,4
Estimando d2 = d” = 5 cm
d = h – d2 = 45 – 5 = 40 cm
A expressão que fornece a altura da linha neutra é:
42
Linha neutra: x = 15,96 cm → A deformação está no domínio 3
Pois 0,259d = 10,36 cm e 0,628d = 25,12 cm são os limites dos domínios 2 e 3.
→ Adotando – se 5 ϕ 12,5 (As = 6,25 cm2). As suplementar = 6,25 – 6,06 = 0,19 cm2
* 3o passo: Disposição das barras : 3 barras na 1
a camada + 2 barras na 2
a camada.
Sendo:
eh = 1,2 dmáx = 1,2 · 1,9 = 2,28 cm
ev = 2cm
ϕt = 0,5 cm
ϕL = 1,25 cm, tem-se:
y1 = c + ϕt +
= 2,5 + 0,5 + (1,25/2) = 3,625 cm e
y2 = y1 + ev + ϕL = 3,625 + 2 + 1,25 = 6,875 cm
e
d = h – d2 = 45 – 4,925 = 40,075 cm
* 4º: Cálculo do momento de serviço
O momento em serviço é então, conforme a tabela 2.2 para uso de edifícios como
escritórios, com fator ψ2 = 0,4 ( Quase-permanente):
Mk,ser = Mgk + ψ2Mqk →
43
* 5º passo: Taxa de armadura
* 6º passo: Relação dos módulos do aço e do concreto:
* 7º passo: Linha neutra em serviço ( Estádio II)
* 8º passo: Cálculo da Inércia no Estádio II
* 9º passo: Resistência à tração do concreto
* 10º passo:Inércia da seção bruta
* 11º passo: Momento de fissuração
44
Com α = 1,5 para a seção retangular
* 12º passo: Inércia equivalente
* 13º passo: Flecha imediata
Como Mr < Mk,ser a flecha no Estádio II puro pode ser obtida da seguinte maneira:
Carga total: p = g + ψ2*q = 16,25 + 0,4 · 4 = 0,1785 kN/cm
* 14º passo: Flecha Diferida
fd = fi · = 1,653 cm
* 15º passo: Flecha total
* 16º passo: Aceitabilidade dos deslocamentos
45
Conforme apresentado na tabela 2.1, recomenda-se verificar a flecha da viga de
concreto armado para seu deslocamento admissível. Nesse exemplo avalia-se a aceitabilidade
sensorial total. Onde para obter o deslocamento limite deve-se fazer a razão do vão por 250.
Portanto o deslocamento limite é l/250 = 500/250 = 2cm.
Como a viga de concreto armado obteve uma flecha total de magnitude 2,785 cm
implica dizer que a peça não atende ao limite sensorial. A solução necessária será a de alterar
alguma das características da peça como vão, tempo de aplicação de cargas, por exemplo, ou
de adotar uma contraflecha. Nesse exemplo utilizaremos a contraflecha para compensar esses
deslocamentos acima dos limites aceitáveis.
A partir da equação 2.22, temos:
Porém, como já havíamos apresentado anteriormente a contraflecha não poderá
superar a relação de l/350. Isso denota que a contraflecha máxima a ser adotada é de:
500/350 = 1,429 cm.
Logo aplicaremos uma contraflecha de 1cm ( Inteiro inferior mais próximo a
contraflecha máxima determinada).
3.2.2 Exemplo 2
Dando continuidade a exemplicação do cálculo de flechas em vigas de concreto
armado, nesse exemplo iremos verificar os deslocamentos em uma viga pertencente a um
edifício comercial com seções de 15 x 40cm, biapoiada submetida a um carregamento
uniformemente distribuído.
* Dados do problema:
Classe de agressividade ambiental: I (ambiente interno seco)
Concreto: Classe C20
Aço para armaduras longitudinais: CA-50
46
Armadura Longitudinal: 3 ϕ 16
Cobrimento: 2,0 cm
Altura útil: d=36,7 cm
Ações atuantes na viga:
Permanentes : gk = 14 kN/m
Acidentais : qk = 5 kN/m
Coeficiente de ponderação das ações (ELS)
Fator de redução de combinação quase – permanente (ψ2): 0,4
Idade do concreto no início da aplicação das ações:
Ações permanentes: t0 = 28 dias
Ações variáveis: t0 = 28 dias
Idade do concreto para a verificação dos deslocamentos
t ≥ 70 meses
Nesse exemplo já estimamos a armadura, bem como sua altura útil, então em
relação ao exemplo anterior, iniciaremos nosso cálculo a partir da combinação de peça em
serviço.
1º passo: Cálculo do momento em serviço
P = gk + ψ2q = 14 + 0,4 · 5 = 16 kN/m
Ma = (P · Lviga2)/8 = (16 · 4,8
2) / 8 = 46,08 kNm = 4608 kNcm
2º passo: Cálculo da taxa de armadura
* 3º passo: Relação dos módulos do aço e do concreto:
* 4º passo: Cálculo da linha neutra em serviço (Estádio II):
47
* 5º passo: Cálculo da inércia no Estádio II:
* 6º passo: Resistência à tração do concreto
* 7º passo: Inércia da seção bruta
* 8º passo: Momento de fissuração
* 9º passo: Inércia equivalente
* 10º passo: Cálculo da flecha imediata
* 11º passo: Flecha Diferida
48
t0 = 28 dias = 28/30 = 0,933 meses
t ≥ 70 meses
fd = 1,15 · 1,337 = 1,538 cm
* 12º passo: Flecha Final
* 13º passo: Aceitabilidade dos deslocamentos
Na viga analisada, iremos verificar o limite para danos em elementos não
estruturais, onde avaliaremos o deslocamento admissível sobre alvenarias. Para isso, o
deslocamento vertical ocorrido após a construção da parede é limitado a l/500. Então o
deslocamento limite para essa análise é de 480/500 = 0,96 cm. Então a viga não será aceita,
uma vez que o deslocamento final da peça é de 2,688 e está acima do limite avaliado o que
poderá provocar danos nesse elemento não estrutural. Como medida de solução, sugere-se
aumentar a altura da viga, especificar um fck maior para o concreto, adotar uma armadura de
compressão que colabore para a diminuição desse deslocamento ou adotar contraflecha.
Para adoção de contraflecha utilizaremos novamente a equação 2.22 e
verificaremos o valor da contraflecha máxima determinada pela NBR 6118:2003, onde
alertamos que prevalece o limite da contraflecha recomendado pela norma.
Pela equação 2.22, temos:
cf = fi + fd/2 = 1,15 + 1,1538/2 = 1,919.
Limite máximo para adoção de contraflecha = l/350 = 1,371 cm.
Por tanto a contraflecha adotada será de 1 cm.
49
3.3 Cálculo de flechas em vigas de concreto armado utilizando o Excel
3.3.1 Introdução
Vimos que os cálculos de flechas em vigas apesar de ser um método simplificado
é um processo complicado por reunir diversas variáveis que influem nesses resultados. Para
auxiliar o cálculo das flechas em vigas, elaborou-se uma planilha em Excel que automatizou
esse processo. Esse programa é uma excelente ferramenta, por abranger diversas necessidades
como operações financeiras, trigonométricas, elaboração de gráficos, etc. Dentro desse
programa pode ser elaborado programas de cálculo para diversas finalidades e ainda tem a
vantagem de ser mais simples se comparado a outros programas de desenvolvimento de
cálculos em linguagens Java, Delphi e c++ por exemplo.
3.3.2 Cálculo de flechas em vigas de concreto armado utilizando o Excel
Apresentaremos nessa seção as bases da elaboração do programa de cálculo de
flechas em vigas de concreto armado em Excel e o cálculo de flechas em vigas de concreto
armado utilizando o Excel. Para que possamos validar nossa planilha, para isso utilizaremos
como exemplos o cálculo das vigas apresentadas nos exemplos 1 e 2.
Não será informada cada equação inserida nas células, uma vez que essas
equações foram apresentadas ao longo do presente trabalho. A idéia inicial surgiu para se
obter a rigidez equivalente de Branson e em seguida obter os deslocamentos nas vigas. Essa
planilha foi dividida em duas guias, uma que denominamos de dados e resultados e a outra de
cálculo. Essa divisão foi necessária para agrupar em uma guia a entrada de dados e os
resultados obtidos e a outra para reunir os cálculos necessários para a obtenção de flecha,
onde o objetivo dessa divisão foi facilitar a visualização desses resultados e concentrar na
mesma planilha os resultados e na outra guia os cálculos realizados. Ressaltamos que a
planilha contempla o cálculo de deslocamentos em viga para qualquer tipo de carregamento,
bem como o tipo de apoio (Figura 2.19).
50
Tabela 3.1 – Exemplo da guia de cálculo da planilha em Excel.
valores limites
x / d limite – kx 0,075 linha neutra limite - x (m) 0,03 momento limite - ML (MNm) 0,0138 armadura limite - AL (m
2) 0,0001
taxa limite de armadura - (%) 0,15%
características da seção
armadura a flexão
base - bw (m) 0,17
par A 0,6606
altura - h (m) 0,45
par B -0,6618
centro arm. inf - a (m) 0,04925
par C 0,0991
centro arm. sup - a' (m) 0,00
linha neutra - x (m) 0,1832
braço - d (m) 0,40
braço - z (m) 0,3275
inercia - Ic (m4) 0,00129094
armadura - As (cm
2) 6,96
vão (m) 3,00
momento arm. dupla (KNm) 13,7820
características dos materiais
armadura mínima
concreto - fck (MPa) 20,00 concreto - fcd (MPa) 14,29
modulo resistente - Wo (m3) 0,0057
concreto - fct,m (MPa) 2,21
m p/ arm. mín. - Md,mín (MNm) 0,0132
concreto - fctk,sup (MPa) 2,87
par A 0,6606
concreto - Eci (MPa) 25.043,96
par B -0,6618
concreto - Ecs (MPa) 21.287,37
par C 0,0132
aço - Es (MPa) 210.000,00
linha neutra - x (m) 0,0203
braço - z (m) 0,3926
momentos
arm. mín. p/ Md,mín - (cm2) 0,7727
taxa de arm. mín da norma - 0,0015
momento em serviço (MNm) 0,05878
fletor seção - Ma (MNm) 0,07078
arm. mín. da norma - (cm2) 1,1475
mom. de fiss. - Mr (MNm) 0,019023
arm. mín. adotada - (cm2) 1,1475
taxa de arm. mín - (%) 0,150%
inércia domínio II
fator de flecha diferida no tempo
aço tração - As (m²) 0,000717
taxa de arm. compressão - r' (%) 0,0000
aço compressão - A's (m²) 0
tempo aplicação - t0 (meses) 0,5
taxa de armadura - r (%) 1,05
tempo de cálculo - t (meses) 70
linha neutra - x (m) 0,1456
coeficiente t0 - x(t0) 0,5436
armadura dupla - III (m4) 0,00063507
coeficiente t - x(t) 2,0000
coeficiente de flecha - af 1,4564
rigidez equivalente
controle dos deslocamentos
rigidez eq - (EI)eq (MNm2) 13,99
aceitabilidade sensorial total 250
rigidez bruta - (EI) (MNm2) 27,48
aceitabilidade sensorial acidental 350
efeito estrutural total 250
efeito estrutural após a construçao 600
elemento não estrutural parede 500
elemento não estrutural forro 500
balanço 125
51
Na guia cálculo subdividimos os cálculos em seções (Figura 3.1): valores limites,
características da seção, características dos materiais, momentos, inércia domínio II, rigidez
equivalente, armadura a flexão, armadura mínima, fator de flecha diferida no tempo e controle
dos deslocamentos.
Reunimos a partir das equações apresentadas ao longo desse trabalho numa única
planilha e com isso aceleramos o processo de obtenção das flechas. Os resultados obtidos são
apresentados na guia dados e resultados, que será apresentada posteriormente, bem como será
explicado como é dado sua entrada de dados.
Na guia dados e resultados, formatamos de modo a permitir que as únicas células
que podem ser modificadas são as de entrada de dados. Em seguida serão apresentados dois
exemplos para validar e exemplificar o processo de entrada de dados na planinha.
Para validarmos essa planilha, devemos comparar ao método apresentado no
exemplo 1 da seção 3.2.1.
Primeiramente devemos definir as propriedades geométricas da viga, onde
intitulamos de características da viga. Em cada entrada de dados foi implementado
comentários (tabela 3.2) para facilitar a utilização do usuário, bem como minimizar erros por
entrada de dados.
Retomando o exemplo 1, apresentaremos um processo passo a passo de entrada de
dados e obtenção de dados para a verificação da viga em serviço utilizando a ferramenta
Excel, onde abaixo de cada entrada de dados apresentaremos os comentários inseridos na
planilha.
Tabela 3.2 – Exemplo da guia dados e resultados em excel
CÁLCULO DE FLECHAS EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO- NB6118-2003
DADOS DE ENTRADA
CARACTERÍSTICAS DA VIGA
BASE - bw (cm) 17
ALTURA - h (cm) 45
CG ARM. INFERIOR - a (cm) 4,925
CG ARM. SUPERIOR - a' (cm) 0
x / d LIMITE - kx 0,075
VÃO DA VIGA (m) 5,00
CARACTERÍSTICAS DO CONCRETO
fck (MPa) 20
Ecs (MPa) 21.287,37
52
αe 9,87
ESFORÇOS SOLICITANTES
Mk (ELU) (KNm) 63,28
Mk (ELS) (KNm) 55,78
Mkg (KNm) 50,78
Mkq (KNm) 12,50
ψ2 0,40
RESULTADOS OBTIDOS
ARMADURAS
x / d 0,397
DOMÍNIO ELU DOMÍNIO 3
As (cm2) 6,045
As SUPLEMENTAR - (cm2) 0,205
As' (cm2) 0,000
TAXA DE ARMADURA - r (%) 0,917
MOMENTOS
Mmáx FISSURAÇÃO (KNm) 19,02
Mmáx ARM. DUPLA (KNm) 13,782
RIGIDEZ
RIGIDEZ EQ (EI)eq (MNm2) 12,84
RIGIDEZ BRUTA (EI) (MNm2) 27,48
RAZÃO (EI)eq / (EI) 0,4671
FATOR PARA FLECHA DIFERIDA NO TEMPO
CARGA - t0 (meses) 0,5
TEMPO DE CÁLCULO - t (meses) 70
α ( COEF. DAS COND DE
CARREGAMENTO) 5/48
FATOR - αf 1,46
CÁLCULO DE FLECHAS EM VIGAS
FLECHA IMEDIATA ACIDENTAL (cm) 0,101
FLECHA IMEDIATA PERMANENTE (cm) 1,030
FLECHA IMEDIATA TOTAL (cm) 1,132
FLECHA DIFERIDA (cm) 1,648
FLECHA FINAL (cm) 2,780
VALOR DA LIMITAÇÃO 250
FLECHA ADMISSÍVEL (cm) 2,00
ACEITABILIDADE DO DESLOCAMENTO NÃO
ACEITO
53
1º passo: Definir a base da viga.
BASE - bw (cm) 17
Comentário: Entrar com o valor da base da viga em cm.
2º passo: Definir a altura da viga.
ALTURA - h (cm) 45
Comentário: Entrar com o valor da altura da viga em cm.
3º passo: Definir o CG da armadura inferior.
CG ARM. INFERIOR - a (cm) 4,925
Comentário: Obtém esse valor somando o cobrimento+bitola do estribo+CG da armadura.
4º passo: Definir o CG da armadura superior.
CG ARM. SUPERIOR - a' (cm) 0
Comentário: Obtém esse valor de maneira análoga da armadura inferior.
5º passo: Definir o limite da profundidade da linha neutra.
x / d LIMITE – kx 0,075
6º passo: Definir o vão teórico da viga.
VÃO DA VIGA (m) 5,00
Comentário: Vão teórico da viga em m.
Até o 6º passo é onde está a seção de características da viga, onde essa etapa é de
enorme importância, pois definirá com qual geometria e para que vão será analisado a peça de
concreto armado. Na próxima seção serão apresentados as características do concreto.
7º passo: Definir a resistência característica do concreto.
fck (MPa) 20
Comentário: Entrar com a resistência característica do concreto em Mpa.
Dados obtidos nessa seção:
Ecs (MPa) 21.287,37
αe 9,87
54
Nessa seção obtemos o módulo de elasticidade secante do concreto (equação 2.2)
e o fator de homogeneização da seção transversal.
O próximo grupo será o dos esforços solicitantes da viga de concreto armado.
Ressaltamos que os esforços solicitantes foram definidos como entrada de dados, haja vista
que o objeto de estudo do presente trabalho é avaliar os deslocamentos em vigas de concreto
armado, portanto, para a obtenção de momentos fletores máximos ao longo do trecho de uma
viga, recomenda-se utilizar modelos adequados de análise estrutural ou de programas que
auxiliem na obtenção desses resultados.
8º passo: Definir o momento característico permanente.
Mkg (KNm) 50,78
Comentário: Entrar com o momento característico permanente (KNm).
9º passo: Definir o momento característico acidental.
Mkq (KNm) 12,50
Comentário: Entrar com o momento característico acidental (KNm).
10º passo: Definir o fator de redução de combinação quase permanente ELS (ψ2).
ψ2 0,40
Comentário: Obtido da tabela 11.2 da NBR 6118:2003.
Dados obtidos nessa seção:
Mk (ELU) (KNm) 63,28
Mk (ELS) (KNm) 55,78
Nesta seção traremos o dimensionamento aproximado para a seção. A planilha
combina o momento característico no ELU com as propriedades geométricas definidas e
sugere uma armadura para a viga analisada. Porém cabe ao usuário aceitar ou modificar essa
armadura, para isso elaboramos uma célula para introduzir o As suplementar ao
dimensionado.
Dados obtidos nessa seção:
x / d 0,397
DOMÍNIO ELU DOMÍNIO 3
As (cm2) 6,045
55
Conforme ilustrado, a planilha dimensiona a viga, definindo em qual domínio de
dimensionamento a viga se encontra para em seguida definir qual As necessário para a peça.
11º passo: Definir o As suplementar ao proposto pela planilha.
As SUPLEMENTAR - (cm2) 0,205
Comentário: Obtém esse resultado subtraindo o As adotado - As sugerido.
No exemplo 1, adotamos uma configuração de armadura de 6 ϕ 12,5 que leva a
um As de 6,25 cm2. Como a planilha dimensionou a viga com um As de 6,045 cm
2, torna-se
necessário complementar o As na célula de As suplementar. No exemplo em questão o valor
suplementar é de 0,205 cm2.
12º passo: Definir o As da armadura de compressão.
As' (cm2) 0,000
Comentário: As de armadura de compressão.
Dados obtidos nessa seção:
TAXA DE ARMADURA - ρ (%) 0,917
Taxa de armadura.
Na próxima seção, trará os momentos máximos de fissuração de armadura dupla
na seção analisada.
Dados obtidos nessa seção:
Mmáx FISSURAÇÃO (KNm) 19,02
Mmáx ARM. DUPLA (KNm) 13,782
Nesta seção é demonstrado os resultados da rigidez equivalente, bruta e a relação
entre esses dois fatores.
RIGIDEZ EQ (EI)eq (MNm2) 12,84
RIGIDEZ BRUTA (EI) (MNm2) 27,48
RAZÃO (EI)eq / (EI) 0,4671
56
A partir dessa seção é iniciado o processo para o cálculo de flechas imediatas e
diferidas. Será iniciado esse cálculo com o valor do fator para flecha diferida no tempo.
13º passo: Inserir o tempo em meses, relativo a data de aplicação da carga de longa duração.
CARGA - t0 (meses) 0,5
14º passo: Inserir o tempo em meses, quando se deseja obter o valor da flecha diferida.
TEMPO DE CÁLCULO - t (meses) 70
15º passo: Inserir o parâmetro α que depende das condições de carregamento e apoio da seção
de viga analisada (Figura 2.19). Essa figura foi introduzida na planilha.
α ( COEF. DAS COND DE
CARREGAMENTO) 5/48
Dados obtidos nessa seção:
FATOR – αf 1,46
Obtenção do parâmetro que servirá para obter a magnitude das flechas diferidas e finais da
viga analisada.
Na seção seguinte, traremos os resultados finais para nossa análise. Para efeitos de
análises e para checarmos a parcela de deslocamentos referentes ao carregamento proveniente
de cargas permanentes e acidentais, dividimos os deslocamentos imediatos em deslocamentos
imeditatos permanentes e deslocamentos imediatos acidentais e por fim o deslocamento
imediato total, resultando da soma do deslocamento dessas duas parcelas.
Dados obtidos nessa seção:
FLECHA IMEDIATA ACIDENTAL (cm) 0,101
FLECHA IMEDIATA PERMANENTE (cm) 1,030
FLECHA IMEDIATA TOTAL (cm) 1,132
FLECHA DIFERIDA (cm) 1,648
FLECHA FINAL (cm) 2,780
De acordo com os dados apresentados, verificamos a validade de nossa planilha,
já que obtivemos resultados equivalentes aos apresentados de forma manual, então
ressaltamos a importância dessa planilha, haja vista da importância dessa análise bem como a
obtenção desses resultados de forma rápida.
Para finalizar a apresentação do esquema de entrada de dados, implementamos
uma verificação dos deslocamentos referentes aos padrões de aceitabilidade desses
deslocamentos.
57
16º passo: Inserir o valor da razão que deve ser avaliado o limite desse deslocamento. Onde a
tabela 2.3 extraída da NBR 6118:2003, apresenta para qual padrão a viga deverá atender.
VALOR DA LIMITAÇÃO 250
Dados obtidos nessa seção:
FLECHA ADMISSÍVEL (cm) 2,00
ACEITABILIDADE DO DESLOCAMENTO NÃO ACEITO
No exemplo 1 a viga foi avaliada pelo padrão de aceitabilidade sensorial e nesse
exemplo para a planilha adotamos o mesmo critério. Confirmamos a não aceitabilidade
sensorial da viga de concreto armado.
Portanto, ressaltamos a importância do uso de ferramentas computacionais para
auxiliar estudantes e engenheiros em diversas análises estruturais. Essa planilha apresenta um
interface simples e bem explicativa o que facilita a entrada de dados, bem como a obtenção de
resultados satisfatórios e confiáveis.
3.3.3 Análise de variáveis que influem nos deslocamentos de vigas de concreto armado
Nessa seção serão avaliados diversas variáveis que influem nos deslocamentos de
vigas de concreto armado. Serão relacionadas algumas variáveis e comparadas seus efeitos
nos deslocamentos. Foram elaborados diversos gráficos para facilitar a visualização, bem
como o entendimento da influência dessas variáveis. Ressaltamos que alguns fatores são
difíceis de analisar, já que apresentam alguns parâmetros que o tornam complicado de
implementar nessas análises. Um exemplo disso é a avaliar os efeitos da fluência de forma
precisa, pois ela depende da umidade, da temperatura, nível de fissuração da peça,
amadurecimento do concreto na data do carregamento, dentre outros. O que ocorre é que
variáveis como temperatura e umidade podem variar ao longo do mesmo dia em uma obra,
além disso esses parâmetros variam de uma obra para outra o que torna complicado uma
avaliação precisa desses efeitos.
Portanto, iremos buscar averiguar qual a relação de algumas variáveis com os
deslocamentos. Comparamos os efeitos da variação do carregamento, da parcela de carga
permanente e acidental, do tempo de aplicação do carregamento, das propriedades
58
geométricas, da influência da consideração da armadura de compressão, da variação do vão,
do fck, das condições de apoio e variação do tipo de carregamento. Utilizamos a viga do
exemplo 1 para analisar essas variáveis.
a) Deslocamento x carregamento
Essa comparação busca verificar com que proporção os deslocamentos aumentam
se comparados a elevação dos carregamentos.Conforme apresentado na Figura 3.1.
Figura 3.1 – Gráfico do deslocamento x limite.
Intuitivamente podíamos afirmar que à medida que os esforços aumentam os
deslocamentos também se elevam. Esse gráfico (Figura 3.1) vem a comprovar essa premissa.
Para a elaboração dessa relação foram mantidas as propriedades geométricas bem como as
outras variáveis que podiam influir nos resultados. Nessa análise variamos apenas os esforços
solicitantes com a mesma proporção com o objetivo de averiguar a relação linear dos
deslocamentos com esses esforços. Com essa comparação verificamos que os deslocamentos
não variam de maneira proporcional com o aumento dos deslocamentos o que denota o
comportamento não linear das vigas de concreto armado.
14 19,2 24,8 30,4 36 41,6
Flecha Imediata (cm) 0,24 0,59 0,88 1,03 1,10 1,13
Flecha Diferida (cm) 0,36 0,86 1,28 1,50 1,60 1,64
Flecha Final (cm) 0,6 1,44 2,16 2,53 2,70 2,77
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
De
slo
cam
en
to (
cm)
Momento (KNm)
Deslocamento X Momento
Flecha Imediata (cm)
Flecha Diferida (cm)
Flecha Final (cm)
59
b) Deslocamento x parcela de carga permanente e acidental
Figura 3.2 – Gráfico do deslocamento x parcela de carga acidental e permanente
Nessa análise buscamos avaliar a influência do carregamento permanente e
acidental nos deslocamentos imediatos, diferidos e acidentais em vigas de concreto armado.
Para esse estudo adotamos a metodologia de combinar um carregamento que inicialmente
gerasse um momento de 60 KNm permanente e 0 KNm acidental e em seguida 50 KNm
permanente e 10 KNm de acidental, prosseguindo assim até obter um carregamento de 0
KNm de permanente e 60 KNm de acidental. Alertamos que essa última combinação é
impossível de ocorrer, pois qualquer estrutura haverá pelo menos seu carregamento do seu
peso próprio, entretanto implementamos essa combinação pelo fato de avaliar a influência nos
deslocamentos diferidos e finais da viga de concreto armado.
Conforme apresentado na seção 2.2.4 a fluência consiste no aumento das
deformações no concreto, que ocorrem ao longo do tempo de vida da estrutura, em virtude da
aplicação de ações permanentes. Podemos observar na Figura 3.2 que com a diminuição do
carregamento permanente os deslocamentos diferidos assumem valores bem menores o que
comprova a relação do carregamento permanente com a fluência e por conseqüência com os
deslocamentos diferidos. Outro aspecto que podemos ressaltar é que apesar do somatório dos
carregamentos permanentes e acidentais permanecem constantes, a combinação para análise
0 10 20 30 40 50 60
60 50 40 30 20 10 0
Flecha Imediata (cm) 1,27 1,14 1,01 0,88 0,75 0,62 0,48
Flecha Diferida(cm) 1,84 1,66 1,47 1,28 1,09 0,90 0,70
Flecha Final (cm) 3,11 2,79 2,48 2,16 1,84 1,51 1,17
0,000,501,001,502,002,503,003,50
De
slo
cam
en
to (
cm)
Momento: Acidental/ Permanente- KNm
Deslocamento x % de Carga permanente e % de Carga Acidental
60
dos estados limites de serviço em deformações excessivas (equação 2.23) limita os
deslocamentos acidentais em apenas 40 %. Ou seja, dependendo da magnitude do
carregamento permanente tem um fator preponderante nos resultados dos deslocamentos, uma
vez que a combinação de carregamento adotada não minora seus efeitos e devido a sua
influência nos deslocamentos diferidos.
c) Deslocamento x tempo de aplicação das cargas
Figura 3.3 – Gráfico do deslocamento x tempo de aplicação das cargas
Nessa análise mantivemos o mesmo critério das análises anteriores, onde fixamos
as demais propriedades da viga, variando apenas a idade em meses, relativa à data de
aplicação da carga de longa duração. Nesse exemplo buscamos avaliar as vantagens de
retardar o processo de retirada dos escoramentos nas vigas e avaliar sua influência nos
deslocamentos diferidos e finais, já que os deslocamentos imediatos não mudam com a
variação desse valor.
A NBR 14931:2004 recomenda sobre a retirada dos escoramentos no item 10.2,
onde essa retirada é liberada a partir do atendimento de alguns requisitos como podemos citar:
resistência do concreto atingir a valores que resistam as tensões nele aplicadas e que não
levem a deslocamentos inaceitáveis, tendo em vista o baixo valor do módulo de elasticidade
7 15 30 45 60
Flecha Imediata (cm) 1,23 1,23 1,23 1,23 1,23
Flecha Diferida (cm) 1,94 1,79 1,63 1,51 1,42
Flecha Final (cm) 3,17 3,02 2,86 2,74 2,65
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
De
slo
cam
en
tos
(cm
)
Tempo de aplicação das cargas (dias)
Deslocamento x tempo de aplicação das cargas
Flecha Imediata (cm)
Flecha Diferida (cm)
Flecha Final (cm)
61
do concreto ( equação 2.2) e a grande probabilidade de deformação diferida no tempo quando
o concreto é solicitado a pouca idade.
Na Figura 3.3, observamos a diminuição dos deslocamentos com o aumento do
tempo de escoramento, que indica uma ótima opção ao projetista quando o mesmo estiver
limitado em variar outras propriedades da viga. Essa diminuição deve-se a relação
diretamente proporcional do coeficiente Δξ pelo parâmetro αf e conseqüentemente na
obtenção dos deslocamentos diferidos e finais (equação 2.18, 2.19 e 2.21).
Então, com o aumento do tempo de escoramento, implicará numa redução dos
deslocamentos diferidos e finais em torno de 20%, apesar dessa manutenção de tempo de
escoramento acima do comumente utilizado em obras o aumento no custo desse método
poderá conduzir a resultados satisfatórios dependendo dos fatores limitantes na própria viga.
Com essa solução os deslocamentos diferidos conduzem a valores próximos dos
deslocamentos imediatos devido a atenuação do efeito da deformação lenta nas vigas de
concreto armado.
d) Deslocamento x largura da viga
Figura 3.4 – Gráfico do deslocamento x base da viga
14 15 16 17 18 19 20 25 30 40
Flecha Imediata (cm) 1,23 1,23 1,22 1,21 1,20 1,18 1,16 1,03 0,86 0,51
Flecha Diferida (cm) 1,80 1,79 1,78 1,76 1,74 1,71 1,69 1,50 1,25 0,74
Flecha Final (cm) 3,03 3,02 3,00 2,97 2,94 2,89 2,85 2,53 2,11 1,24
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
De
slo
caca
me
nto
(cm
)
largura da Viga (cm)
Deslocamento x largura da viga
Flecha Imediata (cm)
Flecha Diferida (cm)
Flecha Final (cm)
62
O aumento da largura da viga conduz a uma diminuição dos deslocamentos como
podemos comprovar na Figura 3.4. Essa avaliação manteve as demais propriedades da viga,
bem como os mesmos esforços solicitantes variando-se apenas a largura da viga. No cálculo
do momento de fissuração (equação 2.12) o aumento da largura conduz a elevação do
momento de fissuração. Já no cálculo da rigidez equivalente (equação 2.16) com o aumento
do momento de fissuração implicará em um aumento da rigidez equivalente. Como o cálculo
da flecha imediata é inversamente proporcional a rigidez equivalente comprova as razões da
diminuição dos deslocamentos.
O aumento da largura da viga auxilia no sentido da diminuição da viga, porém
numa proporção menor se comparada ao aumento da altura da viga, como veremos
posteriormente. Essa proporção menor deve-se ao fato da modificação na altura variar ao
cubo enquanto na base da viga não ocorrer o mesmo.
e) Deslocamento x altura da viga
Figura 3.5 - Deslocamento x altura da viga
Os métodos de comparação utilizados nessa avaliação da relação dos
deslocamentos com a variação da altura de vigas foi o mesmo utilizado ao estudo da variação
35 40 45 50 55 60 65 70
Flecha Imediata (cm) 1,31 1,13 0,92 0,72 0,52 0,35 0,21 0,13
Flecha Diferida (cm) 1,90 1,64 1,35 1,05 0,76 0,51 0,31 0,18
Flecha Final (cm) 3,21 2,77 2,27 1,77 1,29 0,85 0,53 0,31
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
De
slo
cam
en
tos
(cm
)
Altura da viga (cm)
Deslocamento x Altura da viga
Flecha Imediata (cm)
Flecha Diferida (cm)
Flecha Final (cm)
63
da largura das vigas. Comprovamos na Figura 3.5 que com o aumento da altura da viga,
implicará numa diminuição dos deslocamentos. Conforme apresentado os motivos pelos quais
os deslocamentos diminuem com o aumento da largura da viga, ocorre de maneira análoga a
variação da altura das vigas de concreto armado. Porém, com uma magnitude maior já que a
variação da altura dessa peça implica numa variação ao cubo em sua inércia o que conduz a
reduções significativas dos deslocamentos.
Como já apresentamos no início deste capítulo a viga analisada possui um vão
teórico de 5 m. Alguns livros recomendam que para vigas de concreto armado um pré-
dimensionamento de vigas pode ser determinado sua altura relacionando o vão por 10. Ou
seja para nossa viga estudada um dimensão prática para esse vão seria de 50 cm. Onde na
tabela 2.1 para aceitabilidade sensorial total, o limite para nossa viga será um deslocamento
de 2 cm. O que no gráfico da Figura 3.5 apresenta um deslocamento atendendo ao limite
analisado o que sugere aceitar esse pré-dimensionamento recomendado.
Portanto, para limitação dos deslocamentos a modificação na altura das vigas
apresenta-se como uma excelente opção devido a proporção com que os deslocamentos
diminuem com o aumentos da altura das vigas.
f) Deslocamento x armadura de compressão
Figura 3.6 – Gráfico do deslocamento x armadura de compressão
0 0,4 0,57 0,63 1 1,6 2,5 4 6,3 9,82
Flecha Imediata (cm) 1,13 1,12 1,11 1,11 1,10 1,09 1,07 1,04 1,01 0,96
Flecha Diferida (cm) 1,64 1,57 1,54 1,53 1,47 1,38 1,26 1,11 0,92 0,74
Flecha Final (cm) 2,77 2,69 2,65 2,64 2,57 2,47 2,33 2,15 1,93 1,70
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
De
slo
cam
en
tos
(cm
)
As de armadura de compressão (cm2)
Deslocamento x armadura de compressão
Flecha Imediata (cm)
Flecha Diferida (cm)
Flecha Final (cm)
64
Essa análise visa avaliar a relação dos deslocamentos com a adoção de armadura
de compressão (Figura 3.6). A metodologia utilizada foi iniciar a comparação com a
utilização da mesma viga apresentada no exemplo 1. Variamos nesse estudo apenas a
armadura adotada na fibra comprimida na viga, ou seja, iniciamos o estudo assumindo uma
viga sem nenhum tipo de colaboração da armadura de compressão em seguida
implementamos uma viga com As de armadura de As 0,4 cm2
(equivalente a 2 ϕ 5) e
procedemos da mesma forma até chegarmos a uma armadura de As 9,82 cm2.
Observamos que com o acréscimo de uma armadura de compressão, os
deslocamentos diminuem, porém em pequena quantidade. Os deslocamentos imediatos se
alteram em pequena escala, já flecha diferida e conseqüentemente a flecha final diminuem
com o aumento do As em razão do aumento do parâmetro ρ’ que é inversamente proporcional
ao fator αf (equação 2.18) e afeta diretamente os deslocamentos diferidos e finais da viga de
concreto armado.
Então, apesar da introdução de uma armadura de compressão auxiliar a viga de
concreto armado o custo com uma armadura adicional não compensa tendo em face a pequena
magnitude que essa alteração representa aos deslocamentos.
g) Deslocamento x vão da viga
Figura 3.7 – Gráfico do deslocamento x vão da viga
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Flecha Imediata (cm) 0,05 0,18 0,41 0,72 1,13 1,62 2,21 2,89 3,65 4,51
Flecha Diferida (cm) 0,07 0,26 0,59 1,05 1,64 2,36 3,22 4,20 5,32 6,57
Flecha Final (cm) 0,11 0,44 1,00 1,77 2,77 3,99 5,43 7,09 8,97 11,1
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
De
slo
cam
en
to (
cm)
Vao da viga (m)
Deslocamento x Vão da Viga
Flecha Imediata (cm)
Flecha Diferida (cm)
Flecha Final (cm)
65
Essa análise tem o objetivo de verificar, bem como apresentar a existência da não
linearidade em estruturas de concreto armado. Como método de análise utilizamos a mesma
viga dos exemplos anteriores e fixamos todas as propriedades, inclusive os esforços, e
variamos o vão teórico dessa peça de concreto armado.
Observamos no gráfico da Figura 3.7 que os deslocamentos das vigas de concreto
armado não apresentam um comportamento linear. Para afirmarmos isso, primeiro devemos
observar a seguinte relação se aplicarmos uma carga P e provamos um deslocamento d em
uma viga de concreto armado, espera-se que para uma estrutura que se comporte de maneira
linear apresente um deslocamento 2 d para uma aplicação de uma carga 2 P.
A relação do vão com os deslocamentos varia de forma diretamente proporcional
e ao quadrado (equação 2.17). Ou seja como exemplo dessa não linearidade que apresentamos
anteriormente, observaremos o deslocamento no vão de 4m. O deslocamento apresentado
nesse vão é de 1,77 cm. Se dobrarmos o vão dessa peça, o resultado linear que devemos
esperar é de aproximadamente 6,27 cm. Porém o deslocamento obtido para esse vão é de 7,09
cm o que valida nossa hipótese de não linearidade dos deslocamentos.
Por tanto, aprofundaremos no capítulo 4 as hipóteses básicas da não linearidade a
avaliaremos as considerações da NBR 6118:2003 para a avaliação de flechas em vigas de
concreto armado para esse tipo de fenômeno.
h) Deslocamento x Fck
Figura 3.8 – Gráfico do deslocamento x fck
20 25 30 35 40 45 50
Flecha Imediata (cm) 1,13 1,12 1,08 1,03 0,97 0,91 0,84
Flecha Diferida (cm) 1,64 1,62 1,57 1,50 1,41 1,32 1,22
Flecha Final (cm) 2,77 2,74 2,65 2,53 2,39 2,23 2,07
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
De
slo
cam
en
tos
(cm
)
Fck (Mpa)
Deslocamento x Fck
Flecha Imediata (cm)
Flecha Diferida (cm)
Flecha Final (cm)
66
E por fim analisamos a relação do Fck com as flechas. O aumento da resistência
característica diminui os deslocamentos (Figura 3.8). Isso ocorre devido a modificação da
rigidez equivalente, propiciado pela alteração do módulo de elasticidade secante (equação
2.2). Essa alternativa apesar de diminuir os deslocamentos não se apresenta como uma boa
opção devido à pequena diminuição dos deslocamentos em face ao impacto nos custos que
uma modificação no Fck traria para a estrutura.
3.4 Considerações finais
Nesse capítulo apresentamos a metodologia utilizada para calcular flechas em
vigas de concreto armado, por meio de exemplos apresentados detalhadamente. Para facilitar
o cálculo das flechas foi elaborado uma planilha em Excel que auxiliou na obtenção desses
deslocamentos de forma rápida e confiável, já que a partir do exemplo apresentado foi
possível validar essa planilha.
Diversos fatores influem no cálculo dos deslocamentos, alguns podem ser
mensurados outros não. Temperatura e umidade são exemplos de fatores que podem
modificar as flechas, porém no processo de obtenção desses deslocamentos da NBR
6118:2003 não há como considerar essas variações. Nos aspectos construtivos também
existem variáveis que podem modificar os resultados das flechas como processos de cura,
ações de construção, tempo de desforma e aplicação dos primeiros carregamentos. Com isso
obtemos resultados aproximados devido ao grande número de fatores que alteram os
resultados na prática.
Entretanto buscou-se avaliar alguns parâmetros que possam afetar os
deslocamentos. Por meio da inserção de gráficos foi possível avaliar e averiguar os impactos
desses fatores nos deslocamento, onde a partir dessas análises objetivou-se entender os
motivos que alteravam esses valores e as vantagens e desvantagens de cada modificação.
Por fim, ressalta-se a importância de uma análise criteriosa dos deslocamentos,
buscando entender e avaliar o máximo de parâmetros envolvidos mesmo sabendo que o
modelo simplificado da NBR 6118:2003 não contempla alguns desses fatores. Logo sugere-se
avaliar alguns modelos que considerem alguns desses fatores não contemplados pela norma
dentre eles um maior refinamento para se avaliar os efeitos das não linearidades.
67
4. ANÁLISE NUMÉRICA DO PROGRAMA CONSNOU
4.1 Aspectos gerais
O deslocamento de flechas em vigas de concreto armado envolve diversas
variáveis. Podemos citar as não linearidades provenientes da fissuração, efeitos diferidos que
ocorrem devido à fluência e retração, colaboração do concreto entre fissuras, influência dos
processos construtivos, condições ambientais. O método recomendado pela NBR 6118:2003 é
um modelo não linear, porém de uma forma simplificada, pois consideram apenas alguns
desses fatores e de forma aproximada. No cálculo do momento de fissuração ele leva em
conta a fissuração de uma maneira simplificada e despreza outros fatores relevantes na
obtenção desses resultados. Daí considerarmos esse modelo simplificado.
O cálculo das deflexões em vigas de concreto armado é realizado utilizando as
hipóteses das resistências dos materiais, as quais são aplicadas para materiais homogêneos e
isotrópicos. Os elementos de concreto armado, no entanto apresentam várias características
próprias que invalidam essas hipóteses como o fenômeno da fluência, retração e fissuração.
Daí reforça a hipótese de que as prescrições da NBR 6118:2003 são simplificadas
A consideração dos diversos fatores que incidem nos resultados dos
deslocamentos em vigas de concreto armado torna o processo complexo e rigoroso já que é
difícil parametrizar algumas dessas variáveis. As condições ambientais e o processo
construtivo são exemplos dessas complexidades. Porém, com a evolução dos modelos de
análise estrutural essas avaliações tornaram-se mais refinadas e criteriosas buscando simular a
realidade de forma bem mais realista. Na análise de flechas em vigas de concreto armado
existem alguns estudos no sentido de conduzir os resultados teóricos a valores próximos ao
experimental.
No presente trabalho avalia-se a utilização do programa computacional
CONSNOU. Esse programa foi desenvolvido em linguagem FORTRAN pelo professor
Antonio R. Marí do Departamento de Engenharia de Universidade Politécnica da Catalunha –
Espanha. Este programa computacional, baseado no método dos elementos finitos, divide a
seção transversal dos elementos em um número discreto de filamentos de concreto e aço e a
integração das áreas dos elementos é feita considerando o comportamento não linear e
depende do tempo dos materiais, assim como o processo evolutivo das construções.
68
A seguir são apresentas alguns conceitos que conduzem a um processo de análise
mais refinada, onde serão apresentadas as bases computacionais do programa CONSNOU e
um exemplo comparativo desse modelo com o da NBR 6118:2003.
4.2 Análise não linear
De forma simplificada, podemos definir não linearidade como um cálculo no qual
a resposta da estrutura apresenta-se de maneira desproporcional. As diferenças entre uma
análise linear e não linear podem ser melhor compreendidas a partir do seguinte exemplo. Se
submetermos uma viga a um carregamento de magnitude p que provoque um deslocamento d
e em seguida duplicarmos esse esforço, espera-se que para um comportamento linear essa
estrutura apresente um deslocamento 2 d. Porém na análise não linear isso não ocorre (Figura
4.1).
Figura 4.1 – deslocamento linear x não linear
Esse tipo de fenômeno acontece em decorrência a dois fatores que são a não
linearidade física e não linearidade geométrica. Esses conceitos serão definidos em breve.
Qualquer análise estrutural leva em consideração essa não linearidade, algumas delas de
forma simplificada e outra de maneira mais refinada. Por isso, objetivamos comparar o
modelo da NBR 6118:2003, onde podemos afirmar que trata de um modelo não linear
simplificada e avaliar o modelo proposto pelo Professor Marí onde apresenta um modelo de
69
análise não linear mais refinado e checar com que nível de aproximação está o método da
norma brasileira.
Portanto, a consideração das não linearidades tem se tornado muito importantes
haja vista que o concreto é um material que possui comportamento essencialmente não linear
(Figura 2.2). Com esse tipo de consideração é possível avaliar o comportamento de qualquer
peça de concreto armado de forma mais realista, pois essas não linearidades exercem
significava influência na averiguação das flechas devido ao grau de esbeltez que as estruturas
assumiram atualmente
O item 15.3 da NBR6118:2003 “Princípios básicos de cálculo”, prescreve de
forma bastante clara: “A não linearidade física, presente nas estruturas de concreto armado
deve ser obrigatoriamente considerada”, porém a norma não afirma com que grau de
refinamento deve-se ser feita essa avaliação.
Portanto, em projetos de estrutura é impossível realizar manualmente as contas
envolvidas numa análise não linear refinada. Devendo o projetista utilizar de um software
para auxiliar nesses cálculos, daí a idéia de se adotar o programa CONSNOU.
4.2.1 Não linearidade física
A não linearidade física está relacionada ao comportamento do material
empregado na estrutura. No caso de edifícios de concreto armado, as propriedades dos
materiais empregados (concreto e aço) se alteram a medida que o carregamento é aplicado à
estrutura, gerando uma resposta não linear da mesma. Como no caso de edifícios os
pavimentos são construídos em seqüência essa evolução construtiva também afeta os
resultados finais. O exemplo disso é a modificação da rigidez da estrutura que se altera à
medida que os carregamentos são introduzidos, por isso recomenda-se alterar o valor dessa
rigidez. A NBR 6118:2003 considera esse efeito.
70
4.2.2 Não linearidade geométrica
É semelhante a não linearidade física por também gerar uma resposta não linear a
peça de concreto armado, porém as bases conceituais são diferentes. Essa não linearidade
ocorre devido à modificação na geometria dos elementos à medida que um carregamento é
aplicado a um edifício. Como essa avaliação está intimamente ligada na avaliação da
estabilidade global de um edifício, bem como na análise local de pilares, não será
aprofundado esse assunto, já que não trata dos objetivos desse estudo.
4.2 Programa CONSNOU
Nos dias de hoje pode-se observar um alto nível de refinamento empregado na
análise estrutural, sendo cada vez mais comum a utilização de modelos que consideram a não
linearidade física dos materiais, fissuração, fluência e retração do concreto, comportamento
elasto-plástico da armadura, relaxação da armadura de protensão, além da influência do
processo construtivo no comportamento da estrutura.
Esta evolução nos processos de análise se deve ao grande desenvolvimento
computacional ocorrido nas últimas décadas, principalmente o aumento de capacidade de
processamento dos microcomputadores de uso pessoal (PC). Este fato permitiu realizar, de
forma eficiente, a análise dos mais complexos problemas de engenharia.
Merlin (2006), em seu estudo utilizou o programa CONSNOU, onde o mesmo
apresenta as bases conceituais do programa. Destacamos que o programa leva em
consideração as deformações devido à fluência, retração e variação térmica dividindo o
elemento analisado em um número discreto de filamentos de concreto e aço, assumindo que
cada um dos filamentos apresenta um estado uniaxial de tensão.
Já havíamos mencionado a importância de se considerar a contribuição do
concreto tracionado entre fissuras (tension stiffening). No programa essa contribuição é
introduzida através da equação constitutiva do concreto na tração.
Nesse estudo de Merlin (2006) é apresentada de forma detalhada como foi
avaliado a deformação por fluência do concreto, da retração e da variação térmica. Essas
considerações propiciam ao programa um melhor nível de refinamento devido a essas
71
implementações. Onde destacamos também a análise pelo programa do carregamento em
estágios, ou seja, a fim de considerar os efeitos dos processos construtivos foi implementado
no programa esse efeito para poder considerar as modificações ocorridas devido a não
linearidade física.
O esquema geral do programa computacional é apresentado esquematicamente na
Figura 4.2, em que os dados de entrada gerais (1) incluem geometria da estrutura,
discretização, condições de contorno, propriedades dos materiais, armadura passiva, perfil da
armadura de protensão, fases construtivas, condições ambientais, critério de convergência e
informações de controle dos dados de saída. Os dados de entrada de cada fase construtiva (2)
incluem variações da geometria, condições de contorno, carregamento, protensão, além dos
intervalos de tempo entre as fases construtivas e os passos de carga.
Conforme, para se ter uma análise não linear mais refinada é necessário levar em
consideração diversos fatores. Com isso o processo torna-se mais sofisticado, pois considera
várias variáveis e a consideração desses fatores torna a análise complicada. Portanto, para esse
tipo de avaliação é preciso um software que auxilie na obtenção desses resultados.
No mesmo estudo o autor apresenta também os fundamentos do programa para
solucionar esse algoritmo, onde o processo requer estudo por parte do engenheiro já que o
processo de entrada de dados é complexo e exige atenção uma vez que o programa retorna a
dados já inseridos devido às verificações processadas durante as entrada de dados.
Para se avaliar o modelo do programa CONSNOU, alguns ensaios foram
realizados em laboratórios e confrontados com os resultados teóricos obtidos pelo programa.
Magalhães (2001) do laboratório de estruturas de EESC-USP realizou ensaios de curta
duração de lajes contínuas formadas por vigotas pré-moldadas com armação treliçada, REIS
(2003) do mesmo laboratório realizou ensaios de longa duração de vigas reforçadas à flexão
no bordo comprimido. Após esses ensaios comprovou-se boa concordância dos resultados
experimentais se comparados ao modelo teórico o que ressalta a importância e valida a
utilização do programa. A seguir será apresentada um exemplo de viga analisada no capítulo
anterior e analisada no programa CONSNOU.
72
Figura 4.2 – Fluxograma simplificado do programa CONSNOU – Merlin (2006).
4.3 Análise numérica
Nessa seção buscamos avaliar a relação do modelo recomendado pela NBR
6118:2003 e a utilização de um programa de análise não linear mais refinado. Para isso
73
utilizamos da viga apresentada no exemplo 1. Após os cálculos realizados pelo modelo
recomendado pela norma brasileira, buscamos manter as mesmas propriedades consideradas
para se ter uma análise bem fundamentada, porém com a consideração de diversos fatores e
com uma maior grau de refinamento, os deslocamentos dessa comparação apresentaram
algumas diferenças. Podemos apontar essas discrepâncias ao fato da consideração de outros
efeitos não avaliados pela NBR 6118:2003 e a simplificação de algumas variáveis como a
aproximação no resultado da rigidez equivalente.
Figura 4.3 – Gráfico de deslocamento NBR 6118:2003 x CONSNOU.
Para validar nossa análise, foi comparado os deslocamentos obtidos a partir das
prescrições da NBR 6118: 2003 e do modelo do programa CONSNOU. Para esse estudo foi
buscou-se fixar as demais propriedades da peça e durante o processo de entrada de dados no
programa foi adotado os mesmos parâmetros do modelo da NBR 6118:2003. Variamos nessa
comparação o tempo no qual se desejaria verificar os deslocamentos. Após a elaboração do
gráfico, podemos perceber que à medida que aumentava-se o tempo que se desejaria verificar
os deslocamentos os dois modelos tornavam-se mais discrepantes. Portanto para flechas
imediatas os dois modelos possuem comportamentos aproximados, já para deformações ao
longo do tempo essas divergências apresentam-se de maneira mais acentuada onde o modelo
da NBR 6118:2003 sempre está com valores acima do modelo não linear mais refinado. Esse
valor superior deve-se ao fato de considerar alguns efeitos de forma simplificada e com isso
essas aproximações tendem a ser maiores para que possam estar a favor da segurança.
1 2 6 12 24 36 48 60 72
Não linear 1,05 1,3 1,58 1,79 1,96 2,07 2,14 2,17 2,2
NBR 6118:2003 1,283 1,469 1,849 2,141 2,449 2,613 2,708 2,759 2,78
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
De
slo
cam
en
to (
cm)
Tempo (meses)
NBR 6118 x CONSNOU
Não linear
NBR 6118:2003
74
4.4 Considerações finais
Com o aumento da importância da analise das estrutura de concreto armado em
serviço recomenda-se adotar métodos de análise mais refinados ou então buscar ajustar os
modelos simplificados e calibrá-los para que os mesmos possam conduzir a resultados
satisfatórios e condizentes com o que acontecerá na peça de concreto armado na prática. Para
isso é necessário que esse assunto seja mais abordado para que se busque avaliar as deflexões
em vigas de um modo refinado e ao mesmo tempo esse processo tornar-se mais simples de
analisar, uma vez que não é tão utilizado devido as dificuldades encontradas devido ao seu
elevado nível de refinamento.
75
5. CONCLUSÕES
Neste trabalho foi apresentado a formulação teórica do processo de cálculo de
flechas em vigas de concreto armado, apresentando-se por meio de exemplos práticos como
essas deflexões são determinadas. A partir disso foi elaborada uma planilha em Excel que
auxiliou o estudo no sentido de agilizar o processo de obtenção dos deslocamentos.
No capítulo 3 além de ter sido apresentado dois exemplos de cálculo de flechas
em vigas de concreto armado foi demonstrado os passos de entrada de dados, bem como o
modo de obtenção de resultados na planilha. A interface da planilha foi demonstrada (Tabela
3.1 e 3.2) para que durante a utilização do mesmo facilite o processo de entrada de dados e
obtenção dos resultados. Sugerimos a utilização dessa planilha para engenheiros, estudantes e
projetistas de um modo geral quando se desejar obter os deslocamentos em vigas de concreto
armado utilizando a NBR 6118:2003.
Os modelos apresentados por meio de gráficos no capítulo 3 serviram para avaliar
os impactos de diferentes variáveis nos resultados dos deslocamentos. Esse estudo foi
conclusivo ao demonstrar que mesmo modificando algumas propriedades e diminuindo os
deslocamentos algumas dessas opções não trariam tantos ganhos ao desempenho da estrutura ,
já que os impactos dessas mudanças não trariam tantas reduções, que foram os casos da
modificação do Fck, da largura da viga e também da consideração da armadura de
compressão. Entretanto a alteração da altura da viga apresentou dentre as alternativas
comparadas a mais satisfatória. Esses comparativos visaram também demonstrar o
comportamento não linear das vigas de concreto armado o que estimulou a busca de métodos
não lineares mais refinados para analisar essas vigas.
O modelo não linear mais refinado utilizado no presente estudo foi o programa
CONSNOU do professor Antonio R. Marí da Universidade Politécnica da Catalunha. Este
programa é baseado no métodos dos elementos finitos, divide a seção transversal dos
elementos em um número discreto de filamentos de concreto e aço, onde a integração das
áreas é feita considerando o comportamento não linear e depende do tempo dos materiais.
Esse programa foi avaliado a partir de resultados experimentais e comparados a resultados
teóricos obtidos do programa, onde essa comparação apresentou resultados satisfatórios e por
fim foi comparado um exemplo de viga onde se avaliou os deslocamentos utilizando-se o
modelo da NBR 6118:2003 e comparado aos resultados do programa CONSNOU. Essa
avaliação demonstrou que o modelo da norma brasileira não conduz a bons valores quando se
76
compara os deslocamentos diferidos, já para os deslocamentos imediatos os dois métodos
apresentam valores aproximados.
Em suma, sugere-se utilizar o modelo da norma brasileira dependendo do grau de
refinamento que se deseja obter. Para análises mais refinadas a opção mais recomendada é a
utilização de modelos não lineares mais refinados que levem em consideração outros fatores
não contemplados pela norma brasileira. Os efeitos da fissuração é considerado pela NBR
6118:2003 no cálculo da inércia equivalente, já os efeitos da fluência e retração são simulados
pelo cálculo do parâmetro αf (Equação 2.18) obtido a partir do coeficiente ξ, ou seja essas
consideração são bastante simplificadas. Portanto, o programa CONSNOU pode ser uma
excelente opção devido a sua concordância com resultados experimentais.
Conforme apresentado neste trabalho, para análises não lineares mais refinadas é
necessário utilizar métodos mais sofisticados. No presente trabalho adotamos o CONSNOU
como referencial para nossas análises. Assim, sugere-se um estudo semelhante ao apresentado
onde avalie as divergências entre o modelo da norma brasileira se comparado a outros
modelos mais complexos, podendo também comparar os deslocamentos obtidos pelo método
da NBR 6118:2003 a modelos experimentais onde a partir dessas comparações busque
recomendar fatores de correção para calibrar e ajustar o modelo atualmente recomendado pela
norma.
77
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