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SIMMEC / EMMCOMP 2014XI Simpósio de Mecânica ComputacionalII Encontro Mineiro de Modelagem ComputacionalJuiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014

ANÁLISE FISICAMENTE NÃO LINEAR DE PÓRTICOS DECONCRETO ARMADO

Leandro Mota Peres, Samuel Silva Penna, Roque Luiz da Silva [email protected], [email protected], [email protected] Federal de Minas GeraisAv. Antônio Carlos, 6627 - Escola de Engenharia - Bloco 1 -4o andar, Pampulha, Belo Horizonte,CEP 31270-901, MG, Brasil

Resumo.O projeto de sistemas estruturais em concreto armado, em especial aqueles com gran-des vãos, requer uma análise cuidadosa de seus deslocamentos, visto que o surgimento de flechasexcessivas pode inviabilizar sua utilização. Os programas computacionais atuais dispõem de inú-meros recursos para análise estrutural não linear. Dentre esses programas, destaca-se o INSANE(INteractive Structural ANalysis Environment), um programa desenvolvido no Departamento deEngenharia de Estruturas da Universidade Federal de Minas Gerais. O INSANE é destinado àanálise de estruturas por meio de modelos discretos, dentre estes os do Método dos ElementosFinitos (MEF). Este artigo explora os recursos disponíveis no INSANE para realizar simulaçõesnuméricas, baseadas no MEF, de um pórtico de concreto armado. Nestas simulações, considera-seo comportamento fisicamente não linear do concreto armado para avaliar os deslocamentos daestrutura. São empregados elementos finitos de pórtico plano, baseados na Teoria de Bernoulli-Euler. As simulações são realizadas em duas etapas. Na primeira etapa, estados elementares desolicitação, são simulados de modo a obter relações momento-curvatura, representativas das di-versas seções transversais que compõem o pórtico em estudo. Nesta fase, as seções transversaisdas barras são divididas em subdomínios, visando considerar o posicionamento espacial dos ma-teriais, bem como a evolução de sua degradação. Para cada um desses subdomínios, adota-se ummodelo constitutivo apropriado: o concreto é representado por diferentes leis constitutivas paradescrever a evolução do dano, tanto em tração como em compressão; para o aço, adota-se umalei elastoplástica e aderência perfeita. A segunda etapa consiste em usar as relações momento-curvatura, assim obtidas, na análise não linear do modelo de pórtico propriamente dito, comganho de desempenho. Os resultados das simulações realizadas são comparados com resultadosexperimentais disponíveis na literatura.

Palavras-chave:Análise Não Linear, Método dos Elementos Finitos, Concreto Armado

L. Peres, S. Penna, R. Pitangueira

1 INTRODUÇÃO

Os pórticos de um edifício são responsáveis pelo sistema de contraventamento da estrutura esua restrição aos deslocamentos horizontais, o que torna o conhecimento de seu comportamento,principalmente após a fissuração do concreto, de grande interesse para a engenharia estrutural.Nesse sentido, são desenvolvidos estudos experimentais e numéricos, com o objetivo de analisar aresposta da estrutura solicitada por um determinado carregamento.

Apesar das dificuldades existentes em relação à experimentação em laboratório, resultadosexperimentais podem ser encontrados na literatura. Como exemplo pode-se citar os seguintes tra-balhos:Read(1965) ensaiou dois pórticos em escala real, de um vão e um pavimento, com cargavertical aplicada em quatro pontos da viga; os dois pórticos apresentam mesma geometria e mesmaarmadura, porém um deles é bi-engastado na base e o outro é bi-articulado.Wilby e Bandit(1967)ensaiaram um pórtico bi-engastado em escala reduzida, de um vão e um pavimento, sujeito a cargavertical aplicada no meio do vão da viga.Vecchio e Balopoulou(1990) realizaram um ensaio de umpórtico plano de concreto armado em escala real, de um vão e dois pavimentos, bi-engastado, como objetivo de estudar alguns fatores que contribuem para o comportamento não linear destas estru-turas.Vecchio e Emara(1992) realizaram um ensaio de um pórtico plano de concreto armado emescala real, de um vão e dois pavimentos, bi-engastado, com o objetivo de estudar as deformaçõespor cisalhamento em pórticos.

Por outro lado, o desenvolvimento do método dos elementos finitos e dos modelos para análisenão linear de estruturas tornaram a análise numérica uma alternativa viável e amplamente difundida,permitindo a modelagem de várias estruturas, compostas por diferentes materiais e sob o efeito desolicitações e restrições diversas.

Dentre as diversas possibilidades de modelos, que permitem tratar o comportamento constitu-tivo não linear do concreto, os modelos unidimensionais têm sido muito utilizados em virtude desua simplicidade e dos bons resultados obtidos (Penna, 2011). Quando esses modelos são utiliza-dos, a modelagem numérica de estruturas de concreto pode ser desenvolvida com o uso de duasformulações diferentes: as que usam leis tensão-deformação, decompondo as seções transversais,e as que consideram as seções transversais homogêneas, usando relações momento-curvatura.

No caso das formulações baseadas em leis tensão-deformação é possível representar seçõestransversais compostas e de qualquer geometria decompondo-as em várias áreas menores. Emcada uma dessas áreas são monitoradas as relações tensão-deformação não-lineares dos materiaise, por meio de um somatório, simplifica-se a integração dos esforços, estimando-se a resposta daseção ao estado de deformação existente. Encontradas as deformações, pode ser determinada aequação constitutiva de cada seção transversal e a matriz de rigidez de cada elemento. Podementão ser avaliadas as forças internas e obtidas as trajetórias de equilíbrio.

Nas formulações que utilizam relações momento-curvatura a seção transversal é representadapor leis que relacionam os esforços solicitantes na seção com as deformações generalizadas cor-respondentes. Dessa forma usam-se relações entre os esforços axial, de cisalhamento, de torção ede flexão e as respectivas deformações generalizadas axial, de cisalhamento, de torção e de flexão(curvaturas). A partir dessas relações é possível estimar os esforços na seção para um estado de

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deformação. A equação constitutiva de cada seção e a matriz de rigidez de cada elemento podemser determinadas, permitindo-se obter as forças internas e as trajetórias de equilíbrio.

A necessidade de prescrição das relações momento-curvatura representativas das diversas se-ções transversais do modelo é uma desvantagem deste enfoque, porém, obtidas essas relações osesforços na seção podem ser obtidos diretamente, sem a necessidade de integração ao longo daseção transversal, o que leva a um custo computacional menor em relação ao outro modelo.

Tendo em vista essas duas formulações, o objetivo deste trabalho é analisar pórticos planos deconcreto armado, com elementos finitos de pórtico plano baseados na Teoria de Bernoulli-Euler,utilizando um modelo de relações momento-curvatura que foi implementado no núcleo numéricodo INSANE (Interactive Structural Analysis Environment), que é um programa desenvolvido noDepartamento de Engenharia de Estruturas da UFMG segundo o paradigma de Programação Ori-entada a Objetos, utilizando a linguagem JAVA.

As simulações são realizadas em duas etapas. Na primeira etapa, estados elementares de so-licitação são simulados, de modo a obter relações momento-curvatura representativas das diversasseções transversais que compõem o pórtico em estudo. Nesta fase, as seções transversais das bar-ras são divididas em subdomínios, visando considerar o posicionamento espacial dos materiais,bem como a evolução de sua degradação. Para cada um desses subdomínios, adota-se um modeloconstitutivo apropriado: o concreto é representado por leis exponenciais, lineares ou polinomiaispara descrever a evolução do dano, tanto em tração como em compressão; para o aço, adota-seuma lei elastoplástica e aderência perfeita. A segunda etapa consiste em usar as relações momento-curvatura, assim obtidas, na análise não linear do modelo de pórtico propriamente dito, com ganhode desempenho.

Os resultados obtidos são comparados com resultados experimentais encontrados na literaturae resultados numéricos utilizando um modelo que utiliza leis tensão deformação que foi implemen-tado nesse mesmo sistema porFonseca(2006).

2 ANÁLISE FISICAMENTE NÃO LINEAR DE RETICULADOS

Este item aborda primeiramente o modelo de elementos finitos unidimensionais de pórticoespacial, segundo a teoria de Bernoulli-Euler usando a decomposição da seção transversal, apre-sentado porFonseca(2006). Em seguida, a alternativa de evitar a integração dos esforços na seçãotransversal decomposta, através da prescrição de relações momento-curvatura, é apresentada.

O modelo considera que a aderência é perfeita entre o aço e o concreto e que cada materialpossui uma lei tensão-deformação não linear independente atribuída a cada subdivisão da seção.Partindo das relações tensão-deformação normais e tangenciais, pode-se escrever as Equações:

σxx = Es(εxx) · εxx (1)

σxy = Gs(εxy) · 2εxy (2)

σxz = Gs(εxz) · 2εxz (3)

ondeEs eGs são, respectivamente, o módulo de elasticidade secante longitudinal e transversal.




Relações incrementais entre tensões e deformações também podem ser escritas na forma:

dσxx = Et(εxx) · dεxx (4)

dσxy = Gt(εxy) · 2dεxy (5)

dσxz = Gt(εxz) · 2dεxz (6)

ondeEt eGt são, respectivamente, o módulo de elasticidade tangente longitudinal e transversal.

Os módulos secantes e tangentes são funções das deformações, como mostrado nas Equações1 a3 e4 a6, e obtidos por leis constitutivas dos materiais, como mostrado na Figura1.

(a) - Tensão Axial (b) - Tensão de Cisalhamento

Figura 1: Exemplos de leis constitutivas.

Conhecendo-se a distribuição das deformações em cada seção transversal, as propriedadessecantes e tangentes dos materiais podem ser obtidas a partir da lei constitutiva. De posse daspropriedades dos materiais, os esforços internos podem ser calculados pela integração das tensõesao longo da seção transversal, logo:

N =∫

AσxxdA (7)

T =∫

A(σxz · y − σxy · z)dA (8)

My =∫

Aσxx · zdA (9)

Mz =∫

A−σxx · ydA (10)

ondeN é a esforço axial,T é o momento de torção eMy eMz são os momentos fletores.

Para a seção decomposta em pequenas áreas, o cálculo dos esforços internos podem ser sim-plificados por um somatório (Galgoul, 1979; Sfakianakis, 2001; Romeroet al., 2002). A Figura2 mostra a decomposição da seção transversal em pequenas áreas conhecidas, podendo cada umadelas ser composta por um tipo de material diferente.

Este tipo de aproximação permite que sejam monitoradas, em cada uma das áreas quadrilate-rais, as tensões e deformações e que seja aproximada a resposta da seção transversal pela soma das




Figura 2: Exemplo de decomposição da seção transversal em quadriláteros.

contribuições de cada quadrilátero.

As relações entre deformações e deformações generalizadas são dadas por:

εxx = εa − y · kz + z · ky , (11)

εxy =1

2(−z · ψ) e (12)

εxz =1

2(−y · ψ) , (13)

ondeεa é a deformação generalizada axial,kz eky de flexão(curvaturas) eψ de torção.

Substituindo as Equações acima nas Equações1 a3, o resultado nas Equações7 a10e simpli-ficando as integrais por um somatório, tem-se:

N =q∑

i=1

Ai · (εa − yi · kz + zi · ky) · Esi , (14)

T =q∑

i=1

Ai · (y2i · ψ + z2

i · ψ) ·Gsi , (15)

My =q∑

i=1

Ai · (εa − yi · kz + zi · ky) · Esi · zi e (16)

Mz = −q∑

i=1

Ai · (εa − yi · kz + zi · ky) · Esi · yi . (17)

ondeAi é a área de um quadrilateral eq é o número de áreas e que a seção foi decomposta.

A partir dessas Equações, as tensões generalizadas (vetorM ) podem ser calculadas através damultiplicação da matriz constitutiva secante generalizada da seção transversal (Cs) pelas deforma-ções generalizadas (χ):

M = Csχ (18)




onde MT =[N T My Mz

], χT =

[εa ψ ky kz

]e

Cs =∑q

i=1Ai

Esi 0 ziEsi −yiEsi

0 (y2i + z2

i )Gsi 0 0

ziEsi 0 z2iEsi −yiziEsi

−yiEsi 0 −yiziEsi y2iEsi

,

ou na forma incremental, com a matriz constitutiva tangente generalizada da seção transversal (Ct):

dM = Ctdχ (19)

ondeCt é dada por:

Ct =q∑

i=1

Ai

Eti 0 ziEti −yiEti

0 (y2i + z2

i )Gti 0 0

ziEti 0 z2iEti −yiziEti

−yiEti 0 −yiziEti y2iEti

(20)

Analisando a matriz constitutiva tangente (20) é possível perceber que diagonal da matriz écomposta pelas rigidezes da seção, uma vez que os momentos de inércia em relação aos eixosz ey e o momento de inércia polar são dados por:

Iz =∫

Ay2dA (21)

Iy =∫

Az2dA (22)

J0 = Iz + Iy (23)

Visto que, para seções aproximadamente simétricas, os demais termos da matriz são nulos,pode-se reescrever a matriz constitutiva tangente levando em conta apenas os termos da diagonal esimplificando a integral por um somatório da seguinte forma:

Ct =

AE 0 0 0

0 JG 0 0

0 0 IyE 0

0 0 0 IzE

, (24)

ondeAE é rigidez ao esforço normal,JG a rigidez a torção,IyE e IyE a rigidez a flexão.

Neste caso, as relações entre esforço solicitante e deformações generalizadas são dadas pelasEquações:

N = AE · εa (25)




T = JG · ψ (26)

My = IyE ·Ky (27)

Mz = IzE ·Kz (28)

As rigidezes da seção são funções das curvaturas (deformações generalizadas) e podem serobtidas por relaões momento-curvatura, como mostrado na Figura3.

(a) - Flexão (b) - Compressão

Figura 3: Exemplos de relações momento-curvatura.

Dessa forma, o esforço da seção é obtido diretamente a partir de um dado estado de deforma-ção, sem a necessidade de integração dos esforços. Com isso tem-se um ganho computacional.

3 LEIS CONSTITUTIVAS NÃO LINEARES PARA CONCRETOOs modelos baseados na decomposição da seção transversal necessitam de relações tensão-

deformação para os diversos materiais constituintes. Estas relações (Leis Constitutivas) captam aintegridade do módulo secante a partir do estado de deformação da seção e são propostas pela apro-ximação de equações matemáticas, ajustadas com base em experimentos, e correlacionadas compropriedades características do material. A seguir são apresentadas as relações tensão-deformaçãoutilizadas neste trabalho.

3.1 Leis propostas por Carreira e Chu (1985, 1986)As leis propostas porCarreira e Chu(1985, 1986) levam em conta o amolecimento do concreto

na compressão e sua capacidade de resistência à tração. Estas leis são baseadas nos limites de tensãoe deformação para tração e para compressão, e são dadas pelas Equações29 e 30 e ilustradas naFigura4.

σt = ft ·kt · ( ε

εt)

kt − 1 + ( εεt

)kt, com kt = 1

1−(ft

εtE0)

e (29)

σc = fc ·kc · ( ε

εc)

kc − 1 + ( εεc

)kc, com kc = 1

1−( fcεcE0

), (30)

ondeσt é tensão de tração,σc é tensão de compressão,ft é a máxima tensão de tração,fc é a máximatensão de compressão,εt é a deformação relativa a máxima tensão de tração,εc é a deformaçãorelativa a máxima tensão de compressão eE0 é o módulo de elasticidade inicial do concreto.




(a) - Compressão (b) - Tração

Figura 4: Leis constitutivas (Penna, 2011).

3.2 Lei proposta por Boone e Ingraffea (1987)

A proposta deBoone e Ingraffea(1987) aproxima o comportamento à tração do concreto poruma lei exponencial baseada na energia de fratura e em limites de deformação e tensão. A equaçãoé dada por:

σ = fte−k(ε−εt) sendo:k = hft

Gfou k = ft

gf, (31)

ondeσ é a tensão,ft é tensão limite de resistência à tração,ε é a deformação corrente,εt é adeformação relativa ao limite elástico na tração,h é o comprimento característico,Gf é a energiade fratura por comprimento de trinca egf é a energia de fratura específica. A Figura5 ilustra osparâmetros da equação.

Figura 5: Lei constitutiva (Penna, 2011).

3.3 Leis Bilineares

Uma composição linear é usada tanto para o regime elástico quanto para o inelástico. O ramolinear elástico é dado pela lei de Hooke e o ramo inelástico é descrito pelas características do




material e seus limites de resistência. A descrição da lei para tração e compressão diferem apenaspela definição dos parâmetros usados. Para a tração, tem-se:

σ =εt,cr − ε

εt,cr − εt

ft com εt,cr = εt +2gf

ft= εt +

2Gf

hfte (32)

para a compressão tem-se

σ =εc,cr − ε

εc,cr − εc

ft com εc,cr = εc + fc

E2, (33)

ondeεt,u eεc,u é a deformação última admissível na tração e compressão respectivamente. A Figura6 apresenta as leis bilineares para tração e compressão.

(a) - Compressão (b) - Tração

Figura 6: Leis Constitutivas (Penna, 2011).

4 RESULTADOS

Com o objetivo de avaliar os modelos numéricos foi analisado um pórtico plano de concretoarmado ensaiado experimentalmente porVecchio e Emara(1992). A geometria, carregamentos earmações das seções são apresentados na Figura7.

Na primeira etapa os estados elementares de solicitação são simulados para obter as relaçõesmomento-curvatura das seções das vigas (seção AA) e pilares (seção BB) que compõem o pórtico.Para estas simulações é utilizado um modelo com um elemento de pórtico (teoria de Bernoulli-Euler) com dois pontos de integração de Gauss, engastado em um nó e livre no outro.

As seções transversais dos pilares e das vigas são discretizadas com um total de 42 áreas aolongo de sua altura, sendo 2 delas representando as armaduras. A única diferença entre as seçõesde vigas e pilares é o posicionamento das armaduras. A armadura das vigas está posiciona, emrelação a seu centro, a 5 cm da face, e a do pilar a 4 cm.

O aço foi considerado com comportamento elasto-plástico sem endurecimento comEs =192600MPa e fy = 418MPa. Para o concreto foram usadas as leis constitutivas propostas por




Figura 7: Pórtico ensaiado experimentalmente porVecchio e Emara(1992) - em cm.

Boone e Ingraffea(1987), Carreira e Chu(1985) e Bilineares. Como a proposta deBoone e In-graffea(1987) é apenas para o concreto em tração, na compressão utilizou-se a lei proposta porCarreira e Chu(1985). Os parâmetros das leis tensão deformação, para o concreto, utilizadas nosmodelos, são apresentadas na Tabela1.

Tabela 1: Parâmetros das leis tensão-deformação.

Carreira Carreira-Ingraffea Bilineares

fc = 30MPa fc = 30MPa fc = 30MPa

ft = 1.8MPa ft = 1.8MPa ft = 1.8MPa

εc = 0.0021 Gf = 0.00007MPa Gf = 0.00007MPa

εt = 0.00013 h = 0.05m h = 0.05m

E0 = 28600MPa εc = 0.0021 E2 = 2000MPa

Por se tratar de uma análise de um pórtico plano, foram obtidas apenas as relações momento-curvatura para flexão em torno dez e para o esforço normal, apresentadas nas Figuras8, 9 e10.

Na segunda etapa, as relações momento-curvatura obtidas são utilizadas na análise não-linear




-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

-20 -15 -10 -5

Mo

men

to F

leto

r (

kN

.m)

Curvatura (mm

0 5 10 15 20

Curvatura (mm-1)

Carreira

Carreira Ingraffea

Bilinear

Figura 8: Relação Momento Curvatura para a seção do pilar.

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

-20 -15 -10 -5

Mo

men

to F

leto

r (

kN

.m)

Curvatura (mm

0 5 10 15 20

Curvatura (mm-1)

Carreira

Carreira Ingraffea

Bilinear

Figura 9: Relação Momento x Curvatura para a seção da viga.

do pórtico. Além desta análise, é utilizado um modelo com leis tensão-deformação com as mesmascaracterísticas do modelo elementar usado para obtenção das relações momento-curvatura. Dessaforma, o pórtico foi analisado segundo a teoria de Bernoulli-Euler e discretizado em 32 elementosde 2 nós com 2 pontos de integração, sendo 16 elementos em cada pilar e 16 em cada viga. A




-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

-25 -20 -15 -10 -5

Esf

orç

o N

orm

al

(kN

)

Deformação Axial (mm)

0 5 10 15 20 25

Deformação Axial (mm)

Carreira

Carreira Ingraffea

Bilinear

Figura 10: Relação Esforço Normal x Deformação Axial para seção do pilar e da viga.

Figura11mostra o modelo de elementos finitos do pórtico.

Figura 11: Modelo numérico com seção decomposta em camadas.

Os resultados obtidos para o deslocamento horizontal no topo do pilar (nó9) e no meio (nó5)utilizando os modelos momento-curvatura e tensão-deformação são comparados com os resultadosobtidos experimentalmente e apresentados nas Figuras12e13.




0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 20 40 60 80

Car

ga

(kN

)

Deslocamento (mm)

100 120 140 160 180

Deslocamento (mm)

Experimental

Carreira ( Camadas)

Carreira Ingraffea (Camadas)

Bilinear (Camadas)

Carreira (MxC)

Carreira Ingraffea (MxC)

Bilinear (MxC)

Figura 12: Trajetória de equilíbrio para o ponto 9.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 10 20 30

Car

ga

(kN

)

Deslocamento (mm)

40 50 60 70 80

Deslocamento (mm)

Experimental

Carreira (Camadas)

Carreira Ingraffea (Camadas)

Bilinear ( Camadas)

Carreira (MxC)

Carreira Ingraffea (MxC)

Bilinear (MxC)

Figura 13: Trajetória de equilíbrio para o ponto 5.

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A partir da análise dos resultados obtidos, observa-se que as curvas obtidas numericamenteapresentam um comportamento semelhante ao obtido experimentalmente. Com relação aos dife-rentes modelos constitutivos para o concreto utilizados, não se observa diferenças significativas.




No ramo ascendente (Cargas de Projeto) o uso do modelo momento-curvatura mostrou-se maisapropriado, visto que no modelo de seção decomposta a rigidez e a previsão de carga limite é supe-restimada. Além deste fator o custo computacional reduzido é uma vantagem do primeiro modelo.Já para o estudo do comportamento na ruptura deve-se recorrer ao modelo de seção decomposta,que apresenta um resultado bem estimado para o regime pós-crítico. Entretanto o trecho interme-diário não é bem representado por nenhum dos modelos. Cabe investigar o porquê e buscar ummodelo que represente bem e completamente o comportamento não linear de pórticos de concretoarmado.

A variação entre os resultados numéricos e o experimental pode ser explicada pelo fato da nãoconsideração da não linearidade geométrica no modelo. Outro possível motivo, é a deformaçãocausada pelo cisalhamento não ser considerada no modelo de pórtico de Bernoulli-Euler. Portanto,a próxima etapa do trabalho consiste em obter leis momento-curvatura para o cisalhamento e ana-lisar o pórtico utilizando elementos finitos baseados na teoria de vigas de Timoshenko.

Vale destacar ainda que a diferença entre os resultados numéricos obtidos pelos modelosde momento-curvatura e seção decomposta pode ser atribuída ao uso de uma relação momento-curvatura diferente da encontrada no processamento do pórtico. A Figura14 mostra a comparaçãodas relaçõesMz xKz obtidas como resultado do processamento do pórtico e a usada como dado deentrada no modelo momento-curvatura. Como se pode observar, parece que a relaçãoMz x Kz éinfluenciada pelos demais esforços (cisalhamento e esforço normal), diferente do desacoplamentoutilizado neste estado.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 2 4 6 8

Mo

men

to F

leto

r (

kN

.m)

Curvatura (mm

10 12 14 16 18

Curvatura (mm-1)

Relação obtida

Relação dado de entrada

Figura 14: Comparação entre as relações momento-curvatura informada como dado de entrada e a obtida peloprocessamento do pórtico.




Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio financeiro em forma de fomento à pesquisa concedido pela FA-PEMIG (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais) e pela CAPES (Coordenaçãode Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior).

REFERÊNCIAS

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Penna, S.S., 2011.Formulação Multipotencial para Modelos de Degradação Elástica: UnificaçãoTeórica, Proposta de Novo Modelo, Implementação Computacional e Modelagem de Estruturasde Concreto. Tese de Doutorado, Universidade Federal de Minas Gerais.

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