Antiderivada o Primitiva · Antiderivada o Promitiva Antiderivada o Primitiva Veronica Brice´ no...

Antiderivada o Promitiva

Antiderivada o Primitiva

Veronica Briceno V.

agosto 2012

Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva

En esta Presentacion...

En esta Presentacion veremos:

Definicion de Antiderivada.

EjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por Partes.Antiderivada de Funciones Definidas por Tramos.Antiderivada de una Funcion Inversa.Ejemplos.




Definicion de Antiderivada.Ejemplos

Metodo de SustitucionMetodo de Integracion por Partes.Antiderivada de Funciones Definidas por Tramos.Antiderivada de una Funcion Inversa.Ejemplos.




Definicion de Antiderivada.EjemplosMetodo de Sustitucion

Metodo de Integracion por Partes.Antiderivada de Funciones Definidas por Tramos.Antiderivada de una Funcion Inversa.Ejemplos.




Definicion de Antiderivada.EjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por Partes.

Antiderivada de Funciones Definidas por Tramos.Antiderivada de una Funcion Inversa.Ejemplos.




Definicion de Antiderivada.EjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por Partes.Antiderivada de Funciones Definidas por Tramos.

Antiderivada de una Funcion Inversa.Ejemplos.




Definicion de Antiderivada.EjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por Partes.Antiderivada de Funciones Definidas por Tramos.Antiderivada de una Funcion Inversa.

Ejemplos.




Definicion de Antiderivada.EjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por Partes.Antiderivada de Funciones Definidas por Tramos.Antiderivada de una Funcion Inversa.Ejemplos.


Definicion

Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Una PRIMITIVA o ANTIDERIVADA de f en A es una funcionF : A ⊆ R→ R continua, si:

F ′(x) = f (x),∀x ∈ A


Ejemplos:

1 f (x) = x2

2 f (x) = sen(x)3 f (x) = 1

x + ex


Ejemplos:

1 f (x) = x2

2 f (x) = sen(x)

3 f (x) = 1x + ex


Ejemplos:

1 f (x) = x2

2 f (x) = sen(x)3 f (x) = 1

x + ex


Observaciones:

1 Las antiderivadas no son unicas.

2 Notacion:∫f (x)dx denota la familia de todas las antiderivadas de f .


Observaciones:

1 Las antiderivadas no son unicas.2 Notacion:∫

f (x)dx denota la familia de todas las antiderivadas de f .


Tabla de Antiderivadas

1∫

dx = x + C2∫

xndx = xn+1

n+1 + C3∫ dx

x = ln|x |+ C4∫

sen(x)dx = −cos(x) + C5∫

cos(x)dx = sen(x) + C6∫

tg(x)dx = −ln(|cos(x)|) + C7∫

cotg(x)dx = ln(|sen(x)|) + C8∫

sec2(x)dx = tg(x) + C9∫

sec(x)tg(x)dx = sec(x) + C10∫

exdx = ex + C11∫ dx√

1−x2= arcsen(x) + C

12∫ dx

1+x2 = arctg(x) + C


Proposiciones:

1 Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Si F es una antiderivada de f en A, entonces F (x) + C esuna antiderivada de f .Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f ,entonces F (x) = G(x) + C, para alguna constante C.

2 f ,g : A ⊆ R→ R. Se cumple:∫(f (x) + g(x))dx =

∫f (x)dx +

∫g(x)dx∫

αf (x)dx = α∫

f (x)dx , α ∈ R3 f ,F : A ⊆ R→ R. Si F es una antiderivada de f en A,

a 6= 0, entonces 1aF (ax + b) es una antiderivada de

f (ax + b) en A.4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0,∀x ∈ A.

Se cumple:∫ f ′(x)f (x) dx = ln(|f (x)|) + C


Proposiciones:



∫f (x)dx +

∫g(x)dx∫

αf (x)dx = α∫

f (x)dx , α ∈ R

3 f ,F : A ⊆ R→ R. Si F es una antiderivada de f en A,a 6= 0, entonces 1

aF (ax + b) es una antiderivada def (ax + b) en A.

4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0,∀x ∈ A.Se cumple:∫ f ′(x)

f (x) dx = ln(|f (x)|) + C


Proposiciones:



∫f (x)dx +

∫g(x)dx∫

αf (x)dx = α∫



f (ax + b) en A.

4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0,∀x ∈ A.Se cumple:∫ f ′(x)

f (x) dx = ln(|f (x)|) + C


Proposiciones:



∫f (x)dx +

∫g(x)dx∫

αf (x)dx = α∫



f (ax + b) en A.4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0, ∀x ∈ A.

Se cumple:∫ f ′(x)f (x) dx = ln(|f (x)|) + C


Ejercicios:

Calcular:

1∫

sen2(x)dx

2∫ √1+x

1−x dx

3∫(√

x + x)2dx4∫ ex

1+ex dx


Metodo de Sustitucion

TeoremaSea g una funcion derivable con recorrido un intervalo I .Suponga tambien que f es continua en I entonces∫

f (g(x))g′(x)dx =

∫f (u)du =

∫f (u)

dudx

dx


Ejercicios:

Calcular:

1∫

x2cos(x3 + 5)dx

2∫ sen

√x√

x dx

3∫ x√

1−2x2dx

4∫ 4

(1+2x)3 dx

5∫ ln(x)

x dx6∫ x+1√

x2+2x−4dx

7∫ e2x

1+ex dx8∫ 3x

x2+1dx9∫

cos2(x)sen(x)dx10∫

sen3(x)dx


Metodo de Integracion por Partes

Metodo de Integracion por Partes∫udv = uv −

∫vdu


Ejercicios:

Calcular:

1∫

xcos(x)dx2∫

ln(x)dx3∫

x2exdx4∫

excos(x)dx5∫

sen(lnx)dx


Ejercicios:

Usar integracion por partes para escribir las formulas dereduccion:

1∫

cosn(x)dx = cosn−1xsenxn + n−1

n

∫cosn−2(x)dx

2∫

xncos(x)dx = xnsenx − n∫

xn−1sen(x)dx3∫

xnexdx = xnex − n∫

xn−1exdx4∫(lnx)ndx = x(lnx)n − n

∫(lnx)n−1dx


Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos

Observacion

Por definicion, F debe ser continua.

Ejercicios:Calcular:

1 La antiderivada de

f (x) ={

x − 1 si x > 1x + 2 si x ≥ 1

2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx

3∫|x − |x − 2||dx



ObservacionPor definicion, F debe ser continua.



f (x) ={

x − 1 si x > 1x + 2 si x ≥ 1

2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx

3∫|x − |x − 2||dx




Ejercicios:

Calcular:


f (x) ={

x − 1 si x > 1x + 2 si x ≥ 1

2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx

3∫|x − |x − 2||dx






f (x) ={

x − 1 si x > 1x + 2 si x ≥ 1

2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx

3∫|x − |x − 2||dx


Antiderivadas de una Funcion Inversa

Nos interesa calcular:

∫f−1(x)dx

Aplicar: ∫f−1(x)dx = xf−1(x)−

∫f (u)du

Ejemplo: Calcular∫

arc tg xdxSea u = arc tg x ⇒ f (u) = tg x .Ası,

∫arc tg xdx = x arc tg x −

∫f (u)du

Pero, f (u) = arc tg(tg x) = x y du = dx1+x2

Por tanto,∫

f (u)du =∫ x

1+x2 dxFinalmente,

∫arc tg xdx = x arc tg x − 1

2 ln(1 + x2) + C



Nos interesa calcular: ∫f−1(x)dx


∫f (u)du




∫f (u)du


Por tanto,∫

f (u)du =∫ x

1+x2 dxFinalmente,


2 ln(1 + x2) + C




Aplicar:

∫f−1(x)dx = xf−1(x)−

∫f (u)du




∫f (u)du


Por tanto,∫

f (u)du =∫ x

1+x2 dxFinalmente,


2 ln(1 + x2) + C





∫f (u)du




∫f (u)du


Por tanto,∫

f (u)du =∫ x

1+x2 dxFinalmente,


2 ln(1 + x2) + C


Ejercicios:

Calcular:

1∫

arc sen xdx2∫

arc cos xdx


IDEA!!!

Preparar resumenes

Ejemplo: Considerar el tema SUSTITUCION.Observar que existen distintos tipos de ejercicios en este tema,que podrıan clasificarse como sustitucion...

1 inmediata2 trigonometrica3 racional


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