“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Ilha Solteira · 2015. 4. 6. · Tabela 14 – Dados de demanda das...

Ilha Solteira

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

Campus de Ilha Solteira

ELIANE SILVA DE SOUZA

PROPOSTAS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O

PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

DE ENERGIA ELÉTRICA RADIAIS

Ilha Solteira

2014

ELIANE SILVA DE SOUZA

PROPOSTAS DE MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O

PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO

DE ENERGIA ELÉTRICA RADIAIS

Texto apresentado à Faculdade de Engenharia

do Campus de Ilha Solteira - UNESP, como

parte dos requisitos para obtenção do título de

Mestre em Engenharia Elétrica.

Área do Conhecimento: Automação.

Dr. Fábio Bertequini Leão

Orientador

Ilha Solteira

2014

FICHA CATALOGRÁFICA

Desenvolvida pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação

S729p

Souza, Eliane Silva de.

Propostas de modelagem matemática para o problema de restauração de

sistemas de distribuição de energia elétrica radiais / Eliane Silva De Souza. --

Ilha Solteira: [s.n.], 2014

167 f. : il.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de

Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2014

Orientador: Fábio Bertequini Leão

Inclui bibliografia

1. Restauração do serviço de fornecimento de energia elétrica em sistemas de

distribuição radiais. 2. Reconfiguração topológica de sistemas de distribuição

radiais. 3. Otimização de sistemas elétricos. 4. Modelagem matemática.

Ao Senhor Deus, Todo-Poderoso e Pai, a

quem dedico meu ser.

Aos meus pais e família, aos quais dedico meu

amor mais profundo.

Aos meus amigos íntimos, ao quais dedico a

alegria e a verdade.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus por sua bondade e fidelidade, por sua Palavra de vida que me

fortalece em todo o tempo, redimindo-me e restaurando alegrias e fé. A Jesus Cristo, Senhor,

por seu amor, salvação e companhia. Ao Espírito Consolador por elevar a Deus as orações do

meu coração e pelo refrigério nos momentos certos. Toda honra, toda glória, todo poder e

toda majestade pertencem ao Criador.

Agradeço aos meus familiares, pelo carinho, pelo incentivo e pelo apoio.

Especialmente aos meus pais Israel e Ivanete, por todo o cuidado comigo, por todo o afeto,

pela autoridade sobre mim, pelas constantes orações a Deus e pelo exemplo de vida. Não

poderia deixar de citar Joziani, Elizangela e Israel Junior, meus irmãos, com quem aprendi as

primeiras coisas; e Anderson, Andrielly e Guilherme, amores da titia Nê, que nunca me

deixaram parar de brincar e de contar e ouvir histórias.

Aos amigos verdadeiros com os quais, ao longo dos anos e dos diferentes caminhos

trilhados, partilhei descobertas, frustrações, alegrias, fé e sonhos. Especialmente à equipe do

LaPSEE, grandes (gigantescos) colegas e excelentes professores.

Meus agradecimentos aos professores Dr. Fábio Bertequini Leão, Dr. José Roberto

Sanches Mantovani e Dr. Rubén Augusto Romero Lázaro pelo acolhimento acadêmico, pelas

experiências partilhadas e pelos muitos exemplos de dedicação e seriedade. Em especial aos

professores Fábio e Rubén pelo apoio constante, pelo aprendizado que me proporcionaram,

pelas amplas discussões e pela confiança mútua. Meus agradecimentos também ao professor

Dr. João Bosco Augusto London Junior, integrante da banca avaliadora, que nos deu a honra

de sua presença e participação neste trabalho com seus apontamentos e sugestões. Meu

“muito obrigada” a vocês!

Ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico), pelo

financiamento desta pesquisa.

Um tributo a todos os meus incentivadores, de todas as épocas.

Creio que Deus elaborou o mais perfeito plano

de restauração que a humanidade poderia

contemplar:

“Porque Deus amou o mundo de tal maneira

que deu seu Filho unigênito, para que todo

aquele que nEle crê não pereça, mas tenha a

vida eterna. Porque Deus enviou seu Filho ao

mundo não para que condenasse o mundo, mas

para que o mundo fosse salvo (restaurado) por

Ele.” (João 3:16-17)

“E Jesus disse: Quem me vê a mim, vê aquele

que me enviou. Eu sou a luz que vim ao

mundo, para que todo aquele que crê em mim

não permaneça nas trevas.” (João 12:45-46)

Eliane.

RESUMO

Neste trabalho são apresentadas propostas de modelagem matemática para otimização do

problema de restauração de sistemas de distribuição de energia elétrica radiais. O problema de

restauração consiste em estratégias de reconfiguração topológica da rede elétrica para o

restabelecimento ótimo do fornecimento de energia elétrica para áreas desatendidas após

interrupção permanente do fornecimento. O objetivo principal é atender à maior demanda

possível do sistema durante o estado restaurativo, preservando o atendimento às restrições

físicas e operacionais da rede elétrica, cumprindo, assim, os critérios de qualidade e

confiabilidade do serviço prestado. O problema tem sido resolvido há muitas décadas através

de metodologias heurísticas, sendo as meta-heurísticas as técnicas mais empregadas. Na

literatura especializada não há propostas de modelagem matemática para resolução exata do

problema de restauração pelas técnicas de otimização clássica. A razão principal era o

desconhecimento de uma forma eficiente de representar a restrição de radialidade através de

relações algébricas simples. Recentemente, a representação da restrição de radialidade foi

apresentada na literatura. Portanto, a proposta deste trabalho é apresentar finalmente

formulações matemáticas para resolução exata do problema de restauração de sistemas de

distribuição que operam em topologia radial. São essencialmente propostas duas formulações

matemáticas diferentes: a primeira proposta trata o problema de restauração com uma

abordagem simplificada, em que algumas restrições do problema são relaxadas; e a segunda

proposta trata o problema de restauração de forma completa, onde todas as restrições

fundamentais relacionadas aos requisitos técnicos e operacionais do sistema elétrico de

distribuição são consideradas. Os modelos matemáticos podem ser resolvidos utilizando

solucionadores comerciais eficientes, apropriados ao tipo de problema formulado em cada

abordagem proposta. Neste trabalho, os modelos matemáticos foram implementados dentro

do ambiente de programação matemática AMPL e resolvidos utilizando solucionadores

comerciais conhecidos. Foram realizados testes em dois sistemas de distribuição apresentados

na literatura, para os quais estão propostas técnicas heurísticas de resolução. Os resultados

encontrados para os testes realizados são comparados com os resultados apresentados na

literatura e evidenciam a consistência e a eficiência das modelagens propostas neste trabalho.

Palavras-Chave: Restauração do serviço de fornecimento de energia elétrica em sistemas de

distribuição radiais. Reconfiguração topológica de sistemas de distribuição

radiais. Otimização de sistemas elétricos. Modelagem matemática.

ABSTRACT

This work presents proposals of mathematical modeling to optimize the restoration problem

of radial distribution electrical systems. The restoration problem consists in strategies of

topological reconfiguration of the electrical network for optimal restoration of the electric

energy supply to outage areas. The main objective is to supply the most possible demand of

the system under the restorative state, preserving the physical and operational constraints of

the electrical network, satisfying the criteria of quality and reliability of provided service. The

problem has been solved for many decades by heuristic methodologies, with the meta-

heuristics as the most used techniques. In the specialized literature there are no proposals for

mathematical modeling to exact solving of the restoration problem through classical

optimization techniques. The main reason was the lack of an efficient way to represent the

radiality constraint through simple algebraic relations. Recently, a representation of the

radiality constraint was presented in the literature. Therefore, the proposal of this work is to

present mathematical formulations for exact solving of the restoration problem of distribution

systems operating in radial topology. Two different mathematical formulations are essentially

proposed: the first proposal addresses the restoration problem with a simplified approach,

where some constraints of the problem are relaxed; and the second proposal addresses the

restoration problem with a full approach, where all the fundamental constraints related to

technical and operational requirements of the distribution electrical system are considered.

The mathematical models can be solved using efficient commercial solvers, appropriate to the

type of problem that was formulated in each proposed approach. In this work, mathematical

models have been implemented in the mathematical programming environment AMPL and

solved using known commercial solvers. The proposed methodologies were tested in two

distribution systems presented in the specialized literature, where heuristic techniques have

been proposed for resolution. The results that were found for the tests are compared with the

results reported in the literature and they show the consistency and efficiency of the

mathematical modelings proposed in this work.

Keywords: Service restoration in radial distribution systems. Topological reconfiguration of

radial distribution systems. Power systems optimization. Mathematical

modeling.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Exemplo de simplificação de uma rede por blocos de carga .............................. 37

Figura 2 – Diagrama esquemático de um sistema elétrico de potência ................................ 55

Figura 3 – Diagrama unifilar de um sistema de distribuição radial simples ........................ 57

Figura 4 – Estados operacionais do sistema elétrico: transições e ações de controle ........... 61

Figura 5 – Exemplo simples de operação de chaveamento para restauração do serviço ..... 62

Figura 6 – Alimentador de distribuição operando com ilhamento e geração distribuída ..... 67

Figura 7 – Configuração base do sistema teste de 20 barras de Morelato-Monticelli .......... 83

Figura 8 – Configuração ótima proposta pelo método heurístico de Morelato-

Monticelli ............................................................................................................ 85

Figura 9 – Configuração ótima proposta pelo método exato PQIM para o sistema teste

de Morelato e Monticelli (1989) ....................................................................... 103

Figura 10 – Ilustração da aplicação da Primeira Lei de Kirchhoff (LKC) ........................... 118

Figura 11 – Ilustração da aplicação da Segunda Lei de Kirchhoff (LKT) ........................... 118

Figura 12 – Configuração base do sistema teste de 53 barras .............................................. 128

Figura 13 – Configuração proposta pelo método heurístico após falta na barra 3 .............. 132

Figura 14 – Configuração ótima proposta pelo modelo matemático de PCSOIM após

falta na barra 3 no sistema teste de Pereira Junior et al. (2012) ...................... 133

Figura 15 – Fluxo de corrente nos ramos ativos (caso de falta na barra 3), conforme

resolução do modelo matemático de PCSOIM ................................................. 136

Figura 16 – Configuração proposta pelo método heurístico após falta na barra 11 ............ 138


falta na barra 11 no sistema teste de Pereira Junior et al. (2012) ..................... 139



Figura 19 – Configuração proposta pelo método heurístico após falta na barra 14 ............ 146


falta na barra 14 no sistema teste de Pereira Junior et al. (2012) ..................... 147



LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Dados de demanda de carga nas barras do sistema ............................................. 83

Tabela 2 – Estado final das chaves no plano ótimo de restauração de Morelato-

Monticelli ............................................................................................................ 84

Tabela 3 – Configuração inicial das chaves no sistema teste de Morelato-Monticelli ......... 98

Tabela 4 – Resumo de resultados: Minimização do índice LBI no cenário de falta na

zona 6 .................................................................................................................. 99

Tabela 5 – Resumo de resultados: atendimento das zonas de carga pelos

alimentadores ativos após a minimização do índice LBI no cenário de falta

na zona 6 ........................................................................................................... 102

Tabela 6 – Resumo de resultados: Minimização do índice LBI em diferentes cenários

de falta ............................................................................................................... 104


alimentadores ativos após minimização do índice LBI em diferentes

cenários de falta ................................................................................................. 104

Tabela 8 – Resumo de resultados: Minimização do número de chaveamentos em

diferentes cenários de falta ................................................................................ 105


alimentadores ativos após a minimização do número de chaveamento ............ 107

Tabela 10 – Dados dos cabos (condutores) ........................................................................... 125

Tabela 11 – Dados das linhas ................................................................................................ 125

Tabela 12 – Dados de impedância das linhas ........................................................................ 126

Tabela 13 – Dados de capacidade de carregamento das subestações ................................... 127

Tabela 14 – Dados de demanda das barras ........................................................................... 127

Tabela 15 – Informações sobre os cenários de falta no sistema teste de 53 barras ............... 129

Tabela 16 – Resumo dos resultados para o cenário de falta na barra 3 ............................... 130

Tabela 17 – Carregamento das subestações durante estado restaurativo no cenário de

falta na barra 3, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM .. 134

Tabela 18 – Fluxos nos ramos do sistema teste operando no estado restaurativo de falta

na barra 3, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM ........... 135

Tabela 19 – Resumo dos resultados para o cenário de falta na barra 11 ............................. 137


falta na barra 11, conforme a resolução do modelo matemático de

PCSOIM ............................................................................................................ 140


na barra 11, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM ......... 141

Tabela 22 – Resumo dos resultados para o cenário de falta na barra 14 ............................. 143


falta na barra 14, conforme a resolução do modelo matemático de

PCSOIM ............................................................................................................ 147


na barra 14, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM ......... 148

Tabela 25 – Módulos de tensão nas barras atendidas do sistema após restauração em

todos os casos de falta analisados, conforme a resolução do modelo

matemático de PCSOIM .................................................................................... 150

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ACO Ant Colony Optimization

AG Algoritmo Genético

AMPL A Modeling Language for Mathematical Programming

ANEEL Agência Nacional de Energia Elétrica

CPLEX Algoritmo Simplex com linguagem C++, é um solucionador comercial de

programação matemática para Programação Linear, Programação Quadrática e

Programação Inteira Mista

DEC Duração Equivalente de Interrupção por Consumidor

EMS Sistema de Gerenciamento de Energia

FEC Frequência Equivalente de Interrupção por Consumidor

GB Gigabytes

GRASP Greed Randomized Adaptative Search Procedure

KNITRO Nonlinear Interior point Trust Region Optimization, é um solucionador

comercial de programação matemática especializado em Programação Não

Linear, e que também suporta Programação Linear, Programação Quadrática,

Programação Não Linear Inteira Mista e Programação Quadrática Inteira

Mista

kVA Medida para potência aparente

kVAr Medida para potência reativa

kW Medida para potência ativa

LBI Load Balancing Index ou Índice de Balanço de Carga

LKC Lei de Kirchhoff para Correntes (1ª Lei de Kirchhoff)

LKT Lei de Kirchhoff para Tensões (2ª Lei de Kirchhoff)

MLP Multi Layer Perceptron

MVA Medida para potência aparente

PCSOIM Programação Cônica de Segunda Ordem Inteira Mista

PLIM Programação Linear Inteira Mista

PMC Perceptron Multicamadas

PNLIM Programação Não Linear Inteira Mista

PQIM Programação Quadrática Inteira Mista

PSA Parallel Simulated Annealing

PSO Particle Swarm Optimization

p.u. Por Unidade

RAM Random Access Memory

RNA Rede Neural Artificial ou Redes Neurais Artificiais

RTS Reactive Tabu Search ou Busca Tabu Reativa

SA Simulated Annealing

SCADA Supervisory Control and Data Acquisition

SSP Switching Sequence Program

TS Tabu Search ou Busca Tabu

VA Volt-Ampere, unidade de medida para potência aparente

VAr Volt-Ampere reativo, unidade de medida para potência reativa

W Watt, unidade de medida para potência ativa

LISTA DE SÍMBOLOS

𝛀𝒅′ Conjunto de barras de demanda do sistema elétrico passíveis de restauração

𝛀𝒃′ Conjunto de barras não isoladas do sistema elétrico participantes do processo

de restauração

𝛀 Conjunto de chaves instaladas no sistema elétrico

𝛀𝒂 Conjunto de chaves normalmente abertas instaladas no sistema elétrico

𝛀𝒂′ Conjunto de chaves normalmente abertas instaladas no sistema elétrico não

indisponibilizadas para o processo de restauração

𝛀𝒇 Conjunto de chaves normalmente fechadas instaladas no sistema elétrico

𝛀𝒇′ Conjunto de chaves normalmente fechadas instaladas no sistema elétrico não

indisponibilizadas para o processo de restauração

𝛀𝒐′ Conjunto de ramos diretamente conectados à barra da subestação não

indisponibilizados, sendo a barra da subestação denotada por 𝑜

𝛀𝒍 Conjunto de ramos do sistema elétrico, cuja representação se dá pela seguinte

relação: Ω𝑙 = Ω𝑎 ∪ Ω𝑓

𝛀𝒍′ Conjunto de ramos do sistema elétrico não indisponibilizados para o processo

de restauração, cuja representação se dá pela seguinte relação: Ω𝑙′ = Ω𝑎′ ∪Ω𝑓′

𝒏𝒔𝒆𝒄 Conjunto de seções desenergizadas após a ocorrência de falta permanente no

sistema elétrico

𝒗 Função objetivo de minimização

𝑪𝑯𝒐𝒑 Função objetivo de minimização do número de operações de chaveamento

para restabelecimento do sistema elétrico

𝑳𝑩𝑰𝒎𝒐𝒅 Função objetivo modular de minimização do índice LBI

𝑳𝑩𝑰𝒒𝒖𝒂𝒅 Função objetivo quadrática de minimização do índice LBI

𝑺𝑷𝒊 Parâmetro: Capacidade de reserva da fonte 𝑖

𝑺𝑷𝒂𝒗𝒆 Parâmetro: Capacidade média de todas as fontes listadas

𝒅𝒊 Parâmetro: Carga em kVA demandada pela barra 𝑖

𝑺𝒔𝒆𝒄𝒊 Parâmetro: Carga em kVA demandada pela seção 𝑖

𝑸𝑫𝒊 Parâmetro: Carga em kVAr demandada pela barra 𝑖

𝑷𝑫𝒊 Parâmetro: Carga em kW demandada pela barra 𝑖

𝒘𝒊 Parâmetro: Coeficiente de peso do termo 𝑖 da função objetivo

𝜶𝒊 Parâmetro: Custo de corte das cargas 𝑃𝐷𝑖 e 𝑄𝐷𝑖

da barra de demanda 𝑖

𝑪𝒄𝒉𝒂𝒊 Parâmetro: Custo de operação da chave 𝑖

𝑭𝒊 Parâmetro: Fator de importância da carga 𝑖

𝑰𝒋𝑴𝑨𝑿 Parâmetro: Fluxo máximo de corrente permitida para o equipamento ou

condutor 𝑗

𝑰𝒊,𝒋 Parâmetro: Fluxo máximo de corrente permitido para o ramo 𝑖 − 𝑗 .∀ (𝑖, 𝑗) ∈Ω𝑙′

𝑺𝒊𝒎𝒂𝒙 Parâmetro: Fluxo máximo de potência em kVA permitido para o alimentador

primário 𝑖

�̅�𝒐,𝒋 Parâmetro: Fluxo máximo de potência em kVA permitido para o ramo 𝑜 − 𝑗 ∀ (𝑜, 𝑗) ∈ Ω𝑜

′

𝑺𝑻𝑴𝑨𝑿 Parâmetro: Fluxo máximo de potência em kVA permitido para o

transformador 𝑇 da subestação

𝒁𝒊,𝒋 Parâmetro: Impedância do ramo 𝑖 − 𝑗

𝑽𝑴𝑨𝑿 Parâmetro: Magnitude máxima de tensão permitida para o sistema elétrico

�̅� Parâmetro: Magnitude máxima de tensão permitida para o sistema elétrico

𝑽𝒎𝒊𝒏 Parâmetro: Magnitude mínima de tensão exigida para o sistema elétrico

𝑽𝑴𝑰𝑵 Parâmetro: Magnitude mínima de tensão exigida para o sistema elétrico

𝑽 Parâmetro: Magnitude mínima de tensão exigida para o sistema elétrico

𝑪𝒍 Parâmetro: Número de consumidores presentes na seção 𝑙

𝑿𝒊,𝒋 Parâmetro: Reatância do ramo 𝑖 − 𝑗

𝑹𝒊,𝒋 Parâmetro: Resistência do ramo 𝑖 − 𝑗

𝑻𝒄 Parâmetro: Tipos de carga

𝒏𝒂 Parâmetro: Total de alimentadores primários que permaneceram ativos (em

operação) após a interrupção do fornecimento de energia elétrica

𝑵𝒃𝒄 Parâmetro: Total de barras de carga do sistema elétrico

𝒏𝒃 Parâmetro: Total de barras do sistema elétrico em estado normal de operação

𝒏𝒃′ Parâmetro: Total de barras não isoladas do sistema elétrico em estado

restaurativo participantes do processo de restauração

𝒏𝒃𝒅𝒆𝒇 Parâmetro: Total de barras sob defeito isoladas do sistema elétrico em estado

restaurativo

𝒎 Parâmetro: Total de fontes de energia

𝒏𝒍′ Parâmetro: Total de ramos não indisponibilizados do sistema elétrico em

estado restaurativo participantes do processo de restauração

𝒏𝒔 Parâmetro: Total de subestações de distribuição existentes no sistema elétrico

𝑴 Parâmetro: Um escalar de valor suficientemente grande

𝑮𝒌𝒕 (𝑷, 𝑸, 𝑽, 𝜽) Representa implicitamente o conjunto de equações algébricas não lineares

referentes aos fluxos de potência ativa 𝑃 e de potência reativa 𝑄 em cada barra

𝑘 da rede durante o período 𝑡 do estado restaurativo, segundo as Leis de

Kirchhoff para tensão 𝑉∠𝜃 e para corrente

�̇�𝒋 Variável: carga em kVA do alimentador 𝑗 não indisponibilizado normalizada

em relação ao seu correspondente limite de carregamento

𝒃𝒊,𝒋 Variável auxiliar em função do estado operativo do ramo 𝑖 − 𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′,

utilizada para satisfazer a igualdade nas equações relacionadas à aplicação da

2ª Lei de Kirchhoff no ramo quando o circuito está aberto

𝑷𝒋+ Variável auxiliar não negativa de linearização da função objetivo 𝐿𝐵𝐼𝑚𝑜𝑑

𝑷𝒋− Variável auxiliar não negativa de linearização da função objetivo 𝐿𝐵𝐼𝑚𝑜𝑑

𝒙𝒊,𝒋 Variável binária: representa o estado operativo da chave no ramo 𝑖 − 𝑗

𝒙𝒊 Variável binária: representa a reenergização ou o corte da seção 𝑖

𝒙�̅� Variável binária: representa a reenergização ou o corte da seção 𝑙

�̇�𝒊 Variável binária: representa o fornecimento ou o corte da carga 𝑖

𝒚𝒊 Variável binária: representa a decisão quanto ao corte das cargas 𝑃𝐷𝑖 e 𝑄𝐷𝑖

da

barra de demanda 𝑖, portanto, é a variável responsável por desconectar do

sistema elétrico as barras de demanda que não devem ser restauradas e

atendidas pelo conjunto de subestações do sistema de distribuição

𝑺𝑾̅̅ ̅̅ ̅𝒊 Variável binária: representa o estado atual da chave 𝑖

𝑺𝑾̅̅ ̅̅ ̅𝒊𝟎 Variável binária: representa o estado inicial da chave 𝑖

𝑺𝒊 Variável: Carga em kVA atendida pelo alimentador primário 𝑖

𝒈𝒐 Variável: Carga em kVA fornecida pela subestação

𝑷𝒋 Variável de linearização da função objetivo 𝐿𝐵𝐼𝑚𝑜𝑑, equivalente a �̅� − 𝑦𝑗 e que

assume a forma 𝑃𝑗+ − 𝑃𝑗

−, portanto: 𝑃𝑗+ − 𝑃𝑗

− = �̅� − 𝑦𝑗 e |𝑃𝑗| = |�̅� − 𝑦𝑗| =

𝑃𝑗+ + 𝑃𝑗

−

𝑰𝒋𝒕 Variável: Fluxo de corrente que percorre o equipamento ou condutor 𝑗 durante

o período 𝑡 do estado restaurativo

𝑺𝑻𝒕 Variável: Fluxo de potência em kVA que percorre o transformador 𝑇 da

subestação durante o período 𝑡 do estado restaurativo

𝒇𝒊,𝒋 Variável: Fluxo de potência em kVA no ramo 𝑖 − 𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′

𝒇𝒐,𝒋 Variável: Fluxo de potência em kVA no ramo 𝑜 − 𝑗 ∀ (𝑜, 𝑗) ∈ Ω𝑜′

𝑷𝒊,𝒋 Variável: Fluxo de potência ativa em kW no ramo 𝑖 − 𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′

𝑸𝒊,𝒋 Variável: Fluxo de potência reativa em kVAr no ramo 𝑖 − 𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′

𝑷𝑺𝒊 Variável: Geração de potência ativa em kW na barra 𝑖 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′, sendo que a

geração é nula nas barras de demanda, portanto, equivale à carga em kW

fornecida pela subestação 𝑖

𝑸𝑺𝒊 Variável: Geração de potência reativa em kVAr na barra 𝑖 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′, sendo

que a geração é nula nas barras de demanda, portanto, equivale à carga em

kVAr fornecida pela subestação 𝑖

𝑽𝒌𝒕 Variável: Magnitude de tensão na barra 𝑘 durante o período 𝑡 do estado

restaurativo

�̅� Variável: Média das cargas normalizadas �̇�𝑗 ∀ (𝑜, 𝑗) ∈ Ω𝑜′

𝑰𝒊,𝒋𝒔𝒒𝒓

Variável: Quadrado da magnitude de corrente no ramo 𝑖 − 𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′

𝑽𝒊𝒔𝒒𝒓

Variável: Quadrado da magnitude de tensão na barra 𝑖 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′,

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 19

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS .................................................................................... 20

1.2 O PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO E TÉCNICAS DE SOLUÇÃO ...................... 22

1.2.1 Algoritmos Heurísticos e Sistemas Especialistas ..................................................... 27

1.2.2 Meta-Heurísticas ......................................................................................................... 34

1.2.3 Redes Neurais Artificiais ............................................................................................ 46

1.3 OBJETIVOS E CONTRIBUIÇÕES ............................................................................. 51

1.4 ORGANIZAÇÃO DOS CAPÍTULOS ......................................................................... 51

2 RESTAURAÇÃO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO RADIAIS .................... 54

2.1 O SISTEMA DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA ................................. 54

2.1.1 Novos Paradigmas para o Sistema de Distribuição: Smart Grids e Geração

Distribuída ................................................................................................................... 64

2.2 A FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO ........ 68

2.2.1 Funções Objetivo do Problema .................................................................................. 69

2.2.2 Restrições Físicas e Operacionais da Rede Elétrica ................................................ 74

2.2.3 Cálculo do Fluxo de Carga em Redes Radiais ......................................................... 78

3 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA OTIMIZAÇÃO DO PROBLEMA

DE RESTAURAÇÃO COM ABORDAGEM SIMPLIFICADA ........................... 80

3.1 PROPOSTA DE RESTAURAÇÃO E SISTEMA TESTE .......................................... 80

3.2 MODELAGEM MATEMÁTICA PROPOSTA COM ABORDAGEM

SIMPLIFICADA .......................................................................................................... 85

3.3 FORMULAÇÕES ALTERNATIVAS PARA O MODELO MATEMÁTICO

SIMPLIFICADO .......................................................................................................... 90

3.4 TESTES E RESULTADOS .......................................................................................... 97

3.4.1 Resultados para a Minimização do Desequilíbrio de Carregamento entre os

Alimentadores Primários ........................................................................................... 98

3.4.2 Resultados para a Minimização do Número de Operações de Chaveamento ..... 105

3.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO .......................................................... 108

4 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA OTIMIZAÇÃO DO PROBLEMA

DE RESTAURAÇÃO COM ABORDAGEM COMPLETA ................................ 110

4.1 PROPOSTA DE RESTAURAÇÃO E MODELAGEM MATEMÁTICA ................ 111

4.2 SISTEMA TESTE E CENÁRIOS DE FALTA ANALISADOS ............................... 123

4.3 TESTES E RESULTADOS ........................................................................................ 129

4.3.1 Cenário 1: Falta na Seção 3 ..................................................................................... 130

4.3.2 Cenário 2: Falta na Seção 11 ................................................................................... 136

4.3.3 Cenário 3: Falta na Seção 14 ................................................................................... 142

4.3.4 Observações Finais e Testes Adicionais .................................................................. 151

4.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO .......................................................... 155

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO TRABALHO .................................................... 157

REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 160

19

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como objeto de estudo o problema de restauração de redes radiais de

distribuição de energia elétrica. A metodologia de resolução do problema está baseada em

técnicas de otimização clássica. São propostas formulações matemáticas, pelas quais se obtêm

a solução exata para o problema. A metodologia é desenvolvida sob dois enfoques: uma

abordagem simplificada e uma abordagem completa. A modelagem matemática com

abordagem simplificada trata de uma versão relaxada do problema de restauração e a

modelagem matemática com abordagem completa considera todas as restrições fundamentais

relacionadas aos requisitos técnicos e operacionais do sistema elétrico de distribuição.

O trabalho está constituído de um levantamento bibliográfico que define o problema

de restauração e discute a importância do desenvolvimento de técnicas de solução

automatizadas e eficientes como suporte ao operador do sistema a fim de melhorar a

qualidade do serviço e a confiabilidade operacional do sistema no fornecimento de energia

elétrica. Desta forma, as técnicas de solução comumente empregadas são discutidas e

relacionadas entre si. O trabalho apresenta as formulações matemáticas propostas em dois

diferentes capítulos, onde são apresentados também os resultados obtidos com os diversos

testes realizados para avaliar a eficiência da metodologia. Foram utilizados dois sistemas teste

apresentados na literatura, para os quais estão propostas técnicas heurísticas de resolução. Os

resultados encontrados neste trabalho com a resolução dos modelos matemáticos são

comparados com os resultados apresentados na literatura. Os modelos matemáticos foram

programados e resolvidos dentro do ambiente de programação matemática AMPL (A

Mathematical Programming Language), utilizando eficientes solucionadores comerciais,

apropriados ao tipo de problema formulado em cada abordagem proposta. Os resultados

mostram a consistência e a qualidade da metodologia desenvolvida.

Neste primeiro capítulo, apresentam-se os aspectos fundamentais do trabalho: a

elucidação do problema e as técnicas de solução empregadas, a partir da revisão da literatura

especializada, onde diferentes estratégias de restauração são discutidas; o objetivo essencial

da proposta metodológica em termos de contribuições; e, finalmente, a organização dos

capítulos.

20

1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Os sistemas de potência devem operar com qualidade e segurança, atendendo à

demanda dos consumidores. A qualidade e a confiabilidade dos serviços de fornecimento de

energia elétrica são tratadas não apenas como um problema técnico e operacional, mas

também econômico e social, uma vez que a sociedade moderna está fundamentada e

dependente destes serviços, no que diz respeito ao modo e ao padrão de vida dos indivíduos.

Consequentemente, a necessidade do aumento de produção de energia elétrica com qualidade

a curto e a longo prazo, em razão do aumento imediato e progressivo de demanda, e o avante

esgotamento de recursos energéticos exigem técnicas e estudos cada vez mais aprimorados e

que incorporem as necessidades operacionais emergentes para a melhoria do setor elétrico.

Por estes motivos, a otimização dos processos periodicamente ganha novas dimensões e

maiores complexidades em termos de planejamento, manutenção e operação com o objetivo

de manter os requisitos de qualidade do serviço e de confiabilidade do sistema. O sistema

elétrico opera normalmente quando supre completamente a demanda de carga, respeitando os

requisitos técnicos e os limites operacionais da rede.

O problema de restauração do sistema corresponde à restauração do serviço de

fornecimento de energia elétrica quando há ocorrência de faltas permanentes na rede, ou a

ocorrência de outras causas de interrupção no fornecimento, e consiste em reconfigurar o

sistema de modo a garantir a continuidade do serviço restabelecendo a maior parcela possível

do sistema desatendido, cumprindo as restrições físicas e operacionais às quais a rede elétrica

está sujeita. É extremamente necessário desenvolver estratégias que contornem a interrupção

do serviço de fornecimento e que minimizem os impactos causados aos consumidores pela

privação do serviço e às distribuidoras pelos prejuízos financeiros.

Muitas técnicas foram utilizadas para resolver o problema como subsídio ao operador

do sistema, visto que a restauração é um problema complexo de decisão e controle. As

metodologias propostas na literatura buscam acentuadamente a robustez do método e o

melhor desempenho computacional. As técnicas podem estar baseadas em métodos de

otimização clássica, que buscam a solução exata do problema, e em métodos heurísticos, que

buscam soluções aproximadas e de relativa qualidade. A escolha de qual ou quais métodos de

resolução aplicar na otimização dos processos, dentre os métodos clássicos e heurísticos,

depende de importantes fatores, tais como o problema de explosão combinatorial, a

impossibilidade de completa ou correta formulação matemática e algorítmica do problema, a

21

capacidade computacional de processamento e memória, o tempo de processamento

requerido, e ainda a imprecisão de dados que alimentarão o processo de decisão (WU;

MONTICELLI, 1988; MANTOVANI et al., 2000; LAMBERT-TORRES et al., 2009;

MATHIAS NETO, 2011).

Neste contexto, os maiores esforços no desenvolvimento de técnicas para a resolução

de problemas relacionados à otimização de sistemas de distribuição, tais como o problema de

reconfiguração ótima, o problema de planejamento da expansão e o problema de restauração

do serviço, se deram a partir de métodos heurísticos baseados em algoritmos especializados.

Estes algoritmos são capazes de explorar o espaço de busca do problema de forma

relativamente eficiente (a eficiência depende das estratégias utilizadas e da dimensão do

problema) e, assim, apresentam boas soluções. A razão principal para a resolução destes

problemas por técnicas heurísticas foi o desconhecimento de uma forma eficiente de

representar a restrição de radialidade através de relações algébricas simples. Recentemente, a

representação da restrição de radialidade foi apresentada na literatura, no contexto do

problema da reconfiguração ótima de sistemas de distribuição (LAVORATO et al., 2012). No

entanto, na literatura especializada não existem propostas de modelagem matemática para

resolução exata do problema de restauração de sistemas de distribuição radiais pelas técnicas

de otimização clássica. Esta primeira proposta é apresentada neste trabalho de pesquisa.

Portanto, a revisão bibliográfica apresentada neste trabalho está pautada nas técnicas

heurísticas, conforme a tendência de resolução do problema de restauração ao longo das

últimas décadas. Dentre os métodos heurísticos normalmente utilizados na resolução do

problema de restauração, podem-se citar as heurísticas simples (como o algoritmo heurístico

construtivo), as meta-heurísticas e também os sistemas inteligentes (como os sistemas

especialistas e as redes neurais artificiais).

Cada metodologia possui um grau específico de complexidade implementacional, que

costuma refletir diretamente no êxito da obtenção de bons resultados, e propõe uma forma

diferente e interessante de explorar e tratar o espaço de busca de solução do problema. Os

sistemas especialistas podem explorar as características essenciais do problema e, assim,

propor soluções, ou, de forma mais simples, podem propor soluções a partir de algoritmos

guiados por conhecimentos práticos do problema. A estratégia de explorar conhecimentos

práticos do problema pode contribuir para reduzir o espaço de busca, reduzindo

sistematicamente a quantidade de possibilidades de soluções candidatas a serem avaliadas

como promissoras. Já as redes neurais artificiais permitem resolver problemas de forma

22

bastante diferenciada, por sua capacidade de aprendizado e generalização. As meta-heurísticas

apresentam muita flexibilidade na codificação de problemas e possuem mecanismos

específicos que permitem explorar muito eficientemente o espaço de busca de solução e,

assim, ampliar a possibilidade de obter soluções melhoradas.

Nas seções seguintes, estas diferentes estratégias comumente utilizadas na resolução

do problema de restauração são contextualizadas. As técnicas revisadas são discutidas em

termos de desempenho, eficiência, contribuições e também limitações. Na revisão da

literatura especializada, constata-se que o problema de restauração recebe diferentes ênfases,

todas muito proveitosas tanto para a compreensão do problema, quanto para refletir na

melhoria das próprias técnicas quando dedicadas ao problema. É interessante observar que, a

partir da possibilidade de resolução exata, o desempenho dos métodos heurísticos pode ser

também avaliado.

1.2 O PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO E TÉCNICAS DE SOLUÇÃO

O sistema elétrico de distribuição é muito susceptível à ocorrência de faltas que,

muitas vezes, provocam interrupções permanentes no fornecimento de energia elétrica em

parte do sistema. Assim, é necessário restabelecer o serviço à maior parcela possível que ficou

sem atendimento. O restabelecimento ocorre através de operações de chaveamento que

definem uma nova configuração topológica para o sistema durante o estado restaurativo. Esta

nova topologia deve preservar o cumprimento das restrições físicas e operacionais da rede

elétrica, a fim de manter os critérios de qualidade no atendimento e deve assegurar a relativa

imunidade quanto a novas interrupções, aspecto fundamental para a segurança operacional da

rede. Assim, a condição de radialidade dos sistemas aéreos de distribuição permanece como

restrição durante o estado restaurativo e, corrigido o defeito, a rede deve voltar a operar

conforme projetada, no seu estado normal. O estado restaurativo é o estado de operação da

rede em que houve corte de carga e persiste enquanto as parcelas defeituosas ou em

manutenção estiverem isoladas e, quando possível, o sistema a montante do defeito

permanecer parcial ou completamente restabelecido por fontes alternativas de reenergização

(MONTICELLI, 1983; WU; MONTICELLI, 1988).

O propósito da restauração é tentar diminuir os efeitos negativos causados pela

interrupção do fornecimento de energia elétrica, reduzindo o tempo de falta e reduzindo a área

23

desatendida. Portanto, o problema de restauração consiste em restabelecer o fornecimento de

energia elétrica aos consumidores, seguindo um ou mais dos seguintes objetivos: minimizar o

número de consumidores não atendidos pelo serviço, considerando ou não consumidores

prioritários; minimizar a potência não fornecida, considerando ou não prioridade de carga;

minimizar o número de operações de chaveamento; melhorar o balanço de carga entre os

alimentadores primários da subestação de distribuição; minimizar as perdas de energia

elétrica. Os objetivos são formulados de acordo com critérios particulares, tais como: a

continuidade e a qualidade do fornecimento, o nível de satisfação dos clientes em função dos

índices de continuidade dos serviços, os custos de produção de energia e o tempo e custos

para a operação das chaves de manobra da rede (MORELATO; MONTICELLI, 1989; HSU et

al., 1992; FUKUYAMA; CHIANG, 1995; TOUNE et al., 2002; TIAN et al., 2009;

MATHIAS NETO, 2011; PEREIRA JUNIOR et al., 2012).

O problema de restauração é de natureza não linear, com variáveis contínuas e

binárias, portanto, originalmente é um problema de programação não linear inteira mista

(PNLIM), pode ter enfoque multiobjetivo, é de caráter combinatório e gera grandes espaços

de busca, é restrito e, por ser de curto prazo, exige tempo computacional rápido para compor

soluções (TOUNE et al., 2002; SEDANO, 2005; GARCIA, 2005; KUMAR et al., 2006). No

entanto, outras formulações matemáticas podem ser propostas, por exemplo, relaxando

algumas restrições do problema, tratando-o de forma simplificada. Quando se considera a

resolução exata do modelo matemático, pode ser adequado modificar a formulação

matemática de modo que ele possa ser mais facilmente resolvido pelas respectivas técnicas

clássicas de otimização.

Quanto maior é a dimensão do sistema elétrico, geralmente maior é a complexidade de

obtenção de soluções otimizadas, principalmente considerando obtê-las no menor tempo

possível, não só em termos matemáticos no sentido de ampliar o número de configurações

possíveis para avaliação, mas também pelos inúmeros fatores que precisam ser considerados

como restrições físicas e operacionais no atendimento às restrições de carga. Ou seja, o

problema de restauração em sistemas reais pode ser de difícil solução por seu caráter

combinatorial e porque está sujeito a muitas restrições fundamentais. As restrições físicas e

operacionais estão relacionadas à qualidade e à confiabilidade no fornecimento de energia

elétrica e correspondem aos níveis de carregamento dos componentes do sistema, às

magnitudes adequadas de tensão, à capacidade de geração, entre outras (MONTICELLI,

1983; LIU et al., 1988; HSU et al., 1992; KUMAR et al., 2011). Além deste conjunto de

24

restrições elementares, pode ser necessário considerar os requisitos impostos por outros

elementos instalados na rede, como, por exemplo, fontes de geração distribuída (MATHIAS

NETO, 2011).

Resolver de forma exata problemas relacionados à reconfiguração topológica de

sistemas elétricos significa buscar a melhor solução entre todas as configurações possíveis.

Este processo pode ser muito oneroso, sobretudo de acordo com a quantidade de chaves

secionadoras existentes no sistema, visto que o número de configurações candidatas cresce

exponencialmente de acordo com as possibilidades de manobra das chaves existentes.

Portanto, segundo a literatura especializada, gerar e analisar todas as propostas de codificação

é considerado impraticável, principalmente para aplicações em tempo real. Desta forma, para

obter soluções viáveis com tempo favorável de processamento, a alternativa muito explorada

é guiar o processo de busca por meios heurísticos especialmente orientados por

conhecimentos específicos do problema, de modo a diminuir a dimensão do espaço de busca

e, por conseguinte, diminuir a complexidade da resolução, além de permitir a busca por

soluções de interesse (MORELATO; MONTICELLI, 1989; MANTOVANI et al., 2000).

Uma solução de interesse pode ser iniciar a busca a partir de algumas variáveis de decisão

previamente definidas, segundo um objetivo específico: por exemplo, alterar minimamente a

topologia base da rede elétrica, o que significa minimizar implicitamente o número de

chaveamentos na rede, ao fixar o estado inicial de algumas chaves ou decidir previamente

pelo seu estado final para, por exemplo, garantir o atendimento a cargas prioritárias.

Algoritmos heurísticos são exploratórios e buscam soluções aproximadas, dispensando

a representação formal do conhecimento sobre o problema que buscam resolver. Sendo assim,

o objetivo principal das técnicas heurísticas é formular soluções viáveis. A não necessidade de

representar explicitamente as características e exigências do problema é uma grande

vantagem. Já obter soluções aproximadas nem sempre é uma desvantagem. Por essas razões,

as heurísticas são consideradas eficientes na resolução de problemas complexos de pequeno e

de grande porte, como os relacionados ao sistema elétrico de potência. Adicionalmente, é

possível encontrar soluções de qualidade com custo computacional relativamente baixo. Por

exemplo, no setor de distribuição de energia elétrica, as técnicas heurísticas baseadas em

inteligência artificial contribuem para a automação dos processos por sua singular capacidade

de processar e analisar informações, configurando-se ferramentas analíticas de alto

desempenho para o auxílio à tomada de decisões por parte dos operadores dos centros de

controle da distribuição, sobretudo com os avanços das tecnologias digitais integradas à rede

25

elétrica, as quais permitem maior qualidade e disponibilidade de dados e sinais. As técnicas

são normalmente baseadas nas próprias experiências destes operadores nos procedimentos de

diagnóstico e ações corretivas e de controle (HSU et al., 1992; DECANINI et al., 2007;

LEÃO, 2011).

Ao longo dos anos, os métodos heurísticos foram sendo modernizados e se

particularizando, como também apareceram propostas que se complementam. Por exemplo, o

processo de busca guiado por uma meta-heurística geralmente parte de uma solução viável

inicial (aleatória ou gulosa) e segue sucessivamente por aproximações em direção a um ponto

ótimo, que pode ser o ponto ótimo global, até que um critério de parada seja atingido. São as

heurísticas de busca em vizinhança empregadas que permitem que as soluções localmente

encontradas sejam melhoradas. Algumas meta-heurísticas permitem, inclusive, o movimento

para soluções piores, preservando a solução incumbente (melhor solução encontrada e

armazenada), com o intuito de que uma solução melhor possa ser posteriormente encontrada.

As propostas de solução são sondadas e avaliadas por sua proximidade com determinado

objetivo. Quanto mais próximas, maior é a qualidade da solução.

Em resumo, as meta-heurísticas possuem uma característica muito interessante: a

capacidade de diversificação de propostas de solução – teoricamente explorando amplamente

o espaço de busca do problema; e a capacidade de intensificação da busca – vasculhando

localmente cada espaço. Assim, os procedimentos de busca em vizinhança permitem que os

processos heurísticos sejam guiados com mais eficiência e alcancem melhores resultados,

ainda que alguns mecanismos de transições sigam parâmetros totalmente aleatórios. As meta-

heurísticas são conceitualmente genéricas e usuais para os mais variados tipos de problemas,

por isso desenvolver uma meta-heurística para resolução de um dado problema exige do

desenvolvedor (projetista) um alto nível de conhecimento sobre o problema de modo a torná-

la especializada: a codificação adotada, os parâmetros utilizados e os procedimentos de

melhoria local devem ser baseados no conhecimento de domínio específico do problema a ser

resolvido.

Conclui-se que a importância das técnicas heurísticas é muito clara: viabilizar, com

certo grau de satisfação, a resolução de problemas altamente complexos, não resolvidos ou

resolvidos precariamente através de técnicas exatas ou de natureza puramente numérica.

Assim, resumidamente, os métodos heurísticos são particularmente usados nas seguintes

situações: (a) o problema não pode ser matematicamente modelado de forma correta ou os

dados usados são imprecisos ou incertos: neste caso, seria impossível ou inviável utilizar um

26

método exato de otimização; (b) na prática, soluções de boa qualidade são suficientes para

resolver o problema, dispensando a necessidade da solução exata; (c) é demandado um

elevado tempo de processamento computacional ou há insuficiente capacidade computacional

de memória para o armazenamento dos dados até o final do processo de solução: nestes casos,

seria impraticável chegar a uma solução concreta; entre outras. Assim, os métodos heurísticos

são técnicas predominantemente empregadas, por suas características intrínsecas de relativa

simplicidade, rapidez e eficiência, não apenas na resolução do problema tratado nesta

pesquisa, mas também em muitos outros ramos de pesquisa operacional.

No entanto, chama-se a atenção para a seguinte questão: se é possível desenvolver

modelos matemáticos eficientes para problemas complexos, através dos quais podem ser

obtidas soluções exatas e com tempo de processamento computacional adequado às

necessidades de cada problema, empregar métodos heurísticos na otimização destes

problemas pode não ser tão indispensável. Assim, investir em formulações matemáticas passa

a ser uma alternativa muito atrativa, principalmente quando existem disponíveis eficientes

solucionadores comerciais e diante dos muitos avanços de recursos computacionais. Além

disso, existem ambientes de programação matemática que dispensam a necessidade de grande

esforço implementacional dos algoritmos por parte do projetista, visto que a linguagem de

programação matemática destes ambientes é muito próxima da notação matemática em si.

Nas seções seguintes, são abordados alguns dos trabalhos presentes na literatura

especializada destinados à resolução do problema de restauração do serviço de fornecimento

de energia elétrica. Não foram encontrados trabalhos que resolvem o problema de restauração

de forma exata, com modelagem matemática. A revisão bibliográfica está baseada nos

seguintes métodos heurísticos: algoritmos heurísticos, sistemas especialistas, meta-heurísticas

e redes neurais artificiais. Vale ressaltar que a maioria destes trabalhos apresenta formulações

matemáticas que visam tão somente ilustrar o que suas metodologias heurísticas consideram

ou propõem para resolução do problema, ou seja, apresenta algumas relações matemáticas ou

apresenta modelos matemáticos incompletos. Portanto, da forma em que estão apresentados,

esses modelos não podem ser resolvidos por métodos de otimização clássica.

27

1.2.1 Algoritmos Heurísticos e Sistemas Especialistas

Técnicas heurísticas baseadas em algoritmos heurísticos procedurais e em sistemas

especialistas foram muito utilizadas para a resolução do problema de restauração de sistemas

de energia elétrica, tanto sistemas de distribuição radiais como sistemas de transmissão (LIU

et al., 1988; WU; MONTICELLI, 1988; MORELATO; MONTICELLI, 1989;

SHIRMOHAMMADI, 1992; HSU et al., 1992). Essas duas técnicas podem ser

implementadas de forma não completamente distinguível, de tal forma que possa ser inviável

classificar determinadas aplicações como essencialmente especialistas ou como

essencialmente procedurais, embora as diferenças entre elas sejam muito pontuais (sistemas

especialistas manipulam bases de conhecimento e sistemas tradicionais manipulam bases de

dados). Sendo assim, as duas técnicas serão abordadas e discutidas conjuntamente nesta

seção, sem a preocupação de distingui-las essencialmente quanto a esses aspectos.

As técnicas baseadas em sistemas especialistas são muito proveitosas para qualificar

(interpretar, classificar, observar, diagnosticar, etc.) o comportamento dos sistemas modelados

e, assim, direcionar corretamente os esforços na solução dos problemas especificamente

tratados, principalmente aumentando as chances de tratar com eficiência os problemas

emergenciais e complexos. A maior característica destas técnicas é a sua fundamentação na

lógica e em procedimentos de inferência, sendo pouco ou nada utilizada a computação

numérica. O objetivo maior de um sistema especialista é apresentar conclusões sobre um

determinado problema sob seu domínio, a partir de mecanismos que possam corretamente

extrair informações sobre o problema e, por meio de inferências, direcionar o processo de

resolução às ações componentes do sistema, isto é, determinar continuamente quais funções

(ações) previstas deverão ser executadas para a resolução do problema. A base de

conhecimento relativa ao domínio do problema (normalmente formada por fatos e regras)

deve ser devidamente estruturada e representativa. Ao final, tanto a solução (as conclusões

elaboradas) quanto os procedimentos adotados para alcançá-la (“raciocínio” elaborado)

podem ser apresentados ao usuário do sistema, com a finalidade de assisti-lo na tomada de

decisões importantes. O sistema especialista pode ainda fornecer uma interface amigável ao

usuário, com diferentes graus de interação. De forma simplista, sistemas especialistas são

projetados para simular o conhecimento e as decisões efetuadas por especialistas humanos na

resolução de um determinado problema, baseados em suas experiências pessoais e/ou na

compreensão que eles têm sobre as particularidades do problema.

28

Sistemas especialistas já eram utilizados com eficiência em problemas relacionados ao

sistema de potência, principalmente em análise de segurança, aplicações relacionadas ao

processamento de alarmes, por exemplo. O sucesso dessas aplicações influenciou a resolução

de problemas de restauração do serviço de fornecimento de energia elétrica por estes métodos,

por se tratar de um problema complexo de decisão e controle. A maioria das aplicações

destinadas ao problema de restauração foram implementadas para simular as ações de

controle normalmente adotadas por operadores experientes dos centros de controle do sistema

elétrico. Assim, foram propostas aplicações especialistas para auxiliarem os operadores

especialmente diante de faltas permanentes de grande proporção na rede, assegurando-lhes

propostas viáveis (quando existentes) para o plano de restauração diante de situações mais

complexas para a tomada rápida de decisão. Obviamente, as aplicações propostas também se

fizeram úteis para faltas permanentes de menor escala. Os conhecimentos incorporados na

base de dados destes sistemas especialistas foram normalmente elaborados a partir de regras

retiradas da literatura, a partir de profissionais da área, tais como os próprios operadores do

sistema, e também a partir de quadros representativos do problema. Os trabalhos de Liu et al.

(1988), Wu et al. (1988), Morelato e Monticelli (1989) e Hsu et al. (1992) exemplificam estas

aplicações, tal como foram discutidas acima.

Destacam-se a seguir, portanto, as particularidades de algumas técnicas heurísticas

baseadas em conhecimentos práticos aplicadas ao problema de restauração, a partir de

algoritmos heurísticos e sistemas especialistas. As metodologias desenvolvidas são muito

interessantes e diferenciadas entre si e, por isso, permitem explorar o problema de restauração

sob diferentes aspectos, objetivos e cenários. Além disso, menciona-se outra técnica

especialista mais fortemente baseada no entendimento e na análise das características

essenciais do problema.

Liu, Lee e Venkata (1988) desenvolveram não apenas uma aplicação de sistema

especialista para o problema de restauração, como também uma componente para a

minimização de perdas nas linhas em condições normais de operação do sistema elétrico. As

regras propostas norteiam três abordagens, hierárquicas, para a resolução do problema de

restauração de sistemas radiais de distribuição, baseadas na capacidade de reserva dos

alimentadores vizinhos e no atendimento às restrições operacionais do sistema elétrico; e uma

abordagem para a reconfiguração dos alimentadores para a redução das perdas. As regras

pertencem a dois blocos funcionais: “Restoration Planner” e “Loss Minimizer”. No primeiro

bloco, primeiramente ocorre a tentativa de restauração de grupos de cargas, cujas regras

29

orientam a formação de grupos de zonas em falta (tendo sido isolado o defeito), sobretudo

relevante em casos de interrupção em maior escala; depois, a restauração de zonas, caso um

grupo não tenha sido restaurado por incapacidade do alimentador de suporte; e, finalmente, a

transferência de carga (do próprio alimentador de suporte) para tentar restaurar zonas que

permaneceram ainda não restauradas no passo anterior, se este for o cenário. No caso do

segundo bloco, para a redução de perdas de potência nas linhas, as regras identificam pares de

alimentadores primários a partir da posição das chaves de interconexão normalmente abertas,

formando subsistemas igualmente radiais. Reposicionam-se as chaves abertas nos pares,

comutando mutuamente o estado dessas chaves abertas com respectivas chaves vizinhas

fechadas, e havendo localmente redução das perdas nos subsistemas formados, as perdas

totais do sistema também são igualmente reduzidas; o mesmo se aplica à condição de

factibilidade. Para cada movimento das chaves é necessário avaliar a redução de perdas e,

para isso, um algoritmo de fluxo de carga é necessariamente executado apenas para o par de

alimentadores envolvidos. A alteração só é concretizada se há efetivamente a redução das

perdas. Além das regras relacionadas aos dois blocos, o sistema especialista também possui

regras que determinam a sequência de chaveamentos para a configuração topológica proposta

pela solução encontrada. A ordem de chaveamento segue consecutivamente o isolamento da

falta, o religamento do disjuntor (se possível), a transferência de carga (quando da ocorrência)

e a restauração de grupos e/ou zonas, conforme os cenários de falta e as restrições

operacionais. A metodologia considerou a disponibilidade de dados dos alimentadores

primários e a informação do estado das chaves secionadoras, bem como das condições de

carregamento da rede, por meio do sistema de gerenciamento SCADA (Supervisory Control

and Data Acquisition), em tempo real. Os autores assumiram que a localização da falta

permanente era previamente conhecida. Ou seja, partiu-se do pressuposto que alguma

metodologia fora previamente empregada para fornecer esta informação relevante.

Sistemas especialistas podem atuar também na localização e diagnóstico de faltas na

rede elétrica, como proposto na literatura remota e recente. Outras técnicas provenientes da

inteligência artificial, como as redes neurais artificiais e a lógica nebulosa (fuzzy), foram

também empregadas para este propósito (FUKUI; KAWAKAMI, 1986; WONG; TSANG,

1988; HSU et al., 1991; MCNEIL; THRO, 1994; DECANINI; MINUSSI, 2007; BÍSCARO,

2013). Ferramentas baseadas em algoritmos inteligentes, como a metodologia fuzzy, quando

aliadas ainda a determinadas arquiteturas de redes neurais, podem permitir não só a eficiência

na detecção e classificação de anormalidades nos sinais processados do sistema elétrico, como

30

também o treinamento continuado para adaptação das regras de inferência, aumentando a

confiabilidade dos resultados e a eficiência na elaboração do plano de restauração

(DECANINI et al., 2012).

A técnica especialista desenvolvida por Wu e Monticelli (1988) é apenas mencionada

nesta revisão por estar dedicada à restauração de sistemas de transmissão e por se diferenciar

significativamente das outras técnicas especialistas desenvolvidas pelos demais autores nos

trabalhos revisados nesta seção (baseadas em regras práticas de controle operacional da rede

elétrica). Esta técnica especialista é fortemente baseada nas características do problema e não

em experiências humanas, como as demais. Os autores propuseram um amplo quadro

conceitual para avaliar e monitorar a restauração do serviço em sistemas elétricos de potência

de alta tensão, a fim de fornecer um plano confiável, a partir de uma adaptação de ferramentas

analíticas destinadas à avaliação e monitoramento da segurança da rede em condição normal

de operação. O sistema especialista proposto, incorporado ao Sistema de Gerenciamento de

Energia (EMS), é responsável por coordenar as ferramentas analíticas, que se dividem em três

funções: modelagem, análise e otimização, e síntese. A técnica desenvolvida é bastante

complexa, do ponto de vista implementacional. Três destaques podem ser dados: a existência

de uma interface amigável ao usuário do sistema especialista que lhe permite interagir com o

sistema; o auxílio à tomada de decisão a partir de informações dos processos em execução; e a

informação das ações de controle tomadas, justificando as inferências processadas.

Em Morelato e Monticelli (1989) estão propostas técnicas heurísticas muito práticas

para resolução dos problemas de reconfiguração ótima e de restauração ótima de sistemas de

distribuição de energia elétrica, problemas baseados nas transições voluntárias de estado

operacional da rede de distribuição. A proposta central da metodologia é a ampliação da

capacidade de algoritmos convencionais para além de suas capacidades numéricas,

incorporando conhecimentos práticos nos processos, a fim de eliminar as alternativas

intuitivamente não promissoras e, assim, reduzir o número de soluções candidatas. A

estratégia envolve a busca de soluções em uma árvore de decisão binária, cujo processo de

pesquisa está baseado no algoritmo de busca em profundidade. Os autores acomodaram

procedimentos lógicos baseados na experiência do operador do sistema ao algoritmo

procedural de busca, utilizando técnicas de sistemas especialistas, sendo estes procedimentos

lógicos responsáveis por realizar a poda da árvore de decisão do problema. O algoritmo

convencional de busca em profundidade realiza uma busca exaustiva na árvore de decisão,

pois o algoritmo original é estruturalmente formal, isto é, os dados são organizados e são

31

manipulados formalmente na árvore. O conceito computacional de pilha está presente na

implementação desses algoritmos de busca e, na metodologia dos autores, o conceito de pilha

está representado pelo vetor LISTA. Os nós percorridos vão sendo adicionados a esta pilha até

que se chegue ao nó final (nó folha) e toda a árvore seja explorada ou até que a solução seja

encontrada (estrutura de controle denominada backtraking). Dependendo da dimensão ou

nível da árvore binária, este processo pode ser muito oneroso ou inviável. Assim, do ponto de

vista de otimização matemática, a proposta dos autores é um algoritmo branch and bound

rudimentar, em que as estratégias de ramificação e sondagem são realizadas levando em

consideração as características específicas do problema, sem ter disponível uma modelagem

matemática completa, o que torna a metodologia muito relevante, neste aspecto.

É interessante notar que esta metodologia heurística simples formula várias soluções e,

à medida que completa a composição de uma solução candidata (ao completar cada

ramificação da árvore), testa a sua factibilidade, avalia a sua qualidade em termos de função

objetivo e segue atualizando a solução incumbente para apresentá-la no final do processo de

ramificação (após percorrer toda a árvore resultante da poda). Ressalta-se também que ao

provocar a poda da árvore, a ramificação que contém a solução ótima do problema pode ser

eliminada. Dessa forma, a metodologia visa encontrar soluções factíveis, em suposto

detrimento da solução ótima. A solução final deve apresentar o estado das chaves e dos

disjuntores do sistema, portanto, ao final do processo de solução, todas as chaves são

declaradas abertas ou fechadas. As chaves são as variáveis de decisão do problema e a rapidez

do método está fundamentada nas regras que definem a declaração inicial e consecutiva

dessas variáveis, levando em consideração o estado operativo em que a rede elétrica se

encontra (normal, emergencial ou restaurativo). O objetivo final é apresentar um quadro que

estabelece estratégias de controle apropriadas e que permite desenvolver os algoritmos que

resolvem os problemas destacados. A metodologia heurística proposta pelos autores é

exemplificada a partir dos seguintes objetivos: a restauração do serviço, minimizando o

desequilíbrio de carregamento entre os alimentadores principais do sistema através de um

índice de balanceamento de carga, LBI (do inglês Load Balancing Index). Os dados da rede

elétrica que compõem a resolução deste problema são as cargas de cada seção, os limites de

carregamento dos alimentadores primários e a configuração do sistema após o isolamento da

falta. O problema de restauração é tratado de forma relaxada e não considera todas as

restrições físicas e operacionais do sistema elétrico de distribuição.

32

No presente trabalho de pesquisa, um modelo matemático para a proposta de

restauração de Morelato e Montecelli (1989) é desenvolvido e está apresentado no capítulo 3.

Trata-se de um modelo matemático simplificado, uma vez que nem todas as restrições físicas

e operacionais são consideradas pelos autores. Diferentemente da heurística desenvolvida

pelos autores para solucionar o problema de restauração, o modelo matemático apresentado

neste trabalho pode ser resolvido de forma exata por técnicas clássicas de otimização, pois é

um modelo completo para a proposta de restauração tal como formulada.

Em Shirmohammadi (1992), as regras heurísticas propostas se baseiam nos seguintes

procedimentos: isolar a área diretamente afetada pela falta, por meio da abertura das

correspondentes chaves adjacentes, e restaurar o serviço para as demais áreas desatendidas

por consequência da falta, considerando todos os demais nós e ramos não diretamente

indisponibilizados. Para restaurar o serviço, a metodologia torna a rede virtualmente malhada,

simbolicamente fechando todas as chaves de interconexão normalmente abertas do sistema e,

através dos resultados de um algoritmo de fluxo de carga para redes malhadas, qualifica as

chaves quanto ao fluxo de potência percorrido por elas. Assim, em cada malha, as chaves que

representam menores fluxos são abertas. Com isso, intenta-se implicitamente minimizar o

número de chaveamentos para restaurar o serviço de fornecimento de energia elétrica. O

procedimento de abertura das chaves em cada malha é repetido até que a rede obtenha

novamente uma topologia radial. Obviamente, no decorrer do processo, a abertura de

determinadas chaves obriga o fechamento definitivo de outras. Por isso, a metodologia

garante que determinados nós são sejam displicentemente isolados do processo de

restauração. A principal vantagem desta metodologia sobre outras metodologias heurísticas,

como as baseadas em sistemas especialistas, por exemplo, é a sua não dependência de

convergência de acordo com as configurações iniciais propostas ou do estado inicial das

chaves do sistema. Em resumo, a proposta de Shirmohammadi (1992) é um algoritmo

heurístico construtivo dedicado ao problema de restauração e que gera iterativamente uma

proposta de solução através de uma sequência de operações de chaveamento, cuja proposta

final apresenta as chaves que deverão ser manobradas.

Minimizar o número de manobras é considerado um dos critérios fundamentais que

devem ser observados para a restauração de sistemas de distribuição, por uma série de fatores

discutidos no capítulo 2 deste trabalho. Aqui, ressalta-se apenas que existem custos

econômicos, técnicos e de tempo relacionados às operações de chaveamento. Sendo assim, no

presente trabalho de pesquisa também é apresentada uma formulação matemática que

33

minimiza o número de manobras de chaves. Este objetivo é incorporado ao modelo

matemático relaxado apresentado no capítulo 3 e também é incorporado à modelagem

matemática completa apresentada no capítulo 4, cujas formulações consideram todas as

restrições físicas e operacionais que garantem a qualidade do serviço e a segurança

operacional da rede elétrica de distribuição.

Hsu et al. (1992) desenvolveram uma metodologia de restauração baseada em um

conjunto de regras heurísticas a partir de experiências passadas de operadores do sistema de

distribuição de uma companhia chinesa. Posteriormente, Hsu e Huang (1995) desenvolveram

uma rede neural artificial para este mesmo problema, seguindo esta metodologia especialista

original (o trabalho está revisado na seção 1.2.3). Para o plano de restauração, apenas as

cargas do alimentador estão disponíveis, sendo necessário estimar as cargas para as seções do

alimentador. O plano está baseado na capacidade de reserva dos alimentadores vizinhos,

iniciando a tentativa completa de restauração pelo alimentador de suporte principal. Diante da

incapacidade de suprimento de energia imediatamente por completo pelo alimentador de

suporte principal, são formados dois grupos: grupo A, formado por todos os ramais laterais

desatendidos, cujas cargas são restauráveis pelos respectivos alimentadores de suporte

adjacentes por haver margem de reserva suficiente para restauração; e grupo B, formado pelas

cargas desatendidas não completamente restauráveis pelos alimentadores de suporte

adjacentes, por insuficiência de capacidade de reserva para atendimento. Então são realizadas

inúmeras tentativas de restauração por meio de planos de restauração provisórios, com o

propósito de apresentar um plano final que estabeleça a restauração da maior carga possível

do sistema pelo alimentador de suporte principal. Esse propósito visa minimizar o número de

operações de chaveamentos necessárias para a efetivação do restabelecimento do serviço e,

consequentemente, alterar minimamente a topologia original da rede e, implicitamente,

reduzir o tempo destinado à execução do plano elaborado. Isto também evita outros custos

ligados ao deslocamento para diferentes pontos do sistema. Durante a elaboração dos planos

provisórios, considera-se a possibilidade de transferência de carga do alimentador desatendido

para alimentadores adjacentes do grupo A com reserva suficiente para restaurar seus

respectivos conjuntos de cargas e outros conjuntos de cargas pertencentes ao grupo B. Dessa

forma, pode-se aliviar a carga total do grupo B para efeito de restauração pelo alimentador de

suporte principal. Considera-se ainda a possibilidade de reagrupar ao grupo B cargas menores

provisoriamente transferidas ao grupo A, prevendo sempre o menor número de manobras e de

deslocamentos para as manobras. Resumidamente, os procedimentos correspondentes ao

34

plano de restauração compõem três sub-rotinas e são os seguintes: identificar o local de falta e

a demanda de consumo atual (ou estimado, referente a todo o período restaurativo); identificar

as áreas desatendidas pelo serviço e os alimentadores adjacentes; conhecer a margem de

reserva destes alimentadores; iniciar a elaboração do plano; apresentar o plano elaborado.

Ficou evidente que os planos de restauração são propostos somente após a obtenção

dos dados representativos do estado operacional corrente da rede elétrica, isto é, informações

atualizadas das demandas de carga e das margens de reservas disponíveis dos alimentadores

primários de suporte, a partir da configuração de falta. Ou seja, é necessário conhecer

adequadamente o cenário de falta e tentar encontrar as possíveis propostas alternativas para o

suprimento de energia às áreas desatendidas.

Finalmente, esta seção abordou aspectos fundamentais da aplicação de técnicas

heurísticas baseadas em algoritmos heurísticos e em sistemas especialistas na otimização do

problema de restauração. A revisão destas técnicas que abordam os procedimentos de

restauração tais como são normalmente efetuados nos centros de controle permite conhecer

com certos detalhes o problema de restauração, como se dá a elaboração dos planos e as

próprias ações de controle pelos operadores em diferentes sistemas elétricos. Em técnicas

como as meta-heurísticas, as ações de controle para a restauração do sistema, isto é, o

conjunto de regras empíricas e procedimentos práticos comumente adotados, não estão tão

explícitas nos seus processos tradicionais, contudo, os benefícios estão no potencial de

obtenção de melhores resultados. Algumas propostas de meta-heurísticas podem utilizar,

inclusive, sistemas especialistas para gerar soluções iniciais de melhor qualidade (TOUNE et

al., 2002; SEDANO, 2005). Técnicas meta-heurísticas aplicadas ao problema de restauração

do sistema de distribuição de energia elétrica são revisadas na seção seguinte.

1.2.2 Meta-Heurísticas

As meta-heurísticas, ou heurísticas modernas, apresentam bastante flexibilidade na

codificação de problemas, atendendo a particularidades muito específicas, sob diferentes

abordagens. São técnicas heurísticas mais robustas, pois possuem ou permitem incorporar

procedimentos aprimorados que resultam principalmente na realização de buscas exaustivas

no espaço de solução do problema e, eventualmente, podem tratar e corrigir soluções que

apresentam infactibilidades (descumprimento de restrições do problema). Por estas razões,

35

elas são contundentes na busca de soluções de melhor qualidade. Estas técnicas estão

consolidadas na otimização de problemas relacionados aos sistemas elétricos e é possível

também comparar o desempenho delas a partir de melhorias no próprio método.

Os seguintes procedimentos são comuns na implementação de meta-heurísticas: a

codificação eficiente do problema, a composição da solução inicial (ou o conjunto delas), a

definição da estrutura de vizinhança mais adequada às condições impostas pelo problema e a

adoção de parâmetros de controle do algoritmo que possibilitem alcançar melhor eficiência na

resolução do problema. Procedimentos de validação do método também são necessários. Os

parâmetros de controle são uma desvantagem destes métodos, pois precisam ser devidamente

ajustados para aumentar as garantias de convergência. Além disso, os parâmetros são

sensíveis aos mais diferentes tipos de problemas, por isso o ajuste costuma ser empírico. Já a

solução inicial gerada não precisa ser necessariamente de boa qualidade, especialmente

quando gerada aleatoriamente, devido aos mecanismos de melhoria local (as heurísticas de

busca em vizinhança) de cada meta-heurística. No entanto, a má qualidade da proposta inicial

pode refletir diretamente no tempo computacional destinado à convergência. Adicionalmente,

nem todas as meta-heurísticas possuem capacidade ou são eficientes para escapar de ótimos

locais. Também pode ocorrer que as configurações iniciais geradas sejam infactíveis,

tornando o processo de busca pouco atraente e aumentando o esforço computacional para

contornar as infactibilidades. Heurísticas eficientes, como algoritmos gulosos (tais como os de

árvore geradora mínima) e sistemas especialistas, podem ser utilizadas para gerar

configurações iniciais de boa qualidade. Dessa forma, a busca pode partir de um ponto

subótimo do espaço de solução do problema, podendo garantir melhores resultados também

em termos de desempenho computacional (TOUNE, et al., 2002; WATANABE; NODU,

2004; AMASIFEN et al., 2005).

O propósito desta seção é discutir a aplicação e particularidades de meta-heurísticas

dedicadas ao problema de restauração do sistema de distribuição de energia elétrica. São

inúmeros os trabalhos baseados em meta-heurísticas que desenvolveram algoritmos

especializados para a resolução deste problema. São apresentadas propostas de otimização

que consideram a restauração tradicional, a restauração no contexto das smart grids (redes

inteligentes) e também a restauração com geração distribuída (FUKUYAMA; CHIANG,

1995; MATOS; MELO, 1999; TOUNE et al., 2002; WATANABE; NODU, 2004;

WATANABE, 2005; GARCIA, 2005; SEDANO, 2005; KUMAR et al., 2006; TIAN et al.,

36

2009; LAMBERT-TORRES et al., 2009; PHAM et al., 2009; HUANG; HUANG, 2010;

MATHIAS NETO, 2011; PEREIRA JUNIOR et al., 2012).

Em Pereira Junior, Cossi e Mantovani (2012), a técnica de otimização utilizada é a

meta-heurística de Busca Tabu e a proposta de restauração é restabelecer a maior quantidade

de carga possível fora do serviço de fornecimento de energia elétrica em casos de interrupções

permanentes no sistema de distribuição, de forma que o restabelecimento provoque a menor

modificação possível da topologia base do sistema. Em outras palavras, a metodologia

proposta busca minimizar o corte de carga e minimizar o número de chaveamentos

necessários para o restabelecimento. Não há custos reais associados às operações de

chaveamento, considera-se um custo simbólico. Considerar simbolicamente o custo de

operação de chaveamento significa contabilizar as manobradas de chaves efetuadas: a chave é

manobrada se tem seu estado inicial alterado no plano final de restauração, sendo que as

chaves normalmente abertas podem ser fechadas e as chaves normalmente fechadas podem

ser abertas. A função objetivo formulada incorpora também uma estratégia de penalização:

sofre um incremento quando as restrições do problema são violadas. Os objetivos são tratados

como um único objetivo. Para a codificação do problema, assumiu-se que cada barra de carga

corresponde a uma seção, ou seja, cada barra está compreendida entre dispositivos que

permitem a realização de manobras. A codificação permite conhecer as seções que

permanecem energizadas após a falta e as seções que foram desenergizadas pela ocorrência da

falta e que podem ser reenergizadas: em um vetor estão contidas as seções desenergizadas

pela interrupção e outro vetor especifica as seções que estão energizadas e que serão

utilizadas como candidatas a religar as seções desatendidas ou especifica se seções

desatendidas permanecerão desligadas. As seções candidatas a reenergizar as seções

desatendidas são chamadas de seções fonte e a estrutura de vizinhança consiste em alterar a

seção fonte para cada seção desenergizada ou desligá-la definitivamente do sistema,

mantendo-a desenergizada durante o estado restaurativo. A metodologia utiliza a lista tabu

para armazenar a troca das seções fontes para cada seção desatendida, e utiliza como critério

de aspiração, a melhoria da função objetivo quando comparada à função objetivo da solução

incumbente. A convergência se dá quando o número máximo de iterações especificado é

atendido ou se o valor da incumbente não muda durante uma determinada quantidade de

iterações. Para validar a metodologia proposta, além dos testes realizados para diferentes

cenários de falta, foram realizados novos testes em que algumas restrições do problema foram

relaxadas em três níveis percentuais diferentes, de modo que os respectivos resultados

37

pudessem ser confrontados. Os testes realizados apresentaram resultados que evidenciam que

o algoritmo desenvolvido é eficiente para não permitir que seções desenergizadas sejam

restabelecidas se elas provocam a violação de restrições do problema, mostrando-se uma

metodologia confiável e eficiente, nesse contexto. A confiabilidade nos resultados e a

eficiência computacional em termos de tempo de processamento foram atribuídas pelos

autores à codificação adotada.

Em Garcia (2005), a reenergização também se dá a partir de fontes que permaneceram

energizadas (permaneceram na área clara) e que possuem ligação (fronteira) com a área

desatendida (área escura). Assim, inicialmente é realizado um pré-processamento que

identifica estas regiões e é executado um algoritmo de fluxo de carga que fornece informações

sobre os fluxos e sobre a capacidade de reserva dos alimentadores de suporte. A representação

da rede elétrica foi simplificada de modo a reduzir os nós e ramos do grafo que representa a

rede: formaram-se blocos de carga que reúnem nós consumidores sem possibilidade de

secionamento entre si, ou seja, blocos cuja estrutura de ligação de seus nós internos não é

passível de alteração. Portanto, estes nós internos e os seus ramos de ligação são

desconsiderados como nós e ramos no grafo resultante, no entanto, para os cálculos do fluxo

de carga na rede, considera-se a rede completa, sem as simplificações realizadas. O conceito

de bloco de carga é o mesmo conceito de seção e de zona de carga usados em outros trabalhos

(TOUNE et al., 2002; SEDANO, 2005; MATHIAS NETO, 2011; PEREIRA JUNIOR et al.,

2012). Abaixo, a Figura 1 exemplifica o conceito de blocos de carga: na Figura 1(a) consta a

configuração original da rede e a Figura 1(b) ilustra a simplificação de três blocos de carga

realizada nesta rede. Na realidade, este é um exemplo muito simples, pois as redes elétricas

geralmente assumem uma estrutura muito mais complexa.

Figura 1 – Exemplo de simplificação de uma rede por blocos de carga

Fonte: Garcia (2005).

1

2

3

1

2

3

(a) Rede original (b) Rede resultante

38

A proposta de restauração em Garcia (2005) é multiobjetiva e recebe enfoque

multiobjetivo: tem o interesse de minimizar a potência não fornecida e minimizar o número

de chaveamentos na rede, de modo que a intervenção modifique minimamente a topologia

original. Dois algoritmos heurísticos multiobjetivos resolvem o problema de restauração,

baseados no conceito de dominância de Pareto: o primeiro algoritmo é destinado a gerar

soluções factíveis e o segundo algoritmo é responsável pela busca em vizinhança. O primeiro

algoritmo é construtivo (baseado em árvores geradoras mínimas) e gera um conjunto de

soluções factíveis, sendo que apenas as soluções não-dominadas são mantidas. Estas soluções

passam, então, pela fase de melhoria local através do segundo algoritmo heurístico. A busca

em vizinhança considera apenas soluções factíveis e utiliza dois algoritmos distintos: cada um

considerando um critério objetivo e um modo diferente de percorrer a árvore, garantindo,

assim, maior diversidade de soluções. Na busca local com critério multiobjetivo, escolhem-se

todas as soluções vizinhas não-dominadas para serem avaliadas e aquelas que são não-

dominadas em relação a um conjunto melhorado de soluções não-dominadas são incluídas

neste conjunto, formando a nova aproximação da fronteira ótima de Pareto. A busca em

vizinhança considera iterativamente este conjunto melhorado. No entanto, para tornar o

processo de resolução menos oneroso, a busca ocorre a partir de um subconjunto com

soluções representativas do conjunto total, após uma redução por agrupamento. Até o final do

processo de resolução, são mantidas todas as soluções não-dominadas encontradas desde a

solução inicial. A diversidade destas soluções é ideal para representar melhor o espaço

multiobjetivo. O trabalho apresenta duas meta-heurísticas para o problema: uma Busca Tabu e

um Algoritmo Evolutivo. Elas guiam o processo de solução utilizando a codificação e as duas

heurísticas anteriormente apresentadas, cada qual a partir dos seus próprios mecanismos de

seleção, gerenciamento da busca em vizinhança, parâmetros de controle, avaliação das

funções objetivo ou funções de adaptação, e convergência, utilizando o critério de otimização

de Pareto. No entanto, as duas meta-heurísticas geralmente não podem cumprir totalmente

com este critério, principalmente na obtenção de soluções vizinhas: pelos processos de

recombinação e mutação e pelos parâmetros da lista tabu e do critério de aspiração.

Especialmente estes procedimentos permitem a ocorrência ou a aceitação de soluções

dominadas, com a intenção de, em iterações futuras, chegar a soluções não-dominadas com

maior diversidade e qualidade. Em razão da utilização do conceito de otimização de Pareto,

são propostos vários planos de restauração para o restabelecimento do sistema. Os planos

elaborados definem o estado final das chaves. As metodologias foram testadas separadamente

para cinco diferentes redes de distribuição de portes variados e o desempenho delas é

39

comparado quanto à eficiência alcançada e ao tempo computacional requerido, tendo sido

definidos alguns requisitos básicos que permitem uma comparação coerente. A Busca Tabu

ficou melhor qualificada que o Algoritmo Evolutivo.

Toune, Fudo, Genji, Fukuyama e Nakanishi (2002) também analisaram e compararam

a eficiência de algumas meta-heurísticas: Busca Tabu (TS), Busca Tabu Reativa (RTS),

Algoritmo Genético (AG) e Simulated Annealing com processamento paralelo (PSA),

aplicadas ao problema de restauração. As particularidades das formulações de cada uma delas

foram detalhadamente apresentadas. Para efetivar as comparações, alguns procedimentos

foram parametrizados: (a) foi assumida uma única codificação para as variáveis de estado do

problema, a qual permitiu uma eficiente manipulação pelas diferentes meta-heurísticas e um

ótimo desempenho computacional; (b) um mesmo método foi utilizado para gerar a

configuração inicial; (c) em função de (a), foi possível implementar o mesmo critério para a

geração de soluções vizinhas, baseado no operador de mutação do AG. E foram realizadas

comparações qualitativas e quantitativas, quanto: (d) à capacidade das meta-heurísticas de

realizar busca local e busca global; (e) ao tempo computacional para avaliar soluções

vizinhas; (f) à busca efetiva por soluções de qualidade; (g) à qualidade dos valores obtidos

para a função objetivo formulada. A meta-heurística RTS apresentou melhor eficiência: tanto

para gerar melhores resultados, quanto para avaliar as propostas de solução com tempo rápido

de processamento. Adicionalmente, os autores manifestaram interesse em utilizar técnicas de

sistemas especialistas ao bom desempenho da meta-heurística RTS para serem utilizadas em

situações particulares do problema de restauração.

O critério em (a) possibilita que soluções de qualidade sejam obtidas, uma vez que a

qualidade está diretamente relacionada à capacidade das meta-heurísticas de diversificação e

intensificação pelo espaço de busca do problema. Assim, é primordial que a codificação

permita a representatividade necessária e a correta avaliação das propostas de solução. Em

(b), a formulação da solução inicial é proposta por meio de regras que guiam a busca inicial

para um ponto subótimo, possivelmente tornando a convergência mais rápida. É ideal que

todas as meta-heurísticas avaliadas partam de uma solução inicial de mesma qualidade (já que

o objetivo do trabalho é compará-las). Em (d), a capacidade de realizar uma busca global,

facilmente idealizada por um AG através do seu operador de recombinação, não é

necessariamente interessante para o problema de restauração, pois pode caracterizar drásticas

operações de chaveamento e a consequente necessidade de considerar diferentes

alimentadores para o cálculo do fluxo de carga, onerando o tempo de processamento e de

40

obtenção do plano de restauração. O ponto (e) está relacionado ao desempenho das diferentes

técnicas que cada meta-heurística utiliza na fase de melhoria local, para passar de uma

solução para outra, ainda que o mesmo critério de vizinhança tenha sido adotado. Por

exemplo, tanto o AG quanto o TS precisam avaliar um conjunto de soluções, sob condições

diferentes e dependentes dos parâmetros adotados. A comparação quanto à (f) qualifica as

características mencionadas em (a): se as configurações encontradas permitem adequada

seletividade e diversidade em suas composições. O ponto (g) se refere à minimização do

desbalanço de carga entre os alimentadores vizinhos do alimentador sob falta permanente e à

maximização da tensão mínima da rede (para maximização do número de cargas restauradas)

sob enfoque mono-objetivo por meio de somas ponderadas.

Em Mathias Neto (2011), o algoritmo proposto para a restauração de sistemas de

distribuição considera a geração distribuída e está baseado na meta-heurística GRASP (Greed

Randomized Adaptative Search Procedure). A metodologia propõe minimizar o número de

consumidores (organizados em seções) sem fornecimento de energia elétrica e minimizar o

número de chaveamentos, também considerando simbolicamente o custo de operação das

chaves, como abordado anteriormente. O problema tem enfoque multi-objetivo e foi

otimizado utilizando a técnica de fronteira ótima de Pareto. O GRASP possui duas fases: uma

de construção e outra de melhoria local. A fase de construção do algoritmo consiste em

compor iterativamente uma solução inicial factível para o problema. É possível inicializar a

solução do problema a partir de diferentes composições, representativas de diferentes regiões

do espaço de busca. A fase de melhoria local objetiva aperfeiçoar a solução inicial construída

na fase anterior. Assim, a metodologia desenvolvida propõe para a fase inicial apenas o

primeiro objetivo formulado. O segundo objetivo formulado é considerado na fase de

melhoria local. A fase de construção é iniciada pelo algoritmo assim que a seção atingida pela

falta é indicada. O procedimento é isolar a seção sob defeito com a abertura das chaves

adjacentes e listar as chaves candidatas a religar as seções fora do serviço. Se houver

disponibilidade de chaves secionadoras, as seções desenergizadas poderão competir pelo seu

restabelecimento se aprovadas por dois testes baseados em restrições do problema. Como o

trabalho considera a geração distribuída, os geradores dispersos também podem participar do

processo de restauração como fonte de energia, caso aprovados em dois outros testes. Os

geradores distribuídos podem operar de várias maneiras: desligados (se eles não cumprem

com requisitos operacionais); conectados à rede (caso contrário), contribuindo juntamente

com a subestação para o fornecimento de energia elétrica; ilhados ou em microrrede, se um ou

41

mais geradores forem capazes de atender à demanda de seções vizinhas, operando separados

da parcela da rede atendida pela subestação. Todos os testes realizados na fase construtiva do

GRASP buscam descartar as seções que causariam sobrecargas no sistema caso sejam

restauradas. As seções desenergizadas aptas são então ordenadas de acordo com o respectivo

número de consumidores, no qual está baseada a função de mérito, assim, a solução inicial vai

sendo iterativamente composta pela escolha aleatória destas seções. Dessa forma, a fase

construtiva deve compor soluções que imediatamente satisfazem algumas restrições físicas e

operacionais do sistema de distribuição. Por isso e pelo fator de gula do algoritmo, as

soluções iniciais costumam ser de qualidade. Se não houver possibilidade de restabelecimento

por não ser possível compor soluções factíveis, então o procedimento a ser adotado consiste

tão somente em isolar a parcela defeituosa do sistema: o sistema permanecerá operando com a

configuração inicial de falta, com a falta isolada. Por outro lado, se durante a fase de

construção do GRASP, o sistema foi completamente restabelecido, com exceção da parcela

defeituosa, então não é necessário realizar a busca local. A estrutura de vizinhança adotada

consiste na troca de estado entre dois dispositivos de manobra, desde que nenhuma seção que

se manteve energizada após a falta seja desenergizada com a abertura da chave de ligação

com sua fonte. Assim, é encontrado um conjunto de soluções vizinhas e as melhores soluções

factíveis são mantidas e aquelas não dominadas passam a formar o conjunto de soluções da

fronteira de Pareto. Este conjunto é de tamanho variável ao longo das iterações e a qualidade

das soluções geradas é diretamente influenciada pela solução inicial encontrada na fase de

construção. Sendo assim, a fronteira de Pareto não evolui necessariamente melhorando a cada

iteração. O critério de parada considera se foi esgotado o número máximo de iterações ou se

esgotado o tempo limite de processamento do algoritmo. O algoritmo GRASP, ao final do

processo, apresenta o conjunto de soluções ótimas como propostas de planos de restauração e

também as características operacionais de cada proposta. Para validação do método, o

trabalho apresenta vários testes realizados em um alimentador de um sistema de distribuição

de grande porte. Um dos testes considerou a restauração de forma tradicional,

desconsiderando a geração distribuída, para avaliar se a metodologia é eficiente para os dois

casos. Outro teste considerou consumidores preferenciais na função objetivo. Os testes

realizados confirmaram a robustez da metodologia e um ótimo desempenho computacional

(ao apresentar conjuntos de soluções de boa qualidade com poucas iterações ou pelo pouco

tempo de processamento definido no trabalho).

42

Até Pham, Bésanger e Hadjsaid (2009), os trabalhos na literatura especializada

consideravam os geradores distribuídos apenas como fontes complementares de fornecimento

e outros debatiam os impactos positivos e negativos da inserção dessas fontes no sistema de

distribuição, sem propostas para o problema de restauração. Esses trabalhos abordaram

questões como redução de perdas, aumento da confiabilidade operacional da rede,

necessidade de reprojetar o sistema de proteção, custos das tecnologias, entre outros aspectos

técnicos e operacionais relacionados à inserção destes geradores e quanto à própria geração

(ACKERMANN et al. 2001; ACKERMANN et al., 2002; CHIRADEJA et al., 2004; DIAS et

al., 2005; OCHOA et al., 2006; GOMEZ; MORCOS, 2008). Para o planejamento operacional

da rede elétrica com geração distribuída, todos os seus efeitos precisam ser considerados,

especialmente para os corretos investimentos na rede de distribuição e para a utilização ampla

e segura desses geradores. As redes inteligentes, smart grids, podem aumentar o potencial da

geração distribuída nos sistemas de distribuição, principalmente quanto à segurança do

sistema, pois elas contribuem para o controle e possibilitam melhor coordenação do sistema

de proteção. No entanto, são altos os investimentos necessários em equipamentos que

permitem o controle remoto e inteligente da rede. Considerando as características da rede de

distribuição no contexto atual (especialmente no Brasil), sobretudo quanto à radialidade, estes

investimentos na infraestrura são requeridos (CAMPITELLI, 2007; PHAM et al., 2009;

SILVA et al., 2010; LEÃO, 2011; MATHIAS NETO, 2011).

Em Pham, Bésanger e Hadjsaid (2009), a proposta de restauração do serviço está no

contexto das smart grids e consiste em usar amplamente o potencial da geração distribuída

com grande presença no sistema elétrico, especialmente diante de faltas permanentes de

grande proporção. O objetivo é explorar a presença dos geradores como suporte adicional em

casos de interrupções mais críticas e, assim, acelerar o processo de restauração e aumentar o

número de cargas restauradas. A agilidade e a eficiência da metodologia para o plano de

restauração do serviço de fornecimento de energia elétrica estão baseadas – no contexto das

smart grids – na capacidade tecnológica da rede elétrica e de interligação dos geradores

distribuídos, possibilitando que ocorra o plano de restauração a nível de distribuição

simultaneamente ao plano a nível de transmissão. A metodologia propõe a ocorrência de um

grande número de ilhamentos intencionais, permitindo paralelamente a restauração de muitas

áreas em diferentes condições de carregamento, ampliando consideravelmente o êxito da

restauração. A metodologia também estabelece a sequência ótima de chaveamento, a partir de

uma adaptação do algoritmo branch and bound. O método de pesquisa na árvore é a busca em

43

profundidade e a estratégia de ramificação consiste em fechar ou não uma chave em cada

nível, de acordo com a prioridade da carga e os limites operacionais dos geradores. Ao final

do processo de ramificação, o conjunto de soluções com as possíveis sequências de

chaveamento é obtido e as soluções são classificadas conforme o volume de carga restaurada

e o número de chaves de interconexão normalmente abertas. As propostas apresentadas são

validadas por meio do cálculo de fluxo de carga. O êxito da metodologia incentiva à inserção

dos geradores distribuídos nos sistemas de energia.

Lambert-Torres et al. (2009) desenvolveram uma metodologia especializada na

resolução do problema de restauração baseada na metaheurística Particle Swarm Optimization

(PSO), com a seguinte proposta de restauração: minimizar a potência não fornecida e

minimizar o número de chaveamentos necessários para a restauração. A metodologia envolve

o fechamento simbólico de todas as chaves de interconexão normalmente abertas do sistema

de distribuição radial, formando malhas (ou laços). Em cada malha, pelo menos uma chave

deve ser aberta a fim de preservar a topologia radial da rede. Assim, fechando as chaves de

interconexão e recuperando a radialidade pela abertura de pelo menos uma chave secionadora

em cada laço, é proposta a reconfiguração da rede na tentativa de restauração do sistema. Dois

algoritmos resolvem os dois objetivos de restauração e tratam a ocorrência de sobrecargas nas

linhas do sistema. A população é representada por uma matriz onde cada vetor representa uma

solução. O comprimento do vetor de solução no primeiro algoritmo é o número de chaves

normalmente abertas e o comprimento do vetor de solução no segundo algoritmo é o número

de chaves normalmente fechadas. Para a verificação de sobrecargas nas linhas do sistema, um

algoritmo de fluxo de carga é executado, desconsiderando as perdas de energia. O primeiro

algoritmo proposto define os nós energizados e apenas verifica se há sobrecargas. O segundo

algoritmo é executado apenas quando o primeiro produz apenas soluções com sobrecargas. O

objetivo do segundo algoritmo é tentar iterativamente remover as sobrecargas através da

abertura de chaves normalmente fechadas. A meta-heurística PSO também foi utilizada por

Tian et al. (2009) para minimizar a potência não fornecida e minimizar as perdas nas linhas,

sob enfoque mono-objetivo.

Outros trabalhos baseados em meta-heurísticas para restauração do sistema de

distribuição podem ser destacados. Watanabe e Nodu (2004) usaram o Algoritmo Genético

(AG) também para minimizar a energia não fornecida. O método proposto é composto por

duas fases: a primeira fase gera um conjunto de configurações com topologia radial e a

segunda fase define a sequência ótima de chaveamento que minimiza a função objetivo para

44

cada configuração e retorna o valor fitness. Todas as manipulações do algoritmo produzem

configurações factíveis (na inicialização e após os operadores genéticos de recombinação e

mutação). A população inicial é gerada pelo algoritmo de Kruskal. O operador de

recombinação gera descendentes recombinando a codificação genética dos pais (preservando

as arestas construídas pela árvore geradora mínima na população anterior) e o operador de

mutação faz pequenas alterações, trocando aleatoriamente um ramo por outro. A proposta é

muito prática e eficiente e, por isso, gera boas soluções que contribuem para melhorar a

confiabilidade do sistema durante o período restaurativo. A mesma ênfase dada ao problema

de restauração nesta metodologia foi dada por Watanabe (2005) com a utilização da meta-

heurística Colônia de Formigas (Ant Colony Optimization - ACO): no entanto, a estratégia

utilizada para definir a sequência ótima de chaveamento que minimiza a energia não fornecida

foi baseada no método hyper-cube framework (HC-ACO) (BLUM et al., 2001).

Kumar, Das e Sharma (2006) e Fukuyama e Chiang (1995) também desenvolveram

metodologias para restauração do serviço em sistemas de distribuição de energia a partir de

Algoritmos Genéticos. Ambas as metodologias desenvolveram mecanismos que aceleram o

processo de restauração, a partir de características do problema e da própria meta-heurística,

respectivamente. O primeiro trabalho mencionado utiliza a versão convencional do AG e

resolve o problema na ocorrência de faltas simples e múltiplas na rede, considerando

consumidores prioritários e penalização na função fitness se houver violação de restrições de

tensão e corrente. A formulação do problema minimiza a área desatendida, minimiza o

número de operações de chaveamento (considera separadamente as chaves controladas

remotamente e as chaves controladas manualmente) e minimiza as perdas nas linhas. A

função fitness é definida como a soma ponderada de todos os termos. A importância de

priorizar a restauração por meio de chaves controladas remotamente é a redução do tempo

necessário para o restabelecimento do sistema. No segundo trabalho mencionado, os autores

desenvolveram uma versão do AG com processamento paralelo, aproveitando as

características intrínsecas desta meta-heurística quanto à capacidade de realizar busca global e

quanto à aptidão ao processamento distribuído. Outras adaptações foram implementadas nos

operadores genéticos, baseadas nas características do problema. Dessa forma, a eficiência do

método é consideravelmente maior. A formulação da função objetivo é minimizar a área

desatendida, equilibrando a restauração das cargas entre os alimentadores de suporte com

capacidade de reserva.

45

O Algoritmo Genético é baseado na evolução natural de uma determinada população.

Nele, a evolução ocorre através dos operadores genéticos de recombinação (crossover) e

mutação, que imitam os processos reprodutivos na população e a sua interação com o meio

ambiente. Nessas circunstâncias, os indivíduos mais fortes e mais adaptados são os que têm

maiores chances de sobrevivência e de gerar novos descendentes. Portanto, as melhores

soluções encontradas são preservadas nas novas configurações geradas, pois os descendentes

carregam subestruturas (informações genéticas) de seus pais. A informação genética de cada

indivíduo é representada por uma string (vetor) chamada cromossomo. Assim, a informação

genética de toda a população forma uma matriz. O AG manipula essas informações para gerar

novos descendentes e uma nova geração de indivíduos melhor adaptados. A configuração

deve permitir que a função de adaptação ou função fitness de cada indivíduo possa ser

corretamente avaliada, uma vez que a seleção para a reprodução normalmente está baseada na

qualidade dessa adaptação.

Matos e Melo (1999) desenvolveram uma aplicação da meta-heurística Simulated

Annealing (SA) para resolver os problemas de reconfiguração e de restauração de sistemas de

distribuição. O mesmo procedimento básico foi adotado na metodologia para resolver os dois

problemas, visto que ambos compartilham as mesmas bases. No entanto, a função objetivo

deve ser diferenciada para atender devidamente os propósitos essenciais de cada problema. A

formulação para o planejamento da reconfiguração geralmente envolve a minimização de

perdas de potência ativa e a formulação para o problema de restauração geralmente envolve a

minimização da potência não fornecida e a minimização do número de operações de

chaveamento. São estas as propostas normalmente trabalhadas e essencialmente consolidadas

na literatura especializada. Os dois objetivos mencionados para o problema de restauração

foram os objetivos formulados pelos autores e, como são objetivos conflitantes, os autores

utilizaram uma abordagem multiobjetiva para a otimização do problema. A metodologia

apresenta como propostas de solução um conjunto de soluções não-dominadas, onde se fez

notar uma relação quase direta entre maior número de operações de chaveamento e menor

energia não suprida. Segundo os autores, o critério multiobjetivo também pode ser utilizado

para o problema de reconfiguração, onde além da minimização das perdas nas linhas, podem

ser considerados os limites de queda de tensão e a realização do balanço de carga.

Além dos trabalhos revisados nesta seção, muitos outros trabalhos baseados nestas e

em outras meta-heurísticas estão propostos na literatura para a otimização do problema de

restauração do fornecimento de energia elétrica.

46

1.2.3 Redes Neurais Artificiais

Redes neurais artificiais (RNA) podem ser usadas para elaboração de planos de

restabelecimento do sistema elétrico em tempo real. Sendo assim, podem superar a principal

deficiência observada nas demais metodologias heurísticas revisadas nas seções anteriores e

comumente empregadas para solucionar o problema de restauração: a necessidade de impor

certas limitações ou simplificações ao processo de resolução a fim de melhorar o tempo de

processamento computacional. Por exemplo, algumas metodologias procuram reduzir o tempo

de processamento computacional através da simplificação de cálculos relacionados à rede

elétrica e outras formulam critérios alternativos de interrupção algorítmica para obtenção de

soluções em tempo adequado ao problema. Neste último caso, o processo de solução é

interrompido e são apresentadas as propostas de solução correntes, com função objetivo

possivelmente não otimizada ou pouco melhorada. No entanto, redes neurais artificiais

possuem a capacidade de atender ao requisito operacional de propor soluções de boa

qualidade em tempo real porque são ferramentas para operação em tempo real, treinadas a

encontrar soluções de qualidade numa fase pré-operacional. Por razões econômicas e sociais,

é ideal que as metodologias empregadas para resolver o problema de restauração do

fornecimento de energia elétrica atendam ao quesito de urgência do problema.

Redes neurais artificiais são ferramentas apropriadas para reproduzir o comportamento

do sistema que buscam representar. No entanto, faz-se necessário elaborar um projeto que

possa cumprir adequadamente este propósito. Os procedimentos básicos são: apropriar-se de

informações disponíveis sobre o problema em questão, escolher a arquitetura que o

representará de forma mais eficiente, escolher a topologia que possibilitará o aprendizado

satisfatório da rede neural artificial e conduzir adequadamente o processo de treinamento da

rede neural. Como os demais métodos heurísticos, as RNA dispensam as formulações

matemáticas que descrevem os processos de solução e mecanismos alternativos podem fazê-

las superar muitas possíveis limitações de convergência (aprendizado).

Nesta seção são revisados alguns trabalhos que resolvem o problema de restauração

através de redes neurais artificiais. São poucas as implementações de arquiteturas neurais

artificiais encontradas na literatura para este propósito. Dentre elas, estão propostas

metodologias para sistemas de distribuição e outras para a restauração de sistemas de

47

transmissão. Não há significativamente pesquisas nessa área de aplicação em particular e não

há diversidade quanto às arquiteturas utilizadas. No entanto, as propostas existentes para

resolver o problema são muito interessantes, todas projetadas com o objetivo de superar as

limitações de tempo na obtenção de soluções de boa qualidade. Algumas podem tratar os

dados recebidos diretamente dos sistemas de aquisição de dados e de gerenciamento de

energia (SCADA/EMS), desde que estejam disponíveis, e outras necessitam que o cenário de

falta seja informado. O objetivo essencial desta seção é, portanto, explorar as características,

as limitações e as contribuições dessas implementações neurais. A seguir, são discutidos os

trabalhos que tratam da restauração de sistemas de distribuição e são mencionados os

trabalhos destinados à restauração de sistemas de transmissão.

Hsu e Huang (1995) propuseram duas técnicas baseadas em inteligência artificial para

a elaboração de planos de restauração para o sistema de distribuição: redes neurais artificiais e

o método de reconhecimento de padrões. As metodologias foram testadas em um sistema de

distribuição subterrâneo chinês. Os autores haviam proposto em 1992, juntamente com outros

autores, um algoritmo especialista para a resolução do problema de restauração baseado na

experiência dos operadores desse mesmo sistema elétrico (trabalho revisado na seção 1.2.1).

Os resultados alcançados pelo sistema especialista se mostraram eficientes e relativamente

rápidos, assim como várias outras propostas baseadas nesta mesma técnica. Além dos

sistemas especialistas, muitos outros trabalhos baseados em técnicas da inteligência artificial

estavam sendo desenvolvidos, como as duas técnicas utilizadas pelos autores neste trabalho de

1995. As pesquisas em redes neurais artificiais haviam sido recentemente retomadas com

vigor, logo após os estudos realizados por Hopfield (1982; 1984), Kohonen (1982) e

Rumelhart et al. (1986). Entre as aplicações destinadas a problemas relacionados aos sistemas

de potência, consta na literatura o uso de redes neurais artificiais para o cálculo e a redução de

perdas com e para a reconfiguração de alimentadores do sistema de distribuição (KIM et al.,

1993; KAU; CHO, 1995), para o processamento de alarmes, estimação/detecção de faltas e

avaliação de segurança (CHAN, 1989; TANAKA et al., 1989; KARUNAKARAN;

KARADY, 1991; YANG et al., 1994), para operações de controle em tempo real do

desempenho da rede elétrica (SANTOSO; TAN, 1990) e inúmeras outras aplicações.

Propósitos semelhantes foram projetados com o uso do método de reconhecimento de padrões

(SOBAJIC et al., 1989; CHANG et al., 1990).

Uma vez que o uso destas técnicas baseadas em inteligência artificial eram eficientes

nos seus propósitos destinados, Hsu e Huang (1995) desenvolveram sua metodologia para a

48

restauração do serviço de distribuição de energia elétrica no mesmo sistema que haviam

baseado o trabalho anterior (HSU et al., 1992) para também compararem resultados e

analisarem o desempenho das duas novas abordagens. A abordagem neural apresenta uma

única solução para o problema. Já o método de reconhecimento de padrões é capaz de

apresentar vários planos de restauração factíveis, com diferentes possibilidades e quantidades

de chaveamentos. A fim de simplificar as duas metodologias, representações similares foram

utilizadas para compor os padrões de entrada da RNA e de armazenamento/reconhecimento

do outro método. A arquitetura neural implementada foi a rede Perceptron Multicamadas

(PMC ou MLP, do inglês Multi Layer Perceptron) com o algoritmo convencional de

aprendizagem supervisionada de retropropagação do erro (do inglês back-propagation) e duas

camadas intermediárias. Os sinais de entrada da rede correspondem às cargas dos ramais

laterais da área sem fornecimento e à capacidade de reserva dos alimentadores de suporte. A

formatação dos dados é muito parecida com os procedimentos adotados na heurística

especialista: estas cargas são agrupadas de acordo com a capacidade de restauração dos seus

respectivos alimentadores de suporte laterais, quando eles existem, e de acordo com o cenário

de falta. O alimentador de suporte principal igualmente assume a responsabilidade maior do

restabelecimento do alimentador vizinho em falta. Na abordagem neural, os autores utilizaram

um procedimento interessante e dinâmico para evitar sobrecargas nos alimentadores de

suporte. O procedimento adotado simultaneamente evita o aumento do número de operações

de chaveamento necessárias para o restabelecimento do sistema. Consiste em atribuir um

valor adaptável classificatório ao limiar (threshold), assumindo inicialmente um valor alto,

uma vez que a operação de fechar uma chave de interconexão lateral com um alimentador de

suporte ocorre quando a saída é maior que o limiar adotado (os dados de saída da RNA

correspondem ao estado aberto/fechado das chaves de interconexão normalmente abertas e

assumiu-se valor 1 para indicar o estado fechado). Os valores de todos os parâmetros foram

informados, bem como outros dados de convergência. Os resultados observados foram muito

eficientes para reduzir o período de recomposição do sistema após a falta permanente e

aumentar a confiabilidade do serviço. Portanto, a metodologia baseada nas duas abordagens

propostas mostrou-se adequada para aplicações reais.

Bretas e Phadke (2003) desenvolveram uma rede neural artificial para restauração de

um sistema de transmissão de 162 barras (do IEEE). A proposta foi testar a eficiência da

aplicação de arquiteturas neurais para restauração de sistemas elétricos de maior porte, visto

que outros trabalhos utilizando redes neurais artificiais já haviam sido propostos (inclusive

49

pelos próprios autores) para restauração de pequenos sistemas de distribuição e pequenos

sistemas de transmissão, com resultados satisfatórios e rápidos/instantâneos (HSU; HUANG,

1995; BRETAS; PHADKE, 2001). Os autores utilizaram a rede neural Perceptron

Multicamadas e o algoritmo convencional de aprendizagem back-propagation para a

elaboração de planos de restauração para o sistema sob ampla condição de falta. O esquema

neural foi projetado para restaurar o sistema por ilhas, para uma restauração paralela do

sistema de transmissão. As ilhas são formadas com a abertura de todos os disjuntores. Para

cada ilha há um esquema que propõe o plano de restauração local, através de duas redes

neurais artificiais, responsáveis, cada uma, por um propósito, e através de um programa (SSP

- Switching Sequence Program) que fornece, com auxílio de uma base de dados, a sequência

final de chaveamento dos disjuntores locais para o plano final elaborado pelo esquema de

restauração. Para testar a capacidade de generalização do esquema neural proposto, muitos

cenários de falta foram apresentados. O desempenho computacional em termos de tempo de

processamento foi comparado com o desempenho de um método de busca em largura

(breadth-search) e a implementação neural proposta foi capaz de fornecer um plano de

restauração em um tempo de processamento consideravelmente menor. Todos os cenários de

falta testados tiveram como propostas de solução planos de restauração totalmente factíveis,

confirmados pela execução de um algoritmo de fluxo de carga.

Na literatura especializada, consta que Kiran e Ramulu (2013) apresentaram um

trabalho totalmente baseado na metodologia destes autores, sem acrescentar contribuições. Já

Hassan et al. (2006), apresentaram uma proposta semelhante à dos autores (BRETAS;

PHADKE, 2003), mas com implementação um pouco diferenciada: em vez de duas redes

neurais, apenas uma rede neural foi usada no processo de restauração de cada ilha e o

algoritmo de aprendizagem back-propagation foi implementado com taxa de aprendizagem

variável decrescente. Além disso, o plano de restauração foi empregado em um sistema de

transmissão egípcio e o programa utilizado para realizar o treinamento das redes neurais

também foi diferente nos dois trabalhos. A primeira rede neural é substituída diretamente por

uma posição no vetor de entrada correspondente à segunda rede neural da proposta original. A

primeira RNA tinha como vetor de entrada as cargas da respectiva ilha antes da falta. Não é

possível comparar o tempo de processamento computacional dos dois trabalhos por

incompatibilidade de informações nesse aspecto.

Kumar, Das e Sharma (2011) igualmente propuseram uma rede neural artificial

multicamadas de alimentação direta com retropropagação do erro baseada no algoritmo

50

aprimorado de aprendizagem de Levenberg-Marquardt para dar a solução ao problema de

restauração do sistema de distribuição em tempo real. A proposta é também suprir a

ineficiência de outros métodos rápidos, mas não rápidos o suficiente para aplicações reais em

tempo real. A rede neural foi implementada com apenas uma camada intermediária. Os

padrões de treinamento e de teste correspondem às cargas ativas e reativas de cada barra do

sistema de distribuição organizadas em zonas de carga (no mesmo contexto de blocos ou

seções de carga apresentado na seção 1.2.2), cujas variações de carregamento foram geradas

aleatoriamente. Para cada padrão de carregamento é assumida uma falta aleatória. Logo, os

dados de entrada da rede neural são estes padrões juntamente com a respectiva informação da

região (zona) em falta. Os padrões de saída são obtidos a partir da resolução do problema de

restauração por meio de uma técnica evolutiva (um Algoritmo Genético) que fornece o estado

de chaveamento da rede de distribuição. O desempenho da metodologia proposta foi testado

também com dados de entrada ruidosos. Dois índices percentuais foram criados para avaliar o

desempenho da rede neural proposta: eles indicam a porcentagem de respostas erradas e o

quanto percentualmente elas estão erradas (pela incompatibilidade do estado das chaves em

comparação com a resposta ideal). Os parâmetros utilizados nos processos de treinamento da

RNA foram obtidos por tentativa e erro até a obtenção de resultados satisfatórios. O tempo

computacional para elaboração do plano de restauração pela rede neural artificial foi

imensamente vantajoso comparado ao método otimizador utilizado para fornecer os padrões

de saída desejados. Por fim, pelos resultados apresentados, concluiu-se que quanto maior a

dimensão dos padrões de entrada e saída da RNA, em concordância com a dimensão do

sistema de distribuição de energia elétrica, maiores são as possibilidades de erro nas respostas

calculadas (ainda assim, os resultados são altamente promissores) e os erros aumentam se são

apresentados dados ruidosos à RNA tendo sido eles desconsiderados na fase de treinamento.

Finalmente, constatou-se que existem algumas vantagens em se utilizar redes neurais

artificiais na resolução do problema de restauração. A principal vantagem é a elaboração de

planos de restauração em tempo real, sendo que a confiabilidade destes planos está sujeita à

prévia implementação adequada da rede neural, à correta calibração de seus parâmetros e à

boa representatividade dos padrões de treinamento e de teste. Adicionalmente, quando

metodologias empregadas à resolução do problema de restauração baseadas em redes neurais

artificiais operam conjuntamente com as metodologias rápidas e eficientes utilizadas para

diagnóstico e detecção/localização de faltas na rede elétrica, elas possibilitam a proposta de

restauração totalmente automatizada para aplicações em tempo real, contribuindo para tornar

51

extremamente menor o período de interrupção do serviço de fornecimento de energia elétrica

aos consumidores. Desta forma, o êxito do processo de restauração do serviço é ampliado.

Neste cenário, as novas tecnologias e os novos paradigmas operacionais sobre o sistema

elétrico devem contribuir poderosamente para este tipo de resolução e automação.

1.3 OBJETIVOS E CONTRIBUIÇÕES

Este trabalho tem o objetivo de contribuir com o desenvolvimento de modelos

matemáticos para a otimização do problema de restauração de sistemas de distribuição de

energia elétrica, levando em conta a operação radial destes sistemas. A proposta é encontrar

soluções exatas para o problema pelas técnicas de otimização clássica, proposta que é

facilitada pela disponibilidade de solucionadores comerciais eficientes. A contribuição é

evidente, uma vez que ainda não há na literatura especializada propostas de modelagem

matemática para esta finalidade (resolver de forma exata o problema de restauração de

sistemas de distribuição radiais exclusivamente por meio de modelos matemáticos). O

trabalho contribui com uma formulação simplificada e com uma formulação completa do

problema de restauração e também com diferentes funções objetivo com propostas muito

consolidadas na literatura e nos próprios centros de controle operativo de sistemas de

distribuição. Adicionalmente, pela resolução exata do problema de restauração, é possível

avaliar a qualidade das soluções encontradas por métodos heurísticos, servindo como

parâmetro de qualidade.

Obviamente, o trabalho não está esgotado, esta é uma contribuição inicial, visto que

muitas outras estratégias podem ser elaboradas, principalmente buscando o atendimento ao

quesito de tempo de processamento computacional adequado às características do problema

de restauração do serviço.

1.4 ORGANIZAÇÃO DOS CAPÍTULOS

Esta seção descreve a estrutura do trabalho e faz uma revisão sobre os principais

assuntos tratados em cada capítulo. O trabalho está organizado em cinco capítulos e

estruturado da seguinte forma:

52

O Capítulo 1 aborda os aspectos fundamentais do trabalho e apresenta a revisão da

literatura especializada, onde diferentes técnicas e estratégias de restauração são discutidas.

Com isso, o problema de restauração é abordado de forma bastante contextualizada. Os

métodos heurísticos são as técnicas mais predominantes para a solução do problema de

restauração. Assim, a revisão bibliográfica está baseada nestes métodos: algoritmos

heurísticos, sistemas especialistas, meta-heurísticas e redes neurais artificiais. As técnicas

empregadas são analisadas quanto ao desempenho computacional observado, quanto à

eficiência na obtenção dos resultados, quanto às contribuições dadas e quanto às limitações

inerentes a cada uma. O capítulo apresenta também os objetivos e as contribuições do

presente trabalho de pesquisa, cuja proposta é apresentar formulações matemáticas para

resolução exata do problema de restauração do serviço de fornecimento de energia elétrica em

redes de distribuição radiais.

O Capítulo 2 é dedicado ao problema de restauração de redes de distribuição de

energia elétrica radiais. Portanto, discorre sobre a estrutura e a operação do sistema de

distribuição, considerando também aspectos relacionados à presença de geração distribuída, e

aborda questões fundamentais sobre o problema: características essenciais, procedimentos

comumente adotados nos centros de controle da distribuição, formulações matemáticas

utilizadas para representar o problema e algumas considerações sobre um algoritmo para

cálculo de fluxo de carga radial, normalmente utilizado para validar as propostas de

restauração elaboradas por algumas técnicas heurísticas. O capítulo discute e exemplifica os

principais objetivos de interesse considerados na literatura para a resolução do problema de

restauração, bem como os objetivos considerados secundários; e igualmente discute e

exemplifica as restrições físicas e operacionais da rede de distribuição que respaldam a

qualidade do fornecimento de energia elétrica e a segurança e a confiabilidade operacional da

rede.

O Capítulo 3 apresenta modelagens matemáticas para a proposta de restauração de

Morelato e Monticelli (1989), cujo problema formulado é de programação não linear inteira

mista (PNLIM), sendo que a não linearidade está presente apenas na função objetivo; e cuja

formulação é originalmente relaxada, ou seja, a proposta original desconsidera algumas das

restrições fundamentais do problema. Portanto, os modelos matemáticos propostos neste

capítulo, baseados na proposta de restauração de Morelato e Monticelli (1989), são

simplificados. As soluções encontradas por estes modelos simplificados são exatas. O

objetivo do capítulo é apresentar formulações matemáticas para a proposta original de

53

Morelato-Monticelli e, principalmente, explorar formulações matemáticas alternativas que

facilitem a resolução do problema pelos métodos exatos de otimização. Basicamente, a função

objetivo originalmente formulada sofre alterações matemáticas. Inicialmente, a função

objetivo é trivialmente modificada de modo a tornar o problema original em um problema de

programação quadrática inteira mista (PQIM) e é também modificada de modo a eliminar a

sua não linearidade (o problema original é linearizado), tornando o problema como de

programação linear inteira mista (PLIM). Por último, a função objetivo original é substituída

por outra proposta de restauração: por uma função objetivo que minimiza o número de

chaveamentos necessários para o restabelecimento do sistema. São realizados testes para

todas as formulações e os resultados são apresentados, comparados e discutidos também neste

capítulo.

O Capítulo 4 apresenta um modelo matemático completo para o problema de

restauração de sistemas de distribuição, onde são consideradas todas as restrições

fundamentais relacionadas aos requisitos físicos e operacionais do sistema elétrico de

distribuição, inclusive a restrição de radialidade. O modelo é formulado com possibilidade de

corte de carga para seções que causariam violação de restrições do problema caso fossem

restauradas e cujo objetivo é minimizar este corte de carga, realizando o menor número

possível de operações de chaveamento. O problema tem enfoque mono-objetivo. Para testar a

consistência deste modelo matemático completo proposto com estes objetivos, foram

realizadas simulações para o sistema elétrico apresentado em Pereira Junior et al. (2012),

cujos testes compreenderam os mesmos cenários de falta apresentados por estes autores.

Desta forma, os resultados são comparados e discutidos em vários aspectos e são também

apresentados neste capítulo.

O Capítulo 5 faz as considerações finais sobre o trabalho e dá perspectivas quanto a

trabalhos futuros.

Ao final, apresenta-se o referencial bibliográfico que suporta este trabalho.

54

2 RESTAURAÇÃO DE SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO RADIAIS

Este capítulo tem o objetivo de discorrer sobre a estrutura e a operação de sistemas de

distribuição de energia elétrica radiais. O capítulo considera as redes tradicionais e redes com

presença de geração distribuída, aborda os principais aspectos teóricos que consolidam a

compreensão do problema de restauração do serviço e também apresenta um algoritmo para o

cálculo do fluxo de carga (normalmente utilizado pelas técnicas heurísticas para validar as

soluções propostas, sobretudo, em termos de factibilidade). Algumas formulações

matemáticas apresentadas em trabalhos que propõem metodologias heurísticas para resolução

do problema de restauração são também apresentadas e discutidas neste capítulo. Estas

formulações são inseridas nestes trabalhos principalmente para representar objetivos e

condições considerados para a resolução do problema: elas não são necessariamente utilizadas

no processo de resolução, de fato, por se apresentarem incompletas ou por serem substituídas

por estratégias heurísticas que dispensam o formalismo matemático. Propostas de modelagem

matemática para resolução exata do problema de restauração são apresentadas no presente

trabalho de pesquisa, nos capítulos 3 e 4.

2.1 O SISTEMA DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

O sistema elétrico de potência é segmentado pela geração, transmissão e distribuição

de energia elétrica. A geração ocorre nas centrais geradoras a partir de diferentes fontes

naturais, renováveis ou não. As grandes centrais (hidrelétrica, termoelétrica, nuclear, eólica,

solar, etc.) estão localizadas onde há maior disponibilidade dos recursos naturais ou em locais

que apresentam melhores condições geográficas e climáticas para a geração, operação e

controle operacional. Isto justifica a habitual distância entre os pontos de geração e consumo.

Cada fonte de geração possui um custo e exerce um impacto ambiental, em menor ou maior

escala. Da geração de energia elétrica até sua transmissão ao consumidor, muitas técnicas

foram necessariamente desenvolvidas, dominadas e são gradativamente aperfeiçoadas para

garantir que a operação do sistema seja confiável e manipulável de forma segura e

coordenada.

Para facilitar o transporte, logo após ser gerada, a energia passa por uma subestação

elevadora, que tem a finalidade de elevar a tensão por meio de seus transformadores. Assim, a

55

energia elétrica segue pela rede de transmissão e subtransmissão, passando por subestações

rebaixadoras, cuja finalidade é rebaixar a tensão para níveis intermediários, mais adequados

para atender grandes consumidores. Após a subestação de distribuição, nos pontos de entrega

da eletricidade, existem outros transformadores menores e apropriados para os tipos de

demanda, os quais rebaixam a tensão para níveis ainda menores. Assim, a rede de distribuição

corresponde ao sistema elétrico a partir da subestação de distribuição, incluindo-a, e é

composta pelo segmento primário de média tensão (do barramento da subestação até os

transformadores de distribuição) e pelo segmento secundário de baixa tensão (a partir dos

transformadores de distribuição). Os níveis de tensão são regulamentados por legislação.

A Figura 2 apresenta um diagrama esquemático de um sistema elétrico de potência e

ilustra o segmento que corresponde ao sistema de distribuição.

Figura 2 - Diagrama esquemático de um sistema elétrico de potência

Fonte: Adaptado de Pabla (2005).

Os sistemas aéreos de distribuição normalmente operam com topologia radial. O

propósito da configuração radial dos sistemas aéreos de distribuição é facilitar a operação

segura da rede, a partir da atuação de dispositivos de proteção e da alteração de dispositivos

de manobra. A operação radial favorece a coordenação e atenuação de correntes de curto-

circuito e favorece o isolamento de faltas. Adicionalmente, os dispositivos de proteção para

redes que operam radialmente demandam menor sofisticação tecnológica, por isso podem ser

mais elementares e tornar o investimento em proteção menos caro. Quanto aos dispositivos de

Linha de Transmissão

Subestação

Linha de Subtransmissão

Subestação de Distribuição

Sistema de Distribuição

Transformador de Distribuição

Consumidores

Subestação de Geração área A

Subestação de Geração área B

Grandes Consumidores

Grandes Consumidores

Alimentador Primário

Alimentador Secundário

Geração Própria

56

manobra, eles devem ser estrategicamente localizados para permitir a alteração da topologia

da rede mantendo a radialidade. A possibilidade de reconfiguração topológica pode permitir:

melhorar o desempenho da rede, ao possibilitar a realização de balanceamento de carga e a

redução de perdas elétricas nos alimentadores; melhorar a qualidade do produto fornecido, por

meio da possibilidade de adequar ou melhorar o perfil de tensão fornecido aos consumidores;

e, quando possível, aumentar os níveis de confiabilidade do atendimento, ao suprir o

fornecimento de energia elétrica a regiões desatendidas em casos de interrupções permanentes

do serviço, isolando faltas e restaurando o serviço (MONTICELLI, 1983; MANTOVANI et

al., 2000). As manobras podem também ocorrer por necessidade de manutenções preventivas

de rotina ou para obras de expansão do sistema e, nestes casos, a interrupção do fornecimento

se dá por intervenção direta do operador do sistema. A alteração da topologia é possível se a

rede de distribuição é estruturalmente projetada de forma fracamente malhada, permitindo que

haja circuitos de alimentadores alternativos, sendo esta a estrutura comum de redes aéreas de

distribuição. Assim, relativamente simplificadas a operação e a proteção das redes elétricas, é

possível diminuir custos com equipamentos em geral, inclusive ampliando a vida útil deles.

A topologia radial da rede elétrica de distribuição é equivalente a uma topologia em

árvore, da teoria de grafos. Assim, na operação do sistema radial, os circuitos que estão

energizados correspondem aos ramos da árvore (representando chaves secionadoras

normalmente fechadas) e aqueles que estão desenergizados correspondem aos ramos de

ligação (representando chaves de interconexão normalmente abertas), como mostra a Figura

3. Cada seção ou barra corresponde a um vértice (AMASIFEN et al., 2005; PEREIRA

JUNIOR et al., 2012). Segundo a teoria dos grafos para a árvore geradora, duas condições

básicas definem a operação radial da rede: ela não pode assumir a estrutura em malhas, pois é

acíclica; e na ocorrência de defeito em um ponto qualquer, pela sua característica hierárquica,

a rede deixaria de ser conexa à jusante do defeito, com a desenergização de ramos da árvore, e

parcela do sistema permaneceria recebendo o fornecimento de energia e outra parcela não.

Neste caso, para recuperar a conectividade do sistema, isola-se o defeito (ou a área de

interesse) e trocam-se adequadamente ramos da árvore por ramos de ligação que

necessariamente possam ser alimentados por um nó raíz (tradicionalmente, uma subestação).

Desse modo, é possível alterar a configuração da rede e manter a radialidade, mas não é

possível garantir que toda a conectividade seja restabelecida, ou seja, que todas as seções

desenergizadas sejam reenergizadas. A razão principal para isso são as limitações impostas

pelas restrições físicas e operacionais da rede elétrica.

57

Figura 3 - Diagrama unifilar de um sistema de distribuição radial simples

Fonte: Adaptado de Amasifen (2003).

O sistema elétrico está sujeito a dois conjuntos de restrições: a restrição de carga e as

restrições físicas e operacionais. A primeira exige o atendimento à demanda de carga dos

consumidores, portanto, é atendida se os consumidores estão recebendo energia elétrica, ou

seja, se a energia elétrica está sendo gerada e fornecida. Assim, a restrição de carga está

relacionada à geração e ao fornecimento/consumo de energia elétrica. Logo, as interrupções

do serviço imediatamente provocam o descumprimento desta restrição: ela passa a não ser

mais atendida na sua totalidade (MONTICELLI, 1983). Como abordado acima, quando

ocorrem interrupções permanentes, parcela do sistema permanece recebendo o fornecimento

de energia e outra parcela não, portanto, assim que o sistema entra no estado restaurativo, a

restrição de carga é descumprida. Dificilmente o sistema poderá tornar a atender

integralmente à restrição de carga estando no estado restaurativo, mesmo após eficientes

procedimentos de restauração, pelas seguintes condições: fundamentalmente, a falta

permanente precisaria ser isolada sem compreender unidades consumidoras (barras de carga);

adicionalmente, dependendo das condições de carregamento e do cenário de falta, o pleno

restabelecimento do sistema pode implicar no descumprimento de restrições físicas e

operacionais e, nesse caso, seria impraticável restabelecer completamente o fornecimento de

energia elétrica às seções desatendidas.

Nas modelagens matemáticas apresentadas no capítulo 3, ou se o sistema está em

estado normal de operação, a restrição de carga é suficientemente representada pelas equações

1 2 3

4

5

6

7

8 9

10

11

12

13

ALIMENTADOR 1 ALIMENTADOR 2 ALIMENTADOR 3

Ramo da árvore (chave secionadora)

Ramo de ligação (chave de interconexão)

58

de fluxo de potência, às quais estão sujeitas a cumprir às Leis de Kirchhoff, sem a

possibilidade de corte de carga. No entanto, é necessário complementar a representação da

restrição de carga no modelo matemático que prevê o corte de carga. Assim, no modelo

matemático de PCSOIM a representação da restrição de carga é complementada com a ajuda

do conceito de geradores artificiais (conceito explicado no capítulo 4 desta dissertação). Neste

modelo, as barras não restauradas são conectadas aos geradores artificiais para serem por eles

artificialmente supridas. Os geradores artificiais assumem a responsabilidade de

artificialmente fornecer energia elétrica a todas as barras de carga passíveis de restauração não

restauradas por violação de restrições físicas e operacionais e, por isso, cortadas do sistema

restaurado sob fornecimento do conjunto de subestações. Se a condição fundamental

apresentada acima (inexistência de barras de carga isoladas juntamente com o isolamento da

falta) é satisfeita e o sistema é completamente restabelecido, então a restrição de carga volta a

ser integralmente cumprida pelo conjunto de subestações durante o estado restaurativo.

Todavia, se existem barras de carga sob falta isoladas, então a restrição de carga permanece

violada durante todo o estado restaurativo, independentemente se a parcela restaurável do

sistema é completamente ou parcialmente restabelecida pelo conjunto de subestações. Assim,

também, independentemente se a condição fundamental apresentada é ou não é satisfeita, se o

sistema é apenas parcialmente restabelecido, então a restrição de carga permanece violada

durante o estado restaurativo, sendo parcialmente satisfeita pelo conjunto de subestações e, de

forma complementar, artificialmente satisfeita pelos geradores artificiais. Neste trabalho de

pesquisa as faltas são indicadas nas seções de carga, portanto as seções sob falta são isoladas

do sistema e não participam do processo de restauração, consequentemente, as cargas dessas

seções permanecem desatendidas durante todo o estado restaurativo e, na prática, a restrição

de carga permanece violada.

Os cortes no fornecimento podem ser não programados (diferentemente daqueles

destinados a manutenções preventivas ou a obras de expansão), provocados por faltas na rede.

As faltas ocorrem porque a rede elétrica está sujeita a contingências diversas, por exemplo,

em linhas, em transformadores e em geradores. As interrupções por falta são caracterizadas

pela redução acentuada da tensão terminal em circuitos de consumo e podem ser de caráter

temporário ou permanente, dependendo de sua duração, se curta ou longa (MATHIAS NETO,

2011). As faltas permanentes podem ser ocasionadas por curtos-circuitos, más condições

físicas de equipamentos e de condutores da rede, por falhas em geradores, por ocorrência de

fenômenos naturais ou vandalismo, e sobrecargas de um modo geral. O sistema de proteção

59

precisa ser eficiente e bem dimensionado para permitir uma boa coordenação das faltas: o

isolamento no menor trecho e no menor tempo possíveis e, assim, rapidamente proteger o

sistema e reduzir a área desatendida. Além disso, espera-se que os dispositivos locais de

proteção sejam eficazes para eliminar faltas temporárias. Quando as faltas são temporárias, é

possível que os próprios dispositivos de proteção da rede atuem e sejam suficientes para

eliminá-las e, em seguida, religar automaticamente o sistema. Porém, diante de faltas

permanentes, o religamento total ou parcial do sistema só é possível a partir da intervenção do

centro de controle, após o isolamento da falta e da definição de circuitos alternativos e

adequados para cada contexto de falta, isto é, através dos procedimentos de restauração.

Adicionalmente, para o religamento completo do sistema de volta à sua configuração básica, é

necessário primeiramente efetuar os devidos reparos na rede, a fim de garantir que a operação

normal do sistema seja novamente segura. Tudo isso exige uma consistente mobilidade

operacional: inicialmente, a região afetada precisa ser identificada e o defeito precisa ser

localizado, de modo a ser devidamente isolado para os reparos e para que se obtenha a

configuração atual da rede no contexto de falta em questão e o processo de restauração seja

efetivamente iniciado.

A rede de distribuição está sujeita a diferentes condições de carregamento. Se,

eventualmente, a demanda de carga superar as expectativas previstas e passar a operar a níveis

críticos (em estado de alerta ou em estado de emergência), a energia fornecida não será de

qualidade (ficando a distribuidora sujeita a penalidades) e os consumidores podem vir a sofrer

danos materiais. O sistema não pode operar por muito tempo com anormalidade e não é

desejável que a medida a ser tomada pelo centro de controle seja a realização de cortes de

carga. De acordo com a perspectiva de aumento natural da demanda, é possível planejar a

reconfiguração da topologia atual para uma nova topologia que melhore o atendimento aos

consumidores e mantenha ou torne segura a operação do sistema. Nesse sentido, na literatura

especializada são propostas muitas técnicas de reconfiguração, a maioria das técnicas

propostas é para minimização de perdas e para balancemanto de cargas. Elas visam obter

configurações otimizadas da rede, de modo a atender às curvas de carga (diária, semanal ou

anual) com baixos custos operacionais. As técnicas propostas consideram as condições de

carregamento sob demanda constante (utilizando o critério de cargas fixas) ou condições de

carregamento sob demanda variável (considerando cargas variáveis). Geralmente, as

configurações obtidas a partir de cargas variáveis são de melhor qualidade, por representarem

melhor o estado de operação do sistema (CINVALAR et al., 1988; BOROZAN et al., 1995;

60

MANTOVANI et al., 2000; AMASIFEN et al., 2005).

No entanto, diante da perspectiva de crescimento futuro de demanda é necessário

realizar o planejamento da expansão do sistema elétrico. O planejamento da expansão deve

ocorrer diante da previsão da impossibilidade de adequado atendimento às curvas de carga a

partir de um determinado horizonte de tempo. Assim, propostas viáveis podem ser formuladas

com tempo muito favorável para analisar se os requisitos serão devidamente atendidos. Trata-

se de um planejamento de longo prazo para ampliar a estrutura já existente, onde aspectos

técnicos e econômicos podem ser considerados com maior cautela. O planejamento de longo

prazo determina onde e quando expandir a rede elétrica, através da construção de novas linhas

e/ou recondutoramento das linhas existentes, construção de novas subestações e/ou

repotenciação das já existentes; e alocação de dispositivos que aumentarão a eficiência no

suprimento de energia elétrica, melhorando sua qualidade e diminuído custos operacionais, e

de dispositivos que aumentarão a segurança operacional da rede (COSSI, 2008; BAQUERO,

2012; SOUSA, 2013; GONÇALVES, 2013).

A reconfiguração é uma ferramenta tanto para o planejamento da operação do sistema

de distribuição em condições normais, quanto para o controle da operação em tempo real em

casos de emergência ou de falta permanente. Procedimentos de controle em tempo real

exigem respostas imediatas, por isso existe a necessidade de elaboração rápida de um plano de

solução, para auxílio rápido à tomada de decisão pelos centros de controle. Já no

planejamento da operação em condições normais, o tempo de obtenção das respostas não é tão

crucial, dependendo do estado operacional real do sistema e das ações requeridas. Assim, a

reconfiguração topológica do sistema elétrico se dá para o controle preventivo, controle

corretivo ou controle restaurativo e o planejamento da reconfiguração pode ser de longo

prazo, de curto prazo ou emergencial e ocorre após a conclusão das fases de previsão de

cargas e das análises operacionais do sistema (MONTICELLI, 1983; BOROZAN et al., 1995;

MANTOVANI et al., 2000; TIAN et al., 2009; KLEINBERG et al., 2011). É um

planejamento de controle preventivo de longo ou de curto prazo diante da perspectiva de

evolução natural da demanda e para fins de minimização de perdas de energia ou

balanceamento de carga; e é um planejamento preventivo, corretivo ou restaurativo para

controle em tempo real diante das seguintes situações emergenciais, respectivamente:

necessidade imediata de reconfigurar a rede para evitar que ela entre no estado restaurativo;

necessidade imediata de corrigir o desempenho operacional crítico da rede, forçando a entrada

no estado restaurativo para voltar ao cumprimento dos limites operacionais de qualidade e de

61

confiabilidade do serviço, oportunamente de forma otimizada; e necessidade imediata de

restabelecer o fornecimento de energia elétrica aos consumidores, tanto quanto possível e,

assim, cumprir com maior eficiência o critério de continuidade do serviço.

A Figura 4 mostra as ações de controle, por dispositivos locais ou por comando do

operador do sistema, sobre os diferentes estados operacionais do sistema elétrico, bem como

as consequências de contingências sobre cada estado. Estas situações provocam diferentes

transições entre os estados de operação. Operando normalmente, é ideal que a rede permaneça

no estado seguro. Em estado de emergência, quando não é possível eliminar a violação de

limites operacionais (violação de restrições físicas e operacionais da rede elétrica) de forma

mais amena, pode ser necessário efetuar a correção do estado crítico através do corte de carga,

não preservando a integridade do sistema, causando o estado restaurativo. Em estado

restaurativo, quando ele é inevitável ou provocado por ações de dispositivos locais, é ideal

que a rede permaneça nele o menor tempo possível e desatendendo minimamente o número

de consumidores ou de cargas.

Figura 4 - Estados operacionais do sistema elétrico: transições e ações de controle

Fonte: Adaptado de Monticelli (1983).

Portanto, os objetivos ligados à alteração da topologia da rede são gerenciáveis e os

procedimentos são coordenados pelos centros de controle da rede de distribuição e executados

por meio de chaveamentos (abertura/fechamento dos dispositivos de manobra: chaves

secionadoras, de interconexão, disjuntores). Sendo assim, a automação e a otimização destes

EMERGÊNCIA RESTAURATIVO

N O R M A L

ALERTA SEGURO

Controles - locais

Contingências previstas ou não

Contingências não previstas

Emergência - crise Segurança - corretivo Restaurativo

Restaurativo

Emergência - corretivo

Emergência - preventivo

Segurança - preventivo

Perturbações, Contingências e Controles locais

ESTADOS

Ações do Centro de Controle

62

processos interessam diretamente ao setor de distribuição de energia elétrica, com a intenção

de cumprir os requisitos de qualidade com maior eficiência e evitar maiores prejuízos

financeiros, também decorrentes de penalizações impostas pelas agências reguladoras

governamentais do setor. No Brasil, a ANEEL (Agência Nacional de Energia Elétrica) é

incumbida de regular e fiscalizar o mercado de energia elétrica, na produção, transmissão e

comercialização, juntamente com as agências reguladoras estaduais e federal. O objetivo

destas entidades é regulamentar o funcionamento do setor eletroenergético, garantindo a

continuidade do serviço energético sob condições asseguradas de qualidade e a custos

aceitáveis. A Figura 5 ilustra um exemplo simples de operação de chaveamento que restaura

o serviço de fornecimento de energia elétrica na área que ficou desatendida pela ocorrência de

falta permanente no local indicado.

Figura 5 - Exemplo simples de operação de chaveamento para restauração do serviço

Fonte: Adaptado de Watanabe (2005).

A metodologia empregada para reconfiguração da rede é diferente nos dois contextos

de planejamento de controle operacional: no planejamento de curto ou longo prazo e no

planejamento em tempo real, mesmo compartilhando aspectos fundamentais (MORELATO;

MONTICELLI, 1989; MATOS; MELO, 1999; KLEINBERG et al., 2011). O problema de

restauração do serviço está inserido em cenários operacionais geralmente mais críticos e

possui características e objetivos particulares. Entre estas características está a não integridade

do sistema no estado operacional restaurativo e o caráter temporário e também urgente do

problema. Justamente por ser um problema complexo de decisão e controle e por apresentar

estas características especiais, a maioria das metodologias propostas na literatura para

resolução do problema de restauração normalmente realizam uma busca local por soluções,

CH fechada

CH aberta

CH: Chave

Restauração do Serviço (Reconfiguração da Rede)

Local da Falta

Fo

nte

de

En

ergia

(t

ran

sfo

rma

do

r)

Área isolada pela falta

CH1 CH2

CH3 CH4

CH1 CH2

CH3 CH4

63

geralmente em torno da área desatendida, descartando a possibilidade de uma solução de

melhor qualidade em termos de atendimento e continuidade do serviço a partir da análise

global do espaço de busca. A resolução do modelo matemático proposto no capítulo 4 desta

dissertação torna evidente esta análise. Assim, a reconfiguração topológica pode receber

diferentes abordagens: aquela que analisa o sistema como um todo em busca do estado de

operação ótima ou aquela que analisa o problema localmente em busca do estado de operação

ótima numa situação muito particular. Outra implicação direta provocada principalmente pelo

caráter temporário do problema de restauração aparece nas propostas de solução que buscam

alterar minimamente a topologia regular da rede.

As razões para buscar localmente propostas de reconfiguração para restabelecimento

do sistema elétrico e alterar minimamente a topologia regular da rede são as seguintes: os

consumidores que se mantiveram energizados após a falta permanente do serviço de

distribuição não devem ser desenergizados; é possível não atender regiões afetadas pela

incidência da falta; frequentes operações de manobra podem reduzir a expectativa de vida das

chaves e o chaveamento provoca inconvenientes comportamentos transitórios de corrente e de

tensão na rede; o tempo para operar as chaves pode ser muito oneroso em cidades populosas

devido aos custos de mobilidade em razão de tráfegos intensos, ainda que geograficamente as

chaves estejam pouco distantes (HSU et al., 1992; MATHIAS NETO, 2011). Seguindo estes

critérios, e por eles justificados, é que as metodologias heurísticas propostas na literatura

especializada costumam estabelecer planos de restauração cujas operações de manobra

preferencialmente devem ocorrer perto da área desatendida. Assim, as regiões mantidas

energizadas que apresentam fronteiras com as regiões desatendidas pelo fornecimento se

tornam candidatas a interligá-las para reenergização, conforme a disponibilidade dos

dispositivos de manobra e conforme as novas condições operacionais da rede. Quando a falta

é de menor escala, a restauração do serviço é mais simples e pode, realmente, culminar em

pequena alteração topológica da rede. No entanto, quando grandes áreas são interrompidas,

pela necessidade maior de restabelecimento por fontes alternativas com capacidade de

reserva, o número de chaveamentos poderá ser maior (LIU et al., 1988; TOUNE et al., 2002;

PEREIRA JUNIOR et al., 2012).

Normalmente, as metodologias heurísticas que resolvem o problema de restauração

exigem a execução de um algoritmo de fluxo de carga para analisar a qualidade e a

viabilidade das propostas de solução. Para não onerar o processo de resolução do problema,

estes algoritmos precisam ser rápidos, práticos e eficientes. O cálculo de fluxo de carga

64

permite conhecer o estado de operação da rede elétrica e algumas grandezas de interesse,

como os módulos de tensões nas barras, os fluxos de potência ativa e de potência reativa nas

linhas e as perdas nas linhas e nos transformadores. Como exemplo de algoritmos de fluxo de

carga em redes de distribuição radiais, têm-se os métodos aproximados de varredura direta e

reversa, relativamente simples e eficientes (SHIRMOHAMMADI et al., 1988;

SHIRMOHAMMADI; HONG, 1989).

A modelagem da rede elétrica é comumente estática, representada por equações e

inequações algébricas, pois os efeitos transitórios podem ser ignorados já que as variações no

tempo são suficientemente lentas. É fundamental definir um modelo adequado para os

elementos do sistema, pois se os componentes estão corretamente modelados, o sistema real é

melhor representado e as soluções encontradas permitirão maior segurança operacional, isto é,

impactarão mais positivamente nos resultados, reduzindo as margens de erro e operando o

sistema de forma mais econômica (NEVES, 2008).

2.1.1 Novos Paradigmas para o Sistema de Distribuição: Smart Grids e Geração

Distribuída

O conceito de radialidade dos sistemas aéreos de distribuição tem passado por

transformações. O aperfeiçoamento tecnológico de equipamentos de proteção, medição e

telecomunicação, e também as novas diretrizes socioambientais em termos de

sustentabilidade, têm promovido novas políticas energéticas, introduzindo novos paradigmas

de proteção e de operação, entre eles, as smart grids (redes inteligentes) e a geração

distribuída (principalmente a partir de fontes renováveis).

A proposta das redes inteligentes é equipar o sistema elétrico com eficientes e

sofisticados equipamentos de proteção, medição e telecomunicação. No caso dos sistemas de

distribuição, os alimentadores primários estariam automatizados com chaves inteligentes e

seriam monitorados em tempo real pelos centros de controle. Com isso, os operadores do

sistema poderiam exercer um controle operativo mais preciso e confiável. No que diz respeito

ao problema de restauração, por exemplo, as redes inteligentes possibilitariam que faltas nos

alimentadores fossem diagnosticadas de forma mais rápida e precisa, e que o sistema fosse

restaurado através da operação de chaves controladas remotamente. As redes inteligentes

também favorecem a inserção de geradores distribuídos nos sistemas de distribuição, em

65

razão da melhor possibilidade de coordenação do sistema de proteção. Nos sistemas radiais

tradicionais, a coordenação é simplificada, uma vez que o fluxo de potência é normalmente

unidirecional. No entanto, a alocação de geradores distribuídos nos alimentadores de

distribuição interfere no caráter unidirecional dos fluxos, interferindo diretamente na atuação

dos dispositivos de proteção (MONTICELLI, 1983; CAMPITELLI, 2007; LEÃO, 2011).

Assim, uma questão fundamental é analisar os impactos técnicos provocados pela

inserção desses geradores nas redes de distribuição: quanto à confiabilidade operacional, à

qualidade no fornecimento de energia elétrica e também quanto aos aspectos econômicos –

são muitos os efeitos operacionais que precisam ser considerados. O ponto principal é que os

sistemas de distribuição não são normalmente projetados para interligar dispositivos de

geração de energia, como tradicionalmente são projetadas as redes de transmissão. Portanto,

dependendo do local onde serão alocados pode ser necessário reprojetar os mecanismos de

proteção, para adequada coordenação e atenuação de possível aumento de fluxo de corrente

nos circuitos. Outro fator é a característica das linhas de distribuição que, ao contrário das

linhas de transmissão, possuem maiores resistências. Por último, a coleta de dados no sistema

de distribuição na baixa tensão geralmente não está disponível no sistema SCADA

(ACKERMANN et al., 2001; OCHOA et al., 2006).

As principais discussões relacionadas ao tema geração distribuída são: a finalidade da

geração, a localização dos geradores, as tecnologias utilizadas, o impacto ambiental causado e

a propriedade de direito. Por exemplo, a finalidade de fornecer apenas potência ativa à rede; a

localização próxima às cargas, junto à rede de distribuição ou conectada diretamente ao

consumidor; tecnologia de geração que utiliza recursos renováveis, como a energia solar e a

eólica, dependente da disponibilidade dos recursos e da eficiência para a captação deles; o

impacto ambiental relacionado tanto à geração de energia, quanto à exploração e ao transporte

dos recursos energéticos; e a propriedade centralizada ou descentralizada da geração

(ACKERMANN et al., 2001).

Diferentes países utilizam diferentes termos como referência à geração distribuída, por

exemplo: geração dispersa e geração descentralizada. A própria definição quanto à capacidade

de geração de energia para que um gerador seja considerado distribuído (disperso ou

descentralizado) é conflitante entre os países. Assim, a definição de geração distribuída pode

variar quanto ao porte de geração. Adicionalmente, estes geradores podem ser de propriedade

independente de consumidores da rede. Desse modo, tanto a geração quanto a propriedade da

geração podem ser descentralizadas das grandes centrais. Portanto, novas políticas são

66

necessárias também para mediar a comercialização dessa energia gerada (LEZAMA, 2011).

O grande benefício com a inserção de pequenas fontes dispersas ao longo da rede,

como fontes alternativas de geração, está relacionado à confiabilidade no fornecimento e à

redução de custos com a transmissão, principalmente descongestionando as linhas e

aumentando a produtividade do serviço. Alocados à rede de distribuição, estes geradores

podem contribuir de forma relevante para aliviar elevados picos de demanda e aumentar a

confiabilidade do serviço, também reduzindo índices de interrupção do fornecimento, desde

que sua interligação à rede seja correta e de qualidade para não trazer prejuízos ao sistema de

distribuição. Assim, é necessário um controle rigoroso sobre os modos de operação dos

geradores distribuídos (CHIRADEJA et al., 2004; MATHIAS NETO et al., 2010; SILVA et

al., 2010).

Um gerador distribuído pode assumir quatro modos distintos de operação: operar

desligado, conectado à rede, ilhado ou em microrrede. A primeira condição é ocasionada pelo

descumprimento de alguma restrição pelo gerador, portanto é ideal que ele permaneça

desligado. Quando conectado à rede, o gerador contribui com o suprimento à demanda de

carga. Nesse sentido, a contribuição será efetiva se ele operar com potência nominal

(capacidade máxima) e o maior fator de potência possível (transferindo maior potência ativa à

carga). A forma de operação ilhada é possível quando o gerador é suficientemente capaz de

fornecer potência à seção de carga onde está alocado, sem o fornecimento da subestação, e

assim atender à demanda de carga desta seção e de possíveis seções vizinhas. A microrrede é

formada quando geradores distribuídos alocados em seções próximas estão operando em

paralelo e de forma ilhada, ou seja, o conjunto de carga destas seções está sendo alimentado

pelos geradores distribuídos formando uma microrrede separada do sistema (MATHIAS

NETO, 2011).

A possibilidade de ilhamento está condicionada à qualidade da energia que poderá ser

fornecida. Para que um ou mais geradores operem de forma ilhada, é preciso haver uma

estratégia adequada de operação, coerente com o sistema de proteção da rede elétrica para a

interligação confiável desses geradores. Eles devem ser capazes de alimentar as cargas ilhadas

sob as diferentes condições de carregamento de todo o período previsto de interligação,

garantindo que as cargas sejam atendidas com níveis adequados de tensão e frequência. O

sistema de proteção dentro da ilha precisa estar também projetado de forma eficiente para

tratar possíveis contingências locais. Dessa forma, os geradores distribuídos aumentam as

chances de melhorar a confiabilidade do serviço como fontes alternativas de energização. O

67

ilhamento pode ocorrer com o isolamento de fontes de energia, mediante interrupção

permanente de fornecimento, havendo a presença de geradores distribuídos a montante da

região desatendida, quando o religador é aberto ao constatar a corrente de falta a montante de

sua localização. A parte ilhada fica sem sincronismo com o restante do sistema. Portanto,

encerrada a contingência, para que o sistema de distribuição retorne ao seu estado normal de

operação e à sua configuração original, o religador que separa a rede da ilha deve sincronizar

o seu religamento. Por isso é importante o avanço tecnológico dos equipamentos de medição,

controle e telecomunicação, a fim de tornar os procedimentos automáticos, rápidos e mais

confiáveis (CAMPITELLI, 2007; LEÃO, 2011).

A Figura 6 mostra uma condição de ilhamento em um alimentador de distribuição,

após ocorrência de uma falta permanente na rede, em que um gerador distribuído está

contribuindo para melhorar os índices de confiabilidade e continuidade do serviço.

Figura 6 - Alimentador de distribuição operando com ilhamento e geração distribuída

Fonte: Adaptado de Campitelli (2007).

Duas estratégias podem definir os modos de operação dos geradores em processos de

restauração do serviço. A primeira consiste em preferencialmente restabelecer grandes grupos

de carga por meio dos alimentadores de suporte disponíveis e com capacidade de reserva e,

posteriormente sincronizar e reconectar os geradores distribuídos, se houver esta

possibilidade. A segunda estratégia é restabelecer o sistema através de ilhas, sincronizar os

geradores e interconectá-las. Em sistemas tradicionais, esta segunda metodologia encarece a

operação tanto em termos econômicos, pela necessidade de dispositivos de controle mais

sofisticados, quanto em termos de execução das manobras, visto que as chaves, na sua grande

maioria, ainda são controladas manualmente. Por tudo isso, a alocação de geradores ao

Subestação

Alimentador Falta

Dispositivo de isolamento de corrente (secionador)

Ramais Laterais

.Ilhamento Área alimentada pelo GD

durante a falta

68

sistema de distribuição e o seu modo de operação precisam ser adequados com o projeto dos

alimentadores onde serão conectados (CAMPITELLI, 2007). É necessário analisar

cuidadosamente a rede para decidir pela localização de interligação dos geradores, de forma a

não prejudicar os índices de confiabilidade do serviço de fornecimento de energia elétrica.

Em Ochoa et al. (2006) está proposta uma metodologia baseada nos principais

aspectos técnicos da rede (intensidade de correntes, perdas de potência ativa e reativa, perfis

de tensão e esquemas de proteção) para a definição de índices de desempenho operacional que

ajudam na decisão sobre a alocação da geração distribuída onde possa promover maiores

benefícios. Os índices são calculados para descrever os impactos positivos e negativos na rede

devido à presença da geração distribuída. Para qualificar o desempenho global da rede, os

índices normalizados são relacionados de forma multi-objetiva, ponderados individualmente

por um fator de relevância que pode ser flexível aos interesses operacionais das

concessionárias. A metodologia pode auxiliar também na orientação quanto à natureza dos

contratos entre as distribuidoras e os produtores independentes, já que os impactos técnicos

passam a ser conhecidos. Chiradeja et al. (2004) também propuseram um conjunto de índices

sobre os impactos da geração distribuída na rede de distribuição, mas quantificaram apenas os

benefícios da integração, nos seus aspectos técnicos e econômicos. A abordagem avalia as

vantagens técnicas quanto à melhoria do perfil de tensão, redução de perdas nas linhas e

redução do impacto ambiental. Os fatores de ponderação servem para alocar os geradores em

locais onde possa maximizar os benefícios. No entanto, os impactos podem ser tanto positivos

como negativos no desempenho operacional do sistema de distribuição, dependendo das

características físicas e operacionais da rede e dos geradores distribuídos. Obter os benefícios

é mais difícil, pois eles estão adversamente atrelados a condições mínimas de controle e

instalação dos geradores.

2.2 A FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO

Esta seção apresenta e discute algumas formulações matemáticas que representam

alguns objetivos e algumas restrições do problema de restauração de sistemas elétricos de

distribuição considerados por metodologias heurísticas propostas na literatura especializada.

Estas formulações geralmente são modelagens incompletas, por isso não podem ser resolvidas

por técnicas clássicas de otimização. O objetivo desta seção é, portanto, levantar discussões

69

úteis a cerca destas formulações, destacando motivações, propósitos e características, o que

permite refletir a respeito da procedência para a modelagem matemática do problema.

Os modelos matemáticos são sempre uma aproximação do problema real, contudo, é

possível propor formulações consistentes e eficientes que, após simulações do mundo real, se

mostram coerentes. As formulações devem ser consistentes e adequadas quanto aos objetivos

de interesse e quanto às restrições fundamentais do problema. As bases para uma boa

formulação são as seguintes: adequado conhecimento do problema, sólidos conhecimentos

matemáticos e uma boa lógica que permita definir satisfatoriamente as variáveis de decisão do

problema, atender aos requisitos impostos e avaliar a qualidade das soluções propostas

conforme os objetivos estabelecidos. Vale ressaltar que, quanto maior a complexidade do

problema, mais difícil é desenvolver modelos eficientes.

É ideal que a elaboração do plano de restauração aconteça em tempo real e que o plano

elaborado apresente propostas de reconfiguração topológica que permitam uma operação

segura e confiável durante todo o intervalo de tempo em que a rede de distribuição estiver

operando em estado restaurativo (até que o defeito seja sanado e a rede possa voltar à sua

configuração original). Além disso, é ideal que, além de uma operação segura e confiável, o

fornecimento de energia elétrica seja de qualidade. O êxito da restauração dependerá da

qualidade da proposta de solução elaborada que, por sua vez, depende da eficiência da

metodologia aplicada na resolução do problema.

A seguir, portanto, são apresentadas as discussões sobre algumas formulações de

funções objetivo do problema de restauração de sistemas de distribuição de energia elétrica e,

na sequência, as discussões sobre a modelagem das restrições que pretendem cumprir as

exigências físicas e operacionais desses sistemas.

2.2.1 Funções Objetivo do Problema

Uma proposta de formulação da função objetivo do problema de restauração é,

ponderada a importância das cargas, manter o fornecimento de energia àquelas que possuem

maior prioridade, ou seja, minimizar o corte de carga considerando a prioridade da carga.

Segundo Tian et al. (2009), matematicamente esta função objetivo pode assumir a seguinte

forma:

70

𝑀𝑖𝑛 ∑ �̇�𝑖𝐹𝑖

𝑁𝑏𝑐

𝑖=1

(1)

Na formulação acima, �̇�𝑖 𝜖 {0,1} e representa o estado da carga 𝑖: assume-se valor zero

para o corte de carga e valor unitário para o fornecimento de carga. 𝐹𝑖 é o fator de importância

da 𝑖-ésima carga do total de barras de cargas 𝑁𝑏𝑐, em que ∑ 𝐹𝑖 = 1𝑇𝑐𝑖=1 , onde 𝑇𝑐 são os tipos

de cargas, e valores decimais 𝐹𝑖 próximos a zero indicam alta prioridade e próximos à unidade

indicam baixa prioridade. O problema é de minimização, portanto menores coeficientes 𝐹𝑖 são

candidatos mais interessantes ao fornecimento (�̇�𝑖 = 1). No final do processo de otimização, é

possível conhecer através da função objetivo a quantidade de carga prioritária atendida

(restaurada).

Quando a demanda é suficientemente alta e o sistema passa a operar a níveis críticos, a

qualidade da energia fornecida e a confiabilidade operacional do sistema diminuem. Antes

que o sistema entre em um estado crítico de emergência e possa passar automaticamente para

o estado restaurativo por atuação de dispositivos locais, o centro de controle do sistema pode

intervir e, de alguma forma, otimizar o corte de carga (MONTICELLI, 1983; KLEINBERG et

al., 2011). Como as concessionárias estão sujeitas às avaliações da ANEEL, e possuem

interesses em reduzir o tempo médio de duração das interrupções (DEC – Duração

Equivalente de Interrupção por Consumidor) e reduzir a frequência média das interrupções

(FEC – Frequência Equivalente de Interrupção por Consumidor), a decisão pelos cortes

poderá ser ponderada por estes indicadores. Desta forma, é possível minimizar o corte de

carga, considerar consumidores prioritários e ainda melhorar as metas da empresa sobre estes

índices (GARCIA, 2005). Estratégias paralelas, como a geração distribuída, e preventivas,

como o deslocamento do alto consumo energético dos horários de pico, se bem sucedidas,

tornariam a necessidade emergencial de reconfiguração do sistema e o corte de carga

alternativas menos frequentes e menos necessárias. Tão relevante quanto disponibilizar

adequadamente o fornecimento é deslocar ou reduzir substancialmente a demanda em

horários críticos (ACKERMANN et al., 2001).

A função objetivo também pode ser formulada para manter o maior número possível

de cargas energizadas após interrupções permanentes seguindo a estratégia de definir a

topologia da rede por blocos ou seções de carga (conforme a disponibilidade dos dispositivos

de manobra) e quantificar a carga instalada em cada seção. Assim, a proposta da função

objetivo é restabelecer estas seções minimizando a potência não fornecida. Neste caso, a

71

prioridade de restabelecimento das seções de carga está relacionada à quantidade de cargas

instaladas nas seções, quanto maior é a carga, maior é a prioridade de restabelecimento.

Garcia (2005) e Pereira Junior et al. (2012) apresentam formulações para esta função objetivo.

Seguindo a mesma estratégia apresentada, é possível também minimizar o número de

consumidores não atendidos presentes nas seções de carga, conforme a metodologia de

restauração proposta por Mathias Neto (2011).

Considerando que no estado restaurativo a rede opera temporariamente através de uma

topologia alternativa e, por isso, idealmente deve sofrer a menor modificação possível na sua

configuração padrão, a função objetivo que busca minimizar as cargas desenergizadas poderá

incluir custos de operação de chaveamento. Em Pereira Junior et al. (2012), estas duas

propostas aparecem juntamente formuladas da seguinte forma:

𝑀𝑖𝑛 ∑ 𝑆𝑠𝑒𝑐𝑖

𝑖 𝜖 𝑛𝑠𝑒𝑐

𝑥𝑖 + ∑ 𝐶𝑐ℎ𝑎𝑖

𝑖 ∈ Ω

(2)

𝐶𝑐ℎ𝑎𝑖 é o custo de operação das chaves; 𝑆𝑠𝑒𝑐

𝑖 é a carga em kVA da seção 𝑖; 𝑥𝑖 é a

variável binária de decisão para a reenergização ou não da seção 𝑖 desatendida: 1 indica que a

seção permanecerá desenergizada e 0 indica que a seção será reenergizada; 𝑛𝑠𝑒𝑐 é o conjunto

formado pelas seções que são desenergizadas após a ocorrência de falta permanente na rede; e

𝛺 é o conjunto das chaves instaladas no sistema. Nesta formulação, as seções com menores

cargas são candidatas à desenergização (𝑥𝑖 = 1). Além disso, é interessante restaurar as

seções com maiores cargas a fim de reduzir implicitamente o número de chaveamentos. No

final do processo de otimização, é possível conhecer através da função objetivo a quantidade

de carga sem fornecimento de energia elétrica, somada ao custo total do chaveamento

realizado.

A proposta de restauração em Mathias Neto (2011) considera duas funções objetivo,

tratadas com enfoque multiobjetivo através da técnica de fronteira ótima de Pareto. São elas:

minimizar o número de consumidores fora do serviço e minimizar o número de chaveamentos

para restaurar a rede. As formulações matemáticas destas duas propostas estão apresentadas

nas relações (𝟑) e (𝟒), respectivamente.

𝑀𝑖𝑛 ∑ 𝐶𝑙 . 𝑥�̅� (3)

72

𝐶𝑙 representa o número de consumidores presentes na seção 𝑙, e 𝑥�̅� é a variável binária

de estado: 0 indica seção energizada e 1 indica seção não energizada. Neste caso, as seções

que preferencialmente ficarão desatendidas (𝑥�̅� = 1) serão aquelas que contemplam o menor

número de consumidores. No final do processo de otimização, é possível conhecer através

desta função objetivo o número de consumidores fora do serviço; e o número de

chaveamentos necessários é conhecido da seguinte forma:

𝑀𝑖𝑛 ∑|𝑆𝑊̅̅̅̅�̅� − 𝑆𝑊̅̅̅̅

�̅�0| (4)

A variável 𝑆𝑊̅̅̅̅�̅� representa o estado atual da chave 𝑖 e 𝑆𝑊̅̅̅̅

�̅�0 o seu respectivo estado

inicial, assumindo os seguintes valores binários: 0 para indicar chave aberta e 1 para indicar

chave fechada. É válido observar que, da forma como está proposta, usando módulos, esta

formulação onera computacionalmente o processo de solução. O custo de chaveamento é

considerado apenas de forma quantitativa, ou seja, fica explícito que haverá menor número de

operações de chaveamento e, por isso, menor número de deslocamento operacional, mas os

custos efetivos para as ações de manobra das chaves não estão considerados nesta formulação,

como os custos de mobilidade operacional. No entanto, a formulação é suficiente para

considerar os efeitos relacionados aos chaveamentos, pois o número de chaveamentos

propostos, além de caracterizar o tempo necessário para o restabelecimento do sistema,

também indica o quanto a rede estará susceptível aos indesejados comportamentos transitórios

de elevação de corrente e tensão. São dois motivos importantes para a tomada desta função

objetivo.

Quando são formuladas várias propostas para otimização e esses objetivos são

conflitantes, duas alternativas geralmente adotadas na literatura são as seguintes: dar enfoque

mono-objetivo, utilizando a técnica de ponderação de pesos e, assim, transformar os vários

objetivos em um único objetivo; ou dar enfoque multiobjetivo ao problema, utilizando a

técnica da fronteira ótima de Pareto. Quando se utilizam coeficientes de peso, geralmente

normalizados, os vários objetivos são qualificados proporcionalmente aos interesses finais de

otimização. Dessa forma, os valores calibrados exercem influência direta sobre os resultados.

Já o enfoque multiobjetivo envolve a busca de soluções ótimas para todas as funções que

estão sendo otimizadas, através de regras destinadas à formação de um conjunto de soluções

ótimas não-dominadas do espaço de busca – ao invés de uma única solução otimizada, como

acontece nos problemas mono-objetivos. Este conjunto de soluções ótimas não-dominadas

73

forma a fronteira de Pareto. Sendo assim, o decisor fica responsável por escolher a solução ou

as soluções mais satisfatórias, dentre todas as soluções otimizadas pertencentes à fronteira

ótima de Pareto encontrada (GARCIA, 2005; COSSI, 2008; MATHIAS NETO, 2011).

Em Toune et al. (2002), assumiu-se que as operações de chaveamento são controladas

remotamente (em outras palavras, quaisquer custos relacionados às operações de

chaveamentos foram totalmente desconsiderados) e a função objetivo deve maximizar a

restauração de cargas, minimizando o desbalanço de carga entre os alimentadores de suporte

disponíveis e maximizando a tensão mínima da rede. O propósito de distribuir adequadamente

as cargas, de acordo com a capacidade de reserva dos alimentadores primários, é evitar a

ocorrência de sobrecargas e a possibilidade de novas interrupções. A abordagem é mono-

objetivo, pois ocorre a partir de somas ponderadas. A formulação matemática para esta função

objetivo está apresentada abaixo:

𝑀𝑖𝑛 {𝑤1 ∑(𝑆𝑃𝑖 − 𝑆𝑃𝑎𝑣𝑒)2

𝑚

𝑖=1

+ 𝑤2

1

𝑉𝑚𝑖𝑛 } (5)

Nesta formulação, 𝑚 é o número de fontes de energia, 𝑆𝑃𝑖 e 𝑆𝑃𝑎𝑣𝑒 são,

respectivamente, a capacidade de reserva da fonte 𝑖 e a capacidade média de todas as fontes

listadas, 𝑉𝑚𝑖𝑛 é a tensão mínima exigida e 𝑤𝑖 são os coeficientes de peso de cada termo.

O objetivo de minimizar as perdas de potência ativa no sistema de distribuição é

normalmente questionado como proposta para o problema de restauração do serviço. Mas é

um objetivo clássico no problema de reconfiguração ótima dos alimentadores primários em

contexto normal de operação (CINVALAR et al., 1988; BOROZAN et al., 1995;

MANTOVANI et al., 2000; AMASIFEN et al., 2005; SOUZA, 2013). No entanto, a

minimização de perdas foi considerada como um dos objetivos para restauração do serviço em

alguns trabalhos na literatura especializada. Conforme revisado na seção 1.2.2, a minimização

de perdas é uma das propostas que podem ser consideradas para restauração do serviço pela

metodologia heurística de Morelato e Monticelli (1989); Kumar et al. (2006) apresentaram

uma meta-heurística baseada no Algoritmo Genético convencional para resolver o problema

de restauração, minimizando a área desatendida, minimizando o número de operações de

chaveamento (considerando separadamente as chaves controladas remotamente e as chaves

controladas manualmente) e minimizando as perdas nas linhas, sob enfoque mono-objetivo; e

Tian et al. (2009) apresentaram uma meta-heurística PSO para minimizar a potência não

74

fornecida e minimizar as perdas nas linhas, também com enfoque mono-objetivo.

Portanto, seguindo o objetivo principal da restauração de sistemas elétricos, que

corresponde ao restabelecimento da maior parcela possível do sistema no menor intervalo de

tempo possível, é possível considerar a formulação de objetivos secundários, como a

minimização de perdas, o balanço de carga entre os alimentadores primários e a própria

minimização do número de operações de chaveamento.

O objetivo secundário de minimizar o desbalanço de carga foi proposto em vários

trabalhos, também revisados no capítulo 1, dentre os quais estão os trabalhos de Morelato e

Monticelli (1989), Fukuyama e Chiang (1995) e Toune et al. (2002). E a minimização do

número de chaveamentos, além de constar nos trabalhos também mencionados nesta seção –

Mathias Neto (2011) e Pereira Junior et al. (2012) – também foi considerado em Garcia

(2005), cujo trabalho deu enfoque multiobjetivo à proposta de restauração que inclui a

minimização do número de chaveamentos. E, finalmente, Sedano et al. (2005) formularam

uma proposta de restauração que, além de minimizar o desequilíbrio de carga entre os

alimentadores de suporte da área desatendida e maximizar a tensão mínima da rede, como está

proposto em Toune et al. (2002), incluíram a minimização de perdas ativas e a minimização

do número de chaveamentos na rede.

2.2.2 Restrições Físicas e Operacionais da Rede Elétrica

Definidos os objetivos de otimização, deve-se proceder também na definição das

restrições que pretendem cumprir as exigências operacionais da rede elétrica. As exigências

fundamentais são: manter a qualidade da energia fornecida, manter a confiabilidade

operacional do sistema e manter a radialidade.

O fornecimento de energia é adequado, tem qualidade, se os níveis de tensão variam

dentro de determinadas faixas regimentadas pelos órgãos reguladores. O descumprimento da

restrição de fornecimento adequado de tensão caracteriza uma operação precária. A

confiabilidade operacional está relacionada aos carregamentos dos componentes do sistema

para que não haja a ocorrência de sobrecargas e sejam evitadas interrupções no fornecimento,

mesmo se a rede já estiver no estado restaurativo, operando restaurada. Para evitar

sobrecargas no sistema elétrico, devem ser consideradas a capacidade máxima de fluxo de

corrente nos equipamentos e condutores e a capacidade máxima de fluxo de potência nos

75

transformadores das subestações de distribuição. Deve haver o correto equilíbrio entre

geração e consumo de energia elétrica, por isso a capacidade de fornecimento das subestações

também precisa ser considerada (TOUNE et al., 2002; TIAN et al., 2009; MATHIAS NETO,

2011).

Os sistemas aéreos de distribuição tradicionalmente operam com topologia radial,

conforme discutido no capítulo 1. Portanto, a radialidade é uma condição operacional para

esses sistemas e deve ser devidamente considerada pelas metodologias de resolução do

problema: em modelos matemáticos, por meio de equações ou inequações algébricas; e em

técnicas heurísticas, por meio da codificação algorítmica e nos métodos de cálculo de fluxo de

carga utilizados. Nas técnicas heurísticas, a restrição de radialidade geralmente torna difícil o

tratamento do problema de restauração, pois são necessárias estratégias eficientes para atender

esta condição. Já a resolução do problema de restauração por modelagem matemática esteve

totalmente inviabilizada nas últimas décadas, principalmente pela dificuldade de

representação eficiente da restrição de radialidade por meio de equações algébricas simples.

No entanto, esta problemática foi resolvida em Lavorato et al. (2012). Assim, a restrição de

radialidade não é mais um problema para o desenvolvimento de modelagens matemáticas para

o problema de restauração e os primeiros resultados são apresentados no presente trabalho de

pesquisa, onde o problema de restauração de sistemas de distribuição radiais é então resolvido

no contexto da otimização clássica, através da resolução dos modelos matemáticos

apresentados nos capítulos 3 e 4.

Finalmente, a seguir, são apresentadas as discussões propostas acerca das restrições

físicas e operacionais relacionadas à rede elétrica.

Propostas de solução que descumprem uma ou mais restrições do problema são

soluções infactíveis. Em cenários mais críticos de faltas permanentes no sistema, é mais

susceptível a ocorrência de propostas infactíveis, principalmente durante o início do processo

de solução. Nos métodos heurísticos de otimização, as soluções infactíveis obtidas durante a

busca por soluções do problema podem ser tratadas através de técnicas de penalização na

função objetivo, incrementando seu valor proporcionalmente à violação da restrição, como

está proposto em Pereira Junior et al. (2012). Contudo, se o problema apresentar apenas

configurações infactíveis até o final do processo de solução, a rede de distribuição não poderá

ser restabelecida, o problema ficará sem solução imediata e os consumidores afetados pela

falta permanecerão sem fornecimento de energia elétrica enquanto o sistema não puder operar

atendendo devidamente ao conjunto de restrições técnicas e/ou até que a falta permanente no

76

sistema seja corrigida.

Mathias Neto (2011) apresenta de forma abrangente as principais formulações

matemáticas referentes às restrições do sistema elétrico de distribuição. No entanto, algumas

formulações não estão escritas de forma explícita. A metodologia de resolução desenvolvida

pelo autor é uma meta-heurística, por isso estas relações matemáticas são dispensáveis e não

estão completas. No entanto, todas as formulações matemáticas apresentadas neste trabalho de

pesquisa (nos capítulos 3 e 4) como metodologias de resolução estão completas e explícitas,

conforme as formulações propostas em cada modelagem. Segundo Mathias Neto (2011), as

restrições fundamentais do problema são assim expressas:

O fluxo de corrente 𝐼𝑗𝑡 que percorre o equipamento ou condutor 𝑗 da rede deve ser

mantido abaixo do seu limite operacional indicado por 𝐼𝑗𝑀𝐴𝑋 (corrente máxima

admissível) durante o período 𝑡 do estado restaurativo:

|𝐼𝑗𝑡| ≤ 𝐼𝑗

𝑀𝐴𝑋 (6)

O fluxo de potência 𝑆𝑇𝑡 que percorre o transformador 𝑇 da subestação deve ser

mantido abaixo do seu limite operacional indicado por 𝑆𝑇𝑀𝐴𝑋 (potência máxima

admissível) durante o período 𝑡 do estado restaurativo:

|𝑆𝑇𝑡 | ≤ 𝑆𝑇

𝑀𝐴𝑋 (7)

A magnitude de tensão 𝑉𝑘𝑡 em cada barra 𝑘 da rede deve ser mantida dentro do seu

limite operacional determinado pelos órgãos reguladores, durante o período 𝑡 do

estado restaurativo, sendo 𝑉𝑀𝐼𝑁 e 𝑉𝑀𝐴𝑋 os limites inferior e superior de tensão:

𝑉𝑀𝐼𝑁 ≤ 𝑉𝑘𝑡 ≤ 𝑉𝑀𝐴𝑋 (8)

As equações algébricas não lineares que representam o fluxo de potência 𝐺𝑘𝑡 em

cada barra 𝑘 da rede durante o período 𝑡 do estado restaurativo, segundo as Leis

de Kirchhoff, e que garantem o atendimento às demandas de potência ativa e

reativa em todas as barras de carga, não estão explícitas e estão representas da

seguinte forma:

77

𝐺𝑘𝑡 (𝑃, 𝑄, 𝑉, 𝜃) = 0 (9)

Manter a configuração radial do sistema de distribuição.

Observa-se que, de forma especial, as equações que representam a aplicação das Leis

de Kirchhoff e a representação da condição de radialidade não estão apresentadas

explicitamente em Mathias Neto (2011).

As técnicas heurísticas normalmente exigem que as propostas de solução formuladas

sejam validadas através da resolução de um algoritmo de cálculo de fluxo de carga. Nesse

sentido, durante e/ou ao final do processo de solução pela metodologia heurística de

resolução, este algoritmo é acionado e executado (TOUNE et al., 2002; MATHIAS NETO,

2011). Algumas metodologias simplificam estes cálculos para não onerar o processo de

obtenção da solução do problema. Tradicionalmente, esta simplificação desconsidera o

cálculo das perdas de potências ativa e reativa do sistema e consideram apenas o fluxo de

potência aparente. Desta forma, as condições de carregamento da rede elétrica ficam menos

fidedignamente representadas. Por outro lado, por exemplo, quando as perdas são

desprezíveis, a viabilidade da solução final não é comprometida e há ganhos em termos de

tempo de processamento computacional.

Através da execução de um algoritmo de cálculo de fluxo de carga é possível conhecer

a resolução do circuito elétrico e, assim, verificar se as soluções propostas pelos métodos

heurísticos apresentam qualidade operacional para o fornecimento de energia elétrica, ou seja,

se cumprem com todas as restrições do problema. Porém, os modelos matemáticos não

precisam acionar a execução desses algoritmos. Diferentemente do que ocorre nas

metodologias heurísticas, as restrições do problema estão explicitamente formuladas nos

modelos matemáticos, fornecendo diretamente a informação do estado do sitema, bem como

outras grandezas de interesse relacionadas ao estado operacional do sistema elétrico.

A seguir, é apresentado um método para o cáculo do fluxo de carga para sistemas de

distribuição radial.

78

2.2.3 Cálculo do Fluxo de Carga em Redes Radiais

As propostas de reconfiguração formuladas pelos métodos heurísticos de otimização

geralmente são avaliadas executando um algoritmo de cálculo de fluxo de carga. A execução

deste algoritmo permite saber se as restrições relacionadas a requisitos físicos e operacionais

da rede e de qualidade da energia fornecida são atendidas, conforme abordado na seção 2.2.2.

Geralmente, as restrições avaliadas são as seguintes: se a corrente que passa pelos ramos

cumpre com a capacidade máxima admitida pelos condutores e pelos demais equipamentos;

se os níveis de tensão estão dentro dos limites adequados, garantindo a qualidade da energia

fornecida; e se a subestação possui capacidade de atender as demandas de carga normalmente

atendidas pelo conjunto de alimentadores conectados a ela juntamente com as demais cargas

restauradas por estes alimentadores (considera a capacidade de carregamento dos

transformadores da subestação).

O algoritmo para cálculo de fluxo de carga apresentado nesta seção corresponde ao

método de varredura direta e reversa baseado na soma de correntes proposto por

Shirmohammadi et al. (1988; 1989). Neste método, o nó raíz corresponde à barra da

subestação e os demais nós são as demais barras do sistema. Ao longo do ramal principal,

estão associados os ramais secundários, a estes os ramais terciários e, assim,

consecutivamente, de acordo com o nível da camada de ramificação. A varredura é dita direta

porque ocorre do nó raiz às extremidades da árvore (em movimento forward) e é dita reversa

porque ocorre das barras finais até a subestação (em movimento backward). Assim, o método

é ramo-orientado e é necessário que a numeração dos ramos e dos nós seja sistematicamente

ordenada.

O cálculo se dá da seguinte forma: Estimam-se as tensões nodais (comumente é

escolhido para todas as barras o valor da tensão no nó da subestação) e, iniciando-se pela

varredura reversa, calculam-se as injeções de correntes nas barras e o fluxo de corrente nos

ramos e, então, realizando o somatório das correntes, passa a ser conhecida a corrente que sai

da subestação. Conhecendo as correntes nos ramos, podem-se calcular as perdas de potência

na rede. Sequentemente, na varredura direta, a partir do valor conhecido da tensão na barra da

subestação e da corrente que por ela é injetada, calculam-se os novos valores das tensões em

todas as barras do sistema. E mais uma vez, no movimento backward da varredura, calculam-

se as correntes em todas as barras e ramos, bem como as perdas de potência da rede, para

então reiniciar o movimento forward. O processo é iterativo e termina quando um critério de

79

parada é satisfeito. O critério de parada pode ser se o número máximo de iterações do

algoritmo foi atingido e/ou se a variação das perdas ativas em duas iterações consecutivas está

acima de uma tolerância especificada como limitante superior (SHIRMOHAMMADI et al.,

1988; SHIRMOHAMMADI; HONG, 1989; TOUNE et al., 2002; MATHIAS NETO, 2011).

Neste método de resolução, são necessárias apenas três relações matemáticas: o

cálculo da injeção de corrente nos nós (trivialmente, a partir dele, conhece-se a corrente nos

ramos), o cálculo da tensão nos nós e o cálculo das perdas de potência nos ramos. As relações

são obtidas através das Leis de Kirchhoff.

Resumidamente, o algoritmo de fluxo de carga radial de varredura direta e reversa

baseado na soma de correntes segue os seguintes passos:

1. Atribuir a todas as barras do sistema a tensão na barra da subestação. Especificar o

valor de tolerância mínima de variação das perdas ativas, como critério principal

de parada. Especificar o número máximo de iterações para o algoritmo como o

segundo critério de parada. Inicializar a variável de perdas com valor nulo.

Inicializar o contador de iterações.

2. Iniciar a varredura reversa (movimento backward): calcular a injeção de corrente

em todas as barras. Através de operações simples de soma, calcular a corrente em

todos os ramos.

3. Conhecidas as correntes nos ramos, calcular as perdas ativas e reativas nos ramos

e, a partir do somatório de perdas ativas em cada ramo, obter o total de perdas

ativas do sistema.

4. Analisar os critérios de parada: Verificar se a variação das perdas ativas é menor

que o valor de tolerância especificado. Se esta condição é satisfeita, encerrar o

processo. Caso contrário, verificar se foi atingido o número máximo de iterações.

Se esta segunda condição é satisfeita, encerrar o processo. Caso contrário, ir ao

passo 5.

5. Iniciar a varredura direta (movimento forward): conhecida a corrente em todos os

ramos e conhecida a tensão na barra da subestação, calcular os novos valores de

tensões nas demais barras do sistema. Incrementar o contador de iterações em uma

unidade e voltar ao passo 2.

80

3 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA OTIMIZAÇÃO DO PROBLEMA DE

RESTAURAÇÃO COM ABORDAGEM SIMPLIFICADA

Este capítulo tem o objetivo de apresentar modelos matemáticos simplificados,

formulados para resolver o problema de restauração do serviço de fornecimento de energia

elétrica em sistemas de distribuição radiais conforme a proposta de restauração de Morelato e

Monticelli (1989). A proposta original está discutida na seção 3.1 e corresponde à

minimização do desbalanço de carga entre os alimentadores primários do sistema. Os modelos

matemáticos apresentados são chamados simplificados, ou relaxados, porque o problema

original desconsidera algumas restrições físicas e operacionais do sistema elétrico; e são

exatos porque todas as formulações matemáticas correspondentes ao problema (conforme a

abordagem realizada) são completas e explícitas, diferentemente das formulações

matemáticas apresentadas em alguns dos trabalhos revisados nos capítulos anteriores. O

presente capítulo, na verdade, apresenta modelos matemáticos alternativos para o problema

original com o objetivo principal de tornar a natureza do problema mais simples em cada nova

formulação, isto é, obter formulações com menor complexidade de resolução e,

consequentemente, facilitar a resolução dos modelos matemáticos pelos métodos conhecidos

de otimização clássica. As formulações alternativas são apresentadas na seção 3.4. Entre elas,

consta também a alteração da função objetivo original pela função objetivo que minimiza o

número de operações de chaveamento realizadas para o restabelecimento do sistema. O

capítulo apresenta e discute os diferentes testes realizados.

Os modelos matemáticos apresentados neste capítulo são muito simples, uma vez que

o problema de restauração está sendo abordado de forma simplificada, e o sistema teste

utilizado é de pequeno porte. Dessa forma, este terceiro capítulo permite introduzir algumas

discussões relevantes quanto à resolução do problema de restauração em sistemas de

distribuição radiais por modelagem matemática exata. No capítulo 4, o modelo matemático

apresentado não é simplificado, é completo, pois o problema de restauração é abordado de

forma completa e as formulações são necessariamente mais elaboradas.

3.1 PROPOSTA DE RESTAURAÇÃO E SISTEMA TESTE

Os modelos matemáticos propostos neste capítulo estão baseados na proposta de

81

restauração de Morelato e Monticelli (1989). O trabalho destes autores está revisado na seção

1.2.1. Trata-se de uma estratégia heurística para resolver problemas relacionados aos sistemas

de distribuição radiais, estratégia tanto para a reconfiguração do sistema em condições

normais de operação, como para a restauração do sistema diante de ocorrência de faltas

permanentes na rede. A proposta original de restauração segue o objetivo de minimizar um

índice de balanço de carga entre os alimentadores principais, o índice LBI (do inglês Load

Balancing Index), dado pela seguinte relação:

𝐿𝐵𝐼 = 1

𝑛𝑎[∑(�̅� − �̇�𝑖)

2

𝑛𝑎

𝑖=1

]

1 2⁄

(10)

Na relação (10), 𝑛𝑎 é o número de alimentadores principais que estão ativos, �̇�𝑖 é a

carga normalizada do alimentador 𝑖 (a razão entre a carga corrente atendida pelo alimentador

ativo 𝑖 e o seu correspondente limite de carregamento) e �̅� é a média das cargas normalizadas

�̇�𝑖 (a razão entre o somatório das cargas normalizadas e os 𝑛𝑎 alimentadores ativos). O

alimentador está ativo se ele permaneceu em operação após a interrupção do fornecimento de

energia elétrica para uma determinada parcela do sistema de distribuição e, portanto, pode ser

utilizado para restabelecer o fornecimento de energia para seções em falta (ou cooperar para o

restabelecimento destas seções), de acordo com a margem de carregamento disponível (limite

de carregamento do alimentador menos o carregamento corrente) e as chaves de interconexão

normalmente abertas existentes no sistema. Assim, �̇�𝑖 e �̅� assumem a seguinte forma:

�̇�𝑖 =𝑆𝑖

𝑆𝑖𝑚𝑎𝑥 �̅� =

1

𝑛𝑎∑

𝑆𝑖

𝑆𝑖𝑚𝑎𝑥

𝑛𝑎

𝑖=1

onde 𝑆𝑖 é a potência aparente atendida pelo alimentador principal 𝑖 e 𝑆𝑖𝑚𝑎𝑥 é o fluxo máximo

de potência aparente permitido para esse mesmo alimentador 𝑖. Deve-se observar que a

função objetivo original que minimiza o desbalanço de carga entre os alimentadores

principais, apresentada na relação (𝟏𝟎), pode ser substituída por formulações alternativas,

entre elas, uma formulação linear. A linearização da função objetivo permite encontrar

resultados equivalentes e facilita a resolução do problema. Esta linearização consta na seção

3.3, que apresenta os modelos alternativos para a proposta de Morelato e Monticelli (1989).

82

Algumas razões importantes para se considerar o equilíbrio de carga entre os alimentadores

principais ativos do sistema, assim como proposto em Morelato e Monticelli (1989) e também

em outros trabalhos que resolvem o problema de restauração, como em Toune et al. (2002) e

em Sedano et al. (2005), podem ser destacadas: a contribuição para que a capacidade de

reserva de algum desses alimentadores não fique próxima de ser violada, principalmente em

casos mais críticos de faltas; a contribuição para preservar a vida útil desses condutores e

demais elementos presentes; e para possivelmente melhorar outras variáveis do sistema (como

as magnitudes de tensão nas barras, por exemplo). Em outras palavras, seguindo o objetivo

proposto, as cargas desatendidas serão restabelecidas pelos alimentadores de suporte

disponíveis de modo que haja o equilíbrio de carregamento entre todos os alimentadores

ativos, contribuindo para a segurança operacional da rede durante o estado restaurativo e

possivelmente contribuindo para a qualidade do fornecimento de energia elétrica.

O problema proposto pelos autores é simplificado, ou relaxado, pois foram realizadas as

seguintes simplificações: apenas a carga aparente é considerada, ou seja, não existe separação

entre cargas ativas e reativas; apenas a 1ª Lei de Kirchhoff é aplicada, ou seja, a Lei de

Kirchhoff para Tensões não foi considerada; assim, também não existem restrições para as

magnitudes de tensão (não são considerados os limites operacionais exigidos) e não são

considerados os dados de impedância das linhas. Portanto, os dados utilizados para resolução

do problema de restauração são a carga em kVA em cada zona do sistema, o limite de

carregamento de cada alimentador principal e a configuração do sistema após a falta

permanente. Assim, as restrições do problema são o atendimento pleno das cargas, o

atendimento ao limite de carregamento dos alimentadores e a operação em topologia radial.

As variáveis do problema representam o carregamento dos alimentadores principais na saída

da subestação (ou seja, o fluxo de potência aparente no circuito dos disjuntores da subestação)

e representam o estado aberto ou fechado dos dispositivos de manobra (chaves e disjuntores),

sendo estas as variáveis de decisão do problema. Finalmente, a solução ótima é a solução

factível que minimiza o desbalanço de carga entre os alimentadores ativos, sem consideração

ao número de operações de chaveamento. A solução é factível se atende às restrições

impostas.

O sistema teste está organizado em zonas de carga, cuja demanda é dada em kVA.

Consiste em um sistema de 20 zonas de carga, 33 chaves e duas subestações, cada uma

conectando dois alimentadores principais, totalizando quatro alimentadores. O sistema teste é

mostrado na Figura 7. Em problemas de reconfiguração do sistema, as barras das subestações

83

podem ser consideradas como uma única barra e este critério foi adotado neste capítulo,

assim, a figura apresenta esta configuração. Os dados de demanda em kVA nas zonas de carga

constam na Tabela 1 e cada alimentador principal tem capacidade máxima de 10 MVA.

Figura 7 - Configuração base do sistema teste de 20 barras de Morelato-Monticelli

Fonte: Adaptado de Morelato e Monticelli (1989).

Tabela 1 - Dados de demanda de carga nas barras do sistema

Zona Carga (kVA)

Zona Carga (kVA)

Zona Carga (kVA)

1 1600 8 1000 15 600

2 700 9 500 16 1500

3 1800 10 800 17 2000

4 500 11 3000 18 1800

5 1900 12 3500 19 1500

6 500 13 700 20 500

7 1500 14 1000

Fonte: Morelato e Monticelli (1989).

A estratégia heurística dos autores foi aplicada no sistema teste apresentado na Figura

7. O caso analisado corresponde a uma falta permanente na zona 6. Logo, as chaves

adjacentes 10 (correspondente ao disjuntor do alimentador B) e 11 devem ser abertas para

isolar a zona 6 e as chaves normalmente abertas 6 e 15 devem ser indisponibilizadas para o

processo de restauração das demais zonas desatendidas no cenário de falta indicado: as zonas

7, 8, 9 e 10. O restabelecimento destas zonas se dará pelas operações de chaveamento na rede,

que consistem na manobra de chaves: alteração do seu estado inicial, por abertura ou

fechamento. Adicionalmente, as operações de chaveamento devem manter a operação radial

A

B

C

D

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

1

10

19

29

11 12 13 14

20 21 22 23

30 31 32 33

6 7 8 9

15 16 17 18

24 25 26 27 28

2 3 4 5

Disjuntor fechado

Disjuntor aberto

Chave fechada

Chave aberta

84

do sistema. Deve-se observar que o alimentador B ficou completamente indisponibilizado

(inativo), devido à necessidade de abertura do seu respectivo disjuntor para o isolamento da

falta na zona 6.

A estratégia de busca heurística proposta pelos autores obteve a solução ótima para o

cenário de falta testado. No entanto, vale ressaltar que a estratégia heurística corresponde a

adaptações em um algoritmo do tipo branch and bound para problemas de programação

binária, em que as estratégias tradicionais do algoritmo branch and bound no processo de

sondagem foram substituídas por regras heurísticas. Isso significa que a solução ótima pode

não ser encontrada, pois pode ser intuitivamente eliminada do processo de busca a parcela da

região factível em que se encontra a solução ótima. A Figura 8 mostra a topologia

correspondente à solução ótima encontrada pelo método heurístico de Morelato e Monticelli

(1989). De acordo com a configuração proposta pelo método, verifica-se que os alimentadores

A, C e D (ativos) transportam, respectivamente, 8.800, 8.700 e 8.900 kVA, revelando um

nível de carregamento equilibrado: 88%, 87% e 89% (a capacidade máxima de transporte de

cada alimentador é de 10.000 kVA). Quanto ao chaveamento realizado para o

restabelecimento do sistema, segundo o plano de restauração proposto, as seguintes chaves

foram operadas: abertura das chaves 12 e 22, e fechamento das chaves 8, 16 e 27, totalizando

cinco manobras. As chaves não são apresentadas em sequência de chaveamento ideal. Vale

lembrar que o número completo de chaveamento realizado no sistema corresponde a sete

operações, uma vez que duas manobras foram realizadas para isolar o defeito (abertura das

chaves 10 e 11, já mencionada). O estado final das chaves está declarado na Tabela 2, sendo

que as chaves que sofreram alteração estão sinalizadas com um asterisco (*).

Tabela 2 - Estado final das chaves no plano ótimo de restauração de Morelato-Monticelli

Chave Estado Chave Estado Chave Estado

1 Fechada 12* Aberta 23 Fechada

2 Fechada 13 Fechada 24 Aberta


4 Fechada 15 Aberta 26 Aberta

5 Fechada 16* Fechada 27* Fechada

6 Aberta 17 Aberta 28 Aberta

7 Aberta 18 Aberta 29 Fechada

8* Fechada 19 Fechada 30 Fechada

9 Aberta 20 Fechada 31 Fechada

10* Aberta 21 Fechada 32 Fechada

11* Aberta 22* Aberta 33 Fechada

* Sinaliza as chaves que sofreram alteração de estado


85

Figura 8 - Configuração ótima proposta pelo método heurístico de Morelato-Monticelli


Nas próximas seções deste capítulo, os modelos matemáticos desenvolvidos com a

abordagem simplificada discutida serão apresentados e os resultados obtidos com a resolução

deles para este e outros casos de falta permanente no sistema teste apresentado nesta seção

serão analisados e comparados.

3.2 MODELAGEM MATEMÁTICA PROPOSTA COM ABORDAGEM

SIMPLIFICADA

Nesta seção, o modelo matemático exato para a proposta de restauração de Morelato e

Monticelli (1989), discutida na seção anterior, é apresentado. O problema original é de

programação não linear inteira mista (PNLIM) e o modelo matemático simplificado é

apresentado nas relações (𝟏𝟏𝐚) a (𝟏𝟏𝐡).

É importante frisar que o sistema elétrico se encontra em estado restaurativo, portanto,

para a elaboração do plano de restauração, barras de interesse ou sob defeito devem ser

isoladas e para isso circuitos adjacentes a estas barras devem ser indisponibilizados. Assim,

participam do processo de restauração apenas as barras não isoladas e os ramos não

indisponibilizados. Dessa forma, na modelagem apresentada, a sinalização “linha” (o

apóstrofo) em algumas variáveis, parâmetros e conjuntos do modelo simboliza o estado

restaurativo do sistema elétrico. Esta sinalização foi usada apenas para evidenciar o contexto

A

B

C

D

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

1

10

19

29

11 12 13 14

20 21 22 23

30 31 32 33

6 7 8 9

15 16 17 18

24 25 26 27 28

2 3 4 5

Disjuntor fechado

Disjuntor aberto

Chave fechada

Chave aberta

Local da falta

86

restaurativo e, assim, se diferenciar da notação comumente adotada na literatura especializada

quando se considera a integridade do sistema elétrico de distribuição (como em problemas de

planejamento da reconfiguração do sistema para minimização de perdas, por exemplo).

𝑀𝑖𝑛 𝑣 = 1

𝑛𝑎[ ∑ (�̅� − �̇�𝑗)

2

(𝑜,𝑗)∈ Ω𝑜′

]

1 2⁄

(11a)

𝑠. 𝑎.

�̇�𝑗 =𝑓𝑜,𝑗

𝑓�̅�,𝑗

∀(𝑜, 𝑗) ∈ Ω𝑜′ (11b)

�̅� =1

𝑛𝑎 ∑

𝑓𝑜,𝑗

𝑓�̅�,𝑗


(11c)

− ∑ 𝑓𝑜,𝑗 + 𝑔𝑜 = 0


(11d)

∑ 𝑓𝑘,𝑖

(𝑘,𝑖)∈ Ω𝑙′

− ∑ 𝑓𝑖,𝑗

(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′

= 𝑑𝑖 ∀𝑖 ∈ Ω𝑑′ (11e)

|𝑓𝑖,𝑗| ≤ 𝑓�̅�,𝑗 𝑥𝑖,𝑗 ∀(𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (11f)

∑ 𝑥𝑖,𝑗


= 𝑛𝑏′ − 1 (11g)

𝑥𝑖,𝑗 ∈ {0, 1} ∀(𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (11h)

Segue a descrição do modelo matemático: considera-se uma única barra para o

conjunto de subestações (no caso do sistema teste, o conjunto é formado por duas

subestações), assim, 𝑛𝑠 = 1 e Ω𝑜′ é o conjunto de ramos não indisponibilizados diretamente

ligados à barra da subestação, sendo ela denotada por 𝑜; Ω𝑑′ é o conjunto de barras de

demanda do sistema passíveis de restauração, isto é, considerando que o sistema possui um

total de 𝑛𝑏 = 21 barras e, destas, 𝑛𝑠 = 1 é o número de barras de subestação e, além disso,

𝑛𝑏𝑑𝑒𝑓 = 1 barras sob defeito estão isoladas, então, existem 𝑛𝑏′ = 𝑛𝑏 − 𝑛𝑏𝑑𝑒𝑓 barras não

isoladas participantes do processo de elaboração do plano de restauração, ou seja, 𝑛𝑏′ = 21 −

1 = 20 barras não isoladas, e 𝑛𝑏′ − 𝑛𝑠 = 20 − 1 = 19 barras de demanda disponíveis para

atendimento; Ω𝑙′ é o conjunto de ramos do sistema elétrico que não foram indisponibilizados,

por exemplo, no caso de falta na zona 6, quatro ramos foram indisponibilizados, portanto, o

conjunto Ω𝑙′ é composto por 𝑛𝑙′ = 33 − 4 = 29 ramos, todos disponíveis para o processo de

elaboração do plano de restauração; 𝑣 é a função objetivo que minimiza o índice LBI; 𝑛𝑎 é o

87

número de alimentadores principais ativos, isto é, o número de ramos pertencentes a Ω𝑜′ , os

quais permaneceram conectados à barra da subestação após a ocorrência da falta permanente;

𝑓𝑖,𝑗 é o fluxo de potência aparente no circuito compreendido entre as barras 𝑖 e 𝑗, cuja

capacidade máxima de fluxo para o ramo é 𝑓�̅�,𝑗; �̇�𝑗 é o valor normalizado do fluxo de potência

que está saindo da subestação para a barra 𝑗 diretamente conectada à subestação, isto é, a

razão entre o fluxo no ramo ativo 𝑜 − 𝑗 ∈ Ω𝑜′ e a capacidade máxima 𝑓�̅�,𝑗 permitida para o

ramo; �̅� é o valor médio dos fluxos �̇�𝑗; 𝑔𝑜 é a potência aparente fornecida pela subestação; 𝑑𝑖

é a demanda de potência aparente na barra 𝑖; e 𝑥𝑖,𝑗 é a variável binária de decisão que

representa o estado da chave ou disjuntor no circuito 𝑖 − 𝑗 e assume valor 𝑥𝑖,𝑗 = 1 se a chave

está fechada (indicando circuito fechado) e valor 𝑥𝑖,𝑗 = 0 se a chave está aberta (indicando

circuito aberto). Finalmente, sendo 𝑛𝑏′ = 21 − 1 = 20 o número de barras não isoladas do

sistema e 𝑛𝑠 = 1 o número de barras de subestação, o total de circuitos fechados para

operação radial do sistema plenamente restabelecido deverá ser equivalente a 20 − 1 = 19.

O restabelecimento é pleno para as barras de carga passíveis de restauração.

A equação (𝟏𝟏𝐝) corresponde ao balanço de potência aparente na barra da subestação,

ou seja, representa o equilíbrio entre a geração e a demanda no sistema elétrico; e o conjunto

de equações (𝟏𝟏𝐞) representa o balanço de potência aparente em cada barra de demanda.

Estas duas restrições estão relacionadas à primeira lei de Kirchhoff. As relações (𝟏𝟏𝐟)

limitam o fluxo de potência aparente nos ramos ativos de acordo com a capacidade máxima

de fluxo permitida para cada ramo. A restrição de igualdade (𝟏𝟏𝐠) garante que a solução

ótima deve ter 𝑛𝑏′ − 𝑛𝑠 chaves fechadas, condição necessária para a operação radial do

sistema restaurado. A restrição (𝟏𝟏𝐠) juntamente com a garantia de que a solução ótima

deverá ser um sistema conexo garante que a solução ótima seja radial. O caráter conexo da

solução ótima é dado pelas restrições (𝟏𝟏𝐝) e (𝟏𝟏𝐞), segundo as quais a demanda em cada

barra de carga deve ser atendida pela subestação e, portanto, cada barra de demanda está

conectada com a subestação, formando um sistema conexo. A restrição (𝟏𝟏𝐠), nesse caso, é

de igualdade porque se sabe que o conjunto de alimentadores de suporte do sistema teste tem

potencial para restabelecer completamente as zonas desatendidas passíveis de restauração.

Assim, não existe a necessidade de prever o desligamento de zonas de carga durante o

processo de restabelecimento do sistema no estado restaurativo. Caso contrário, o modelo

matemático, inclusive a própria restrição (𝟏𝟏𝐠), deveria ser adequadamente reformulado para

permitir que uma ou mais zonas permanecessem desconectadas durante o estado restaurativo

88

do sistema, caso causassem sobrecargas. Este tópico é especialmente discutido no capítulo 4,

que apresenta o modelo matemático completo e que considera a possibilidade de corte de

carga.

Para exemplificar esta modelagem matemática, as relações matemáticas do modelo

são detalhadas e apresentadas no conjunto de relações numeradas de (𝟏𝟐) a (𝟏𝟗), conforme

os dados do sistema teste apresentado e conforme o caso de falta na zona 6, discutidos neste

capítulo. Portanto, estão desconsiderados do processo de restauração todos os parâmetros e

variáveis do modelo relacionados à zona 6: informações de barra e informações de ramos

conectados a ela. Por exemplo, inexistem no contexto restaurativo considerado as seguintes

variáveis: �̇�𝟔, 𝒇𝒐,𝟔, 𝒇𝟏,𝟔, 𝒇𝟔,𝟕, 𝒇𝟔,𝟏𝟏, 𝒙𝒐,𝟔, 𝒙𝟏,𝟔, 𝒙𝟔,𝟕, 𝒙𝟔,𝟏𝟏 e 𝒅𝟔.


3[(�̅� − �̇�1)2 + (�̅� − �̇�11)2 + (�̅� − �̇�16)2]1 2⁄ (12)

𝑠. 𝑎.

�̇�1 =𝑓𝑜,1

10000 (13a)

�̇�11 =𝑓𝑜,11

10000 (13b)

�̇�16 =𝑓𝑜,16

10000 (13c)

�̅� =1

30000 (𝑓𝑜,1 + 𝑓𝑜,11 + 𝑓𝑜,16) (14)

− 𝑓𝑜,1 − 𝑓𝑜,11 − 𝑓𝑜,16 + 𝑔𝑜 = 0 (15)

𝑓𝑜,1 − 𝑓1,2 = 1600 (16a)

𝑓1,2 − 𝑓2,3 − 𝑓2,7 = 700 (16b)

𝑓2,3 − 𝑓3,4 − 𝑓3,8 = 1800 (16c)

𝑓3,4 − 𝑓4,5 − 𝑓4,9 = 500 (16d)

𝑓4,5 = 1900 (16e)

𝑓2,7 − 𝑓7,8 − 𝑓7,12 = 1500 (16f)

𝑓7,8 − 𝑓3,8 − 𝑓8,9 − 𝑓8,13 = 1000 (16g)

𝑓8,9 + 𝑓4,9 − 𝑓9,10 − 𝑓9,14 = 500 (16h)

𝑓9,10 = 800 (16i)

𝑓𝑜,11 − 𝑓11,12 − 𝑓11,16 = 3000 (16j)

𝑓11,12 + 𝑓7,12 − 𝑓12,13 − 𝑓12,17 = 3500 (16k)

𝑓12,13 + 𝑓8,13 − 𝑓13,14 − 𝑓13,18 = 700 (16l)

𝑓13,14 + 𝑓9,14 − 𝑓14,15 − 𝑓14,19 = 1000 (16m)

89

𝑓14,15 − 𝑓15,20 = 600 (16n)

𝑓𝑜,16 + 𝑓11,16 − 𝑓16,17 = 1500 (16o)

𝑓16,17 + 𝑓12,17 − 𝑓17,18 = 2000 (16p)

𝑓17,18 + 𝑓13,18 − 𝑓18,19 = 1800 (16q)

𝑓18,19 + 𝑓14,19 − 𝑓19,20 = 1500 (16r)

𝑓19,20 + 𝑓15,20 = 500 (16s)

|𝑓𝑜,1| ≤ 10000 𝑥𝑜,1 (17a)

|𝑓𝑜,11| ≤ 10000 𝑥𝑜,11 (17b)

|𝑓𝑜,16| ≤ 10000 𝑥𝑜,16 (17c)

|𝑓1,2| ≤ 10000 𝑥1,2 (17d)

|𝑓2,3| ≤ 10000 𝑥2,3 (17e)

|𝑓3,4| ≤ 10000 𝑥3,4 (17f)

|𝑓4,5| ≤ 10000 𝑥4,5 (17g)

|𝑓2,7| ≤ 10000 𝑥2,7 (17h)

|𝑓3,8| ≤ 10000 𝑥3,8 (17i)

|𝑓4,9| ≤ 10000 𝑥4,9 (17j)

|𝑓7,8| ≤ 10000 𝑥7,8 (17k)

|𝑓8,9| ≤ 10000 𝑥8,9 (17l)

|𝑓9,10| ≤ 10000 𝑥9,10 (17m)

|𝑓7,12| ≤ 10000 𝑥7,12 (17n)

|𝑓8,13| ≤ 10000 𝑥8,13 (17o)

|𝑓9,14| ≤ 10000 𝑥9,14 (17p)

|𝑓11,12| ≤ 10000 𝑥11,12 (17q)

|𝑓12,13| ≤ 10000 𝑥12,13 (17r)

|𝑓13,14| ≤ 10000 𝑥13,14 (17s)

|𝑓14,15| ≤ 10000 𝑥14,15 (17t)

|𝑓11,16| ≤ 10000 𝑥11,16 (17u)

|𝑓12,17| ≤ 10000 𝑥12,17 (17v)

|𝑓13,18| ≤ 10000 𝑥13,18 (17w)

|𝑓14,19| ≤ 10000 𝑥14,19 (17x)

|𝑓15,20| ≤ 10000 𝑥15,20 (17y)

|𝑓16,17| ≤ 10000 𝑥16,17 (17z)

|𝑓17,18| ≤ 10000 𝑥17,18 (17a1)

90

|𝑓18,19| ≤ 10000 𝑥18,19 (17b1)

|𝑓19,20| ≤ 10000 𝑥19,20 (17c1)

𝑥𝑜,1 + 𝑥𝑜,11 + 𝑥𝑜,16 + 𝑥1,2 + 𝑥2,3 + 𝑥3,4 + 𝑥4,5 + 𝑥2,7 + 𝑥3,8 + 𝑥4,9 +

𝑥7,8 + 𝑥8,9 + 𝑥9,10 + 𝑥7,12 + 𝑥8,13 + 𝑥9,14 + 𝑥11,12 + 𝑥12,13 + 𝑥13,14 +

𝑥14,15 + 𝑥11,16 + 𝑥12,17 + 𝑥13,18 + 𝑥14,19 + 𝑥15,20 + 𝑥16,17 + 𝑥17,18 +

𝑥18,19 + 𝑥19,20 = 19

(18)

𝑥𝑜,1 , 𝑥𝑜,11 , 𝑥𝑜,16 , 𝑥1,2 , 𝑥2,3 , 𝑥3,4 , 𝑥4,5 , 𝑥2,7 , 𝑥3,8 , 𝑥4,9 , 𝑥7,8 , 𝑥8,9 ,

𝑥9,10 , 𝑥7,12 , 𝑥8,13 , 𝑥9,14 , 𝑥11,12 , 𝑥12,13 , 𝑥13,14 , 𝑥14,15 , 𝑥11,16 , 𝑥12,17

, 𝑥13,18 , 𝑥14,19 , 𝑥15,20 , 𝑥16,17 , 𝑥17,18 , 𝑥18,19 , 𝑥19,20 ∈ {0,1}

(19)

3.3 FORMULAÇÕES ALTERNATIVAS PARA O MODELO MATEMÁTICO

SIMPLIFICADO

O modelo matemático simplificado e que corresponde à proposta original de Morelato

e Monticelli (1989) apresentado na seção anterior é um problema de programação não linear

inteira mista (PNLIM). A não linearidade do problema aparece apenas na função objetivo. É

possível modificar a formulação da função objetivo, de modo que ela represente, de forma

equivalente, a proposta de restauração original de minimização do índice LBI. Nesta seção,

duas formulações alternativas equivalentes à proposta original são apresentadas e uma terceira

formulação é proposta para este mesmo problema de restauração com abordagem

simplificada: esta nova proposta segue um objetivo diferente de otimização, a minimização do

número de chaveamentos para o restabelecimento do sistema.

A primeira modificação torna o modelo matemático original um problema de

programação quadrática inteira mista (PQIM) e consiste simplesmente em não aplicar a

função raiz quadrada. Esta nova formulação para a função objetivo é apresentada na relação

(𝟐𝟎). A segunda modificação torna o modelo matemático original um problema de

programação linear inteira mista (PLIM) e a formulação para esta função objetivo é

apresentada na relação (𝟐𝟏). A resolução de problemas de natureza quadrática e de natureza

linear pelos métodos clássicos de otimização conhecidos é facilitada, inclusive pelos

solucionadores comerciais existentes e, consequentemente, demandam menor tempo de

91

processamento computacional. Dessa forma, as duas novas formulações alternativas para a

proposta original, principalmente a formulação linear, podem ser consideradas mais

interessantes para o modelo matemático proposto para o problema de restauração.

𝐿𝐵𝐼𝑞𝑢𝑎𝑑 = 1

𝑛𝑎 ∑ (�̅� − �̇�𝑗)

2


(20)

𝐿𝐵𝐼𝑚𝑜𝑑 =1

𝑛𝑎 ∑ |�̅� − �̇�𝑗|


(21)

O modelo matemático originalmente proposto não sofre outras alterações com a

substituição da função objetivo não linear em (𝟏𝟏𝐚) pela função objetivo quadrática em

(𝟐𝟎). Portanto, é dispensável reapresentar o modelo matemático com esta nova formulação.

No entanto, a linearização da função objetivo apresentada em (𝟐𝟏) exige que novas variáveis

e restrições sejam acrescentadas ao modelo. Desta forma, o modelo matemático simplificado

alternativo, de programação linear inteira mista (PLIM), para a proposta original de

restauração de Morelato e Monticelli (1989) é apresentado a seguir. O modelo minimiza a

soma ponderada não negativa dos valores absolutos de desvio dos níveis de carregamento

entre os alimentadores principais ativos, isto é, a soma ponderada não negativa de |�̅� − �̇�𝑗|.

De forma explícita, a função objetivo 𝑣 para a formulação em (𝟐𝟏) considerando o

caso de falta na zona 6 fica assim definida:

𝑀𝑖𝑛 𝑣 =1

3 [|�̅� − �̇�1| + |�̅� − �̇�11| + |�̅� − �̇�16|] (22)

A formulação em (𝟐𝟏), ou (𝟐𝟐), pode ser linearizada porque os coeficientes das

variáveis da função objetivo são positivos. Pode-se observar que os coeficientes numéricos

são todos unitários positivos. Assim, no processo de linearização, cada �̅� − �̇�𝒋 é representado

por uma nova variável, chamada aqui de 𝑷𝒋. Desse modo, de acordo com a particularização

em (𝟐𝟐), têm-se: 𝑷𝟏 = �̅� − �̇�𝟏, 𝑷𝟏𝟏 = �̅� − �̇�𝟏𝟏 e 𝑷𝟏𝟔 = �̅� − �̇�𝟏𝟔. A variável 𝑷𝒋 é irrestrita

quanto ao sinal algébrico que ela pode assumir (pode assumir tanto valores positivos como

negativos) e, por isso, pode ser então substituída por duas variáveis não negativas 𝑷𝒋+ e 𝑷𝒋

−

obedecendo à forma 𝑷𝒋+ − 𝑷𝒋

−. Similarmente, em módulo, |�̅� − �̇�𝒋| equivale a |𝑷𝒋| e a

variável |𝑷𝒋| pode ser substituída por 𝑷𝒋+ + 𝑷𝒋

−. Portanto: 𝑷𝒋 = 𝑷𝒋+ − 𝑷𝒋

− e |𝑷𝒋| = 𝑷𝒋+ + 𝑷𝒋

−.

92

Todas as variáveis 𝑷𝒋+ e 𝑷𝒋

− devem ser maiores ou iguais a zero. A partir destas relações, o

novo modelo matemático simplificado, linear inteiro misto, assume a seguinte forma explícita

para o caso de falta analisado:


3 [(𝑃1

+ + 𝑃1−) + (𝑃11

+ + 𝑃11− ) + (𝑃16

+ + 𝑃16− )] (23)

𝑠. 𝑎.

𝑃1+ − 𝑃1

− = �̅� − �̇�1 (24a)

𝑃11+ − 𝑃11

− = �̅� − �̇�11 (24b)

𝑃16+ − 𝑃16

− = �̅� − �̇�16 (24c)

�̇�1 =𝑓𝑜,1

10000 (25a)

�̇�11 =𝑓𝑜,11

10000 (25b)

�̇�16 =𝑓𝑜,16

10000 (25c)

�̅� =1

30000 (𝑓𝑜,1 + 𝑓𝑜,11 + 𝑓𝑜,16) (26)

− 𝑓𝑜,1 − 𝑓𝑜,11 − 𝑓𝑜,16 + 𝑔𝑜 = 0 (27)

𝑓𝑜,1 − 𝑓1,2 = 1600 (28a)

𝑓1,2 − 𝑓2,3 − 𝑓2,7 = 700 (28b)

𝑓2,3 − 𝑓3,4 − 𝑓3,8 = 1800 (28c)

𝑓3,4 − 𝑓4,5 − 𝑓4,9 = 500 (28d)

𝑓4,5 = 1900 (28e)

𝑓2,7 − 𝑓7,8 − 𝑓7,12 = 1500 (28f)

𝑓7,8 − 𝑓3,8 − 𝑓8,9 − 𝑓8,13 = 1000 (28g)

𝑓8,9 + 𝑓4,9 − 𝑓9,10 − 𝑓9,14 = 500 (28h)

𝑓9,10 = 800 (28i)

𝑓𝑜,11 − 𝑓11,12 − 𝑓11,16 = 3000 (28j)

𝑓11,12 + 𝑓7,12 − 𝑓12,13 − 𝑓12,17 = 3500 (28k)

𝑓12,13 + 𝑓8,13 − 𝑓13,14 − 𝑓13,18 = 700 (28l)

𝑓13,14 + 𝑓9,14 − 𝑓14,15 − 𝑓14,19 = 1000 (28m)

𝑓14,15 − 𝑓15,20 = 600 (28n)

𝑓𝑜,16 + 𝑓11,16 − 𝑓16,17 = 1500 (28o)

𝑓16,17 + 𝑓12,17 − 𝑓17,18 = 2000 (28p)

𝑓17,18 + 𝑓13,18 − 𝑓18,19 = 1800 (28q)

93

𝑓18,19 + 𝑓14,19 − 𝑓19,20 = 1500 (28r)

𝑓19,20 + 𝑓15,20 = 500 (28s)

|𝑓𝑜,1| ≤ 10000 𝑥𝑜,1 (29a)

|𝑓𝑜,11| ≤ 10000 𝑥𝑜,11 (29b)

|𝑓𝑜,16| ≤ 10000 𝑥𝑜,16 (29c)

|𝑓1,2| ≤ 10000 𝑥1,2 (29d)

|𝑓2,3| ≤ 10000 𝑥2,3 (29e)

|𝑓3,4| ≤ 10000 𝑥3,4 (29f)

|𝑓4,5| ≤ 10000 𝑥4,5 (29g)

|𝑓2,7| ≤ 10000 𝑥2,7 (29h)

|𝑓3,8| ≤ 10000 𝑥3,8 (29i)

|𝑓4,9| ≤ 10000 𝑥4,9 (29j)

|𝑓7,8| ≤ 10000 𝑥7,8 (29k)

|𝑓8,9| ≤ 10000 𝑥8,9 (29l)

|𝑓9,10| ≤ 10000 𝑥9,10 (29m)

|𝑓7,12| ≤ 10000 𝑥7,12 (29n)

|𝑓8,13| ≤ 10000 𝑥8,13 (29o)

|𝑓9,14| ≤ 10000 𝑥9,14 (29p)

|𝑓11,12| ≤ 10000 𝑥11,12 (29q)

|𝑓12,13| ≤ 10000 𝑥12,13 (29r)

|𝑓13,14| ≤ 10000 𝑥13,14 (29s)

|𝑓14,15| ≤ 10000 𝑥14,15 (29t)

|𝑓11,16| ≤ 10000 𝑥11,16 (29u)

|𝑓12,17| ≤ 10000 𝑥12,17 (29v)

|𝑓13,18| ≤ 10000 𝑥13,18 (29w)

|𝑓14,19| ≤ 10000 𝑥14,19 (29x)

|𝑓15,20| ≤ 10000 𝑥15,20 (29y)

|𝑓16,17| ≤ 10000 𝑥16,17 (29z)

|𝑓17,18| ≤ 10000 𝑥17,18 (29a1)

|𝑓18,19| ≤ 10000 𝑥18,19 (29b1)

|𝑓19,20| ≤ 10000 𝑥19,20 (29c1)

94

𝑥𝑜,1 + 𝑥𝑜,11 + 𝑥𝑜,16 + 𝑥1,2 + 𝑥2,3 + 𝑥3,4 + 𝑥4,5 + 𝑥2,7 + 𝑥3,8 + 𝑥4,9 +

𝑥7,8 + 𝑥8,9 + 𝑥9,10 + 𝑥7,12 + 𝑥8,13 + 𝑥9,14 + 𝑥11,12 + 𝑥12,13 + 𝑥13,14 +

𝑥14,15 + 𝑥11,16 + 𝑥12,17 + 𝑥13,18 + 𝑥14,19 + 𝑥15,20 + 𝑥16,17 + 𝑥17,18 +

𝑥18,19 + 𝑥19,20 = 19

(30)

𝑥𝑜,1 , 𝑥𝑜,11 , 𝑥𝑜,16 , 𝑥1,2 , 𝑥2,3 , 𝑥3,4 , 𝑥4,5 , 𝑥2,7 , 𝑥3,8 , 𝑥4,9 , 𝑥7,8 , 𝑥8,9 ,

𝑥9,10 , 𝑥7,12 , 𝑥8,13 , 𝑥9,14 , 𝑥11,12 , 𝑥12,13 , 𝑥13,14 , 𝑥14,15 , 𝑥11,16 , 𝑥12,17

, 𝑥13,18 , 𝑥14,19 , 𝑥15,20 , 𝑥16,17 , 𝑥17,18 , 𝑥18,19 , 𝑥19,20 ∈ {0,1}

(31)

𝑃1+, 𝑃1

−, 𝑃11+ , 𝑃11

− , 𝑃16+ , 𝑃16

− ≥ 0 (32)

As novas restrições do novo modelo matemático simplificado apresentado são o

conjunto de restrições (𝟐𝟒) e a restrição (𝟑𝟐). Portanto, as modificações constam nestas

relações e na relação (𝟐𝟑), correspondente à nova função objetivo adotada.

Assim, o modelo matemático relaxado original na sua versão linearizada é dado,

genericamente, a seguir:


𝑛𝑎 ∑ (𝑃𝑗

+ + 𝑃𝑗−)


(33a)

𝑠. 𝑎.

𝑃𝑗+ − 𝑃𝑗

− = �̅� − �̇�𝑗 ∀ 𝑗 ∈ Ω𝑜′ (33b)

�̇�𝑗 =𝑓𝑜,𝑗

𝑓�̅�,𝑗

∀ (𝑜, 𝑗) ∈ Ω𝑜′ (33c)

�̅� =1

𝑛𝑎 ∑

𝑓𝑜,𝑗

𝑓�̅�,𝑗


(33d)

− ∑ 𝑓𝑜,𝑗 + 𝑔𝑜 = 0


(33e)

∑ 𝑓𝑘,𝑖


− ∑ 𝑓𝑖,𝑗


= 𝑑𝑖 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑑′ (33f)

|𝑓𝑖,𝑗| ≤ 𝑓�̅�,𝑗 𝑥𝑖,𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (33g)

∑ 𝑥𝑖,𝑗


= 𝑛𝑏′ − 1 (33h)

𝑥𝑖,𝑗 ∈ {0,1} ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (33i)

𝑃𝑗+ ≥ 0 ∀ 𝑗 ∈ Ω𝑜

′ (33j)

𝑃𝑗− ≥ 0 ∀ 𝑗 ∈ Ω𝑜

′ (33k)

95

Semelhantemente, na versão genérica do novo modelo relaxado, as modificações

realizadas constam nas relações (𝟑𝟑𝐚), (𝟑𝟑𝐛), (𝟑𝟑𝐣) e (𝟑𝟑𝐤).

Por último, a terceira formulação para a função objetivo proposta neste trabalho de

pesquisa para o problema relaxado de restauração corresponde à minimização do número de

operações de chaveamento realizadas para o restabelecimento do serviço de fornecimento de

energia elétrica para as zonas desatendidas após a ocorrência de falta permanente no sistema,

diante da possibilidade de restauração. Igualmente, o modelo é aplicado ao sistema teste

apresentado por Morelato e Monticelli (1989). No caso do problema analisado, em que se

impõe o restabelecimento completo do sistema elétrico de distribuição radial, isolada a falta e

indisponibilizados os correspondentes circuitos adjacentes a ela, a nova proposta de

restauração buscará o atendimento pleno às zonas de carga do sistema, segundo a capacidade

de carregamento dos alimentadores de suporte ativos, fechando com a menor alteração

possível do estado inicial das chaves os 19 circuitos permitidos para manter a topologia radial

e conexa.

Esta nova função objetivo formulada, apresentada na relação (𝟑𝟒), também é linear e

é muito trivial. É preciso tão somente conhecer o estado inicial das chaves, isto é, dispor da

informação sobre a topologia base da rede elétrica no seu estado normal de operação, e esta

informação é elementar, para que se contabilize o número de chaves manobradas.

𝐶𝐻𝑜𝑝 = ∑ 𝑥𝑖,𝑗

(𝑖,𝑗)∈Ω𝑎

+ ∑ (1 − 𝑥𝑖,𝑗)

(𝑖,𝑗)∈Ω𝑓

(34)

Nesta formulação, Ω𝑎 é o conjunto de chaves normalmente abertas e Ω𝑓 é o conjunto

de chaves normalmente fechadas no estado normal de operação do sistema elétrico. Assim, o

conjunto de ramos do sistema é representado pela relação Ω𝑙 = Ω𝑎 ∪ Ω𝑓. Similarmente, em

estado restaurativo, a relação entre os conjuntos é Ω𝑙′ = Ω𝑎′ ∪ Ω𝑓′, levando em consideração as

chaves normalmente abertas e fechadas possivelmente indisponibilizadas. As chaves 𝑥𝑖,𝑗 são

variáveis binárias, desta forma, sempre que o estado binário de uma chave é alterado, esta

manobra é trivialmente contabilizada. O modelo matemático originalmente proposto na seção

anterior não sofre outras alterações com a substituição da função objetivo não linear em

(𝟏𝟏𝐚) por esta nova função objetivo linear em (𝟑𝟒), a não ser a dispensação das restrições

(𝟏𝟏𝐛) e (𝟏𝟏𝐜) diretamente ligadas à função objetivo (𝟏𝟏𝐚) substituída.

96

Para o sistema elétrico analisado no contexto restaurativo apresentado, onde os

circuitos 𝑜 − 16, 1 − 6, 6 − 7 𝑒 6 − 11 foram indisponibilizados devido à falta na zona 6, a

função objetivo 𝑣 para a formulação em (𝟑𝟒) assume a seguinte forma explícita:

𝑀𝑖𝑛 𝑣 = 𝑥2,7 + 𝑥3,8 + 𝑥4,9 + 𝑥7,12 + 𝑥8,13 + 𝑥9,14 + 𝑥11,16 + 𝑥12,17

+ 𝑥13,18 + 𝑥14,19 + 𝑥15,20 − 𝑥𝑜,1 − 𝑥𝑜,11 − 𝑥𝑜,16 − 𝑥1,2

− 𝑥2,3 − 𝑥3,4 − 𝑥4,5 − 𝑥7,8 − 𝑥8,9 − 𝑥9,10 − 𝑥11,12

− 𝑥12,13 − 𝑥13,14 − 𝑥14,15 − 𝑥16,17 − 𝑥17,18 − 𝑥18,19

− 𝑥19,20 + 18

(35)

Observa-se que, do total de 33 chaves no sistema, apenas 29 chaves estão disponíveis

e, destas 29, apenas 19 chaves terão seu estado final declarado fechado (conforme a relação

(𝟏𝟏𝐠) ou (𝟑𝟑𝐡)), de modo a atender plenamente as 19 barras de demanda passíveis de

restauração.

Assim, o modelo matemático exato para o problema de restauração com abordagem

simplificada com a proposta de minimizar o número de operações de chaveamento (o número

de chaves manobradas) para restabelecimento do sistema, é apresentado a seguir:

𝑀𝑖𝑛 𝑣 = ∑ 𝑥𝑖,𝑗

(𝑖,𝑗) ∈ Ω𝑎′

+ ∑ (1 − 𝑥𝑖,𝑗)(𝑖,𝑗) ∈ Ω𝑓′

(36a)

𝑠. 𝑎.

− ∑ 𝑓𝑜,𝑗 + 𝑔𝑜 = 0


(36b)

∑ 𝑓𝑘,𝑖


− ∑ 𝑓𝑖,𝑗


= 𝑑𝑖 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑑′ (36c)

|𝑓𝑖,𝑗| ≤ 𝑓�̅�,𝑗 𝑥𝑖,𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (36d)

∑ 𝑥𝑖,𝑗


= 𝑛𝑏′ − 1 (36e)

𝑥𝑖,𝑗 ∈ {0,1} ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (36f)

Os modelos matemáticos deste capítulo, propostos com abordagem simplificada,

foram apresentados. A eficiência de cada uma das propostas formuladas e apresentadas é

avaliada a partir dos testes realizados e apresentados na seção seguinte.

97

3.4 TESTES E RESULTADOS

Esta seção apresenta e discute os resultados obtidos através dos testes realizados com

todas as formulações propostas para o modelo matemático que resolve o problema de

restauração com abordagem simplificada, como proposto por Morelato e Monticelli (1989),

tanto seguindo o objetivo original de minimização do índice LBI, como seguindo a proposta

alternativa de minimização do número de operações de chaveamento. O problema com esta

abordagem foi discutido em todo o capítulo 3 e na seção 1.2.1.

Os resultados encontrados pela metodologia heurística de Morelato e Monticelli

(1989) foram apresentados na seção 3.1 do presente capítulo, onde também se discutiu a

proposta de restauração e onde foi apresentado o sistema teste utilizado. O resumo desses

resultados é apresentado nesta seção juntamente com o resumo dos resultados obtidos através

da resolução do problema relaxado por meio dos diversos modelos matemáticos propostos

neste trabalho de pesquisa, a fim de se estabelecerem comparações. As duas diferentes

propostas de restauração formuladas e modeladas na função objetivo (a minimização do

desbalanço de carregamento entre os alimentadores principais ativos e a minimização do

número de operações de chaveamento) contribuíram para que resultados interessantes fossem

encontrados para o problema.

No trabalho referenciado, os autores apresentam a solução ótima para o problema que

minimiza o índice LBI. A solução é ótima em termos de equilíbrio de carregamento. Assim,

as formulações do modelo matemático exato simplificado para esta mesma proposta de

restauração (minimização do índice LBI) necessariamente deverão apresentar a mesma

configuração ótima encontrada pelo método heurístico ou deverão apresentar configurações

ótimas alternativas, se elas existirem.

Os modelos matemáticos foram programados e resolvidos dentro do ambiente de

programação matemática AMPL (do inglês, A Modeling Language for Mathematical

Programming). O problema de programação não linear inteira mista (PNLIM) foi resolvido

usando o solver comercial KNITRO. O problema de programação quadrática inteira mista

(PQIM) e os dois problemas de programação linear inteira mista (PLIM) foram resolvidos

usando o solver comercial CPLEX. O computador utilizado para resolução do problema de

restauração pelos métodos exatos possui as seguintes configurações principais: Sistema

operacional de 64 bits (Windows 8), Processador Intel(R) Core(TM) i5-3337U com 1,80 GHz

98

e Memória RAM de 6 GB. Os testes e resultados são apresentados e discutidos nas subseções

seguintes.

Para contextualização dos resultados, a Tabela 3 mostra o estado inicial das chaves no

sistema teste apresentado na seção 3.1. A configuração inicial das chaves representa a

configuração base do sistema elétrico, isto é, define a configuração do sistema no seu estado

normal de operação. Se o sistema elétrico passa a operar no estado restaurativo, então, a partir

do conhecimento de sua configuração base e da informação do local de falta, é possível saber

quais circuitos devem ser indisponibilizados para isolar o defeito e verificar quais zonas de

carga foram desatendidas. Dessa forma, é possível conhecer a demanda de carga não suprida,

conhecer os níveis de carregamento corrente dos alimentadores de suporte disponíveis (e,

consequentemente, conhecer a capacidade de reserva corrente de cada um deles) e conhecer

as chaves disponíveis para manobra que poderão ser usadas para a definição de uma

configuração alternativa para o sistema, de modo que a parcela desatendida possa ser

maximamente restaurada. Assim, a tentativa de restauração pode ser iniciada, segundo o

objetivo específico estabelecido ou o conjunto deles.

Tabela 3 - Configuração inicial das chaves no sistema teste de Morelato-Monticelli

Chave Estado Chave Estado Chave Estado

1 Fechada 12 Fechada 23 Fechada





6 Aberta 17 Aberta 28 Aberta

7 Aberta 18 Aberta 29 Fechada





Fonte: Morelato e Monticelli (1989).

3.4.1 Resultados para a Minimização do Desequilíbrio de Carregamento entre os

Alimentadores Primários

Os resultados apresentados nesta seção para a informação de falta permanente na zona

6, conforme discutido na seção 3.1, estão relacionados ao objetivo de minimizar o índice de

99

balanço de carga entre os alimentadores principais, o índice LBI. A formulação original do

problema, de natureza não linear, e as formulações alternativas apresentadas, de natureza

quadrática e de natureza linear, são analisadas a partir dos resultados obtidos e apresentados

na Tabela 4, que mostra o resumo dos resultados apenas para o contexto restaurativo

analisado no trabalho de referência.

Tabela 4 - Resumo de resultados: Minimização do índice LBI no cenário de falta na zona 6

Método e

Problema

Local

da Falta

(Zona)

Carregamento dos alimentadores

(em kVA e em percentual 𝑦𝑖) Chaves apresentadas

manobradas pelo otimizador

Tempo de

Proc. (s) A B C D

- Sem falta 6.500

65%

4.300

43%

8.800

88%

7.300

73% - -

Heurístico

PNLIM 6

8.800

88% -

8.700

87%

8.900

89% 8, 12, 16, 22, 27 -

Exato

PNLIM 6

8.800

88% -

8.700

87%

8.900

89%

8, 9, 12, 13, 16, 22, 28 (1) 943,80

8, 12, 16, 22, 28 (2) 962,31

Exato

PQIM 6

8.800

88% -

8.700

87%

8.900

89% 8, 9, 12, 13, 16, 22, 27, 28, 33 1,11

Exato

PLIM 6

8.800

88% -

8.700

87%

8.900

89% 8, 9, 12, 13, 16, 22, 27 0,94

(1) Solução obtida inicializando a busca a partir da configuração base do sistema.

(2) Solução obtida sem indicação de um ponto de partida para a busca (sem inicialização do estado das chaves).

Fonte: Elaboração da autora

A informação do tempo de processamento pela heurística especialista de Morelato e

Monticelli (1989), ausente na Tabela 4, não é interessante para comparações no contexto

deste trabalho, por duas razões básicas: primeira, o avanço tecnológico dos computadores no

cenário atual é muito superior ao da época de publicação do trabalho em questão e, segunda

razão, o tempo computacional demandado pela execução de algoritmos heurísticos simples

geralmente é pequeno. Esta verificação pode ser facilmente obtida a partir de alguns dos

trabalhos baseados em metodologias heurísticas revisados no capítulo 1 deste trabalho de

pesquisa, os quais apresentam a resolução do problema de restauração em torno de 1/3 ou

1/2 de minuto. Além disso, a proposta de Morelato e Monticelli (1989) é justamente

contornar a complexidade de obtenção da solução exata do problema por técnicas de

otimização clássica que demandariam tempo elevado de processamento, e apresentar soluções

viáveis, de qualidade tendenciosamente sub-ótima, em tempo razoavelmente adequado. No

entanto, é interessante observar o tempo de processamento computacional demandado pelo

modelo matemático com a formulação PNLIM, que resolve o problema de restauração

conforme a proposta original dos autores, para a comparação com as demais formulações

100

alternativas apresentadas como propostas melhoradas da proposta original.

Analisando os resultados em termos de tempo de processamento computacional,

verifica-se que as formulações alternativas quadrática e linear resolveram o problema em

aproximadamente 1 segundo, enquanto a formulação não linear resolveu o problema em

aproximadamente 16 minutos. Com isso, é possível de imediato verificar a importância de se

investir em propostas alternativas que contornem a complexidade de resolução do problema

de restauração pelos métodos exatos de resolução, de modo que eles sejam viáveis, inclusive

para aplicações em tempo real. Sobretudo, as considerações mais importantes quanto ao

tempo de processamento computacional demandado pelos modelos matemáticos

simplificados, como pode ser observado na Tabela 4, são aquelas que evidenciam o

atendimento plenamente satisfatório da exigência de elaboração de planos de restauração

extremamente rápidos pelas formulações quadrática e linear, em concordância com a

característica essencial do problema de restauração: o controle operativo em tempo real; e o

atendimento ainda aceitável, nestes termos, pela resolução através do modelo matemático com

a formulação não linear, mais complexa, conforme a proposta original do trabalho de

referência. É evidente que se recursos computacionais mais avançados forem utilizados, o

tempo de processamento pode ser ainda melhorado.

Inicialmente, antes da indicação de falta na zona 6, os alimentadores principais A, B,

C e D operavam atendendo uma demanda de 6.500, 4.300, 8.800 e 7.300 kVA,

respectivamente. Assim, na mesma ordem, o carregamento percentual destes alimentadores,

segundo a capacidade máxima de carregamento, era de 65%, 43%, 88% e 73% (com

𝑦1 = 0,65, 𝑦6 = 0,43, 𝑦11 = 0,88 e 𝑦16 = 0,73). Ou seja, ainda no estado normal, o sistema

não estava operando com equilíbrio de carregamento: o valor de �̅� equivaleria, em termos

percentuais, a 67,25% e o carregamento ótimo do sistema em estado normal de operação

seria, respectivamente, 65%, 71%, 65% e 68% (resolução obtida pelo modelo matemático

exato para o sistema sem indicação de falta). Desta forma, todos os métodos de resolução

aplicados (o heurístico e os exatos) foram eficientes para elaborar o plano ótimo de

restauração que equilibra o nível de carregamento destes alimentadores no contexto de falta

na zona 6, analisado na Tabela 4. Pode-se observar que o carregamento ótimo final dos

alimentadores principais ativos para este cenário de falta está equilibrado em torno de 88%

(com �̅� = 0,88), variando em apenas 1% para mais e para menos. Assim, a solução ótima que

minimiza o índice LBI para a falta na zona 6 estabelece os percentuais de carregamento ótimo

dos três alimentadores ativos A, C e D em 88%, 87% e 89%, respectivamente, e a Tabela 4

101

mostra cinco configurações topológicas alternativas para essa solução ótima.

É importante observar que as chaves declaradas manobradas condizem apenas com as

chaves disponíveis para o processo restaurativo, pois o método otimizador só lida com as

chaves não indisponibilizadas. As chaves correspondentes aos circuitos adjacentes à zona em

falta, indisponibilizadas por serem utilizadas para isolar o defeito, são consideradas

inexistentes pelo otimizador. Assim, as chaves manobradas para isolar o defeito não são

listadas nas soluções ótimas apresentadas, por isso não são diretamente contabilizadas. No

entanto, estas manobras não consideradas pelo otimizador estão previstas no plano de

restauração final, desde o início do processo de elaboração do plano, quando o local de falta é

identificado e as respectivas chaves adjacentes são listadas para o isolamento desse local. No

exemplo de falta analisado, o total de quatro chaves devem isolar o defeito: as chaves 6, 10,

11 e 15, mas apenas as chaves 10 e 11 são, de fato, manobradas, pois as demais já se

encontram normalmente abertas. Portanto, para a proposta final neste contexto de falta,

somam-se às manobras apresentadas por cada método otimizador, estas duas manobras

previamente listadas para isolar a zona 6.

No plano ótimo proposto pelo método heurístico de Morelato e Monticelli (1989), as

chaves 8, 12, 16, 22 e 27 trocaram de estado (esta nova configuração proposta foi apresentada

na Figura 8 e na Tabela 2Tabela 2). Pode-se observar que o método heurístico propôs a

realização de cinco manobras de chaves para restaurar o sistema equilibrando o carregamento

do sistema entre os três alimentadores ativos A, C e D nos níveis de carregamento ótimo. Já

no plano ótimo proposto pelo método exato de programação quadrática inteira mista (PQIM),

são necessárias nove manobras: as chaves 8, 9, 12, 13, 16, 22, 27, 28 e 33 devem trocar de

estado para equilibrar o nível de carregamento dos alimentadores ativos A, C e D nos níveis

de carregamento ótimo. E para o plano ótimo proposto pelo método exato de programação

linear inteira mista (PLIM), devem ser realizadas sete manobras: as chaves 8, 9, 12, 13, 16, 22

e 27 devem trocar de estado para equilibrar os alimentadores ativos A, C e D nos níveis de

carregamento ótimo. Finalmente, a Tabela 4 também mostra dois planos ótimos de

restauração elaborados pelo método exato de programação não linear inteira mista (PNLIM).

Um destes planos ótimos exige também cinco operações de chaveamento, no entanto, as

chaves manobradas são diferentes daquelas propostas pelo método heurístico: pelo método

exato, as chaves 8, 12, 16, 22 e 28 devem trocar de estado. O outro plano ótimo elaborado

pelo modelo matemático com formulação não linear inteira mista propôs a manobra das

chaves 8, 9, 12, 13, 16, 22 e 28. A diferença entre eles se dá pela seguinte razão: em um dos

102

processos de busca, as variáveis de decisão foram inicializadas de acordo com a configuração

base do sistema teste e para o outro processo de busca não houve indicação de um ponto de

partida para a resolução do problema. O tempo demandado pelos dois processos foi

razoavelmente diferente, contudo, indicar a configuração base do sistema não garantiu a

melhor proposta em termos de número de chaves manobradas.

Portanto, na Tabela 4, foram apresentadas cinco diferentes soluções ótimas em que as

variáveis 𝑦1, 𝑦11 e 𝑦16 assumem os mesmos valores (𝑦1 = 0,88, 𝑦11 = 0,87 e 𝑦16 = 0,89) no

atendimento pleno de 𝑔𝑜 equivalente a 26.400 kVA (valor correspondente ao total de cargas

restauráveis no contexto de falta na zona 6). Elas diferem entre si nas chaves manobradas

para as transferências de cargas realizadas entre os alimentadores do sistema. Ou seja, os

métodos exatos de resolução e o método heurístico formularam planos de restauração que

atribuem o mesmo conjunto de cargas a cada alimentador ativo, no entanto, as chaves

apresentadas manobradas por cada método otimizador foram diferentes. Os muitos circuitos

alternativos existentes neste sistema teste é que permite que diferentes configurações ótimas

possam ser propostas. A Tabela 5 resume as informações de atendimento de carga pelos

alimentadores ativos para os resultados apresentados na Tabela 4. Analisando estas tabelas,

fica evidente que a rede pode operar com o mesmo equilíbrio de carregamento a partir de

diferentes configurações topológicas. Desta forma, um segundo objetivo poderia ser

considerado para definir a melhor escolha dentre todas as configurações propostas

encontradas: o objetivo de encontrar o menor número de manobras realizadas.

Tabela 5 - Resumo de resultados: atendimento das zonas de carga pelos alimentadores ativos

após a minimização do índice LBI no cenário de falta na zona 6

Método e

Problema

Local

da Falta

(Zona)

Zonas atendidas pelos alimentadores ativos

A B C D

- Sem falta 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14, 15 16, 17, 18, 19, 20

Heurístico

PNLIM 6 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 - 11, 12, 13, 7 16, 17, 18, 19, 20, 14, 15

Exato

PNLIM 6 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 - 11, 12, 13, 7 16, 17, 18, 19, 20, 14, 15

Exato

PQIM 6 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 - 11, 12, 13, 7 16, 17, 18, 19, 20, 14, 15

Exato

PLIM 6 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 - 11, 12, 13, 7 16, 17, 18, 19, 20, 14, 15


De forma ilustrativa, a Figura 9 mostra a configuração final proposta pelo modelo

matemático de PQIM para a operação do sistema no estado restaurativo de falta na zona 6,

103

onde se observa que as cargas das zonas 8, 9 e 10 foram atendidas pelo alimentador de

suporte A; a carga da zona 7 foi atendida pelo alimentador C; e as cargas das zonas 14 e 15

foram transferidas do alimentador C para o alimentador D. Neste exemplo, a carga da zona 20

continuou sendo atendida pelo alimentador D, no entanto, também por um caminho

alternativo.

Figura 9 - Configuração ótima proposta pelo método exato PQIM para o sistema teste de

Morelato e Monticelli (1989)


Para outros cenários de falta, foi aplicado apenas o modelo matemático exato com a

formulação linear inteira mista (PLIM) que resolve o problema de restauração com

abordagem simplificada para minimização do índice LBI. As soluções ótimas encontradas

estão apresentadas na Tabela 6 e a Tabela 7 apresenta as correspondentes transferências de

carga realizadas entre os alimentadores ativos. As zonas 1, 11 e 16 foram as zonas

individualmente indicadas como locais de falta em cada teste por causarem um cenário de

falta muito crítico. Estas zonas possuem ramos conectados diretamente à barra da subestação,

portanto, provocam a exigência da abertura dos disjuntores dos seus respectivos

alimentadores A, C e D, inviabilizando completamente esses alimentadores para o

atendimento de qualquer demanda de carga, de acordo com a respectiva falta indicada. Este

foi o mesmo cenário para o caso de falta analisado no alimentador B. No entanto, a

disponibilidade de chaves de interconexão (as chaves normalmente abertas) com outros

alimentadores de suporte é muito diferente para cada alimentador do sistema teste. Além

disso, cada alimentador possui um carregamento diferente em estado normal de operação. Por

A

B

C

D

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

1

10

19

29

11 12 13 14

20 21 22 23

30 31 32 33

6 7 8 9

15 16 17 18

24 25 26 27 28

2 3 4 5

Disjuntor fechado

Disjuntor aberto

Chave fechada

Chave aberta

Local da falta

104

estes motivos, cada cenário de falta provocado pela completa indisponibilização de um

alimentador é mais ou menos crítico, o que refletiu em planos ótimos de restauração que

apresentam níveis de carregamento ótimo não tão similares entre os alimentadores ativos,

como foi similar no caso do alimentador B.

Tabela 6 - Resumo de resultados: Minimização do índice LBI em diferentes cenários de falta

Método e

Problema

Local

da Falta

(Zona)




Tempo de

Proc. (s) A B C D

- Sem falta 6.500

65%

4.300

43%

8.800

88%

7.300

73% - -

Exato

PLIM

1 - 8.200

82%

8.200

82%

8.900

89% 7, 9, 12, 13, 17, 22, 28 0,81

11 7.800

78%

8.200

82% -

7.900

79% 9, 12, 13, 16, 17, 23, 28 0,70

16 8.800

88%

8.100

81%

8.500

85% -

9, 13, 17, 18, 21, 22, 23,

25, 26, 28, 31 0,72



após minimização do índice LBI em diferentes cenários de falta

Método e

Problema

Local

da Falta

(Zona)


A B C D

- Sem falta 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14, 15 16, 17, 18, 19, 20

Exato

PLIM

1 - 6, 7, 9, 10,

2, 3, 4, 5

11, 12, 13, 8

16, 17, 18, 19, 20,

14, 15

11 1, 2, 3, 4, 5,

9, 10

6, 7, 8, 12, 13,

14 -

16, 17, 18, 19, 20,

15

16 1, 2, 3, 4, 5,

9, 10, 14

6, 7, 8, 13, 15,

18, 19, 20 11, 12, 17 -


É interessante avaliar as soluções ótimas propostas para os cenários alternativos de

falta indicados também em termos de número de operações de chaveamento. Sendo assim,

estes mesmos cenários alternativos de falta foram resolvidos com o modelo matemático

simplificado com formulação linear inteira mista que minimiza o número de chaves

manobradas para restabelecimento do sistema. Estes resultados são apresentados na Tabela 8

da subseção seguinte.

105

3.4.2 Resultados para a Minimização do Número de Operações de Chaveamento

Os resultados apresentados nesta seção estão relacionados ao objetivo de minimizar o

número de operações de chaveamento necessárias para o restabelecimento do sistema para a

informação de falta permanente na zona 6, conforme discutido na seção 3.1, e também para

os demais cenários de falta discutidos na subseção anterior 3.4.1. O modelo matemático exato

simplificado formulado com esta função objetivo é de programação linear inteira mista

(PLIM) e foi apresentado na seção 3.3 nas relações (𝟑𝟔𝐚) a (𝟑𝟔𝐟). Como foi abordado na

seção 3.3, a não linearidade do problema originalmente proposto por Morelato e Monticelli

(1989) aparece apenas na função objetivo que minimiza o índice LBI, assim, ao ser

substituída por esta nova proposta de restauração, linear e muito simples, o modelo

matemático se torna de PLIM. O resumo dos resultados obtidos para os quatro diferentes

contextos restaurativos analisados neste capítulo (faltas nas zonas 1, 6, 11 e 16) são

apresentados na Tabela 8.

Tabela 8 - Resumo de resultados: Minimização do número de chaveamentos em diferentes

cenários de falta

Método e

Problema

Local

da Falta

(Zona)




Tempo de

Proc. (s) A B C D

- Sem falta 6.500

65%

4.300

43%

8.800

88%

7.300

73% - -

Heurístico

PNLIM (*) 6

8.800

88% -

8.700

87%

8.900

89% 8, 12, 16, 22, 27 -

Exato

PNLIM (*)

8.800

88% -

8.700

87%

8.900

89% 8, 12, 16, 22, 28 962,31

Exato

PLIM

6 8.800

88% -

9.700

97%

7.900

79% 9, 12, 16, 23, 28 0,44

1 - 9.200

92%

8.800

88%

7.300

73% 9 0,31

11 6.500

65%

9.500

95% -

7.900

79% 17, 23, 28 0,41

16 6.500

65%

9.700

97%

9.200

92% - 18, 22, 25, 28, 31 0,45

(*) Método aplicado para minimização do índice LBI, cuja solução ótima apresentada minimiza também o

número de chaveamentos necessários para o restabelecimento do sistema no contexto de falta indicado.


Morelato e Monticelli (1989) apresentaram uma proposta de reconfiguração no

contexto restaurativo de falta na zona 6 como a solução ótima que minimiza o índice LBI. Na

realidade, verifica-se que a configuração apresentada para este contexto de falta é também

uma solução ótima para a proposta de minimizar o número de chaves manobradas para

106

restabelecimento do sistema. Ou seja, a solução proposta pelo método heurístico para o

cenário de falta na zona 6 é simultaneamente ótima para os dois objetivos considerados neste

capítulo. Assim, o método heurístico dos autores consta também na Tabela 8, como

informação e para comparação de resultados. Da mesma forma, a proposta de reconfiguração

ótima para o contexto de falta na zona 6 elaborada pelo modelo matemático simplificado de

PNLIM que minimiza o índice LBI é também uma solução ótima alternativa para a

minimização do número de chaveamentos. Assim, esta solução também consta na Tabela 8.

Observa-se que para a falta na zona 6, tanto o método heurístico de PNLIM para

minimização do desbalanço de carga entre os alimentadores principais ativos (minimização do

índice LBI) e o correspondente modelo matemático exato de PNLIM com o mesmo objetivo,

como também o modelo matemático exato de PLIM para minimização do número de

operações de chaveamento na rede, apresentaram, cada um, uma proposta de solução com

cinco manobras de chaves. O método heurístico propôs a manobra das chaves 8, 12, 16, 22 e

27. O método exato de PNLIM propôs a manobra das chaves 8, 12, 16, 22 e 28. E o método

exato de PLIM propôs a manobra das chaves 9, 12, 16, 23 e 28.

As zonas atendidas por cada alimentador em todos os contextos de falta analisados

(falta nas zonas 1, 6, 11 e 16), conforme a resolução do modelo matemático de PLIM para

minimização do número de chaves manobradas, podem ser verificadas na Tabela 9, onde

consta também a informação correspondente à resolução pelo método heurístico de Morelato

e Monticelli (1989) para o caso de falta na zona 6, cuja solução ótima apresentada para

restauração do sistema neste cenário de falta minimiza simultaneamente o índice LBI e o

número de operações de chaveamento, conforme apresentado na Tabela 4 e na Tabela 8. A

partir destas informações, algumas observações relevantes podem ser levantadas.

Particularmente no caso de falta na zona 6 do alimentador B, os dois métodos de

resolução listados na Tabela 9 (heurístico de PNLIM para minimização do índice LBI e exato

de PLIM para minimização do número de operações de chaveamento) apresentaram soluções

em que as cargas desatendidas foram igualmente restauradas pelos alimentadores de suporte

A e C. No entanto, o método exato não tem o objetivo de equilibrar o nível de carregamento

entre os alimentadores ativos, assim, o chaveamento proposto pelo modelo matemático realiza

apenas a transferência de carga da zona 15, normalmente atendida pelo alimentador C, para o

alimentador D, de modo que o alimentador C, adjacente ao alimentador B, possa restaurar a

zona 7 desatendida. Assim, o alimentador C fica próximo de atingir o seu limite máximo de

carregamento: neste contexto, 97% de sua capacidade de atendimento está sendo utilizada

107

para o fornecimento de energia elétrica. O método heurístico propôs que, além da carga da

zona 15, a carga da zona 14 fosse também transferida do alimentador C para o alimentador

D, assim, ambos continuaram operando com uma boa margem de reserva, o que torna a

solução mais interessante. Desse modo, o plano ótimo elaborado pelo método heurístico com

cinco operações de chaveamento pode ser considerado mais confiável que o plano ótimo

elaborado pelo método exato também com cinco operações de chaveamento. No entanto, o

modelo matemático exato de PNLIM também apresentou uma solução simultaneamente ótima

para os dois objetivos tratados. Sendo assim, as duas propostas formuladas são igualmente

interessantes.


após a minimização do número de chaveamento

Método e

Problema

Local

da Falta

(Zona)


A B C D

- Sem falta 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10 11, 12, 13, 14, 15 16, 17, 18, 19, 20

Heurístico

PNLIM (*) 6

1, 2, 3, 4, 5,

8, 9, 10 - 11, 12, 13, 7

16, 17, 18, 19, 20,

14, 15

Exato

PLIM

6 1, 2, 3, 4, 5,

8, 9, 10 - 11, 12, 13, 14, 7

16, 17, 18, 19, 20,

15

1 - 6, 7, 8, 9, 10,

2, 3, 4, 5 11, 12, 13, 14, 15 16, 17, 18, 19, 20

11 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10,

12, 13, 14 -

16, 17, 18, 19, 20,

15

16 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10,

14, 15, 18, 19, 20 11, 12, 13, 17 -

(*) Método aplicado para minimização do índice LBI, cuja solução ótima apresentada minimiza também o

número de chaveamentos necessários para o restabelecimento do sistema no contexto de falta indicado.


Soluções ótimas que simultaneamente minimizam o índice LBI e minimizam o

número de operações de chaveamento não foram obtidas nos outros casos de falta testados e

resolvidos com os respectivos modelos de PLIM. Em geral, os planos elaborados pelos

métodos de resolução para restauração do serviço com objetivo de minimizar o índice LBI

contemplam maior necessidade de transferência de carga entre os alimentadores de suporte e,

por consequência, isso contribui para aumentar o número de operações de chaveamento

necessárias, principalmente considerando que o nível de carregamento dos alimentadores em

estado normal de operação é bastante desigual. Observando os resultados da Tabela 7

(atendimento das zonas de carga pelos alimentadores ativos após minimização do índice LBI

em diferentes cenários de falta) e as correspondentes manobras efetuadas apresentadas na

Tabela 6 (minimização do índice LBI em diferentes cenários de falta) e comparando com os

108

resultados de manobras de chaves da Tabela 8 (minimização do número de chaveamento em

diferentes cenários de falta), verifica-se que o número de chaveamentos é muito maior nos

planos elaborados para a minimização do índice LBI quando comparados com os planos

elaborados para a minimização do número de chaveamentos.

3.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO

Este capítulo se dedicou a apresentar uma modelagem matemática que resolve de

maneira exata o problema de restauração de fornecimento de energia elétrica em sistemas de

distribuição radiais, segundo uma abordagem simplificada do problema. Nesta abordagem

simplificada, alguns parâmetros e algumas restrições físicas e operacionais relacionados à

rede elétrica foram desconsiderados. Os modelos matemáticos apresentados neste capítulo não

consideram os parâmetros de impedâncias nas linhas, não fazem diferenciação entre

demanda/fornecimento de potência ativa e de potência reativa (as restrições de balanço de

potência consideram apenas a demanda e o fornecimento de potência aparente) e os limites de

magnitudes de tensão também não são considerados. Por esta razão, os modelos matemáticos

exatos para o problema de restauração de redes de distribuição radiais com esta abordagem

simplificada foram também denominados de modelos matemáticos simplificados.

O capítulo apresentou diferentes formulações matemáticas para a proposta de

restauração que minimiza o desequilíbrio de carregamento entre os alimentadores primários

do sistema que permaneceram ativos após a ocorrência de falta permanente na rede. Estas

diferentes formulações propostas foram muito úteis para evidenciar a relevância de tornar o

problema menos complexo para resolução mais eficiente pelas técnicas clássicas de

otimização. Esta eficiência deve refletir na obtenção de soluções ótimas globais, sobretudo,

com tempo computacional adequado às características particulares do problema de

restauração.

Uma vez que o problema é modelado de forma mais simples e gera resultados muito

satisfatórios, torna-se possível e recomendável testar a aplicação desta metodologia exata de

resolução a sistemas de energia de maiores portes, bem como se torna possível tratar o

problema de forma completa, não mais simplificando restrições do problema. Considerar as

restrições físicas e operacionais do sistema elétrico de distribuição de forma completa implica

em aumentar muito o número de variáveis do problema e implica em aumentar a

109

complexidade na obtenção de soluções factíveis. Além disso, a natureza binária das variáveis

de decisão normalmente torna o problema ainda mais difícil para as técnicas exatas de

solução. Desta forma, o fechamento deste capítulo desafia a implementação de um modelo

matemático exato completo, isto é, que não relaxa as restrições essenciais do problema.

Assim, este terceiro capítulo serve como base para o próximo capítulo que apresenta esta

modelagem matemática completa e se configurou como uma importante introdução à

discussão do desenvolvimento de modelos matemáticos para a resolução exata do problema

de restauração do serviço, especialmente em sistemas de distribuição radiais.

Além das formulações propostas para o objetivo de minimizar o desbalanço de carga

entre os alimentadores do sistema sob falta permanente, o capítulo apresentou também uma

formulação para a função objetivo que busca minimizar o número de operações de

chaveamento necessárias para a efetivação do restabelecimento do serviço. A importância

desta e de outras propostas de restauração foram amplamente discutidas nos capítulos 1 e 2

deste trabalho. A formulação apresentada para este objetivo é bastante trivial, portanto, a

contribuição mais importante em considerá-la neste capítulo condiz com a diversidade de

resultados que foram apresentados, interessantes principalmente quando comparados com os

resultados obtidos e apresentados para o outro objetivo formulado. Os testes realizados para

validar a metodologia proposta foram baseados no sistema e nos dados apresentados no

trabalho de Morelato e Monticelli (1989), trabalho revisado e devidamente discutido ao longo

dos capítulos 1 e 3.

110

4 MODELAGEM MATEMÁTICA PARA OTIMIZAÇÃO DO PROBLEMA DE

RESTAURAÇÃO COM ABORDAGEM COMPLETA

Este capítulo apresenta um modelo matemático exato para o problema de restauração

do serviço de fornecimento de energia elétrica em sistemas de distribuição radiais. Neste

capítulo, o problema de restauração é tratado de forma completa, isto é, são consideradas para

resolução as restrições fundamentais do sistema elétrico de distribuição radial – restrições

físicas e operacionais. Sendo assim, o modelo matemático apresentado para resolver o

problema é também formulado de maneira completa. Esta informação é enfatizada porque no

capítulo anterior a modelagem matemática recebeu formulação relaxada, uma vez que o

problema de restauração foi tratado com abordagem simplificada.

O capítulo 3 apresentou uma modelagem matemática conceitualmente simples, com

formulações matemáticas que tornam a resolução do problema de restauração menos

complexa. Ao tornar a formulação do problema mais simples, a resolução do modelo

matemático pelos métodos conhecidos de otimização clássica é facilitada e mais eficaz. Isto é

particularmente interessante para possibilitar que a proposta de modelagem matemática exata

seja viável para aplicações em tempo real. Além disso, a proposta deve ser viável também

para ser aplicada em sistemas elétricos reais e de grande porte, onde a quantidade de chaves

secionadoras e de interconexão existentes gera grandes espaços de busca e torna mais difícil a

obtenção de soluções de qualidade em tempo adequado.

Encontrar propostas de configuração ótima para sistemas reais em tempo adequado é

um desafio matemático e computacional, que ao longo dos anos foi contornado através de

técnicas heurísticas de otimização, as quais não garantem encontrar a solução ótima global,

mas apresentam planos de restauração em tempo adequado às características e exigências do

problema de restauração. Assim, apresentar um modelo matemático que resolve de maneira

exata o problema de restauração, historicamente resolvido de maneira aproximada, não é

totalmente satisfatório se também não for possível apresentar a proposta de solução ótima em

tempo pelo menos tão adequado quanto aquele normalmente demandado pelos métodos

heurísticos.

As meta-heurísticas, em especial, têm sido muito utilizadas na resolução do problema

de restauração e são comumente projetadas para encontrar uma solução ou um conjunto de

soluções de boa qualidade, tentando se aproximar ou chegar à solução ótima global. No

111

entanto, o esforço destinado a implementar uma meta-heurística especializada é elevado, pois

o algoritmo de resolução comumente exige estratégias muito elaboradas para representar

devidamente o espaço de busca, para definir corretamente as variáveis de decisão, para definir

a passagem para uma solução de melhor qualidade, para obter adequada calibração dos

parâmetros de controle do algoritmo, e etc. Portanto, a qualidade da solução obtida por estas

técnicas heurísticas está diretamente relacionada à qualidade do algoritmo implementado.

Além disso, os critérios de convergência adotados também influenciam na obtenção da

solução final (a revisão das metodologias aplicadas ao problema de restauração de sistemas

elétricos baseadas em meta-heurísticas consta na seção 1.2.2). Portanto, é extremamente

válida a proposta de investir em modelagem matemática para resolução exata e global do

problema de restauração e o desafio principal é apresentar soluções em tempo adequado ao

problema e para isso é necessário elaborar estratégias que contornem a complexidade de

resolução do problema pelos métodos clássicos de otimização.

Outra característica importante do problema de restauração não considerada na

modelagem matemática do capítulo anterior, e especialmente tratada neste capítulo, é a

possibilidade de realização de corte de carga no processo de restabelecimento. No estado

restaurativo, nem sempre existe a possibilidade de restabelecer plenamente as cargas

desatendidas à jusante do local de falta permanente: por indisponibilidade de chaves de

manobra ou por descumprimento de restrições do problema. Adicionalmente, quando

restrições mais rigorosas são impostas, a probabilidade de corte é ainda maior. Assim, novas

considerações podem ser feitas a partir dos resultados obtidos com a resolução do modelo

matemático exato com abordagem completa apresentado neste capítulo.

O presente capítulo está organizado da seguinte forma: na seção 4.1 são apresentadas a

proposta de restauração adotada e a nova modelagem matemática proposta; o sistema elétrico

analisado é apresentado na seção 4.2; e os novos testes realizados e os resultados obtidos com

o modelo matemático proposto neste capítulo são apresentados e discutidos na seção 4.3.

Finalmente, a seção 4.4 faz as considerações finais do capítulo.

4.1 PROPOSTA DE RESTAURAÇÃO E MODELAGEM MATEMÁTICA

O modelo matemático apresentado neste capítulo é formulado com a seguinte proposta

de restauração: maximizar o total de cargas atendidas e minimizar o número de chaveamentos

112

necessários para o restabelecimento dessas cargas. As duas propostas são tratadas com

enfoque mono-objetivo. Ou seja, a função objetivo busca minimizar o corte de carga,

modificando minimamente para isso a topologia base do sistema. A minimização do número

de chaveamentos é tratada como um objetivo secundário, já o corte de carga é altamente

penalizado a partir de um determinado parâmetro que define o custo do corte. Assim, o

modelo matemático é projetado de modo a permitir o corte de carga estritamente para as

seções que causariam sobrecargas no sistema caso sejam restauradas, e conforme o parâmetro

de corte adotado. Obviamente, prever o corte de carga não significa que o sistema não possa

ser plenamente restabelecido, isolada a parcela sob defeito, quando houver possibilidade de

restabelecimento completo das seções desatendidas. A importância destas e de outras

propostas de restauração foram amplamente discutidas nos capítulos 1 e 2 deste trabalho.

O parâmetro de corte pode prever tanto o desligamento de cargas menores, se o

mesmo fator de peso foi atribuído a todas as seções de carga e adicionalmente supondo que o

religamento de cargas maiores resulta implicitamente em um menor número de operações de

chaveamento; como pode prever o desligamento de cargas menos prioritárias, se as seções de

carga estão individualmente classificadas com fatores de peso que determinam o seu

respectivo grau de importância para restabelecimento. Assim, quando não for possível

reconectar toda a parcela do sistema passível de restauração, o otimizador poderá considerar

prioritário o desligamento de cargas menores e/ou priorizar o desligamento de cargas

classificadas com menor fator de importância para atendimento. Em virtude disso, o modelo

matemático considera que se o corte é necessário, que seja realizado o menor corte de carga

possível e sempre com a menor modificação do estado inicial do sistema (principalmente em

razão da parcela matemática correspondente a este propósito) e, se previsto, atendendo às

cargas com maior prioridade de restabelecimento. Neste trabalho, as seções de carga estão

classificadas com o mesmo fator de importância, logo, estão sujeitas ao mesmo parâmetro de

custo de corte. Além disso, o corte é pleno: se uma determinada seção tem sua carga cortada,

então esta seção é completamente desligada do sistema e sua demanda de carga é

completamente desatendida pelo conjunto de subestações.

Resumidamente, a modelagem matemática atende aos seguintes propósitos de

restauração:

Caso seja possível restaurar plenamente o sistema, isolada a parcela sob defeito,

sem violação de restrições operacionais, então não deverá haver corte de carga e a

113

demanda de carga de todas as seções serão normalmente atendidas pela

subestação (ou pelo conjunto de subestações), através de uma configuração

topológica alternativa a partir dos ramos não indisponibilizados para o processo

de elaboração do plano de restauração. Adicionalmente, o otimizador deverá

propor o menor número possível de chaveamentos para este plano que restabelece

plenamente o sistema;

Caso não seja possível restaurar plenamente o sistema, isolada a parcela sob

defeito, por violação de restrições operacionais, então deverá haver corte de carga,

segundo o parâmetro de corte adotado, e as seções destinadas para corte serão

completamente desligadas do sistema, isto é, estas seções serão completamente

desatendidas pela subestação (ou pelo conjunto de subestações) e as demais

seções serão normalmente atendidas através de uma configuração topológica

alternativa a partir dos ramos não indisponibilizados para o processo de

elaboração do plano de restauração. Adicionalmente, o otimizador deverá propor

o menor número possível de chaveamentos para este plano que restabelece

parcialmente o sistema.

Até aqui, foram apresentados os propósitos essenciais do modelo matemático proposto

neste capítulo para resolução do problema de restauração com abordagem completa. As

demais formulações do modelo correspondem principalmente aos requisitos técnicos e

operacionais do sistema elétrico de distribuição radial. Originalmente, o modelo matemático

do problema de restauração, quando abordado de maneira completa, apresenta não linearidade

nas restrições, portanto, é originalmente um problema combinatorial de natureza não linear

inteira mista (PNLIM). A dimensão do problema em termos matemáticos, a não linearidade e,

particularmente, a característica binária das variáveis de decisão normalmente tornam muito

difícil a resolução do problema. A modelagem matemática é, então, modificada de modo a

assumir uma formulação cônica de segunda ordem, tornando-se um problema de programação

cônica de segunda ordem inteira mista (PCSOIM). A razão em assumir a formulação cônica

condiz com as discussões levantadas no capítulo 3 e reforçadas no início deste capítulo: o

objetivo de tornar a formulação do problema menos complexa para resolução mais eficaz

pelos métodos de otimização clássica conhecidos e, consequentemente, pelos solucionadores

comerciais disponíveis no mercado. A conversão e equivalência da forma não linear do

conjunto de restrições para a forma cônica de segunda ordem estão descritas e/ou provadas

114

em alguns trabalhos presentes na literatura especializada (ALVES, 2012; GONÇALVES,

2013; RIBEIRO, 2013) e serão pontualmente abordadas adiante, após a descrição das

restrições do modelo matemático.

O modelo matemático exato aplicado ao problema de restauração de sistemas de

distribuição de energia elétrica radiais, de PCSOIM, que realiza corte de carga quando é

estritamente necessário e simultaneamente minimiza este corte, e que considera a

minimização do número de operações de chaveamento para o restabelecimento do sistema, é

formulado da seguinte forma:

𝑀𝑖𝑛 𝑣 = ∑ 𝑥𝑖,𝑗

(𝑖,𝑗)∈Ω𝑎′

+ ∑ (1 − 𝑥𝑖,𝑗)(𝑖,𝑗)∈Ω𝑓′

+ ∑ 𝛼𝑖

𝑖 ∈ Ω𝑏′

𝑦𝑖(𝑃𝐷𝑖 + 𝑄𝐷𝑖

) (37a)

𝑠. 𝑎.

∑ 𝑃𝑘,𝑖


− ∑ (𝑃𝑖,𝑗 + 𝑅𝑖,𝑗 𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟

)(𝑖,𝑗)∈ Ω𝑙′

+ 𝑃𝑆𝑖= 𝑃𝐷𝑖

(1 − 𝑦𝑖) ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′ (37b)

∑ 𝑄𝑘,𝑖


− ∑ (𝑄𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗 𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟

)


+ 𝑄𝑆𝑖= 𝑄𝐷𝑖

(1 − 𝑦𝑖) ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′ (37c)

𝑉𝑖𝑠𝑞𝑟

− 𝑉𝑗𝑠𝑞𝑟

= 2(𝑃𝑖,𝑗 𝑅𝑖,𝑗 + 𝑄𝑖,𝑗 𝑋𝑖,𝑗) + 𝑍𝑖,𝑗2 𝐼𝑖,𝑗

𝑠𝑞𝑟+ 𝑏𝑖,𝑗 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (37d)

𝑉𝑗𝑠𝑞𝑟

𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟

≥ 𝑃𝑖,𝑗2 + 𝑄𝑖,𝑗

2 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (37e)

𝑉2 ≤ 𝑉𝑖𝑠𝑞𝑟

≤ �̅�2 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′ (37f)

0 ≤ 𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟

≤ 𝐼 ̅𝑖,𝑗2 ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (37g)

∑ 𝑥𝑖,𝑗


= 𝑛𝑏′ − 𝑛𝑠 − ∑ 𝑦𝑖

𝑖 ∈ Ω𝑏′

(37h)

|𝑏𝑖,𝑗| ≤ 𝑀(1 − 𝑥𝑖,𝑗) ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (37i)

𝑥𝑖,𝑗 ∈ {0,1} ∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′ (37j)

𝑦𝑖 ∈ {0,1} ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′ (37k)

É importante ressaltar novamente que se o sistema elétrico se encontra em estado

restaurativo, então, para a elaboração do plano de restauração, barras de interesse ou sob

defeito causado por contingências devem ser isoladas, e para isso os circuitos adjacentes a

estas barras devem ser indisponibilizados. Assim, participam do processo de restauração

apenas as barras não isoladas e os ramos não indisponibilizados. Dessa forma, na modelagem

apresentada, a sinalização “linha” (o apóstrofo) em algumas variáveis, parâmetros e conjuntos

do modelo simboliza o estado restaurativo do sistema elétrico de distribuição e foi usada

apenas para evidenciar o contexto restaurativo, diferenciando-se da notação comumente usada

115

na literatura especializada quando se considera a integridade do sistema elétrico de

distribuição, conforme detalhado no capítulo anterior, na seção 3.2.

Portanto, no modelo acima, Ω𝑏′ é o conjunto de barras do sistema após a indicação de

falta permanente e o correspondente possível isolamento das barras sob defeito, isto é, o

conjunto de barras que poderão participar do processo de restauração e 𝑛𝑏′ é o número de

elementos desse conjunto, sendo 𝑛𝑏 o total de barras do sistema; Ω𝑙′ é o conjunto de ramos do

sistema após a indicação de falta permanente e a correspondente indisponibilização dos

circuitos utilizados para isolar o defeito, isto é, o conjunto de ramos disponíveis para

participar do processo de restauração. Assim, em cada contexto restaurativo, os conjuntos Ω𝑏′

e Ω𝑙′ podem possuir elementos diferentes e assumir cardinalidade variável. A configuração

base do sistema é representada pela união de dois conjuntos: Ω𝑙 = Ω𝑎 ∪ Ω𝑓, onde Ω𝑎 é o

conjunto de chaves normalmente abertas e Ω𝑓 é o conjunto de chaves normalmente fechadas

no estado normal de operação do sistema elétrico. Assim, em estado restaurativo, participam

do processo de restauração as chaves normalmente abertas e normalmente fechadas que não

foram indisponibilizadas nesses dois conjuntos, ou seja, Ω𝑙′ = Ω𝑎′ ∪ Ω𝑓′.

Na função objetivo 𝑣 em (𝟑𝟕𝐚), a variável binária de decisão 𝑥𝑖,𝑗 representa o estado

operativo da chave no circuito 𝑖 − 𝑗 e assume valor 𝑥𝑖,𝑗 = 1 se a chave está fechada

(indicando circuito fechado) e valor 𝑥𝑖,𝑗 = 0 se a chave está aberta (indicando circuito aberto).

Quando o estado binário de uma chave é alterado, esta manobra é trivialmente contabilizada.

A variável binária 𝑦𝑖 representa a decisão quanto ao corte das cargas ativa e reativa da barra

de demanda 𝑖 sob fornecimento da subestação: assume valor 𝑦𝑖 = 1 quando há corte,

portanto, neste caso, a demanda de potência ativa 𝑃𝐷𝑖e a demanda de potência reativa 𝑄𝐷𝑖

da

barra de demanda 𝑖 não devem ser atendidas pela subestação e esta barra é desconectada do

sistema; e assume valor 𝑦𝑖 = 0 quando a demanda de carga da barra de demanda 𝑖 deve ser

plenamente atendida pela subestação. 𝛼𝑖 é o parâmetro de corte de carga da barra 𝑖 e que deve

ser adequadamente valorado de modo a penalizar a decisão de corte na função objetivo de

acordo com o interesse de restabelecimento adotado para as barras e de modo a compatibilizar

as unidades da função objetivo. Para os testes, assumiu-se que as barras de demanda estão

sujeitas ao mesmo parâmetro de custo de corte, 𝛼𝑖 = 𝛼 ∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′, portanto, possuem o

mesmo fator de peso quanto à prioridade de restabelecimento no processo de restauração.

Uma vez que Ω𝑏′ é formado por todas as barras que podem participar do processo de

restauração, tanto barras de demanda como barras de geração, ressalta-se que o modelo

116

matemático lida com as seguintes informações: existe demanda 𝑃𝐷𝑖 e 𝑄𝐷𝑖

apenas nas barras de

demanda (não existe demanda na barra da subestação, portanto, 𝑃𝐷𝑖 e 𝑄𝐷𝑖

são valores nulos

quando 𝑖 corresponde à barra da subestação); e 𝑃𝑆𝑖 e 𝑄𝑆𝑖

, respectivamente, geração de

potência ativa e geração de potência reativa na barra 𝑖, ocorrem apenas na barra da

subestação, indicando fornecimento de potência pela subestação 𝑖 (não existe geração nas

barras de demanda, portanto, 𝑃𝑆𝑖 e 𝑄𝑆𝑖

são valores nulos quando 𝑖 corresponde às barras de

demanda). No modelo, 𝑛𝑠 é o total de subestações do sistema elétrico de distribuição.

Finalmente, 𝑉𝑖𝑠𝑞𝑟

, 𝑉 e �̅� representam, na mesma ordem, o quadrado do módulo de tensão na

barra 𝑖 e as tensões mínima e máxima permitidas para operação do sistema; 𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟

representa o

quadrado da magnitude de corrente no circuito 𝑖 − 𝑗 cuja capacidade máxima de fluxo de

corrente é 𝐼�̅�,𝑗; no circuito compreendido entre as barras 𝑖 e 𝑗, 𝑃𝑖,𝑗 é o fluxo de potência ativa,

𝑄𝑖,𝑗 é o fluxo de potência reativa, 𝑅𝑖,𝑗 , 𝑋𝑖,𝑗 e 𝑍𝑖,𝑗 são os correspondentes dados de resistência,

reatância e impedância do ramo e 𝑏𝑖,𝑗 é uma variável auxiliar, em que |𝑏𝑖,𝑗| pertence ao

intervalo [0, 𝑀] e 𝑀 é um escalar de valor adequadamente escolhido.

A função objetivo 𝑣 minimiza o corte de carga e minimiza o número de chaves

manobradas, a partir de somas ponderadas, sendo que a parcela correspondente à decisão de

corte possui elevado fator de peso (representado pelo parâmetro 𝛼𝑖) e a parcela

correspondente aos chaveamentos apenas contabiliza as manobras realizadas (isso significa

que o custo de chaveamento é simbólico, não há custo real de operação associado às

manobras).

As duas Leis de Kirchhoff estão representadas pelas relações (𝟑𝟕𝐛), (𝟑𝟕𝐜), (𝟑𝟕𝐝) e

(𝟑𝟕𝐞), sendo que a 1ª Lei de Kirchhoff (Lei de Kirchhoff para Correntes – LKC) é

representada pelas restrições (𝟑𝟕𝐛) e (𝟑𝟕𝐜), que correspondem aos balanços de potência

ativa e de potência reativa em cada barra do sistema prevendo o respectivo corte de carga

através do termo (1 − 𝑦𝑖) associado à cada demanda; e o conjunto de restrições (𝟑𝟕𝐝)

corresponde ao cálculo de queda de tensão através de cada circuito, ou seja, corresponde à 2ª

Lei de Kirchhoff (Lei de Kirchhoff para Tensões – LKT) aplicada ao laço independente

formado por cada ramo entre duas barras e a conexão à terra. O conjunto de restrições (𝟑𝟕𝐞)

complementam a aplicação da 2ª Lei de Kirchhoff, uma vez que a relação (𝟑𝟕𝐝) foi escrita de

forma mais conveniente utilizando a variável 𝐼𝑖,𝑗𝑠𝑞𝑟

. Assim, as restrições (𝟑𝟕𝐝) e (𝟑𝟕𝐞)

juntamente garantem que a LKT seja cumprida no laço independente formado por cada ramo

𝑖 − 𝑗 do sistema em operação. Nesse sentido, a variável auxiliar 𝑏𝑖,𝑗 é utilizada apenas para

117

satisfazer a igualdade da respectiva restrição (𝟑𝟕𝐝) quando o circuito está aberto, pois

quando 𝑥𝑖,𝑗 = 1, 𝑏𝑖,𝑗 = 0. O conjunto de restrições (𝟑𝟕𝐢) determina o valor que a variável

auxiliar 𝑏𝑖,𝑗 pode assumir em função do estado operativo do ramo 𝑖 − 𝑗. A não violação dos

limites de módulo de tensão em cada barra está prevista pelas restrições (𝟑𝟕𝐟), e as restrições

(𝟑𝟕𝐠) limitam o fluxo de corrente ao correspondente valor máximo indicado para cada ramo.

A restrição (𝟑𝟕𝐡) impõe o número exato de circuitos que deverão ser fechados para

operação radial do sistema elétrico de distribuição, de acordo com a quantidade de barras

restauradas. Nesta restrição, a parcela correspondente ao somatório das variáveis de decisão

de corte 𝑦𝑖 é responsável por desobrigar o fornecimento de energia elétrica pela subestação ao

conjunto de cargas passíveis de restauração que provocariam violação de requisitos técnicos e

operacionais do sistema se fossem restauradas. Assim, o total de circuitos que atenderiam a

estas seções de carga é descontado do total de 𝑛𝑏′ − 𝑛𝑠 circuitos que deveriam ser fechados

para operação radial do sistema restaurado se nenhuma restrição do modelo fosse violada.

Isso significa que na solução proposta pelo otimizador, os circuitos que ligam estas barras

desconexas são inexistentes, já que a única fonte real de fornecimento no sistema é o conjunto

de subestações. Portanto, quando é possível restaurar plenamente as seções de carga

desatendidas e, por consequência, não há a realização de corte de carga (𝑦𝑖 = 0, ∀𝑖 ∈ Ω𝑏′), o

total de circuitos fechados e conectados à subestação para operação radial do sistema é

𝑛𝑏′ − 𝑛𝑠. As restrições (𝟑𝟕𝐛) e (𝟑𝟕𝐜) garantem a operação conexa do sistema e o não

fornecimento de energia pela subestação para as cargas desligadas do sistema, como descrito

anteriormente, através do termo (1 − 𝑦𝑖) associado à cada demanda. Dessa forma, as

correspondentes parcelas 𝑦𝑖𝑃𝐷𝑖 e 𝑦𝑖𝑄𝐷𝑖

nas restrições de balanço de potência funcionam como

geradores artificiais, quando a demanda na barra 𝑖 não pode ser atendida pela subestação e é

desconectada do sistema. A garantia de conectividade do sistema expressa que toda barra de

demanda atendida pela subestação deve estar conectada com a subestação, ou seja, deve

existir um caminho que liga esta barra à subestação. Assim, de acordo com o modelo

matemático proposto, as barras com corte de fornecimento no sistema são individual e

artificialmente atendidas pelos seus respectivos geradores artificiais. A prova de que as

restrições (𝟑𝟕𝐛) e (𝟑𝟕𝐜) juntamente com a restrição (𝟑𝟕𝐡) encontram uma solução ótima

radial a partir da resolução do modelo matemático pode ser obtida em Lavorato et al. (2012).

Finalmente, as restrições (𝟑𝟕𝐣) e (𝟑𝟕𝐤) representam o caráter binário das variáveis de

decisão 𝑥𝑖,𝑗 e 𝑦𝑖.

118

A Figura 10 ilustra as relações matemáticas relacionadas à 1ª Lei de Kirchhoff (ilustra

o balanço de potência em cada barra do sistema elétrico) e a Figura 11 ilustra as relações

matemáticas relacionadas à 2ª Lei de Kirchhoff (ilustra o cálculo da queda de tensão em cada

laço independente formado por um ramo do sistema elétrico de distribuição e a conexão à

terra), presentes nas restrições (𝟑𝟕𝐛), (𝟑𝟕𝐜), (𝟑𝟕𝐝) e (𝟑𝟕𝐞) do modelo de PCSOIM

apresentado. Essas relações matemáticas são detalhadas adiante.

Figura 10 - Ilustração da aplicação da Primeira Lei de Kirchhoff (LKC)


Figura 11 - Ilustração da aplicação da Segunda Lei de Kirchhoff (LKT)


As restrições (𝟑𝟕𝐛), (𝟑𝟕𝐜), (𝟑𝟕𝐝) e (𝟑𝟕𝐞), ilustradas acima, correspondem ao

cálculo do fluxo de carga e determinam o estado de operação em regime permanente do

sistema de distribuição de energia elétrica radial. Estas relações são formuladas da seguinte

forma: as perdas de potência ativa e de potência reativa correspondentes ao circuito que liga a

barra 𝑖 à barra 𝑗 estão concentradas na barra 𝑖, considerando que a barra 𝑖 está mais próxima

da subestação que a barra 𝑗; as demandas de potência são consideradas como sendo constantes

𝑰 = 𝟎 𝑰 = 𝟎

𝒁𝒑𝒈 𝒁𝒑𝒈 (muito elevado)

𝑽 𝒊 𝑽 𝒋 𝑺 𝒊𝒋 𝑰 𝒊𝒋

𝒁𝒊𝒋 = 𝑹𝒊𝒋 + 𝒋𝑿𝒊𝒋

𝒊 𝒋

𝒁𝒊𝒋 = 𝑹𝒊𝒋 + 𝒋𝑿𝒊𝒋

𝑹𝒊𝒋𝑰𝒊𝒋𝟐 + 𝒋𝑿𝒊𝒋𝑰𝒊𝒋

𝟐

𝒚𝒊(𝑷𝑫𝒊 + 𝒋𝑸𝑫𝒊) 𝑷𝑺𝒊 + 𝒋𝑸𝑺𝒊

𝑷𝑫𝒊 + 𝒋𝑸𝑫𝒊

𝑷𝒊𝒋 + 𝒋𝑸𝒊𝒋

𝑰 𝒊𝒋

𝑽 𝒊 𝑽 𝒋

𝒊 𝒋

119

e o sistema é balanceado e representado pelo seu equivalente monofásico (ALVES, 2012;

RIBEIRO, 2013). As relações matemáticas que originam estas restrições são detalhadas a

seguir.

A partir da Figura 10, podem-se estabelecer os balanços de potência ativa e de

potência reativa em cada barra do sistema. Respectivamente, para a barra 𝑖 no circuito

mostrado na Figura 10 são geradas as seguintes restrições:

𝑃𝑆𝑖− 𝑃𝑖,𝑗 − 𝑅𝑖,𝑗 𝐼𝑖,𝑗

2 = 𝑃𝐷𝑖(1 − 𝑦𝑖) (38)

𝑄𝑆𝑖− 𝑄𝑖,𝑗 − 𝑋𝑖,𝑗 𝐼𝑖,𝑗

2 = 𝑄𝐷𝑖(1 − 𝑦𝑖) (39)

Levando em consideração que a barra 𝑖 está ligada a várias barras do sistema elétrico,

as restrições (𝟑𝟖) e (𝟑𝟗) podem ser generalizadas da seguinte forma:

∑ 𝑃𝑘,𝑖


− ∑ (𝑃𝑖,𝑗 + 𝑅𝑖,𝑗 𝐼𝑖,𝑗2 )


+ 𝑃𝑆𝑖= 𝑃𝐷𝑖

(1 − 𝑦𝑖) (40)

∑ 𝑄𝑘,𝑖


− ∑ (𝑄𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗 𝐼𝑖,𝑗2 )


+ 𝑄𝑆𝑖= 𝑄𝐷𝑖

(1 − 𝑦𝑖) (41)

Estas restrições são válidas para todas as barras que participam do processo de

restauração (∀ 𝑖 ∈ Ω𝑏′) e são as restrições presentes no modelo matemático, respectivamente,

em (𝟑𝟕𝐛) e (𝟑𝟕𝐜). No entanto, no modelo, 𝑰𝒊,𝒋𝟐 = 𝑰𝒊,𝒋

𝒔𝒒𝒓.

A partir da Figura 11, pode-se estabelecer o cálculo da queda de tensão em cada ramo

do sistema. Esse equacionamento é obtido através da aplicação da 2ª Lei de Kirchhoff e será

detalhado adiante. Inicialmente, apresentam-se as seguintes relações matemáticas:

Sabendo que 𝑽 𝒊 = 𝑽𝒊∠𝜽𝒊 e 𝑽 𝒋 = 𝑽𝒋∠𝜽𝒋, que 𝑺 𝒊,𝒋 = 𝑷𝒊,𝒋 + 𝒋𝑸𝒊,𝒋 e também que

𝑺 𝒊,𝒋 = 𝑽 𝒋 𝑰 𝒊,𝒋∗ têm-se:

𝐼 𝑖,𝑗 = (𝑆 𝑖,𝑗

𝑉 𝑗)

∗

=𝑃𝑖,𝑗 − 𝑗𝑄𝑖,𝑗

𝑉𝑗∠−𝜃𝑗 (42)

120

| 𝐼 𝑖,𝑗| =√𝑃𝑖,𝑗

2 + 𝑄𝑖,𝑗2

|𝑉 𝑗|

(43)

Elevando (𝟒𝟑) ao quadrado, tem-se:

𝐼𝑖,𝑗2 =

𝑃𝑖,𝑗2 + 𝑄𝑖,𝑗

2

𝑉𝑗2 (44)

Fazendo 𝑰𝒊,𝒋𝟐 = 𝑰𝒊,𝒋

𝒔𝒒𝒓 e 𝑽𝒋

𝟐 = 𝑽𝒋𝒔𝒒𝒓

, a relação (𝟒𝟒) é reescrita como:


=𝑃𝑖,𝑗

2 + 𝑄𝑖,𝑗2

𝑉𝑗𝑠𝑞𝑟 (45)

Aplicando a 2ª Lei de Kirchhoff no laço independente formado pelo ramo 𝑖 − 𝑗 no

circuito mostrado na Figura 11, a seguinte relação é obtida:

𝑉 𝑖 = 𝑉 𝑗 + 𝑍𝑖,𝑗 𝐼 𝑖,𝑗 (46)

Sabendo que 𝒁𝒊,𝒋 = 𝑹𝒊,𝒋 + 𝒋𝑿𝒊,𝒋 e usando (𝟒𝟐) em (𝟒𝟔):

𝑉 𝑖 = 𝑉 𝑗 + (𝑅𝑖,𝑗 + 𝑗𝑋𝑖,𝑗) (𝑃𝑖,𝑗 − 𝑗𝑄𝑖,𝑗

𝑉𝑗∠−𝜃𝑗) (47)

Reescrevendo (𝟒𝟕):

𝑉𝑖∠𝜃𝑖 𝑉𝑗∠−𝜃𝑗 = 𝑉𝑗∠𝜃𝑗 𝑉𝑗∠−𝜃𝑗 + (𝑅𝑖,𝑗 + 𝑗𝑋𝑖,𝑗)(𝑃𝑖,𝑗 − 𝑗𝑄𝑖,𝑗) (48)

Fazendo 𝜽𝒊𝒋 = 𝜽𝒊 − 𝜽𝒋 e resolvendo (𝟒𝟖), obtêm-se:

𝑉𝑖 𝑉𝑗∠𝜃𝑖𝑗 = 𝑉𝑗2 + (𝑅𝑖,𝑗 + 𝑗𝑋𝑖,𝑗)(𝑃𝑖,𝑗 − 𝑗𝑄𝑖,𝑗)

𝑉𝑖 𝑉𝑗(cos 𝜃𝑖𝑗 + 𝑗 sin 𝜃𝑖𝑗) = 𝑉𝑗2 + (𝑅𝑖,𝑗 + 𝑗𝑋𝑖,𝑗)(𝑃𝑖,𝑗 − 𝑗𝑄𝑖,𝑗) (49)

121

Separando as partes real e imaginária da equação (𝟒𝟗), são obtidas as seguintes

relações:

𝑉𝑖 𝑉𝑗 cos 𝜃𝑖𝑗 = 𝑉𝑗2 + 𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗 (50)

𝑉𝑖 𝑉𝑗 sin 𝜃𝑖𝑗 = 𝑋𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 − 𝑅𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗 (51)

Elevando (𝟓𝟎) e (𝟓𝟏) ao quadrado e depois somando as duas relações é possível

eliminar o ângulo de fase 𝜃𝑖𝑗 do equacionamento, sendo obtida a seguinte relação:

𝑉𝑖2 𝑉𝑗

2 = [𝑉𝑗2 + (𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗)]

2+ [𝑋𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 − 𝑅𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗]

2 (52)

Desenvolvendo (𝟓𝟐):

𝑉𝑖2 𝑉𝑗

2 = 𝑉𝑗4 + 2𝑉𝑗

2(𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗) + (𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗)2+(𝑋𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 − 𝑅𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗)

2 (53)

Desenvolvendo (𝟓𝟑), a equação assume finalmente a seguinte forma:

𝑉𝑖2 𝑉𝑗

2 = 𝑉𝑗4 + 2𝑉𝑗

2(𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗) + (𝑅𝑖,𝑗2 + 𝑋𝑖,𝑗

2 )(𝑃𝑖,𝑗2 + 𝑄𝑖,𝑗

2 ) (54)

Assumindo 𝒁𝒊,𝒋𝟐 = 𝑹𝒊,𝒋

𝟐 + 𝑿𝒊,𝒋𝟐 em (𝟓𝟒):

𝑉𝑖2 𝑉𝑗

2 = 𝑉𝑗4 + 2𝑉𝑗

2(𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗) + 𝑍𝑖,𝑗2 (𝑃𝑖,𝑗

2 + 𝑄𝑖,𝑗2 ) (55)

Dividindo a relação (𝟓𝟓) por 𝑽𝒋𝟐 e reorganizando alguns termos, tem-se:

𝑉𝑖2 = 𝑉𝑗

2 + 2(𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗) + 𝑍𝑖,𝑗2 (


2

𝑉𝑗2 ) (56)

A relação (𝟓𝟔) representa o cumprimento da 2ª Lei de Kirchhoff no laço independente

em que se encontra o ramo 𝑖 − 𝑗 no circuito mostrado na Figura 11. Adicionalmente, a

relação (𝟓𝟔) pode incorporar a relação (𝟒𝟒) e assumir a seguinte forma:

122

𝑉𝑖2 = 𝑉𝑗

2 + 2(𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗) + 𝑍𝑖,𝑗2 𝐼𝑖,𝑗

2

𝐼𝑖,𝑗2 =


2

𝑉𝑗2

(57)

As relações apresentadas em (𝟓𝟕) são formas alternativas para representar o

cumprimento da 2ª Lei de Kirchhoff em cada ramo do sistema elétrico.

Novamente fazendo 𝑰𝒊,𝒋𝟐 = 𝑰𝒊,𝒋

𝒔𝒒𝒓 e 𝑽𝒋

𝟐 = 𝑽𝒋𝒔𝒒𝒓

, a relação (𝟓𝟕) é reescrita como:

𝑉𝑖𝑠𝑞𝑟

= 𝑉𝑗𝑠𝑞𝑟

+ 2(𝑅𝑖,𝑗𝑃𝑖,𝑗 + 𝑋𝑖,𝑗𝑄𝑖,𝑗) + 𝑍𝑖,𝑗2 𝐼𝑖,𝑗

𝑠𝑞𝑟 (58)


=𝑃𝑖,𝑗

2 + 𝑄𝑖,𝑗2

𝑉𝑗𝑠𝑞𝑟 (59)

No modelo matemático de PCSOIM, a relação (𝟓𝟗) foi modificada para assumir a

forma cônica de segunda ordem e a relação (𝟓𝟖) incorporou a variável auxiliar 𝑏𝑖,𝑗. No modelo

matemático, as relações (𝟓𝟖) e (𝟓𝟗) com estas modificações mencionadas correspondem,

respectivamente, às relações (𝟑𝟕𝐝) e (𝟑𝟕𝐞) e são válidas para todos os ramos que participam do

processo de restauração (∀ (𝑖, 𝑗) ∈ Ω𝑙′).

Quanto à formulação cônica de segunda ordem, destaca-se o trabalho de Ribeiro

(2013). Este trabalho apresenta um modelo de programação não linear para o problema de

alocação ótima de banco de capacitores, onde a não linearidade presente no conjunto de

restrições consta apenas na restrição de igualdade que calcula o quadrado da magnitude de

corrente para complementar a restrição que representa a aplicação da 2ª Lei de Kirchhoff. O

trabalho prova que essa restrição não linear pode ser substituída por uma restrição cônica de

segunda ordem equivalente, tornando o modelo não linear em um modelo cônico de segunda

ordem, cuja conversão consiste apenas em tornar a restrição de igualdade em uma restrição de

desigualdade e, portanto, nenhuma outra variável ou restrição é acrescentada ao modelo.

Assim, o modelo cônico é composto por um conjunto de restrições lineares e uma restrição de

cone quadrático. Esta restrição cônica consta na relação (𝟑𝟕𝐞) do modelo matemático

apresentado neste capítulo.

A grande vantagem de usar a formulação cônica é que o problema se torna convexo,

consequentemente, a solução ótima global do modelo cônico pode ser encontrada e esta

solução corresponde também à solução ótima do problema original (não linear). Além disso, o

123

tempo computacional demandado para resolução do modelo cônico é menor quando

comparado com a versão não linear, principalmente considerando que, dependendo das

características do problema, as técnicas de otimização não linear nem sempre são eficientes

para encontrar uma solução factível para o problema não linear. Um problema de

programação não linear inteiro misto é de difícil solução e comumente apresenta

comportamento multimodal.

4.2 SISTEMA TESTE E CENÁRIOS DE FALTA ANALISADOS

Esta seção apresenta informações sobre o sistema elétrico utilizado para a realização

dos testes com o modelo matemático apresentado neste capítulo e também apresenta

informações sobre os cenários de falta analisados. Os testes simularam a elaboração de planos

de restauração a partir do sistema elétrico de distribuição e dos cenários de falta permanente

apresentados em Pereira Junior et al. (2012), cujo trabalho aplicou uma metodologia

heurística para resolver o problema de restauração. Assim, os resultados elaborados pelas

duas metodologias podem ser comparados e avaliados, conforme as justificativas apresentadas

a seguir.

A técnica heurística apresentada em Pereira Junior et al. (2012) foi revisada na seção

1.2.2 e corresponde a uma meta-heurística de Busca Tabu, cuja proposta de restauração

também pretende restabelecer o máximo de cargas fora do serviço de fornecimento de

energia, de forma que o restabelecimento provoque a menor modificação possível na

configuração básica do sistema. Ambos os objetivos relacionados à minimização do número

de chaveamentos na rede considera simbolicamente os custos operacionais relacionados às

operações de manobra. Portanto, a minimização do número de chaveamentos para

restabelecimento do sistema apenas contabiliza as chaves que sofreram alteração (abertura ou

fechamento) do seu estado inicial (quando a rede operava normalmente) para configurar a

nova operação em estado restaurativo. No entanto, a função objetivo formulada para a meta-

heurística proposta pelos autores é obrigada a incorporar uma estratégia de penalização para

as propostas de solução que apresentam violação de restrições do problema, de modo que o

problema possa convergir para soluções factíveis. A metodologia considera as mesmas

restrições físicas, operacionais e de qualidade do fornecimento de energia elétrica

consideradas pelo modelo matemático apresentado neste capítulo. Portanto, o modelo

124

matemático com abordagem completa proposto resolve o problema de restauração no sistema

teste de distribuição nas mesmas condições em que o algoritmo heurístico de Busca Tabu,

tornando perfeitamente adequada a análise comparativa entre as duas metodologias.

Deve-se atentar unicamente para o fato de que o método heurístico proposto pelos

autores faz busca local, em torno da área desatendida após interrupção do serviço, por

requisitos operativos considerados pelos autores e, indiretamente, por limitações no que tange

principalmente à codificação global do problema para as meta-heurísticas. O método

heurístico faz busca local porque considera que seções que se mantiveram energizadas após

interrupção do serviço não poderão sofrer desenergização, temporária ou permanente, durante

o estado restaurativo. O modelo matemático faz busca global e encontra a solução ótima do

problema, sem restringir tais desenergizações temporárias ou permanentes. Os resultados para

o terceiro cenário de falta analisado exemplificam mais enfaticamente estes apontamentos. No

entanto, o modelo matemático pode ser utilizado para também realizar busca local, se

desejável for seguir os mesmos requisitos operativos considerados pelos autores.

O sistema de distribuição utilizado para teste possui efetivamente 53 barras, sendo 3

subestações e 50 barras de demanda, e 61 ramos (𝑛𝑏 = 53, 𝑛𝑠 = 3 e 𝑛𝑙 = 61). A tensão

nominal do sistema é de 13,8 kV. Considera-se apenas um único nível de demanda e, em

condições normais de operação, o sistema atende a uma demanda de potência ativa

equivalente a 45.668,70 kW e a uma demanda de potência reativa equivalente a 22.118,24

kVAr, equivalentes a 50.742,95 kVA. A configuração base do sistema é apresentada na

Figura 12 e os demais dados físicos e operacionais são apresentados nas Tabelas 10, 11, 12,

13 e 14 (dados referentes aos condutores, às linhas do sistema, às subestações e às barras de

demanda). A Tabela 12, especialmente, apresenta os dados das impedâncias do sistema,

calculadas de acordo com os dados apresentados na Tabela 10 e na Tabela 11. O modelo

matemático resolve o problema de restauração utilizando os dados da Tabela 12 e da Tabela

14 e fixando a tensão na subestação no valor nominal 13,8 kV (1 p.u.). A tensão mínima

permitida para a operação do sistema é de 13,11 kV (0,95 p.u.) e a tensão máxima permitida é

de 14,49 kV (1,05 p.u.).

125

Tabela 10 - Dados dos cabos (condutores)

Tamanho Resistência

(Ω/Km)

Reatância

(Ω/Km)

Corrente máxima

(A)

1 0,3655 0,2520 150

2 0,2359 0,2402 250

3 0,1827 0,1260 350

4 0,1460 0,1233 400

5 0,1180 0,1201 500

6 0,0966 0,1201 600

Fonte: Pereira Junior et al. (2012).

Tabela 11 - Dados das linhas

Circuito 𝒊 − 𝒋 Cabo

Distância

(m)

Circuito 𝒊 − 𝒋 Cabo

Distância

(m) Barra Barra Barra Barra

101 1 6 562 28 6 1 1000

101 3 6 436 104 30 6 562

4 3 6 624 29 30 1 624

7 4 6 500 43 30 2 812

5 4 2 624 37 43 1 500

8 7 6 624 31 37 1 374

6 5 2 500 10 31 1 624

9 1 6 686 43 13 4 750

2 1 2 624 45 12 6 500

10 9 2 1436 44 45 6 436

102 14 6 750 38 44 6 624

15 14 2 750 39 38 5 686

16 15 2 562 32 39 1 812

102 11 6 562 33 39 2 562

12 11 6 624 8 33 2 936

13 12 1 874 34 33 1 374

20 19 1 624 35 34 1 436

19 18 1 500 36 35 1 436

18 17 1 812 40 41 1 750

17 9 4 860 16 40 1 500

21 18 2 624 42 41 1 750

104 21 4 500 48 42 1 500

104 22 2 750 49 48 1 750

22 9 2 936 50 49 1 436

23 22 1 686 47 42 4 624

24 23 1 562 46 47 2 624

25 24 1 436 14 46 4 686

8 25 1 562 35 40 1 356

27 8 2 750 10 38 1 500

26 27 1 686 28 50 1 308

28 27 1 624


126

Tabela 12 - Dados de impedância das linhas

Circuito 𝒊 − 𝒋 Resistência

(Ω)

Reatância

(Ω)

Corrente

Máx. (A)

Circuito 𝒊 − 𝒋 Resistência

(Ω)

Reatância

(Ω)

Corrente

Máx. (A) Barra Barra Barra Barra

101 1 0,0543 0,0675 600 28 6 0,3655 0,2520 150

101 3 0,0421 0,0524 600 104 30 0,0543 0,0675 600

4 3 0,0603 0,0749 600 29 30 0,2281 0,1572 150

7 4 0,0483 0,0600 600 43 30 0,1916 0,1950 250

5 4 0,1472 0,1499 250 37 43 0,1828 0,1260 150

8 7 0,0603 0,0749 600 31 37 0,1367 0,0942 150

6 5 0,1179 0,1201 250 10 31 0,2281 0,1572 150

9 1 0,0663 0,0824 600 43 13 0,1095 0,0925 400

2 1 0,1472 0,1499 250 45 12 0,0483 0,0600 600

10 9 0,3388 0,3449 250 44 45 0,0421 0,0524 600

102 14 0,0725 0,0901 600 38 44 0,0603 0,0749 600

15 14 0,1769 0,1802 250 39 38 0,0809 0,0824 500

16 15 0,1326 0,1350 250 32 39 0,2968 0,2046 150

102 11 0,0543 0,0675 600 33 39 0,1326 0,1350 250

12 11 0,0603 0,0749 600 8 33 0,2208 0,2248 250

13 12 0,3194 0,2202 150 34 33 0,1367 0,0942 150

20 19 0,2281 0,1572 150 35 34 0,1594 0,1099 150

19 18 0,1828 0,1260 150 36 35 0,1594 0,1099 150

18 17 0,2968 0,2046 150 40 41 0,2741 0,1890 150

17 9 0,1256 0,1060 400 16 40 0,1828 0,1260 150

21 18 0,1472 0,1499 250 42 41 0,2741 0,1890 150

104 21 0,0730 0,0617 400 48 42 0,1828 0,1260 150

104 22 0,1769 0,1802 250 49 48 0,2741 0,1890 150

22 9 0,2208 0,2248 250 50 49 0,1594 0,1099 150

23 22 0,2507 0,1729 150 47 42 0,0911 0,0769 400

24 23 0,2054 0,1416 150 46 47 0,1472 0,1499 250

25 24 0,1594 0,1099 150 14 46 0,1002 0,0846 400

8 25 0,2054 0,1416 150 35 40 0,1301 0,0897 150

27 8 0,1769 0,1802 250 10 38 0,1828 0,1260 150

26 27 0,2507 0,1729 150 28 50 0,1126 0,0776 150

28 27 0,2281 0,1572 150


127

Tabela 13 – Dados de capacidade de carregamento das subestações

Subestação Potência nominal

(kVA)

101 33.400,00

102 30.000,00

104 22.000,00


Tabela 14 - Dados de demanda das barras

Barra Potência

Barra Potência

Ativa (kW) Reativa (kVAr) Ativa (kW) Reativa (kVAr)

101 0,00 0,00 25 623,70 302,07

102 0,00 0,00 26 831,60 402,78

104 0,00 0,00 27 1.039,50 503,42

1 2.910,60 1.409,64 28 485,10 234,93

2 1.039,50 503,43 29 970,20 469,85

3 485,10 234,93 30 1.801,80 872,64

4 762,30 369,22 31 485,10 234,93

5 1.801,80 872,64 32 1.178,10 570,57

6 485,10 234,93 33 2.009,70 973,36

7 693,00 335,64 34 831,60 402,79

8 1.316,70 637,71 35 623,70 302,07

9 831,60 402,79 36 207,90 100,72

10 2.009,70 973,36 37 1.455,30 704,86

11 207,90 100,72 38 762,30 369,21

12 1.247,40 604,14 39 693,00 335,64

13 762,30 369,22 40 970,20 469,85

14 693,00 335,64 41 623,70 302,07

15 970,20 469,85 42 831,60 402,79

16 1.316,70 637,71 43 900,90 436,36

17 485,10 234,93 44 970,20 469,85

18 831,60 402,79 45 554,40 268,50

19 970,20 469,85 46 1.247,40 604,14

20 554,40 268,50 47 693,00 335,64

21 1.247,40 604,14 48 554,40 268,50

22 762,30 369,22 49 346,50 167,78

23 693,00 335,64 50 554,40 268,50

24 346,50 167,78


128

Figura 12 - Configuração base do sistema teste de 53 barras

Fonte: Adaptado de Pereira Junior et al. (2012).

Os testes foram realizados para três casos de falta permanente no sistema apresentado

na Figura 12: falta nas barras 3, 11 e 14. A Tabela 15 apresenta as informações sobre estes

três casos. Os cenários de falta são descritos com base no conhecimento da configuração do

sistema no seu estado normal de operação e na informação do correspondente local de falta.

Após a indicação do local de falta, os circuitos adjacentes utilizados para isolar o defeito são

indisponibilizados para o processo de restauração e as seções de carga desatendidas à jusante

do defeito são conhecidas, portanto, o total de carga não suprida passível de restabelecimento

também é conhecido. A Tabela 15 apresenta estas informações e, a partir dela, é possível

verificar o número de circuitos disponíveis para o processo de restauração em cada cenário de

5

4

6

50

3 101

104

34

33

35

27

36 10

19

20

21

18

17

9

2

1

7

22

23

32

40 41

39

49

48

42

47

46 14

15

16

28

38

44

45

102 11

12

13

43 29

37 30

31

8 26 24 25

Barra de subestação

Barra de demanda

Circuito aberto

Circuito fechado

129

falta apresentado (do total de 61 ramos existentes) e a totalidade de cargas fora do serviço de

fornecimento (isto inclui as cargas ativa e reativa das seções em falta não participantes do

processo de restauração, além do total de cargas restauráveis explicitamente apresentadas).

Por exemplo, no cenário de falta na barra 14, o total de circuitos disponíveis é 61 − 3 = 58,

e os totais de carga ativa e de carga reativa fora do serviço são, respectivamente, 8.801,10 kW

e 4.262,47 kVAr, sendo que apenas 8.108,10 kW e 3.926,83 kVAr são passíveis de

restauração e poderão concorrer ao restabelecimento (a diferença corresponde à demanda de

carga da barra 14, não restaurável).

Tabela 15 - Informações sobre os cenários de falta no sistema teste de 53 barras

Falta

(Barra)

Ramos

indisponibilizados

(Circuito 𝒊 − 𝒋)

Barras desatendidas

à jusante da falta

Total de cargas restauráveis

Ativa (kW) Reativa (kVAr)

3 101-3, 4-3 4, 5, 6, 7, 8,

26, 27, 28 7.415,10 3.591,27

11 102-11, 12-11 12, 32, 33, 34, 35,

36, 38, 39, 44, 45 9.078,30 4.396,85

14 102-14, 15-14,

14-46

15, 16, 40, 41, 42,

46, 47, 48, 49, 50 8.108,10 3.926,83


Finalmente, a partir das informações contidas na Tabela 15, o modelo matemático de

PCSOIM propõe a configuração alternativa ótima para o sistema em cada estado restaurativo

analisado, conforme os objetivos discutidos na seção 4.1 e conforme as condições

apresentadas nesta seção. Os resultados dos testes são apresentados na seção seguinte, onde

são também analisados e comparados com os resultados obtidos pela metodologia heurística

proposta em Pereira Junior et al. (2012).

4.3 TESTES E RESULTADOS

Esta seção apresenta os resultados dos testes realizados para os casos de falta

apresentados na Tabela 15 da seção anterior e faz uma análise comparativa entre os

resultados obtidos pelo modelo matemático proposto na seção 4.1 e pela técnica heurística

apresentada em Pereira Junior et al. (2012), discutida nas seções 1.2.2 e 4.2. A seção 4.1

apresentou o modelo matemático de PCSOIM proposto neste capítulo para resolver o

130

problema de restauração de sistemas elétricos de distribuição radiais, cuja formulação aborda

o problema de forma completa e prevê o corte de carga. O sistema teste foi apresentado na

seção 4.2, onde também se discutiram as condições em que os testes foram realizados.

Os resultados apresentados pelo modelo matemático de PCSOIM para todos os

cenários de falta analisados foram obtidos usando o solucionador comercial CPLEX (versão

12.2.0.0) dentro do ambiente de programação AMPL. O computador utilizado para a

resolução do modelo possui as seguintes principais configurações: Sistema operacional de 64

bits (Windows 8), Processador Intel(R) Core(TM) i5-3337U com 1,80 GHz e Memória RAM

de 6 GB.

4.3.1 Cenário 1: Falta na Seção 3

De acordo com as informações da Tabela 15, o estado restaurativo provocado por uma

falta na barra 3 exige a indisponibilização dos circuitos 101-3 e 4-3 destinados a isolar a

falta. Isto pode contabilizar até 2 manobras de chaves no plano final de restauração. Estes

ramos não participam do processo de restauração, portanto, o otimizador passa a lidar apenas

com 59 ramos. Além da barra 3, não restaurável, outras oito barras de demanda (barras 4, 5,

6, 7, 8, 26, 27 e 28) ficaram desatendidas, totalizando o não fornecimento de uma carga

aparente de 8.777,98 kVA, sendo que apenas 8.238,99 kVA são restauráveis.

Os planos de restauração apresentados pelo modelo matemático de PCSOIM proposto

neste capítulo e pelo método heurístico proposto em Pereira Junior et al. (2012) para este

cenário de falta são informados na Tabela 16, abaixo, e discutidos a seguir.

Tabela 16 - Resumo dos resultados para o cenário de falta na barra 3

Método Chaves abertas

para isolar a falta

Chaves apresentadas

manobradas pelo otimizador Barras não

restauradas Total de cargas (kVA)

Abertura Fechamento Cortadas Restauradas

Heurístico 101-3, 4-3* 8-7, 27-8,

26-27, 28-6

8-25, 28-27,

28-50 4, 5, 6, 7, 26 5.082,01 3.156,98

Exato

(PCSOIM) 101-3, 4-3

5-4, 6-5*, 27-8,

26-27, 28-6, 34-33

28-27, 8-33,

35-40, 28-50 5, 6, 26 3.465,00 4.773,99

* Indica que no plano final de restauração a chave sinalizada não é apresentada efetivamente manobrada por

conectar duas barras desconexas do sistema restaurado (barras ilhadas), portanto o chaveamento não deve ser

contabilizado.


131

De acordo com as informações das Tabelas 15 e 16, observa-se que a demanda

restaurável do sistema elétrico foi parcialmente restabelecida nos dois planos de restauração

apresentados na Tabela 16 para o caso de falta na barra 3 e que o corte de carga se deu de

forma diferente em cada um dos planos. As propostas de solução são então analisadas de

forma comparativa.

O plano de restauração elaborado pelo algoritmo heurístico desliga definitivamente do

sistema as barras 4, 5, 6, 7 e 26, o que equivale ao corte de 5.082,01 kVA (4.573,80 kW e

2.215,21 kVAr). Apenas as barras 8, 27 e 28 foram restauradas, totalizando o

restabelecimento de 3.156,98 kVA (2.841,30 kW e 1.376,06 kVAr). O valor restaurado

representa 37,94% da carga restaurável. A barra 8 passou a ser atendida pela subestação 101 e

as barras 27 e 28 passaram a ser atendidas pela subestação 102. Ao todo, foram efetuadas 8

operações de chaveamento: abertura da chave 101-3 para isolamento da falta, abertura das

chaves 8-7, 27-8, 26-27 e 28-6 e fechamento das chaves 8-25, 28-27 e 28-50 para

restabelecimento e operação radial do sistema. Observa-se que a chave 4-3, indisponibilizada

para o processo de restauração para o isolamento da falta, não é listada para ser efetivamente

aberta, já que a barra 4 permaneceu desatendida e em ilhamento com as barras 3, 5, 6 e 7. A

configuração final do sistema segundo a proposta do método heurístico para o estado

restaurativo de falta na barra 3 é ilustrada na Figura 13.

O modelo matemático proposto elaborou um plano de restauração que realiza o corte

de carga apenas para as barras 5, 6 e 26, totalizando o corte de 3.465,00 kVA (3.118,50 kW e

1.510,35 kVAr). O modelo restabeleceu um adicional de 1.617,01 kVA em relação ao método

heurístico (referente às barras 4 e 7). Foram restabelecidas as barras 4, 7, 8, 27 e 28,

totalizando 4.773,99 kVA (4.296,60 kW e 2.080,92 kVAr), o que representa 57,94% das

cargas restauráveis, contra os 37,94% atingidos pelo método heurístico, 20% adicionais.

Todas as barras restabelecidas passaram a ser atendidas pela subestação 102. O modelo

matemático apresentou 10 operações de chaveamento, no entanto, são efetivamente indicadas

9 manobras: no plano final elaborado a chave 6-5 não é indicada para ser efetivamente aberta

porque as barras 5 e 6 ficaram ilhadas. O plano final contabiliza 11 operações de

chaveamento: a abertura efetiva das chaves 101-3 e 4-3 indisponibilizadas para isolar a falta,

o fechamento das chaves normalmente abertas 28-27, 8-33, 35-40 e 28-50 e a abertura das

chaves normalmente fechadas 5-4, 27-8, 26-27, 28-6 e 34-33 para restabelecimento do

sistema. Diferentemente do plano elaborado pela heurística, a chave 4-3 foi declarada aberta

pelo modelo matemático, pois a barra 4 foi restabelecida pelo modelo. A configuração final

132

do sistema segundo a proposta do modelo matemático de PCSOIM para o estado restaurativo

de falta na barra 3 é ilustrada na Figura 14.

Adicionalmente, para o contexto de falta na barra 3, o tempo de processamento

computacional demandado pelo método heurístico de Pereira Junior et al. (2012), segundo os

autores, foi de 0,312 segundos e o tempo de resolução do modelo matemático foi de

14.206,48 segundos (aproximadamente 4 horas). Porém, o método heurístico faz uma análise

local e limitada, enquanto que o modelo matemático resolve o problema globalmente. Quando

o modelo matemático é aplicado para resolver o problema localmente neste caso de falta, o

tempo de processamento demandado é de 2,1 segundos.

Figura 13 - Configuração proposta pelo método heurístico após falta na barra 3

Fonte: Adaptado de Pereira Junior et al. 2012.

5

4

6

50

3 101

104

34

33

35

27

36 10

19

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21

18

17

9

2

1

7

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32

40 41

39

49

48

42

47

46 14

15

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28

38

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45

102 11

12

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43 29

37 30

31

8 26 24 25


Barra de demanda

Circuito aberto

Circuito fechado

Local da falta

Parcela desconexa

133

Figura 14 - Configuração ótima proposta pelo modelo matemático de PCSOIM após

falta na barra 3 no sistema teste de Pereira Junior et al. (2012)


É válido destacar que, segundo Pereira Junior et al. (2012), ao ser relaxada a restrição

de tensão mínima de 0,95 p.u. para o mínimo de 0,93 p.u. e, simultaneamente, serem

relaxadas as restrições de capacidade de corrente e de capacidade das subestações em 20%, o

algoritmo heurístico apresentou um plano de restabelecimento muito parecido com o plano de

restauração do modelo matemático para este cenário de falta na barra 3. Assim, em

condições consideravelmente relaxadas e favorecidas, o algoritmo heurístico apresentou o

mesmo plano apresentado pelo modelo matemático acrescido apenas do restabelecimento da

5

4

6

50

3 101

104

34

33

35

27

36 10

19

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21

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17

9

2

1

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23

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40 41

39

49

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42

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46 14

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45

102 11

12

13

43 29

37 30

31

8 26 24 25


Barra de demanda

Circuito aberto

Circuito fechado

Local da falta

Parcela desconexa

134

barra 26, através do fechamento do circuito 26-27.

Em resumo, segundo a resolução do modelo matemático de PCSOIM proposto, o

sistema elétrico opera no estado restaurativo de falta na barra 3 nas seguintes condições: não

foi possível restaurar plenamente o sistema, por isso houve corte de carga; 49 barras

permaneceram em operação (3 subestações e 46 barras de demanda), formando um sistema

conexo e radial com 46 ramos fechados (do total de 59 ramos disponíveis); o sistema passou

a atender a uma demanda de potência aparente de 46.738,96 kVA, correspondente a 92,11%

da demanda normalmente atendida (50.742,95 kVA); a barra observada com menor módulo

de tensão é a barra 4 com tensão de 0,9631 p.u.; nenhum ramo conectado viola o respectivo

fluxo máximo de corrente permitido; e as subestações operam dentro da correspondente

capacidade de carregamento. As informações de carregamento das subestações e os fluxos de

potência e de corrente nos ramos para este caso de falta analisado constam, respectivamente,

na Tabela 17 e na Tabela 18. As informações de carregamento das subestações estão

considerando apenas as cargas conectadas a elas, as perdas em kVA não estão somadas ao

carregamento informado.

Tabela 17 - Carregamento das subestações durante estado restaurativo no cenário de falta na

barra 3, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM


(kVA)

Carregamento (kVA)**

Estado Normal Estado Restaurativo

101 33.400,00 19.557,97 10.779,99

102 30.000,00 20.096,98 24.870,97

104 22.000,00 11.088,00 11.088,00

TOTAL: 85.400,00 50.742,95 46.738,96

** As perdas em kVA não estão somadas ao carregamento informado.


135

Tabela 18 - Fluxos nos ramos do sistema teste operando no estado restaurativo de falta na


Circuitos ativos

(Total = 46)

FLUXOS Corrente

Máxima

(A) Potência Ativa

(kW)

Potência Reativa

(kVAr) Corrente

(A) Barra Barra

101 1 9833,3424 4826,8460 477,6788 600

7 4 762,3000 369,2200 308,0527 600

8 7 1469,0505 721,9556 306,1466 600

9 1 -5873,4451 -2903,8002 348,7933 600

104 30 6435,8788 3139,8142 361,1125 600

29 30 -976,4416 -474,1534 95,5109 150

43 30 -3657,6372 -1793,0208 196,5148 250

37 43 -1952,2640 -947,9698 114,1215 150

31 37 -489,8237 -238,1869 107,3254 150

43 13 762,3000 369,2200 246,6285 400

45 12 -9132,8879 -4548,8099 451,7737 600

2 1 -1049,2973 -513,4058 148,9481 250

10 9 -2041,0463 -1005,2777 175,6272 250

102 14 12186,4603 5974,4413 579,7352 600

15 14 -4990,7166 -2446,8442 237,1752 250

16 15 -3990,6594 -1946,5928 204,8775 250

102 11 10634,4034 5311,1284 510,6456 600

12 11 -10426,5034 -5210,4084 505,5380 600

20 19 -559,8096 -272,2297 88,9170 150

19 18 -1536,0862 -746,2693 105,2789 150

17 9 -507,8582 -254,1497 245,8002 400

21 18 2367,6862 1149,0593 178,9604 250

104 21 3629,2294 1767,6004 259,9932 400

22 9 -2468,7548 -1211,5132 179,0355 250

23 22 -1685,2222 -820,6736 111,2755 150

24 23 -982,9083 -478,6119 108,0286 150

25 24 -629,2167 -305,8736 107,4220 150

44 45 -8548,9139 -4243,5414 429,6888 600

38 44 -7555,3848 -3744,6871 393,3039 600

39 38 -6765,1120 -3340,6993 352,1939 500

32 39 -1186,2996 -576,2234 95,9653 150

33 39 -4855,6899 -2398,1772 235,4823 250

35 34 831,6000 402,7900 106,8100 150

36 35 -212,0819 -103,6033 93,5280 150

16 40 2647,8335 1285,3814 131,1589 150

42 41 623,7000 302,0700 103,4802 150

48 42 -3021,8393 -1472,0457 145,1517 150

49 48 -2455,8882 -1195,5816 124,5660 150

50 49 -2096,6276 -1019,0037 115,5294 150

47 42 4485,9454 2182,9772 257,0457 400

46 47 5197,0038 2533,8679 246,9959 250

14 46 6471,3448 3165,4400 323,2645 400

28 27 1039,5000 503,4200 103,1421 150

8 33 -2823,9351 -1402,3605 179,0491 250

35 40 -1677,6335 -815,5314 110,8605 150

28 50 -1535,8468 -746,1043 108,3924 150


136

Abaixo, a Figura 15 apresenta o gráfico correspondente ao fluxo de corrente nos

ramos para o caso de falta na barra 3, conforme o plano de restauração elaborado pelo

modelo matemático de PCSOIM, de modo a tornar mais evidente o cumprimento e as

condições de cumprimento da restrição de fluxo máximo de corrente permitido para os ramos.

Por exemplo, o fluxo no circuito 46-47, quadragésimo primeiro circuito apresentado na

Tabela 18 e ponto 41 no gráfico da Figura 15, opera de forma mais crítica e o circuito 102-

14 (ponto 14 no gráfico da Figura 15) opera muito próximo da sua capacidade máxima.

Figura 15 - Fluxo de corrente nos ramos ativos (caso de falta na barra 3), conforme a

resolução do modelo matemático de PCSOIM



Conforme a Tabela 15, uma falta na barra 11 exige que os circuitos 102-11 e 12-11

sejam reservados para o isolamento da falta, podendo contabilizar até 2 manobras de chaves

no plano final de restauração. Estes ramos são indisponibilizados e não participam do

processo de restauração, portanto, o otimizador passa a lidar apenas com 59 ramos. Ao todo,

11 barras de demanda ficaram desatendidas (barras 11, 12, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 44 e

45), totalizando uma carga aparente não suprida de 10.318,02 kVA, sendo que apenas

10.087,01 kVA são restauráveis. A barra 11 não é restaurável.

0

100

200

300

400

500

600

700

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45

Mag

nit

ud

e d

e C

orr

en

te (

A)

Circuitos ativos (46)

Caso de falta na barra 3

Fluxo de corrente Corrente máxima permitida

137






para isolar a falta

Chaves apresentadas




Heurístico 102-11, 12-11 45-12, 39-38,

35-34

13-12, 8-33,

35-40, 10-38 - 0,00 10.087,01

Exato

(PCSOIM) 102-11, 12-11

45-12, 39-38,

34-33

13-12, 8-33,

35-40, 10-38 - 0,00 10.087,01


As Tabelas 15 e 19 mostram que ambos os métodos de resolução em análise

apresentaram um plano de restauração que restabelece plenamente todas as barras

desatendidas e passíveis de restauração após a ocorrência de falta permanente na barra 11.

Apenas a barra sob falta permaneceu desatendida no estado restaurativo e isolada do restante

do sistema em operação. As demandas das barras 12, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 44 e 45

restauradas totalizam o atendimento de 10.087,01 kVA, equivalente a 100% da carga

restaurável. No entanto, a proposta de chaveamento é ligeiramente diferente, o que implica

em duas configurações ótimas alternativas para o sistema teste neste cenário de falta.

Segundo o modelo matemático, a barra 12 é transferida para a subestação 104, as

barras 32, 33, 38, 39, 44 e 45 são transferidas para a subestação 101 e as barras 34, 35 e 36

continuam sendo normalmente atendidas pela subestação 102, mas por um circuito

alternativo. Para isto, são indicadas 7 operações de chaveamento para restabelecimento do

sistema: abertura das chaves 45-12, 39-38 e 34-33, e fechamento das chaves 13-12, 8-33, 35-

40 e 10-38; além da abertura das chaves 102-11 e 12-11 necessárias para o isolamento da

falta, totalizando 9 chaveamentos. A configuração proposta mantém a operação radial do

sistema. A proposta alternativa fornecida pelo método heurístico se diferencia apenas no

seguinte aspecto: a barra 34 deixa de ser normalmente atendida pela subestação 102 e passa a

ser atendida pela subestação 101. As chaves diferentemente indicadas para manobra nos dois

planos são adjacentes à barra 34: chaves 34-33 e 35-34. Elas são normalmente fechadas,

portanto, a única diferença consiste na abertura da chave 34-33 pelo modelo matemático e da

abertura da chave 35-34 pelo método heurístico. Portanto, ambos os planos de restauração

138

finalmente propostos apresentam 9 operações de chaveamento. A configuração final do

sistema segundo a proposta do método heurístico para o estado restaurativo de falta na barra

11 é ilustrada na Figura 16 e a configuração final do sistema segundo a proposta do modelo

matemático de PCSOIM para o mesmo cenário é ilustrada na Figura 17.

Adicionalmente, para o contexto de falta na barra 11, o tempo de processamento

computacional demandado pelo método heurístico de Pereira Junior et al. (2012), segundo os

autores, foi de 0,343 segundos e o tempo de resolução do modelo matemático foi de 292,58

segundos (aproximadamente 5 minutos). O método heurístico faz uma análise local e

limitada, enquanto que o modelo matemático resolve o problema globalmente.



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102 11

12

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43 29

37 30

31

8 26 24 25


Barra de demanda

Circuito aberto

Circuito fechado

Local da falta

Parcela desconexa

139




Uma vez que as propostas são semelhantes do ponto de vista de otimização, pode ser

interessante avaliar e comparar outros aspectos operacionais envolvendo as duas soluções

ótimas alternativas apresentadas. Por exemplo: avaliar e comparar a qualidade do

fornecimento de energia elétrica através das informações dos módulos de tensão nas barras;

avaliar e comparar os custos relacionados à geração de energia não consumida através da

informação das perdas totais de energia do sistema; ou se algum outro requisito técnico ou

operacional está mais perto de ser violado, tornando a proposta menos interessante. Na

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7

22

23

32

40 41

39

49

48

42

47

46 14

15

16

28

38

44

45

102 11

12

13

43 29

37 30

31

8 26 24 25


Barra de demanda

Circuito aberto

Circuito fechado

Local da falta

Parcela desconexa

140

verdade, diante da possibilidade de restauração completa da parcela restaurável do sistema, o

problema pode ser reotimizado a partir de objetivos secundários à proposta central de

restabelecimento. Ou seja, tendo sido verificado que o sistema pode ser plenamente

restabelecido, isolada a parcela sob falta, então é possível buscar uma solução ótima

alternativa para o problema de acordo com uma proposta de restauração considerada mais

viável em outros aspectos de interesse, como a minimização de perdas, por exemplo, ou a

minimização do desbalanço de carga (conforme abordado no capítulo 3). A proposta de

estabelecer e seguir objetivos alternativos para resolução de problemas de restauração de

sistemas de distribuição foi considerada por vários trabalhos apresentados na literatura

especializada, conforme revisado no capítulo 1 e na seção 2.2.1 deste trabalho.


sistema elétrico opera no estado restaurativo de falta na barra 11 nas seguintes condições: foi

possível restaurar plenamente o sistema passível de restauração, por isso não houve corte de

carga e apenas a barra sob falta ficou isolada; 52 barras permaneceram em operação (3

subestações e 49 barras de demanda), formando um sistema conexo e radial com 49 ramos

fechados (do total de 59 ramos disponíveis); o sistema passou a atender a uma demanda de

potência aparente de 50.511,94 kVA, correspondente a 99,54% da demanda normalmente

atendida (50.742,95 kVA); a barra observada com menor módulo de tensão é a barra 32 com

tensão de 0,9619 p.u.; nenhum ramo conectado viola o respectivo fluxo máximo de corrente

permitido; e as subestações operam dentro da correspondente capacidade de carregamento. As

informações de carregamento das subestações e os fluxos de potência e de corrente nos ramos

para este caso de falta analisado constam, respectivamente, na Tabela 20 e na Tabela 21. As

informações de carregamento das subestações estão considerando apenas as cargas conectadas

a elas, as perdas não estão somadas ao carregamento informado.




(kVA)



101 33.400,00 19.557,97 26.410,96

102 30.000,00 20.096,98 11.626,98

104 22.000,00 11.088,00 12.474,00

TOTAL: 85.400,00 50.742,95 50.511,94



141



Circuitos ativos

(Total = 49)

FLUXOS Corrente

Máxima

(A) Potência Ativa

(kW)

Potência Reativa

(kVAr) Corrente

(A) Barra Barra

101 1 12185,5556 6007,4687 577,6866 600

101 3 11996,1098 5938,0380 564,6176 600

4 3 -11511,0098 -5703,1080 550,2863 600

7 4 -7884,8426 -3889,5750 402,9068 600

5 4 -2809,1080 -1376,2323 181,7294 250

8 7 -7168,3204 -3524,6905 378,4106 600

6 5 -992,7237 -488,7422 169,7687 250

9 1 -8222,2763 -4080,9792 414,4397 600

104 30 7705,0566 3762,0142 396,8990 600

29 30 -978,0566 -475,2669 107,1574 150

43 30 -4925,1999 -2414,1073 234,7003 250

37 43 -1952,1849 -947,9153 113,8751 150

31 37 -489,7754 -238,1535 106,7751 150

43 13 2020,9039 981,0847 243,9953 400

2 1 -1052,6793 -516,8495 172,7541 250

10 9 -4382,3070 -2172,1731 217,3175 250

102 14 10625,3630 5206,5588 512,9644 600

15 14 -4992,3434 -2448,0979 237,7538 250

16 15 -3992,1403 -1947,6980 206,4418 250

20 19 -562,1355 -273,8334 106,3283 150

19 18 -1538,9249 -748,2266 109,6311 150

17 9 -506,4071 -252,9243 237,8348 400

21 18 2370,5249 1151,0166 179,2059 250

104 21 3632,1070 1769,5971 259,2532 400

22 9 -2467,8156 -1210,6384 176,0962 250

23 22 -1684,9745 -820,5028 110,7505 150

24 23 -982,7483 -478,5016 107,3241 150

25 24 -629,1502 -305,8278 106,7727 150

27 8 -1895,3158 -928,0525 171,9031 250

26 27 -840,1310 -408,6619 106,4963 150

28 6 -497,4252 -243,4278 106,0214 150

44 45 554,4000 268,5000 311,6615 600

38 44 1536,8731 753,6088 309,3747 600

32 39 -1188,2906 -577,5961 106,9835 150

33 39 1881,2906 913,2361 172,5154 250

35 34 831,6000 402,7900 106,7423 150

36 35 -213,2717 -104,4236 106,0007 150

16 40 2649,0130 1286,1947 131,4746 150

42 41 623,7000 302,0700 106,8831 150

48 42 -1476,8310 -719,6249 109,6320 150

49 48 -915,8415 -446,5816 107,3472 150

50 49 -559,8649 -272,2679 106,9161 150

47 42 2941,5258 1430,9623 251,0198 400

46 47 3651,7474 1781,1463 198,3243 250

14 46 4916,5169 2402,9724 279,6788 400

13 12 1247,4000 604,1400 108,1246 150

8 33 3902,8276 1898,6488 204,0588 250

35 40 -1678,8130 -816,3447 110,8226 150

10 38 2316,4812 1144,3375 121,7829 150


142



modelo matemático de PCSOIM, de modo a tornar mais evidente o cumprimento e as

condições de cumprimento da restrição de fluxo máximo de corrente permitido para os ramos.

Observa-se que alguns ramos operam próximos da capacidade máxima permitida, sendo que o

fluxo no circuito 101-1 na Tabela 21 (ponto 1 no gráfico da Figura 18) é o mais crítico.





Para uma falta na barra 14, como informa a Tabela 15, devem ser indisponibilizados

os circuitos 102-14, 15-14 e 14-46 para o isolamento da falta, indicando a possibilidade de

manobra de até 3 chaves no plano final de restauração. Os ramos indisponibilizados não

participam do processo de restauração, portanto, o otimizador passa a lidar com 58 ramos. A

barra 14, não restaurável, e outras 10 barras de demanda (barras 15, 16, 40, 41, 42, 46, 47,

48, 49 e 50) ficaram desatendidas, o que equivale a uma carga aparente de 9.778,96 kVA sem

fornecimento, sendo que destes apenas 9.008,96 kVA podem concorrer ao restabelecimento.


0

100

200

300

400

500

600

700

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

Mag

nit

ud

e d

e C

orr

en

te (

A)

Circuitos Ativos (49)



143





para isolar a falta

Chaves apresentadas




Heurístico 102-14, 15-14*,

14-46* 16-40, 42-41,

47-42

35-40, 28-50

15, 16, 41,

46, 47 5.389,98 3.618,97

Exato

(PCSOIM)

102-14, 15-14*,

14-46*

16-15*, 36-35,

16-40, 42-41,

47-42, 46-47*

40-41, 35-40,

28-50

15, 16, 36,

46, 47 4.928,00 4.311,97

* Indica que no plano final de restauração a chave sinalizada não é apresentada efetivamente manobrada por

conectar duas barras desconexas do sistema restaurado (barras ilhadas), portanto o chaveamento não deve ser

contabilizado.


Analisando as Tabelas 15 e 22, observa-se a impossibilidade de restabelecimento

completo de toda a demanda restaurável do sistema elétrico por ambos os métodos de

resolução para o caso de falta na barra 14 e a consequente necessidade de corte de carga. No

entanto, os planos elaborados por cada método apresentam soluções de diferente qualidade em

vários aspectos. De um modo geral, o modelo matemático conseguiu restabelecer maior carga,

porém o algoritmo heurístico indica efetivamente o total de 6 manobras de chaves, enquanto

no plano final elaborado pelo modelo matemático são efetivamente apresentadas 8 manobras.

A solução apresentada pelo modelo matemático priorizou o atendimento à maior demanda de

carga e, de forma secundária, minimizou os chaveamentos necessários para o atendimento a

essas demandas. Esta solução cumpre devidamente com o objetivo de restauração proposto

para o modelo matemático de PCSOIM. Cada método propôs o corte de cinco barras e as

soluções se diferenciam fundamentalmente no corte das barras 36 e 41. A demanda da barra

36 (231,01 kVA), cortada pelo modelo matemático, é menor que a demanda da barra 41

(693,00 kVA), cortada pelo método heurístico. Assim, o modelo matemático restaurou 461,99

kVA a mais que o método heurístico. Observa-se também que a barra 36 havia permanecido

energizada após a ocorrência da falta na barra 14, mas foi desconectada pelo modelo

matemático para priorizar o atendimento a uma demanda maior, no caso, atender à demanda

da barra 41. Este tipo de solução não é previsto pelo método heurístico, pois a metodologia

heurística não considera a desenergização de seções que se mantiveram energizadas após a

interrupção permanente do serviço, por requisito operativo e porque resolve o problema

localmente (a codificação adotada só permite a realização de busca local).

144

O plano de restauração elaborado pelo algoritmo heurístico desliga definitivamente do

sistema as barras 15, 16, 41, 46 e 47, totalizando o corte de 5.389,98 kVA (4.851,00 kW e

2.349,41 kVAr). As barras 40, 42, 48, 49 e 50 foram restauradas, totalizando o

restabelecimento de 3.618,97 kVA (3.257,10 kW e 1.577,42 kVAr). O valor restaurado

representa 40,17% da carga restaurável. A barra 40 continuou sendo atendida pela subestação

102, por um caminho alternativo, e as barras 42, 48, 49 e 50 foram transferidas para a

subestação 101. As 6 manobras finalmente indicadas são: abertura da chave 102-14 à

montante do defeito para o isolamento da falta, abertura das chaves 16-40, 42-41 e 47-42 e

fechamento das chaves 35-40 e 28-50 para restabelecimento e operação radial do sistema. A

configuração final do sistema segundo a proposta do método heurístico para o estado

restaurativo de falta na barra 14 é ilustrada na Figura 19.

O plano de restauração elaborado pelo modelo matemático corta definitivamente as

cargas das barras 15, 16, 36, 46 e 47, totalizando o corte de 4.928,00 kVA (4.435,20 kW e

2.148,06 kVAr). As barras 40, 41, 42, 48, 49 e 50 foram restauradas, totalizando o

restabelecimento de 4.311,97 kVA (3.880,80 kW e 1.879,49 kVAr), o que equivale a 47,86%

das cargas restauráveis. No entanto, o sistema deixou de atender à barra 36, cuja demanda

não está mensurada no valor de cargas desatendidas e deve ser descontada, portanto, a solução

apresentada pelo modelo matemático contribuiu de forma efetiva com o atendimento de

4.080,96 kVA e isso representa 45,30% da carga restaurável. As barras 40 e 41 continuaram

sendo atendidas pela subestação 102, por um caminho alternativo; as barras 42, 48, 49 e 50

foram transferidas para a subestação 101; e a barra 36 inicialmente energizada foi desligada

da subestação 102. Para o restabelecimento apresentado, o otimizador indica 9 operações de

chaveamento, no entanto, apenas 7 chaves são efetivamente apresentadas para manobra no

plano final de restauração. Os 7 chaveamentos propostos são: abertura das chaves 36-35, 16-

40, 42-41 e 47-42 e fechamento das chaves 40-41, 35-40 e 28-50 para restabelecimento e

operação radial do sistema. Adicionalmente, ocorre a abertura da chave 102-14 à montante do

defeito para o isolamento da falta, totalizando as 8 manobras no plano final de restauração.

Como mostra a Tabela 22, as chaves 15-14 e 14-46 também adjacentes à barra em falta e as

chaves 16-15 e 46-47 indicadas para abertura pelo modelo matemático não são efetivamente

apresentadas manobradas no plano final porque estão a conectar barras que permaneceram

ilhadas durante o estado restaurativo analisado. A configuração final do sistema segundo a

proposta do modelo matemático de PCSOIM para o estado restaurativo de falta na barra 14 é

ilustrado na Figura 20.

145

As chaves coincidentemente apresentadas manobradas pelos dois métodos de

resolução foram as seguintes: abertura das chaves 102-14, 16-40 e 47-42 que deixam as

barras 14, 15, 16, 46 e 47 ilhadas (desconexas do restante do sistema); o fechamento da

chave 28-50 (tendo sido já mencionada a abertura da chave 47-42) para transferir as barras

42, 48, 49 e 50 da subestação 102 para a 101, juntamente com a abertura da chave 42-41 para

impedir a transferência da barra 41 para a subestação 101; e o fechamento da chave 35-40

para o restabelecimento da barra 40 pela subestação 101. Portanto, os 6 chaveamentos

realizados pelo método heurístico estão presentes no plano final elaborado pelo modelo

matemático. Os dois chaveamentos extras apresentados pelo modelo são: a abertura da chave

36-35 para cortar a demanda inicialmente atendida da barra 36 e o fechamento da chave 40-

41 para reconectar a barra 41, desatendida pela falta. Novamente, ressalta-se que apenas a

chave 102-14, à montante do defeito, foi usada para o isolamento da falta permanente em

ambos os planos de restauração, uma vez que as demais chaves adjacentes à barra em falta,

inicialmente reservadas para isolar o defeito, estão a conectar barras que permaneceram

ilhadas no sistema durante o estado restaurativo analisado.

Adicionalmente, para o contexto de falta na barra 14, o tempo de resolução

demandado pelo método heurístico de Pereira Junior et al. (2012), segundo os autores, foi de

0,358 segundos e o tempo de resolução do modelo matemático foi de 7.971,82 segundos (em

torno de 2 horas). Porém, o método heurístico faz busca local e o modelo matemático faz

busca global. Quando o modelo matemático é aplicado para resolver o problema localmente

neste caso de falta, o tempo de processamento demandado é de 0,9 segundos.


sistema elétrico opera no estado restaurativo de falta na barra 14 nas seguintes condições:

não foi possível restaurar plenamente o sistema, por isso houve corte de carga; 47 barras

permaneceram em operação (3 subestações e 44 barras de demanda), formando um sistema

conexo e radial com 44 ramos fechados (do total de 58 ramos disponíveis); o sistema passou

a atender a uma demanda de potência aparente de 45.044,95 kVA, correspondente a 88,77%

da demanda normalmente atendida; a barra observada com menor módulo de tensão é a barra

42 com tensão de 0,9587 p.u.; nenhum ramo conectado viola o respectivo fluxo máximo de

corrente permitido; e as subestações operam dentro da correspondente capacidade de

carregamento. As informações de carregamento das subestações e os fluxos de potência e de

corrente nos ramos para este caso de falta analisado constam, respectivamente, na Tabela 23

e na Tabela 24. As informações de carregamento das subestações estão considerando apenas

146

as cargas conectadas a elas, as perdas não estão somadas ao carregamento informado.



5

4

6

50

3 101

104

34

33

35

27

36 10

19

20

21

18

17

9

2

1

7

22

23

32

40 41

39

49

48

42

47

46 14

15

16

28

38

44

45

102 11

12

13

43 29

37 30

31

8 26 24 25


Barra de demanda

Circuito aberto

Circuito fechado

Local da falta

Parcela desconexa

147







(kVA)



101 33.400,00 19.557,97 22.098,96

102 30.000,00 20.096,98 11.857,99

104 22.000,00 11.088,00 11.088,00

TOTAL: 85.400,00 50.742,95 45.044,95



5

4

6

50

3 101

104

34

33

35

27

36 10

19

20

21

18

17

9

2

1

7

22

23

32

40 41

39

49

48

42

47

46 14

15

16

28

38

44

45

102 11

12

13

43 29

37 30

31

8 26 24 25


Barra de demanda

Circuito aberto

Circuito fechado

Local da falta

Parcela desconexa

148



Circuitos ativos

(Total = 44)

FLUXOS Corrente

Máxima

(A) Potência Ativa

(kW)

Potência Reativa

(kVAr) Corrente

(A) Barra Barra

101 1 9833,7037 4827,3491 477,8837 600

101 3 10372,8361 5122,4074 501,4665 600

4 3 -9887,7361 -4887,4774 479,7594 600

7 4 -3938,8031 -1944,2754 330,3347 600

5 4 -5145,0106 -2522,2341 243,1566 250

8 7 -3229,9915 -1588,9772 325,8471 600

6 5 -3317,1006 -1623,0082 190,2303 250

9 1 -5874,1533 -2904,6564 352,6620 600

104 30 6436,2238 3140,1864 364,6408 600

29 30 -976,4028 -474,1266 95,2133 150

43 30 -3658,0210 -1793,4197 198,5514 250

37 43 -1952,2996 -947,9943 114,5018 150

31 37 -489,8116 -238,1785 107,1878 150

43 13 762,3000 369,2200 245,9232 400

45 12 -9394,1660 -4651,6276 462,9553 600

2 1 -1048,9504 -513,0527 146,2876 250

10 9 -2041,1938 -1005,4279 176,0399 250

102 11 10897,6947 5416,4490 523,7120 600

12 11 -10689,7947 -5315,7290 516,4313 600

20 19 -559,7746 -272,2056 88,6290 150

19 18 -1536,0656 -746,2551 105,4032 150

17 9 -507,7165 -254,0301 245,0342 400

21 18 2367,6656 1149,0451 179,8400 250

104 21 3629,3482 1767,7281 260,6925 400

22 9 -2468,9176 -1211,6681 179,5817 250

23 22 -1685,2552 -820,6963 111,5894 150

24 23 -982,8887 -478,5984 107,9793 150

25 24 -629,2037 -305,8646 107,2952 150

27 8 -1894,0912 -927,3960 175,0061 250

26 27 -838,3351 -407,4236 94,6247 150

28 6 -2819,1956 -1375,0398 137,0114 150

44 45 -8808,7099 -4344,5165 440,9525 600

38 44 -7813,9418 -3844,1217 404,1318 600

39 38 -7022,1075 -3438,1925 362,5138 500

32 39 -1186,2479 -576,1877 95,6624 150

33 39 -5110,9459 -2493,8831 245,1639 250

34 33 -3077,3404 -1496,1818 148,3148 150

35 34 -2236,7195 -1087,1722 118,8226 150

48 42 831,6000 402,7900 105,9804 150

49 48 1392,1579 675,5356 107,4279 150

50 49 1748,1487 849,8592 111,4789 150

40 41 623,7000 302,0700 97,6499 150

35 40 1601,7418 777,3266 107,7006 150

28 50 2308,4900 1122,4556 121,9437 150




modelo matemático, de modo a tornar mais evidente o cumprimento e as condições de

cumprimento da restrição de fluxo máximo de corrente permitido para os ramos. Observa-se

que o caso mais crítico de magnitude de corrente está relacionado ao ramo 34-33 (ocupante da

149

trigésima sétima posição na Tabela 24 e posição 37 na Figura 21), seguido pelo ramo 33-39.




Para conferência, a Tabela 25 apresenta a informação dos módulos de tensão nas

barras atendidas durante a operação do sistema em estado restaurativo para todos os casos de

falta analisados neste capítulo. Destaca-se em cada cenário de falta o menor módulo de tensão

observado.

0

100

200

300

400

500

600

700

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43

Mag

nit

ud

e d

e c

orr

en

te (

A)

Circuitos ativos (44)



150

Tabela 25 - Módulos de tensão nas barras atendidas do sistema após restauração em todos os

casos de falta analisados, conforme a resolução do modelo matemático de PCSOIM

Barra Estado Normal

(p.u.)

Estado Restaurativo (após restauração)

Falta na Barra 3

(p.u.)

Falta na Barra 11

(p.u.)

Falta na Barra 14

(p.u.)

101 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

102 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

104 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1 0.9955 0.9919 0.9899 0.9919

2 0.9943 0.9907 0.9887 0.9907

3 0.9972 - 0.9900 0.9914

4 0.9934 0.9631 0.9805 0.9832

5 0.9901 - 0.9772 0.9771

6 0.9892 - 0.9762 0.9740

7 0.9918 0.9634 0.9772 0.9816

8 0.9901 0.9642 0.9735 0.9799

9 0.9923 0.9886 0.9853 0.9886

10 0.9868 0.9831 0.9734 0.9831

11 0.9956 0.9951 - 0.9949

12 0.9909 0.9897 0.9845 0.9894

13 0.9910 0.9909 0.9873 0.9909

14 0.9945 0.9925 0.9934 -

15 0.9900 0.9855 0.9865 -

16 0.9876 0.9813 0.9822 -

17 0.9918 0.9881 0.9848 0.9881

18 0.9953 0.9953 0.9953 0.9953

19 0.9933 0.9933 0.9933 0.9933

20 0.9924 0.9924 0.9924 0.9924

21 0.9980 0.9980 0.9980 0.9980

22 0.9880 0.9842 0.9809 0.9842

23 0.9850 0.9812 0.9779 0.9812

24 0.9836 0.9798 0.9765 0.9798

25 0.9829 0.9791 0.9757 0.9791

26 0.9860 - 0.9693 0.9757

27 0.9875 0.9642 0.9708 0.9772

28 0.9879 0.9659 0.9749 0.9666

29 0.9955 0.9955 0.9949 0.9955

30 0.9971 0.9970 0.9964 0.9970

31 0.9886 0.9885 0.9860 0.9885

32 0.9756 0.9719 0.9619 0.9712

33 0.9742 0.9693 0.9665 0.9683

34 0.9725 0.9753 0.9763 0.9652

35 0.9716 0.9762 0.9772 0.9626

36 0.9713 0.9760 0.9770 -

37 0.9891 0.9890 0.9865 0.9890

38 0.9817 0.9789 0.9704 0.9783

39 0.9781 0.9745 0.9644 0.9737

40 0.9863 0.9778 0.9788 0.9611

41 0.9834 0.9771 0.9822 0.9599

42 0.9846 0.9784 0.9834 0.9587

43 0.9916 0.9915 0.9890 0.9915

44 0.9850 0.9828 0.9695 0.9824

45 0.9877 0.9859 0.9693 0.9856

46 0.9909 0.9876 0.9897 -

47 0.9866 0.9815 0.9854 -

48 0.9827 0.9744 0.9815 0.9599

49 0.9810 0.9696 0.9797 0.9626

50 0.9803 0.9672 0.9791 0.9647


151

4.3.4 Observações Finais e Testes Adicionais

De acordo com os resultados obtidos com a resolução do modelo matemático de

PCSOIM (através do solver CPLEX) para os testes realizados, apresentados e discutidos nas

seções anteriores deste capítulo, podem-se realizar as seguintes observações:

(1) Em termos de restabelecimento de cargas, o modelo matemático proposto

encontrou solução de melhor qualidade que o método heurístico proposto em

Pereira Junior et al. (2012) para os casos de falta na barra 3 e na barra 14 e

encontrou uma solução de mesma qualidade para o caso de falta na barra 11.

(2) Em termos de número de chaveamentos necessários para o restabelecimento do

sistema (objetivo secundário), o modelo matemático proposto indicou a realização

de mais manobras que o método heurístico proposto em Pereira Junior et al.

(2012) para os casos de falta nas barras 3 e 14 e indicou o mesmo número de

manobras para o caso de falta na barra 11. No caso de falta na barra 11, houve o

mesmo restabelecimento de cargas pelos dois métodos. Nos casos em que houve

maior número de chaveamentos indicados pelo modelo matemático, houve

também maior restabelecimento de cargas, o que justifica as operações de

chaveamento adicionais.

(3) Não houve violação de restrições operacionais de limites de tensão: para todos os

casos de falta testados, os módulos de tensão nas barras atendidas foram

superiores a 0,95 p.u. (o limite inferior permitido).

(4) Para todos os casos de falta testados, observa-se que nenhuma subestação opera

acima, ou mesmo próxima, de seu limite de carregamento.

(5) Das observações (3) e (4), é possível considerar que as causas de corte de carga

estejam relacionadas à violação dos limites de capacidade de corrente em alguns

ramos. Observando as Tabelas 18, 21 e 24 e os correspondentes gráficos

apresentados, observa-se que nenhum ramo ativo opera violando o respectivo

fluxo máximo de corrente permitido para o ramo. No entanto, em alguns ramos

ativos o carregamento é superior a 90% e o limite de capacidade está perto de ser

atingido, conforme discutido em cada caso de falta analisado. Com isso, a

tentativa de incremento de carga no sistema pode, finalmente, levar à violação dos

152

limites de corrente e, por consequência do desatendimento a esta restrição, resultar

no desligamento de cargas pelo otimizador.

(6) O modelo matemático para o caso de falta na barra 14 propôs uma solução que

desliga do sistema uma barra que havia permanecido energizada após a ocorrência

da falta permanente para priorizar o atendimento a uma demanda de carga maior,

cumprindo com o objetivo prioritário de restabelecimento: a minimização do corte

de carga, ou seja, a maior restauração possível de cargas.

(7) Em termos de tempo de processamento computacional, o método heurístico se

mostrou vantajoso. De um modo geral, o modelo matemático demandou tempo

elevado para a resolução exata de todos os casos de falta testados, fazendo análise

global do problema. No entanto, quando o modelo matemático é empregado para

resolver o problema fazendo busca local, assim como faz o método heurístico,

então a resolução do problema se torna extremamente menos onerosa e o modelo

matemático se torna igualmente vantajoso nesse aspecto. No entanto, o objetivo

deste trabalho não era apresentar resultados obtidos com a resolução do modelo

matemático fazendo busca local, por isso não foi apresentado um resumo

completo desses resultados: apenas foi informado o tempo de resolução

demandado nesse contexto para a diferenciação entre as duas abordagens pelo

modelo matemático: a local e a global.

(8) O tempo de processamento demandado pelo modelo matemático para resolução

global do problema de restauração pode ser melhorado através de adequadas

estratégias relacionadas à modelagem matemática, de modo que a resolução se

torne ainda menos complexa do que a resolução alcançada pela formulação cônica

de segunda ordem apresentada. Melhorar o tempo de processamento

computacional para a modelagem apresentada neste capítulo também não era

objetivo deste trabalho.

(9) Embora o tempo demandado para a resolução do modelo matemático de PCSOIM

nas condições apresentadas neste capítulo não esteja adequado para operações em

tempo real, vale ressaltar que estratégias de restauração são utilizadas também em

outros contextos: quando o sistema não passou por contingência e não está em

estado de falta permanente, mas precisa ser colocado em estado restaurativo para a

realização de manutenções preventivas na rede, para a execução de projetos de

expansão do sistema elétrico, ou ainda em casos onde se verifica que o sistema

153

não poderá atender devidamente toda a demanda de carga em um dado intervalo

futuro de tempo, e então se pode previamente avaliar a melhor solução em termos

de corte de carga, realizando o planejamento da reconfiguração nesse contexto

específico. Assim, a modelagem matemática tal como proposta neste capítulo não

é imediatamente aplicável para resolução do problema de restauração em casos de

operação em tempo real, mas é imediatamente aplicável em casos de

planejamento de corte de carga em diferentes contextos e isso também

corresponde ao problema de restauração de sistemas de energia elétrica.

Na sequência, são apresentados resultados para testes adicionais realizados com o

objetivo de verificar quais seriam as propostas de solução formuladas pelo modelo

matemático de PCSOIM, quando a tensão na barra da subestação é elevada para o limite

máximo permitido, isto é, fixada em 1,05 p.u. Geralmente existe regulação de tensão na

subestação e pode ser oportuno utilizar esta estratégia no contexto restaurativo. Elevando a

tensão na saída da subestação, espera-se uma pequena redução da magnitude de corrente nos

ramos em operação e, consequentemente, a possibilidade de que alguma carga adicional seja

reconectada. No entanto, de acordo com os resultados observados e analisados quanto à

magnitude de corrente, não se espera tão positivamente que seja possível reconectar cargas

extras, mas é possível esperar que o perfil de corrente que se apresenta crítico em alguns

ramos seja melhorado. Os novos resultados obtidos pelo modelo matemático de PCSOIM

podem ser conferidos a seguir.

Cenário 1 (falta na barra 3): fixando a tensão na barra da subestação em 1,05 p.u.,

não houve restauração de cargas adicionais e não houve alteração na configuração

topológica anteriormente proposta pelo modelo matemático, assim, as chaves

indicadas para manobras continuam as mesmas;


obviamente as cargas restauráveis foram também plenamente restabelecidas, mas o

modelo matemático apresentou uma nova topologia, indicando o mesmo número de

manobras. Esta nova proposta formulada é a seguinte: a barra 12 foi também

transferida para a subestação 104, a qual passou a atender as barras 44 e 45

(anteriormente transferidas para a subestação 101); as barras 31 e 37 normalmente

atendidas pela subestação 104 se mantiveram energizadas, mas foram transferidas para

154

a subestação 101; a barra 38 foi também reconectada pela subestação 101, no entanto,

por um circuito alternativo; e, finalmente, as barras 34, 35 e 36 continuaram sendo

normalmente atendidas pela subestação 102 pelo mesmo circuito alternativo

anteriormente proposto, como também as barras 32, 33 e 39 foram igualmente

reconectadas pela subestação 101. Assim, as operações de chaveamento propostas

consistem em: fechar as chaves normalmente abertas 10-31, 13-12, 8-33 e 35-40 e

abrir as chaves normalmente fechadas 37-43, 38-44 e 34-33, totalizando 7 manobras

para restabelecimento do sistema, além das 2 outras manobras para isolamento da falta

na barra 11: abertura das chaves normalmente fechadas 102-11 e 12-11. Uma vez que

a solução possui a mesma qualidade, o plano de restauração pode ser escolhido a partir

de outros critérios, tais como o valor das perdas de energia ou a menor modificação na

configuração básica. Deve-se observar que, mesmo havendo a indicação do mesmo

número de chaveamentos, a nova proposta alterou de forma mais significativa a

topologia base do sistema ao transferir as barras energizadas 31 e 37 para a subestação

101.


foi possível restaurar cargas adicionais, portanto, esta nova solução apresentada é de

melhor qualidade. A barra 14 (sob falta) e as barras 15, 16, 46 e 47 permaneceram

desatendidas e ilhadas (desconexas do restante do sistema), como na solução anterior,

portanto, igualmente, as chaves 16-15 e 46-47 não são definitivamente apresentadas

para manobra no plano final elaborado e, pela mesma razão, as chaves 15-14 e 14-46

inicialmente reservadas para isolar o defeito também não são apresentadas. Assim,

apenas a chave 102-14, à montante do defeito, foi usada para o isolamento da falta.

Adicionalmente, a nova proposta de solução igualmente indica o fechamento das

chaves normalmente abertas 40-41, 35-40 e 28-50 e indica efetivamente a abertura das

chaves normalmente fechadas 16-40, 42-41 e 47-42. A chave 36-35 não mais é

indicada para abertura, dessa forma, a barra 36, que se manteve energizada após a

ocorrência da falta permanente no sistema, não teve sua demanda cortada em prol do

atendimento da barra 41, pois o sistema foi capaz de reconectar a barra 41 sem

desligar a barra 36. Portanto, a carga adicionalmente atendida corresponde à demanda

da barra 36 e houve a indicação de uma manobra a menos. No total, devem ser

realizados 7 chaveamentos: 1 chaveamento para isolamento da falta e 6 chaveamentos

para restabelecimento do sistema.

155

4.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO

O capítulo 4 apresentou um modelo matemático de programação cônica de segunda

ordem inteira mista (PCSOIM) para a resolução ótima do problema de restauração de sistemas

de distribuição de energia elétrica radiais com abordagem completa. Para testar a eficiência do

modelo proposto, foram realizados testes no sistema elétrico apresentado em Pereira Junior et

al. (2012) para três casos de falta, a partir de dois contextos diferentes. Os cenários de falta

analisados e a proposta de restauração formulada estão de acordo com o trabalho mencionado.

Dessa forma, os resultados obtidos com o modelo matemático de PCSOIM foram

avaliados e comparados com os resultados obtidos pela metodologia heurística desenvolvida

em Pereira Junior et al. (2012). Os resultados obtidos comprovaram a eficiência da

modelagem matemática proposta. Os resultados mostraram que a meta-heurística foi menos

eficiente em termos de restabelecimento de cargas e que foi possível obter soluções de melhor

qualidade através do modelo matemático. A razão principal é que o modelo matemático

resolve o problema de forma exata e o método heurístico dos autores resolve de forma

aproximada. Além disso, o modelo matemático resolve o problema fazendo busca global pelo

espaço de solução e o método heurístico faz busca local em torno da área desatendida. A

codificação adotada pelos autores para a meta-heurística de Busca Tabu limitou o espaço de

busca do problema, não representando todo o sistema elétrico de distribuição. No entanto, a

meta-heurística se mostrou muito eficiente e confiável, assim, pode-se supor que os

parâmetros adotados no algoritmo foram adequadamente calibrados.

Como o método heurístico faz busca local em torno da área desatendida e a

codificação adotada não representa todo o sistema elétrico de distribuição, as soluções

apresentadas podem ser soluções ótimas locais. Através do modelo matemático, é possível

avaliar se a meta-heurística foi capaz de encontrar soluções ótimas locais para os casos de

falta testados. Essa avaliação é possível se o modelo matemático de PCSOIM for utilizado

para resolver localmente os casos de falta, disponibilizando para o processo de resolução

apenas os circuitos utilizados para resolução pelo método heurístico, ou seja, não permitindo

que os circuitos que conectam barras que se mantiveram energizadas após interrupção do

serviço sofram alteração. Para a resolução pelo modelo matemático, isso se dá fixando os

valores das variáveis 𝑥𝑖,𝑗 ∈ Ω𝑙′ correspondentes aos circuitos fechados que devem

156

permanecer no seu estado inicial. Além disso, o modelo matemático de PCSOIM para os

casos de falta permanente analisados neste sistema teste é capaz de apresentar soluções ótimas

locais em tempo real, conforme informado nos cenários de falta na barra 3 e na barra 14.

Pode-se concluir que os resultados apresentados pelos modelos matemáticos são muito

interessantes no seguinte aspecto: uma vez conhecendo a solução ótima do problema, é

possível avaliar e mensurar a qualidade das soluções apresentadas pelos métodos heurísticos

especializados.

Os métodos de resolução aproximada aplicados ao problema de restauração

geralmente buscam atender à exigência de elaboração de planos de restauração em tempo não

proibitivo para a operação em tempo real. Essa possibilidade existe principalmente em razão

do desenvolvimento de estratégias de resolução baseadas no conhecimento específico e

aprofundado do problema. Além disso, é possível controlar o processo de convergência do

algoritmo heurístico adotando parâmetros de interesse, como por exemplo: interrompendo o

processo de solução a partir de um determinado tempo decorrido ou estabelecendo um

determinado número de iterações, bem como a partir da verificação e constatação de uma

variação mínima ou não variação na qualidade da função objetivo do problema. Na meta-

heurística analisada, dois destes critérios foram utilizados: foi especificado um número

máximo de iterações para o algoritmo de solução e, além disso, a convergência poderia

ocorrer caso o valor da solução incumbente não sofresse variação durante um determinado

número de iterações.

É necessário também investir em estratégias que possam contornar o elevado tempo de

processamento requerido pelos métodos de otimização clássica para resolução global do

problema. Neste capítulo, a única estratégia utilizada foi formular o modelo matemático como

um problema de programação cônica de segunda ordem inteira mista, pois a formulação não

linear inteira mista é mais complexa e não se apresenta adequada para o problema de

restauração, especialmente quando o problema é abordado de forma completa, sem relaxar

algumas de suas restrições fundamentais.

Finalmente, este capítulo apresentou a proposta de restauração adotada, a modelagem

matemática desenvolvida, o sistema elétrico analisado, os testes realizados e as condições em

que foram realizados e apresentou também os resultados obtidos com a resolução do modelo

matemático proposto e a análise destes resultados. Outras considerações importantes foram

apresentadas na seção 4.3.4 e também constam nas considerações finais do trabalho no

capítulo 5.

157

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO TRABALHO

Este capítulo é destinado às considerações finais do trabalho e aborda perspectivas de

trabalhos futuros. A seção 1.4 apresentou como o trabalho está estruturado e também resumiu

os principais assuntos tratados em cada capítulo. Adicionalmente, para cada novo assunto

abordado foram apresentadas considerações iniciais e considerações finais que pautam a

importância de cada tema. Assim, este capítulo faz apenas uma abordagem geral desses

assuntos, com o objetivo de destacar as principais contribuições do trabalho.

O objetivo central desta pesquisa foi contribuir com o desenvolvimento de modelagem

matemática para resolução do problema de restauração de sistemas elétricos de distribuição

por meio de técnicas de otimização clássica. Esta proposta de resolução não está presente na

literatura especializada. Foram apresentadas essencialmente duas propostas de modelagem:

uma modelagem aborda o problema de forma simplificada e está apresentada no capítulo 3; e

outra modelagem aborda o problema de forma completa e está apresentada no capítulo 4. O

trabalho formulou diferentes funções objetivo como propostas de otimização, portanto, o

problema de restauração foi discutido sob diversos aspectos.

A revisão bibliográfica do capítulo 1 permitiu explorar diferentes técnicas e

metodologias de resolução do problema de restauração. A partir desta revisão, diferentes

técnicas de otimização normalmente utilizadas foram discutidas, avaliadas e relacionadas

entre si. Elas não só permitem o conhecimento de diversas estratégias de resolução, como

também são úteis para o desenvolvimento de novas metodologias. Estas técnicas foram

também discutidas na seção 2.2, que destacou especialmente o desenvolvimento de

formulações matemáticas a partir das próprias metodologias heurísticas revisadas.

As formulações matemáticas propostas neste trabalho de pesquisa como metodologias

de resolução do problema de restauração foram baseadas em propostas apresentadas na

literatura, em trabalhos que desenvolveram estratégias heurísticas de resolução. Desse modo,

foi possível comparar resultados e avaliar a qualidade das metodologias empregadas. Os

resultados dos testes realizados evidenciaram a eficiência e a consistência dos modelos

matemáticos propostos na elaboração de planos de restauração de qualidade em termos de

função objetivo e de cumprimento das restrições do problema.

Outro critério de avaliação foi o desempenho computacional. Os modelos matemáticos

formulados de forma simplificada e apresentados no capítulo 3 tiveram excelente desempenho

158

em termos de tempo de processamento para obtenção de soluções ótimas. No entanto, o

modelo matemático com abordagem completa apresentado no capítulo 4, em geral, demandou

elevado tempo de processamento. Este modelo matemático é de difícil resolução, pois

considera todas as restrições fundamentais relacionadas aos requisitos físicos e operacionais

do sistema elétrico de distribuição radial, por isso manipula uma quantidade muito grande de

variáveis, contínuas e binárias. Além disso, as variáveis binárias de decisão contribuem para

onerar a resolução do problema e, consequentemente, ampliar o tempo necessário de

resolução. Dentre os casos de falta resolvidos pelo modelo matemático de PCSOIM, apenas

os resultados obtidos para o caso de falta permanente na barra 11 foram diferenciados quanto

ao tempo de restabelecimento. Neste cenário de falta foi possível restabelecer plenamente o

fornecimento de energia elétrica a todas as barras passíveis de restauração, sendo assim, o

modelo matemático pôde reduzir o número de análises necessárias ao restabelecimento e o

tempo demandado para a resolução foi expressivamente menor do que o tempo necessário nos

outros casos de falta testados.

Devem ser desenvolvidas estratégias eficientes que contornem o não atendimento à

condição de elaboração imediata dos planos de restauração pelos métodos de otimização, uma

vez que a restauração do serviço de fornecimento de energia elétrica é um problema

operacional que demanda propostas de solução em tempo real. Algumas estratégias simples

foram adotadas no capítulo 3. No entanto, apresentar estratégias que contornem o tempo de

resolução do problema pelo modelo matemático do capítulo 4 não era objetivo deste trabalho.

O objetivo do capítulo 4 foi apresentar uma modelagem matemática que permitisse a

resolução adequada do problema de restauração com abordagem completa e global. Assim,

constatou-se que a formulação originalmente não linear inteira mista é inadequada para o

problema, portanto o modelo matemático assumiu uma formulação cônica de segunda ordem

inteira mista (PCSOIM). Esta formulação alternativa permitiu que o problema fosse resolvido

de forma mais eficaz pelas correspondentes técnicas de otimização clássica. Este modelo foi

resolvido utilizando o solver comercial CPLEX, dentro do ambiente de programação

matemática AMPL.

Finalmente, para o uso e desenvolvimento de modelos matemáticos, apresentam-se as

seguintes considerações:

159

(1) O tempo de processamento para resolução de modelos matemáticos completos,

como aquele apresentado no capítulo 4, pode ser elevado. Para diminuir esse

tempo de processamento, podem ser desenvolvidas técnicas eficientes de geração

de restrições válidas. Uma restrição válida é aquela que é redundante para o

problema original, mas não é redundante para o problema relaxado que o solver

(como o CPLEX) resolve em cada nó da árvore de branch and bound. Essas

restrições válidas não deixam que a limitante inferior dos subproblemas

representados por nós da árvore de branch and bound diminuam muito e,

portanto, os testes de sondagem se tornam mais eficientes. Assim, gerar restrições

válidas é um tópico muito importante que pode ser desenvolvido em trabalhos

futuros.

(2) Novas formulações podem ser propostas, inclusive considerando outros aspectos

ou outras características operacionais dos sistemas de distribuição, como a

existência de geração distribuída e a existência de chaves controladas

remotamente ao longo dos alimentadores de distribuição.

(3) Modelos matemáticos exatos podem ser utilizados para gerar padrões de

qualidade para treinamento de redes neurais artificiais empregadas para resolução

do problema de restauração.

(4) Os resultados obtidos através da resolução exata de modelos matemáticos podem

ser utilizados como parâmetros de qualidade para implementação de algoritmos

heurísticos mais robustos e eficientes.

(5) Algoritmos heurísticos eficientes também podem ser utilizados para fornecer

soluções factíveis iniciais para o modelo matemático e possivelmente culminar em

melhoria de desempenho computacional.

160

REFERÊNCIAS

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“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Ilha Solteira · 2015. 4. 6. · Tabela 14 – Dados de demanda das...

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