“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Ilha Solteira · Bem-aventurados os que têm fome e sede de...

Ilha SolteiraIlha Solteira

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

Campus de Ilha Solteira - SP

LUIZ FRANCISCO SANCHES BUZACHERO

CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO DE SISTEMAS

LINEARES VARIANTES NO TEMPO COM APLICAÇÃO

EM FALHAS ESTRUTURAIS

Ilha Solteira - SP

2014

LUIZ FRANCISCO SANCHES BUZACHERO

CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO DE SISTEMAS

LINEARES VARIANTES NO TEMPO COM APLICAÇÃO

EM FALHAS ESTRUTURAIS

Tese apresentada à Faculdade de Engenharia doCampus de Ilha Solteira - UNESP como partedos requisitos para obtenção do título de Doutorem Engenharia Elétrica.Especialidade: Automação.

Prof. Dr. Edvaldo Assunção

Orientador

Ilha Solteira - SP

2014

FICHA CATALOGRÁFICA

Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação.

Buzachero, Luiz Francisco Sanches.B991c Controle robusto chaveado de sistemas lineares variantes no tempo com

aplicação em falhas estruturais / Luiz Francisco Sanches Buzachero.- IlhaSolteira : [s.n.], 2014

120 f.:il.

Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenhariade Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2014

Orientador: Edvaldo Assunção

Inclui bibliografia

1. Controle robusto. 2. Desigualdades matriciais lineares e bilineares. 3.Incertezas variantes no tempo.

À minha esposa Elisabete

À minha mãe Rosa Maria

À minha avó Remedios

AGRADECIMENTOS

Dedico meus sinceros agradecimentos:

– A Deus, pela misericórdia e amor incondicional;

– Ao meu orientador, professor Dr. Edvaldo Assunção, pelos ensinamentos, pelo incentivo,

pela confiança, paciência e amizade, pelos agradáveis momentos de convivência, exemplo de

homem de bem, em cuja atuação pretendo me espelhar na vida pessoal e profissional;

– Aos professores Doutores Marcelo C. M. Teixeira e Rodrigo Cardim, pelos diálogos cons-

trutivos e descontraídos durante estes anos, pelo acompanhamento e pelas sugestões, extrema-

mente valiosas para este trabalho;

– À minha esposa Elisabete, à minha mãe Rosa Maria e à minha avó Remedios, por terem

me ensinado o verdadeiro significado da palavra "amor" e pelo apoio moral, imprescindível

para o desenvolvimento deste trabalho;

– Aos meus amigos e companheiros dos laboratórios LPC e LCPC: Emerson, Wallysonn,

Manoel, Victor, Herbert, Luiz Antônio, Edson, Gisele, Fernando, André e Jefferson pelos mo-

mentos felizes de convivência que lembrarei para sempre e aos demais amigos e colegas que de

forma direta ou indireta me ajudaram;

– À UNESP, que me possibilitou realizar o sonho de cursar a graduação, o mestrado e o

doutorado em engenharia elétrica;

– Ao IFSP, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, Campus de

Birigui, por ter-me concedido o afastamento integral para finalizar este doutorado;

– À FAPESP (Processo no. 2011/17610-0), CAPES e CNPq por darem suporte financeiro

para o desenvolvimento deste trabalho;

– Aos desenvolvedores doABNTEX, um pacote de classes LATEX para a criação e formatação

de documentos conforme as normas da ABNT.

“Bem-aventurados os humildes de espírito, porque deles

é o Reino dos Céus! Bem-aventurados os que choram,

porque serão consolados! Bem-aventurados os mansos,

porque possuirão a terra! Bem-aventurados os que têm

fome e sede de justiça, porque serão saciados!

Bem-aventurados os misericordiosos, porque

alcançarão misericórdia! Bem-aventurados os puros de

coração, porque verão Deus! Bem-aventurados os

Defensores da Paz, porque serão chamados filhos de

Deus!”

(Mateus, 5:3-9)

“Se toda a literatura espiritual da Humanidade

perecesse, e só se salvasse o Sermão da Montanha, nada

estaria perdido.”

Mahatma Gandhi (1869-1948)

RESUMO

Nesta tese apresentam-se resultados para a estabilidade robusta de sistemas lineares sujeitos a

incertezas paramétricas do tipo politópicas, variantes notempo (do inglêsLinear Parameter

Varying- LPV). De início, expõe-se um método aprimorado para o projeto com otimização da

norma de controladores robustos via desigualdades matriciais lineares (do inglêsLinear Matrix

Inequalitites- LMIs), com base na teoria de estabilidade segundo Lyapunov. Esta nova formu-

lação foi manipulada utilizando o lema de Finsler, e permitiu encontrar melhores resultados de

factibilidade com o acréscimo de matrizes extras e redução do número de LMIs. Neste novo

equacionamento houve a inclusão do índice de desempenho da taxa de decaimento, responsável

por diminuir o tempo de duração do período transitório, e também da otimização da norma

dos controladores, responsável por menores ganhos mantendo a mesma eficiência dos requisi-

tos de projeto. Devido a importantes resultados da literatura para o projeto de controladores

robustos com incertezas variantes no tempo, optou-se por explorar o projeto de controladores

dinâmicos chaveados, inovando-se no tocante ao acréscimo da taxa de decaimento e à otimiza-

ção da norma dos controladores chaveados, o que possibilitou encontrar melhores resultados

de implementação. Por fim, foram propostos critérios menos conservadores para a análise de

estabilidade e projeto de controladores chaveados, utilizando funções de Lyapunov quadráticas

por partes do tipo mínimo. A vantagem desse procedimento está no aumento dos parâmetros

de relaxação porém, concebido através de formulações baseadas em desigualdades matriciais

bilineares (do inglêsBilinear Matrix Inequalitites- BMIs), nos quais os termos e se encontram

no produto entre variáveis escalares de otimização e matrizes, que também são variáveis do

procedimento de otimização. Apresentam-se, no corpo do texto, exemplos numéricos e simu-

lados a fim de ilustrar a eficiência das metodologias propostas em relação às demais existentes.

Ainda, implementaram-se os controladores projetados usando-se essas novas propostas em um

helicóptero de bancadaThree Degrees Of Freedom(3-DOF) ou no sistemaShake Table II(STII)

+ Active Mass Dumper - One Floor(AMD-1), com o objetivo de validar na prática as teorias

propostas.

Palavras-chave: Desigualdades matriciais lineares (LMIs). Desigualdadesmatriciais bili-

neares (BMIs). Controle robusto. Incertezas politópicas. Controle chaveado. Falhas estruturais.

Incertezas variantes no tempo (LPV).

ABSTRACT

This thesis presents results for robust stability of linearsystems subject to polytopic time-

varying parametric uncertainties (LPV). To start with, an improved method for the optimal gain

design of robust controllers via Linear Matrix Inequalities (LMI), based on Lyapunov stability

theory is presented. This new formulation was manipulated using the Finsler lemma, which en-

abled finding better feasibility results with the addition of extra matrices and reducing the num-

ber of LMIs. In this new equation it was included the decay rate performance index, responsible

for reducing the transitional period time, as well as the controllers norm optimization, respon-

sible for lower gains while maintaining the same project requirements efficiency. Then, due to

important results in literature regarding the design of robust controllers with time-varying un-

certainties, the design of switched dynamic controllers was explored by including the decay rate

index and the optimization of the switched controllers normin the equation, which allowed find-

ing better implementation results. Finally, less conservative criteria were proposed for stability

analysis and design of switched controllers using minimum-type piecewise quadratic Lyapunov

functions. The advantage of this procedure lies in the increase of relaxation parameters, how-

ever, designed through formulations based on Bilinear Matrix Inequalities (BMIs), where the

bilinear terms are in the product between optimization scalar variables and matrices, which are

also variables on the optimization procedure. Numerical examples are presented and simulated

to illustrate the efficiency of the proposed methodologies in relation to other existing through-

out the text. The designed controllers were implemented using these new proposals in a Three

Degrees Of Freedom (3-DOF) helicopter or in the Shake Table II (STII) + Active Mass Dumper

- One Floor (AMD-1) system, in order to validate in practice the proposed theories.

Keywords: Linear matrix inequalities (LMI). Bilinear matrix inequalities (BMIs). Robust

control. Polytopic uncertanties. Switched control. Structural failures. Linear parameter varying

(LPV).

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Esquemático do controle chaveado para uma planta incerta. . . . . . . 29

Figura 2 Helicóptero 3-DOF da Quanser pertencente ao LPC da FEIS - UNESP. 47

Figura 3 Modelo esquemático do Helicóptero 3-DOF. . . . . . . . .. . . . . . 48

Figura 4 Implementação prática do controlador projetado por estabilidade pro-

jetiva com o método de otimização apresentado em (BUZACHERO et

al., 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 5 Implementação prática do controlador projetado por estabilidade es-

tendida com o método de otimização apresentado em (BUZACHERO

et al., 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 6 Implementação prática do controlador projetado pela nova formulação

de estabilidade estendida com o método de otimização. . . . . .. . . 53

Figura 7 Quantidade de controladores com menor norma para 1000 politopos

gerados aleatoriamente considerando o incremento deα - Comparação

entre as técnicas Quadrática e Proposta. . . . . . . . . . . . . . . . .53

Figura 8 Quantidade de controladores com menor norma para 1000 politopos

gerados aleatoriamente considerando o incremento deα - Comparação

entre as técnicas Estendida, Projetiva e Proposta. . . . . . . .. . . . 54

Figura 9 Sistema massa-mola-massa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 64Figura 10 Nuvem de autovalores paraα = 0,4 do sistema massa-mola-massa var-

rendoλ (t) para 63 partições det entre(0, 2π10) realimentado tanto com

K1 como comK2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 11 Simulação do sistema realimentado projetado comα = 0,4. . . . . . 66

Figura 12 Sinal de controle e controlador ativo paraα = 0,4. . . . . . . . . . . 66

Figura 13 Nuvem de autovalores paraα = 1 do sistema massa-mola-massa var-

rendoλ (t) para 63 partições det entre(0, 2π10) realimentado tanto com

K1 como comK2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Figura 14 Simulação do sistema realimentado projetado comα = 1. . . . . . . . 67

Figura 15 Sinal de controle e controlador ativo paraα = 1. . . . . . . . . . . . 68

Figura 16 Esquemático do controle chaveado para a planta do helicóptero 3-DOF. 69

Figura 17 Implementação prática dos controladores projetados para falha de 30%

e α = 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Figura 18 Sinais de controle e controlador ativo para falha de 30% eα = 0,5. . 70

Figura 19 Zoomno chatteringpara o controlador ativo (0< t < 9s) - falha de

30% eα = 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Figura 20 Implementação prática dos controladores projetados para falha de 90%

e α = 0,4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 21 Sinais de controle e controlador ativo projetado para falha de 90% e

α = 0,4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 22 Implementação prática dos controladores ótimos para falha de 30% e

α = 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Figura 23 Sinais de controle e controlador ótimo ativo para falha de 30% eα =

0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Figura 24 Implementação prática dos controladores ótimos para falha de 90% e

α = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Figura 25 Sinais de controle e controlador ótimo ativo para falha de 90% eα = 1. 76

Figura 26 Busca pelos melhores valores deγ do Exemplo 1 para LMIs do Teo-

rema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Figura 27 Resultados de factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática

(♦) e critério de estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o). . . 86

Figura 28 Resultados de Factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática

(♦), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e

critério de estabilidade menos conservador utilizando função de Lya-

punov quadrática por partes - Teorema 13 (x). . . . . . . . . . . . . .86

Figura 29 Resultados de Factibilidade para Exemplo 1: Estabilidade Quadrática


critério de estabilidade generalizado comM = 4 conforme Teorema

14 (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


(♦), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e for-

mulação utilizando o Lema de Finsler - Teorema 15 (x). . . . . . .. . 87

Figura 31 Busca pelos melhores valores deγ do Exemplo 2 para LMIs do Teo-

rema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Figura 32 Análise de factibilidade para o Exemplo 2 utilizando Estabilidade Quadrática

(♦) e Estabilidade Metzler adequada a sistemas lineares - Teorema 12

(o). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89



critério de estabilidade menos conservador utilizando função de Lya-

punov quadrática por partes - Teorema 13 (x). . . . . . . . . . . . . .90

Figura 34 Resultados de Factibilidade para o Exemplo 2: Estabilidade Quadrática

(♦), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) critério

menos conservador generalizado comM = 4 conforme Teorema 14 (x). 90


(♦), critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) for-

mulação utilizando o Lema de Finsler - Teorema 15 (x). . . . . . .. . 91

Figura 36 Protótipo AMD-1 da Quanser pertencente ao LPC da FEIS - UNESP. . 99

Figura 37 Modelo esquemático do AMD-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 100

Figura 38 Dados obtidos durante o terremoto de Northridge em1994 e reproduzi-

dos com o STII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Figura 39 Oscilações no piso superior do AMD-1 para os controladores chavea-

dos com formulação via BMIs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Figura 40 Diferença entre as oscilações no piso superior (xf (t) [m]) e o deslo-

camento do piso inferior (xs(t) [m]) do AMD-1 para os controladores

chaveados - formulação via BMIs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Figura 41 Sinal de controle e controlador ativo para uma falha de 40% - formu-

lação via BMIs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Figura 42 Oscilações no piso superior do AMD-1 para os controladores chavea-

dos com formulação via BMIs com generalização das funções. . .. . 107

Figura 43 Diferença entre as oscilações no piso superior (xf (t) [m]) e o deslo-

camento do piso inferior (xs(t) [m]) do AMD-1 para os controladores

chaveados - formulação via BMIs com generalização das funções. . . 107

Figura 44 Sinal de controle e controlador ativo para uma falha de 40% - formu-

lação via BMIs com generalização das funções. . . . . . . . . . . . . 108

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Parâmetros do helicóptero 3-DOF . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 49

Tabela 2 Parâmetros do sistema AMD-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 100

ABREVIATURAS E ACRÔNIMOS

LMI Linear Matrix Inequalities

BMI Bilinear Matrix Inequalities

LPV Linear Parameter Varying

MatLabr MATrix LABoratory

T-S Takagi-Sugeno

gevp generalized eigenvalue minimization

3-DOF Three Degrees Of Freedom

AMD-1 Active Mass Dumper - One Floor

STII Shake Table II

CQLF Common Quadratic Lyapunov Function

PDLF Parameter-Dependent Lyapunov Functions

FLF Funções de Lyapunov Fuzzy

FLFM Funções de Lyapunov Fuzzy-Metzler

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 27

2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS 33

2.1 Estabilidade quadrática 34

2.2 Estabilidade robusta utilizando taxa de decaimento 35

2.2.1 Otimização da norma de K para o projeto utilizando uma CQLF 37

2.3 Lema de Finsler 37

2.3.1 Estabilidade robusta utilizando o Lema de Finsler e taxa de decaimento 38

2.3.2 Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema de Finsler 40

2.4 Lema da projeção 40

2.4.1 Estabilidade robusta utilizando o Lema da projeção e taxa de decaimento 41

2.4.2 Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema da projeção 42

3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA

DE FINSLER 43

3.1 Nova formulação utilizando o Lema de Finsler e taxa de decaimento 43

3.2 Helicóptero 3-DOF 47

3.2.1 Implementação das diferentes técnicas de projeto ótimo no Helicóptero 3-DOF 50

3.3 Comparação geral dos três métodos de projeto com otimização 51

3.4 Conclusões parciais 54

4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS 55

4.1 Chaveamento entre subsistemas 55

4.1.1 Matrizes Metzler 56

4.1.2 Condições para estabilidade robusta 57

4.1.3 Projeto robusto de controladores chaveados 59

4.2 Projeto robusto chaveado e restrição de taxa de decaimento 61

4.3 Otimização da norma de controladores chaveados 62

4.4 Exemplo de Aplicação: Sistema massa-mola-massa 63

4.5 Implementação de controladores chaveados no helicóptero 3-DOF 68

4.5.1 Implementação com restrição de taxa de decaimento 69

4.5.2 Implementação com restrição de taxa de decaimento e otimização da norma de K 73


5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEA-

DOS 77

5.1 Sistemas chaveados utilizando desigualdades de Lyapunov-Metzler 77

5.2 Novos resultados utilizando uma função de Lyapunov mínima e quadrática por partes 80

5.3 Generalização da função de Lyapunov candidata e quadrática por partes 81

5.4 Formulação utilizando o Lema de Finsler 82

5.5 Factibilidade de sistemas politópicos 84

5.5.1 Exemplo numérico 1 84

5.5.2 Exemplo numérico 2 88


6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEA-

DOS 93

6.1 Projeto robusto chaveado com flexibilização via BMIs 93

6.2 Projeto robusto chaveado com flexibilização extra via BMIs 96

6.3 Exemplo Numérico 97

6.4 Implementação prática no sistema AMD-1 98

6.4.1 Implementação das técnicas de controle flexibilizadas 102


7 CONCLUSÕES 111

7.1 Perspectivas Futuras 112

REFERÊNCIAS 113

APÊNDICE A - Método path-followingpara solução de BMIs 119

27

1 INTRODUÇÃO

Entre as diversas técnicas de projeto de controladores desenvolvidas durante a história da

engenharia de controle, o projeto de controladores robustos (ou projeto de controladores por es-

tabilidade quadrática) usando LMIs destacou-se por resolver problemas envolvendo incertezas

paramétricas, sem solução conhecida até então, utilizandopacotes computacionais especializa-

dos (GAHINET et al., 1995). Em consequência do potencial da técnica, as pesquisas e publi-

cações envolvendo a teoria de controle com soluções via LMIscresceram muito nas últimas

décadas. A teoria retratada em (BOYD et al., 1994) se tornou ummarco na história das LMIs,

abrindo um leque muito grande para diversas abordagens, como análise de estabilidade robusta

de sistemas lineares (LEITE et al., 2004), abordagens de otimização por meio de LMIs (WANG

et al., 2008), controle robustoH2 ouH∞ (CHILALI; GAHINET, 1996; APKARIAN; TUAN;

BERNUSSOU, 2001; GEROMEL; OLIVEIRA, 2001; MA; CHEN, 2006; ASSUNÇÃO et al.,

2007a; GEROMEL; KOROGUI, 2008) e outros, projeto de controladores robustos de sistemas

sujeitos a incertezas com realimentação das derivadas dos estados (ASSUNÇÃO et al., 2007b;

CARDIM et al., Saint Petersburg; SILVA et al., 2011, 2012) e projeto ótimo de controladores

robustos de sistemas sujeitos a incertezas com realimentação dos estados, em que um caso par-

ticular pode ser visto como falha estrutural (BUZACHERO et al., 2010, 2012).

Publicações recentes constataram um certo conservadorismo inserido na análise de estabili-

dade quadrática, o que levou a uma busca por soluções mais relaxadas. O Lema de Finsler

(SKELTON; IWASAKI; GRIGORIADIS, 1997) vem sendo muito utilizado na teoria de contro-

le para a análise de estabilidade por LMIs (LEITE et al., 2004), com resultados equivalentes

aos das LMIs de estabilidade quadrática. Esta técnica possibilita o uso de matrizes variáveis ex-

tras e a função de Lyapunov dependente do parâmetro incerto (do inglêsParameter-Dependent

Lyapunov FunctionPDLF). Isso proporciona uma certa relaxação na análise de estabilidade

(denominada de “estabilidade estendida” segundo (LEITE etal., 2004)), obtendo-se uma região

de factibilidade maior em relação à análise de estabilidadequadrática. Como esta técnica uti-

liza funções do tipo PDLF, as incertezas da planta devem ser tratadas como invariantes no

tempo, devido ao fato de se desprezar a derivada temporal da matriz de Lyapunov, o que limita

28 1 INTRODUÇÃO

a sua aplicação prática. Além disso, quando associada à otimização da norma dos controladores

(BUZACHERO et al., 2010), as funções do tipo PDLF acabam por inserir LMIs extras, podendo

tornar mais difícil a busca de soluções. Outras publicaçõessobre o assunto encontraram resul-

tados interessantes em se tratando de factibilidade (SKELTON; IWASAKI; GRIGORIADIS,

1997; LEITE et al., 2004; BUZACHERO et al., 2012), porém nessas metodologias garantem

apenas a estabilidade para incertezas invariantes no tempo, ou com taxa de variação muito pe-

quena (DAHLEH; DAHLEH, 1991; SOLO, 1994).

Pelo motivo exposto, buscaram-se formulações aprimoradasutilizando-se uma função de

Lyapunov quadrática (Common Quadratic Lyapunov Function(CQLF)) com uma técnica de

adição de matrizes extras na formulação das LMIs, reduzindoassim o número de LMIs para

garantir a estabilidade do sistema. Com o objetivo de se obterem ganhos menores de contro-

ladores robustos, conservando o mesmo desempenho dinâmicooptou-se por otimizar a norma

dos controladores, impondo também ao sistema realimentadoum período transitório mais curto

através da inserção da taxa de decaimento (BOYD et al., 1994) na formulação das LMIs, agora

com a possibilidade de tratar incertezas do tipo LPV.

Em razão do conservadorismo existente nas condições de estabilidade quadrática, uma

vez que uma única matriz de Lyapunov é imposta a todos os subsistemas quando se utiliza

uma CQLF, optou-se, neste trabalho, pela abordagem da teoriade sistemas chaveados (tam-

bém conhecidos como sistemas híbridos), em função dos importantes resultados, na literatura,

que viabilizam o projeto de controladores robustos, considerando incertezas do tipo LPV (DE-

CARLO et al., ; LIN; ANTSAKLIS, 2005; LIBERZON, 2003; SHORTEN et al., 2007), quando

os sistemas em questão são lineares (DEAECTO; GEROMEL, 2008), levando-se em conta a

possibilidade de chaveamento entre subsistemas (BRANICKY, 1998; HESPANHA, 2004).

Um método eficaz para o projeto de controladores robustos foiproposto por (SKAFIDAS

et al., 1999), com base na determinação de uma regra de chaveamento estabilizante a qual pro-

move o chaveamento entre um certo número de controladores com realimentação estática da

saída, porém, também utilizando CQLF, tendo, como consequência, resultados conservadores.

Outros pesquisadores abordaram o mesmo problema (JI; WANG;XIE, 2005), entretanto, os

controladores de realimentação dos estados e a regra de chameamento foram projetados simul-

taneamente. O traço comum entre esses artigos é o fato de trabalharem com um sistema in-

certo cuja realização depende linearmente da incerteza, impondo a todos os subsistemas reali-

mentados uma função de Lyapunov única, como uma consequência natural das condições de

estabilidade propostas por (WICKS; PELETIES; DECARLO, 1994).

Em (GEROMEL; COLANERI, 2006; GEROMEL; KOROGUI, 2006) foram propostas téc-

1 INTRODUÇÃO 29

nicas eficazes para a estabilidade de sistemas lineares chaveados, entre as quais se apresentou

uma função Lyapunov-Metzler quadrática por partes, com umaregra de chaveamentoσ baseada

na escolha do mínimo da função energia, viabilizando o projeto de controladores robustos para

sistemas incertos e limitados por norma (GEROMEL; DEAECTO, 2009). Estas pesquisas cul-

minaram em condições de estabilidade de sistemas sujeitos aincertezas politópicas do tipo LPV,

garantindo que o sistema fosse globalmente assintoticamente estável (DEAECTO; GEROMEL;

DAAFOUZ, 2011). Esta técnica inovadora possibilitou encontrar resultados menos conser-

vadores e com um melhor desempenho global quando comparada com as técnicas tradicionais.

Em contrapartida, uma busca unidimensional deve ser realizada para que o problema possa ser

trabalhado com condições LMIs, o que acaba por restringir a quantidade de variáveis de folga

do problema.

Com base nessa teoria, abordam-se nesta tese dois pontos críticos no projeto de contro-

ladores chaveados para sistemas robustos. O primeiro pontotrabalhado é a problemática dos

altos ganhos dos controladores projetados que influenciam na aplicação prática da técnica e,

portanto, tornam interessante uma otimização para viabilizar a implementação (otimização da

norma dos controladores chaveados). O outro ponto é o fato deque o tempo de duração do

transitório pode ser maior do que as especificações de projeto. Para resolver este problema,

propõem-se LMIs para limitar a taxa de decaimento. Ilustra-se essa estratégia de chaveamento

na Figura 1.

Figura 1 - Esquemático do controle chaveado para uma planta incerta.

x(t)u(t) SistemaLinearIncerto

K1

K2

KN

σ(t)

Fonte: Adaptado de (GEROMEL; DEAECTO, 2009)

Outra abordagem muito difundida e consolidada na literatura é a de sistemas não lineares,

ou sistemas Fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) (TAKAGI; SUGENO, 1985), técnica muito eficiente

quando há um aumento da complexidade dos sistemas. Os sistemas T-S possibilitam represen-

tar sistemas dinâmicos não lineares, de forma aproximada ouexata em alguns casos, através

30 1 INTRODUÇÃO

de modelos lineares locais descrevendo o comportamento do sistema em diferentes pontos de

operação no seu espaço de estados (TANAKA; IKEDA; WANG, 1998), fazendo assim a es-

colha da melhor estratégia de controle por meio de funções depertinência. Como consequên-

cia do sucesso desta técnica surgiram publicações sobre controle sistemas Fuzzy chaveados

(TANAKA; IWASAKI; WANG, 2000a, 2000b; YANG; DONG, 2010; SOUZA et al., 2013)

ditando a regra de chaveamento conforme as variáveis premissas.

Assim como para o caso linear, a busca por condições menos conservadoras de estabilidade

também foi largamente explorada nos sistemas Fuzzy T-S. Em trabalhos muito conceituados da

literatura foram propostas condições mais relaxadas de estabilidade utilizando Funções de Lya-

punov Fuzzy (FLF) (TANAKA; HORI; WANG, 2003; TEIXEIRA; ASSUNÇÃO; AVELLAR,

2003; MOZELLI et al., 2009), garantido a estabilidade assintótica através da interpolação de

funções quadráticas segundo as mesmas funções de pertinência dos modelos Fuzzy T-S. Porém

foi em (ESTEVES, 2011), satisfazendo condições de estabilidade global e utilizando Funções

de Lyapunov Fuzzy-Metzler (FLFM) resolvidas através de LMIs que se obteve a flexibilização

das mesmas, ficando apenas por solucionar a problemática de uma busca unidimensional que

deveria ser realizada, mantendo uma dificuldade na solução do problema.

Recentemente, propuseram-se condições baseadas em uma classe particular de BMIs, uti-

lizando funções de Lyapunov quadrática por partes (CHEN et al., 2012), resolvidas pelo método

path-following(HASSIBI; HOW; BOYD, 1999). Essa solução contornou a problemática da

busca unidimensional citada anteriormente e alcançou melhores resultados de factibilidade, pos-

sibilitando uma flexibilização ainda maior, porquanto os escalares de relaxação que aparecem

na multiplicação de matrizes variáveis podem se adaptar convenientemente durante o método,

na busca por factibilidade. De posse destes resultados, propuseram-se métodos mais gerais para

sistemas Fuzzy chaveados (SOUZA, 2013; SOUZA et al., 2014),em que os ganhos de otimiza-

ção são escolhidos em dois estágios. O primeiro estágio segue a mesma regra de (CHEN et al.,

2012), selecionando a função de Lyapunov mínima e quadrática por partes. O segundo estágio

ocorre através da escolha de uma função auxiliar que minimiza a derivada temporal da função

de Lyapunov, escolhendo, assim, o ganho adequado a cada instante de tempo.

Devido aos ótimos resultados obtidos com a teoria de controladores Fuzzy chaveados,

propõe-se, também, neste estudo, uma nova técnica para a estabilidade de sistemas lineares

incertos, com a incerteza podendo ser do tipo LPV, baseada nométodopath-followingpara

solução de BMIs, apresentado por (CHEN et al., 2012). Nesta nova formulação, houve uma re-

dução no conservadorismo encontrado nas formulações existentes, através do aumento na quan-

tidade de funções de Lyapunov candidatas e quadráticas por partes. Assim, as desigualdades de

1 INTRODUÇÃO 31

Lyapunov-Metzler, apresentadas neste trabalho, se basearam nas existentes em (GEROMEL;

COLANERI, 2006; DEAECTO, 2010; CHEN et al., 2012), porém, agora,com uma generaliza-

ção das funções, com a vantagem da facilidade de tratamento de sistemas linearizados, tornando

esta técnica mais viável para implementação.

Utilizam-se os seguintes símbolos e notações no texto:

Notações:M > 0 (< 0, ≥ 0, ≤ 0) indica queM é simétrica positiva (negativa, positiva-

semi, negativa-semi) definida;(′) indica transposição de um vetor ou matriz;(′−1) indica a

inversa de uma matriz transposta;Sym{M} indica M +M′; (∗) indica termos transpostos em

uma matriz simétrica; diag(·, ·, . . . , ·) indica uma matriz diagonal de dimensões adequadas e�

indica o final de demonstração.

A estrutura do texto é organizada da seguinte forma:

• Capítulo 2: Apresentam-se conceitos básicos, propriedadese resultados já conhecidos da

literatura, necessários para o desenvolvimento teórico dotrabalho e para a comparação

com as técnicas propostas.

• Capítulo 3: Propõe-se uma técnica para o projeto e a otimização da norma de contro-

ladores robustos de sistemas dinâmicos lineares incertos,utilizando realimentação dos

estados. As técnicas de projeto utilizadas se baseiam em LMIs formuladas com base na

teoria de estabilidade segundo Lyapunov, utilizando o Lemade Finsler. As LMIs uti-

lizadas tiveram o acréscimo da restrição da taxa de decaimento, responsável por diminuir

o tempo de duração do transitório dos sistemas realimentados. Realizaram-se compara-

ções qualitativas e quantitativas entre os métodos de projeto com otimização da norma

dos controladores, visando alternativas de controladorescom menor custo e melhor de-

sempenho que atendam às restrições do projeto. Uma implementação laboratorial ilustra

a eficiência da proposta.

• Capítulo 4: Em razão da busca por alternativas para o projeto de controle de sistemas

com incertezas do tipo LPV via LMIs, propõe-se, neste capítulo, uma técnica de projeto

para garantir a estabilidade de sistemas lineares chaveados contínuos no tempo. Trata-se

de uma extensão da teoria de sistemas chaveados existente naliteratura. Esta técnica é

de natureza realimentada (dependente da trajetória) e o projeto se baseia na solução das

chamadas desigualdades de Lyapunov-Metzler, a partir da qual expressa-se a condição

de estabilidade (incluindochattering). O índice de desempenho utilizado é a taxa de de-

caimento (um índice que faz parte daD-estabilidade), que objetiva reduzir o tempo de

duração do transitório, estipulando que os autovalores do sistema realimentado fiquem à

32 1 INTRODUÇÃO

esquerda da reta Re{s}< −α, no plano complexo. A outra ferramenta importante uti-

lizada é a otimização da norma dos controladores que visa reduzir os ganhos e facilitar sua

implementação prática. Para verificar a eficiência da técnica proposta, realizou-se uma

implementação prática no Helicóptero 3-DOF da Quanser, sujeito a uma falha estrutural

no motor traseiro, caracterizada como uma incerteza politópica.

• Capítulo 5: Apresenta-se, neste capítulo, uma nova estratégia que proporciona uma flexi-

bilização na análise de factibilidade para a estabilidade de sistemas lineares com in-

certezas do tipo LPV, utilizando funções de Lyapunov quadráticas por partes. A es-

tratégia foi inspirada em uma formulação para projeto de controladores Fuzzy chaveados

com base em uma classe particular de BMIs, que podem ser resolvidas pelo métodopath-

following, tendo o termo bilinear o produto de escalares de relaxação ematrizes variáveis.

Na formulação proposta houve um acréscimo de matrizes e escalares consequentemente

diminuindo o conservadorismo na formulação. Foi também proposta uma formulação

utilizando-se o lema de Finsler com o mesmo intuito. Comparações envolvendo factibili-

dade de sistemas foram feitas utilizando exemplos conhecidos na literatura.

• Capítulo 6: Neste capítulo são apresentadas as técnicas de projeto de controladores chavea-

dos baseadas nas formulações do Capítulo 5. Os controladoresprojetados foram imple-

mentados no sistema STII + AMD-1 validando na prática a técnica proposta.

• Em seguida, apresentam-se as conclusões e estabelecem-se as perspectivas futuras para a

continuidade deste trabalho.

• Encerra-se a tese com o Apêndice A, onde se detalha o algoritmo do métodopath-

following para a solução das BMIs, utilizado nas condições de estabilidade de sistemas

chaveados apresentadas.

33

2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS

Para a obtenção dos resultados propostos, utilizam-se, ao longo do texto, as Propriedades

1 e 2, sendo a primeira utilizada para verificação da possibilidade de inversão de matrizes não

simétricas e a segunda conhecida na literatura como complemento de Schur (BOYD et al.,

1994).

Propriedade 1. Para toda matriz M não simétrica(M 6= M′), se M+M′ < 0, então M é in-

vertível.

Demonstração.Veja (BOYD et al., 1994). �

Propriedade 2. Uma matriz simétrica M=

[

M1 M2

M′2 M3

]

é definida positiva se e somente se:

1. M1 > 0 e M3−M′2(M1)

−1M2 > 0,

ou

2. M3 > 0 e M1−M2(M3)−1M′

2 > 0.

Demonstração.Veja (BOYD et al., 1994). �

Parte deste estudo visa obter melhores resultados para o projeto de controladores robustos

com otimização da norma, por meio de LMIs de sistemas com incertezas do tipo LPV e taxa de

decaimento. Para tanto, a formulação proposta será comparada à teoria de projeto ótimo com

estabilidade quadrática e taxa de decaimento (Teorema 1). Adicionalmente, com a intenção de

alcançar melhores resultados para a norma dos controladores ótimos, comparar-se-á a formu-

lação proposta com as formulações apresentadas na literatura (BUZACHERO et al., 2012) para

sistemas com incertezas invariantes no tempo ou com taxa de variação suficientemente peque-

nas que são: o projeto com estabilidade estendida (Teorema 3) e o projeto com estabilidade

projetiva (Teorema 5), ambos com otimização da norma e taxa de decaimento.

Discriminam-se os resultados aqui apenas para orientação.Indicam-se todas as demostrações

na respectiva literatura.

34 2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS

2.1 Estabilidade quadrática

Considere o sistema linear incerto abaixo:

x(t) = Aλ x(t), x(0) = x0, (1)

definido para todot ≥ 0, sendox0 a condição inicial,λ ∈ Λ, x(t) ∈ Rn o vetor de estado eAλ ,

matriz que representa a dinâmica do sistema incerto, definida como

Aλ =N

∑j=1

λ jA j , (2)

sendo que o índicej se refere ao vértice do politopo eN o número de vértices. Ainda,Λ é

definido pelo seguinte simplex unitário:

Λ = {λ ∈ RN : λ j ≥ 0,

N

∑j=1

λ j = 1}. (3)

Assim tem-se

x(t) =N

∑j=1

λ jA jx(t). (4)

Uma condição suficiente para que se garanta a estabilidade dosistema incerto (1) é dada

pela existência de uma matriz de LyapunovP= P′ ∈ Rn×n tal que as LMIs

A′λ P+PAλ < 0, (5)

P> 0, (6)

sejam verificadas (BOYD et al., 1994). Esta condição de estabilidade é conhecida como estabili-

dade quadrática e pode ser facilmente verificada na prática devido à convexidade da desigual-

dade de Lyapunov que faz com que as condições (5) e (6) tenham como condição suficiente a

verificação da existência deP= P′ ∈ Rn×n tal que

A′jP+PAj < 0, (7)

P> 0, (8)

para todoj ∈K, sendo o conjuntoK= {1,2, ...,N}.

Pode-se observar que (5) pode ser obtida de (7) multiplicando a última porλ j ≥ 0 e somando

os termos dej = 1 até j = N.

Por ser apenas uma condição suficiente e exigir a existência de uma única matriz definida

2.2 Estabilidade robusta utilizando taxa de decaimento 35

positivaP, satisfazendo asN desigualdades simultaneamente, geram-se resultados conservadores

para a garantia de estabilidade do sistema incerto.

Sendo assim, com o objetivo de se obterem condições mais gerais do que a estabilidade

quadrática, desenvolveu-se o conceito de controle chaveado, conforme se verá nos Capítulos 4

e 5.

2.2 Estabilidade robusta utilizando taxa de decaimento

Considere o sistema incerto linear controlável e invarianteno tempo descrito na forma de

espaço de estados:

x(t) = Aλ x(t)+Bλ u(t). (9)

Esse sistema pode ser descrito como combinação convexa dos vértices do politopo:

x(t) =N

∑j=1

λ jA jx(t)+N

∑j=1

λ jB ju(t), (10)

sendoN o número de vértices do politopo,λ j ∈ Λ conforme (3) (BOYD et al., 1994),A j ∈Rn×n

e B j ∈ Rn×m os vértices do politopo que representa a dinâmica do sistemaincerto,x(t) ∈ R

n

o vetor de estado eu(t) ∈ Rm o vetor de entrada de controle. O projeto do controlador com

realimentação dos estados consiste em encontrar uma matrizK ∈ Rm×n, tal que o sistema (9)

realimentado com a entrada de controle (11),

u(t) =−Kx(t), (11)

seja assintoticamente estável, sendo o sistema realimentado representado por (12):

x(t) = (Aλ −Bλ K)x(t). (12)

Levando-se em conta o sistema controlado (9), a taxa de decaimento (ou maior expoente de

Lyapunov) é definida como a maior constante positivaα, tal que

limt→∞

eαt ||x(t)||= 0, (13)

e se mantenha para todas as trajetóriasx(t), t > 0.

Utiliza-se a função quadrática de Lyapunov

V(x(t)) = x′(t)Px(t), (14)


para estabelecer um limite inferior sobre a taxa de decaimento de (9), com

.V (x(t))≤−2αV(x(t)), (15)

para todas as trajetórias (BOYD et al., 1994).

De (14) e (12), tem-se que

.V (x(t)) = x′(t)Px(t)+x′(t)Px(t)

= x(t)′(Aλ −Bλ K)′Px(t)+x(t)′P(Aλ −Bλ K)x(t). (16)

Incorporando-se a restrição da taxa de decaimento (15) na equação (16) e realizando as

simplificações apropriadas, tem-se:

(Aλ −Bλ K)′P+P(Aλ −Bλ K)<−2αP, (17)

P> 0. (18)

Considerando o sistema incerto (10) e a teoria de Lyapunov existente para projeto de con-

troladores, tem-se o seguinte teorema (BOYD et al., 1994):

Teorema 1. Uma condição suficiente para que se garanta a estabilidade dosistema incerto

(10) sujeito a taxa de decaimento maior ou igual aα é a existência de matrizes X= X′ ∈Rn×n

e G∈ Rm×n, tais que

A jX−B jG+XA′j −G′B′

j +2αX < 0, (19)

X > 0, (20)

com j= 1, ..., r.

Sendo asLMIs (19) e (20) factíveis, uma matriz de realimentação de estados que estabiliza

o sistema pode ser dada por

K = GX−1. (21)

Demonstração.Vide (BOYD et al., 1994). �

Assim, pode-se realimentar o sistema incerto apresentado em (9), sendo (19) e (20) condições

suficientes para a estabilidade assintótica do politopo, para um sistema com realimentação dos

estados com restrição de taxa de decaimento. Se, para o sistema incerto, a solução das LMIs

for factível, a estabilidade do sistema estará garantida.

As LMIs (19) e (20) garantem não somente a estabilidade, comotambém a taxa de decai-


mento. Se o objetivo for somente a estabilidade, atribui-se, em (19),α = 0.

2.2.1 Otimização da norma de K para o projeto utilizando uma CQLF

Teorema 2. Dada uma constanteµ0 > 0, obtém-se um limitante para a norma da matriz K∈

Rm×n de realimentação dos estados, com K= GX−1, X = X′ > 0, X ∈ R

n×n e G∈ Rm×n

encontrando o valor mínimo deβ , β > 0, tal que K′K < βµ0

In. Pode-se obter o valor mínimo

deβ através da solução do seguinte problema de otimização:

minβ

s.a

[

X G′

G β Im

]

> 0,(22)

X > µ0In, (23)

(LMI (19)) (24)

sendo que Im e In denotam as matrizes identidades de ordem m e n respectivamente.

Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2012). �

Note que a LMI (20) não é necessária, pois com as restrições (22) e (23), a LMI (20) será

redundante.

2.3 Lema de Finsler

Utiliza-se o Lema de Finsler para expressar condições de estabilidade em termos de de-

sigualdades matriciais, com vantagens sobre a teoria já existente de Lyapunov (BOYD et al.,

1994), uma vez que introduz novas variáveisµ eX em condições que envolvem matrizes com

estruturas particulares e com dimensões adequadasL , B eB⊥ (OLIVEIRA, 2004) conforme

é visto no Lema 1.

Lema 1 (Finsler). Considere w∈ Rnx, L ∈ R

nx×nx e B ∈ Rmx×nx com rank(B) < nx e B⊥

uma base para o espaço nulo deB (isto é,BB⊥ = 0). Então as seguintes condições são

equivalentes:

1. w′L w< 0,∀w 6= 0 : Bw= 0;

2. B⊥′L B⊥ < 0;

3. ∃µ ∈ R : L −µB′B < 0;


4. ∃X ∈ Rnx×mx : L +X B+B′X ′ < 0.

Demonstração.Vide (SKELTON; IWASAKI; GRIGORIADIS, 1997) ou (OLIVEIRA; SKEL-

TON, 2001). �

2.3.1 Estabilidade robusta utilizando o Lema de Finsler e taxa de decai-mento

Definindo w = [xx], B = [ (Aλ−Bλ K) −I ], B⊥ =

[

I(Aλ−Bλ K)

]

e L =[

2αPλ PλPλ 0

]

, note que

Bw = 0 corresponde ao sistema realimentado comK e w′L w < 0 corresponde à restrição

de estabilidade com taxa de decaimento formulada a partir dafunção quadrática de Lyapunov

dada em (19) (BOYD et al., 1994). Neste caso, as dimensões das variáveis do Lema 1 são:

nx = 2n emx = n.

Conclui-se, pela prova existente do Lema de Finsler, que as Propriedades de 1 a 4 são

equivalentes. Assim, podemos reescrever a Propriedade 4 daseguinte forma:

4. ∃X ∈ R2n×n, P= P′ > 0 tais que

[

2αPλ Pλ

Pλ 0

]

+X

[

(Aλ −Bλ K) −I]

+

[

(Aλ −Bλ K)′

−I

]

X′ < 0, (25)

escolhendo convenientemente a matriz de variáveisX =[

ZaZ

]

, comZ∈Rn×n não simétrica ea

uma constante de relaxação que tem a função de flexibilizar a matrizX na LMI (PIPELEERS

et al., 2009). Pode-se obter esta constante adequadamente através de uma busca unidimensional.

Aplicando a transformação de congruência[

Z−1 00 Z−1

]

à esquerda e[

Z−1 00 Z−1

]′à direita, na quarta

propriedade e fazendoY = Z′−1; G= KY eQλ =Y′PλY, encontraram-se as seguintes LMIs:

[

AλY+Y′A′λ −Bλ G−G′B′

λ +2αQλ Qλ +aY′A′λ −aG′B′

λ −Y

Qλ +aAλY−aBλ G−Y′ −aY−aY′

]

< 0, (26)

Qλ > 0. (27)

sendoY ∈ Rn×n, Y 6=Y′, G∈ R

m×n eQλ ∈ Rn×n.

Essas LMIs, quando factíveis, atendem às restrições para a estabilidade assintótica do sis-

tema com a realimentação de estado (11) e (21). A garantia de estabilidade resultante das LMIs

deduzidas a partir do Lema de Finsler é comumente denominadaestabilidade estendida (LEITE

et al., 2004). A vantagem do uso desta formulação, mediante autilização do Lema de Finsler

para análise de estabilidade robusta é a liberdade de escolha da estrutura da função de Lyapunov

que agora pode ser, por exemplo, uma PDLF, definida comoQλ =N∑j=1

λ jQ j ,N∑j=1

λ j = 1, λ j ≥ 0


e j ∈ K. Sabendo queQλ depende deλ , o uso da matriz de Lyapunov adequa-se apenas a

incertezas politópicas invariantes no tempo ou permitindo-se taxa de variação suficientemente

pequena, em (BUZACHERO et al., 2010), apresenta-se o seguinte teorema:

Teorema 3.Uma condição suficiente que garante a estabilidade do sistema incerto (10) sujeito

a taxa de decaimento maior ou igual aα é a existência de matrizes Y∈Rn×n, Qj =Q j

′ ∈Rn×n,

G∈ Rm×n e um escalar a> 0, tais que

[

A jY+Y′A j′−B jG−G′B j

′+2αQ j Q j +aY′A j′−aG′B j

′−Y

Q j +aAjY−aBjG−Y′ −aY−aY′

]

< 0, (28)

Q j > 0, (29)

com j∈K

Sendo as LMIs (28) e (29) factíveis, uma matriz de realimentação de estados que estabiliza

o sistema, garantindo a taxa de decaimento maior ou igual aα, pode ser dada por

K = GY−1. (30)

Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2010) ou (BUZACHERO et al., 2012). �

Este resultado foi publicado em (BUZACHERO et al., 2012), tendo como foco a obtenção

de menores valores para a norma dos controladores robustos com restrição da taxa de decai-

mento.

Assim, pode-se realimentar o sistema incerto, sendo (28) e (29) condições suficientes para a

estabilidade assintótica de todo sistema, com restrição detaxa de decaimento, com parâmetros

pertencentes ao politopo.

Infelizmente, esta formulação contempla apenas incertezas politópicas invariantes no tempo

ou com taxa de variação suficientemente pequena, sendo inadequada para implementações onde

a incerteza varia ao longo do tempo, conforme se verificará naSeção 3.2.1.

Em diversas situações, a norma da matriz de realimentação dos estados é alta, dificultando a

sua implementação prática. Em (ASSUNÇÃO et al., 2007b), propôs-se um método de otimiza-

ção que minimiza os ganhos do controlador projetado com o usodas LMIs (19) e (20), que

garantem estabilidade, porém essa formulação apresenta conservadorismo. Em (BUZACHERO

et al., 2012), apresentaram-se novas formas de otimizar a norma do controladorK reduzindo

o conservadorismo das LMIs por meio do Lema de Finsler e do Lema da Projeção Recíproca,

mostrado a seguir.


2.3.2 Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema deFinsler

Em (BUZACHERO et al., 2010), houve uma dificuldade para aplicar a teoria já existente de

otimização da norma deK (ASSUNÇÃO et al., 2007b) à nova estrutura de LMIs. Isso ocorreu

devido a matriz de síntese do controladorY não ser simétrica, condição necessária para o desen-

volvimento das LMIs quando a matriz de síntese do controlador eraX = P−1. Para contornar

a problemática utilizou-se a ideia do procedimento de otimização para reprojeto apresentado

em (CHANG et al., 2002), propondo-se em (BUZACHERO et al., 2010) a adequação do novo

método de otimização com a minimização de um escalarβ , sendo a relação de minimização

K′K < βPj comPj a função de Lyapunov referente a cada vértice:

Teorema 4. Obtém-se um limitante para a norma da matriz K∈ Rm×n de realimentação

dos estados, com K= GY−1 e Qj =Y′PjY, sendo Y∈ Rn×n, G∈ R

m×n e Pj = P′j > 0∈ R

n×n

encontrando o valor mínimo deβ , β > 0, tal que K′K < βPj com j∈K. Pode-se obter o valor

ótimo deβ através da solução do seguinte problema de otimização:

minβ

s.a

[

Q j G′

G β Im

]

> 0(31)

(LMI (28)) (32)

Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2010). �

Essa forma de otimizar a norma deK revelou melhores resultados que a apresentada em

(ASSUNÇÃO et al., 2007b). Entretanto, por estar vinculada àsmatrizes de LyapunovPj , a

relação de otimização ainda não apresenta os ganhos mínimosque seriam encontrados para

atender os requisitos de projeto devido ao aumento do númerode LMIs por acrescentar mais

uma LMI para cada vértice do politopo.

Para melhorar o desempenho do procedimento de otimização, encontra-se uma alternativa

para otimizar a norma do controladorK, diminuindo o conservadorismo das LMIs de projeto

deK com uma manipulação conveniente mostrada na próxima subseção.

2.4 Lema da projeção

Outra ferramenta que se pode utilizar para a análise de estabilidade através de LMIs é o

lema da projeção recíproca (APKARIAN; TUAN; BERNUSSOU, 2001) enunciado a seguir:

2.4 Lema da projeção 41

Lema 2 (Projeção Recíproca). Considere P= P′ > 0 uma matriz dada, matrizes simétricasψe X, e matrizes não simétricas S, W e V. As seguintes afirmaçõessão equivalentes

1. ψ +S+S′ < 0,

2. A LMI abaixo é factível em relação a W[

ψ +P− (W+W′) S′+W′

S+W −P

]

< 0,

3. Desde que A seja Hurwits,∃ V, X tais que

−(V +V ′) V ′A′+X V′

AV+X −X 0

V 0 −X

< 0.

Demonstração.Vide (APKARIAN; TUAN; BERNUSSOU, 2001). �

2.4.1 Estabilidade robusta utilizando o Lema da projeção e taxa de decai-mento

A fim de verificar as vantagens da formulação proposta no Capítulo 3 desta tese, um outro

exemplo de projeto ótimo deK apresentado em (BUZACHERO et al., 2012) foi utilizado para

fim de comparação. Como no caso da estabilidade estendida, a vantagem de usar o Lema da

Projeção Recíproca para análise de estabilidade robusta é o grau de liberdade da PDLF, agora

definida comoPλ =N∑j=1

λ jPj ,N∑j=1

λ j = 1, λ j ≥ 0 e j ∈K. Tal como descrito anteriormente, o uso

dePλ é adequado a incertezas politópicas invariantes no tempo, permitindo-se taxa de variação

suficientemente pequena. Para verificar isso, segue o Teorema 5.

Teorema 5. Uma condição suficiente que garante a estabilidade do sistema incerto (10) é a

existência de matrizes V∈Rn×n, Pj =Pj

′ ∈Rn×n e Z∈R

m×n, tal que aLMI (33) seja satisfeitas.

−(V +V ′) V ′A′j −Z′B′

j +αV ′+Pj V ′

A jV −B jZ+αV +Pj −Pj 0

V 0 −Pj

< 0 (33)

com j ∈K.

Sendo a LMI (33) factível, uma matriz de realimentação dos estados que estabiliza o sistema

pode ser dada por (34).

K = ZV−1 (34)


Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2012) �

2.4.2 Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema daprojeção

O Teorema 6 mostra a otimização da norma deK para a LMI (33). Pode-se verificar que

apenas uma LMI é utilizada para otimizar a norma do controlador, diferentemente do procedi-

mento apresentado no Teorema 4.

Teorema 6. Pode-se obter um limitante para a norma da matriz K∈ Rm×n de realimentação

dos estados, com K= ZV−1, V ∈ Rn×n e Z∈ R

m×n encontrando o valor mínimo deβ , β > 0,

tal que K′K < βM, sendo M= V ′−1V−1 e desta forma M= M′ > 0. Pode-se obter o valor

ótimo deβ através da solução do seguinte problema de otimização:

minβ

s.a

In Z′

Z β Im

> 0(35)

(LMI (33)) (36)

Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2012) �

Neste trabalho, realiza-se a solução numérica das LMIs em microcomputadores, utilizando

o software MATrix LABoratory(MatLabr) com seusolver(resolvedor) padrãoLMIlab contido

no “Robust Control Toolbox” (GAHINET et al., 1995).

43

3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOSUTILIZANDO O LEMA DE FINSLER

Neste capítulo, apresenta-se uma formulação mais adequadaà abordagem de controladores

robustos ótimos em sistemas LPV e, consequentemente, à implementação prática desses con-

troladores com restrição da taxa de decaimento baseada no Lema de Finsler, devido à utilização

de uma CQLF.

3.1 Nova formulação utilizando o Lema de Finsler e taxa dedecaimento

Definindo as matrizesB = [A′ −I ], B⊥ =[

IA′

]

eL =[

−BG−G′B′+2αX XX 0

]

como parâmetros

do Lema 1 e considerando queX é a matriz utilizada para a definição da função quadrática de

Lyapunov, teremos a propriedade 2 do Lema de Finsler escritacomo:

2. ∃X = X′ > 0 tal que[

I

A′

]′[

−BG−G′B′+2αX X

X 0

][

I

A′

]

< 0,

o que resulta, desenvolvendo o produto matricial, na condição equivalente para a estabilizabili-

dade do sistema, incluindo o limitante para a taxa de decaimento:

2. AX−BG+XA′−G′B′+2αX < 0.

Apesar desta formulação caracterizar estabilidade por meio de uma função de Lyapunov

quadrática (V(x(t)) = x(t)′Px(t)), inserem-se novas variáveis no espaço de busca por meio de

uma escolha conveniente de matriz de variáveisX conforme abaixo.

Sendo as matrizes do Lema de Finsler definidas anteriormente, pode-se reescrever a pro-

priedade 4 da seguinte forma:

44 3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA DE FINSLER

4. ∃X ∈ R2n×n, X = X′ > 0 tais que

[


X 0

]

+X

[

A′ −I]

+

[

A

−I

]

X ′ < 0.

Conclui-se, pela prova existente do Lema de Finsler (Lema (1)), que as propriedades 2 e 4 são

equivalentes. Desta forma, escolhendo convenientemente amatriz de variáveisX =[

Y1Y2

]

, com

Y1 eY2 ∈ Rn×n e desenvolvendo a propriedade 4, tem-se:

[


X 0

]

+

[

Y1A′ −Y1

Y2A′ −Y2

]

+

[

AY′1 AY′

2

−Y′1 −Y′

2

]

< 0.

Assim, encontraram-se as seguintes LMIs sujeitas a taxa de decaimentoα:

[

AY′1−BG+Y1A′−G′B′+2αX X−Y1+AY′

2

X−Y′1+Y2A′ −Y2−Y′

2

]

< 0, (37)

X > 0. (38)

sendoY1 eY2 ∈ Rn×n, Y1 6=Y′

1, Y2 6=Y′2, G∈ R

m×n eX ∈ Rn×n, X = X′ > 0.

Essas LMIs atendem às restrições para a estabilidade assintótica do sistema com a reali-

mentação de estado. Verifica-se que o primeiro menor principal da LMI (37) possui a estrutura

do resultado encontrado no teorema de estabilidade com taxade decaimento. Não obstante,

observa-se também relaxação do espaço de busca, conforme enunciado no Lema de Finsler, pois

as matrizes variáveisY1 eY2, que garantem a estabilidade do sistema, não precisam ser simétri-

cas e, para uma abordagem de estabilidade robusta, estas podem ser politópicas:Y1λ =N∑j=1

λ jY1 j

eY2λ =N∑j=1

λ jY2 j ,N∑j=1

λ j = 1, λ j ≥ 0 e j ∈K. Sendo assim, propõe-se o seguinte teorema:

Teorema 7. Para que se garanta a estabilidade do sistema incerto (10) sujeito a taxa de de-

caimento maior ou igual aα é condição suficiente a existência de matrizes Y1 j e Y2 j ∈ Rn×n,

X = X′ ∈ Rn×n e G∈ R

m×n, tais que

[

A jY′1 j −B jG+Y1 jA′

j −G′B′j +2αX X−Y1 j +A jY′

2 j

X−Y′1 j +Y2 jA′

j −Y2 j −Y′2 j

]

< 0, (39)

j ∈K

[

A jY′1k−B jG+AkY′

1 j −BkG+Y1kA′j −G′B′

j +Y1 jA′k−G′B′

k+4αX

2X−Y′1 j −Y′

1k+Y2 jA′k+Y2kA′

j

...

...2X−Y1 j −Y1k+AkY′

2 j +A jY′2k

−Y2 j −Y′2 j −Y2k−Y′

2k

]

< 0,

(40)

3.1 Nova formulação utilizando o Lema de Finsler e taxa de decaimento 45

j = 1, ..., r −1;k= j +1, ..., r

X > 0. (41)

Quando asLMIs (39), (40) e (41) são factíveis, uma matriz de realimentação de estado que

estabiliza o sistema pode ser dada por

K = GX−1. (42)

Demonstração.Assuma que as LMIs (39), (40) e (41) são factíveis. Considerando λ j > 0

para j ∈K, teremos:

N

∑j=1

λ 2j

[

A jY′1 j −B jG+Y1 jA′

j −G′B′j +2αX X−Y1 j +A jY′

2 j

X−Y′1 j +Y2 jA′

j −Y2 j −Y′2 j

]

+ (43)

N−1∑j=1

N∑

k= j+1λ jλk

[

A jY′1k−B jG+AkY′

1 j −BkG+Y1kA′j −G′B′

j +Y1 jA′k−G′B′

k+4αX

2X−Y′1 j −Y′

1k+Y2 jA′k+Y2kA′

j

...

...2X−Y1 j −Y1k+AkY′

2 j +A jY′2k

−Y2 j −Y′2 j −Y2k−Y′

2k

]

< 0.

Sabendo que, genericamente

N

∑i=1

λi

N

∑j=1

λ j =N

∑j=1

λ 2j +2

N−1

∑j=1

N

∑k= j+1

λ jλk, (44)

e consequentemente

N

∑i=1

λi

N

∑j=1

λ jHiRj =N

∑j=1

λ 2j H jRj +

N−1

∑j=1

N

∑k= j+1

λ jλk(H jRk+HkRj), (45)

tem-se que as seguintes igualdades são verdadeiras:

N

∑i=1

λi

N

∑j=1

λ jAiY′1 j =

N

∑j=1

λ 2j A jY

′1 j +

N−1

∑j=1

N

∑k= j+1

λ jλk(A jY′1k+AkY

′1 j),

N

∑i=1

λi

N

∑j=1

λ jB jG=N

∑j=1

λ 2j B jG+

N−1

∑j=1

N

∑k= j+1

λ jλk(B jG+BkG),

N

∑i=1

λi

N

∑j=1

λ jY1 j =N

∑j=1

λ 2j Y1 j +

N−1

∑j=1

N

∑k= j+1

λ jλk(Y1 j +Y1k),

N

∑i=1

λi

N

∑j=1

λ jY2 j =N

∑j=1

λ 2j Y2 j +

N−1

∑j=1

N

∑k= j+1

λ jλk(Y2 j +Y2k),


eN

∑i=1

λi

N

∑j=1

λ jX =N

∑j=1

λ 2j X+2

N−1

∑j=1

N

∑k= j+1

λ jλkX.

Desta forma, (43) pode ser escrita como

N∑

i=1λi

N∑j=1

λ j

[

AiY′1 j −B jG+Y1iA′

j −G′B′j +2αX X−Y1 j +AiY′

2 j

X−Y′1 j +Y2iA′

j −Y2 j −Y′2 j

]

< 0, (46)

e consequentemente

N∑

i=1λiAi

N∑j=1

λ jY′1 j −

N∑j=1

λ jB jG+N∑

i=1λiY1i

N∑j=1

λ jA′j −G′

N∑j=1

λ jB′j +2αX

X−N∑j=1

λ jY′1 j +

N∑

i=1λiY2i

N∑j=1

λ jA′j

...

(47)

...

X−N∑j=1

λ jY1 j +N∑

i=1λiAi

N∑j=1

λ jY′2 j

−N∑j=1

λ jY2 j −N∑j=1

λ jY′2 j

< 0.

Então (47) pode ser reescrita como

[

AλY′1λ −Bλ G+Y1λ A′

λ −G′B′λ +2αX X−Y1λ +AλY′

2λ

X−Y′1λ +Y2λ A′

λ −Y2λ −Y′2λ

]

< 0, (48)

sendoY1λ =N∑j=1

λ jY1 j e Y2λ =N∑j=1

λ jY2 j , comN∑j=1

λ j = 1, λ j ≥ 0 e j ∈K. �

Verifica-se uma vantagem na utilização da nova formulação (39) e (40) utilizando o Lema

de Finsler em relação a (28) para a otimização da norma do controlador, que se deve à inserção

de duas matrizes politópicasY1 j eY2 j , relaxando o sistema quando comparado com a formulação

(28) que utiliza apenas a matriz de Lyapunov politópicaQ j e desta forma aumenta o número

de LMIs de otimização, já queQ j entra na composição destas (vide Teorema 4). Além disso,

tal como descrito no Capítulo 2, o uso deQλ é adequado a incertezas politópicas invariantes

no tempo, permitindo-se taxa de variação suficientemente pequena, ao contrário desta nova

formulação em que a matriz de LyapunovX não é politópica, permitindo variações deλ ao

longo do tempo, ou seja, sistema LPV.

Dada a utilização de uma CQLF, a otimização da norma deK é simplificada utilizando ape-

nas uma LMI para tal, conforme apresentado no Teorema 2. Desta forma teremos as LMI (22) e


(23) em conjunto com as LMIs (39) e (40), apresentando melhores resultados para minimização

dos módulos dos ganhos do controlador dada a utilização de ummenor número de LMIs para

tal, como se verá na Seção 3.2.1.

3.2 Helicóptero 3-DOF

Considere o modelo esquemático mostrado na Figura 3 do helicóptero 3-DOF da Quanser

mostrado na Figura 2. Este equipamento é um patrimônio do LPCda FEIS - UNESP. Dois

motores DC estão montados nas extremidades de uma haste retangular e acionam duas hélices

propulsoras. Os eixos dos motores são paralelos e o vetor de impulsão é normal à haste retangu-

lar. A estrutura do sistema é suspensa por uma articulação montada próximo à extremidade do

braço de sustentação, tornando o mesmo livre para se deslocar em torno do centro. Na extremi-

dade oposta do equipamento, existe um contrapeso utilizadopara aliviar o esforço dos motores

para elevar todo o sistema.

Figura 2 - Helicóptero 3-DOF da Quanser pertencente ao LPC daFEIS - UNESP.

Fonte: Elaborado pelo autor

Uma diferença de tensão aplicada no motor dianteiro em relação ao motor traseiro causa

uma inclinação positiva, enquanto uma diferença de tensão no motor traseiro em relação ao

dianteiro causa uma inclinação negativa (ângulopitch (ρ)). Uma tensão positiva nos dois mo-

tores causa uma elevação de todo o corpo (ânguloelevation(ε) do braço). Se o corpo inclina, o


vetor impulsão resulta no deslocamento do corpo (ângulotravel (θ ) do braço). O objetivo deste

experimento é elaborar um sistema de controle que consiga regular os ângulos de elevação e de

deslocamento do helicóptero 3-DOF (QUANSER, 2002).

Figura 3 - Modelo esquemático do Helicóptero 3-DOF.

mw.g

Contra-peso lw

Eixo elevationε ≥ 0

θ ≥ 0

Eixo

travel

lhlh

la

mf xg

mhxgmbxg

Motor traseiroFb

Eixo pitch

ρ ≥ 0Ff Motor dianteiro

Sup. de sustentação

Fonte: (QUANSER, 2002)

O modelo em espaço de estado que descreve o helicóptero é (QUANSER, 2002):

ερθερθξα

= A

ερθερθξα

+B

[

Vf

Vb

]

. (49)

As variáveisξ eα representam as integrais dos ângulosε de elevação eθ de deslocamento,

respectivamente. As matrizes A e B são apresentadas da seguinte forma:


A=

0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

02mf la−mwlwg

2mf la2+2mf lh2+mf lw2 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0

e B=

0 00 00 0

lakf 1mwl2w+2mf l2a

lakf 2mwl2w+2mf l2a

12

kf 1mf lh

− 12

kf 2mf lh

0 00 00 0

. (50)

Os valores das parâmetros utilizadas no projeto robusto, que aparecem descritos na Tabela

1, foram os mesmos utilizados no projeto do fabricante para aimplementação do controlador

original, mantendo assim fidelidade ao modelo do fabricante.

Tabela 1 - Parâmetros do helicóptero 3-DOF

Constante da força de propulsão da hélice dianteirakf 1 0,1188Constante da força de propulsão da hélice traseirakf 2 0,1188

Massa do corpo do helicóptero (Kg) mh 1,15Massa do contra-peso (Kg) mw 1,87

Massa do conjunto da hélice dianteira (Kg) mf mh/2Massa do conjunto da hélice traseira (Kg) mb mh/2Distância: eixo de pitch - cada motor (m) lh 7x0,0254Distância: eixo de elev. - helicóptero (m) la 26x0,0254Distancia: eixo de elev. - contra-peso (m) lw 18,5x0,0254

Constante gravitacional (m/s2) g 9,81

A fim de verificar a eficiencia das técnicas de controle robusto, implementou-se uma queda

de 30% da potência do motor traseiro, simulando uma falha física nos rolamentos dos motores

em um helicóptero real, sendo esta formulada como uma incerteza na constante da força de

propulsão da hélice traseira (0,08312≤ kf 2 ≤ 0,1188). A falha foi implementada fisicamente

através da inserção de uma chave temporizada conectada a um amplificador com ganho no

sinal controle de 0,7 diretamente na tensão de atuação sobre o motor. Assim, constitui-se um

politopo de dois vértices com uma incerteza na matriz de entrada do sistema do helicóptero,

atuando sobre a tensão traseira entre 0,7Vb e Vb. Os vértices do politopo são descritos na

sequência.

Vértice 1 (kf 2 = 0,1188):

A1 =

0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 −1,2304 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0

e B1 =

0 00 00 0

0,0858 0,08580,5810−0,5810

0 00 00 0

. (51)


Vértice 2 (kf 2 = 0,08312):

A2 =

0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 −1,2304 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0

e B2 =

0 00 00 0

0,0858 0,06010,5810−0,4067

0 00 00 0

. (52)

3.2.1 Implementação das diferentes técnicas de projeto ótimo no Helicóptero3-DOF

Para comprovar a eficiência da nova técnica proposta neste capítulo, realizaram-se imple-

mentações práticas dos controladores, com o objetivo de visualizar o controlador atuando em

sistemas reais sujeitos a falhas.

A trajetória do helicóptero foi dividida em três estágios. Oprimeiro estágio é de deco-

lagem, em que o helicóptero sobe 27,5o alcançando o ângulo de elevaçãoε = 0o. No segundo

estágio, o helicóptero viaja 120o mantendo a mesma elevação, ou seja, o helicóptero alcança

θ = 120o tendo como referência o ponto de decolagem. No terceiro estágio, o helicóptero reali-

za a aterrissagem retomando o ângulo de elevação inicialε = −27,5o. Durante a aterrissagem

do helicóptero, mais precisamente no instante 22s, insere-se a perda de 30% da potência do mo-

tor traseiro. O controlador robusto deverá manter a estabilidade do helicóptero na ocorrência

desta falha.

Fixandoα = 0,8, projetaram-se três controladores: com estabilidade estendida (Teorema

3) e otimização (Teorema 4), com estabilidade projetiva (Teorema 5) e otimização (Teorema

6) e com a nova formulação proposta com estabilidade estendida (Teorema 7) também com

a respectiva otimização (Teorema 2) para, em seguida, realizar a implementação prática dos

mesmos. Neste exemplo, a constante de relaxaçãoa da LMI (28) foi encontrada através de uma

varredura periódica, sendo verificado os melhores resultado de norma dos controladores para

a= 10−6. As hipóteses dos Teoremas 3 e 5 estabelecem uma variação suficientemente pequena

deλ . No entanto, para fins de comparação dos Teoremas 3 e 5 com o Teorema 7, o mesmo teste

de perda abrupta de potência feito com o controlador (55) foirealizado para os controladores

(53) e (54).

As normas dos controladores projetados foram, respectivamente, 110,46 para o contro-

lador projetado com estabilidade projetiva (Teorema 5) e otimização (Teorema 6), 56,47 para

o controlador projetado por estabilidade estendida (Teorema 3) com a otimização (Teorema 4)

e 44,84 para o controlador projetado pela nova formulação de estabilidade estendida (Teorema


7) e otimização (Teorema 2).

Na sequência, apresenta-se o controlador projetado com as LMIs do Teorema 5 e otimização

do Teorema 6 para a implementação ilustrada na Figura 4 e sua norma:

K =[

50,7121 28,7596 −35,1829 29,8247 7,9563 −41,0906 28,8974−11,740566,5405−31,9853 34,7642 38,3173−9,9376 42,0298 38,3418 11,8207

]

, (53)

||K||= 110,46.



K =[

23,7152 12,9483 −9,8587 18,7322 4,9737 −14,3283 10,7730−2,678033,8862−15,2923 11,6132 25,4922−6,0776 16,5503 15,8350 3,4475

]

, (54)

||K||= 56,47.



K =[

18,8559 12,5461 −11,3752 13,9628 4,5026 −15,1159 9,1565 −3,407127,8671−10,8534 7,8933 20,0978−4,5951 11,3897 13,6784 2,3623

]

, (55)

||K||= 44,84.

Nas Figuras 4, 5 e 6, apresenta-se o trajeto das variáveis:elevation(ε), pitch (ρ) e travel

(θ ) em graus para a trajetória previamente estabelecida com a implementação dos controladores

(53), (54) e (55) respectivamente. As três figuras mostram, também respectivamente, o sinal de

controle (tensão) nos motores dianteiro (Vf ) e traseiro (Vb), para os quais é possível verificar

que os sinais de controle da Figura 6 são mais suaves quando comparados com os das Figuras

4 e 5. Esta suavidade se deve ao fato de que a norma do controlador (55) é menor que a dos

outros dois.

Note que além do método proposto proporcionar menor norma que os apresentados pelos

autores em (BUZACHERO et al., 2010) e (BUZACHERO et al., 2012),o transitório antes e

após a falha, é praticamente o mesmo com pequena diferença deamplitude.

3.3 Comparação geral dos três métodos de projeto com otimiza-ção

Com a finalidade de verificar qual técnica apresenta melhores resultados para a norma

dos controladores em conjunto com a factibilidade dos sistemas, fez-se uma comparação mais


Figura 4 - Implementação prática do controlador projetado por estabilidade projetiva com ométodo de otimização apresentado em (BUZACHERO et al., 2012).

0 5 10 15 20 22 25 30 35 40−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Variá

veis

dees

tado

[gra

us]e

10xTen

são

[V]

ε(t)

ρ(t)

θ(t)

10xVb(t)

10xVf (t)

Falha

t[s]


Figura 5 - Implementação prática do controlador projetado por estabilidade estendida com ométodo de otimização apresentado em (BUZACHERO et al., 2012).

0 5 10 15 20 22 25 30 35 40−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Variá

veis

dees

tado

[gra

us]e

10xTen

são

[V]

ε(t)

ρ(t)

θ(t)

10xVb(t)

10xVf (t)

Falha

t[s]


geral entre as mesmas. A princípio, foram comparadas as técnicas de projeto por estabilidade

quadrática com otimização da norma (Teorema 1) e projeto ótimo pela formulação proposta

(Teorema 7). Em seguida, comparou-se as três técnicas de projeto ótimo: estabilidade proje-

tiva, estabilidade estendida e formulação proposta.

Para a comparação, foram gerados aleatoriamente 1000 politopos de sistemas incertos de


Figura 6 - Implementação prática do controlador projetado pela nova formulação de estabilidadeestendida com o método de otimização.

0 5 10 15 20 22 25 30 35 40−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Variá

veis

dees

tado

[gra

us]e

10xTen

são

[V]

ε(t)

ρ(t)

θ(t)

10xVb(t)

10xVf (t)

Falha

t[s]


segunda ordem, com um parâmetro incerto (dois vértices). Os1000 politopos foram gerados

factíveis em pelo menos um dos casos de projeto e otimização paraα = 0,5 e, em seguida,

analisaram-se as consequências do aumento deα conforme Figuras 7 e 8.

Figura 7 - Quantidade de controladores com menor norma para 1000 politopos geradosaleatoriamente considerando o incremento deα - Comparação entre as técnicas Quadráticae Proposta.

0.5 10.5 20.5 30.5 40.5 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.50

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Núm

ero

deco

ntro

lado

res

com

men

orno

rma

α

Projeto por estabilidade quadrática com otimização da norma (Teo. 1)Projeto ótimo pela formulação proposta (Teo. 7)


É possível verificar das Figuras 7 e 8 que o melhor método de projeto ótimo é a formu-


lação proposta, além de possibilitar a varição da incertezano tempo, o que demonstra ser mais

interessante, do ponto de vista de aplicações práticas, em sistemas sujeitos a falhas durante o

funcionamento.

Figura 8 - Quantidade de controladores com menor norma para 1000 politopos gerados aleato-riamente considerando o incremento deα - Comparação entre as técnicas Estendida, Projetivae Proposta.

0.5 10.5 20.5 30.5 40.5 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.50

100

200

300

400

500

600

700

800

Núm

ero

deco

ntro

lado

res

com

men

orno

rma

α

Projeto por estabilidade projetiva com otimização da norma (Teo. 5)Projeto por estabilidade estendida com otimização da norma (Teo. 3)Projeto ótimo pela formulação proposta (Teo. 7)


3.4 Conclusões parciais

A nova formulação proposta para a estabilidade estendida com o método de otimização

apresentou melhores resultados em comparação com os métodos expostos em Buzachero et al.

(2010) e Buzachero et al. (2012). Implementaram-se os controladores para todos os métodos de

projeto no helicóptero 3-DOF. Para a performance dos controladores no sistema, verificou-se

que o método proposto apresentou um desempenho melhor, com sinais de controle mais suaves,

também devido a uma norma razoavelmente menor do que a das técnicas existentes. Além

disso, as técnicas existentes admitem apenas variações suficientemente pequenas das incertezas.

Assim sendo, foi possível implementar a falha abrupta apenas devido à avaliação de que o

sistema passou para outro ponto de operação, considerando como condições iniciais o ponto de

operação antes da falha, enquanto que a nova formulação permite variações deλ (sistema com

incerteza LPV), pois a matriz de Lyapunov não é politópica, mostrando a vantagem do método

proposto para a implementação em sistemas LPV.

Na análise de mil politopos gerados aleatoriamente, a técnica proposta mostrou-se melhor

em todos os casos de comparação. Os respectivos projetos de controladores foram realizados

usando o pacote “Robust Control Toolbox” do softwareMatLabr (GAHINET et al., 1995).

55

4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOSCHAVEADOS

Introduzem-se neste capítulo conceitos que serão usados para o projeto de controladores

robustos chaveados com restrição de taxa de decaimento e otimização da norma dos contro-

ladores. Uma característica marcante da técnica que será abordada é a possibilidade de controle

de sistemas LPV, sem a necessidade de medir o parâmetro incerto a cada instante de tempo,

além das vantagens de desempenho já conhecidas de sistemas chaveados.

4.1 Chaveamento entre subsistemas

Suponha um sistema composto por uma planta com incertezas politópica, cuja a estabili-

dade deste sistema será verificada através do chaveamento conveniente entre funções de Lya-

punov quadráticas por partes. Esse sistema pode então ser denominado como sistema politópico

chaveado, tendo como vantagem a possibilidade do sistema ser do tipo LPV (DEAECTO;

GEROMEL; DAAFOUZ, 2011). A abordagem apresentada a seguir éapenas introdutória.

Concebem-se aqui, condições de estabilidade para o sistema incerto através de funções de Lya-

punov quadráticas por partes, para que se formule, nas próximas seções, o chaveamento entre

sistemas realimentados com restrição de taxa de decaimentoe otimização.

Desta forma, considere o sistema politópico chaveado na forma de espaço de estado, tendo

a estratégia de chaveamento conforme ilustrado na Figura 1:

x(t) = Aλσ x(t), x(0) = x0, (56)

sendo definido para todot ≥ 0 para algumσ(x(t)) ∈ K, comK = {1,2, ...,N}, sendo queN

é o número de vértices do politopo de incertezas,λ pertence ao simplex unitárioΛ conforme

definido em (3), sendox(t) ∈ Rn o vetor dos estado e a matrizAλσ dada por

Aλσ =N

∑j=1

λ jA jσ , (57)

sendo que o primeiro índice deA jσ refere-se ao vértice do politopo e o segundo à regra de

chaveamento, que será responsável pela escolha que verificará a estabilidade do sistema incerto.

56 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS

Definindo a função de Lyapunov quadrática por partes (GEROMEL; COLANERI, 2006):

v(x) := mini∈K

x′(t)Pix(t) = minλ∈Λ

(N

∑i=1

λix′(t)Pix(t)), (58)

sendo{P1,P2, ...,PN} ∈Rn×n simétricas e definidas positivas. Verifica-se que (58) não é diferen-

ciável para todox(t) ∈ Rn dada a existência de descontinuidades no chaveamento das funções.

Desta forma, foi econtrada umag(x(t)) : Rn → N, e as condições para que a regra de chavea-

mento dada por

σ(t) = ming(x(t)), (59)

faça com que a origem do sistema (56) seja globalmente assintoticamente estável. Para este

aspecto, definiu-se o conjunto

I(x) = {i : v(x) = x′(t)Pix(t)}, (60)

sendov(x) solução de (58) e desta formaI(x) pode possuir mais de um elemento cuja função

(58) não é diferenciável, ou seja, a solução do mínimo não é única.

4.1.1 Matrizes Metzler

Para a compreensão do teorema a seguir, considere a matriz deMetzler denotada porM

(LUENBERGER, 1979; GEROMEL; COLANERI, 2006), consistindo de todas as matrizes

Π ∈ RN×N, sendo os termosπ ji elementos da j-ésima linha e i-ésima coluna deΠ, tais que

π ji ≥ 0, ∀ j 6= i,N

∑j=1

π ji = 0, ∀i. (61)

O ponto importante para a obtenção das condições de estabilidade é utilizar uma ma-

triz Metzler dependente do parâmetro desconhecido, isto é,Π(λ ) : Λ → KN×N (GEROMEL;

DEAECTO, 2009) cujos elementos são definidos por

π ji :=

{

γλ j , j 6= i

γ(λi −1) , j = i, (62)

comγ ≥ 0.

Pode-se verificar que eles constituem uma matriz de MetzlerΠ(λ ) ∈ M para todoλ ∈ Λ.

De fato, pela definição (62) todos os elementos fora da diagonal principal são não negativos e


as identidades

N∑j=1

π ji (λ ) = [N∑j=1j 6=i

γλ j ]+ γ(λi −1)

= γ(N∑j=1

λ j −1)

= 0,

são verificadas para cadai ∈K e todoλ ∈ Λ.

Além disso, utilizandoΠ(λ ) ∈ M , temos que as igualdades

N∑j=1

π ji (λ )Pj =N∑j=1j 6=i

γλ jPj + γ(λi −1)Pi

= γN∑j=1

λ jPj − γPi

= γN∑j=1

λ j(Pj −Pi),

(63)

são verdadeiras para cadai ∈ K e todoλ ∈ Λ. Este é um resultado fundamental para o projeto

de controle robusto em questão e que tornou possível a obtenção das condições de estabilidade

robusta que serão vistas na sequência.

4.1.2 Condições para estabilidade robusta

De posse dos conceitos introduzidos, o Teorema 8 a seguir foiadequado a partir do apre-

sentado em (DEAECTO, 2010) e será estendido para inclusão da taxa de decaimento.

Teorema 8. (DEAECTO, 2010) Sendo{Q1,Q2, ...,QN} um conjunto de matrizes simétricas

semidefinidas positivas, se existirem um conjunto de matrizes simétricas definidas positivas

{P1,P2, ...,PN} e γ ∈ M satisfazendo as seguintes desigualdades de Lyapunov-Metzler

A′ji Pi +PiA ji + γ(Pj −Pi)+Qi < 0, (64)

sendo i, j ∈K, então a lei de controle

σ(t) = g(x(t)) = argmini∈K

x′(t)Pix(t), (65)

faz com que o sistema(56)seja assintoticamente estável.

Reproduziu-se a prova do Teorema 8 aqui para ser útil nas demostrações dos próximos

teoremas.


Demonstração.Assuma que as matrizes simétricasPi para todoi ∈ K são soluções das

desigualdades (64) para algumγ ≥ 0. Logo, multiplicando o resultado porλ j ≥ 0 e somando

para todoj = 1,2, ...,N, obtém-se

A′λ iPi +PiAλ i + γ

N

∑j=1

λ j(Pj −Pi)+Qi < 0. (66)

Uma vez que (66) vale para todoλ ∈ Λ, utilizando o resultado apresentado em (63), verifica-se

que o mesmo ocorre para

A′λ iPi +PiAλ i +

N

∑j=1

π ji (λ )Pj +Qi < 0, (67)

com i ∈K, Π(λ ) ∈ M e λ ∈ Λ.

Como (58) não é diferenciável para todox(t) ∈ Rn, utiliza-se a derivada de Dini (GARG,

1998) à direita de (58) que, por definição, é dada por

D+v(x(t)) = limh→0+

supv(x(t +h))−v(x(t))

h. (68)

Sabendo que a regra de chaveamento é dada porσ(t) = g(x(t)) = i, utilizando o Teorema de

Danskin (LASDON, 1970) tem-se que

D+v(x(t)) = limh→0+

supv(x(t)+hAλ ix(t))−v(x(t))h

= minl∈I(x(t))

x′(t)(Aλ i′Pl +PlAλ i)x(t)

≤ x′(t)(Aλ i′Pi +PiAλ i)x(t),

(69)

em que a desigualdade assegura o fato de quei ∈ I(x(t)).

Por ourto lado lembrando quex′(t)Pjx(t)≥ x′(t)Pix(t) = v(x) obtém-se de (67) que

D+v(x(t)) < x′(t)(−N∑j=1

π ji Pj −Qi)x(t)

= x′(t)(−N∑j=1j 6=i

π ji Pj −πii Pi −Qi)x(t)

≤ x′(t)(−N∑j=1j 6=i

π ji Pi −πii Pi −Qi)x(t)

= −(N∑j=1

π ji )x′(t)Pix(t)−x′(t)Qix(t)

= −x′(t)Qix(t)

≤ 0.

(70)

Logo (70) prova que o sistema (56) é assintoticamente estável. �


Na seção a seguir será abordada a técnica de projeto robusto chaveado robustos. Adicional-

mente, abordar-se-á a inserção da taxa de decaimento, de acordo com (BOYD et al., 1994) e

utilizando-se a derivada de Dini (GARG, 1998):D+v(x(t))≤−2αv(x(t)).

4.1.3 Projeto robusto de controladores chaveados

Considere um sistema politópico descrito pela equação:

x(t) = Aλ x(t)+Bλ u(t), x(0) = x0, (71)

sendox(t) ∈ Rn o vetor de estado eu(t) ∈ R

m a entrada de controle. As matrizes(Aλ ,Bλ ) de

dimensões compatíveis são tais que

(Aλ ,Bλ ) =N

∑j=1

λ j(A j ,B j), (72)

sendo que os vértices(A j ,B j) do politopo são matrizes conhecidas para todoj ∈ K, e λ =

[λ1,λ2, ...,λN]′ ∈ R

N pertence ao simplex unitárioΛ, conforme (3).

No contexto de sistemas LPV o parâmetroλ é variante no tempo:λ = λ (t) ∈ Λ para

todo t ≥ 0. Desta forma o objetivo é determinar um ganho de realimentaçãoKλ de forma que

utilizando a entrada de controleu(t) = Kλ x(t), o sistema em malha fechada

x(t) = (Aλ (t)+Bλ (t)Kλ (t))x(t), (73)

seja globalmente assintoticamente estável. De posse dos resultados apresentados em (GEROMEL;

COLANERI, 2006) o seguinte lema pode ser provado conforme apresentado em (DEAECTO;

GEROMEL; DAAFOUZ, 2011).

Lema 3. (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011) Se existir uma matriz simétrica definida

positiva S∈ Rn×n, matrizes simétricas Qi ∈ R

n×n e matrizes Yi ∈ Rn×n para todo i∈ K satis-

fazendo

A jS+B jYi +SAj′+Yi

′B j′+Q j −Qi < 0, (74)

para todo i, j ∈K×K, então o ganho LPV dado por Kλ =Yλ S−1 torna o sistema(71) global-

mente assintoticamente estável.

Demonstração.(DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011) Multiplicando (74) sucessi-

vamente porλi ≥ 0 e porλ j ≥ 0 e somando para todoi ∈K e j ∈K, obtemos

Aλ S+BλYλ +SAλ′+Y′

λ Bλ′ < 0, (75)


válido para todoλ ∈ Λ. Logo multiplicando ambos os lados de (75) porS−1 = P e rearranjando

os termos obter-se-á

(Aλ +Bλ Kλ )′P+P(Aλ +Bλ Kλ )< 0. (76)

Portanto, a prova segue da função de Lyapunov quadráticav(x) = x′Px pois v(x)< 0 para todo

x 6= 0∈ Rn. �

Dois pontos devem ser considerados sobre esta abordagem. AsmatrizesQ1,Q2, ...,QN po-

dem reduzir o conservadorismo, e se faz necessário seu uso para encontrar factibilidade em

muitas situações. Em segundo lugar, o controle LPV dado poru(t) = Kλ x(t) exige que o

parâmetroλ (t) seja medido a cada instante de tempo, inviabilizando este tipo de implemen-

tação quando a incerteza é tratada como falha, pois se desconhece a forma como irá ocorrer.

Além disso, conforme explanado em (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011), nesta for-

mulação a matrizP não pode ser dependente de parâmetro, pois sua derivada em relação ao

tempo,P(λ (t)), teria de ser incluída nas condições de estabilidade. Assimsendo, trocando (74)

por

A jSi +B jYi +SiA j′+Yi

′B j′+Q j −Qi < 0, (77)

comSi = Si′ > 0 para todoi, j ∈ R, e obtém-se consequentemente

(Aλ +Bλ K(λ ))′P(λ )+P(λ )(Aλ +Bλ K(λ ))< 0, (78)

sendo queKλ =Yλ S−1λ e P(λ ) = S−1

λ dependem não linearmente do parâmetro incertoλ ∈ Λ.

Entretanto, a estabilidade assintótica não pode ser assegurada, pois a desigualdade (78) não

implica que a derivada no tempo dev(x) = x′P(λ )x seja negativa, o que naturalmente impõe

alguma limitação sobre||λ (t)|| (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011). Verifica-se desta

forma, que as condições (77) com as seguintes restrições adicionais (DEAECTO, 2010):

Q j −Qi = γ(SiS−1j Si −Si), (79)

para todoi, j ∈R eγ > 0, as quais podem ser escritas em termos de LMIs, asseguram a existên-

cia de um conjunto de ganhos de realimentação de estado e uma regra de chaveamentoσ(t)

com as seguintes propriedades (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011):

• O sistema em malha fechada variante no tempo é globalmente assintoticamente estável

sem que nenhuma exigência seja feita sobre a magnitude da derivada no tempo deλ (t) ∈Λ;

• A entrada de controleu(t)=Kσ(t)x(t) não depende explicitamente do parâmetroλ (t)∈Λ,

o que permite a sua implementação sem a necessidade de medirλ (t).

4.2 Projeto robusto chaveado e restrição de taxa de decaimento 61

4.2 Projeto robusto chaveado e restrição de taxa de decai-mento

O objetivo nesta seção é determinar uma regra de chaveamentoestabilizante para sistemas

politópicos realimentados conforme se apresentou na Figura 1, sujeitos a taxa de decaimento

maior ou igual a um escalarα, descritos pela seguinte equação em espaço de estado

x(t) = (Aλ +Bλ Kσ )x(t),x(0) = x0. (80)

Para isso, propõe-se o seguinte teorema.

Teorema 9.Se existirem matrizes simétricas definidas positivas Si =Pi−1, matrizes Yi para todo

i ∈K um escalarγ ≥ 0 e um escalarα ≥ 0 satisfazendo as desigualdades de Lyapunov-Metzler

[

Sym{A jSi +B jYi}+(2α − γ)Si γSi

γSi −γSj

]

< 0, (81)

i, j ∈K

então a regra de chaveamentoσ(x(t)) = argmini∈Kx(t)′Si−1x(t) e os ganhos de realimentação

Ki =YiSi−1 para todo i∈ K fazem com que a origem x= 0 do sistema em malha fechada seja

um ponto de equilíbrio globalmente assintoticamente estável e o sistema estará sujeito a taxa

de decaimento maior ou igual aα.

Demonstração.Considere que as matrizes simétricas definidas positivasSi = Pi−1 e que

Yi = KiSi para todoi ∈K são soluções das desigualdades (81) para algumγ ≥ 0 eα ≥ 0. Multi-

plicando ambos os lados da desigualdade pordiag{Si−1, I} e, então, aplicando o complemento

de Schur em relação à segunda linha e à segunda coluna de (81),obtém-se:

Sym{Pi(A j +B jKi)}+ γ(Pj −Pi)+2αPi < 0. (82)

Multiplicando o resultado porλ j ≥ 0 e somando para todoj = 1,2, ...,N obtém-se

Sym{Pi(Aλ +Bλ Ki)}+ γN

∑j=1

λ j(Pj −Pi)+2αPi < 0. (83)

Uma vez que (83) vale para todoλ ∈ Λ, utilizando o resultado apresentado em (63), verifica-se

que o mesmo ocorre para

Sym{Pi(Aλ +Bλ Ki)}+N

∑j=1

π ji (λ )Pj <−2αPi, (84)


com i ∈K, Π(λ ) ∈ M e λ ∈ Λ.

Assim sendo, a prova decorre do Teorema 8 (DEAECTO, 2010), lembrando quex′(t)Pjx(t)≥

x′(t)Pix(t) = v(x) obtém-se de (64) que

D+v(x(t)) < x′(t)(−N∑j=1

π ji Pj −2αPλ )x(t)

≤ −(N∑j=1

π ji )x′(t)Pix(t)−2αx′(t)Pix(t)

= −2αx′(t)Pix(t)

< 0.

(85)

De (85) está provado que a origem do sistema (80) é globalmente assintoticamente estável e o

sistema estará sujeito a taxa de decaimento maior ou igual aα, garantindo que a mínima função

energia estará sempre ativa, lembrando que ˙v(t)≤−2αv(x), sendov(x) = mini∈K

(x′(t)Pix(t)).

Note que, se a restrição de taxa de decaimento for satisfeita, a estabilidade robusta também

o será. �

Na Seção 4.4, é verificada a eficiência do método com a inserçãoda taxa de decaimento.

4.3 Otimização da norma de controladores chaveados

Em muitas situações os controladores com chaveamento em sistemas com restrição de taxa

de decaimento possuem ganhos elevados, dificultando assim sua implementação prática. A fim

de contornar esta dificuldade foi proposto o Teorema 10 adicionalmente ao Teorema 9, para

minimizar a norma deKi e garantir a taxa de decaimento maior ou igual aα.

Teorema 10. Dada uma constanteµ0 > 0, utilizada apenas para flexibilizar a obtenção de

factibilidade, obtém-se um limitante para a norma dos controladores Ki ∈ Rm×n, com Ki =

YiS−1i , Si = S′i > 0, Si ∈ R

n×n e Yi ∈ Rm×n encontrando o valor mínimo deβ , β > 0 tal que

K′i Ki <

βµ0

In. O valor mínimo deβ pode ser encontrado resolvendo o seguinte problema de

otimização com restrição de taxa de decaimento maior ou igual a α:

minβ

s.a

[

Si Y′i

Yi β Im

]

> 0,(86)

Si > µ0In, (87)[

Sym{A jSi +B jYi}+(2α − γ)Si γSi

γSi −γSj

]

< 0, (88)


i, j ∈K

sendo Im e In são matrizes identidade de ordem m e n respectivamente.

Demonstração.Aplicando o complemento de Schur para a primeira desigualdade de (86)

resulta em (89)

β Im > 0 e Si −Y′i (β Im)

−1Yi > 0. (89)

Assim, a partir de (89), encontra-se (90)

Si >1β

Y′i Yi ⇒Y′

i Yi < βSi . (90)

SubstituindoYi = KiSi em (90) resulta em (91)

SiK′i KiSi < βSi ⇒ K′

i Ki < βS−1i (91)

Assim, a partir de (87) e (91), pode-se deduzir (92).

K′i Ki <

βµ0

In, (92)

na qualKi são controladores ótimos associados a (81). �

Conclui-se, desta forma, que minimizar a norma de uma matriz éequivalente a minimizar

um escalarβ > 0 tal queK′i Ki <

βµ0

In, comµ0 > 0.

4.4 Exemplo de Aplicação: Sistema massa-mola-massa

Considere o sistema da Figura 9. Este sistema envolve dois carros, cujas massas nomi-

nais sãom1 = m2 = 1 kg, conectadas por uma mola de constante elásticak = 1,25 N/m

(DEAECTO, 2010). O problema consiste em atuar na entrada de controle u de forma a ter

o tempo de duração do transitório reduzido convenientemente por meio da realimentação de

estado de dois controladores chaveados{K1,K2} projetados com taxa de decaimento, sendo a

regra de chaveamentoσ(x(t)) conforme definida anteriormente.


Figura 9 - Sistema massa-mola-massa.

m1m2

x1x2

ku

Fonte: (SKAFIDAS et al., 1999)

O modelo em espaço de estado que descreve o sistema é:

.x1.x2..x1..x2

=

0 0 1 0

0 0 0 1

− km1

km1

0 0k

m2− k

m20 0

x1

x2.x1.x2

+

0

0

0

1

u. (93)

Considerar-se-á que a constante da mola é modelada como um parâmetro incerto variante

no tempo 0,5≤ k(t) ≤ 2,0 para todot ≥ 0. Desta forma, constituir-se-á um politopo definido

pelos vértices:

A1 =

0 0 1 0

0 0 0 1

−0,5 0,5 0 0

0,5 −0,5 0 0

, A2 =

0 0 1 0

0 0 0 1

−2 2 0 0

2 −2 0 0

. (94)

Deseja-se realizar o projeto conjunto de controladores{K1,K2} e a regra de chaveamento

σ de modo a assegurar a estabilidade com taxa de decaimento maior ou igual aα.

Para propostas de simulação, considera-seλ (t)∈Λ dada comoλ1(t) = 0,5−0,5sen(10t) e

λ2(t) = 0,5+0,5sen(10t), correspondente ak(t) = 1,25+0,75sen(10t) para todot ≥ 0. Note

queλ1(t)+λ2(t) = 1,∀t.

Utilizando o Teorema 9 comγ = 0,01 encontrado através de uma busca unidimensional,

projetaram-se controladores para diferentes taxas de decaimento e, em seguida, simulou-se o

comportamento do sistema conforme resultados apresentados nas Figuras 11 e 14.


Fixandoα = 0,4 para a taxa de decaimento, foram encontrados os seguintes controladores:

K1 =[

16,6137 −56,6729 −87,6048 −8,8614]

, (95)

K2 =[

16,5626 −56,4807 −87,2974 −8,8373]

. (96)

A Figura 10 representa a nuvem de autovalores do sistema incerto, varrendoλ (t) parat

entre 0 e2π10 realimentado tanto comK1 como comK2.

Figura 10 - Nuvem de autovalores paraα = 0,4 do sistema massa-mola-massa varrendoλ (t)para 63 partições det entre(0, 2π

10) realimentado tanto comK1 como comK2.

−5.5 −5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.4

−6

−4

−2

0

2

4

6

α = 0,4

Par

teim

agin

ária

dos

auto

valo

res

Parte real dos autovalores


Dadas as condições iniciaisx0 =[

1 −1 0 0]′

, o sistema apresentou o comportamento

conforme a Figura 11. Apresentaram-se o sinal de controle e ocontrolador ativo em cada

instante de tempo na Figura 12.

Com o objetivo de verificar a eficiência para restrições maiores de taxa de decaimento

fixou-seα = 1 e foram encontrados os seguintes controladores.

K1 =[

−1,4620 −0,5279 −2,0869 −0,0345]

×103. (97)

K2 =[

−1,4603 −0,5273 −2,0845 −0,0345]

×103. (98)


Figura 11 - Simulação do sistema realimentado projetado comα = 0,4.

0 1 2 3 4 5 6−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x(t)

para

deca

imen

toα=

0,4

x1(t)x2(t)x1(t)x2(t)

t[s]


Figura 12 - Sinal de controle e controlador ativo paraα = 0,4.

0 1 2 3 4 5 6−40

−20

0

20

40

60

80

100

u(t)

para

deca

imen

toα=

0,4

u(t)chaveamento do controlador

K1 atuando

K2 atuando

t[s]


A Figura 13 representa a nuvem de autovalores do sistema incerto, varrendoλ (t) parat

entre 0 e2π10 realimentado tanto comK1 como comK2, consuderando agoraα = 1.


Figura 13 - Nuvem de autovalores paraα = 1 do sistema massa-mola-massa varrendoλ (t) para63 partições det entre(0, 2π

10) realimentado tanto comK1 como comK2.

−25 −20 −15 −10 −5 −1

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10 α = 1

Par

teim

agin

ária

dos

auto

valo

res

Parte real dos autovalores


Dadas as condições iniciaisx0 =[

1 −1 0 0]′

, o sistema apresentou o comportamento

conforme Figura 14, sendo o sinal de controle e o controladorativo em cada instante de tempo

apresentado na Figura 15.

Figura 14 - Simulação do sistema realimentado projetado comα = 1.

0 1 2 3 4 5 6−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

x(t)

para

deca

imen

toα=

1

x1(t)x2(t)x1(t)x2(t)

t[s]



Figura 15 - Sinal de controle e controlador ativo paraα = 1.

0 1 2 3 4 5 6−1500

−1000

−500

0

500

u(t)

para

deca

imen

toα=

1

u(t)chaveamento do controladorK1 atuando

K2 atuando

t[s]


Verifica-se que, com um incremento na taxa de decaimento (α de 0,4 para 1), houve um au-

mento considerável dos ganhos dos controladores, podendo tornar inviável a aplicação prática

desta técnica. Para resolver esse problema, pode-se utilizar as LMIs de otimização apresentadas

no Teorema 10, que foram adaptadas à nova situação de controladores comutados. Dada a possi-

bilidade de implementar a técnica com otimização no helicóptero 3-DOF, optou-se por encerrar

o exemplo e testar a técnica de otimização da norma do controlador na prática, conforme se vê

na seção a seguir.

4.5 Implementação de controladores chaveados no helicóptero3-DOF

Com base na implementação no Helicóptero 3-DOF apresentado na Seção 3.2, cuja planta

incerta é dada pela equação (49), sendo as matrizesA e B dadas em (50), realizaram-se modifi-

cações no diagrama de blocos do sistema, conforme Figura 16,de modo a viabilizar o chavea-

mento entre dois controladores, tendo a equação (65) como lei de chaveamento entre os contro-

ladores.

Sendo assim, optou-se por utilizar, a princípio, o mesmo politopo apresentado na Seção 3.2

onde há uma queda de 30% da potência do motor traseiro, constituindo-se, assim, um politopo

de dois vértices, com a incerteza formulada como uma falha naconstante da hélice de propulsão

traseira do helicóptero, conforme foi mostrado em (51) e (52).


Figura 16 - Esquemático do controle chaveado para a planta dohelicóptero 3-DOF.

x(t)u(t)Planta Incerta:

Helicptero

3−DOF

K1

K2

σ(t)

Fonte: Adaptado de (GEROMEL; DEAECTO, 2009)

4.5.1 Implementação com restrição de taxa de decaimento

Fixando a taxa de decaimento emα = 0,5, comγ = 0,01 (valor encontrado por meio de

uma busca unidimensional), projetaram-se os controladores com as LMIs do Teorema (9):

K1 =[

−44,3379−45,5873 69,1638 −26,1167−8,4741 72,0474 −21,5287 26,5047−56,8409 12,8806 −7,7320−33,5474 5,3329 −11,0419−28,0442−2,3395

]

, (99)

sendo||K1||= 127,6734

K2 =[

−44,3142−45,6449 69,1270 −26,0883−8,5321 72,0314 −21,5224 26,4858−56,8689 12,8301 −7,6649−33,5570 5,2910 −11,0278−28,0573−2,2985

]

, (100)

sendo||K2||= 127,6622.

Na Figura 17, apresentaram-se as variáveis:elevation(ε), pitch (ρ) e travel (θ ) em graus

para a trajetória estabelecida na Seção 3.2 para os controladores (99) e (100). Note a ocorrência

da queda de 30% na potência do motor traseiro, no instante 22 sda trajetória.

As Figuras 18 e 19 mostram as tensões nos motores dianteiro (Vf ) e traseiro (Vb) com

o controlador ativo a cada instante de tempo, e umzoomno chatteringpara visualizar mais

claramente qual controlador está ativo a cada instante de tempo.

Nas duas Figuras 18 e 19 o nível 0 a 4 constam apenas para distinguir quando o controlador

K1 ou o controladorK2 estarão ativos.

Aumentou-se o parâmetro incerto para verificar as vantagensno projeto de controladores

chaveados com restrição de taxa de decaimento. Agora o projeto irá considerar uma falha de

90% no motor traseiro, que é considerada pelo grupo de pesquisa como uma falha extremamente

severa. Para este caso de incerteza, o projeto por estabilidade quadrática com a mesma restrição


Figura 17 - Implementação prática dos controladores projetados para falha de 30% eα = 0,5.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Variá

veis

dees

tado

[gra

us]

ε(t)

ρ(t)

θ(t)

Falha

t[s]


Figura 18 - Sinais de controle e controlador ativo para falhade 30% eα = 0,5.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

8

10

12

14

16

Sin

ais

deco

ntro

le[V

]eco

ntro

lado

rat

ivo

Vf (t)

Vb(t)

K1 ativo

K2 ativo

t[s]


de taxa de decaimento não pode ser implementado devido aos altos ganhos (norma do contro-

lador maior que 500), mesmo utilizando a otimização da normado controlador (ASSUNÇÃO

et al., 2007b).

Desta forma, a incerteza na constante da força de propulsão da hélice traseira será formulada

entre 0,0119≤ kf 2 ≤ 0,1188, e a implementação no sistema permitirá que a tensão no motor

traseiro varie entre 0,1Vb eVb. O politopo é descrito em (101) e (102).


Figura 19 -Zoomnochatteringpara o controlador ativo (0< t < 9s) - falha de 30% eα = 0,5.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

C

ontr

olad

orat

ivo

K1 ativo

K2 ativo

t[s]


Vértice 1 (kf 2 = 0,1188):

A1 =

0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 −1,2304 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0

e B1 =

0 00 00 0

0,0858 0,08580,5810−0,5810

0 00 00 0

. (101)

Vértice 2 (kf 2 = 0,0119):

A2 =

0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 −1,2304 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0

e B2 =

0 00 00 0

0,0858 0,00860,5810−0,0581

0 00 00 0

. (102)

Fixando o parâmetro da taxa de decaimento emα = 0,4 (paraα ≥ 0,5 os motores seriam

forçados desnecessariamente devido aos altos ganhos e poderiam ser danificados), comγ = 0,01

foram projetados os controladores com as LMIs do Teorema 9:

K1 =[

−55,5049 −40,9199 57,8231 −43,6479 −5,6217 63,0498 −19,4287 20,8321−306,8891 45,0160 0,0990 −241,3830 35,6740 −12,6514−107,8750 0,2160

]

, (103)

onde||K1||= 414,8748


K2 =[

−55,3989 −41,0142 57,6339 −43,5856 −5,7157 63,0437 −19,3857 20,7201−306,8414 45,0471 0,0159 −241,3605 35,6716 −12,7051−107,8488 0,1810

]

, (104)

onde||K2||= 414,7950.

Os mesmos ensaios mostrados nas Figuras 17 e 18 são agora apresentados nas Figuras 20

e 21 respectivamente, porém agora para o projeto prevendo uma falha de 90% na potência do

motor traseiro.

Figura 20 - Implementação prática dos controladores projetados para falha de 90% eα = 0,4.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Variá

veis

dees

tado

[gra

us]

ε(t)

ρ(t)

θ(t)

Falha

t[s]


Figura 21 - Sinais de controle e controlador ativo projetadopara falha de 90% eα = 0,4.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

Sin

ais

deco

ntro

le[V

]eco

ntro

lado

rat

ivo

Vf (t)

Vb(t)

K1 ativo

K2 ativo

t[s]



Pode-se verificar que as duas implementações tanto para o projeto prevendo falha de 30%

como para o projeto prevendo falha de 90% foram eficientes, porém, os ganhos no caso de 90%

foram altos originando um sinal de controle mais agressivo.Assim sendo, faz-se necessário

considerar um limitante para a norma controlador, de modo a facilitar a sua aplicação.

Cabe colocar aqui que a tensão enviada aos motores é limitada entre−24V a 24V, sendo

saturada fora destes limites. No casos estudados neste trabalho, não houve nenhuma situação

onde a tensão ultrapassou os limites de saturação de 24V, sendo o sinal de controle enviados

sem saturação para os motores.

4.5.2 Implementação com restrição de taxa de decaimento e otimizaçãoda norma de K

Nesta subseção, usou-se o Teorema 10 juntamente com a teoriadiscutida na seção anterior

(Teorema 9) com o objetivo de projetar os controladores ótimos chaveados.

Os mesmos vértices com queda de 30% na potência do motor traseiro mostrados em (51)

e (52) na subseção anterior foram utilizados. Desta forma, fixando o limite para a taxa de

decaimento emα = 0,5, comγ = 0,01 foram projetados os controladores chaveados conforme

(105) e (106) para o sistema com otimização da norma dos controladores.

K1 =[

−7,8546 −5,2683 1,7896 −8,7819 −3,1169 3,8647 −2,4646 0,3331−11,3572 4,5384 −1,2462−12,4826 3,0941 −2,9212−3,5958−0,2319

]

, (105)

sendo||K1||= 21,0702

K2 =[

−7,9085 −5,2697 1,7932 −8,7866 −3,1158 3,8697 −2,4925 0,3337−11,4089 4,5449 −1,2494−12,4765 3,0945 −2,9279−3,6219−0,2325

]

, (106)

sendo||K2||= 21,1242.

Note que as respectivas normas são menores do que as encontradas para os controladores

(99) and (100), isto é, a norma dos controladores (105) e (106) são apenas 16% da norma dos

controladores (99) e (100).

Os mesmos resultados mostrados nas Figuras 17 e 18 são agora apresentados nas Figuras

22 e 23 respectivamente, para uma falha de 30% na potência do motor traseiro, porém, agora

com otimização da norma dos controladores.

Pode-se verificar que os sinais de controle da Figura 23 são mais suaves quando comparados

com os da Figura 18 devido à otimização, alcançando a mesma eficiência dos requisitos de

projeto (α = 0,5), e evitando desgastes desnecessários.


Figura 22 - Implementação prática dos controladores ótimospara falha de 30% eα = 0,5.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−50

0

50

100

150

200

Variá

veis

dees

tado

[gra

us]

ε(t)

ρ(t)

θ(t)

Falha

t[s]


Figura 23 - Sinais de controle e controlador ótimo ativo parafalha de 30% eα = 0,5.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

2

4

6

8

10

12

Sin

ais

deco

ntro

le[V

]eco

ntro

lado

rat

ivo

Vf (t)

Vb(t)

K1 ativo

K2 ativo

t[s]


Agora, para verificar a eficiência da metodologia proposta, oprojeto com otimização foi

realizado para uma falha de 90% no motor traseiro.

Os mesmos vértices com queda de 90% na potência do motor traseiro mostrado em (101) e

(102) na subseção anterior foram utilizados. Devido à otimização da norma dos controladores, a

taxa de decaimento pode ser aumentada para esta implementação. Desta forma, fixando o limite

para a taxa de decaimento emα = 1, comγ = 0,01 foram projetados controladores chaveados,


com restrição da taxa de decaimento e otimização da norma doscontroladores conforme (107)

e (108).

K1 =[

−19,6049 −18,3121 16,2003 −13,9020 −6,4905 21,9296 −9,8636 4,6754−219,5329 33,8628 −1,5543−140,2262 21,0920 −15,8793−115,7144−0,4486

]

(107)

sendo||K1||= 289,0915

K2 =[

−19,7372 −18,2731 16,1788 −13,9375 −6,4805 21,8910 −9,9654 4,6684−219,6227 33,8753 −1,5537−140,1989 21,0891 −15,8888−115,8014−0,4483

]

(108)

sendo||K2||= 289,1957.

Note que as respectivas normas são menores que as obtidas para os controladores (103) e

(104), isto é, a norma dos controladores (107) e (108) equivalem a 70% da norma dos contro-

ladores (103) e (104). Além disso, a taxa de decaimento pôde ser aumentada consideravelmente,

neste caso deα = 0,5 paraα = 1.

Os mesmos ensaios mostrados nas Figuras 20 e 21 são agora apresentados nas Figuras 24 e

25, respectivamente, porém agora com otimização da norma dos controladores.

Figura 24 - Implementação prática dos controladores ótimospara falha de 90% eα = 1.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Variá

veis

dees

tado

[gra

us]

ε(t)

ρ(t)

θ(t)

Falha

t[s]


De forma similar ao ocorrido nas Figuras 18 e 23, pode-se verificar claramente que os sinais

de controle da Figura 25 são mais suaves comparado com os da Figura 21 devido à otimização,

alcançando uma eficiência maior devido a taxa de decaimento poder ter sido aumentada (α = 1),

e devido aos ganhos reduzidos que evitaram desgastes desnecessários.


Figura 25 - Sinais de controle e controlador ótimo ativo parafalha de 90% eα = 1.

0 5 10 15 20 25 30 35 40−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Sin

ais

deco

ntro

le[V

]eco

ntro

lado

rat

ivo

Vf (t)

Vb(t)

K1 ativo

K2 ativo

t[s]



Neste capítulo, propôs-se um método aprimorado para o projeto de controladores robustos

chaveados, restrição de taxa de decaimento e otimização da norma dos controladores. Associou-

se a condição de estabilidade robusta garantida com a teoriade chaveamento, com a restrição de

taxa de decaimento maior que um escalarα e a otimização da norma do controlador, expressas

através de LMIs com um escalar adicionalγ fixo.

Na fase de implementação no Helicóptero 3-DOF, o chaveamento entre controladores provou

ser eficaz, combinado com a taxa de decaimento, proporcionando um voo durante a trajetória

com poucas oscilações. À medida que se impôs falhas mais severas, os ganhos dos contro-

ladores também aumentaram, exigindo um procedimento de otimização para facilitar a apli-

cação desta técnica. Os controladores projetados com a técnica de otimização proposta apresen-

taram valores reduzidos para a norma, quando comparados comos outros controladores. Estes

valores reduzidos causam sinais de controle mais suaves, com a vantagem de se obter a mesma

eficiência dos requisitos de projeto, mostrando assim o benefício da metodologia proposta em

relação ao custo de implementação e esforços requeridos dosmotores. Estas características

de otimização tornam o projeto interessante sob o ponto de vista de aplicações práticas para

sistemas com parâmetros incertos, garantindo estabilidade robusta por meio da teoria de con-

trole chaveado. Ainda possibilitou baixas oscilações na ocorrência de falhas devido à taxa de

decaimento e à facilidade de aplicação nos sistemas que exigem menor custo de implementação.

77

5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DESISTEMAS CHAVEADOS

Neste capítulo, propõe-se uma técnica menos conservadora para a análise de estabilidade

de sistemas lineares incertos, utilizando funções de Lyapunov quadráticas por partes. A van-

tagem desta técnica está no aumento dos escalares de relaxaçãoγ vistos na seção anterior. Estes

escalares são agora variáveis nesta abordagem e desta formaestão livres para se adaptar. Con-

sequentemente se faz necessária a utilização de BMIs, em que os termos bilineares estão no

produto dos escalares de relaxação e de matrizes variáveis.A classe de BMIs em questão pode

ser resolvida pelo métodopath-following, como será visto na sequência.

5.1 Sistemas chaveados utilizando desigualdades de Lyapunov-Metzler

De forma similar ao abordado no Capítulo 4, considere o sistema linear com comutação

abaixo (GEROMEL; COLANERI, 2006):

x(t) = Aσ(t)x(t), x(0) = x0, (109)

definido para todot ≥ 0, em quex(t) ∈ Rn, σ(t) é a regra de comutação ex0 é a condição

inicial. A partir de um conjunto conhecido de matrizes constantesAi ∈ Rn×n, i ∈K, é possível,

em cada instante de tempo, escolher a regra de comutaçãoσ(t) para todot ≥ 0, e desta forma

selecionar uma matrizAσ(t) ∈ Rn×n dentre aquela pertencentes ao conjunto mostrado abaixo:

Aσ(t) ∈ {A1,A2, ...,AN}. (110)

Assim sendo, cadaAσ(t) pode comutar instantaneamente deAi paraAk para algumi 6= k∈

K quando ocorrer comutação deσ = i paraσ = k e Aσ(t) é comutado entre osN possíveis

subsistemas{A1,A2, ...,AN}.

78 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS

Define-se a função de Lyapunov mínima e quadrática por partes:

v(x) := mini∈K

{vi(x(t))}, vi(x(t)) = x′(t)Pix(t), (111)

com{P1,P2, ...,PN} ∈ Rn×n ePi > 0 para todoi ∈K. Esta função fornece condições favoráveis

para análise de factibilidade e projeto de controle.

Como (111) não é diferenciável para todox(t) ∈ Rn encontrou-se uma funçãog(x(t)) =

{g|Vg(x(t)) = mini∈K

{vi(x(t)}}, e condições para a regra de comutação dadas por

σ(t) = ming(x(t)), (112)

que possibilitam a verificação da estabilidade assintóticade (109). Para este caso foi definido

um conjuntoI(x) = {i : v(x) = x′(t)Pix(t)} que tem mais de um elemento cuja função (111) não

é diferenciável, isto é, a solução mínima não é única.

O teorema a seguir foi retirado de (GEROMEL; COLANERI, 2006) e fornece condições

de estabilidade considerando a possibilidade de comutaçãoentre os subsistemas, utilizando a

função (111).

Teorema 11.(GEROMEL; COLANERI, 2006) Seja Q≥ 0, e se existir um conjunto de matrizes

simétricas definidas positivas{P1,P2, ...,PN} e um escalar positivoγ satisfazendo as desigual-

dades modificadas de Lyapunov-Metzler

A′iPi +PiAi + γ(Pj −Pi)+Qi < 0, j 6= i ∈K (113)

então a lei de controle(112)faz com que o sistema(109)seja assintoticamente estável.

Demonstração.Demonstração similar a apresentada no Teorema 8. �

O impasse existente na aplicação desta teoria é a comutação entre os subsistemas, pois, no

foco em questão, o sistema é único com parâmetros incertos necessitando para tanto garantir

a convexidade das LMIs. Muitos trabalhos têm encontrado formulações mais relaxadas para a

estabilidade de sistemas lineares incertos invariantes notempo ou com taxa de variação sufi-

cientemente pequenas dos parâmetros incertos (SKELTON; IWASAKI; GRIGORIADIS, 1997;

OLIVEIRA; GEROMEL; HSU, 1999; OLIVEIRA; BERNUSSOU; GEROMEL, 1999).

A seguir, apresentam-se condições de estabilidade convexapara sistemas lineares incertos,

baseadas na estabilidade de sistemas com comutação, onde o sistema pode ter incertezas vari-

antes no tempo (LPV). O teorema proposto a seguir foi baseadoem resultados apresentados em

(DEAECTO, 2010).

5.1 Sistemas chaveados utilizando desigualdades de Lyapunov-Metzler 79

Teorema 12. O sistema linear incerto dado em(1) é assintoticamente estável, se existirem

matrizes simétricas positivas definidas Pi e Qi, escalaresγ ≥ 0, com i, j ∈ K, satisfazendo as

seguintes desigualdades matriciais:

A′jPi +PiA j + γ(Pj −Pi)+Qi < 0, (114)

e exista uma escolha conveniente das funções mínimas em cadainstante de tempo, conforme a

regra (112).

Demonstração.Considerando a função de Lyapunov (111), como a funçãov(x(t)) não é

diferenciável para todox ∈ Rn, a derivada de Dini (GARG, 1998; GEROMEL; COLANERI,

2006) à direita da função (111) será

D+v(x(t)) = mini∈K

[x′(t)Pix(t)+x′(t)Pi x(t)]. (115)

Substituindo (4) em (115)

D+v(x(t)) = mini∈K

[

N

∑j=1

λ j(x′(t)A′

jPix(t)+x′(t)PiA jx(t))

]

= mini∈K

{

x′(t)

[

N

∑j=1

λ j(A′jPi +PiA j)

]

x(t)

}

. (116)

Considerando que

x′(t)(Pλ −Pi)x(t) = x′(t)N

∑j=1

λ j(Pj −Pi)x(t)≥ 0,

γ ≥ 0, para todoi, j ∈K, então de (116) parax(t) 6= 0,

D+v(x(t)) ≤ x′(t)

{

N

∑j=1

λ j[

A′jPi +PiA j + γ(Pj −Pi)

]

}

x(t)

< x′(t)

{

N

∑j=1

λ j[

A′jPi +PiA j + γ(Pj −Pi)+Qi

]

}

x(t) (117)

< 0.

�

O contraponto na aplicação desta técnica é o uso do escalarγ, que é fixo e predetermi-

nado, por meio de uma busca unidimensional, inserindo um certo conservadorismo na busca

por factibilidade.


Na seção a seguir, a função candidata foi modificada de forma aobter condições mais

relaxadas para a estabilidade de sistemas lineares incertos, utilizando uma técnica eficiente

baseada em BMIs que podem reduzir o conservadorismo.

5.2 Novos resultados utilizando uma função de Lyapunov mí-nima e quadrática por partes

Em (CHEN et al., 2012) foram propostas condições menos conservadoras para o projeto de

controladores chaveados Fuzzy. Estas condições foram formuladas por meio de BMIs, através

do produto de variáveis matriciais e variáveis escalares, responsáveis por reduzir o conser-

vadorismo para a garantia de factibilidade. Conforme (CHEN etal., 2012), estas BMIs podem

ser resolvidas pelo métodopath-following(HASSIBI; HOW; BOYD, 1999), apresentado no

Apêndice A.

Dada a possibilidade de solução de BMIs com o métodopath-following, o Teorema 12

pode ser generalizado no Teorema 13, onde os escalares de relaxação aparecerão em maior

quantidade possibilitando um maior grau de liberdade, em função destes estarem livres para se

adaptarem. Nas Seções 5.5.1 e 5.5.2, é possível verificar as vantagens na obtenção de factibili-

dade desta técnica através de exemplos.

Teorema 13. O sistema linear incerto(1) é assintoticamente estável, se existirem matrizes

positivas definidas Pi, matrizes negativas definidas Yji , escalaresγi js ≥ 0 eα < 0, com i, j,s∈K,

satisfazendo as seguintes desigualdades:

A′jPi +PiA j +

N

∑s=1

γi js(Ps−Pi)−Yji < αPi , (118)

e exista um escolha conveniente das funções mínimas em cada instante de tempo conforme

regra (112).

Demonstração.Considere a função de Lyapunov candidata e quadrática por partes (111).

Suponha quev(x(t)) = mini∈K

{x′(t)Pix(t)}= x′(t)Pσ x(t), sendoσ escolhido conforme (112). De

(CHEN et al., 2012) sev(x(t+))≤ vi(x(t+)) então ˙v(x(t+))≤ vi(x(t+)), ou

v(x(t)) = limt+→t

v(x(t+))−v(x(t))t+− t

= limt+→t

v(x(t+))−vσ (x(t))t+− t

e, por outro lado,

vσ (x(t)) = limt+→t

vσ (x(t+))−vσ (x(t))t+− t

.

5.3 Generalização da função de Lyapunov candidata e quadrática por partes 81

Comov(x(t+))≤ vσ (x(t+)) tem-se que

v(x(t)) = limt+→t

v(x(t+))−vσ (x(t))t+− t

≤ limt+→t

vσ (x(t+))−vσ (x(t))t+− t

= vσ (x(t)).

Sendo assim, comα < 0 a fim de conceber restrições que podem ser resolvidas com o

métodopath-following:

v(x(t))−αv(x(t)) ≤ vσ (x(t))−αvσ (x(t)) = x′(t)Pσ x(t)+x′(t)Pσ x(t)−αx′(t)Pσ x(t)

≤N

∑j=1

λ jx′(t)(A j

′Pσ +Pσ A j −αPσ )x(t).

Baseado na estrutura de (111), fica claro que

x′(t)N

∑s=1

γσ js(Ps−Pσ )x(t)≥ 0 (119)

procede para cadaσ , j,s∈ K e todoλ ∈ Λ, ondeγσ js ≥ 0 são parâmetros de relaxação, e

v(x(t+))≤ vσ (x(t+)). Considerando os parâmetros de relaxaçãoγσ js ≥ 0, de (119) segue para

x(t) 6= 0,

v(x(t))−αv(x(t)) ≤N

∑j=1

λ jx′(t)

[

A j′Pσ +Pσ A j −αPσ +

N

∑s=1

γσ js(Ps−Pσ )

]

x(t)

≤N

∑j=1

λ jx′(t)

[

A j′Pi +PiA j −αPi +

N

∑s=1

γi js(Ps−Pi)−Yji

]

x(t)

< 0

e desta forma, seα < 0 pode-se verificar que ˙v(x(t))< 0. �

Na próxima seção, a função de Lyapunov candidata e quadrática por partes foi manipulada

para a obtenção de condições ainda mais relaxadas para a estabilidade de sistemas lineares

incertos.

5.3 Generalização da função de Lyapunov candidata e qua-drática por partes

Pode-se verificar que a função mínima e quadrática por partes(111) não precisa neces-

sariamente estar limitada a quantidade de vértices do polito de incertezas, podendo assumir a

quantidade de subfunções que proporcionem uma maior flexibilização na região de factibili-

dade. Sendo assim a quantidade de subfunções utilizada assume agora um valorM genérico,


sendoM > N.

Considere desta forma o caso em que a função de Lyapunov candidata e quadrática por

partes, seja composta deM subfunções, sendo criada para tanto, um conjuntoKM, tal que nesta

situaçãoσ ∈KM, comKM = {1,2, ...,M}:

v(x) := mink∈KM

{vk(x(t))}, vk(x(t)) = x′(t)Pkx(t), (120)

com{P1,P2, ...,PM} ∈ Rn×n e Pk > 0 para todok ∈ KM. Desta forma, o Teorema 13 pode ser

flexibilizado conforme apresentado no Teorema 14 a seguir:

Teorema 14. O sistema linear incerto(1) é assintoticamente estável, se existirem matrizes

simétricas positivas definidas Pk, matrizes negativas definidas Yjk, escalaresγ jks ≥ 0 e α ≤ 0,

com j∈K e k,s∈KM, tal que as seguintes desigualdades matriciais sejam satisfeitas:

A′jPk+PkA j +

M

∑s=1

γ jks(Ps−Pk)−Yjk < αPk (121)

e exista uma escolha conveniente das funções mínimas em cadainstante de tempo conforme

regra σ(t) = mingM(x(t)), com gM(x(t)) = {g|Vg(x(t)) = mink∈KM

{vk(x(t))}}.

Demonstração.Demonstração similar a apresentada no Teorema 13. �

Devido ao aumento na quantidade de funções quadráticas por partes, este método apre-

senta um grau extra de flexibilidade, uma vez que os escalaresde relaxação estão livres para se

adaptarem e satisfazerem as desigualdades. Note que as BMIs apresentadas em (121) podem

ser resolvidas com o métodopath-followingdetalhado no Apêndice A.

5.4 Formulação utilizando o Lema de Finsler

Com o objetivo de proporcionar uma relaxação maior nas BMIs utilizando uma função

de Lyapunov mínima e quadrática por partes, propõe-se, na sequência, um equacionamento

utilizando o Lema de Finsler (Lema 1). Assim sendo, convencionando as matrizesB = [A j −I ],

B⊥ =[

IA j

]

e L =

[ N∑

s=1γi js(Ps−Pi)−Yji Pi

Pi 0

]

como parâmetros do Lema 1, teremos a propriedade 2

do Lema de Finsler escrita como:

2. ∃Pi = P′i > 0,∃Ps = P′

s > 0 eYji =Y′ji ≥ 0 tal que

[

I

A j

]′

N∑


Pi 0

[

I

A j

]

< 0,

5.4 Formulação utilizando o Lema de Finsler 83

resultando nas condições equivalentes às do Teorema 13:

2. A′jPi +PiA j +

N∑

s=1γi js(Ps−Pi)−Yji < 0.

Da prova existente do Lema de Finsler, pode-se concluir que as propriedades 2 e 4 são

equivalentes. Assim, reescreve-se a propriedade 4 como segue:

4. ∃X ∈ R2n×n, ∃Pi = P′

i > 0, ∃Ps = P′s > 0 eYji =Y′

ji ≥ 0 tal que

N∑


Pi 0

+X

[

A j −I]

+

[

A′j

−I

]

X ′ < 0.

Escolhendo convenientemente a matriz de variáveisX =[

W1 jib2 jiW2 ji

]

, comW1 ji e W2 ji ∈

Rn×n, e escalares eb2 ji > 0 para fins de relaxação das desigualdades, pode-se desenvolver a

propriedade 4, obtendo:

N∑


Pi 0

+

[

W1 ji A j −W1 ji

b2 jiW2 ji A j −b2 jiW2 ji

]

+

[

A′jW

′1 ji b2 ji A′

jW′2 ji

−W′1 ji −b2 jiW′

2 ji

]

< 0.

Assim, encontraram-se as seguintes BMIs:

A′jW

′1 ji +W1 ji A j +

N∑

s=1γi js(Ps−Pi)−Yji Pi −W1 ji +A′

jb2 jiW′2 ji

Pi −W′1 ji +b2 jiW2 ji A j −b2 jiW2 ji −b2 jiW′

2 ji

< 0, (122)

Pi > 0. (123)

sendoW1 ji eW2 ji ∈ Rn×n, W1 ji 6=W′

1 ji eW2 ji 6=W′2 ji . Com base nesta formulação, propõe-se o

teorema a seguir.

Teorema 15. Uma condição suficiente para que se garanta a estabilidade assintótica do sis-

tema incerto(1) é a existência de matrizes W1 ji ,W2 ji ∈Rn×n, Yji ,Pi ∈R

n×n e escalares b2 ji > 0,

γi js > 0 e α < 0, com i, j,s∈K satisfazendo as desigualdades

A′jW

′1 ji +W1 ji A j +

N∑

s=1γi js(Ps−Pi)−Yji Pi −W1 ji +b2 ji A′

jW′2 ji

Pi −W′1 ji +b2 jiW2 ji A j −b2 jiW2 ji −b2 jiW′

2 ji

< 0, (124)

Pi > 0, (125)

Yji < αPi . (126)


e exista uma escolha conveniente das funções mínimas em cadainstante de tempo conforme

regra (112).

Demonstração.Multiplicando (124) porλ j ≥ 0, e somandoj, de j = 1 até j = N, tem-se

A′λW′

1λ i +W1λ iAλ +N∑

s=1γiλs(Ps−Pi)−Yλ i Pi −W1λ i +b2λ iA

′λW′

2λ i

Pi −W′1λ i +b2λ iW2λ iAλ −b2λ iW2λ i −b2λ iW

′2λ i

< 0, (127)

Pi > 0, (128)

Yλ i < αPi . (129)

comN∑j=1

λ j = 1, e i, j ∈K.

Da equivalência existente entre as propriedades 2 e 4 do Lemade Finsler (Lema (1)) tem-se

que a desigualdade (127) pode ser escrita como:

A′λ Pi +PiAλ +

N

∑s=1

γiλs(Ps−Pi)−Yλ i < 0. (130)

Desta forma de (129), tem-se que:

A′λ Pi +PiAλ +

N

∑s=1

γiλs(Ps−Pi)< αPi . (131)

�

Assim sendo, (127), (128) e (129) são condições suficientes para que o ponto de equilíbro

x= 0 do sistema (1) seja assintoticamente estável. Verifica-senesta formulação que os termos

b2 jiW2 ji que aparecem através da escolha conveniente deX são também bilineares, podendo

ser resolvidos pelo métodopath-following, o que resulta em BMIs ainda mais relaxadas para a

busca de factibilidade.

5.5 Factibilidade de sistemas politópicos

5.5.1 Exemplo numérico 1

Na sequência abordar-se-á um exemplo inspirado em (DEAECTO,2010), utilizado inicial-

mente em (SHORTEN et al., 2007) que mostrará as vantagens dosteoremas propostos neste

trabalho. Considere o sistema linear incerto (1) podendo serrepresentado como combinação

convexa dos vértices


A1 =

[

0 1

−2 α

]

e A2 =

[

0 1

−10 β

]

.

Os parâmetrosα e β foram tomados nos intervalos[−2,0] e [−5,0] respectivamente, ob-

tendo, desta forma, para cada ponto da partição um novo sistema para ser testado. Aplicaram-se,

para esses valores, os critérios: estabilidade quadrática, estabilidade Lyapunov-Metzer, con-

forme Teorema 12; critério menos conservador utilizando função de Lyapunov quadrática por

partes, conforme Teorema 13; a metodologia generalizada, conforme Teorema 14 comM = 4

e, por fim, a metodologia utilizando o Lema de Finsler, apresentada no Teorema 15.

Primeiramente, realizou-se uma comparação de factibilidade utilizando o Teorema 12 e o

critério de estabilidade quadrática. Para o Teorema 12, fez-se uma busca, tendo como base a

factibilidade para cadaγ, para verificar qual valor apresenta melhores resultados. Conforme a

Figura 26 varreu-seγ entre 0,1 e 10 e verificou-se que 6< γ < 8 apresentaram os melhores

resultados de testes factíveis. Desta forma optou-se porγ = 7.

Figura 26 - Busca pelos melhores valores deγ do Exemplo 1 para LMIs do Teorema 12.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10350

360

370

380

390

400

410

420

430

440

Qua

ntid

ade

depo

litop

osfa

ctív

eis

γ


A Figura 27 refere-se à factibilidade do método de estabilidade com comutação, similar

ao apresentado em (DEAECTO, 2010), ajustado para sistemas politópicos incertos, conforme

Teorema 12, utilizandoγ = 7.

A Figura 28 se refere às vantagens do critério menos conservador, utilizando função de

Lyapunov quadrática por partes, conforme Teorema 13. A Figura 29 apresenta as vantagens da


Figura 27 - Resultados de factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática (♦) ecritério de estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o).

−5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

α

βFonte: Adaptado de (DEAECTO, 2010)

metodologia generalizada, conforme Teorema 14. Os resultados foram encontrados utilizando

o métodopath-following, detalhado no Apêndice A.

Figura 28 - Resultados de Factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática (♦),critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o)e critério de estabilidade menosconservador utilizando função de Lyapunov quadrática por partes - Teorema 13 (x).

−5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

β

α


Pode-se verificar que os resultados utilizando o Teorema 14 apresentam uma maior região

de factibilidade para sistemas lineares incertos, implicando, desta forma, uma redução no con-


Figura 29 - Resultados de Factibilidade para Exemplo 1: Estabilidade Quadrática (♦), critériode Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e critério de estabilidade generalizado comM = 4 conforme Teorema 14 (x).

−5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

β

α


servadorismo, quando comparado com os resultados existentes na literatura.

Na sequência, apresenta-se a Figura 30, que expõe as vantagens, agora, da formulação com

relaxação utilizando o Lema de Finsler (Lema 1), apresentado no Teorema 15.

Figura 30 - Resultados de Factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática (♦),critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o)e formulação utilizando o Lemade Finsler - Teorema 15 (x).

−5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5−2

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

β

α



Os resultados de factibilidade, utilizando o Teorema 15, também apresentaram vantagens,

comparando-se com as técnicas existentes, porém apresentando alguns pontos degenerados,

necessitando assim de um aprimoramento da técnica. Provavelmente isso se deve ao aumento

das dimensões das LMIs em relação aos demais métodos, dificultando assim a solução numérica

do solvergeneralized eigenvalue minimization(gevp).

5.5.2 Exemplo numérico 2

O exemplo numérico a seguir foi retirado de (ESTEVES, 2011),adaptado aqui para sis-

temas lineares incertos, com o intuito de uma segunda comparação entre as técnicas. Sendo

assim, considere o sistema linear incerto (1) podendo ser representado como combinação con-

vexa dos vértices:

A1 =

[

−5 −4

−1 a

]

e A2 =

[

−2 −4

b −2

]

.

Os parâmetrosa e b foram tomados nos intervalos[−300,0] e [0,2000], respectivamente,

assim obtendo, para cada variação, um novo sistema para ser testado. Da mesma forma como

se fez para o exemplo anterior, para cada variação foram aplicados os critérios de estabilidade

anteriormente descritos.

Para a utilização do Teorema 12, fez-se uma busca tendo como base a factibilidade para

cadaγ a fim de verificar qual valor apresenta melhores resultados. Conforme Figura 31, varreu-

seγ entre 0,1 e 1000 e se pôde verificar, aproximadamente, que 300< γ < 330 apresentaram

os melhores resultados de testes factíveis. Sendo assim, optou-se porγ = 300 para a utilização

no critério do Teorema 12.

A Figura 32 se refere aos resultados factibilidade do métodopara o método do Teorema 12,

utilizandoγ = 300, em comparação com o critério de estabilidade quadrática. Nota-se que, para

este exemplo, houve pouca diferença entre as técnicas.

A Figura 33 se refere às vantagens do critério utilizando função de Lyapunov quadrática

por partes do Teorema 13 e a Figura 34 se refere às vantagens dametodologia generalizada,

conforme Teorema 14 comM = 4. Os resultados deste exemplo também foram encontrados

utilizando o métodopath-followingdetalhado no Apêndice A.

Pode-se constatar, conforme já verificado no exemplo anterior, que os resultados utilizando

o Teorema 14 apresentam uma maior região de factibilidade, implicando, assim, numa redução

no conservadorismo, quando comparado com os resultados existentes na literatura.

Na sequência, apresenta-se a Figura 35 que expõe as vantagens, agora, da formulação com


Figura 31 - Busca pelos melhores valores deγ do Exemplo 2 para LMIs do Teorema 12.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000290

295

300

305

310

315

320

325

330

335

340

Qua

ntid

ade

depo

litop

osfa

ctív

eis

γ


Figura 32 - Análise de factibilidade para o Exemplo 2 utilizando Estabilidade Quadrática (♦) eEstabilidade Metzler adequada a sistemas lineares - Teorema 12 (o).

−300 −250 −200 −150 −100 −50 00

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

a

b


relaxação utilizando o Lema de Finsler (Lema 1), apresentado no Teorema 15.

Para o Exemplo 2, a formulação utilizando o Teorema 15 tambémapresentou vantagens de

factibilidade, em comparação com os outros métodos, apesardos pontos degenerados, necessi-

tando assim um aprimoramento da técnica.


Figura 33 - Resultados de Factibilidade do Exemplo 2 para: Estabilidade Quadrática (♦),critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o)e critério de estabilidade menosconservador utilizando função de Lyapunov quadrática por partes - Teorema 13 (x).

−300 −250 −200 −150 −100 −50 00

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

b

a


Figura 34 - Resultados de Factibilidade para o Exemplo 2: Estabilidade Quadrática (♦), critériode Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) critériomenos conservador generalizadocomM = 4 conforme Teorema 14 (x).

−300 −250 −200 −150 −100 −50 00

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

b

a



Figura 35 - Resultados de Factibilidade do Exemplo 2 para: Estabilidade Quadrática (♦),critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o)formulação utilizando o Lema deFinsler - Teorema 15 (x).

−300 −250 −200 −150 −100 −50 00

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

b

a



Neste capítulo, propuseram-se novas técnicas com o intuitode diminuir o conservadorismo

das formulações existentes, para a garantia de estabilidade de sistemas lineares incertos podendo

ser variantes ou invariantes no tempo. As técnicas apresentadas tiveram como contribuição a

solução de BMIs, por meio de um método de linearização (vide Apêndice A). A técnica se

baseia em utilizar funções de Lyapunov quadráticas por partes com matrizes extras na formu-

lação e também escalares de relaxação, aumentando a factibilidade e garantindo a estabilidade

através da escolha do valor mínimo de uma função. A teoria desenvolvida foi testada em exem-

plos numéricos conhecidos na literatura.

Verificou-se nas Figuras 29 e 34 um aumento da região de factibilidade para a técnica

proposta, quando comparada com as técnicas de estabilidadequadrática e com a técnica de

estabilidade baseada nas desigualdades de Lyapunov-Metzler.

A formulação utilizando o lema de Finsler apresentou algunspontos degenerados, conforme

visto nas Figuras 30 e 35, indicando que a formulação deve seraprimorada, porém, promissora,

em função dos ganhos que apresentou em comparação com as outras técnicas.

93

6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DECONTROLADORES CHAVEADOS

Neste capítulo, propõem-se métodos mais gerais para o projeto de controladores chaveados

que os apresentados no Capítulo 4, por não ser mais necessáriaa realização de uma busca uni-

dimensional, tendo como base as técnicas propostas no Capítulo 5. Para o desenvolvimento dos

métodos de projeto, também foram utilizadas condições baseadas em BMIs, técnica inspirada

em (CHEN et al., 2012), em que termo bilinear se encontra no produto de variáveis escalares

e variáveis matriciais. Estas BMIs são eficientemente resolvidas pelo métodopath-following

(HASSIBI; HOW; BOYD, 1999).

A princípio, um dos métodos propostos foi utilizado em um exemplo de comparação, con-

siderado como referência na literatura para resultados de flexibilização na estabilidade de sis-

temas Fuzzy Takagi-Sugeno (CHEN et al., 2012), com a finalidade de verificar a eficácia de

relaxação do método.

Na sequência, projetaram-se controladores chaveados com as técnicas apresentadas para a

implementação em um protótipo laboratorial chamado AMD-1,que será visto com mais deta-

lhes durante o texto.

6.1 Projeto robusto chaveado com flexibilização via BMIs

Nesta seção, propõe-se um método para o projeto de controlesrobustos chaveados, adap-

tado a partir da técnica Fuzzy T-S, apresentada em (CHEN et al., 2012), na qual os controladores

chaveados são obtidos através da solução de critérios de estabilidade que envolvem BMIs, con-

forme já abordado no Capítulo 5.

Considere, assim, o sistema apresentado em (71), sendo o controlador chaveado e a regra

de comutação dados por:

u(t) = Kσ x(t) e σ(t) = argmini∈K

{x′(t)Pix(t)}. (132)

94 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS

Tomando como base a função de Lyapunov mínima e quadrática por partes (120), propõe-se

o teorema a seguir.

Teorema 16.Se existirem matrizes simétricas positivas definidas Xi ∈Rn×n, matrizes Yji ,Q ji ∈

Rn×n, matrizes Gi ∈ R

m×n e escalaresγi js > 0, α < 0 para todo i, j,s∈ K, satisfazendo as

seguintes desigualdades:

Yji < αXi , (133)

Q ji < 0, (134)

M ji ∗ ∗ . . . ∗

γi j1Xi −γi j1X1 0 . . . 0

γi j2Xi 0 −γi j2X2 . . ....

......

.... .. 0

γi jN Xi 0 . . . 0 −γi jN XN

< 0, (135)

sendo Mji = XiA j′+A jXi +Gi

′B j′+B jGi −

N∑

s=1γi jsXi −Yji −Q ji .

Então a lei de controle chaveadoσ(t) = argmini∈K

{x′(t)Pix(t)} torna o ponto de equilíbrio

x= 0 do sistema(71)globalmente assintoticamente estável, sendo Pi = X−1i e os controladores

dados por Ki = GiXi−1, i, j ∈K .

Demonstração.Considerando a função de Lyapunov candidata e quadrática porpartes (120),

suponha quev(x(t)) =mini∈K

{x′(t)Pix(t)}= x′(t)Pσ x(t), sendoσ escolhido conforme (132). Com

base na análise apresentada na demostração do Teorema 13, sev(x(t+)) ≤ vσ (x(t+)) então

v(x(t+))≤ vσ (x(t+)). Assim, comα < 0 para se obterem restrições que possam ser resolvidas

pelo métodopath-following:

v(x(t))−αv(x(t)) ≤ vσ (x(t))−αvσ (x(t)) = x′(t)Pσ x(t)+x′(t)Pσ x(t)−αx′(t)Pσ x(t)

=N

∑j=1

λ jx′(t)(A j

′Pσ +Pσ A j +Pσ B jKσ +K′σ B′

jPσ −αPσ )x(t). (136)

Tomando como base a estrutura de (120), fica claro que

x(t)′N

∑s=1

γσ js(Ps−Pσ )x(t)≥ 0. (137)

procede para cadaσ , j,s∈ K e todoλ ∈ Λ, ondeγσ js ≥ 0 são parâmetros de relaxação, e

v(x(t+))≤ vσ (x(t+)).

6.1 Projeto robusto chaveado com flexibilização via BMIs 95

Desta forma de (136) e de (137) segue que

v(x(t))−αv(x(t))

≤N∑j=1

λ jx′(t)

[

A j′Pσ +Pσ A j +Pσ B jKσ +K′

σ B′jPσ −αPσ +

N∑

s=1γσ js(Ps−Pσ )

]

x(t)

< 0.

(138)

Supõe-se agora a existência de matrizes simétricasWji eZ ji , i, j ∈K, tais que

A j′Pi +PiA j +PiB jKi +K′

i B′jPi +

N

∑s=1

γi js(Ps−Pi)−Wji −Z ji ≤ 0, i, j ∈K. (139)

Supõe-se ainda, para a obtenção de condições favoráveis à utilização do solver gevp que

Z ji < αPi , (140)

assim:

A j′Pi +PiA j +PiB jKi +K′

i B′jPi +

N

∑s=1

γi js(Ps−Pi)−Wji −αPi < 0, i, j ∈K. (141)

Portanto de (138) e (141) conclui-se que

v(x(t))−αv(x(t))<N

∑j=1

λ jx′(t)Wjσ x(t)< 0, (142)

e consequentemente

Wji < 0. (143)

Desta forma, comoα < 0 verifica-se que ˙v(x(t))< 0.

Definindo agoraXi = P−1i , Yji = XiZ ji Xi, Q ji = XiWji Xi, Gi = KiXi e multiplicando as

equações (140), (143) e (139) a esquerda e a direita porXi, obtém-se respectivamente as equações

(133), (134) e

XiA j′+A jXi +B jGi +G′

iB′j +

N

∑s=1

γi js(XiPsXi −Xi)−Q ji −Yji ≤ 0. (144)

Aplicando o complemento de Schur em (144) obtém-se (135), concluindo assim a de-

mostração.


6.2 Projeto robusto chaveado com flexibilização extra via BMIs

Considere novamente o sistema (71), sendo agora o controlador chaveado e a regra de

comutação concebidos através da generalização da função deLyapunov candidata e quadrática

por partes apresentada em (120):

u(t) = Kσ x(t) e σ(t) = arg mink∈KM

{x′(t)Pkx(t)}. (145)

Considerando, assim, a função de Lyapunov mínima e quadrática por partes (120), abordada

no Capítulo 5, propõe-se o teorema a seguir.

Teorema 17.Se existirem matrizes simétricas positivas definidas Xk ∈Rn×n, matrizes Yjk,Q jk ∈

Rn×n, matrizes Gk ∈ R

m×n e escalaresγ jks > 0, α < 0 para todo j∈ K e todo k,s∈ KM,

satisfazendo as seguintes desigualdades:

Yjk < αXk, (146)

Q jk < 0, (147)

M jk ∗ ∗ . . . ∗

γ jk1Xk −γ jk1X1 0 . . . 0

γ jk2Xk 0 −γ jk2X2 . . ....

......

..... . 0

γ jkMXk 0 . . . 0 −γ jkMXM

< 0, (148)

sendo Mjk = XkA j′+A jXk+Gk

′B j′+B jGk−

M∑

s=1γ jksXk−Yjk −Q jk.

Então a lei de controle chaveadoσ(t) = arg mink∈KM

{x′(t)Pkx(t)} torna o ponto de equilíbrio

x= 0 do sistema(71)globalmente assintoticamente estável, sendo Pk = X−1k e os controladores

dados por Kk = GkXk−1, j ∈K e k,s∈KM.

Demonstração. Demonstração similar a apresentada no Teorema 16.

Verifica-se, assim, uma maior flexibilidade nas BMIs do Teorema 17, em comparação com

as BMIs do Teorema 16, devido ao aumento na quantidade de subfunções que compõem a

função (120).

A generalização das funções de Lyapunov quadráticas por partes tem como consequência o

aumento da quantidade de controladores chaveados, que nesta generalização assume o valorM

comM > N, possibilitando uma maior versatilidade na escolha do controlador em cada instante

6.3 Exemplo Numérico 97

de tempo. Note que a quantidade de controladores pode ser ajustada para cada projeto, caso o

problema seja mais complexo e exija uma maior flexibilidade.

6.3 Exemplo Numérico

O exemplo apresentado a seguir é considerado referência de comparação para critérios de

estabilidade Fuzzy T-S flexibilizados (CHEN et al., 2012; SOUZA, 2013), sendo adaptado aqui

para ser tratado como sistema linear chaveado, adequando-se, assim, a utilização dos Teoremas

propostos neste capítulo.

Considere, assim, um sistema linear chaveado representado pelos subsistemas:

A1 =

[

1,59 −7,29

0,01 0

]

e B1 =

[

1

0

]

,

A2 =

[

0,02 −4,64

0,35 0,21

]

e B2 =

[

8

0

]

,

A3 =

[

−a −4,33

0 0,05

]

e B3 =

[

−b+6

−1

]

.

Fixandoa= 2, foram realizados testes de factibilidade, utilizando asrestrições (146), (147)

e (148), propostas no Teorema 17 considerando agoraM = 9, com o parâmetrob incrementado

no intervalo de 0 à 7 com passo 0,5.

Obteve-se neste exemplo, como valor máximo de factibilidade b= 6,5, através do método

path-following(vide Apêndice A) comα = −0,0038 eη = 40. Neste caso, os controladores

projetados e as matrizes da função de Lyapunov quadrática por partes foram:

K1 = [−0,5281−0,0550] , K2 = [−1,2438 2,9026] , K3 = [−1,4689 5,3030] ,

K4 = [−1,3519 4,1453] , K5 = [−0,8210 0,6195] , K6 = [−0,7592 0,3511] ,

K7 = [−1,6019 7,1947] , K8 = [−1,0182 1,5053] , K9 = [−0,6059 0,0280] ,

(149)


P1 =

[

0,0170 0,0117

0,0117 0,1696

]

, P2 =

[

0,0168 0,0120

0,0120 0,1701

]

, P3 =

[

0,0167 0,0121

0,0121 0,1703

]

,

P4 =

[

0,0168 0,0120

0,0120 0,1702

]

, P5 =

[

0,0169 0,0118

0,0118 0,1699

]

, P6 =

[

0,0169 0,0118

0,0118 0,1698

]

,

P7 =

[

0,0167 0,0122

0,0122 0,1705

]

, P8 =

[

0,0168 0,0119

0,0119 0,1700

]

, P9 =

[

0,0169 0,0118

0,0118 0,1697

]

.

(150)

Pode-se observar que o resultado de factibilidade obtido com b= 6,5 é superior aos obti-

dos em (DELMOTTE; GUERRA; KSANTINI, 2007; SOUZA, 2013), para sistemas Fuzzy T-S

em que se encontrou factibilidade com valor máximo parab= 6, e igual, em factibilidade, ao

encontrado em (MONTAGNER; OLIVEIRA; PERES, 2009) comb= 6,5, sendo superado ape-

nas por (CHEN et al., 2012), onde obteve-se factibilidade para b= 7 comN = 4. Porém, vale

ressaltar que, neste trabalho, o foco é propor novas técnicas de projeto de controladores chavea-

dos com flexibilização para sistemas lineares incertos, objetivo distinto daquele alcançado em

(MONTAGNER; OLIVEIRA; PERES, 2009; CHEN et al., 2012), onde foram abordadas técni-

cas flexibilizadas para o projeto dos controladores Fuzzy T-S.

6.4 Implementação prática no sistema AMD-1

O protótipo Active Mass Dumper - One Floor(AMD-1), apresentado na Figura 36, é

composto por uma estrutura simulando uma edificação, tendo no piso superior um sistema de

amortecimento ativo com uma massa móvel. Este experimento tem como foco o desenvolvi-

mento de estudos para o projeto de sistemas de controle que amorteçam vibrações causadas por

terremotos ou por fortes ventos. O equipamento também possibilita investigar ações de controle

em estruturas (QUANSER, 2012a).

O objetivo do experimento é atuar na massa móvel através de ummotor, reduzindo assim

oscilações e vibrações indesejadas na estrutura. O sistemautilizado no deslocamento da base

é chamado de STII e foi originalmente desenvolvido com o intuito de pesquisa ou ensino, en-

volvendo sistemas de vibração (QUANSER, 2012b). Neste trabalho, utilizaremos este equipa-

mento apenas para gerar registros de terremotos com os quaisserão testadas as estratégias de

controle.


Figura 36 - Protótipo AMD-1 da Quanser pertencente ao LPC da FEIS - UNESP.


Considere o esquemático apresentado na Figura 37. O deslocamento do carro (xc) que

simboliza a massa móvel (Mc) é considerado positivo para a direita quando vista pelo leitor,

assim como o deslocamento do patamar superior (xf , que tem como massaM f ).

Para pequenas variações angulares do piso superior, o sistema pode ser tratado como um

sistema massa-mola padrão de constanteK f a uma alturaH f do chão, viabilizando assim uma

aproximação coerente na modelagem do sistema.


Figura 37 - Modelo esquemático do AMD-1.

xc > 0xc

Mcxf > 0

xfFc

K f

M f

H f

Fonte: (QUANSER, 2012a)

Os parâmetros utilizados neste exemplo para o sistema AMD-1são dados na Tabela 2.

Tabela 2 - Parâmetros do sistema AMD-1

Resistência de armadura do motor (ω) Rm 2,6Constante de torque do motor (N.m/A) Kt 0,00767

Eficiência eletromecânica do motor ηm 1Constante de eficiência do motor (V.s/rad) Km 0,00767

Eficiência do redutor planetário ηg 1Altura do patamar superior (m) H f 0,5334Massa do patamar superior (Kg) M f 1,38

Constante da mola para a modelagem (N/m) K f 500,9Inércia do rotor (Kg.m2) Jm 3,9×10−7

Massa total do carro (Kg) Mc 0,65Relação da engrenagem Kg 3,71

Raio do pinhão (engrenagem) (m) rmp 6,35×10−3

Coeficiente de amortecimento viscoso eq. (N.s/m) Beq 3

O modelo em espaço de estados que descreve o sistema AMD-1 é:


.xc.xf..xc..xf

= A

xc

xf.xc.xf

+BFc, (151)

sendo queA eB são dadas por:

A=

0 0 1 00 0 0 1

0Mcr2mpKf

Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2

gMf−

r2mpBeq(Mc+Mf )


gMf0

0 −Kf (Mcr2mp+JmK2

g)


gMf

McBeqr2mpMcr2mpMf +JmK2

gMc+JmK2gMf

0

e

B=

00

r2mpBeq(Mc+Mf )


gMf

−Mcr2mp


gMf

. (152)

Nota-se, neste caso, que a entrada de controle é igual a forçaimpressa pelo carro na aproxi-

mação massa-mola (u= Fc). Desta forma, com o intuito de inserir uma incerteza na entrada do

sinal de controle, optou-se por transformar a mesma na tensão do motor que move o carro, ou

seja, (u=Vm), dada a relação existente entreFc eVm apresentada abaixo:

Fc =−ηgK2

gηmKtKmxc(t)

Rmr2mp

+ηgKgηmKtVm

Rmrmp. (153)

Assim, modificando as matrizesA eB, considerando agora a entrada de controle do sistema

comou=Vm, as mesmas são dadas por:

A=

0 0 1 00 0 0 1

0Mcr2mpKf


gMf−

−McηgK2gηmKt Km+McBeqRmr2mp+Mf ηgK2

gηmKt Km+Mf BeqRmr2mp

Rm(Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2

gMf )0

0 −Kf (Mcr2mp+JmK2

g)


gMf

Mc(ηgK2gηmKt Km+BeqRmr2mp)


gMf )0

e

B=

00

ηgKgηmKt rmp(Mc+Mf )


gMf )

−McηgKgηmKt rmp


gMf )

. (154)

Inserindo então, uma incerteza na modelagem do sistema, simbolizando uma falha por

desgaste ou queima de componentes no módulo amplificador quealimenta o sistema, pode-

se validar as técnicas de projeto robusto apresentadas neste capítulo. Desta forma a potência


do sistema será reduzida em 40%, e o sistema poderá ser representado como um politopo de

incertezas. Apresenta-se abaixo, os vértices, que atravésde uma combinação convexa geram o

politopo:

Vértice 1 (100% do ganho de amplificação):

A1 =

0 0 1 0

0 0 0 1

0 278,9341 −18,6497 0

0 −336,0626 5,9716 0

e B1 =

0

0

2,9975

−0,9598

. (155)

Vértice 2 (60% do ganho de amplificação):

A2 =

0 0 1 0

0 0 0 1

0 278,9341 −18,6497 0

0 −336,0626 5,9716 0

e B2 =

0

0

1,7985

−0,5759

. (156)

6.4.1 Implementação das técnicas de controle flexibilizadas

A fim de testar a eficácia das técnicas flexibilizadas de controle chaveado, as mesmas foram

implementadas no sistema AMD-1 com o intuito de garantir a estabilidade robusta do sistema

sujeito a uma falha no motor de controle, descrevendo-se o politopo de incertezas como combi-

nação dos vértices (155) e (156).

A primeira precaução adotada antes da implementação foi tentar definir os autovalores do

sistema incerto realimentado próximos dos sugeridos pelo fabricante (−6+15i, −6−15i, −8

e−6) para preservar o equipamento. A solução para este problema foi restringir a norma dos

controladores chaveados, uma vez que a otimização não pode ser feita devido à utilização do

solver gevp. Assim, para esta finalidade, considere o Colorário 1, como proposição resultante

do Teorema 10 para a otimização da norma dos controladores.

Corolário 1. Obtém-se um limitante para a norma dos controladores chaveados Ki ∈ Rm×n,

com Ki = GiX−1i , Xi = X′

i > 0, Xi ∈ Rn×n e Gi ∈ R

m×n ou Kk ∈ Rm×n, com Kk = GkX

−1k ,

Xk = X′k > 0, Xk ∈R

n×n e Gk ∈Rm×n, através de uma restrição dada por um valorβ , β > 0 tal

que K′i Ki < β In ou K′kKk < β In. O valor deβ deverá ser definido convenientemente em conjunto


com a solução de um dos problemas:

[

Xi G′i

Gi β Im

]

> 0, (157)

Xi > In, (158)

BMIs (133), (134) e (135),

i, j,s∈K

ou[

Xk G′k

Gk β Im

]

> 0, (159)

Xk > In, (160)

BMIs (146), (147) e (148),

j ∈K e k,s∈KM

sendo que Im e In são matrizes identidade de ordem m e n respectivamente.

No Corolário 1, as LMIs de restrição da norma dos controladores (157) e (158) deverão ser

utilizadas em conjunto com as BMIs (133), (134) e (135) referentes ao Teorema 16 e as LMIs

de restrição da norma dos controladores (159) e (160) deverão ser utilizadas em conjunto com

as BMIs (146), (147) e (148) referentes ao Teorema 17.

Para a implementação dos controladores, agora com as restrições nos ganhos, definiu-se

β = 180000, e também o escalarα < −8, presente no algoritmo dopath-followingque pode

ser utilizado para garantir um decaimento no sistema. Destaforma, os autovalores do sistema

realimentado ficariam mais próximos da região sugerida pelofabricante, tornando a implemen-

tação das técnicas mais segura e preservando assim a integridade do equipamento.

Utilizando, a princípio, o Corolário 1, em conjunto com as restrições (133), (134) e (135)

do Teorema 16, foram projetados os seguintes controladoreschaveados considerando o sistema

incerto como combinação dos vértices (155) e (156):

K1 =[

55,3781 −244,9699 6,3203 1,9945]

, (161)

K2 =[

74,8243 −229,2725 7,8454 4,8094]

. (162)


O sistema AMD-1 possibilita a implementação de dados gravados de terremotos reais,

em escala laboratorial, aumentando assim a realidade do experimento. Para este trabalho,

foram escolhidos os dados do terremoto ocorrido em 1994, tendo como epicentro o distrito

Northridge, em San Fernando Valley, região de Los Angeles (QUANSER, 2012a). Na Figura

38, apresentam-se os dados deste terremoto, assim como sua reprodução utilizando o STII.

Figura 38 - Dados obtidos durante o terremoto de Northridge em 1994 e reproduzidos com oSTII.

0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Ace

lera

ção

dopi

so[m/s

2]

Pos

ição

dopi

so[c

m]

Dados reaisDados reproduzidos

t[s]

t[s]

Fonte: (QUANSER, 2012b)

A implementação no AMD-1 foi separada em três etapas. Primeiramente, realizou-se o

experimento por completo no modo passivo, onde não existe ação de controle e o motor que

atua na massa móvel será responsável apenas por não permitirque o carro deslize sobre o trilho

simulando assim como se o sistema estivesse travado. Do contrário, estando solto, o carro

poderia colidir com as extremidades causando danos ao sistema de controle. Em seguida, no

instante 18s realizou-se o experimento novamente sem falhas. No instante 36s inseriu-se uma

falha de 40% na entrada de controle, repetindo-se novamenteo experimento e possibilitando a

visualização do desempenho do sistema com e sem falhas.

Sendo assim, implementaram-se os controladores chaveados(161) e (162) para os dados

do terremoto de Northridge, cujos resultados são apresentados nas Figuras 39 à 41.

Nas Figuras 39 e 40, apresentam-se, respectivamente, a posição do piso superior (xf (t)) e

a diferença entre a posição do piso superior e a posição do piso inferior (xf (t)−xs(t)) em cada

instante de tempo para a implementação com e sem controle e antes e depois da falha.


Figura 39 - Oscilações no piso superior do AMD-1 para os controladores chaveados com for-mulação via BMIs.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Des

loca

men

todo

piso

supe

rior

[m]

xf (t)

Instante da falhaInício da ação de controleSem ação de controle

t[s]


Figura 40 - Diferença entre as oscilações no piso superior (xf (t) [m]) e o deslocamento do pisoinferior (xs(t) [m]) do AMD-1 para os controladores chaveados - formulação via BMIs.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Pos

ição

rela

tiva

entr

ex f(t)[

m]e

x s(t)[

m]

xf (t)−xs(t)


t[s]


Na Figura 41, verifica-se a tensão de controle do motor (Vm) e o controlador escolhidos a

cada instante de tempo (K1 eK2) conforme regra (112).


Figura 41 - Sinal de controle e controlador ativo para uma falha de 40% - formulação via BMIs.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−6

−4

−2

0

2

4

6


Vm(t)K1 ativo

K2 ativo

Sin

ais

deco

ntro

le[V

]eco

ntro

lado

rat

ivo

t[s]


Utilizando agora o Corolário 1 em conjunto com as restrições (146), (147) e (148) do

Teorema 17, comM = 4, foram projetados e implementados, para os dados do terremoto de

Northridge, os seguintes controladores chaveados para o mesmo sistema incerto:

K1 =[

61,6049 −361,0803 8,1843 3,8264]

(163)

K2 =[

80,2630 −348,7216 9,6752 6,5303]

(164)

K3 =[

75,5424 −352,4761 9,3131 5,8957]

(165)

K4 =[

93,6604 −343,3580 10,9156 9,2794]

(166)

Seguindo a mesma sequência de implementação anteriormenteapresentada, nas Figuras 42

e 43, apresentam-se, respectivamente, a posição do piso superior (xf (t)) e a diferença entre a

posição do piso superior e a posição do piso inferior (xf (t)−xs(t)) em cada instante de tempo

para a implementação com e sem controle e antes e depois da falha.


Figura 42 - Oscilações no piso superior do AMD-1 para os controladores chaveados com for-mulação via BMIs com generalização das funções.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

Des

loca

men

todo

piso

supe

rior

[m]

xf (t)


t[s]


Figura 43 - Diferença entre as oscilações no piso superior (xf (t) [m]) e o deslocamento do pisoinferior (xs(t) [m]) do AMD-1 para os controladores chaveados - formulação via BMIs comgeneralização das funções.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Pos

ição

rela

tiva

entr

ex f(t)[

m]e

x s(t)[

m]

xf (t)−xs(t)


t[s]


Na Figura 44, verifica-se a tensão de controle do motor (Vm) e o controlador escolhidos a

cada instante de tempo (K1, K2, K3 eK4) conforme regra (112).


Figura 44 - Sinal de controle e controlador ativo para uma falha de 40% - formulação via BMIscom generalização das funções.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8


Vm(t)

K1 ativoK2 ativo

K3 ativo

K4 ativo

Sin

ais

deco

ntro

le[V

]eco

ntro

lado

rat

ivo

t[s]


Pode-se verificar nas Figuras 39, 40, 42 e 43 que a ação dos controladores chaveados robus-

tos resultaram em menores oscilações no piso superior do sistema AMD-I, sendo as diferenças

de oscilações entre o piso superior e o piso inferior reduzidas, porém ainda existentes em função

do atraso do sensor no piso superior em relação às oscilaçõesdo piso inferior.

Verifica-se também, conforme Figuras 41 e 44 um esforço por parte do sistema para com-

pensar a falha de 40%, com um chaveamento significativo entreos controladores antes e após a

falha, indicando que a existência de controladores para chaveamento possibilitou uma atuação

eficiente para a garantia de estabilidade do sistema robusto.


Neste capítulo, apresentaram-se novas técnicas para o projeto de controladores chaveados

para a garantia de estabilidade de sistemas lineares incertos, utilizando funções de Lyapunov

quadráticas por partes. As técnicas foram formuladas por meio de BMIs (algoritmo apresentado

no Apêndice A), tendo como vantagem uma redução no conservadorismo da formulação para o

aumento de factibilidade na garantia de estabilidade do sistema.

As técnicas foram implementadas em um protótipo laboratorial conhecido como AMD-1,

mostrando as vantagens da técnica flexibilizada, apresentada no Teorema 17, em cuja imple-


mentação houve um chaveamento mais intenso entre os controladores, levando a concluir que

a nova técnica não apenas aumenta a factibilidade mas tambémcontribui para o desempenho

global do sistema.

111

7 CONCLUSÕES

Apresentaram-se, nesta tese, diferentes técnicas para síntese de controladores e análise de

factibilidade de sistemas robustos, com incertezas do tipoLPV, utilizando-se, a princípio, uma

CQLF e, por fim, funções de Lyapunov quadráticas por partes cujas formulações se basearam

em LMIs e BMIs.

De início, no Capítulo 3, propôs-se uma técnica formulada como lema de Finsler, utilizando

uma CQLF, cujo mérito se baseou na redução do número de LMIs para o projeto ótimo de

controladores sujeitos a taxa de decaimento maior ou igual aα. A técnica mostrou grande

vantagem na otimização da norma dos controladores quando comparada com as técnicas de

projeto ótimo existentes, em função dos resultados obtidospor meio de implementações práticas

no helicóptero 3-DOF, sujeito a uma falha estrutural de 30% no motor traseiro. Também foram

realizadas comparações envolvendo a norma dos controladores para 1000 politopos incertos

gerados aleatoriamente em função do aumento da taxa de decaimento. Essa técnica proposta,

com otimização, apresentou melhores resultados para a norma dos controladores em todos os

casos de comparação.

No Capítulo 4, apresentam-se formulações envolvendo o chaveamento entre controladores,

incluindo taxa de decaimento e otimização da norma deK, tendo como ponto fundamental

a utilização de uma função de Lyapunov quadrática por partes, em que a escolha do contro-

lador é baseada no mínimo valor desta função. A formulação apresentada foi implementada

no helicóptero 3-DOF, e mostrou vantagens expressivas na implementação de controladores

garantindo a estabilidade para falhas estruturais de até 90% no motor traseiro, tanto para o pro-

jeto apenas com taxa de decaimento, como para o projeto com taxa de decaimento e otimização

da norma deK.

Propuseram-se técnicas menos conservadoras, no Capítulo 5,para a análise de estabili-

dade de sistemas lineares incertos, utilizando funções de Lyapunov quadráticas por partes, cuja

vantagem está na utilização de BMIs que podem ser resolvidas pelo métodopath-following,

detalhado no Apêndice A, em que o termo bilinear está no produto de escalares de relaxação

112 7 CONCLUSÕES

e matrizes variáveis incrementando, assim, os resultados de factibilidade. Foi concebida tam-

bém uma flexibilização na formulação, por meio do lema de Finsler, inserindo mais escalares

e matrizes extras, ampliando ainda mais os resultados de factibilidade. As formulações foram

testadas em exemplos numéricos conhecidos na literatura.

Expõem-se técnicas mais gerais, no Capítulo 6, para o projetode controladores, baseadas

nas técnicas apresentadas no Capítulo 5, em que os controladores são chaveados através da

escolha de uma função mínima e quadrática por partes, encontrada a cada instante de tempo.

Os controladores projetados foram implementados no equipamento laboratorial STII + AMD-1,

sujeito a uma falha de 40% na potência da entrada de controle,constatando-se, assim, a garantia

da estabilidade robusta e um aumento no desempenho global dosistema.

7.1 Perspectivas Futuras

• Técnicas de controle robustoH2 e H∞ por meio de BMIs encontradas com o método

path-followingutilizando funções de Lyapunov quadráticas por partes;

• Técnicas de controle discreto chaveado utilizando como base os resultados apresentados

nos Capítulos 5 e 6;

• Técnicas de filtragem robusta para sistemas lineares incertos utilizando os resultados do

Capítulo 5.

113

REFERÊNCIAS

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118 REFERÊNCIAS

119

APÊNDICE A - MÉTODO

PATH-FOLLOWING PARA SOLUÇÃO DE BMIS

Neste apêndice insere-se o algoritimo utilizado para a solução das BMIs (121) aplicando o

métodopath-following(HASSIBI; HOW; BOYD, 1999). A ideia básica deste método (CHEN

et al., 2012), consiste em resolver BMIs linearizadas restringindo o tamanho do incremento

das variáveis bilineares. Devido a este tipo de linearização, os termos linearizados de segunda

ordem podem ser desprezados.

Baseado no apêndice de (CHEN et al., 2012), especificam-se, a seguir, os passos para a

solução do critério de estabilidade do Teorema 14 com o método path-following. Note que o

algoritmo pode ser utilizado para solucionar as BMIs dos Teoremas 13, 15, 16 e 17, com as

devidas adequações.

Passo 1:Definaη = 0 e escolha aleatoriamenteγ jks > 0;

Passo 2:Escolhaγ jks = γ jks(η) e solucione o seguinte problema de otimização:

minPk

α sujeito a Pk > 0 e (121); (167)

Passo 3:ParaPk obtido noPasso 2, resolva o seguinte problema de otimização, com as

versões linerizadas das desigualdadesPk > 0 e (121) em torno dePk e γ jks:

min∆Pk,δγ jks

α sujeito a (169)− (173) (168)

Pk+∆Pk > 0, k∈KM (169)

γ jks+δγ jks > 0, j ∈K e k,s∈KM (170)

[

0,05P2k ∆Pk

∆Pk In

]

> 0, k∈KM (171)

120 APÊNDICE A - Método path-following para solução de BMIs

[

0,05γ2jks δγ jks

δγ jks In

]

> 0, j ∈K e k,s∈KM (172)

ATj (Pk+∆Pk)+(Pk+∆Pk)A j +

M∑

s=1[γ jks(Ps−Pk)+

γ jks(∆Ps−∆Pk)+δγ jks(Ps−Pk)]−Yjk < α(Pk+∆Pk).

(173)

As LMIs (171) e (172) foram adicionadas para minimizar a perturbação das variáveisPk e

γ jks, para que a aproximação linear seja válida.

Passo 4:Paraδγ jks obtido noPasso 3, incrementeγ jks tal queγ jks(η+1) = γ jks(η)+δγ jks.

Assim, definaη = η +1 e volte para oPasso 2.

Critério de parada: A busca ser encerrada quando obtém-seα < 0 no Passo 2, impli-

cando que foi encontrado um resultado factível com o Teorema14. A busca também pode se

encerra quandoα > 0 eα não pôde ser decrementado nas últimas iterações, implicando que a

factibilidade neste algoritmo não pôde ser encontrada pelométodopath-following.

Observação 1.Os Passos 2 e 3 podem ser eficientemente resolvidos com o solver de minimiza-

ção generalizada dos autovalores chamado "gevp" (GAHINET etal., 1995).

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