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APLICAÇÃO DA ANÁLISE DE CUMEEIRA PARA

A OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS, MODELADOS

POR SUPERFÍCIES DE RESPOSTA, COM

EXPERIMENTOS PLANEJADOS

Martin Guillermo Cornejo Sarmiento (PUC-RIO)

[email protected]

Eugenio Kahn Epprecht (PUC-RIO)

[email protected]

A metodologia da superfície de resposta, aplicado nos experimentos

planejados, desempenha um papel importante no desenvolvimento, melhoria

e otimização de processos mediante a aplicação de um conjunto de técnicas

estatísticas e matemáticas. O foco principal deste trabalho é a última etapa

da metodologia de superfícies de resposta que está relacionada à análise e à

otimização do modelo da superfície de resposta na região experimental.

Assim, o presente artigo tem como objetivo apresentar, de forma estruturada

e sintetizada em seis passos, a metodologia para realizar a Análise de

Cumeeira nos modelos ajustados de superfícies de resposta de segunda

ordem que têm como ponto estacionário um ponto de sela ou um ponto fora

da região experimental. Nesta análise procuram-se as condições ótimas de

processos através de experimentos planejados. A análise de cumeeira é

particularmente importante quando for difícil visualizar a superfície de

resposta devido à existência de quatro ou mais dimensões. Apresenta-se a

aplicação da análise de cumeeiras na otimização de um caso de estudo

experimental.

Palavras-chave: Experimentos planejados; otimização; superfície de resposta;

análise de cumeeira.

XXXV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO

Perspectivas Globais para a Engenharia de Produção

Fortaleza, CE, Brasil, 13 a 16 de outubro de 2015.




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1. Introdução

Montgomery e Runger (2009) consideram que hoje em dia, a qualidade de produtos e serviços

tem-se tornado um importante fator de decisão na maioria dos negócios. Consequentemente, a

melhoria da qualidade virou-se uma preocupação importante para as corporações no mundo

todo. Métodos estatísticos desempenham um papel vital na melhoria da qualidade. Nesse

sentido, técnicas de planejamento de experimentos, são particularmente úteis no mundo da

engenharia, a fim de melhorar o desempenho de um processo de produção.

No entanto, frequentemente, na última etapa da metodologia de superfície de resposta (MSR)

para otimizar processos com projetos de experimentos, especificamente a análise do modelo

quadrático ajustado da superfície de resposta sobre uma região experimental determinada, o

experimentalista pode encontrar duas situações onde o valor do ponto estacionário não

permite tirar conclusões (BOX e DRAPER, 2007).

Certamente o uso de gráficos de contorno e de superfícies de resposta pode ser favorável

nestas situações, mas será de pouca ou nenhuma utilidade quando no processo houver muitas

variáveis e a visualização destes gráficos for difícil devido à existência de quatro ou mais

dimensões. Além disso, é evidente que os níveis dos fatores pertencem a uma especifica

região experimental limitada. Em consequência, é necessário um procedimento útil que não

dependa da visualização das superfícies de resposta e contornos e que também envolva uma

otimização restrita. Segundo as situações descritas e as características matemáticas e

estatísticas da análise de cumeeira, esta surge como uma adequada e importante alternativa na

determinação das condições operacionais ótimas do processo estudado. Desta forma, o

objetivo principal deste trabalho é apresentar e descrever de forma estruturada e sintetizada a

metodologia para realizar a análise de cumeeira nos modelos quadráticos ajustados de

superfícies de resposta. Faz parte ainda desse objetivo, apresentar um caso de estudo

experimental, realizar a análise de cumeeira e determinar as condições ótimas do processo

estudado através de experimentos planejados.

O presente artigo está organizado em seis seções. Esta primeira contemplou a introdução




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deste trabalho e a contextualização do problema de pesquisa. A segunda seção contém os

conceitos fundamentais da superfície de resposta. A terceira seção apresenta a descrição geral

do experimento composto central (ECC). Na quarta seção, que é cerne deste artigo,

apresentam-se a análise da superfície de resposta e a metodologia da análise de cumeeiras

para a otimização de modelos de segunda ordem. A quinta seção apresenta um caso de estudo

com a aplicação da metodologia da análise de cumeeiras. As conclusões gerais desse trabalho

são apresentadas na sexta seção. Por fim, a última parte do artigo traz as referências

bibliográficas.

2. Superfícies de resposta em experimentos planejados

A superfície de resposta ( ) é a representação, através de uma superfície em k+1 dimensões,

dos valores da variável resposta ( ) que depende de uma função de k variáveis ( ).

Myers e Montgomery (1995) consideram que essa resposta ( ) ou também conhecida como

variável de saída pode ser alguma medida do desempenho ou característica da qualidade de

produtos ou processos. A resposta é medida normalmente sobre uma escala contínua.

Algumas das aplicações de experimentos planejados no mundo real envolvem mais de uma

resposta, neste artigo aborda-se o caso de uma resposta única. As variáveis ( ) são as

variáveis do processo produtivo que também são conhecidas como fatores, ou simplesmente

variáveis de entrada que afetam à resposta.

Estas variáveis de entrada ( ) estão sujeitas ao controle de experimentalistas, pelos menos

para propósitos de um teste ou de um experimento, enquanto as outras variáveis do processo

são incontroláveis. Para evitar ter que lidar com as diferentes medidas numéricas reais dos

fatores, pode-se transformar os valores de a uma variável padronizada ou codificada . Na

Figura 1 mostra-se o modelo geral de um processo (MONTGOMERY, 2001).

A metodologia da superfície de resposta (MSR), aplicado nos projetos de experimentos, está

direcionada para aproximar uma superfície de resposta (que representa a variável resposta do




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processo estudado) com um modelo e para usar o modelo resultante na determinação das

condições operacionais ótimas do processo (MONTGOMERY; RUNGER, 2009).

Para Box e Draper (2007), na maioria de casos de experimentos planejados, os polinômios de

ordem menor, isto é, linear e quadrático serão apropriados na construção de modelos de

superfícies de respostas. O gráfico de contornos ou gráfico das curvas de nível é útil no estudo

de modelos de segunda ordem. Esse gráfico é o conjunto de curvas de resposta constante

projetadas em um plano bidimensional que ajuda a visualizar a forma da superfície de

resposta. Tem-se um exemplo de gráficos de contornos na Figura 3.

Figura 1 - Modelo geral de um processo

......

Processo

Fatores Controláveis

Entrada Saída

......

Fatores Incontroláveis

y

l

Fonte: Adaptado de Montgomery (2001)

3. Experimento composto central (ECC) para superfícies de resposta de segunda ordem

O planejamento deste tipo de experimento é o mais amplamente usado para ajustar um

modelo de segunda ordem. Segundo Box e Draper (2007), o conjunto de pontos amostrais do

ECC é constituído por pontos fatoriais, pontos axiais e pontos centrais. Exemplos de ECC

para k =2 e k =3 são apresentados na Figura 2. As regiões experimentais serão esféricas

quando .

Para uma descrição detalhada das propriedades do ECC e de outros tipos de experimentos,

pode-se ver Myers e Montgomery (1995), Box e Draper (2007), Montgomery (2001) e Ryan




5

(2007).

Figura 2 - Experimento composto central com dois fatores (k =2) e três fatores (k =3)

Fonte: Montgomery (2001)

4. Análise da superfície de resposta de segunda ordem

Myers e Montgomery (1995) afirmam que o modelo da equação quadrática é amplamente

utilizável para descrever dados experimentais onde a curvatura da superfície de resposta é

significativa. Essa existência da curvatura, geralmente, poderia evidenciar que as condições

operacionais atuais encontram-se próximas das condições ótimas ou que alcançaram-se essas

condições atuais depois que o experimentalista desenvolvesse um ou mais experimentos com

ajustes de modelos lineares, utilizando o método da ascendente de maior inclinação (Steepest

Ascent). Informação mais detalhada acerca desse método e do procedimento sequencial da

MSR (utilizando modelos lineares e quadráticos) pode-se encontrar também em Box e Draper

(2007), Montgomery (2001) e Ryan (2007).

Considerando a equação (1) como a resposta prevista de um modelo de segunda ordem da

superfície de resposta com k fatores (representada também pela notação matricial).

(1)

Onde:




6

=

As estimativas dos coeficientes do modelo de segunda ordem são , e . Procura-se

determinar os níveis dos fatores ( ) que otimizam a resposta estimada. Caso exista este

ponto ótimo, tem-se um conjunto de elementos cujas derivadas parciais são

mostradas na equação (2).

ou (2)

Este ponto estacionário, com os níveis dos fatores: , que satisfazem a equação

(2), pode ser caracterizado como (Figura 3 para um experimento com dois fatores, k=2):

a) Um ponto de resposta máxima

b) Um ponto de resposta mínima

c) Um ponto de sela

Figura 3 - Gráficos de contornos com três tipos de pontos estacionários: (a) Ponto de resposta máxima, b) Ponto

de resposta mínima e (c) Ponto de sela

Esse ponto estacionário S ( ), a partir da equação (2), pode ser obtido assim:

(3)

Substituindo a equação (3) na equação (1), a resposta prevista no ponto estacionário é:




7

(4)

Após determinar o ponto estacionário, a través da equação (3), procura-se a caracterização ou

a determinação da natureza desse ponto achado. No caso de experimentos com dois ou três

fatores, o uso do gráfico de superfície de resposta e o gráfico de contornos poderiam ser

suficientes para caracterizar o ponto estacionário, como foi mostrado no gráfico da Figura 3.

No obstante, no caso de experimentos com mais de três fatores é necessária uma abordagem

analítica mais formal. Esta abordagem poderia ser a análise canônica, que incluso é útil para

experimentos com poucos fatores.

Segundo Box e Draper (2007), para obter a resposta prevista na forma canônica para um

experimento com fatores, mostrada na equação (5), devem-se fazer duas transformações,

uma de translação e a outra de rotação de eixos. Com essas transformações eliminam-se os

termos lineares e os termos das interações dos fatores em um novo sistema de coordenadas

( , ,..., ).

(5)

Onde é a resposta estimada no ponto estacionário e , ,..., são os autovalores ou

raízes características da matriz . As variáveis , ,..., são chamadas variáveis

canônicas. Os sinais dos autovalores da matriz determinam a natureza do modelo da

superfície de resposta de segunda ordem como se mostra no Quadro 1.

Quadro 1 - Relação entre os sinais dos autovalores e o ponto estacionário

Se os sinais dos autovalores (𝜆𝑖 , 𝑖 =

1, 2,… , 𝑘) são... Então, o ponto estacionário (𝐱s) é um...

Negativos Ponto de resposta máxima

Positivos Ponto de resposta mínima

Positivos e negativos Ponto de sela

Fonte: Adaptado de Box e Draper (2007)




8

Obviamente que um ponto de sela não é máximo nem mínimo. Portanto, se o objetivo da

otimização do processo é maximizar ou minimizar, deve-se fazer um análise da superfície de

resposta mais acurado para atingir esse objetivo.

4.1. Análise de Cumeeiras (Ridge Analysis)

A otimização (seja maximização ou minimização) de modelos de superfície de resposta de

segunda ordem, muitas vezes, não é conseguida nem utilizando os gráficos de superfície de

reposta e contornos nem a análise canônica. Quanto aos gráficos, eles resultarão de pouca ou

nenhuma utilidade se houver muitos fatores e a visualização desses gráficos foram difíceis

devido à existência de quatro ou mais dimensões. No que se refere à análise canônica, o

experimentalista pode ser confrontado com uma situação onde o ponto estacionário não tenha

muita relevância e não permita tirar conclusões, como nos seguintes casos:

a) O ponto estacionário é um ponto de sela (não é nem um ponto de resposta máximo nem

mínimo).

b) O ponto estacionário está fora de região experimental, mesmo que seja encontrado um

ponto de resposta máximo ou mínimo.

Nessas condições adversas surgiu a Análise de Cumeeiras que não depende da visualização da

superfície de resposta e contornos e que envolve uma otimização restrita.

Myers e Montgomery (1995) explicam que a metodologia da análise de cumeeiras produz um

conjunto de pontos de interesse que formarão um “caminho”. Cada um desses pontos gerados

é uma resposta máxima (ou mínima, dependendo do objetivo da otimização), formando esse

“caminho” de pontos desde o centro da região experimental ( ) até o limite da região

experimental. O maior (ou menor) valor da variável resposta corresponde ao ponto do

“caminho” gerado. Ou seja, esse ponto tem a maior reposta entre todos os pontos que

residem sobre uma circunferência (experimento com dois fatores, ver a Figura 4) ou sobre

uma superfície de uma n-esfera ou hiperesfera (experimentos com mais de dois fatores) de um

determinado tamanho de raio. O tamanho desse raio varia desde zero até o limite da região




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experimental. Assim, o “caminho” de pontos gerados são pontos máximos (ou mínimos)

restritos.

Figura 4 - “Caminho” de pontos máximos (ou minimos) para experimentos com dois fatores

Fonte: Myers e Montgomery (1995)

É necessário ter em conta que enquanto a análise de cumeeiras for usada como uma

ferramenta formal será bem melhor quando a região experimental for esférica. Entretanto,

ainda que a região de interesse seja cúbica, o experimentalista ganhará informação prática

importante acerca do comportamento da resposta dentro da região experimental,

especialmente quando existem muitas variáveis de processo. Sarmiento (2014) comparou os

resultados de soluções utilizando análise cumeeiras e análise de gráficos de contornos de um

caso prático com região experimental cúbica. Adicionalmente, analisou um caso cuja região

experimental é semiesférica.

4.2. Metodologia da Análise de Cumeeiras

O desenvolvimento da metodologia apresentada neste artigo é baseado em Myers e

Montgomery (1995) e Box e Draper (2007). O procedimento foi estruturado e sintetizado nos

seguintes 6 passos:

Passo 1.- Ajuste-se e verifique-se a adequação do modelo da superfície de resposta de

segunda ordem com k fatores. Identifiquem-se todos os coeficientes presentes na equação (1).




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Passo 2.- Faça-se a análise canônica. Assim, esta metodologia poderá ser aproveitada quando

essa análise apresente as situações a) ou b) da seção 4.1.

Passo 3.- Estabeleça-se as relações entre R, e representadas na equação (6) e na equação

(7). Observa-se que R e são funções de , e os valores numéricos deles dependem de um

determinado valor selecionado de que não seja um autovalor ( ).

A continuação, de forma sucinta, apresenta-se alguns detalhes das relações mencionadas no

Passo 3. Os pontos máximos (ou mínimos), do caminho gerado pela metodologia, estão

sujeitos a estar sobre uma circunferência (dois fatores) ou uma n-esfera (mais de dois fatores)

de raio R centrado na origem ( ):

(6)

Estes valores dos fatores serão obtidos considerando a função Lagrangeana (L), assim:

Onde é o multiplicador Lagrangeano. Diferenciando L com respeito ao ponto e igualando

ao vetor zero ( ), tem-se:

(7)

Se existe, o que acontecerá desde que não seja um autovalor de , então

pode-se obter uma solução para um ponto máximo (ou mínimo) de em uma esfera de raio

R através da resolução da equação (7).

Adicionalmente, pode-se avaliar o erro padrão da resposta média estimada. Pode-se ver a

explicação do calculo em Myers e Montgomery (1995).

(8)

Passo 4.- Ordene-se os k autovalores em ordem crescente, com o devido respeito aos




11

sinais, isto é: .

Passo 5.- Escolha-se os valores adequados de , dependendo do objetivo do modelo. Assim,

obtenha-se os valores de , , e , considerando as diretrizes do Quadro 2 e o gráfico

da Figura 5.

Quadro 2 – Diretrizes para o calculo dos valores de ( , , e )




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Fonte: Adaptado de Box e Draper (2007) e Myers e Montgomery (1995)

Os detalhes do desenvolvimento e entendimento matemático desta regra podem ser

encontrados em Draper (1963).

Figura 5 - Gráfica do raio (R) versus para os diferentes k valores que pode tomar




13

Fonte: Myers e Montgomery (1995)

Passo 6.- Determine-se as condições ótimas (variável resposta e níveis dos fatores), seja

maximização ou minimização, segundo o conjunto de valores obtidos e validos (µ, , ,

e ) e a análise dos gráficos sugeridos no Quadro 2.

5. Estudo de Caso

O caso apresentado foi denominado “Efeito do tratamento da extração de células Candida

com soluções ácidas ou alcalinas para remover ácidos nucleicos sobre a qualidade da

proteína”.

Este caso é uma pesquisa de Achor et al. (1981) e foi proposto por Box e Draper (2007), pág.

408. Em uma experiência abrangente para criar condições ideais para a remoção de ácidos

nucléicos de uma proteína unicelular, quatro fatores foram considerados: concentração de

células de leveduras ( ), tempo ( ), temperatura ( ) e pH dos tratamentos ( ).

Houve 29 corridas experimentais fatoriais mais oito pontos axiais e cinco pontos centrais.

Dezenove variáveis respostas foram registradas, porém o interesse nesta pesquisa está

enfocado unicamente na percentagem de rendimento de hidróxido de sódio (NaOH) seco cuja

resposta ( ) deverá ser maximizada. Na Tabela 1 é apresentado o experimento com as




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variáveis codificadas.

Tabela 1 - Caso 1: Resultados dos experimentos

Nº de

corrida

1 -1 -1 -1 -1 0,7

2 1 -1 -1 -1 5,2

3 -1 1 -1 -1 1,5

4 1 1 -1 -1 2,4

5 -1 -1 1 -1 5

6 1 -1 1 -1 4,8

7 -1 1 1 -1 6,4

8 1 1 1 -1 4,6

9 -1 -1 -1 1 10,8

10 1 -1 -1 1 7,4

11 -1 1 -1 1 11,3

12 1 1 -1 1 23

13 -1 -1 1 1 37,7

14 1 -1 1 1 35,4

15 -1 1 1 1 37,7

16 1 1 1 1 36

17 -2 0 0 0 9

18 2 0 0 0 10,8

19 0 -2 0 0 4,4

20 0 2 0 0 13,5

21 0 0 -2 0 1,8

22 0 0 2 0 22,5

23 0 0 0 -2 1,3

24 0 0 0 2 37,3

25 0 0 0 0 10,8

26 0 0 0 0 11,3

27 0 0 0 0 15,8

28 0 0 0 0 14,5

29 0 0 0 0 11

Fonte: Achor et al. (1981) apud Box e Draper (2007)

Para a solução deste caso utilizou-se os seis passos propostos na seção 4.2.

Passo 1.- A análise de variância e o modelo ajustado de segunda ordem foi obtido usando o

software Design-Expert. Baseado no valor P=0,0450 do teste parcial F para termos

quadráticos decide-se ajustar um modelo de segunda ordem. O teste de falta de ajuste do

modelo quadrático mostra um valor de P= 0,2096, evidenciando que não existe falta de ajuste

e o modelo de segunda ordem é adequado. O modelo de segunda ordem ajustado, em termos

das variáveis codificadas correspondentes aos fatores experimentais, é o seguinte:




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Passo 2.- A partir do modelo ajustado no Passo 1, identificaram-se os componentes , , .

Assim, definiu-se a equação característica da matriz :

O polinômio de quarta ordem e suas raízes (autovalores) foram obtidos:

, , ,

Como os autovalores são de diferentes sinais, o ponto estacionário é um ponto de sela. Desta

forma, decidiu-se utilizar o método da análise de cumeeira para encontrar as condições ótimas

para atingir a resposta máxima estimada.

Passo 3.- Através da equação (9) da metodologia da análise de cumeeiras pode-se obter uma

solução para um ponto máximo de em uma esfera de raio .

(9)

Passo 4.- Os k autovalores ordenados em ordem crescente ( ):

Passo 5.- Como o objetivo do experimento é maximizar a resposta , os valores de deverão




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ser maiores ao maior autovalor . Assim, tem-se:

(10)

A distância axial é igual a 2. Isso assegura que o experimento seja esférico, portanto o

limite da região experimental (maior valor aproximado de ) será representado por uma

hiperesfera (espaço de dimensão quatro) de raio igual a . Assim, os valores do

raio R deverão satisfazer a equação (11).

, (11)

Na Tabela 2 são apresentadas, para cada raio R, as respostas máximas que formam o

“caminho” máximo gerado pelo conjunto de pontos máximos absolutos ( , , , ) e

o erro padrão ( ) correspondente para diferentes valores adequados de . Esses valores

mostrados foram obtidos utilizando o modelo ajustado e as equações 8-11.

Tabela 2 - Respostas máximas absolutas ( ) e os valores de , R, , e do estudo de caso




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Na construção da Tabela 2 o primeiro valor designado a foi um número muito grande

( =1000000) que resultou em valores aproximados de e . Os seguintes valores

que foram designados a são tais que geram uma sucessão de números de entre 0,2 e 2,3,

isto com a finalidade de representar as relações entre R e cada um dos valores correspondentes

de , e . Para valores de muito próximos acima de , tal como ,

os elementos da tabela serão muito grandes, isto é, níveis de fatores muito afastados da região

experimental, tornando-se como uma condição inviável para o processo.

No gráfico da Figura 6, pode-se evidenciar que a curva entre e R é crescente, isto é, para

maiores valores de R, será maior. Desta forma a análise de cumeeiras no “caminho” máximo

( ) determinará uma resposta estimada máxima ( ) para níveis de




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fatores ( ) que estejam no limite da região experimental, cujo raio R é igual a 2.

Figura 6 - Respostas máximas absolutas ( ) versus o raio R ( ) do estudo de caso

Tem-se uma região experimental esférica. Assim, todos os níveis dos fatores da resposta

máxima, com raio R menor ou igual a 2, pertencerão à região experimental. A relação entre R

e os níveis dos fatores são mostrados no gráfico da Figura 7.

Figura 7 - Níveis dos fatores das respostas máximas absolutas versus raio R ( ) do estudo de caso

O gráfico da Figura 8 mostra a relação entre o erro padrão da resposta média estimada ( )

e o respectivo raio R. Pode-se observar que esse erro cresce à medida que a resposta estimada

do ponto estiver mais próxima ao limite da região experimental ( ) e ainda cresce mais




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rápido quando ultrapassa essa região experimental ( ). No entanto o erro padrão da

resposta máxima ( =2,4826) não é muito grande em comparação aos erros das outras

respostas de raio R menor. Além disso, a melhoria da resposta estimada no limite da região

experimental pode-se considerar importante (vide Figura 6 e a Tabela 2).

Figura 8 - Erro padrão das respostas máximas absolutas ( ) versus raio R ( ) do estudo de caso

Passo 6.- Considerando a metodologia da análise de cumeeiras com os resultados numéricos

na Tabela 2 e as avaliações adicionais sustentadas com os gráficos das Figuras 6-8, conclui-se

que a condição do processo mais recomendável para atingir uma percentagem de rendimento

máximo de NaOH corresponde ao valor do raio e os valores respectivos são:

6. Conclusões

O objetivo deste trabalho foi apresentar, de forma estruturada e sintetizada em seis passos, a

metodologia para realizar a análise de cumeeira nos modelos ajustados de superfícies de

resposta de segunda ordem cujos pontos estacionários não permitem tirar conclusões (um




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ponto de sela ou um ponto fora da região experimental) e conseguir a otimização dos

processos.

Na análise do estudo de caso da seção 5 evidenciou-se a destacada efetividade da

metodologia da análise de cumeeira nos estudos de projetos de experimentos que possuem

regiões experimentais esféricas. Assim, pode-se sugerir que, dentro do possível, os

experimentos deveriam ser planejados considerando regiões experimentais esféricas.

A vantagem desta metodologia de análise de cumeeiras está baseada:

a) Ser uma metodologia de otimização restrita efetiva.

b) Não depender da quantidade de fatores dos processos.

c) Não depender da visualização de gráficos de superfícies de resposta e de gráficos de

contorno.

Desta forma, a análise de cumeeira vira-se como uma alternativa importante e destacável na

otimização de processos usando planejamento de experimentos.

REFERÊNCIAS

ACHOR, I.M.; RICHARDSON, T.; DRAPER, N.R. apud BOX, George. E. P.; DRAPER, Norman R.

Response Surfaces, Mixtures, and Ridge Analyses. 2 ed. New York: John Wiley & Sons, 2007, p. 408.

BOX, George. E. P.; DRAPER, Norman R. Response Surfaces, Mixtures, and Ridge Analyses. 2 ed. New

York: John Wiley & Sons, 2007. 857 p.

DRAPER, Norman R. Ridge Analysis of Response Surface. Technometrics, v. 5, n. 4, p.467-479, 1963.

MONTGOMERY, Douglas C. Design and Analysis of Experiments. 5 ed. New York: John Wiley & Sons,

2001. 684 p.

MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para

Engenheiros. 4 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2009. 493 p.

MYERS, Raymond H.; MONTGOMERY, Douglas C. Response Surface Methodology: Process and Product

Optimization Using Design of Experiments. 2 ed. New York: John Wiley & Sons, 1995. 700 p.

RYAN, Thomas P. Modern Experimental Design. 1 ed. New York: John Wiley & Sons, 2007. 593 p.

SARMIENTO, Martin Cornejo. Análise de cumeeira de superfícies de resposta de segunda ordem para a

otimização de processos e produtos usando planejamento de experimentos. Rio de Janeiro: PUC-RIO, 2014.

93 p. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia da Produção, Departamento de

Engenharia Industrial, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2014.




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