Aplicação Da Estatística Na Metrologia - Tópico 2 Parte 1

CONCEITOS BSICOS DE METROLOGIA ELTRICA

NOVEMBRO - 2012

1. APLICAO DA ESTATSTICA NA METROLOGIA AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS

EXPERIMENTAIS

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDA

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAIS1 INTRODUOO conceito de "experimento" bastante amplo: pode abranger desde uma srie de medies de uma grandeza qualquer at um extenso projeto de pesquisa.Todos os experimentos tm, contudo, muitos pontos em comum, qualquer que seja a natureza do trabalho. Uma componente essencial em toda boa medio a anlise cuidadosa e criteriosa dos problemas a serem enfrentados.Atravs do conhecimento de princpios bsicos, poderemos definir quais os caminhos possveis para a execuo de uma medio ou soluo de um problema. Para que se possa alcanar resultados satisfatrios, ser necessrio conhecer as possveis fontes de erros e fatores perturbadores inerentes ao caminho escolhido, atuando-se no sentido de minimizar os efeitos sobre os resultados finais.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISAs medidas envolvem o uso de instrumentos que, de modo geral, constituem o meio fsico de se obter medies que os sentidos humanos no se encontram aptos a realizar. Um instrumento pode ser definido como um dispositivo de determinao do valor ou grandeza de uma quantidade varivelA primeira providncia num trabalho de medio a escolha do mtodo a ser utilizado. Essa escolha, feita de acordo com o equipamento disponvel, precisa levar em conta a exatido requerida e, tambm, condies tais como rapidez e convenincia.A rapidez de menor importncia em ensaios de preciso, mas, essencial se um grande nmero de ensaios de rotina deve ser feito.No devemos considerar apenas o mtodo, mas, tambm, planejar, cuidadosamente, os detalhes do procedimento de ensaio. O mesmo mtodo e equipamento similar podem ser usados por dois tcnicos do laboratrio e, eventualmente, um deles poder obter resultados bem melhores, residindo a diferena no cuidado com que pequenos distrbios foram eliminados.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISFreqentemente, possvel efetuar as medies necessrias por mais de um mtodo, e, nesse caso, devemos considerar os mritos de cada um deles. Um determinado mtodo pode ser desejvel sobre certos aspectos, mas, menos desejvel em outros, de modo que a escolha deve ser feita em funo das condies de ensaio.Se os resultados de um determinado experimento conduzem a consequnciasimportantes, deve-se, ento, confrontar os resultados obtidos atravs de mtodos diferentes. Se os resultados assim obtidos apresentarem uma razovel concordncia, teremos ento mais subsdios para uma tomada de deciso.Caso os resultados no concordem de perto, deve-se, ento, realizar um estudo detalhado dos mtodos e equipamentos utilizados para se determinar a razo de tal discordncia.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISOs experimentos que envolvem uma srie de ensaios requerem um planejamento cuidadoso, de maneira a se evitar que os resultados alcanados sejam decepcionantes, aps um rduo e demorado trabalho. Experimentos dessa natureza esto envolvidos por muitos fatores ou fontes de erros, o que torna necessrio o estudo do efeito de cada fator no resultado final, pois, sem isso, poderemos chegar concluso que os dados obtidos no conduzem informao desejada.Conclui-se, portanto, que para qualquer experimento, quer seja ele composto por um nico ensaio, quer seja por uma srie de ensaios, ser preciso que tenhamos um meio para verificar a consistncia dos dados obtidos, e, nesse sentido que a estatstica introduzida no trabalho experimental.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISVALOR VERDADEIRO OU VALOR ABSOLUTOMuitos de ns temos a falsa intuio de que se o Homem se dispusesse a medir uma grandeza qualquer, ele conseguiria melhorar tal medida infinitamente, atum valor que fosse absolutamente correto.Por exemplo, a soma dos ngulos internos de um tringulo 180 graus. A medida 180 graus o que chamamos de valor absoluto ou valor verdadeiro.Os valores absolutos so normalmente definidos como no caso anterior, ou so tomados como padro, por exemplo, a escolha do metro padro, guardado no Museu de Pesos e Medidas da Frana, como unidade de comprimento.Normalmente, manipulamos com grandezas cujo valor verdadeiro ou absoluto no conhecemos, por exemplo, a f.e.m. de uma pilha, o valor de um resistor, etc., portanto, precisaremos medi-las.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISERRO ABSOLUTOO erro absoluto a diferena entre o valor medido e o valor verdadeiro de uma grandeza.Vamos tomar, como exemplo, o caso da somatria dos ngulos internos de um tringulo retngulo. Utilizando-se um transferidor, que tem resoluo para medir at minutos de ngulo, mediremos cada um dos ngulos do tringulo em questo:ngulo = 9000'ngulo = 2930'ngulo = 5930'Realizando-se a somatria desses ngulos obteremos:

+ + = 17900'Observamos que h uma diferena entre o valor absoluto anunciado pela Geometria e o valor experimental encontrado.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAIS

Deveramos obter 180se:a) O tringulo fosse ideal;b) O transferidor tivesse resoluo infinita;c) O operador fosse perfeito.Portanto, h um erro entre o valor encontrado experimentalmente e o valor absoluto, que pode ser calculado pela expresso a seguir: = 17900' - 18000 = - 100'

Logo, - 100' o erro absoluto que foi cometido na experincia.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISINTERFERNCIAS NAS MEDIDASAs diferenas encontradas entre as medidas dos ngulos internos do tringulo so ocasionadas por interferncias que sempre ocorrem num processo de medio.Basicamente, h dois tipos de interferncias:a) Interferncias Sistemticas:So aquelas que provocam erros sem comportamento estatstico. Por exemplo, voc mede os ngulos internos do seu tringulo com um transferidor que entre dois traos consecutivos ao invs de ter 1 tem na verdade 0,9 e voc desconhece esse fato; em cada medida este erro estar presente e estaremos medindo sempre com 10% de acrscimo. Portanto, essa interferncia sistemtica sempre provocar medidas com valores maiores do que aqueles que seriam encontrados se o transferidor no apresentasse este erro sistemtico.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISb) Interferncias Acidentais ou AleatriasComo o prprio nome indica, so interferncias que causam medidas com valores tanto acima como abaixo do "valor verdadeiro". Por exemplo, por distrao, um operador realiza leituras defeituosas num determinado instrumento.Normalmente, o experimentador tem condies de eliminar as interferncias ou pelo menos corrigir os resultados, mas, as interferncias aleatrias no so eliminveis em sua totalidade e nem corrigidas.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISERROS SISTEMTICOSERROS INSTRUMENTAISa) Devido a ineficcia do instrumento:Todos os instrumentos e padres possuem inexatides de alguma espcie. Conforme garantido pelo fabricante, h sempre uma tolerncia da calibrao e inexatides adicionais que podem surgir no decurso do tempo e do uso.Como exemplos podemos citar:Um instrumento indicador que tem o seu ajuste de zero afetado, de modo que o ponteiro fique um pouco deslocado, causando, assim, um erro sistemtico de valor constante em todas as leituras.Uma ponte de Wheatstone, cujos braos da razo tenham uma relao real diferente do valor indicado, causa um erro instrumental sistemtico de valor proporcional a todas as medidas em que se usem aqueles braos.Um instrumento indicador, como um voltmetro, tem erros na escala; esses erros so, geralmente, diferentes nos diversos pontos de escala, e, portanto, no se enquadram nem como erro do tipo constante nem como erro do tipo proporcional, necessitando ser expresso por uma curva de correo.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAIS Observa-se, ainda, que um resistor srie incorreto, em um voltmetro, daria

um erro sistemtico proporcional na escala de leitura.Uma vez constatados, tais erros devem ser minimizados ou, se possvel,

eliminados, mediante os seguintes processos: Planejamento cuidadoso do procedimento. Quando possvel, deve-se dar

preferncia a um mtodo de substituio medindo-se contra um padro de valor conhecido;

Determinao dos erros instrumentais e aplicao dos fatores de correo; Ajuste e calibrao dos instrumentos.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISb) Devido ao maltrato ou aos efeitos de sobrecarga dos instrumentos:As falhas nas medies podem ser originadas, muito mais em funo de erros do operador do que em funo dos instrumentos utilizados.Um bom instrumento usado de maneira inadequada pode proporcionar maus resultados. Isto pode acontecer devido a pequenos detalhes, como por exemplo, o esquecimento de se fazer o necessrio ajuste do zero num instrumento indicador (voltmetros e ampermetros devero ter o zero ajustado antes de ser energizados), uma escolha inadequada da faixa de medio, o uso de condutores de ligao de resistncia muito alta para as medies executadas, e, muitas outras possibilidades.H ocasies em que a falta de cuidado ou uso anormal de um instrumento no s originam maus resultados, como tambm, pode danific-lo permanentemente, devido aos efeitos das sobrecargas e superaquecimento.Uma outra fonte de resultados errados, que de responsabilidade do operador, diz respeito a carga que o instrumento utilizado representa para o circuito onde se deseja efetuar a medio. Um voltmetro bem calibrado, por exemplo, pode dar valores menores e leituras falsas se ele for ligado entre dois pontos de um circuito de alta resistncia.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISOs instrumentos indicadores sempre modificam, de algum modo, as condies de um circuito quando a ele ligado. Algumas vezes, o efeito pequeno e desprezvel, e, assim, podemos efetuar uma correo atravs de clculo. Porm, h casos em que as alteraes sero to grandes que nos levam a concluir pela impossibilidade de se utilizar determinado instrumento.Conclui-se, portanto, que o efeito da carga do instrumento deve ser considerado ao se planejar os sistemas de medio, de modo que as correes possam ser feitas e sejam escolhidos os instrumentos mais adequados.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISERROS AMBIENTAISEsta categoria de erros tambm denominada de "erros devido s condies externas", isto , condies externas ao dispositivo de medio. Isto inclui qualquer condio, na regio em volta da rea de ensaio, que tenha um efeito na medida. As fontes de erro mais comuns so as variaes de temperatura, umidade relativa do ar, presso atmosfrica e campos eltricos ou magnticos.H diversos procedimentos que podem ser adotados para eliminar, ou pelo menos reduzir, os distrbios indesejveis:a) Arranjos para manter as condies ambientais to constantes quanto possvel, atravs de sistemas de condicionamento de ar;b) Uso de dispositivos construdos com materiais cuja resistncia tenha um coeficiente de variao com a temperatura muito pequeno ao longo de uma moderada faixa de trabalho;c) Encapsulamento total de determinados componentes de um dispositivo de medio;d) Uso de blindagens magnticase) Clculos corretivos.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISERROS DE OBSERVAOO "Erro do Observador" denota a existncia de uma "equao pessoal", para o observador, de modo que duas (ou mais) pessoas se utilizando dos mesmos instrumentos, para um mesmo conjunto de medies, no dupliquem necessariamente, os resultados. Um observador pode, caracteristicamente, tender para leituras maiores (ou menores) do que o valor correto, possivelmente, devido ao ngulo de leitura e, falhar na eliminao da paralaxe. O erro de paralaxe ocorre quando o olho do observador, a ponta do ponteiro e o valor indicado pelo instrumento no se situam em um plano vertical em relao ao plano da escala.Em medidas que envolvem o tempo de um acontecimento, um observador pode tender a antecipar-se ao sinal e ler mais cedo. As leituras importantes que podem estar sujeitas a este tipo de erro devem ser compartilhadas por dois ou mais observadores, a fim de minimizar a possibilidade de um desvio constante.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISERROS ALEATRIOS (OU RESIDUAIS)O evento fsico que estamos medindo afetado por muitos acontecimentos que ocorrem no universo, e, ns estamos prevenidos apenas contra os mais bvios; os restantes so agrupados e denominados "aleatrios" ou "residuais". Os erros assim considerados podem ser identificados como o resduo do erro, quando todos os conhecidos efeitos sistemticos tiverem sido levados em conta.As condies de ensaio esto sujeitas a variao de pequenas causas que no podem ser pesquisadas separadamente.Quando as correes forem feitas para os efeitos conhecidos, elas sero tambm aproximadas, deixando um pequeno resduo.Os erros desconhecidos so, provavelmente, causados por um grande nmero de pequenos efeitos, cada um varivel, de modo que so aditivos em alguns casos e subtrativos em outros nos seus efeitos sobre a grandeza medida.Ao supormos a presena de um grande nmero de pequenas causas, podendo cada uma das quais dar um efeito positivo ou negativo, de maneira completamente aleatria obtemos a condio de disperso em torno de um valor central.

AVALIAO DE MEDIDAS E RESULTADOS EXPERIMENTAISEssa condio freqentemente encontrada em trabalhos experimentais, e, assim, podemos nos valer das leis da Estatstica, para o estudo analtico do trabalho experimental.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAINTRODUONenhuma medida feita com exatido perfeita. H sempre algum erro, que varia de uma determinao para outra, superposto ao valor que estamos buscando. A funo da Estatstica separar, tanto quanto possvel, o certo do errado, pelo estreitamento da regio de dvida. Nota-se, contudo, que o estudo estatstico no pode revelar nada alm do que est implcito nos dados obtidos e no pode remover as interferncias sistemticas do conjunto desses dados.As interferncias sistemticas podero ser identificadas, atravs do uso de dois ou mais mtodos diferentes para se medir uma mesma grandeza e da anlise dos dados obtidos.A mais simples aplicao da Estatstica est na obteno da mdia de um conjunto de medidas. Nenhuma dependncia deve ser posta em uma nica determinao, devido a possibilidade de erro grosseiro na medida, na leitura ou no registro do resultado.Alm disso, geralmente se espera que a mdia seja a melhor medida de um elemento desconhecido do que o valor dado por uma nica leitura.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDA prtica geral se abandonar as leituras que mostram grande divergncia para a mdia do conjunto, desde que se conhea a provvel causa dessa discrepncia. possvel, estatisticamente, ocorrer um tal evento, mas, as chances contra sua ocorrncia por pura sorte so to grandes que a pressuposio de se tratar de um erro grosseiro mais razovel e, de qualquer forma, ele no deve ser computado na mdia de um pequeno conjunto de leituras.Por exemplo, tomemos 4 leituras da f.e.m. de uma bateria, atravs de um procedimento confivel dentro de 1%.E1 = 12,1 V E2 = 16,5 V E3 = 12,0 V E4 = 11,9 VO indcio de erro grosseiro na leitura E2 muito evidente, devendo, portanto, ser rejeitada para o clculo da mdia.A anlise estatstica aplica-se de modo muito mais amplo do que ao simples ajustamento de um conjunto de dados. Algumas das suas mais importantes aplicaes so dadas a seguir:

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAa) Determinao de uma constante fsica, envolvendo um longo e interminvel conjunto de medidas, com o requisito da mais elevada exatido atingvel no resultado;b) Investigao de um produto ou processo, envolvendo diversos fatores, para determinar a influncia de um deles na qualidade ou no funcionamento do todo;c) Inspeo ou amostragem e controle de qualidade dos processos da produo.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAANLISE ESTATSTICA DOS DADOS EXPERIMENTAISO primeiro passo, ao se fazer o levantamento dos resultados de um experimento, corrigir os dados de todos os erros sistemticos conhecidos, uma vez que estamos procurando nos aproximar o mximo possvel do "valor verdadeiro" da grandeza medida. O tratamento estatstico aplicar-se- as variaes remanescentes. Devemos remover todos os erros conhecidos antes de aplicar os mtodos estatsticos, visto que eles se baseiam em leis do acaso e no em fatores consistentes.A anlise vai nos permitir determinar o melhor valor possvel dentre os dados obtidos e fixar os limites inerentes disperso dos dados.A distribuio dos dados de um conjunto de leituras pode ser apresentada de vrias maneiras, uma das quais um diagrama em blocos ou "histograma".

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAUma srie de leituras mostrada na TABELA 1 mostrada a seguir que representam, por exemplo, as medidas de um grupo de resistores de valor nominal de 100 ohms, retirados ao acaso de uma linha de produo ou um conjunto de medidas de um nico resistor de 100 ohms. Os dados foram lidos e registrados a menos de 1/10 de ohm. O diagrama mostrado na FIGURA 1 representa a tabela de dados, com as ordenadas indicando o nmero de vezes que um valor particular foi encontrado.


TABELA DE LEITURAS DE RESISTNCIA

TABELA 1

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAH um grupo maior correspondente ao valor central, de 100,0 ohms, sendo os outros valores arranjados quase que simetricamente nos resultados dos valores mais altos e mais baixos. Nota-se que os nmeros representados na coluna da direita da TABELA, que indicam a ocorrncia relativa de cada valor, poderiam tambm ser utilizados como ordenadas; o formato do diagrama seria o mesmo com uma simples troca de escala. A ocorrncia relativa dos valores , freqentemente, mais conveniente e mais significativa do que o nmero particular de casos.


FIGURA 1

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDASe fizermos mais leituras e as agruparmos por menores incrementos, digamos 200 leituras a intervalos de 0,05 ohms, devemos encontrar um diagrama de mesmo formato geral, com exceo de que os diagramas seriam menores e o contorno algo mais suave. Com nmero de dados cada vez maior, por intervalos cada vez menores, o diagrama em degraus acabaria transformando-se numa curva contnua ou, de outro modo, a curva contnua pode ser obtida traando-se uma linha que atravesse os degraus de forma a dividi-los, mantendo-se a mesma rea no intervalo de cada degrau.O formato em degraus usado nos casos:a) de poucos dados;b) de situaes com diviso natural em grupos;c) de situaes em que nenhuma lei natural de variao esperada.O formato com curva contnua o mais empregado nos estudos analticos e est caracterizado na FIGURA 2


FIGURA 2

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDADISTRIBUIO NORMAL DOS ERROSA distribuio normal constitui a base para a maior parte dos estudos dos efeitos aleatrios. Este tipo de variao encontrado, freqentemente, nos trabalhos experimentais, aps os efeitos conhecidos terem sido removidos. As hipteses que conduzem distribuio normal so as seguintes:a) Todas as observaes incluem um grande nmero de pequenos efeitos perturbadores aleatrios ou "erros aleatrios".b) Os pequenos erros aleatrios podem ter sinais positivos ou negativos.c) H probabilidade igual tanto para efeitos perturbadores positivos quanto para negativos.Como conseqncias dessas hipteses, podemos esperar que muitas observaes incluam erros positivos e negativos em quantidades mais ou menos semelhantes, resultando num erro total pequeno.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAA curva normal pode ser vista como o formato limite de um histograma, tal como o da FIGURA 1, em que a quantidade de dados aumentou muito, sendo agrupados em faixas cada vez menores.A curva da lei normal dos erros apresentada a seguir (Vide FIGURA 3).

FIGURA 3

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAA equao que descreve a lei normal pode ser escrita em termos de desvio padro, como segue:

1 (x - )2f(x) = _____ . exp - 1/2 ________ para - < x < +

2pi 2Essa forma de equao particularmente til, visto que uma quantidade que normalmente conhecemos e na qual estamos interessados. O desvio padro tem a mesma unidade que as grandezas observadas e a sua mdia; assim, fica fcil visualizar a disperso em comparao com a mdia.A FIGURA 4 apresenta os desvios divididos em termos de unidade de , isto , para um desvio (X - ) = 1, 2, ..., etc.


FIGURA 4

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAA rea sob a curva de probabilidade, e dentro de limites fixados, representa o nmero de casos observados, cujos desvios esto dentro de limites correspondentes, sendo expressa como umafrao do nmero total de casos. A rea delimitada entre - e + representa o nmero inteiro de casos.Matematicamente,

+ 1 - (x - )2

_______ . exp _______ dx = 1.2pi 2.2

- Assim sendo, se determinarmos a rea entre - e + conheceremos o nmero relativo de casos que diferem da mdia no mais que 1. Esta rea pode ser calculada por integrao em srie ou, mais simplesmente, por consulta Tabela.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAPara exemplificarmos o que foi dito, consideremos o seguinte caso:Se, para a medida de um grande nmero de resistores encontrarmos a mdia de 100,0 , com um desvio padro de 0,2 , ao considerarmos uma distribuio normal dos dados, saberemos que 68,28 % dos resistores se situam entre tolerncias de 0,2 ou 1, em relao ao valor mdio.Se desejarmos mais segurana, podemos admitir uma tolerncia de 0,4 ou 2, e assim, incluiremos 95,46 % de todos os casos.Para maior segurana, podemos admitir uma tolerncia de 3, o que inclui 99,72 % dos casos, e que uma "quase certeza".

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAERRO PROVVELConsiderando-se a curva da distribuio normal, observamos que ao levantarmos duas ordenadas correspondentes aos desvios r = 0,6745, conforme mostrado na FIGURA 5, metade da rea sob a curva estar compreendida entre esses limites. A quantidade "r" denominada de "erro provvel". Esse valor provvel, no sentido de que h igual probabilidade de qualquer observao possa ser afetada de erro no superior a r. O erro provvel foi muito utilizado no passado, mas atualmente, utiliza-se o desvio padro, por ser mais conveniente.


FIGURA 5.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAConsiderando-se o exemplo dos resistores, cujo valor mdio de 100,0 com desvio padro de 0,2 , podemos calcular o erro provvel "r", multiplicando-se o desvio padro por 0,6745, logo:r = 0,6745 . 0,2r = 0,1349

.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDACOMBINAO DE VARINCIASSe X uma funo de diversos componentes variveis, cada um dos quais sujeitos a efeitos aleatrios, ela poder ser expressa por:

X = f (x1, x2, ... xn)

Se x1, x2, ... xn so variveis independentes, que apresentam pequenas variaes em torno de seus valores mdios designados por x1, x2, ... xn, a variao de X para sua mdia ser dada por:

X X X X = ____ . x1 + ____ . x2 + ... + ____ . xn

x1 x2 xn

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAElevando-se a expresso ao quadrado, teremos:

Observa-se que os termos de duplo produto tendem a zero, uma vez que x1, x2, ... so pequenos incrementos e com igual probabilidade de estar associados a sinais positivos e negativos.Para medies repetidas, pela definio de varincia, a mdia de (x1)2 torna-se a varincia de x1; analogamente, a mdia de (X)2 se tornar a varincia de X. Podemos ento equacionar a varincia de X como:

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAEm conseqncia, o desvio padro de X poder ser calculado por:

Assim, por essas duas expresses, poderemos verificar que a propriedade aditiva da varincia nos permite observar a influncia dos componentes de uma funo composta.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDACOMBINAO DOS ERROS - EFEITOS DOS ERROS COMPONENTESOs erros componentes so utilizados em muitos processos de medio, nos quais os resultados desejados dependem de diversos fatores. Por exemplo, pode-se calcular a resistncia hmica R, atravs da relao entre tenso e corrente V/I, onde ambos os termos esto sujeitos a erros. Assim, podemos escrever:R = f(V, I)R = V / IPodemos expressar o efeito da variao incremental na tenso (V), no valor da resistncia hmica (Rv), do seguinte modo:


RRv = _______ . V

V

(V/I)Rv = ______ . V

V

1Rv = ______ . V

I

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAAnalogamente, poderemos expressar o efeito da variao incremental na corrente (I), no valor da resistncia hmica (RI), do seguinte modo:

RRI = ____ . I

I(V/I)

RI = _____ . II

VRI = - ____ . I

I2

Deve-se ressaltar que as expresses utilizadas para os erros componentes so vlidas, desde que as variveis sejam independentes e os incrementos sejam pequenos.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDACOMBINAO DOS ERROS PARA FUNES NORMALMENTE DISTRIBUDASSe X uma funo normalmente distribuda, composta pelas variveis x1, x2, ... xn, normalmente distribudas, podemos escrever:

X XV(X) = ( _____ )2 . V(x1) + ( _____ )2 . V(x2) + ...

x1 x2X X

(X)= [ ( ____ )2 . (x1)2 + ( ____ )2 . (x2)2 + ... ]x1 x2

Os erros componentes de um conjunto de dados normalmente distribudos se adicionam quadraticamente. Esse fato se explica do seguinte modo: a soma quadrtica d um resultado menor que a soma aritmtica dos termos componentes, uma vez que em uma combinao de efeitos aleatrios, no provvel que todos os erros componentes estejam com seus valores mximos simultaneamente.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAPode-se destacar os seguintes casos especiais:a) Soma de grandezas Se X a soma de duas funes x1 e x2X = x1 + x2Pode-se calcular:V(X) = V(x1) + V(x2)(X) = [(x1)2 + (x2)2]b) Diferena de grandezasX = x1 - x2V(X) = V(x1) + V(x2)(X) = [(x1)2 + (x2)2]Verifica-se que V(X) e (X) tm o mesmo valor em ambos os casos, porm, na subtrao, (X) maior em proporo em relao a soma.Conclumos, portanto, que ocorre uma diminuio da preciso ao tomarmos a diferena de duas grandezas.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAERROS GARANTIDOS OU ERROS LIMITESOs fabricantes de instrumentos de medio, declaram e do garantia do grau de confiabilidade de seus produtos. Se um resistor de 100 garantido para um erro no superior a 0,1%, o fabricante poder especificar, em seu catlogo, 100 0,1% ou 100 0,1 .Essa maneira de escrever no deve ser confundida com a notao utilizada para se representar o desvio padro. O fabricante no est especificando um desvio padro de 0,1% e, certamente, um comprador no ficaria satisfeito em saber que estaria adquirindo um componente cuja tolerncia especificada tem apenas uma probabilidade estatstica de ocorrer.O fabricante "promete" que o erro no maior que o limite especificado.A prtica usual entre fabricantes conceituados , em geral, permanecer dentro do limite, atravs do controle de processos, para colocar o instrumento dentro da metade do limite garantido, protegendo-se, assim, contra falhas de produo.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAA idia do erro garantido deve ser aplicada, tambm, a medidas que envolvem diversos componentes, estando cada um deles delimitado por um erro garantido.Pode-se fazer a mesma considerao, ao se prefixar limites de exatido nos resultados das medidas obtidas, atravs destes instrumentos ou componentes. Assim sendo, ao realizarmos um determinado experimento (ensaio), envolvendo uma ou mais medies, deveremos declarar os resultados obtidos com seus respectivos limites de exatido, que sero calculados segundo uma combinao algbrica, considerando-se o pior caso. Tomemos dois exemplos:Exemplo 1 - Deseja-se associar dois resistores em srie, de valores nominais 100 e 50 , e ambos com um erro garantido de 0,5%.O resistor equivalente associao (x) ser calculado como se segue:x = (50 0,25) + (100 0,5)x = 150 0,75 []Em termos de erro garantido, a associao dos resistores ter uma incerteza de 0,5%.Exemplo 2 - Sabemos que a potncia dissipada num resistor

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAEm termos de erro garantido, a associao dos resistores ter uma incerteza de 0,5%.Exemplo 2 - Sabemos que a potncia dissipada num resistor calculada por:

P = I2 . R Ambos os fatores, I e R, tm certos limites garantidos aos seus valores especificados. Dentro de que limites poderemos garantir o valor da potncia?Dados:I = 4,00 A 0,5% = 4,00 0,02 AR = 100,0 0,2% = 100,0 0,2

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAOs erros componentes na potncia sero calculados por:

PPI = _____ . I = 2 . I . R . I

IPI = 2 . 4,00. 100,0 ( 0,02)PI = 16 W

PPR = _____ . R = I2 . R = (4,00)2 . ( 0,2)

RPR = 3,2 WA potncia calculada ser:P = (4,00)2 . 100,0 = 1600 W

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAConsiderando-se as incertezas com base nos limites garantidos, teremos:P = 1600 16 3,2 WP = 1600 19,2 W P = 1600 W 1,2%Nota-se que as duas incertezas em watts, so adicionadas diretamente para o caso garantido.Resumindo-se, tudo o que vimos a respeito de erros componentes, podemos dizer que:a) Os efeitos dos erros componentes podem ser calculados do mesmo modo, atravs de derivadas parciais, seja para o caso garantido, seja para o caso aleatrio.b) O mtodo de combinar os erros componentes difere nos dois casos: os efeitos aleatrios so combinados atravs da mdia quadrtica, enquanto os limites garantidos so combinados atravs da soma aritmtica direta, interpretando-se os sinais a fim de se obter a maior discrepncia possvel.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAPROPAGAO DOS ERROSNas cincias experimentais existe um grande nmero de grandezas que no so medidas diretamente, mas, indiretamente, atravs de clculos nos quais operamos com grandezas medidas diretamente.Suponhamos duas grandezas, medidas experimentalmente, ambas com um erro associado a si, de tal forma que os valores sero representados por:A = a aB = b bComo A e B no so exatos, diremos que os erros a eles associados se propagaro ao utilizarmos tais grandezas para um clculo.Pode-se demonstrar, atravs de derivadas parciais cada uma das "frmulas" para o clculo de erros propagados. Porm, no presente trabalho, apenas as enunciaremos.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDASOMA Suponhamos que conhecemos as grandezas experimentais "a" e "b" eseus respectivos intervalos de dvida, ou seja:A = a a e B = b bO resultado da soma dessas duas grandezas ser expresso por: X = x xOnde:x = a + bx = [(a)2 + (b)2]1/2SUBTRAO Sendo:A = a aB = b b

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAO resultado da subtrao entre essas duas grandezas ser expresso por:X = x xOnde:x = a - bx = [(a)2 + (b)2]1/2PRODUTOSendo:A = a aB = b bO resultado da multiplicao entre essas duas grandezas ser expresso por:X = x xOnde:x = a - bx/x = [(a/a)2 + (b/b)2 ]1/2Onde a/a, b/b e x/x so respectivamente os erros relativos das grandezas A, B e X.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDADIVISO Sendo:A = a aB = b bO resultado da diviso entre essas duas grandezas ser expresso por:X = x xOnde:x = a bx/x = [(a/a)2 + (b/b)2 ]1/2

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAPOTENCIAO E RADICIAOConsideremos uma grandeza "A" definida como:

A = a aDesejamos calcular o resultado da operao:X = (A)nonde, "n" um nmero qualquer, expoente de "A", sendo que "n" poder ser um nmero inteiro (Potenciao) ou fracionrio (Radiciao); positivo ou negativo.O resultado da operao ser expresso por:X = x xOnde:x = (a)nx/x = [n.(a/a)], onde o expoente n tomado em mdulo.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAPROPAGAO DOS ERROS ASSOCIADOS GRANDEZAS MATEMTICAS Existem certas grandezas matemticas cujo valor exato no determinado. Quando estas grandezas interferem no clculo de outras, precisamos saber com que preciso elas foram usadas e qual a contribuio que elas tiveram no valor do erro propagado para o resultado final.Tomemos alguns exemplos:pi = 3,14159 26535 89793 238462 = 1,4142143 = 1,732051Os exemplos citados caracterizam grandezas matemticas que no tem valor absoluto bem determinado, portanto, podemos Tom-las com a preciso que desejarmos. Porm, conforme a preciso admitida para uma determinada grandeza, deveremos associar um intervalo de dvida ou "erro admissvel", indicando at que casa decimal ns a consideramos arredondada ou imprecisa.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAAssim, por exemplo, se tomarmos para pi o valor 3,1416 devemos associar este valor um erro de 0,0001, que indica que o quinto algarismo significativo duvidoso, conseqncia de um arredondamento. Poderemos, ento, considerar que o valor de pi encontra-se entre 3,1415 e 3,1417, ou, de outro modo, poderemos escrever:pi = 3,1416 0,0001Como regra geral, pode-se definir: "Para qualquer grandeza matemtica, cujo valor absoluto no exato (de preciso infinita), consideramos, para o valor desta grandeza, um erro admissvel ou intervalo de dvida igual a unidade, e, cuja ordem de grandeza seja tal, que coincida com o ltimo algarismo significativo que considerarmos para o valor em questo"Por exemplo, se tomarmos pi = 3,1 , devemos considerar um erro admissvel de 0,1, porm, se tomarmos pi = 3,14 , ento o erro admissvel dever ser de 0,01. Observa-se, ainda, que o erro relativo das grandezas em questo aumenta, conforme diminumos a preciso do valor considerado para a grandeza.

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAConsideremos os exemplos a seguir:

pi- Se pi = 3,1 ento, pi = 0,1 e = 0,033

pi

pi- Se pi = 3,1416 ento, pi = 0,0001 e = 0,000032

pi

- Se pi = 3,1416 e pi = 0,0001 , como deveremos expressar a grandeza "X", dada pela equao X = pi2 ?Podemos calcular o valor provvel de X, como segue:x = pi2

x = (3,1416)2 = 9,86965056Pela regra da potenciao, podemos calcular o erro relativo de X, como segue:

x pi = 2 .

x pi


x 0,0001 = 2 .

x 3,1416 x

= 0,000064x

Podemos calcular o erro propagado de X, como segue:x = (3,1416)2 . 0,000064x = 0,0006O valor do resultado final ser escrito como:X = 9,8696 0,0006Conclu-se, portanto, que quando grandezas matemticas entram no clculo de uma dada grandeza, devemos considerar um valor suficientemente preciso, de tal forma, que os erros associados a elas sejam desprezveis, quando comparados com os erros associados grandeza, cuja preciso no pode ser alterada, por se tratar de valores experimentais

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDAConsideremos o seguinte exemplo de aplicao:Deseja-se calcular a rea de uma circunferncia de raio "R", medido experimentalmente e expresso por:R = (2,50 0,01) cm.Sabe-se que a rea (S) de uma circunferncia de raio R calculada pela expresso: S = pi . R2 Devemos, inicialmente, calcular o erro relativo de "S", antes de calcularmos o seu valor provvel.Sendo:S = s sR = r r

s pi r()2 = ()2 + (2 . )2

s pi r

s pi 0,01()2 = ()2 + (2 . )2

s pi 2,50


s pi()2 = ()2 + (0,0080)2

s pi

Pelos clculos, observamos que o erro relativo de "pi" ser desprezvel, em relao ao erro relativo de "R", se considerarmos:

pi < 0,000045

pi

Ento, podemos escrever:pi = 3,1416 0,0001Deste modo, o erro relativo de "pi" ser:

pi 0,0001 = = 0,000032

pi 3,1416

COMPORTAMENTO ESTATSTICO DE UMA MEDIDARetomando o clculo de "S", teremos:

s()2 = (0,000032)2 + (0,0080)2

s

s = 0,00800006

s

Nota-se, que o erro relativo de "pi" no interfere no resultado final.O erro propagado de "S" ser dado por:s = 3,1416 . (2,5)2 . 0,0080s = 0,2 cm2

O valor provvel de "S" ser dado por:s = 3,1416 . (2,5)2s = 19,6 cm2

Finalmente, o resultado final ser escrito como:S = (19,6 0,2) cm2


EXERCCIOS1) Calcular o volume de um paraleleppedo com base nos dados abaixo:A = ( 5,64 0,03 ) cmB = ( 7,86 0,04 ) cmH = (15,84 0,08 ) cm2) Calcular o perodo de uma oscilao de freqncia F, sendo:F = (183,0 0,5) Hz3) O tringulo retngulo abaixo tem catetos:A = (3,00 0,03) cmB = (4,00 0,04) cmPede-se:a) a hipotenusa;b) o cosseno do ngulo B

A


4) Durante o ensaio de um motor eltrico, fez-se uma leitura da potncia absorvida da rede, obtendo-se 4120 W, e uma leitura da potncia til, obtendo-se 3730 W. Sabendo-se que cada uma das leituras tem um erro associado de 10 W, pede-se determinar:a) as perdas do motorb) o rendimento do motor


5) O fator de potncia e o ngulo de fase de um circuito de tenso e corrente senoidais, so determinados pelas medies de tenso, corrente e potncia. A tenso lida de 125 V, em um voltmetro de escala de 200 V; a corrente lida de 3,00 A, em um ampermetro de escala de 6 A; a potncia lida de 225 W, em um wattmetro de escala de 500 W.O voltmetro e o ampermetro tem exatido especificada de 0,5% da leitura do final de escala, enquanto que o wattmetro, tem exatido especificada de 0,2% da leitura do final da escala.Pede-se determinar:a) o fator de potnciab) o ngulo de fase.

Aplicação Da Estatística Na Metrologia - Tópico 2 Parte 1

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