Aplicação do Método de Rayleigh-Ritz e do Método de Elementos Finitos em uma Viga

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

Aplicação do Método de Rayleigh-Ritz e do Método de ElementosFinitos em uma Viga

Aluno: Giovanni BrattiProf.: Júlio A. Cordioli, Dr. Eng.

Florianópolis, 07 de Outubro de 2009.

Introdução

Este exercício tem como objetivo aplicar métodos aproximados para resolução das equaçõesdiferenciais do movimento de uma estrutura mecânica. Será utilizado aqui o Método de RayleighRitz (MRR) e o Método de Elementos Finitos (FEM) em um modelo de viga engastada-livrecom seção transversal variável ao longo da longitude.Com isso, serão calculadas as quatro primeiras formas modais e as quatro primeiras frequên-

cias naturais da viga, e no final são feitas as comparações entre os resultados obtidos pelosmétodos.

3

1 Proposta do exercício

1. Seja a viga engastada-livre, sujeita a movimentos de flexão abaixo:

Figura 1.1: Viga bi-engastada, com seção transversal variável.

A seção transversal da viga é retangular, com largura b constante, e altura h(x) variávele dada por:

h(x) = h

(1− x

2L

)(1)

Através do Método de Rayleigh-Ritz e assumindo que as dimensões da seção transversalda viga são muito menores que o comprimento de onda considerado, derive as equaçõesdo problema de auto-valores usando as funções base di(x) = xi+1. Assumindo uma vigade alumínio com dimensões L = 0, 6m, b = 0, 1m e h = 0, 05m, compare as frequênciasnaturais e formas modais dos quatro primeiros modos para n = 4, 6 e 8, onde n é o númerode funções base consideradas.

2. Modele a viga do exercício 1 usando o Método de Elementos Finitos e:

a) Compare as freqüências naturais e formas modais dos quatro primeiros modos paran = 4, 8 e 36, onde n é o número de elementos.

b) Compare as freqüências naturais e formas modais dos quatro primeiros modos paran = 36 com os resultados obtidos usando o Método de Rayleigh-Ritz com 8 funçõesbase.

5

2 Método de Rayleigh Ritz

Esta abordagem utiliza o Método energético de Rayleigh-Ritz (que é um método aproxi-mado) para estimar as formas modais e as frequências naturais de flexão de uma viga comseção transversal variável [1]. De modo geral, o método transforma um problema contínuo, dedimensão infinita, em um problema de autovalores de dimensão n.Este método utiliza a energia cinética que está relacionada com a inércia do sistema e a

energia potencial que está associada com a rigidez do sistema. Este tratamento é feito paraencontrar as matrizes reduzidas de massa [M] e de rigidez [K] da viga, para que então sejaresolvido o problema de autovalores que é montado com essas matrizes [K] e [M ]. Nestecaso, os autovalores são com certa aproximação iguais as frequências naturais ao quadradoe os elementos dos autovetores são usados em conjunto com funções base para estimar asformas modais. Será assumido aqui módulo de elasticidade E = 7, 1×1010N m−2 e densidadeρ = 2700Kg m−3.

2.1 Vibração de Flexão de Viga com Seção Transversal Variável

Considere a viga da figura abaixo como sistema:

Figura 2.2: Viga bi-engastada, com seção transversal variável.

O método de Rayleigh-Ritz admite que a solução aproximada do problema de autovaloresrelacionada ao sistema contínuo possa ser dada através combinação linear da seguinte equação:

v(x, t) =n∑

i=1

di(x)qi(t) (2)

onde os di(x) são funções previamente definidas e qi(t) são os coeficientes da expansão, os quaissão função do tempo. Normalmente neste método o número de funções base necessárias é igual

6

ou maior que o dobro do número de modos de interesse [1], porém, neste exercício os cálculosserão realizados com quatro, seis e oito funções base, com interesse nos quatro primeiros modos.De forma a garantir a convergência da série na Eq.(2), as funções di(x) devem obedecer as

as seguintes regras [2]:

1. Satisfazerem as condições de contorno geométricas

2. Formarem um conjunto linearmente independente

3. Serem contínuas e com derivadas de ordem (p − 1), onde p é a maior ordem da equaçãoda energia, também contínuas no intervalo considerado

4. Forme uma série completa, definida como:

limn→+∞

∫ L

0

[v(x, t)−

n∑i=1

di(x)qi(t)

]2

dx = 0 (3)

ou seja, converge na média (espacial).

No caso de uma viga em flexão, tem-se que:

• p = 2

• As condições de contorno geométricas são:

x = 0⇒

{v(0, t) = 0∂v(0,t)

∂x= 0

(4)

x = L⇒

{v(L, t) 6= 0∂v(L,t)

∂x6= 0

(5)

Para encontrar as formas modais e as respectivas frequências naturais utilizando o métodode Rayleigh-Ritz, admitem-se as seguintes funções base (dada na proposta do exercício):

di(x) = xi+1 (6)

que busque representar, através de combinações lineares, as formas modais da estrutura,respeitando as regras estabelecidas acima.

Como o sistema passou a ter um número finito de graus de liberdade (G.L), pode-se aplicara equação de Lagrange dada por:

d

dt

(∂T

∂q̇i

)+∂D

∂q̇i+∂U

∂qi= Qi i = 1, 2, 3 . . . , n (7)

7

Tem-se que a Eq.(serie) pode ser escrita como:

v(x, t) ={d(x)T

}{q(t)} (8)

portanto, a energia cinética para um elemento de viga em flexão com seção transversal A, édada por:

T =1

2

∫ L

0

ρA

(∂v(x, t)

∂t

)2

dx (9)

=1

2{q̇}T

[∫ L

0

ρA {d(x)} {d(x)}T dx

]︸︷︷︸

[M ]

{q̇} (10)

=1

2{q̇}T [M ] {q̇} (11)

onde [M ] é dado por:

[M ] =

∫ L

0

ρA {d(x)} {d(x)}T dx (12)

ou ainda para cada elemento da matriz como:

Mij =

∫ L

0

ρAdi(x)dj(x)dx (13)

No caso da energia potencial, tem-se que:

U =1

2

∫ L

0

EIz

(∂2v(x, t)

∂x2

)2

dx (14)

onde E é o módulo de elasticidade do material considerado. Portanto, da mesma forma comofoi calculada a matriz de massa, tem-se que a matriz de rigidez da viga é dada por:

[K] =

∫ L

0

ρEIz

{∂2d(x)

∂x2

}{∂2d(x)

∂x2

}T

dx (15)

ou ainda para cada elemento da matriz como:

Kij =

∫ L

0

ρEIz

(∂2di(x)

∂x2

)(∂2dj(x)

∂x2

)dx (16)

onde Iz é o segundo momento de área ao redor do eixo z.

8

No caso dos trabalhos virtuais, tem-se:

{δW} =

∫ L

0

Fy(x, t) {d(x)}T {δq(t)} dx (17)

=

[∫ L

0

Fy(x, t) {d(x)}T dx

]︸︷︷︸

{Q}

{δq(t)} (18)

e logo,{δW} = {Q}T {δq(t)} (19)

Finalmente, substituindo as equações da energia na equação de Lagrange Eq.(7), chega-se aequação do movimento dada por:

[M ] {q̈(t)}+ [K] {q(t)} = {Q} (20)

onde assume-se um sistema não amortecido.

Considerando {Q(t)} = {0} e movimento harmônico,

{q(t)} = {a} sen(ωt) (21)

onde {a} é o vetor de amplitudes complexas. Levando a Eq.(21) à Eq.(20), tem-se:

([M ]− ω2 [M ]

){a} = 0 (22)

Para que o problema tenha solução não-trivial, tem-se que:

∣∣[K]− ω2 [M ]∣∣ = 0 (23)

A Eq.(22) é conhecida como problema de autovalor, sendo que os valores de ω que satisfazema Eq.(23) são os autovalores (ωi).

Tem-se ainda para cada ωi uma única solução {a}i, denominado autovetor. Os valores de{a}i estão em coordenadas generalizadas, e a forma modal do i-ésimo modo de vibração é dadopor:

φi(x) = {d(x)}T {a}i (24)

ou seja, {a}i fornece a contribuição de cada função base na forma modal i.

As matrizes de massa [M ] e rigidez [K] dadas respectivamente pela Eq.(13) e Eq.(16), foramcalculadas com o auxílio do programa MatLab (R2007a). Com isso, o problema de auto-valor/autovetor também foi resolvido.

9

Utilizando 4, 6 e 8 funções bases, a comparação das quatro primeiras frequências naturais‘fn’ (que é a raiz quadrada de cada autovalor) obtidas são dadas na Tabela 1 e as respectivasformas modais na Fig.(2.3).

Modo fn(4 funções bases) fn(6 funções bases) fn(8 funções bases)1 107.29 107.28 107.282 477.45 476.97 476.873 1329.13 1207.32 1200.514 3299.76 2316.31 2282.12

Tabela 1: Frequências naturais da viga calculada por Rayleigh Ritz

0 0.1167 0.2333 0.35 0.4667 0.58330

0.1667

0.3333

0.5

0.6667

0.8333

1

Posição x na Viga [m]

Des

loca

men

to (

Nor

mal

izad

o)

Forma Modal por Rayleigh Ritz

n=4 funções basesn=6 funções basesn=8 funções bases

(a) Primeira forma modal

0 0.1167 0.2333 0.35 0.4667 0.5833−1

−0.7333

−0.4667

−0.2

0.0667

0.3333


Des

loca

men

to (

Nor

mal

izad

o)



(b) Segunda forma modal

0 0.1167 0.2333 0.35 0.4667 0.5833

−0.7333

−0.4667

−0.2

0.0667

0.3333


Des

loca

men

to (

Nor

mal

izad

o)



(c) Terceira forma modal

0 0.1167 0.2333 0.35 0.4667 0.5833−1

−0.7333

−0.4667

−0.2

0.0667

0.3333


Des

loca

men

to (

Nor

mal

izad

o)



(d) Quarta forma modal

Figura 2.3: Formas Modais Calculadas pelo Método de Rayleigh Ritz

10

3 Método de Elementos Finitos

Ométodo de Elementos Finitos (FEM) é uma técnica numérica para obtenção de uma soluçãoaproximada das equações diferenciais parciais de um problema [2]. É de uso rotineiro nasanálises de problemas dinâmicos de estruturas, sendo normalmente utilizado quando o sistemaa ser modelado possui geometria complexa, inviabilizando a solução por métodos analíticostradicionais. Este método foi inicialmente desenvolvido para análise de tensões, e hoje, éutilizado na análise de problemas de várias áreas, tais como vibrações e acústica.Neste método, a estrutura de geometria qualquer é representada por um conjunto de elemen-

tos de geometria simples. Estes elementos são unidos de tal forma que sua união representaaproximadamente a forma geométrica real do sistema. As coordenadas dos vértices de cadaelemento definem os nós da malha de elementos usados no modelo.Ao selecionar o tipo de elemento, define-se o grupo de equações o qual monta-se um problema

de autovetores, e quando resolvidas produzem as respostas da estrutura em termos de um grupode frequências naturais. Para cada frequência natural (associada ao autovalor), as respostas nosnós na forma de amplitude e fase relativa (autovetor), fornecem a forma do modo de vibraçãoda estrutura naquela frequência .Geralmente este método é aplicado em regiões onde o tamanho do elemento do modelo

proporcione um tempo de solução razoável. Uma vantagem deste método é a possibilidade dese detalhar regiões complexas da geometria, como soldas, junções e reforços em chapas.O Método de Elementos Finitos pode ser visto como uma generalização do Método de

Rayleigh Ritz (MRR) que fornece um procedimento automatizado para obter as funções base.Este procedimento é feito da seguinte forma:

1. Dividi-se a estrutura em elementos 1D, 2D ou 3D (malha)

2. Define-se um conjunto de pontos de referência (nós), cada um com número de grau deliberdade G.L

3. Define-se um conjunto de funções base que satisfazem os critérios de convergência doMRR e de forma que cada função forneça um valor unitário para um dado G.L e zeropara todas as demais.

3.1 Vibração de Flexão de Viga com Seção Transversal Variável

O sistema considerado é a viga engastada-livre da Fig.(2.2). As equações de energia e trabalhovirtual são dadas:

U =1

2

∫ a

−a

EA

(∂v

∂x

)2

dx (25)

11

T =1

2

∫ a

−a

ρAv̇2dx (26)

δW =

∫ a

−a

pxδvdx (27)

onde a maior ordem da derivada das equações de energia é p = 2, assim, basta que di(x) sejacontínua, e portanto 2 G.L é necessário, onde di(x) e ∂di(x)

∂xdevem ser funções contínuas.

Seja o cado onde a viga é divida em quatro elementos e cinco nós Fig.(3.4).462 8 Introduction to Numerically Based Analyses of Fluid–Structure Interaction

Fig. 8.3. (a) Beam divided into four elements; (b) transverse and angular degrees of freedomat the five nodal positions shown in (a).

Fig. 8.4. Prescribed functions for bending vibration of a beam.

Figura 3.4: Representação de quatro elementos de viga

Portanto, tem-se que:di(x)⇒ v(x)

∂di(x)

∂x⇒ θ(x)

Assim, as funções base que respeitam o MRR são dadas conforme a Fig.(3.5a) em que adeformação de um elemento será descrito pela combinação de 4 funções, as quais são iguaispara todos os elementos.De forma a satisfazer os critérios de de convergência do MRR, tem-se que as funções de forma

(de apenas um só elemento) devem:

1. Formar um conjunto linearmente independente

2. Possuir derivadas de ordem (p−1) contínuas no elemento e no contorno (compatibilidade)

3. Atender as condições de contorno geométricas

4. Formar uma série completa

No caso de polinômios, estes devem ser de no mínimo grau p para atender os critérios acima.Seja então um elemento de viga como mostrado na Fig.(3.5b), propõe-se a seguinte função

de forma:v(ξ) = α1 + α2ξ + α3ξ

2 + α4ξ3 (28)

12

462 8 Introduction to Numerically Based Analyses of Fluid–Structure Interaction

Fig. 8.3. (a) Beam divided into four elements; (b) transverse and angular degrees of freedomat the five nodal positions shown in (a).

Fig. 8.4. Prescribed functions for bending vibration of a beam.(a) Representação das funções base

464 8 Introduction to Numerically Based Analyses of Fluid–Structure Interaction

Fig. 8.5. Flexural beam element.

3. By solving the equations of static equilibrium to determine the deformationof the element due to prescribed boundary displacement.

In practice, the most appropriate method is used for each type of element. As dis-cussed above, the flexural beam element of Fig. 8.5 is characterised by transverseand angular displacements at the nodal positions. If, for example, a polynomialshape function is sought, then, although the Rayleigh–Ritz convergence criteriarequire that the shape function and its first derivative are continuous functions sothat the shape function is twice differentiable in x, a polynomial of third orderis used so that the vibratory field v(x) within the element is uniquely defined bythe linear, v1 and v2, and angular, θz1 and θz2, nodal displacements.

As shown in Fig. 8.5, the polynomial shape function can be expressed asa function of the dimensionless coordinate ξ = x/a, where 2a is the elementlength, so that

v(ξ) = α1 + α2ξ + α3ξ2 + α4ξ

3 (8.18)

The transverse displacement given by Eq. (8.18) can be expressed in matrixform as

v(ξ) = �p(ξ)� {a(α)} =⌊

1 ξ ξ2 ξ3⌋

⎡

⎢

⎢

⎣

α1α2α3α4

⎤

⎥

⎥

⎦

(8.19)

Thus, the transverse displacements v1 and v2, and angular displacements θz1 =∂v

∂x

∣

∣

∣

x=−a= 1

a

∂v

∂ξ

∣

∣

∣

ξ=−1and θz2 = ∂v

∂x

∣

∣

∣

x=a= 1

a

∂v

∂ξ

∣

∣

∣

ξ=1at the two nodal positions,

(b) Representação de um elemento de viga com osrespectivos G.L

Figura 3.5: Representação das funções base (a) e de um elemento de viga (b)

definindo assim de forma única os 4 G.L. Pode-se reescrever a Eq.(28) da seguinte maneira:

v(ξ) = {p(ξ)}T {α} (29)

onde:{p(ξ)} =

{1 ξ ξ2 ξ3

}T (30)

{α(ξ)} = {α α α}T (31)

Através da relação dada por:di(x) = v(x)

∂di(x)

∂x= θ(x)

e aplicando a condições de contorno em ξ = ±1 chega-se na seguinte relação:v1

aθz1

v2

aθz2

=

1 −1 1 −1

0 1 −2 3

1 1 1 1

0 1 2 3

α1

α2

α3

α4

(32)

13

ou ainda:{v̄e} = [Ae] {α} (33)

isolando {α}, tem-se:{α} = [Ce] {ve} (34)

onde {ve} é dado por:{ve}T = {v1 θ1 v2 θ2} (35)

e

[Ce]

2 a 2 −a−3 −a 3 −a0 −a 0 a

1 a −1 a

(36)

e levando a Eq.(34) à Eq.(29), tem-se:

v(ξ) = {n(ξ)}T {ve} (37)

em que:

{n(ξ)} =

14(2− 3ξ + ξ3)

a4(1− ξ − ξ2 + ξ3)14(2 + 3ξ − ξ3)

a4(−1− ξ + ξ2 + ξ3)

(38)

As funções definidas no vetor {n(ξ)} são as funções de forma do elemento.

Da mesma forma como foram calculadas as equações das energias no MRR, tem-se que oselementos da matriz de massa [Me], de rigidez [Ke] e do vetor Fe de cada elemento (e) de viga,são dados por:

Meij =

∫ 1

−1

ρAani(ξ)nj(ξ)dξ (39)

Keij =

∫ 1

−1

EIza3

∂2ni(ξ)

∂ξ2

∂2nj(ξ)

∂ξ2dξ (40)

feij =

∫ 1

−1

Fyni(ξ)dξ (41)

No exemplo aqui considerado, as propriedades geométricas AeIz varia com x.

As relações entre os G.L do elemento e os G.L da viga toda é dado por:

{v̄}T = {v1 θz1 v2 θz2 v3 θz3 v4 θz4 v5 θz5 } (42)

14

Para o elemento e, essa relação fica:

{ve} = [ae] {v̄} (43)

e para o elemento e = 1, tem-se que:

[ae] =

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

(44)

Levando a Eq.(43) para as equações da energias e do trabalho virtual do elemento e somandotodos os elementos, tem-se:

T =1

2{ ˙̄v}T

[M̄]{ ˙̄v} (45)

U =1

2{v̄}T

[K̄]{v̄} (46)

δW = {δv̄}T{f̄}

(47)

onde: [M̄]

=4∑

e=1

[ae]T [Me] [ae] (48)

[K̄]

=4∑

e=1

[ae]T [Ke] [ae] (49)

{f̄}

=4∑

e=1

[ae]T {fe} (50)

As matrizes de [ae] fornecem a posição das matrizes do elemento nas matrizes da viga completa.

Para aplicar as condições de contornos, basta retirar os G.L do vetor v̄ associados as condiçõesde contorno, e da mesma forma, as linhas e as colunas das matrizes de massa, rigidez e forçada viga associadas a esses G.L. Para o caso da viga engastada-livre, tem-se que:

v1 = θz1

{v}T = {v2 θz2 v3 θz3 v4 θz4 v5 θz5 }

15

[M ] =

m̄3,3 m̄3,4 · · · m̄3,9 m̄3,10

m̄4,3 m̄4,4 · · · m̄4,9 m̄4,10

...... . . . ...

m̄9,3 m̄9,4 · · · m̄9,9 m̄9,10

m̄10,3 m̄10,4 · · · m̄10,9 m̄10,10

(51)

[K] =

k̄3,3 k̄3,4 · · · k̄3,9 k̄3,10

k̄4,3 k̄4,4 · · · k̄4,9 k̄4,10

...... . . . ...

k̄9,3 k̄9,4 · · · k̄9,9 k̄9,10

k̄10,3 k̄10,4 · · · k̄10,9 k̄10,10

(52)

{f}T ={f̄3,3 f̄3,4 · · · f̄3,9 f̄3,10

}(53)

Levando essas matrizes para a equação do movimento,

[M ] {v̈(t)}+ [K] {v(t)} = {f} (54)

onde assume-se um sistema não amortecido, cai-se num problema de autovalores como no MRR.Da mesma forma, através do software MatLab(R2007a), foram montadas as matrizes globaisda viga e então foi resolvido o problema de autovalores/autovetores encontrando-se assim asfrequências naturais e formas modais.Utilizando 4, 8 e 36 elementos, a comparação das quatro primeiras frequências naturais ‘fn’

(que é a raiz quadrada de cada autovalor) obtidas são dadas na Tabela 2 e as respectivas formasmodais na Fig.(3.6).

Modo fn(4 elementos) fn(8 elementos) fn(36 elementos)1 103.67 106.36 107.242 457.83 471.77 476.613 1153.48 1187.67 1199.794 2208.79 2257.95 2277.05

Tabela 2: Frequências naturais da viga calculada pelo Método de Elementos Finitos

16

0 0.1167 0.2333 0.35 0.4667 0.58330

0.1667

0.3333

0.5

0.6667

0.8333

1


Des

loca

men

to (

Nor

mal

izad

o)

Forma Modal pelo Método dos Elementos Finitos

4 elementos8 elementos36 elementos


0 0.1167 0.2333 0.35 0.4667 0.5833

−0.3333

−0.0667

0.2

0.4667

0.7333

1


Des

loca

men

to (

Nor

mal

izad

o)




0 0.1167 0.2333 0.35 0.4667 0.5833

−0.3333

−0.0667

0.2

0.4667

0.7333

1


Des

loca

men

to (

Nor

mal

izad

o)




0 0.1167 0.2333 0.35 0.4667 0.5833

−0.3333

−0.0667

0.2

0.4667

0.7333

1


Des

loca

men

to (

Nor

mal

izad

o)




Figura 3.6: Formas Modais Calculadas pelo Método de Elementos Finitos

17

4 Comparação entre os Métodos

A comparação realizada entre o Método de Rayleigh Ritz (MRR) e o Métodos de ElementosFinitos (FEM) foi utilizando 8 funções base no MRR e 36 elementos em FEM, comparandoentão as quatro primeiras frequências naturais ‘fn’ (dadas na Tabela 3) e as respectivas formasmodais (dadas na Fig.(4.7)) de cada método.

Modo fn(MRR) fn(FEM) Erro (%)1 107,38 107,24 0,042 476,83 476,61 0,053 1200,51 1199,79 0,064 2282,12 2277,05 0,22

Tabela 3: Frequências naturais da viga obtidas pelo MRR com 8 funções bases com o FEMcom 36 elementos

Como pode-se ver, os valores de frequências naturais e formas modais ficaram muito próximasmostrando assim a eficácia dos métodos. Uma observação feita é que quando a geometria dosistema se torna complexa, o MRR fica mais difícil de ser aplicado devido a dificuldade de seencontras as funções base que obedecem as condições imposta pelo método, sendo então o FEMmais indicado.

18

0 0.1167 0.2333 0.35 0.4667 0.5833−1

−0.8333

−0.6667

−0.5

−0.3333

−0.1667

0


Des

loca

men

to (

Nor

mal

izad

o)

Comparação da Forma Modal

MRR (8 funções base)FEM (36 elementos)


0 0.1167 0.2333 0.35 0.4667 0.5833−1

−0.7333

−0.4667

−0.2

0.0667

0.3333


Des

loca

men

to (

Nor

mal

izad

o)




0 0.1167 0.2333 0.35 0.4667 0.5833

−0.3333

−0.0667

0.2

0.4667

0.7333

1


Des

loca

men

to (

Nor

mal

izad

o)




0 0.1167 0.2333 0.35 0.4667 0.5833

−0.3333

−0.0667

0.2

0.4667

0.7333

1


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Figura 4.7: Formas Modais da viga obtidas pelo MRR com 8 funções bases com o FEMcom 36 elementos

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Referências Bibliográficas

[1] JORDAN, R. Apostila de fundamentos de vibrações. UFSC, Programa de Pós-Graduaçãoem Engenharia Mecânica, 2009.

[2] CORDIOLI, J. A. Notas de aulas de métodos numéricos em vibrações e acústica. UFSC,Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, 2009.

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Aplicação do Método de Rayleigh-Ritz e do Método de Elementos Finitos em uma Viga

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