Aplicações da Integral... – Nunes & Goldfarb

Revista Diálogos – set. / out. – 2018 – N.º 20 91

APLICAÇÕES DA INTEGRAL: UMA ABORDAGEM SOBRE A

TROMBETA DE TORRICELLI

José Edvaldo de Oliveira Nunes1

Maurício Costa Goldfarb2

d.o.i. 10.13115/2236-1499v2n20p91

RESUMO

Neste trabalho, apresentamos discussões a respeito do ensino de cálculo

diferencial e integral (CDI), com foco nas aplicações da integral e na

apresentação da trombeta de Torricelli. Para tanto, fazemos um

levantamento da bibliografia sobre cálculo disponível na biblioteca da

Universidade de Pernambuco / UPE Garanhuns, a luz da análise de

conteúdo proposta por Bardin (2009). Buscamos, através dos conteúdos

do cálculo diferencial e integral, investigar uma maneira de

apresentação do problema da trombeta, que consiste em uma região de

área infinita que submetida a uma rotação em torno de um eixo, gera

um sólido de volume finito e área superficial infinita. Este tema é de

fundamental importância para o estudo das aplicações da integral e uma

melhor forma de apresentação nos livros textos poderia atuar, também,

como tópico norteador para o estudo dos sólidos de revolução e

consequentemente das integrais impróprias.

Palavras chave: Ensino de Cálculo. Sólidos de Revolução. Integrais.

Trombeta de Torricelli.

ABSTRACT

In this work, we present discussions about the teaching of differential

and integral calculus (CDI), focusing on the applications of the integral

1Universidade de Pernambuco (UPE) - Campus Garanhuns, E-mail:

edvaldooliveiranunes@outlook.com 2Prof. Dr. da Universidade de Pernambuco (UPE) - Campus Garanhuns, E-mail:

mauricio.goldfarb@upe.br

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and the presentation of the Torricelli trumpet. To do so, we make a

survey of the bibliography on calculation available in the library of the

University of Pernambuco / UPE Garanhuns, in light of the content

analysis proposed by Bardin (2009). We seek, through the contents of

differential and integral calculus, to investigate a way of presenting the

problem of the trumpet, which consists of a region of infinite area that

undergoes a rotation about an axis, generates a finite volume solid and

infinite surface area . This subject is of fundamental importance for the

study of the applications of integral and a better form of presentation in

textbooks could also act as a guiding topic for the study of solids of

revolution and consequently of improper integrals.

Keywords: Teaching Calculus. Revolution Solids. Integrals. Torricelli's

trumpet.

INTRODUÇÃO

Apresentamos o resultado final de um projeto de iniciação

científica e trazemos uma discussão sobre o ensino de cálculo

diferencial e integral, com ênfase nos estudos das aplicações da integral,

especificamente na trombeta de Torricelli.

Sobre o ensino de cálculo, autores como Wrobel et al (2013) e

Rafael e Escher (2015), preocupam-se com os elevados índices de

reprovação e obviamente com os enormes prejuízos associados. Nesse

mesmo sentido, Rezende (2003), tratando também sobre a questão do

ensino de cálculo, observa como fator limitante do aprendizado, a

omissão das ideias básicas e dos problemas construtores no ensino dos

conteúdos.

Assim, entende-se como ideias importantes e necessárias, as

curiosidades sobre a incongruência da trombeta que podem atuar como

motivação para construir conceitos no estudo das integrais. Além disso,

é importante ressaltar, que o estudo dos sólidos de revolução é

imprescindível para compreender a incongruência que estamos

investigando.

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Desse modo, mostramos nossas investigações sobre este tema,

curiosidades, formas de apresentação nos livros textos a fim de utilizar

este tema como recurso para lidar com as aplicações da integral.

REFERENCIAL TEÓRICO

A preocupação com o ensino do Cálculo diferencial e integral é

evidente nos trabalhos de diversos autores, que investigam e discutem

os motivos dos índices de reprovação da disciplina e os fatores

associados. Segundo Rezende (2003, p.1):

Muito se fala, muito se tem dito no meio acadêmico, a

respeito do ‘fracasso no ensino de cálculo’. Creio, no

entanto, que se investigarmos a origem histórica de tal

‘fracasso’, verificamos que este tem início desde o

momento em que se começa a ensinar cálculo.

Em conformidade a isto, alguns pesquisadores estudam este

problema associando a alguns fatores. De acordo com Gomes (2012

apud WROBEL, 2013, p.2).

O curso, cálculo 1 passa a ser o primeiro contato, para o

aluno, com uma Matemática “diferente” daquela que

trabalhava no Ensino Médio. Somada às novidades do ser

universitário, muitas vezes, a imaturidade e as algumas

deficiências trazidas do processo educacional anterior, a

reprovação e evasão no primeiro período dos cursos de

engenharia não é novidade.

Tratando sobre os sólidos de revolução, para Stewart (2001),

temos uma ideia intuitiva do significado de volume, mas devemos

torná-la precisa usando o cálculo para chegar à definição exata, para

isso utilizamos o método das seções transversais e o método das cascas

cilíndricas.

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Revista Diálogos – set. / out. – 2018 – N.º 20 94

Com a definição de integral definida

podemos

trabalhar com uma função definida em um intervalo limitado [a, b] e

supomos que f não tem descontinuidade infinita. Ou seja, há uma

aplicação direta da integral definida para o cálculo de volume.

Para Neto et al (2012) há, no entanto, certas regiões que fogem a

esse padrão, como é o caso da região sobre o gráfico da função f(x) =

1/x com x [1, , mas mesmo assim é possível calcular uma área e

as integrais impróprias servem para lidar com este tipo de situação, e

podemos investigar se são divergentes ou convergentes.

Sobre intervalos com descontinuidade infinita, em 1641

Torricelli notou que uma área infinita, se submetida a uma rotação em

torno de um eixo de seu plano, pode às vezes fornecer um sólido de

revolução de volume finito. Uma superfície que apresenta as

propriedades estudadas por Torricelli é a Trombeta de Torricelli, ou

Gabriel, como também é conhecida. Esse nome se dá ao fato de

Torricelli ser católico e associar o nome da trombeta ao anjo da

anunciação, o anjo Gabriel.

Segundo Neto (2012) a incongruência está destacada no seguinte

fato: a trombeta pode ser preenchida com um pouco mais de 3 unidades

cúbicas de tinta, mas, mesmo que use toda a tinta do universo, não pode

ser pintada.

Outra explicação diz que, a incongruência da Trombeta de

Gabriel consiste no fato de, ao se analisar a área e o volume dessa

trombeta de comprimento infinita, temos que a área de sua superfície é

infinita, enquanto seu volume é finito (SILVA, 2016, p. 73).

Ambas ideias nos remetem a mesma conclusão. Assim, essa

pesquisa buscou estudar questões de área e volume por meio de

integrais impróprias e sólidos de revolução a fim de investigar

estratégias de apresentação do paradoxo supracitado.

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MATERIAIS E MÉTODOS

A metodologia desta pesquisa teve início com o estudo dos

conteúdos básicos da disciplina de cálculo diferencial e integral (CDI).

Estes conteúdos atuaram como norteadores para o desenvolvimento do

trabalho, visto que, são imprescindíveis para o cálculo de áreas e

volumes de sólidos de revolução. Além disso, foi verificada a literatura

que trata sobre o ensino de cálculo nas universidades brasileiras, como

também, a análise dos livros textos utilizados para esta disciplina na

universidade de Pernambuco/ Campus Garanhuns.

Integral definida

Definição de integral definida (STEWART, 2011, p.345) : Se f

é uma função contínua definida em dividimos o intervalo

em subintervalos de comprimento iguais .

Sejam as extremidades desses

subintervalos, escolhemos os pontos amostrais

nesses

subintervalos, de forma que esteja no i-ésimo subintervalo [ .

Então a integral definida de f de a a b é

desde que este limite exista. Se ele existir, dizemos que f é integrável

em [a , b].

O significado exato do limite diz que para todo número

existe um intervalo N tal que

para todo inteiro n e toda escolha de em [

Volumes de sólidos de revolução

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Seja f: [a, b] → ℝ uma função contínua tal que f(x) ≥ 0, para

todo x [a, b].

Consideremos o sólido de revolução obtido pela rotação da

região limitada pelo eixo OX e pelo gráfico de f, em torno do eixo OX

(Neto, 2012).

De acordo com Stewart (2001) a definição se dá da seguinte

forma: Seja S um sólido que está entre x= a e x=b. Se a área da secção

transversal de S no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x,

é A(x), onde A é a função contínua, então o volume de S é:

Quando usamos a fórmula do volume

é

importante lembrar que A(x) é a área de uma secção transversal móvel,

obtida fatiando em x (figura 1) , perpendicularmente ao eixo x.

Figura 1 - 'Fatiando' o sólido S

Integrais impróprias

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Na definição de integral definida

, consideramos a

função f contínua num intervalo fechado e limitado. Contudo há

funções definidas em intervalos do tipo [a, + ), (− , b] ou (− , + ),

ou seja, para todo x ≥ a ou x ≤ b ou para todo x ℝ, respectivamente.

(a) Se

existe para cada número t a, então:

Desde que o limite exista (como um número finito).

(b) Se

existe para cada número t b, então:

Desde que o limite exista (como um número finito). As integrais

impróprias

São chamadas convergentes se os limites correspondentes existem e

divergente se os limites não existem.

(c) Se ambas

e

são convergentes, então

definimos:

Na parte (c), qualquer número real a pode ser usado.

Neste trabalho, estudamos as definições de convergência e

divergência nas integrais impróprias de intervalos infinitos

especialmente para investigação do problema da Trombeta de Torricelli,

exemplo clássico no ensino dos Sólidos de Revolução.

A Trombeta de Torricelli

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Como citado por Silva (2016) o nome Trombeta de Gabriel é

uma referência à bíblia, livro sagrado dos cristãos, onde o Anjo Gabriel

é considerado o mensageiro de Deus e supostamente um dos anjos a

tocar uma das trombetas que anuncia eventos apocalípticos, ou seja, o

dia do juízo final. Associando assim o divino, ou infinito, com o finito.

Tomando a região R={(x, y)| x 1, 0 y 1/x} (figura 2) e

girando em torno do eixo OX, obtemos a Trombeta de Torricelli (figura

3).

Figura 2- Região R={(x, y)| x 1, 0 y 1/x}

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Figura 3 - Trombeta de Torricelli

Por definição, a área da região R pode ser calculada por:

A integral imprópria

é divergente, logo esta área é

infinita. O volume e a área da superfície da Trombeta são calculados

respectivamente por:

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Cálculo da área da região R={(x, y)| x 1, 0 y

}

=

= O limite não existe como um número finito e, assim, a integral

imprópria

é divergente.

Cálculo do volume da Trombeta

Vamos calcular o volume da região limitada pela trombeta. Para

isso, usaremos a fórmula do volume, mas com a integral imprópria, para

incluir toda a trombeta (NETO, 2012, p.14).

=

Como a integral imprópria converge, dizemos que a trombeta,

apesar de comprimento infinito, tem unidades cúbicas de volume.

Usando a mesma abordagem, vamos calcular a área da

superfície que a recobre.

Cálculo da área da superfície que a recobre a trombeta

=

.

Mas,

. Como

diverge, pelo

teste do limite do quociente, a integral imprópria

diverge.

Ou seja, a área que recobre a trombeta também é infinita.

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Análise dos Livros

Para análise dos livros utilizamos a análise de conteúdo proposta

por Bardin (2009), que se organiza em torno de três fases: a pré-análise;

a exploração do material e o tratamento dos resultados, a inferência e a

interpretação.

A pré-análise é a fase de organização, e sistematização das

ideias iniciais e que geralmente é dividida em três partes. Segundo

Bardin (2009, p.95), esta fase possui três características: “a escolha dos

documentos a serem submetidos à análise, a formulação de hipóteses e

dos objetivos e a elaboração de indicadores que fundamentam a

interpretação final”. Esses fatores, não precisam estar em ordem

cronológica, embora mantenha forte ligação a escolha do material

depende dos objetivos, ou, inversamente, os objetivos dependam da

escolha do material.

A exploração do material compreende a execução do trabalho

propriamente dito, nesse caso, a leitura dos livros escolhidos e

elaboração de um resumo sobre os indicadores para cada livro texto

analisado. Finalmente, na interpretação dos resultados, a busca de um

comportamento padrão que confirme ou afaste as hipóteses

anteriormente concebidas sobre a forma de apresentação do problema

da Trombeta de Torricelli.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

A preocupação com o ensino do Cálculo diferencial e integral é

evidente nos trabalhos de diversos autores, que investigam e discutem

os motivos dos índices de reprovação na disciplina e os fatores

associados.

Ao analisar os livros textos, notamos que o problema da

Trombeta de Torricelli é apresentado, porém, não existe referência ao

nome de Torricelli.

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A melhor abordagem é no livro cujo autor é Stewart (2011)

(Figura 4).

Figura 4: Capa do livro de cálculo

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Nesste livro, no capítulo 7, onde trata de técnicas de integração,

o problema da trombeta é tratado como um exemplo resolvido (Figura

5). Figura 5: Exemplo encontrado no livro texto cujo autor é Stewart (2011)

É importante notar que, este exemplo não é citado como

“Trombeta de Torricelli”. O livro trata dele como um recurso para

compreensão do conteúdo de integrais impróprias.

Neste mesmo capítulo, na seção de exercícios, o problema

aparece novamente (figura 6) , contudo, é pedido para demonstrar que a

rotação da região em torno do eixo x

gera um sólido com volume finito.

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Figura 6: Questão que aborda o tema estudado

A integral estudada tem o seguinte formato:

Nesse sentido, o livro traz em um exemplo resolvido (figura 7), uma

generalização, onde determina para quais valores de p a integral

é

convergente.

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Figura 7: Exemplo do livro texto

Assim, fica fácil notar o motivo pelo qual a região R={(x, y)|

x 1, 0 y 1/x} é infinita. Pois, na integral

, temos que p

A obra de Munem (1982) também apresenta essa generalização.

Já na de Leithoald (1994) não notamos nenhuma abordagem.

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Como resultado, notamos também, por meio do trabalho de

Silva (2016) uma forma de explicar o problema da Trombeta de

Torricelli.

Considera-se inicialmente uma massa de modelar

incompressível (figura 8) (cujo volume, quando submetido à pressão,

não diminui) perfeitamente cilíndrica de raio r e comprimento l, por se

tratar de um cilindro circular reto, seu volume V e sua superfície lateral

A são e (SILVA, 2016, p.75)

Figura 8: Massa de modelar de raio r e comprimento l

Se rolarmos a massa de modelar no chão fazendo com que seu

raio se reduza a metade, ou seja,

Como não houve perda de material, temos que e o novo

comprimento é . Vejamos:

. Como , então

e daí,

Logo, a superfície lateral é dada por:

Observe que a área dobrou, enquanto o volume se manteve

constante.

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Se a massa continuar sendo rolada no chão, a medida que o raio

da base da massa é reduzido o volume permanece constante, porém a

área da sua superfície lateral aumenta cada vez mais, ou seja, tende ao

infinito.

Se fizermos com que seu raio se reduza n vezes, ou seja,

, como o volume se mantém constante, o novo comprimento da

massa de modelar será . Vejamos:

. Como , então

e daí,

Assim, a área da superfície lateral da massa de modelar nessa

situação será:

Se fizermos com que raio seja tão pequeno quanto quisermos, ou

seja, tomamos um n suficientemente grande, teremos que a área

superficial será consideravelmente grande, ou seja,

Este exemplo ajuda a entender a incongruência da Trombeta,

pois notamos que por menor que seja o raio, seu volume permanece

constante. É importante notar, que a incongruência da trombeta,

também é conhecida como paradoxo do pintor, pelo fato se ser possível

preenchê-la com tinta, mas, mesmo usando toda a tinta do universo, não

conseguir pintá-la.

No mais, com essa pesquisa, foi possível investigar as

possibilidades de apresentação da incongruência da trombeta nos livros

textos, como também estudar maneiras de apresentação em sala de aula.

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Nos livros, este problema não é tratado como paradoxo e não se

dá muita atenção a ele, talvez, uma melhor abordagem, despertaria o

interesse dos estudantes para os conteúdos visto nos cursos de cálculo

diferencia e integral.

CONCLUSÃO

O cálculo diferencial e integral é uma disciplina presente nos

diversos cursos de ciências exatas podendo ser aplicado na resolução de

vários problemas. No cálculo de volumes, podemos aplicar o conceito,

definições e teoremas sobre as integrais. Ao investigarmos a

incongruência da trombeta de Torricelli, não é diferente. Este tema é

importante para despertar a curiosidade dos estudantes além de

possibilitar diversas pesquisas na área. Por outro lado, notamos a

escassez deste tópico nos livros textos da universidade de

Pernambuco/UPE Garanhuns para esta disciplina.

Nessa perspectiva, deixamos uma contribuição para o ensino de

cálculo diferencial e integral (CDI) ao tempo que tratamos de um

paradoxo importante e curioso que fala do finito e infinito. As

abordagens destacadas aqui, podem ser apresentadas como tema de

pesquisa para a aprendizagem dos sólidos de revolução, como também

das integrais e suas aplicações.

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