Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia Maria João Martins P.C. Silva, J.O.Cerdeira, T....

Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia

Maria João Martins

P.C. Silva, J.O.Cerdeira, T. Monteiro-Henriques

I Encontro Luso-Galaico de Estatística em Ambiente e Ecologia, 6-8 novembro 2014, Vila Real

Profundidade de Tukey | definição

Se X ℝ é um conjunto finito, a profundidade de Tukey do ponto z ℝ é m/|X| onde m é o número mínimo de elementos que é necessário remover de X para que z fiquefora do menor intervalo que contém os restantes elementos de X.

2 Aplicações da profundidade de Tukey à Ecologia. EES2014, Vila Real

z

X={∙}, |X|=10

dz(X)=1/10∙ ∙∙∙∙∙∙∙∙ ∙

z é um quantil (empírico) de ordem m/|X| ou 1-m/|X|

Profundidade de Tukey | definição

Se X ℝn é um conjunto finito, a profundidade de Tukey do ponto zℝn é m/|X| onde m é o número mínimo de elementos que é necessário remover de X para que z fiquefora do envolvente convexo dos restantes elementos de X.

X={∙}

n=2, k=10

zdz(X)=1/10

A profundidade de Tukey determina uma partição no envolvente convexo de X em regiões encaixadas com profundidade crescente para o interior.


Profundidade de Tukey | dificuldades computacionais


k pontos em ℝn, a profundidade de z (com respeito a X) necessita pesquisa em

k direções se n=2

...k(k-1)(k-n+2) direções

k(k-1) direções se n=3

∙

O algoritmo exato e também uma heurística estão implementados no package depth do

http://cran.r-project.org/index.html

(1957)

Define formalmente o nicho de uma espécie em termos de um espaço geométrico

duas variáveis ambientais independentes

v1

v2

ba

c

da, b, c, d definem os valores limite que permitem que a espécie sobreviva e se reproduza.

“possible environmental state permitting the species to exist indefinitely”


Teoria do nicho de Hutchinson| independência

(1957)

Define formalmente o nicho de uma espécie em termos de um espaço geométrico

falhando a independência

retângulo → outra forma

“possible environmental state permitting the species to exist indefinitely”


Teoria do nicho de Hutchinson| dependência

v1

v2

ba

c

d

(1957)


Teoria do nicho de Hutchinson| nicho fundamental

Introduzir v3, v4, ..., vn até que todos os fatores ecológicos relativos à espécie tenham sido considerados

hypervolume n-dimensional: cada ponto corresponde a um estado ambiental que permite que a espécie exista indefinidamente.

Nicho fundamental da espécie

(1957)


Teoria do nicho de Hutchinson| limitações


Teoria do nicho de Hutchinson| ultrapassando limitações

Questão Teórica: Como diferenciar o nicho de acordo com a probabilidade de persistência da espécie (ou adequabilidade ambiental)?

Dados: ocorrências da espécie (no espaço geográfico) e variáveis ambientais nos pontos de ocorrência

Questão Prática: Como estimar o nicho: i) sem pressupor independência das variáveis ambientais ii) distinguindo áreas de diferente adequabilidade?

Ideia: usar a profundidade de Tukey para estimar a adequabilidade no espaço ambiental, sendo X = {ocorrências no espaço ambiental}


BIOCLIM vs Profundidade de Tukey

Se X é um conjunto de k points de ℝn, a profundidade de z relativamente a X é m/k, onde m é o número mínimo de pontos que é necessário remover de X de modo que z

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

fica fora do hyperretângulo fica fora do envolvente convexo

dos restantes pontos de X.


Adequabilidade ambiental para espécies de Quercus na Península Ibérica

Dados de ocorrências: Proyecto Anthos (Anthos 2011) e Herbarium “João de Carvalho e Vasconcellos” (Lisboa, LISI)

Método: para cada célula da Península Ibérica (ca. 1 km x 1 km resolução)Calculou-se a adequabilidade ambiental através da profundidade de Tukey e normalizou-se essa profundidade pelo seu valor máximo, .

Resultados: Mapas geográficos da adequabilidade ambiental para a espécie.

Dados ambientais: do website Worldclim – isothermality, temperatura mínima do mês mais frio, precipitação anual e precipitação do quadrimestre mais seco.


Versão contínua da profundidade de Tukey | definição e propriedade

HH

B

𝑑𝑧𝑐 (𝐵)=

Vol()Vol(𝐵)

z

(*)qc

(*) Rousseeuw & Ruts (1999) e Zuo & Serfling (2000)


Versão contínua da profundidade de Tukey | valor esperado (em dados uniformes)

zℝn B é um elipsóide em ℝn

𝐸 [𝑑𝑧𝑐(𝐵)]= 1

2𝑛+1

Nota: Basta demonstrar para B n-esfera de raio 1

= V(z) Vol (calote esférica que passa por z)

Silva, P.C., Cerdeira, J.O., Martins, M.J. & Monteiro-Henriques,T. (2014). Data depth for the uniform distribution. Environmental and Ecological Statistics


Versão contínua da profundidade de Tukey | valor esperado (em dados uniformes)

zℝn B é um elipsóide em ℝn

𝐸 [𝑑𝑧𝑐(𝐵)]= 1

2𝑛+1

n=1 z

𝑑𝑧𝑐 (𝐵 )=𝑉 (𝑧)

𝑉 𝑛

=1−|z|2

-1 z 10

𝐸 [𝑑𝑧𝑐 (𝐵)]=1

2 (∫− 1

01+𝑧2

𝑑𝑧+∫0

11−𝑧2

𝑑𝑧 )= 14


Média de profundidades de Tukey | simulações

k=500 pontos,

𝒅𝒄=𝟎.𝟏𝟐𝟒𝟕𝑑𝑐=0.1874 𝑑𝑐=0.0582

𝒅=𝟎 .𝟏𝟐𝟎𝟒𝑑=0.1326 𝑑=0.0853

Q. robur


Média de profundidades de Tukey | Quercus (2 variáveis ambientais)

𝑑𝑐=0.095

𝑑𝑐=0.209

𝑛=2→1

2𝑛+1=0.125

Q. canariensis


Média de profundidades de Tukey | Quercus (4 variáveis ambientais)

𝑛=4→1

2𝑛+1=0.03125


Resumindo

a profundidade de Tukey é uma medida de localização robusta que generaliza a noção de quantil para dimensões >1

tem a vantagem de ser invariante a transformações dos dados que não alterem as posições relativas dos pontos

pode ser aplicada à avaliação da adequabilidade do ambiente à presença de espécies. Este procedimento está em consonância com a teoria do nicho de Hutchinson

o valor esperado da versão contínua da profundidade para a distribuição uniforme num n-elipsóide é 1/2n+1

a comparação entre a média dos valores da profundidade de Tukey, para todos os pontos de ocorrência de uma espécie, e o valor 1/2n+1 fornece informação adicional sobre a estrutura do nicho.


OBRIGADOS PELA VOSSA ATENÇÃO!

References

Busby, J.R. (1991). BIOCLIM - A Bioclimate Analysis and Prediction System. In: Nature Conservation: Cost Effective Biological Surveys and Data Analysis, eds. C.R. Margules & M.P. Austin, 64–68. CSIRO.

Hutchinson, G.E. (1957). Concluding remarks. Cold Spring Harbor Symposia on Quantitative Biology 22: 415–427.

Rousseeuw, P.J. & Ruts, I. (1999). The depth function of a population distribution. Metrika 49: 213–244

Silva, P.C., Cerdeira, J.O., Martins, M.J. & Monteiro-Henriques, T. (2014). Data depth for the uniform distribution. Environmental and Ecological Statistics 21: 27–39.

Tukey, J. (1975). Mathematics and the picturing of data. Proc. 1975 Inter. Cong. Math., Vancouver, 523-531.

Zuo, R. & Serfling, Y. (2000). Structural properties and convergence results for contours of sample statistical depth functions. Ann Stat 28:483–499.

23 Assessing environmental suitability for species based on Tukey's depth. IAVS 2013, Tartu, Estonia

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