Aplicações de um Modelo Substituto de Ordem Reduzida

7/23/2019 Aplicaes de um Modelo Substituto de Ordem Reduzida

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Universidade Federal de Pernambuco

Centro de Tecnologia e Geociencias

Departamento de Engenharia Civil

Aplicacoes de um modelo substituto de ordem reduzida

a estudos de gerenciamento de reservatorios de petroleo

Manuel Fragoso Machado Junior

Recife/2014


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Universidade Federal de Pernambuco

Centro de Tecnologia e Geociencias

Departamento de Engenharia Civil

Manuel Fragoso Machado Junior

Aplicacoes de um modelo substituto de ordem reduzidaa estudos de gerenciamento de reservatorios de petroleo

Dissertacao de Mestrado apresentada ao Programa

de Pos-graduacao do Departamento de Engenharia

Civil da Universidade Federal de Pernambuco como

requisito parcial para obtencao do grau de Mestre

na area de Gerenciamento de Reservatorios de

Petroleo.

Orientador: Prof. Dr. Bernardo Horowitz

Co-Orientador: Dr. Jose Roberto Pereira Rodrigues

Recife/2014


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Catalogao na fonteBibliotecria Margareth Malta, CRB-4 / 1198

M149a Machado Junior, Manuel Fragoso.

Aplicaes de um modelo substituto de ordem reduzida a estudos degerenciamento de reservatrios de petrleo / Manuel Fragoso MachadoJunior. - Recife: O Autor, 2014.

135 folhas, il., grfs., tabs.

Orientador: Prof. Dr. Bernardo Horowitz.Coorientador: Prof. Dr. Jos Roberto Pereira Rodrigues.

Dissertao (Mestrado) Universidade Federal de Pernambuco. CTG.Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil, 2014.

Inclui Referncias.

1. Engenharia Civil. 2. Modelo de ordem reduzida. 3. Trajectory

Piecewise Linearization. 4. Simulao de reservatrios. 5. Otimizaosequencial aproximada multifidelidade. 6. Control variates. 7. Propagao

de Incertezas. I. Horowitz, Bernardo. (Orientador). II. Rodrigues, Jos Roberto Pereira. (Coorientador). III. Ttulo.

UFPE

624 CDD (22. ed.) BCTG/2012-304


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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCOPROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM ENGENHARIA CIVIL

A comissao examinadora da defesa da dissertacao de mestrado

APLICACOES DE UM MODELO SUBSTITUTO DE ORDEM REDUZIDA A

ESTUDOS DE GERENCIAMENTO DE RESERVATORIOS DE PETROLEO

defendida porManuel Fragoso Machado Junior

considera o candidato APROVADO.

Recife, 28 de maio de 2014

Orientadores:

Prof. Dr. Bernardo Horowitz(Orientador)

Dr. Jose Roberto Pereira Rodrigues(Co-Orientador)

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Paulo Goldfeld UFRJ(Examinador Externo)

Dr. Marco Antonio Cardoso Petrobras

(Examinador Externo)

Prof. Dr. Ramiro Willmersdorf - UFPE(Examinador Interno)

Profa. Dra. Silvana Maria Bastos da Silva(Examinadora Interna)


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DEDICATORIA

Dedico este trabalho aos meus queridos amigos e familiares

e em especial a minha noiva, Elaine, e a minha mae, Maria Luiza.


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AGRADECIMENTOS

Muitas foram as pessoas que contribuiram para a realizacao deste trabalho. Sao

tantas que tenho receio de me esquecer de alguem. Mas vou iniciar minha longa lista de

agradecimentos.

Antes de tudo quero agradecer a Deus. E Ele quem me permite acordar todos os

dias, seguir minha jornada, fazer minhas escolhas. Sem Ele nao teria forcas para realizar este

trabalho.

Quero agradecer a meu orientador Prof. Bernardo Horowitz por toda a sua boa

vontade em orientar, suas ideias valiosas e as conversas durante o almoco ou cafe. Desde o

primeiro dia em que cheguei a Recife para este trabalho me senti direcionado a desenvolver

um trabalho interessante e desafiante.

Agradeco tambem ao Prof. Ezio Araujo por todas as conversas tecnicas ou nao,

pelo acolhimento no grupo de pesquisa e por emprestar-me um carro que foi util em diversosmomentos.

Tambem nao posso me esquecer do Prof. Leonardo Guimaraes, pelas conversas

cheias de ideias, pelas pedaladas no fim de semana, pelas excelentes aulas e pela amizade que

foi cultivada.

Pelas otimas aulas e trocas de ideias devo agradecer tambem ao Prof. Ramiro

Wilmersdorf e Profa. Silvana Bastos. Dois dos captulos desta dissertacao surgiram em

trabalhos de suas disciplinas. Tambem nao posso esquecer dos Profs. Darlan Karlo e Antoniopelas aulas e conversas de corredor sobre assuntos do mundo do petroleo ou nao.

Entre os alunos do Programa de Pos-graduacao em Engenharia Civil nao posso

deixar de mencionar alguns nomes: Liliane Fonseca, pelo auxlio na minha chegada a Recife;

Jefferson Wellano e Julio pelos bons momentos de descontracao no laboratorio de informatica;

Roberto Pareja e Rodrigo pelo companheirismo nas disciplinas que cursamos juntos.


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Muito obrigado tambem as funcionarias do Programa Andrea e Rose Mary por

resolverem todos os tipos de problemas que tive com a burocracia da universidade.

Tambem tenho muito a agradecer a empresa em que trabalho, a PETROBRAS,

por me proporcionar a oportunidade de realizar esta pesquisa e pelo apoio financeiro, pagando

o meu salario. Em especial, nao posso esquecer de minha gerente, Flavia Pacheco, pela

permissao e estmulo. Tambem agradeco aos Engos. Regis Kruel, por indicar-me a UFPE,

Marco Antonio e Jose Roberto, por responderem as questoes sobre TPWL e SIMPAR com

toda a paciencia e ao Leonardo Cabral, que fazendo doutorado na mesma universidade, me

proporcionou otimas conversas. Agradeco tambem aos meus amigos de sala no CENPES,

Engos. Guilherme Teixeira e Lus Carlos e Rodrigo Carpio pelas conversas produtivas.

Alem das pessoas da universidade, muitos foram aqueles que me proporcionaram

otimos momentos de descontracao durante a estada em Recife. Por causa deles, o trabalhoarduo e a distancia da famlia nao foram grandes problemas. Cito aqui os principais nomes

que deixarao saudades, mas a lista completa e bem extensa. Agradeco entao a todos os meus

amigos que moravam na Republica das Palmeiras em especial a Ana Lucia, Ciancony Rocha,

Cristina Nepomuceno, Daniel Lazo, Elisa Griti, Fagunes Ferreira, Manuela, Marlia Santos,

Murilo Araujo, Pedro Souza, Ranielder e Vanessa Pedrosa.

Tenho muito a agradecer tambem aos meus familiares que me apoiaram, mesmo

que a distancia. Agradeco a meu irmao, Carlos Augusto, que passou comigo otimos momentos

em Recife e sempre me motivou na busca pelo conhecimento, a meu irmao Marcelo Machadoe meu pai, Manuel Fragoso, pela ajuda constante com todo tipo de problema que pudesse

ter em minha terra natal, aos meus padrinhos, Heloisa Moreira e Jorge Guilherme por tudo

que fizeram por mim ao longo de minha vida, a Sr a. Maria Jose, por ter sido sempre a

minha segunda mae e a meus cumpadres, Renato Cabral e Luciana Ferrari, por me darem a

honra de batizar sua filha, Larinha. Tambem agradeco a minha sobrinha e afilhada Massa

Machado, por todo o carinho que me dispunha em todas as vezes que voltei ao Rio.

Finalmente agradeco muito a minha noiva Elaine Andrade, pelo amor, carinho e

paciencia que a mim ela dedica. Tambem a minha mae, que nao so me deu a vida, mas me

da todo o apoio em todas as minhas escolhas.


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A imaginacao e mais importante que a ciencia,porque a ciencia e limitada,

ao passo que a imaginacao abrange o mundo inteiro.

(Albert Einstein)


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RESUMO

Esta dissertacao tem como objetivo a aplicacao de esquemas multifidelidade de otimizacao

e propagacao de incertezas ao gerenciamento de reservatorios de petroleo. A metodologia

Trajectory Piecewise Linearization-TPWL em combinacao com Proper Orthogonal Decom-

position- POD foi utilizada como modelo substituto de ordem reduzida para o simulador

de fluxo. Estas tecnicas reduzem a complexidade e a dimensao do problema atraves da li-nearizacao de suas equacoes governantes em torno de estados convergidos e armazenados

durante uma simulacao de treinamento. O metodo mostra-se acurado nas vizinhancas da

trajetoria de treinamento. Ganho de tempo consideravel foi obtido pela sua utilizacao, o que

ficou demonstrado nas aplicacoes realizadas com modelos de dois reservatorios diferentes. O

simulador de reservatorios utilizado foi desenvolvido pela Petrobras e cedido as universidades

participantes da rede SIGER para realizarem seus estudos de simulacao. Consiste em um

simuladorblack-oil, mas sua formulacao difere da normalmente utilizada em softwares comer-

ciais, pois em vez de utilizar as saturacoes como variaveis primarias utiliza fracoes massicas.Seu codigo foi alterado de modo a realizar a exportacao dos dados necessarios a construcao

do modelo substituto. Para comunicacao entre o simulador e as rotinas de treinamento do

modelo de ordem reduzida, utilizou-se um padrao hierarquico e generico de arquivos binarios

chamadoHierachical Data Format. O problema do retreinamento do modelo de ordem re-

duzida foi estudado em mais detalhe, propondo-se um metodo para agregar os estados e

derivadas de uma dada simulacao ao conjunto ja utilizado na construcao inicial. Alem disso,

estudou-se a necessidade de retreinamento durante o processo de otimizacao, propondo-se um

criterio para realiza-lo a medida que o processo de otimizacao avanca, passando por pontosque produzem trajetorias cada vez mais distantes da utilizada no treinamento. O trabalho

mostra que o problema com a instabilidade do TPWL/POD reportado na literatura e miti-

gado trocando-se a projecao de Bubnov-Galerkin, utilizada nos primeiros trabalhos com este

metodo, pela projecao de Petrov-Galerkin. Isto ja havia sido mencionado na literatura como

mecanismo de estabilizacao. O estudo de otimizacao visou a maximizacao do valor presente


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lquido considerando pressoes de fundo dos pocos como variaveis de projeto. Foi desenvol-

vido um algoritmo de Otimizacao Sequencial Aproximada com Multifidelidade (MSAO), que

converte o problema de otimizacao em uma sequencia de problemas aproximados, validos

dentro de uma regiao de confianca. Este algoritmo utiliza uma combinacao entre o modelo

de ordem reduzida aqui estudado e um modelo de krigagem, baseado em algumas simulacoesrealizadas no interior de cada regiao de confianca. Bons resultados foram obtidos, tendo

o algoritmo em alguns casos superado a referencia que consiste na otimizacao atraves da

apliacao direta do algoritmoSequential Quadratic Programing - SQPsobre o modelo de alta

fidelidade. O estudo de incertezas consistiu no calculo da media e do desvio padrao do valor

presente lquido considerando-se distribuicoes de probabilidades para as pressoes de fundo

dos pocos. Um algoritmo Monte Carlo Multifidelidade foi desenvolvido baseado na tecnica

estatstica das variaveis de controle. Este metodo tira proveito da correlacao entre os mo-

delos de alta e baixa fidelidade, lancando muitas simulacoes do modelo de ordem reduzida,corrigindo seus resultados com uma quantidade menor de execucoes do simulador. Com base

nesta correlacao e na razao do custo computacional para simulacao de alta e baixa fidelidade,

o algoritmo determina a razao do numero de execucoes dos dois modelos.

Palavras-Chave: Modelo de ordem reduzida. Trajectory piecewise linearization. Simulacao

de reservatorios. Otimizacao sequencial aproximada multifidelidade. Control variates. Pro-

pagacao de incertezas.


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ABSTRACT

The goal of this dissertation is the application of optimization and uncertainty propagation

based on multifidelity frameworks to oil reservoir managment. The reduced order surrogate

model used to replace the flow simulator is based on the Trajectory Piecewise Linearization

(TPWL) methodology combined with Proper Orthogonal Decomposition (POD). These te-

chniques reduce the numerical complexity and dimension of the problem by performing thelinearization of governing equations around converged states stored during a training simu-

lation. The method is shown to be accurate in the neighbourhood of the training trajectory.

Good speedups were achieved by its application to two different reservoir models. The re-

servoir simulator used in this work was developed by Petrobras and was given to Brazilian

universities members of SIGER Research Network to perform simulation studies. It is a

blackoil simulator but its formulation is different from what is used in commercial software.

It uses mass fractions instead of saturations. The simulator code, in general, was changed

to export the necessary data to build the reduced order model. Hierarchical data formatwas used to link the simulator to reduced order model. The TPWL/POD retraining process

was studied in detail. It consists of a method to add new simulation states and derivatives

to the training set built initially. We proposed a criterion to determine when retraining is

needed during the optimization process. This work shows that the problem with instability of

TPWL/POD reported in the literature is avoided by replacing the Bubnov-Galerkin projec-

tion with the Petrov-Galerkin one. This is not something new, but is confirmed by the results

obtained. The optimization study developed in this work aims to maximize the net present

value (NPV) using bottom hole pressures (BHPs) as design variables. We developed a Mul-tifidelity Sequential Approximate Optimization algorithm (MSAO) which transforms the real

problem into a sequence of approximate problems, accurately represented inside a trust re-

gion. This approximation relies on a metamodel which is a combination of TPWL/POD and

a kriging correction model. Good results were obtained, sometimes better than traditional

optimization based on high fidelity model. The uncertainty propagation study aims to cal-


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culate the average and standard deviation of NPV considering some probability distribution

for the BHPs. A Multifidelity Monte Carlo Algorithm was developed using Control Variates

Tecnhnique. It takes advantage of the correlation between high and low fidelity models and

launch many low fidelity runs, correcting the results with fewer high fidelity runs. Based on

that correlation and computational cost rate, the algorithm determines the optimal numberof high and low fidelity model evaluations.

Key-Words: Reduced order model. Trajectory piecewise linearization. Reservoir simula-

tion. Multifidelity sequential approximation optimization. Control variates. Uncertainty

propagation.


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Lista de Figuras

2.1 Volume de controle e seus vizinhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Modelo sintetico (baseado no caso SPE10) com 24000 celulas, 5 pocos produtores

e 2 injetores. Mapa de permeabilidades na direcao x. . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Comparacao de resultados do SIMPAR com IMEX - Modelo SPE10 - Modificado 45

2.4 Modelo de Brugge Modificado. Mapa de permeabilidades na direcao x. . . . . 47

2.5 Comparacao de resultados do SIMPAR com IMEX . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1 Regiao Validade do TPWL em torno da trajetoria de treinamento . . . . . . . 55

3.2 Funcionamento do POD - Consideram-se somente as direcoes de maior variabi-

lidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Sequencia de controles de treinamento (pressoes de fundo) aplicados aos pocos

produtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.4 Valores singulares dispostos em ordem decrescente - Modelo SPE10-Modificado 75

3.5 Comparacao do VPL calculado pelo SIMPAR e pelo TPWL/POD para o modelo

SPE10 - Modificado sem compressibilidades e densidades iguais. . . . . . . . 78


SPE10 - Modificado sem compressibilidades e densidades diferentes. . . . . . 79


SPE10 - Modificado com compressibilidades e densidades diferentes. . . . . . 80

3.8 Vazao de oleo dos pocos - SPE10 - Modificado compressvel e com densidades

de fluidos diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1 Interpolacao por krigagem - regressao polinomial adicionada a deformacoes lo-

cais causadas por uma funcao aleatoria com correlacao espacial definida . . . . 92

4.2 Hipercubo latino 2D com 4 amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3 Esquema de amostragem e atualizacao da regiao de confianca no algoritmo MSAO 96

4.4 Evolucao do processo de otimizacao nas iteracoes do algoritmo - Modelo SPE10

- Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.5 Vazoes totais do campo obtidas no processo de otimizacao SPE10 - Modificado106


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4.6 Pressoes de fundo dos pocos produtores otimizadas - Modelo SPE10 - Modificado107

4.7 Comparacao do VPL obtido durante o processo de otimizacao - 1a Iteracao -

SPE10 - Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.8 Comparacao do VPL obtido durante o processo de otimizacao - 2a Iteracao -

SPE10 - Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.9 Comparacao do VPL obtido durante o processo de otimizacao - 3a Iteracao -

SPE10 - Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.10 Valores singulares dispostos em ordem decrescente - Modelo Brugge-Modificado 110

4.11 Evolucao do processo de otimizacao nas iteracoes do algoritmo - Modelo SPE10

- Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.12 Vazoes totais do campo obtidas no processo de otimizacao Brugge - Modificado113

5.1 Comparacao entre MC Multifidelidade e Tradicional - Reservatorio Incompressvel

e Densidades dos Fluidos Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Evolucao dos Parametros do MC Multifidelidade para Estimacao da Media e da

Variancia - Reservatorio Incompressvel e Densidades dos Fluidos Iguais . . . . 124

5.3 Comparacao entre MC Multifidelidade e Tradicional - Reservatorio Compressvel

e Densidades dos Fluidos Diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.4 Evolucao dos Parametros do MC Multifidelidade para Estimacao da Media e da

Variancia - Reservatorio Compressvel e Densidades dos Fluidos Diferentes . . 126


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Lista de Tabelas

2.1 Comparacao de volumes in place calculados pelos simuladores . . . . . . . . . 49

3.1 Sequencias de controles utilizadas no estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 RMSD percentual para os dois casos considerados . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1 Otimizacao do VPL utilizando diferentes esquemas - SPE10 com 4 ciclos de

controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.2 Otimizacao do VPL em diferentes esquemas - Brugge-Modificado com 3 ciclos

de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


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Sumario

1. Introducao e Revisao Bibliografica 17

1.1 Revisao Bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Ob jetivos do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Organizacao da Dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Lista de publicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Conceitos de Simulacao de Reservatorios 28

2.1 Equacoes de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Discretizacao das equacoes de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Calculo das vazoes dos pocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4 Calculo do Valor Presente Lquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5 Comparacao com simulador comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3. Modelo de Ordem Reduzida 50

3.1 Linearizacao utilizando TPWL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 Exportacao de mapas de estados e derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3 Reducao de dimensao - Proper Orthogonal Decomposition (POD) . . . . . . . 59

3.3.1 Descricao do POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.2 Decomposicao em Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4 Modelo de Ordem Reduzida - TPWL/POD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5 Detalhes de Implementacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.6 Comparacao com o modelo de alta fidelidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4. Aplicacao em Otimizacao 85

4.1 Algoritmos de Otimizacao baseados em Modelos Substitutos . . . . . . . . . . 87

4.2 Modelos de Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3 Amostragem por Hipercubo Latino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.4 Algoritmo SAO Multifidelidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


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4.5 Detalhes de Implementacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.6 Desempenho do algoritmo MSAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.6.1 Resultados com modelo SPE10 - Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.6.2 Resultados com modelo de Brugge - Modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5. Aplicacao em Propagacao de Incertezas 114

5.1 Metodo das Variaveis de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2 Monte Carlo Multifidelidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3 Implementacao do algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.4 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6. Conclusoes e Trabalhos Futuros 127

6.1 Resultados e conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.2 Sugestoes de Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Referencias 131


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1. INTRODUCAO E REVISAO

BIBLIOGRAFICA

O avanco dos computadores, com o aumento da sua capacidade de processamento

e a paralelizacao, tem permitido a simulacao de reservatorios, atraves de suas previsoes,

passar a ter papel preponderante nas tomadas de decisao sobre o gerenciamento dos campos.

Modelos cada vez mais detalhados, com um numero de blocos cada vez maior e capazes de

representar as diferentes fsicas, tem sido desenvolvidos considerando grandes e complexos

sistemas de equacoes que consomem enormes recursos computacionais.

Por outro lado, o significativo nvel de incertezas nos parametros do reservatorio

(geologia, fluido, etc) e a necessidade de otimizacao dos recursos utilizados para a producao

(como equipamentos e investimentos) tem fomentado a concepcao de estudos cada vez mais

complexos e que requerem grande numero de simulacoes. Estudos como otimizacao dos con-

troles dos pocos e analise de incertezas, consideram todo o tempo de concessao dentro da

simulacao de reservatorios e podem possuir um numero grande de variaveis. Sendo assim,

o uso de modelos simplificados (baixa fidelidade), que aproximem o modelo de reservatorios

(alta fidelidade) com boa acuracia e grande economia de tempo de simulacao, tem se dissemi-

nado, permitindo o desenvolvimento de algoritmos multifidelidade para estudos de otimizacao

e incertezas.

Neste contexto, o presente trabalho teve como objetivo a utilizacao de um modelo

simplificado de ordem reduzida para a diminuicao do custo do processo de simulacao de

reservatorios e aplicacao a dois tipos de estudo de gerenciamento de reservatorios de petroleo:

otimizacao dos controles dos pocos e propagacao de incertezas dos controles. Tal modelo de

ordem reduzida possui um custo para seu treinamento, mas apresenta grande ganho de tempo

e boa acuracia, podendo ser retreinado quando necessario.

A tecnica escolhida para a construcao do modelo simplificado foi o TPWL (Tra-

17


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18

jectory Piecewise Linearization) combinado ao POD (Proper Orthogonal Decomposition). A

primeira faz basicamente a linearizacao das equacoes de fluxo resolvidas no simulador em

torno de estados convergidos e gravados durante uma ou mais simulacoes de treinamento e

e responsavel pela reducao da complexidade numerica. A segunda consiste na reducao da

dimensao do problema atraves da projecao dos estados em um espaco reduzido gerado pelasdirecoes principais de maior variabilidade.

O TPWL elimina a necessidade de resolver as equacoes de forma iterativa ja que

as lineariza, transformando a simulacao em uma sequencia de solucoes de sistemas lineares.

Entretanto, essencialmente nao ha reducao da dimensao do problema, isto e, a mesma quan-

tidade de equacoes deve ser resolvida. Desta forma, com o objetivo de reduzir drasticamente

o tempo de simulacao do metamodelo quando comparado ao tempo gasto pelo simulador,

aplicou-se uma tecnica conhecida como POD (Proper Orthogonal Decomposition) ou PCA

(Principal Component Analisys). Esta tecnica baseia-se na existencia de correlacao entre os

mapas de saturacoes e fracoes massicas gravados, de forma que estes possam ser representados

em um espaco de dimensao bem menor com pouca perda de informacao. Calcula-se uma base

com os mapas gravados que sera aplicada as equacoes do TPWL reduzindo drasticamente

sua dimensao.

Para a construcao do modelo de ordem reduzida, alem de armazenarem-se os

estados, faz-se necessario a gravacao de algumas derivadas que aparecem na expressao da

linearizacao. Sendo assim, o codigo do simulador precisou ser adaptado para exportar esta

gama de dados (mapas e derivadas) de forma a permitir a construcao do modelo TPWL/POD.

Isto e conhecido como metodologia semi-intrusiva, pois requer conhecimento do codigo do

simulador, mas as alteracoes realizadas nao atingem os calculos. A escolha do simulador a

ser utilizado foi diretamente influenciada por essa necessidade de acesso ao codigo.

O simulador utilizado tem o nome de SIMPAR e foi desenvolvido na decada de

90 pelo CENPES/Petrobras e esta em processo de revitalizacao. Sua formulacao e um pouco

diferente do usual na industria. As variaveis primarias que descrevem os estados ao inves

de pressao e saturacoes sao pressoes e fracoes massicas. E um simulador black-oil, mas oproblema que se quer atacar e bifasico e portanto utiliza uma opcao especfica para modelar

isso.

O metamodelo constitudo pelo TPWL/POD foi construdo utilizando-se o Ma-

tlab, software amplamente utilizado para construcao de prototipos de algoritmos numericos.

Sendo assim, avaliou-se qual seria a melhor forma de exportar as matrizes de mapas e deri-


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1.1. Revisao Bibliografica 19

vadas calculadas pela simulacao de treinamento de tal maneira que fosse facil de escrever a

partir do codigo em FORTRAN do SIMPAR e de ler a partir do Matlab. Concluiu-se que a

melhor maneira seria utilizar uma biblioteca para manipulacao de grandes massas de dados,

denominado HDF5 (Hierarchical Data FormatVersao 5). O seu uso permitiu que os tempos

de escrita e leitura dos dados nao tornassem o treinamento do metamodelo muito caro.

No estudo de otimizacao, considerou-se o problema de maximizar o valor presente

lquido para todo o tempo de concessao. O algoritmo utilizado e uma adaptcao do SAO

(Sequential Approximation Optimization) que considera dois nveis de fidelidade. O metamo-

delo considerado e o TPWL/POD corrigido por uma superfcie de resposta com krigagem.

Esta e construda no interior da regiao de confianca atraves da simulacao de alta (SIMPAR)

e baixa (TPWL/POD) fidelidades em alguns pontos e interpola o erro entre os dois mode-

los. A regiao de confianca (dimensoes e centro) e atualizada de acordo com a qualidade da

aproximacao corrigida.

Tambem foi proposto um criterio para o retreinamento do TPWL/POD, adicio-

nando os estados calculados na simulacao do centro da regiao de confianca ao conjunto de

estados inicialmente considerados na construcao do modelo. Esta abordagem baseia-se no

fato de que a acuracia do TPWL e garantida nas proximidades da trajetoria da simulacao

de treinamento e que a medida que a qualidade da aproximacao diminua, faz-se necessario

adicionar uma nova trajetoria mais proxima aos ultimos estados calculados.

No estudo de incertezas, considerou-se um algoritmo Monte Carlo multifidelidade

que tira proveito da correlacao entre os modelos de alta e baixa fidelidade para reduzir o

numero de execucoes do simulador de reservatorios. O esquema estudado inclusive calcula

qual deve ser a proporcao otima entre o numero de simulacoes de alta e baixa fidelidade

baseado na correlacao entre elas e na razao entre os custos computacionais.

1.1 Revisao Bibliografica

Na area de gerenciamento de reservatorios dois problemas de grande interesse sao

a otimizacao dos controles dos pocos e a propagacao de incertezas. A estrategia de producao

mais comum dos campos de petroleo no Brasil e no mundo utiliza-se da injecao de agua,

sendo a mesma utilizada nos casos aqui estudados. A funcao objetivo a ser avaliada, tanto

nos casos de otimizacao como para a analise de incertezas, e o Valor Presente Lquido, ou

simplesmente, VPL, que mede o retorno economico do campo ao fim do tempo de concessao.


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Os controles aqui considerados sao as pressoes de fundo dos pocos. Isto, na pratica, com o

advento das completacoes inteligentes, e uma simplificacao grosseira e deveria ser substitudo

por modelos integrados que simulariam valvulas e facilidades, transferindo os controles do

fundo dos pocos para os verdadeiros pontos de controle da operacao.

Existe uma extensa literatura sobre otimizacao de controles de pocos. Pode-se

classificar os metodos de acordo com o grau de intrusao no codigo do simulador de reser-

vatorios. Os metodos mais intrusivos utilizam-se da tecnica adjunta para calcular o gradi-

ente da funcao objetivo com relacao as variaveis de controle (Jansen, 2011) e estao entre os

metodos mais eficientes (Brower and Jansen, 2004; Sarma et al., 2008; Chen et al., 2010,

2012). Os metodos adjuntos necessitam de grande esforco de programacao para serem imple-

mentados e portanto nao estao disponveis nos simuladores comerciais ate agora. Os metodos

semi-intrusivos utilizam-se de modelos de ordem reduzida como Trajectory Piecewise Line-

arization - TPWL (Cardoso, 2009; He, 2010; Cardoso and Durlofsky, 2010; He et al., 2011;

He and Durlofsky, 2013) ou Discrete Empirical Interpolation - DEIM (Gildin et al., 2013;

Chaturantabut and Sorensen, Dez/2009) ou ainda podem utilizar a simulacao de linhas de

fluxo (Alhuthali et al., 2009). Os metodos nao intrusivos usam o simulador como uma caixa

preta e sao puramente baseados nos dados das simulacoes anteriores. Alguns destes al-

goritmos usam tecnicas evolucionarias (Oliveira, 2006; Almeida et al., 2010; Souza et al.,

2010), metodos de busca de padroes (Asadollahi and Naevdal, 2010) e metodos baseados em

modelos substitutos (Queipo et al., 2002; CMOST, 2012). Existe uma outra classe de algo-

ritmos considerados derivative free(sem derivadas) que aproximam os gradientes da funcao

objetivo utilizando metodologias estocasticas (Wang et al., 2009) e metodos baseados em

conjunto (ensemble-based) (Chen and Oliver, 2010) que podem ser corrigidos por c alculos

de diferencas finitas (Xia and Reynolds, 2013) ou serem incorporados em um modelo de in-

terpolacao quadratico (Zhao et al., 2011). Uma discussao mais completa e encontrada em

(Conn et al., 2009).

No estudo de otimizacao da producao realizado neste trabalho, o metodo consi-

derado e do tipo semi-intrusivo conhecido como Trajectory Piecewise Linearization- TPWL

(Rewienski, 2003). Este foi inicialmente aplicado ao problema de simulacao de reservatorios

em (Cardoso, 2009; Cardoso and Durlofsky, 2010) e aperfeicoado em (He, 2010; He et al.,

2011). Este e um modelo de ordem reduzida fsico que se baseia na linearizacao das equacoes

de fluxo em torno de estados previamente convergidos e gravados durante uma ou mais

simulacoes de treinamento. E utilizado como redutor da complexidade numerica na apro-

ximacao (Markovinovic, 2003). Este metodo e normalmente combinado com a tecnicaProper


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Orthogonal Decomposition - POD para reduzir a dimensao do problema. Existem alguns

relatos de instabilidade na literatura acerca deste metodo (He, 2010; Gildin et al., 2013).

Entretanto, o problema de instabilidade parece ter sido resolvido ao trocar-se a proje cao

de Bubinov-Galerkin por uma projecao de Petrov-Galerkin (Carlberg et al., 2009; He and

Durlofsky, 2013).

Os desenvolvimentos do TPWL/POD em (Cardoso, 2009; He, 2010) foram aplica-

dos ao problema de simulacao bifasica (oleo e agua) com formulacao baseada em saturacoes.

Ja em (He and Durlofsky, 2013) aplicou-se a tecnica de reducao a uma formulacao composici-

onal baseada em fracoes molares. No presente trabalho a formulacao considerada e agua-oleo

baseada em fracoes massicas. Os aspectos teoricos e as vantagens desta formulacao podem

ser obtidas em (Maliska et al., 1997).

Como a simulacao de reservatorios tem um elevado custo computacional, muitasvezes nao e possvel acopla-la diretamente ao algoritmo de otimizacao. Sendo assim, utiliza-

se um modelo substituto composto pelo TPWL/POD corrigido por uma aproxima cao por

krigagem de dados obtidos em simulacoes no interior de uma regiao de confianca (Giunta,

2002; Forrester et al., 2008). Efetua-se entao a simulacao do modelo de reservatorios (alta fi-

delidade) e do TPWL/POD (baixa fidelidade) em pontos amostrados no interior da regiao de

confianca utilizando-se a tecnica do hipercubo latino. Um preditor de krigagem e construdo

com a diferenca dos dois e sera utilizado na correcao do TPWL/POD durante o processo

de otimizacao no interior desta regiao de confianca utilizando-se o algoritmo de otimizacaosequencial quadratica (SQP) (Powel, 1978). O algoritmo baseado em um modelo substi-

tuto valido no interior de uma regiao de confianca, tranformando o problema de otimizacao

em uma sequencia de problemas aproximados, e conhecido na literatura como Sequential

Aproximation Optimization Algorithm - SAO (Alexandrov et al., 1997). Tal algoritmo, em

sua versao classica considerando somente a krigagem como modelo substituto, foi aplicado

ao problema de otimizacao do gerenciamento de campos de petroleo em (Horowitz et al.,

2013). No caso deste trabalho, como utilizam-se dois nveis de fidelidade, da-se o nome de

Multifidelity SAO - MSAO.

Com relacao a aplicacao de multiplas fidelidades a quantificacao de incertezas,

existem alguns esforcos na literatura reportados em (Ng et al., 2013). Em analise de con-

fiabilidade, uma abordagem muito parecida com a otimizacao multifidelidade consiste em

executar um numero grande de simulacoes do modelo de baixa fidelidade de forma a apro-

ximar a fronteira de estados limite e corrigir esta estimativa com poucas simula coes de alta


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1.2. Objetivos do Trabalho 22

fidelidade (Li and Xiu, 2010). Aproximacoes polinomiais (e. g. expansao em caos polino-

mial) das sadas do modelo de alta fidelidade podem ser construdas combinando-se uma

aproximacao de baixa fidelidade em um girdmais fino e uma correcao que utiliza o modelo

de alta fidelidade numgridmais grosseiro (Ng and Eldred, 2012). Tambem existem aborda-

gens para amostragem multifidelidade para propagacao de incertezas que se baseiam numa

regressao Bayesiana entre as sadas dos modelos de alta e baixa fidelidade.

A aplicacao de quantificacao de incerteza aqui estudada baseia-se na tecnica de

variaveis de controle (control variate) aplicada a simulacao Monte Carlo (Glynn and Sze-

chtman, 2000; Nelson, Nov-Dez/1990) e foi desenvolvida para o problema de estima cao de

parametros estatsticos da sada do modelo de alta fidelidade como, por exemplo, media e

variancia dadas as distribuicoes das variaveis de entrada.

1.2 Objetivos do Trabalho

O desenvolvimento de modelos multifidelidade em geral e aplicados a simulacao

de reservatorios tem crescido bastante nos ultimos anos. Estudos de gerenciamento de re-

servatorios como otimizacao de controles ou posicao dos pocos, analise de incertezas ou a

combinacao dos dois ultimos, resultando na otimizacao sob incertezas necessitam de um

numero cada vez maior de simulacoes. Por outro lado a tendencia e que estes modelos de

simulacao se tornem cada vez mais complexos e portanto, mesmo com o desenvolvimento

de computadores mais rapidos e com a tendencia de paralelizacao, consumam ainda muito

tempo. Sendo assim, se torna imperativo o uso de modelos substitutos simplificados que

aproximem o resultado das simulacoes mas consumam muito menos tempo.

Esta dissertacao nao esta dedicada ao desenvolvimento de uma nova tecnica para

concepcao de modelos substitutos, mas sim a utilizacao de um tipo de modelo de ordem

reduzida em estudos de otimizacao e de propagacao de incertezas utilizando o recurso da

simulacao de reservatorios. A ideia e construir um modelo baseado na combinacao de duas

tecnicas: Trajectory Piecewise Linearization - TPWL e Proper Orthogonal Decomposition -

POD como redutores de complexidade numerica e dimensao, respectivamente. Este modelo

precisa se acoplar a um simulador de reservatorios e, por necessitar de mais dados do que

o normalemente exportado, necessita de conhecimento do codigo-fonte do simulador. Fi-

nalmente, dois algoritmos, um para otimizacao e outro para propagacao de incertezas, sao

construdos e adaptados para utilizarem um esquema multifidelidade que considere o modelo


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1.3. Organizacao da Dissertacao 23

de ordem reduzida em questao.

Sao considerados objetivos especficos deste trabalho:

Estudar em detalhe a formulacao de fluxo e o codigo-fonte do simulador SIMPAR, de-senvolvido pelo CENPES/Petrobras para poder utiliza-lo em algoritmos semi-intrusivosde otimizacao. Contribuir com a proposta de revitalizacao do simulador para uso nas

pesquisas desempenhadas nas universidades brasileiras inseridas na rede SIGER.

Estudar em detalhes a tecnica e desenvolver um codigo para o modelo de ordem reduzidabaseado no TPWL/POD que possa ser acoplado ao simulador SIMPAR.

Avaliar a projecao de Petrov-Galerkin em substituicao de Bubnov-Galerkin na estabi-lizacao do TPWL.

Estudar a metodologia e desenvolver um codigo para o algoritmo de otimizacao multi-fidelidade baseado em modelos substitutos que se acople ao simulador em questao e ao

modelo de ordem reduzida estudado considerando uma unica funcao objetivo.

Propor uma metodologia para retreinamento do TPWL ao longo do processo de oti-mizacao, com a definicao de um criterio para decidir quando o retreinamento deve

ocorrer.

Estudar o arcabouco matematico e estatstico e desenvolver um codigo para o algoritmoMonte Carlo Multifidelidade acoplado ao mesmo simulador e ao mesmo modelo de

ordem reduzida e considerando incertezas nos controles dos pocos.

1.3 Organizacao da Dissertacao

A dissertacao foi dividida em quatro partes que correspondem exatamente aos

passos transcorridos na pesquisa. O Captulo 2 contem todo o conteudo de simulacao de

reservatorios necessario para o desenvolvimento do restante da pesquisa. O software SIM-

PAR, desenvolvido na decada de 90 pelo CENPES/Petrobras, foi escolhido como simulador

de reservatorios a ser utilizado neste trabalho. A escolha se deve a necessidade de acesso

irrestrito ao codigo do simulador.

No entanto, apesar de ser considerado um simulador black-oil, possui uma for-

mulacao distinta da maioria dos softwarescomerciais. Suas variaveis primarias sao pressao


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e fracoes massicas, diferentemente da formulacao por pressoes e saturacoes usualmente uti-

lizada nos simuladores comerciais. Esta formulacao foi escolhida no desenvolvimento desse

simulador por ser mais facilmente extensvel ao caso composicional e por eliminar o principal

inconveniente da formulacao por balanco de fases: o desaparecimento da fase gasosa em caso

de subsaturacao.

Sendo assim, um captulo foi dedicado a deducao da equacao de fluxo e a sua dis-

cretizacao e a outros aspectos importantes, como modelo de poco e as definicoes de grandezas

basicas na simulacao, sempre atendo-se as peculiaridades do simulador que sera utilizado. Isto

e uma tentativa de fazer da dissertacao um documento autocontido, permitindo a um leitor

leigo obter os fundamentos basicos da simulacao de reservatorios que tera papel preponde-

rante nos proximos captulos. Este mesmo captulo possui alguns resultados de validacao do

SIMPAR, comparando resultados obtidos com ele e com um simulado comercial, o IMEX da

CMG. Tais resultados foram gerados com dois modelos de reservatorios. Um deles e um corte

do modelo SPE10 e possui 24.000 celulas e o outro e uma adaptacao com malha cartesiana

para o modelo de Brugge amplamente divulgado na literatura e contendo em torno de 60 .000

celulas. Ambos consideram somente o fluxo de oleo e agua.

O Captulo 3 dedica-se a estudar o modelo de ordem reduzida escolhido para ser

aplicado. Este modelo utiliza a tecnica TPWL (Trajectory Piecewise Linearization) como

redutor da complexidade numerica e o POD (Proper Orthogonal Decomposition) como redu-

tor da dimensao do problema. Os aspectos teoricos sobre ambas as tecnicas foram expostos,com toda a formulacao aplicada ao problema de simulacao de fluxo em reservatorios. En-

tretanto, este modelo reduzido nao e meramente baseado em resultados de simulacoes. O

TPWL concebe um modelo substituto fsico atraves da linearizacao da equacao de fluxo em

torno de estados convergidos em uma simulacao de treinamento, transformando a simulacao

de reservatorios em uma sequencia de solucoes de sistemas lineares. Portanto, depende da

exportacao nao so dos mapas de estados mas tambem de diversas derivadas dos resduos.

Os detalhes da implementacao, como, por exemplo, a maneira de exportacao dos

dados do simulador e as ferramentas escolhidas para a construcao do modelo estao descritos.Tambem e descrito o processo de retreinamento em torno de uma nova simulacao e que vira

a ser utilizado no algoritmo de otimizacao. Alguns resultados comparativos da simulacao do

SIMPAR (alta fidelidade) com o TPWL (baixa fidelidade) sao apresentados com uma unica

simulacao de treinamento e considerando retreinamento em torno de diferentes simulacoes de

modo a avaliar a acuracia da aproximacao de ordem reduzida. Para tal estudo e utilizado o


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modelo SPE10 apresentado no captulo 2 considerando tres versoes: uma totalmente incom-

pressvel e com densidades de ambos os fluidos identicas (caso mais estudado na literatura

ate entao), uma considerando as densidades diferentes, mas ainda total incompressibilidade

(o que aumenta enormemente a nao linearidade do problema) e uma tambem com densida-

des diferentes e considerando compressibilidade de rocha e para os fluidos. Prova-se que a

acuracia do modelo reduzido diminui consideravelmente com a consideracao das densidades

diferentes e se reduz um pouco mais ao considerar-se as compressibilidades.

O Captulo 4 ataca o problema da otimizacao dos controles dos pocos em um

campo de petroleo. A funcao objetivo a ser maximizada e o Valor Presente Lquido - VPL

e as variaveis de projeto sao os controles dos pocos, que neste trabalho sao as pressoes de

fundo de poco. Sendo assim, propoe-se uma estrategia multifidelidade na qual o modelo

de ordem reduzida TPWL e valido no interior de uma regiao de confianca e corrigido por

um modelo de krigagem. Para tanto, faz-se necessario treinar o TPWL considerando uma

simulacao controlada por uma sequencia aleatoria de pressoes de fundo e a cada iteracao deve-

se amostrar o espaco contido no interior da regiao de confianca e simular os pontos amostrados

com o modelo de alta fidelidade (simulador SIMPAR) e baixa fidelidade (TPWL). Controi-se

entao uma superfcie de resposta para o erro entre eles que deve ser adicionada ao TPWL

como correcao.

Desta forma, a cada iteracao o centro e as dimensoes da regiao de confianca sao

atualizados de acordo com a qualidade da aproximacao. A otimizacao realizada no interiordesta regiao baseia-se no algoritmoSequential Quadratic Programminge e aplicada ao modelo

aproximado com correcao. Isto e o que se conhece como algoritmo de otimizacao aproximada

sequencial multifidelidade (MSAO - Multifidelity Sequential Approximation Optmization), o

qual transforma a otimizacao do problema com a funcao objetivo real em uma sequencia de

otimizacoes aproximadas. Eventualmente espera-se que haja a necessidade de retreinamento

do TPWL. Isto consiste em adicionar ao conjunto de estados ja considerados no primeiro

treinamento, um conjunto de estados e derivadas calculados na simulacao do centro da ultima

regiao de confianca, o que aumenta a acuracia do metamodelo nas proximidades deste ponto.

Alguns resultados foram gerados com os modelos SPE10 e Brugge modificados,

em ambos os casos considerando densidades diferentes para oleo e agua e compressibilidades

nao-nulas. Varias situacoes foram testadas variando-se o criterio de retreinamento, podendo-

se assim avaliar o desempenho desta tecnica. Como comparacao o otimizador foi conectado

diretamente ao simulador e ao TPWL para avaliar os ganhos de utilizar-se o MSAO.


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1.4. Lista de publicacoes 26

A ultima parte da pesquisa, relatada no captulo 5, consisitu na utilizacao do

TPWL em um algoritmo para propagacao de incertezas. Este e um tipo de Monte Carlo

Multifidelidade, baseado na metodologia das variaveis de controle (Control Variates Method)

e se vale da correlacao entre os modelos de alta e baixa fidelidade para reduzir o numero

de simulacoes utilizando o simulador, substituindo-as de maneira otima por simulacoes de

baixa fidelidade. O arcabouco estatstico e matematico bem como a deducao do metodo

sao apresentados, construindo-se um algoritmo que gradativamente aumenta o numero de

avaliacoes da funcao VPL de alta fidelidade e e capaz de calcular a media e o desvio padrao

desta variavel com menos simulacoes do que o metodo de Monte Carlo convencional. Os

resultados obtidos utilizam o modelo baseado no SPE10 na versao incompressvel e com

densidades iguais e compressvel com densidades iguais.

Ao final do trabalho algumas conclusoes acerca do uso do TPWL em estudos de

otimizacao e de propagacao de incertezas sao apresentadas no captulo 6. Algumas sugestoes

de trabalhos futuros sao apresentadas, considerando tanto novos estudos que precisariam ser

realizados como melhorias dos algoritmos aqui utilizados.

1.4 Lista de publicacoes

Esta dissertacao culminou na publicacao dos quatro resumos e trabalhos completos

em anais de congressos internacionais listados abaixo.

Fragoso, Manuel Jr.; Horowitz, Bernardo; Rodrigues, Jose Roberto Pereira. A Re-duced Order Surrogate Model for Optimal Reservoir Management. 14th

European Conference on Mathematics of Oil Recovery, ECMOR. Set, 2014. Catania,

Sicilia, Italia.

Fragoso, Manuel Jr.; Horowitz, Bernardo; Rodrigues, Jose Roberto Pereira.A Multi-fidelity Approach to Waterflooding Optimization. 4th International Conference

on Engineering Optimization, EngOpt. Set, 2014. Lisboa, Portugal.

Fragoso, Manuel Jr.; Horowitz, Bernardo; Rodrigues, Jose Roberto Pereira. A Redu-ced Order Method to Waterflooding Optimization. 35th Iberian Latin American

Congress on Computational Methods in Engineering, CILAMCE. Nov, 2014 Fortaleza,

Brasil.

Fragoso, Manuel Jr.; Horowitz, Bernardo; Rodrigues, Jose Roberto Pereira. Retrai-


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1.4. Lista de publicacoes 27

ning Criteria for TPWL/POD Surrogate Based Waterflodding Optimiza-

tion. Reservoir Simulation Simposium, RSS. Fev, 2015. Houston, EUA.

Tambem resultou na apresentacao oral do seguinte trabalho.

Horowitz, Bernardo; Afonso, Silvana Maria Bastos; Fragoso, Manuel Jr. SurrogateBased Waterflooding Optimization. 1st International Symposium on Energy Cha-

lenges and Mechanics, ECM. Jul, 2014. Aberdeen, Escocia, Reino Unido.

Finalmente, culminou na aceitacao para a publicacao do seguinte artigo de revista

que se encontra em processo de revisao.

Fragoso, Manuel Jr.; Horowitz, Bernardo; Rodrigues, Jose Roberto Pereira. A Re-duced Order Surrogate Model for Optimal Reservoir Management. Selected

contributions from the 14th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery

(ECMOR XIV). Computational Geosciences, Springer.


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2. CONCEITOS DE SIMULACAO

DE RESERVATORIOS

Com o aumento da demanda global por hidrocarbonetos e a consequente alta no

preco do petroleo, novas fronteiras de exploracao de petroleo cada vez mais complexas tem se

mostrado viaveis. Com isso, engenheiros de reservatorios se deparam com desafios crescentes

para gerar previsoes de producao e estimativas de reserva.

Para realizar tais previsoes de producao, sao construdos modelos matematicos que

representam o que ocorre nas rochas que servem de acumulacao para os hidrocarbonetos em

subsuperfcie. O problema basico a ser resolvido e o calculo do fluxo atraves do reservatorio

e das vazoes de producao e injecao em cada poco, dados os controles aplicados ao longo do

tempo. Note que, em geral, ocorre a producao de tres fluidos distintos: agua, oleo e gas.

A composicao das fases oleo e gas pode ser bastante complexa, o que pode levara consideracao de diferentes componentes presentes nestas fases e a concepcao de modelos

denominados composicionais. Esta consideracao aumenta consideravelmente a complexidade

do problema e nao sera considerada neste trabalho. O modelo aqui considerado se limitara

ao fluxo de tres fluidos (agua, oleo e gas) que fluem independentemente de sua composicao.

E o que se da o nome de modelo black-oil.

Por outro lado, ha muitas incertezas nos parametros dos modelos de reservatorio

que sao construdos de modo que nenhum estudo de reservatorios pode negligencia-las. Isto

complica ainda mais o processo, demandando o uso de tecnicas estatsticas especficas para

lidar com incertezas, alem de consumir muito recurso computacional com a necessidade de

um numero grande de simulacoes.

Todavia, o interesse final do processo de previsao de producao e a definicao da

estrategia otima para a producao de uma acumulacao de petroleo, considerando as muitas

maneiras de posicionar ou controlar os pocos. Para tanto, demanda-se a utilizacao de tecnicas

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de otimizacao e aumenta-se ainda mais o numero de simulacoes a serem executadas. Todo

este processo significa em suma estimar a producao em multiplos cenarios de forma a quan-

tificar riscos e melhorar os resultados. Tudo isto, alem da necessidade de modelos cada vez

mais detalhados, motiva o desenvolvimento de simuladores de reservatorio mais eficientes e

acurados.

Nesse captulo serao abordados os aspectos do modelo matematico para fluxo

em meios porosos utilizado na simulacao de reservatorios de petroleo e as principais carac-

tersticas do software (simulador de fluxo) utilizado em todos os estudos deste trabalho.

Utilizou-se um simulador desenvolvido por uma equipe do CENPES/Petrobras no incio da

decada de noventa e conhecido como SIMPAR (Rodrigues and Bonet, 1991). E um simulador

do tipo black-oil (Ertekin et al., 2011), isto e, que considera o fluxo de tres fases (aquosa,

oleosa e gasosa) e tres pseudo-compononentes (oleo, agua e gas). Na verdade, este simu-

lador e capaz de considerar um quarto componente chamado de polmero o que possibilita

a simulacao de estrategias de producao que considerem a injecao de polmeros voltada, por

exemplo, para o controle da producao de agua.

Como o objetivo do presente trabalho reside no problema de otimizacao da injecao

de agua em um reservatorio subsaturado, utlizar-se-a uma simplificacao do modelo black-

oil, conhecida como modelo agua-oleo, que considera somente a existencia de duas fases

no reservatorio (agua e oleo). Quando configurado para simular este modelo, o SIMPAR

considera que o componente gas existe somente em solucao na fase oleo e, portanto, caso ousuario determine uma razao de solubilidade, havera producao de gas, mas esse gas nao estara

fluindo livremente no reservatorio. No presente estudo, considera-se a razao de solubilidade

igual a zero somente por simplicidade.

Uma importante caracterstica do SIMPAR que o diferencia da maioria dos simu-

ladoresblack-oilcomerciais e a sua formulacao por fracoes massicas. Ao inves de utilizar-se

das equacoes diferenciais expressas com base em saturacoes volumetricas das fases como e

comum entre os outrossoftwaresde simulacaoblackoil, este simulador utiliza equacoes basea-

das em fracoes massicas dos componentes. Esta formulacao possui vantagens e caractersticasproprias como descrito na secao 2.1.

O captulo tratara inicialmente da formulacao matematica do problema, dedu-

zindo muito rapidamente na primeira secao as equacoes diferencias de fluxo para o modelo

agua-oleo na sua formulacao por fracoes massicas. Na segunda secao, descreve-se a discre-

tizacao em diferencas finitas do sistema de equacoes diferenciais, a qual e utilizadoa para


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2.1. Equacoes de fluxo 30

a solucao numerica realizada no simulador. A terceira secao estuda o tratamento dado aos

termos de producao/injecao (termos de poco) pelo SIMPAR. Isto e devido a importancia que

o modelo de poco tem no processo de calculo das vazoes produzidas e injetadas, as quais sao

as entradas da funcao objetivo utilizada ao longo deste trabalho. A quarta se cao contem os

resultados da comparacao dos resultados obtidos com o SIMPAR e com um simulador comer-

cial, desenvolvido pelaComputer Modeling Group, o IMEX.E uma tentativa de validacao do

primeiro considerando os resultados do outro, amplamente utilizado.

2.1 Equacoes de fluxo

Do ponto de vista matematico, a funcao basica de um simulador de reservatorios

e resolver numericamente um sistema de equacoes diferenciais que modela o fluxo em ummeio poroso de fases distintas contendo um ou mais componentes. Em um modelo conhecido

comoblack-oil, sao tres as fases oleosa, gasosa e aquosa e tres os componentes oleo,

agua e gas. Alem disso, admite-se que o gas pode estar livre ou dissolvido no oleo. Neste

trabalho, so serao considerados dois destes componentes e fases: oleo e a fase oleosa e agua

e a fase aquosa. Isto e que se chama de modelo agua-oleo.

Classicamente, a maioria dos simuladores considera em sua formulacao o balanco

de massa entre as fases e, para representar a parcela de cada fase, consideram as saturacoes

volumetricas de cada fase em relacao ao total (Ertekin et al., 2011). Entretanto, o simulador

utilizado neste estudo possui uma formulacao distinta, considerando o balanco de massa dos

componentes. Para tanto, contabiliza-se a participacao de cada um dos componentes atraves

de sua fracao massica em relacao a massa total. Desta forma, utiliza como variaveis primarias

as fracoes massicas ao inves das saturacoes (Maliska et al., 1997).

Tal formulacao possui algumas vantagens como descritas em (Maliska et al., 1997)

e (Rodrigues and Bonet, 1991). Basicamente a escolha se deve a dois fatores:

1. nao e necessario nenhum tipo de tratamento especial para o gas. Quando se consideramas saturacoes das fases, se todo o gas estiver dissolvido, a fase gas deixa de estar

presente, isto e, sua saturacao e zero, o que exige um tratamento especial para o

desaparecimento da fase, por exemplo, mudanca de variaveis ou manutencao de uma

saturacao residual;

2. esta e a formulacao natural para a construcao de um modelo composicional, o que


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facilitaria bastante se houvesse o interesse de extender o simulador para simula cao

composicional.

Neste trabalho, como ja mencionado, so sera considerado o problema bifasico

agua-oleo. Entretanto, o SIMPAR e capaz de simular um modelo black-oil completo com

a presenca de polmeros que seriam injetados. O tipo de modelo a ser simulado e uma das

entradas de seu arquivo de entrada conforme seu manual (CENPES, 1995).

Abaixo sao deduzidas as equacoes de fluxo para esse modelo de duas fases e dois

componentes. Entretanto, a deducao e extensvel para o problema trifasico, adicionando-

se uma equacao de balanco e considerando-se as caractesticas especficas do componente

gas, como compressibilidade e solubilidade no oleo. Inicialmente considera-se um modelo

unidimensional e um fluido, embora a extensao para tres dimensoes e dois fluidos seja simples

e sera considerada ao final desta secao. Sendo assim, para incio da deducao, considere umvolume de controle e seus vizinhos como mostra a Figura 2.1.

Fig. 2.1: Volume de controle e seus vizinhos

Fazendo-se o balanco de massa no interior desse volume de controle obtem-se a

Equacao 2.1, onde Min e a massa que entra no volume de controle,Mout e a massa que sai

do volume de controle, Ms e a massa injetada/produzida a partir de um poco completado no

volume de controle e Macc e a massa acumulada no volume de controle.

Min Mout+Ms= Macc (2.1)A vazao massica mque entra ou sai do volume de controle e calculada pelo produto

da velocidade do fluidovx por sua densidade e pela area da interfaceAx, como na Equacao

2.2. A massa que entra ou sai e a integral de m.

m= Ax vx (2.2)


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A massa acumulada e obtida na Equacao 2.3. Ela e calculada pela diferenca entre

a massa contida no interior do volume de controle no instante t+t e contida no instante

anterior t e depende da porosidade no volume de controle e do volume de controle Vb.

Macc= ( Vb)t+t ( Vb)t (2.3)onde

Aplicando as Equacoes 2.2 e 2.3 a Equacao 2.1, obtem-se a Equacao 2.4.

(Ax vx,i1/2 Ax vx,i+1/2+ ms) t= ( Vb)t+t ( Vb)t (2.4)

Manipulando a equacao anterior, dividindo-se ambos os membros por Vb t,

obtem-se a Equacao 2.5.

vx,i1/2 vx,i+1/2x

+msVb

=( )t+t ( )t

t (2.5)

Supondo-se que o volume de controle e o intervalo de tempo considerados sejam

pequenos o suficiente para uma aproximacao contnua, a Equacao 2.5 pode ser reescrita em

termos da equacao diferencial 2.6

( vx)x

+msV

b

=( )

t (2.6)

Considerando-se que a rocha reservatorio e um meio poroso e que as velocidades

dos fluidos em seu interior sao pequenas, pode-se calcular tal velocidade vx como funcao do

potencial hidraulico atraves da lei de Darcy generalizada, conforme a Equacao 2.7 ondek

e a permeabilidade ao fluido (caso haja mais de um fluido, e o produto da permeabilidade

absoluta pela relativa) e e a viscosidade do fluido.

vx = k

x

(2.7)

Aqui define-se o potencial hidraulico conforme a Equacao 2.8 em funcao da pro-

fundidade D em relacao a uma referencia, a pressao do fluido. Nesta equacao, representa

o peso especfico do fluido.

=p D (2.8)


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Substituido a expressao paravxda Equacao 2.7 na equacao de balanco 2.6 obtem-

se 2.9.

x k

x +ms

Vb=

t(

) (2.9)

Esta equacao pode ser extendida para tres dimensoes somando-se as contribuicoes

das tres direcoes conforme Equacao 2.10.

x

kx

x

+

y

ky

y

+

z

kz

z

+

msVb

=

t( ) (2.10)

Pode-se simplificar esta equacao utilizando-se a notacao vetorial. Para tanto, de

forma a contemplar os casos anisotropicos (permeabilidades diferentes nas tres direcoes), e

necessario definir o tensor de permeabilidades K, matriz cuja diagonal e preenchida com as

permeabilidades nas direcoesx, y e z, como mostrada na Equacao 2.11.

K=

kx 0 0

0 ky 0

0 0 kz

(2.11)

A Equacao 2.12 e a forma simplificada pela notacao vetorial da Equacao 2.10.Tambem considera-se que msja representa a vazao injetada por unidade de volume e introduz-

se uma nova grandeza denominda mobilidade do fluido, cujo tensor e = K/. Note que

a unica variavel primaria que representa a funcao a ser calculada nesta equacao e a pressao

que esta contida no potencial hidraulico representado na Equacao 2.8.

() + ms= t

( ) (2.12)

Entretanto, existe mais de um fluido percolando o meio poroso. Considerandoque cada fluido possui sua propria mobilidade, o modelo deve possuir entao duas equacoes de

balanco que interagem entre si de modo a representar o escoamento bifasico. Portanto, duas

serao as variaveis primarias, em relacao as quais o problema sera resolvido. Na formulacao

aqui considerada, as variaveis primarias escolhidas sao a pressao do oleo e a fracao massica

de agua. As equacoes diferenciais que sao resolvidas pelo simulador estao expressas nas eqs.


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2.13 e 2.14 e representam, repectivamente, o balanco de massa total e do componente agua.

Aqui os ndices w eorepresentam respectivamente agua e oleo.

t(

m)

(w

w+ o

o) + mw+ mo = 0 (2.13)

t( zw m) (ww) + mw= 0 (2.14)

Nestas equacoes representa o gradiente do potencial de cada fase e tem origemna lei de Darcy, onde a velocidade e proporcional ao gradiente do potencial. Desta forma,

ambos os gradientes podem ser expressos nas equacoes 2.15 para a fase agua e 2.16, para o

oleo, respectivamente. Note que, no caso do fluxo de duas fases concorrentes, o gradiente,

antes representado na Equacao 2.8, deve contemplar uma parcela que representa a pressaocapilar entre as fases que e denotada por Pcow.

w = po Pcow wD (2.15)

o = po oD (2.16)

De maneira sintetica, podem-se definir as grandezas que aparecem nas Equacoes

2.13 a 2.16 na lista a seguir, onde o subscrito l, representa as fases oleosa e aquosa e portanto

assume os valores l=o, w e o subscrito c representa os componentes oleo e agua e tambem

assume os valores l = o, w.

zc - fracao massica global do componente c; l - massa especfica da fase l; m - massa especfica da mistura, m = Sww+Soo;

Sl - saturacao da fase l; l =- mobilidade massica da fase l; l - Potencial da fase l; po - pressao da fase oleo; Pcow - pressao capilar no sistema agua-oleo;


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l - peso especfico da fase l, l = lg; g - aceleracao da gravidade; D - profundidade tomada em relacao a uma referencia; ml = vazao massica injetada/produzida da fase l por unidade de volume.

A mobilidade da fase l e expressa na Equacao 2.17.

l = klkrl

l(2.17)

Vale ressaltar que as saturacoes das fasesSlse relacionam com as fracoes massicas

dos componentes zc atraves da Equacao 2.18.

Sl = zl/l

zw/w+zo/o, l= o, w. (2.18)

As saturacoes sao utilizadas na determinacao da permeabilidade relativakrl, uma

vez que suas curvas sao expressas em funcao destas variaveis. Tais curvas de permeabilidade

relativa podem ser fornecidas atraves de tabelas contendo alguns pontos que sao interpolados

ou podem utilizar o modelo de Corey dado pelas Equacoes 2.19 e 2.20 que representam, res-

pectivamente, as permeabilidades relativas do oleokro e da aguakrw em funcao da saturacao

de agua Sw.

kro = k0ro

1 Sw Sor1 Swc Sor

a(2.19)

krw =k0rw

1 Sw Swc1 Swc Sor

b(2.20)

As curvas de permeabilidade relativa no modelo de Corey sao calibradas atraves

dos seguintes parametros determinados a partir de ensaios:

Sor - Saturacao de oleo residual que representa a mnima saturacao de oleo que se podeobter;

Swc - Saturacao de agua conata que representa a mnima saturacao de agua que nor-malmente existia no reservatorio antes da injecao de agua;

k0ro - ponto terminal para permeabilidade relativa do oleo, medido na saturacao Swc;


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k0rw - ponto terminal para permeabilidade relativa da agua, medido na saturacao 1Sor; a- expoente de Corey para a curva de permeabilidade relativa de oleo e b - expoente de Corey para a curva de permeabilidade relativa de agua.

Para calculo das mobilidades das fases, l faz-se necessario determinar suas den-

sidades e viscosidades em funcao da pressao. As densidades podem ser calculada utizando-se

os fatores volume de formacao Bl, l= o, w fornecidos dentre as informacoes PVT conforme

a Equacao 2.21.

l = 1

Bll,st, (2.21)

onde l,st e a densidade da fase em condicao padrao.

As viscosidadeslsao calculadas atraves da Equacao 2.22, ondel,be a viscosidade

tomada na pressao de bolha, p

e a viscosibilidade, po e a pressao do oleo epb e a pressao de

bolha.

l = l,b+

p(po pb), (2.22)

A porosidade nas Equacoes 2.13 e 2.14 e calculada considerando-se o modelo

pouco compressvel com compressibilidade da rocha constante. Desta consideracao, pode-se

calcular a porosidade atraves da Equacao 2.23, onde l,ref e a porosidade tomada na pressao

de referencia, cr e a compressibilidade da rocha, po e a pressao do oleo e pref e a pressao de

referencia para o calculo da porosidade.

= l,ref+ cr(po pref), (2.23)

Por fim, vale ressaltar que para simplificar o problema, a raz ao de solubilidade

Rs do gas no oleo foi desconsiderada em todos os estudos. Entretanto, o simulador permite

que se considere Rs = 0 no modelo agua-oleo. Neste caso, nao ha gas livre, mas existecomponente gas fluindo junto com o oleo na fase oleosa. Sendo assim, a quantidade de gas

produzida seria completamente proporcional ao oleo produzido e seria necessario conderar-se

a fracao massica do componente gas na fase oleosa Xgo e do componente oleo, Xoo. Isto

adiciona alguma complexidade as Equacoes 2.18 e 2.21 e pode ser encontrado em (Rodrigues

and Bonet, 1991).


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2.2. Discretizacao das equacoes de fluxo 37

2.2 Discretizacao das equacoes de fluxo

Para a solucao numerica das Equacoes 2.13 e 2.14 faz-se necessario discretiza-las.

Existem diversos metodos para discretizacao: elementos finitos, volumes finitos, metodos

multiponto, etc. Entretanto, classicamente, no caso do problema de fluxo, utiliza-se o metodo

das diferencas finitas, aproximando as derivadas temporais e espaciais por diferencas divididas

(Ertekin et al., 2011). Este e o metodo utilizado na formulacao do simulador aqui considerado.

A discretizacao tambem deve considerar uma malha que particiona o espaco em

pequenos blocos para aproximacao dos gradientes. Quando se utiliza o metodo das diferencas

finitas, e mais comum utilizarem-se malhas estruturadas (Ertekin et al., 2011), nas quais e

possvel numerar os nos considerando a relacao com os vizinhos. Apesar de existirem hoje

em dia tipos mais flexveis, aqui so serao consideradas malhas regulares com topo variavel,

isto e, todos os blocos sao paraleleppedos retangulos, uma vez que o simulador SIMPAR so

e capaz de lidar com este tipo de configuracao.

Para discretizacao do espaco, considera-se o metodo por diferencas finitas centra-

das na interface, tambem conhecido por CVFD - control volume finite diferenceou diferencas

finitas em volume de controle (Ertekin et al., 2011). Este metodo e uma pequena variacao

do metodo das diferencas finitas centradas, uma vez que ao discretizar-se a lei de (Darcy),

as propriedades sao consideradas nas interfaces de cada bloco. A Equacao 2.24 ilustra a

aproximacao por diferencas finitas em uma unica dimensao. A extensao de tal aproximacaopara as tres dimensoes e imediata. Nesta equacao so estao ilustrados os termos de fluxo e os

coeficientesTl representam as transmissibilidades de cada fase na interface entre os blocos e

mais adiante serao relacionados a mobilidade.

x

l

lx

n+1 1

V

(Tl)

n+1i1

2

(n+1i1 n+1i ) + (Tl)n+1i+ 12

(n+1i+1 n+1i )

(2.24)

Ja no caso da discretizacao do tempo, a aproximacao por diferencas finitas cor-responde a Equacao 2.25. Nesta equacao so esta ilustrado o termo dependente do tempo,

tambem conhecido como termo de acumulacao.

t( zl m) 1

t

(zlm)

n+1i,j,k (zlm)ni,j,k

(2.25)

Note que nas Equacoes 2.24 e 2.25, todos os termos sao tomados no passo de


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tempo n+ 1 com excecao de uma parcela do termo de acumulacao. Isso e chamado de

formulacao totalmente implcita e demandara a solucao de um sistema de Equacoes em cada

passo de tempo. Sendo assim, apos aplicacao do metodo das diferencas finitas as Equacoes

2.13 e 2.14 e considerando o tratamento do tempo de forma implcita resultam as Equacoes

2.26 e 2.27.

Vi,j,ktn+1

(m)

n+1i,j,k (m)ni,j,k

(Tww)

n+1i+1/2,j,k+ (Tww)

n+1i1/2,j,k

(Too)n+1i+1/2,j,k+ (Too)

n+1i1/2,j,k

(Tww)n+1i,j+1/2,k+ (Tww)

n+1i,j1/2,k

(Too)n+1i,j+1/2,k+ (Too)

n+1i,j1/2,k

(Tww)n+1i,j,k+1/2+ (Tww)

n+1i,j,k1/2

(Too)n+1i,j,k+1/2+ (Too)n+1i,j,k1/2+( mo)

n+1i,j,k + ( mw)

n+1i,j,k = 0

(2.26)

Vi,j,ktn+1

(zwm)

n+1i,j,k (zwm)ni,j,k

(Tww)

n+1i+1/2,j,k+ (Tww)

n+1i1/2,j,k

(Tww)n+1i,j+1/2,k+ (Tww)

n+1i,j1/2,k

(Tww)n+1i,j,k+1/2+ (Tww)n+1i,j,k1/2+( mw)

n+1i,j,k = 0

(2.27)

Esta discretizacao considera um bloco de coordenadas ijk e utiliza o balanco

entre os fluxos atraves das faces do bloco considerando os volumes acumulados e os produzi-

dos/injetados neste bloco por unidade de tempo. O tratamento da dependencia temporal e

totalmente implcito, como ja mencionado. O sobrescriton ou n + 1 indica o passo de tempo

onde e calculada a propriedade e os subscritosi, j, kindica as coordenadas espaciais do bloco

ou interface. Ja, Vi,j,k e o volume do bloco de coordenadas i, j, k e e dado na Equacao 2.28.

Vi,j,k = xiyjkijk (2.28)

Nas Equacoes 2.26 e 2.27, l sao as diferencas de potencial das fases l = o, w

entre os blocos adjacentes. te o tamanho do passo de tempo, ( ml)n+1i,j,k e a vazao massica da

fasel= o, winjetada/produzida no blocoijkao final do passo de tempotn+1e Tlrepresenta a


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transmissibilidade da fasel, calculada na Equacao 2.29, ondeFgrepresenta o fator geometrico

na interface e l = lkrl

l, a mobilidade da fase l na interface.

Tl =Fglkrl

l, (2.29)

O fator geometrico em cada direcao pode ser calculado atraves da media harmonica

entre as permeabilidades das celulas adjacentes ponderadas pelos seus comprimentos e multi-

plicadas pela area da secao de fluxo. Por simplicidade, considere-se o problema unidimensio-

nal cujos blocos possuem comprimentos iguais xe area de secaoA. No caso tridimensional,

o mesmo raciocnio pode ser aplicado. Neste caso, o fator geometrico esta expresso na

Equacao 2.30.

(Fg)i+ 12

=ki+ 1

2Ai+ 1

2

xi+ 12

, (2.30)

Considerando por simplicidade as dimensoes das celulas iguais, a permeabilidadek

da interface pode ser calculada atraves da simples media harmonica entre as permeabilidades

das celulas adjacentes conforme a Equacao 2.31. Entretanto, em caso de dimensoes diferentes,

esta media deve ser ponderada pelas dimensoes. Para mais detalhes, ver (Ertekin et al., 2011;

Rodrigues and Bonet, 1991).

ki+ 12

= 2kiki+1ki+ki+1

(2.31)

Quanto a mobilidade, esta e calculada utilizando o que a literatura chama de

upwind, que consiste em tomar,kr e do bloco de maior potencial seguindo-se a direcao do

fluxo. A Equacao 2.32 representa este raciocnio na direcao X, e deve se repetir nas direcoes

Y e Z.

l,i+ 12

,j,k =

l,i+1,j,kkrl,i+1,j,k

l,i+1,j,k , se l,i+1

2 ,j,k 0

l,i,j,kkrl,i,j,kl,i,j,k

, se l,i+ 12

,j,k


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2.3. Calculo das vazoes dos pocos 40

2.3 Calculo das vazoes dos pocos

Os termos de producao nas equacoes de resduos 2.13 e 2.14 representam a vazao

de oleo e agua produzidos ou de agua injetada. Para calcula-las, faz-se necessario que se

estabeleca uma relacao entre a pressao de fundo do poco, a pressao do bloco onde se encontra

cada completacao e a vazao produzida/injetada de cada componente. Alem disso, como se

admite multiplas completacoes, e necessario relacionar a pressao de fundo de poco BHP a

pressao no interior do poco em cada uma das completacoes.

A relacao basica entre as pressoes no interior do pocopwfijk e no bloco onde este se

localiza poijk e a vazao produzida/injetadaMl,ijk e que recebe o nome modelo de poco, onde

o subscrito l = o, w representa a fase e ijk representa as coordenadas do bloco do poco. O

modelo de poco aqui considerado e descrito em (Peaceman, 1983) e necessita de um fator de

proporcionalidade conhecido como ndice de produtividadeP Il,ijk e esta exposto na Equacao

2.33.

Mijk = P Il,ijkn+1lijk

n+1ijk (pn+1oijk

pn+1wfijk) (2.33)

A mobilidade do fluido no pocon+1ijk e calculada na Equacao 2.34 e depende se o

poco e produtor ou injetor.

ijk =

krlijklijk

para poco produtor;

f=o,w

krfijkfijk

para poco injetor.

(2.34)

No caso de pocos de multiplas completacoes, faz-se necessario calcular, a partir

da pressao de fundo de poco medida na primeira celula do poco, as pressoes no interior do

poco nas demais completacoes. Por simplicidade, aqui so serao considerados pocos verticais,

mas o exposto se aplica a qualquer tipo de pocos. Sendo assim, considerepwfijNz

a pressao

de fundo de poco (primeiro bloco completado de baixo para cima ou, como considerado no

codigo do simulador,Nz e a camada da ultima completacao) epwfijk a pressao no interior da

completacao na camadak. A pressao no interior do poco nas completacoes de cima pode ser

obtida adicionando-se o peso da coluna de fluido como na Equacao 2.35 .


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2.3. Calculo das vazoes dos pocos 41

pn+1wfijk =pn+1wfijNz

+Nz1

r=k

nr+ 1

2

g(hi,j,r hi,j,r+1), (2.35)

nr+ 1

2

e a densidade media dos fluidos presentes no interior do poco na interface

entre os blocos i, j, r e i, j, r+ 1 e pode ser calculada fazendo-se a media das densidades dos

fluidos que adentram o poco desde o fundo ate a celula considerada como na Equacao 2.36.

nr+ 1

2

=

nwr para poco injetor;

l=o,w

fnl,r+ 1

2

nlr para poco produtor.

(2.36)

Note que, no caso de pocos produtores, as densidades das fases sao ponderadas

pelo fluxo fracionario de cada fase no interior do poco. Define-se por fluxo fracionario a razao

entre a vazao volumetrica de cada fase e a vazao volumetrica total considerando-se todo o

volume que adentrou o poco desde o fundo ate a celula considerada. Isso e matematicamente

expresso atraves da Equacao 2.37, onde Qlk e a vazao volumetrica da fase l na camada k .

fnl,r+ 12

=

N zk=r+1

Qnlk

Nz

k=r+1 Qnwk +N z

k=r+1 Qnok, (2.37)

Entretanto, ja que as vazoes volumetricas sao diretamente proporcionais as mo-

bilidades de cada fase, sendo mais facil calcular as mobilidades do que as vazoes princi-

palmente quando ha gas dissolvido o fluxo fracionario e aproximado pela razao entre as

mobilidades como exposto na Equacao 2.38, onde lk a mobilidade da fase l na camada k .

fn

l,r+1

2

=

N z

k=r+1nlk

Nzk=r+1

nwk +N z

k=r+1

nok

, (2.38)

Note que, apesar de a formulacao aqui considerada tratar a dependencia temporal

de forma implcita, para calculo da pressao no interior do poco em cada completacao, como

na Equacao 2.35, necessita-se da densidade media dos fluidos no interior do poco. Para


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2.4. Calculo do Valor Presente Lquido 42

calcula-la, e necessario utilizar propriedades calculadas no passo de tempo anterior o que, de

certa forma, altera o esquema de calculo totalmente implcito.

Por fim, o controle de cada poco pode assumir duas formas. A primeira, por vazao

especificada, fixa a vazao do poco (soma de todas as completacoes) e portanto tranforma a

pressao em cada completacao em variaveis, adicionando ao sistema de equacoes uma nova

equacao baseada na Equacao 2.33 para cada uma das completacoes de cada poco com vazao

especificada. A segunda, por pressao especificada, fixa a pressao na completacao mais pro-

fundapwfijNz e calcula da forma descrita na Equacao 2.35 a pressao nas outras completacoes

acima. Sendo assim, nao ha necessidade de adicao de equacoes e nao ha variaveis extras.

A vazao passa a ser calculada pela Equacao 2.33 onde a unica variavel advinda do sistema

de equacoes de fluxo e a pressao na celula de cada completacao. O unico tipo de controle

considerado neste trabalho e este ultimo, por pressao especificada.

2.4 Calculo do Valor Presente Lquido

Por fim, o simulador sera utilizado para a previsao do Valor Presente Lquido

(VPL) obtidos ao aplicar-se uma estrategia de producao baseada exclusivamente na injecao de

agua, onde os controles dos pocos sao as pressoes de fundo aplicadas em cada um deles, tanto

produtores como injetores. Sendo assim, nos captulos 3, 4 e 5 o simulador sera considerado

como uma funcaoV P L= f(p), ondep e o vetor de controles contendo todas as pressoes de

fundo. Desta forma, considere um campo comnw pocos simulados nos passos de tempo t,

t= 1 . . . nt, o VPL pode ser calculado atraves da Equacao 2.39.

V P L=nt

t=1

nww=1

1(1+j)t

[POil qOil,w(pw) CWProd qWProd,w(pw) CWInj qWInj,w(pw)]

(2.39)

E importante ressaltar que a taxa de desconto j deve relacionar-se ao mesmo

perodo a que se relacionam vazoes qw. Por exemplo, se j for uma taxa mensal, qw deve

ser vazao mensal, isto e, volume produzido/injetado em um mes. O preco do oleo e POil e

os custos de producao e injecao de agua sao respectivamente CWProd e CWInj . Todos sao

considerados constantes. A vazao do poco qw e determinada pelo simulador como a soma

das vazoes em todas as completacoes. Para tanto as pressoes em cada completacao deve ser


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2.5. Comparacao com simulador comercial 43

calculada atraves da Equacao 2.35 para aplicar-se o modelo de poco da Equacao 2.33. A

rotina de calculo do Valor Presente Lquido e externa ao simulador e aplica a Equacao 2.39

apos receber a vazao de cada poco em cada passo de tempo.

2.5 Comparacao com simulador comercial

Como uma tentativa de validacao do simulador, buscou-se comparar os resultados

da simulacao de um modelo de reservatorios obtida com o uso do SIMPAR ao resultado

obtido com algum simulador comercial ja consagrado pela industria. Sendo assim, por ser

mais comumente utilizado na Petrobras, escolheu-se o IMEX da CMG como simulador a ser

comparado.

O primeiro caso teste proposto nesse estudo comparativo, e utilizado tambem nos

Captulos 3, 4 e 5, e uma porcao modificada do modelo SPE10, um reservatorio sintetico pa-

ralelepipedico (caixa de sapato) com canais proposto inicialmente em (Christie and Blunt,

2001). Esta modificacao, considerando a mesma porcao aqui utilizada, foi determinada em

(Cardoso, 2009) como um dos modelos para aplicacao da tecnica. O modelo e tridimensional

de dimensoes 60 80 5 celulas, isto e, possui 24000 celulas. Todas as celulas possuemdimensoes de 50ft 70ft 20ft. Ha 4 pocos produtores (nomeados P1-P4) e dois injetores(I1 e I2). O valor medio para a permeabilidade na direcao x e kx = 418 mD. A permeabi-

lidade vertical e definida como kz = 0,3kx nos canais e kz = 103kx na porcao restante. As

saturacoes iniciais de oleo e agua sao respectivamente Soi = 0,8 e Swc = 0,2 e as residuais,

Swr =Sor = 0,2. Para o oleo tem-se o = 45lb/ft3 e o = 3 cp e para a agua w = 60lb/ft

3

e w = 0.3 cp. O sistema e pouco compressvel com co = cw = cr = 106 psi1 (compressi-

biliadades dos fluidos e da rocha iguais). O efeito da pressao capilar e desconsiderado. As

permeabilidades relativas sao calculadas atraves do modelo de Corey (Equacoes 2.19 e 2.20

com os seguintes parametros: k0ro = k0rw = 1 e a = b = 2. A figura 2.2 representa o mapa

de permeabilidades na direcao x, kx com os pocos posicionados. Neste teste comparativo,

todos os pocos foram controlados por pressao de fundo especificada, sendo para os produtoresPw = 4000 psi e para os injetoresPw = 11000 psi. O tempo da simulacao e de 3000 dias.

Os resultados obtidos para este modelo SPE10 - Adaptado se encontram na Figura

2.3. A comparacao foi feita considerando as vazoes de oleo produzido (Figura 2.3(a)) a vazao

de agua produzida (Figura 2.3(b)) e a vazao de agua injetada (Figura 2.3(c)) por poco.

Estes mostraram quase perfeita aderencia entre as vazo

Aplicações de um Modelo Substituto de Ordem Reduzida

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