APLICAES MATEMTICAS NA ADMINISTRAO

Universidade Anhanguera - Uniderp Centro de Educao a Distncia Natal

DESAFIO

JAIRO JUNIOR XAVIER - RA 204940 ELIANE NASCIMENTO MORGADO XAVIER - RA 204719 FRANKLIN EDUARDO MOREIRA DE MESQUITA - RA 262880 LEILA MARIA DE VALENA RA233184

Trabalho apresentado ao Professor Pedro Hiane da disciplina de Matemtica da Turma do Plo de Natal, turno noturno do curso Superior Tecnlogo de Gesto de Recursos Humanos.

NATAL OUTUBRO 2010

Universidade Anhanguera - Uniderp Centro de Educao a Distncia Natal SUMRIO 1. FUNO DE 1 GRAU1.1. 1.2. 1.3. CONCEITO PROPRIEDADES APLICAO CONCEITO PROPRIEDADES APLICAO CONCEITO PROPRIEDADES APLICAO CONCEITO PROPRIEDADES APLICAO CONCEITO PROPRIEDADES APLICAO CONCEITO PROPRIEDADES APLICAO CONCEITO PROPRIEDADES APLICAO CONCEITO TCNICAS DE DERIVAO 8.2.1 Funo constante 8.2.2 Funo do 1 grau 8.2.3 Constante multiplicando funo 8.2.4 Soma ou diferena de funes 8.2.5 Potencia de x 8.2.6 Funo exponencial na base e 8.2.7 Logaritmo natural 8.2.8 Produto de Funes 8.2.9 Quociente de Funes 8.2.10 Funo composta regra da cadeia 8.2.11 Notao de Leibnis 8.2.12 Derivadas segunda e derivadas de ordem superior APLICAO

33 3 7

2.

FUNO DE 2 GRAU2.1. 2.2. 2.3.

88 8 16

3.

FUNO EXPONENCIAL E LOGARITMOS3.1. 3.2. 3.3.

1919 19 21

4.

FUNO POTENCIA, POLINOMIAL, RACIONAL E INVERSA4.1. 4.2. 4.3.

2626 26 28

5.

FUNO POLINOMIAL5.1. 5.2. 5.3.

3030 30

6.

FUNO RACIONAL6.1. 6.2. 6.3.

3333 33 34

7.

FUNO INVERSA7.1. 7.2. 7.3.

3636 37 39

8.

DERIVADA8.1. 8.2.

4040 41 42 42 42 42 43 43 43 43 43 44 44 45 47

8.3.

BIBLIOGRAFIA

49

1. FUNO DE 1 GRAU

1.1. CONCEITO Definimos funo como a relao entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por uma leide formao, isto , uma regra geral. Os elementos de um grupo devem ser relacionados com os elementos do outro grupo, atravs dessa lei. Por exemplo, vamos considerar o conjunto A formado pelos seguintes elementos {3, 2, 0, 2, 3}, que iro possuir representao no conjunto B de acordo com a seguinte lei de formao y = x.

Chama-se funo polinomial do 1 grau, ou funo afim, a qualquer funo f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0. Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chamado de coeficiente de x e o nmero b chamado termo constante.

1.2. PROPRIEDADES

O grfico de uma funo polinomial do 1 grau, y = ax + b, com a 0, uma reta oblqua aos eixos Ox e Oy. Cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

3

Zero e Equao do 1 Grau Chama-se zero ou raiz da funo polinomial do 1 grau f(x) = ax + b, a 0, o nmero real x tal que f(x) = 0. Temos: f(x) = 0 ax + b = 0 Vejamos alguns exemplos: 1. Obteno do zero da funo f(x) = 2x - 5: f(x) = 0 2x - 5 = 0 2. Clculo da raiz da funo g(x) = 3x + 6: g(x) = 0 3x + 6 = 0

x = -2

3. Clculo da abscissa do ponto em que o grfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas: O ponto em que o grfico corta o eixo dos x aquele em que h(x) = 0; ento: h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x=5 Crescimento e decrescimento Consideremos a funo do 1 grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x y

-3 -10

-2 -7

-1 -4

0 -1

1 2

2 5

3 8

4

Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y tambm aumentam. Dizemos, ento que a funo y = 3x - 1 crescente. Observamos novamente seu grfico:

Regra geral: a funo do 1 grau f(x) = ax + b crescente quando o coeficiente de x positivo (a > 0); a funo do 1 grau f(x) = ax + b decrescente quando o coeficiente de x negativo (a < 0); Justificativa: para a > 0: se x1 < x2, ento ax1 < ax2. Da, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). para a < 0: se x1 < x2, ento ax1 > ax2. Da, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). Sinal Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) determinar os valor de x para os quais y positivo, os valores de x para os quais y zero e os valores de x para os quais y negativo. Consideremos uma funo afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. J vimos que essa funo se anula pra raiz possveis: 1) a > 0 (a funo crescente) y>0 y 0 ax + b < 0 x> x< . H dois casos

5

Concluso: y positivo para valores de x maiores que a raiz; y negativo para valores de x menores que a raiz

2) a < 0 (a funo decrescente) y>0 y 0 ax + b < 0 x> x 0, a parbola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parbola tem a concavidade voltada para baixo; Zero e Equao do 2 Grau Chama-se zeros ou razes da funo polinomial do 2 grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os nmeros reais x tais que f(x) = 0. Ento as razes da funo f(x) = ax2 + bx + c so as solues da equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0, as quais so dadas pela chamada frmula de Bhaskara:

Temos:

Observao A quantidade de razes reais de uma funo quadrtica depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber: quando positivo, h duas razes reais e distintas; quando zero, h s uma raiz real; quando negativo, no h raiz real.

Coordenadas do vrtice da parbola Quando a > 0, a parbola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mnimo V; quando a < 0, a parbola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de mximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V so

. Veja os grficos:

10

Imagem

O conjunto-imagem Im da funo y = ax2 + bx + c, apode assumir. H duas possibilidades: 1 - quando a > 0,

0, o conjunto dos valores que y

a>0

11

2 quando a < 0,

a 0), ou mximo (se a< 0); 4. A reta que passa por V e paralela ao eixo dos y o eixo de simetria da parbola; 2 5. Para x = 0 , temos y = a 0 + b 0 + c = c; ento (0, c) o ponto em que a parbola corta

o eixo dos y. Sinal

12

Consideramos uma funo quadrtica y = f(x) = ax + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y negativo e os valores de x para os quais y positivos. Conforme o sinal do discriminante = b - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:2

2

1 >0 Nesse caso a funo quadrtica admite dois zeros reais distintos (x1 x2). a parbola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da funo o indicado nos grficos abaixo:

quando a > 0 y>0 (x < x1 ou x > x2) y0 x1 < x < x2 y x2)2 =0

13

quando a > 0

quando a < 0

3 -

0

quando a < 0

15

2.3. APLICAO EXEMPLO 1 Sabe-se que o lucro total de uma empresa dado por L(q)=R(q)-C(q), onde L o lucro total, R a receita total e C o custo total da produo. Pede-se, numa empresa onde:

e

onde: q a quantidade produzida. E pergunta-se: a) o nvel de produo q para que o lucro seja mximo; b) o valor do lucro mximo.Temos duas funes e queremos usar a funo , que nada mais do que:

E temos a funo L(q).

Quando se fala em lucro seja mximo o que queremos achar o que faz essa funo ser maior possvel. A ferramenta que nos permite calcular isso o famoso (X vrtice). Para usar as notaes do problema, usaremos que dado pela frmula:

=mximo)

=

=

15 (o nvel de produo q para que o lucro seja

Agora s substituir os valores e que esto na funo que vai dar o valor de que gera o maior valor de. Lv= lucro correspondente Lv= -2q2+60q-40 Lv = -2.152+60.15-40 = 410 (valor do lucro mximo) 16

V=(Qv;Lv); (15;410)L

410

040

15

q

EXEMPLO 2 Em certa plantao, a produo, P de feijo depende da quantidade, q, de fertilizante utilizada, e tal dependncia pode ser expressa por 2 P = - 3q + 90q + 525. Considerando nessa lavoura a produo medida em Kg e a quantidade de fertilizante em g/m 2, faa um esboo do grfico, comente os significados dos principais pontos, determine a quantidade de fertilizante para que a produo seja mxima, bem como a produo mxima. Os coeficientes dos termos da funo so a= -3, b= 90, c= 525 A concavidade voltada para baixo, pois a 0 Duas razes e distintas dadas por

q1 =

q1= -5

e

q2 =

q2= -35

ou seja, a parbola dado pelo ponto V= (q v; Pv) = V= V = (15; 1200)

Assim podemos esboar o grfico:

P Eixo de simetria1200

525

-5 40

015

35

q

Para esse exemplo, a concavidade voltada para baixo associada a um eixo de simetria em qv = 15 indica que a produo crescente para quantidades de fertilizante entre 0 e 15 g/m 2 e decrescente para quantidades superiores a 15 g/m 2.

18

Os pontos em que a curva corta o eixo P indica que, quando no utilizado fertilizante (q=0), a produo de P = 525 Kg. Os pontos em que a curva corta o eixo q indicam quantidade fazem a produo se anular (P=0) sendo que q1 = -5 no apresenta significado prtico e q2 = -35 g/m2 representa uma quantidade to grande de fertilizante a ponto de prejudicar a planta, impedindo-a de produzir. Finalmente, o vrtice V= (15; 1200) d a quantidade qv = 15 g/m 2 que maximiza a produo, e tal produo mxima Pv = 1200 Kg.

3. FUNO EXPONENCIAL 3.1. CONCEITO Toda relao de dependncia, onde uma incgnita depende do valor da outra, denominada funo. A funo denominada como exponencial possui essa relao de dependncia e sua principal caracterstica que a parte varivel representada por x se encontra no expoente. Observe: y=2x y=3x+4 y = 0,5 x y=4x A lei de formao de uma funo exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notao: f: RR tal que y = a x, sendo que a > 0 e a 1.

3.2 . PROPRIEDADE Uma funo pode ser representada atravs de um grfico, e no caso da exp onencial, temos duas situaes: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os grficos so constitudos respeitando as condies propostas: 19

Os logaritmos foram criados por John Napier (1550-1617) e desenvolvidos por Henry Briggs (1531-1631); foram introduzidos no intuito de facilitar clculos mais complexos. Atravs de suas definies podemos transformar multiplicaes em adies, divises em subtraes, potenciaes em multiplicaes e radiciaes em divises. Dados dois nmeros reais positivos a e b, onde a 1 e a > 1 e b > 0, existe somente um nmero real x, tal que ax=b ou logab=x. Temos: a = base do logaritmo b = logaritmando x = logaritmo O logaritmo de um nmero b em uma base a o expoente x que se deve aplicar base a para se ter o nmero b. Dessa forma: logab = x ax = b Exemplos: log39 32 = 9 log10100 102 = 100 log216 24 = 16 log981 92 = 81 A partir dessa definio podemos apresentar algumas definies que auxiliaro no desenvolvimento de algumas situaes envolvendo logaritmo. Veja: O logaritmo do nmero 1 em qualquer base sempre ser igual a 0. 20

loga1 = 0, pois a0 = 1 O logaritmo de qualquer nmero a na prpria base a ser igual a 1. logaa = 1, pois a1 = a O logaritmo de uma potncia da base o expoente, em qualquer base. logaam = m, pois m * logaa = m * 1 = m A potncia de base a e expoente logab igual a b. alogab = b, pois logab = x ax = b Dois logaritmos so iguais, quando seus logaritmandos forem iguais. logab = logac b = c

3.3. APLICAO Uma funo exponencial utilizada na representao de situaes onde a taxa de variao considerada grande, por exemplo, em rendimentos finance iros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de subst ncias qumicas, desenvolvimento de bactrias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situaes. As funes exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessrio, as regras envolvendo potenciao. EXEMPLO 1 O capital de R$ 2.000,00 foi aplicado taxa de 2% ao ms durante um ano. Qual o fator de correo e o montante gerado? A frmula que determina o clculo do juro composto dada pela seguinte e xpresso: M = C * (1 + i)t, note que o ndice percentual est elevado ao tempo de aplic ao, ao aplicarmos a taxa ao perodo estabelecido teremos o fator de correo. 2% = 2/100 = 0,02 (1+i)t = (1+0,02)12 = 1,268241794562545318301696 (fator de correo) Para calcularmos o montante gerado, multiplicamos o capital pelo fator de co rreo: M = 2 000 * 1,268241794562545318301696 21

M = 2 536,48 Portanto, a aplicao de R$ 2.000,00, durante um ano e com taxa de 2% ao ms, produzir um montante de R$ 2.536,48. Agora vamos montar a funo exponencial referente a essa aplicao capaz de determinar o montante em qualquer perodo. Com base na expresso matemtica M = C*(1+i)t, temos: M = 2 000 * (1+0,02)t M = 2 000* 1,02t A funo exponencial ser M = 2 000* 1,02t, note que o montante (M) est em funo do tempo de aplicao (t). EXEMPLO 2 1) Funo Exponencial gerada por fatores de aumento fixos Sempre que uma srie de valores varia sob uma taxa percentual fixa de a umento, a varivel em questo gera uma funo exponencial crescente. a. Vamos supor que uma pessoa tenha tomado emprestado uma quantia de R$ 10 000,00 e que a dvida corrigida, ms a ms, em 5% sobre o montante do ms anterior. b. claro que se a pessoa liquidar a dvida um ms aps a sua contratao, o montante devido ser de 10 000 + 500 (5% de 10 000), que igual a 10 500 reais. Esse mesmo resultado poderia ser obtido simplesmente multiplicando 10 000 por 1,05 (100% + 5%). c. Se a pessoa pagar a dvida 2 meses depois de sua contratao, o montante devido ser de 10 500 + 525 (5% de 10 500), que igual a 11 025. Esse mesmo resultado poderia ser obtido simplesmente multiplicando 10 000 por 1,052. d. Podemos generalizar e dizer que o montante M, dessa dvida, n meses aps a sua contratao, ser igual a M = 10 000 x 1,05 n. O 1,05 chamado de fator de aumento para uma taxa de 5%. A funo que fica caracterizada nesses casos o que denominamos funo exponencial. Quando a base for superior a 1, teremos uma funo crescente, como no caso do nosso exemplo. O grfico

22

dessa funo ter a seguinte configurao: a) Qual seria o valor aproximado da dvida, 10 meses aps a sua contratao?Resposta: R$ 16 289,00

b) Aps quantos meses a dvida atinge um montante de 219,00?Resposta: Aps 30 meses

R$ 43

c) Qual o montante de dvida aps dois anos de sua contratao?Resposta: 10 000 x (1,05) 24 = R$ 32 251,00

EXEMPLO 3 2) Funo Exponencial gerada por fatores de reduo fixos Sempre que uma srie de valores varia sob uma taxa percentual fixa de red uo (ou depreciao), a varivel em questo gera uma funo exponencial decrescente. a. Vamos supor agora uma mquina, com valor inicial de R$ 240 000,00 e que se deprecia sob taxa fixa de 15% ao ano. b. Um ano depois a mquina estar valendo 240 000 36 000 (15% de 240 000) = 204 000. Isso o mesmo que calcular 240 000 x 0,85 (100 % - 15%). c. Dois anos depois a mquina estar valendo 204 000 30 600 (15% de 204 000) = 173 400. Isso o mesmo que calcular 204 000 x 0,85 ou 240 000 x 2 (0,85 ). d. Podemos generalizar e dizer que o valor V, dessa mquina, n anos aps a data inicial, ser igual a V = 240 000 x 0,85n. O 0,85 chamado de fator de reduo ou depreciao para uma taxa de 15%.

23

A funo exponencial para tais casos, com base menor do que 1 (e maior que zero) ser uma funo decrescente, como no caso do nosso exemplo. O grfico dessa funo ter a seguinte configurao:

a) Qual seria o valor aproximado da mquina, 3 anos aps o momento inicial? Resposta: R$ 147 390,00 b) Aps quantos anos a mquina estar valendo R$ 55 588,00? Resposta: Aps 9 anos c) Qual o valor aproximado da mquina, aps 10 anos da compra? Resposta: 240 000 x (0,85) 10 = R$ 47 250,00

E quando precisamos calcular o expoente? Para isso existem os logaritmos! Vejamos um exemplo simples, para relembrar: Sabemos que 2 6 = 64. Isso equivale a dizer que 6 o logaritmo de 64 na base 2 ou log2 64 = 6 Acontece que nem sempre a coisa to simples. No nosso exemplo foi fcil pois 64 uma potncia de 2 e o resultado foi um nmero inteiro. Mas o que podemos fazer quando isso no ocorre (o que o mais comum). Uma das formas usadas (que j quase no se usa mais) consultar uma tabela denominada tbua de logaritmos. Atualmente consultamos as calculadoras cientficas. Mas como normalmente as mquinas no apresentam todas as bases (apresentam os logaritmos decimais base 10), usamos uma frmula para mudana de bases. 24

A frmula para a mudana de bases a seguinte:

log B AIMPORTANTE !

log k A log k B

log A log B Se voltarmos ao nosso exemplo inicial, s para confirmao da frmula, teramos: log B A

log 2 64

log 64 log 2

1,80618 0,30103

6

Qual a vantagem do que acabamos de aprender (ou lembrar)....? que agora podemos voltar aos problemas que recaem em funo exponencial e determinar o valor do expoente, quando for necessrio.: EXEMPLO 4 A populao de um certo pas est crescendo sob taxa fixa de 2% ao ano. Se h alguns anos essa populao era de 2 000 000 de habitantes e hoje ela de aproximadamente 2 437 989 habitantes, determine o nmero de anos que foram decorridos para esse crescimento. SOLUO: Pelo que j estudamos antes, sabemos que o fator de aumento, para esse caso, ser igual a 1,02, concorda? Assim sendo, temos que resolver a seguinte equao exponencial:2 000 000 x (1,02) n (1,02) n (1,02) n 2 437 959APLICANDO Log

2 437 959 ou ainda 2 000 000 1,21868

n

log 1,21868 log 1,02

0,08589 0,0086

10

RESPOSTA: A populao do pas cresceu de 2 000 000 de habitantes para 2 437 989 habitantes em, aproximadamente, 10 anos.

25

4. FUNO POTNCIA 4.1. CONCEITO Toda funo do tipo y = x n, onde "n" um nmero natural, chamada Funo Potncia. So exemplos de funes potncias: y = x2 y = x3 y = x4 e assim por diante. 4.2. PROPRIEDADES O domnio de y = x n o conjunto dos reais, porque sempre podemos calcular x n, independente do valor de "x". Vamos analis-la observando o grfico y = x2 abaixo, onde "n" um nmero par: para "x" positivo, o crescimento da funo cada vez mais rpido: para "x" no intervalo [1,2] temos "y" no intervalo [1,4]; para "x" no intervalo [2,3] temos "y" no intervalo [4,9]; para "x" no intervalo [3,4] temos "y" no intervalo [9,16]; e assim por diante. para "x" negativo, conforme "x" aumenta, isto , aproximase de zero, a funo decresce cada vez mais devagar: para "x" no intervalo [-4,-3] temos "y" no intervalo [16,9]; para "x" no intervalo [-3,-2] temos "y" no intervalo [9,4]; para "x" no intervalo [-2,-1] temos "y" no intervalo [4,1]; e assim por diante. Observe que o grfico para "x" negativo uma reflexo do grfico para "x" positivo. 26

Para o caso "n" mpar, temos o grfico abaixo.

Faa uma anlise similar ao caso "n" par.

Vamos agora olhar para o grfico abaixo, onde aparece a funo y = x n para diferentes valores de "n", e compar-las:

Para "x" positivo, quanto maior o valor de "n", mais rpido cresce a funo. E para "x" negativo, como se comporta a funo?

Observe o intervalo [0,1] com ateno. A funo de maior grau cresce mais devagar que a de menor grau. Vamos ver porque isso acontece, tomando como exemplo os pontos do grfico com x = 1/2: para a funo y = x2, se x = 1/2, y igual a 1/4; para a funo y = x3, se x = 1/2, y igual a 1/8; para a funo y = x4, se x = 1/2, y igual a 1/16; 27

para a funo y = x5, se x = 1/2, y igual a 1/32. Enfim, estamos aumentando o grau da funo e, para um mesmo valor de "x", obtemos um valor de "y" cada vez menor.

4.3. APLICAO EXEMPLO 1 Em uma determinada linha de produo, o nmero P de aparelhos eletrnicos montados por um grupo de funcionrios depende do nmero q de horas trabalhadas, e foi estabelecida a funo dessa produo como P = 1000q 3/4 onde P medida em unidades montadas, aproximadamente, por dia. A partir dessa funo, construmos uma tabela que d a produo para alguns valores do insumo q, horas trabalhadas, em um diaProduo de aparelhos eletrnicos em funo das horas trabalhadas Horas trabalhadas na montagem 0 2 4 6 Aparelhos montados(P) 0 1682 2828 3834 (Unidades/dia) (aproximadamente) 8 4757 10 5623

E esboamos o respectivo grfico.P

5.623 4.757 3.834 2.828

1.682

0

2

4

6

8

10

q

28

Observamos novamente que a funo produo P = 1000q3/4 crescente e que os aumentos de 2 horas em q acarretaram diferentes aumentos em P, que organizamos na tabela a seguir:Aumentos em P em relao aos aumentos em q

2 4 6 8 10

0 2 4 6 8

= = = = =

2 2 2 2 2

1.682 0 = 1682 2.828 1.682=1.146 3.834 2.828=1.006 4.757 3.834 = 923 5.623 4.757 = 866

Analisando mais atentamente o aspecto do crescimento da produo para essa funo, percebemos que para aumentos iguais em q, os aumentos em P so cada vez menores, ou seja, os aumentos em P so decrescentes. Nessa situao, dizemos que a funo P cresce a taxas decrescentes. Graficamente, o indicador das taxas decrescentes a concavidade voltada para baixo. EXEMPLO 2 A Lei de Pareto No final do sculo XIX, o economista italiano Vilfredo Pareto, ao estudar a distribuio de rendas para indivduos em uma populao de tamanho a, notou que, na maioria dos casos, o nmero y de indivduos que recebem uma renda superior a x dado aproximadamente por y= a/(x-r)b R=0 y= a/(x-0)b y = a/xb y = a.x-bonde r a menor renda considerada para a populao e b um parmetro positivo que varia de acordo com a populao estudada. Por exemplo, se a populao estudada de 1.200.000 habitantes, a renda mnima considerada for de R$ 300,00 e o parmetro b=1,3, ento o nmero de indivduos y que tem renda superior a x dado por

y= 1.200.000/(x-300)1,3Considerando essa funo, se quisermos uma estimativa de quantos indivduos tm renda superior a R$ 1.000,00, basta fazer x=1.000 e obtemos

29

y= 1.200.000/(1.000-300)1,3 y= 1.200.000/(700) 1,3 y= 1.200.000/ 4.996 y= 240 Ou seja, 240 indivduos recebem renda superior a R$ 1.000,00 5. FUNO POLINOMIAL 5.1. CONCEITO Toda funo na forma P(x) = a n . xn + an-1. x n-1 +... + a2. x2 + a1x + a 0, considerada uma funo polinomial, onde p(x) est em funo do valor de x. A cada valor atribudo a x existe um valor em y, pois x: domnio da funo e y: imagem. 5.2. PROPRIEDADES O grau de um polinmio expresso atravs do maior expoente natural entre os monmios que o formam. Veja: g(x) = 4x4 + 10x2 5x + 2: polinmio grau 4. f(x) = -9x6 + 12x3 - 23x2 + 9x 6: polinmio grau 6. h(x) = -3x3 + 9x2 5x + 6: polinmio grau 3. Em uma funo polinomial, medida que os valores de x so atribudos de scobrimos os respectivos valores em y [p(x)], construindo o par ordenado (x,y), usado nas representaes grficas no plano cartesiano. Observe: Dada a funo polinomial p(x) = 2x3 + 2x2 5x + 1. Determine os pares ordenados quando: x=0 p(x) = 2x3 + 2x2 5x + 1 p(0) = 2*03 + 2*02 5*0 + 1 p(0) = 0 + 0 0 + 1 p(0) = 1 par ordenado (0,1) x=1 30

p(1) = 2*13 + 2*12 5*1 + 1 p(1) = 2 + 2 5 + 1 p(1) = 0 par ordenado (1,0) x=2 p(2) = 2*23 + 2*22 5*2 + 1 p(2) = 2*8 + 2*4 10 + 1 p(2) = 16 + 8 10 + 1 p(2) = 15 par ordenado (2,15) Polinmio nulo Dizemos que um polinmio nulo quando todos os seus coeficientes forem iguais a zero. P(x) = 0. Identidade entre polinmios Dois polinmios so idnticos quando todos os seus coeficientes so nmeros iguais. Observe: ax2 + (b+3)x +(c7) 2x2 + 6x 9 Para que esses polinmios sejam idnticos os coeficientes de mesmo grau precisam ser iguais, ento: a=2 b+3=6 c7=9 b=63 c=9+7 b=3 c=2

(a+2)x3 + (b-26)x2 + (c+6)x +(d-7) 2x3 + 5x2 + 2x - 9 a+2 = 2 b-26 = 5 a = 2-2 b = 5+26 a=0 b = 31 31

c+6 = 2 d-7 = - 9

c = 2-6 d = -9+7

c = -4 d = -2

5.3. APLICAO EXEMPLO 1 O preo de um produto foi analisado no decorrer dos meses e cinstatou-se que pode ser aproximado pela funo p(t) = t 3 6t2 + 9t + 10, onde t representa o nmero do ms a partir do ms t=0 que marca o incio das anlises. Construindo uma tabela para alguns meses, determinamos os preos p do produto e esboamos o respectivo grfico. Tempo(t) (meses) Preo (p) (R$) 0 10,00 1 14,00 2 12,00 3 10,00 4 14,00 5 30,00

p 30

14 12 10

0

1

2

3

4

5

t

32

EXEMPLO 2 Uma pessoa tinha em um banco o saldo positivo de R$ 300,00. Aps um saque no caixa eletrnico que fornece apenas notas de R$ 50,00, o novo saldo e dado pelo nmero x de notas de retiradas. a) Funo que determina o saldo bancrio S(x), em funo de x (quantidade de notas retiradas) S(x)= 300 50x ou 50x + 300 b) Qual ser o valor do saldo, se a pessoa retirar 8 notas? (supor que no ouve outros dbitos) S(x)= 300 50.8 = 300 400 = -100 c) O que significa o sinal negativo, antes do coeficiente angular ou dessa equao? Que se trata de uma funo DECRESCENTE d) Qual a raiz dessa funo e o que ela significa? A raiz 6, pois 50x + 300, gera como resposta x = 6 Essa raiz representa a quantidade de notas necessrias para que o saldo se torne igual a zero

6. FUNO RACIONAL

6.1.

CONCEITO

Os polinmios podem ser evidentemente, multiplicados por constantes, somados, subtrados e multiplicados, e os resultados sero novamente polinmios. No entanto, se dividirmos polinmios nem sempre obteremos outro polinmio. Esse quociente chamado funo racional. 6.2. PROPRIEDADES

Uma funo racional uma razo de polinmios. Para uma simples varivel x, uma tpica funo racional , portanto

33

onde P e Q so polinmios tendo x como indeterminado, e Q no pode ser o polinmio zero. Qualquer polinmio no-zero Q aceitvel; mas a possibilidade que um dado a assinalado para o x poderia fazer Q(a) = 0 significa que a funo racional, diferente dos polinmios, no possuem sempre uma funo domnio de definio bvia. De fato se ns temos

esta funo definida para qualquer nmero real x; mas no para nmeros complexos, onde o denominador assume o valor 0 para x = i e x = i, onde i .

6.3.

APLICAO

EXEMPLO 1 Considerando a funo que d a receita R para um certo produto em funo da quantia x investida em propaganda, foi estabelecido que R(x) = consideraremos receita e quantia investida em propaganda

medida em milhares de reais. Para que R(x) = diferente de zero: x+10 0 exista, necessrio que o denominador x+10 seja

x

-10

Assim, R(x) existe para x

-10 e, graficamente, temos nesse ponto assntotas

verticais. Para desenharmos tais a assntotas, vamos analisar o comportame nto R(x) quando x -10, ou seja, vamos analisar os limites laterais e 34

Para estimar o , vamos montar uma tabela tomando valores de x prximos de -10, porm menores que -10. para x -10-

x

x10,1 -10,01 -10,001 -10,000001 -10,000000001 7.100 70.100 700.100 700.000.100 700.000.000.100

R(x)

-10-

+

Pela tabela, percebemos que, quando x -10-, temos R(x) assumindo valores cada vez maiores. Conclumos ento que

EXEMPLO 2 Para o clculo de , vamos montar uma tabela tomando valores de x prximos de -10, porm maiores que -10. para x -10+

x

x-9,9 -9,99 -9,999 -9,999999 -9,999999999 -6.900 -69.900 -699.900 -699.999.900 -699.999.999.900

R(x)

-10 +

-

35

Pela tabela, percebemos que, quando x -10+, temos R(x) assumindo valores cada vez menores. Conclumos ento que A partir dos dois limites calculados, conclumos que, em x= -10, temos duas assntotas verticais, conforme a figura a seguir:

+

-10

x

-

7. FUNO INVERSA

7.1.

CONCEITO

O objetivo de uma funo inversa criar funes a partir de outras. Uma funo somente ser inversa se for bijetora, isto , os pares ordenados da funo f devero pertencer funo inversa f 1 da seguinte maneira: (x,y) f 1 (y,x) f.

36

7.2.

PROPRIEDADES

Dado os conjuntos A = {2,1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a funo AB definida pela frmula f(x) = x + 5,

veja o diagrama dessa funo abaixo:

Ento:

f

=

{

(2,

3)

;

(1,

4)

;

(0,

5)

;

(1,

6)

;

(2,

7)}

Essa funo bijetora, pois cada elemento do domnio est ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa funo, por ser bijetora, admite inversa. A sua funo inversa ser indicada por f 1: BA, e ser preciso realizar a troca entre x e y na funo y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 y = x + 5 y = x 5, portanto f 1(x) = x 5. Veja o diagrama abaixo:

Ento: f 1(x)= {(3, 2); (4, 1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)} O que domnio na funo f vira imagem na f1

(x)e vice e versa.

Dada uma sentena de uma funo y = f(x), para encontrar a sua inversa preciso seguir alguns passos. Observe:

37

Exemplo: Determine a INVERSA da funo definida por y = 2x + 3. Permutando as variveis x e y, fica: x = 2y + 3 Explicitando y em funo de x, vem: 2y = x - 3 y = (x - 3) / 2, que define a funo inversa da funo dada. O grfico abaixo representa uma funo e a sua inversa. Observe que as curvas representativas de f e de f -1 so simtricas em relao reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Exemplo 1 Dada a funo f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f 1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expresso y = 3x 5. Assim teremos x = 3y 5, logo: x = 3y 5 3y = x 5 (multiplicar por 1) 3y = x + 5 y = (x + 5)/3 Portanto, a funo f(x) = 3x -5 ter inversa igual a f 1(x) = (x + 5)/3. Exemplo 2 Dada a funo f(x) = x a sua inversa ser: Realizando a troca entre x e y na expresso y = x x = y, logo: 38

x = y x = y x = y y = x A funo f(x) = x ter inversa f 7.3. APLICAO EXEMPLO 1 O custo C para a produo de q camisetas: na funo C=2q+100, se for dada uma quantidade q produzida, obtm-se o custo C. A partir de tal funo, podemos obter outra funo em que, de maneira inversa, se dado o custo C, obtm-se a quantidade q produzida. Para obter tal funo, basta isolar a varivel q na relao. C=2q + 100 2q = C 100 q= q=1

(x) = x

= -

q = 0,5C 50A funo q = 0,5C 50 conhecida como funo inversa da funo C=2q + 100. Se simbolizarmos a funo do custo por C= f(q), ento simbolizamos a inversa por q = f -1(C).

39

EXEMPLO 2

8. DERIVADA 8.1. CONCEITO

Quando os dois pontos da curva se aproximam indefinidamente, a secante (recta que passa por esses dois pontos) acaba por transformar-se na tangente curva no ponto a, ou seja calculamos o limite da razo incremental quando a distncia entre os dois pontos tende para zero. Geometricamente, a derivada o declive da recta r no ponto a quando h tende para zero. por outras palavras: calcular a derivada duma funo num ponto a determinar a tangente trigonomtrica da tangente geomtrica a curva nesse ponto.

Definio analtica. : f derivvel em a se existe e escreve-se40

outra forma menos usual de apresentar esta definio

onde

representa o acrscimo da varivel

8.2. TCNICAS DE DERIVAO Diz-se que uma funo f derivvel (ou diferencivel) se, prximo de cada ponto a do seu domnio, a funo f(x) f(a) se comportar aproximadamente como uma funo linear, ou seja, se o seu grfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta a derivada da funo f no ponto a e representa-se por

ou por

Assim, por exemplo, se considerarmos a funo f de R em R definida por f(x) = x + x 1, esta diferencivel em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os grficos das restries daquela funo aos intervalos [1,1] e [1/10,1/10] e claro que, enquanto que o primeiro bastante curvo (e, portanto, f(x) f(0) est a longe de ser linear), o segundo praticamente indistinguvel de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o grfico prximo de (0,f(0)) mais perto estar este de ser linear.

Grfico de uma funo derivvel. 41

Em contrapartida, a funo mdulo de R em R no derivvel em 0, pois, por mais que se amplie o grfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

Grfico da funo mdulo, que no derivvel em 0. 8.2.1. Funo constante f(x) = k onde k uma constante; ento sua derivada ser f(x) = 0

De modo simplificado y = K y = 0 8.2.2. Funo do 1 grau f(x) = m . x + b ento sua derivada ser f(x) = m De modo simplificado y = m . x + b y = m 8.2.3. Constante Multiplicando Funo Seja a funo f(x) obtida pela multiplicao da funo u(x) pela constante k f(x) = k . u(x) Sendo u(x) derivvel, ento a derivada de f(x) ser f (x) = k . u(x) De modo simplificado y = k . u y = k . u 8.2.4. Soma ou Diferena de Funes Seja a funo f(x) obtida pela soma das funes u(x) e v(x) f(x) = u(x) + v(x) Sendo u(x) e v(x) derivveis, ento a derivada de f(x) ser f (x) = u(x) + v(x) De modo simplificado y = u + v y = u + v Procedemos de modo anlogo para a diferena das funes u(x) e v(x) 42 (k a constante)

Sendo u(x) e v(x) derivveis, ento a derivada de f(x) ser f (x) = u(x) - v(x) De modo simplificado y = u - v y = u - v 8.2.5. Potncia de x Seja a funo f(x)= x n onde n um nmero real, ento sua derivada ser f(x) = nx(n-1) De modo simplificado y = xn y = nx n-1 (n real)

8.2.6. Funo Exponencial na Base e Seja a funo f(x)= e x Onde e 2,71828, ento sua derivada ser f (x)= e x

De modo simplificado y = ex y = ex 8.2.7. Logaritmo Natural Seja a funo obtida pelo logaritmo do mdulo* de x f(x) ln/x/ Ento, sua derivada ser f(x) = 1/x De modo simplificado y = ln/x/ y = 1/x 8.2.8. Produto de Funes Seja a funo f(x) obtida pelo produto das funes u(x) e v(x) f(x) = u(x) . v(x) Sendo u(x) e v(x) derivveis, ento a derivada de f(x) ser f(x) = u(x) . v(x) + u(x) . v(x) De modo simplificado y = uv uv + uv 8.2.9. Quociente das Funes de Funes Seja a funo f(x) obtida pelo quociente das funes u(x) e v(x) f(x) = u(x)/ v(x) 43

Sendo u(x) e v(x) derivveis, ento a derivada de f(x) ser f(x) = u(x) . v(x) - u(x) . v(x) / De modo simplificado y = u/v y = uv - uv/ v 2 8.2.10. Funo Composta Regra da Cadeia Seja a funo f(x) obtida pela composio das funes v(u) e u(x) f(x) = v Sendo v(u) e u(x) derivveis, ento a derivada de f(x) ser f(x) = v De modo simplificado y = v(u) (sendo u uma funo de x) y = v(u) . u 8.2.11. A notao de Leibnis Em clculo, a notao de Leibniz, nomeada em honra ao filsofo e matemtico alemo Gottfried Wilhelm Leibniz, usa os smbolos dx e dypara representar incrementos "infinitamente pequenos" (ou infinitesimais) de x e y, assim como x e y representam incrementos finitos de xe y. Sendo y uma funo de x .u(x)2

a derivada de y com relao a x, que mais tarde veio a ser conhecida como,

era, de acordo com Leibniz, o quociente de um incremento infinitesimal de y por um incremento infinistesimal de x, ou

onde, direita est a Notao de Lagrange para a derivada de f em x. Similarmente, embora os matemticos atualmente vejam uma integral

como um limite 44

onde x um intervalo contendo xi, Leibniz o entendia como uma soma (o smbolo da integral denota um somatrio) de infinitas quantidades infinitesimais f(x) dx. Uma vantangem do ponto de vista de Leibniz sua compatibilidade com Anlise Dimensional. Por exemplo, na notao de Leibniz, a derivada de segunda ordem (usando diferenciao Implcita) : e tem as mesmas unidades dimensionais que.

Note que a forma reduzida de , ou, em outras palavras a segunda variao infinitesimal de y sobre o quadrado da primeira variao infinitesima de x. O denominador no nem o diferencial de x2, nem o segundo diferencial de x.

8.2.12. Derivadas Segunda e derivadas de Ordem Superior A derivada de segunda ordem de uma funo f(x) (em relao a x) a derivada da derivada da funo f(x), ambas em relao a x. Matematicamente,

. Sua representao

de limite :

.

Por ser a derivada da derivada a integral da derivada de segunda ordem .

Analogamente, as derivadas parciais de segunda ordem de uma funo de dois argumentos f(x,y) so:

45

,

e

A concavidade de uma funo obtida atravs da derivada segunda, igualando-a a zero. Aps obter as razes da derivada segunda pe-se numa reta ordenada, com suas respectivas razes. Fazendo anlise: Substitui-se um nmero facilitador nas extremidades e entre as razes, se o sinal obtido for positivo a concavidade voltada para cima; se for negativo a concavidade voltada para baixo.

46

8.3. APLICAO EXEMPLO 1

47

EXEMPLO 2 -

48

BIBLIOGRAFIA PLT/2010 Nr 059 Matemtica Aplicada administrao, Economia e Contabilidade http://pt.wikibooks.org/wiki/Matemtica_elementar 25 Set 10 http://www.mundoeducacao.com.br 26 Set 10 http://www.ajudamatematica.com 28 Set 10 http://www.somatematica.com.br 30 Set 10 http://www.educador.brasilescola.com 30 Set 10 http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/cfuncao/potencia.htm - 06 Out 10 http://www.educ.fc.ul.pt - 06 Out 10 http://www.magiadamatematica.com 06 Out 10 http://www.uapi.ufpi.br 06 Out 10 http://www.algosobre.com.br/matematica - 06 Out 10

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